EJERCICIOS PARA MAT 2225: TEORÍA DE NÚMEROS RICARDO MENARES Muestre que ac|bc ⇒ a|b. Muestre que (a, b) = [a, b] ⇒ a = b Calcule (n, n + 1) y [n, n + 1] para todo natural n ≥ 1. (Coates) Calcular d = (a, b) y encontrar enteros x, y tales que d = ax + by en los siguientes casos: (i) a = 841, b = 160; (ii) a = 2613, b = 2171; (iii) a = 8991, b = 3293 (b) Encuentre enteros (x, y, z) tales que (1) (a) (b) (c) (2) (a) 6x + 10y + 15z = 1. (3) Pruebe que existen infinitos pares de enteros (x, y) con x + y = 100 y (x, y) = 5. (4) Encuentre todos los enteros no nulos (m, n) tales que 1 1 1 + = . m n 143 (5) Sea n ≥ 2 y k un entero positivo. Pruebe que (n − 1)2 |nk − 1 si y sólo si n − 1|k. (6) Sea n ≥ 2. Muestre que 1 1 1 1 + + + ··· + 2 3 n no es un entero. (7) Sean a, b, n > 1 enteros. Muestre que an − bn - an + bn . √ (8) Sea n > 3 un entero no primo. Muestre que existe un primo p|n tal que p ≤ n. (9) Sea p1 = 2 < p2 = 3 < p3 < · · · la sucesión de los números primos. Sea ω(m) el número de divisores primos de m. Por ejemplo, ω(6) = ω(12) = 2 y ω(pn ) = 1 para todo n. (a) Muestre que log pn = O(log n), n → ∞ (b) Muestre que ω(n) ≤ log(n)/ log 2 (c) Justifique la estimación ∑ log p p|n p ( ω(n) ∑ log pi ) =O , pi n → ∞. i=1 Indicación: la función log x/x es decreciente para x ≥ e. log p (d) Muestre que ω(n) · p ω(n) = O(1), n → ∞. ω(n) (e) Concluir que ∑ log p = O(log log n), n → ∞. p p|n Indicación: use integración por partes. (10) Sea n ∑ S(n) = j2. j=1 (j,n)=1 (a) Muestre que n(n + 1)(2n + 1) ∑ 2 ∑ 2 ( n ) ∑ n2 = j = d S = S(d). 6 d d2 n j=1 (b) Deduzca que d|n d|n ( 2n S(n) 1∑ d) = µ(d) + 3 + . n2 6 d n d|n Indicación: use la fórmula de inversión de Möbius. 1 (c) Concluir ∑ S(n) x2 = + O(x log x). n2 π2 n≤x (11) Sea d(n) el número ∑ de divisores de n (incluyendo los divisores 1 y n). Muestre que d = 1 ∗ 1 y concluya n≤x d(n) = x log x + O(1). (12) (a) Sea f una función multiplicativa tal que f (pα ) → 0 si pα → ∞. Muestre que f (n) → 0 si n → ∞. (b) Justifique que d(·) es una función multiplicativa y muestre que para todo ε > 0, se tiene d(n) = Oε (nε ), n → ∞. (13) Dé un ejemplo de un par de funciones aritméticas totalmente multiplicativas f, g tales que f ∗ g no sea totalmente multiplicativa. ∑ 6 (14) (a) Mostrar que n≤x ϕ(n) x→∞ n = π 2 x + O(log x), ∑ 3 2 (b) Deducir que n≤x ϕ(n) = π2 x + O(x log x), x → ∞. ∑ ≤1 (15) Muestre que para todo x ≥ 1, se tiene n≤x µ(n) n (16) Densidad de los enteros libres de cuadrados. (a) Muestre que L(µ2 , s) = ∑ζ(s)/ζ(2s), para todo s suficientemente grande (b) Deduzca que µ2 (n) = d2 |n µ(d) (c) Concluya que ∑ √ 6 µ2 (n) = 2 x + O( x), x → ∞. π n≤x Facultad de Matemáticas, PUC, Vicuña Mackenna 4860, Santiago, Chile E-mail address: [email protected] 2