Ejercicios Tema 1 - Teoría Macroeconómica I

Ejercicios Tema 1
I. Considere una economía de trueque en la cual se producen dos bienes. El bien 1 puede ser
consumido o utilizado en la producción del bien 2. En cambio, el bien 2 sólo se puede consumir. El
bien 1 se produce con trabajo del tipo 1 de acuerdo a la siguiente función de producción: Y1 = F1
(L1). El bien 2 se produce con el bien 1 y con trabajo del tipo 2, de acuerdo con la función de
producción: Y2 = F2 (I1, L2), donde I1 es la cantidad del bien 1 usada como insumo en la producción
del bien 2 (véase el ejemplo más abajo).
Las empresas buscan maximizar sus beneficios: 1 y 2. Suponiendo que las empresas operan
en un régimen de competencia perfecta entonces las funciones de demanda de los insumos (L1d,
L2d, I1d) y las funciones de oferta (Y1s, Y2s) en cada sector se derivan de las condiciones de primer
orden de la maximización del beneficio suponiendo dados los precios y salarios y las funciones de
producción.
----------------------Ejemplo: Derive las funciones de demanda de insumos y oferta de producto suponiendo las
siguientes funciones de producción:
Y1 = A1 L11-
Y2 = A2 I1 L21
---------------------------Los hogares proveen trabajo de tipos 1 y 2 con una oferta inelástica, y compran los bienes 1 y
2 para consumirlos. Los hogares maximizan la función de utilidad: U = U (C1, C2), sujeta a la
restricción presupuestal: z = p1 C1 + p2 C2, donde z es el ingreso de los consumidores que incluye
los ingresos por salarios y las ganancias de las empresas en los dos sectores (z = w1 L1 + w2 L2 +
1 + 2). Del programa de maximización se derivan las funciones de demanda de los dos bienes
(C1d, C2d) como funciones de los precios y el ingreso.
------------------------Ejemplo: Derive las funciones de demanda de consumo suponiendo que la función de utilidad es:
U = ln C1 + ln C2
donde ln se refiere a logaritmo natural de la variable.
---------------------------Escriba las condiciones de equilibrio de mercado para cada bien y tipo de trabajo y muestre
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que las mismas proporcionan condiciones suficientes para determinar cantidades y precios
relativos de equilibrio. De una interpretación económica de las condiciones de primer orden de la
maximización de los beneficios y la utilidad. Note que p1/p2 es el número de unidades del bien 2
que deben darse a cambio de una unidad del bien 1. ¿Qué representa cada una de las siguientes
expresiones w1/p1, w1/p2, w2/p1, w2/p2?
II. Ahora suponga que en vez de producir dos bienes en el mismo periodo, la economía descrita
arriba produce un solo bien en dos periodos diferentes, es decir el bien 2 es el mismo que el bien 1
pero se produce en el periodo 2. Así mismo, el trabajo es en realidad homogéneo y la única
diferencia entre el trabajo de tipo 1 y el de tipo 2 se refiere al periodo de tiempo en el cual el trabajo
es utilizado como insumo en la producción. ¿Cómo se interpretan ahora p1/p2 y w2/p2? ¿Qué es ?
¿Qué clase de mercados son el mercado para el bien 2 y el mercado para el tipo de trabajo 2?
Reinterprete, en el contexto de esta economía intertemporal, las condiciones de primer orden
(CPO) de los programas de maximización de los beneficios y de la utilidad y la restricción
presupuestal. Muestre, en particular, que:
1. Las CPO de la maximización del beneficio implican que las empresas maximizan el valor
presente descontado de los dividendos corrientes y futuros.
2. La restricción presupuestal de los hogares implica que el valor presente descontado del plan de
consumo es igual al valor presente descontado del ingreso actual y futuro.
3. Las CPO para la maximización de la utilidad arrojan la ecuación de Euler:
C2 / C1 = (1+r)/(1+), donde r es la tasa de interés y es la tasa de descuento, tal que  = 1/(1+).
