Cálculo de Probabilidades II Respuestas Tema 3 1. Sean X y Y v.a.

Cálculo de Probabilidades II
Respuestas Tema 3
1. Sean X y Y v.a. con segundo momento finito
(a) La desigualdad de Cauchy - Schwarz se da sii
P (Y = a + bX) = 1
para constantes a, b ∈ <, b 6= 0.
(b)
|ρX,Y | = 1 ↔ ∃a, b ∈ < con b 6= 0
tal que y = a + bx con probabilidad 1.
(c)
n
n
X
X
V(
ci x i ) =
V (ci xi )
i=1
=
i=1
n
X
c2i V ar(xi ) + 2
i=1
X
ci cj Cov(xi , xj )
i<j
P
P
n
m
X
X
cov( ni=1 ai xi , m
j=1 bj yj )
ρ(
ai x i ,
bj yj ) =
Pn
Pm
σ i=1 ai xi , σ j=1 bj yj
i=1
j=1
Pn Pm
j=1 ai bj cov(xi , yj )
i=1
qP
= qP
P
P
n
n
2 V ar(x ) + 2
2
a
a
a
Cov(x
,
x
)
i
j
i
i=1
i<j i j
i=1 b V ar(yi ) + 2
i<j bi bj Cov(yj , yi )
2. Sea
x¯p = 60
σ 2 = 64
Una generacion de n = 100 tuvo x¯m = 58
P (x¯m ≤ 58) = P (zm ≤ −0.5)
= 1 − φ(.25)
= 0.4013
Si se puede afirmar eso porque la probabilidad de que alguna generaccion tenga
promedio menos o igual a 5.8 es poco menos que 0.5.
3. Sea X = sobrevivientes, Y = sobrevivir y P(Y) = 0.85
(a)
P (X ≥ 50) = 1 − φ(9.80)
(b)
P (X ≥ 5) = 1 − φ(5.60)
1
4. Sea X = numero de votantes
(a)
90 − 200( 21 )
P (X ≥ 90) = P (Z ≥ q
)
11
200 ∗ 2 2
= 1 − φ(−1.41)
= φ(1.41)
(b)
P (X ≥ 90) = P (Z ≥ −0.4472)
= φ(0.4472)
5. Sea Y = numero de reclamos. Obtener un estimador de probabilidad de Y.
P (Y = 0) = 0.8939
P (Y = 1) = 0.0728
P (Y = 2) = 0.03193
P (Y = 3) = 0.00128
E(Y ) = 0.1405
Sea
n = 100 → 100 ∗ E(Y ) = 14.05
(numero promedio de reclamos totales) Sea X = monto de reclamo
(a)
FX = 1 − e−0.001x I<+ (x)
(b)
fX = (0.001)e−0.001x
(c)
∞
Z
(0.001)xe−0.001x dx = 1000
E(X) =
0
(d)
El
costo esperado de los reclamos es 100 ∗ 1000
(e)
V (X) = 1000000
σX 1000,
100 casos = 100000
2
6. Por demostrar que
|ρ| = 1 ↔ ∃ a,
b ∈ <, b 6= 0
Y
P (Y = a + bx) = 1
Demostracion con la desigualdad de Cauchy Schwarz
Sea X1 y X2 v.a. con segundos momentos finitos.
q
|E(X1 X2 )| ≤ E(X12 )E(X22 )
Sea
y 1 = x 1 − µ1
y2 = x2 − µ2
→ E(y1 y2 ) = E[(x1 − µ1 )(x2 − µ2 )]
= Cov(x1 , x2 )
E(y12 ) = V ar(x1 )
E(y22 ) = V ar(x2 )
q
|E(y1 y2 )| ≤ E(y12 )E(y22 )
p
↔ |Cov(x1 , x2 )| ≤ V ar(x1 )V ar(x2 )
|cov(x1 , x2 )|
↔p
≤1
V ar(x1 )V ar(x2 )
↔ |ρx1 ,x2 | ≤ 1
7.
Xk ∼ χ2k
χ2 (x)
limk→∞ k
= N (1,
k
r
2
)(x)
k
8.
σ
) ≤ 0.99
4
σ
↔ 1 − P (|X̄n − X̄| ≥ ) = 1 − 0.99
4
X
nσ
↔ P (|
xi − µ| ≥
) ≤ 0.99
4
P (|X̄n − X̄| <
Como 0.99 =
σ2
k2
por la desigualdad de Chebyshev
→n=4
3
9. Sea n = 48, X = numero original y Y = numero redondeado
X
X=
xi
X
Y =
yi
1 1
∼ U (− , )
2 2
1
σ2 =
12
σ2
,k = 2
k2
1
→ P (|X − Y | ≥ 2) ≤
48
P (|X − Y | ≤ 2) ≤
4