Matemáticas IV (Mate IV (11-12))

Módulo11
OBJETIVOSESPECIFICaS
,Al terminar de estudiar este módulo, el alurrHlO:'
,
1.
2.
I
'
3.
4',
CJ.
.
Obtendrá la característica 'del logaritmo de un númeto en base 10.
Obtendrá ,la m~ntisa dél logaritmo de un número en base 10, usando
la tabla.
Dado el logaritmo de un número en base 10, obtendrá el número,
usando la tabla.
Ob.ter-'dró el logaritlTlo
EJ,: Cí'E!rá of)prdciones
r-:u;nunes.
,
.'
.
de funcltm8s trif]onúmé,tllí'ós
uSd!1do f¡.¡ idhi'(),
aritrn{]I¡ca~; fTI',~di{:!I)tcel e;V)ilh'n rJp ¡')QiJi ¡"'í ):,'
" .
\ ) ~-.
,
ESfiUEMA-RESUMEN
/
Función
......
logarítmica.
(Módulo
10).
Logaritmos
cO,munes.
'ir
I
-' ....
"
Ob'tención
¡
de la
I
Característk;a.
,(
-
\
"
,,,
I
Obtención
,
de la Man-
I
tisa.
...
USQ de los 10gantmos comun'es'
, en peraci ones
aritméticas.
, ,
'\
"
\ "
,
Logari tmos
de las'funclones tri,
gono,métricas.
..
186
'
'
.
11.1 LOGARITMOS'COMUNES,.
Si el logaritmo de un número es la potencia a que Conozcamos
se tiene que elevar la base para' obtener el número, cual- dos sistemas,
quier base positiva diferente de l nos podría servir para de l~gdritmQs.
construir'un sistema de logaritmos; sin embargo para usos
computacionales~ el sis~ema más usado es el de ba.se 1° Y
a los logaritmos en esta b'ase'se les IIé;Jman logaritmos
comunes O de Briggsen honor de Henry Brig'gs que fue\
quien por primera vez los USÓ.'Otro sistema de logar'itmos que también tiene muchas apl icaciones es el de base
,
e (e = 2.71828
);
rales.
a esto.s logaritm,os,los llamamos natu-
'La ventaja de los logar:itmos comunes se irá haci~ndo más evidente al ir trabajando con ellos.
,
. ,Hagamos uso de la defi'nición de logaritmo Iy escfl- ,
bamos los siguientes logaritmos en base 10.
IOg'10.0001=
~
= -3
10010.001
=>
10-4
,= .OQ01
=> 10-3 = .001
.1
= -2 - => 10~ = .01
l
=O
IOg1010
lag,lO
100
'
=> 10° r~ 1
=
1 => 101 = 10
=
2
=> 102,
3
'=>
IOg101000 '=
, '
lagl0 10000 =. 4'
103
=> 104
I
.=
100
= 1000
= 10000
La lista anterior la podríamos extender indefinidamente para números menores que .0001 o para números,
máyores de 10000.
" f .
Los logaritmos de los flúmeros que no son potenciás
enteras de 1,0"los encontramos hacier,¡do uso de la Tabla
187
I en la que 'Ios logaritmos de los números se han aproximado a 4 cifras decimales.
De lá lista de algunos logaritmos de números que
son potencias enteras de 10, podemos ver por ejemplo
que todos los números que estén entre 10 y 100 el logaritmo de ellos será ent~e 1 y 2 Y los que. estén entre 100
y 1000, el 'Iogaritmo será un núméro entre 2\ y 3,; lo
mismo los números que estén enÚe .1 y .01 su.logaritmo
sera un ~úmero entre -1 y -2 Y así sucesivamente.
( I
Partes del!
logarit.mo
'de un número.
El logaritmo de cualquier número tiene .dos partes:
.una parte entera que pu~de ser positiva, negativa o cero,
llamada característica y una fracción decimal positiva que'
es mayor o igual a cero y menor que 1 llamada. mantisa.
La característica del logaritmo de un número
depende de
{.
la colocación del' punto decimal en el número y. la manlisa !a obtennremos d partir de !a Tabla 1, ya que el valor
de '!(:i m:-,mtisJ no depende de Id colocación dei punto'
decimal sino que depende de los dígitos que forman el
I
número como lo veremos .en I~s ejemplos q~e se darán
posteriormente.
11.1.1 REGLAPA'RAOBTENERLA CARACTERISTICA
DEL
(OGARITMO DE UN NUMERO.
¿Cómo se
Si definimos comQ posición de referet:lcia'a la posi, ción que queda en tre los primeros dos d ígitos signi. obtiene la
característica? ficativos que forman el número, por ejemplo 'para ~I
, núme'ro 219.1,/ la posición de referenci.a está entre el 2 y ,
- el 1./ Para el. número .0843 la,posición de referen'c;iaestá
entre el 8 y el 4. Para el número. .005031 la posición de
referencia está entre el 5 y el O, entonces la característica
del' logaritmo detJn número en base 10 es el número de
d ígitos que hay de. la pos,ición de referencia al punto
decimal del número; es positiva si el pwnto decimal está a
la derecha de la posici6n de refer~ncia, y negativa si el
punto decimal está a la izquierda de la. posición de refe,
rencia,.
