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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL
Facultad Regional Delta Campana.
Departamento de Ciencias Básicas
JORGE MARIO GIANFELICE
ABRIL 2010
1
TEORÍA ELECTROMAGNÉCTICA DE JAMES CLERK MAXWELL.
-
Breve introducción
James Clerck Maxwell no fue el primero en hacer predicciones correctas sobre los misterios
de las fuerzas naturales, dos siglos antes Isacc Newton ya había escrito un libro sobre el tema,
pero tuvo que expresarse en términos de acción a distancia. Esa idea llegó a aplicarse no sólo a
la gravedad sino también a la electricidad y al magnetismo.
En la década de 1830 detrás de los franceses Coulomb y Ampere, y sobre todo siguiendo la
pista de Hans Cristian Oersted apareció Michael Faraday, que se sentía fuertemente atraído
por la electricidad y el magnetismo. En agosto de 1831 ya tenía claro cuál iba a ser su camino.
Faraday tomando las cosas donde Oersted las había dejado, confirmó que una corriente
eléctrica puede producir un campo magnético, y yendo más lejos aún todavía, dedujo que un
flujo magnético variable en el tiempo puede crear una corriente eléctrica. Finalmente dio con
la idea de que una corriente eléctrica variable en un circuito puede inducir en que aparezca
una corriente en otro. Después de estos hechos y especialmente a la luz de descubrimientos
similares del americano Joseph Henrry, el principio de inducción en la naturaleza de la
electricidad y el magnetismo, estaba ahí para que el mundo científico pudiese contemplarlo.
Ciertamente en el interior de la casa de Maxwell el libro de Faraday “Investigaciones
experimentales en la electricidad”, era considerado como el texto definitivo. Cuando obtuvo la
obra de Faraday, Maxwell, estaba preparado para obtener nuevas conclusiones, una habilidad
que había desarrollado desde sus años de estudiante. Cuando ara alumno de Cambridge el
profesor de matemáticas de Maxwell hizo la siguiente observación: “… parece imposible que él
piense algo incorrecto en temas de física...” Poco después siendo graduado escribió un artículo
con el que la comunidad científica tuvo que estar de acuerdo, su título era, “sobre las líneas de
fuerza de Faraday”. Con la preparación de esa obra, Maxwell había hecho sus deberes para
continuar. En la primavera de 1846 Michael Faraday había redactado un trabajo llamado,
“Consideraciones sobre las vibraciones en los rayos”; en esa profética publicación especulaba
en que la luz era un tipo de vibración en las líneas de fuerza, teniendo en cuenta que conectan
partículas y también masas de materia. En otras palabras, en la imaginación de Faraday las
cargas eléctricas estaban ligadas por líneas de fuerzas en el espacio vacío. Sin embargo, aún
cuando su idea era fácil de ver, introducía una fascinante cuestión científica, ¿una carga
vibrando haría vibrar también a las líneas de fuerza? En este punto Faraday debió haber
imaginado que cada línea se comportaría como si fuera una hilera de osciladores mecánicos
unidos. En tal caso había visto una perturbación propagándose a lo largo de la hilera, bien
como onda longitudinal, bien como onda transversal. Independientemente de las formas que
2
pudieran haber tomado esas vibraciones, lo importante estaba en el hecho de que Faraday las
había hecho notar.
Entre líneas, en alguna parte en el libro de Faraday, “Consideraciones sobre las vibraciones en
los rayos”, James Clerck Maxwell descubriría su teoría electromagnética de la luz. Sin embargo
antes de poder leer lo escrito por Faraday para posteriormente refinarlo y pulirlo con sus
elegantes matemáticas, Maxwell tuvo que descifrar una pista decisiva: encontró una velocidad
muy significativa relacionada con las fuerzas de la electricidad y el magnetismo. Cada onda
tiene una velocidad característica que la hace viajar. Por ejemplo en aguas profundas la
velocidad de las olas depende la aceleración de la gravedad y de la longitud de la ola. En el aire
la velocidad del sonido depende tanto de la presión de éste como de la densidad del medio, y
para los osciladores mecánicos conectados la velocidad viene dada por la constante del
muelle, la masa de los cuerpos y la distancia entre cada uno. Así, había llegado el momento en
