2009 - Universidad de los Andes

Departamento de Matematicas
UNIANDES
Cálculo Diferencial
Parcial 2
Fecha:
Estudiante:
1
¬ Sea g(x) = −(x + 3)−1 . Entonces f 0 (7) = 100
. Verificarlo a partir de la derivada como
1
limite. (La derivada obviamente es (x+3)2 pero se pide obtenerla para llegar al resultado
f 0 (7))
­ Hallar
2x3 + 4x5 + 1
x→−∞ 1 − 2x3 + x2
lı́m
® Obtener y 0 = F 0 si F (x) = Sen2 ( e1x )
¯
(
2 − x3
si x < 1
f (x) = √
cx − 2 si x > 1
Hallar
a) c tal que la función sea continua en 1 y
b) hallar todo el conjunto de números donde es continua.
F
Departamento de Matematicas
UNIANDES
Cálculo Diferencial
Parcial 2
Fecha:
Estudiante:
¬ Sea g(x) = (10 − 3x)1/2 . Entonces f 0 (3) = −3
2 . Verificarlo a partir de la derivada como
limite.
−3
(La derivada obviamente es 2(√10−3x)
pero se pide obtenerla para llegar al resultado f 0 (3))
­ Hallar
2x2 + 5x − 12
x→−4
2x2 − 32
lı́m
® Obtener y 0 = F 0 si
F (x) =
1
Ln( x1 )
¯ Hallar
a)la recta tangente a la curva Y = Cos( x2 ) en el punto en el que x = π/2
b) Un punto donde dicha tangente es horizontal.
F
Departamento de Matemáticas
Cálculo Diferencial - Sección 37
2009-1
Parcial 2
Tiempo: 80 minutos
I. (25%) Diga si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa, justificando claramente la
respuesta. (Se asume que siempre f es continua).
(i) Si f 0 (c) = 0, entonces f tiene un máximo o un mı́nimo absoluto en c.
(ii) Si f es continua en el intervalo abierto (a, b), entonces f toma valores extremos absolutos en (a, b).
(iii) Si limx→∞ f (x) existe, entonces f no tiene un máximo absoluto.
(iv) Si f es siempre creciente y cóncava hacia abajo, entonces limx→∞ f (x) existe.
(v) Si f es siempre cóncava hacia arriba, entonces f (x) ≥ 0.
II. (25%) Encuentre los puntos (x0 , f (x0 )) y (x1 , f (x1 )) sobre la parábola f (x) = 4−x2 tales que las rectas
tangentes a la curva en ese punto se cortan en ( 23 , 2). Puede guiarse por el bosquejo de la figura 1,
pero debe seguir un procedimiento justificado matemáticamente para obtener la respuesta.
AYUDA: Las pendientes de las rectas que pasan por ( 32 , 2) se pueden calcular con:
m0 =
f (x0 ) − 2
x0 − 32
m1 =
f (x1 ) − 2
x1 − 23
(1)
De qué otra manera se pueden calcular las pendientes de estas rectas?
III. (25%) En el Parcial 1 se debı́a construir un bosquejo de la función g(x) = x2 − 4, como se muestra en
la figura 2. Ahora considere la función G(x) = |x2 − 4|.
(i) (5%) Haga un bosquejo de la función G(x) (puede superponerlo en la gráfica de la figura 2).
(ii) (5%) Calcule los números crı́ticos de G(x) en el intervalo [− 25 , 1], justificando matemáticamente
su respuesta.
(iii) (5%) Usando los resultados de (ii), calcule los números para los cuales G tiene valores extremos
(globales) en el intervalo [− 52 , 1].
(iv) (5%) Calcule matemáticamente los intervalos para los cuales G es creciente y decreciente.
(v) (5%) Calcule matemáticamente los intervalos para los cuales G es cóncava hacia arriba y cóncava
hacia abajo.
IV. (25%) El agua entra en un tanque hemisférico de 10 m de radio (R = 10)(la parte plana hacia arriba).
En un instante dado, sea h la altura medida desde el fondo, r el radio de la superficie libre de agua,
y V el volumen
√ de agua en el tanque. Calcular dV /dh cuando h = 5 m. Si el agua entra a razón
constante de 5 3 m3 por segundo, calcular dr/dt en el instante en que h = 5 m.
(AYUDA: El volumen de agua en el tanque cuando el nivel del agua es h está dado por
2
3
V = π(Rh
√ − h /3), donde R = 10. El radio r de la superficie libre de agua en el tanque está dado
por r = 2Rh − h2 )
1
Figure 1: Bosquejo para el problema II.
Figure 2: Bosquejo para la curva g(x) = x2 − 4.
2
Universidad de los Andes
Departamento de Matemáticas
Mate 1203-23 Cálculo diferencial
Parcial 2 — (04/03/2009)1
1. Halle el valor de cada uno de los siguientes lı́mites si existen.
√
sen(cos x)
x − x2
b) lı́m
√
a) lı́m
x→0
sec x
x→1
1− x
2. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f (x) = (x2 + 2x)(x + 1) en el
punto (1,6).
3. Halle los valores de a y b para que el lı́mite
3x2 + ax + b
=4
x→−2 x2 + x − 2
lı́m
Resuelva uno de los siguientes puntos
A. Encuentre un polinomio de segundo grado f (x) = ax2 + bx + c que pase por el punto
(1,0) y tal que la recta tangente a la gráfica de f (x) en el punto (2,7) tenga pendiente
10
B. Halle el valor de k para que la recta y = −4x + 7 sea tangente a la gráfica de la función
f (x) = k − x2
1
El juramento del uniandino dice: “Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que
pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas, o en cualquier otro acto que perjudique la
integridad de mis compañeros o de la misma Universidad”
Universidad de los Andes
Departamento de Matemáticas
Segundo Parcial de Cálculo Diferencial-1203(12)
16 de Septiembre de 20091
1. (1.0) Encuentre todas las ası́ntotas que existan de la siguiente función,
y bosqueje su gráfica (NO SE LE OLVIDE CALCULAR LÍMITE POR
IZQUIERDA Y DERECHA)
f (x) =
−x2 + 1
x−2
2. Calcule los siguientes lı́mites:
a) (0.6)
x2 − 9
x→−3 x2 + 2x − 3
lı́m
b) (0.6)
√
lı́m
x→−∞
9x6 − x
x3 + 1
c) (0.6)
lı́m
x→0
2x + sen(4x)
3x + tan(6x)
3. (1.2) Considere la función:


