Unidad 9 Integración

Unidad 9
Integración
Objetivos
Al terminar la unidad, el alumno:
Utilizará las fórmulas básicas de integración.
Aplicará el método de integración por sustitución.
Aplicará el método de integración por partes.
Aplicará la integración a la solución de problemas.
2
Matemáticas
Introducción
E
l cálculo diferencial es útil al considerar la rapidez de cambio de diferentes
variables y las pendientes de las tangentes en diversas funciones. En el
cálculo diferencial, el problema de la tangente condujo a formular, en términos
de límites, la idea de una derivada. Este concepto es aplicable en velocidades,
tasas de cambio y en una diversidad de problemas prácticos.
Una de l as preocupaciones importantes en el cálculo integral es l a
si se tiene la derivada de una función desconocida, el cálculo integral puede
proporcionar una forma de determinar a la función original.
En otros términos, el proceso de integración es lo contrario al proceso de
diferenciación en el sentido de que para realizar integraciones debe conocerse la
diferencial de una función y en el momento en el cual se integra esa diferencial,
se llega a obtener la función original.
9.1. Concepto de integral
La integración es el proceso de hallar una función cuando se conoce su
derivada. En otras palabras, integración es lo inverso a diferenciación. La función
obtenida se denomina primitiva o antiderivada.
Una función F se denomina antiderivada de la función f en un intervalo I, si
F (x) = f(x) para todo valor de x que esté incluido en el intervalo I.
Si tenemos la diferencial de una función y luego se integra, la función
manera un valor constante llamado constante de integración (C); de otra
manera el resultado puede diferir de la función original, por un valor constante,
porque en un momento dado se considera que al realizar esta transformación se
pierde información. Por ejemplo, si se tiene la función f(x) = 400 + 25x +3x2,
al diferenciarla [ df(x) = (25 + 6x) dx] se pierde la constante 400 y si esta
función diferenciada se integra, no considerará ese valor, es en ese momento
que se incluye el valor 400.
353
Unidad
9
Ejemplo 1
Si F
F(x) = 4x3 + x2 + 3 entonces F (x) =12x2 + 2x,
f (x) = 12x2 + 2x, f es la derivada de F y
de modo que si f
por tanto F es la antiderivada de f.
G(x) = 4x3 + x2 + 8 entonces G también
Si G
es una antiderivada de f porque G (x) = 12x2 + 2x.
Por ello, cualquier función de la forma 4x3 + x2 + C donde C es una constante,
es una antiderivada de f.
De aquí se desprende la necesidad de determinar un valor constante a ser
empleado en la integral, por lo que:
Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, entonces cada antiderivada
de f en I está dada por F(x) + C
Donde C es una constante arbitraria, y todas las antiderivadas de f en I
pueden obtenerse al asignar valores particulares a C.
Si G es cualquier antiderivada de f en I, entonces G (x) = f(x) para toda
x en I:
Como F (x) = f(x) entonces
F (x) = G (x) para toda x en I
Por tanto, existe una constante C tal que G(x) =F(x) + C
De donde toda antiderivada de f puede obtenerse a partir de F(x) + C, donde
C es una constante arbitraria.
De lo anterior se desprende que la antiderivación o antidiferenciación es el
proceso mediante el cual se determina el conjunto de todas las antiderivadas de
una función. El símbolo denota la operación de antiderivación y se escribe:
354
f ( x) dx F ( x) C
2
Matemáticas
Donde F (x)=f(x) y d(F (x)) = f (x) dx
El primer miembro se lee integral de f de x con respecto a x. El símbolo
es el signo integral, f(x) es el integrando, F(x) es una integral particular, C es
la constante de integración y F(x) + C es la función integrada. La diferencial
dx juega un papel importante porque garantiza que se va a integrar sobre la
base de una variable.
Si F(x) + C es la integral de f(x), en la cual C es una constante arbitraria,
puesto que la derivada de cualquier constante es cero se tiene:
d
F ( x) C
dx
dF ( x)
dx
dF ( x)
dx
= f(x)
dC
dx
conoce, dado que contiene una constante. Ésta es la razón por la cual la función
de f(x).
f x dx se conoce como la
La constante de integración C puede determinarse si se da información
adicional. Por ejemplo, si sabemos que F(x) + C = 2 y F(x) = x2 con x = 1,
entonces la constante es:
x2 + C = 2
(1)2 + C = 2
1+ C = 2
C = 2–1
C=1
La constante de integración para la función x2 + C = 2 es C = 1.