.
188
Ejemplos: Encontrar la característica de los logarjtmos en base 10 para los sigl,Jiel1tesnúmeros. (Cuando se
usa la base 10 se omi te escribirla en el logaritmo por'lo
11J LOGARITMOS.COMUNES.
Si el logaritmo de un número es la potencia a que Conozcamos
se tiene que elevar la base para obtener el número, cual- dos sistemas.
quier base positiva diferente del nos podrfa servir para de l~gáritmQs.
construir 'un sistema de logariimos; sin embargo para usos
computacionales~ el sis~ema más usado es el de ba.se lO 'Y
a los logaritrnos en esta b'ase-se les llaman logaritmos
comunes O de Briggsen honor de Henry Briggs que fue,
quien por primera vez los USÓ.'Otro sistema de logarit~
mos que también tiene muchas apl icaciones es el de base
.
e (e = 2.71828
);
rales.
a estos logaritmos los llamamos natu-
. La ventaja de los 10ga¡:itmOscomunes se irá haci~n~
do más evidente al ir trabajando con ellos.
,Hagamos uso de la defihición
de logaritmo Iy escrl- .
bamos los siguientes logaritmos en base 10.
IOg10.0001
=~
=>
10-4
'
== .OQ01
-1
'og~o .01
= -2 ~ => 10-2 = .01
,Iog1o-1 -
=O
=>
IOg1010
=
1
=> 101 , . = 10I
109,10100
=
2
=> 102' = 100
IOg10
1000 '=
10°
1"== 1
3 '=> 103 = 1000
loglO10000 =. 4'
=> 104
= 10000
la lista anterior la podríamos extender indefinidamente para números menor13s que .0001 o para números,
mayores de 10000.
,- /
Los logari-tmos de los números que no son potenciás
enteras de 10,' los encontramos hacieQdo uso de la Tabla
.
,
1$7
¡----
I en la que 'Ios logaritmos de los números se han aproximado a 4 cifras decimales.
De lá lista de algunos. logaritmos de números que
son potencias enteras de 10, podemos ver por ejemplo
que todos los números que estén entre 10 y 100 el 109aritmo de ellos será ent~e 1 y 2 Y los que. estén entre. 100
y 1000, el: logaritmo será un nÚme'ro entre 2; y 3,; lo
mi~mo los números que estén enÚe.1 y .01 su logaritmo
será un f1úmero.entre -1 y -2 Y así sucesivamente.
.
Partesdel¡
logarit.mo
de un número.
¡ I
El logaritmo de cualquier número tiene .dos partes:
'una parte entera que pu~de ser positiva, negativa o cero
llamada característica y una' fracción decimal positiva que'
es mayor o igu'al a cero y menor que 1 llamada mantisa.
La característica del logaritmo de un número depende de
la colocación del' 'punto decimal en ~i número y. la- manLisala ob1.enrlrerno:.) (J ;)(lrtir de la Tabla 1,ya que el valor
de .iéj rn:.mtiséJ no depende eje Id colocación dei punto'
decimal sino que depende de los dígitos que forman el
número como lo veremos .en I~s ejemplos q~e se darán
posteriormente.'
.
11.1.1 RE.GtA P.AHA OBTENER LA CARACTERISTICADEL
LOGARITMODE UN NUMERO.
¿Cómose
.
obtienela
Si definimos comq posición de referencia 'a la posi-
ción que queda entre los primeros dos dígitos signi-
,
característica?
-
'ficativos
q~e forman el número, por ejemplo 'paJa 131
219.1,/ la posición de referenciaestá entre el2 y
el 1..,Para el número .0843 la posición de referenda está
entre el 8 y el 4. Parael número . .00~031la posición d~
, núme'ro
-
referencia está entre el 5 y el O, entonces la característica
del logaritmo de ,l1n número en base 10 es el número de
d ígitos que hay de la posición de referencia al punto
decimal del número; es positiva si el pwnto decimal está a
la derecha de la posici6n de refer~ncia, y negativa si el
punto decimal está a !aizquierda de la posición de refe,
rencia,.
Ejemplos: Encontrar la característica de los logarjtmos en base 10 para los sigl,Jier;'ltesnúmeros. (Cuando se
, usa la base 10 se omi te escribirla
188
en el logaritmo
por'lo
,
'
que escribiremos solamente' log y cuando la éara'cterística
sea ne'gativa se acostumbra escribir. el signo negativo sobre
la 'característica.
Iqg 311 = 2
log .311 = .,
log 3.11 = O.
lag .00809 =- 3~
, lag .0809
= 2..
'lag 80.9 = 1.
log 1.16 = O.
log 1917.8 = 3.
'Iag
37~9.43
-
= 3.
11.1.2 USO DE LA TABLA'PARA OBTENER LA MANTISA
D,ELLOGAR.ITMODE UN NUMERO.
En la Tabla I podemos ver que en la primera colum- V ahora
na están ,Jos números del 10 al 99. Después en la parte utilicemos
supérior tiene 10 columnas marcadas del O al 9, y por '. la tabla 1.
último, 9 columnas más que se ,llaman partes proporcio-
nales y se abrevian como P.P.
