Geometría Analítica - Aprende Matemáticas

Profr. Efraín Soto Apolinar.
Ecuación General de la Parábola
Hasta aquí hemos estudiado la ecuación de la parábola en su forma ordinaria.
Ahora vamos a estudiar la ecuación en su forma general.
Ecuación General de la Parábola
La ecuación general de la parábola es:
Definición
1
A x 2 + B y2 + D x + E y + F = 0
donde A = 0 y B 6= 0 para las parábolas horizontales y B = 0 con A 6= 0 para las parábolas verticales.
La ecuación general de la parábola se obtiene a partir de la ecuación en su forma ordinaria,
desarrollando el binomio y simplificando la expresión.
Convierte la ecuación ordinaria de la parábola vertical a la forma general.
Ejemplo 1
• Para las parábolas verticales, la ecuación en su forma ordinaria es:
( x − h)2 = 4p (y − k)
• Al desarrollar el binomio que está elevado al cuadrado e igualar todo a cero obtenemos:
x2 − 2 hx + h2
2
2
x −2h x −4p y + (h + 4pk)
= 4p y − 4pk
= 0
• La forma general de la ecuación de la parábola vertical tiene la forma:
A x2 + D x + E y + F = 0
• Del desarrollo anterior se hace evidente que:
= 1
D = −2 h
A
E
= −4 p
F
= h2 + 4pk
Estas igualdades nos servirán para convertir las ecuaciones de las parábolas de la forma general
a la ordinaria, y viceversa.
Por ahora empezaremos con el caso más directo.
Conversión de f. ordinaria a f. general
Escribe la ecuación de la parábola: ( x − 3)2 = 7 (y − 1) en su forma general.
Ejemplo 2
• De manera semejante al ejemplo anterior, desarrollamos el binomio y finalmente igualamos
a cero la ecuación:
( x − 3)2
2
x −6x+9
2
x −6x−7y+9+7
2
x − 6 x − 7 y + 16
= 7 ( y − 1)
= 7y−7
= 0
= 0
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• Entonces, la ecuación de la parábola puede expresarse de manera equivalente en cualquiera
de las dos formas:
Forma Ordinaria:
( x − 3)2 = 7 ( y − 1)
Forma General:
x2 − 6 x − 7 y + 16 = 0
También habrá ocasiones en las que debamos calcular la ecuación en forma general de una
parábola.
Para este caso podemos primero calcular la ecuación en forma ordinaria y después convertir ésta
a la forma general.
Ejemplo 3
Calcula la ecuación de la parábola que tiene su vértice en el punto V (2, 3) y su foco está en
F (1, 3).
• Si graficas en tu cuaderno el vértice y el foco de la parábola te darás cuenta que la distancia
entre ellos es de 2 unidades.
• De la gráfica también te podrás dar cuenta que la parábola es vertical y abre hacia abajo.
• Entonces, p = −2, y la ecuación es de la forma:
( x − h )2 = 4 p ( y − k )
• Al sustituir los datos que ya conocemos (h, k y p) en esta ecuación obtenemos:
( x − 2)2 = 4 (−2)(y − 3)
⇒
( x − 2)2 = −8 y − 12
• Esta es la ecuación de la parábola en su forma ordinaria.
• La convertimos a la forma general elevando al cuadrado el binomio ( x − 2) y simplificando:
( x − 2)2
2
x − 4 x + 4 + 8 y − 24
2
x − 4 x + 8 y − 20
= −8 y + 24
= 0
= 0
• Y hemos terminado.
Algunas veces no conoceremos suficiente información para resolver el problema inmediatamente,
así que tendremos que observar la gráfica para poder deducir información que no está indicada
explícitamente en el texto.
Ejemplo 4
Calcula la ecuación de la parábola en su forma general que tiene su vértice en el punto
V (−2, −1) y que pasa por el punto P(2, −5).
• En este caso necesariamente debemos dibujar una gráfica que ilustre la situación, porque
la información dada en el texto del problema ni siquiera nos menciona si se trata de una
parábola vertical u horizontal.
• Con la gráfica es sencillo observar que tenemos dos casos, primero resolveremos el caso para
la parábola vertical.
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• Parábola vertical: .
• Para la parábola vertical la ecuación ordinaria tiene la forma:
( x − h )2 = 4 p ( y − k )
• Conocemos las coordenadas del vértice, así que podemos sustituirlas inmediatamente:
( x + 2)2 = 4 p ( y + 1)
• Todavía necesitamos calcular el valor de p.
• Para eso, vamos a sustituir las coordenadas del punto P(2, −5) por el cual pasa esta parábola:
(2 + 2)2 = 4 p(−5 + 1)
• De aquí podemos despejar p:
(2 + 2)2 = 4 p(−5 + 1)
16 = −16 p
16
−
= p = −1
16
• Este valor de p nos indica que la parábola abre hacia abajo.
• Puedes ver la gráfica de esta parábola en la página ??.
• Ahora podemos convertir la ecuación ordinaria a la forma general:
( x + 2)2
2
x +4x+4
2
x +4x+4y+8
= −4 ( y + 1)
= −4 y − 4
= 0
• Esta es la ecuación del primer caso.
• Ahora vamos con el siguiente caso del problema.
• Parábola horizontal: .
