CAPÍTULO 13 13.1. Los parámetros de una cierta línea de

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CAPÍTULO 13
13.1. Los parámetros de una cierta línea de transmisión operando en 6 × 108 rad/s son L = 0.4 µH/m, C =
40 pF/m, G = 80 mS/m, y R = 20 /m.
a) Encuentre γ , α, β, λ, y Z 0 : Usamos
√
γ = ZY = (R + j ωL)(G + j ωC)
= [20 + j (6 × 108 )(0.4 × 10−6 )][80 × 10−3 + j (6 × 108 )(40 × 10−12 )]
= 2.8 + j 3.5 m−1 = α + jβ
Por consiguiente, α = 2.8 Np/m, β = 3.5 rad/m, y λ = 2π/β = 1.8 m. Finalmente,
Z0 =
Z
=
Y
R + j ωL
=
G + j ωC
20 + j 2.4 × 102
= 44 + j 30 80 × 10−3 + j 2.4 × 10−2
b) Si una onda de voltaje viaja 20 m bajo la línea, ¿qué porcentaje de la amplitud original permanece,
y por cuántos grados está cambiada su fase? Primero,
V20
= e−αL = e−(2.8)(20) = 4.8 × 10−25 o 4.8 × 10−23 por ciento!
V0
Entonces el cambio de la fase se da por βL, que en grados se vuelve
360
360
φ = βL
= (3.5)(20)
= 4.0 × 103 grados
2π
2π
13.2. Una línea de transmisión sin pérdidas con Z 0 = 60 empieza a operarse en 60 MHz. La velocidad en la línea es
3 × 108 m/s. Si la línea se pone en cortocircuito en z = 0, encuentre Z en en:
a) z = −1m: Usamos la expresión para la impedancia de entrada (Ec. 12), bajo las condiciones Z 2 = 60
y Z 3 = 0:
Z3 cos(βl) + j Z2 sen(βl)
Zen = Z2
= j 60 tan(βl)
Z2 cos(βl) + j Z3 sen(βl)
donde l = −z, y donde la constante de la fase es β = 2πc/f = 2π(3 × 108 )/(6 × 107 ) =
(2/5)π rad/m. Ahora, con z = −1 (l = 1), encontramos Z en = j 60 tan(2π/5) = j 184.6 .
b) z = −2 m: Z en = j 60 tan(4π/5) = −j 43.6 c) z = −2.5 m: Z en = j 60 tan(5π/5) = 0
d) z = −1.25 m: Z en = j 60 tan(π/2) = j ∞ (circuito abierto)
13.3. La impedancia característica
de cierta línea de transmisión sin pérdidas es
√
a) C: Use Z 0 = L/C, o
C=
72 . If L = 0.5 µH/m, encuentre:
L
5 × 10−7
=
= 9.6 × 10−11 F/m = 96 pF/m
2
2
(72)
Z0
213
13.3b) vp :
1
1
vp = √
= 1.44 × 108 m/s
=
−7
−11
LC
(5 × 10 )(9.6 × 10 )
c) β si f = 80 MHz:
√
2π × 80 × 106
β = ω LC =
= 3.5 rad/m
1.44 × 108
d) La línea se termina con una carga de 60 . Encuentre y s:
=
60 − 72
= −0.09
60 + 72
s=
1 + .09
1 + ||
=
= 1.2
1 − ||
1 − .09
13.4. Una línea de transmisión sin pérdidas que tiene Z 0 = 120 está operando en ω = 5 × 108 rad/s. Si la velocidad
en la línea es 2.4 √
× 108 m/s, encuentre
√
a) L: Con Z 0 = L/C y v = 1/ LC, encontramos L = Z 0 /v = 120/2.4 × 108 = 0.50 µH/m.
√
√
b) C: Use Z 0 v = L/C/ LC ⇒ C = 1/(Z 0 v) = [120(2.4 × 108 )]−1 = 35 pF/m .
c) Permita que Z L se represente por una inductancia de 0.6 µH en serie con una resistencia 100- . Encuentre y
s: La impedancia inductiva es j ωL = j (5 × 108 )(0.6 × 10−6 ) = j 300. Así la impedancia de carga
es Z L = 100 + j 300 . Ahora
=
ZL − Z0
100 + j 300 − 120
=
= 0.62 + j 0.52 = 0.808 40◦
ZL + Z 0
100 + j 300 + 120
Entonces
s=
1 + ||
1 + 0.808
=
= 9.4
1 − ||
1 − 0.808
13.5. Dos características de cierta línea de transmisión sin pérdidas son Z 0 = 50 y γ = 0 + j 0.2π m−1 en
f = 60 MHz.
√
√
a) Encuentre L y C para la línea: Tenemos β = 0.2π = ω LC y Z 0 = 50 = L/C. Así
1
β
0.2π
β
= × 1010 = 33.3 pF/m
= ωC ⇒ C =
=
6
Z0
ωZ0
(2π × 60 × 10 )(50)
3
Entonces L = CZ 2 0 = (33.3 × 10−12 )(50)2 = 8.33 × 10−8 H/m = 83.3 nH/m .
b) Una carga, Z L = 60 + j 80 se localiza en z = 0. ¿Cuál es la distancia más corta de la carga en
al punto en que Z en = Ren + j 0? Yo haré esto usando dos métodos diferentes:
La manera difícil: Usamos la expresión general
ZL + j Z0 tan(βl)
Zin = Z0
Z0 + j ZL tan(βl)
Podemos normalizar las impedancias entonces con respecto a Z 0 y escribir
zL + j tan(βl)
Zen
(ZL /Z0 ) + j tan(βl)
zen =
=
=
Z0
1 + j (ZL /Z0 ) tan(βl)
1 + j zL tan(βl)
donde zL = (60 + j 80)/50 = 1.2 + j 1.6.
214
13.5b. (continuación) Usando este, y definiendo x = tan(βl), encontramos
zen =
1.2 + j (1.6 + x)
(1 − 1.6x) + j 1.2x
(1 − 1.6x) − j 1.2x
(1 − 1.6x) − j 1.2x
El segundo término entre paréntesis es un factor de uno, compuesto de la conjugación compleja del denominador
del primer término, dividido enre sí mismo. Llevando a cabo este producto, encontramos
zen
1.2(1 − 1.6x) + 1.2x(1.6 + x) − j [(1.2)2 x − (1.6 + x)(1 − 1.6x)]
=
(1 − 1.6x)2 + (1.2)2 x 2
Requerimos la parte imaginaria para ser cero. Así
(1.2)2 x − (1.6 + x)(1 − 1.6x) = 0 ⇒ 1.6x 2 + 3x − 1.6 = 0
Así
x = tan(βl) =
−3 ±
9 + 4(1.6)2
= (.433, −2.31)
2(1.6)
Tomamos la raíz positiva, y encontramos
βl = tan−1 (.433) = 0.409 ⇒ l =
0.409
= 0.65 m = 65 cm
0.2π
La manera fácil: Encontramos
=
60 + j 80 − 50
= 0.405 + j 0.432 = 0.59 0.818
60 + j 80 + 50
Así φ = 0.818 rad, y usamos el hecho que la impedancia de entrada será completamente real en donde el
voltaje es mínimo o máximo. El primer máximo voltaje ocurrirá a una distancia delante
de la carga dada por
0.818
φ
zmáx =
=
= 0.65 m
2β
2(0.2π)
13.6. La propagación constante de una línea de transmisión de pérdida es1 + j 2 m−1 , y su impedancia característica
es 20 + j 0 en ω = 1 Mrad/s. Encuentre L, C, R, y G para la línea: Empiece con
Z0 =
R + j ωL
= 20 ⇒ R + j ωL = 400(G + j ωC)
G + j ωL
(1)
Entonces
γ 2 = (R + j ωL)(G + j ωC) = (1 + j 2)2 ⇒ 400(G + j ωC)2 = (1 + j 2)2
(2)
donde (1) se ha usado. La Ec. 2 ahora se vuelve G + j ωC = (1 + j 2)/20. Igualando en forma real e imaginaria
las partes llevan a G = .05 S/m y C = 1/(10ω) = 10−7 = 0.1 µF/m.
215
13.6. (continuación) Ahora, (1) se vuelve
20 =
R + j ωL √
R + j ωL
⇒ 20 + j 40 = R + j ωL
20 ⇒ 20 =
1 + j2
1 + j2
Nuevamente, igualando en forma real e imaginaria las partes llevan a R = 20 /m y L = 40/ω = 40 µH/m .