La información adicional que se presenta en el ejemplo anterior, se conoce
como condición inicial, porque se requiere que en un momento dado se tenga
la certeza de conocer a C, de manera que la integral sea una función conocida.
A continuación se muestran las fórmulas de integración que se emplean con
mayor frecuencia.
355
Unidad
9
1. Kdx K dx, en donde K es cualquier constante.
2. dx
x C
3. ( f ( x) g ( x)) dx
f ( x) dx
g ( x) dx
4. af ( x) dx a f ( x) dx , donde a es cualquier constante
5. xn dx
6.
xn 1
C
n 1
1
dx
x
x 1dx ln x
C
Ejemplo 2
Determinemos la siguiente integral: 5dx
Solución: l a i ntegral dada es de la forma
5dx 5 dx
Como dx
Kdx K dx por l o que
x C , al sustituir tenemos:
1
5dx 5 dx 5( x C1 ) 5x 5C1 5x C
En este caso puede apreciarse que 5C1 = C dado que el producto de dos
constantes es otra constante.
Ejemplo 3
356
Encontremos la integral
(3x 5) dx
Solución:
(3x 5) dx
(3x)dx
5dx 3 xdx 5 dx
2
Matemáticas
Utilizamos xndx
xn 1
C para 3 xdx con lo que tenemos:
n 1
3 xdx 3
x2
2
C1
3 2
x 3C1
2
5 dx 5 ( x C2 ) 5x 5C2
Por otra parte (3x 5)dx
3
2
x2 5x (3C1 5C2 )
Como C1 y C2 son constantes arbitrarias, se pueden denotar por C, de
modo que:
3 2
(3x 5) dx
x 5x C
2
Ejemplo 4
Calculemos (5x4 8x3 9x2
2x 7) dx
Solución:
5x4dx
8x3dx
9x2dx
2xdx
7dx
Se aplica af ( x) dx a f ( x) dx
5 x4 dx 8 x3dx 9 x2 dx 2 xdx 7 dx
Empleamos xn dx
xn 1
+ C para cada término:
n 1
5 x4dx 5
x5
5
5 5
x
5
x5 C1
8 x3dx 8
x4
4
8 4
x
4
2x4 C2
9 x2dx 9
x3
3
9 3
x
3
3x3 C3
357
Unidad
9
2 xdx 2
x2
2
2 2
x
2
x2 C4
7 dx 7 x C5
Por lo tanto (5x4 8x3 9 x2
2x 7)dx
x5 2x4 3x3
x2
7x C
Ejemplo 5
x 1dx
Calculemos
Solución: se transforma la raíz en un exponente
x 1 dx
(x
Se aplica xn dx
1
2
1
1)
2
x dx 1 dx
xn 1
+C
n 1
3
(x
1
2
1) dx
2x
3
2
x C
Ejemplo 6
La función de costo marginal C de una compañía es C (x) = 3x2 + 8x + 4,
donde C(x) es el costo total de producción de x unidades.
a) Si el gasto general es de $6, determinemos la función de costo total
correspondiente.
b) Calculemos el costo total de producir 10 unidades.
358
Solución: a) Como C (x) = 3x2 + 8x + 4, entonces C( x)
Empleando xndx
xn 1
+ C tenemos:
n 1
(3x2 8x 4)dx
2
Matemáticas
3 x2 dx 3
8 xdx 8
x3
3
x2
2
3 3
x
3
8 2
x
2
x3 C1
4x2 C2
y utilizando kdx k dx , tenemos:
4 dx 4x C3
Por ello C(x) = x3+ 4x2+ 4x+ C4
C(0) = 6 de donde C4 = 6,
por lo que la función de costo total es:
C(x) = x3 + 4x2 + 4x + 6
b) Se quiere conocer el costo de producir x = 10 unidades y al sustituir en
la fórmula de costo total tenemos:
C(x) = x3 + 4x2 + 4x + 6
C(10) = (10)3 + 4(10)2 + 4(10) + 6 = 1 446
El costo que se tiene al producir 10 unidades es de $ 1 446.
