Practica 10 - Facultad de Ingeniería

Práctica 10
2014
Ecuaciones Diferenciales
Práctica No 10
1. Indique el orden de cada una de las ecuaciones diferenciales siguientes.
dy
= 5y + 3
dx
(b) y 00 = 2y 0 + 4
(a)
(c) 5y 0 =
3x
2
(d) (1 + x)
dy
=y
dx
(e) y (y 0 )3 = 2y 0 + 3xy
x
(f) 2y 0 + (y 00 )2
2y
5=x
2. Veri…que que las funciones dadas son soluciones generales de la ecuación diferencial correspondiente (c; c1 ; c2 son constantes reales).
(a) y 0 = y sin (x); y (x) = ce
(b) y 00
y0
cos x
.
6y = 0; y (x) = c1 e
2x
+ c2 e3x .
(c) y 0 = 3x2 y; y (x) = c exp (x3 ).
1
(d) y 00 + y = tan (x); y (x) = cos (x) ln
2
1 sin x
sin x + 1
+ c1 cos x
c2 sin x.
3. Utilice el ejercicio anterior para resolver los siguientes problemas de condiciones iniciales:
(a) y 0 = y sin (x), y ( 1) = .
(b) y 00
y0
6y = 0, y (2) = 0, y 0 (2) = 1.
(c) y 0 = 3x2 y, y (0) = 0.
(d) y 00 + y = tan (x); y ( ) = 1, y 0 ( ) = 0.
4. La …gura dada del campo de pendientes corresponde a una de las ecuaciones diferenciales
siguientes. Identi…que la ecuación diferencial que corresponde a su …gura y trace cada una de
las curvas solución que pasen por los puntos indicados.
(a) y 0 = 1
(b) y 0 =
y
x+y
x y
(c) y 0 = y 2
1
i)
Análisis Matemático I-b
1
x
0
(e) y = e
1
(f) y 0 =
y
(d) y 0 =
x2
ii)
(g) y 0 = 2y
x
(h) y 0 = x2
1
(i) y 0 = 1
x
iii)
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Práctica 10
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iv)
v)
vi)
5. Represente el campo de pendientes de las siguientes ecuaciones diferenciales.
(a)
dy
= 12 x
dx
(b)
1
dy
= x2
dx
1
(c)
dy
x
=
dx
y
6. (a) Veri…que que funciones de la forma y = A sin x + B cos x (con A; B 2 R) son soluciones
de la ecuación diferencial: y 00 + y = 0:
(b) Veri…que que el problema de condiciones iniciales y 00 + y = 0, y (x0 ) = y0 , y 0 (x0 ) = v0
siempre tiene solución.
7. Demuestre que y = xe
x2
satisface la ecuación: xy 0 = (1
2x2 ) y.
8. Sabiendo que y = Cekx es una solución de la ecuación diferencial y 0 = 0:07y. ¿Es posible
determinar C o k ? En caso a…rmativo, halle su valor.
9. Halle la ecuación para y, dada la derivada y el punto que se indica sobre la curva.
10. Veri…que que la función y =
Z
x
e
t2
dt es solución de y 00 (x)+2xy 0 (x) = 0; y (0) = 0; y 0 (0) = 1.
0
Z
x
sin t
dt + C; donde C es un número real cualquiera,
t
0
veri…can la ecuación x2 y 00 (x) + xy 0 (x) = x cos (x). Encuentre el valor de C para que y (1) = 3:
11. Pruebe que las funciones y (x) =
Análisis Matemático I-b
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12. Indique si las siguientes ecuaciones diferenciales son lineales de primer orden. En caso
a…rmativo, encuentre p (x) y q (x) para cada una de ellas si se las escribe de la forma
y 0 + p (x) y = q (x).
(a)
dy
dx
(b) y 0
(c)
dy
dx
= ex
dy
=y
(d) x dx
x2 y
3ex y = 0
(e)
(f)
+ 5y = 2
dy
dx
dy
dx
=1
y + x2
+ y sin x + x3 = 0
13. Resuelva la ecuación diferencial lineal de primer orden.
(a)
dy 1
+ y = 3x + 4
dx x
(b)
dy
3
+ ( 3x2 ) y = ex
dx
(c) y 0
y = cos x
dy
(d) (x + y) x
=0
dx
(e) y 0 = y + 2x (y ex )
14. Indique si la ecuación diferencial es de variable separable o bien no.
(a) y 0 = (3x + 1) cos y
(c) y 0 = (3x + y) cos y
(b) y 0 = x2 y
(d) y 0 = x2 y + y cos x
x cos y
15. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales separables.
