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Capitulo 3 : Elasticidad de "Madera idéal"
CAPÍTULO 3
COMPORTAMIENTO ELASTICO
MATERIAL "MADERA IDEAL"
Los datos básicos del modelo de comportamiento lineal elástico de madera
son ideales en este capítulo. La madera es considerada como un continuo,
elástico, homogénea; la simetría material ortotrópica cilíndrica es admitida. La
validez de este modelo de ley de comportamiento implica, naturalmente, cumplir
los supuestos que figuran en los apartados 2.2.1 y 2.2.2 del capítulo 2.
Para abordar este capítulo, el lector debe estar familiarizado con la teoría
clásica de la elasticidad lineal de sólidos isótropos. La clave será la introducción
del carácter anisotrópico eligiendo un modelo ortotrópico cilíndrico
Las notaciónes matriziales y/o tensoriales seran utilizadas, en su caso;
creemos que el texto es bastante didactico de tal manera que un lector atento no
estara desalentar.
3.1. ELASTICIDAD LINEAL
El punto material P se encuentra en el registro de coordenadas cilíndricas r
  
, , z, a las cuales son asociadas la base natural local ( R, T, L) (Radial,
Tangencial, Longitudinal).
ij
indica los componentes del tensor de deformaciónes lineal
componentes del tensor de esfuerzos
y
ij
las
.
3.1.1. Las complacencias elásticas
El comportamiento elástico de un material se caracteriza por el tensor
material S de complacencias elásticas de la cuarta orden cuyos componentes se
denotan Sijkl, que conecta el estado deformaciones con el estado de esfuerzos.
En la notación tensorial, la ley constitutiva elástica está escrita:
(3.1)
con i,j,k y l (1,2,3)
ij = Sijkl kl
(con la convención de suma sobre los índices repetidos, los llamados mudos)
Los 81 componentes del tensor de complacencias elásticas no son
linealmente independientes.
Autor: Daniel G. E. Guitard
65
Traduccion : Cécilia Bustos A.
Mecanica de Madera
*
La simetría del tensor de las deformaciones ij = ji se refleja en las 27
condiciones:
Sijkl = Sjikl
esto reduce de 81 a 54 el número de complacencias independientes a priori.
*
La simetría del tensor de los esfuerzos admitida kl = lk (supone que
ningún campo de momento interno es inducido en el material a través de
esfuercos exteriores), resultando en 18 condiciones adicionales:
Sijkl = Sijlk
esto reduce de 54 a 36 el número de complacencias a priori independientes.
La hipótesis de existencia de una densidad de potencial elástico , descrita
como una forma cuadrática definida positiva de las componentes del tensor de
los esfuerzos o del tensor de las deformaciones, implica:
2
ij
kl
ij
kl
kl
ij
Sijkl
Sklij
Estas quince relaciones adicionales reducen a 21 el número de complacencias
elásticas necesarias para caracterizar un material elástico anisotrópico
3.1.2. Cambio de base
(3,1) refleja la ley constitutiva elástica en la base de datos
 Relación

  
( R, T, L) , se considere una nueva base ortonormal (e1* , e 2* , e3* ) y los
  
componentes ij de la matriz de cambio de base, que permite pasar de ( R, T, L)
* * *
a (e1 , e 2 , e3 ) .
En la nueva base, la ley comportamiento elástico está escrito:
(3.1)
ij = S*ijkl
kl
El símbolo * significa que los componentes de los tensores se expresan en
* * *
la nueva base (e1 , e 2 , e3 ) . Los componentes S*ijkl del tensor de complacencias
elásticas en la nueva base se expresan en términos de componentes S pqrs en la
base inicial y de la matriz de cambio de base ij por las ecuaciones:
(3.2)
S*ijkl = Spqrs pi qj rk sl
A continuación, tendremos oportunidades de explicitar (3,2), en algunos
casos especiales. Tenga en cuenta que este cambio de base se respete el principio
de la indiferencia material, es decir que el comportamiento mecánico depende del
material en cuestión y no del depósito utilizado para describirlo (base).
66
Capitulo 3 : Elasticidad de "Madera idéal"
3.1.3. Simetrías materiales, ortotrópia cilíndrica.
Las propiedades anatómicas, como la presencia de capas cilíndricas que
corresponden a los anillos de crecimiento y los rayos de madera, sugirió la
hipótesis simétrica en torno a la madera ideal. Esto ayuda a conservar el plan
 
