Problema

Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I __________________________________________ 11 Objetivos _________________________________________________________________________ 11 Introducción __________________________________________________________________ 12 Contenido ________________________________________________________________________ 12 Notación _______________________________________________________________________ 13 Métodos de inferencia ________________________________________________________________ 14 Inferencia estadística _________________________________________________________________ 15 Pasos en una inferencia ___________________________________________________________ 15 Paso 1 Problema _____________________________________________________________________ 15 Paso 2 Modelado ____________________________________________________________________ 15 P2a Supuestos _____________________________________________________________________ 15 P2b Modelo ______________________________________________________________________ 16 Paso 3 Diseño del experimento _________________________________________________________ 16 P3a Variables _____________________________________________________________________ 16 P3b Datos ________________________________________________________________________ 16 Paso 4 Análisis inferencial _____________________________________________________________ 16 P4a Inferencia _____________________________________________________________________ 16 P4b Decisión ______________________________________________________________________ 17 P4a Inferencia por IC _______________________________________________________________ 17 Estimación________________________________________________________________________ 17 Estimación puntual _______________________________________________________________ 17 1. Insesgado __________________________________________________________________ 18 2. Convergente o consistente _____________________________________________________ 18 3. Eficiente ___________________________________________________________________ 19 4. Suficiente __________________________________________________________________ 19 Verosimilitud ___________________________________________________________________ 19 MLE de una binomial ___________________________________________________________ 20 Análisis por IC ___________________________________________________________________ 20 1 Elección del IC _________________________________________________________________ 20 2 Construcción del IC _____________________________________________________________ 21 IC bilateral ____________________________________________________________________ 21 Margen de error _______________________________________________________________ 22 Dos formas distintas de expresar el IC ______________________________________________ 23 IC unilaterales _________________________________________________________________ 23 P4b Decisión por IC _________________________________________________________________ 23 P4a Inferencia por PH _______________________________________________________________ 24 Análisis por PH ___________________________________________ Error! Bookmark not defined. 1 Elección de la PH _______________________________________________________________ 24 Prueba Bilateral o de 2 colas _____________________________________________________ 24 Prueba Unilateral o de 1 cola _____________________________________________________ 26 2 Comparación __________________________________________________________________ 27 Alternativas de comparación _____________________________________________________ 27 Conclusión fuerte y débil ________________________________________________________ 28 P4b Decisión por PH ________________________________________________________________ 30 Evidencia y significación _________________________________________________________ 30 Redacción ____________________________________________________________________ 30 Igualdad _____________________________________________________________________ 31 Múltiples negaciones ___________________________________________________________ 31 Sentido común ________________________________________________________________ 31 Tres errores para tener en cuenta ___________________________________________________ 31 Paso 5 Verificación y validación _________________________________________________________ 32 P5a Verificación de supuestos ________________________________________________________ 32 P5b Validación ____________________________________________________________________ 32 I Diseño ______________________________________________________________________ 33 1
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
a Tipos de muestreos probabilísticos ___________________________________________________ 33 Error de muestreo _____________________________________________________________ 34 Error de no muestreo ___________________________________________________________ 34 b. Potencia P y errores alfa y beta _____________________________________________________ 35 Error α _________________________________________________________________________ 35 Error β y potencia P ______________________________________________________________ 35 Tener en cuenta _______________________________________________________________ 37 Juicios _______________________________________________________________________ 37 Pruebas Diagnóstico ____________________________________________________________ 37 Potencia estadística P _____________________________________________________________ 38 Factores que afectan a P ________________________________________________________ 38 Tamaño del Efecto de la población __________________________________________________ 39 Curvas de Potencia _____________________________________________________________ 40 Cálculo de P (o de β) ______________________________________________________________ 40 1 A mano _____________________________________________________________________ 40 2 Curvas estandarizadas _________________________________________________________ 43 3 SPSS _______________________________________________________________________ 43 4 GPower ____________________________________________________________________ 43 Riesgos del comprador y del vendedor _______________________________________________ 45 Estima de la desviación estándar ____________________________________________________ 45 Problema resuelto 5.1 Nuevo programa federal de educación _________________________ 45 Problema resuelto 5.2 Cantidad de cajas de cereales ________________________________ 48 Problema resuelto 5.3 Libro de texto _____________________________________________ 51 c. Tamaño de la muestra ____________________________________________________________ 51 1. Controlando el B de un IC ________________________________________________________ 52 θ =μ
Problema (variables cuantitativas contínuas) ____________________________________ 52 Población infinita ______________________________________________________________ 52 Factores que afectan a n ________________________________________________________ 53 Población finita ________________________________________________________________ 53 Criterios _____________________________________________________________________ 54 θ=p
Problema (variables cuantitativas discretas) ____________________________________ 54 Criterios _____________________________________________________________________ 54 Regla práctica _________________________________________________________________ 55 θ = Δμ (variables cuantitativas contínuas) __________________________________ 55 θ = Δp (variables cuantitativas discretas) ___________________________________ 56 Problema Problema Problema resuelto 5.4 Peso de los pollitos ________________________________________ 57 Problema resuelto 5.5 Encuesta de estudiantes ____________________________________ 58 2. Controlando la P de una PH ______________________________________________________ 59 θ =μ
Problema (variables cuantitativas contínuas) ____________________________________ 59 Potencia, P ___________________________________________________________________ 59 Tamaño de la muestra, n ________________________________________________________ 59 Factores que afectan a n ________________________________________________________ 60 Prueba de 2 colas ______________________________________________________________ 60 Distribución no normal __________________________________________________________ 60 θ=p
Problema (variables cuantitativas discretas) ____________________________________ 61 Potencia, P ___________________________________________________________________ 61 Tamaño de la muestra, n ________________________________________________________ 61 Problema θ = σ (variables cuantitativas contínuas) ___________________________________ 61 Potencia, P ___________________________________________________________________ 62 Tamaño de la muestra, n ________________________________________________________ 62 Problema θ = Δμ = Δ (variables cuantitativas contínuas) ______________________________ 62 2
2
Jorge Carlos Carrá
Introducción
Objetivos
Potencia, P ___________________________________________________________________ 62 Tamaño de la muestra, n ________________________________________________________ 62 Problema θ = Δp = Δ (variables cuantitativas discretas) _______________________________ 63 Potencia, P ___________________________________________________________________ 64 Tamaño de la muestra, n ________________________________________________________ 64 Problema θ
=
σ 12
σ 22
(variables cuantitativas contínuas) _________________________________ 65 Potencia, P ___________________________________________________________________ 65 Tamaño de la muestra, n ________________________________________________________ 66 Problema θ = r (variables cuantitativas contínuas) ____________________________________ 66 Potencia, P ___________________________________________________________________ 66 Tamaño de la muestra, n ________________________________________________________ 66 Problema θ = Δr (variables cuantitativas contínuas) ___________________________________ 66 Potencia, P ___________________________________________________________________ 66 Tamaño de la muestra, n ________________________________________________________ 66 3. Control por PH vs control por IC _____________________________________________________ 67 Problema resuelto 5.6 H0 versus H1 ______________________________________________ 67 Problema resuelto 5.7 Proporción de votantes _____________________________________ 70 Problema resuelto 5.8 Tamaño muestral de varias variables __________________________ 74 Paso 5a: Verificar supuestos: Potencia retrospectiva ______________________________________ 77 El dm indica una prueba no significativa _____________________________________________ 79 El dm indica una prueba significativa _______________________________________________ 80 II Análisis de una variable ________________________________________________________ 82 Problema a: media de una variable cuantitativa contínua __________________________________ 82 Modelado ______________________________________________________________________ 82 Normal o t de Student (asintótica o exacta) ___________________________________________ 82 Supuestos ____________________________________________________________________ 82 Análisis por IC _________________________________________________________________ 83 Análisis por PH ________________________________________________________________ 85 Interrelación entre IC y PH _______________________________________________________ 85 Barras de error __________________________________________________________________ 86 SPSS ___________________________________________________________________________ 87 Barras de error ________________________________________________________________ 88 Tamaño del efecto y ecuación de diseño ______________________________________________ 88 Potencia y tamaño de la muestra ____________________________________________________ 89 Problema resuelto 5.9 Deuda de la cooperadora ___________________________________ 89 Caso particular __________________________________________________________________ 95 Problema resuelto 5.10 Tareas triviales ___________________________________________ 95 Problema b: proporción de una variable cuantitativa discreta _______________________________ 98 Modelado ______________________________________________________________________ 98 Supuestos ____________________________________________________________________ 99 1 Binomial (exacta) _______________________________________________________________ 98 Análisis por PH ________________________________________________________________ 99 2 Normal (asintótica) _____________________________________________________________ 99 Análisis por IC ________________________________________________________________ 100 Análisis por PH _______________________________________________________________ 100 Normal con transformación arcsen (asintótica) _______________________________________ 101 3 Chi‐cuadrado (asintótica) _______________________________________________________ 101 Bondad del Ajuste _____________________________________________________________ 102 Supuestos ___________________________________________________________________ 103 Análisis por IC ________________________________________________________________ 103 Análisis por PH _______________________________________________________________ 103 SPSS __________________________________________________________________________ 104 3
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
