Teoría de Hodge Clásica. - Universidad Complutense de Madrid

Universidad Complutense de Madrid
Geometrı́a de Superficies Topológicas
Proyecto Final
Introducción a la Teorı́a Hodge
J. Ángel González Prieto
Departamento de Matemáticas
Universidad Autónoma de Madrid
12 de febrero de 2015
1
.
2
Índice
1. Métricas en Formas Diferenciables
4
1.1. Producto L2
5
1.2. Operador Estrella de Hodge
6
2. El Operador de Laplace-Beltrami
8
2.1. Operadores Adjuntos y Autoadjuntos
8
2.2. El Operador Adjunto de la Derivada Exterior
12
2.3. El Operador de Laplace-Beltrami
12
3. El teorema de Hodge
14
4. Variedades Kähler
17
4.1. Variedades Complejas y Casi Complejas
17
4.2. Variedades Simplécticas
22
4.3. Variedades Kähler
24
5. Teorema de Hodge en Variedades Kähler
26
5.1. Identidades Kähler
26
5.2. Descomposición de Hodge en Cohomologı́a
28
Referencias
31
3
4
1.
Métricas en Formas Diferenciables
En primer lugar, consideremos el caso simple de un espacio vectorial, en un contexto púramente de álgebra lineal. Consideremos un espacio vectorial euclı́deo V , de dimensión finita, con
producto escalar h·, ·iV : V × V → R. A partir de este producto, podemos inducir, de forma
V
natural, otro en k V , el espacio de los k-vectores alternados, por
hv1 ∧ · · · ∧ vk , w1 ∧ · · · ∧ wk iVk V = det hvi , vj iV
Ası́, usando esta construcción, el espacio
Vk
V se convierte, naturalmente, en un espacio
euclı́deo.
Más aún, usando de nuevo el producto escalar, la estructura euclı́dea de V nos permite definir
un isomorfismo
1
entre V y su dual, V ∗ , mediante
φ: V
v
−→
V∗
7→
hv, ·iV
De este modo, usando este isomorfismo, podemos definir, naturalmente, un producto escalar
en V ∗ por
hω, ηiV ∗ = hϕ−1 ω, ϕ−1 ηiV
En consecuencia, poniendo juntas ambas consideraciones, un producto escalar en un espacio
vectorial de dimensión finita, V , induce, de forma natural, un producto escalar en su espacio
de k-formas, dado por
hω1 ∧ · · · ∧ ωk , η1 ∧ · · · ∧ ηk iVk V ∗ = det hφ−1 ωi , φ−1 ηj iV
Observación 1.1. Es un cálculo muy sencillo observar que este producto escalar está caracteriza
do por la propiedad de que, si e1 , . . . , en es una base ortonormal de V , entonces e∗i1 ∧ · · · ∧ e∗ik
V
constituye una base ortonormal de k V ∗ , donde e∗k = φ(ek ).
Una vez discutido el caso de los espacios vectoriales, podemos hacer estas definiciones globales
y extenderlas para el caso de variedades riemannianas. Sea M una variedad riemanniana con
1Sin
embargo, esta fácil observación se torna notablemente más difı́cil en el contexto de espacios de Hilbert,
lo que se conoce como el lemma de Riesz y, de hecho, es falso para espacios de Banach en general.
5
métrica g, entonces, realizando este producto fibra a fibra en T ∗ M , podemos definir una métrica
riemanniana en Ωk (M ) mediante
gpk
ω1p ∧ · · · ∧ ωkp , η1 p ∧ · · · ∧ ηk p = det gp
−1
φ−1
p ωip , φp ηj p
Observación 1.2. Una forma extremandamente oscura (pero sorprendentemente exacta) de describir lo que acabamos de construir es observar que g k es una sección del subfibrado de las formas
V
V
bilineales, simétricas y definidas positivas de k T ∗ M ⊗R k T ∗ M .
Observación 1.3. Por la misma razón que en la observación 1.1, si ω1p , . . . , ωnp es una base
ortonormal de Tp∗ M , con respecto al producto de 1-formas, entonces ωi1 p ∧ · · · ∧ ωik p es una
base ortonormal de Ωkp (M ).
1.1.
Producto L2 . Sea (M, g) una variedad riemanniana y compacta de dimensión n, a
partir de cuya métrica riemanniana hemos inducido un producto de formas, g k , en Ωk (M ) para
todo k ≥ 0. Supongamos, además, que M es orientable, con forma de volumen2 Ω.
Como espacio vectorial real, Ωk (M ) es un espacio vectorial de dimensión infinita, que podemos
convertir en un pre-espacio de Hilbert con el siguiente producto
Definición 1.4. Sea Ωk (M ) el espacio de k-formas diferenciables sobre M . Definimos el producto escalar en Ωk (M ), escrito h·, ·iL2 , conocido como el producto L2 en Ωk (M ), dado por
Z
hω, ηiL2 = g k (ω, η) Ω
M
Proposición 1.5. El producto L2 es un producto escalar en Ω∗ (M ).
Demostración. La bilinealidad, simetrı́a y positividad son obvias a partir del hecho de que g k
es un producto. Para mostrar que este producto es no degenerado, supongamos que ω ∈ Ω∗ (M )
R
satisface hω, ωiL2 = 0, entonces g k (ω, ω) Ω = 0.
M
Sin embargo, como Ω es nunca nula, esta integral es cero si y solo si gpk (ωp , ωp ) = 0 para casi
todo p ∈ M . Ahora bien, como gpk (ωp , ωp ) es continuo en p, es nulo en casi todos los puntos si
y solo si es nulo en todas partes. Pero, usando de nuevo que gpk es, para todo p, un producto
escalar gpk (ωp , ωp ) = 0 para todo p ∈ M si y solo si ω = 0, como querı́amos ver.
2Para
quienes no recuerden que es esto, o quienes no lo hayan sabido nunca, la forma de volumen, Ω, es la
única n-forma nunca nula tal que Ωp (e1 , . . . , en ) = 1 para toda base ortonormal e1 , . . . , en de Tp M , positivamente
orientada. Puede construirse a partir de una reescalado de la n-forma nunca nula que define una orientación en
M.
6
Observación 1.6. El espacio Ωk (M ) no es completo para la la topologı́a inducida por el producto
L2 metric. Por ejemplo, como veremos, esta métrica es, sobre Ω0 (M ), el producto L2 usual
(quizá con otra medida), que claramente no es completo en las funciones C ∞ .
Observación 1.7. El producto L2 puede extenderse al anillo graduado Ω∗ (M ) =
n
L
Ωk (M ),
k=0
decretando que dos formas diferenciables de grados distintos son siempre ortogonales.
Ejemplo 1.8. Calculemos el producto L2 de dos funciones diferenciables f, h ∈ C ∞ (M ) =
Ω0 (M ). Por definición, tenemos
Z
hf, hiL2 =
0
Z
g (f, h) Ω =
M
Z
fh Ω =
M
f h dg
M
donde dg es la medida asociada a la forma de volumen Ω determinada por la métrica riemanniana g. De este modo, usando esta medida, el producto L2 sobre funciones coincida con el
producto L2 clásico de análisis.
La métrica L2 admite una expresión más limpia en términos de un operador entre formas
conocido como el operador estrella de Hodge.
1.2.
Operador Estrella de Hodge. El operador estrella de Hodge es un operador lineal
sobre el espacio de formas diferenciables que subraya la dualidad entre las formas de alto y bajo
grado. En primer lugar, obsérvese que, para todo p ∈ M
n
n
n!
k
=
= dimR Ωn−k
dimR Ωp (M ) =
(M )
=
p
n−k
k!(n − k)!
k
y, por tanto, Ωkp (M ) y Ωn−k
(M ) son isomorfos. Sin embargo, como siempre en estos casos, este
p
isomorfismo no es canónico en ausencia de más estructura, sino que debe ser definido ad hoc
usando bases arbitráriamente escogidas, luego no pueden ser reunidos para formar un operador
global en la variedad.
Sin embargo, la selección de una métrica riemanniana nos permite hacer este isomorfismo
canónico. Sea (M, g) una variedad riemanniana compacta y orientable de dimensión n, con
forma de volumen Ω ∈ Ωn (M ). Dados fibrados vectoriales E, F , sea Hom(E, F ) el fibrado de
aplicaciones lineales entre ellos, esto es, Hom(E, F ) = E ∗ ⊗ F . Entonces, podemos definir los
isomorfismos lineales
φ1 : Ωk (M ) → Hom(Ωk (M ), Ωn (M )) φ2 : Ωn−k (M ) → Hom(Ωk (M ), Ωn (M ))
ω
7→
g k (·, ω) Ω
ω
7→
·∧ω
7
k
n−k
De este modo, tenemos definido el isomorfismo φ−1
(M ), conocido como
2 ◦ φ1 : Ωp (M ) → Ωp
el operador estrella de Hodge.
