Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Inferencia

Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Inferencia
Estadística de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
Antonio Francisco Roldán López de Hierro
*
Convocatoria de 2007
Las siguientes páginas contienen las soluciones de los ejercicios propuestos para las pruebas
de acceso a la Universidad en Andalucía de la asignatura Matemáticas aplicadas a las Ciencias
Sociales II sobre Inferencia Estadística. Cada uno lleva un código como el siguiente: 20076-B-4, que signi…ca ejercicio 4 de la opción B del modelo 6 de la convocatoria de 2007.
1.
Algunas notas sobre la resolución de los ejercicios de Inferencia Estadística
La mayor parte de los ejercicios de Inferencia Estadística que se proponen en las pruebas de
acceso a la Universidad son muy parecidos. Se basan en cuatro fórmulas que hay que conocer
muy bien y saber cuándo se deben utilizar.
Para la media poblacional
Intervalo de con…anza
Tamaño mínimo
x
n
z
=2
z
p
Para la proporción
#
n
p^
2
=2
n
E0
z
=2
r
p^ (1
p^)
n
z 2 =2 p^ (1
"
p^)
E02
En cada una de éstas fórmulas se utiliza un valor crítico z =2 asociado a un cierto nivel de
con…anza p (o, lo que es lo mismo, a un cierto nivel de signi…cación = 1 p). El cálculo de este
*
Profesor del I.E.S. Acci de Guadix (Granada) - http://www.ies-acci.com/antonioroldan/
1
Selectividad
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
valor es un proceso automático. Por eso, no lo vamos a explicar en cada ejercicio. Simplemente
damos, en la siguiente tabla, los valores críticos asociados a los niveles de con…anza más usuales.
p
p+1
2
=1
z
=2
2
90 %
92 %
93 %
95 %
96 %
97 %
98 %
99 %
990 5 %
00 95
00 96
00 965
00 975
00 98
00 985
00 99
00 995
00 9975
10 645
10 75
10 81
10 96
20 055
20 17
20 325
20 575
20 81
Únicamente en los ejercicios que hayan sido propuestos en las convocatorias de junio o
septiembre escribiremos cómo deducir estos valores críticos (aunque, debemos observar que,
para que un ejercicio esté completo, se debe explicar cómo obtener el correspondiente valor
crítico e incluso hacer una …gura adecuada como la que presentaremos).
2.
Ejercicios de Selectividad
Ejercicio 1 (2007-1-A-4) [2] El salario de los trabajadores de una ciudad sigue una distribución Normal con desviación típica 15 euros. Se quiere calcular un intervalo de con…anza
para el salario medio con un nivel de con…anza del 98 %. Determine cuál es el tamaño mínimo de la muestra que se necesitaría recoger para que el intervalo de con…anza tenga una
amplitud, como máximo, de 6 euros.
Solución :
Sea X la variable aleatoria que mide el “salario (en euros) de un trabajador, elegido
al azar”. Según indica el problema, de esta variable sabemos que X ,! N ( ; = 15), siendo la
media desconocida. Para un nivel de con…anza p = 00 98, el valor crítico correspondiente es
z =2 = 20 325. Si queremos que la amplitud máxima del intervalo de con…anza sea de 6 e, el
error máximo admisible debe ser E0 = 3 e (¡cuidado, el problema indica la amplitud máxima y
no el error máximo!) Por tanto, el tamaño mínimo n que debemos tomar en una muestra para
tener un error inferior a 3 e veri…ca:
n
z
=2
E0
2
=
20 325 15
3
2
1350 14:
Esto signi…ca que, para obtener un error máximo de 3 e, al 99 % de con…anza, debemos tomar
una muestra con, al menos,
136 trabajadores.
Andalucía
2
Antonio Roldán
Selectividad
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
Ejercicio 2 (2007-1-B-4) [2] En una encuesta representativa realizada a 1230 personas de
una ciudad, se obtuvo como resultado que 654 de ellas van al cine los …nes de semana.
