Tema 2.- MATRICES ESPACIO VECTORIAL PRODUCTO DE

Tema 2.-
MATRICES
! ESPACIO VECTORIAL
! PRODUCTO DE MATRICES
! POTENCIAS
NATURALES
DE
MATRICES CUADRADAS
Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2006-07
1
Un poco de historia
Lord Cayley es uno de los fundadores de la teoría de las matrices,
aunque su amigo Sylvester fue quien acuñó el término matriz (1850),
para distinguir las matrices de los determinantes, que serán estudiados
en el Tema 3. De hecho, la intención era que el término matriz tuviera
el significado de “madre de los determinantes”. Tanto Sylvester como
Cayley son considerados entre los mejores matemáticos de su tiempo.
Sylvester fue el primer profesor del Departamento de Matemáticas en
la Universidad John Hopkins, y fundó la prestigiosa revista American
Journal of Mathematics.
(Sir) Arthur Cayley (1821-1895) nació
nació en Surrey, Inglaterra, y estudió
estudió en la
Universidad de Cambridge. Ejerció
Ejerció la abogací
abogacía y al mismo tiempo escribí
escribía
aportaciones en matemá
matemáticas. Pocos añ
años despué
después de encontrar a su colega Sylvester,
otro licenciado y matemá
matemático, dejó
dejó la abogací
abogacía y se dedicó
dedicó de tiempo completo a las
matemá
matemáticas.
James Joseph Sylvester (1814-1897) nació
nació en Londres, de padres judí
judíos. Entró
Entró en la
Universidad de Cambridge, pero por su religió
religión no pudo obtener un diploma, sino
hasta varios añ
años despué
después de haber terminado sus estudios. Tambié
También ejerció
ejerció la
abogací
abogacía y al mismo tiempo hací
hacía investigaciones en el campo de las matemá
matemáticas. Él
y Cayley tuvieron una larga y fructí
fructífera colaboració
colaboración en la teorí
teoría de los invariantes,
campo relacionado con el Álgebra Lineal.
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A continuación veamos un ejemplo de lo que ocupaba a Cayley. Tres sistemas
coordenados (x , y), (x’ , y’) y (x’’ , y’’) están conectados mediante las siguientes
transformaciones:
La relación entre (x , y) y (x’’ , y’’) se describe con la sustitución:
Esta transformación también puede escribirse como sigue: si abreviamos los tres
cambios de coordenadas mediante las matrices de los coeficientes, tenemos:
Ahora es posible calcular C directamente de A y B, mediante la multiplicación
matricial: C = A · B.
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Ejemplo introductorio: gráficos de computador
en diseño de automóviles
El diseñ
diseño asistido por computador
(CAD) le ahorra a la Ford Motor
Company millones de dó
dólares cada
año. Adoptados por primera vez por
Ford a principios de 1970, CAD y
CAM (fabricació
(fabricación asistida por
computador) han revolucionado la
industria automovilí
automovilística. Hoy dí
día, los
grá
gráficos por computador constituyen
Lincoln Mark VIII de 1993
el corazó
corazón, y el Álgebra Lineal el
alma del diseñ
ñ
o
moderno
de
dise
automó
automóviles.
Muchos meses antes de que se construya un nuevo modelo de automó
automóvil,
los ingenieros diseñ
diseñan y construyen un automó
automóvil matemá
matemático: un modelo
de alambre que existe solamente en la memoria de un computador y en
las terminales de exhibició
exhibición de grá
gráficos.
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Este modelo matemá
matemático organiza e influye en cada paso del diseñ
diseño y fabricació
fabricación
del automó
automóvil. Trabajando en má
más de 2600 estaciones de trabajo para grá
gráficos, los
ingenieros de Ford perfeccionan el diseñ
diseño original, esculpen las lí
líneas fluidas de la
carrocerí
carrocería, ponen a prueba la capacidad de las lá
láminas de metal para soportar las
deformaciones y los dobleces necesarios para producir la carrocerí
carrocería, ajustan la
colocació
colocación de los asientos interiores, planean y disponen las partes mecá
mecánicas, y
producen los planos de ingenierí
ingeniería para los miles de componentes que los
proveedores fabricará
fabricarán. Los ingenieros inclusive hacen pruebas de carretera para
la suspensió
suspensión del carro matemá
matemático, colocan el automó
automóvil en un tú
túnel de viento
matemá
matemático y ¡hacen repetidas pruebas de colisió
colisión del auto en el computador!
