TEORÍA MACROECONOMICA III Universidad Autónoma de Madrid

TEORÍA MACROECONOMICA III
Universidad Autónoma de Madrid
Prof. Marcel Jansen
EXAMEN FINAL SEPTIEMBRE 2011
Duración del examen: 2 horas y media
Nombre y apellidos:
Grupo:
NIU:
NORMAS
Además de la normativa general de exámenes de la UAM, los alumnos han de tener en cuenta:
• Los profesores del Departamento no examinarán a aquellos alumnos de los que no tengan
constancia oficial en las Actas correspondientes de las que son responsables; ni incluirán en
aquellas, calificación alguna de exámenes que no hayan sido corregidos por ellos. (Normativa sobre calificaciones de exámenes. Aprobada por Consejo de Departamento de Análisis
Económico: Teorı́a Económica e Historia Económica de 16/12/2008).
• No desgrapes el enunciado.
• Hay un total de tres preguntas con un total de 100 puntos. Para aprobar es imprescindible
un total de al menos 40 puntos.
• Las respuestas tienen que ser concisas e incluir todos los pasos seguidos para llegar al
resultado final.
1
1. Lucas vive solo en una isla y tiene que trabajar para producir su comida. El bien que
produce es perecedero y las preferencias de Lucas están dadas por:
U (c, l) = ln(c) − Blγ ,
donde c es el consumo, l son las horas de trabajo y γ > 1 y B > 0 son parámetros. Lucas
tiene acceso a la siguiente tecnologı́a de producción:
y = Alα ,
con 0 < α < 1 y A > 0.
a. Halle la expresión para la relación marginal de sustitución entre ocio y consumo ( dc
dl )
y demuestre que esta relación es creciente en l bajo el supuesto que γ > 1. (10 puntos)
b. Resuelve el problema de maximización de Lucas y demuestre que la cantidad óptima
de trabajo, l∗ , es creciente en α y decreciente en B. (10 puntos)
Ahora suponga que hay N agentes como Lucas. Cada agente dispone de una unidad de
capital y elige su oferta laboral tomando el salario, w, como dado. También hay una
empresa competitiva que contrata capital y trabajo. El precio de alquiler de una unidad
de capital es r y la función de producción de la empresa representativa está dada por:
Y = AKf1−α Lαf ,
donde Kf y Lf reflejan su demanda de capital y trabajo y Y denota el nivel de la producción
agregada. Los parámetros α y A coinciden con los parámetros de la función de producción
de Lucas.
c. Formalice los problemas de maximización de los agentes y la empresa representativa
y halle las condiciones de primer orden. [Pista: Note que la renta total de un agente
está dada por wl + r.] (10 puntos)
d. Halle los valores de equilibrio de w y r y demuestre que la solución para l∗ , la oferta
laboral de cada uno de los agentes, es igual a la oferta laboral óptima de Lucas en el
apartado b. [Pista: Note que wL/(wL + rK) = wl/(wl + r).](10 puntos)
2. Considere el modelo de generaciones solapadas con gobierno. Los agentes viven durante
dos periodos y sólo trabajan en el primer perı́odo de su vida. En cada perı́odo t ≥ 1 nacen
N jóvenes con las siguientes preferencias:
U (cy,t , co,t+1 , ly,t ) = ln(cy,t ) + ln(1 − ly,t ) + βln(co,t+1 ).
Las restricciones presupuestarias de los agentes están dadas por:
cy,t + st+1 = (1 − τt )wt ly,t
co,t+1 = (1 + rt+1 − δ)st+1
donde cy,t y co,t+1 son los niveles de consumo de la generación t, ly,t es la oferta laboral
de los jóvenes en t, wt el salario bruto, (1 − τt )wt el salario neto y, por último, δ es la tasa
2
de depreciación. En la economı́a existe una empresa representativa que produce el único
bien final y que maximiza sus beneficios:
Π = At (Ktf )α (Lft )1−α − wt Lft − rt Ktf .
El gobierno compra bienes por el valor de Gt y mantiene el equilibrio presupuestario en
todos los periodos, es decir
Gt = τt wt Lt ∀t ≥ 1.