1 Binomial ___________________________________________________________________ 104 2 t de Student ________________________________________________________________ 104 3 Chi‐cuadrado _______________________________________________________________ 105 Tamaño del efecto y ecuación de diseño _____________________________________________ 105 1 Normal ____________________________________________________________________ 105 2 Normal con transformación arcsen ______________________________________________ 106 3 Chi‐cuadrado _______________________________________________________________ 106 Potencia y tamaño de la muestra ___________________________________________________ 107 1 Normal usando las proporciones _______________________________________________ 107 2 Normal usando el tamaño del efecto h ___________________________________________ 107 3 Chi–cuadrado _______________________________________________________________ 108 Problema resuelto 5.11 Entrada a la universidad __________________________________ 108 Problema resuelto 5.12 Chocolate preferido ______________________________________ 116 Problema resuelto 5.13 Bondad del ajuste _______________________________________ 122 Problema c: varianza de una variable cuantitativa contínua ________________________________ 125 Modelado _____________________________________________________________________ 125 Diagramas de caja _______________________________________________________________ 125 Chi‐cuadrado (exacta) ___________________________________________________________ 125 Supuestos ___________________________________________________________________ 126 Análisis por IC ________________________________________________________________ 127 Análisis por PH _______________________________________________________________ 127 Interrelación entre IC y PH ______________________________________________________ 127 SPSS __________________________________________________________________________ 128 Tamaño del efecto y ecuación de diseño _____________________________________________ 128 Potencia y Tamaño de la muestra __________________________________________________ 129 Problema resuelto 5.14 Peso de los sobres de café ________________________________ 129 III Análisis de dos variables: Comparación entre grupos ______________________________ 137 Problema a: comparación de medias de variables cuantitativas contínuas ____________________ 137 Diferencia de medias θ = Δμ ____________________________________________________ 137 Modelado _____________________________________________________________________ 138 Normal o t de Student (exacta o asintótica) __________________________________________ 138 Supuestos ___________________________________________________________________ 138 Dos muestras de poblaciones independientes ________________________________________ 138 Análisis por IC ________________________________________________________________ 138 Casos _______________________________________________________________________ 139 1 y 2 Se conocen las σ de ambas poblaciones _______________________________________ 139 3 y 4 Ambas σ se desconocen ___________________________________________________ 139 Análisis por PH _______________________________________________________________ 140 Dos muestras apareadas _________________________________________________________ 140 Normal o t de Student (exacta o asintótica) __________________________________________ 140 Análisis por IC ________________________________________________________________ 140 Análisis por PH _______________________________________________________________ 142 Barras de error _________________________________________________________________ 142 SPSS __________________________________________________________________________ 143 3 GLM ______________________________________________________________________ 144 Razón de medias independientes θ = Rμ __________________________________________ 144 Tamaño del efecto y ecuación de diseño _____________________________________________ 144 Dos muestras independientes ___________________________________________________ 145 Dos muestras apareadas _______________________________________________________ 146 Potencia y tamaño de la muestra ___________________________________________________ 147 Dos muestras independientes ___________________________________________________ 147 Dos muestras apareadas _______________________________________________________ 148 Problema resuelto 5.15 Toma de apuntes en clase _________________________________ 148 Problema resuelto 5.16 Toma de apuntes en clase _________________________________ 154 4
Jorge Carlos Carrá
Introducción
Objetivos
Caso particular _________________________________________________________________ 159 Problema resuelto 5.17 Construcción de centro comercial __________________________ 160 Problema b: comparación de proporciones de variables cuantitativas discretas ________________ 164 Diferencia de proporciones θ = Δp _______________________________________________ 164 Modelado _____________________________________________________________________ 164 Dos muestras independientes _____________________________________________________ 164 Supuestos ___________________________________________________________________ 165 1 Normal (asintótica) ____________________________________________________________ 166 Análisis por IC ________________________________________________________________ 166 Análisis por PH _______________________________________________________________ 167 2 Normal con transformación arcsen (asintótica) ______________________________________ 167 3 Chi‐cuadrado (asintótica) _______________________________________________________ 168 Análisis por PH _______________________________________________________________ 169 Supuestos ___________________________________________________________________ 170 Variables multicotómicas _________________________________________________________ 171 4 Prueba exacta de Fisher (condicional) _____________________________________________ 171 La dama inglesa ______________________________________________________________ 171 Dos muestras apareadas _________________________________________________________ 173 Supuestos ___________________________________________________________________ 174 1 Binomial (exacta) ______________________________________________________________ 174 Análisis por PH _______________________________________________________________ 174 2 Normal (asintótica) ____________________________________________________________ 175 Análisis por PH _______________________________________________________________ 175 3 Chi‐cuadrado (asintótica) _______________________________________________________ 175 Análisis por PH _______________________________________________________________ 175 Formatos muestras independientes vs muestras apareadas ___________________________ 176 SPSS __________________________________________________________________________ 176 Muestras independientes _______________________________________________________ 176 Muestras apareadas ___________________________________________________________ 176 Razón de proporciones θ = Rp __________________________________________________ 176 1 Normal Risk Ratio, RR (asintótica) _________________________________________________ 176 2 Normal, Odd Ratio, OR (asintótica) ________________________________________________ 177 Tamaño del efecto y ecuación de diseño _____________________________________________ 178 Dos muestras independientes ___________________________________________________ 178 1 Normal ____________________________________________________________________ 178 2 Normal con transformación arcsen ______________________________________________ 178 3 Chi‐cuadrado _______________________________________________________________ 179 4 Normal con razones de proporciones ____________________________________________ 179 Dos muestras apareadas _______________________________________________________ 180 1 Normal ____________________________________________________________________ 180 2 Chi cuadrado _______________________________________________________________ 180 Potencia y tamaño de la muestra ___________________________________________________ 180 Dos muestras independientes y H0: Δ0=0 __________________________________________ 180 1 Normal ____________________________________________________________________ 180 2 Normal con transformación arcsen ______________________________________________ 181 3 Chi–cuadrado _______________________________________________________________ 182 4 Normal con razones de proporciones ____________________________________________ 182 Dos muestras apareadas _______________________________________________________ 182 1 Normal ____________________________________________________________________ 182 2 Chi–cuadrado _______________________________________________________________ 182 Problema resuelto 5.18 Tratamiento para dejar de fumar ___________________________ 183 Problema resuelto 5.19 Tratamiento para dejar de fumar ___________________________ 189 Problema c: comparación de varianzas de variables cuantitativas contínuas __________________ 193 5
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
σ 12
Razón de varianzas θ = 2
σ2
______________________________________________________ 193 Modelado _____________________________________________________________________ 194 Prueba F (exacta) _______________________________________________________________ 194 Supuestos ___________________________________________________________________ 194 Análisis por IC ________________________________________________________________ 195 Análisis por PH _______________________________________________________________ 195 Interrelación entre IC y PH ________________________________________________________ 196 Diferencia de desviaciones θ = Δd ________________________________________________ 197 Prueba de Levene (normal o asintótica) _____________________________________________ 197 Análisis por IC y PH ____________________________________________________________ 197 Diagramas de caja _______________________________________________________________ 197 SPSS __________________________________________________________________________ 197 Prueba de Levene _____________________________________________________________ 197 Prueba F ____________________________________________________________________ 197 Tamaño del efecto y ecuación de diseño _____________________________________________ 198 Potencia y tamaño de la muestra ___________________________________________________ 199 Problema resuelto 5.20 Toma de apuntes en clase _________________________________ 199 IV Análisis de dos variables: Asociación entre variables _______________________________ 206 Problema a: Correlación ______________________________________________________________ 206 1. Escala por escala (por lo menos) ___________________________________________________ 206 θ =ρ __________________________________________________________________________ 206 Supuestos _____________________________________________________________________ 206 a t de Student __________________________________________________________________ 207 Modelado _____________________________________________________________________ 207 Análisis _______________________________________________________________________ 207 Análisis por IC ________________________________________________________________ 207 Análisis por PH _______________________________________________________________ 207 b Normal con transformación arcth _________________________________________________ 208 Modelado _____________________________________________________________________ 208 Análisis _______________________________________________________________________ 209 Análisis por IC ________________________________________________________________ 209 Análisis por PH _______________________________________________________________ 209 θ = Δρ ________________________________________________________________________ 209 2. Nominal por nominal (por lo menos) ________________________________________________ 210 Supuestos _____________________________________________________________________ 210 Modelado _____________________________________________________________________ 210 Análisis _______________________________________________________________________ 210 3 Ordinal por ordinal (por lo menos) __________________________________________________ 210 Supuestos _____________________________________________________________________ 211 Modelado _____________________________________________________________________ 211 Valores críticos _______________________________________________________________ 211 Tabla de contingencias _________________________________________________________ 211 Análisis _______________________________________________________________________ 212 SPSS ____________________________________________________________________________ 212 Coeficientes de correlación _____________________________________________________ 212 Tabla de contingencias _________________________________________________________ 212 Tamaños del efecto y ecuación de diseño ______________________________________________ 212 ρ ____________________________________________________________________________ 212 t de Student _________________________________________________________________ 212 normal con transformación arcth ________________________________________________ 213 w ____________________________________________________________________________ 213 Δρ ___________________________________________________________________________ 213 Potencia y tamaño de la muestra _____________________________________________________ 215 6
Jorge Carlos Carrá
Introducción
Objetivos