Definición 1.9. Sea (M, g) una variedad riemanniana compacta y orientable de dimensión n,
con forma de volumen Ω. Entonces, dado ω ∈ Ωkp (M ), definimos la estrella de Hodge de ω,
denotada ?ω, como la única (n − k)-forma tal que
g k (η, ω) Ω = η ∧ ?ω
para todo η ∈ Ωk (M ).
Observación 1.10. Como prometimos, usando el operador estrella de Hodge, la métrica L2 tiene
la apariencia mucho más simple de
Z
η ∧ ?ω
hη, ωiL2 =
M
Sin embargo, la definición anterior de la estrella de Hodge es inútil para el cálculo efectivo,
por lo que necesitamos la siguiente proposición
Proposición 1.11 (Cálculo efectivo de la estrella de Hodge). Sea (M, g) una variedad riemanniana compacta y orientada de dimensión n y sea p ∈ M . Sea ω1 , . . . , ωn una base ortonormal
positivamente orientada Tp∗ M ,con respecto al producto inducido de 1-formas en p, g 1 . Entonces,
sobre k-formas, el operador estrella de Hodge viene determinado por
? (ωi1 ∧ · · · ∧ ωik ) = sign(σ) · ωj1 ∧ · · · ∧ ωjn−k
donde σ =
1
2 ···
i1 i2 · · ·
k k + 1 k + 2 ···
ik
j1
j2
···
n
jn−k
!
es una permutación de {1, . . . , n}.
Demostración. Obsérvese que, como ω1 , . . . , ωn es una base ortonormal positivamente orientada,
tenemos que gpk ωi1 ∧ · · · ∧ ωik , sign(σ) · ωj1 ∧ · · · ∧ ωjn−k = 1 y ω1 ∧ · · · ∧ ωn = Ω. Ası́, de este
modo
(ωi1 ∧ · · · ∧ ωik ) ∧ sign(σ) · ωj1 ∧ · · · ∧ ωjn−k = sign(σ)2 ω1 ∧ · · · ∧ ωn = Ω
En consecuencia, sign(σ) · ωj1 ∧ · · · ∧ ωjn−k satiface la propiedad requerida a la estrella de
Hodge de ωi1 ∧ · · · ∧ ωik .
Observación 1.12. A partir de esta caracterización de la estrella de Hodge, es muy fácil observar
que ?−1 = (−1)k(n−k) ?, luego ?? = (−1)k(n−k) .
8
2.
El Operador de Laplace-Beltrami
El operador laplaciano es uno de los operadores lineales más imporantes en análisis funcional.
De hecho, su núcleo, conocido como funciones armónicas, tienen extraordinarias propiedades
de rigidez que, curiosamente (o no tanto) están muy relacionadas con las propiedades de las
funciones holomorfas.
En este sentido, es lógico que exista una generalización de este operador al contexto de
variedades diferenciables. Este es el operador de Laplace-Beltrami, uno de los operadores más
importantes en geometrı́a diferencial y compleja y el comienzo una vasta y rica teorı́a, conocida
como Teorı́a Hodge. Desafortunadamente, esta generalización no es obvia, y requiere el concepto
de operador adjunto.
2.1.
Operadores Adjuntos y Autoadjuntos. En primer lugar, empezaremos con el caso
más simple de un operador acotado, que, como veremos, es insuficiente para nuestros propósitos.
Definición 2.1. Sean X e Y espacios de Banach (reales o complejos), S ⊂ X un subespacio
lineal y sea T : S → Y un operador lineal. Diremos que T es acotado sobre S si
kT k := sup
ω∈S
kT (ω)kY
<∞
kωkX
Más aún, si S = X, entonces diremos simplemente que T es acotado.
Observación 2.2. Es un hecho estándar que T es acotado si y solo si T es continuo (Véase, por
ejemplo, [11]).
Una propiedad muy importante de los operadores acotados es que pueden ser extendidos,
con continuidad y de forma única, a la clausura de su dominio.
Teorema 2.3 (de Extensión). Sean X, Y espacios de Banach y sea S ⊂ X un subespacio
lineal denso. Si T : S → Y es acotado sobre S, entonces existe una única extensión acotada
T̃ : X → Y .
Demostración. Sea x ∈ X, como S es denso en X, existe una secuencia {xn }∞
n=1 ⊂ S tal que
xn → x. Entonces, definiemos la extensión T̃ (x) = lı́m T (xn ).
n→∞
9
Para mostrar que T̃ está bien definida, supongamos que {yn }∞
n=1 ⊂ S fuese otra secuencia
convergente a x. Entonces, como T es acotado sobre S, tenemos
n→∞
kT (xn ) − T (yn )k = kT (xn − yn )k ≤ kT kkxn − yn k → 0
por tanto lı́m T (xn ) = lı́m T (yn ) y T̃ está bien definido. La unicidad se sigue del hecho de que
n→∞
n→∞
cualquier aplicación continua queda unı́vocamente definida por su imagen en un subconjunto
denso.
En este contexto de operadores acotados, la noción de adjunción es fácilmente definible.
Definición 2.4. Sea H un espacio de Hilbert (separable, real o complejo) y sea T : H → H
un operador acotado. Si existe un operador acotado T ∗ : H → H tal que, para todo ω, η ∈ H
hη, T (ω)i = hT ∗ (η), ωi
diremos que T ∗ es el operador adjunto de T . Más aún, si T = T ∗ , diremos que T es autoadjunto.
Ejemplo 2.5 (Transformada de Fourier). Sea S(Rn ) ⊂ L2 (Rn ) la clase de Schwartz, i.e., la
clase de las funciones rápidamente decrecientes, en el sentido de que
S(Rn ) = {f ∈ C ∞ (Rn ) | kf kα,β < ∞ ∀α, β ∈ Nn }
donde kf kα,β son las seminormas kf kα,β = kxα ∂ β f k∞ para cada multiı́ndice α, β ∈ Nn .
Es fácil comprobar que la tranformada de Fourier está bien definida sobre la clase de Schwartz
y que la mapea sobre sı́ misma, F : S(Rn ) → S(Rn ). Más aún, la transformada de Fourier es
una isometrı́a en L2 (i.e. kF kL2 = 1), por el teorema de Plancherel.
Aún más, como S(Rn ) es denso en L2 (Rn ), por el teorema de extensión 2.3, existe una única
extensión acotada F : L2 (Rn ) → L2 (Rn ). Además, por la formula de Parseval, tenemos
Z
Z
ˆ
ˆ
hf , gi2 =
f g dµ =
f ĝ dµ = hf, ĝi2
Rn
Rn
para cualesquiera f, g ∈ L2 (Rn ). De este modo, la transformada de Fourier F : L2 (Rn ) →
L2 (Rn ) es un operador autoadjunto en L2 (Rn ). Para demostraciones de estas afirmaciones,
véase, por ejemplo, [6].
Sin embargo, la vida no es tan sencilla y muchos de los operadores más importantes son
no acotados. Quizá uno de los ejemplos más flagrantes, sacado de la fı́sica, es el operador de
posición.
10
Ejemplo 2.6 (Operador de posición). Sea x el operador multiplicar por x, i.e., (xf )(x) := xf (x)
(este operador es conocido, en mecánica cuántica, como el operador de posición). En primer
lugar, obsérvese que x está bien definido, en norma L2 , sobre el subconjunto
Z ∞
2 2
2
x f <∞
S = f ∈ L (R) |
−∞
luego podemos definir x : S → L2 (R).
Sin embargo, x no es un operador acotado. Para ello, definamos f (x) =
1
χ
x1+ [1,∞)
y obser-
vemos que f ∈ S para > 12 . Entonces, por una simple integración, tenemos
Z ∞
Z ∞
1
1
1
1
kxf
k
=
kf k2 =
=
=
2
x2+2
1 + 2
x2
2 − 1
1
1
De este modo,
kxf k2
kf k2
=
1+2 →1/2
−→
2−1
∞, y x es no acotado.
Íntimamente relacionado con este operador de posición es el operador derivada, que será crucial para nuestros propósitos.
Ejemplo 2.7 (Derivación). Consideremos el operador derivada ∂ que puede ser definido, por
ejemplo, en la case de Schwartz, S(R), de forma que ∂ : S(R) → S(R) está dado por ∂f (x) =
f 0 (x).
Definamos, auxiliarmente, el operador momento p =
1
∂
2πi
(nuevamente, este nombre proviene
de la mecánica cuántica). Observemos que ∂ es acotado en L2 (R) si y solo si p lo está y, como
la transformada de Fourier es un automorfismo acotado, es acotado si y solo si F ◦ p is acotado.
Sin embargo, para f ∈ S(R), por las propiedades de la transformada de Fourier, tenemos
(F ◦ p)(f )(ξ) =
1 c
∂f (ξ) = ξ f (ξ)
2πi
luego F ◦ p = x ◦ F sobre S(R), que no es un operador acotado. De este modo, ∂ no es un
operador acotado.