El modelo de alambre del automó
automóvil se almacena en muchas matrices de datos para
cada componente principal. Cada columna de una matriz enumera las coordenadas
de un punto sobre la superficie del componente. Las demá
demás columnas describen
cuá
cuáles puntos se deben conectar con curvas. Un escá
escáner tridimensional genera los
puntos de datos originales pasando sensores por un modelo de arcilla de tamañ
tamaño
natural del automó
automóvil. Las piezas individuales del interior del automó
automóvil tambié
también se
almacenan como matrices de datos. Los componentes má
más pequeñ
pequeños se trazan con
software de grá
gráficos por computador en la pantalla y las piezas mayores se forman
ensamblando matemá
matemáticamente los componentes má
más pequeñ
pequeños.
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Posteriormente, los programas matemá
matemáticos generan má
más puntos, curvas y
datos para interpretar y dibujar la superficie exterior del automó
automóvil, haciendo
que éste se vea tan real en la pantalla que parezca un automó
automóvil de verdad en
la sala de exhibició
exhibición de un distribuidor. Los clientes potenciales opinan
mientras el automó
automóvil gira en el “piso de la sala de exhibició
exhibición”. Si a los
clientes no les gusta el automó
automóvil, el diseñ
diseño puede cambiarse antes de que se
construya el coche real.
Ya sea que trabajen en el diseñ
diseño general de la carrocerí
carrocería o modifiquen un
componente pequeñ
pequeño, los ingenieros llevan a cabo varias operaciones bá
básicas
sobre imá
imágenes grá
gráficas, como cambiar la orientació
orientación o la escala de una
figura, hacer un acercamiento de alguna regió
región pequeñ
pequeña o cambiar entre
vistas bi y tridimensionales. El Álgebra Lineal es en verdad el “alma”
alma” del
software de grá
gráficos porque todas las manipulaciones de imá
imágenes en la
pantalla se logran mediante té
é
cnicas
de
Á
lgebra
Lineal.
t
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Sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas:
" incógnitas:
" coeficientes:
" términos independientes:
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La teoría de matrices ofrece la posibilidad de trabajar
cómodamente con modelos de gran dimensión, tanto en
número de variables, como de ecuaciones o datos, ya que
brinda una notación simple y compacta para designar
amplios conjuntos de información. Esto redunda a su vez en
una mayor facilidad a la hora de trabajar con estos conjuntos
de datos desde un punto de vista computacional.
La teoría de matrices no sólo debe su importancia a la bondad
de sus cualidades operativas, sino que además tiene gran
relevancia teórica, ya que una matriz es la representación de
determinadas transformaciones vectoriales (aplicaciones
lineales)
lineales
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MATRICES
MATRIZ DE ORDEN
.-
Toda distribución de elementos
filas y n columnas
dispuestos en m
Habitualmente se denotan las matrices con letras mayú
... ) y con
mayúsculas ( A, B, C,...
minú
minúsculas los elementos que las constituyen. Dado que los elementos está
están
ordenados en filas y columnas, al elemento que en una matriz ocupa el lugar de la
fila i--ésima y la columna j--ésima se le denotará
denotará por aij . Es decir, con el primer
subí
subíndice i se indica la fila en la que está
está el elemento y con el segundo subí
subíndice j ,
la columna.
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Dos matrices del mismo orden
se dicen iguales, y se escribe
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y
si:
" Matriz fila:
" Matriz columna:
" Matriz nula:
todos sus elementos son 0.
" Matriz opuesta de
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" Matriz cuadrada de orden n:
Mismo nú
número de filas
que de columnas
forman la diagonal principal
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Los siguientes conceptos se refieren exclusivamente a matrices cuadradas:
" Matriz triangular superior
Ceros debajo de la diagonal principal
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" Matriz triangular inferior
Ceros encima de la diagonal principal
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" Matriz diagonal
" Matriz unidad
Ceros fuera de la diagonal principal
" Matriz escalar
Ceros fuera de la diagonal principal,
unos en la diagonal principal
Delta de Kronecker
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SUMA DE MATRICES.
PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ
conjunto de todas las matrices de orden
con elementos reales.