Calcule un intervalo de con…anza, al 97 %, para la proporción de asistencia al cine los …nes
de semana en dicha ciudad.
Solución :
La proporción muestral de personas que van al cine los …nes de semana, en una
muestra de tamaño n = 1230, es de p^ = 654=1230 00 532. Al 97 % de con…anza, el valor crítico
asociado es z =2 = 20 17. Dado que n
30, n p^ = 1230 00 532 = 654
5 y n (1 p^) =
0
0
1230 0 468 = 575 64
5, podemos utilizar la aproximación de De Moivre para obtener la
fórmula de intervalo del con…anza para la proporción de personas que van al cine los …nes de
semana en esa ciudad, que es:
" #
"
#
r
r
p^ (1 p^)
00 532 00 468
0
0
= 0 532 2 17
IC = p^ z =2
n
1230
i
00 532
00 031
h
=
i
h
00 501 ; 00 563 :
Esto signi…ca que, al 97 % de con…anza, la proporción de personas que van al cine los …nes de
semana en esa ciudad está entre el 50’1 % y el 56’3 %.
Ejercicio 3 (2007-2-A-4, Junio) En una muestra aleatoria de 256 individuos se ha obtenido
una edad media de 170 4 años. Se sabe que la desviación típica de la población Normal de la
que procede esa muestra es de 2 años.
a) [1] Obtenga un intervalo de con…anza al 95 % para la edad media de la población.
b) [1] ¿Cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra para que el correspondiente intervalo
de con…anza, al 90 %, tenga de amplitud a lo sumo 00 5?
Solución :
(Apartado a) Sea X la variable aleatoria que mide la “edad de una persona, elegida
al azar, de esa población”. De esta variable sabemos que X ,! N ( ; = 2), siendo la media
desconocida. Se elige una muestra de tamaño n = 256, que arroja una media muestral de
x = 170 4 años. Como la población de partida es Normal, el intervalo de con…anza solicitado es:
IC =
x
z
=2
p
n
:
Para aplicar esta fórmula, es necesario calcular el valor crítico z =2 al nivel de con…anza del 95 %
(o lo que es lo mismo, a un nivel de signi…cación = 5 % = 00 05). Para ello, recordamos que el
número z =2 es el único número real que cumple que p Z > z =2 = =2 = 00 025, siendo Z una
variable con distribución Normal estándar. Como disponemos de una tabla de colas a la izquierda,
Andalucía
3
Antonio Roldán
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traducimos esta condición con el suceso opuesto, es decir, p Z z =2 = 1 00 025 = 00 975.
Buscamos este valor en la tabla de la distribución Normal estándar, encontrando el valor crítico
z =2 = 10 96.
y
0'95
0'025
_z
0'025
z 0'025
0'025
x
Z ,! N (0; 1)
De esta forma, el intervalo de con…anza es:
IC =
=
x
z
i
=2
p
n
=
170 4
10 96 p
h
170 155; 170 645 :
2
256
i
= 170 4
00 245
h
=
Esto signi…ca que la edad media de la población está, al 90 % de con…anza, entre 170 155 y 170 645
años.
(Apartado b) Por otro lado, para que la amplitud del intervalo de con…anza sea A = 00 5
años, su error máximo admitido será E = A=2 = 00 25 años. Razonando como antes pero ahora al
90 % de con…anza, buscamos en la tabla de la distribución Normal estándar el valor (1 + p) =2 =
(1 + 00 9) =2 = 00 95, lo que nos proporciona el valor crítico z =2 = 10 645 (serían aceptables las
aproximaciones por defecto 10 64 y por exceso 10 65, aunque nosotros hemos tomado un valor
intermedio). Con estos datos, el tamaño mínimo que debemos tomar en una muestra es:
n
z
=2
E
2
=
10 645 2
00 25
2
= 130 162 = 1730 19:
Por tanto, deberá tomarse una muestra de, al menos,
174 individuos.
Ejercicio 4 (2007-2-B-4, Junio) En una granja avícola se ha tomado una muestra aleatoria de 200 polluelos de pato, entre los cuales se encontraron 120 hembras.
