Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandarizados
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Contenido Trigonometrı́a: Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandarizados Carlos A. Rivera-Morales Precálculo 2 Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrı́a: Ángulos Estandarizados Contenido Objetivos Ángulos Estandarizados Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandari Ángulo de Referencia Identidades Trigonométricas Fundamentales Tabla de Contenido Objetivos Ángulos Estandarizados Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandarizados Ángulo de Referencia Identidades Trigonométricas Fundamentales Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrı́a: Ángulos Estandarizados Contenido Objetivos Ángulos Estandarizados Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandari Ángulo de Referencia Identidades Trigonométricas Fundamentales Objetivos: Discutiremos: ángulos normalizados o en posición estándar Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrı́a: Ángulos Estandarizados Contenido Objetivos Ángulos Estandarizados Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandari Ángulo de Referencia Identidades Trigonométricas Fundamentales Objetivos: Discutiremos: ángulos normalizados o en posición estándar funciones trigonométricas de ángulos estandarizados Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrı́a: Ángulos Estandarizados Contenido Objetivos Ángulos Estandarizados Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandari Ángulo de Referencia Identidades Trigonométricas Fundamentales Objetivos: Discutiremos: ángulos normalizados o en posición estándar funciones trigonométricas de ángulos estandarizados ángulo de referencia Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrı́a: Ángulos Estandarizados Contenido Objetivos Ángulos Estandarizados Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandari Ángulo de Referencia Identidades Trigonométricas Fundamentales Objetivos: Discutiremos: ángulos normalizados o en posición estándar funciones trigonométricas de ángulos estandarizados ángulo de referencia identidades trigonométricas fundamentales Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrı́a: Ángulos Estandarizados Contenido Objetivos Ángulos Estandarizados Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandari Ángulo de Referencia Identidades Trigonométricas Fundamentales Ángulos Estandarizados Definición de Ángulo en Posición Estándar Definición: Un ángulo está en posición estándar o normal si su vértice coincide con el origen del plano cartesiano y su lado inicial coincide con la parte positiva del eje − X. Nota: El lado final del ángulo puede caer en cualquier cuadrante o en cualquier eje de coordenadas. Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrı́a: Ángulos Estandarizados Contenido Objetivos Ángulos Estandarizados Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandari Ángulo de Referencia Identidades Trigonométricas Fundamentales Ángulos Estandarizados Figura: Ángulos positivos en posición estandar o normal Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrı́a: Ángulos Estandarizados Contenido Objetivos Ángulos Estandarizados Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandari Ángulo de Referencia Identidades Trigonométricas Fundamentales Ángulos Estandarizados Figura: Ángulos negativos en posición estandar o normal Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrı́a: Ángulos Estandarizados Contenido Objetivos Ángulos Estandarizados Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandari Ángulo de Referencia Identidades Trigonométricas Fundamentales Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandarizados Figura: r = Rivera-Morales, Carlos A. p x2 + y 2 Trigonometrı́a: Ángulos Estandarizados Contenido Objetivos Ángulos Estandarizados Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandari Ángulo de Referencia Identidades Trigonométricas Fundamentales Funciones Trigonométricas Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandarizados Definición: Sea θ un ángulo en posición estándar y sea P (x, y) un punto p en el lado terminal de θ (distinto de O(0, 0)). Sea r = x2 + y 2 la distancia del punto P (x, y) al origen del sistema