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Guía de Trabajos Prácticos Nº2
ÁLGEBRA II (L.S.I – P.I.)
ÁLGEBRA II
2011
(L. S. I. – P. I.)
G
Guuííaa ddee TTrraabbaajjooss P
Prrááccttiiccooss N
Nºº 22
Facultad de Ciencias Exactas y Tecnologías
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SANTIAGO DEL ESTERO
Espacios Vectoriales
1.- Dados los vectores u, v, w, r = 2, s = 3 verifique gráficamente:
u
v
w
a)
b)
c)
d)
u+v=v+u
(u + v) + w = u + (v + w)
(r + s) w = r w + s w
r (v + w) = r v + r w
2.- Sea V = { (x, y) / x, y ∈ R},con la suma habitual de R2 y el producto para λ ∈R definido de la
siguiente manera :
a) λ (x,y) = (λ x,0)
b) λ (x,y) = (λ x,λ y)
c) λ (x,y) = (λ + λx – 1,λ + λy - 1)
d) λ (x,y) = (λ y,λ x)
Diga para cada uno de los casos, si (V, +, R, .) tiene estructura de espacio vectorial.
3.- Sea S el conjunto de todas las sucesiones de números reales.
Si x = (x n)n∈N = (x1, x2, x3,...) e y = (y n) n∈N = (y1, y2, y3,...) son elementos de S y λ ∈ R,
se definen las sucesiones x + y y λx mediante las fórmulas:
x + y = (x n + y n) n∈N = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3,...)
λx = (λ x n) n∈N = (λx1, λx2, λx3,...)
Pruebe que con las operaciones dadas por estas fórmulas S es un espacio vectorial real.
4.- Sea V = {x / x ∈ R, x > 0} con las siguientes leyes definidas:
Suma: Para x ∈ V, y ∈V se define x ⊕ y = x . y
r
Multiplicación: r ∈ V, x ∈ V se define r ⊗ x = x
Muestre que V es un espacio vectorial sobre sí mismo.
5.- Sea el espacio vectorial
z
n
2
sobre el cuerpo Z2.
Observación:
n
z 2 es el conjunto de todas las n-adas de elementos del cuerpo Z2.
Las operaciones suma y multiplicación por un escalar se definen en
Verifique que para v = (1,1,0,0,1,0) y w = (0,1,1,0,1,1) en
a) v + w = w + v
b) – v = v
z
6
2
c) r . v ∈
z
n
2
como en Rn.
se cumple que:
z
6
2
para todo r en Z2
6.- Sea V = { x ∈ R / x > 0 } con la suma y la multiplicación por escalar definidas como sigue:
Suma: Sean x, y ∈ V; entonces x + y = x + y
Guía de Trabajos Prácticos Nº2
ÁLGEBRA II (L.S.I – P.I.)
Multiplicación: Sean r ∈ R, x ∈ V; entonces rx = r . x
Determine si (V, +, R, . ) tiene estructura de espacio vectorial.
7.- Determine si V = { A ∈ R2x2 / a 12 = 3} con la adición matricial y el producto por escalares de
R es un espacio vectorial.
8.- Determine si S es un Subespacio vectorial de V en cada caso.
2
2
2
a) Sea V = R y
i) S = {(x, y) )∈ R / y = x-2}
ii) S ={(x, y)∈ R /y = 3x}.
b) Sea V =
R
nxn
t
c) Sea V = CCnxn
d) Sea V = CC2
e) Sea V =
3
R
z
3
2
ii) S= { A / A∈ cc }
S = {z ∈ CC2 / z tiene componentes puramente imaginaria}
3
3
y i) S = {P∈ P R / P(0) = 0}
ii) S = { P∈ P R / P tiene grado 2}
1
i) S = {f ∈C[0,1]/ ∫ f ( x)dx = 0 }
f) Sea V = C[0,1]
g) Sea V =
nxn
i) S= {A∈ CCnxn / A =A }
y
P
ii) S={ (aij) / aij > 0,∀ i,j = 1,2,...,n }
i) S ={(aij)/ aij = 0 ,∀ i,j = 1,2,...,n}
R
0
y S ={(0,0,0), (1,0,0)}.
ii) S = {f ∈C[0,1]/ ∃µ∈R: f(x)< µ }
ii) S = {(1,1,0), (0,1,0)}
Observación:
Un subconjunto de
z
n
2
se llama código lineal si y solo si es un Subespacio de
z
n
2
9.- Sea V = RR2 x 2 , sean S1 = { A ∈ RR2 x 2 / a11 = 0} y S2 =  A ∈ RR2 x 2 / A =  −b a  
a b



a) Demuestre que S1y S2 son subespacios de V.
b) Caracterice el conjunto S = S1 ∩ S2 y muestre que es un subespacio de V.
10.- Dados los vectores u = (1,0), v = (0,1), w = (1,-1). Determine gráfica y analíticamente cada
uno de ellos como combinación lineal de los otros.
11.- Determine si el/los siguientes vectores se encuentran en el subespacio generado por A.
a) u = (1,-5,0) y v = (1,1,1) con A = {(2,-1,3),(1,1,2)}
 1 2  3 2 
 − 3 2
0 0
b) B = 
y N =
con A = 
, 



− 4 1 
0 0
 − 2 1   − 1 1  
c) P(x) = 2x+x2
y Q(x) = 2 – 3x + 4x2 + x3 con A = {x + x2, x + x3, x + x2 + x3}
1  2  
 3
 4
d) v =   , w =   , con A =  ,   
 5
6
1  4  
e) H (x) = cos 2x definida en R, con A = { cos2(x) , sen2(x)}
12.- Determine el subespacio generado por los siguientes conjuntos.
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a) A ={(1,2),(3,4)} en R2
1  2 
b) A=  ,   en R2x1
1  2 
 2   3   5 
     
c) A =  0 ,  1 ,  1  en R3x1
 1   2   3 
     
d) A = {(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)}en R1x3
e) A = {1-x, 3 – x2}en
P
2
f) A = {3 – x2, x, 1-x}en
R
P
2
R
2 1  0 0 3 − 1 0 0 
1 0 1 2 2 − 1 
2x2
g) A= 
,
,
,
h) A = 
 en R




, 
, 
  en
 0 0   2 1  0 0  3 1  
1 0 0 0 3 0  
2
13.- R2x2Sea V = P R y u = 3x,
v = 2 x2,
w = 6x – 4x2. Muestre que el Subespacio generado
por A = {u, v, w} es el mismo que el generado por B = {u, v}. Justifique.
14.- Si A = {v1, v2, v3,...,vn}generan un espacio VF y si a1 v1 + a2 v2 + a3 v3 +...+ an vn = 0v, en
donde a1 ≠ 0 ponga en manifiesto que { v2, v3,...,vn } también generan VF.
15.- Dadas las siguientes matrices, determine el espacio fila y el espacio columna.
3
1
 1 1 3
− 2 1 