(a) y 0
dy
+ 3xy 0 = 2x5
dx
x
xy
(h) y 0 + p
+p
=0
1 + x2
1 + x2
(x2 + 1) y = 0
(g) x
(b) y 0 = 2x2 y 2
3
(c) y 0 =
y (1 + x2 )
dy
(d)
+ 3x = e 2x
dx
y2 y
(e) y 0 =
sin x
y
(f) e sin x y 0 cos2 x = 0
(i) y 0
(j)
(1 + x) (1 + y 2 ) = 0
dy
= e3x+2y
dx
dy
(k)
=
dx
2y + 3
4x + 5
2
16. Resuelva los siguientes problemas de valores iniciales:
8
4x
< 0
y 0 = 3 (x + 1)2 y
y =
(d)
(a)
cos y
y (0) = 1
: y (0) = 0
8
< 0 x2 + 7x + 3
0
y xy = x
y =
(b)
(e)
y2
y (0) = 3
:
y (0) = 3
8
< 0 9x2 sin x
y =
y 0 (x + 3) = 4y
(c)
cos y + 5ey
(f)
:
y (0) =
y ( 2) = 1
Análisis Matemático I-b
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17. (a) Demuestre que el problema de condiciones iniciales yy 0 = x; y (0) = 0 no tiene solución
única.
(b) Demuestre que el problema de condiciones iniciales yy 0 =
(Hint: si y (x) es solución , pensar en y 2 (x)).
x; y (0) = 0 no tiene solución.
18. Considerar la ecuación y 0 + py = q; donde p y q son constantes. Si y (x) es una solución,
llamemos u (x) = q py (x).
(a) ¿Qué relación hay entre u y su derivada?
(b) Use el punto anterior para resolver y 0 + 2y = 4; y (0) =
1.
19. Considere la ecuación diferencial y 0 = f (ax + by + c) ; donde f es una función de una variable
y a; b; y c constantes reales. Si y (x) es una solución de esta ecuación, llamemos u(x) =
ax + by(x) + c.
(a) Encuentre una ecuación de variables separables que satisfaga u (x).
1
(b) Use el punto anterior para resolver y 0 =
.
x+y
20. Una ecuación diferencial se llama homogénea si se puede escribir como y 0 = f (y=x) (para
x 6= 0), donde f es una función de una variable. Si y (x) es una solución de esta ecuación,
y (x)
llamemos u(x) =
.
x
(a) Encuentre una ecuación de variables separables que satisfaga u (x).
x y
(b) Use el punto anterior para resolver y 0 =
.
x+y
Problemas de poblaciones
A comienzos del siglo XIX el religioso y economista inglés Thomas R. Malthus utilizó la función
P (t) = P0 ekt ; k > 0 como modelo matemático para pronosticar la población mundial. Para
unos valores especí…cos de P0 y k, los valores funcionales P (t) eran, en realidad, aproximaciones
razonables a la población mundial durante el siglo XVIII. Como P (t) es una función creciente,
Malthus predijo que el futuro crecimiento de la población sobrepasaría la capacidad mundial para
producir alimentos. En consecuencia, Malthus predijo también las guerras y hasta las hambrunas
mundiales. Lo que no pudo preveer es que el abastecimiento de alimentos igualaría el ritmo de
crecimiento de la población, gracias al avance simultáneo de la ciencia y la tecnología.
En 1840 el matemático y biólogo belga, P.F.Verhulst, perfeccionó el modelo matemático, tornándolo más realista para predecir las poblaciones en pequeños países. Dicho modelo también ha
demostrado ser bastante certero para describir poblaciones de protozoos, bacterias, insectos de
frutas, insectos acuáticos y animales que viven en espacios limitados.
Las poblaciones pronosticadas por él, presentarán un crecimiento limitado, es decir, no crecerán más allá de cierta cantidad. Este crecimiento inhibido podría ser causado por depredadores,
superpoblación, competencia por el alimento, polución, plani…cación familiar, etc.