Por este motivo, resulta imperativo mejorar nuestra definición previa de adjunción para
considerar el caso de operadores no acotados.
Sea H un espacio de Hilber y sea T un operador lineal sobre H. Como acabamos de ver, si
T no es acotado, puede estar definido sobre un subconjunto propio de H y no admitir ninguna
extensión a H. Sea, ası́ D(T ) su dominio de definición, que supondremos que es un subespacio
lineal de H, denso en H, de forma que T : D(T ) → H.
11
Definición 2.8. Dado un operador lineal densamente definido T : D(T ) → H, definimos el
dominio del operador adjunto formal de T como
D(T ∗ ) = {η ∈ H | ∃η̃ ∈ H ∀ω ∈ D(T ) : hη, T (ω)i = hη̃, ωi}
y definiremos el operador adjunto formal T ∗ : D(T ∗ ) → H por T ∗ (η) = η̃.
Observación 2.9. El operador adjunto formal está bien definido precisamente porque D(T ) es
denso en H.
En general, D(T ∗ ) no es denso (¡incluso, puede ser nulo!) luego no existe ninguna relación
obvia entre D(T ) and D(T ∗ ). Sin embargo, hay una clase muy importante de operadores en el
que ambos subespacios coinciden.
Definición 2.10. Un operador lineal T : D(T ) → H se dice simétrico si, para todo ω, η ∈
D(T ) se tiene
hη, T (ω)i = hT (η), ωi
Más aún, un operador lineal T : D(T ) → H se dice autoadjunto si T es simétrico y D(T ) =
D(T ∗ ).
Observación 2.11. Para cualquier operador simético, se tiene D(T ) ⊂ D(T ∗ ). La propiedad de
ser autoadjunto es, precisamente, que se tenga la contención contraria.
Una propiedad muy importante de los operadores autoadjuntos es que no pueden extenderse.
Proposición 2.12. Un operador autoadjunto está maximalmente definido, en el sentido de que
no admite ninguna extensión simétrica.
Demostración. Observemos que, en general, si T, R son dos operadores tales que D(T ) ⊂ D(R),
entonces D(R∗ ) ⊂ D(T ∗ ). De este modo, si T es un operador autoadjunto y T̃ es cualquier
extensión simétrica, tenemos
D(T ) ⊂ D(T̃ ) ⊂ D(T˜∗ ) ⊂ D(T ∗ ) = D(T )
De este modo, todas las contenciones se convierten en igualdad y D(T̃ ) = D(T ).
12
2.2.
El Operador Adjunto de la Derivada Exterior. Ahora, aplicaremos la teorı́a de
operadores adjuntos al operador más importante de la geometrı́a diferencial, la derivada exterior. Es fácil ver que d : Ω∗ (M ) → Ω∗ (M ) no es un operador acotado, en cuanto está ı́ntimamente relacionado con el operador derivada que, como vimos anteriormente, es no acotado. Sin
embargo, utilizando la estrella de Hodge, podemos definir un adjunto formal en una variedad
riemanniana.
Proposición 2.13. Sea d : Ωk (M ) → Ωk+1 (M ) la derivada exterior en una variedad riemanniana compacata y orientada (M, g). Entonces, el operador lineal d∗ : Ωk+1 (M ) → Ωk (M ) dado
por
d∗ = (−1)n(k+1)+1 ? d?
es el adjunto formal de d sobre Ω∗ (M ) con respecto al producto escalar L2 .
Demostración. Sea ω, η ∈ Ωk (M ), entonces, usando la distributividad de d y la observación
1.12 tenemos
d (η ∧ ?ω) = dη ∧ ?ω + (−1)k η ∧ d(?ω) = dη ∧ ?ω − η ∧ ?(d∗ ω)
De este modo, integrando sobre M y utilizando el teorema de Stokes en su versión sin frontera,
tenemos
Z
Z
η ∧ ?ω =
0=
∂M
Z
d (η ∧ ?ω) =
M
Z
dη ∧ ?ω −
M
η ∧ ?(d∗ ω) = hdη, ωiL2 − hη, d∗ ωiL2
M
como querı́amos probar.
2.3.
El Operador de Laplace-Beltrami.
Definición 2.14. Sea (M, g) una variedad riemanniana compacta y orientable con derivada
exterior d : Ω∗ (M ) → Ω∗+1 (M ), con adjunto formal d∗ : Ω∗ (M ) → Ω∗−1 (M ). El operador de
Laplace-Beltrami, ∆ : Ω∗ (M ) → Ω∗ (M ), está dado por
∆ = d d∗ + d∗ d
Más aún, una forma diferenciable ω ∈ Ω∗ (M ) se dice armónica si ∆ω = 0.
Observación 2.15. Usando la fórmula explı́cita para d∗ en términos de la estrella de Hodge,
podemos reescribir el operador ∆ : Ωk (M ) → Ωk (M ) en su forma clásica
∆ = (−1)n(k+1)+1 d ? d ? +(−1)nk+1 ? d ? d
13
Más aún, con esta expresión explı́cita, es fácil recuperar el operador laplaciano clásico para
funciones C ∞ (i.e. elementos de Ω0 (M )) en una variedad plana. Supongamos que existe una
isometrı́a local ϕ : U → Rn para algún abierto U ⊂ M
. Entonces,
utilizando esta aplicación
como coordenadas (x1 , . . . , xn ) en U , se tiene que ∂x∂ 1 , . . . , ∂x∂n es una base ortonormal de
p
p
Tp M , para todo p en U .
Sea, ahora, f ∈ C ∞ (U ). Observando que d∗ (f ) = 0, tenemos
∗
∆ f = d d(f ) = − ? d ? d(f ) = −
n
X
?d ?
i=0
=−
n
X
i
(−1) ? d
i=0
=−
n
X
(−1)i ?
i=0
=−
n
X
∂ 2f
i=0
∂x2i
∂f
dxi
∂xi
∂f
ci ∧ · · · ∧ dxn
dx1 ∧ · · · ∧ dx
∂xi
n
X
∂ 2f
ci ∧ · · · ∧ dxn
dxj ∧ dx1 ∧ · · · ∧ dx
∂x
∂x
i
j
j=1
? (dx1 ∧ · · · ∧ dxn ) = −
n
X
∂ 2f
i=0
∂x2i
donde, en la tercera lı́nea, la suma está truncada porque el término i, j es no nulo si y solo si
i = j (de lo contrario, contiene un dxj repetido). Ası́, en resumen, en Ω0 (U ) tenemos
2
∂2
∂
+ ··· + 2
∆=−
∂x21
∂xn
como es usual en análisis (salvo signo).
Si usamos las propiedades de adjunción de los operadores que definen el laplaciano, tenemos
que, para todo ω, η ∈ Ω∗ (M )
h∆ω, ηiL2 = h(d d∗ + d∗ d) ω, ηiL2 = hω, (d∗ d + d d∗ ) ηiL2 = hω, ∆ηiL2
De este modo, con esta simple computación, hemos probado
Corolario 2.16. El operador de Laplace-Beltrami es simétrico respecto al producto L2 esto es
h∆ω, ηiL2 = hω, ∆ηiL2
para cualesquiera ω, η ∈ Ω∗ (M ).
De hecho, repitiendo el cálculo con la misma forma, obtenemos una caracterı́zación de formas
armónicas (en principio, soluciones de una EDP de segundo grado) en términos de soluciones
de EDP’s de primer orden.
14
Corolario 2.17. Una forma diferenciable ω ∈ Ω∗ (M ) es armónica si y solo si dω = 0 y
d∗ ω = 0.
Demostración.
h∆ω, ωiL2 = h(d d∗ + d∗ d) ω, ηiL2 = hdω, dωiL2 + hd∗ ω, d∗ωiL2
Ası́, como el producto escalar es definido positivo, ∆ω = 0 si y solo si dω = 0 and d∗ ω = 0. 3.
El teorema de Hodge
El resultado más importante en Teorı́a Hodge es el teorema conocido como descomposición
de Hodge de las formas, que nos permite tener un mejor entendimiento del espacio de formas
diferenciables. Como veremos, este análisis resultará muy útil para consideraciones topológicas
y geométricas.
Recordemos que una k-forma ω ∈ Ωk (M ) se dice armónica si ∆ ω = 0, y denotemso el espacio
de k-formas armónicas por Hk (M ).
Teorema 3.1 (Descomposición de Hodge). Sea (M, g) una variedad riemanniana compacta y
orientable, de dimensión n, con operador de Laplace-Beltrami ∆ : Ω∗ (M ) → Ω∗ (M ). Entonces,
para cada 0 ≤ k ≤ n, Hk (M ) es de dimensión finita y tenemos la descomposición
Ωk (M ) = ∆ Ωk (M ) ⊕ Hk (M )
Más aún, esta descomposición es ortogonal con respecto al producto L2 .