que Maxwell se sentara a determinar la velocidad de las ondas en las líneas de fuerza de
Faraday.
Desde la perspectiva matemática de Maxwell las líneas de Faraday eran una
expresión de la naturaleza, siguiendo las tres leyes de la inversa del cuadrado de la distancia
para la gravedad, la electricidad y el magnetismo.
Fg = −G
m1 .m2 ∧
.r
r2
Fg = K e
Q1 .Q2 ∧
.r
r2
Fg = K m
P1 . P2
r2
∧
.r
Al mismo tiempo cada una de estas leyes contiene una constante específica, que al caer en
manos de Maxwell terminaron convirtiéndose en bases de la subyacente teoría.
Puesto que las fuerzas fundamentales de la electricidad y el magnetismo no son
independientes las constantes K e y K m deberían estar de alguna marea relacionadas, pero la
cuestión es, ¿cómo? Si tomamos el cociente:
Nm 2
K e = 9. 10
C2
Ns 2
k m = 1. 10 −7 2
C
9
≡
Ke
m2
= 9 . 10 16 2
KM
s
3
se puede ver que tiene por unidades el cuadrado de una velocidad, pero ¿de qué velocidad? Y
ahí estaba la respuesta, si procedemos a quitar la raíz cuadrada obtenemos,
Ke
m2
m
= 9 . 10 16 2 = 3 .10 8
=c
KM
s
s
la velocidad de la luz. Fue un descubrimiento asombroso. Después de casi 50 años de
minuciosos exámenes científicos en otros lugares, James Maxwell vio la luz y encontró su
velocidad en las fuerzas de la electricidad y el magnetismo. Pero no eran sólo las fuerzas
fundamentales las que ocupaban la mente de Maxwell.
Hacia 1857 se propuso un premio académico a quien pudiera explicar la naturaleza sólida
de los anillos de Saturno y su constante movimiento alrededor del planeta. La respuesta de
Maxwell dio en el blanco, la estructura que podía explicar tal estabilidad, eran que los anillos
estuviesen constituidos por partículas desconectadas. El trabajo de Maxwell no sólo ganó el
premio de Cambridge, ganó el elogio de toda la comunidad científica. El trabajo fue calificado
como una aplicación notabilísima de las matemáticas. Luego de este acontecimiento Maxwell
puso sus ojos en otras partículas además de la de los anillos de Saturno. Desarrolló una teoría
cinética de los gases, en donde la moléculas del gas son pequeñas partículas elásticas que
chocan unas con otras al moverse a diferentes velocidades. Maxwell pensaba que toda
investigación en física debía basarse en principios puramente mecánicos, y esa creencia no
sólo lo llevó a su teoría de los gases sino que lo condujo también a sus grandes logros en
electricidad y magnetismo.
Para continuar su investigación el matrimonio Maxwell se trasladó a Kesintong en Londres
en el año 1860. En el Kin Collige, fue fecundo tanto en la teoría cinética de los gases como en
electricidad, y en la Royal Institution de Londres Maxwell conoció finalmente a Faraday.
Faraday, había visto la electricidad en términos mecánicos, no sólo como una idea que estaba
en armonía con la acción a distancia de Newton, sino como algo de líneas físicas. Una
estructura sólida de fuerzas que irradiaba a través del espacio. Maxwell afirmaría con gran
admiración que Faraday había visto un medio allí donde los estrictos newtonianos no veían
otra cosa que acción a distancia. Maxwell añadió con agudeza: “Faraday buscó el lugar de los
fenómenos en verdaderas acciones que se producen en el medio”. Con estas consideraciones
Maxwell llamaría a las líneas de fuerzas vibrantes de Faraday, campos. En términos modernos
campos eléctricos y campos magnéticos.
4
Ahora había que ver en qué medio la acción tiene lugar y es ahí donde Maxwell tuvo que
determinar si las ondas podían viajar a través de los campos eléctricos y magnéticos a la
velocidad de la luz. Si esto es así tendrían que obedecer a las cuatro leyes de la electricidad y el
magnetismo.
a) El flujo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga neta
dividida por ε 0 , es decir;
∫∫ E ⋅ dA = 4π K
E
Q=
Q
ε0
(1)
Donde, Q es la carga total encerrada por la superficie.
b) El flujo magnético a través de cualquier superficie cerrada es siempre igual a cero, es
decir;
∫∫ B ⋅ dA = 0
c)
(2)
La circulación del campo eléctrico a lo largo de cualquier trayectoria cerrada es igual
a menos el ritmo de cambio del flujo magnético que atraviesa dicha superficie
bordeada por esa trayectoria, es decir:
∫ E ⋅ dr − dt (∫∫ B ⋅ dA )
d
(3)
5
d) La circulación del campo magnético a lo largo de cualquier trayectoria cerrada, es