A = − 1 − 5 ,
B= 
,
C= 




 − 1 2 0
 2 − 1
 0 − 2
16.-Demuestre que A = {1, x2} genera los polinomios pares de
P
3
R
.
Observación:
Se dice que un polinomio es par si sus términos son constantes multiplicadas por potencias pares de x.
17.- De los siguientes conjuntos de vectores determine cuales son linealmente independientes, en
caso de dependencia lineal, exprese un vector como combinación lineal de los demás.
a) A ={(2,0), (0, 1) } en R2
b) A = {(1,-3), (-2, 6)} en R2
c) A ={(1, i, 0), (0, 1, i), (i, i-1, -1)}en C3
d) A = {(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0)}en R3
e) A ={x + 1, x2 – 2, x – 1, 3} en
P
1 2 − 2 3 − 1 5 
g) A = 
, 
, 

0 3  2 0  2 3 
2
2
R
.
f) A = {1+ x, 2 - x}en
1
P
R
.
− 3 0 1 1 2 2 1 1 
2x2
h)A = 
, 0 0, 2 0, 1 1  en R
0
0
 
 
 


2
2
18.- Demuestre que los vectores (1, a, a ), (1, b, b ) y (1, c, c ) son linealmente independientes
si a ≠ b, a ≠ c, b ≠ c.
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19.- Determine, si existen, los valores reales de c para que
A = {(1 – c , 1+ c), (1+ c, 1 – c )} sea l.i.
 0 1  0 − i  1 0  
, 
, 
  , muestre que S es l. i. en
1 0  i 0  0 − 1 
20.- Dado el conjunto S = 
c
2x2
c
.
Observación:
El conjunto S se denomina conjunto de las matrices de espín de Pauli, que es empleado en el estudio
del espín del electrón en mecánica cuántica. La independencia lineal de este conjunto es muy
importante para este estudio.
21.- Determine si en los siguientes conjuntos de vectores en C [0,1] son linealmente dependientes
o independientes
{
b) A = x, x , 3 x
a) A = { sen x, cos x}
}
22.- Sean f y g elementos de las funciones derivables en [0,1]. El Wronskiano de f y g está
definido por W(f, g)(x) = f ( x)
g ( x)
. Demuestre que si f y g son l.d., entonces W(f, g)(x)=0
f ' ( x) g ' ( x)
23.- En cada uno de los casos del ejercicio 12 y 17 diga cuáles de los conjuntos dados pueden o
no, ser base del espacio vectorial respectivo. Justifique.
24.- Determine si los siguientes conjuntos forman una base del espacio indicado.
a) V=
P
3
R
; B = {x3-x + 2, x2 , 2}
 2 0 0 − 3 0 0  0 0 
b) V = R2x2 ; B = 
, 
, 
, 

  0 0  0 0  0 1   − 1 0  
25.- Muestre que un conjunto de dos vectores de R3 no puede generar R3.
26.- Sean u = ( 2, -3), v = (4, -2), w = (-4, 3) vectores de R2. Sin realizar ningún cálculo diga
porque A = {u, v, w} es linealmente dependiente. Justifique.
27.- Determine en cada caso una base y la dimensión del Subespacio fila y del Subespacio
columna calculados en el ejercicio 15. ¿Qué conclusión extrae?
28.- Establezca si el siguiente conjunto es base del espacio de las matrices simétricas de orden 2
con traza cero.
 0 1  1 0  
A=  
, 

 1 0 0 − 1 
29.- Determine una base y la dimensión de los siguientes subespacios.
a) S = {(x, y, z) ∈ R3/ y = 2z}
b) S = {ax 2 + bx + c ∈ PR 2 / a = −3c}
 a b 

2x2
∈ R / a = d = −c 

 c d 

c) S = 
2
30.- Sea V= P R y B = {1, 1+x, 1+x2} y B’ = {1, x, x2} bases de V
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a) Calcule las coordenadas del vector P(x) = 2 – 3x + 5x2 respecto de la base B.
b) Calcule las coordenadas del vector P(x) = 2 – 3x + 5x2 respecto de la base B’.
1
1