'
.
Para'encontrar la mantisa del'logaritmo de un número, ¡;>focedemosde la siguiente manera. Por ejempl,o, para
e'lcontrar el 19986.4 nos movemos hacia abajo. en la
prirneracolumna
de la Tabla I hasta el número 86,' Y
" después nos movemos hacia la derecha hasta la columna
que tiene ,marcado en la parte superior 4 y leemos 9365
que viene a ser .9365 ya que las man tisas serán siempre
menores que 1. Luego, lag 86.4= 1.9365.
Ejemplo:
Encontrar
'
~I 109 193.'8
En' la Tabla.1 nos movemos hacia abajo en la primera columna hasta el nú'mero 19, después a la derecha
hasta la columna encabezada con 3 y leemos 2856, en
seguida nos seguimos moviendo por el mismo renglón del
número 19 hasta la columna 8 de partes proporcionales y
leemos 18 que es el. número que se le ti,ene que sumar al,
2856 pDra obt.ener ra mantisa de 193.8 con lo que obtenemos 2856 + 18 = 2874" luego, 109 193.8 = 2.2874.
Ejemp.lo: Encontrar ellogaritmo
de .005716.
189
En la Tablp I tenemos que para ~71 se lee 7566 y
en la cO,lumna 6' de P.P. se lee 5 por lo qu~ la rnantisa es
7566 + 5 = 7571 , luego, log .005716 =3.7571,
"0
.
. 11.1.3' DADO EL LOGARITM'ODE UN NUMERO,OBTENER
EL NUMERO.
Usodel
.
antilogarítmo.
'
En este caso conocemos el logaritmo del número y
se busca encontrar el . numero; para hacerlo lJsamos la
Tabla 11 én la que podemos ver que la primer columna
empieza' en .00 y termina en 0.99; las demás columnas
.
están dispuestas cC?moen la Tabla 1.
, Ejemplo:
Encontrar
N si
/
log
N
= -2.8126,
en' este
caso N = antilog 2.8126.
I
Nos movemos en 'ta- primer columna de la Tabla I1
hasta el .81, después nos movemos a la derecha hasta'la
.
columna. 2 Y leemos 64~6; nos seguimos moviendo hacia
!a derecha sobre él mismo renglón del .81 hasta la colum- .
na 6 de P.P. y leemos 9 que se lo. sumamos al 64S6
dándonos 6486'+ 9 = 6495.
Dado. que' 'Ia característica
del log'aritmo es 2, el
punto decimal está a 2 d ígitos a la d.erecha de la posición
'de referencia, por I lo qwe si I09.N =~2.8126 =>N ="649.5.
Ejemplo:
Encontrar
N sí 109N ~ 3.7168.
,
En la Tabla 1I leemos para .716 el n~mero 5200 y .
moviéndonos á la derecha hasta la columna 8 en P.P.
leemos 10 que se' lo sumamos al 5200 dándonos 5200 +
10 =' 5210,
I-uego. si 109 N ==3.7168
=>N = .005210.
11.2 LOGARITMOSDELASFUNCIONE~TRIGONOMEJRICAS.
Tambiénen
trigonometría'
seemplean
logaritmos.
190
"1
Dado -que en Trigonometría muy a menudo. s~ trabaja con operaciones en las que inter.vienen funciones
circulares, con el objeto de simplificar estas operaciones
se usan log'aritmos de las funciones"los 'que se tabulan en
'Ia Tabla 111.La f~rma y el uso de la tabla es' semefante a',
'.
. terística
la Tabla 1, sólo que en e?ta tabla ya se incluye la caracdel logaritmo.
'
Ej~mplo: Encontrar
el 109 tan 38°20'.
En la Tabla. 111,tenemos que
lag tan 38°20' = 1~8980
Ejemplo:
Encontrar
el lag se" 26047'.
Ya que en la Tabla no aparece el valor de'109 sen Z6C'
47' va' a ser Ilecesario, interpolar, lo hacemos de la sigu iente r:nanera.
109 sen' 26040' :; 1.6521
log sen 26050' = 16546
luego,
,
o,
o
=
log sen 26 41
,
log sen 26 40
7
+ 10
[log
o,
O
sen. 26 50 ~ log sen 26 40' ]
7 = 1.6521 + 10 [1.6546.- 1.6521}
= 1.6521+
~70 [.0025]
-
= 1.6521
+ .0017
'= 1.6538
Ejemplo:
Encontrar
el t09 GOS65023'.
Puesto que el ángulo
tenemos que
o
I
lag GOs.6~ 23
.
está entre
o,
3
= ~~og GOS 65 320. -'. - 10
= 1.6205 - 10 [1.6205
= 1.6205 -
65.020' y 65030'
'o
[
,
,
o . '
log GOS65 20. ,- I?g cos 65 30 ]
-
-
1.6177]
C0028)
,
= 1.6205 = 1.6197
.0008
191
/
Eiemp~.?: Ehcon trélr el ángul,o O entre 0° y 90° , si
teg sen e;::
1.6827.
Localizamos el valpr 1.6887 en la Tabla
colÚmrra log sen O entre 29°1.0' y 29°20':
-
..