(
L
, R) como plan de simetría local.
longitudinal-radial
Haciendo caso omiso de la conicidad del tronco para sugerir cualquier
 
sección transversal del árbol (plan (R, T) ) como un segundo plan de simetría
material, y este plan es perpendicular al primero.
Estas dos propiedades se usan aquí, sucesivamente.
 
- Simetria en relación con el plan (L, R)
 
El plan (L, R) es plan de simetría, la forma de la ley de
comportamiento, y por lo tanto los componentes del tensor de complacencias
  
(
R
, T, L) de la
elásticas S se mantienen inalterados cuando se pasa de la base
  
base ( R, T, L) .
La Matriz de cambio de base se escrito:
1 0 0
[ ij] = 0 -1 0
sea
j
11= 1; 22= -1; 33= 1 et ij = 0 para i
0 0 1
En estas condiciones la explotación de la relación de cambio de base (3.2)
se reduce a:
S*ijkl = (±)Sijkl
*
Con el signo (+) cuando el índice "2" aparece un número par de vez
en la combinación (i,j,k,l), (en efecto, 222 = 224 = 1)
*
Con el signo (-) cuando el índice "2" aparece un número impar de
vez en la combinación (i,j,k,l), (en efecto, 22 = 223 = -1)
En conclusión, la hipótesis de simetría material por relación con el
plan (L, R) hecho de que todas componentes Sijkl expresadas en la base
  
( R, T, L) en con un número impar de veces el índice "2" son necesariamente
nulas. Esta única simetría reduce de 21 a 13 el número de complacencias
elásticas linealmente independientes.
 
- Simetria en relación con el plan (R, T)
Un razonamiento estrictamente análogo al anterior hecho considerar el cambio de
  
  
base de ( R, T, L) a ( R, T, L) .
Autor: Daniel G. E. Guitard
67
Traduccion : Cécilia Bustos A.
Mecanica de Madera
Esto equivale a anular, entre los componentes S ijkl, todas aquellas para las
cuales el índice "3" aparece un número impar de veces. Esta segunda simetría
reducido de 13 a 9 el número de complacencias elásticas linealmente
independientes.
 
 
Los planes (R, L) y (R, T) sean perpendiculares, se muestra fácilmente
 
que el tercer plan (T, L) perpendicular a los anteriores es también un plan de
simetría material.
El caso de la orthotropie cilíndrica permite reducida a nueve el número de
complacencias elásticas linealmente independientes.
  
En la base de orthotropie ( R, T, L) , las únicas complacencias no nulas se
indican en el cuadro n°3.1.
3.1.4. Escritura Matricial - contracción de los índices.
En un objetivo de alivio de la escritura, si no de simplificación, y con
vistas a una utilización del cálculo matricial para determinadas explotaciones
digitales, es a menudo práctica de sustituir la escritura tensorial (3.1) una
escritura matricial procediendo a una contracción de índices:
Al tensor de los esfuercos
componentes { i} con i (1 a 6).
, se asocia una matriz columna a seis
Al tensor de las deformaciones , se asocia una matriz columna a seis
componentes { i} con i (1 a 6).
Cabe señalar que los índices de rango superior a 3, el término
correspondiente de la matriz de deformaciones será igual a dos veces el término
correspondiente del tensor. ( 4 = 2 23), ( 5 = 2 31), ( 6 = 2 12)
Al tensor de complacencias elásticas S, se asocia una matriz cuadrada seis
por seis, de componente Sij con (i,j) (1 a 6)2,
Los índices de la escritura tensorial son contraídos, dos en dos, según la
regla siguiente:
dado Aij los dos índices i y j se sustituirán por un índice k
si i = j , se nota Ak con k = i.
si i j , se nota Ak con k = 9 - (i + j)
Las equivalencias de escritura se resumen en el cuadro n°3.1.
La ley de comportamiento (3.1) se escrito mientras en forma de matrices
según se indica en (3.3) donde figura la matriz simétrica de las complacencias.
68
Capitulo 3 : Elasticidad de "Madera idéal"
1
2
3
(3.3)
4
S12
S 22
S13
S 23
S14
S 24
S15
S 25
S16
S 26
1
S13 S 23
S 41 S 42
S 51 S 52
S 33
S 43
S 53
S 34
S 44
S 54
S 35
S 45
S 55
S 36
S 46
S 56
3
S 61
S 63
S 64
S 65
S 66
S11
S12
=
5
6
S 62
2
4
5
6
  