c) Determine Q(x) y R(x) sabiendo que: [Q(x)]B = 2 , [R(x)]B’ =  2 
 
 
− 3
− 3
31.- Sean U = {(x, y, z)/ x = y = 0}, V={(x, y, z)/ x = z}, W = {(0, 0, z)/ z∈ R} subespacios de R3.
a) Caracterice U∩V y U∩W. Determine su dimensión
b) Caracterice U+V y U +W. Determine su dimensión
c) Verifique el teorema de las dimensiones.
d) ¿Es R3 = U⊕V? Justifique.
e) ¿Es R3 = U⊕W? Justifique.
32.- Sean U el subespacio de las matrices triangulares superiores y V el subespacio de las
matrices triangulares inferiores de R3x3. ¿Es R3x3 = U⊕V? Justifique.
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Á LG EB R A I I
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G
Guuííaa C
Coom
mpplleem
meennttaarriiaa N
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EJERCICIOS RESUELTOS
Espacios Vectoriales. Subespacios.
1- Sea F un cuerpo y sea F = {(a1, a2, ...,an) / ai ∈ F ∀ i=1,2,...,n). Se definen las siguientes
leyes:
Si (a1,a2,...,an), (b1,b2,...,bn) ∈ Fn y α ∈ F se tiene:
(a1, a2 ,..., an) + (bl,b2,...,bn) = (a1 + b1, a2 + b2 , ..., an + bn)
y α (a1, a2, ..., an) = (α a1, α a2 ,..., α an)
Pruebe que (Fn,+,F,.) es un espacio vectorial
Respuesta
Sea V ≠ ∅ y F un cuerpo. Sean + : V x V→ V y • : F x V → V leyes interna y externa
respectivamente. (V,+,F, .) es un espacio vectorial sii verifica los siguientes axiomas:
V1) + es asociativa
V2) Existe neutro en V con respecto a +
V3) Todo elemento de V admite opuesto
V4) + es conmutativa.
V5) ∀ u, v ∈ V, ∀ a ∈ F: a (u + v) = a u + a v.
V6)∀ v ∈ V, ∀ a,b ∈ F: (a + b)v = a v + b v.
V7)∀ v ∈ V, ∀ a,b ∈ F: (ab)v = a(bv).
V8) ∀ v ∈ V, 1 v = v
Para que Fn sea un espacio vectorial sobre F, deben verificarse los 8 axiomas:
V1) Sean (a1,...,an),(b1,...,bn),(cl,...,cn) ∈ F , entonces:
[(a1,...,an) + (b1,...,bn)] + (c1,...,cn) =(1)
=(a1+b1,…,an+bn)+(c1,…,cn)=((a1+b1)+c1,…,(an+bn)+cn)=(2)
=(a1+(b1+c1),…,an+(bn+cn))=(a1,…,an)+(b1+c1,…,bn+cn)=(1)
=(a1,…,an)+[(b1,…,bn)+(c1,…,cn)]
Luego + es asociativa.
V2) El vector nulo Ov = (0,0,...,0) es el neutro donde 0 es el neutro con respecto a + del cuerpo F.
En efecto: Sea (a1, a2,..., an) ∈ Fn
(l)
(2)
(a1, a2,..., an) + (0,0,...,0) = (a1 + 0, a2 + 0,..., an + 0) = (a 1, a 2,.., an)
V3) v ∈ Fn, - v e F n/ v + (- v) = (- v) + v = Ov
Efectivamente, si v = (a1, a2,...,an) entonces -v = (-a1,-a2,…,-an) donde cada componente de - v
es la opuesta de la respectiva componente de v, por lo que:
(1)
(2)
v + (-v) = (a1, a2,..., an) + (-a1, -a2,..., -an) = (a1- a1, a2 - a2,..., an - an) = (0, 0,..., 0)
V4) Pruebe el alumno la conmutatividad.
V5) Sean: u = (a1,a2,…,an), v = (b1,b2,…,bn) ∈ Fn y a ∈ F entonces:
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(1)
(2)
a (u + v) = a ((a1, a2,..., an)+(b1, b2,..., bn)) = a (aj + bj, a2 + b2,.--, an + bn) =
(3)
= (a (a1 + b1), a (a2 + b2),…, a (an + bn)) = (a a1 + a b1, a a2 + a b2,…, a an + a bn) =
(1)
= (a a1, a a2,…,a an)+(a b1, a b2,…, a bn) = a (a1, a2…, an) + a (b1, b2,…, bn) = a u + a v
Verifique el alumno los axiomas restantes.
Nota
(1) Por definición de +
(2) Como las componentes, son elementos del cuerpo F, son válidas todas las propiedades para las leyes + y .
definidas en F.
(3) Por definición de la ley externa.
2- Sea K un subcuerpo del cuerpo F. Demuestre que F es un espacio vectorial sobre K.
Respuesta
Como F es un cuerpo se tiene que (F,+) es un grupo abeliano, luego se verifican los axiomas V1,
V2, V3 y V4.
Falta ver entonces, si se verifican los restantes.
V5) Se debe probar que ∀ u, v ∈ F y ∀ a ∈ K: a(u + v) = au + av
Pero si a ∈ K entonces a ∈ F por ser K ⊂ F, luego se trata de tres elementos del cuerpo F, en
el que vale la distributividad del producto con respecto a la suma (se trataría de la
distributividad por izquierda).
V6) Ídem al anterior (en este caso se trataría de la distributividad en F por derecha).
V7) Se debe probar que ∀ α, β ∈ K y ∀ v ∈ F: (α β) v = α (β v).
Pero si α, β ∈ K entonces α, β ∈ F (por hipótesis), luego se tiene el producto de tres
elementos de F, y por ser F un cuerpo el producto es asociativo.
V8) 1 ∈ K por ser K un subcuerpo de F
Luego ∀ v ∈ F: l.v = v, por ser 1 la unidad del cuerpo F.
Observación;
Analizando los ejercicios (1) y (2) y trabajando de forma análoga se puede demostrar que si K es un subcuerpo del
cuerpo F, entonces (Fn ,+,K,.) es un espacio vectorial.
De estas generalizaciones se desprenden algunas particularizaciones, lo que nos permite afirmar que: (R,+,R,.),
(R,+,Q,.), (Rn,+,R,.), (Cn,+,C,.), (Cn,+,R,.) y otros son espacios vectoriales.
Encuentre el alumno otros ejemplos.
3 - Sea V = R3R (espacio vectorial R3 sobre el cuerpo R).
Determine si W es un subespacio de V donde:
i) W= {(a,b,0)/a, b ∈ R}
ii) W= {(a,b,c)/a=b2}
Respuesta
Recordando las condiciones necesaria s y suficientes para que W sea subespacio de V:
Sea V un despacio vectorial sobre el cuerpo F y sea W ≠ ∅ tal que W⊂V, entonces:
(W,+,F, .) < (V,+,F,.)
⇔ i) ∀u,v∈W: u+v ∈ W
ii) ∀a∈F , ∀ u∈W: au ∈ W
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I)
II)
W ≠ ∅ pues (0,0,0) ∈ W (1).
Además W ⊂ V por definición de W (2).
Ahora bien, sean u = (a,b,0), v=(a',b',0) ∈ W y a ∈ F se tiene que: u + v = (a,b,0) +
(a',b',0) = (a+a’,b+b’,0)∈W (3)
a u = a (a, b, 0) = (a a, a b, 0) e W (4)
De (1), (2), (3) y (4) se tiene que W es un subespacio de R3
W ≠ ∅ pues (0,0,0) ∈ W ya que 0 = 02
W ⊂ V por definición de W.
Ahora bien, sean u=(a, b, c), v = (a’, b’, c’) ∈ W y a ∈ F esto implica que
a = b2 y a'= b'2 (*)
Ahora bien: u + v = (a, b, c) + (a’, b’, c’) = (a + a’, b + b’, c + c’)
