Cuadernillo de Ejercicios de Estadística Teórica II

 Cuaderno de Ejercicios de Estadística Teórica Curso 2010/11 Departamento de Economía Aplicada GRADO ADE Cuaderno de Ejercicios de Estadística Teórica
UDI de Estadística, Departamento de Economía Aplicada.
Estadística Teórica
Tema 1
Introducción a la Probabilidad
1.- En una sala multicine funcionan simultáneamente dos salas de proyección A y B.
Representamos por SA el suceso de que en una determinada sesión la sala A se
llene antes de empezar la proyección y por SB el suceso de que en la misma sesión
se llene la sala B antes del comienzo. Sabemos que P(SA)=0,7; P(SB)=0,5 y
P(SA∩SB)=0,45
Calcular:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Probabilidad de que al menos una sala se llene.
Probabilidad de que la sala A se llene y la B no se llene
Probabilidad de que una sala se llene y la otra no
Probabilidad de que ninguna de las dos se llene
Probabilidad de que al menos una de las dos no se llene
Probabilidad de que se llene B, supuesto que ya se ha llenado A
¿Son incompatibles SA y SB? Razona la respuesta
¿Son independientes SA y SB? Razone su respuesta
2.- Una empresa que se dedica a organizar conciertos representa a tres grupos
musicales (A, B, C) que tienen la misma probabilidad de actuar. Los conciertos
pueden celebrarse en tres áreas geográficas: zona norte, zona centro y zona sur,
también equiprobables. Suponiendo que los grupos musicales y la zona de actuación
son independientes. ¿Qué probabilidad existe de poder ver actuar al grupo A en la
zona centro?
3.- Pepa y Pepe celebran su boda con sus familiares y amigos. A su boda acuden
invitados que se dividen en: familia de la novia (50 invitados), del novio (60
invitados) y amigos (70 invitados). A la hora de elegir el menú, los invitados tienen
que elegir entre carne y pescado, pero nunca los dos a la vez. Una vez estudiadas
las peticiones resulta que 20 familiares de la novia eligieron carne, así como 30 del
novio y 25 de los amigos.
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a) Si se escoge un invitado al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya elegido
carne y que sea familia de la novia?
b) Una vez acabada la cena, se le pregunta a un invitado qué cenó. Éste
responde que pescado, ¿cuál es la probabilidad de que fuera un amigo?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que un familiar haya comido carne?. Una vez
respondido esto, ¿qué es más probable: que los familiares hayan elegido
carne o que hayan elegido pescado?
4.- Suponga que existen solo tres compañías que ofrecen motores de búsqueda en
de internet: Yaahoo, Aloo, Googlee, que se reparten el mercado en 60, 30 y 10 %
respectivamente. Por la experiencia pasada se conoce que de las personas que
buscaron en Yaahoo, un 25% no encontraron lo que buscaban, de las que buscaron
en Aloo un 10% y de los que buscaron en Googlee un 17%. Sabiendo que se ha
encontrado la información que se buscaba, ¿cuales son las probabilidades de haber
usado cada uno de los tres buscadores?
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Tema 2
Estadística Teórica
Variables Aleatorias
1.- Una empresa de transportes está analizando el número de veces que falla la
máquina expendedora de billetes. Dicha variable tiene como función de cuantía:
P ( X = xi ) = 0,7 ⋅ 0,3 xi
xi=0,1,2,…..
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un día la máquina no falle?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un día falle menos de 4 veces?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que falle 5 veces?
2.- La demanda semanal de cierta materia prima por parte de una empresa es de
tipo aleatorio y tiene como función de densidad:
⎧k ( x − 1) 2
f ( x) = ⎨
⎩0
1≤ x ≤ 3
resto
a) Determine k para que f(x) sea función de densidad
b) La función de distribución
c) ¿Qué stock debe disponer al principio de semana para garantizar que se
atiende la demanda semanal con una probabilidad del 0,95?
d) Calcule la demanda media semanal
3.- La demanda diaria de un determinado artículo (x) es una variable aleatoria con
función de densidad:
⎧1
⎪8
⎪
⎪12 − x
f ( x) = ⎨
⎪ 64
⎪0
⎪
⎩
0<x≤4
4 < x ≤ 12
otro caso
Los beneficios diarios dependen de la demanda según la siguiente función:
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⎧− 5
⎪ 5
⎪
Bº = ⎨
⎪10
⎪⎩15
si x < 2
si 2 < x ≤ 4
si 4 < x ≤ 8
si 8 < x ≤ 12
Calcular:
a)
b)
c)
d)
e)
Probabilidad de que en un día cualquiera la demanda sea superior a 10
Probabilidad de que la demanda sea inferior a 3
La esperanza y la varianza de la demanda
Función de distribución de la demanda
Función de cuantía y función de distribución de la variable aleatoria
beneficios diarios.