Note que el gasto público no aparece en la función de utilidad de los agentes. Además,
para simplificar las cosas, vamos a suponer que el gasto púbico tampoco tiene efectos sobre
el nivel actual o futuro de la producción. Finalmente, todos los mercados son competivos.
a. Resuelve el problema de la empresa y de los agentes y describe las 6 condiciones de
equilibrio para (cy,t , co,t+1 , st+1 , ly,t , Ktf , Lft ) (10 puntos).
b. Halle la expresión para el stock de capital estacionario suponiendo que At = 1 y τt =
τ > 0 en todos los periodos. ¿Hay alguna relación entre el valor de τ y el stock de
capital estacionario? (10 puntos).
Suponga que la economı́a se encuentra en estado estacionario durante muchos periodos
cuando el valor de At baja por sorpresa a un valor de 0.90 en el perı́odo T . En el siguiente
perı́odo At vuelve a su valor habitual de 1.
c. Demuestre los efectos del shock transitorio sobre los valores de YT , LT , wT y Kt+1 .
(10 puntos)
e. ¿Qué cambios podemos observar en co,T y cy,T +1 si el gobierno reduce τT y GT a cero
tras observar la caı́da en AT ? (10 puntos)
3. Considere el modelo neo-keynesiano estudiado durante el curso. Suponga que el gobierno
contempla la introducción de la siguiente regla fiscal:
gt − ḡ = γπ (πt − π ∗ ) + γy (yt − ȳ).
Según esta regla la desviación del gasto público, gt , respecto a su nivel normal, ḡ, varı́a en
función de la desviación de la inflacion, πt , respecto a su objetivo, π ∗ y de la producción,
yt , respecto a su nivel normal, ȳ.
a. ¿Cuál deberı́a ser el signo de los parámetros γπ y γy si el gobierno quiere estabilizar
la inflación y la producción alrededor de π ∗ y ȳ, respectivamente? (10 puntos)
b. Suponga que la economı́a sufre una perturbación transitoria y negativa de la oferta.
Ilustre los efectos inmediatos de esta perturbación para el modelo estándar estudiado
en clase suponiendo que la economı́a se encontraba inicialmente en su equilibrio de
medio plazo. (5 puntos)
c. ¿Conseguirá la regla fiscal los objetivos de estabilizar la inflación y la producción con
los parámetros del apartado a? Limite su respuesta al corto plazo, es decir al perı́odo
trascurrido entre que se produce la perturbación transitoria de la oferta y el primer
ajuste endógeno de los precios. (5 puntos)
3
Solutions
3
a. Utilizando la derivada total
1
dU = dc − γBlγ−1 dl = 0,
c
obtenemos la siguiente expresión para la relación marginal de sustitución entre ocio
y consumo
dc
= γcBlγ−1 .
dl
que es creciente en l dado que
∂
(γ − 1)γcBlγ−2 > 0
∂l
si γ > 1.
b. El problema de maximización es
L = ln(c) − Blγ + λ[Alα − c]
donde λ es el multiplicador. Las CPO son:
1
=λ
c
γBlγ−1 = λαAlα−1
c = Alα
Insertando la primera condición en la segunda condición y multiplicando ambos lados
por l llegamos a:
αAlα
c
Dado que c = Alα , esta condición se reduce a:
γBlγ =
γBlγ = α
Por lo tanto,
l∗ = (
α γ1
)
γB
Note que ∂l∗ /∂α > 0 y ∂l∗ /∂B < 0
c. El problema de la empresa es
max Π = A(Kf )1−α (Lf )α − rKf − wLf
Las CPO:
(1 − α)A(
4
Lf α
) =r
Kf
αA(
Kf 1−α
)
=w
Lf
El problema para un hogar es
L = ln(c) − Blγ + λ[wl + r − c]
Las CPO:
1
=λ
c
γBlγ−1 = λw
c = wl + r
Insertando λ =
1
c
=
1
wl+r
en la segunda condición obtenemos
γBlγ−1 =
w
w
=
.
c
wl + r
Por último, multiplando ambos lados con l podemos re-escribir la solución como
γBlγ =
w
wl
=
c
wl + r
d. Las CPO para Kf y Lf implican que
rK = (1 − α)A(Kf )1−α (Lf )α = (1 − α)Y
wL = αA(Kf )1−α (Lf )α = αY
Por lo tanto, en equilibrio
wL
=α
wL + K
Note también que K = N y por lo tanto
wN l∗
wL
wl∗
=
=
=α
∗
∗
wl + r
wN l + N r
wL + K
Insertando esta solución en la CPO para l∗ obtenemos el resultado deseado.
