L´ımites 1. Probar por definición 1) lim 3x +5= −1 2) lim x2 − 1

Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Departamento de Matemática
Campus Santiago
Lı́mites
1. Probar por definición
1)
lim 3x + 5 = −1 2)
x→−2
√
3
√
3
lim x2 − 1 = 8
x→3
3)
lim
x→2
x
2
=
x+1
3
x−1
2
=−
2 − 3x
7
1
2
2. Calcule el siguiente limite: lim (x − 4) sen
x→2
x−2
1
1
3. Demostrar que lim cos
no existe, pero que lim x cos
= 0.
x→0
x→0
x
x
4)
lim
x→x0
x=
x0
5)
lim
x→3
4. f, g : A ⊂ R −→ R. f acotada en una vecindad de c y suponga que lim g(x) = 0.
x→c
Demostrar que lim f (x)g(x) = 0.
x→c
5. Sean f, g : A ⊂ R −→ R
a) Probar que si existen los lı́mites lim f (x) y lim (f (x) + g(x)), entonces existe
x→c
x→c
lim g(x).
x→c
b) Si lim f (x) y lim f (x)g(x) existen, Se infiere la existencia de lim g(x)?
x→c
x→c
x→c
6. Dada la función y = x2 . ¿Cuál debe ser el valor de δ para el cual |x − 2| < δ
implique que |y − 4| < 0.001?
7. Sea la función y =
x−1
. ¿Cuál debe ser el valor de δ para el cual |x − 3| < δ
2(x + 1)
1
implique que | − y| < 0.01?
4
8. Dada la función y =
x2
implique que y < 0.01?
1
. ¿Cuál debe ser el valor de N para el cual |x| > N
+1
x2 − 1
. ¿Cuál debe ser el valor de N para el cual |x| > N
x2 + 3
implique que |y − 1| < 0.001?
9. Dada la función y =
10. Encuentre el perı́metro de un n-gono regular inscrito en un cı́rculo de radio r. Use
medida en radianes para cualquier función trigonométrica que utilice. ?’Cuando
n crece indefinidamente a que valor tiende el perı́metro?
1
11. Pruebe que lim+ f ( ) = lim f (x)
x→∞
x→0
x
12. Pruebe que si lim xf (x) = L, entonces lim f (x) = 0
x→∞
x→∞
f (bx)
f (x)
13. Demuestre que si lim
= L y b 6= 0, entonces lim
= bL. ¿Que pasa si
x→0 x
x→0
x
b = 0?
14. Demuestre que si lim f (x) = L, entonces lim |f (x)| = |L|.
x→a
15. Calcular los siguientes lı́mites:
√
3
x−1
1) lim √
x→1 4 x − 1
3)
5)
7)
9)
x2 − 3x − 10
x→5
25 − x2
√
√
1+x− 1−x
lim
x→0
x
√
1 − 1 − x2
lim
x→0
x2
lim
lim
x→a
cos x − cos a
x−a
x→a
2)
4)
6)
8)
10)
12)
13)
lim
x2 + 5
x→2 x2 − 3
14)
15)
√
(x − 1) 2 − x
lim
x→1
x2 − 1
16)
19)
21)
23)
25)
27)
xm − 1
x→1 xn − 1
√
n
x−1
lim √
x→1 m x − 1
18)
20)
sen(xn )
22)
x→0 (sen(x))m
p
p
1 + sen(x) − 1 − sen(x)
24)
lim
x→0
tan(x)
lim
tan2 (x) + 2x
x→0
x + x2
lim
lim
x→3
2x − 6
√
x− x+6
lim
x→0
1 − cos x
x2
lim
√
11)
lim
1 − x2
x→−1 x2 + 3x + 2
√
√
x− a
lim
x→a
x−a
lim
x→π/4
x − sen 2x
lim
x→0 x + sen 3x
17)
x3 − 1
x→1 x2 − 1
lim
26)
28)
lim
x→0
sen x − cos x
1 − tan x
cos x − 1
x2
x
x→1 1 − x
1
1
lim
−
x→2
x(x − 2)2 x2 − 3x + 2
√
√
x2 + 1 + x
lim √
x→∞ 4 x3 + x − x
lim
(x + 1)10 + (x + 2)10 + . . . + (x + 100)10
x→∞
x10 + 1010
lim
lim
x→0
1 − cos(x)
x2
sen2 (2x)
x→0
x2
lim
x2 (3 + sen(x))
x→0 (x + sen(x))2
lim
lim
x→1
sen 2(x − 1)
x3 − 1
16. Calcular los siguientes lı́mites
29)
31)
33)
35)
37)
39)
x−8
lim √
30)
3
x→2
x−2
1
3
lim
+
32)
x→1
x − 1 1 − x3
√
x−8
34)
lim √
3
x→64
x−4
lim
tan x − sen x
x3
36)
lim
sen x
sen 2x
38)
lim csc x − cot x
40)
x→0
x→0
x→0
1 − 2 cos x
x→π/3
π − 3x
lim
lim
x→π/4
cos x − sen x
cos 2x
4 sen 5x
x→0
3x
lim
2 sen2 x − 6x3
x→0
x2
s !
s
1
1
lim+ sen 1 + − sen
x→0
x
x
lim
lim (
x→π/2
π
− x) tan x
2