La aritmética para vectores que se describió en el tema anterior admite una
extensión natural a las matrices. Si A y B son matrices
, entonces
la suma A + B es la matriz
cuyas columnas son las sumas de las
columnas correspondientes de A y B. Puesto que la suma vectorial de las
columnas se hace por entradas, cada entrada en A + B es la suma de las
entradas correspondientes de A y B. La suma A + B está definida sólo
cuando A y B son del mismo tamaño.
Si r es un escalar y A es una matriz, entonces el múltiplo escalar r · A
es la matriz cuyas columnas son r veces las columnas correspondientes de
A. Al igual que con vectores, definimos –A como (–1) · A y escribimos
A – B en vez de A + (–1) · B.
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SUMA DE MATRICES.- (Operació
Operación interna en
Sean
)
,
"
A y B tienen que tener el mismo orden
"
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PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ.(Operació
Operación externa en
Sean
con dominio de operadores
)
,
"
"
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ESPACIO VECTORIAL
.-
es un espacio vectorial real para las dos operaciones que
hemos definido:
. Ademá
Además:
Observaciones." Matriz nula:
" Matriz opuesta:
" La base canó
canónica de
es:
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PRODUCTO DE MATRICES
Si
es una matriz
define la matriz producto
matriz
tal que:
y
es una matriz
, se
, en este orden, como la
fila i de A
columna j de B
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-ATENCIÓN.- Dos matrices se pueden multiplicar sólo si
el número de columnas de la primera matriz es igual al
número de filas de la segunda matriz.
-Ejemplo.-
Propiedades del producto de matrices.1.2.3.4.- El producto de matrices no es necesariamente conmutativo
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"
"
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se puede hacer este producto, pero
no se puede hacer
es una matriz
es una matriz
"
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-OBSERVACIONES.-
1.- El producto de matrices no es necesariamente
conmutativo.
2.- Puede ser
con
y
.
3.4.-
no implica necesariamente
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.
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POTENCIAS NATURALES DE
MATRICES CUADRADAS
Una de las herramientas principales en el estudio de las ecuaciones diferenciales
lineales es el álgebra matricial. En concreto, el cálculo de potencias naturales de
matrices cuadradas resulta de gran interés en el estudio de las ecuaciones
diferenciales.
Además, las potencias de matrices desempeñan un papel importante en diversas
aplicaciones, como por ejemplo en el modelo de Leontief de entrada-salida.
Si
y
:
-PROPIEDADES.-
1.2.-
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TRASPUESTA DE UNA MATRIZ
Cambiar filas por columnas
-PROPIEDADES.1.2.3.4.Atención
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Las matrices (cuadradas) simé
simétricas y antisimé
antisimétricas se pueden caracterizar
utilizando la relació
relación que tienen con sus traspuestas.
Sólo para matrices cuadradas
! A simétrica si y sólo si
! A antisimétrica si y sólo si
, es decir:
, es decir:
¿Cómo son los elementos de la diagonal principal
de una matriz antisimétrica?
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A continuació
continuación estudiamos ciertas matrices que deben su peculiaridad al
comportamiento que presentan sus potencias. Las matrices idempotentes, por ejemplo,
desempeñ
desempeñan un papel importante en algunas áreas de la Estadí
Estadística y la Econometrí
Econometría.
Sólo para matrices cuadradas
! A periódica si
. Si p es el menor
número natural que satisface
, entonces
decimos que A es una matriz periódica de período p.
! A idempotente si
.
! A nilpotente si
. Si p es el
menor número natural que satisface
,
decimos que A es una matriz nilpotente de índice p.
! A involutiva si
.
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CONCEPTO DE MATRIZ
RECTANGULAR
Casos especiales
ÁLGEBRA DE MATRICES
Matriz fila
Matriz columna
Matriz nula
Matriz cuadrada
Matriz triangular superior
Matriz triangular inferior
Matriz diagonal
Matriz escalar
Matriz unidad
Igualdad
Suma/Resta
Multiplicación por un escalar
Producto
Potenciación entera
Propiedades
Trasposición
Determinante
Inversión
Matrices
especiales
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Matriz periódica
Matriz idempotente
Matriz nilpotente
Matriz involutiva
Matriz simétrica
Matriz antisimétrica
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