Ejemplo 7
Una compañía determinó que la función de costo marginal para la producción
1 2
de cierta mercancía es C (x) = 125 10x
x , donde C(x) es el costo total de
9
producción de x unidades de mercancía. Si los gastos generales son de $250,
¿cuál es el costo de producción de 15 unidades?
Solución: dado que C '( x) 125 10x
C( x)
125 10x
1 2
x dx
9
125 dx 10 xdx
1 2
x,
9
125dx
1 2
x dx
9
359
10xdx
1 2
x dx
9
Unidad
9
empleando kdx k dx , tenemos:
125 dx 125x C1
10 xdx 10
1 2
x dx
9
xn 1
+ C tenemos:
n 1
xndx
al emplear
x2
2
10 2
x
2
1 x3
9 3
5x2 C2
1 3
x C3
27
Con ello C( x) 125x 5x2
1 3
x C4
27
comportamiento del nivel de producción, entonces C4 = 250 y la función
de costo total es:
C( x) 125x 5x2
1 3
x
27
250
Se quiere conocer el costo de producción de 15 unidades, por lo que:
C(15) (125)(15) (5)(15)2
1
(15)3
27
250
1
3 375
(3 375) 250 1 875 1125
250
27
27
1 875 1125 125 250
C(15) = 3 375
1 875 (5)(225)
Se incurrirá en un costo de $3 375 al producir 15 unidades.
360
Ejercicio 1
1. Calcula 3x4 dx
2. Obtén
(8x4
3. Determina
4x3 6x2
x ( x 1) dx
4x 5) dx
2
Matemáticas
4. Lafunción de costo marginal deunaempresaestádadapor C (x) =1.064 – 0.005x.
x unidades.
5. El costo marginal de una compañía es una función de las unidades
producidas (x) y está dado por C (x) = 2 + 60x – 5x2 determina:
b) El costo de producir una unidad.
6. Para un artícul o, l a f unci ón de i ngreso margi nal está dada por
I (x) = 15 – 4x. Si x unidades son demandadas cuando el precio por unidad es
de p dólares, determina la función de ingreso total.
Determina las siguientes integrales:
7.
1
dx
x4
5
8. 5 x 4 dx
9.
7
x5
10.
x
2
10x 5 dx
x3
2
3
1
x
x
5
4
dx
11. 6t 4dt
9.2. Integral definida
También puede definirse la integración como el proceso de encontrar
el valor límite de una suma de términos cuando el número de éstos crece
en este caso en el que se interpreta la integración como la determinación del
área bajo una curva.
El cálculo integral fue desarrollado con el propósito de evaluar áreas, que se
El símbolo integral proviene de la forma de una s alargada, que se empleó
originalmente para indicar tal suma.
uso de fórmulas. Por ejemplo, el área (A) de un rectángulo es igual al producto
361
Unidad
9
de su base (b) por su altura (h), o A = bh. Sin embargo, el área comprendida entre
curvas debe obtenerse con el cálculo integral, ya que no existe fórmula geométrica
f(x)
y = f(x)
f(xn)
(x3, f(x3))
f(x3) (x1, f(x1))
f(x2)
f(x1)
x2
x1
0
x1
x2
x3
x3
n
x4... xn
a
xn+1
x
b
Figura 9.1. Área bajo la curva.
Supongamos que se quiere conocer el área comprendida entre a y b. En la
n rectángulos donde:
xi = Base (ancho) del rectángulo.
xi = Punto en el eje de las x que denota la división de los rectángulos x1= a,
x2= a + x1, x3= x2+ x2, x4= x3+ x3 y así sucesivamente.
f(xi ) = Valor de la altura del rectángulo.
La suma de las áreas de los rectángulos es:
Suma = f(x1) x1+ f(x2) x2+...+ f(xn) xn
n
f ( xi ) xi
i 1
362
n
) y la base de
éstos se acerca a cero ( x 0), el área bajo la curva entre x = a y x = b es el límite
de la suma de los rectángulos, cuando existe el límite:
n
Área = lim
n
f xi
xi
i 1
a xi
b i 1,..., n
2
Matemáticas
y
c
y = f(x)
d
a
x
b
Figura 9.2. Área bajo una curva.