13.7. Las dimensiones del conductor exterior de un cable coaxial son b y c, c > b. Suponga σ = σc y sea
µ = µ0 . Encuentre la energía magnética almacenada por longitud unitaria en la región b < r < c
para una corriente total uniformemente distribuida I que fluye en las direcciones opuestas en los conductores
interno y externo: Primero, del conductor interno, el campo magnético será
H1 =
I
aφ
2πρ
La contribución del conductor externo al campo magnético dentro de ese conductor se encuentra de
la ley circuital de Ampere para ser:
I ρ 2 − b2
H2 = −
aφ
2πρ c2 − b2
El campo magnético total dentro del conductor externo será la suma de los dos campos, o
I
HT = H1 + H2 =
2πρ
La densidad de energía es
1
µ0 I 2
wm = µ0 HT2 =
2
8π 2
c2 − ρ 2
c2 − b2
c2 − ρ 2
c2 − b2
aφ
2
J/m3
La energía almacenada por longitud unitaria en el conductor externo es ahora
2
c 4
c2 − ρ 2
c
µ0 I 2
2
3
ρ dρ dφ dz =
− 2c ρ + ρ dρ
Wm =
c2 − b2
4π(c2 − b2 )2 b ρ
0
0
b
c b2 − (3/4)c2 µ0 I 2
c4
=
ln
+
J
4π (c2 − b2 )2
b
(c2 − b2 )
1 2π
c
µ0 I 2
8π 2
13.8. Los conductores de una línea de transmisión coaxial son de cobre (σ c = 5.8 × 10−7 S/m) y el dieléctrico es
polietileno ( R = 2.26, σ/ω = 0.0002). Si el radio interno del conductor externo es 4 mm, encuentre
el radio del conductor interno para que (suponiendo una línea sin pérdidas):
a) Z 0 = 50 : Use
Z0 =
1
2π
2π (50)
R
µ
b
b
ln
= 50 ⇒ ln
=
= 1.25
a
a
377
Así b/a = e1.25 = 3.50, or a = 4/3.50 = 1.142 mm
216
13.8b. C = 100 pF/m: Empiece con
C=
2π b
= 10−10 ⇒ ln
= 2π(2.26)(8.854 × 10−2 ) = 1.257
ln(b/a)
a
Así b/a = e1.257 = 3.51, or a = 4/3.51 = 1.138 mm.
c) L = 0.2 µH/m: Use
µ0
b
b
2π(0.2 × 10−6 )
−6
L=
⇒ ln
=1
ln
= 0.2 × 10
=
2π
a
a
4π × 10−7
Así b/a = e1 = 2.718, o a = b/2.718 = 1.472 mm.
13.9. Se usan dos conductores de acero con cubierta de aluminio para construir una línea de transmisión bialámbrica. Sea σAl =
3.8 × 107 S/m, σSt = 5 × 106 S/m, y µSt = 100 µH/m. El radio del alambre de acero es 0.5 in, y la
capa aluminio es 0.05 in de espesor. El dieléctrico es aire y la separación del alambre centro-a-centro es 4 in.
Encuentre C, L, G, y R para la línea en 10 MHz: La primera pregunta es si estamos en la frecuencia alta
o el régimen de frecuencia bajo. El cálculo de la profundidad pelicular, δ,. nos dirá. Tenemos, para aluminio,
1
1
δ=√
=
= 2.58 × 10−5 m
7
−7
7
πf µ0 σAl
π(10 )(4π × 10 )(3.8 × 10 )
así que estamos claramente en el régimen de frecuencia alta donde no pueden suponerse las distribuciones de corriente uniforme.
Además, la profundidad pelicular es considerablemente menor que el espesor de la capa de aluminio, para que el volumen de
la corriente resida en el aluminio, y podemos ignorar el acero. Suponiendo que los alambres de aluminio sólido de
radio a = 0.5 + 0.05 = 0.55 in = 0.014 m, la resistencia de la línea bialámbrica es ahora
R=
1
1
= 0.023 /m
=
πaδσAl
π(.014)(2.58 × 10−5 )(3.8 × 107 )
Luego, ya que el dieléctrico es aire, ninguna fuga ocurrirá de alambre a alambre, y así G = 0 mho/m . Ahora
la capacitancia será
C=
π × 8.85 × 10−12
π0
=
= 1.42 × 10−11 F/m = 14.2 pF/m
cosh−1 (d/2a)
cosh−1 (4/(2 × 0.55))
Finalmente, la inductancia por longitud unitaria será
L=
µ0
4π × 10−7
cosh(d/2a) =
cosh (4/(2 × 0.55)) = 7.86 × 10−7 H/m = 0.786 µH/m
π
π
217
13.10. Cada conductor de una línea de transmisión bialámbrica tiene un radio de 0.5mm; su distancia centro-a-centro
es 0.8cm. Sea f = 150MH z y suponiendo σ = 0 y σc → ∞ (note error en la presentación del problema).
Encuentre el constante dieléctrico del medio aislante si
a) Z0 = 300 : Use
µ0
d
8
1
−1
= 120π cosh−1
⇒
= 1.107 ⇒ R = 1.23
cosh
300 =
R
π R 0
2a
300π
2(.5)
b) C = 20 pF/m: Use
20 × 10−12 =
π 20 × 10−12
⇒
=
cosh−1 (8) = 1.99
R
π0
cosh−1 (d/2a)
c) vp = 2.6 × 108 m/s:
1
1
=
vp = √
LC
µ0 0 R
c
=
⇒ R =
R
3.0 × 108
2.6 × 108
2
= 1.33
13.11. Las dimensiones pertinentes para la línea de transmisión mostrada en la Fig. 13.4 son b = 3 mm, y d = 0.2 mm.
Los conductores y el dieléctrico son no magnéticos.
a) Si la impedancia característica de la línea es 15 , encuentre R : Usamos
µ d
377 2 .04
Z0 =
= 15 ⇒ R =
= 2.8
b
15
9
b) Suponga conductores de cobre y operación en 2 × 108 rad/s. Si RC = GL, determine la tangente de
pérdida del dieléctrico: Para cobre, σ c = 5.8 × 107 S/m, y la profundidad pelicular es
2
2
= 1.2 × 10−5 m
=
δ=
8
−7
7
ωµ0 σc
(2 × 10 )(4π × 10 )(5.8 × 10 )
Entonces
R=
2
2
= 0.98 /m
=
7
σc δb
(5.8 × 10 )(1.2 × 10−5 )(.003)
Ahora
C=
b
(2.8)(8.85 × 10−12 )(3)
=
= 3.7 × 10−10 F/m
d
0.2
y
L=
µ0 d
(4π × 10−7 )(0.2)
=
= 8.4 × 10−8 H/m
b
3
Entonces, con RC = GL,
G=
RC
σd b
(.98)(3.7 × 10−10 )
=
= 4.4 × 10−3 mho/m =
−8
L
(8.4 × 10 )
d
Así σ d = (4.4 × 10−3 )(0.2/3) = 2.9 × 10−4 S/m. La tangente de pérdida es
l.t. =
2.9 × 10−4
σd
=
= 5.85 × 10−2
ω (2 × 108 )(2.8)(8.85 × 10−12 )
218
13.12. Una línea de transmisión construida de conductores perfectos y un dieléctrico de aire tiene una dimensión
máxima de 8mm para su sección transversal. La línea será usada en frecuencias altas. Especifique sus
dimensiones si es:
a) una línea bialámbrica con Z 0 = 300 : Con dimensiones máximas de 8mm, tenemos, usando (27):
1
Z0 =
π
µ
cosh−1
8 − 2a
2a
8 − 2a
300π
= 300 ⇒
= cosh
= 6.13
2a
120π
Resuelva para a para encontrar a = 0.56 mm . Entonces d = 8 − 2a = 6.88 mm.
b) una línea planar con Z 0 = 15 : En este caso nuestra dimensión máxima dicta que
Así, usando (34), escribimos
Z0 =
µ
√
d 2 + b2 = 8.
√
64 − b2
15
= 15 ⇒
b
64 − b2 =
b
377
Resolviendo, encontramos b = 7.99 mm y d = 0.32 mm.
c) un coaxial de 72 tiene un conductor externo de espero cero: Con un conductor externo de espesor cero,
notamos que el radio externo es b = 8/2 = 4mm. Usando (18), escribimos
1
Z0 =
2π
b
2π(72)
µ
b
= 72 ⇒ ln
=
= 1.20 ⇒ a = be−1.20 = 4e−1.20 = 1.2
ln
a
a
120π
Resumiendo, a = 1.2 mm y b = 4 mm .
13.13. La onda de voltaje incidental en cierta línea de transmisión sin pérdidas para el cual Z 0 = 50 y vp = 2×108
m/s es V + (z, t) = 200 cos(ωt − πz) V.
a) Encuentre ω: Conocemos β = π = ω/vp , así ω = π(2 × 108 ) = 6.28 × 108 rad/s.
b) Encuentre I + (z, t): Ya que Z 0 es real, podemos escribir
I + (z, t) =
V + (z, t)
= 4 cos(ωt − πz) A
Z0
La sección de línea para el cual z > 0 es reemplazados por una carga ZL = 50 + j 30 en z = 0. Encontrar
c) L : Este será
L =
50 + j 30 − 50
= .0825 + j 0.275 = 0.287 1.28 rad
50 + j 30 + 50
d) Vs− (z) = L Vs+ (z)ej 2βz = 0.287(200)ej π z ej 1.28 = 57.5ej (πz+1.28)
e) Vs at z = −2.2 m:
Vs (−2.2) = Vs+ (−2.2) + Vs− (−2.2) = 200ej 2.2π + 57.5e−j (2.2π −1.28) = 257.5ej 0.63
= 257.5 36◦
219
13.14. Las líneas coaxiales 1 y 2 tienen los parámetros siguientes: µ 1 = µ2 = µ0 , σ1 = σ2 = 0, R1 = 2.25,
= 4, a = a = 0.8mm, b = 6mm, b = 3mm, Z
R2
1
2
1
2
L2 = Z02 , y ZL1 es Zin2 .
a) Encuentre Z 01 y Z02 . Para cada línea, tenemos
1
Z0 =
2π
Z01 =
377
µ
b
b
=
ln
ln
a
a
2π R
377
6
= 80.6 ln
√
.8
2π 2.25
y
Z 02 =
que lleva a
377
3
= 39.7 √ ln
.8
2π 4
b) Encuentre s en línea 1: la carga en la línea 1 es la impedancia de entrada en la línea 2 (están conectadas
de extremo-a-extremo). También, ya que la línea 2 es adaptada su impedancia de entrada es simplemente su impedancia
característica. Por consiguiente, Z L1 = Zen2 = Z02 . El coeficiente de la reflexión encontrado por la incidencia de
ondas de ZL 1 de línea 1 puede encontrarse ahora, junto con la relación de la onda estacionaria:
12 =
1 + .34
39.7 − 80.6
= −0.34 ⇒ s =
= 2.03
39.7 + 80.6
1 − .34
c) Si se inserta una longitud de 20cm de línea 1 inmediatamente en frente de ZL2 yf = 300MHz, encuentre s en la línea 2:
La longitud de la línea 1 tiene una impedancia de carga de 39.7 y 20cm de largo. Necesitamos encontrar su impedancia
de entrada. En 300 MHz, la longitud de
√ onda en espacio libre es 1m. En línea 1, tiene una constante dialéctrica de
2.25, la longitud de onda es λ = 1m/ 2.25 = 0.67m. Por consiguiente βl = 2πl/λ = 2π(20)/(67) = 1.87.
