2.6 Solución general de las ecuaciones diferenciales lineales

2.6 Solución general de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas
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2.6 Solución general de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas
¿Cómo es la solución general de las ecuaciones homogéneas?
Si y1 , y2 ,..., yn es un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial lineal
homogénea, entonces la solución de la ecuación en el intervalo es
y = c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x) + ... + cn yn ( x)
(1)
Donde las ci , i = 1, 2,..., n son constantes arbitrarias. [15]
Solución General de una Ecuación Diferencial Homogénea de Orden Dos
La ecuación homogénea como y ′′ + py ′ + qy = 0 , siempre tiene dos soluciones linealmente
independientes. Solo necesitamos elegir y1 y y2 .
Podemos determinar, que dadas soluciones linealmente independientes y1 y y2
ecuación homogénea
y ′′( x) + p( x) y ′( x) + q( x) y ( x) = 0
de la
(2)
Se pueden expresarse como una combinación lineal de y1 y y2 , de tal manera que
y = c1 y1 + c2 y2
(3)
La ecuación (3), es la solución general de la ecuación diferencial de segundo orden.
Como sugieren las ecuaciones, la determinación de las constantes c1 y c2 depende de un
determinante de orden 2 , de valores y1 , y2 y sus derivadas.
Ejemplo 2.6.1 Siendo y1 = e x , y2 = e− x , soluciones de la ecuación diferencial lineal
homogénea y´´− y = 0 en el intervalo (−∞, ∞) , por inspección las soluciones son
linealmente independientes en el eje x ., no podemos crear una función en base a la otra.
La figura 2.6.1 nos muestra las gráficas de las soluciones y1 = e x , y2 = e− x
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Amalia C. Aguirre Parres
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30
−x
20
f(x)
e
x
e
10
10
0
10
x
Figura 2.6.1 Gráficas de las soluciones y1 = e x , y2 = e− x
Si observamos el wronskiano, podemos corroborar que el determinante es diferente de 0
W (e x , e − x ) =
ex
e
x
e− x
−e
−x
= (e x )(−e − x ) − (e− x )(e x ) = −2
El cual es diferente de 0 , para toda x , concluyendo que y1 , y2 , forman un conjunto
fundamental de soluciones, y en consecuencia, y = c1e x + c2 e− x es la solución general de la
ecuación en el intervalo .
Ejemplo 2.6.2 Si las funciones y1 = e x , y2 = e 2 x , y3 = e3 x satisfacen la ecuación diferencial,
determinar la solución general de
y´´´−6 y´´+11 y´−6 y = 0
(4)
La gráfica de las funciones se muestra en la figura 2.6.2.2
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90
30
x
f(x)
e
20
2x
e
3x
10
e
5
0
5
x
Figura 2.6.2.2 Gráfica de y1 = e x , y2 = e 2 x , y3 = e3 x
Revisando el wronskiano de las funciones
ex
e2 x
e3 x
w(e x , e 2 x , e3 x ) = e x
ex
2e 2 x
4e 2 x
3e3 x
9e 3 x
Resolviendo el determinante
w(e x , e 2 x , e3 x ) = (e x 2e 2 x 9e3 x + e2 x 3e3 x e x + e x 4e2 x e3 x ) − (e x 2e 2 x e3 x + e x e2 x 9e3 x + 4e2 x 3e3 x e x )
Simplificando
w(e x , e 2 x , e3 x ) = 2e6 x
(5)
w(e x , e 2 x , e3 x ) ≠ 0 , por lo cual se concluye que son linealmente independientes, y forman
un conjunto fundamental de soluciones.
De tal manera que la solución de la ecuación diferencial sería
y = c1e x + c2 e 2 x + c2 e3 x
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(6)
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