igual a µ 0 multiplicada por la intensidad de la corriente eléctrica que pasa a través de
la superficie bordeada por esa trayectoria, es decir;
∫ B. dr = µ
0
.Ι
(4)
Teniendo en cuenta estas leyes, Maxwell las separó de la siguiente manera:
Las dos primeras son las leyes de Gauss para el campo eléctrico y magnético, que establecen el
comportamiento del flujo de cada uno respectivamente, a través de cualquier superficie
cerrada.
∫∫ E ⋅ dA = 4π K
E
Q=
Q
ε0
∫∫ B ⋅ dA = 0
6
Las otras dos leyes establecen: una, la circulación del campo eléctrico (ley de Faraday de la
inducción) y la otra, la circulación del campo magnético (ley de Ampere), ambas lo hacen a
través de una trayectoria cerrada.
∫ E ⋅ dr = − dt (∫∫ B ⋅ dA)
d
∫ B. dr = µ
0
.Ι
De acuerdo con este esquema Maxwell supuso que existe una onda en la intensidad1 del
campo eléctrico como se muestra a continuación.
Consideró que esta es una onda transversal plana que viaja a la velocidad de la luz. Pero si se
tiene en cuenta el campo eléctrico en cualquier instante tendremos una circulación como se ve
en la siguiente figura:
Es decir, como está dirigido hacia arriba en una región y hacia abajo en otra próxima, tiene
una circulación en sentido horario. De acuerdo con la ley de Faraday debe haber un flujo
magnético a través de una superficie cerrada bordeada por esa trayectoria, y más aún, éste
debe estar cambiando con el tiempo como se muestra en la figura 7.
1
7
Esto significa que a una onda eléctrica siempre le acompaña una magnética vaya donde vaya.
Pero esto a su vez demanda que en cualquier instante hay una circulación del campo
magnético según la siguiente trayectoria:
Pero según la ley de Ampere esto sólo puede ser verdad si hay una corriente que atraviesa
la superficie que es bordeada por la trayectoria. Pero en el espacio (supuestamente vacío) no
hay corrientes eléctricas, así que no hay manera de escaparse del hecho de que según las
leyes de la electricidad y del magnetismo de los tiempos de Maxwell no podría haber
absolutamente onda electromagnética alguna.
La cuestión ahora era la siguiente, si las leyes de la física establecían que en un espacio
aparentemente vacío no podrían existir ondas, ¿podría haber sido que aunque fueran leyes
fundamentales de algún modo estaban incompletas?
Maxwell obtuvo un gran triunfo al encontrar la pieza que faltaba y lo consiguió observando
un aparato sencillo y completamente convencional, un capacitor. El problema era el siguiente.
… la circulación magnética a lo largo de cualquier trayectoria cerrada depende de la intensidad
de corriente que atraviesa la superficie bordeada por dicha trayectoria (ley de Ampere). La
8
única manera de estar seguro de que la corriente va a través de esa superficie, es imaginando
una membrana bordeada por la trayectoria
La corriente aparentemente deberá pasar por la membrana independientemente de la forma
que tenga según se muestra en las siguientes figuras,
Pero esto ya no es cierto si la corriente va a un capacitor. Entonces aún cuando hay una
corriente no puede haber ninguna a través de la membrana. Si eso es así, ¿a qué resulta ser
igual la circulación magnética? …
Buscando una respuesta a esa pregunta Maxwell tomó una página del libro de Faraday
observó que cuando el flujo magnético varía crea una circulación eléctrica; y luego según su
costumbre miró las cosas desde el otro lado, y se preguntó ¿puede la variación del flujo
eléctrico crear circulación magnética? La respuesta prometía una solución al problema del
capacitor. Así el razonamiento fue el siguiente;
9
Cuando la corriente fluye a un capacitor la carga aumenta lo que crea un campo eléctrico
creciente entre las placas; el flujo eléctrico a través de la membrana se puede deducir a partir
de la ley de Gauss imaginando una superficie cerrada, como muestra la figura
Todo el flujo va a través de la membrana en forma de cúpula y es igual a la carga neta del
capacitor dividida por ε 0 , es decir:
Q
∫∫ E ⋅ dA = ε
0
Luego el ritmo de cambio del flujo eléctrico en cada placa del capacitor viene dado por esta
última expresión pero con la integral de superficie abierta. Así diferenciando ambos miembros
se obtiene,
d
dt
(∫∫ E ⋅ dA) = dtd  εQ 