Corolario 3.2. Para cada 0 ≤ k ≤ n tenemos la descomposición ortogonal
Ωk (M ) = d Ωk−1 (M ) ⊕ d∗ Ωk+1 (M ) ⊕ Hk (M )
Su prueba, larga e intrincada, requiere un gran despliegue de análisis y conocimiento de
operadores elı́pticos, y no la daremos aquı́ (aunque puede ser encontrada, por ejemplo, en [14]
o [8]). En su lugar, discutamos algunas de sus consecuencias. Quizá la más evidente seas que
resuelve el problema de Poisson en variedades compactas.
Corolario 3.3. Sea (M, g) una variedad riemanniana compacta y orientable y consideremos
πH : Ω∗ (M ) → H∗ (M ) la proyección ortogonal del espacio de formas sobre el espacio de formas
armónicas, tal y como nos da el teorema de descomposición de Hodge.
15
Dado η ∈ Ω∗ (M ) el problema de Poisson ∆ω = η tiene solución si y solo si πH (η) = 0. Más
aún, en caso de tener solución, una y solo una vive en H∗ (M )⊥ .
Demostración. La primera parte es evidente a partir de la descomposición de Hodge de Ω∗ (M ),
porque, como la suma es directa, η ∈ Im ∆ si y solo si πH (η) = 0.
Para la unicidad, supongamos que ω1 , ω2 ∈ H∗ (M )⊥ son dos soluciones de ∆ω = η, entonces
∆ (ω1 − ω2 ) = η −η = 0, luego ω1 −ω2 ∈ H∗ (M ). Sin embargo, por hipótesis, ω1 −ω2 ∈ H∗ (M )⊥
luego, por ortogonalidad, debe ser ω1 = ω2 .
Observación 3.4. Obsérvese que, sin condiciones de contorno adicionales, la unicidad del problema de Poisson es una utopı́a. De hecho, si ω es una solución de ∆ω = η y α ∈ H∗ (M ), entonces
ω + α es también solución. De hecho, como veremos más adelante, esta falta de unicidad de las
soluciones está ı́ntimamente relacionada con la topologı́a de M .
Gracias a esta proposición, podemos definir el operador que, a cada forma diferenciable, le
asocia su parte no armónica.
Definición 3.5. Sea η ∈ Ω∗ (M ), definemos el operador de Green de η, G(η) como la única
ω ∈ H∗ (M )⊥ tal que ∆ω = η − πH (η).
La propiedad más importante del operador de Green es la siguiente.
Proposición 3.6. G conmuta con todo operador lineal que conmute con ∆.
Demostración. Sea T : Ω∗ (M ) → Ω∗ (M ) un operador lineal tal que ∆ ◦ T = T ◦ ∆, entonces
∆T G (η) = T ∆G (η) = T (η − πH (η)) = T η − πH (T η) = ∆G (T η)
donde T conmuta con πH porque, si η = ωH⊥ ⊕ ωH , entonces T η = T ωH⊥ ⊕ T ωH . De este modo,
ambos G (T η) y T G (η) son soluciones de ∆ω = η − πH (η).
Por la unicidad de la ecuación de Poisson, es suficiente mostrar que T G (η) ∈ H∗ (M ). Para
ello, sea α ∈ H(M ) cualquier forma armónica, entonces
hT G (η) , αiL2 = hG (η) , T αiL2 = 0
porque, por la conmutatividad de T con ∆, T α es armónica.
Corolario 3.7. G conmuta con d.
16
Después de este lema técnico, podemos probar el resultado central.
Teorema 3.8. Sea M una variedad riemanniana compacta y orientada. Entonces, cada clase
de cohomologı́a de la cohomologı́a de de Rham contiene un y solo un representante armónico.
k
(M ). Entonces, por el teorema de Hodge, existe η ∈ Hk (M ) tal
Demostración. Sea ω ∈ HdR
que ω = ∆G(ω) + η. Pero, entonces
ω = (d d∗ + d∗ d) G(ω) + η = d d∗ G(ω) + d∗ G(dω) + η = d d∗ G(ω) + η
Por tanto, η es una forma armónica en la clase de cohomologı́a de ω.
Para la unicidad, supongamos que η1 , η2 son dos formas armónicas en la misma clase de
cohomologı́a, esto es, η1 = η2 + dα para alguna forma diferenciable α. Obsérvese que dα ∈
Hk (M )⊥ , porque, para cada forma armónica β tenemos
hβ, dαiL2 = hd∗ β, αiL2 = 0
En consecuencia, dα es una forma armónica ortogonal a Hk (M ), luego debe ser dα = 0 y,
por tanto, η1 = η2 .
A partir de este resultado, podemos deducir importantı́simas consecuencias topológicas. En
lo que resta de capı́tulo describiremos algunas de las más inmediatas, reservando el siguiente
para su implicación en variedades con más estructura.
k
Corolario 3.9. HdR
(M ) es isomorfo (como R-espacio vectorial) a Hk (M ). En particular,
k
dimR HdR
(M ) < ∞.
Corolario 3.10 (Dualidad de Poincaré). Si M es una variedad diferenciable compacta y orientable, entonces
n−k
k
HdR
(M ) ∼
(M )
= HdR
∗
n−k
k
Demostración. Definamos el pairing ϕ : HdR
(M ) × HdR
(M ) → R por
Z
ϕ([ω] , [η]) = ω ∧ η
M
Obsérvese que, por el teorema de Stokes, ϕ está bien definida. Más aún, si ϕ fuese no dege∗
n−k
k
nerado, entonces ω 7→ ϕ(ω, ·) nos darı́a el deseado isomorfismo entre HdR
(M ) y HdR
(M ) .
17
k
Para comprobarlo, observemos que, si [ω] ∈ HdR
(M ), con ω armónica, entonces ?ω ∈
n−k
HdR
(M ) es también cerrada. De hecho, como ∆? = ?∆, tenemos que ?ω es también armónica,
lo que, en particular, quiere decir que d (?ω) = 0. Teniendo esto en cuenta, tenemos
Z
ϕ([ω] , [?ω]) = ω ∧ ?ω = kωkL2 6= 0
M
excepto para ω = 0.
Ejemplo 3.11 (Cohomologı́a de S 1 ). Obsérvese el hecho general de que, para cualquier variedad
diferenciable, como Im (d : Ω−1 (M ) → Ω0 (M )) = 0, entonces
H 0 (M ) = Ker d : Ω0 (M ) → Ω1 (M )
Pero, si f ∈ Ω0 (M ) = C ∞ (M ), df = 0 si y solo si f es locamente constante, y todas las
constantes son R-linealmente dependientes. En consecuencia, H 0 (M ) ∼
= RN , donde N es el
número de componentes conexas de M .
En particular, como S 1 es conexo, H 0 (S 1 ) ∼
= R. Ahora bien, usando la dualidad de Poincaré,
∗
∗
tenemos que H 1 (S 1 ) ∼
= R. En consecuencia, utilizándo
= (H 1−1 (M )) ∼
= (H 0 (M )) ∼
= R∗ ∼
únicamente métodos analı́ticos, hemos calculado la cohomologı́a de S 1 .
4.
Variedades Kähler
Las variedades Kähler son un tipo especial de variedades complejas que gozan de propiedades
analı́ticas y algebraicas especialmente buenas. La clave para ello es que son variedades que
compatibilizan tres estructuras que, por si solas, dotan de gran rigidez a la variedad.
4.1.
Variedades Complejas y Casi Complejas. Recuérdese que una variedad compleja M
de dimensión compleja n es una variedad diferenciable de dimensión 2n cuyos cambios de cartas
son biholomorfos. Dado cualquier R-espacio vectorial (posiblemente de dimensión infinita) V ,
denotaremos VC := V ⊗R C a su complexificado. En particular, ΩkC (M ) es el espacio de k-formas
diferenciables complexificado.
Definición 4.1. Sea M 2n una variedad diferenciable. Una sección J de End(T M ) tal que
J 2 = −1 se llama una estructura casi compleja. Diremos que J es integrable si existe una
estructura compleja en M tal que, para cada carta holomorfa ϕ : U ⊂ M → Cn , ϕ∗ ◦ J = iϕ∗ .
18
Observación 4.2. En una variedad compleja M , siempre podemos definir una estructura casi
compleja de la siguiente forma. Sean (z1 = x1 + iy1 , . . . , zn = xn + iyn ) coordenadas holomorfas
alrededor de un cierto p ∈ M . Entonces definimos J localmente satisfaciendo
∂
∂
∂
∂
J
=
J
=−
∂xk
∂yk
∂yk
∂xk
es fácil ver que, por las ecuaciones de Cauchy-Riemann, J está bien definido y, por tanto, define
una estructura casi compleja.