Andalucía
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a) [1’5] Halle un intervalo de con…anza, con un nivel del 98 %, para la proporción de hembras
entre estos polluelos.
b) [0’5] Razone, a la vista del intervalo encontrado, si a ese nivel de con…anza puede
admitirse que la verdadera proporción de hembras de pato en esa granja es 0;5.
Solución :
(Apartado a) Como hay 120 hembras en una muestra de tamaño n = 200, la
proporción muestral de hembras entre los polluelos de pato es p^ = 120=200 = 00 6. Dado que
n
30, n p^ = 200 00 6 = 120
5 y n (1 p^) = 200 00 4 = 80
5, podemos utilizar la
aproximación de De Moivre para obtener la fórmula de intervalo del con…anza para la proporción
poblacional de hembras, que es:
"
#
r
p^ (1 p^)
:
IC = p^ z =2
n
Para aplicar esta fórmula, es necesario calcular el valor crítico z =2 al nivel de con…anza del 98 %
(o lo que es lo mismo, a un nivel de signi…cación = 2 % = 00 02). Para ello, recordamos que el
número z =2 es el único número real que cumple que p Z > z =2 = =2 = 00 01, siendo Z una
variable con distribución Normal estándar. Como disponemos de una tabla de colas a la izquierda,
traducimos esta condición con el suceso opuesto, es decir, p Z z =2 = 1 00 01 = 00 99.
Buscamos este valor en la tabla de la distribución Normal estándar, encontrando el valor crítico
z =2 = 20 325 (también serían aceptables las aproximaciones por defecto 20 32 y por exceso 20 33).
y
0'98
0'01
_z
0'01
z 0'01
0'01
x
Z ,! N (0; 1)
De esta forma, el intervalo de con…anza es:
#
" #
r
p^ (1 p^)
I:C: = p^ z =2
= 00 6
n
i
h
=
00 52; 00 68 :
0
2 325
r
00 6 00 4
200
"
i
00 6
00 08
h
=
Esto signi…ca que, al 98 % de con…anza, la proporción de hembras en toda la población está
entre el 52 % y el 68 %.
Andalucía
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(Apartado b) Desde luego, a este nivel de con…anza, hemos de rechazar la a…rmación
que establece que la proporción de hembras de pato en esa granja sea del 50 % ya que el número
00 5 no está dentro del intervalo de con…anza que hemos determinado.
Ejercicio 5 (2007-3-A-4, Septiembre) Se sabe que las puntuaciones de un test siguen
una ley Normal de media 36 y desviación típica 4’8.
a) [1] Si se toma una muestra aleatoria de 16 individuos, ¿cuál es la probabilidad de que la
media de esta muestra sea superior a 35 puntos?
b) [1] ¿Qué porcentaje de muestras de tamaño 25 tiene una media comprendida entre 34
y 36?
Solución :
(Apartado a) Sea X la variable aleatoria que mide la puntuación obtenida en el
test por una persona elegida al azar. De esta variable sabemos que X ,! N ( = 36; = 40 8).
Llamemos X16 a la variable aleatoria que mide la media obtenida al tomar muestras independientes de tamaño 16. Entonces sabemos que:
X16 ,! N
;p
n
40 8
36; p
16
=N
= N 36; 10 2 ;
y tras tipi…car la variable aleatoria,
Z=
X16 36
,! N (0; 1) :
10 2
Entonces la probabilidad de que la media de una muestra de tamaño 16 sea superior a 35 puntos
es:
p X16 > 35 = p
=
X16 36
35 36
>
0
12
10 2
=p Z>
00 83 = p Z
mirando la tabla de la normal N (0; 1)
=
00 83 =
00 7967.