Sea f
a,b]. Si
n
Área lim
n
f ( xi ) xi
i 1
entonces, si el límite existe a medida que x
n
escribe:
b
a
0 y el número de intervalos
f de a a b y se
n
f ( x) dx lim
n
f ( xi ) xi
i 1
El número a indica el límite inferior de integración y el número b es el
límite superior de integración.
Al emplear el símbolo de la integral, el límite puede calcularse con:
A
b
a
f ( x) dx
De esta manera, si quiere hallarse la integral de f(x
Si A = F(x) + C
Para x = a, el área A = 0 y por tanto F(a) + C = 0
de donde C = –F(a)
Así, A = F(x) + C = F(x) + (–F(a)) = F(x) – F(a)
f ( x) dx
A
363
Unidad
9
Para encontrar el área abcd (figura 9.2) bajo la curva f(x), haci endo
x = b, tenemos A = F(b) – F(a).
De esta manera: Área =
b
a
f ( x) dx F ( x)
b
F (b) F (a)
a
Este resultado se conoce como teorema fundamental del cálculo integral.
La constante de integración C no está contenida en la solución para A. Así, la
b
a
f(x) de a a b.
f ( x) dx se llama la integral
Ejemplo 8
Evalúa la integral:
3
1
8dx
Solucion : el limite inferior es a
1, el limite supe
erior es
3 y la funcion dada es f (x) 8.
b
3
3
Al integrar la f uncion se tiene: 8dx 8x 1
1
8(3) 8(1)
24 8
16
Ejemplo 9
Evalúa la integral
3
2
364
5x2 dx
Solución: los límites son a = 2 y b = 3 con una función f(x) = 5x2, al
integrar la función se tiene:
3
2
2
5x dx
5x3
3
3
2
2
Matemáticas
5(3)3 5(1)3
3
3
5(27) 5
3
3
130
43.33
3
Ejemplo 10
Calcula el área de la región limitada por la curva y = x2, el eje x y las
rectas x = 1 y x = 3.
Solución:
Al integrar la función tenemos: A
3
1
x2dx
x3
3
3
1
(3)3 (1)3 27 1
3
3
3 3
26 2
u
3
u2 = unidades cuadradas, ya que estamos calculando áreas.
365
9
Unidad
Ejemplo 11
Calcula el área de la región limitada por la curva y
eje x.
x3
x2 6x , y el
Solución:
A1
A2
De la gráfica podemos observar que resultan dos áreas, es decir, las
intersecciones con el eje son (–3,0) y (2,0), como una limitante del área es el eje
x, entonces, el área quedará determinada por:
A= A1
A2
0
A=
3
( x3
x2 6x) dx
2
0
( x3
x2 6x)dx
se encuentra debajo del eje x, donde y, la
2
altura del rectángulo es negativo; por lo que el área resultante es el negativo
. Por ello, para el cálculo del área neta
2
consideramos un signo menos antes de la función de la segunda integral.
366
x4
4
A1 =
(0)
4
4
(0)
3
x3
3
3
x2
6
2
6(0)
2
2
0
3
( 3) 4
4
( 3)3
3
6
( 3)2
2
2
Matemáticas
81 27
4 3
(0)
54
2
243 108 324
12
189
12
189
12
x4
4
A2 =
( 2) 4
4
x3
3
2
6x2
2
(2) 3
3
0
6(2) 2
2
(0)4
4
(0)3
3
6(0)
2
16 8 24
4 3 2
48 32 144
12
64
12
64
12
A=
189 64
12 12
253 2
u
12
Ejemplo 12
Calcula el área de la región limitada por la curva y
las rectas x = 1 y x = 2.
x
2
, el eje x y
x
367
9
Unidad
Solución:
A
2
1
2
)dx
x
(x
2
x2
2
2 ln x
1
(2)
2
2
(1) 2
2
2 ln 2
[ 2 2 ln 2 ]
1
2
2 ln 1
2.88 u2
Ejercicio 2
Evalúa las siguientes integrales:
1.
2.
368
3.
4.
