Ejercicios Resueltos Cap´ıtulo 2: Números Reales. 1) Dado que la

Ejercicios Resueltos Capı́tulo 2: Números Reales.
1)
Dado que la concentración del agua es nula se considera al 0 %. Ası́:
V1
3
1
+ V2 0 = 7
10
5
, y dado que
donde V1 es una solución, y V2 es el agua. De esto se tiene que V1 = 14
3
7
V1 + V2 = 7 tenemos que V2 = 3 . Por lo tanto se debe utilizar una cantidad aproxima de
4, 6ml de una solución al 30 % de glucosa y una cantidad de 2, 3ml de agua para lograr
lo deseado.
3)
Dado que el acido se desea en estado puro, consideramos su concentración al 100 %.
Ası́:
3
1
10 + V2 = (10 + V2 ) ,
10
2
y de esto se tiene que V2 = 4ml es la cantidad necesario de acido puro.
4)
11 %
5)
Si tenemos que en gas seco, PO2 = 760 · 0, 21 ≈ 159, 6 y en gas húmedo, PO2 =
(760 − 47) · 0, 21 ≈ 149, 73. Entonces la presión parcial en gas seco es ligeramente mayor
a la presión parcial en gas húmedo.
6)
Volumen al final de la diástole: 140, Volumen final de la sı́stole: 70, Frecuencia Cardiaca: 75, Volumen latido=70, Gasto Cardiaco: 5250, Fracción de expulsión: 1/2.
7)
Dado que [RV ]P AH = [P AH] en vena renal, se sigue que
[P AH] =
(F P R) · (RA)P AH − UP AH · V
FPR
10)
Si C − V < 12 Obtenemos que x2 − 11x < 0,luego x ∈ (0, 11). Si V − C < 12 se tiene
que −x2 +11x−24 < 0, cuyo conjunto solución es (−∞, 3)∪(8, ∞). Finalmente la solución
general es el conjunto {(−∞, 3) ∪ (8, ∞)} ∩ (0, 11) = (0, 3) ∪ (8, 11). que representa los
rango de edad de mayor riesgo para contraer esta enfermedad.
11)
2
t+1
Fijamos a. Deseamos que
ta <
a, que es equivalente a que t < 25
≈ 1, 08.
23
25
24
Esto es, para una edad aproximada de un año la dosis según Regla de Friend es menor
que la dosis según Regla de Cowling.
12)
√
Para P ≥ 20000 tenemos que 15000 + 3t + 2000 ≥ 2000, ası́, t ≥ 23000/3 luego
después de 7 años y 8 meses la población será de al menos 20 mil personas.
13)
Si h = 1600 entonces d = 64/15, y si h = 2300 se tiene que d = 92/15, siendo estos el
mı́nimo y máximo retardo para un fruto que florece entre los 1600 y 2300 metros sobre el
nivel del mar.
14)
Tenemos que 70 ≤ em
100 ≤ 120 donde em representa la edad mental, luego 14 ≤ e y
20
e ≤ 24, esto es, [14, 24] es el intervalo de variacion de la edad mental del grupo.
15)
74x
< 8 donde x representa los mg por
8x + 3
dósis, esto es, x es una variable positiva. Ası́ se tiene que
Establecemos la siguiente inecuación 4 <
4(8x + 3) < 74x y 74x < 8(8x + 3)
Esto es, la cantidad de dósis que se debe administrar se encuentra entre 4/7 y 12/5 mg
para que el fármaco tenga efecto más de 4 horas y menos de 8 horas.
16)
De la relación dada, obtenemos que 20 96 ≤ F − 32, y que F − 32 ≤ 30 59 , de esto se
obtiene que [68, 86] es el intervalo en la escala Fahrenheit buscado.
17)
Usando 16) tenemos que F = C 59 + 32, y de esto se tiene que 50 ≤ C 95 + 32 y
95 ≥ C 95 + 32 ası́ 10 ≤ C ≤ 35 es el rango buscado.
18)
2
Para N < 4000 tenemos que t1000
2 +1 + 2000 < 4000, ası́, 4 < t luego t ∈ (2 , ∞), esto es,
para un tiempo mayor a 2 minutos el número de bacterias está por debajo de 4000.
19)
> 4, ası́, 0 > t2 + 4 − 5t luego t ∈ (1, 4), esto es, entre 1 y
Para C > tenemos que t220t
+4
4 horas se ha excedido el nivel.
20)
Necesitamos que P ≥ 6. Entonces 6 ≤ −2t2 + 8t cuyo conjunto solución es [1, 3].
Ası́ entre las 12 y 15 hrs es posible realizar el examen.