(Apartado b) Llamemos ahora X25 a la variable aleatoria que mide la media obtenida al
tomar muestras independientes de tamaño 25. Razonando como antes, sabemos que:
X25 ,! N
;p
n
=N
40 8
36; p
25
= N 36; 00 96
)
Z=
X25 36
,! N (0; 1) :
00 96
Entonces, el porcentaje de muestras de tamaño 25 que tiene una media muestral comprendida
Andalucía
6
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entre 34 y 36 es:
p 34 < X25 < 36 = p
X25 36
34 36
36 36
<
<
0
0
0 96
0 96
00 96
= p 0 < Z < 20 08 = p Z
= 00 9812
00 5 = 00 4812 =
20 08
=p
p (Z
20 08 < Z < 0 =
0) =
480 12 %.
Ejercicio 6 (2007-3-B-4, Septiembre) Se sabe que (450 13; 510 03) es un intervalo de con…anza, al 95 %, para la media de una variable aleatoria que sigue una distribución Normal
con desviación típica 15.
a) [0’5] ¿Cuál es el error cometido?
b) [1’5] Calcule, con el mismo nivel de con…anza, el tamaño muestral mínimo necesario
para que el error cometido no sea superior a 10 8.
(Apartado a) Como el intervalo de con…anza para la media es (450 13; 510 03), la
media muestral obtenida es el punto medio entre sus extremos:
Solución :
x=
450 13 + 510 03
= 480 08;
2
y el error máximo cometido al calcular el intervalo es la distancia entre la media y cualquiera
de los extremos del intervalo de con…anza, es decir:
E = 480 08
450 13 =
20 95:
(Apartado b) Por otra parte, supongamos que queremos cometer un error máximo E
E0 = 10 8 al p = 1
= 95 % de con…anza. Entonces el tamaño mínimo muestral n que se debe
tomar debe cumplir:
2
z =2
n
;
E0
donde = 15 es la desviación típica, E0 = 10 8 es el máximo error admisible y z =2 es el único
número real que cumple que p Z > z =2 = =2 = 00 025, siendo Z una variable con distribución
Normal estándar. Como disponemos de una tabla de colas a la izquierda, traducimos esta condición con el suceso complementario, es decir, p Z z =2 = 1 00 025 = 00 975. Buscamos este
Andalucía
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valor en la tabla de la distribución Normal estándar, encontrando el valor crítico z
=2
= 10 96.
y
0'95
0'025
_z
0'025
z 0'025
0'025
x
Z ,! N (0; 1)
Así, el tamaño mínimo muestral debe cumplir:
z
n
=2
2
E0
2
10 96 15
10 8
=
=
49
3
2
=
2401
9
2660 78;
por lo que tomaremos una muestra de, al menos,
267 individuos.
Ejercicio 7 (2007-4-A-4) En una Universidad se toma, al azar, una muestra de 400 alumnos y se observa que 160 de ellos han aprobado todas las asignaturas.
(a) [1] Halle un intervalo de con…anza, al 97 %, para estimar el porcentaje de alumnos de
esa Universidad que aprueban todas las asignaturas.
(b) [1] A la vista del resultado anterior se pretende repetir la experiencia para conseguir que
el error no sea superior a 0.04, con el mismo nivel de con…anza. ¿Cuántos alumnos,
como mínimo, ha de tener la muestra?
Solución :
(Apartado a) La proporción muestral de alumnos que han aprobado todas las asignaturas, en una muestra de tamaño n = 400, es de p^ = 160=400 = 00 4. Al 97 % de con…anza, el
valor crítico asociado es z =2 = 20 17. Dado que n 30, n p^ = 160 5 y n (1 p^) = 400 00 6 =
240 5, el intervalo del con…anza para la proporción de alumnos que han aprobado todas las
asignaturas en esa Universidad es:
"
" #
#
r
r
0 4 00 6
0
p^ (1 p^)
= 00 4 20 17
IC = p^ z =2
40
n
i
Andalucía
00 4
00 168
h
=
i
h
00 232 ; 00 568 :
8
Antonio Roldán
Selectividad
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
Esto signi…ca que, al 97 % de con…anza, el porcentaje de alumnos de esa Universidad que aprueban todas las asignaturas está entre el 23’2 % y el 56’8 %.