(
R
, T, L) de simetría material, teniendo
Cuando la base elegida es la base
en cuenta las consecuencias de la orthotropie mencionadas en el párrafo § 2.1.3.,
la ley de comportamiento se escrive bajo la forma simplificada siguiente:
rr
1
2
zz
(3.4)
2
2
2
3
=
z
4
zr
5
r
6
=
Con las simétrias
S11
S12
S12
S 22
S13
S 23
0
0
0
0
0
0
1
S13
0
0
0
S 23
0
0
0
S 33
0
0
0
0
S 44
0
0
0
0
S 55
0
0
0
0
S 66
3
rr
2
4
zz
=
z
5
zr
6
r
S12 = S21 , S23 = S32 , S31 = S 13
A menudo es útil de expresar los esfuerzos en función de las
deformaciones; se utiliza el tensor de rigideces elásticas C, de componentes C ijkl
que es el tensor inverso del tensor de complacencias elásticas S.
La escritura tensorial de la ley de comportamiento análogo a (3.1) es:
(3.5)
ij = Cijkl kl
El tensor de rigideces C posee, por supuesto, las mismas propiedades de
simetría que S.
La escritura matricial análoga a (3.4) se da en (3.6)
1
rr
2
3
(3.6)
4
zz
=
z
5
zr
6
r
=
C11
C12
C12
C 22
C13
C 23
0
0
0
0
C13
0
0
0
C 23
0
0
0
C 33
0
0
0
0
C 44
0
0
0
0
C 55
0
0
0
rr
zz
0
2 z =
0
2 zr
0
2 r
C 66
1
2
3
4
5
6
Con las simétrias C12 = C21 , C23 = C32 , C31 = C13
Autor: Daniel G. E. Guitard
69
Traduccion : Cécilia Bustos A.
Mecanica de Madera
  