para que u + v pertenezca a W debe ocurrir que a + a’ = (b + b’)2
pero por (*) resulta que: a + a’ = b2 + b'2 ≠ (b + b’)2
luego u + v ∉ W y por lo tanto W no es un subespacio de V.
4- Sea AX = 0v un sistema homogéneo de m ecuaciones lineales con n incógnitas y sea W su
conjunto solución. Pruebe que W es un subespacio de Rnx1 sobre R.
Respuesta
Si el sistema es determinado entonces W = {Ov } y se trata del subespacio trivial nulo.
Si el sistema es indeterminado existen entonces infinitas soluciones de la forma:
‫ݔ‬ଵ
‫ݔ‬ଶ
x = ൦ ⋮ ൪ ∈ Rnxl,
‫ݔ‬௡
luego W ⊂ Rnxl y además W ≠ ∅ pues W contiene al menos la solución trivial del sistema.
Ahora bien: sean X' y X" dos soluciones cualesquiera del sistema y k ∈ R
es decir: A X' = Ov y AX"=OV
(a)
se debe probar que X'+ X" ∈ W y k X' ∈ W
Probar que X'+ X" ∈ W significa probar que X'+ X" satisface el sistema dado, es decir debe
verificarse que A (X'+ X") = Ov
(1)
(2)
Entonces: A (X'+ X") = A X’ + A X’’ = Ov + Ov = Ov luego X' + X" ∈ W
(3)
(2)
(4)
Análogamente: A (k X') = k (A X') = k Ov = Ov luego k X' ∈ W
Nota:
(1) Por distributividad del producto con respecto a la suma de matrices
(2) Por (a)
(3) Por propiedad del producto de matrices por escalar.
(4) Por propiedad del producto por escalares.
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EJERCICIOS PROPUESTOS
1- Determine en el siguiente paralelogramo
a.
b.
¿Qué flechas representan el mismo vector?
¿Qué flechas representan vectores opuestos?
2- Dados los vectores u, v, w, tales que: u = (3, 2), v =( -1,2), w =(2,-3 ), r =2 y s = -3 , muestre
gráficamente que:
a) u+v=v+u
b) (u + v) + w = u + (v + w)
c) (r+s) v =rv +sv
d) r (u + v) = r u + r v
3- El agua de un río fluye de norte a sur a una velocidad de 4 km/h (1 kilómetro = 0,6412 millas).
Un bote está cruzando el río a una velocidad de 12 km/h y con dirección 30° sureste. Emplee un
diagrama a escala para aproximar la dirección y la velocidad del bote con relación a tierra.
4- Dado el vector v = OA
A
v
O
a.
b.
3
1
Dibuje v, − v, 2v, − v
2
2
¿Qué figura geométrica determina el conjunto de los puntos extremos de los múltiplos
escalares de v, si los puntos iniciales están todos en O?
5- a) Sea Pn(x) el conjunto de todos los polinomios de grado menor o igual que n con
coeficientes en un cuerpo F. Pruebe que este conjunto con la suma usual de polinomios y el
producto de un escalar por un polinomio constituye un espacio vectorial sobre el cuerpo F.
b) Pruebe que el conjunto de los polinomios de grado igual a n no es un espacio vectorial.
6- Determine si el siguiente conjunto es espacio vectorial junto a las operaciones indicadas.
El conjunto de todos los pares de números reales (x, y) con las operaciones:
(x, y) + (x’, y’)=(x+x’+1, y+y’+1)
k (x, y) = (k x, k y) con k ∈ R
7- Sea V = FnxnF . Pruebe que W es un subespacio de V en cada caso.
i) W = {(aij) / aij=O ∀ i >j con i, j=l,2,...,n } Matrices triangulares superiores.
ii) W es el conjunto de las matrices diagonales.
iii) W es el conjunto de las matrices escalares.
8- Sea V = Fnxn F . Pruebe que W no es un subespacio de V
i ) W = { A ∈ Fnxn / A 2 = A }
ii) W={ A∈ Fnxn / D(A) = O } donde D(A) es el determinante de la matriz A.
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9- Sea V=R2x2. Determine si W es un subespacio de V.
0
ܹ = ቄቀ
ܾ
ܽ
ቁ / ܽ, ܾ ∈ ℝቅ
0
10- Sea V = ℝℝℝ = ሼf/f: ℝ → ℝሽ Muestre que W es un subespacio de V, donde:
i) W={f /f(7) = f(l)}
ii) W consta de todas la funciones pares ( f: R → R / f (-x) = f (x))
iii) W consta de todas las funciones impares (f: R → R / f (-x) = -f (x)).
iv) W consta de todas las funciones continuas.
v) W consta de todas las funciones derivables.
11- Sea V = Pn(x) (polinomios de grado menor o igual que n). Determine si W es un subespacio de V,
donde:
i) W consta de todos los polinomios de grado menor o igual que n con coeficientes enteros.
ii) W consta de todos los polinomios de grado menor a igual que 3 (Considerar para este caso
n<3)
EJERCICIOS RESUELTOS
Dependencia e independencia lineal. Generador lineal. Base y dimensión
5- Considere u= (1,2,-l) y v= (6,4, -2) en R3. Demuestre que:
i) w =(-3 ,2 ,-1) es una combinación lineal de u y de v
ii) w'=(4 ,-1 ,8) no es combinación lineal de u y v.
Respuesta:
Recordando la definición de combinación lineal:
Sea A un subconjunto no vacio del espacio vectorial VF. Sean v1 ,v2 ,..,vn vectores
distintos de A. Sean a1 ,a2 ,…,an elementos de F. Se llama combinación lineal de vectores de A
con escalares en F a la expresión:
௡
ܽଵ ‫ݒ‬ଵ + ܽଶ ‫ݒ‬ଶ + ⋯ + ܽ௡ ‫ݒ‬௡ = ෍ ܽ௜ ‫ݒ‬௜ = ‫ݒ‬
௜ୀଵ
donde a v se le denomina valor de la combinación lineal.
Teniendo en cuenta la definición debe ocurrir que:
i) Para que w sea combinación lineal de u y v deben existir escalares a1y a2 reales tales que:
w = a1u + a2v es decir (-3,2,-l) = a1 (1,2,-l) + a2 (6 ,4,-2) y efectuando las operaciones:
(-3, 2 ,-1) = (a1 + 6a2, 2a1 + 4a2, –a1 – 2a2) y por igualdad de ternas se tiene el siguiente
sistema de ecuaciones:
ܽଵ + 6ܽଶ = −3
൝ 2ܽଵ + 4ܽଶ = 2 −ܽଵ − 2ܽଶ = −1
Se resolverá el sistema utilizando el método de la matriz reducida, para lo cual deben recordarse
ciertos conceptos:
Una matriz A ∈ Fmxn es reducida por filas si tiene las siguientes características:
1) Si la matriz tiene filas nulas, éstas aparecen debajo de todas las filas nulas.
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2) Las filas no nulas están " en escalera "; es decir, cada una presenta, a la izquierda del primer
elemento distinto de cero (elemento conductor de la fila), más ceros que la fila precedente.