(Apartado b) Si el error máximo admisible se …ja en E0 = 00 04, entonces el tamaño muestral
debe veri…car:
z 2 =2 p^ (1 p^)
20 172 00 4 00 6
=
n
7060 34:
00 042
E02
Esto signi…ca que para conseguir que el error sea inferior a 00 04, al 97 % de con…anza, debemos
tomar una muestra aleatoria de, al menos,
707 alumnos.
Ejercicio 8 (2007-4-B-4) [2] Para realizar una encuesta en un Instituto se selecciona,
aleatoriamente, una muestra de 50 alumnos y se les pregunta si tienen reproductores de
mp3, contestando a…rmativamente 20 de ellos. Calcule un intervalo de con…anza, al 96 %,
para la proporción de alumnos que poseen reproductores de mp3 en la población total de
alumnos del Instituto.
Solución :
La proporción muestral de alumnos que poseen un reproductor de MP3, en una muestra de tamaño n = 50, es de p^ = 20=50 = 00 4. Al 96 % de con…anza, el valor crítico asociado es
z =2 = 20 055. Dado que n 30, n p^ = 20 5 y n (1 p^) = 50 00 6 = 30 5, el intervalo del
con…anza para la proporción de alumnos que poseen un reproductor de MP3 es:
" #
"
#
r
r
p^ (1 p^)
00 4 00 6
0
0
= 0 4 2 17
IC = p^ z =2
n
50
i
00 4
00 15
h
=
i
h
00 25 ; 00 55 :
Esto signi…ca que, al 96 % de con…anza, el porcentaje de alumnos poseen un reproductor de MP3
está entre el 25 % y el 55 %.
Ejercicio 9 (2007-5-A-4) Se ha lanzado al aire una moneda 200 veces y se ha obtenido
cara en 120 ocasiones.
(a) [1] Estime, mediante un intervalo de con…anza, al 90 %, la probabilidad de obtener
cara.
(b) [1] Se pretende repetir la experiencia para conseguir que el error cometido sea inferior
a 0.03, con un nivel de con…anza del 97 %. ¿Cuál debe ser el tamaño mínimo de la
muestra?
Andalucía
9
Antonio Roldán
Selectividad
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Solución :
(Apartado a) La proporción muestral de las caras que se han obtenido, en una
muestra de tamaño n = 200, es de p^ = 120=200 = 00 6. Al 90 % de con…anza, el valor crítico
asociado es z =2 = 10 645. Dado que n 30, n p^ = 120 5 y n (1 p^) = 200 00 4 = 80 5, el
intervalo del con…anza para la proporción de caras es:
" #
"
#
r
r
0 6 00 4
p^ (1 p^)
0
= 00 6 10 645
IC = p^ z =2
n
200
i
00 6
00 057
h
=
i
h
00 543 ; 00 657 :
Esto signi…ca que, al 90 % de con…anza, el porcentaje de caras que aparecerán al lanzar la moneda
está entre el 54’3 % y el 65’7 %.
(Apartado b) Si el error máximo admisible se …ja en E0 = 00 03, al 97 % de con…anza (con
valor crítico asociado 20 17), el tamaño muestral n debe veri…car:
n
z 2 =2 p^ (1
E02
p^)
=
20 172 00 6 00 4
00 032
12550 71:
Esto signi…ca que para conseguir que el error sea inferior a 00 03, al 97 % de con…anza, debemos
tomar una muestra aleatoria de, al menos,
1256 lanzamientos de la moneda.
Ejercicio 10 (2007-5-B-4) Con los datos de una muestra aleatoria se estima que el porcentaje de hogares con conexión a Internet es del 30 %, con un error máximo de la estimación
de 0.06 y un nivel de con…anza del 93 %.
(a) [0’5] Obtenga el intervalo de con…anza, al 93 %, de la proporción de hogares con
conexión a Internet.
(b) [1’5] Calcule el tamaño mínimo de la muestra utilizada.