f) Esperanza y varianza de la variable beneficios
4.- Un rentista desea invertir 100 millones de euros. Para ello dispone de dos
alternativas:
9 Colocar el dinero en la Bolsa, lo que le garantiza una ganancia anual fija del
10%
9 Un plan de inversión cuya ganancia anual puede considerarse como una
variable aleatoria cuyos valores dependen de las condiciones económicas.
Por información de años anteriores un intermediario financiero ha determinado los
posibles valores de ganancias y sus probabilidades para la segunda alternativa
siendo éstas:
Rentabilidad (%) 30 25 20 15 10 5 Probabilidad 0,2 0,2 0,3 0,15 0,1 0,05 5 Cuaderno de Ejercicios de Estadística Teórica
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¿Cuál cree usted que es mejor alternativa de inversión?
5.- En un grupo de estudiantes de Economía se ha realizado un pequeño análisis de
la relación existente entre el número de días semanales dedicados al estudio (X) y
el número de convocatorias que se necesitaron para aprobar la asignatura (Y). Los
resultados aparecen recogidos en la siguiente tabla de contingencia:
Y
1
2
3
1
5
8
10
2
10
6
4
3
20
2
1
X
A partir de esta información:
a)
b)
c)
d)
Obtener las distribuciones marginales de X e Y.
Obtener la distribución de X condicionada a que Y tome el valor 3.
Obtener la distribución de Y condiconada a que X sea mayor o igual que 2.
Analizar si X e Y son independientes.
6.- La función de densidad de una variable aleatoria continua es:
⎧k x 2
f ( x) = ⎨
⎩0
0 ≤ x ≤ 3⎫
⎬
d .c. ⎭
Se pide:
a) Calcular la esperanza y la varianza de la variable aleatoria.
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Tema 3
Estadística Teórica
Modelos de Probabilidad: variables discretas y continuas
1.- Un vendedor (A) de enciclopedias sabe, por su experiencia, que la probabilidad
de que le compre un cliente al que visita es de un 15%. Otro vendedor (B), consigue
que le compren uno de cada diez clientes que visita (se supone que las ventas son
independientes).
a) Si un día cualquiera, el vendedor A visita a 5 clientes, y el vendedor B visita
a 7. ¿Cuál es la probabilidad de que el vendedor A venda, al menos, una
enciclopedia?
b) Cuál es la probabilidad de que en el día descrito en el apartado a, el número
de enciclopedias vendidas entre los dos vendedores sea una.
2.- El porcentaje de pastillas defectuosas de cierto medicamento detectado por
una máquina de control de calidad es del 1%. Se pide:
a) Si las pastillas se colocan en tubos de 20 ¿cuál es la probabilidad de que un
tubo contenga al menos dos pastillas defectuosas?
b) Si los tubos son empaquetados en cajas de 25 unidades ¿Cuál es la
probabilidad de que una caja contenga 20 tubos sin pastillas defectuosas?
3.- En una centralita se recibe un promedio de 5 llamadas entre las 9 y las 10
horas en días laborables, recibiéndolas al azar. Encuentre la probabilidad:
a) De que se reciba una o más llamadas entre las 9 y las 10 en un día
determinado.
b) De que se reciban exactamente dos llamadas.
c) De que durante una semana de 5 días haya exactamente dos días en que no
se reciban llamadas durante ese tiempo.