1O
x Jigg sen29~10'= ~.&878t
~og sen (j '= 1.688'tl
log sen 29°20' = 1.6901
t
I
j
111 en la
23
luego
.0023
10
.0009
x
"
= - C.OOC9)
.002310
~
4
11.3 USÓ DE LOSLOGAfÚTMOS
COMUNES
EN OPERACIO-
~lES~RITMET!C4S. .
Heaquí
/
Habiendo estudiado las propiedades de los logaritmos, podemos usarlas en operaciones como la multipl icación, división, elevar a una potencia y extmer raíces,
simplificándose todas estas operaciones con el uso de los
una ap¡¡iaciQn
de los logaritmos.
,
logatitmos.
.
-En los si~ju¡c;nlesejemplos presentamos cómo usar
los logc.iritmospara efeétuar estas 'operaciones y 'se recomi'enda hacerlo con el mayor orden para simplificar y
comprobar lo que se haga.
.
Ejemplo: Efectuar usando logaritmos, la siguiente
operación:
(132) (47.8)
Si hacemos
M
'==
(132) (47.8) y ~samos la' pnapiedad
del logaritmo de un producto,. tene'!los:
log M' = 109 .{1.32) (47.8)
= 109 132 + log 47.8
192
Para trabajar más fáci,lmente hacemos .el siguiente
arreglo:
'Iag 1.32 = 2.1206
109 478 = 1.6794
lag M
luego
= 3.8000
M = antilog
3.8000
= 6310
Por lo que el producto
aproximadamente* .
Ejemplo:
operación:
.
Efectúe
(1.816)
usanao
(.00345).
de
(132) (47.8)
logaritmos,
Hacemos
=
6310
I
la sigu iente
M = (1.8161
(.00345)
luego, 109 M = lag. 1.816 + log .00345
.109 1.816..=
0.2591
109 .00345 = 3.5378
log M = 3.7969
M = antilog 3.7969 = .006265
Ejemplo: Efectúe usando' logaritmos, la siguiente
operación:' 526.8
172.,4
Para efectuar esta ope'ración, hacemos uso de la propiedad de logaritmo de un cociente:
526.8
Hacemos
M = 172.4
log M = 109 526.8
.
-
log 172.4
log 526.8 = 2.7217
109 172.4 = 2.2365
log M = 0.4852
*
El que sea aproxim'adamente
solamente 4 ,cifras decimales.
se debe a que
'
las' tablas
de logaritmos
que estamos
usal'1dotienen
-
193
M = antilQg 0.4852.
~...
E1emplo: Efectúe
.0753'
= 3.056
.-
28.32
Hacemos
,
.0753,
.M
=
28.32
lag M
.
= lag
.0753 ,- log 28.32
log .0753
=
2.8768
log 28.32
=
1.4521
= 3.4247
log M
M ,= antilog 3.4247 = .002669
Ejemplo: Efectúa (3.96). (.00817)
"
43.6
'..
Para efectuf:lr esta' operación, conside'ramos prim'ero al
numerador cO,mo el, producto de dos factores y después
el resultado de este producto es lo que se divide por el
denominad0L
"
'
Hacemos
M
= (3.96)43.5(.00817)
'
109
M =109 3.96 + Iog .0Q8,17- log 43.5
log 3.96
I
= 0.59~7
'09 .00817 = 3.9122
logarit,mo del numerador = 2.5099
, 109 43.5
lag M
'c194
= 1.6385
==
4.8714
t
M
,
Ejemplo:
Efectúe
=antilQ9
4.8714 = .0007437
/
(28.71)2
Hacemos
M = (28.71)2
lag M = 2 109 28.71
"
2 lag 28.71 = 2(1A581)
lag M = 2.9162
M = antilog 2.9162 = 824.5
Ejemplo:
Efe~t'úe (.00976),3
-Hacemos
M = (.00976V
lag M = 3 109 (0.00976)
3 '109 .00976 = 3(3.9894)
f'
109 M = 7.~82
M = antilog
'7.9682 = .0000009294
Ejemplo: Ef~ctÚe '1'426.7
v' 426.7
se puede escribir como (426.;,
y hacemos
.~.
J
M = (426.7)2
.
. 109
1
-'
1
M = 2 Iog 426.7
.
.
2" ~ag 426.7
1
= 2" (2.6301)
lag M =, 1.3150
'
"
'M = antilog 1.3150 = 20.65
195
Ejemplo:
Efectúe
t00698)¡
Hacemos.
M
=
,
,
1
:
109 .00698
'
1
.
1
¡
M = ¡ lag .00698
lag
'4
I
(.00698)
=¡
-
-
(3 .8439) = 3.8439
4
En este caso no podemos efectuar la división de
3.8439 entre 4 en forma d,irecta, ya que la característica
es negativa y no divisible entero entre 4, por lo que al
intentar hacerla
división de 3 entre 4 nos daría una
\
característica fraccionaria, lo cual no puede ser ya que la
. característica siempre tiene que ser un n.úmero entero;
, para evitar esto lo que hacemos es sumarle y restarle al
logar'itmo un -múltiplo del divisor que haga, que la característica sea positiva V después efectuamos la división. En
el eJemplo lo hacemos de la siguiente manera:
=
1.8439 - 4
se sumó 4 y se restó 4 al numerador
4
;:: .4609
-
1
se efectuó la división
= 1.4609
109 M= 1.4609
M =' antilog 1.4609 ==.2890
.