* * *
Cuadro n°3.1. Equivalencia de calificaciones en la base ( R, T, L) = (e1 , e 2 , e3 )
Esfuerzos
Escritura tensorial
Déformaciones
Escritura matricial
rr = 11
= 22
zz = 33
z = 23
zr =
r = 12
Escritura tensorial Escritura matricial
1
2
3
4
5
rr = 11
= 22
zz = 33
2
z = 2 23
2 zr = 2
2
r = 2 12
6
1
2
3
4
5
6
complacencias
Escritura tensorial
S1111
S2222
S3333
S1122 = S2211
S2233 = S3322
S3311 = S1133
S2323 = S2332 = S3223 = S3232
S3131 = S3113 = S1331 = S1313
S1212 = S1221 = S2112= S2121
Escritura matricial
S11
S22
S33
S12 = S21
S23 = S32
S13 = S31
S44
4
S55
4
S66
4
Rigideces
Escritura tensorial
Escritura matricial
C11
C22
C33
C12 = C21
C23 = C32
C13 = C31
C44
C55
C66
C1111
C2222
C3333
C1122 = C2211
C2233 = C3322
C3311 = C1133
C2323 = C2332 = C3223 = C3232
C3131 = C3113 = C1331 = C1313
C1212 = C1221 = C2112= C2121
Observaciones: un elemento Sij de la matriz de complacencias es igual al élémento
correspondiente del tensor cuando i y j (1,2,3).
Un elemento Sij de la matriz de complacencias será igual al doble de una de las componentes
correspondientes del tensor si uno de los i o j (1,2,3) y otra de las i o j (4,5,6).
Por último un elemento Sij de la matriz de complacencias es igual a cuatro veces una de las
componentes correspondientes de la tensor si i y j (4,5,6).
Un élémento Cij de la matriz de rigideces será igual a los términos correspondientes del tensor
las rigideces elásticas.
70
Capitulo 3 : Elasticidad de "Madera idéal"
Las relaciones de paso de las complacencias Sij a las rigideces Cij serán las
indicadas en el cuadro n°3.2.
Cuadro n°3.2: paso de los Sij a los Cij
D
2
S11 S22 S33 + 2 S12 S23 S31 -S11 S 223 -S22 S 31
- S33 S 122
1
1
1
2
2
S 22 S 33 S 223
S 33 S11 S 31
S11S 22 S12
C11=
C22=
C33=
D
D
D
1
1
S 31S12 S 32 S11
S12 S 23 S13 S 22
C32 = C23 =
C23 = C32 =
D
D
1
S 23 S 31 S 21S 33
C21 = C12 =
D
1
1
1
C44 =
C55 =
C66 =
S 44
S 55
S 66
3.2 LOS MAGNITUDES TÉCNICAS: MÓDULOS DE YOUNG COEFICIENTES DE POISSON - MÓDULOS DE CIZALLAMIENTO
El uso y las tradiciones hacen que los ingenieros, probablemente en
referencia a la resistencia de los materiales clásica, utilizan magnitudes técnicas,
otras que las complacencias elásticas, y definicen el comportamiento elástico
orthotropico a partir de tres módulos de elasticidad, o módulos de Young (E L, ER,
ET), de seis coeficientes de Poisson ( RT, TR, TL, LT, LR, RL) y de tres
módulos de cizallamiento (GRT, GTL, GLR).
La ley de comportamiento (3.1) o (3.5) expresada en términos de
complacencias elásticas es extrapolada directamente en términos de magnitudes
  
técnicas expresadas en la base (R , T, L) , de conformidad con la relación (3.7).
1
TR
LR
0
0
0
ER
ET
EL
1
RT
RR
RR
S 23
0
0
0
ER
ET
TT
TT
1
RL
TL
0
0
0
LL
LL
ER
ET
EL
(3.7)
TL
TL
1
0
0
0
0
0
LR
LR
G TL
1
RT
RT
0
0
0
0
0
G LR
1
0
0
0
0
0
G RT
Autor: Daniel G. E. Guitard
71
Traduccion : Cécilia Bustos A.
Mecanica de Madera
Cabe señalar que en total doce magnitudes técnicas son utilizadas;
mientras que, como acabamos de ver; nueve son las únicas independientes. Por
consiguiente, debe nombrar a las relaciones (3.7) las condiciones de simetría
adicional del cuadro n°3.1 que se traducen en las relaciones siguientes:
RT
TR
ER
ET
;
TL
LT
ET
EL
;
LR
RL
EL
ER
3.2.1. Los módulos de elasticidad o módulos de Young
El módulo de Young Ei es, en un ensayo de solicitud uniaxial (§ 2.2.2.1
fórmula (2.16)), el cociente del esfuerzo i impuesto por la elongacion i
resultante, en la misma dirección "i", correspondiente sucesivamente a tres ejes
  