Ahora encontramos la impedancia de entrada para esta situación a través de
ZL2 cos(βl) + j Z01 sen(βl)
39.7 cos(1.87) + j 80.6 sen(1.87)
= Z01
= 80.6
Z01 cos(βl) + j ZL2 sen(βl)
80.6 cos(1.87) + j 39.7 sen(1.87)
◦
= 128.7 − j 55.8 = 140.3 − 23.4
Z en
Ahora para la incidencia de ondas en la línea 1 - línea 2 a la unión de la línea 2, el coeficiente de reflexión será
21 =
Zen − Z02
128.7 − 39.7 − j 55.8
=
= 0.58 − j 0.14 = 0.59 − 13.7◦
Zen + Z02
128.7 + 39.7 − j 55.8
La relación de la onda estacionaria es ahora
s=
1 + .59
= 3.9
1 − .59
220
13.15. Para la línea de la transmisión representada en la Fig. 13.26, encuentre Vs,ext si f =:
a) 60 Hz: En esta frecuencia,
β=
ω
2π × 60
= 1.9 × 10−6 rad/m Así βl = (1.9 × 10−6 )(80) = 1.5 × 10−4 << 1
=
vp
(2/3)(3 × 108 )
.
La línea es así esencialmente un circuito acoplado, donde Zen = Z L = 80 . Por consiguiente
80
Vs,ext = 120
= 104 V
12 + 80
b) 500 kHz: En este caso
β=
2π × 5 × 105
= 1.57 × 10−2 rad/s Así βl = 1.57 × 10−2 (80) = 1.26 rad
2 × 108
80 cos(1.26) + j 50 sen(1.26)
= 33.17 − j 9.57 = 34.5 − .28
= 50
50 cos(1.26) + j 80 sen(1.26)
Ahora
Zen
El circuito equivalente es ahora la fuente de voltaje que maneja la combinación de la serie de Z en y el resistor de
12 ohms. El voltaje que atraviesa Zen es así
33.17 − j 9.57
Zen
Ven = 120
= 89.5 − j 6.46 = 89.7 − .071
= 120
12 + Zen
12 + 33.17 − j 9.57
El voltaje en la entrada de la línea es ahora la suma de las ondas propagándose adelante y hacia atrás simplemente
a la derecha de la entrada. Referimos la carga en z = 0, y así la entrada se localiza en z = −80 m.
En general escribimos Ven = V 0+ e−jβz + V0− ejβz , donde
V0− = L V0+ =
80 − 50 +
3 +
V0 =
V
80 + 50
13 0
En z = −80 m tenemos así
3 −j 1.26
89.5 − j 6.46
+ j 1.26
Ven = V 0 e
⇒ V0+ = j 1.26
+ e
= 42.7 − j 100 V
13
e
+ (3/13)e−j 1.26
Ahora
Vs,ext = V 0+ (1 + L ) = (42.7 − j 100)(1 + 3/(13)) = 134 − 1.17 rad = 52.6 − j 123 V
Como una verificación, podemos evaluar el potencial medio que alcanza la carga:
Pprom ,L =
1|Vs,ext |2
1 (134)2
= 112 W
=
2 RL
2 80
Éste debe ser el mismo potencial que ocurre en la impedancia de entrada:
1
1 ∗
Pprom,en = Re Vin Iin
= Re {(89.5 − j 6.46)(2.54 + j 0.54)} = 112 W
2
2
donde Ien = Ven /Zen = (89.5 − j 6.46)/(33.17 − j 9.57) = 2.54 + j 0.54.
221
13.16. Una línea de transmisión 300 ohms es 0.8 m de largo y se termina con un cortocircuito. La línea está operando en aire con
una longitud de onda de 0.3 m (incorrectamente presentada como 0.8 m en las impresiones anteriores) y es sin pérdidas.
a) Si la amplitud del voltaje de entrada es 10V, ¿cuál es la amplitud de voltaje máximo en cualquier punto en la línea?
El voltaje neto en cualquier parte en la línea es la suma de los voltajes de la onda dirigidos de adelante hacia atrás,
y se escribe como V (z) = V +0 e−jβz + V0− ejβz . Ya que la línea se pone en cortocircuito en el extremo de carga
(z = 0), tenemos V0− = −V 0+ , y así
V (z) = V0+ e−jβz − ejβz = −2j V0+ sen(jβz)
Evaluamos ahora el voltaje en la entrada donde z = −0.8m, y λ = 0.3m.
2π(−0.8)
+
Ven = −2j V0 sen
= −j 1.73V0+
0.3
Se da la magnitud de Ven como 10V, así encontramos V +
0 = 10/1.73 = 5.78V. La amplitud de voltaje
máximo en la línea será dos veces este valor (donde la función seno es unitaria),
así |V |máx = 2(5.78) = 11.56 V.
b) ¿Cúal es la amplitud de corriente en cortocircuito? En el extremo puesto en cortocircuito, la corriente estará
IL =
V0+
V−
2V0+
11.56
= 0.039A = 39 mA
− 0 =
=
Z0
Z0
Z0
300
13.17. Determine la potencia promedio absorbida por cada resistor en la Fig. 13.27: El problema se hace más fácil convirtiendo
primero la fuente de corriente/100 ohms la combinación del resistor a su equivalente de Thevenin. Ésta es una fuente de
voltaje 50/ 0 V en la serie con el resistor de 100 ohms. El próximo paso es determinar la impedancia de entrada
de la línea de longitud 2.6λ terminando por el resistor de 25 ohms. Usamos βl = (2π/λ)(2.6λ) = 16.33 rad.
Este valor, módulo 2π es (substrayendo 2π dos veces) 3.77 rad. Ahora
25 cos(3.77) + j 50 sen(3.77)
Zen = 50
= 33.7 + j 24.0
50 cos(3.77) + j 25 sen(3.77)
El circuito equivalente consiste ahora en la combinación de la serie de fuente de 50 V, resistor de 100 ohm s y
Zen , como lo calculado anteriormente. La corriente en este circuito será
I=
50
= 0.368 − .178
100 + 33.7 + j 24.0
El potencial disipado por el resistor de 25 ohms es el mismo que el potencial disipado por la parte real de Z en ,
o
1
1
P25 = P33.7 = |I |2 R = (.368)2 (33.7) = 2.28 W
2
2
Para encontrar el potencial disipado por el resistor de 100 ohms, necesitamos regresar a la configuración de Norton,
con la fuente de corriente original en paralelo con el resistor de 100 ohms, y en paralelo con Z en . El
voltaje atravesando el resistor de 100 ohms será el mismo que atraviesa Z en , o
V = I Zen = (.368 − .178)(33.7 + j 24.0) = 15.2 0.44. El potencial disipado por el resistor de100 ohms
es ahora
1 |V |2
1 (15.2)2
P100 =
=
= 1.16 W
2 R
2 100
222
13.18 La línea mostrada en la Fig. 13.28 es sin pérdidas. Encuentre s en ambas secciones 1 y 2: Para la sección 2, consideramos
la propagación de una adelante y una onda dirigida hacia atrás, arreglando la superposición de todas las ondas
reflejadas en ambos extremos de la sección. La razón de la amplitud de la onda dirigida de atrás hacia delante la da
el coeficiente de la reflexión en la carga que es
L =
50 − j 100 − 50
−j
1
=
= (1 − j )
50 − j 100 + 50
1−j
2
√
√
Entonces |L | = (1/2) (1 − j )(1 + j ) = 1/ 2. Finalmente
√
1 + 1/ 2
1 + |L |
s2 =
=
√ = 5.83
1 − |L |
1 − 1/ 2
Para la sección 1, necesitamos el coeficiente de reflexión en la unión (lugar del resistor de 100 ) visto por la incidencia
de ondas de la sección 1: Necesitamos primero la impedancia de entrada de la longitud de .2λ de la sección 2:
(50 − j 100) cos(β2 l) + j 50 sen(β2 l)
(1 − j 2)(0.309) + j 0.951
Zen2 = 50
= 50
50 cos(β2 l) + j (50 − j 100) sen(β2 l)
0.309 + j (1 − j 2)(0.951)
= 8.63 + j 3.82 = 9.44 0.42 rad
Ahora, esta impedancia está en paralelo con el resistor de 100 llevando a una impedancia de la unión neta encontrada por
1
ZenT
=
1
1
+
⇒ ZinT = 8.06 + j 3.23 = 8.69 0.38 rad
100 8.63 + j 3.82
El coeficiente de la reflexión será
j =
ZenT − 50
= −0.717 + j 0.096 = 0.723 3.0 rad
ZenT + 50
y la razón de la onda estacionaria es s 1 = (1 + 0.723)/(1 − 0.723) = 6.22.