0

Y acomodando algunos términos obtenemos:
ε0
ε0
d
dt
d
dt
(∫∫ E ⋅ dA) = dQ
dt
(∫∫ E ⋅ dA) = dQ
=Ι
dt
(5)
Finalmente, el cambio en el tiempo del flujo viene dado simplemente por la corriente que
circula por el hilo. En otras palabras ε 0 multiplicado por el ritmo de cambio del flujo eléctrico
10
a través de la membrana en forma de cúpula es lo mismo que la intensidad de la corriente
eléctrica a través de la membrana plana, de acuerdo con la ecuación:
Ι = ε0
d
dt
(∫∫ E ⋅ dA)
Este fue el descubrimiento crucial de Maxwell, la manera precisa como un flujo eléctrico
variable puede generar un campo magnético como si fuese una especie de corriente eléctrica.
Teniendo en cuenta que esta aparente corriente proviene del ritmo de cambio del flujo
eléctrico, como si éste al desplazarse genera la circulación magnética. Maxwell llamó a esta
corriente, corriente de desplazamiento Ιd
Dicho de otro modo, la circulación magnética lo largo de una trayectoria cerrada viene dada
no sólo por la corriente eléctrica a través de la superficie bordeada por dicha trayectoria sino
también por el ritmo de cambio del flujo eléctrico que atraviesa la superficie encerrada por la
misma trayectoria. De este modo es como Maxwell completó las leyes de la electricidad y el
magnetismo es decir agregando la corriente de desplazamiento a la ley de Ampere, resultando
ahora:
∫ B. dr = µ .(Ι + Ι
0
Con estas leyes Maxwell
d
) = µ0 .( Ι + ε 0
d
E ⋅ dA)
dt ∫∫
(6)
pudo mostrar que el campo eléctrico y magnético estaban
indudablemente unidos por estas cuatro leyes, concluyendo que cada vez que existe uno
también debe existir el otro. De esta manera propuso el nombre unificado como campo
electromagnético.
Con la ley de Amper corregida, Maxwell se propuso demostrar que las ondas
electromagnéticas siguen con el modelo de ecuaciones matemáticas de las ondas mecánicas
transversales. La deducción fue la siguiente:
Q
∫∫ E ⋅ dA = ε
(7)
0
∫∫ B ⋅ dA = 0
(8)
11
∫ E ⋅ dr = − dt (∫∫ B ⋅ dA)
d
∫ B. dr = µ .(Ι + Ι
0
d
) = µ0 .( Ι + ε 0
(9)
d
E ⋅ dA)
dt ∫∫
(10)
Primero consideró la circulación eléctrica en la intensidad del campo eléctrico viajando a la
velocidad de la luz en una onda transversal. Para ello tomó un instante determinado como se
muestra en la figura
Y para dos puntos x y x +dx de la onda, tomó el siguiente diferencial de área
y
dx
L
Ey(x + dx)
Ey(x)
x
z
Así se presenta un diferencial de forma rectangular cuyos lados son L y dx, en el plano x-y.
Luego la variación del campo eléctrico en cada instante, entre dos puntos contiguos que
forman el segmento diferencial dx, viene dado por la derivada parcial en la dicción del
desplazamiento, que en este caso es en la dirección x, y se expresa como:
∂E y
∂x
=
E y ( x + dx ) − E y ( x )
dx
≡
E y ( x + dx ) = E y ( x ) +
∂E y
∂x
⋅ dx
(11)
12
Luego la expresión vectorial del campo será la diferencia entre los dos puntos sobre el
segmento diferencial dx, expresándose como:
E = Ey =
∂E y


E y ( x + dx ) − E y ( x ) =  E y ( x ) +
⋅ dx  − E y ( x )
∂x


(12)
Segundo planteó, en virtud de la consideración inicial, la relación campo eléctrico vs flujo
magnético a partir de la ley de Faraday (9).
∫ E ⋅ dr = − dt (∫∫ B ⋅ dA)
d
El primer término de esta ecuación resulta de calcular la integral de línea cerrada en el
rectángulo planteado. El sentido de integración elegido es anti-horario y resulta:
i. Cero para los lados inferior y superior del rectángulo, dado que coinciden en valor absoluto
pero toman sentido opuesto de orientación.
ii. En los lados laterales tendremos:
∫ E ⋅ dr
∂E y



