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ENCUENTRO # 36
TEMA: Logaritmos. Propiedades
CONTENIDOS:
1. Propiedades de los logaritmos
Ejercicio Reto
√
√
1+x− 1−x
es:
1. El dominio de f (x) =
x
A)[−1, 1] − {0}
B)(−1, 1) − {0}
C)(−1, 1)
D)[−1, 1]
2. Examen UNI 2015 Si xx = 3, entonces el valor de
√
√
√
B) 3
C)3 2
D)2
E)6
A)2 3
E)R − {0}
q
xxx+1 − x2x es de:
1. Introducción
El término logaritmo lo acuñó el matemático escocés John Napier, a partir de los términos griegos lógos (razón) y arithmós (número) para designar a la correspondencia, que
había descubierto, entre los términos de una progresión aritmética y otra geométrica.
Al principio los llamó "números artificiales", pero luego cambió de opinión.
Al logaritmo que tiene por base el número e se le llama, en su honor, neperiano.
Pero fue el inglés Henry Briggs, un amigo de Napier, quien comenzó a usar los logaritmos con base 10. Briggs escribió acerca de su nuevo descubrimiento: "Los logaritmos
son números que se descubrieron para facilitar la solución de los problemas aritméticos
y geométricos, con su empleo se evitan todas las complejas multiplicaciones y divisiones, y se transforman en algo completamente simple, a través de la sustitución de la
multiplicación por la adición y la división por la substracción. Además, el cálculo de
las raíces también se realiza con gran facilidad".
Definición 1 (Logaritmo). El logaritmo de un número en una base determinada es el
exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número.
logb N = a
⇔
ab = N
con N y b números reales positivos y b diferente de 1.
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Nota: El logarimo de base 10 se puede omitir la escritura de la base
Ejemplo
log10 a = log a
Nota: El logarimo de base e se escribe como ln y se nombra logaritmo natural
Ejemplo
loge a = ln a
Ejemplo # 1
Calcula
1. log3 9
5. log 1 2
2. log2 8
6. ln e
1
2
7. ln 1
3. log2
4. log 1 5
25
9. log0.1 1
2
10. log0.25 16
8. log9 3
Solución
log3 9 = 2 → 32 = 9
log2 8 = 3 → 23 = 8
log2 12 = −1 → 2−1 = 21
1 − 12
log 1 5 = − 12 → ( 25
) =5
25
1
ln e = 1 → e = e
ln 1 = 0 → e0 = 1
1
log9 3 = 12 → 9 2 = 3
1 −1
) = 10
log0.1 10 = −1 → (0.1)−1 = ( 10
−2
log0.25 16 = −2 → (0.25) = ( 14 )−2 = 16
Identidad logarítmica
aloga b = b
Ejemplos:
x−2
2
( 14 )log0.25 2
4log4 x = x2
eln(a+b) = a + b
= 2x−2
2
9
−4
log9 ( 3x2x−2x−5
)
=
x2 −4
3x2 −2x−5
Propiedades de los logaritmos
Si a > 0; a 6= 1; b > 0; c > 0
1. loga b = x si y solo si ax = b (Definición)
2. loga 1 = 0
3. loga a = 1
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4.
aloga b = b
5. loga b + loga c = loga (a · b)
6. loga b − loga c = loga (a ÷ b) (c 6= 0)
7. x · loga b = loga bx
8. loga c · logc b = loga b, (c 6= 1)
9.
10.
loga b
loga c
1
x
= logc b, (c 6= 1)
loga b = logax b
11. loga b = loga c ←→ b = c
Ejemplo 1.1. Desarrolla la expresión log3 x12 aplicando propiedades de los logaritmos
solución
log3 x12 = 12 log3 x
√
Ejemplo 1.2. Desarrolla la expresión log2 3x4 y aplicando propiedades.
Solución
1
√
log2 3x4 y = log2 3 + log2 x4 + log2 y 2 = log2 3 + 4 log2 x + 12 log2 y
Ejemplo 1.3. Desarrolla la expresión logy
Solución
q
4
(x − 5)3 aplicando propiedades.
1
1
logy ((x − 5)3 ) 4 = logy (x − 5)3· 4 = 34 logy (x − 5)
Ejemplo 1.4. Desarrolla la expresión loga
Solución
loga
(x+y)3
(x−y)2
ln
aplicando propiedades.
= loga (x + y)3 − loga (x − y)2 = 3 loga (x + y) − 2 loga (x − y)
Ejemplo 1.5. Desarrolla la expresión ln
Solución
(x+y)3
(x−y)2
e3x (x+1) 3
2x2
h
i
e3x (x+1) 3
2
2x
(ex )3 (x+1)
2x2
aplicando propiedades.
= 3 ln
= 3[ln(ex )3 (x + 1) − ln 2x2 ]
= 3[3 ln ex + ln(x + 1) − (ln 2 + 2 ln x)]
Ejercicios de las propiedades de los logaritmos
I-Utiliza las propiedades de los logaritmos para desarrollar las siguientes:
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1. log3 x3 y 2 z
2. ln(3e4 x2 )2
8. log2
2
3. ln exy
3 z4
4.
6. log
√
3
r
3x2 (1−2x)6
log5 2x
y (x2 −y 2 )
5. log4
√
a3 b
√
3 2
c d
7. log
9. log
√ 2 4
3x y
x2
x−3(x+z)2
(x+3)(y−5)
√
(x+6)4 y−2
s √
√
3x
√
y
10. ln
3
e2
(x+1)4 (x−1)3
√
ex 5
(x2 −1)4
II-Aplica las propiedades de los logaritmos para expresar los siguientes logaritmos como
el logaritmo de un solo argumento:
1
8
log x + 31 log y − 14 log z
1. 2 ln 5 + 2 ln x
8.
2. 3 log m − 2 log n
9. ln 5 + 1 + ln y − 7 ln x
3.
1
5
log m + 4 log n
10. 2 − x + 3 ln(x + y) − 3 ln(x − y)
4. − 23 logb (x + 1) − 41 logb (x + 2)
11.
5. log 3 + log y − log x
2
3
log(x−2)− 45 log(x+2)+2 log(x+1)
12. x2 + x + 1 − 2 log x + 3 log(x + 1)
6. log2 x − log2 y − log2 z
13. 2 ln 9 + 4 ln m + ln p − 2 ln 7 − 2 ln x −
6 ln y
7. 1 − log4 (m − 1) − log4 (m + 1)
Ejercicios de entrenamiento
1
1
1. Reducir: 36 log2 6 + e−2 ln( 2 )
A)9
B)8
C)6
D)e
D)1
q
log4 2 + log4 5 + 1
2. Reducir W =
log2 2 + log2 5 +√1
A)1
B) 21
C)2
D) 2
ln 7
− ln
3
C)3
D)7
√
log 2
4. El valor de Q = 3 4log3 4
3. Reducir E =
A)1
B)2
A)4
2
2
ln 21
ln 3
√
B) 2
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√
D)
√
C) 3 4
D)21
D)16
D)8
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log5 2
5. Si A = 36 log5 6 , calcular: logA 16
A)1
B)2
C)3
D)4
D)5
6. Hallar x en la ecuación: e3 ln 2 − 4log2
D)12
7. La solución de ln[ln(ln x)] = 1 es:
e
A)e
B)2e
C)ee
D)ee
8. la solución de loglog x (4) = 3 es:
√
A)1000
B)100
C)10 2
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√
x
= 0 A)8
B)9
C)10
D)11
ee
D)ee
D)10
5
√
3
2
D)10
√
3
4
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