13.19. Una línea de transmisión sin pérdidas es 50 cm en longitud y operando en una frecuencia de 100 MHz. Los parámetros
de la línea son L = 0.2 µH/m y C = 80 pF/m. La línea se termina por un cortocircuito en z = 0,
y hay una carga, Z L = 50 + j 20 ohms atravesando la línea en z = −20 cm. ¿Qué potencia promedio
se entrega a Z L si el voltaje de entrada es 100 0 V? Con el capacitancia e inductancia dadas, encontramos
Z0 =
y
L
=
C
2 × 10−7
= 50 8 × 10−11
1
1
vp = √
= 2.5 × 108 m/s
=
−7
LC
(2 × 10 )(9 × 10−11 )
Ahora β = ω/v p = (2π × 108 )/(2.5 × 108 ) = 2.5 rad/s. Encontramos entonces la impedancia de entrada en
la sección de línea corta de 20 cm de longitud (poniendo esta impedancia en Z L , así podemos
combinarlas ). Tenemos βl = (2.5)(0.2) = 0.50, y así, usando la fórmula de impedancia de entrada con una
impedancia de carga cero, encontramos Zen1 = j 50 tan(0.50) = j 27.4 ohms.
223
13.19 (continuación) Ahora, en la situación de Z L , hay impedancia neta en la combinación paralela de ZL y
Zen1 : Znet = (50 + j 20)||(j 27.4) = 7.93 + j 19.9. Transformamos esta impedancia ahora a la línea de entrada,
30 cm a la izquierda, obteniendo (con βl = (2.5)(.3) = 0.75):
(7.93 + j 19.9) cos(.75) + j 50 sen(.75)
= 35.9 + j 98.0 = 104.3 1.22
= 50
50 cos(.75) + j (7.93 + j 19.9) sen(.75)
Zen2
La potencia entregada a Z L es la misma que el potencial entregado a Zen2 : La magnitud de corriente es
|I | = (100)/(104.3) = 0.96 A. Así finalmente,
P =
1
1 2
|I | R = (0.96)2 (35.9) = 16.5 W
2
2
13.20. Este problema se propuso originalmente de manera incorrecta. La versión corregida debe tener un inductor en el
circuito de entrada en lugar de un capacitor. Yo procederé con este reemplazo entendido, y cambiará
la redacción en forma apropiada en los incisos c y d:
a) Determine s en la línea de transmisión de la Fig. 13.29. Note que el dieléctrico es aire: El coeficiente de reflexión
en la carga es
L =
40 + j 30 − 50
= j 0.333 = 0.333 1.57 rad
40 + j 30 + 50
Así s =
1 + .333
= 2.0
1 − .333
b) Encuentre la impedancia de entrada: Con la longitud de la línea en 2.7λ, tenemos βl = (2π)(2.7) = 16.96 rad.
La impedancia de entrada es entonces
Zen
(40 + j 30) cos(16.96) + j 50 sen(16.96)
−1.236 − j 5.682
= 50
= 50
= 61.8 − j 37.5 50 cos(16.96) + j (40 + j 30) sen(16.96)
1.308 − j 3.804
c) Si ωL = 10 , encuentre I s : La fuente maneja una impedancia total dada por Z net = 20 + j ωL + Zen =
20+j 10+61.8−j 37.5 = 81.8−j 27.5. La corriente es ahora I s = 100/(81.8−j 27.5) = 1.10 + j 0.37 A.
d) ¿Qué valor de L producirá un valor máximo para |I s | en ω = 1 Grad/s? Para lograr esto, la parte
imaginaria de la impedancia total del inciso c debe reducirse a cero (así necesitamos un inductor). La impedancia
del inductor debe ser igual a la parte negativa imaginaria de la impedancia en la línea de entrada, o ωL = 37.5, así
que L = 37.5/ω = 37.5 nH. Continuando, para este valor de L, calcule la potencia promedio:
e) suministrada por la fuente: P s = (1/2)Re{Vs Is } = (1/2)(100)2 /(81.8) = 61.1
. W
f) entregada a Z L = 40 + j 30 : La potencia entregada a la carga será igual que la potencia entregada
a la impedancia de entrada. Escribimos
PL =
1
1
Re{Zin }|Is |2 = (61.8)(1.22)2 = 46.1 W
2
2
224
13.21. Una línea sin pérdidas que tiene un dieléctrico aire tiene una impedancia característica de 400 . La línea está operando
en 200 MHz y Zen = 200 − j 200 . Use métodos analíticos o el diagrama de Smith (o ambos) para encontrar: (a)
s; (b) ZL si la línea es 1 m de longitud; (c) la distancia de la carga al voltaje máximo más cercano: Quiero
primero usar el enfoque analítico. Usando las impedancias normalizadas, la Ec. (13) se vuelve
zen
zL + j tan(βL)
Zen
zL cos(βL) + j sen(βL)
=
=
=
Z0
cos(βL) + j zL sen(βL)
1 + j zL tan(βL)
Resuelva para z L :
zen − j tan(βL)
zL =
1 − j zen tan(βL)
donde, con λ = c/f = 3 × 108 /2 × 108 = 1.50 m, encontramos βL = (2π)(1)/(1.50) = 4.19, y así
tan(βL) = 1.73. También, z en = (200 − j 200)/400 = 0.5 − j 0.5. Así
zL =
0.5 − j 0.5 − j 1.73
= 2.61 + j 0.174
1 − j (0.5 − j 0.5)(1.73)
Finalmente, Z L = zL (400) = 1.04 × 103 + j 69.8 . Luego
=
ZL − Z0
6.42 × 102 + j 69.8
= .446 + j 2.68 × 10−2 = .447 6.0 × 10−2 rad
=
ZL + Z 0
1.44 × 103 + j 69.8
Ahora
s=
1 + .447
1 + ||
=
= 2.62
1 − ||
1 − .447
Finalmente
zmax = −
φ
λφ
(6.0 × 10−2 )(1.50)
=−
=−
= −7.2 × 10−3 m = −7.2 mm
2β
4π
4π
Seguimos resolviendo el problema usando el diagrama de Smith. Refiriéndose a la figura en la próxima página, primero localizamos
y marcamos la impedancia de la entrada normalizada, z en = 0.5 − j 0.5. Una línea dibujada del origen a través de este
punto interseca el límite del diagrama externo en la posición 0.0881 λ en las longitudes de onda hacia la escala de la carga
(WTL). Con una longitud de onda de 1.5 m, 1 línea métrica es 0.6667 longitudes de onda. En la escala WTL
agregamos 0.6667λ, o equivalentemente, 0.1667λ ya que 0.5λ está alrededor del diagrama), obteniendo
(0.0881+0.1667)λ) = 0.2548λ, que es la posición de la carga.Una línea recta es ahora dibujada del
origen aunque la posición de 0.2548λ Se usa un compás para medir la distancia entre el origen
y z en . Con esta distancia puesta, se usa entonces el compás para escribir fuera de la misma distancia del origen
a la impedancia de carga, a lo largo de la línea entre el origen y la posición 0.2548λ. Ese punto es la
impedancia de carga normalizada que se lee para ser z L = 2.6 + j 0.18. Así ZL = zL (400) = 1040 + j 72.
Este es un acuerdo razonable con el resultado analítico de 1040 + j 69.8. La diferencia en partes imaginarias
se deriva de la incertidumbre leyendo eldiagrama en esa región.
Transformando las posiciones de entrada a la carga, cruzamos el eje real r > 1 del diagrama en r = 2.6.
Esto está cerca del valor de VSWR, como lo encontramos antes. También vemos que el eje real r > 1 (en
que el primer V máx ocurre) es una distancia de 0.0048λ (marcada como .005λ en el diagrama) enfrente de la carga.
La distancia real es z máx = −0.0048(1.5) m = −0.0072 m = −7.2 mm.
225
.
13.22. Una línea bialámbrica sin pérdidas tiene una impedancia característica de 300 y una capacitancia de 15 pF/m. La
carga en z = 0 consisten en una resistencia de 600- en paralelo con un capacitor 10-pF. Si ω = 108 rad/s y la
línea es de 20m de largo, use el diagrama de Smith para encontrar a) |L |; b) s; c) Zen . Primero, la longitud de onda
en la línea se encuentra usando λ = 2πvp /ω, donde vp = 1/(CZ0 ). Suponiendo la exactitud más alta en los
de los valores dados originalmente presentados, obtenemos
λ=
2π
2π
=
= 13.96 m
8
ωCZ0
(10 )(15 × 10−12 )(300)
La longitud de la línea en las longitudes de onda es por consiguiente 20/13.96 = 1.433λ. La admitancia de carga
normalizada es ahora
1
1
8
−11
+ j (10 )(10 ) = 0.50 + j 0.30
+ j ωC = 300
yL = YL Z0 = Z0
RL
600
226
El valor yL se traza en el diagrama y etiquetado como yL . Luego, yL se invierte para encontrar zL transformando
el punto a medio camino alrededor del diagrama, usando el compás y un borde recto. El resultado, etiquetado z L en el
diagrama se lee para ser z L = 1.5 − j 0.87. Esto está cerca del cálculo inverso de y L , que es 1.47 − j 0.88. Escribiendo
la longitud de arco de compás a lo largo de la escala de fondo para producir el coeficiente de reflexión | L | = 0.38.