Más aún, en este caso, dadas dos variedades casi complejas (M, J) y (M 0 , J 0 ) una aplicación
f : M → M 0 diremos que es (J, J 0 )-holomorfa si f∗ ◦ J = J 0 ◦ f∗ . La condición de integrabilidad,
en este contexto, no es más que pedir que exista un atlas complejo de forma que sus cartas sean
(J, i)-holomorfos, donde i, visto como un automorfismo de Cn , es la estructura casi compleja
estándar de Cn3.
En este caso, las ecuaciones de Cauchy-Riemann simplemente dicen que, si M y M 0 son
complejas y J, J 0 son sus estructuras casi complejas asociadas, entonces una aplicación es
holomorfa si y solo si es (J, J 0 )-holomorfa.
Utilizando esta estructura, dada una variedad casi compleja (M 2n , J), es fácil ver que, utilizando el polinomio mı́nimo de J, J es diagonalizable con autovalores i y −i. Denotemos como
T 1,0 M y T 0,1 M a los autoespacios de J de autovalor i y −i en TC M y definamos las (p, q)-formas,
Ωp,q (M ) como
p,q
Ω (M ) :=
p
^
T
1,0
∗
(M ) ⊗
q
^
∗
T 0,1 (M ) ⊂ ΩCp+q (M )
No obstante, si M es una variedad compleja y J es su estructura casi compleja asociada,
podemos dar un criterio efectivo para identificar (p, q)-formas. En efecto, si en una carta (U, ϕ)
tenemos la base de vectores coordenados
∂
, ∂ , . . . , ∂x∂n , ∂y∂n
∂x1 ∂y1
∂
∂
∂
:=
+i
∂zi
∂xi
∂yi
es fácil comprobar que
∂
, . . . , ∂z∂n , ∂z∂ 1 , . . . , ∂z∂n
∂z1
T 1,0 (M ) = h
3Profundizando
∂
∂
,...,
i
∂z1
∂zn
entonces, definiendo
∂
∂
∂
:=
−i
∂z i
∂xi
∂yi
es también una base. Más aún, se tiene
T 0,1 (M ) = h
∂
∂
,...,
i
∂z 1
∂z n
un poco más, en una variedad casi compleja (M, J), una aplicación f : M → C (J, i)-
holomorfa se llama una función J-holomorfa. En cambio, una aplicación f : C → M (i, J)-holomorfa se llama
una curva pseudo-holomorfa. En general, una variedad casi compleja no tiene funciones J-holomorfas, pero tiene
muchas curvas pseudo-holomorfas.
19
Ahora bien, en ese caso, si dz1 , . . . , dzn , dz 1 , . . . , dz n es la base dual4 de
∂
, . . . , ∂z∂n , ∂z∂ 1 , . . . , ∂z∂n ,
∂z1
entonces tenemos la descripción explı́cita
dz i = dxi − idyi
dzi = dxi + idyi
Ası́, dada una forma ω ∈ ΩkC (M ), se tiene que ω ∈ Ωp,q (M ) si y solo si, localmente, ω se escribe
ω|U =
X
ai1 ,...,ip ,j1 ,...,jq dzi1 ∧ . . . ∧ dzip ∧ dz j1 ∧ . . . ∧ dz jq
i1 <i2 ...<ip
j1 <j2 ...<jq
4.1.1.
La cohomologı́a de Dolbeault. Dada una variedad diferenciable M y una estructura
casi compleja, J ∈ Γ(Aut(T M )), las condiciones precisas para que J sea integrable las da el
teorema de Newlander-Niremberg, que afirma que J es integrable si y solo si el tensor de
Nijenhuis
NJ (X, Y ) = [X, Y ] + J[JX, Y ] + J[X, JY ] − [JX, JY ]
es idénticamente nulo.
Sin embargo, es fácil ver que la anulación del tensor de Nijenhuis es equivalente a que la
(M ) se descomponga en
diferencial exterior, restringida a (p, q)-formas, d : Ωp,q (M ) → Ωp+q+1
C
dos operadores d = ∂ + ∂, con ∂ : Ωp,q (M ) → Ωp+1,q (M ) y ∂ : Ωp,q (M ) → Ωp,q+1 (M ), conocidos
como los operadores anti-Dolbeault y Dolbeault, respectivamente.
Consideremos una variedad compleja M , de tal forma que el operador derivada exterior se
descompone d = ∂ + ∂. Más aún, como d2 = (∂ + ∂) = 0, se tiene
2
∂2 = ∂ = 0
∂∂ + ∂∂ = 0
En particular, esto quiere decir que, para todo p ≥ 0, el complejo
∂
∂
∂
∂
∂
Ωp,0 (M ) → Ωp,1 (M ) → · · · → Ωp,q (M ) → Ωp,q+1 (M ) → · · ·
4Obsérvese
que dzi tiene dos interpretaciones posibles. En primer lugar, tal y como lo hemos definido aquı́ y,
en segundo lugar, como la derivada exterior de la función coordenada zk . Sin embargo, es un sı́mple cálculo
observar que, de hecho, ambas definiciones coinciden.
20
2
es un complejo de co-cadena, pues ∂ = 0. De este modo, la cohomologı́a de Dolbeault,
H p,q (M ), es precisamente la cohomologı́a de este complejo, a saber
H p,q (M ) =
ker ∂ : Ωp,q (M ) → Ωp,q (M )
Im ∂ : Ωp,q−1 (M ) → Ωp,q (M )
Observación 4.3. Es posible entender la cohomologı́a de Dolbeault como una cohomologı́a de
haces, lo cual puede ser tremendamente productivo. Consideremos el haz Ω pM de las p-formas
V
holomorfas en M , esto es, si Ω X es el haz canónico5 de M , entonces Ω pM = p Ω M . Equivalentemente, es fácil ver que este haz es isomorfo a ker ∂ : Ωp,0 (M ) → Ωp,1 (M ), es decir, para todo
abierto U ⊂ M , se tiene
Ω pM (U ) = ω ∈ Ωp,0 (U ) | ∂ ω = 0
Ahora bien, nótese que el lemma de ∂ (véase, por ejemplo [7]) afirma que, dado U ⊂ M
abierto y ω ∈ Ωp,q (U ) con ∂ ω = 0, existe un entorno V ⊂ U y η = Ωp,q−1 (V ) tal que ∂ η = ω|V .
En consecuencia, el complejo de co-cadena
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Ω pM → Ωp,0 → Ωp,1 → · · · → Ωp,q → Ωp,q+1 → · · ·
es una resolución de Ω pM . Ahora bien, como Ωp,q es un buen haz para todo q ≥ 0, en particular
esta resolución es acı́clica y, por tanto, puede utilizarse para computar los functores derivados.
Ası́, se tiene
ΩpM ) = H q (Γ(Ωp,∗ )) = H q (Ωp,∗ (M )) = H p,q (M )
H q (M, Ω pM ) = Rq Γ (Ω
y, por tanto, H p,q (M ) = H q (M, Ω pM ).
4.1.2.
Los operadores adjuntos de ∂ y ∂ y sus laplacianos. Al igual que en el caso de la derivada
exterior, d, la existencia de una métrica hermı́tica en una variedad compleja M permite definir
adjuntos formales para ∂ y ∂.
En primer lugar, nótese que, el operador estrella de Hodge puede ser extendido a Ω∗C (M ) por
C-linealidad y que, en ese caso, preserva el bigrado, esto es ? : Ωp,q (M ) → Ωn−p,n−q (M ), con
n = dimC M . Entonces, usando esta estrella, podemos definir el producto hermı́tico en Ω∗C (M ),
también llamado producto L2 mediante
Z
hω, ηiL2 :=
ω ∧ ?η
M
5Es
decir, el haz localmente libre asociado al fibrado de lı́nea canónico.
21
para cualesquiera ω, η ∈ Ω∗C (M ). Entonces, tenemos la siguiente caracterización de los adjuntos
del operador de Dolbeault.
Proposición 4.4. Sea (M, g) una variedad compleja hermı́tica y compacta, y sean ∂ y ∂ sus
operadores anti-Dolbeault y Dolbeault, respectivamente. Entonces, sobre Ωp,q (M ), los adjuntos
∗
formales ∂ ∗ : Ωp,q (M ) → Ωp,q−1 (M ) y ∂ : Ωp,q (M ) → Ωp−1,q (M ), respecto a la métrica L2 son
∗
∂∗ = − ? ∂ ?
∂ = − ? ∂?