cartesiano. Entonces, si está definida sen(θ) = cos(θ) = tan(θ) = y r x r y x Rivera-Morales, Carlos A. csc(θ) = sec(θ) = cot(θ) = r y r x x y Trigonometrı́a: Ángulos Estandarizados Contenido Objetivos Ángulos Estandarizados Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandari Ángulo de Referencia Identidades Trigonométricas Fundamentales Funciones Trigonométricas Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandarizados Definición: Sea θ un ángulo en posición estándar y sea P (x, y) un punto p en el lado terminal de θ (distinto de O(0, 0)). Sea r = x2 + y 2 la distancia del punto P (x, y) al origen del sistema cartesiano. Entonces, si está definida sen(θ) = cos(θ) = tan(θ) = y r x r y x csc(θ) = sec(θ) = cot(θ) = r y r x x y Nota: Los valores de las funciones trigonométricas de un ángulo θ no dependen del punto particular que se escoja para calcularlas; dependen únicamente de la medida del ángulo θ. Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrı́a: Ángulos Estandarizados Contenido Objetivos Ángulos Estandarizados Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandari Ángulo de Referencia Identidades Trigonométricas Fundamentales Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandarizados Figura: Relación entre las razones trigonométricas y las funciones trigonométricas de ángulos estandarizados Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrı́a: Ángulos Estandarizados Contenido Objetivos Ángulos Estandarizados Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandari Ángulo de Referencia Identidades Trigonométricas Fundamentales Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandarizados Figura: Signos de los valores de las funciones trigonométricas Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrı́a: Ángulos Estandarizados Contenido Objetivos Ángulos Estandarizados Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandari Ángulo de Referencia Identidades Trigonométricas Fundamentales Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandarizados Figura: θ = −270◦ en forma estándar Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrı́a: Ángulos Estandarizados Contenido Objetivos Ángulos Estandarizados Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandari Ángulo de Referencia Identidades Trigonométricas Fundamentales Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandarizados Figura: θ = 3π en forma estándar Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrı́a: Ángulos Estandarizados Contenido Objetivos Ángulos Estandarizados Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandari Ángulo de Referencia Identidades Trigonométricas Fundamentales Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandarizados Figura: θ = 315◦ en forma estándar Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrı́a: Ángulos Estandarizados Contenido Objetivos Ángulos Estandarizados Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandari Ángulo de Referencia Identidades Trigonométricas Fundamentales Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandarizados Ejercicios: Determine el valor de las seis funciones trigonométricas de θ si: 1 la medida de θ es 32 π radianes. 2 el lado final de θ cae sobre la lı́nea y = −x. 3 tan(θ) = 4 cos(θ) = 5 12 y − 45 el lado final de θ cae en el cuadrante III. Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrı́a: Ángulos Estandarizados Contenido Objetivos Ángulos Estandarizados Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandari Ángulo de Referencia Identidades Trigonométricas Fundamentales Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandarizados Definición: Un ángulo estándar es cuadrantal si su lado final cae encima de uno de los ejes de coordenadas. Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrı́a: Ángulos Estandarizados Contenido Objetivos Ángulos Estandarizados Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandari Ángulo de Referencia Identidades Trigonométricas Fundamentales Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandarizados Definición: Un ángulo estándar es cuadrantal si su lado final cae encima de uno de los ejes de coordenadas. Ángulo de Referencia Definición: Sea θ un ángulo en posición estándar no cuadrantal. Entonces el ángulo de referencia de θ es el ángulo agudo formado por el lado final de θ y el eje − X. Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrı́a: Ángulos Estandarizados Contenido Objetivos Ángulos Estandarizados Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandari Ángulo de Referencia Identidades Trigonométricas Fundamentales Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandarizados Figura: Ángulo de Referencia Nota: El valor de una función trigonométrica de un ángulo estandarizado θ es el mismo, excepto posiblemente por el signo, que del valor de esa misma función trigonométrica de su ángulo de referencia. Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrı́a: Ángulos Estandarizados Contenido Objetivos Ángulos Estandarizados Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandari Ángulo de Referencia Identidades Trigonométricas Fundamentales Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandarizados 0 Figura: θ = 45◦ es el ángulo de referencia de θ = 315◦ Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrı́a: Ángulos Estandarizados Contenido Objetivos Ángulos Estandarizados Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandari Ángulo de Referencia Identidades Trigonométricas Fundamentales Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandarizados Ejemplo: Sea θ = 928◦ . Determine un ángulo entre 0◦ y 360◦ que sea coterminal con θ. (Por lo tanto tienen los mismos valores de las funciones trigonométricas.) Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrı́a: Ángulos Estandarizados Contenido Objetivos Ángulos Estandarizados Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandari Ángulo de Referencia Identidades Trigonométricas Fundamentales Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandarizados Ejemplo: Sea θ = 928◦ . Determine un ángulo entre 0◦ y 360◦ que sea coterminal con θ. (Por lo tanto tienen los mismos valores de las funciones trigonométricas.) Determine el ángulo de referencia de θ. Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrı́a: Ángulos Estandarizados Contenido Objetivos Ángulos Estandarizados Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandari Ángulo de Referencia Identidades Trigonométricas Fundamentales Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandarizados Ejemplo: Sea θ = 928◦ . Determine un ángulo entre 0◦ y 360◦ que sea coterminal con θ. (Por lo tanto tienen los mismos valores de las funciones trigonométricas.) Determine el ángulo de referencia de θ. Figura: Ángulo de Referencia Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrı́a: Ángulos Estandarizados Contenido Objetivos Ángulos Estandarizados Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandari Ángulo de Referencia Identidades Trigonométricas Fundamentales Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandarizados Ejercicio: Para cada caso, determine el ángulo de referencia del ángulo θ, si θ es igual a: 1 −30◦ 2 230◦ 3 3 4π 4 −7π 9 5 640◦ 25 6 18 π 7 −510◦ 8 −5π 6 9 70◦ 10 19 π 18 Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrı́a: Ángulos Estandarizados Contenido Objetivos Ángulos Estandarizados Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandari Ángulo de Referencia Identidades Trigonométricas Fundamentales Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandarizados Ejercicio: Exprese cada caso en términos de su ángulo de referencia. Ejemplo: cos(150◦ ) = − cos(30◦ ) 1 sen(100◦ ) 2 tan(− 23 π) 3 tan(200◦ ) 4 sen( 32 π) 5 csc( 47 π) 6 sen(−300◦ ) 7 cot(− 11 3 π) 8 sec(264◦ ) Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrı́a: Ángulos Estandarizados Contenido Objetivos Ángulos Estandarizados Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandari Ángulo de Referencia Identidades Trigonométricas Fundamentales Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandarizados Ejercicio: Sin usar la calculadora, determine el valor exacto de sen(θ), cos(θ) y tan(θ) haciendo uso del ángulo de referencia de θ, si θ es igual a: (Ejemplo: cos(150◦ ) = − cos(30◦ ) = − 12 ) 1 750◦ 2 10 3 π 3 −405◦ 4 − 25 4 π 5 −840◦ 6 4 3π Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrı́a: Ángulos Estandarizados Contenido Objetivos Ángulos Estandarizados Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandari Ángulo de Referencia