El VSWR se encuentra escribiendo la longitud de arco de compás a lo largo de la escala del fondo SWR o a lo largo de
el eje real positivo del diagrama, ambos métodos producen s = 2.2.
Ahora, la posición de zL se lee en el borde externo del diagrama como 0.308λ en la escala de WTG. El punto es ahora
transformado a través de la distancia de longitud de línea de 1.433λ hacia el generador (la distancia neta del diagrama
será 0.433λ, ya que una longitud de onda llena es dos revoluciones completas). La último lectura en la escala WTG
después de la transformación se encuentra a través de (0.308 + 0.433 − 0.500)λ = 0.241λ. Dibujando una línea
entre esta marca en la escala de WTG y el centro del diagrama, y escribiendo la longitud de arco de compás en esta
línea, produce la impedancia de la entrada normalizada. Esto se lee como z en = 2.2 + j 0.21 (el valor calculado
que se encuentra a través de la solución analítica es zen = 2.21 + j 0.219. La impedancia de entrada se encuentra
ahora multiplicando el diagrama leído por 300, o Z en = 660 + j 63 .
227
13.23. La carga normalizada en una línea de transmisión sin pérdidas es z L = 2 + j 1. Sea l = 20 m (hubo un error tipográfico
en la presentación del problema, ya que λ = 20 m debía de ser presentado. Yo especificaré las respuestas en
términos de longitud de onda). Use el diagrma de Smith para encontrar:
a) la distancia más corta de la carga al punto en que z en = ren + j 0, donde ren > 1 (no mayor que 0
como lo presentado): Refiriéndose a la figura de abajo, empezamos marcando z L dado en el diagrama y
dibujando una línea del origen a través de este punto al límite externo. En la escala de WTG,
leemos la localización de z L como 0.213λ. Acercándose de aquí hacia el generador, cruzamos el eje R
positivo (en que la impedancia es completamente real y mayor que 1) en 0.250λ. La distancia es entonces
(0.250 − 0.213)λ = 0.037λ de la carga. Si usamos λ = 20 m, la distancia real sería
20(0.037) = 0.74 m.
b) Encuentre zen en el punto encontrado en el inciso a: Usando un compás, pusimos su radio a la distancia entre
el origen y z L . Entonces escriba esta distancia a lo largo del eje real para encontrar zen = ren = 2.61.
c) La línea está cortada en este punto y la porción que contiene z L es dirigida. Un resistor r = ren del
inciso a se conecta a través de la línea. ¿Cuál es s en el resto de la línea? Éste será sólo s
para la línea como era antes. Como sabemos, s será el valor del eje real positivo de la impedancia
normalizada, o s = 2.61.
d) ¿Cuál es la distancia más corta de este resistor a un punto en que z en = 2 + j 1? De aquí regresaremos
al punto original, requiriendo un círculo completo alrededor del diagrama (la mitad de la distancia de
longitud de onda). La distancia del resistor será por consiguiente: d = 0.500 λ − 0.037 λ = 0.463 λ.
Con λ = 20 m, la distancia real sería 20(0.463) = 9.26 m.
228
13.24. Con la ayuda del diagrama de Smith, trace una curva de |Z en | contra l para la línea de la transmisión mostrada en la Fig. 13.30.
Cubra el rango 0 < l/λ < 0.25. La impedancia de entrada requerida está en la entrada de la línea real (a la izquierda
de los resistores de 20. La entrada a la sección lineal simplemente ocurre a la derecha de los resistores de 20
y la impedancia de la entrada allí encontramos primero con la carta de Smith. Esta impedancia está en la serie con las
dos resistores de 20, así adicionamos 40 para calcular la impedancia del diagrama de Smith para encontrar la impedancia
en la línea de entrada neta. Para empezar, el resistor de carga 20 representa una impedancia normalizada de z l = 0.4,
que marcamos en el diagrama (vea abajo). Entonces, usando un compás, dibuje un círculo empezando en z L y
progresando en el sentido de las agujas del reloj al eje real positivo. El círculo traza el sitio de valores de z en
para las longitudes de la línea sobre el rango 0 < l < λ/4.
En el diagrama, las líneas radiales están dibujando en posiciones que corresponden a los incrementos de .025λ en la
escala de WTG. Las intersecciones de las líneas y el círculo dan un total de 11 valores de zen . A éstos adicionamos la
impedancia normalizada de 40/50 = 0.8 para añadir el efecto de los resistores de 40 y obtener la impedancia normalizada
en la entrada de la línea. Se encuentran entonces las magnitudes de estos valores, y los resultados se multiplican por 50.
La tabla de abajo resume los resultados.
l/λ
zenl (a la derecha de 40)
zen = zenl + 0.8
|Zen | = 50|zen |
0
0.40
1.20
60
.025
0.41 + j.13
1.21 + j.13
61
.050
0.43 + j.27
1.23 + j.27
63
.075
0.48 + j.41
1.28 + j.41
67
.100
0.56 + j.57
1.36 + j.57
74
.125
0.68 + j.73
1.48 + j.73
83
.150
0.90 + j.90
1.70 + j.90
96
.175
1.20 + j1.05
2.00 + j1.05
113
.200
1.65 + j1.05
2.45 + j1.05
134
.225
2.2 + j.7
3.0 + j.7
154
.250
2.5
3.3
165
229
13.24.Como una verificación, la entrada de línea de la impedancia de entrada puede encontrarse analíticamente a través de
Zen = 40 + 50
del cual
20 cos(2πl/λ) + j 50 sen(2πl/λ)
60 cos(2πl/λ) + j 66 sen(2πl/λ)
= 50
50 cos(2πl/λ) + j 20 sen(2πl/λ)
50 cos(2πl/λ) + j 20 sen(2πl/λ)
1/2
36 cos2 (2πl/λ) + 43.6 sen2 (2πl/λ)
|Zen | = 50
25 cos2 (2πl/λ) + 4 sen2 (2πl/λ)
Esta función se traza abajo junto con los resultados obtenidos del diagrama de Smith. Se obtiene una comparación
bastante buena.
230
13.25. Una línea de la transmisión de 300-ohms se pone en cortocircuito en z = 0. Un voltaje máximo, |V|máx = 10 V, se encuentra
en z = −25 cm, y el voltaje mínimo, |V | mín = 0, se encuentra en z = −50 cm. Use el diagrama de Smith
para encontrar Z L (con el cortocircuito reemplazado por la carga) si las lecturas de voltaje son:
a) |V | máx = 12 V en z = −5 cm, y vertV |mín = 5 V: Primero, sabemos que los voltajes máximo y mínimo
son espaciados por λ/4. Ya que esta distancia se da como 25 cm, vemos que λ = 100 cm = 1 m. Así la
situación del voltaje máximo es 5/100 = 0.05λ enfrente de la carga. La razón de la onda estacionaria es
s = |V | máx /|V |mín = 12/5 = 2.4. Marcamos esto en el eje real positivo del diagrama (vea la página siguiente).
La posición de la carga es ahora 0.05 longitudes de onda hacia la carga de la posición |V | máx
o en 0.30 λ en la escala de WTL. Una línea se dibuja del origen a través de este punto en el diagrama,
como lo mostrado. Luego ponemos el compás a la distancia entre el origen y el punto z = r = 2.4 en el
eje real. Entonces escribimos esta misma distancia a lo largo de la línea dibujada a través de la posición .30 λ
La intersección es el valor de z L , que leímos como zL = 1.65 + j.97. La impedancia
de la carga real es entonces Z L = 300zL = 495 + j 290 .
b) |V | máx = 17 V en z = −20 cm, y |V |mín = 0. En este caso la razón de la onda estacionaria es infinita,
que pone el punto de partida en el punto r → ∞ en el diagrama. La distancia de 20 cm corresponde
a 20/100 = 0.20 λ, situando la posición de carga en 0.45 λ en la escala de WTL. Una línea es dibujada
del origen a través de esta localización en el diagrama. Una razón de la onda estacionaria infinita nos pone
enfrente del límite externo del diagrama, así leemos z L = j 0.327 en la posición 0.45 λ WTL. Así
.
Z L = j 300(0.327) = j 98 .