En general, en el modelo matemático de crecimiento poblacional se supone que: el crecimiento
de una población es en todo momento proporcional a la cantidad de individuos existentes.
Análisis Matemático I-b
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Por lo cual si la variable t representa el tiempo, y N el número de individuos, con N (t) describimos la cantidad de individuos en un instante t y la ecuación diferencial que describe esta situación
es:
dN
= kN
dt
21. Un cultivo de bacterias Streptococus A; recién inoculadas, contiene 100 células. Al chequear
el cultivo 60 minutos después, se determina que hay 450 células. Determine el número de
células presentes en cualquier instante t, suponiendo que el crecimiento es proporcional a la
cantidad existente.
22. El número de bacterias de cierto cultivo crece en forma proporcional a la cantidad presente en
cada momento a razón de 1% por hora. Suponiendo que inicialmente están presentes 10:000
bacterias, encuentre :
(a) La ecuación diferencial correspondiente, y el número de bacterias presentes en cualquier
instante t.
(b) El número de bacterias presentes después de 5 horas.
(c) El tiempo requerido para que el número de bacterias llegue a 45:000.
23. Cien moscas se colocan en un criadero que puede contener una población máxima de 5:000
moscas. Si la población crece exponencialmente a razón de 2% diario, ¿cuánto tiempo se
necesitará para que el criadero llegue a su máxima capacidad?.
24. Un magnate posee un fortuna que crece a ritmo proporcional al cuadrado de su valor en cada
momento. Si tenía 10 millones de dólares hace un año y hoy tiene 20 millones, ¿Cuál será su
fortuna dentro de seis meses? ¿Y dentro de un año?
Problemas de desintegración radioactiva
En 1960 el cientí…co estadounidense W.F.Libby ganó el Premio Nobel por el descubrimiento del
fechamiento con Carbono 14, un método para determinar la edad de ciertos fósiles.
El fechamiento con carbono se basa en el hecho de que el Nitrógeno es convertido en carbono
14 radiactivo por la radiación cósmica en la atmósfera superior.
El tejido animal y vegetal absorbe este carbono radiactivo al efectuarse los procesos vitales
(de alimentación y respiración), mientras la planta o el animal vive. Sin embargo, cuando la
planta o el animal muere, el proceso de absorción se detiene y la cantidad de carbono 14 decae por
desintegración radioactiva a una razón proporcional a la cantidad presente.
En general, en el modelo matemático para el proceso de desintegración de cualquier elemento
radiactivo, se supone que: la rapidez de decrecimiento de una sustancia radiactiva en cualquier
instante es proporcional a la cantidad de la sustancia presente. Por lo cual si la variable t representa
el tiempo, S es la cantidad de sustancia radioactiva, con S(t) describimos la cantidad de sustancia
radioactiva en un instante t entonces la ecuación diferencial que describe esta situación es:
dS
= kS
dt
Análisis Matemático I-b
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25. La vida media del Carbono 14 está estimada en de 5730 años, es decir, una cantidad dada de
esta sustancia tarda 5730 años en reducirse a la mitad de su cantidad original.
(a) ¿Cuál será la ecuación diferencial que describe adecuadamente esta situación?
(b) Teniendo en cuenta el problema planteado al principio, si se dejan 10g (gramos) durante
1000 años, cuánto quedará al cabo de ese tiempo?
(c) ¿Cuánto tiempo deberá transcurrir para que esos 10g se reduzcan en un 40%?
26. Supóngase que las pruebas de un fósil indican que el 70% de su carbono 14 se ha desintegrado.
Estime la edad del fósil suponiendo que la vida media del carbono 14 es de 5730 años.
27. La vida media de la mor…na en el torrente sanguíneo humano es de tres horas. Si inicialmente
hay 0:4mg de mor…na en el torrente sanguíneo:
(a) Halle una ecuación para la cantidad de mor…na presente en cualquier tiempo.
(b) ¿Cuándo llegará la cantidad por debajo de 0:01mg?
(c) ¿En qué porcentaje descenderá la cantidad de mor…na presente en el torrente sanguíneo
en un día?
Problemas geométricos
Muchos problemas geométricos pueden ser descriptos a través de ecuaciones diferenciales, tal como
los siguientes:
28. Se desea encontrar una curva en el plano x y que pase por el punto (0; 3) y cuya tangente
2x
en un punto (x; y) tenga pendiente 2 . ¿Cuál será la expresión matemática adecuada que
y
describe el problema?
