µ 2 R,
✓ > 0,
normal
gamma
>0
X ⇠ gamma(✓, )
)
X ⇠ exp( )
2
X ⇠ unif(a, b)
a, b 2 R, a < b
uniforme
X ⇠ N (µ,
continua
X ⇠ Poisson( )
>0
Poisson
>0
continua
X ⇠ BN(r, p)
r 2 N , p 2 (0, 1)
binomial
negativa
⇤
>0
discreta
X ⇠ geom(p)
p 2 (0, 1)
geométrica
exponencial
discreta
X ⇠ bin(n, p)
n 2 N , p 2 (0, 1)
binomial
⇤
continua
continua
discreta
discreta
discreta
X ⇠ Bernoulli(p)
p 2 (0, 1)
Bernoulli
[0, 1)
R
[0, 1)
[a, b]
{0, 1, 2, . . .}
{r, r + 1, . . .}
{1, 2, 3, . . .}
{0, 1, . . . , n}
{0, 1}
=
pX (1)
1
p
k
r
b
fX (x) =
e
x
x
a
[a,b] (x)
[0,1) (x)
(x µ)2
2 2
1
p
k
k r r
p
[0,1) (x)
1
e
2⇡
1
( x)✓
(✓)
fX (x) = p
fX (x) = e
fX (x) =
k!
1
p)n
p
p)
k
p)k
◆
1
(1
1
pX (k) = e
pX (k) =
✓
pX (k) = (1
✓ ◆
n k
pX (k) =
p (1
k
=
pX (0)
Cuadro 1: Resumen distribuciones
tipo
soporte
distribución
notación
parámetros
nombre
✓
µ
1
a+b
2
r
p
1
1
p
p
p)
p)
(b
2
✓
2
2
1
a)2
12
r(1 p)
p2
p2
np(1
p(1
varianza
np
p
esperanza
✓
✓
1
1
(1
t
t
◆✓
1
◆r
8t <
t
2 2
8t <
eta
a)
(et 1)
etb
t(b
e
pet
(1 p)et
pet
(1 p)et
p + pet )n
p + pet
eµt+ 2
1
f.g.m.
MA3403: Probabilidades y Estadística
Profesor Joaquín Fontbona T.
P. Aux. Luis Fredes
Semestre Otoño, 2015
Universidad de Chile
Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
Departamento de Ingeniería Matemática
AUXILIAR 7: CAMBIOS DE VARIABLE Y OTROS
Método del Jacobiano: Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad fX asumiendo
valores en GX , g una función biyectiva con g : GX ! G con inversa h, donde g y h son diferenciables e
Y = g(X), entonces
fY (y) = |Jh (y)|fX (h(y))
Esperanza.
Sean X v.a, se define
Propiedades.
(1)
(2)
(3)
(4)
8 X
<
x i · pi
E(X) = R i2I
:
x · fX (x)dx
caso discreto
caso continuo
Si
Si
Si
Si
X = ↵, entonces E(X) = ↵
X, Y son variables aleatorias, entonces E(↵X + Y ) = ↵E(X) + E(Y )
X 0, entonces E(X) 0
X v.a. y : R ! R, se tiene entonces
8 X
<
(xi ) · pi
caso discreto
E( (X)) = R i2I
:
(x) · fX (x)dx caso continuo
(5) Si X e Y son variables aleatorias independientes, entonces E(XY ) = E(X) · E(Y ).
Varianza. Si X e Y son variables, se define la varianza de X como:
V ar(X) = E((X
E(X))2 )
Propiedades.
(1) Si X = ↵, entonces V ar(X) = 0.
(2) V ar(↵X + ) = ↵2 V ar(X).
(3) Si X e Y son independientes, V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y ).
Covarianza y Correlación. Sean X e Y dos variables aleatorias, se define covarianza y correlación respectivamente:
Cov(X, Y ) = E (X
⇢(X, Y ) = p
E(X)) · (Y
Cov(X, Y )
E(Y ))
V ar(X) · V ar(Y )
Propiedades.
(1) Cov(X, Y ) = Cov(Y, X).
(2) Cov(X + ↵Y, Z) = Cov(X, Z) + ↵Cov(Y, Z).
(3) Si X e Y son independientes, entonces Cov(X, Y ) = 0.
1
Esperanza Condicional. Sean X e Y dos variables aleatorias, se define la variables aleatoria (función de
Y)
8X
<
xi · P(X = xi |Y = y) caso discreto
E(X|Y = y) = i2I R
:
x · fX|Y (x|y)dx
caso continuo
Propiedad.
E(E(X|Y )) = E(X)
P1. (a) Sean (X1 , X2 ) v.a. conjuntamente continuas con densidad fX1 ,X2 . Calcule en función de f la
densidad del par de v.a. p12 (X1 + X2 , X1 X2 ). ¿Cuál es la interpretación geométrica de estas
nuevas variables? Deduzca que si (X1 , X2 ) son dos v.a. normales centradas reducidas (es decir,
con media 0 y varianza 1) independientes, entonces p12 (X1 + X2 , X1 X2 ) también lo son.
(b) Sean U1 , U2 v.a’s independientes, ambas con ley uniforme [0, 1]. Pruebe que las variables
aleatorias X1 , X2 definidas por
p
X1 :=
2 ln(U1 ) cos(2⇡U2 )
y
p
X2 :=
2 ln(U1 ) sin(2⇡U2 )
Son dos variables aleatorias normales centradas y reducidas independientes.
(c) Sabiendo que con un computador se puede generar v.a. uniformes [0, 1] independientes, deduzca
un método para simular en él v.a. Gaussianas de media µ y varianza cualesquiera.
P2. Sea A ✓ R2 como en la figura, y sea (X, Y ) un vector aleatorio uniformemente distribuido sobre A,
es decir, f(X,Y ) (x, y) = área(A) 1 1A (x, y).
(a) Muestre que fX (x) = 2 3|x| 1[ 1,1] (x). Calcule también la densidad marginal de Y .
(b) Deduzca que E(X) = 0 y muestre que cov(X, Y ) = 0.
(c) Son X e Y v.a independientes? justifique.
P3. Usted posee una barra de largo L, y le hace un corte X de manera uniforme en [0, 1]. Luego usted
hace otro corte pero ahora de manera uniforme en [X, L], como se muestra en la figura. Calcule la
densidad y esperanza de Y .
Indicación: Puede serle útil que, E(Y ) = E(E(Y |X)).
P4. Si la densidad conjunta de X e Y esta dada por
fXY (x, y) = c(x + y + 1 + xy)1[0,1] (x)1[0,1] (y)
. Encuentre c y diga si X e Y son independientes.
2
0
