Universidad Técnica Federico Santa Marı́a Departamento de Matemática Campus Santiago Lı́mites 1. Probar por definición 1) lim 3x + 5 = −1 2) x→−2 √ 3 √ 3 lim x2 − 1 = 8 x→3 3) lim x→2 x 2 = x+1 3 x−1 2 =− 2 − 3x 7 1 2 2. Calcule el siguiente limite: lim (x − 4) sen x→2 x−2 1 1 3. Demostrar que lim cos no existe, pero que lim x cos = 0. x→0 x→0 x x 4) lim x→x0 x= x0 5) lim x→3 4. f, g : A ⊂ R −→ R. f acotada en una vecindad de c y suponga que lim g(x) = 0. x→c Demostrar que lim f (x)g(x) = 0. x→c 5. Sean f, g : A ⊂ R −→ R a) Probar que si existen los lı́mites lim f (x) y lim (f (x) + g(x)), entonces existe x→c x→c lim g(x). x→c b) Si lim f (x) y lim f (x)g(x) existen, Se infiere la existencia de lim g(x)? x→c x→c x→c 6. Dada la función y = x2 . ¿Cuál debe ser el valor de δ para el cual |x − 2| < δ implique que |y − 4| < 0.001? 7. Sea la función y = x−1 . ¿Cuál debe ser el valor de δ para el cual |x − 3| < δ 2(x + 1) 1 implique que | − y| < 0.01? 4 8. Dada la función y = x2 implique que y < 0.01? 1 . ¿Cuál debe ser el valor de N para el cual |x| > N +1 x2 − 1 . ¿Cuál debe ser el valor de N para el cual |x| > N x2 + 3 implique que |y − 1| < 0.001? 9. Dada la función y = 10. Encuentre el perı́metro de un n-gono regular inscrito en un cı́rculo de radio r. Use medida en radianes para cualquier función trigonométrica que utilice. ?’Cuando n crece indefinidamente a que valor tiende el perı́metro? 1 11. Pruebe que lim+ f ( ) = lim f (x) x→∞ x→0 x 12. Pruebe que si lim xf (x) = L, entonces lim f (x) = 0 x→∞ x→∞ f (bx) f (x) 13. Demuestre que si lim = L y b 6= 0, entonces lim = bL. ¿Que pasa si x→0 x x→0 x b = 0? 14. Demuestre que si lim f (x) = L, entonces lim |f (x)| = |L|. x→a 15. Calcular los siguientes lı́mites: √ 3 x−1 1) lim √ x→1 4 x − 1 3) 5) 7) 9) x2 − 3x − 10 x→5 25 − x2 √ √ 1+x− 1−x lim x→0 x √ 1 − 1 − x2 lim x→0 x2 lim lim x→a cos x − cos a x−a x→a 2) 4) 6) 8) 10) 12) 13) lim x2 + 5 x→2 x2 − 3 14) 15) √ (x − 1) 2 − x lim x→1 x2 − 1 16) 19) 21) 23) 25) 27) xm − 1 x→1 xn − 1 √ n x−1 lim √ x→1 m x − 1 18) 20) sen(xn ) 22) x→0 (sen(x))m p p 1 + sen(x) − 1 − sen(x) 24) lim x→0 tan(x) lim tan2 (x) + 2x x→0 x + x2 lim lim x→3 2x − 6 √ x− x+6 lim x→0 1 − cos x x2 lim √ 11) lim 1 − x2 x→−1 x2 + 3x + 2 √ √ x− a lim x→a x−a lim x→π/4 x − sen 2x lim x→0 x + sen 3x 17) x3 − 1 x→1 x2 − 1 lim 26) 28) lim x→0 sen x − cos x 1 − tan x cos x − 1 x2 x x→1 1 − x 1 1 lim − x→2 x(x − 2)2 x2 − 3x + 2 √ √ x2 + 1 + x lim √ x→∞ 4 x3 + x − x lim (x + 1)10 + (x + 2)10 + . . . + (x + 100)10 x→∞ x10 + 1010 lim lim x→0 1 − cos(x) x2 sen2 (2x) x→0 x2 lim x2 (3 + sen(x)) x→0 (x + sen(x))2 lim lim x→1 sen 2(x − 1) x3 − 1 16. Calcular los siguientes lı́mites 29) 31) 33) 35) 37) 39) x−8 lim √ 30) 3 x→2 x−2 1 3 lim + 32) x→1 x − 1 1 − x3 √ x−8 34) lim √ 3 x→64 x−4 lim tan x − sen x x3 36) lim sen x sen 2x 38) lim csc x − cot x 40) x→0 x→0 x→0 1 − 2 cos x x→π/3 π − 3x lim lim x→π/4 cos x − sen x cos 2x 4 sen 5x x→0 3x lim 2 sen2 x − 6x3 x→0 x2 s ! s 1 1 lim+ sen 1 + − sen x→0 x x lim lim ( x→π/2 π − x) tan x 2