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4.- Si Z es una variable aleatoria que se distribuye como una N (0;1), calcular:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
P
P
P
P
P
P
P
(Z>1,45)
(0,68<Z<1,94)
(Z>-1,53)
(0<Z<2)
(-3,2<Z<-0,30)
(-1,96<Z<0,98)
(-0,48<Z<0,48)
5.- Si X es una variable aleatoria que se distribuye como una Normal con media 10
y desviación típica 3, calcular:
a)
b)
c)
d)
P (X>12)
P (8<X<11)
P (7<X<13)
P (X>9)
6.- Si Z se distribuye como una N (0;1), obtenga el valor de “a”, a partir de la
probabilidad dada:
a)
b)
c)
d)
P
P
P
P
(Z<a) = 0,1515
(Z>a ) = 0,2358
(Z<a) = 0,90
(Z<a ) = 0,78
7.- Sabiendo que X se distribuye como una N (25;10), obtenga el valor de “ a” a
partir de las probabilidades dadas:
a) P (X>a) = 0,27
b) P (X<a) = 0,99
8.- Las calificaciones de la asignatura Estadística Teórica (entre 0 y 10) se
distribuyen para un grupo como una normal de media 5,5 y desviación típica 3. Si
el/la profesor/a decidiese aprobar un 50% de personas,
a) ¿A partir de qué nota debería considerar como aprobado?
b) ¿Y si sólo decidiese aprobar un 20%?
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9.- Para seleccionar entre 2000 aspirantes que solicitan una determinada beca de
estudio en la Universidad se sugieren los siguientes criterios alternativos:
a)
b)
c)
d)
Que su calificación en la prueba de lengua sea al menos 7
Que en las dos asignaturas de lengua e inglés sea al menos 7
Que por lo menos en una de esas dos asignaturas sea un 7 o más
Que la media de las calificaciones de lengua, matemáticas e inglés sea al
menos un siete
Sabiendo que la calificación de los alumnos en lengua se distribuyen N(5,5; 2), las
de inglés N(6; 1) y las de matemáticas N(3,5; 2,5) y suponiendo que sean
independientes se pide:
1) Ordenar los criterios de más a menos restrictivos, de acuerdo con las
probabilidades
2) Si como máximo solo pueden concederse 500 becas ¿cuáles de estos
criterios pueden tenerse en cuenta?
10.- En una facultad, durante el curso 2009-2010 hay matriculados 3.208
alumnos. Según la información de que dispone Secretaría se sabe que:
ƒ
ƒ
ƒ
El número de alumnos que nuevos que se matricula cada año es una variable
aleatoria que se distribuye según una normal con esperanza 600 y
desviación típica 30.
El número de alumnos que abandonan la facultad sin graduarse cada año es
una variable aleatoria, independiente de la anterior, que se distribuye según
una normal con esperanza 150 y desviación típica 30.
El número de alumnos que se gradua cada año es una variable aleatoria
independiente a las anteriores que se distribuye como una normal con
esperanza 450 y desviación típica 50.
Se pide:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en el curso 2010-2011 el número de alumnos
sea superior a 3.000?
b) ¿Qué número de alumnos, en el curso 2010-2011, no se superará con una
probabilidad del 99%?
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11.- Sea X una variable aleatoria distribuida como una χ2 con 18 grados de
libertad. Calcular:
a)
b)
c)
d)
e)
P (X>7,015)
P (X<13,67)
P (9,39<X<28,86)
P (X>a) = 0,5
P (X<a) = 0,05
12- Si T es una variable aleatoria que se distribuye como una t-Student con 22
grados de libertad, calcular:
a) P (T>0,2564)
b) P (0,6858<T<2,07)
c) P (T<a) = 0,99
13.- La probabilidad de que una vacuna produzca reacciones alérgicas es 0,001. Se
considera aceptable para su uso una vacuna cuando es experimentada en una
muestra de 3000 ratones y no produce reacción alérgica en ninguno de ellos.
Calcular:
a) Probabilidad de que una variante sea aceptable.
b) Si se elaboran 400 unidades de esa vacuna, calcular la probabilidad de que
por lo menos 25 sean aceptables.
14.- Una empresa dedicada a la fabricación de vestidos de señora los fabrica con
longitudes comprendidas entre 110 y 170 cm y con tallas que se diferencian entre
sí en 10 cm y una talla extra de 200 cm. La empresa sabe que las alturas de las
mujeres potenciales clientes medidas desde el hombro hasta los pies se
distribuyen normalmente con media 135 y con desviación típica 15 y que la clienta
cuya altura no coincide exactamente con una de las tallas se comprará la
inmediatamente mayor. Si la empresa proyecta fabricar para la próxima temporada
50.000 vestidos ¿cuántas debería razonablemente hacer de cada una de las siete
tallas previstas?