R , T y L . Se observa que el módulo Ei es la inversa del componente de la
matriz de complacencias Sii (sin sumar sobre la i).
1
1
1
(3.8)
ER =
;
ET =
;
EL =
S 22
S 33
S11
3.2.2. Los coefficientes de Poisson
El coeficiente de Poisson ij, con i y j (R,T,L)2, es el cociente de valores
absolutos de élongations (sin dimensión). El primer índice i representa la
direccion del esfuerzo i. El segundo índice j hace referencia a la dirección
transversal j, que sigue en un ensayo uniaxial.
Así definido y habida cuenta de la simetría de la matriz, acaba:
(3.9)
RT
=
TR
=
S 21
;
S11
S12
;
S 22
TL=
LT
=
S 32
S 22
S 23
S 33
;
;
S13
S 33
S 31
RL =
S11
LR=
Esta definición de los coeficientes de Poisson, aprobada por diversos
autores, plantea en el plano del cálculo matricial un pequeño problema. Cuando
se sustituye en (3.7) los índices R, T y L por los índices 1, 2, 3, los coeficientes
de Poisson aparecerán con índices en el orden "columna-línea" en lugar de la
orden habitual "línea-columna". Se ha conducido a veces a transponer la matriz.
De una manera general, cuando se utiliza los resultados numéricos procedentes
de distintas fuentes bibliográficas, se tomará custodia de los ambigüedades de
calificaciones, lamentablemente muy frecuentes.
72
Capitulo 3 : Elasticidad de "Madera idéal"
3.2.3. Módulos de cizallamiento o de rigidez
El módulo de cizallamiento (Coulomb) se define como la inversa de la
complacencia Skk, (sin sumar sobre k), con k = 9 - (i+j).
1
1
1
(3.10) GTL = G23 =
;
GLR = G31 =
;
GRT = G12 =
S 44
S 55
S 66
Ilustrando el aspecto experimental, se dará al Capítulo 4 una
interpretación física más detallada de las magnitudes técnicas.
Autor: Daniel G. E. Guitard
73
Traduccion : Cécilia Bustos A.
Mecanica de Madera
3.3. CONDICIONES SOBRE LAS CARACTERÍSTICAS ELÁSTICAS
Los componentes Sij de la matriz asociada al tensor de complacencias
elásticas no son cualesquiera. Deberán cumplir ciertas condiciones, como, por
consiguiente de un estado natural sin esfuerzos exteriores, cualquier variación del
estado de los esfuerzos o del estado de las deformaciones, se traduce en un
incremento del potencial elástico, es decir, de la energía de deformación
acumulada en el sólido considerado.
La densidad del potencial elástico es supuesta, en el punto 3.1.1, ser una
forma Cuadrática definida positiva de los componentes del tensor de los
esfuerzos (o deformaciones)
1
= Sijkl ij kl
2
Es decir, utilizando la escritura con contracción de índices:
(3.11)
= S11
2
1
2
+ S44
+ S22
2
4
2
2
2
+ S33
2
3
2
2
5
+ S23
2 3
+ S31
3 1
+ S12
1 2
2
6
+ S55
+ S66
2
2
2
La matriz asociada a la forma Cuadrática (3.11) no es otra que la matriz de
complacencias elásticas introducida en (3.3). Para satisfacer el requisito de
convexidad del potencial , esta matriz debe ser de valores propias positivas.
3.3.1. Condiciones sobre los módulos de Young y de cizallamiento
Si se prevé las condiciones de carga tales como los componentes i sean