231
13.26. Una línea de la transmisión sin pérdidas de 50 opera con una velocidad de 3/4c. Una carga, Z L = 60 + j 30 se
localiza en z = 0. Use el diagrama de Smith para encontrar:
a) s: Primero encontramos la impedancia de carga normalizada, z L = (60 + j 30)/50 = 1.2 + j 0.6, que es entonces
marcada en el diagrama (vea abajo). Dibujando una línea del centro del diagrama a través de este punto produce su
localización en 0.328λ en la escala de WTL. La distancia del origen al punto de impedancia de carga es ahora
colocada en el compás; la razón de la onda estacionaria se encuentra entonces marcando esta distancia a lo largo del
eje real positivo produciendo s = 1.76, como se muestra. Alternadamente, use la escala s en el fondo del diagrama
poniendo el punto del compás en el centro, y marcando la distancia en la escala a la izquierda.
b) la distancia de la carga al voltaje mínimo más cercano si f = 300 MHz: Esta distancia se encuentra trnsformando la
impedancia de la carga en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del diagrama hasta que el eje real negativo se
alcanza. Esta distancia en las longitudes de onda es simplemente la posición de carga en la escala de WTL, ya que el
punto de partida para esta escala es el eje real negativo. Así que la distancia es 0.328λ. La longitud de onda es
λ=
v
(3/4)c
3(3 × 108 )
= 0.75 m
=
=
f
300MHz
4(3 × 108 )
Así que la distancia real al primer voltaje mínimo es d mín = 0.328(0.75) m = 24.6 cm.
c) la impedancia de la entrada si f = 200 MHz y la entrada está en z = −110cm: La longitud de onda en esta
frecuencia es λ = (3/4)(3 × 108 )/(2 × 108 ) = 1.125 m. La distancia a la entrada en las longitudes de onda
es entonces d en = (1.10)/(1.125) = 0.9778λ. Transformando la carga a través de esta distancia hacia
el generador involucra la revolución una vez alrededor de la carta (0.500λ) más el resto de 0.4778λ,
.
que lleva a una posición final de 0.1498λ = 0.150λ en la escala WTG, o 0.350λ en la escala WTL.
Una línea es dibujada entre este punto y el centro del diagrama. Marcando la longitud de arco de compás
a través de esta línea produce la impedancia de entrada normalizada, lea como z en = 1.03 + j 0.56.
La impedancia real de entrada es Z en = zen × 50 = 51.5 + j 28.0 .
232
13.27. La admitancia característica (Y0 = 1/Z0 ) de una línea de transmisión sin pérdidas es 20 mS. La línea se termina
en una carga YL = 40 − j 20 mS. Use el diagrama de Smith para encontrar:
a) s: Encontramos primero la admitancia de carga normalizada que es yL = YL /Y0 = 2 − j 1. Esta se traza
el diagrama de Smith de abajo. Pusimos entonces en el compás la distancia entre yL y el origen.
La misma distancia se marca entonces a lo largo del eje real positivo, y el valor de s se lee como 2.6.
b) Yen si l = 0.15 λ: Primero dibujamos una línea del origen a través de zL y notamos su intersección con
la escala WTG en el límite externo del diagrama. Notamos una lectura en esa escala de aproximadamente 0.287 λ. Para
esto agregamos .15λ, obteniendo aproximadamente 0.437 λ, que marcamos entonces en el diagrama (0.287 λ no es el
valor preciso, pero he adicionado 0.15 λ en esa marca para obtener el punto mostrado en el diagrama que es
cerca de 0.437 λ. Este método del "globo ocular" aumenta la exactitud un poco). Una línea dibujada de
la posición 0.437 λ en la escala de WTG al origen atraviesa la admitancia de la entrada. Usando el compás,
marque la distancia encontrada en el inciso a atravesando esta línea para encontrar y en = 0.56 − j 0.35, o
Yen = 20yen = 11 − j 7.0 mS.
c) la distancia en las longitudes de onda de Y L al más cercano voltaje máximo: En el diagrama de admitancia,
la posición de V máx está en el eje negativo r. Este está en la posición cero en la escala de WTL. La
carga está en el punto 0.213λ aproximado en la escala de WTL, así esta distancia es una que queremos.
233
13.28. La longitud de onda en una cierta línea sin pérdidas es 10cm. Si la impedancia de la entrada normalizada es z en = 1 + j 2,
use el diagrama de Smith para determinar:
a) s: Empezamos marcando z en en el diagrama (vea abajo), y poniendo el compás a su distancia del
origen. Usamos entonces el compás en ese marco para hacer una marca en el eje real positivo, anotando,
el valor allí de s = 5.8.
b) zL , si la longitud de la línea es 12 cm: Primero, use un borde recto para dibujar una línea del origen a través de
z en , y a través de la escala externa. Seguimos leyendo la localización de la entrada como ligeramente más que 0.312λ
en la escala WTL (esta distancia adicional más allá de la marca .312 no se mide, pero se usa en cambio para
añadir una distancia similar cuando la impedancia se transforma). La longitud de la línea de 12cm corresponde a
1.2 longitudes de onda. Así, para transformar a la carga, pasamos en sentido contrario a las manecillas del reloj dos
veces el diagrama más 0.2λ, llegando finalmente en (otra vez) ligeramente más de 0.012λ en la escala de WTL.
Una línea se dibuja hacia el origen desde esa posición, y el compás (con su posición previa) se marca a través
de la línea. La intersección es la impedancia de carga normalizada que leímos como zL = 0.173 − j 0.078.
c) x L , si zL = 2 + j xL , donde xL > 0. Para esto, use el compás en su posición original para marcar
a través del círculo r = 2 en el plano medio superior. En ese punto leemos x L = 2.62.
234
13.29. Una razón de onda estacionaria de 2.5 existe en una línea sin pérdidas de 60 . Las mediciones de la sonda localizan un
voltaje mínimo en la línea cuya localización es marcada por una raya pequeña en la línea. Cuando la carga se reemplaza
por un cortocircuito, los mínimos son 25 cm aparte, y un mínimo se localiza en un punto 7 cm hacia la fuente de
la raya. Encuentre Z L : Notamos primero que la separación de 25 cm entre los mínimos implica una
longitud de onda de dos veces este, o λ = 50 cm. Suponga que la raya localiza el primer voltaje mínimo.
Con el lugar en corto, el primer mínimo ocurre en la carga, y el segundo a 25 cm en frente de la carga.
El efecto de reemplazar el corto con la carga es mover el mínimo en 25 cm a una nueva localización de 7 cm
hacia la carga, o en 18 cm. Ésta es una posible localización para la raya en que ocurriría de otra manera los
múltiplos de una mitad de longitud de onda más lejos fuera de ese punto, hacia el generador. Nuestra posición de
raya supuesta será 18 cm o 18/50 = 0.36 longitudes de onda de la carga. Usando el diagrama de Smith (vea abajo)
dibujamos una línea primero del origen a través del punto de 0.36λ en las longitudes de onda hacia la escala de carga.
Ponemos el compás a la longitud que corresponde al punto s = r = 2.5 en el diagrama, y entonces marque esta
distancia a través de la línea recta. Leemos zL = 0.79 + j 0.825, del cual ZL = 47.4 + j 49.5 .
Como una verificación, haré el problema analíticamente. Primero, usamos
4(18)
1
− 1 π = 1.382 rad = 79.2◦
zmín = −18 cm = − (φ + π) ⇒ φ =
2β
50
Ahora
s−1
2.5 − 1
|L | =
=
= 0.4286
s+1
2.5 + 1
y así L = 0.4286 1.382. Usando esto, encontramos
1 + L
= 0.798 + j 0.823
zL =
1 − L
y así Z L = zL (60) = 47.8 + j 49.3 .
235
13.30. Una línea de 2-alambres construída de alambre sin pérdidas de sección transversal circular se señala con luz gradualmente en
un circuito acoplado que se parece un batidor de huevo. En el punto X, indicado por la flecha en la Fig., 13.31, un cortocircuito,
se coloca a través de la línea. Una sonda se mueve a lo largo de la línea y se indica que el primer voltaje mínimo
a la izquierda de X es 16cm de X. Con el cortocircuito removido, un mínimo de voltaje se encuentra 5cm a
la izquierda de X, y un máximo de voltaje se localiza que es 3 veces del mínimo. Use el diagrama de Smith
para determinar:
a) f : No se necesita el diagrama de Smith para encontrar f, ya que sabemos que el primer mínimo de voltaje enfrente de
un cortocircuito es media longitud de onda. Por consiguiente, λ = 2(16) = 32cm, y (suponiendo una
línea llena de aire), f = c/λ = 3 × 108 /0.32 = 0.938 GHz.
b) s: Nuevamente, no se necesita el diagrama de Smith, ya que s es la razón del máximo al mínimo voltaje
de amplitudes. Ya que damos V máx = 3Vmín , encontramos s = 3.
c) la impedancia de entrada normalizada del batidor del huevo seve a la derecha en el punto X: Ahora
necesitamos el diagrama. De la figura de abajo, s = 3 está marcado en el eje real positivo que determina
el radio de compás establecido. Este punto se transforma entonces, usando el compás, al eje real negativo,
que corresponde a la localización de un mínimo de voltaje. Ya que el primer V mín es 5cm enfrente
de X, esto corresponde a (5/32)λ = 0.1563λ a la izquierda de X. En el diagrama, movemos ahora esta
distancia de la localización de V mín hacia la carga, usando la escala de WTL. Una línea se dibuja del
origen a través de la marca de 0.1563λ en la escala de WTL, y el compás se usa para marcar el radio
original a través de esta línea. La intersección es la impedancia de entrada normalizada, la cual se lee
z en = 0.86 − j 1.06.