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Estadística Teórica
Tema 4
Introducción a la Inferencia Estadística
1. La empresa Grano Sol vende galletas ecológicas en paquetes de 60 unidades.
Los dueños saben que el peso de cada galleta es una variable aleatoria que
tienen una media de 71 gr. y una dispersión, medida a través de la desviación
típica, de 10 gr.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un paquete de 60 galletas escogidas
aleatoriamente, el peso medio de las galletas sea superior a 70 gramos?
b) ¿Cuál sería el resultado si la varianza poblacional fuera desconocida?
(Suponga que la desviación típica muestral es de 5 kg, y una
cuasidesviación típica de 5,04).
2. Se sabe por los datos censales que la variabilidad de la altura de alumnos de
una clase medida a través de la varianza es de 15,3. No obstante, para
estudiar la variabilidad en el muestreo de la varianza muestral se decide
tomar una m.a.s. de 15 alumnos. ¿Cuál es la probabilidad de que la varianza
muestral sea mayor que 15?
Nota: Suponga que la estatura es una variable aleatoria normalmente
distribuida.
3. Se desea analizar las diferencias de calificaciones entre dos grupos de
alumnos. Unos proceden del grupo 22 y otros del grupo 23. Para estudiar la
distribución en el muestreo de la diferencia de medias se toman m.a.s.
independientes de ambas poblaciones obteniéndose la siguiente tabla:
Grupo 22 Grupo 23
Tamaño de la población
Tamaño de la muestra
Media de la población
Media de la muestra
Desviación típica de la población
Desviación típica de la muestra
Cuasidesviación Tipica de muestra
11 200
100
4,10
4,2153
1,55
1,5635
1,5713
150
75
5,18
5,3247
1,95
1,8238
1,8360
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¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia de medias muestrales sea
mayor que uno?
4. Un concesionario vende dos tipos de vehículos, unos de gama alta y otros de
gama media. Las ventas de coches de gama alta suponen el 30% del total de
coches vendidos. ¿Cuál es la probabilidad de que entre los últimos vehículos
vendidos, se elijan 100 al azar y resulte que más del 35% sean de gama alta?
5. Según los resultados de un estudio exhaustivo de la población un 80% de las
mujeres entrevistadas afirman utilizar algún producto cosmético todos los
días, mientras que en el caso de los hombres este porcentaje en la
actualidad asciende 55%. Una pequeña firma de cosmética se plantea sacar
al mercado una crema hidratante de uso específico para hombres, pero
antes de crear esa nueva línea de negocio, decide realizar su propia
encuesta sobre una pequeña muestra aleatoria: selecciona a 50 mujeres y a
60 hombres y les pregunta sobre sus hábitos cosméticos. Calcule la
probabilidad de que la diferencia entre la proporción de mujeres que utiliza
cosméticos respecto a la proporción de hombres que los utiliza sea inferior
al 20%.
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Estadística Teórica
Tema 5
Métodos de Estimacón. Propiedades de los estimadores
puntuales
1. La variable aleatoria “renta de las familias” del municipio de Madrid se
distribuye siguiendo un modelo N (µ,σ). Se extraen muestras aleatorias
simples de tamaño 4. Como estimadores del parámetro µ, se proponen los
siguientes:
μ1* =
Se
a)
b)
c)
x1 + 2 x2 + 3x3
6
μ 2* =
x1 − 4 x2
−3
μ3* = x
pide:
Comprobar si los estimadores son insesgados
¿Cuál es el más eficiente?
Si tuviera que escoger entre uno de ellos, ¿cuál escogería? Razone su
respuesta a partir del Error Cuadrático Medio.
2. Sea una población con media µ y varianza 1, de la que se extraen M.A.S. de
tamaño 4. Considere los siguientes estimadores de la media:
μ1* = x
μ1* =
1 n
∑ xi
n + 1 i =1
a) Estudie la insesgadez y la consistencia de ambos estimadores.
b) Elija uno de los dos en términos del error cuadrático medio.
3. Un atleta olímpico de salto de altura se enfrenta a un listón de 2,3 metros.
Su entrenador desea estudiar el comportamiento del saltador. Sabe que el
número de saltos fallidos por hora es una variable aleatoria distribuida
coma una Poisson de parámetro λ .
a) Calcule el estimador máximo verosímil del parámetro λ .
b) Analice sus propiedades.
4. En una distribución N (μ, σ) se estima la media poblacional μ mediante la
media de una muestra aleatoria simple de tamaño n. ¿Calcule el Error
Cuadrático Medio del estimador media muestral?