sucesivamente y independientemente distintos de cero, en tales condiciones, los
módulos de Young y de Cizallamiento (así como las complacencias elásticas
asociadas) son necesariamente magnitudes positivas.
1
1
1
(3.12)
= S11 >0
;
= S22 >0
;
= S33 >0
ER
ET
EL
1
1
1
= S44 >0
;
= S55 >0
;
= S66 >0
G TL
G LR
G RT
3.3.2. Condiciones sobre los coeficientes de Poisson
Si se considera un cargamento tal que sólo los componentes 1 y
sean nulas, mientras la expresión del potencial elástica (3.11) se reduce a:
74
2
no
Capitulo 3 : Elasticidad de "Madera idéal"
2
1
= S11
2
2
+ S22
+ S12 1 2
2
2
Habida cuenta de (3.12), el tamaño es positiva cualesquiera que sean los
esfuerzos 1 y 2 seleccionadas, a condición de que:
(3.13)
S11S22 - S12S21 > 0
1- RT TR > 0
Por permuta circular:
(3.14)
S22S33 - S23S32 > 0
1- TL LT >0
(3.15)
S33S11 - S31S13 > 0
1-
LR
RL
>0
Si 1, 2 y 3 son las únicas componentes no nulas del tensor de los
esfuerzos, la expresión del potencial (3.11) elástica se reduce a:
= S11
2
1
2
2
2
3
+ S22
+ S33
+ S23 2 3 + S31 3 1 + S12 1 2
2
2
2
Que debe ser positiva cualesquiera que sean los valores adoptadas por los
tres componentes.
El determinante de la matriz asociada a esta forma cuadrática debe ser él
mismo positivo. O bien:
(3. 16)
S11S22S33 + S12S23S31+ S21S32S13 -S11S23S32 -S22S31S13 - S33S12S21 > 0
Habida cuenta de (3.11) esto se traduce en una nueva condición sobre los
coeficientes de Poisson.
(3.17)
1 - TR LT RL - RT TL LR - ( LT TL + RL LR + TR RT) > 0
En el caso particular de una compresión hidrostática P tal que:
= 2 = 3 = - P1 avec 4 = 5 = 6 = 0
Entonces, el módulo de compresibilidad k es una magnitud positiva o nula.
1 dV
P V
1
= > 0 donde V es el volumen
k
Esto conduce a la condición siguiente:
S11 + S22 + S33 + S23 + S32 + S31 + S13 + S12 + S21 > 0,
Sea aún más.
S
S 23 S 31 1
(3.18)
- 12
<
S11 S 22 S 33 2
Esta última condición refleja el hecho de que toda presión hidrostática,
impuesta desde el descanso, tanto a aumentar el potencial elástica.
El conjunto de las condiciones, de (3.12) a (3.18) constituye un conjunto
de criterios que permite apreciar la coherencia de los resultados experimentales,
en relación con la elaboración de modelos, cuando se intenta determinar
empíricamente de complacencias elásticas.
Autor: Daniel G. E. Guitard
75
Traduccion : Cécilia Bustos A.
Mecanica de Madera
Nota: El lector, familiar de la teoría de la elasticidad de los sólidos isotrópicos,
habrá observado que en una hipótesis de isotropia, las relaciones (3.13), (3.14) o
(3.15) implican 2 <1, mientras que (3.18) impone < 0,5. Sea condición
frecuentemente mencionada para los sólidos elásticos isotópicos: -1 < < 0,5
Además, la condición (3.17) es redundante respecto a los anteriores, en
2
efecto, se escrito 1
(1 2 ) >0, comprendido en satisfecho en el mismo
intervalo.
76
Capitulo 3 : Elasticidad de "Madera idéal"
3.4. LEY DE COMPORTAMIENTO ELÁSTICO FUERA DE LOS EJES
DE SIMETRÍA MATERIAL
* * *
Cuando la base (e1 , e2 , e3 ) , elegida para tratar un problema de mecánica,
  