¿Cuáles son los supuestos hechos, en este modelo intertemporal, sobre la información disponible
para los hogares y las empresas? ¿Por qué se puede decir que el modelo supone que existe
previsión perfecta? ¿Cuáles son las razones, según su punto de vista, que imposibilitan el
surgimiento de mercados de futuros (para bienes y trabajo) en la vida real?
4. Derive la ecuación de Euler suponiendo funciones de utilidad alternativas. Suponga que la
utilidad total descontada (U) es U = u1 + u2. Primero, considere una función de utilidad cuadrática
de la forma: ui (Ci) = Ci – (a/2) Ci2 donde i = 1, 2, y muestre que la ecuación de Euler implica
entonces: 1 – aC1 = (1 + r) (1 – aC2). Considere también una función de utilidad de la forma: ui
(Ci) = Ci1- /(1 - ) donde es un parámetro positivo llamado el coeficiente de aversión relativa al
riesgo.
III. Ahora se introduce el ocio en la función de utilidad. Suponga, por tanto, que la utilidad
descontada está dada por:
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U = u1 + u2, donde
ut = a ln Ct + b ln (Lo – Lt), para t = 1, 2
Muestre que, además de la ecuación de Euler, las CPO del progama de la maximización de la
utilidad implican:
(Lo – L1) / (Lo – L2) = w2 (1+) / w1 (1+r)
Ct / (Lo – Lt) = (a/b) wt
t = 1, 2
Interprete estos resultados y explique cómo y por qué la tasa de interés afecta la oferta de
trabajo en el modelo con dos periodos ¿Hace el modelo que estamos analizando el supuesto de
pleno empleo? Si no es así, ¿qué está suponiendo el modelo en relación al empleo del factor
trabajo?
IV. Ahora suponga que existen bienes de capital durables. Las empresas maximizan el valor
presente y futuro de los dividendos sujetas a: a) las funciones de producción Y1 = A1 F1 (K1, L1) y Y2
= A2 F2 (K2, L2); b) un acervo de capital inicial igual a K1; c) la relación: K2 = K1 + I1 – K, donde I1
es la inversión en el periodo 1 y es la tasa de depreciación Suponga que las empresas
distribuyen como dividendos el capital sobrante al final del periodo 2, es decir [(1-) K2] ¿Cuáles
son las CPO de este programa de maximización? Muestre en particular que una de ellas es: A2
F2’K2 = r + . ¿Cómo se relaciona esta condición con las expuestas en los modelos anteriores?
V. Extendamos ahora el modelo a un horizonte infinito obteniendo así una versión simple del
modelo de Ramsey. La economía consiste de un gran número de empresas que maximizan
beneficios bajo competencia perfecta y un gran número de hogares que maximizan utilidad. No hay
progreso técnico ni crecimiento poblacional. La función de producción es Cobb-Douglas de manera
que el producto en el periodo t es:
(1) Yt = Kt Lt1-
0 < < 1
El producto se divide en consumo (C) e inversión (I). Una fracción del capital se deprecia en cada
periodo. El capital en el periodo t + 1 es entonces:
(2) Kt+1 = Kt + It – Kt
= Kt + Yt – Ct - Kt
El trabajo y el capital reciben cada uno su producto marginal, de manera que el salario real (w) y la
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tasa de interés real (r) en el periodo t son:
(3) wt = (1 - ) (Kt/Lt)

(4) rt = (Lt/Kt)1- - 

Los consumidores maximizan el valor de:
donde = 1/(1 + ), siendo  la tasa de descuento.
Este programa de maximización arroja la siguiente ecuación de Euler:
(5) Ct+1/Ct = (1 + rt+1)/(1 + )
Llame Y*, K*, C*, w* y r* a los valores del producto, el capital, el consumo, el salario real y la tasa
de interés real en la trayectoria de crecimiento equilibrado (que en ausencia de progreso técnico y
crecimiento poblacional es una trayectoria en la que los valores de esas variables son constantes).
1. Use las ecuaciones (1) a (5) y el hecho de que Y*, K*, C*, w* y r* son constantes en la
trayectoria de equilibrio para encontrar cinco ecuaciones en esas cinco variables.
2. Examine los efectos de una caída en la tasa de descuento sobre la trayectoria de equilibrio.