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5. En vísperas de un referéndum el gobierno desea estimar el porcentaje de
participación. Para ello selecciona una muestra aleatoria simple de 3.000
ciudadanos, a los que pregunta si tienen intención de votar.
a) Obtener el estimador máximo-verosímil para estimar el porcentaje de
participación.
b) Analiza las propiedades del estimador.
b) De los 3.000 encuestados hay 1.917 que aseguran que votarán, y 1.083
que afirman no tener intención de hacerlo. ¿Qué porcentaje de participación
estimará verosímilmente el gobierno?
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Estadística Teórica
Tema 6
Estimación por intervalos
1. El peso (en gramos) de las cajas de cereales de una determinada marca
sigue una distribución N (μ; 5). Se han tomado los pesos de 16 cajas
seleccionadas aleatoriamente, y éstos han sido:
506, 508, 499, 503, 504, 510, 497, 512, 514, 505, 493, 496, 506, 502, 509
y 496.
a) Obtenga los intervalos de confianza del 90%, 95% y 99% para la media
poblacional.
b) Determine cuál sería el tamaño muestral necesario para conseguir, con
un 95% de confianza, un intervalo de longitud igual a 2 gramos.
c) Suponiendo ahora que la desviación típica poblacional es desconocida,
calcule los intervalos de confianza para la media al 90%, 95% y 99%.
2. La afluencia de visitantes al parque natural de Monfragüe durante un mes,
medida a través de una muestra aleatoria durante 10 días elegidos
aleatoriamente, ha resultado ser la siguiente:
682, 553, 555, 666, 657, 649, 522, 568, 700, 552
Suponiendo que los niveles de afluencia siguen una distribución normal
a) Calcula la media muestral y la varianza muestral.
b) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional al 95% de
confianza. (Nota: para facilitar los cálculos el resultado correcto de la
desviación típica muestral es de 62,68 y la cuasidesviación típica
muestral es de 66,07)
c) Calcule e interprete el significado de un intervalo de confianza al 95%
para la varianza poblacional. ¿qué podría decir si los adjudicatarios del
parque afirman que la dispersión de la afluencia de personas es de 15
personas?
15 Cuaderno de Ejercicios de Estadística Teórica
UDI de Estadística, Departamento de Economía Aplicada.
3. El gasto diario en llamadas telefónicas de dos departamentos X e Y de una
misma empresa sigue una distribución normal, con un gasto medio
desconocido en ambos departamentos. Sin embargo, se conocen las
desviaciones típicas, que son 100 y 110 euros, respectivamente. La dirección
ha observado que una M.A.S de 20 días, el gasto medio diario en llamadas
realizadas por el departamento X ha sido de 1.100 euros, y de 1.400 en el
departamento Y. Obtenga un intervalo de confianza al 90% para la
diferencia de gastos medios entre ambos departamentos.
4. Se selecciona una muestra aleatoria de 600 familias, a las que se pregunta
si tienen o no ordenador en casa. Contestaron afirmativamente 240
familias. Obtenga un intervalo de confianza al nivel del 95% para la
proporción real de familias que poseen ordenador en casa.
5. Según los dirigentes del partido A, la intención de voto del partido rival B,
en Andalucía, es la misma que la que tiene en Madrid. Se realiza una
encuesta a 100 personas en Andalucía de los que 25 mostraron su apoyo al
partido B, y a otras 100 personas en Madrid de las que 30 se declaran
simpatizantes del partido B.
a) Construya un intervalo de confianza al 90% para la proporción de
personas que votarían al partido B en Andalucía.
b) ¿A cuántas personas habría que encuestar para tener un margen de error
del ±2%, al nivel de confianza anterior?
c) Construya un intervalo de confianza del 90% para la diferencia de
proporciones en la intención de voto del partido B en las dos
comunidades. ¿Se puede afirmar que los dirigentes del partido A tienen
razón?
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Estadística Teórica II: Inferencia Estadística
Tema 7
Contraste paramétrico de hipótesis estadísticas
1. Un directivo de uno de los grandes operadores de Internet está
considerando la posibilidad de ofrecer tarifa plana a sus clientes. Según sus
conocimientos sobre el tema, sabe que está trabajando con una variable
aleatoria que se distribuye como una normal. Mantiene la hipótesis de que
los hogares que tienen Internet se conectan una media de 5 horas
semanales, y sabe por otros estudios que la dispersión de 7,24 horas. No
obstante, existen otros estudios que sostienen que el tiempo de conexión es
más alto. Para evaluar, a un 10% de significación, dicha hipótesis, el
directivo decide encuestar aleatoriamente a 300 hogares, obteniendo una
media de 5,34 horas de conexión.
a) Indique las hipótesis.
b) Realice el contraste de hipótesis y analice la decisión que tomará.
