y x = log b x = 10000 4 = log 10 10000 = 8 3 = log 2 8 = 1 0 = log 3 1

Guía de estudio
Funciones logarítmicas
Unidad B: Clase 30
Camilo Ernesto Restrepo Estrada, Lina María Grajales Vanegas y Sergio Iván
Restrepo Ochoa1.
8. Función logaritmo
Definición: Para b > 0 y b ≠ 0 entonces se define el logaritmo en base b de x
como
y = log b x si y sólo si b y = x
Ejemplo 1
a. log10 10000 = 4 porque 104 = 10000
b. log 2 8 = 3 porque 23 = 8
c. log3 1 = 0 porque 30 = 1
d. log10 0, 01 = −2 porque 10−2 = 0, 01
Propiedades generales de la función logaritmo
1.
logb b = 1
2.
logb 1 = 0
3.
blogb x = x
4.
log b b x = x
De las propiedades 3 y 4 se sigue que las funciones exponenciales y
logarítmicas son inversas.
Camilo Ernesto Restrepo Estrada. Facultad de Ciencias Económicas Universidad de Antioquia. Dirección
electrónica: [email protected]. Lina María Grajales Vanegas. Facultad de Ciencias Económicas Universidad
de Antioquia. Dirección electrónica: [email protected]. Sergio Iván Restrepo Ochoa. Facultad de
Ciencias Económicas Universidad de Antioquia. Dirección electrónica: [email protected].
1
185
Leyes de los logaritmos
Para b > 0 y b ≠ 0 sean x , y , n números reales tales que x > 0 y y > 0
x
 = log b x − log b y
 y
1. logb 
2. logb ( x ⋅ y ) = logb x + log b y
3. log b x n = n log b x
Ejemplo 2
Escriba la siguiente expresión como un solo logaritmo
5 log3 x + 4 log3 ( x + 3) − 2 log3 ( x3 − 2)
Solución
5 log3 x + 4 log3 ( x + 3) − 2 log3 ( x 3 − 2) = log 3 x5 + log 3 ( x + 3)4 − log 3 ( x3 − 2)2
= log 3 x5 ⋅ ( x + 3)4 − log 3 ( x 3 − 2)2
 x5 ⋅ ( x + 3)4 
= log 3 
3
2 
 ( x − 2) 
Fórmula Cambio de base
logb x =
log a x
log a b
Las bases más conocidas son la base 10 y la base e que se denotan de la
siguiente forma
log10 x = log x
se llama logaritmo común
log e x = ln x
se llama logaritmo natural
Por tanto
y = ln x si y sólo si las e y = x
186
Propiedades de la función logaritmo
1.
El dominio de g ( x ) = log b x es ( 0, +∞ )
2.
El rango de g ( x ) = log b x es ( −∞, +∞ )
3.
La intersección eje x de g ( x ) = log b x es (1, 0 )
4.
La función es inyectiva
Propiedades como inversas
1.
ln e x = x
2.
eln x = x
( 0,1)
(1, 0 )
Ejemplo 3
Usar las propiedades de los logaritmos para escribir la expresión como suma,
diferencia y/o multiplicación de los logaritmos.
2
= ln 2 − ln 3
3
1.
ln
2.
1
ln = ln 1 − ln 5 = − ln 5
5
3.
ln a − 1 = ln ( a − 1)
187
1
2
1
= ln ( a − 1)
2
Ejemplo 4
Escribir la expresión
2
ln x 2 + 1 − ln ( x + 1) − ln ( x − 1)  como el logaritmo de una

3
(
)
cantidad
Solución
2
2
ln x 2 + 1 − ln ( x + 1) − ln ( x − 1)  = ln x 2 + 1 − ln ( x + 1) + ln ( x − 1)  

3
3
2
= ln x 2 + 1 − ln ( x + 1)( x − 1) 
3
(
)
(
)
(
)
2
ln x 2 + 1 − ln x 2 − 1 

3
x2 + 1 
2

= ln 2
3
x
−
1


=
(
(
(
 x2 + 1 
= ln  2 
 x −1 
)
)
)
(
)
2
3
 x2 + 1 
= ln 3  2 
 x −1 
2
9. Ecuaciones Exponenciales y logarítmicas
Una ecuación en la cual la incógnita se presenta como exponente se denomina
Ecuación exponencial, y si la incógnita se presenta en la base o en el
argumento de un logaritmo se llama ecuación logarítmica.
Ejemplo 5
Resuelva la siguiente ecuación exponencial: e2 x + 2e x − 8 = 0
Solución
e2 x + 2e x − 8 = 0
(e x − 2)(e x + 4) = 0
ex − 2 = 0 ó ex + 4 = 0
e x = 2 ó e x = −4
188
De la ecuación e x = 2 se sigue que x = ln 2 pero e x = −4 no tiene solución ya
x
que e > 0 para toda x .
Ejemplo 6
Resuelva las siguientes ecuaciones logarítmicas
log 2 x − log( x − 1) = 0
1.
2.
log x− 2 (3 x + 4) = 2
Solución
1.
log 2 x − log( x − 1) = 0 ⇒ log 2 x = log( x − 1)
⇒ 2x = x −1
⇒ 2 x − x = −1
⇒ x = −1
Se verifica la respuesta, y se tiene que esta ecuación no tiene solución ya que
log 2(−1) − log(−1 − 1) no está definido.
2.
log x −2 (3x + 4) = 2 ⇒ ( x − 2)2 = 3x + 4
x 2 − 4 x + 4 = 3x + 4
x 2 − 4 x − 3x + 4 − 4 = 0
x2 − 7 x = 0
x( x − 7 ) = 0
x=0 ó x=7
x = 0 no es solución de la ecuación ya que la base x − 2 > 0 por la definición de
logaritmo. Así la única solución es x = 7 .
Referencia
•
Stewart, James. Cálculo Conceptos y contextos. Editorial Thomson.
Tercera edición, 2006.
•
Purcell, Edwin. Dale, Varberg y Steven E. Rigdon. Cálculo. Pearson Prentice-Hall. Novena edición, 2007.
•
Larson, R., Edwards, B.H., Hostetler, R.P. Cálculo Esencial. Editorial
CEGANGE Learning. Primera edición, 2010.
189