∗
Demostración. Probemos el resultado para ∂ , siendo el caso restante análogo. Sea ω ∈ Ωp,q (M )
y η ∈ Ωp−1,q (M ), entonces, usando la distributividad de ∂, el hecho de que ∂ ? ω = ∂(?ω) y la
observación 1.12 tenemos
∗
∂ (η ∧ ?ω) = ∂η ∧ ?ω + (−1)k η ∧ ∂(?ω) = ∂η ∧ ?ω − η ∧ ?(∂ ω)
Ahora bien, si α ∈ Ωn−1,n (M ), entonces dα = ∂α + ∂α = ∂α, pues ∂α ∈ Ωn−1,n+1 (M ) = 0.
Ası́, integrando sobre M y utilizando el teorema de Stokes en su versión sin frontera, tenemos
Z
Z
Z
Z
∗
∗
0 = d (η ∧ ?ω) = ∂ (η ∧ ?ω) = ∂η ∧ ?ω − η ∧ ?(∂ ω) = h∂η, ωiL2 − hη, ∂ ωiL2
M
M
M
M
como querı́amos probar.
Usando estos operadores y sus adjuntos podemos generalizar aún más la noción de operador
laplaciano y considerar los operadores ∆∂ , ∆∂ : Ωp,q (M ) → Ωp,q (M ), dados por
∆∂ = ∂∂ ∗ + ∂ ∗ ∂
∗
∗
∆∂ = ∂∂ + ∂ ∂
Analogamente al operador de Laplace-Beltrami, denotamos H∂p,q (M ) y H∂p,q (M ) al conjunto
de las (p, q)-formas armónicas, con respecto a ∆∂ y ∆∂ , respectivamente. En ese caso, usando
técnicas similares a la prueba del teorema de descomposición de Hodge, tenemos
Teorema 4.5. Sea M una variedad compleja hermı́tica compacta con operador de LaplaceBeltrami tipo Dolbeault, ∆∂ : Ω∗,∗ (M ) → Ω∗,∗ (M ). Entonces, para cualesquiera 0 ≤ p, q ≤ n,
H∂p,q (M ) es de dimensión finita y tenemos la descomposición ortogonal
p,q
p,q
Ωp,q
C (M ) = ∆ ΩC (M ) ⊕ H∂ (M )
22
Corolario 4.6. Sea M una variedad compleja riemanniana compacta. Entonces, en cada clase
de cohomologı́a de Dolbeault hay una y solo una forma ∆∂ -armónica. Más aún, se tiene el
isomorfismo de C-espacios vectoriales
p,q
H p,q (M ) ∼
= H∂ (M )
Corolario 4.7 (Dualidad de Serre). Si M es una variedad compleja hermı́tica y orientable,
entonces
H p,q (M ) ∼
= H n−p,n−q (M )
∗
Demostración. Definamos el pairing ϕ : H p,q (M ) × H n−p,n−q (M ) → C por
Z
ϕ([ω] , [η]) = ω ∧ η
M
Por un argumento similar al utilizado en 4.4 se tiene que, por el teorema de Stokes, ϕ
está bien definida. Más aún, si ϕ fuese no degenerado, entonces ω 7→ ϕ(ω, ·) nos darı́a el
∗
deseado isomorfismo entre H p,q (M ) y (H n−p,n−q (M )) .
Para comprobarlo, observemos que, si [ω] ∈ H p,q (M ), con ω ∂-armónica, entonces ?ω ∈
H n−p,n−q (M ) es también ∂-cerrada. De hecho, como ∆∂ ? = ?∆∂ , tenemos que ?ω es también
∂-armónica, lo que, en particular, quiere decir que ∂ (?ω) = 0. Teniendo esto en cuenta, tenemos
Z
ϕ([ω] , [?ω]) = ω ∧ ?ω = kωkL2 6= 0
M
excepto para ω = 0.
4.2.
Variedades Simplécticas. La otra estructura que impondrá rigidez a nuestras varie-
dades es la conocida como estructura simpléctica. La motivación para esta noción surge de
forma natural al tratar de formalizar y extender la mecánica clásica a variedades diferenciables,
buscando una formulación invariante de sus principios. Para una introducción a la interesante
relación entre geometrı́a simpléctica y mecánica clásica, vease, por ejemplo [1] o [3].
Definición 4.8. Sea M una variedad diferenciable y ω ∈ Ω2 (M ) una 2-forma no degenerada,
i.e., tal que ω n sea nunca nula6. Si ω es cerrada, entonces se dice que (M, ω) es una variedad
simpléctica. Una aplicación f : (M, ω) → (M 0 , ω 0 ) entre variedades simplécticas se dice un
simplectomorfismo si f ∗ ω 0 = ω.
6Equivalentemente,
tal que la aplicación Tp M → Tp∗ M dada por X 7→ ω(X, ·) es un isomorfismo para todo
p ∈ M . Es fácil ver que si ω es no degenerada, entonces M debe tener dimensión par.
23
Observación 4.9. Como ω n es cerrada (por ser forma top), define una clase de cohomologı́a
R
[ω n ] ∈ H 2n (M ). Más aún, como ω es no degenerada, ω n es nunca nula y, por ende M ω n 6= 0,
lo que obliga a que [ω n ] 6= 0.
Más aún, este truco puede repetirse para todas las formas pares observando que, si ω k = dη
para algún 0 ≤ k ≤ n y η ∈ Ω2k−1 (M ), entonces se tendrı́a
Z
Z
Z
n
n−k
ω =
d(η ∧ ω ) =
η ∧ ω n−k = 0
M
M
∂M
De este modo, 0 6= [ω k ] ∈ Ω2k (M ), lo que en particular indica que los números de Betti pares
de una variedad simpléctica son todos no nulos.
Una caracterı́stica interesante, que no usaremos aquı́, de las variedades simplécticas es que,
localmente, todas son iguales. Este es el motivo por el que tiende a hablarse más de topologı́a
simpléctica que de geometrı́a simpléctica. La prueba de este resultado puede encontrarse en [3].
Proposición 4.10 (Darboux). Dada una variedad simplética (M 2n , ω) y p ∈ M , existe un
entorno de p, U ⊂ M , de forma que
ω|U =
n
X
dpk ∧ dqk
k=1
En particular, todas las variedades simplécticas de la misma dimensión son, localmente, simplectoisomórficas.
Ejemplo 4.11. El ejemplo imprescindible de variedad simpléctica, al menos con vistas a la
mecánica clásica, es el fibrado cotangente. En efecto, sea Q una variedad diferenciable (que, en
este contexto, suele llamarse el espacio de configuraciones) y sea M = T ∗ Q su fibrado cotangente
(que, en este contexto, suele llamarse espacio de fases).
Para convertir a M en una variedad simpléctica, definamos en primer lugar la 1-forma ν ∈
Ω1 (M ), conocida como forma de Liouville o forma canónica. Dado un punto (q, ηq ) ∈ M = T ∗Q,
consideremos un vector X ∈ Tq,ηq M . Entonces, definimos ν(q,ηq ) (X) como el resultado de aplicar
ηq a X, una vez llevado a Tq Q. Explı́citamente, si π : M = T ∗ Q → Q es la proyección del fibrado,
entonces definimos
ν(q,ηq ) (X) = ηq ((π∗ )(q,ηq ) X)
porque recordemos que (π∗ )(q,ηq ) : T(q,ηq ) M → Tq Q. A partir de esta construcción, consideramos
la 2-forma ω = dν ∈ Ω2 (M ). Obsérvese que ω es trivialmente cerrada.
24
Para ver que ω es no degenerada, expreśemosla en en coordenadas. Si damos en M coordenadas (q1 , . . . , qn , p1 , . . . , pn ), donde las qk indican las coordenadas en Q (las posiciones) y pk
las coordenadas en Tq∗ Q (los momentos). Entonces, tenemos que
∂
∂
∂
ν(q,p)
=p
= pi
ν(q,p)
= p (0) = 0
∂qk
∂qk
∂pk
y, por tanto, tenemos
ν(q,p) =
n
X
pk dqk
ω = dν =
X
dpk ∧ dqk
k=1
En consecuencia, ω es no degenerada y, por tanto, (T ∗ Q, ω) es una variedad simpléctica.
4.3.
Variedades Kähler. Una vez definidas las estructuras casi compleja y la simpléctica
uniéndolas a una métrica riemanniana, podemos definir las variedades Kähler, una de las categorı́as más importantes en geometrı́a compleja. Informalmente hablando, una variedad Kähler
es una variedad diferenciable que es, a la vez, compleja, simpléctica y riemanniana, de forma que
las tres estructuras son compatibles. Estas condiciones de compatibilidad dotan a una variedad
Kähler de una rigidez que resulta primordial en geometrı́a compleja.
Definición 4.12. Sea una variedad riemanniana, compleja y simpléctica, (M, g, J, ω). M se
dice que es una variedad Kähler si J es un simplectomorfismo lineal (i.e. J ∗ ω = ω) y
g(·, ·) = ω(·, J·)
En ese caso, a la forma simpléctica ω se la denomina la forma Kähler.