Solución :
p^ =
00 3.
(Apartado a) La proporción muestral de hogares con conexión a Internet es de
Como el error máximo que se ha cometido en la aproximación es
r
p^ (1 p^)
E = z =2
= 00 06;
n
Andalucía
10
Antonio Roldán
Selectividad
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
el intervalo de con…anza para la proporción de hogares con conexión a Internet en la población
estudiada es:
"
#
r
i
h i
h
p^ (1 p^)
= p^ E = 00 3 00 06 =
IC = p^ z =2
n
i
=
h
00 24 ; 00 36 :
(Apartado b) Al 93 % de con…anza, el valor crítico asociado es z
máximo admisible es E0 = 00 06, el tamaño muestral n debe veri…car:
z 2 =2 p^ (1
n
p^)
E02
=
10 812 00 3 00 7
00 062
=2
= 10 81. Si el error
1910 11:
Esto signi…ca que para conseguir que el error sea inferior a 00 06, al 93 % de con…anza, debemos
tomar una muestra aleatoria de, al menos,
192 hogares.
Ejercicio 11 (2007-6-A-4) En una población una variable aleatoria sigue una ley Normal
con desviación típica 8. Se ha elegido, al azar, una muestra de tamaño 100 y su media ha
sido 67.
(a) [1] Calcule el intervalo de con…anza, al 93 %, para la media de la población.
(b) [1] ¿Cuántos datos, como mínimo, son necesarios para estimar, con un nivel de con…anza
del 99 %, la media de la población con un error no superior a 2?
Solución :
(Apartado a) Sea X la variable aleatoria de la que sabemos que X ,! N ( ; = 8),
siendo la media desconocida. Se toma una muestra de tamaño n = 100 cuya media resulta ser
x = 67. A un nivel de con…anza p = 00 93, el correspondiente valor crítico es z =2 = 10 81. Por
tanto, el intervalo de con…anza para la media poblacional es:
IC =
x
z
=2
p
n
=
67
10 81 p
i
= 67
8
100
10 448
Esto signi…ca que, al 93 % de con…anza, la media poblacional
y 68’448.
Andalucía
11
h
=
i
h
650 552; 680 448 :
está comprendida entre 65’552
Antonio Roldán
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Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
(Apartado b) Al nivel de con…anza p = 00 99, el correspondiente valor crítico es z =2 = 20 575.
Si …jamos E0 = 2 como error máximo admisible, entonces la muestra debe tener un tamaño n
que veri…que:
2
z =2
20 575 8 2
=n
1060 09;
n
E0
2
es decir, debemos tomar una muestra de, al menos,
107 individuos.
Ejercicio 12 (2007-6-B-4) [2] Para estimar la proporción de estudiantes de una Universidad que está a favor de un aumento del importe de las becas, se entrevistó, aleatoriamente,
a 500 estudiantes, de los cuales 465 respondieron a…rmativamente. Calcule el intervalo de
con…anza, al 98 %, en el cual se hallará la proporción de la población universitaria que está
a favor del aumento de la cuantía de las becas.
Solución :
La proporción muestral de estudiantes que está a favor de un aumento del importe de
las becas, en una muestra de tamaño n = 500, es de p^ = 465=500 = 00 93. Al 98 % de con…anza, el
valor crítico asociado es z =2 = 20 325. Dado que n 30, n p^ = 465 5 y n (1 p^) = 500 00 07 =
35 5, el intervalo del con…anza para la proporción de estudiantes de esa Universidad que está
a favor de un aumento del importe de las becas es:
" #
"
#
r
r
p^ (1 p^)
00 93 00 07
0
0
= 0 93 2 325
IC = p^ z =2
n
500
i
00 93
00 0265
h
=
i
h
00 9035 ; 00 9565 :
Esto signi…ca que, al 98 % de con…anza, el porcentaje de estudiantes de esa Universidad que está
a favor de un aumento del importe de las becas está entre el 90’35 % y el 95’65 %.
Andalucía
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Antonio Roldán