21)
Si ya ha consumidoo 80gr de proteinas, a consumido 320 cal. Luego, Si C representa
la cantidad de Carbohidratos en cal, establecemos que C − 320 ≤ 5. Esto es, C ≤ 325, y
dado que 1gr de carbohidrato equivale a 9 cal tenemos que 325/9 ≈ 36, 1 es la cantidad
de carbohidratos, en gramos, que se debe consumir.
22)
Para P > 62 se tiene que 18t − t2 + 6 > 62, cuyo intervalo solución es (4, 14), esto
es, el paciente se encuentra en riesgo vital entre 4 y 14 horas posteriores al ingerir el
medicamente vencido.
Capı́tulo 2 ( pag 45 )
2
, tenemos que en t = 0 f (0) = 1/2, esto es, 500 personas
1 + 3e(−0,8t)
son infectadas al cabo de 0 semanas, es decir, al comienzo del brote. Por otro lado para
un número grande de semanas, calculamos lı́m f (t) = 2. Ası́ un total de 2000 personas
t→∞
estarn infectadas al cabo de muchas semanas.
1) Si f (t) =
2) Si f (x) =
100
donde x representa el tiempo en horas y f (x) es la cantidad en
x
2 46,5
miligramos. Tenemos que en f (24) ≈ 70, esto es, al cabo de 24 hrs quedaran 70 [mg].
Ahora si y = f (x), se sigue que x = ln(100/y) 46,5
. Ası́
ln 2
f −1 (x) = ln(100/y)
46, 5
,
ln 2
por lo tanto para x = 25 se tiene que f −1 (25) ≈ 92, 4. Lo que quiere decir que al transcurrir 92 horas quedaran 25[mg].
3)Si al transcurrir 2 horas la concentración interior es 0,8 % de la concentración exterior
2
tenemos que f (2) = 250
C, esto es,
C(1 − e−k2 ) =
2
C
250
y ası́ k = −1/2 ln( 496
) ≈ 0, 00401, luego k representa una constante de degenaración.
500
4) Dado que t = 0 representa el primer dı́a, t = 6 representa una semana, ası́
f (6) = 4 + 6e−k6 = 4600,
luego k = −1/6 ln(4596/6) ≈ −1, 106. Además tras 15 dı́as f (15) ≈ 74, 25 representa el
número de parásitos.
5) La concentración al cabo de un minuto es de x(1) ≈ 0, 116[gr/cm3 ]. Ahora bien
para determinar el tiempo t, pedido hacemos
2
2
9
=
+ e−0,02t
50
25 25
1
, que es buscar el valor f −1 (9/50), despejando t, se obtiene que t = − 0,02
ln(5/6), que
aproximadamente es un tiempo de 9, 116 segundos.
6) Para una conversación normal tenemos que 60 = 10 log10 (x1 /10−12 ), mientras para
un concierto de rock tenemos que 110 = 10 log10 (x2 /10−12 ). Despenjando x1 , x2 se obtiene
que
x1 = 106 10−12 = 10−6 , x2 = 1011 10−12 = 10−1 ,
ambos medidos en vatios/[cm3 ]., luego haciendo la diferencia entre x1 y x2 se obtiene
que un concierto de rock es 0, 09 veces más intenso que una conversación normal. Ahora
para obtener el umbral de dolor, tenemos que este se acalza cuando el nivel de sonido es
10 veces más intenso que en un concierto, esto es, 10·10−1 = 1, luego D(1) = 120 decibeles.
B
8) Hacemos A = B3 , y
= Be−n/10 , despejando n, obtenemos que n = −10 ln(1/3),
3
esto es, en un lapso de aproximadamente 11 dı́as se obtiene lo deseado.
9) El valor original se obtiene haciendo V (0) ≈ 750,000, para 5 aos, se tiene que el
valor es de V (5) ≈ 584,100. Para calcular el número de aos para que alcance un valor
de 250,000 hacemos V(t)=250.000 y al despejar t se obtiene t = −1/0,05 ln(1/3), que
aproximadamente resulta en 22 años.
11) Si
f (x) =
entonces
µ
ln
f (x)
1 − f (x)
¶
1
1 + e−(b+mx)
µ
= ln
Finalmente
µ
ln
=
eb+mx
eb+mx + 1
eb+mx
· (ebm+x + 1)
eb+mx + 1
f (x)
1 − f (x)
¶
= ln(eb+mx ).
¶
= bm + x.
12) Para k = 1, donde L(x) = 9/10A, se tiene que 9/10A = 1 − e−x y de esto
x = − ln(1/10) ası́ para lo desado el pez debe tener aproximadamente dos aos. En lo que
respecto si es posible que L(x) = A esto sucede si yo solo si 1 = 1 − e−kx que equivalente
a decir que 0 = e−kx y para ello tendrı́a que ocurrir que el pez viviera indefinidamente (
x → ∞ ), y dado que el pez muere algún dı́a nunca podrá alcanzar la longitu A.