3) En cada columna correspondiente al elemento conductor de alguna fila, los restantes
elementos son iguales a cero.
4) Los elementos conductores de cada fila no nula son iguales a 1.
La reducida de una matriz se obtiene mediante operaciones elementales de filas, que son:
1) Multiplicar una fila por un escalar no nulo "k" ( a la operación de multiplicar la fila "i" por
el escalar "k" se la denotará por ei (k).)
2) Sumar a una fila, otra fila previamente multiplicada por un escalar "k" (a la operación de
sumar a la fila "r", la fila "i" multiplicada por el escalar "k" se la denotará: er,i (k)).
3) Intercambiar filas ( a la operación de intercambiar la fila "r" con la fila "i" se la denotará:
er,i).
Para resolver el sistema de ecuaciones dado se lleva la matriz ampliada (matriz de coeficientes del
sistema a la que se le agrega como última columna, la de los términos independientes) a la forma
reducida:
e2,1(-2)
e3,1(-1)
e2(-1/8)
e3(1/4)
e3,2(-1)
e2,3(-1)
1
2
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
6
4
-2
6
-8
4
6
1
1
0
1
0
-3
2
-1
-3
8
4
-3
-1
-1
3
-1
0
Luego el sistema dado es equivalente a:
ܽଵ + 0ܽଶ = 3
൝0ܽଵ + ܽଶ = −1 de donde: ܽଵ = 3 ∧ ܽଶ = −1
0ܽଵ + 0ܽଶ = 0
luego w se puede expresar como combinación lineal de u y v de la siguiente forma:
w=3u+(-1)v
ii)
Para probar que w’ no es combinación lineal de u y v, se debe probar que no existen
escalares a1 y a2 tales que w’ = a1 u + a2 v
Procediendo de forma análoga al caso anterior se forma el sistema
ܽଵ + 6ܽଶ = 4
൝2ܽଵ + 4ܽଶ = −1
−ܽଵ + 0ܽଶ = 8
Reduciendo la matriz ampliada obtenemos:
1
0
-11/4
0
1
9/8
0
0
15/8
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ܽଵ
= −11/4
ܽଶ = 9/8 ൝
0ܽଵ + 0ܽଶ = 15/4
y el sistema dado resulta equivalente a:
Se observa que no existen escalares a1 y a2 que satisfagan la tercera ecuación, es decir al sistema,
en este caso el sistema lineal resulta incompatible.
Por lo tanto no existen escalares a1 y a2 tales que: w' = a1 u + a2 v lo que significa que w’ no es
combinación lineal de u y v
Observación
Al trabajar con combinaciones lineales, siempre debe resolverse un sistema de ecuaciones
lineales. Este sistema puede ser:
Compatible Determinado: Los escalares de la combinación lineal existen y son únicos.
Compatible Indeterminado: El conjunto solución tiene más de un elemento lo que significa que
el vector dado puede expresarse de más de una manera como combinación lineal de los otros
vectores.
Incompatible: El conjunto solución es vacío, es decir que el vector dado no puede expresarse
como combinación lineal de los otros vectores.
6- Pruebe que los siguientes subconjuntos de R3 generan el mismo subespacio:
A= (-1, 0, 1),(0, -2,l);
B= (l,-2,0),(2,-2,-l)
Respuesta:
Recordar que:
Si A es un subconjunto no vacío del espacio VF, se llama subespacio generado por A, al conjunto:
௡
‫ܣ‬ҧ = ൝‫ ܸ ∈ ݒ‬/ ‫ = ݒ‬෍ ܽ௜ ‫ݒ‬௜ ,
௜ୀଵ
ܽ௜ ∈ ‫ܨ‬, ‫ݒ‬௜ ∈ ‫ܣ‬, ∀݅ = 1,2, … , ݊ൡ
Es decir, al conjunto de todas las combinaciones lineales de vectores de A.
_
_
Se dice que A genera a A y que A es generado por A.
Ahora bien, en este caso
A = {(x, y, z)/ (x, y, z) = a (1,0,1) + b(0,-2,l) con a, b ∈ R}
por lo que (x, y, z) ∈ A si y sólo si existen escalares reales a y b tales que
(x, y, z) = a(l,0,1) + b(0,-2,l)
efectuando las operaciones en el segundo miembro y por igualdad de ternas, se llega al siguiente
sistema:
−ܽ
=‫ݔ‬
−2ܾ = ‫ ݕ‬, de las dos primeras ecuaciones se obtiene
ቊ
ܽ + ܾ=‫ݖ‬
reemplazando en la 3a ecuación: − x −
_
y
Luego: A = { (x, y, z) / − x − = z }
2
Por otra parte
ܽ = −‫ = ܾ ∧ ݔ‬− ଶ y
௬
y
=z.
2
(a)
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_
B={(x, y, z) / (x, y, z) = a(1, 2, 0)+b(2, -2, -1)} es decir
(x, y, z) ∈ B si y sólo si existen escalares reales a y b tales que
(x, y, z) = a(l,-2,0) + b(2,-2,-l)
operando e igualando se llega al siguiente sistema de ecuaciones lineales:
ܽ + 2ܾ = ‫ݔ‬
൝−2ܽ − 2ܾ = ‫ݕ‬
−ܾ = ‫ݖ‬
Este sistema será resuelto de otra manera para ver otra opción.
Se lleva la matriz ampliada del sistema a la forma reducida:
e2,1(2)
e3(-1)
1
-2
0
1
0
0
2
-2
-1
2
2
1
x
y
z
x
2x+y
-z
1
0
0
e1,2(-2) 1
0
e3,2(-2) 0
e2,3
2
1
2
0
1
0
x
-z
2x+y
x+2z
-2
2x+y+2z
Un sistema de ecuaciones lineales es compatible si y solo si el rango de la matriz de coeficientes
es igual de la matriz ampliada.
En este caso el rango de la matriz de coeficientes es 2 y como se parte de suponer que el sistema
es compatible ya que (x, y, z) es un vector del subespacio generado por B, es decir los escalares a
y b existen, entonces el rango de la matriz ampliada debe ser 2, y para ello debe ocurrir que:
2x + y + 2z = 0
_
luego: B = { (x, y, z) / 2x + y + 2z = 0 }
(b)
en (a), la expresión z = - x - y/2
se puede escribir como : x + y/2 + z = 0
y multiplicando miembro a miembro por 2 queda: 2x + y + 2z = 0
_ _
Luego se observa que A = B, es decir A y B generan el mismo subespacio de R3.
7- Sea VF un espacio vectorial y sean A y B subconjuntos no vacíos de V. Pruebe que:
i)
‫ܣ ⊂ ܣ‬ҧ
ii)
‫ܣ ⇒ ܤ ⊂ ܣ‬ҧ ⊂ ‫ܤ‬ത
Respuesta
i) Si A={v1, v2,…,vn}
cada vi ∈ A con i = l,2,…,n puede expresarse como una combinación lineal de los vectores de A,
del siguiente modo:
vi = 0 v1 + 0 v2 + … + 1 vi + … + 0 vn
∀ i = 1, 2 , …, n.
Luego todo elemento de A es el valor de alguna combinación lineal de vectores de A, por lo que
vi ∈ A , ∀ i=l, 2, ..., n.
ii) Para demostrar que A ⊂ B se debe probar el siguiente condicional:
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v ∈ A ⇒ v ∈B
Sea v ∈ A , esto significa que ‫ ∑ = ݒ‬ai vi con ai ∈ F