= ∫  E y ( x ) +
⋅ dx  − E y ( x ) dr
∂x



(13)
De este modo:

∫  E

y
(x) +
∂E y
∂E y


⋅ dx  − E y ( x ) dr = E y ( x ) ⋅ L +
⋅ dx ⋅ L − E y ( x ) ⋅ L =
⋅ dx ⋅ L
∂x
∂
x
∂
x


∂E y
(14)
El segundo término de la ecuación (10) resulta del cálculo de la variación de flujo magnético
que atraviesa el área del rectángulo en la dirección z. Así como el área es fija y no varía la
integral de superficie abierta será:
∫∫ B
⋅ dA = B z ⋅ A
Luego tendremos:
−
d
dt
(∫∫ B ⋅ dA) = − d(Bdt⋅ A) = − A ⋅ ∂∂Bt
z
z
= −dx . L
∂B z
∂t
(15)
Finalmente igualando (14) a (15) se tiene:
13
∂E y
∂x
⋅ dx ⋅ L = − dx . L
∂B z
∂t
Así:
∂E y
∂x
=−
∂Bz
∂t
(16)
Tercero, consideró la circulación magnética en la intensidad del campo magnético viajando a la
velocidad de la luz en una onda transversal. Para ello tomó un instante determinado como se
muestra en la figura
Y para dos puntos x y x +dx de la onda, tomó el siguiente diferencial de área
y
dx
z
Bz(x)
Bz(x + dx)
L
x
Ahora se presenta un diferencial de forma rectangular cuyos lados son L y dx, en el plano xz. Luego la variación del campo magnético en cada instante, entre dos puntos contiguos que
forman el segmento diferencial dx, viene dado por la derivada parcial en la dicción del
desplazamiento, que en este caso es en la dirección x, y se expresa como:
∂B z B z ( x + dx ) − B z ( x )
=
∂x
dx
≡
B z ( x + dx ) = B z ( x ) +
∂B z
⋅ dx
∂x
(17)
Luego la expresión vectorial del campo magnético será la diferencia entre los dos puntos sobre
el segmento diferencial dx, expresándose como:
B = Bz =
∂B


B z ( x + dx ) − B z ( x ) =  B z ( x ) + z ⋅ dx  − B z ( x )
∂x


(18)
14
Cuarto planteó la relación la relación campo magnético vs flujo eléctrico a partir de la ley de
Amper corregida (10).
∫ B. dr = µ .(Ι + ε
0
0
d
E ⋅ dA)
dt ∫∫
El primer término de esta ecuación resulta de calcular la integral de línea cerrada en el
rectángulo planteado. El sentido de integración elegido es anti-horario (en el eje z se antepone
una diferencia negativa) y resulta:
i.
Cero para los lados inferior y superior del rectángulo, dado que coinciden en valor
absoluto pero toman sentido opuesto de orientación.
ii.
En los lados laterales tendremos:
∂B



= ∫ B z ( x ) −  B z ( x ) + z ⋅ dx  dr
∂x



∫ B ⋅ dr
Así;

∫ B
z
∂B
∂B
∂B


( x ) −  B z ( x ) + z ⋅ dx  dr = B z ( x ) ⋅ L − B z ( x ) ⋅ L − z ⋅ dx ⋅ L = − z ⋅ dx ⋅ L (19)
∂x
∂x
∂x