Observación 4.13. Como ω es J-invariante, en una variedad Kähler también lo es la métrica
riemanniana g. Más aún, definiendo
h(X, Y ) := g(X, Y ) + iω(X, Y )
se tiene que h es una métrica hermı́tica en TC M , que se conoce como la métrica Kähler.
Observación 4.14. Utilizando las relaciones entre métricas, aplicaciones antisiméticas y estructuras casi complejas (la regla del dos de tres), pueden derivarse distintas variantes de esta
definición. Una de la más comúnes en la literatura es decir que una variedad Kähler es una
variedad casi compleja riemanniana (M, g, J) de forma que J sea integrable, g sea J-invariante
y que ω := g(J·, ·) sea cerrada.
25
Usando esta caracerización, es fácil ver que toda subvariedad compleja de una variedad
Kähler es Kähler. En efecto, si i : N ,→ M es una subvariedad compleja de una variedad Kähler
(M, gM ), entonces i∗ gM es una métrica riemanniana en N de forma que ωN := i∗ gM (J·, ·) es
cerrada, pues dωN = di∗ gM (J·, ·) = i∗ dgM (J·, ·) = 0, y por ende, N es Kähler.
Observación 4.15. Como M es compleja y ω ∈ Ω2C (M ) = Ω2,0 (M ) ⊕ Ω1,1 (M ) ⊕ Ω0,2 (M ) es una
2-forma, localmente será de la forma
X
X
X
ω=
ai,j dzi ∧ dzj +
bi,j dzi ∧ dz j +
ci,j dz i ∧ dz j
i<j
i<j
i<j
Ahora bien, al ser J una estructura casi compleja, cumple que dzk ◦J = idzk y dz k ◦J = −idz k
para k = 1, . . . , n. De este modo, como J ∗ ω = ω se tiene
X
X
X
ω = J ∗ω =
i2 ai,j dzi ∧ dzj +
i(−i)bi,j dzi ∧ dz j +
(−i)2 ci,j dz i ∧ dz j
i<j
i<j
i<j
luego ai,j = ci,j = 0. En consecuencia ω ∈ Ω1,1 (M ). En particular, haciendo hi,j := 2bi,j ,
localmente se tiene
ω=
iX
hi,j dzi ∧ dz j
2 i<j
con H = (hi,j )ni,j=1 una matrı́z hermı́tica. Utilizando que ω es no degenerada se tiene que H es
invertible y que g sea definida positiva implica que H sea definida positiva, luego H define una
forma hermı́tica. Jugando con las simetrı́as de estas estructuras, es fácil ver que, de hecho H
es la matrı́z de la métrica hermı́tica h definida en 4.13.
Una de las propiedades más importantes de las métricas Kähler es que son euclı́deas hasta
orden 2, lo que confiere mucha rigidez a la variedad y, como veremos posteriormente, permite
analizar el álgebra de los operadores definidos en ella.
Teorema 4.16. Sea M una variedad Kähler y sea h su métrica Kähler. Para todo p ∈ M
existen coordenadas holomorfas en un entorno de p, (U, ϕ) tales que ϕ(p) = 0 y en el que, si
H(z) es la matrı́z de hϕ−1 (z) en la base coordenada, se tiene que
H(z) = I2n + O(kzk2 )
Se dice, entonces, que la métrica h oscila en el origen a orden 2.
Observación 4.17. Usando el hecho de que la derivada exterior sólo utiliza una derivada, es
fácil ver que el recı́proco también es cierto, a saber, si M es una variedad compleja y h es una
métrica hermı́tica, entonces, h oscila en cada punto de p a orden 2 si y solo si M es Kähler.
26
Ejemplo 4.18 (Espacio complejo). La métrica hermı́tica estándar de Cn oscula, trivialmente,
a orden 2 en cada punto y, por ende, convierte a Cn en una variedad Kähler. Más aún, dado
un lattice Γ ∈ Cn , el n-toro complejo Cn /Γ es una variedad Kähler simplemente bajando al
cociente la métrica hermı́tia estándar de Cn , que es trivialmente Γ-invariante.
Ejemplo 4.19 (Espacio proyectivo). PnC es una variedad Kähler con la llamada métrica de
Fubini-Study, cuya forma Kähler es, localmente
i
ωz = ∂∂ log (kzk2 + 1)
2
en particular, toda variedad proyectiva es Kähler.
Ejemplo 4.20 (Superficie de Riemann). Consideremos una superficie de Riemann compacta
y orientada X. Dotemos a X de cualquier métrica
riemanniana
g y, dado v ∈ Tx X no nulo,
o
n
Jv
v
definimos Jv como el único vector tal que kvk , kvk es una base ortonormal positivamente
orientada. Es fácil ver que J es una estructura casi compleja integrable y, por tanto ω(·, ·) :=
g(J·, ·) es una 2-forma no degenerada que, al no existir 3-formas no nulas, es cerrada. De este
modo, con esta estructura, X se convierte en una variedad Kähler.
5.
5.1.
Teorema de Hodge en Variedades Kähler
Identidades Kähler. Una de las propiedades más importantes de las variedades Kähler
es que, únicamente utilizando su propiedad de osculación de la métrica Kähler, podemos relacionar los operadores Dolbeault con los adjuntos de los anti-Dolbeault (y viceversa), lo que se
conoce como identidades Kähler7.
Definición 5.1. Sea M una variedad Kähler con forma Kähler ω ∈ Ω2 (M ). Definimos el
operador de Lefschetz L : Ω∗C (M ) → Ω∗+2
C (X) dado por L(η) = ω ∧ η.
Proposición 5.2. El operador Λ := ?−1 L? : Ω∗C (M ) → Ω∗−2
C (M ) es el adjunto formal de L
respecto a la métrica L2 .
7De
hecho, ampliando un poco más nuestro análisis, puede verse que la propiedad de ser Kähler se traduce
en que puede identificarse perfectamente el super-álgebra de Lie generado por ∆d , ∂, ∂, ∂ ∗ y ∂ como C-espacio
vectorial, al notar que es finito dimensional e identificarse sus generadores.
27
Demostración. Es un simple cálculo observando que, para todo α, β ∈ Ω∗ (M )
Z
Z
hLβ, αiL2 =
Z
Lβ ∧ ?α =
ω ∧ β ∧ ?α =
M
M
Z
Z
β∧L?α=
=
M
β ∧ ω ∧ ?α
M
β ∧ ?(?−1 L ? α) = β, h?−1 L ? αiL2
M
Proposición 5.3 (Identidades Kähler). Si M es una variedad Kähler, se tiene
[Λ, ∂] = −i∂ ∗
[Λ, ∂] = i∂
∗
Demostración. Nótese que basta probar la primera identidad, pues la segunda se sigue por
∗
conjugación observando que Λ es real. Más aún, tomando adjuntos, basta probar [L, ∂ ] = −i∂.
Por la proposición 4.16, dado p ∈ M , podemos encontrar unas coordenadas en las cuales p
se aplique a 0 ∈ Cn y la métrica hermı́tica g sea, localmente
g=
X
dzk ⊗ dzk + dz k ⊗ dz k + O(|z|2 )
k
Ahora bien, obsérvese que los operadores Λ, ∂ y ∂ ∗ únicamente requieren la expansión de la
métrica hasta, a lo sumo, orden uno. Ası́, tras aplicar los operadores y evaluar en 0 ∈ Cn , el
resultado únicamente depende de la métrica hasta órden uno.
P
De este modo, basta probar el resultado para g = k dzk ⊗ dzk + dz k , de lo cual se tiene que
la forma Kähler es
ω=
Consideremos α =
∗
P
I,J
iX
dzl ∧ dz l
2
aI,J dzI ∧ dz J ∈ Ωp,q con p = |I| y q = |J|, entonces, teniendo en
cuenta que ∂ = − ? ∂?, calculando se tiene
∗
∗
∗
[L, ∂ ]α = L∂ α − ∂ Lα = −L ? ∂ ? (α) + ?∂ ? L(α)
Para calcular la estrella de Hodge, introduzcamos la siguiente notación. Supongamos que M
tiene dimensión compleja n, entonces, dado un multiı́ndice sin repeticiones I = {i1 < i2 < . . . < ik },
sea I c := {1, . . . , n} − I. Más aún, si 1 ≤ r ≤ n, denotemos por I + k := I ∪ {k} si k 6∈ I y ∅ si
k ∈ I. Análogamente, denotemos I − k := I − {k}.
28
Con esta notación, tenemos que ?dzI ∧ dz J = ±dzI c ∧ dz J c , donde el signo sólo depende de
|I| y |J|. En consecuencia, calculando tenemos,
!
X
L ? ∂ ? (α) = L ? ∂ ?
aI,J dzI ∧ dz J
=
I,J
X
±L ? ∂ (aI,J dzI c ∧ dz J c )
I,J
X
∂aI,J
=
dzk ∧ dzI c ∧ dz J c =
±L ?