n
y vi ∈ A ∀i=1, 2, …,n
i =1
y como A ⊂ B por hipótesis se tiene que
vi∈A ⇒ vi∈B, ∀i = 1, 2, …, n
luego ‫ ∑ = ݒ‬ai vi con
n
ai∈F y vi∈B
∀i=l,2,...,n
i =1
con lo que v es el valor de una combinación lineal de elementos de B, es decir v ∈ B .
8- Muestre que los números complejos w = 2 + 3i y z=l - 2i generan el espacio CR.
Respuesta:
Para el subespacio generado por estos vectores, se buscan los complejos que se expresan como
combinación lineal de w y z:
a + bi = α (2 + 3i) + β (1 - 2i) con α, β ∈ R
Efectuando las operaciones del segundo miembro y por igualdad de complejos se llega al sistema:
2ߙ + ߚ = ܽ ൜
3ߙ − 2ߚ = ܾ
Tomando la matriz ampliada del sistema y reduciéndola:
De
2
1
a
3
-2
b
y por medio de operaciones elementales de filas se llega a:
1
0
1/7 (-3a/2+b)+a/2
0
1
-2/7 (-3a/2+b)
Se observa que independientemente de los valores de "a" y "b", el rango de la matriz de
coeficientes es igual al rango de la ampliada, es decir el sistema es compatible cualesquiera sean a
y b. Luego el espacio generado por estos vectores es todo el espacio CR.
9- Sea el subespacio de R4
W = {(xl, x2, x3, x4) / xl + x2 + x3 + x4 = 0}
Encuentre un conjunto que genere a W.
Respuesta:
Todo vector de W tiene la forma (xl, x2, x3, - xl - x2 - x3).
Se trata pues de encontrar vectores de R4 tales que todo vector de W se escriba como combinación
lineal de ellos.
Para esto descomponemos un vector de W en una suma de vectores del siguiente modo:
(xl, x2, x3, - xl - x2 - x3) = (xl, 0, 0, -xl) + (0, x2, 0, -x2) + (0, 0, x3, -x3) (*)
A su vez esta expresión puede escribirse:
(xl, x2, x3, - xl - x2 - x3) = xl (l, 0, 0, l) + x2 (0, 1, 0, -1) + x3 (0, 0, 1, -1)
Luego se ha obtenido una combinación lineal donde los escalares son xl, x2 y x3 y los vectores
(1,0,0,-1), (0,1,0,-1) y (0,0,1,-1) y todo vector de W es valor de esta combinación lineal.
Por lo tanto el conjunto {(1,0,0,-1), (0,1,0,-1), (0,0,1,-1)} es el generador buscado.
Nota: Obsérvese que en (*) el primer vector contiene solamente a xl, el segundo a x2 y el tercero a x3.
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10- Muestre que el subespacio generado por un conjunto de vectores no se modifica cuando se
aplica a dicho conjunto una o varias de las transformaciones siguientes:
a) Permutación en el orden de los vectores.
b) Muitiplicación de uno de ellos por un escalar distinto de cero.
c) Sustitución de uno de los vectores por el mismo sumado con un múltiplo de otro vector
del conjunto.
Respuesta:
Se debe probar que todo vector x, combinación lineal de vectores del generador lineal
{vl,v2,...,vn} es también combinación lineal de vectores del nuevo conjunto generador
{wl,w2,...,wn} obtenido mediante a), b) y/o c).
a) Para este caso resulta de la conmutatividad de la adición puesto que los w son idénticos a
los v salvo el orden.
b) Todo vector x que se escribe como combinación lineal de los vi.
x = a1 v1 + a2 v2 + … + an vn se puede escribir como:
x = a1 v1 + a2 v2 +... + ai/k wi + … + an wn
En este caso wi = k vi con k ≠ 0, entonces vi = 1/k wi
Luego haciendo wl = vl, w2 = v2, …, wi = k vi, ..., wn = vn se tiene que x es combinación lineal de
w1, w2, …, wi, …, wn.
c) Para este caso se sustituye por ejemplo vi por wi = vi - k vj (i ≠ j) y al vector x se lo puede
escribir como:
x = a1 v1 + a2 v2 + … + ai (wi- k vj)+ … +aj vj+ … +an vn
o también:
x = a1 v1 + a2 v2 + … + ai wi- ai k vj+ … +aj vj+ … +an vn
y agrupando los términos que contengan a vj:
x = a1 v1 + a2 v2 + ... + (aj - ai k) vj + ... + an wn
En cada caso se han cambiado los generadores, pero el subespacio generado es el mismo.
11- Investigue si las siguientes familias de vectores son linealmente dependientes o
independientes:
i)
{(1,0,0,0), (3,0,0,0)} ⊂ R4R
ii) {(l,2),(0,l)} ⊂ R2R
iii) {(l, i), (i, -1)} ⊂ C2C
iv) {fl,f2,f3} ⊂ RRR con f1(x) = x2 , f2(x) = x y f3(x) = 1
Respuesta:
Recordando las definiciones de independencia y dependencia lineal:
Sea VF un espacio vectorial y A ⊂ V, A ≠ ∅ ; se dice que A es un conjunto linealmente
independiente, si y sólo si la única forma de obtener el vector 0v como combinación lineal de
vectores de A, es por medio de la combinación lineal trivial.
En símbolos: A = {v1, v2, …,vn}
A es l.i. ⇔ [ (a1 v1 + a2 v2+ …+ an vn = 0v ⇒ ai = 0 ∀ i=l,2,...,n) ]
A es linealmente dependiente si y solo si no es linealmente independiente
i) Teniendo en cuenta la definición y a los efectos de determinar la independencia o dependencia
lineal del conjunto dado, se toma una combinación lineal de los vectores de dicho conjunto, de
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valor 0v y se busca determinar el valor de los escalares. Si estos resultan ser necesariamente todos
nulos, el conjunto será l.i., caso contrario será l.d.
Ahora bien, como el espacio vectorial es sobre el cuerpo R, se toman escalares α, β ∈ R y se
forma:
α (1,0,0,0)+ β (3,0,0,0) = (0,0,0,0)
Resolviendo las operaciones indicadas:
(α+ 3 β,0,0,0) = (0,0,0,0)
igualando
α + 3β = 0 ⇒ α = -3β
lo que significa que α y β pueden tomar infinitos valores no necesariamente nulos. Por ejemplo
α = l, β = -3. Luego el conjunto dado es linealmente dependiente.
ii) Sean α, β ∈ R y la combinación lineal: α (1,2) + β (0,1) = (0,0)
se tiene entonces que
(α, 2α) + (0,β) = (0,0)
es decir
(α, 2α + β) = (0,0)
de donde:
α
= 0
൜
2α + β = 0
Reemplazando en la segunda ecuación el valor de α que está ya determinado en la primera, se
tiene β=0.
Luego la única solución del sistema es α=0, β=0 lo cual significa que el conjunto es linealmente