236
13.31. Para comparar la agudeza relativa de los máximos y mínimos de una onda estacionaria, siponga una
carga z L = 4 + j 0 localizada en z = 0. Sea |V |mín = 1 y λ = 1 m. Determine la anchura del
a) mínimo donde |V | < 1.1: Empezamos con el voltaje del fasor general en la línea:
V (z) = V + (e−jβz + ejβz )
Con zL = 4 + j 0, reconocemos la parte real como la razón de la onda estacionaria. Ya que la impedancia
de carga es real, el coeficiente de la reflexión también es real, y así escribimos
= || =
4−1
s−1
=
= 0.6
s+1
4+1
La magnitud de voltaje es entonces
1/2
V (z)V ∗ (z) = V + (e−jβz + ejβz )(ejβz + e−jβz )
1/2
= V + 1 + 2 cos(2βz) + 2
|V (z)| =
Note que con el cos(2βz) = ±1, obtenemos |V | = V + (1 ± ) como esperado. Con s = 4 y
con |V | mín = 1, encontramos |V |máx = 4. Entonces con = 0.6, sigue que V + = 2.5. La expresión
neta para |V (z)| es entonces
V (z) = 2.5 1.36 + 1.2 cos(2βz)
Para encontrar la anchura en z del mínimo de voltaje, definido como |V | < 1.1, ponemos |V (z)| = 1.1 y
resuelva z: Encontramos
1.1
2.5
2
= 1.36 + 1.2 cos(2βz) ⇒ 2βz = cos−1 (−0.9726)
Así 2βz = 2.904. En esta etapa, notamos que el punto |V | mín ocurrirá en 2βz = π. Por consiguiente
calculamos el rango, z, sobre el cual |V | < 1.1 a través de la ecuación:
2β(z) = 2(π − 2.904) ⇒ z =
π − 2.904
= 0.0378 m = 3.8 cm
2π/1
donde λ = 1 m se ha usado.
b) Determine la anchura del máximo donde |V | > 4/1.1: Usamos la misma ecuación para |V (z)|,
que en este caso se lee:
4/1.1 = 2.5 1.36 + 1.2 cos(2βz) ⇒ cos(2βz) = 0.6298
Ya que el máximo corresponde a 2βz = 0, encontramos el rango a través de
2βz = 2 cos−1 (0.6298) ⇒ z =
237
0.8896
= 0.142 m = 14.2 cm
2π/1
13.32. Una línea sin pérdidas está operando con Z 0 = 40 , f = 20 MHz, y β = 7.5π rad/m. Con un cortocircuito
reemplazando la carga, se encuentra un mínimo en un punto en la línea marcada por una pequeña mancha de pintura
de color castaño rojizo. Con la carga instalada, se encuentra que s = 1.5 y un mínimo de voltaje se localiza 1m hacia la
fuente del punto de color castaño rojizo.
a) Encuentre ZL : Primero, la longitud de onda la da λ = 2π/β = 2/7.5 = 0.2667m. La distancia de 1m es por
consiguiente 3.75λ. Con el corto instalado, las posiciones de Vmín estarán en los múltiplos de λ/2 a la
izquierda del corto. Por consiguiente, con la carga real instalada, la posición Vmín como lo presentado sería
3.75λ + nλ/2, que significa que un voltaje máximo ocurre en la carga. En este caso,
la impedancia de carga normalizada quedará en el eje real positivo del diagrama de Smith, y será igual
la razón de la onda estacionaria. Por consiguiente, ZL = 40(1.5) = 60 .
b) ¿Qué carga produciría s = 1.5 con |V | máx en la mancha de pintura? Con |V |máx en la mancha de pintura
y con la mancha un entero múltiple de λ/2 a la izquierda de la carga, |V | máx debe ocurrir también en
la carga. La respuesta está por consiguiente igual que la del inciso a, o ZL = 60 .
13.33. En la Fig. 13.14, sea ZL = 40 − j 10 , Z0 = 50 , f = 800 MHz, y v = c.
a) Encuentre la longitud más corta, d 1 , de un cable terminal puesto en cortocircuito, y la distancia más corta d que puede ser
localizado de la carga para proporcionar un acoplamiento perfecto en la línea principal a la izquierda del cable terminal: La
construcción del diagrama de Smith se muestra en la próxima página. Primero encontramos zL = (40 − j 10)/50 = 0.8 −
j 0.2 y lo traza en el diagrama. Luego, encontramos yL = 1/zL transformando este punto a medio camino alrededor del
diagrama donde leemos yL = 1.17 + j 0.30. Este punto se transforma en una situación en que la parte real de la
admitancia normalizada es la unidad. El círculo g = 1 se resalta en el diagrama; yL transforma a dos situaciones
en él: yen1 = 1 − j 0.32 y yin2 = 1 + j 0.32. El cable terminal se conecta en estos dos puntos.
El cable terminal de la admitancia de entrada debe cancelar la parte imaginaria de la línea la admitancia en
ese punto. Si y en2 es elegido, el cable terminal debe tener admitancia de entrada de −j 0.32. Este punto es marcado
en el círculo externo y ocurre en 0.452 λ en la escala WTG. La longitud del cable terminal se encuentra calculando
la distancia entre su entrada, encontrado anteriormente, y la posición del cortocircuito (extremo de carga del
cable terminal), marcado como Psc . Esta distancia es d1 = (0.452 − 0.250)λ = 0.202 λ. Con f = 800
MHz y v = c, la longitud de onda es λ = (3 × 108 )/(8 × 108 ) = 0.375 m. La distancia es así d 1 =
(0.202)(0.375) = 0.758 m = 7.6 cm. Éste es el más corto de las dos posibles longitudes del cable terminal, ya que
si hubiéramos usado yen1 , habríamos necesitado una admitancia de entrada de cable terminal de +j 0.32, que requeriría
a una longitud del cable terminal más larga para realizar. La longitud de la línea principal entre su carga y el punto
de atadura del cable terminal se encuentra en el diagrama midiendo la distancia entre y L y yen2 , moviéndose, en el
sentido de las manecillas del reloj (hacia el generador). Esta distancia será d = [0.500 − (0.178 − 0.138)] λ = 0.46 λ.
La longitud real es entonces d = (0.46)(0.375) = 0.173m = 17.3 cm.
238
13.33b) Repita para un cable terminal puesto en circuito abierto: En este caso, todo es lo mismo, salvo la posición de la carga-extrema
del cable terminal que ahora ocurre en el punto Poc en el diagrama. Para usar el cable terminal más corto, necesitamos
usar yen1 = 1 − j 0.32, requiriendo ys = +j 0.32. Encontramos la longitud del cable terminal moviendo de Poc al punto
en que la admitancia es j 0.32. Esto ocurre en 0.048 λ en la escala WTG que así determina la longitud del cable
terminal requerida. Ahora d 1 = (0.048)(0.375) = 0.18 m = 1.8 cm. El punto de la atadura se encuentra
transformando yL a yen1 , donde el punto anterior se localiza en0.178 λ en la escala WTG, y el último está
en 0.362 λ en la misma escala. La distancia es entonces d = (0.362 − 0.178)λ = 0.184λ. La longitud real
es d = (0.184)(0.375) = 0.069 m = 6.9 cm.
239
13.34. La línea sin pérdidas mostrada en la Fig. 13.32 está operando con λ = 100cm. Si d 1 = 10cm, d = 25cm, y
la línea se empareja a la izquierda del cable terminal ¿cuál es ZL ? Para que la línea sea emparejada, se requiere que la suma
de las admitancias de entrada normalizadas del cable terminal puesto en cortocircuito y la línea principal en el punto donde
el cable terminal se conecta sea unitario. Así que las susceptancias de entrada de las dos líneas deben cancelarse. Para
encontrar la susceptancia de entrada del cable terminal, use el diagrama de Smith para transformar el punto del cortocircuito 0.1λ
hacia el generador y leyendo el valor de entrada como b s = −1.37 37 (note que la longitud del cable terminal es un
décimo de una longitud de onda). La admitancia de entrada de línea principal debe ser ahora yen = 1 + j 1.37. Esta línea es
un-cuarto de longitud de onda larga, así la impedancia de carga normalizada es igual a la admitancia de entrada normalizada. Así
z L = 1 + j1.37 ya que Z L = 300zL = 300 + j 411 .
240
13.35. Una carga, ZL = 25 + j 75 , se localiza en z = 0 en una línea bialámbrica sin pérdidas para el cual Z0 = 50 y
v = c.
a) Sif = 300 MHz, encuentre la distancia más corta d (z = −d) en que la impedancia de entrada tiene una parte
real igual a 1/Z 0 y una parte imaginaria negativa: La construcción del diagrama de Smith se muestra abajo.