Identidades Trigonométricas Fundamentales Funciones Trigonométricas Identidades Trigonométricas Fundamentales Sea θ un ángulo estandarizado cualquiera con medida en grados o en radianes. Si ambos lados de la ecuación están definidos, entonces: Identidades recı́procas 1 sen(θ) = csc(θ) cos(θ) = 1 csc(θ) = sen(θ) sec(θ) = 1 sec(θ) 1 cos(θ) Rivera-Morales, Carlos A. 1 tan(θ) = cot(θ) 1 cot(θ) = tan(θ) Trigonometrı́a: Ángulos Estandarizados Contenido Objetivos Ángulos Estandarizados Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandari Ángulo de Referencia Identidades Trigonométricas Fundamentales Funciones Trigonométricas Identidades Trigonométricas Fundamentales Sea θ un ángulo estandarizado cualquiera con medida en grados o en radianes. Si ambos lados de la ecuación están definidos, entonces: Identidades recı́procas 1 sen(θ) = csc(θ) cos(θ) = 1 csc(θ) = sen(θ) sec(θ) = Identidades cociente tan(θ) = sen(θ) cot(θ) = cos(θ) 1 sec(θ) 1 cos(θ) 1 tan(θ) = cot(θ) 1 cot(θ) = tan(θ) cos(θ) sen(θ) Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrı́a: Ángulos Estandarizados Contenido Objetivos Ángulos Estandarizados Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandari Ángulo de Referencia Identidades Trigonométricas Fundamentales Funciones Trigonométricas Identidades Trigonométricas Fundamentales Sea θ un ángulo estandarizado cualquiera con medida en grados o en radianes. Si ambos lados de la ecuación están definidos, entonces: Identidades recı́procas 1 sen(θ) = csc(θ) cos(θ) = 1 csc(θ) = sen(θ) sec(θ) = Identidades cociente tan(θ) = sen(θ) cot(θ) = cos(θ) 1 sec(θ) 1 cos(θ) 1 tan(θ) = cot(θ) 1 cot(θ) = tan(θ) cos(θ) sen(θ) Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrı́a: Ángulos Estandarizados Contenido Objetivos Ángulos Estandarizados Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandari Ángulo de Referencia Identidades Trigonométricas Fundamentales Funciones Trigonométricas Identidades Trigonométricas Fundamentales (Continuación) Identidades pitagóricas sen2 (θ) + cos2 (θ) = 1 1 + tan2 (θ) = sec2 (θ) cot2 (θ) + 1 = csc2 (θ) Identidades Par/Impar sen(−θ) = − sen(θ) cos(−θ) = cos(θ) csc(θ) = − csc(θ) sec(−θ) = sec(θ) Rivera-Morales, Carlos A. tan(−θ) = − tan(θ) cot(−θ) = − cot(θ) Trigonometrı́a: Ángulos Estandarizados Contenido Objetivos Ángulos Estandarizados Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandari Ángulo de Referencia Identidades Trigonométricas Fundamentales Funciones Trigonométricas Identidades Trigonométricas Fundamentales (Continuación) Identidades pitagóricas sen2 (θ) + cos2 (θ) = 1 1 + tan2 (θ) = sec2 (θ) cot2 (θ) + 1 = csc2 (θ) Identidades Par/Impar sen(−θ) = − sen(θ) cos(−θ) = cos(θ) csc(θ) = − csc(θ) sec(−θ) = sec(θ) tan(−θ) = − tan(θ) cot(−θ) = − cot(θ) Nota: coseno y secante son funciones pares; las restantes son funciones impares. Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrı́a: Ángulos Estandarizados Contenido Objetivos Ángulos Estandarizados Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandari Ángulo de Referencia Identidades Trigonométricas Fundamentales Funciones Trigonométricas Figura: Reflexión del ángulo θ con respecto al eje − X Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrı́a: Ángulos Estandarizados Contenido Objetivos Ángulos Estandarizados Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandari Ángulo de Referencia Identidades Trigonométricas Fundamentales Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandarizados 8 y sen(θ) < 0. Ejercicio: Sea θ un ángulo tal que cot(θ) = − 15 Use identidades trigonométricas fundamentales para determinar: 1 sen(θ) 2 cos(θ) 3 tan(θ). Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrı́a: Ángulos Estandarizados Contenido Objetivos Ángulos Estandarizados Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandari Ángulo de Referencia Identidades Trigonométricas Fundamentales Funciones Trigonométricas de Ángulos Estandarizados Ejercicio: Use identidades trigonométricas fundamentales para transformar el lado izquierdo de la ecuación en el lado derecho. 1 sen2 (θ) − cos2 (θ) = 2 sen2 (θ) − 1 2 sen(θ) cos(θ) 3 cot(−θ) × cos(−θ) + sen(−θ) = − csc(θ) + cos(θ) sen(θ) = csc(θ) sec(θ) Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrı́a: Ángulos Estandarizados