independiente.
iii) Como el espacio es C2C, los escalares son complejos.
Sean los escalares z1 = al + bli y z2 = a2+b2i y la combinación lineal:
z1 (1 ,i) + z2 (i,-l) = (0,0) donde 0 es el complejo nulo
Efectuando las operaciones se tiene:
es decir:
(z1, z1i) + (z2i, -z2) = (0,0)
(z1 + z2i, z1i - z2) = (0,0)
igualando:
‫ݖ‬ଵ + ‫ݖ‬ଶ ݅ = 0
൜
‫ݖ‬ଵ ݅ − ‫ݖ‬ଶ = 0
el determinante de la matriz de coeficientes de este sistema homogéneo es:
1
i
= -1 - i2 = -1-(-1) = -1+1 = 0
i
-1
y recordando el teorema de Cramer:
El sistema cuadrado AX=B admite solución única si y solo si D(A)≠0
Como se trata de un sistema homogéneo, siempre es compatible (pues tiene al menos la solución
trivial) y en este caso el determinante de la matriz es nulo, lo que significa que el sistema dado
tiene infinitas soluciones, luego z1 y z2 no son necesariamente el complejo 0. Luego el conjunto
dado es linealmente dependiente.
iv) Sean a, b, c ∈ R y sea la combinación lineal:
af1 + bf2 + cf3 = 0 donde 0f es la función constantemente nula
Se tiene aquí expresada una igualdad de funciones, y dos funciones son iguales cuando sus
imágenes son respectivamente iguales, por lo tanto debe ser:
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(af1 + bf2 + cf3) (x) = 0(x) ∀ x ∈ R
(1)
es decir: af1(x) + bf2(x) + cf3(x) = 0 (en R)
pero f1(x) = x2 ; f2(x) = x; f3(x) = 1
luego (1) se escribe
ax2 + bx + c = 0, ∀ x ∈ R
(2)
Se sabe que a lo sumo existen dos números reales distintos que son raíces de una ecuación de
segundo grado, por lo tanto, la única alternativa que permite que se verifique la condición (2) es
que: a = b = c = 0 con lo que se ve que el conjunto dado es l.i.
12- Muestre que el conjunto { 1, i } es linealmente independiente considerando el espacio V = CR
y linealmente dependiente considerando V = CC
Respuesta:
En V=CR se toman los escalares a, b ∈ R y se forma la combinación lineal:
a.l+b.i = 0 ⇒ a + bi = 0 + 0i y por igualdad de complejos resulta: a = 0 y b = 0 luego {1,i}
es l.i. en CR.
En V = CR se toman los escalares z1, z2 ∈ C y se forma la combinación lineal:
z1.1 +z2.i = 0+0i (1)
Siendo z1 = a1 + b1i y z2 = a2 + b2i, la expresión (1) queda:
(a1+ b1 i).l + (a2 + b2 i).i = 0 + 0i
Es decir: a1 + b1.i + a2 i + b2 i2 = 0 + 0i
Luego: a1 - b2 + (a2 + b1) i = 0 + 0i
Y por igualdad de complejos se llega a:
ܽ − ܾଶ = 0
൜ ଵ
ܽଶ + ܾଵ = 0
El sistema obtenido consta de dos ecuaciones con cuatro incógnitas y como el rango de la matriz
de coeficientes puede ser a lo sumo 2, ocurre que no supera al número de incógnitas. Luego
aplicando el Corolario del teorema de Rouche-Frobenius se tiene que el sistema es indeterminado,
lo cual significa que existen infinitos valores de a1, a2, b1, b2 no necesariamente nulos, o lo que es
lo mismo, existen infinitos valores de zi y z2 que satisfacen (1), luego el conjunto dado es
linealmente dependiente.
13-En cada uno de los siguientes casos pruebe que el conjunto dado es una base de V.
i)
V = RR2 B = {(2,1), (1,0)}
ii)
V = P2(x) B= {l, x, x2}
Respuesta:
Recordando la definición:
Sea VF un espacio vectorial y sea B ⊂ V tal que B ≠ ∅ . B es una base de V si y sólo si B genera a
V y B es l.i.
i) Para que B sea una base de RR2, se debe verificar que B = R y que B es l.i.
Para hallar B se procede de la siguiente manera:
(x, y) = a(2,l) + b(l,0) con a, b ∈ R
Es decir: (x, y) = (2a + b , a)
2ܽ + ܾ = ‫ݔ‬
Por lo que:
൜
ܽ
=‫ݕ‬
Tomando la matriz ampliada y reduciéndola:
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e1,2
e2,1(-2)
2
1
1
2
1
0
1
0
0
1
0
1
x
y
y
x
y
x-2y
Se observa que cualesquiera sean x e y siempre ocurrirá que el rango de la matriz de coeficientes
y el rango de la ampliada serán iguales, lo que significa que el sistema es compatible cualquiera
sean x e y, luego el subespacio generado por B es todo R2.
El siguiente paso es ver si B es l.i., por lo que se toma una combinación lineal de los vectores de
B de valor Ov.
a (2, 1) + b (1, 0) = (0, 0)
que nos llevan al sistema lineal:
2ܽ + ܾ = 0
ቄ
ܽ
=0
2 1
= −1 ≠ 0 por lo que el sistema resulta
1 0
además determinado, esto significa que la única solución del sistema es la trivial, o sea a=b=0,
por lo que B resulta ser l.i.
Como se ha visto que B es generador de R2 y además es l.i., entonces B es una base de R2.
que al ser homogéneo es compatible y además
ii) Se debe ver en primer lugar si B = P2(x), es decir si todo polinomio de grado menor o igual a
2 se puede escribir como combinación lineal de los vectores de B. para ello deben existir los
escalares de la siguiente combinación lineal:
P(x) = α.1 + β.x + γ.x2, con α, β, γ ∈ R
Es decir:
ao + a1x + a2x2 = α + βx + γ x2
Y por igualdad de polinomios: α = a0, β = a1 y γ = a2
Lo cual significa que dichos escalares existen y por lo tanto B genera a el espacio de polinomios
de grado menor o igual a 2.
El siguiente paso es ver si B es l.i.
Se toma una combinación lineal de los vectores de B de valor O (polinomio nulo):
α.1 + β.x + γ.x2 = O
o sea: α.1 + β.x + γ.x2 = 0 + 0x + 0x2
Por igualdad de polinomios: α = β = γ = 0 lo que indica que B es un conjunto l.i.
Por todo lo dicho resulta que B es una base de P2(x).
14- Sea V = R2x2, dé una base y determine la dimensión de W.
ܽ
−ܽ
ܹ = ቄቂ
ቃ / ܽ. ܾ ∈ ℝቅ
ܾ ܽ+ܾ
Respuesta:
Para determinar una base del subespacio dado se busca en primer lugar un conjunto de vectores
que genere al subespacio, luego se ve si éste generador constituye un conjunto l.i., si lo es, este
conjunto es una base buscada, si no lo es deben extraerse los vectores redundantes.