Ejemplo:
Efectue
I
(16.21) (.0747)2
(5.71~) (.00818)
I
Hacemos
M = 16.21) (0.0747)"24
(5.716)(.00818)
T
lag M =, (2109 16.21 ¿-
t
lag .0747)';" (lag 5.716 +
2 lag 16.21 =,2(1.2098) = 2.4196
1
2" lag .0747
1
;:: 2" (2.6733) = 1.4366
logaritmo del numerador
196
,= 1.8562
t
lag ~00818).
log 5.716
= 0.7571
log .00818
= (3.9128)
- 3.9128
-
5
= 2.91285 = .5825- 1
5
= 1.5825
lag 5.716, = 0.757.1
lag .00818 = 1.5825
logaritmo del denominador
= 0.3396
logaritmo del numerador
= 1.8562
-Iogari!mo
del denominador
= 0.3396
log M
= 1.5166
M
= antilog
1.5166
= 32.86
REACTIVOSDE AUTOEVAlUACION
Usando la Tabla 1, en"'los problemas
mo del número indicado.
1.
2.
3.
4.
5.
log
lag
lag
. log
lag
ellogarit-
'
6.
7.
8.
9.
10.
28.6
324
8.194
56.71
3824
del 1 al'.10 encuentre
.
log .179
lo .004621
log .0972
log .0006718
log,..3085
Usando la Tabla I~,en los problemas del 11 al 20 encuentre N
11.
12.
13.
14.
15.
I~
lag
lag
log
log
N
N
N
N
N
=
=
=
=
=
1.8721
2.4624
0.0196 '
3.5726
4.9731.
16'.
17.
18.
19.
20.
log
lag
log
log
log
N = 1.5924
N = ~.0057
'N = ~.2836
N = 1.7824
N = 3.6101
197
Usando 'la Tabla IV, en los problemas del 2~ al 25 encueritra el valor
de o; 0° ~ O ~ 9.0°. (Interpole si es necesario).
21'.
22..
23.
24.
25:
log sen 68°40'
lag cos 40°36'
lag. tan 19°54'
log ~ot 73°45'"
lag cos 27°22'
Usando logaritmos, calcule el valor de las siguientes opera~iones:
26. '.. (.00749)
. 27.
(36.87)
(.0935)
(1.462)
(31.85)
494.5
28
. 987.5
29
.649.2
.035.81
.
80.
(.3729) (.0824)
(11.19)
31.
(19.36)2
32.
(.01321)
1
.
(.045}3
4
..L
(47.92) 5
(39.26)2
r
3
.j'39~26- .J48.91 .
-~.0081
33.
1..
2
2
(.0805)2 (17.39)
34.
~(.00905)2 P108)
r=
"
J
.
3
.
1
2'
.
.35. j1.001i .(.0339i ~
I
~99.9) 3
~.0007)4
J
.~ -
\
l198
.
Módulo12
OBJETIVOS
ESPEC,IFICOS ,
Al terminar de e$tudiar este módulo, el alumno:
1.,
Resolverá
proble'mas
ponencial.
de interés compuesto
.
aplicando
.
la funci'6n' exI
,
2.
Resolverá problemas aplicando la "ley del' crecimiento natural". '
3. . Calculará el logarit~o, de un número respecto' a cual,quier base.
4.
Resolverá ecuaciones exporíenciales mediante 'el uso de las ,propieda-
des de la 'ftlnciónexponencial.
5.
"
Resolverá ecuaciones logarítmicas mediante el uso de las prop¡'edades
.de la función logarítmica. '
-
I
ESQUEMA'- RESUMEN
Función
e><ponencial'
(Módulo 9).
Interés
compuesto.
. Solución de
problemas.
,Ley de
crecimiento
natural.
Logari tmo de
un número
respecto a
'cualqu ier base;
Función
Jogarítmica
(Módulo 10).
Resolucion
de ecuaciones
,
logarítmicas y
exponenciales.
199
12. APLICACIONESDE LA FpNCION EXPONENCIAl.
12.1 INTERESCOMPUESTO.
¿Quéesel
interés
compuésto?
Si se, IIlvierte una cantidad dada de dinero, que represen,taremos por P, a u'n interésir el cual se expresa como
un porcentaje por unidad por año, el interés al cabo de
,un año' será Pr, por lo que la cantidad total al final de un
año es lo qU'e se invirtió más los intereses 'ganados, es
decir P + Pr'::P(1 + r). Si esta cantidad P(1 + rf gana
interés por un segundo año, la cantidad total al final de
ese segundo año es:
2
'
2
P(1 + r) + P(1 + r)r =P(1 + r) (1 + r) = P(1 + r) , luego P(1 + r)
representa la cantidad invertida inicial.mente más el ¡ntA"'
rés ga,nado en dos años; SI este proceso 'se C,)IlIrr¡{I:;pr)f n
ai~GS,Id qmt;d..¡o tota! q.ue se tendt-áal fi'I.}1 .Jf;i \:~~Iu~) ti
años estJ dada por
I
A,= P '(1 + r)"
(1)
Donde:
P = cantidad invertida injcialme'ntE?
r
= interés'anual
n = número de añoS'
A = acurnulacióntotal
al tinal de n años
Ej-emplo; Si se invierten $1 ¡OOO.OOdi 8 q¿ de ¡n lPrÓs
compuesto'
5 años?
anual, ¿qué cantidad
total se tiene al findl de
'
Se tiensn los siguientes datos:
P =/$1,000.00
r =.g0f0= .08
n = S años'
A = ?