5
6dx
2
4
( x2
1
5) dx
3
1
12x3dx
2
1
(3x2
2x 5) dx
2
Matemáticas
Calcula el área de la región límitada por la curva, el eje x y las rectas
indicadas:
5. y
x2
6x
3
6. y 12x las rectas x
1y x 1
7. y
x2 10x 25 las rectas x = –3 y x = –2
8. y
4
las rectas x = 5 y x = 2
x
9. y
x2 5 las rectas x = 5 y x =3
10. y
x4 8x2 las rectas x = 0 y x = 2
deben describir algunas técnicas para efectuar la integración de funciones, como
se muestra en los puntos siguientes.
9.3. Integración por sustitución
El método de sustitución que se emplea con mayor frecuencia en la integración
de una función de la forma f ( x) dx requiere de tres pasos a seguir:
En el primer paso, si se tiene una función f(x), por ejemplo, f(x) = (x + 1)2 y
2
queremos encontrar ( x 1) dx, se debe sustituir el valor (x + 1) por una nueva
variable denominada u. Así:
u = (x + 1)
u2 = (x + 1)2
El segundo paso consiste en encontrar la diferencial de la nueva variable (du)
y posteriormente sustituirla. En este caso, tenemos:
du = d(x + 1) = (1)dx
369
Unidad
9
Como puede observarse, du = dx, y con ello
en g (u)du.
f ( x) dx ahora se convierte
Al quedar la nueva función en términos de u, se integra con respecto a
esa variable.
En el tercer paso se sustituye el valor de u en el resultado de la integral
g (u)du y se encontrará el valor de la integral f ( x) dx.
Con estos tres pasos se facilita la integración de una función que no es posible
integrar directamente con las fórmulas proporcionadas.
Ejemplo 13
2
3
Determinemos ( x 1) xdx
2
3
Solución: f ( x) ( x 1) x
Paso 1. Se sustituye la función (x2 + 1) por la variable u.
u = x2 + 1
Paso 2. Se calcula la diferencial du, se despeja xdx y se sustituye el resultado
en la integral.
Como u = x2 + 1
du d ( x2
1) (2x) dx
du = 2xdx, por lo que xdx
du
2
Sustituimos u y du e integramos
370
( x2 1)3 xdx
1
u3 du
2
1 u4
2 4
1 4
u C
8
1 3
u du
2
C
2
Matemáticas
u4
8
C
Paso 3. Volviendo a sustituir u = x2 + 1 en el resultado de la integral,
se tiene:
( x2 1)3 xdx
( x2 1)3 xdx
u4
8
C
( x2 1) 4
8
C
( x2 1) 4
8
C
Ejemplo 14
6x2
dx
( x3 5)
Determinemos la integral
Solución: se sustituye (x3 + 5) por u, por lo cual tenemos:
du d ( x3 5)
du (3x2 ) dx
De donde:
6x2dx = 2du
Sustituyendo u y du tenemos:
6 x2
dx
( x3 5)
2
du
u
1
du
u
=2 ln u + C
=2 ln x3+5 + C
2
371
Unidad
9
Ejemplo 15
El cambio en la producción P de una empresa cuando aumenta el consumo de
los artículos que produce está dada por la función P (x) = (x2 + 1)4x. Obtengamos
la función de la producción total para la empresa.
Solución:
P (x) = (x2 + 1)4x
para encontrar la función de producción debemos integrar ( x2 1) 4 xdx
u = (x2 + 1)
u4 =(x2 + 1)4
du d ( x2 1) ( 2x)dx
De donde:
du
2
Al sustituir u y du tenemos:
xdx
( x2 1) 4 xdx
u4
du
2
1 4
u du
2
1 u5
2 5
C
1 5
u C
10
1 2
( x 1)5 C
10
La función que se obtuvo representa la producción total de un artículo cuando
se consumen x unidades de un artículo.
372
Ejercicio 3
1. Calcula 6x2 ( x3 5) 2dx
2. Determina 2x( x2
5) 1dx
2
Matemáticas
3. Obtén 2x(3x2
5) dx
3x2 4 x3
dx
2x3 2x4
x5
5.
dx
( x6 1) 2
4.
6. ( x5 5x7
7.
5x)
10
( x4 7 x6 1)dx
1
dy
( 2 y 1)
8. x2 2x3
7dx
9.
la demanda de sus productos. Si la función V(x) = 30x2(5x3 – 2) muestra ese cambio,
calcula 30x2 (5x3 2) dx para obtener la función de las ventas totales.