2. El problema de un agente de la generación t está dado por:
L = ln(cy,t ) + β ln(co,t+1 ) + ln(1 − ly,t ) + λ[wt ly,t (1 − τt ) − cy,t −
Las CPO son:
5
co,t+1
]
1 + rt+1 − δ
1
cy,t
=λ
β
λ
=
co,t+1
1 + rt+1 − δ
1
= λ(1 − τt )wt
1 − ly,t
Combinando las primeras dos condiciones, obtenemos la condición de Euler:
co,t+1 = β(1 + rt+1 − δcy,t
Insertando esta condición en la restricción presupuestaria nos permite hallar las soluciones
para los niveles de consumo y el ahorro:
cy,t =
1
(1 − τt )wt lt
1+β
st+1 =
β
(1 − τt )wt lt
1+β
co,t+1 = (1 + rt+1 − δ)
β
(1 − τt )wt lt
1+β
En el siguiente paso combinamos la primera y la tercera CPO para llegar a una segunda
expresión para cy,t
cy,t = (1 − τt )wt (1 − ly,t )
Igualando las dos expresiones para cy,t , obtenemos una ecuación en ly,t cuya solución está
dada por
ly,t =
1+β
.
2+β
Por lo tanto, ni el salario, wt , ni el tipo impositivo, τt influyen en la elección de l∗ . Por
útimo, la maximización de los beneficios implica que
αAt (
Lt 1−α
)
= rt
Kt
(1 − α)At (
6
Kt α
) = wt
Lt
b. Siguiendo los pasos habituales llegamos a la siguiente expresión para el stock de capital
estacionario
1
1−α
β
1+β
K=
(1 − τ )(1 − α)
N
1+β
2+β
Note que ∂K/∂τ < 0, es decir el stock de capital estacionario es decreciente en el valor de
τ porque el impuesto sobre la renta afecta negativamente al ahorro.
c. En el perı́odo T el valor de KT está predeterminado, es decir KT = N sT −1 = K. Además,
en todos los perı́odos Lt = L = N 1+β
2+β . Por lo tanto,
YT = AT K 1−α Lα = AT Y = 0.9Y
wT = (1 − α)AT (
sT +1 =
K α
) = AT w = 0.9w
L
β
β
1+β
(1 − τ )wT lT = AT
(1 − τ )
= 0.9s
1+β
1+β
2+β
KT +1 = N sT +1 = AT N s = AT K = 0.9K
d. Si el gobierno reduce los impuestos y el gasto público a cero, subirá la renta disponible
en el perı́odo T para los jóvenos de T . Estos agentes aumentarán su consumo, cy,T , y su
ahorro, sT +1 . Por lo tanto en T + 1 la economı́a tendrá un stock de capital algo mayor
que influye positivamente en la renta y el consumo de los jóvenes de la generación T + 1.
Note que los cambios fiscales no afectan a los mayores en T dado que ellos ya han pagado
el impuesto sobre la renta en el perı́odo T − 1.
3.
a. Para estabilizar la producción y la inflación el gobierno tiene que reducir su gasto cuando
yt − ȳ > 0 o πt − π ∗ > 0. En consecuencia el gobierno tiene que eligir valores negativos
para los dos parámetros (es decir γy < 0 y γπ < 0).
b. Debido al shock transitorio de la oferta la curva OA se deplaza a la izquierda a lo largo
de la curva DA generando una subida de inflación y una caı́da de la producción. Por lo
tanto, inmediatamente después de la perturbación yt − ȳ > 0 y πt − π ∗ < 0.
c. La perturbación de la oferta crea un conflicto entre los objetivos de estabilizar la producción
y la inflación. Para estabilizar la producción, el gobierno deberı́a aumentar el gasto público,
pero este aumento crea más inflación. Al contrario, para estabilizar la inflación, el gobierno
deberı́a reducir su gasto, pero esto accentuarı́a la caı́da de la producción. Cual de los
dos efectos dominará depende de los objetivos del gobierno. Un gobierno que se preocupa
sobretodo por el paro eligirá un γy relativamente alto (en términos absolutos) y aumentará
el gasto público y vice versa para un gobierno que se preocupa sobretodo por la inflación.
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