200
'
Susti tuimos estos valores en
A
= P(1
+ r)"
= 1000 (1 + .08i'
= 1000' '(1.081
= 1000 (1.469328)
.
= $1469.32
Luego aJ final de 5 añ 05 se tendrán $1,469.32.
(1.08)s se obtuvo .de un~ tabla que trae cualquier I¡bro
de cálculos Clctuariales o se puede obtener usando und
calculadora manual o usando logaritmos.
.
Ejemplo:
Encontrar
lo con tidad total al cabo de 1O
años que se obtiene con un capital inicial de $ J,200.00
al 10%de interés anual.
-
/~
<..,;¿:~
I
'
j
'Tenemos
P
= 1200
r
= .10
n
= 10
. Sustituyendo en la fórmuIa( 1)
A = 1200(1 + .10)10 = 1200 (1.10)10
En oste ejemplo usamos logariTmos comunes. para
calcular A.
Así
log A
log A
= lag
= log
1200 (1.10)10
1200 + 10 109 1.10
log .1200,
10 log 1.10
-
= 3.07.92
= .4139
log A
.
3.4931
A '= antilog 3.4931 = 3112
'.
201
Luego al: final de '10 años se tienen, $3,1 1'2.00
También se
,
capitalizar
Puesto que n es el. número ,de años y r la tasa de
interés anual, se puede considerar a A como el resultado
debido a cantidades compuestas anualmente, semestral-' ,
m~nte, trinie~tralmente., etc.; si sé designa por s el número de períodos de capitalización en u.n año, entonces
el número de períodos en n años es ns y la tasa por
puede
/
semestralmente,
trimestralmente,
etc.
r
,
período\es
A
'\"
,
;-, por lo que A se puede expresar, como:
= P (1 + ~ ) ni
Ejemplo:' Encontrar lá cantidad total al -cabo de 8
años, que ~se obtiene con un capital inidal ,de $600 ¿I'8%
'de intE!résanuaL
"
,a) 'Si la capitalización se hace tr<imestralmente.
En este caso
s = 4, luego
A = p(1 + ¡.)ni
= 600
(1 +-11) (8)(4) .
= 6O~
(1
+ .02)32;
=' 600 (1.02)32
= 600 (1.8845)
= '_1,130.72
-b) S,i la capitalización
\En
este. caso s = 12, luego
'
A
se hace mensuálmeQte.
= 600 (1
.08 (8)(12)
+ 12 }
= 600 (1 + .0066~6r6
202
"
= ,600 (1.8924)
= $1,135.47
.12.2 CRECIMIENTONATURAL.
ns
.
-
Si en la ecL1ación'A =
P(1+;:-)
hacemos que s se
haga cada vez m~s grande se obtiene una ecuación que se
llama
ley del crecimiento natural*,
la cuaL pódemos expresar como
A = pln
'(e = .2~71828
Otra'forma
deemplear
logaritmos.
)
que nos r.epresenta la cantidad total que se obtien'e si p
se capitaliza 'contjnuamente a un interés r durante n
años.
'
Ésta,ley del 'crecimiento natural' tiene ~uchas apl iGaciones en Biología; QUlmica, Economía, Estadística,_etc.'
Ejemplo: La población. d!3 una cierta ciudad en el
año de 1974' es de 1.000,000 y crece continuamente a
una tasa
r = 3.5%
anual, d~ acuerdo con Ia I.ey del
crecimiento n!3tural. Encontrar ia población aproximada
que tendrá .en 1980, 1'990.
a) Para 1980
p'
= 1.000,000
r = 3.5% = .035
n = 6
-
A =
rn
Pe
= 1.00~,000
,1.000,000
*
e(O.035H6)
. "
e. ~..210
Pará la deducción completa de esta Ley véase "Introducción
Elbridge P. Vance, págs. 366-367.