ρ ____________________________________________________________________________ 215 t de Student _________________________________________________________________ 215 Normal con transformación arcth ________________________________________________ 215 w ____________________________________________________________________________ 215 Chi‐cuadrado ________________________________________________________________ 215 Δρ ___________________________________________________________________________ 215 Problema resuelto 5.21 Relación entre ingreso y gastos _____________________________ 216 Problema resuelto 5.22 Relación entre ingreso y gastos _____________________________ 221 Problema resuelto 5.23 Mejora de los ingresos públicos ____________________________ 223 Problema resuelto 5.24 Cuerpo y mente _________________________________________ 225 Problema b: Regresión simple _________________________________________________________ 230 1 Escala por escala ________________________________________________________________ 230 Utilización _____________________________________________________________________ 230 Supuestos _______________________________________________________________________ 230 Error estándar de la estimación ______________________________________________________ 232 Cadena de Normalidad _____________________________________________________________ 233 Estima puntual. Teorema de Gauss–Markov __________________________________________ 234 a. Inferencia sobre los coeficientes de la recta __________________________________________ 234 Modelado _____________________________________________________________________ 234 θ = B1 (pendiente) _______________________________________________________________ 234 Distribución t ________________________________________________________________ 234 θ = B0 (Ordenada al origen) _______________________________________________________ 235 1 Demostración del valor del error estándar de la estimación __________________________ 236 2 Demostración del estadístico de rP ______________________________________________ 238 Covarianzas ____________________________________________________________________ 239 a Covarianza entre Y y B̂1 _____________________________________________________ 239 b Covarianza entre B̂0 y B̂1 ____________________________________________________ 239 c Covarianza entre Y y Ŷ _____________________________________________________ 239 Análisis _______________________________________________________________________ 240 ANOVA _____________________________________________________________________ 240 b. Inferencia sobre los valores de y ___________________________________________________ 241 θ = E(Y) _______________________________________________________________________ 241 Modelado _____________________________________________________________________ 241 Análisis _______________________________________________________________________ 243 IC __________________________________________________________________________ 243 PH _________________________________________________________________________ 243 θ = Y _________________________________________________________________________ 243 Modelado ___________________________________________________________________ 244 Media del residuo e ___________________________________________________________ 244 Varianza del residuo e _________________________________________________________ 244 a) y predicho yP _______________________________________________________________ 244 Análisis: IP ___________________________________________________________________ 245 b) y muestral ym ______________________________________________________________ 245 Casos Influyentes _________________________________________________________________ 246 Extremos en y, outliers ___________________________________________________________ 246 Extremos en x, outliers ___________________________________________________________ 246 Distancia de Mahalanobis, MAH _________________________________________________ 247 Leverage, LEV (brazo de palanca) _________________________________________________ 247 Leverage y Residuo ____________________________________________________________ 248 Diferencias en los coeficientes _____________________________________________________ 248 DfBETA(s), DFB _______________________________________________________________ 248 SDfBETA, SDB ________________________________________________________________ 248 Diferencias en los valores predichos ________________________________________________ 248 DfFIT, DFF ___________________________________________________________________ 249 7
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
SDfFIT, SDFF _________________________________________________________________ 249 Distancia de Cook, COO ________________________________________________________ 249 Razón de covarianzas, COV _____________________________________________________ 249 SPSS ____________________________________________________________________________ 250 GLM ________________________________________________________________________ 251 Tamaño del efecto y ecuación de diseño _______________________________________________ 251 Potencia y tamaño de la muestra _____________________________________________________ 252 Problema resuelto 5.25 Relación entre ingreso y gastos _____________________________ 252 Problema resuelto 5.26 Relación entre ingreso y gastos _____________________________ 262 Paso 5 Verificación ______________________________________________________________ 265 Problema resuelto 5.27 Relación entre ingreso y gastos _____________________________ 265 Mínimos Cuadrados Ponderados ___________________________________________________ 268 2 Escala por categórica _____________________________________________________________ 269 VI dicotómica __________________________________________________________________ 270 VI multicotómica ________________________________________________________________ 270 3 Categórica por escala_____________________________________________________________ 270 Verosimilitud __________________________________________________________________ 270 Modelo lineal __________________________________________________________________ 270 Modelo Logit ___________________________________________________________________ 271 Modelo Probit __________________________________________________________________ 271 SPSS __________________________________________________________________________ 271 Introducción al Meta‐Análisis, MA ____________________________________________________ 271 1 Cálculo de los tamaños del efecto individuales ______________________________________ 271 a Comparación de medias ________________________________________________________ 271 1 Diferencia de medias, d de Cohen _______________________________________________ 272 2 Cociente de medias, Response Ratio, R __________________________________________ 272 b Comparación de proporciones ___________________________________________________ 272 1 Diferencia de proporciones, Risk Difference, RD ___________________________________ 272 2 Cociente de proporciones, Risk Ratio, RR _________________________________________ 273 3 Cociente de posibilidades, Odd Ratio, OR _________________________________________ 273 c Correlación ___________________________________________________________________ 274 2 Combinación de resultados ______________________________________________________ 274 a Prueba de homogeneidad _____________________________________________________ 275 b Cálculo de un estimador del tamaño del efecto global ______________________________ 275 Inferencia ___________________________________________________________________ 275 Software ______________________________________________________________________ 276 Problema resuelto 5.28 La aspirina en la prevención primaria. _______________________ 276 V Pruebas de Control de Calidad, SQC _____________________________________________ 283 1 Calidad durante la producción (online) ___________________________________________ 283 2 Calidad del producto terminado ________________________________________________ 284 1 Calidad durante la producción _______________________________________________________ 284 a. Variables de escala ______________________________________________________________ 284 Control de x‐barra, A y s ____________________________________________________________ 284 Control de θˆ = x ____________________________________________________________ 284 Diseño del Muestreo __________________________________________________________ 286 Control de θˆ = s _____________________________________________________________ 286 Control de θˆ = R ____________________________________________________________ 287 SPSS __________________________________________________________________________ 287 Control de θˆ = X θˆ = R y θˆ = s ______________________________________________ 288 Problema resuelto 5.29 Tiempos de terminación de auditorías _______________________ 290 b. Variables categóricas ____________________________________________________________ 293 Control de proporción y n° de éxitos __________________________________________________ 293 8
Jorge Carlos Carrá
Introducción
Objetivos
Control de θˆ = np ___________________________________________________________ 293 Control de θˆ = p̂ ____________________________________________________________ 294 SPSS ____________________________________________________________________________ 295 Control de θˆ = npˆ y θˆ = p̂ ____________________________________________________ 295 Problema resuelto 5.30 Quejas sobre desempeño de funcionarios ____________________ 296 Control de número de casos por unidad _______________________________________________ 298 Control de θˆ = c _____________________________________________________________ 298 Control de θˆ = u ____________________________________________________________ 299 SPSS ____________________________________________________________________________ 300 Control de θˆ = c y θˆ = u _____________________________________________________ 300 Problema resuelto 5.31 Defectos en solicitudes de crédito __________________________ 301 Diagramas de diagnóstico __________________________________________________________ 303 SPSS __________________________________________________________________________ 304 Problema resuelto 5.32 Quejas sobre desempeño de funcionarios ____________________ 306 2. Calidad del producto terminado _____________________________________________________ 307 Muestreo de Aceptación _________________________________________________________ 307 Problema resuelto 5.33 Muestreo de aceptación __________________________________ 307 Simulaciones _________________________________________________________________ 311 1 Estadística paramétrica ___________________________________________________________ 311 a Con NAN _____________________________________________________________________ 311 b Con NAU ____________________________________________________________________ 311 Simulación Montecarlo de los NAN _______________________________________________ 312 c Inferencia ____________________________________________________________________ 312 Estimación por IC _____________________________________________________________ 313 Prueba de Hipótesis ___________________________________________________________ 313 Ejercicio _____________________________________________________________________ 314 2 Estadística no paramétrica: Distribuciones exactas _____________________________________ 314 Distribuciones de aleatorización, de permutación o exactas _____________________________ 314 IC __________________________________________________________________________ 314 PH _________________________________________________________________________ 315 Una proporción _______________________________________________________________ 315 Comparación de proporciones ___________________________________________________ 315 Un parámetro de escala (media, mediana, varianza, etc) ______________________________ 315 Comparación de 2 parámetros de escala ___________________________________________ 316 Asociación de variables ________________________________________________________ 316 Remuestreo ___________________________________________________________________ 317 IC __________________________________________________________________________ 317 PH _________________________________________________________________________ 318 SPSS __________________________________________________________________________ 318 Ejemplo: bootstrap para una media _________________________________________________ 320 Inferencia: IC _________________________________________________________________ 322 Ensayo: Radio Profesor‐Clase por tipo de escuelas ___________________________________ 323 Introducción _____________________________________________________________________ 323 Radio Profesor‐Clase ______________________________________________________________ 323 Ensayo: Segregación en Argentina ________________________________________________ 327 Introducción _____________________________________________________________________ 327 Escuelas públicas y privadas _________________________________________________________ 327 Problemas ___________________________________________________________________ 333 I Diseño _________________________________________________________________________ 333 II Análisis de una variable ___________________________________________________________ 334 9
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
III Análisis 1vi–1vd: Comparación entre grupos __________________________________________ 342 IV Análisis 1vi–1vd: Asociación entre variables __________________________________________ 350 V Análisis de Control de Calidad ______________________________________________________ 351 Problemas con base de datos ________________________________________________________ 353 10
Jorge Carlos Carrá
Introducción
Objetivos
Capítulo 5
Inferencia
Paramétrica I
Objetivos
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Aprender a realizar el diseño de un experimento.
Comprender los 2 tipos de errores que se producen en las pruebas de hipótesis.
Calcular el tamaño de la muestra dada la precisión de la estimación y la potencia de la prueba.
Aprender a hacer estimaciones a partir de muestras.
Aprender la diferencia entre estimaciones puntuales y de intervalo.
Calcular la precisión de las estimaciones.
Aprender el proceso de cálculode una prueba de hipótesis, en general de 3 formas distintas.
Aprender que distribución usar según los supuestos del problema.
Aprender a redactar correctamente la decisión final finalizada la inferencia por Intervalos de
Confianza o por Prueba de Hipótesis.