2. El número de averías de un determinado tipo de coche se considera una
variable aleatoria con distribución de Poisson de media 20 averías al mes. El
equipo de mantenimiento intenta reducir esta media incorporando algunas
mejoras. Para comprobar si con estas medidas se reduce el número medio
de averías, se decide observar aleatoriamente el número de averías en los
25 meses siguientes a la introducción de las mejoras. Si el número medio de
averías en esos 25 meses fue de 18,5 ¿Qué decisión debe adoptar el
servicio técnico a un nivel de significación del 1%? Y si el servicio técnico
relaja su nivel de exigencia al 15% de nivel de significación ¿Cambiaría su
decisión? ¿Si tuviera recursos aumentaría el tamaño muestral para mejorar
la aproximación a una normal por el Teorema Central del Limite? Calcule el
p-valor y analice qué decisión tomaría según dicho valor.
3. Un laboratorio farmacéutico quiere lanzar un nuevo medicamento para la
hipertensión, llamado HIPOTENSIL. El director de dicho laboratorio cree
que la eficacia del medicamento sería de un 95%, medida ésta como la
proporción de pacientes a los que se les suministra y experimentan una
mejoría. Sin embargo, el inspector de sanidad del Ministerio no es tan
optimista y opina que la eficacia es sólo del 85%. Para analizar la eficacia
del medicamento antes de su comercialización, se selecciona una muestra
aleatoria de 500 pacientes, a los que se les administra HIPOTENSIL, de los
17 Cuaderno de Ejercicios de Estadística Teórica
UDI de Estadística, Departamento de Economía Aplicada.
cuales mejoran 467. ¿Tiene razón el director del laboratorio? Suponga un
nivel de significación del 5%. Calcule el p-valor e interprételo.
4. Un fabricante de pastas alimenticias asegura en su campaña publicitaria que
el peso medio de los paquetes es de 250 gramos. Otro fabricante de la
competencia pretende denunciarlo por engaño publicitario, ya que cree que
es menor. Para contrastarlo selecciona una muestra aleatoria simple de 20
paquetes al azar siendo los pesos (en gramos) resultantes, 240, 225, 240,
220, 240, 250, 200, 215, 230, 140, 200, 216, 240, 250, 225, 240, 245, 220,
240, 240. Formula las hipótesis nula y alternativa y realiza un contaste a un
nivel de significación del 5%? Suponga que el peso sigue una distribución
normal.
5. Las especificaciones de un tipo de báscula aseguran que los errores de los
pesajes siguen una distribución N (0, σ ) . Se quiere contrastar la afirmación
de que la dispersión de los errores de pesaje es igual a un kilo, frente a que
es el doble. Para ello se realizan 5 pesajes en las que el error cometido
resultó ser:
1; 0,9; − 0,2; 1,4; − 0,7
Para un nivel de significación del 5 % se pide que enuncie una regla de
decisión (obtenga la región crítica) e indique si rechaza la hipótesis nula a la
vista de muestra.
6. El análisis laboral que la U.E ha realizado para toda Europa, señala que en
España, el salario mensual medio de los varones, en algunos sectores
económicos, supera en más de 100 euros el salario medio de las mujeres que
desempeñan las mismas tareas.
El Ministerio de Trabajo español decide considerar el salario mensual medio
como una variable aleatoria normalmente distribuida con desviación típica
de 39,6 euros para los trabajadores masculinos y de 36 euros para las
trabajadoras de dichos sectores. Para tratar de verificar lo publicado, se
toman dos muestras aleatorias simples independientes de 500 trabajadores
y 700 trabajadoras, obteniéndose unos salarios medios mensuales de 1.500
y 1.370 euros respectivamente. Realice el contraste indicando cuál es el
estadístico de contraste, el valor experimental y el p-valor.