ax + 1,
f (x) = 2x2 ,


−bx2 + 5,
si x ≤ −1,
si −1 < x ≤ 1,
si x > 1
Encuentre los valores de a y b para que f (x) sea continua en todos los
reales
4. (1.0) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva dada por
f (x) =
x3 − 3x + 1
x2 + 2
En el punto (x, y) = (1, −1
3 )
Nota: Los valores entre paréntesis, corresponden a los valores de
cada punto
1 El juramento del uniandino dice: “Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir
en actos que pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas, o en cualquier
otro acto que perjudique la integridad de mis compañeros o de la misma Universidad”
Cálculo Diferencial
Parcial 2
Sección 10
1. 2.0
a) Calcule g 0 (3) donde f 0 (x) =
1
1+x
y g(x) = f ( x1 )
b) Halle y 0 donde y = x1/x . Deje expresada su respuesta sólo en términos
de x.
c) Halle f (2009) (x) donde f (x) = sin 2x
d ) Halle los máximos y mı́nimos globales de la función f (x) = x4 −2x2 +3
en el intervalo [−2, 3].
2. 1.0 Un avión, volando a una velocidad constante de 300km/h, pasa sobre
un radar terrestre a una altura de 1km y se eleva un ángulo de 30◦ . ¿A
qué razón está cambiando la distancia entre el avión y el radar un minuto
más tarde?
3. 1.0 Halle los lı́mites
a)
lı́m
x→∞
sinh x
ex
b)
lı́m (1 + x)1/x
x→0
4. 1.0 A las 2:00 pm el velocı́metro de un carro marca 30km/h. A las 2:10
pm marca 50km/h. Muestre que en algún punto entre las 2:00 pm y las
2:10 pm la aceleración es exactamente 120km/h.
1
Universidad de los Andes
Departamento de Matemáticas
Mate 1203 Cálculo Diferencial
Parcial 2 — (24/06/2009)1
1. Halle las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de la función f (x) =
son paralelas a la recta 2y + x = 6.
x+1
que
x−1
2. Encuentre el lı́mite o determine que no existe.
√
(x − 1)3 + 1
a) lı́m
x→0
x
x2 − 9
x→∞ 2x − 6
1
2
d ) lı́m x cos
x→0
x2
c) lı́m
x2 + 2x − 8
x→2
x4 − 16
b) lı́m
3. La tabla muestra los valores de f, g, f 0 , y g 0 . Halle los valores de f (g(1)) y de g(f (1))
x
1
2
3
f (x)
3
1
7
g(x)
2
8
2
f 0 (x)
4
5
7
g 0 (x)
6
7
9
4. Determine los valores de a y b para que la siguiente función sea continua y diferenciable
en R.
(
ax3
si x ≤ 2
f (x) =
2
x + b si x > 2
5. Halle los números a y b para los cuales
√
ax + b − 4
lı́m
=2
x→0
x
1
El juramento del uniandino dice: “Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que
pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas, o en cualquier otro acto que perjudique la
integridad de mis compañeros o de la misma Universidad”
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
SEGUNDO PARCIAL 1203-02
24-06-2009
1
a. Encuentre una fórmula para una función que tenga una asíntota vertical
en x 1 , x 3 y una asíntota horizontal en y 1 .
b. Evalúe los siguientes límites.
4x 3
i. lim
.
x
9x 2 1
e senx 1
ii. lim
.
x
x
1
x
a. Encuentre f (x) utilizando la definición de derivada.
b. Encuentre la ecuación de la recta tangente para x 1 .
3
dy
Encuentre
si.
dx
2. Para la función f ( x )
3.
a.
b.
y
y
2
e x tan x * sec ( x 2 senx) .
cos(tan(co s( x 2 1))) .
4. Encuentre los valores de la constante c de tal manera que haga continua a g
sobre el intervalo ( , ) .
g ( x)
Grafique a g(x).
x2
si
x
4
bx m si
x
4