.
a la Matemática Moderna" de
, 203
log A
= log
1.000,000
e' 210
I = log 1.000,000 + .210 lag e
"
,
,
(loge "= --.4343)
log 1.000,000" = 6.0~0
0912
.~10 log e
lag A
= 6.0912
A
= antilog
6.0912 = 1.233,677 habitantes
b) para 1990
P'
= 1.000,000
r ~ 3.5% = .035
n = 16
A = 1.000,000
..
e(~036H16) ,
= 1.000,000 e,56
,= 1.000,000
(1.75067)
= 1.750,671
habitantes
Ejemplo: Con los datos "del ejemplo anter,ior, decir
en. cuántos años se doblará la población de dicha ciudad,
En este caso:
= 2.000,000
P = 1.000,000
A
r = 3.5% = -.035
~ = .,
Sustituyendo en la ecuación de la Ley del crecimiento natural tenemos:
2.000,000
204
= 1.000,000
e( ,036)"
,simplificpndo queda:
2
= eO.035n
Resolviendo
para -n ~sando,logaritmos,
tenemos:
I '
,
= 109 eO.035n
= .035 n loge
I~g 2
log 2
~lag e = .035
n
~=n
.035 tage
.3010
n
=
(.035)
n
--
.3010
,n
= 19.8
'
(.4343)
'.0152
años
~
Por tanto, lá población de tal ciudad se doblará
en 19.8 años.' '
CALCULO DEL LOGARITMODE UN NUMERO RESPECTO A CUALQUIERBASE.
'12.3
,
Si conocemos el logaritmo de un núm~roen cierta
base, algunas veces es n'ecesari.o calcular el, logaritmo del
número respecto a una base diferente; h,acemos esto en
la siguien te formQ: Sea
.
,
.
No solamente
existenloga'ritmos
debase10Ó
,
,
basee.
I
entonces
~=N
,
T oma,ndo logaritmo en base b en arT!bosmiembros
de la igualdad, 'se tiene
~5
.
luego,
Y
:::
10gb N
I~
8
= log.
Sustituyendo
y
nemos:
.',
109 .N
= I~
8
N en esta última expresión te-
N
I0Sta8
Ejemplo: Encontrar una expresión que relacione los
logaritmos de b~se e ó naturales con los logaritmos de
base 10 o comu nes.
Usando la expresión que acabamos de deducir tenemos:
loge N
==
I~
109
10
N
10910 N
=
. log
e N,
= 2.303
1
.4343
,Iog 10 N
lag10N = 2,303 log N
cuando se trabaja con logaritmos de base e s~ acostumbra
escribir el loge como In, el' cual se conoce como logaritmo natu ral.'
'
Ejemplo:
Encontrar
1098 326
log8 328=
-'
-
log8 326
,
2.5132
.9031
= 2.7829
12.4 ECUACIONESEXPONENCIALESV LOGARITMICAS.
Para resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas hacemos uso de las propiedades de la función exponencial y de la fU,nción logarítmica.
206
- ---
,
x+2
E-JempIp: Reso Iver para x Ia siguiente ecuaclon
5
"
.
.'"
"
=6
x+1
Tomando logaritmos comunes en ambos lados de la
igualdad, se tiene
= lag
log 6 x+2
(x+2) log 5
6x + 1
= (x+1)
.
=
(x+2) (.6989)
lag 6
(x+1) (.7782)
.6989 x + 1.3978 = .7782 x + .7782
-
.6989 x
.7782 x = .7782
- 1.3978
- .0793 x = - .6196
.6196
x =- .0793
.
x
=7.81
Ejemplo: Resolver por x la siguiente ecuación loga"
rítmica' lag2 (x + 1) + lag2 (x + 1) = 2
Usando la propiedad del logaritmo de un cociente
tenemos:
log8
x
+
x
X+1
x
1
=2
:d::.ri
Definición
de logaritmo
.
x + 1 = 64X
,\
x - 64x = - 1
- 63 x = - 1
1
x =, 63
207
Ejemplo:' Resolver para x la siguiente ecuación 10garítmica
Usando la propiedad, del logaritmo de un producto
tenemos:
1092(x + 1) (x - 1)
=~
(x + 1) (x - 1) = 22 Definición de logaritmo
X2
-
1
X2
:;.:
4
=5
Como solución se toma sofamente x = + .Js : ¿Por
qué no podemos tomar como solución x =-
J5
?
REACTIVOS
DI: AUTO"EVALUACION
Calcu'lar la cantidad compuesta al cabo de 15 años, con un capital
inicial de $5000 al 9% de interés anual. a) Capitalizable anualmente,
b) Capitalizable semestralmente, c) Capitalizable continuamente.
2.
¿Qué tiempo se necesita para duplicar $100, a) con interés anual del
4%, b) con interés compuesto continuamente al 4%?
En los problemas 3,.4 Y 5 suponga que rige la Ley del crecimiento
natu ral.
3.
La población de una ciudpd en 1975 es~e 1000,000 y ha estado
creciendo continuamen te en los últimos 10 años a una tasa de 3.5%
anualmente. ¿Cuántos habitantes tendrá el año 20'00 si continúa' la
mism'a tasa de crecimiento? ¿Cuántos habitantes ten ía hace 10 años?
'
En una reacción qu ímica, la concentración inicial de .02 aumenta a
4.
,
.05
en 2 minutos. a) ¿Cuál es' la velocidad de aumento de la concen-
tración por minuto? ,b) ¿Cuál será la concentración después de 5
mi.nutos?
208,
5.
'En un cierto cultivo se tienen inicialmente 500 b;'1cteriasy 3 horas
despué? se tienen 5000 bacterias. ¿Cuál es la tasa de crecimiento de
las bacterias por hbra?
6. Encuentre los siguientes logari tmos:
1096. 31
a)
b)
1098 1.86
,
e)
10915 21.7
-
d)
1099 10.81
e)
10920 124
f)
1092 354.1
7.