Si se sigue el procedimiento empleado en el ejercicio 9 de los resueltos, se obtienen generadores
l.i.
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Guía de Trabajos Prácticos Nº2
Sea un vector genérico de W al que se trata de descomponer en una suma de productos por
escalares:
ܽ
−ܽ
ܽ −ܽ
0 0
1 −1
0 0
ቀ
ቁ=ቀ
ቁ+ቀ
ቁ = ܽቀ
ቁ+ܾቀ
ቁ
ܾ ܽ+ܾ
0 ܽ
ܾ ܾ
0 1
1 1
Compruebe el alumno que los vectores obtenidos son l.i. "
1 −1 0 0
Luego ‫ = ܤ‬ቄቀ
ቁቀ
ቁቅ es una base de W y como su cardinal es 2. La dimensión de W es
0 1
1 1
2.
15- Sea V=R2x2. Halle el vector de coordenadas de la matriz A, relativo a la base:
0 −1
1 −1
1 0
2 3
1 1
‫ = ܤ‬ቄቀ
ቁ,ቀ
ቁ,ቀ
ቁ,ቀ
ቁቅ, siendo ‫ = ܣ‬ቀ
ቁ
1 0
0 0
0 0
1 1
4 −7
Respuesta:
Para encontrar las coordenadas de A respecto de la base dada, se escribe a este vector como
combinación lineal de los vectores de la base, los escalares de dicha combinación lineal
constituyen las coordenadas.
2 3
0 −1
1 −1
1 0
1 1
ቀ
ቁ = ܽቀ
ቁ+ܾቀ
ቁ+ܿቀ
ቁ+݀ቀ
ቁ
1 0
0 0
0 0
4 −7
1 1
Operando en el segundo miembro se tiene:
2 3
ܽ+ܿ+݀ ܽ−ܾ−ܿ
ቀ
ቁ=ቀ
ቁ
4 −7
ܽ+ܾ
ܽ
Por igualdad de matrices:
ܽ+ܾ
+݀ =2
ܽ
−
ܾ
−
ܿ
= 3
ቐ
ܽ+ܾ
=4
ܽ
= −7
Resolviendo el sistema se llega: a = -7, b = 11, c = -21 y d = 30.
Luego el vector de coordenadas de A respecto de la base dada es:
−7
ሾ‫ܣ‬஻ ሿ = ቎ 11 ቏
−21
30
16- Sean U y W dos subespacios de R3 definidos por:
U={(a,b,c)/a = b = c} y W= { (0,b,c)/b,c ∈ R}
Muestre que R3 es suma directa de U y W
Respuesta:
Para probar que R3 = U ⊕ W, se debe mostrar que:
i) R3=U + W
ii) U ∩ W={Ov}
iii) U + W = {v∈R3 / v = u + w con u ∈ U y w ∈ W}
Es decir todo vector de U + W es la suma de un vector de U con un vector de W.
Entonces sean (a,b,c) ∈ U y (a',b',c') ∈ W lo que significa que a = b = c y a' = 0 , de modo que los
vectores arriba mencionados quedan (a, a, a) y (0, b', c').
Como son vectores genéricos de U y W, sumándolos se obtiene un vector genérico de U + W:
(a, a, a) + (0, b', c') + (a, a + b', a + c') con a, b', c' ∈ R, como puede verse el vector obtenido es un
elemento cualquiera de R3 , sin ninguna condición, luego U + W = R3.
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ii) Para encontrar U ∩ W se debe tener en cuenta que:
(a, b, c) ∈ U ∩ W => (a, b, c) ∈ U ∧ (a, b, c) ∈ W ⇒ a = b = c ∧ a = 0 ⇒ a = b = c = 0.
Luego el único vector de U ∩ W es (0,0,0)
Por lo que U ∩ W = {Ov}
De (i) y (ii) se tiene que R3 = U ⊕ W
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EJERCICIOS PROPUESTOS
16- Exprese los siguientes polinomios como combinación lineal de:
P1 = 2 + x + x2, P2 = 1 - x + 3x2, P3 = 3 + 2x + 5x2
i) Q1 = 5 + 9x + 5x2
ii) Q2 = 2 + 6x2
iii) Q3 = 0
iv) Q4 = 2 + 2x + x2
17- ¿Cuáles de las siguientes matrices son combinaciones lineales de:
1 2
0 1
4 −2
‫=ܣ‬ቀ
ቁ ‫=ܤ‬ቀ
ቁ ‫=ܥ‬ቀ
ቁ
−1 3
0 −2
2 4
0 0
6 −1
i) ቀ
ቁ
ii) ቀ
ቁ
0 0
−8 −8
18- Pruebe que los vectores:
1
1
1
1
‫ݒ‬ଵ ൭1൱ , ‫ݒ‬ଶ ൭0൱ , ‫ݒ‬ଷ ൭1൱ , ‫ݒ‬ସ ൭2൱
1
1
0
3
generan a R3xlR y que si se saca el vector v4, el conjunto {v1, v2, v3} sigue generando a todo el
espacio.
19- Determine a, b de manera que el vector (a, b, -37, -3) pertenezca al subespacio generado por
(l,2,-5,3) y (2,-l,4,7).
20- Determine el subespacio generado por X con V, F y X como sigue:
i)
V = R ,F = R, X={2}
ii) V = R, F = Q, X={1}
iii) V = C, F = C, X={i}
1 3 ‫ݔ‬ଵ
ቃቂ ቃ = ‫ܤ‬
21- Pruebe que el sistema: ቂ
2 1 ‫ݔ‬ଶ
2
es compatible para todo B ∈ R si y solo si los vectores (1,2) y (3,1) generan a R2.
22- Investigue si las sig. familias de vectores son l. independientes o l. dependientes.
i)
{(-3,2),(l,10),(4,-5)} R2R
ii) {0, x, x2} en P2(x)
iii) (2x, x3-3, l+x-4x3, x3 + 18x - 9} en P3(x)
23- Determine la o las condiciones que deben satisfacer los números a, b, c y d para que los
vectores (a, b) y (c, d) sean 1. dependientes.
24- Muestre que los vectores (3 + √2 , 1+√2 ) y (2+3√2 , 2+√2) en R2 son l.d. sobre R pero son l.i.
sobre Q.
25- En cada uno de los siguientes casos determine si el conjunto dado es una base del espacio
dado.
i)
V = P2(x)
B={l-x2, x}
ii) V = {(x, y) ∈ R2 / x + y = 0}
B ={(1,-1)}
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26- Dé una descripción geométrica de R2 usando la base B ={(1,-1),(2,4)}.
2 −1 ‫ݔ‬ଵ
ቃቂ ቃ = ‫ܤ‬
27- Pruebe que el sistema: ቂ
1 3 ‫ݔ‬ଶ
es compatible determinado ∀ B ∈ R2 si y solo si A={(2,1),(-1,3)} es una base de R2.
28- Sea {v1, v2, v3} una base para el espacio vectorial V. Demuestre que {u1, u2, u3} también es
una base, en donde :
u1=v1,
u2 = v1 + v2, y u3 = v1 + v2 + v3
29- Encuentre dos bases de R4 que contengan a los vectores (1,0,1,0) y (0,1,0,1) y que no tengan
ningún otro vector en común.
30- Encuentre una base y determine la dimensión de:
ii) R2R
iii) C2R
iv) C2C
i) CR
31- Demuestre que el conjunto S = {x + 1, x - l, x2- 1, x2+ 1} genera a P2R(x).
Encuentre un subconjunto S1 de S que sea una base de P2R(x).
32- Sea W el subespacio de R4 generado por los vectores:
(1, -2, 5, -3), (2, 3, 1, -4) y (3, 8, -3, -5)
Determine una base y la dimensión de W. Extienda la base de W a una base del espacio R4.
33- En el espacio vectorial de las matrices simétricas de orden 2 sobre R, considere la base:
1 −1 4 1 3 −2
‫ = ܤ‬ቄቂ
ቃቂ
ቃቂ
ቃቅ
−1 2 1 0 2 1
Halle las coordenadas de la matriz A relativas a la base anterior
1 2
‫=ܣ‬ቂ
ቃ
2 −4
34- Sea V = P2(x) y sea B = {1,1 + x, 1 + x2} una base de V
i)
Determine las coordenadas de los siguientes polinomios respecto de la base B.
p1(x) = 1 + x p2(x) = 3 + x + x2
p3(x) = 2p1(x) - p2(x)
ii) Ídem con respecto a la base B' ={1, x, x2 }
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