11
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Introducción
Teniendo ya en el cerebro las 3 herramientas incorporadas en los capítulos 1, 2 y 3 y conociendo las
implicancias del TCL y de la LGN, estudiadas en el capítulo 4, podemos, ¡al fin!, construir nuestro
edificio llamado estadística inferencial. El nombre de paramétrica que se encuentra en el título del
capítulo indica que trataremos en particular variables cualitativas (discretas y contínuas). En el
capítulo 6 se continuará con el estudio de la inferencia (ANOVA, regresiones múltiples y regresiones
con variables cualitativas), el cual finalizará en el capítulo 7 con la inferencia no paramétrica,
aplicable a variables cuantitativas, las cuales tienen como ventaja el no requerir los supuestos de los
métodos paramétricos (en particular la normalidad de la población). La contrapartida es que son
menos eficaces pues trabajan con variables categóricas en lugar de hacerlo con variables
cuantitativas.
No obstante lo anterior, en este capítulo veremos 3 técnicas no paramétricas que ampliarán el
espectro de ciertos temas. En las secciones II y III, en el análisis de proporciones, veremos la técnica
no paramétrica llamada Prueba Exacta de Fisher. En la sección IV analizaremos el coeficiente de
correlación de Spearman y al final del capítulo, en la sección Simulación, trataremos un método no
paramétrico que simula una población (pseudo población), cuando solo se conocen los datos de la
muestra.
Tal como ha sucedido en los capítulos anteriores, el objetivo principal es que al final del capítulo el
alumno se encuentre habilitado para pensar en la lógica de los procedimientos de inferencia, Sin
embargo, para aquellos alumnos que desean saber de donde salen las fórmulas que se utilizarán, se
incluye la mayoría de las demostraciones, especialmente las de aquellas que no requieren la
utilización de herramientas matemáticas avanzadas.
Contenido
En el capítulo presentación, he comentado que los problemas básicos que resuelve la estadística
(inferencial) se pueden agrupar en alguno de los 6 siguientes:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Comparar grupos distintos.
Asociar variables.
Comparar formas de las distribuciones.
Predecir la pertenencia a un grupo.
Análisis temporal.
Análisis de la estructura de los datos.
He puntualizado además que la inferencia estadística consiste esencialmente en formular y
contrastar hipótesis acerca de la población. Esto se realiza a partir de una muestra de la misma, sea
por razones de:
• costos (población numerosa)
• población inexistente (población futura)
• tiempos
• estudio destructivo (por ejemplo, ensayos de resistencia).
12
Jorge Carlos Carrá
Introducción
Contenido
Uno de los 2 métodos para realizar este estudio se denomina “prueba de hipótesis”. El tratamiento de
la lógica de una prueba de hipótesis se analizará luego en profundidad, pero se menciona aquí un
ejemplo para observar como finalmente se integra una distribución de probabilidades al proceso de
inferencia.
Supongamos que luego de haber elegido al azar a 52 estudiantes del total de los estudiantes, se los
divide aleatoriamente en 2 grupos para asignarle a cada uno un método de estudio. Al final de varias
semanas se les toma un examen. Supongamos que las medias de las calificaciones de ambos grupos
resultaron distintas. ¿Cómo decidir si las diferencias fueron debidas solo al azar o si son realmente
significativas (evento poco común)? El método consiste en partir de la hipótesis de que los dos
métodos de estudio son equivalentes y determinar la probabilidad de que se presente una diferencia
como la muestreada o mayor.
Para analizar esta probabilidad se necesita conocer la distribución de probabilidades de la variable
analizada o de alguna variable vinculada (por ejemplo la distribución muestral de medias).
• Si dada esa hipótesis, el resultado experimental obtenido tiene por ejemplo solo una oportunidad
entre mil de haber surgido de ella, podríamos considerar que el evento es tan poco común que es
verosímil concluir que la diferencia entre las medias es significativa y que nuestra hipótesis de
igualdad de medias es en realidad falsa, no aceptándola.
• Si dada esa hipótesis, el resultado experimental tiene alta probabilidad de producirse, lo
consideraríamos como esperable, concluyendo que la diferencia observada en la muestra fue
efecto del azar y que en realidad parece no existir diferencia entre los dos métodos de estudio.
En otras palabras aceptamos (luego veremos que debemos decir: "no rechazamos") la hipótesis.
Las distribuciones muestrales y las inferencias se encuentran presentes en toda la estadística
inferencial, estudio que se inicia en este capítulo. Lo único que cambia de un experimento a otro es
el estadístico utilizado y la distribución muestral correspondiente. Por esta causa, una vez que se
comprendan los mecanismos de la inferencia, se conocerá gran parte de los temas de un curso de
estadística básica.
Los métodos de análisis inferencial buscan, en síntesis, establecer conclusiones sobre un parámetro
poblacional θ a partir de un estadístico 1muestral al que llamaremos θˆ , estimador puntual de θ .
Es un razonamiento de tipo inductivo pues va de lo específico a lo general, en contraposición al
razonamiento matemático deductivo que va de lo general a lo específico. En este capítulo veremos
la resolución de los dos primeros problemas de la estadística: comparar grupos y asociar variables,
aunque solo hasta 2 variables. Este proceso continúa en el capítulo 6, permitiendo la comparación y
asociación de más de 2 variables. En el capítulo 7 se verán otras técnicas llamadas no paramétricas
para resolver ambos problemas, incluyendo además el tercer problema: la comparación de formas.
Notación
θ
θ0
Es cualquier parámetro poblacional de interés: μ, σ, Q2, Max, Min. etc
Valor hipotético de θ.
θˆ
Es un estimador puntual de θ. Existen muchos estimadores posibles, entre los cuales se
eligen aquellos que resulten más representativos.
θˆm
Valor de θˆ que resulta de una muestra.
e =| θ − θˆ |
B=e ´
Error al estimar θ por θˆ .
Error de estimación máximo deseado.
ma x
BS =
1
B
B estandarizado.
σ
Se llama estadístico a un solo valor que resume los datos de una muestra.
13
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Métodos de inferencia
Son esencialmente 2:
• Estimación por intervalos de confianza, IC
• Prueba de hipótesis, PH
La secuencia de construcción de cada uno es la siguiente.
IC
Se parte del estadístico θˆm que ha resultado de la muestra y a partir de este valor se construye un
intervalo (IC) dentro del cual, se espera encontrar al parámetro θ con una cierta confianza o
probabilidad.
Este procedimiento se realiza exclusivamente en forma analítica, a partir de una ecuación que
llamaremos de probabilidad, la cual debe tener 2 características:
• Deber contener al parámetro desconocido θ y a su estimador
• Debe tener una distribución de probabilidades conocida que no dependa de θ.
P (θ ,θˆ) = prob
(5.1)
Conocidos todos los valores menos θ, se despeja este parámetro de la ecuación, creándose el IC.
PH
Se parte de un valor hipotético de θ, al que llamaremos θ0 y a partir del mismo se construye un
intervalo dentro del cual se espera encontrar a θˆm con una cierta probabilidad. Finalmente se
observa donde "cae" θˆm , no rechazando o rechazando la hipótesis.
Este proceso puede realizarse con una ecuación de probabilidad o solo con la PDF. Si se cuenta con
una ecuación, se conoce ahora todo menos θˆm . Al despejar este estadístico de la ecuación, se crea el
intervalo.
En la figura 5-1, se resumen estos conceptos.
Métodos
IC
Punto de
partida
θˆ
PH
θ0
m
Procedimientos
P(θ ,θˆ) = prob
P(θ ,θˆ) = prob
PDF
Figura 5-1
Métodos de Inferencia
Ambos procedimientos son equivalentes, de tal forma que si a partir de un valor muestral θˆm se
obtiene un parámetro poblacional
θ 0 dentro de un intervalo de confianza, IC, entonces a partir de
ese θ 0 , el valor muestral θˆm se encontrará dentro del intervalo de la PH y viceversa.
En la sección final del capítulo se estudiará el Control de Calidad, técnica emparentada con la PH.
Una de sus diferencias es que parte de un valor real de θ, en lugar de uno hipotético. En este caso la
Prueba se llama de Aceptación, PA.
14
Jorge Carlos Carrá
Introducción
P2a Supuestos
Inferencia estadística
Pasos en una inferencia
Para sistematizar el procedimiento, se aconseja seguir 5 pasos, similares a los de cualquier
investigación. Estos pasos se comentaron en el capítulo presentación y se resumen nuevamente en la
figura 5-2.
P1.Problema
P2.Modelado
P2a Supuestos
P2b Modelo
P3.Diseño
P3a Variables
P3b Datos
P4.Análisis
P4a Inferencia
P4b Decisión
P5.Verificación y validación
P5a Verificar supuestos
P5b Validación
Figura 5-2
A continuación presento una descripción simplificada de cada uno de los pasos.
Paso 1 Problema
En este primer paso se debe definir cuál es el valor a estimar y cuál es el estadístico que se utilizará.
En símbolos, deberá responderse a las siguientes incógnitas:
θ =?
θˆ = ?
Paso 2 Modelado
Se puede dividir este paso en 2 subpasos.
P2a Supuestos
La validez del modelo a utilizar requiere en general de supuestos que deben ser cumplidos por la
población y por la muestra.
15
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
•
•
Población
los supuestos necesarios dependerán de cuál es la distribución muestral a utilizar (capítulo 4).
Muestra
debe ser representativa (aleatoria).
P2b Modelo
Es la distribución muestral adecuada al problema definido en el paso 1.
Paso 3 Diseño del experimento
Este paso condensa las características del experimento que deben definirse antes de tomar la muestra
y comprende la elección de las técnicas adecuadas al problema en estudio.
P3a Variables
Se definen el tipo y número de variables a estudiar.
P3b Datos
Resolverá en particular:
a. Tipo de muestreo.
b. Errores α, β y Potencia P.
c. Tamaño de la muestra, n.