El segundo término de la ecuación (10) resulta del cálculo de la variación de flujo magnético
que atraviesa el área del rectángulo en la dirección z. Cómo en el movimiento de la onda
magnética no conlleva corriente alguna la magnitud correspondiente a la corriente circulante
resulta valer cero, resultando;
∫ B. dr = µ .(Ι + ε
0
0
d
d
E ⋅ dA) = ε 0 µ0 ∫∫ E ⋅ dA
∫∫
dt
dt
Luego, como el área es fija y no varía la integral de superficie abierta será:
∫∫ E
⋅ dA = E y ⋅ A
Luego tendremos:
µ 0ε 0
d
dt
(∫∫ E ⋅ dA) = µ ε
0
d ( E y ⋅ A)
0
dt
= A ⋅ µ0ε 0
∂E y
∂t
= dx . L µ 0 ε 0
∂E y
∂t
(20)
15
Finalmente, uniendo (19) y (20) se tiene;
−
∂E y
∂B z
⋅ dx ⋅ L = dx . L µ 0 ε 0
∂t
∂x
Así;
−
∂E y
∂B z
= µ 0ε 0
∂t
∂x
(21)
Con las expresiones (16) y (21) Maxwell obtuvo la ecuación de onda para los campos
eléctricos y magnéticos de la siguiente manera:
a)
Para el campo eléctrico:
Derivamos las expresión (16) espacialmente, obteniéndose;
∂ ∂Bz
∂ ∂E y
=−
∂x ∂t
∂x ∂x
≡
∂ 2E y
∂x
2
=−
∂ ∂B z
∂t ∂x
(22)
Pero reemplazando la ecuación (21) en el segundo término de (22), resulta;
∂ 2E y
∂x
2
=
∂E y
∂
 µ 0 ε 0
∂t 
∂t



