Ecuación de la elipse

CASIO ACADEMICO CHILE
Ecuación de la elipse
Variación de sus elementos
Contexto
La elipse es el conjunto de los puntos del plano cuya suma de
distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Fue
investigada principalmente por Euclides (325 a.C – 265 a.C)
pero su nombre se le atribuye el matemático Apolonio (295 a.C
– 215 a.C) quien la estudió con mayor profundidad.
La elipse también es una de las secciones cónicas que se puede
obtener entre la intersección de un cono con un plano. En el
año 1602 fueron estudiados dos elementos importantes de la
elipse, estudiada ya como sección cónica: el foco y la
directriz.Pocos años después, Kepler, que creía que la órbita
del planeta Marte era ovalada, descubrió que ésta era una elipse
en donde uno de los focos es el Sol, como se muestra en la Figura 1.
Figura 1
La elipse, como elemento matemático, se representa por una ecuación cuyocentro está en el
origen, por
+
=1
Algunos de sus elementos más importantes son:





Eje menor: Es el segmento que une los puntos (0, ) y (0, − )y tiene longitud 2b
Eje mayor: Es el segmento que une los puntos ( , 0) y (− , 0)y tiene longitud 2a
Vértices: Son los puntos ( , 0), (− , 0), (0, ), ′(− , 0)
Focos: Son los puntos ( , 0) y ′(− , 0) y se determinan calculando c en =
−
Excentricidad: Es la razón entre su semi distancia focal “c” (distancia del centro a un foco)
con el semi eje mayor, descrita por =
Además se cumple, por el Teorema de Pitágoras la relación
Nota: Dado que
− = ( − )( + ) =
eje mayor, mencionados anteriormente.
> 0, implica que
=
−
> . Esto justifica los nombres eje menor y
Además, la ecuación con centro en (ℎ, ) de la elipse está dada por
( − ℎ)
+
( − )
=1
¿Qué elementos de la elipse cambiarán sus coordenadas o valores al cambiar el centro de la
elipse? ¿Cuáles se conservarán? ¿Qué característica de la elipse determina su excentricidad?
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Actividades de clase
1. Desde el menú principal de la calculadora, ingrese a CONICS y seleccione la ecuación de la
elipse de centro (ℎ, )
1.1 Ingrese los valores = 2, = 3, = 0, = 0 y presione F6 para graficar. Luego
utilice F3, F1 (INIT) y la tecla EXE y grafique nuevamente con F6.
1.2 Presione EXIT y grafique introduciendo los valores = 3,
puede concluir acerca de la gráfica de una elipse cuando
1.2.1
>
1.2.2
<
= 2,
= 0,
= 0 . Qué
1.3 En la gráfica de la elipse ingresada en 1.2, presione F5. Se mostrarán varias opciones
que corresponden a elementos de la gráfica de la elipse. Utilizando las teclas F1, F4,
F5, F6 yluego F1, determine respectivamente
Focos:
Vértices:
Centro:
Excentricidad (e):
1.4 Grafique la elipse utilizando los valores
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= 3,
= 2,
= 2,
= 1.
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1.4.1 Observando la gráfica, ¿qué otros elementos,además del centro de la elipse,
cambiaron sus coordenadas?
1.4.2 ¿Hay algún elemento que no haya cambiado su valor? ¿Cuál?
1.4.3 Determinelas coordenadas de los focos y vértices de la elipse. ¿En cuánto
variaron sus coordenadas respecto a la elipse de 1.2?
¿Qué representa la excentricidad de la elipse?
2. Utilizando la calculadora, ingrese las siguientes elipses con centro en el origen, determine
su excentricidad y realice un bosquejo gráfico en el espacio correspondiente para cada
una de ellas.
Elipse 1:
= 2,
= 2.05
Elipse 2:
= 2,
= 2.2
Elipse 3:
= 2,
= 2.5
Elipse 4:
= 2,
= 3.5
Elipse 1
Excentricidad:
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Elipse 2
Excentricidad:
3
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Elipse 3
Excentricidad:
Elipse 4
Excentricidad:
2.1 ¿Qué representa gráficamente la excentricidad de la elipse?
2.2 Grafique en la calculadora la elipse con los parámetros = 3, = 3, = 0,
¿Qué lugar geométrico representa? Justifique su respuesta algebraicamente.
= 0.
HINT: Utilice la excentricidad y la ecuación que determina los focos.
2.3 Determine qué lugar geométrico representa la “elipse” de excentricidad 1. Justifique
su respuesta algebraicamente.
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Cierre
1. Complete las coordenadas de los elementos de la elipse cuando cambia su centro del punto
(0,0) a (ℎ, )
Elementos
Focos
Vértices
Horizontales
Vértices
Verticales
Centro
+
=1
( − ℎ)
+
( − )
=1
( , 0)
′(− , 0)
( , 0)
′(− , 0)
(0, )
′(0, − )
(0,0)
(ℎ, )
Excentricidad
2. Realice un análisis descriptivo de los elementos de la elipse de ecuación
( − 0.3)
( − 1.2)
+
=1
2.3
0.9
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