Dado que se requieren algunos conceptos previos que se introducirán en el paso 4, se tratará con
mayor profundidad en la sección I de este capítulo.
Paso 4 Análisis inferencial
En este paso se realiza el análisis inferencial, es decir el pasaje de la muestra (conocida) a la
población (desconocida), proceso también llamado generalización inductiva.
Se divide en 2 partes:
P4a Inferencia
Aplicación de la técnica de inferencia para obtener resultados.
Existen 2 métodos básicos:
a. Estimación de un parámetro poblacional, el cual conduce a los Intervalos de Confianza, IC.
b. Prueba de Hipótesis, PH, de un valor particular de ese parámetro.
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Jorge Carlos Carrá
Introducción
P4b Decisión
P4b Decisión
En base a los resultados del punto anterior, el investigador podrá tomar decisionesy realizar
predicciones (siempre sobre aspectos contenidos en la información original). El proceso de decisión
se incluirá al final de cada uno de los 2 métodos anteriores.
Se presentará a continuación el tema, en general, para luego, en las secciones II y III de este capítulo,
realizar las distintas aplicaciones en particular. Se apreciará que en todos los casos se requiere la
utilización de una distribución de probabilidades conocida2 y que, para poder aplicar la misma se
debe realizar previamente una transformación de la variable en estudio a la variable cuya
distribución de probabilidades se conoce. Las transformaciones que se utilizarán en este capítulo
son: z, t, p̂ , χ2, F y rF.
El proceso general es realizar el estudio con la variable transformada y luego, en caso de ser
necesario, antitransformar los resultados a la variable original. Es por esta razón que resulta
imprescindible aprender la técnica con una de ellas, en nuestro caso, con la variable media muestral,
pues luego solo bastará recorrer ese modelo, realizando las adaptaciones pertinentes. Para
comodidad del estudiante, estas adaptaciones y particularidades se encuentran resumidas en las
tablas de fórmulas del apéndice C, el cual, junto con el apéndice B, Tablas, debería estar a la vista en
el momento de recorrer cada uno de los problemas.
Comencemos por analizar los 2 subpasos a y b para la inferencia por Intervalos de Confianza.
P4a Inferencia por IC
Estimación
Existen 2 tipos de estimación:
• Estima puntual
El resultado es un solo valor. Luego veremos cuáles son las propiedades deseables.
θˆ → θ
•
Estima por intervalo (IC)
El resultado es un intervalo en el cual existe la probabilidad de que contenga el valor con una
cierta probabilidad. Agrega a la estima puntual una medida de la precisión del estimador y una
cota del error. Para esto requiere del conocimiento de la distribución de probabilidades, requisito
que no es necesario en una estimación puntual.
θˆ → θ ε IC
Estimación puntual
Las propiedades deseables que debe tener un estimador puntual son las siguientes:
1. Insesgado
2. Convergente o consistente
3. Eficiente
4. Suficiente
Las 2 primeras ya fueron anticipadas en el capítulo 4.
2
Por su ecuación, tabla o software.
17
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
1. Insesgado
Esta propiedad se relaciona con la E (θˆ) .
Dentro de este contexto, se define al sesgo como:
Sesgo = E (θˆ) − θ
Por lo tanto un estimador insesgado (sesgo cero) será aquel cuya media coincide con el parámetro a
estimar.
Ejemplo
Sea por ejemplo:
θ =μ
Sabemos del capítulo 4 que la distribución muestral de:
θˆ = x
presenta la característica:
E( x ) = μ
Por consiguiente la media muestral es un estimador insesgado de la media poblacional.
Si utilizamos el carácter circunflejo como "estima de", se puede apreciar que si:
E (a) = b
entonces:
a = bˆ
En otras palabras los operadores E y circunflejo, son inversos.
Algunos estimadores insesgados:
• media y la media recortada a los valores dentro del P90 y el P10. Cuando se tienen varios
estimadores insesgados, será necesario algún otro criterio para elegir entre ellos.
• proporción muestral.
• Varianza
Algunos estimadores sesgados:
• Mediana
• Amplitud
• Desviación estándar
2. Convergente o consistente
Todas las propiedades siguientes incluyen la propiedad insesgada.
Esta propiedad se relaciona con E (θˆ) y V (θˆ) .
Un estimador es convergente si:
θˆ
→
θ
n→∞
Recordando que MSE (Mean Square Error, página MSE1, capítulo1):
MSE = E (θˆ − θ ) 2
esta propiedad significa que el estimador tiene un MSE tendiente a cero, por lo cual se la llama de
mínimo MSE.
Se puede demostrar rápidamente que:
MSE = Sesgo 2 (θˆ) + V (θˆ)
En efecto:
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Jorge Carlos Carrá
Introducción
Estimación
(
MSE = E (θˆ − θ )2 = E (θˆ − θˆ ) + (θˆ − θ )
)
2
MSE = E (θˆ − θ ) 2 + E (θˆ − θˆ ) 2 + 2(θˆ − θ ) E (θˆ − θˆ )
Como la esperanza de una constante (en este caso la media), es la misma constante, desarrollando el
(
primer término resulta igual a E (θˆ) − θ
)
2
(utilizando la notación θˆ = E (θˆ) ).
Además como θˆ = E (θˆ) el último término es 0.
De esta forma queda demostrada la propiedad.
Por lo tanto, un estimador consistente es equivalente a la combinación de:
⎧ ˆ →
0
⎪V (θ )
n→∞
⎨
⎪θˆ insesgado
⎩
Si observamos la tabla de inferencias del apéndice C, vemos que todos los θˆ que contiene son
consistentes pues son insesgados y tienen n en el denominador de la varianza. De aquí que la media
sea una buena elección pues es un estimador convergente (y por lo tanto insesgado).
3. Eficiente
Es una propiedad relativa.
Sean 2 estimadores insesgados, θˆ1 y θˆ2 (implica MSE = V (θˆ) .
Se define:
Var (θˆ1 )
Eficiencia de θˆ2 respecto de θˆ1 =
Var (θˆ2 )
Por ejemplo la eficiencia de la media respecto de la mediana es:
Eficiencia =
Var (Q2 ) π
= = 1.57
Var ( x ) 2
Por lo tanto, la media es 57% más eficiente que la mediana.
A los estimadores insesgados y de mínimo MSE relativo a todos los otros que son combinaciones
lineales de los datos, se los llama EIMV, Estimador Insesgado de Mínima Varianza (en inglés
MVUE, Minimum Variance Unbiased Estimator o BLUE, Best Linear Unbiased Estimator).
Son EIMV:
la media si x es normal,
la proporción muestral y
la varianza si x es normal y se conoce μ.
4. Suficiente
Son los estimadores que resumen toda la información de la muestra respecto del parámetro a estimar.
Se puede demostrar que si un estimador es insesgado y suficiente es un EIMV.
Verosimilitud
Para obtener el mejor estimador de un parámetro poblacional a partir de los valores de las muestras,
se define la función verosimilitud, L (Liability).
Se extrae una muestra de una población con función densidad f(X) dependiente del parámetro θ a
estimar. Se la simboliza como f(X|θ) para destacar que será considerada como función de θ.
La verosimilitud se define como la distribución de probabilidad conjunta de la muestra de n valores
19
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
X. Considerando a las X como independientes (muestreo con reemplazo o población infinita), la
distribución de probabilidad conjunta será el producto de las distribuciones, es decir:
L = ∏ f (X |θ )
El MLE (Maximun Liability Estimator), es el valor de θ que maximiza a esta función.
MLE = θ ( Lmax ) = θˆ
Se encuentra que este estimador tiene varias de las propiedades deseables de un estimador:
• Consistencia
• Eficiencia
• Normalmente distribuido
Resolviendo matemáticamente el proceso anterior, se obtienen, por ejemplo:
f(X|θ) binomial ⇒ θˆ = estima de p = pˆ
f(X|θ) normal ⇒ θˆ = estima de μ = x
f(X|θ) normal ⇒ θˆ = estima de B0 = Bˆ0
f(X|θ) normal ⇒ θˆ = estima de B1 = Bˆ1
A modo de ejemplo veamos la demostración para la proporción poblacional, lacual por ser una
distribución discreta, no requiere del cálculo infinitesimal.
MLE de una binomial
L( p) = Cns p s q n− s
Derivando respecto de p.
d ( L( p ))
= Cns ( sp s −1q n − s − p s (n − s )q n − s −1 ) = 0
dp
Es decir:
Cns p s −1q n − s −1 ( sq − p(n − s) ) = 0
s s −1 n − s −1
dividiendo por Cn p q
, resulta:
s (1 − p ) − p (n − s ) = 0
s − pn = 0
Por lo tanto:
p=
s
= pˆ
n
Para este valor de p, L(p) es máximo. El lector puede verificar la validez de esta afirmación en los
casos particulares p = 0 ( s = 0) y p = 1 ( s = n) , para los cuales L( p ) = 1 .
Análisis por IC
La inferencia por IC puede subdividirse en 2 pasos:
1. Elección del IC
2. Cálculo del IC
1 Elección del IC
El método de IC, requiere la construcción de una ecuación probabilística, para desde ella, con todos
los valores conocidos menos θ, despejar este valor. Naturalmente se requerirá luego el conocimiento
20
Jorge Carlos Carrá
Introducción
Estimación
de la distribución de probabilidades (que no dependa de θ), requisito no necesario en una estimación
puntual.