Empezamos calculando z L = (25 + j 75)/50 = 0.5 + j 1.5, que localizamos entonces en el diagrama. Luego,
este punto se transforma a medio camino por la rotación alrededor del diagrama para encontrar yL = 1/zL = 0.20 − j 0.60,
que se localiza en 0.088 λ en la escala de WTL. Este punto se transforma entonces hacia el generador
hasta que interseca el círculo g = 1 (se muestra resaltado) con una parte imaginaria negativa. Esto ocurre
en el punto yen = 1.0 − j 2.23, localizados en 0.308 λ en la escala de WTG. La distancia total entre la carga
y la entrada es entonces d = (0.088 + 0.308)λ = 0.396λ. At 300 MHz, y con v = c, la longitud de onda
es λ = 1 m. Así la distancia es d = 0.396 m = 39.6 cm.
b) ¿Qué valor de capacitancia C debe conectarse por la línea en ese punto para proporcionar la razón de onda estacionaria
unitaria en la porción restante de la línea de la línea? Para cancelar la susceptancia normalizada de entrada
de -2.23, necesitamos una susceptancia normalizada capacitiva de +2.23. Escribimos por consiguiente
ωC =
2.23
2.23
= 2.4 × 10−11 F = 24 pF
⇒ C=
Z0
(50)(2π × 3 × 108 )
241
13.36. Las líneas bialámbricas mostradas en la Fig. 13.33 son todas sin pérdidas y tienen Z 0 = 200 . Encuentre d y el valor
posible más corto para d1 para proporcionar una carga emparejada si λ = 100cm. En este caso, tenemos una combinación
de serie de la sección de la línea cargada y el cable terminal puesto en cortocircuito, así usamos que las impedancias y el
diagrama de Smith como un diagrama de impedancia. El requerimiento por emparejar es que la impedancia total normalizada en
la unión (consistiendo en la suma de las impedancias de entrada al cable terminal y la sección cargada principal) es unitaria. Primero,
encontramos z L = 100/200 = 0.5 y marcamos esto en la carta (vea abajo). Transformamos este punto entonces
hacia el generador hasta que localicemos el círculo r = 1 . Esto pasa en dos posibles puntos, indicados como
z en1 = 1 + j.71 y zen2 = 1 − j.71. El cable terminal de la impedancia de entrada debe cancelar la parte imaginaria de la
sección cargada de la impedancia de entrada , o z ens = ±j.71. La longitud del cable terminal más corta que logra esto
se encuentra transformando el punto del cortocircuito en el diagrama al punto z ens = +j 0.71, que produce una
longitud del cable terminal de d 1 = .098λ = 9.8 cm . La longitud de la sección cargada se encuentra entonces transformando
zL = 0.5 en el punto zen2 = 1 − j.71, así que zens + zen2 = 1, como lo requerido. Esta distancia de la transformación
es d = 0.347λ = 37.7 cm.
242
13.37. En la línea de la transmisión de la Fig. 13.17, R L = Z0 = 50 . Determine y trace el voltaje en el
resistor de carga y la corriente en la batería como funciones de tiempo construyendo el voltaje apropiado y
los diagramas de reflexión de corriente: Refiriéndose a la figura, al cerrar el interruptor se lanza una onda de
voltaje cuyo valor se da por la Ec. (50):
V0 Z0
50
2
V0 = V0
=
V1+ =
Rg + Z 0
75
3
Notamos que L = 0, ya que la impedancia de carga se empareja hacia aquella línea. Así la onda de voltaje
atraviesa la línea y no se refleja. El diagrama de reflexión de voltaje debería mostrarse en la Fig. 13.18a,
excepto que ninguna onda está presente después del tiempo t = l/v. Igualmente, el diagrama de la reflexión de corriente
es el de Fig. 13.19a, excepto, nuevamente, que ninguna onda existe después de t = l/v. El voltaje en la carga simplemente será
V1+ = (2/3)V0 durante tiempos más allá de l/v. La corriente a través de la batería se encuentra a través de
V1+
V0
=
A
Z0
75
Esta corriente comienza en t = 0, y continúa indefinidamente.
I1+ =
13.38. Repita el Problema 37, con Z 0 = 50, y RL = Rg = 25. Lleve a cabo el análisis para el periodo de tiempo
0 < t < 8l/v. Al extremo del generador, tenemos g = −1/3, La diferencia está en el extremo de la carga
donde L = −1/3, considerando que en el Problema 37, la carga se emparejó. La onda inicial, como en el último
problema, es de magnitud V + = (2/3)V 0 . Usando estos valores, voltaje y diagramas de la reflexión de corriente
se construye, y se muestra abajo:
243
13.38. (continuación) De los diagramas, se construyen los trazos de voltaje y corriente. Primero, el voltaje de carga se encuentra
agregando los voltajes a lo largo del lado derecho del diagrama de voltaje en los momentos indicados. Segundo, la corriente
a través de la batería se encuentra agregando las corrientes a lo largo del lado izquierdo del diagrama
de la reflexión de corriente. Ambos trazos se muestran abajo, donde se expresan corrientes y voltajes en tres figuras
significantes. Los valores permancen estables, VL = 0.5V y IB = 0.02A, se esperan como t → ∞.
13.39. En la línea de la transmisión de la Fig. 13.17, Z 0 = 50 y RL = Rg = 25 . El interruptor se cierra en t = 0
y se abre nuevamente en el tiempo t = l/4v, creando así un pulso de voltaje rectangular en la línea. Construya un
diagrama de reflexión de voltaje apropiado para este caso y úselo para hacer un trazo del voltaje en el resistor
de carga como una función de tiempo para 0 < t < 8l/v (note que el efecto de abrir el interruptor para comenzar una
segunda onda de voltaje cuyo valor es tal que deja una corriente neta de cero en su huella): El valor de
la onda de voltaje inicial, formada al cerrar el interruptor, será
V+ =
Z0
50
2
V0 = V0
V0 =
Rg + Z 0
25 + 50
3
En interruptor abrierto, una segunda onda, V + , se genera detrás de una corriente neta de salida de cero. Esto significa
que V + = −V + = −(2/3)V0 . También note que cuando el interruptor se abre, el coeficiente de reflexión
en el extremo del generador de la línea se vuelve unitaria. El coeficiente de reflexión en el extremo de la carga es
L = (25 − 50)/(25 + 50) = −(1/3). El diagrama de reflexión se construye ahora de la manera usual, y se muestra
en la próxima página. La trayectoria de la segunda onda se refleja de cualquier extremo y se muestra en las líneas rayadas,
y es una réplica de la primera trayectoria de la onda, desplazada después en tiempo por l/(4v).a Todos los valores para
la segunda onda después de cada reflexión son iguales pero de señal opuesta al inmediatamente precedentes primeros valores
de onda. El voltaje de carga como una función de tiempo se encue0ntra aumentando los valores de voltaje como ellos
se leen moviéndose a lo largo del límite de la mano derecha del diagrama. La función resultante, trazada simplemente abajo,
del diagrama de reflexión, se encuentra para ser una sucesión de pulsos con señales alternadas. Las amplitudes del
pulso se calculan como sigue:
244
13.39. (continuación)
l
1
5l
<t <
: V1 = 1 −
V + = 0.44 V0
v
4v
3
13l
1
3l
1
<t <
: V2 = −
1−
V + = −0.15 V0
v
4v
3
3
2 21l
1
1
5l
<t <
: V3 =
V + = 0.049 V0
1−
v
4v
3
3
3 1
29l
7l
1
<t <
: V4 = −
V + = −0.017 V0
1−
v
4v
3
3
245
13.40. En la línea cargada de la Fig. 13.22, la impedancia característica es Z 0 = 100, y Rg = 300. La
línea se carga al voltaje inicial V 0 = 160 V, y el interruptor está cerrado en t = 0. Determine y trace el voltaje
y corriente a través de la resistencia durante el tiempo 0 < t < 8l/v (cuatro recorridos redondos). Este problema
acompaña el Ejemplo 13.6 como el otro caso especial del problema de la línea cargada básica, en que ahora
Rg > Z0 . Al cerrar el interruptor, la onda de voltaje inicial es
V + = −V0
Z0
100
= −40 V
= −160
Rg + Z0
400
Ahora, con g = 1/2 y L = 1, el voltaje y diagramas de reflexión de corriente se construyen como se muestran
abajo. Los trazos del voltaje y corriente en en el resistor se encuentran entonces aumentando los valores de
los lados izquierdos de los dos diagramas, produciendo los trazos como se muestra.
246
13.41. En la línea de la transmisión de la Fig. 13.34, el interruptor se localiza a la mitad del camino bajo la línea, y se cierra en
t = 0. Construya un diagrama de reflexión de voltaje para este caso, donde R L = Z0 . Trace el voltaje de
resistencia de carga como una función de tiempo: Con la mitad izquierda de la línea cargada en V 0 , cerrando el interruptor iniciado
(en la localización del interruptor) dos ondas de voltaje: El primero es de valor −V0 /2 y se propaga hacia la izquierda;
el segundo es de valor V 0 /2 y se propaga hacia la derecha. La onda dirigida hacia atrás se refleja en la batería
con g = −1. Ninguna reflexión ocurre en el extremo de la carga, ya que la carga se empareja a la línea. El trazo
del diagrama de reflexión y voltaje de carga se muestran abajo. Los resultados se resumen como sigue:
l
: VL = 0
2v
3l
V0
l
<t <
: VL =
2v
2v
2
3l
: VL = V0
t>
2v
0<t <
247
13.42. Un generador de carga helada simple se muestra en la Fig. 13.35. Ambos interruptores están simultáneamente cerrados en
t = 0. Construya un diagrama de reflexión de voltaje apropiado para el caso en que R L = Z0 . Determine y trace el voltaje
de carga como una función de tiempo: Cerrando los conjuntos de los interruptores a un total de cuatro ondas de voltaje como los
mostrados en el diagrama de abajo. Note que la primera y segunda ondas de la izquierda son de magnitud V0 , ya que de hecho
estamos sobreponiendo las ondas de voltaje de las secciones cargadas que actuán solas −V0 y +V0.
El diagrama de reflexión es dibujado y se usa para construir el voltaje de carga con tiempo aumentando
los voltajes hacia arriba de los ejes vertical y de la mano derecha.
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