Capı́tulo 2 ( pag 27 )
3) La ecuación lineal la deducimos ocupando los puntos (x1 , y1 ) = (210, 0,16), (x2 , y2 ) =
(231, 0,192), de esto se obtiene la pendiente m = 4/2625, ası́
(y − 0,16) =
4
(x − 210).
2625
4
Por lo tanto f (x) = 2625
x−
260 es de f (260) = 0,236.
4
.
25
De esta manera el nivel de riesgo para un colesterol de
4) La ecuación lineal la deducimos ocupando los puntos (x1 , y1 ) = (4, 17), (x2 , y2 ) =
(7, 33), de esto se obtiene la pendiente m = 16/3, ası́
(y − 17) =
16
(x − 4).
3
x − 13
. Ahora bien, para pronosticar lo deseado encontramos la
Por lo tanto f (x) = 16
3
3
funciø’n inversa de f, que viene dada por
µ
¶
3
13
−1
f (x) =
x+
.
16
3
Ası́ f −1 (50) ≈ 10, 1 por lo tanto al cabo de 10 años se tiene que la mitad de los pacientes
tendrá Sida.
5) Primeramente note que desde 2002 a 1990 han transcurrido 12 años y que P (12) =
14, además consideramos que t = 0 para 1990, ası́ la ecuación lineal la deducimos ocupando
los puntos (x1 , y1 ) = (0, 10), (x2 , y2 ) = (12, 14), de esto se obtiene la pendiente m = 1/3,
ası́
1
(y − 10) = (x − 0).
3
1
Por lo tanto p(x) = 3 x + 10.
6) La ecuación lineal la deducimos ocupando los puntos (x1 , y1 ) = (1, 0), (x2 , y2 ) =
(10, 4,5), de esto se obtiene la pendiente m = 1/2, ası́
1
(y − 0) = (x − 1).
2
Por lo tanto f (x) = 12 x − 12 . La cantidad de tejido transcurridos 30 dı́as es de f (30) ≈
14,5[mm2 ]. Por último hacemos f (x) = 100 y al despejar x obtenemos x = 201 dı́as para
obtener lo deseado.
7) La función D es lineal en t que se reescribe como
D(t) =
a
a
t+
24
24
cuya gráfica es una recta de pendiente m = a/24 y coeficiente de posición b = a/24, luego
dado que a/24 = tg(θ) si a → ± entoces θ → 0 y si a → ±∞ entonces θ → π/2. De
igual manera para valores de a < 0 el intercepto con el eje y será negativo, y para a > 0
será positivo.
Por otro lado si a = 500 y D(t) = 125[mg] entonces t = 5, esto es, en 5 aos es la edad del
infante para administrar dicha dosis.
8) Reescribimos T como T (x) = −x2 + 4x − 3, al hacer T (x) = 0 obtenemos que
x1 = 3, x2 = 1 son las raices de la ecuación y dado que a := −1 < 0 se tiene que (1, 3)
es el intervalo de valores positivos para T (x), mientras que la temperatura máxima se
alcanza en x = −b/2a = −4/(2 · −1) = 2 segundos.
9) Para G(t) = 100 % tenemos que G(t) − 100 = 0, que es una ecuación con raı́ces
t1 = 8, t2 = −8, ası́ el grado máximo se alcanza a los 8 minutos, luego para G(t) = 0, se
obtiene las raı́z t= 16, esto es, a los 16 minutos ya no hay efecto.
10)Los ceros de la función A(t) son t1 = −5, 32, t2 = 7, 32, y dado que t es el tiempo,
y a := −0, 1 se tiene que el intervalo de tiempo para el problema es [0, 7,32], además el el
valor máximo de A se alcanza en t = 1, con A(1) = 4, pues la parábola alcanza su punto
máximo en x = 1.
11) Para C(t) = 8 tenemos que c(t) − 8 = 0, que es una ecuación con raı́ces t1 =
4, t2 = 2, ası́ se obtiene una concentraciń de 8[mg] a las 2 y 4 horas.
12) Supongamos que C = 1,76 · 105 y R = 1,2 · 10−2 [cm]. Para calcular S(r) en el eje
central hacemos S(0) = C · R2 = 1,76 · 105 (1, 2)2 · 10−4 = 25, 344[cm/s]. Para calcular S(r)
tal que d(r, P a) = d(r, ejeC) hacemos S(R/2) = C(R2 − R2 /4) = 19, 008[cm/s].
13) Para la función f , se tiene que su dominio es R − {100} y su recorrido es R − {−1}