En símbolos:
P (θ ,θˆ) = prob → θ
La ecuación de probabilidades proviene de la estandarización de la variable en estudio. En virtud de
las distribuciones muestrales estudiadas en el capítulo 4, podrá ser alguna de las siguientes: z, t, χ2 o
F. En el capítulo 3 aprendimos como delimitar intervalos en estas distribuciones estandarizadas.
Existen 2 tipos de IC:
1. Bilateral
2. Unilateral: Inferior o Superior
2 Cálculo del IC
Si bien calcularemos los IC para distintos casos a partir de la sección II, desarrollaremos aquí las
expresiones de los IC para la media, pues oficiará como modelo para las demás. Por otra parte, en la
sección I, Diseño, se requiere conocer el concepto del margen de error B que definiremos aquí.
IC Inferior
IC bilateral
IC superior
Figura 5-2
Intervalos de Confianza Inferior, Bilateral y Superior
IC bilateral
En el panel superior de la figura 5-2 se expresan en forma gráfica las siguientes definiciones:
Nivel de confianza: c (un valor habitual es 95%)
Nivel de significación: α = 1-c (un valor habitual es 5%)
Estadístico de prueba: es el valor estandarizado (z, t, χ2, F) del estadístico muestral ( θˆ ) a través de
un cambio de variable, del cual se conoce la distribución (independiente de θ) y sirve, por lo tanto,
para realizar la inferencia.
Se recorrerán 2 pasos:
21
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
1 Planteo del IC en la variable estandarizada (z en este ejemplo)
Observando nuevamente el panel superior de la figura 5-2 se puede definir la siguiente ecuación
probabilística:
P( z I < z < zS ) = c
2 Conversión a θ (μ en este ejemplo)
Para convertir las desigualdades en z en desigualdades en θ = μ , se debe utilizar la expresión de z,
también llamada aquí ecuación pivote, z =
X −μ
σx
:
P( zI < z < zS ) = P( zI <
X −μ
σx
< zS ) = c
Despejando μ, y reemplazando las z por las correspondientes zα /2 (colocando en forma explícita el
signo positivo o negativo) se obtiene la expresión del IC de μ:
P ( X − zα /2σ x < μ < X + zα /2σ x ) = c
P ( LCI < μ < LCS ) = c
donde: LCI es el Límite de Confianza Inferior y LCS es el Límite de Confianza Superior.
En general:
P ( LCI < θ < LCS ) = c
(5.2)
Observar que c se llama nivel de confianza pues la ecuación indica que existe un c% de confianza de
que el intervalo IC contenga al valor constante θ. Análogamente α será por lo tanto, la probabilidad
de que el IC no contenga al valor fijo θ.
Es importante destacar que, tal como se observa en el panel inferior de la figura 5-2, el IC está
centrado en el resultado muestral del estimador, en este ejemplo la variable x . Como este valor es
variable, su ubicación en el eje de la distribución en estudio dependerá de la muestra. En cambio la
constante μ se encontrará en algún lugar desconocido pero fijo del eje, tal que el intervalo lo
comprenderá con una probabilidad c (es muy conveniente retener mentalmente los diagramas
inferiores de la figura 5-2). De aquí que se debe tener cuidado al leer la ecuación anterior pues una
probabilidad se aplica a una variable aleatoria (IC) y no a una constante (θ). Volveré sobre este
punto en el paso 4b, Decisión.
Naturalmente, cuanto más corto es el IC, la estimación es más precisa pero, si el error estándar σ x ,
se mantiene constante, esto solo puede lograrse a expensas de menor confianza (menor valor de
zα /2 ).
Es importante destacar que nunca conoceremos con certeza (a menos que se examine toda la
población), si nuestro IC es uno de los, por ejemplo 95% que contiene a μ o uno de los 5% que no lo
contiene, pero las chances (95:1) están a favor que lo contenga.
Margen de error
Se define el error de estimación o margen de error B, como la diferencia máxima entre el valor
observado y el valor real:
B = ( x − μ )max = zα /2σ x
Se expresa en las unidades de la variable x. Observar que el error de estimación B es proporcional al
error estándar σ x .
Si x es una proporción, es usual utilizar la expresión: punto porcentual en lugar de %.
22
Jorge Carlos Carrá
Introducción
P4b Decisión por IC
Dos formas distintas de expresar el IC
Conteniendo los LCI y LCS:
P ( X − B < μ < X + B) = c
Conteniendo explícitamente el valor B:
P( μ = X ± B) = c
En la práctica puede omitirse y sobreentenderse el valor de c y colocar solo la expresión dentro del
paréntesis.
El margen de error es el precio que se debe pagar por la incertidumbre de tomar una parte (muestra)
por el todo (población). Por otra parte, su aparición solo es posible si se puede aplicar la teoría de las
probabilidades, la cual, a su vez requiere necesariamente, que el muestreo sea realizado en forma
aleatoria.
IC unilaterales
También llamados de un solo extremo, ver figura 5-2 y se obtienen reemplazando z I = −∞ o
zS = ∞ en las ecuaciones de partida. Un IC inferior tiene un límite inferior infinito y un límite
superior a una distancia B del valor muestral. De manera similar un IC superior tiene un límite
superior infinito y un límite inferior a una distancia B del valor muestral. Se utilizan cuando solo un
sentido es de interés.
IC Inferior (con límite superior)
μ< X +B
IC Superior (con límite inferior)
μ> X −B
En ambos casos las expresiones de B contienen zα en lugar de zα/2.
B = zασ x
P4b Decisión por IC
Consiste en leer adecuadamente la ecuación probabilística: P( LCI < θ < LCS ) = c , en donde
hemos llamado θ al valor poblacional desconocido.
Ya he puntualizado que, dado que θ es una constante y no una variable aleatoria, se debe tener
cuidado al leer esta ecuación.
La probabilidad se refiere al IC (aleatorio pues contiene a la variable aleatoria θˆ ) y no al valor θ
(pues es una constante). De aquí que es un error leerlo como la probabilidad de que el valor θ (fijo)
pertenezca a un IC (aleatorio). Una vez calculado el IC, la constante θ pertenece (con probabilidad 1)
o no pertenece (con probabilidad 0) a él (ver nuevamente los diagramas de la figura 5-2). Esto no lo
sabrá el investigador, todo lo que puede decir es que acertará con un porcentaje del c% de éxito.
La regla para evitar este error, es vincular la palabra probabilidad (o el porcentaje) al IC y no al valor
poblacional θ, es decir: "se tiene una probabilidad del c% de que el IC (aleatorio) contenga a θ".
Otra alternativa es directamente reeemplazar la ecuación probabilística por:
LCI < θ < LCS con c %
Las siguientes lecturas son correctas:
• P( LCI < θ < LCS ) = c : " existe un c% de probabilidad o confianza de que el IC contenga a
θ".
23
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
•
•
P (θ = θˆ ± B ) = c : "se tiene una probabilidad o confianza del c% de que el margen de error B,
a partir del valor θˆ muestral, contenga a el valor poblacional θ ".
P (θ < θˆ + B ) = c : "se tiene una probabilidad o confianza del c% de que el límite superior:
LCS= θˆ + B sea mayor que el valor poblacional θ ".
Complementariamente, suelen utilizarse expresiones del tipo:
"Las variaciones dentro del IC no son significativas al nivel α%".
Veamos ahora los mismos 2 subpasos para la inferencia por Prueba de Hipótesis.
P4a Inferencia por PH
En un IC, se parte del resultado de la muestra y se basa en él un IC del parámetro poblacional. En
una Prueba de Hipótesis, PH, se parte de un valor hipotético o creencia acerca del parámetro
poblacional y se basa en él un intervalo de Rechazo–No Rechazo del resultado muestral. En cierta
forma se corresponde con los problemas del capítulo 4, pues parte de la población (en este caso
hipotética) hacia la muestra.
Podría interesarnos probar, por ejemplo:
• Si el peso de los dulces de la marca M es en efecto 950 g
• Si la proporción de clientes mujeres con vehículo, es la misma que la de hombres con vehículo
• Si la proporción de alumnos no residentes es menor a 25%
• Si la variabilidad en las puntuaciones de una calificación de crédito es mayor a 75
• Si la desviación estándar de los tiempos de espera en una cola son mayores o iguales a 1.5
minutos
Casi cualquier investigación contiene una prueba de hipótesis pues provee un método consistente
para que cualquiera de nosotros pueda tomar decisiones en forma objetiva, con independencia de
nuestro pensamiento subjetivo.
Se procede con la siguiente secuencia de 2 pasos:
1. Elección de la PH
2. Comparación
1 Elección de la PH
Existen 2 tipos de pruebas:
1. Bilateral o de 2 colas
2. Unilateral o de 1 cola
Prueba Bilateral o de 2 colas
Partiendo de la ecuación probabilística (aunque no es imprescindible en este método), se conoce
ahora el valor del parámetro a estimar θ, pues se formula una hipótesis acerca del mismo que
llamaremos θ0. Ahora la incógnita es el valor muestral llamado crítico, el cual se despeja. Los
intervalos que se crean están ahora basados en θ0, y las regiones se llaman Región de Rechazo, RR
y Región de No Rechazo RNR, complementarias entre sí. La RR se llama región crítica.
En la figura 5-3, se muestran estos conceptos, en donde, para ejemplificar, puede suponerse que se
trata de la prueba sobre la media de la población (θ = μ), por lo cual las medias muestrales se
encontrarían en el eje de abscisas y la distribución sería simétrica.
24
Jorge Carlos Carrá
Introducción
P4a Inferencia por PH
Figura 5-3
Distribución muestral de
θˆ , bajo la hipótesis nula: H0: θ =
θ0
Quedan definidas 2 hipótesis complementarias entre sí:
H 0 : θ = θ0
H A : θ > θ0 y θ < θ0
La hipótesis que contiene el valor hipotético se llama hipótesis nula H0 y se llama así pues como
veremos luego, no contiene el efecto que se desea probar, es decir se presenta por la negativa.