29. Encuentre una curva en el plano (x; y) que pase por el punto (1; 1) y cuya normal en el punto
(x; y) tenga pendiente 6yx2 .
Problemas de temperatura
La ley de Newton del enfriamiento dice que en un cuerpo en el que se reduce su temperatura,
rapidez con que varía la misma es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y
temperatura constante del medio que la rodea.
Si la variable t representa el tiempo, T la temperatura del cuerpo, con T (t) describimos
temperatura del cuerpo en un instante t, con la temperatura constante del medio y con k
constante de proporcionalidad, entonces la ecuación diferencial que describe esta ley es:
dT
= k (T
dt
la
la
la
la
)
30. Al sacar un pastel del horno, su temperatura es de 150 . Tres minutos después su temperatura
es de 90 . Determine la temperatura del pastel para cualquier instante posterior a su salida
del horno, si la temperatura del ambiente es de 25 .
Análisis Matemático I-b
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31. Un líquido con una temperatura inicial de 200 está rodeado de una masa de aire con una
temperatura constante de 80 . Si el líquido se enfría hasta 120 en 30 minutos, ¿Cuál será su
temperatura después de una hora?
32. Un cuerpo se calienta a 110o y se coloca en aire a 10o : Tras una hora su temperatura es de
60o . ¿Cuánto tiempo tarda todavía en alcanzar los 30o ?
33. Por razones obvias, la sala de disección de una forense se mantiene fría a una temperatura
constante de 5o . Mientras se encontraba realizando la autopsia de la víctima de un asesinato,
el propio forense es asesinado, y el cuerpo de la víctima robado. A las 10 AM el ayudante
del forense descubre su cadáver a una temperatura de 23o . A medio día su temperatura es de
18; 5o . Supuesto que el forense tenía en vida la temperatura normal de 37o , ¿a qué hora fue
asesinado?
Problemas de mezclas
Algunos problemas relativos a situaciones en las cuales se mezclan soluciones que tienen distinta
concentración de una sustancia disuelta, pueden ser descriptos a través de ecuaciones diferenciales,
tal como lo muestra el siguiente ejemplo:
En un instante t = 0 un tanque contiene 25g de sal disuelta en 50 litros (L) de agua. Después
se deja entrar al tanque agua salada que contiene 4g de sal por litro, a razón de 2 L=min (litros
por minuto), y la solución mezclada se drena del tanque a la misma razón. Si llamamos y (t) a la
cantidad de sal en un instante arbitrario t, la cantidad de sal que hay en el tanque está dada por la
ecuación diferencial:
y
dy
=8
,
dt
25
ya que
(razón de cambio de y) = (razón de entrada) (razón de salida).
Razón de entrada = (4g=L)(2L=min) = 8 g=min
Razón de salida = (y(t)g=50L)(2L=min) = y(t)g=25min:
34. En un instante t = 0 un tanque contiene 25g de sal disuelta en 50 litros de agua. Después se
deja entrar al tanque agua salada que contiene 4g de sal por litro, a razón de 2 L=min, y la
solución mezclada se drena del tanque a una velocidad de 3 L=min ¿Cuál es la cantidad de
sal que hay en el tanque después de 10 minutos?
35. Un tanque con una capacidad de 2000 litros tiene inicialmente 1000 litros de agua salada con
20kg. de sal. En un instante t = 0 se agrega agua pura a razón de 10 litros por minuto y
la solución mezclada se drena a razón de 5 litros por minuto, ¿cuánta sal hay en el tanque
cuando se llega al punto de derrame?
36. Se está celebrando una …esta en una habitación que contiene 1800 piés cúbicos de aire libre
de monóxido de carbono. En el instante t = 0 varias personas comienzan a fumar. El humo,
que contiene el 6% de monóxido de carbono se introduce en la habitación a razón de 0; 15
piés cúbicos por minutos, y la mezcla removida por ventilación sale a ese mismo ritmo por
una ventana entre abierta. ¿Cuándo deberá abandonar una persona esa …esta, si el nivel de
monóxido de carbono comienza a ser peligroso a partir de una concentración de 0; 00018?
Análisis Matemático I-b
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