es cualquiera y difiere de la base de simetría material ( R, T, L) , es necesario
calcular las complacencias S*ijkl en la nueva base utilizando las fórmulas de
cambio de base (3.2) del punto 3.1.2. Se están construyendo así la nueva matriz
S*ij, que es en general plena.
  
El paso de la base ( R, T, L) a una base orthonormada directa cualquiera
* * *
(e1 , e2 , e3 ) se describe generalmente en la ayuda de tres rotaciones sucesivas,
definidas por los ángulos de Euler (
Las nuevas complacencias se expresan a la ayuda de las nueve complacencias
elásticas, linealmente independientes y de los tres ángulos de Euler. El caso
general no será descrito aquí, los resultados sean mencionados en el anexo.
Se se limita al caso de una base deducida de la base de referencia de
  
simetría material por una unica rotación alrededor de un eje R , T o L .

3.4.1. Rotación de ángulo
alrededor del eje R
El caso que va a ser descrito corresponde a la situación resultante, por
ejemplo, un defecto de hilo de la madera en relación con el generador del tronco.
  
 * *
Se considera, en efecto, la nueva base ( R , e 2 , e 3 ) deducida de ( R, T, L) tras

una rotación de ángulo alrededor del eje R (Figura n° 3.1).
La matriz de cambio de base es,
pues:
1
[ ij] =
0
0 cos
0 sin
0
sin
cos
Aplicando la fórmula de
cambio
de
base
(3.2),
los
(p)
componentes S ijkl serán calculadas.
Autor: Daniel G. E. Guitard
Figura n°3.1 rotación

R
77
alrededor de
Traduccion : Cécilia Bustos A.
Mecanica de Madera
Cuadro n°3.3: Complacencias elásticas después de una rotación

eje R
con c= cos
alrededor del
et s = sin
S11 = S11
4
2
2
4
4
2
2
4
S 22 = S22 c + (S23 + S32 + S44) c s + S33 s
S 33 = S33 c + (S23 + S32 + S44) c s + S22 s
2
2 2
2
S 44 = S44 (c - s ) + 4 (S22 + S33 - (S23 + S32 )) s c
2
2
2
2
S55 = S55 c + S66 s
S 66 = S66 c + S55 s
2
2
2
S12
S21 = S12 c + S31 s
S23
S32 = S23 c + (S22 + S33 - S44) c s + S32 s
S31
S13 = S13 c + S12 s
S14
S41 = - 2 (S12- S13) c s
S24
S42 = - (2 S22 - 2 S23 - S44) c s - (2 S32 - 2 S33 + S44) c s
S34
S43 = - (2 S32 - 2 S33 + S44) c s - (2 S22 - 2 S23 - S44) c s
S56
S65 = (S55- S66) c s
4
2
2
2
4
2
3
3
Autor: Daniel G. E. Guitard
78
3
3
Traduccion : Cécilia Bustos A.
Chapitre 3 : Elasticité du "Bois idéal"
(p)
Se deduce los términos de la nueva matriz de complacencias Sij , en escritura
contraída, y la forma de la ley de comportamiento en la nueva base.
S12
S13
S14
0
0
3
S 21 S 22
S 31 S 32
S 23
S 33
S 24
S 34
0
0
0
0
3
4
S 41
S12
S 43
S 44
0
0
4
0
0
0
0
0
0
0
0
S55
0
0
S 66
1
2
(3.19)
S11
5
6
1
2
5
6
Para facilitar la utilización, las expresiones de S ij en función los Sij y de
son dadas en el cuadro n°3.3. A pesar de la rotación de ángulo alrededor del eje

 
R , el plan (e1 , e2 ) sigue siendo un plan de simetría material, lo que justifica los
"ceros" que subsisten en la matriz de complacencias elásticas (C. f. § 3.1.3).


El caso de rotaciones alrededor de los ejes T o L sería tratado de manera
estrictamente análogo. Las nuevas expresiones de las complacencias se deducen
de las presentadas en el cuadro n°3.3, por las permutaciones circulares sobre los
índices (1,2,3) y (4,5,6).
3.5. CONCLUSIÓN.
A través de este capítulo, la ley de comportamiento de un medio continuo
elástico en orthotropia cilíndrica fue presentada en relación con un material
"ideal" considerado como modelo de la madera sin defectos. Partiendo de una
escritura tensorial de la ley de comportamiento elástico, una escritura matricial
fue introducida, mostrando las nueve complacencias elásticas independientes,
necesarias para describir el comportamiento elástico orthotropico. Las
modificaciones resultantes de un cambio de referencia han sido presentadas, así
como un conjunto de magnitudes técnicas, módulos de Young, coeficientes de
Poisson, y módulos de cizallamiento, generalmente utilizadas por el ingeniero.
Por último, basándose en la hipótesis de existencia de un potencial elástico
como función definida positiva de los componentes del tensor de deformaciones
(o de esfuerzos), algunas condiciones necesarias, sobre las magnitudes
características han sido precisadas.
79
Mecanica de Madera
Estética de las chapas
Autor: Daniel G. E. Guitard
80
Traduccion : Cécilia Bustos A.