.
Resuelve para' x las siguientes ecuaciones oxponenciales.
sX
a)
=
625
-
,
= 216
b)
63X
e)
4 3 )(.
d')
5 (23)().
e} .
3)(-:
n.
152.X+1
8.
Resuelva para x las si!:1uientes'(~cuéJcionesl'Ogarítmicas.
él).
10918 (x+2) + lag13 (x-1)
b).
10g22, (2x+1) - log
= '8)(
-+ 1
= 20
=2
x-2
X+3
=
105x
(x+1)
==
1
=3
e) . log8 2 x + 1098 10 = O
d)
.
Ipg6 (3x~1)
-
log 6 (2)(+3) = 2
I
Bib.liografíaparaconsulta
Introduccióna la Matemática Moderna.
Elbridge P. Vance.
Fondo Educativo Interamericano,S. A.
1968.
.
.
,
.
AlgebraUniversitaria~
Eari Swokowskj.
Compañía Editora Continental, S. A.
1975
,,
/
\
, '
210
I
Panelesdeverificación
MODULO9 - VALlDACION
.2.
a)
b)
. 5,. 10, 20, 40.
3
- '2'
-3,
:- i,
e)
e, ed,ed2,
a
~, -5, 25.
==
8
6.
.
87
=,
'.
. S
S-6 -'
182
3"
127
8
5"
=6560.
8
1
3'
16
-8 -5'
ed3.
4374
4. . a--6 5.
3
¡
1
d)
- 3.
3
4' \-
-
S7 = '--¡-32
5-.
1
1
7.. 2; -1, 2' - ¡.
8,
a) .
('
a6 = 486, S6 = 728
¡
b).
n = 7,
el.
al' = 5, . n = 8
'd).
S6 = 5465
r=2,
n=8"
e).
r = -3,
,n =,7
f).
1
r = 2'
Ss
-'~
-
16
1
62'5"' . S7==-
13021
625
211
9.
$ 127.6Z815625
10.
50 27
mts.
11. $ 65610
.
12.
a)
Sn
= 5;
b)
Sn
= "2;
1
e)
1
Sn =.9;
d)
'Sn = 4;
e)
r
= -45
r
= -31
r
= .1
1
r = -2
2
Sn = -18¡r =
g)
9
1
Sn = 4;' r = -.3'
1
Sn ' -1; r = - ¡
h)
Sn = 1000; r = .9
f)
l.
3
13. r. =
5
14. Suma de las áreas
= 72 cms.2
15. Suma de tos perímetros =
48
2 -.j2"
cms.
MODULO 10- VALlDACION
/
2,,a)
b)
e)
d)
P
"
f)
..
)
1095'6~5 =,4'
'2!:
log
5;::-
.
10910 .0001
lag6 6
1
2
;:: -4,
=1
l'
~ '- -t::.
,093 243 -v
.
g)
-103
h)
(!)-3'
5
1
= 1000
= 125
=7
i)
492
j).
(.1)-2 = 100
3.
a).
m =. 2
b).
a =
e)'
M = 216
d).
m=3
4.
o
1
2"
a)o
log1536 + 101115,84
b).
1091075-
/
log1015
l'
e)
o
2"
10920408
I
d).
~ 1091093+ 10tl10
18
e).
5.
2 log10100 + i 1091036.8- 2"
a)o
1ogs
b)
log10 '(200)5
l'
.
d)
o
.
10920
log10 45
(20) (100)
a
3002
e)
3
1.
5002
lag 10 <1QOH60)4
204--
e).
' 10
.
'b 9
213
,
1.
1.4564
22. 1.8804
2.
2.5105"
23. 1.5587
3. . 0.9135
24. 1.4645
.4.
1.7537
25.
19485
5.
3.5826
26.
.2762
6..
1.2529
27.
4.3538
7.
3.6647
28. "
.5007
"
,
I
,
8. .
2.9877
29. 18120
9.
4.8272
30. ~0027
10.
1.4893
31. 133.32
74.49'
32.
,
.00000000004283
12. ,N = 290.0
33.
366.1
'34.
8'9410
35.
.1152,
11. _N =
- ,'13, "N '= 1.0-16
14.
N =3738
15~ N = 93990
16.
N = 0.3912"
17. ~ = 0.001014
18. N = O~01922.
19. N = 0.6059
20.
N = 0~004075
21. 1.9692
214
MODULO11 - VA_LlDACION
-
MODULO 1.2 VALlDACION
l.
.2.
a) $ 18,2.00
. b) $ 18,710
e) $ 19,287
a) 17.7
años
b) 17.3 años
3.
2'400,000habitantes;496,585 habitantes
4.
a) r = 4~.8% por minuto
b) .197
, 5.
r
\
76.7%. PQr hora.
6.
a)
1.9166
b)
.2984
e)
1.1364
d)
1.034
e)
1 6090
f)
8.4687
.
7.
a)
x = 4
b) 1 x=
1-
5
e)
x=.
d).
x = 8.2937
e).
x = 10.5462
f)
x = .4442
3
215
<..
8.
a).
x = 4
b).
no tiene solución
c).
)(
d).
x = -1.5797
1
216.
=
20