10.
producción de una empresa dedicada a la fabricación de utensilios de cocina
es U(x) = 2x2(6x3 – 3), calcula 2x2 (6x3 3) dx para obtener la función de
utilidades totales.
11. Una compañía encuentra que su f unci ón de costo margi nal es
C (x) = 5x3(x4 – 3), determi na 5x3 ( x4 3) 2dx a f i n de encontrar l a
f unci ón de costo total .
9.4. Integración por partes
Cuando una expresión que incluye productos o logaritmos no puede evaluarse
directamente por medio de las fórmulas o por sustitución, una de las técnicas
más útiles para transformarla en una forma estándar es el método de integración
por partes, que se obtiene de la fórmula para la derivada del producto de dos
funciones. Si f y g son funciones diferenciables, entonces:
d[ f ( x) g ( x)] [ f ( x) g' ( x) g ( x) f '( x)] dx
f x g' x dx d[ f ( x) g( x)] g ( x) f ' ( x)dx
373
Unidad
9
Al integrar cada miembro de esta ecuación se obtiene:
f x g' x dx
d f x g x dx
f ( x) g ' ( x) dx
f ( x) g ( x)
g x f ' x dx
g( x) f ' ( x) dx
Donde:
u = f(x) y v = g(x)
Entonces:
du = f (x)dx y dv =g (x)dx
Con ello:
udv uv
vdu
Ésta es la fórmula de integración por partes. Su utilidad depende de la
elección apropiada de u y dv, de manera que las integrales udv y vdu
puedan evaluarse.
No hay una regla general para separar una expresión propuesta en dos
factores u y dv
debe observarse que:
1. dx siempre forma parte de dv.
2. dv tiene que ser fácilmente integrable.
3. Cuando la expresión que se va a integrar es el producto de dos funciones, suele
convenir la elección del elemento máscomplicado y que pueda integrarse, como parte
de dv
vdu lo más fácilmente posible.
Normalmente, al trabajar la integración por partes se emplean funciones
exponenciales y logarítmicas, siendo las siguientes fórmulas de integración
las empleadas:
374
1.
dx
x
2.
a x dx
3.
ex dx ex C
ln x
C
ax
C donde a > 0 y a 1
ln a
2
Matemáticas
Ejemplo 16
Determinemos la integral
xlnxdx
Solución: en primer lugar se determinan las sustituciones u, v, du y dv. Por
conveniencia, se elige como v al elemento que sea fácilmente integrable.
Sea:
xlnxdx
(lnx) xdx
Tomemos:
1
dx
x
du dlnx
u = ln x
dv = xdx
Para encontrar v es necesario integrar dv
v
dv
x2
2
xdx
C
x2
2
v
Sustituyendo en la fórmula udv uv
x lnx dx
x2lnx
2
vdu tenemos:
x
dx
2
x2lnx
2
x2
4
C
Ejemplo 17
Calculemos
xex dx
Solución: al efectuar las sustituciones:
u= x
375
du = dx
dv = ex dx
v
dv
ex dx
xex
ex dx ex
Con ello:
xex dx
xex
ex
C
ex ( x 1) C Ejemplo
Unidad
9
18
La función del crecimiento que hay en la producción de un artículo es f(x)
= ln x. La empresa desea conocer una función que exprese la producción total
a fin de poder determinar en cualquier momento el nivel total de producción
que puede ser requerido en el mercado. Para ello evaluemos lnxdx.
Solución: para facilitar el cálculo tomemos:
u = ln x
du
1
dx
x
dv = dx
v
dv
dx
x
Empleando la fórmula dada, la función que proporciona las bases para
determinar la producción total es:
1
lnxdx xlnx
x dx xlnx dx x ln x x C x(ln x 1) C
x
Ejemplo 19
Determina la integral
ex ( x 1) 2 dx
Tomemos
u = (x + 1)2
du = 2(x + 1)dx
dv = exdx
v = ex
Sustituyendo en la fórmula udv uv
ex ( x 1)2 dx ex ( x 1)2
376
vdu tenemos
2 ex ( x 1)dx
En este caso, para resolver la integral ex ( x 1)dx tenemos que aplicar
el método de nuevo haciendo
u = (x + 1)
dv = exdx de donde
du = dx
v = ex
por tanto
2
Matemáticas
ex ( x 1) 2 dx ex ( x 1)2
2 ex ( x 1)
ex dx
integrando tenemos
ex ( x 1) 2 dx ex ( x 1)2
2[ ex ( x 1) ex ] C
ex ( x 1) 2 2ex ( x 1) 2ex C
Ejercicio 4
Calcula las siguientes integrales:
1. x2ex dx
2. x2lnxdx
3. t lnt dt
4. ( x 1) ln xdx
5.
