´Atomo de hidrógeno

Chapter 6
Átomo de hidrógeno
Este sistema está compuesto por dos partı́culas; el núcleo con masa mn , carga
~ y el electrón con masa me , carga −e y que
Ze que se encuentra en la posición R
se encuentra en ~re . Para este sistema, el hamiltoniano tiene la forma
!
1 (Ze)(−e)
~2 2
~2 2
~ ~re ) = EΨ(R,
~ ~re )
Ψ(R,
(6.1)
∇ −
∇ +
−
~ − ~re |
2mn R~ 2me ~re 4πǫ0 |R
Por fortuna, aún cuando el sistema es de dos partı́culas éste se puede reducir al
definir las variables
~ − ~re ,
~s = R
(6.2)
y
~
~ cm = mn R + me~re ,
R
(6.3)
mn + me
Haciendo uso de esta nuevas variables la ecuación de Schroedinger del átomo
de hidrógeno toma la forma
~2 2
1 Ze2
~2 2
~ cm , ~s) = EΨ(R
~ cm , ~s)
∇R~ −
∇~s −
Ψ(R
(6.4)
−
cm
2M
2µ
4πǫ0 |~s|
Ası́, es natural ver al hamiltoniano como dos contribuciones
~ cm , ~s) = EΨ(R
~ cm , ~s),
ĤR~ cm + Ĥ~s Ψ(R
con
ĤR~ cm = −
y
Ĥ~s = −
~2 2
∇
2M R~ cm
~2 2
1 Ze2
∇~s −
.
2µ
4πǫ0 |~s|
(6.5)
(6.6)
(6.7)
Esto permite desacoplar la ecuación de Schroedinger al proponer a la función
de onda como
~ cm , ~s) = Φ(R
~ cm )ψ(~s),
Ψ(R
(6.8)
25
teniendo que resolver ahora dos ecuaciones diferenciales
−
~2 2
~ cm ) = Ecm Φ(R
~ cm )
Φ(R
∇
2M R~ cm
(6.9)
y
−
~2 2
1 Ze2
∇~s −
2µ
4πǫ0 |~s|
ψ(~s) = Es ψ(~s),
(6.10)
Ecm y Es son tales que
E = Ecm + Es
(6.11)
Al igual que en el oscilador armónico, es conveniente hacer un escalamiento
de la variable ~s, ası́ se propone ~s = α~r para obtener la ecuación diferencial
1 Ze2
~2
2
∇ −
ψ(~r) = Es ψ(~r).
(6.12)
−
2µα2 ~r 4πǫ0 α|~r|
La α es elegida de tal forma que
e2
~2
=
= Ea ,
µα2
4πǫ0 α
con lo que la ecuación diferencial queda de la forma
Ea
Ea
− ∇~r2 −
ψ(~r) = Es ψ(~r),
2
|~r|
o también
1
1
− ∇~r2 −
2
|~r|
ψ(~r) = (Es /Ea )ψ(~r),
(6.13)
(6.14)
(6.15)
Definiendo
se obtiene
E = Es /Ea
(6.16)
(6.17)
1
1
− ∇~r2 −
2
|~r|
ψ(~r) = Eψ(~r).
Por conveniencia el laplaciano no se etiqueta que depende de ~r
1
1
− ∇2 −
ψ(~r) = Eψ(~r).
2
|~r|
(6.18)
El valor de α se obtiene de la ecuación 6.13
α=
4πǫ0 ~2
µe2
(6.19)
Antes de evaluar a α es importante saber el valor de µ, de su definición
µ=
mn me
mn + me
(6.20)
Jorge Garza
Curso práctico de estructura electrónica
es posible reducirla ya que mn >> me y por lo tanto
µ ≈ me
ası́ α tendrá la forma
α=
(6.21)
4πǫ0 ~2
me e2
(6.22)
Los valores de las constantes fı́sicas involucradas para obtener el valor de α se
encuentran en la siguiente tabla
Cantidad fı́sica
ǫ0
me
e
~
Valor
8.8542 × 1012 C2 /(N m2 )
9.1095×10−31 kg
1.6022×10−19 C
1.0546×10−34 J s
Al sustituir estos valores en la expresión de α se encuentra que
α = a0 = 5.2918 × 10−11 m
(6.23)
Lo primero que debemos de comentar sobre esta cantidad es que tiene
unidades de longitud y por lo tanto ~r es adimensional. Además, es importante
mencionar que el valor de α corresponde al valor de la primer órbita de Bohr en
el átomo de hidrógeno cuando se trata con las primeras ideas de cuantización.
Naturalmente, con el valor de α se puede encontrar el valor de Ea ,
Ea =
e2
= 4.3598 × 10−18 J.
4πǫ0 α
(6.24)
Es evidente que los valores de α y Ea son muy pequeños con lo que se propone
manejar a la energı́a E y a la posición ~r en unidades de Ea y α respectivamente.
Ası́ tendremos a la energı́a en múltiplos de Ea y a la distancia en múltiplos de
a0 .
La solución del átomo de hidrógeno se escribe como el producto de dos
funciones, una función que depende de la parte angular (φ, θ) y otra que depende
de la parte radial r (r = |~r|). Ası́, la solución de este problema tiene la forma
ψk (r) = ψnk ,lk ,mk (r) = Rnk ,lk (r)Ylk ,mk (θ, φ).
(6.25)
En la ecuación anterior, Yl,m representa un armónico esférico y la parte
radial, Rn,l (r), de la función de onda es escrita como
Rn,l (r) = rl e−Zr/n
n−l−1
X
bj r j ,
(6.26)
j=0
con
bj+1 =
2Z (j + l + 1 − n)
bj ; j ≥ 0.
n (j + 1)(j + 2l + 2)
(6.27)
Z representa la carga nuclear de un átomo hidrogenoide, n al número cuántico
principal, el cual puede tomar los valores n = 1, 2, 3, .., ∞. l y m son otros dos
números cuánticos, que están asociados al operador de momento angular, con
valores l = 0, 1, 2, .., n − 1 y m = −l, −l + 1, ..0, .., l − 1, l.