La hipótesis con todos los valores θΑ alternativos a la hipótesis nula, se la llama hipótesis alternativa
HA, en donde θΑ es la negación de θ0. La hipótesis nula siempre contiene la igualdad, pues es la que
define la distribución. Por consiguiente la hipótesis alternativa siempre contendrá desigualdades.
Se han graficado en la figura:
1. Los valores críticos que servirán para realizar la prueba θˆc y zc , los cuales definen una región
llamada región crítica, en la figura llamada Rechazo (RR de H0). Observar que las
desigualdades de HA apuntan en la dirección de la región crítica.
2. El valor que resulta de la muestra, θˆm y, en el caso de que exista, su expresión estandarizada,
por ejemplo zm (en general podrá ser cualquier estadístico de prueba con distribución conocida,
entre ellas las vistas en el capítulo 4: z, t, χ2 , F).
3. Las áreas de las colas correspondientes a los valores, crítico y muestral, las cuales se llaman
alfa, α (error α o nivel de significación) y valor p (valor de probabilidad o valor de
significación), respectivamente.
Observar que p es el menor nivel de significación que conduce a rechazar H0. En otras palabras
es la probabilidad de obtener por azar un estadístico de prueba al menos tan extremo como el
que presentan los datos. Si este valor p es muy bajo, el evento es poco común y es poco probable
que el resultado se haya debido al azar por lo cual es admisible rechazar la hipótesis.
Las magnitudes de p y α se definen matemáticamente de la siguiente manera:
• Si interesan las 2 colas, el valor α se divide por igual de tal forma que (usualmente) las colas
sean de igual área., es decir:
Cola superior: α / 2 = P (θˆ > θˆcs )
Cola inferior: α / 2 = P (θˆ < θˆci )
donde los subíndices significan, ci: crítico inferior y cs: crítico superior.
Estas expresiones probabilísticas deberían escribirse en realidad, así:
α / 2 = P (θˆ < θˆci | H 0 es verdadera )
En lo sucesivo y para simplificar la notación, se sobreentenderá la condicionalidad de la
25
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
•
expresión, pero esto no debe conducir a cometer el error de interpretar α como la probabilidad
de rechazar H0, sin agregar la expresión condicional: si H0 es cierta.
Como el valor p se compara con α, deberá ser el doble del área de la cola respectiva (ver figura
5-3), es decir:
p = 2 P (θˆ > θˆm ) si θˆm cae en la cola superior
p = 2 P (θˆ < θˆm ) si θˆm cae en la cola inferior
Si la distribución es simétrica, pueden utilizarse expresiones equivalentes, las cuales hacen uso de la
notación de valor absoluto:
p = P (| θˆ |> θˆm ) , si la media es cero.
p = P (| θˆ − μ |> θˆm − μ ) , si la media no es cero.
Veamos ahora la estructura del razonamiento de una prueba de hipótesis. Enfaticemos que nunca
conoceremos con certeza la verdad o falsedad de una determinada hipótesis, a menos que se examine
toda la población. Es por esta razón que se debe trabajar con probabilidades.
Bajo el supuesto de que H0 es cierta, entonces:
Se rechaza H0
Se rechazará H0 si el suceso es poco común (capítulo 3, página pococomun3)3. En otras palabras se
rechazará H0 si el valor de la muestra cae dentro de la región crítica o sea en las colas definidas por
α, lejos del valor hipotético θ0. En esta zona existirá como máximo una probabilidad dada por α
(muy baja) de que ese resultado haya sucedido por azar. Ver en la figura que θˆm > θˆc o
equivalentemente p < α.
Observar que α es entonces la probabilidad de que los valores muestreados conduzcan a rechazar H0,
si ésta es cierta.
Es importante insistir en indicar que alfa no establece un valor respecto de H0, sino lo que sucederá
en futuros experimentos sucesivos, si H0 es cierta. En el porcentaje dado por alfa, estos experimentos
superarán el valor crítico, y por lo tanto en ellos, se rechazará H0.
Las causas de rechazo podrán estar vinculadas o a la población o a la muestra:
• Población
la igualdad establecida en la hipótesis no es adecuada o la población no es la supuesta.
• Muestra
no ha sido representativa (el proceso de muestreo no ha sido aleatorio). Aquí se puede apreciar la
importancia de la representatividad de la muestra. Si el muestreo no fuera aleatorio, no habría
forma de saber si la causa de éste comportamiento se debe a deficiencias de la muestra o a
factores relacionados con la población.
No se rechaza H0
No se rechazará H0 si el valor de la muestra cae dentro de la región no crítica, o sea fuera de las
colas definidas por α. En esta zona existirá una probabilidad dada por c (muy alta) de que ese
resultado haya sucedido por azar.
Ver en la figura que ahora θˆm < θˆc o equivalentemente p > α.
Prueba Unilateral o de 1 cola
Las PH unilaterales se utilizan cuando solo un solo sentido es de interés. No se genera un intervalo
central sino uno inferior o uno superior y por lo tanto una sola región de rechazo. La HA contiene
ahora una sola desigualdad. Estas pruebas proveen mayor información que las bilaterales pues se
informa el sentido. Se reconocen estos casos pues el enunciado del problema contiene palabras del
3
Observar que, a diferencia del capítulo 3, aquí el evento no es un solo resultado muestral sino un parámetro
resultante de n resultados muestrales.
Jorge Carlos Carrá
26
Introducción
P4a Inferencia por PH
tipo: mayor que, menor que, superior, al menos, etc. Si ninguna dirección está
implicada, usar una prueba de 2 colas.
En estas pruebas se tienen 2 opciones:
PH de cola inferior
H 0 : θ ≥ θ0
H A : θ < θ0
PH de cola superior
H 0 : θ ≤ θ0
H A : θ > θ0
Los valores de α y de p expresan el área de una sola de las colas.
Una distribución requiere que el valor del θ hipotético esté definido, por lo cual el signo igual debe
seguir perteneciendo a H0.
Nota
Los programas de software indican si el valor de p es de una cola o de 2 colas, pero si no lo establece, se
sobreentiende que el valor p suministrado es de 2 colas.
Si el programa entrega un valor de p de 2 colas y la prueba es bilateral se debe comparar α con el valor de p
dado. Si es unilateral, se debe comparar α con la mitad del valor de p dado.
2 Comparación
Luego de haber elegido las hipótesis y el valor de α, se compara el valor crítico con el que resulta de
la muestra. Si ésta cae en la zona crítica se rechaza la hipótesis nula. Si cae fuera de esta zona, no se
rechaza la hipótesis nula.
Para realizar esta comparación se puede optar entre comparar valores de área o valores de eje (ya sea
con el estadístico muestral o el de prueba estandarizado).
Alternativas de comparación
En la tabla de la figura 5-4a, se resumen las 3 alternativas de comparación para los casos en los que
exista una variable estandarizada: z, t, χ2 o F (el renglón de la estandarización no es aplicable por
ejemplo en las distribuciones binomial o hipergeométrica). En la figura se ejemplifica para una
transformación z. Los valores sombreados son los datos de partida habituales ( α y θˆm ).
La comparación para saber en que zona cae la muestra solo podrá realizarse dentro del mismo
renglón. Por lo tanto si los valores de partida son los sombreados, será necesario recorrer las
conversiones indicadas con las flechas. Si por ejemplo se deseara pasar de α a θˆC para comparar con
los valores del eje estandarizado (primer renglón), se debera´convertir:
α → zc , con la distribución (tabla o software)
zc → θˆc , con la trnasformación matemática que vincula estas 2 variables.
Observar que cualquiera sea la comparación elegida, se requiere recorrer 2 flechas para convertir, sea
en forma ascendente, sea en forma descendente o sea en forma combinada. Por la forma de operar
con este mecanismo, bien podría llamarse a esta tabla: "ascensor".
En la figura 5-4b, se expresan las comparaciones en una forma más adecuada si se utiliza un
lenguaje matemático en reemplazo de la interpretación gráfica (las desigualdades resultan así
independientes de que sea una prueba unilateral o bilateral).
A pesar de que cualquiera de las 3 comparaciones es válida, en el trabajo a mano es más conveniente
comparar ejes (pues las tablas de distribuciones como las vistas en el capítulo 4 no son exhaustivas).
Los paquetes de software comparan por áreas y por lo tanto entregan el valor p y de hecho han
popularizado su uso, a partir de la utilización cada vez más intensiva de la computación. Con el valor
p, el usuario cuenta con el dato preciso del error que se asocia con su decisión. De hecho, en las
27
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
conclusiones de las publicaciones académicas es usual colocar como mínimo los 3 valores de la
columna derecha de la figura 5-4a.
Crítico Muestra
θˆ
θˆ
c
m
Transformación
Ejes
zc
zm
Distribución
Áreas
α
p
Figura 5-4a
Crítico Muestra
B
| θˆm − θ |
Transformación
Ejes
| zc |
| zm |
Distribución
Áreas
α
p
Figura 5-4b
Ascensor
Conclusión fuerte y débil
El rechazo de H0 es una conclusión fuerte y el no rechazo es una conclusión débil. Estas
particularidades pueden comprenderse si construimos el IC para cada situación. Ejemplificaré para
una prueba bilateral:
H 0 : θ = θ0
H A : θ ≠ θ0
Conclusión fuerte
El IC para cualquier valor muestral θˆm que se localice en la RR no comprenderá al valor θ0 (tiene un
semiancho de B y la distancia entre θ0 y el comienzo de la región crítica también es B). Por
consiguiente, tenemos una confianza, por ejemplo de 95%, que no contenga a θ0. Si θˆm se localiza
θ > θ0 (todos los valores del IC
cumplen esta desigualdad). Análogamente si se localiza en la cola inferior, para afirmar que θ < θ0
en la cola superior, tenemos evidencia suficiente para afirmar que
(ídem anterior).