x ln xdx
6. x( x 6) 4 dx
7. xex 3dx
8. La función del crecimiento de la demanda de un artículo determinado
f(x) = (2x + 3)ln x. Una empresa desea conocer una función
que garantice que es posible obtener la demanda total del artículo en cuestión.
Para ello calcula 2x 3 lnxdx.
Ejercicios resueltos
1. Calculemos ( x5 5x4
377
4x3 3x2
2x) dx
Solución: la integral a obtener es de la forma:
( f ( x)) ( g'( x))dx
f ( x) dx
g( x) dx.
Unidad
9
Con ello:
( x5 5x4 4 x3 3x2
x5dx
2x) dx
x6
6
5
x6
6
x5
5x4dx
x5
5
4
x4
4x3dx
x4
4
x3
3
x2
3x2 dx
x3
3
2
x2
2
2xdx
C
C
2. Para un artículo particular, la función de ingreso marginal está dada
por I (x) = 12 – 3x. Si x unidades son demandadas, calculemos la función
de ingreso total.
Solución: I (x) = 12 – 3x
I '( x)dx
(12 3x)dx
12dx
12 dx 3 xdx 12x
12 3x dx 12x
3. Determinemos
3x2
2
3x2
2
C
C
20x2 ( 4x3 3) dx por el método de sustitución.
Solución: f(x) = 20x2(4x3 – 3)
u = (4x3 – 3)
378
3xdx
du
12x2
dx
du = 12x2 dx
dx
du
12x2
2
Matemáticas
Por sustitución:
20x2 ( 4x3 3) dx
5
5
u du
udu
3
3
5 u2
5 (4x3 3) 2
C
3 2
3
2
5( 4x3 3) 2
6
C
5
4.
2
Solución:
5
2
(4x3 3x2
C
( 4x3 3x2
5
2x) dx
2
4
4
x4
2x) dx
5
4x3dx
5
2
2
5
x3dx 3
x4
4
5
2
5
3
2
x3
5
2
54 24
5
3x2dx
2
2xdx
x2dx 2
x3
3
x2
2
5
2
2
x2
2
5
2
xdx
5
2
5
2
53 23
52 22
= (625 – 16) – (125 – 8) + (25 – 4)
= 609 – 117 + 21
= 513
5. Calculemos (ln x) x3dx empleando la integración por partes.
Solución:
(ln x) x3dx
u = ln x du
1
dx
x
dv = x3dx v
dv
x4
ln x
4
x4 1
dx
4 x
x3dx
x4ln x
4
379
x4
4
x3
dx
4
Unidad
9
x4ln x
4
1 3
x dx
4
x4 ln x x4
C
4
16
x4ln x
4
1 x4
4 4
x4
1
ln x
4
4
C
C
6. Calcula el área de la región limitada por la curva y
x = 2 y x = 4 y el eje x.
1
las rectas
x
Solución
A
4
2
1
dx
x
4
ln x
2
ln 4 ln 2
1.3862 0.6931
0.6930u2
380
Ejercicios propuestos
1. Calcula ( 4x3 3) dx
2. La función de costo marginal está determinada por C (x) = 6x, donde C(x)
es el número de cientos de dólares del costo total de producción de x unidades
de cierta mercancía. Determina:
2
Matemáticas
b) El costo de producir 200 unidades.
3. Calcula
5x4
dx por el método de sustitución.
x5 3
3
4.
(8x3 3x2 2) dx.