Reordenando los términos;
∂ 2E y
∂x 2
= µ0 ε 0
∂ 2E
∂t 2
(23)
Resultando finalmente la ecuación diferencial de onda para el campo eléctrico.
b)
Para el campo magnético:
Derivamos la expresión (21) espacialmente, obteniéndose:
∂ ∂B z
∂ ∂E y
−
= µ 0ε 0
∂x ∂x
∂x ∂t
≡
∂ 2Bz
∂ ∂E y
−
=
µ
ε
0
0
∂x 2
∂t ∂x
(24)
Pero reemplazando la ecuación (16) en el segundo término de (24), resulta;
∂ 2Bz
∂ ∂B z
−
= −µ 0ε 0
2
∂x
∂t ∂t
Reordenando los términos;
16
∂ 2Bz
∂ 2Bz
µ
ε
=
0 0
∂x 2
∂t 2
(25)
Resultando finalmente la ecuación diferencial de onda para el campo magnético.
Las ecuaciones (23) y (25) son las ecuaciones de onda para los campos eléctricos y
magnéticos respectivamente. En las mismas Maxwell, notó que el producto µ 0 ε 0 debería
estar relacionado con la velocidad de la onda electromagnética. De esta manera, y de acuerdo
a que del cociente de las constantes eléctricas y magnéticas obtuvo la velocidad de la luz,
concluyó que:
Ke =
1
Km =
y
4π ε 0
µ0
4π
Luego,
1
4π ε 0
Ke
1
4π
1
=
=
⋅
=
µ0
KM
4π ε 0 µ 0 µ 0 ε 0
4π
Pero este resultado es el cuadrado de la velocidad de la luz, por lo tanto;
Ke
1
=
= c2
K M µ 0ε 0
Y en consecuencia:
µ 0ε 0 =
1
c2
Así las ecuaciones (23) y (25) se pueden expresar como:
∂ 2E y
1 ∂2E
c 2 ∂t 2
(27)
∂ 2Bz
1 ∂ 2Bz
=
∂x 2
c 2 ∂t 2
(28)
∂x 2
=
Las expresiones (27) y (28) son del tipo correspondiente a un movimiento armónico,
similares a las que explican una onda mecánica transversal. Asimismo, el encuentro de la
velocidad de la luz en las fuerzas de la electricidad y el magnetismo permitió unir dos grandes
campos de la física: el electromagnetismo y la óptica, denominando a este resultado espectro
electromagnético. Pero aún quedaba un interrogante que Maxwell no pudo descifrar. Dado
17
que toda onda tiene un medio de propagación y su velocidad depende de él, ¿cuál es el medio
de propagación de una onda electromagnética? Para responder a esta cuestión los físicos
introdujeron en la ciencia un concepto totalmente Aristotélico: el éter. Para el siglo XIX el éter
venía a imponerse más que una necesidad filosófica. El éter era el medio a través del cual las
ondas de luz del sol se propagarían para nutrir e iluminar la Tierra. Pero cómo Maxwell
confirmó que la luz es sólo un parte de una onda electromagnética, el éter resultaría el medio
de propagación de todo el espectro. Así quedaba resuelta una grave cuestión dejando
únicamente su confirmación experimental.
Por otro lado, y paralelamente a los tiempos de Maxwell, otros físicos, encontraron otras
ondas que viajaban a la velocidad de la luz. Al presentar su teoría Maxwell concluyó que
debían formar parte del espectro electromagnético.
Así fue como Fraunhofer observó y representó el espectro de absorción del sol marcando
las líneas más prominentes. La historia del espectro solar se puede decir que comienza con
Herschel en 1800, cuando demostró que aquél se extendía a longitudes de onda mayores que
el rojo visible. Luego, la investigación se demoró por falta de instrumentos de registro
adecuados y por la alta absorción de la mayoría los materiales ópticos en esa región del
espectro. En 1801, Ritter demostró la extensión del espectro más allá del violeta, que en 1852
fue estudiada por Stokes quien usó lentes de cuarzo y prismas, e identificó líneas por medio de
pantallas fluorescentes.
Veinte años después, Leiving y Dewar introdujeron la fotografía del ultravioleta (como fue
llamada esta región). Estos descubrimientos fueron seguidos por el de los rayos X y el de los
rayos gamma que acompañan a las desintegraciones radiactivas, ambos en el dominio de las
longitudes de onda más cortas que el ultravioleta.
En el otro extremo de la escala, se producen las radiaciones extremadamente largas usadas en
radiocomunicaciones. Desde aproximadamente 1930, seis octavas de la escala, la región
llamada microondas que se extiende desde longitudes de cerca de 2 mm a 16 cm, han sido
muy estudiadas científicamente.
El espectro electromagnético completo2 está dividido en regiones con nombres
determinados, según el uso a que se lo destina o los métodos especiales usados en su
detección. Cada región puede contribuir en forma importante a la espectroscopia a medida
que se desarrollan adecuadas fuentes de radiación e instrumentos para analizarla en cada caso
particular. En la Fig.6 se ven las posiciones relativas de las distintas regiones del espectro
electromagnético.
2
Cf. Cabrera, J. M., (1993): Óptica electromagnética. U.S.A. Addison-Wesley Iberoamericana. Pág: 35
18
Fracciones del espectro
electromagnético
Longitud de
onda (m)
Frecuencia
(Hz)
2
10
-13
10
2
-10
1 Aº
10
1 nm
10
6.5
Octavas
Rayos γ
11 Octavas
Rayos X
5.5
Ultraviolet
a
-9
15
10
14
1μ
-6
10
1 Octava
Luz visible
5 Octavas
Infrarrojo
10
1 THz
12
10
1cm
-2
10
5.5
1
GHz
9
10
1m
Microonda
s
0
10
2
10
6
1
MHz
10
1 kHz
10
1 km
3
10
22
Octavas
Radiofrecuenci
a
5
3
10