18 Cuaderno de Ejercicios de Estadística Teórica
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7. En un informe presentado por un reportero a una revista feminista se
afirma que el número medio de horas semanales de conexión a Internet es
el mismo para hombres que para mujeres. Sin embargo no parece prudente
publicar estos datos sin contrastarlos estadísticamente. Se selecciona para
ello una muestra de 75 hombres y 50 mujeres. Los resultados muestrales se
recogen en la siguiente tabla:
Hombres Mujeres
Tamaño muestral
Número medio de horas/semana
Desviación típica muestral
Cuasidesviación típica muestral
75
7,42
9,08
9,14
50
5,34
7,24
7,31
a) Formule el contraste a realizar y señalar los supuestos que se deben
realizar para resolver el ejercicio.
b) Determine la región crítica del contraste.
c) Calcule el estadístico del contraste.
d) ¿Existe evidencia para rechazar la hipótesis nula a un nivel de significación
del 5%?
8. Se sabe que un medicamento es efectivo en un 72% de los casos en los que
se utiliza para tratar una determinada infección. Se ha desarrollado un
nuevo medicamento y se ha comprobado que ha sido efectivo en 42 de los
50 casos tratados. ¿Estos datos proporcionan suficiente evidencia para
demostrar que el nuevo medicamento tiene una efectividad distinta a la del
antiguo? Utilice un 5% de nivel de significación.
9. Se desea comparar las horas que trabajan los voluntarios de Trinidad
Jimenez (X) y de Tomás Gómez (Y) en la preparación de las primarias antes
de las próximas Elecciones Autonómicas en Madrid. Para ello se ha tomado
muestra aleatoria de 51 voluntarios de Trinidad Jiménez que responden a la
pregunta ¿cuántas horas semanales dedicas a apoyar la campaña de Trini?
Tras analizar los datos de la muestra, se obtiene una media de 3,3 horas y
una desviación típica de 1,74 horas, y otra muestra aleatoria de tamaño 51
en las oficinas de Tomás Gómez. Tras analizar los datos se obtiene una
media muestral de 4,5 horas con una dispersión de 2,4 horas. Se desea
contrastar a un 5% de significación la hipótesis de que el número medio de
horas dedicadas por los voluntarios de ambos candidatos son iguales, frente
a que son distintas. Para facilitarle el trabajo se han calculado:
19 Cuaderno de Ejercicios de Estadística Teórica
UDI de Estadística, Departamento de Economía Aplicada.
El intervalo de confianza al 95% para (μx-μy) que vale (-2,031;-0,37).
El valor experimental que toma el estadístico de contraste para esas
muestras:
(( x − y ) ) ⋅
n.m
n+m
ns x2 + ms y2
= −2,86
n+m−2
Y el p-valor = 0,005
a) ¿Qué decisión tomaría al 5% de significación?
b) ¿Cómo interpreta el p-valor?
c) ¿Qué supuestos previos cree que debe hacer explícitos en este
contraste de diferencia de medias?
d) Interprete el intervalo de confianza y relaciónelo con el contraste de
hipótesis realizado. Razone sus respuestas
20 Cuaderno de Ejercicios de Estadística Teórica
UDI de Estadística, Departamento de Economía Aplicada.
Estadística Teórica
Tema 8
Introducción a los contrastes de hipótesis no paramétricos
1. Para una muestra aleatoria simple de 350 días, el número de urgencias
tratadas diariamente en un hospital queda reflejado en la siguiente tabla:
N° de urgencias 0-5; 5-10; 10-15; 15-20; 20-25; 25-30 Total diarias
Número de días: 20;
65;
100;
95;
60;
10;
350
Contraste, con un nivel de significación del 5%, si la distribución del número
de urgencias tratadas diariamente en el hospital se ajusta a una
distribución normal.
2. Para conocer la opinión de los ciudadanos sobre la actuación del alcalde de
una determinada ciudad, se realiza una encuesta a 199 vecinos del Distrito
A y a 205 del distrito B, cuyos resultados se recogen en la siguiente tabla:
Desacuerdo De acuerdo No Contestan
Distrito A
Distrito B
84
118
78
62
37
25
Contraste con un nivel de significación del 5 % que ambos distritos son
homogéneos respecto a sus opiniones.
3. Novecientos cincuenta escolares se clasificaron de acuerdo a sus hábitos
alimenticios y a su coeficiente intelectual:
Coeficiente Intelectual
Nutrición adecuada
Nutrición inadecuada
Total
< 80
245
31
276
80-90
228
27
255
90-99
177
13
190
>=100
219
10
229
Total
869
81
950
Al nivel de significación del 10%, ¿cree que hay evidencia de relación entre
las variables nutrición y coeficiente intelectual? 21