0
5. Calcula x4 ln xdx empleando la integración por partes.
6. Calcula el área de la región limitada por la curva y
eje x y la recta x = 2.
x3 3x2
4x el
Autoevaluación
1. El resultado de
2 3/ 2
x
3
2 52
b) x
5
2 32
c) x
3
2 52
d) x
5
a)
2. Al resolverse
x x
1
dx es:
x
2x C
1
2x
1
2x
2
C
2
C
2x C
2x(3x2 5) dx por el método de sustitución se tiene:
(3x2 5) 2
C
6
(3x 5) 2
b)
C
6
a)
c)
(3x2 5)
C
6
d)
(3x2 5) 2
3
C
381
Unidad
9
3. Una compañía dedicada a realizar estudios publicitarios para diferentes
empresas, quiere determinar la demanda total de un artículo después de que ha
transcurrido cierto tiempo de que se realizó una campaña de promoción. Si la
compañía encontró la función de demanda f(x) = 2x(3x2 + 5) y quiere calcular la
demanda que hay al transcurrir entre uno y cinco días de que inició la campaña,
5
1
resultado:
2x(3x2 5) dx, ésta tiene como
a)1 000
b)1 100
c)1 056
d)1 036
4. El resultado de x2 ln xdx es:
a)
x3 ln x
3
x3
3
C
b)
x3 ln x
3
x3
9
C
x3
9
c) x3 ln x
d)
x3 ln x
3
C
x3
2
C
5. Resuelve (5x4 8x3 9x2 2x 7) dx.
(5x2 7)
7. Determina
x
382
8. Evalúa
2
1
9. Calcula
10. Calcula
1
dx
x
x2 x
6. Calcula
4
3
dx
(5 2x) dx
x2
x3 1
dx
(lnx) 2 dx
11. Determina ln5xdx
2
Matemáticas
Respuestas a los ejercicios
Ejercicio 1
1.
3 5
x C
5
2.
8 5
x
5
3.
2 52
x
5
x4
2x3
2 32
x
3
2x2 5x C
C
4. C(x) = 1.064x – 0.0025x2 + 16.3
5. a) C( x) 2x 30x2
5 3
x 65
3
b) 95.3333
6. I(x) = 15x – 2x2 + C
7.
1
3x3
C
9
25x5
8.
9
9.
7
4x4
10.
3x 3
5
C
1
x2
5
11.
2
t3
2 x
5x2 5x C
4
x
C
1
4
C
383
Unidad
9
Ejercicio 2
1. –18
2. 36
3. 240
4. 9
5. A = 36u2
6. A= 6 u2
384
2
Matemáticas
7. A= 19/3u2
8. A= 3.66u2
9. A = 68/3u2
385
Unidad
9
10. A =
224 2
u
15
Ejercicio 3
1.
2( x3 5) 3
3
C
2. ln x2 + 5 + C
3.
386
(3x2 5) 2
6
C
1
4. ln 2x3 2x4 C
2
1
5.
C
6
6( x 1)
1
6.
5
45( x 5x7 5x)9
1
7. ln 2 y 1 C
2
8.
( 2x3
7)
9
3
2
C
C
2
Matemáticas
9. (5x3 – 2)2 + C
1
(6x3 3) 2 C
18
5 4
( x 3)3 C
11.
12
10.
Ejercicio 4
1. ex ( x2
2.
3.
4.
5.
6.
7.
2x 2) C
x3
1 3
x C
ln x
3
9
1 2
t2
t ln t
C
2
4
x2 ln x
x2
x ln x
x C
2
4
2 32
4 32
x ln x
x
C
3
9
x( x 6)5 ( x 6) 6
C
5
30
ex 3 ( x 1) C
8. ln x ( x2 3x)
x2
3x C
2
Respuestas a los ejercicios propuestos
1. x4 – 3x + C
2. a) C(x) = 3x2 + 8
b) El costo de producir 200 unidades es de $12 000 800
3. ln (x5 – 3) + C
387
Unidad
9
4. 303
5.
x5
x5
C
ln x
5
25
u2
6.
Respuestas a la autoevaluación
1. b)
2. a)
3. c)
4. b)
5. x5 –2x4 + 3x3 – x2 + 7x + C
388
6.
x3
3
7.
15 53
x
5
x C
21
x
1
3
C
2
Matemáticas
8. 12
9.
1
ln( x3 1) C
3
10. x(lnx)2 – 2x ln x + 2x + C
11. x ln 5x – x + C
389