Fig.6: El espectro electromagnético completo en una escala de octavas. Los límites de las distintas regiones son
sólo aproximados. Se dan las longitudes de ondas y las frecuencias correspondientes a estos límites.
Las ecuaciones diferenciales, anteriormente obtenidas, contienen como cualquier ecuación
diferencial, la familia de funciones que hacen a su solución. En el caso de la ecuaciones 27) y
(28) tienen como solución a la familia de funciones comunes a todas las ondas que vienen
expresadas por;
E ( x , t ) = E máx . cos( k . x − ω .t )
(29)
B( x , t ) = Bmáx . cos( k . x − ω .t )
(30)
19
Estas funciones resultan similares a las halladas al movimiento ondulatorio en una cuerda, y
de ahí que se las denomine funciones de onda, pero ahora resultando ser características del
campo electromagnético. En etas funciones de onda (29) y (30) podemos caracterizar:
E ( x , t ) : Campo eléctrico en el punto x a tiempo t.
E máx : Campo eléctrico máximo.
cos( k . x − ω .t ) : Expresión funcional trigonométrica que contiene (k) el número de ondas, y
( ω ) la velocidad angular característica de cualquier onda.
B( x , t ) : Campo magnético en el punto x a tiempo t.
Por otro lado en todo punto de la función de onda los valores de los módulos de ambos
campos se relacionan de la siguiente manera;
E ( x , t ) = E máx . cos( k . x − ω .t )
∂E
∂x
B( x , t ) = Bmáx . cos( k . x − ω .t )
∂B
= −E máx ⋅ k ⋅ sin( k . x − ω.t )
∂t
= Bmáx ⋅ ω ⋅ sin( k . x − ω.t )
Luego por la relación (16) se obtiene;
− E máx ⋅ k ⋅ sin( k . x − ω .t ) = Bmáx ⋅ k ⋅ sin(k . x − ω .t )
Tomando los módulos y anulando los argumentos por ser el mismo desfasaje angular, resulta;
E ⋅ k = B ⋅ω
E =
ω
k
⋅B
(31)
Para cualquier onda las constantes k y ω están relacionadas por:
ω
k
=
2 ⋅ π ⋅ν
=ν ⋅λ
2 ⋅π
(32)
λ
La relación (32), es decir el producto de la frecuencia y la longitud de onda, representa la
velocidad de cualquier onda, que en el caso de las ondas electromagnéticas resulta ser la
velocidad de la luz, en consecuencia;
ω
k
=ν ⋅ λ = c
Y reemplazando en (31) se concluye:
E = c ⋅B
(33)
20
-
Algunas consideraciones actuales.
En este apartado vamos a considerar tres aspectos importantes a nuestro estudio de las
ondas electromagnéticas: el vector Poynting, intensidad y contenido energético.
El vector obtenido por el producto vectorial de los campos eléctricos y magnéticos mediados
por la inversa de la permeabilidad del vacío se denomina vector Poynting “S”. En términos
matemáticos se lo expresa por;
S=
1
µ0
E ×B
(34)
En virtud de esta definición este vector tiene la dirección y sentido resultante del producto
vectorial de los campos involucrados, es decir resulta ser normal a cada uno de ellos. En
términos práctico el vector Poynting resulta apuntar siempre en el sentido de la velocidad de
propagación de la onda electromagnética.
Las unidades de este vector son de energía por unidad de tiempo y de área transversal, lo
que por lo tanto establece un flujo de potencia por unidad de área. Así indica la potencia por
unidad de área en cada punto de la onda, variando entre cero y un valor máximo.
Como los vectores E y B son también normales entre sí resulta el producto vectorial entre
ellos ser igual al producto de sus módulos para todo punto del espacio a cualquier tiempo t.
Entonces:
S=
1
µ0
E ×B =
1
µ0
E ⋅B
(35)
Luego reemplazando (35) en (33) podemos obtener las relaciones;
S=
S=
1
E2
µ0 ⋅ c
1
µ0
(36)
⋅ c ⋅ B2
(37)
La intensidad de una onda electromagnética queda caracterizada por el valor medio del
vector Poynting denotado por: ⟨S ⟩ este valor se calcula a través de los valores medios de
E 2 y B 2 los que a su vez dependen del valor medio del cuadrado de la función coseno, que
resulta ser numéricamente igual a 1 . Partiendo de las ecuaciones (29) y (30) tendremos para
2
ambos campos;
E 2 = E 2 máx . cos 2 (k . x − ω .t ) = E 2 máx ⋅
1
2
(38)
B 2 = B 2 máx . cos 2 (k . x − ω.t ) = B 2 máx ⋅
1
2
(39)
21
Reemplazando (38) y (39) en (36) y (37) respectivamente se obtiene el valor de la intensidad
de la onda para cada campo de la forma;
E 2 máx
Ι = ⟨ S⟩ =
2 ⋅ µ0 ⋅ c
(40)
c ⋅ B 2 máx
Ι = ⟨ S⟩ =
2 ⋅ µ0
(41)
El contenido energético de una onda electromagnética está caracterizado por la energía por
unidad de volumen la que se encuentra repartida por partes iguales en cada campo. Las
expresiones que permiten su cálculo son las siguientes;
1
2
µE = ε 0 ⋅ E 2
µB =
1 B2
2 µ0
(42)
(43)
Luego si reemplazamos (33) en (42) resulta;
1
2
µE = ε 0 ⋅ c 2 ⋅ B2
(44)
Pero;
µ 0ε 0 =
1
1
≡ c2 ⋅ε0 =
2
c
µ0
Sustituyendo en (44) se concluye;
1 B2
µE =
2 µ0
(45)
Las expresiones (43) y (45) resultan idénticas con lo que se puede concluir que las energías de
ambos campos son iguales.
BIBLIOGRAFÍA:
Rietz, J.1996. Fundamentos de la teoría Electromagnética. E.U.A. Printed in U.S.A.
Finn, A. 1987. Campos y ondas. Vol.II. U.S.A. Addison -Wesley
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