• En este caso la ecuación ordinaria es:
( y − k )2 = 4 p ( x − h )
• Vamos a sustituir las coordenadas del vértice en la ecuación:
( y + 1)2 = 4 p ( x + 2)
• Ahora solamente falta por calcular p para conocer la ecuación ordinaria.
• Para eso vamos a sustituir las coordenadas del punto P(2, −5) por el cual debe pasar esta
parábola.
(−5 + 1)2 = 4 p(2 + 2)
16 = 16 p
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• Esto nos indica que p = 1.
• Entonces la ecuación en forma ordinaria es:
( y + 1)2 = 4 ( x + 2)
• Ahora vamos a transformarla a la forma general:
( y + 1)2
2
y +2y+1−4x−8
2
y −4x+2y−7
= 4x+8
= 0
= 0
• Y hemos terminado.
• Se te queda como ejercicio graficar esta parábola.
Ejemplo 5
Calcula la ecuación en forma general y los sus elementos de la parábola vertical que tiene su
foco en el punto F (2, 1) y su directriz es la recta: y + 1 = 0. Finalmente, grafica la parábola y
verifica si pasa por el punto P(−2, 4).
• En este caso el problema dice que se trata de una parábola vertical, así que usaremos a
ecuación:
( x − h )2 = 4 p ( y − k )
• La ecuación de la directriz nos indica que para cualquier cualquier punto sobre ella, el valor
de y = −1, independientemente del valor de x.
• El punto sobre la directriz que está exactamente debajo del foco es: M (2, −1).
• Recordando que el vértice está a la misma distancia del foco que de la directriz, podemos
deducir que 2 | p| es la distancia entre el foco y la directriz.
• En este caso, 2 | p| = 2, que corresponde a la distancia desde el punto M hasta el foco.
• De aquí que | p| = 1.
• Si graficas la informacón te darás cuenta que la parábola abre hacia arriba, de manera que
p > 0, con lo que p = 1.
• Más aún, el vértice de la parábola es el punto medio del segmento MF.
• Ahora calculamos sus coordenadas:
2+2
h=
=2
2
k=
1−1
=0
2
• Entonces, el vértice de la parábola se encuentra en el punto V (2, 0).
• Ahora podemos sustituir los valores de h, k y p en la ecuación ordinaria:
( x − 2)2 = 4 y
• Ahora vamos a convertirla a la forma general:
x2 − 4 x + 4 − 4 y
2
x −4x−4y+4
= 0
= 0
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• Ahora calculamos todos sus elementos. Esto es muy sencillo, dado que ya conocemos h, k y
p:
Vértice: V (h, k) = V (2, 0).
Foco: F (h, k + p) = F (2, 1).
Lado recto: LLR = 4 p = 4 (1) = 4.
Directriz: y = k − p = 0 − 1 = −1
⇒
Eje: x = h
⇒
y + 1 = 0.
x − 2 = 0.
⇒
x=2
• Los valores conocidos se volvieron a calcular para verificar los resultados.
• Enseguida se muestra la gráfica de esta parábola:
y
7
( x − 2)2 = 4 y
Eje
6
5
4
3
2
1
−3
−2
−1
Lado Recto
1
F
V
x
3
4
5
6
7
y+1 = 0
• De la gráfica nos damos cuenta que la gráfica de la parábola sí pasa por el punto P(−2, 4).
• Para verificar si el punto P(−2, 4) está sobre la parábola de manera algebraica, sustituimos
en la ecuación y vemos si se cumple la igualdad:
(−2 − 2)2 = 4 (4)
⇒
16 = 16
• Como la igualdad se cumple, el punto P(−2, 4) sí está sobre la parábola.
• Siempre es recomendable verificar algebraicamente que un punto está sobre la gráfica de un
lugar geométrico, porque a veces la gráfica puede dar una apariencia falsa al respecto.
• Y con esto hemos terminado.
Observa que no utilizamos la ecuación en la forma general para encontrar todos los elementos de
la parábola, porque nosotros conocemos las fórmulas para calcular los elementos de la parábola
en función de los valores de h, k y p.
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Para encontrar la ecuación ordinaria necesitamos también estos valores.
Pero habrá veces en los que no se conozcan, sino solamente nos den la ecuación general de la
parábola.
En estos casos vamos a tener que convertir la ecuación a la forma ordinaria y a partir de ahí
conocer los valores de h, k y p para deducir todos sus elementos.
En la siguiente sección estudiamos esos casos.
El procedimiento que usaremos en este tipo de problemas es esencialmente el mismo que utilizamos en la conversión de la ecuación general a la forma ordinaria para las circunferencias.
En esos ejemplos siempre tuvimos que completar cuadrados para x como para y. Ahora bastará
una sola vez, dependiendo de la variable que aparezca elevada al cuadrado.
Créditos
Albert
Einstein
Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.
Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más
que el autor.
Autor: Efraín Soto Apolinar.
Edición: Efraín Soto Apolinar.
Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar.
Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar.
Productor general: Efraín Soto Apolinar.
Año de edición: 2010
Año de publicación: Pendiente.
Última revisión: 31 de julio de 2010.
Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010.
Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean
divulgados entre otros profesores y sus alumnos.
Este material es de distribución gratuita.
Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico:
[email protected]
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