±L
∂zk
I,J,l
I,J,l
X
=
∂aI,J
dzI−k ∧ dz J
∂zk
i X ∂aI,J
i X ∂aI,J
dzl ∧ dz l ∧ dzI−k ∧ dz J =
dzI+l−k ∧ dz J+l
±
±
2 I,J,k,l ∂zk
2 I,J,k,l ∂zk
Análogamente, para el otro sumando tenemos
!
?∂ ? L(α) = ?∂ ? L
X
aI,J dzI ∧ dz J
=
I,J
iX
?∂ ? (aI,J dzl ∧ dz l ∧ dzI ∧ dz J )
2 I,J,l
=
i X
iX
∂aI,J
± ? ∂ aI,J dz(I+l)c ∧ dz (J+l)c =
±?
dzk ∧ dz(I+l)c ∧ dz (J+l)c
2 I,J,l
2 I,J,k,l
∂zk
=
i X ∂aI,J
±
dzI+l−k ∧ dz J+l
2 I,J,k,l ∂zk
En consecuencia, juntándolo todo, y estudiando con detenimiento los signos e ı́ndices que
aparecen, se tiene
∗
[L, ∂ ]α = −L ? ∂ ? (α) + ?∂ ? L(α) = −i
X ∂aI,J
I,J
∂zk
dzk ∧ dzI ∧ dz J = i∂(α)
como querı́amos demostrar.
5.2.
Descomposición de Hodge en Cohomologı́a. Finalmente, tras todo el trabajo an-
terior, podemos probar la deseada descomposición de Hodge, que permite entender la cohomologı́a de un espacio a partir de la cohomologı́a de Dolbeault, computada utilizando cualquier
estructura compleja.
Proposición 5.4. Sea M una variedad Kähler y sean ∆d , ∆∂ y ∆∂ los operadores de LaplaceBeltrami definidos a partir de los operadores d, ∂ y ∂. Entonces, se tiene que
∆d = 2∆∂ = 2∆∂
∆∂ = ∆∂
29
Demostración. Basta ver que ∆∂ = ∆∂ y que ∆d = ∆∂ + ∆∂ . Para comprobar la primera,
usando las identidades Kähler y que, al ser la estructura casi compleja integrable, ∂∂ + ∂∂ = 0,
se tiene
∆∂ = ∂ ∗ ∂ + ∂∂ ∗ = i[Λ, ∂]∂ + i∂[Λ, ∂] = i(Λ∂∂ − ∂Λ∂ + ∂Λ∂ − ∂∂Λ)
= i(Λ∂∂ − (∂[Λ, ∂] + ∂∂Λ) + (−[Λ, ∂]∂ + Λ∂∂) − ∂∂Λ)
∗
∗
= i(Λ∂∂ − i∂∂ − ∂∂Λ − i∂ ∂ + Λ∂∂ − ∂∂Λ) = ∆∂ + [Λ, ∂∂ + ∂∂] = ∆∂
Para la segunda igualdad, en primer lugar obśervese que, nuevamente por las identidades
Kähler, tenemos que
∗
∗
∂∂ + ∂ ∂ = −i(∂[Λ, ∂] + [Λ, ∂]∂) = −i(∂Λ∂ − ∂ 2 Λ + Λ∂ 2 − ∂Λ∂) = 0
De este modo, tenemos
∗
∗
∆d = (∂ + ∂)(∂ ∗ + ∂ ) + (∂ ∗ + ∂ )(∂ + ∂)
∗
∗
∗
∗
= ∆∂ + ∆∂ + (∂∂ + ∂ ∂) + ∂∂ + ∂ ∂ = ∆∂ + ∆∂
como querı́amos probar.
Corolario 5.5. Si M es una variedad Kähler, entonces, para todo 0 ≤ k ≤ dimR M , tenemos
la descomposición de formas armónicas.
HCk (M ) =
M
H∂p,q (M )
p+q=k
Demostración. Sea α ∈ HCk (M ) y descompongámosla en sus (p, q)-componentes, digamos α =
P
L p,q
αp,q ∈
Ω (M ). Basta ver que las αp,q son armónicas. Para ello, nótese que
p+q=k
p+q=k
0 = ∆d α =
X
∆d αp,q
p+q=k
Ahora bien, como ∆d = 2∆∂ es bihomogéneo de bigrado (0, 0) se tiene que ∆d αp,q ∈ Ωp,q (M ),
luego debe ser cero componente a componente. De este modo, ∆d αp,q = 0 para todo p + q = k,
o, equivalentemente αp,q ∈ H∂p,q (M ).
Corolario 5.6 (Descomposición de Hodge en cohomologı́a). Si M es una variedad Kähler,
entonces, se tiene la descomposición de la cohomologı́a
M
H k (M, C) ∼
H p,q (M )
=
p+q=k
30
Más aún, esta descomposición no depende de la estructura Kähler escogida.
p,q
Demostración. La existencia de la descomposición es clara recordando que H p,q (M ) ∼
= H∂ (M )
y que H k (M, C) ∼
= Hk (M ) (ver teoremas 3.9 y 4.6).
C
Para la unicidad, sea K p,q ⊂ H k (M, C) el conjunto de clases de cohomologı́a de de Rham
que contienen una forma cerrada de tipo (p, q). Para la inclusión H p,q (M ) ⊂ K p,q , recuérdese
que si [α] ∈ H p,q (M ), entonces existe una (p, q)-forma ∆∂ -armónica, α0 ∈ [α]. Pero, como
∆d α0 = 2∆∂ α0 = 0, en particular dα0 = 0, luego α0 ∈ [α] es la (p, q)-forma cerrada buscada.
Para la inclusión contraria, sea [α] ∈ K p,q con α ∈ Ωp,q (M ) cerrada. Por la descomposición
de Hodge, se puede descomponer α = ∆d β + α0 , para α0 ∈ Ωp,q (M ) (recuérdese que ∆d es
bihomogéneo de bigrado (0, 0)), ∆d -armónica. Ahora bien, en ese caso, ∆d β = dd∗ β + d∗ dβ es
cerrada, luego dd∗ dβ = 0. Ahora bien, Im d∗ ⊥ Ker d, luego solo puede ser porque d∗ dβ = 0.
En ese caso, se tiene que α = d(d∗ β) + α0 , luego [α] = [α0 ] ∈ H p,q (M ).
Ası́, K p,q = H p,q y, por tanto
H k (M, C) ∼
=
M
K p,q
p+q=k
y esta descomposición no depende de la métrica.
Corolario 5.7. Sea M 2n una variedad Kähler. Definamos los polinomios de Poincaré y Hodge,
respectivamente
P (t) =
2n
X
bk (M )tk
k=1
X
H(u, v) =
hp,q (M )up v q
0≤p,q≤n
entonces se tiene que P (t) = H(t, t).
Corolario 5.8. Si M es una variedad Kähler, la conjugación de formas induce un isomorfismo
H p,q (M ) = H q,p (M ).
Demostración. Obvio para K p,q = H p,q (M ).
En particular, si k es impar, entonces HCk (M ) se descompone en la suma de k + 1 (que es
par) sumandos isomorfos dos a dos y, por tanto, su dimensión debe de ser par. Esto induce una
fuerte restricción en la topologı́a de las variedades Kähler.
Corolario 5.9. En una variedad Kähler, todos los números de Betti impares, b2k+1 , son pares.
Corolario 5.10. Si M 2n es una variedad Kähler con forma Kähler ω, entonces, para todo
0 ≤ p ≤ n, 0 6= [ω p ] ∈ H p,p (M ) para 0 < p ≤ n. En particular, hp,p 6= 0 para todo 0 ≤ p ≤ n.
31
Referencias
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mathematics edition, 1982.
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[8] Jürgen Jost. Riemannian geometry and geometric analysis. 6th ed. Berlin: Springer, 6th ed. edition, 2011.
[9] Raymond O. jun. Wells. Differential analysis on complex manifolds. With a new appendix by Oscar GarciaPrada. 3rd ed. New York, NY: Springer, 3rd ed. edition, 2008.
[10] Sébastien Picard. Introduction to the Yang-Mills Equations. McGill University (Project for the course PDE
II), 2012.
[11] Michael Reed and Barry Simon. Methods of modern mathematical physics. I: Functional analysis. New York
etc.: Academic Press, A Subsidiary of Harcourt Brace Jovanovich, Publishers, XV, 400 p. 24.00 (1980).,
1980.
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Houston, TX: Publish or Perish, 3rd ed. with corrections edition, 1999.
[13] Gerald Teschl. Mathematical methods in quantum mechanics. With applications to Schrödinger operators.
2nd ed. Providence, RI: American Mathematical Society (AMS), 2nd ed. edition, 2014.
[14] Frank W. Warner. Foundations of Diferentiable Manifolds and Lie Groups. Springer, 1971.