Esta conclusión es controlada por el analista al fijar libremente el valor de α, normalmente menor al
5%. Como profundizaremos en la siguiente sección, este valor nos informa acerca de la probabilidad
de cometer el error de rechazar H0, cuando en realidad es cierta. Si el investigador desea mayor
precisión (menor error), solo tiene que disminuir este valor, pudiendo tomar 1% o incluso menor, si
las consecuencias de cometer este error son graves. En cualquier caso, al rechazar una prueba, se
conoce en forma inmediata el error α cometido.
Conclusión débil
Si el valor muestral θˆm se localiza, en cambio, en la RNR, el IC comprenderá al valor θ0 pero
también a otros infinitos valores. Por consiguiente, tenemos una confianza, por ejemplo de 95%, que
28
Jorge Carlos Carrá
Introducción
P4a Inferencia por PH
contenga a θ0 y también a otros posibles valores. En este caso no tenemos evidencia suficiente para
afirmar que θ = θ0 .
Veremos en la sección Diseño, que en este caso se comete un error llamado β, de no rechazar H0
cuando en realidad es falsa, normalmente mayor al 20% (veremos además que ambos errores α y β
están vinculados inversamente). Observamos entonces que los valores de referencia convencionales,
citados anteriormente, conducen a pensar que el azar interviene con mayor influencia en los errores
β.
En resumen:
• El rechazo de H0 es una conclusión fuerte. Solo restará saber cuál es la magnitud de la hipótesis
alternativa que está provocando el rechazo y que permita cuantificar la existencia de un valor
real en el sentido de la desigualdad de HA. Esto se estudiará luego, en la sección Diseño, con la
potencia de la prueba.
• La zona de no rechazo conduce a una conclusión débil y al decir: no se rechaza H0, estamos
diciendo: no se tiene evidencia suficiente para rechazar H0. Una de las posibilidades es que H0
sea cierta, pero podría no serlo. Esta probabilidad es medida por β.
Esta es la causa por la cual no hemos utilizado el término: se acepta H0 para definir esta región.
En algunos textos se enfatiza esta cuestión estableciendo que la única forma de obtener una
conclusión estadística, es rechazando H0 4. Dicho de otra forma, se formula H0 con la ilusión de
que sea rechazada, pues de esta forma logramos sustentar con evidencias ese rechazo,
cometiendo un error conocido y controlado por el investigador.
Por todo esto, resulta importante que la conclusión de interés se asocie a la hipótesis alternativa HA
(llamada por esto, hipótesis de investigación). De esta forma, si se rechaza H0, se logra la conclusión
deseada. Observar que la hipótesis alternativa HA es lo que se busca, pero no contiene la igualdad, la
cual se encuentra en H0. De aquí la necesidad de H0, como hipótesis de referencia, pues es la que
provee la distribución que permite realizar el análisis de probabilidades.
Prueba unilateral
En el caso de una prueba unilateral, ¿cuál de las 2 pruebas de 1 cola utilizar?
La respuesta depende de la actitud ante los riesgos. Ésta cuestión se relaciona aquí con el hecho de
que la región de rechazo de H0 es la conclusión de fuerte evidencia y la de no rechazo, de débil
evidencia.
Consideremos por ejemplo la compra de un producto cuando un determinado indicador poblacional
θ (por ejemplo: dureza, calidad, cantidad, etc) supera un determinado valor θ0 (valor que pudo haber
surgido de experiencias previas, de la teoría o de especificaciones contractuales).
Se puede seguir una secuencia de 2 pasos:
1. Relación entre las desigualdades y las acciones. Es una forma compacta de expresar el
enunciado.
2. Relación entre las desigualdades y las hipótesis. Estas deben ser definidas por el analista.
La primera relación es en este caso:
Desigualdad: θ > θ0 => Acción: comprar
La segunda relación presenta las siguientes opciones.
Opción 1
H 0 : θ ≥ θ0
H A : θ < θ0
En este caso, la compra está asociada a la conclusión débil o en otras palabras compramos con débil
evidencia. Esta opción puede ser la adecuada cuando confiamos en el vendedor y tomamos el riesgo
de aceptar que pueda presentarse un valor moderado en el sentido contrario al deseado.
4
Si se decide utilizar la expresión "se acepta H0", se debería incluir también: "provisionalmente, hasta estudiar
el error β que se comete".
29
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Opción 2
H 0 : θ ≤ θ0
H A : θ > θ0
En este caso, la compra está asociada a la conclusión fuerte o en otras palabras compramos con
fuerte evidencia, es decir obligamos al vendedor a demostrar que su producto cumple las
especificaciones. Esto puede ser apropiado cuando estamos en presencia de un vendedor no
confiable.
En la consigna de los problemas que se presentan en este capítulo, el investigador ya ha realizado el
análisis anterior y ha planteado una aseveración, la cual debemos respetar. Por lo tanto:
Si la aseveración contiene un signo igual se asociará a la H0, de lo contrario a la HA.
Ejemplos:
1) la proporción de tenistas es menor a 0.5 =>
⎧ H 0 : p ≥ 0.5
⎨
⎩ H A : p < 0.5 Aseveración
2) la media de alturas es al menos 1.65 m =>
⎧ H 0 : μ ≥ 1.65 Aseveración
⎨
⎩ H A : pμ < 1.65
3) la varianza de pesos difiere de 700 g =>
⎧⎪ H 0 : σ 2 = 700
⎨
2
⎪⎩ H A : σ ≠ 700 Aseveración
P4b Decisión por PH
Observar que la clave las expresiones siguientes es que la decisión fuerte se debe encontrar siempre
en la región de rechazo y por lo tanto es la que se debe asociar con la existencia o no de la evidencia.
En publicaciones científicas es usual complementar el resultado de la PH con el valor p y el IC.
Se resumen a continuación 5 aspectos de interés.
Evidencia y significación
La expresión utilizada para expresar los resultados de una PH: "Existe evidencia...." o "No existe
evidencia...", es una frase constructiva pues ayuda a reflexionar acerca de cuál es la decisión que
presenta o no la evidencia. Esta frase siempre debe estar asociada con la decisión fuerte y por lo
tanto con la región de rechazo.
Utilizar el siguiente lenguaje en PH:
• Cuando el valor muestral cae en la región de Rechazo:
"Existe evidencia suficiente para rechazar H0 (sustentar HA)".
"Las diferencias con la hipótesis son significativas al nivel α%".y se rechaza la hipótesis nula".
• Cuando el valor muestral cae en la región de No Rechazo, se utilizan las mismas expresiones
anteriores, agregándoles la palabra: "no".
"No existe evidencia suficiente para rechazar H0 (sustentar HA)".
"Las diferencias con la hipótesis no son significativas al nivel α%" y no se rechaza la hipótesis
nula".
En cualquier caso agregar la información numérica correspondiente al cálculo del valor p, tal como
t(5) = 2.23, p = 0.038.
Redacción
La redacción de la conclusión final debe contener la aseveración inicial planteada por el
investigador, para lo cual se utilizan expresiones del tipo: "rechazar H0" y sustentar HA", con H0 y HA
30
Jorge Carlos Carrá
Introducción
P4b Decisión por PH
reemplazadas por la aseveración original.
Se sugiere que la conclusión se formule en 2 partes autónomas entre sí:
Primera parte: Significación
•
•
Si el resultado es significativo => "Existe evidencia suficiente…".
Si el resultado es no significativo => "No existe evidencia suficiente…".
Segunda parte: Aseveración
En cualquier caso la evidencia se debe asociar con la HA, por lo tanto la oración sigue así:
• Si la aseveración se encuentra en H0 => "…para rechazar la aseveración"
• Si la aseveración se encuentra en H1 => "…para sustentar la aseveración"
Luego de estudiar los riesgos α y β, veremos en la página 45 un criterio con el cual el investigador
podrá definir cual de las dos opciones posibles de una prueba unilateral (por ejemplo θ > θ 0 o
θ < θ 0 ), elige como H0 (a la cual le asignará por lo tanto el signo igual).
Redacción para los 3 ejemplos anteriores:
1) Si el resultado es significativo (no significativo) => (no) existe evidencia suficiente para sustentar
la aseveración original de que p < 0.5.
2) Si el resultado es significativo (no significativo)=> (no) existe evidencia suficiente para rechazar
la aseveración original de que μ ≥ 1.65.
3) Si el resultado es significativo (no significativo)=> (no) existe evidencia suficiente para sustentar
la aseveración original de que HA: σ2 ≠ 700.
Igualdad
En forma paralela, dado que la aseveración de igualdad forma parte de la H0, una PH nunca puede
sustentar una aseveración de igualdad.
Es un error decir:
"Como resultado de la prueba, podemos concluir que la proporción de votantes es del 50%."
"Existe evidencia suficiente para aceptar la hipótesis H0 de que..."
Múltiples negaciones
La utilización de la frase "No existe evidencia..." puede originar múltiples negativos como por
ejemplo:
"No existe evidencia para rechazar la hipótesis de que no existen diferencias entre la media
poblacional y el valor 143"
Esta frase, si bien correcta, podría resultar confusa para un interlocutor no entrenado. Es preferible,
por ejemplo:
"No existe evidencia para rechazar la hipótesis de que la media poblacional tiene el valor 143"
Sentido común
Antes de aplicar un procedimiento de PH unilateral, controlar que los datos muestrales no
contradigan la HA para lo cual deben encontrarse en el sentido de la desigualdad contenida en la
misma. Si esto no sucede, no existe ninguna posibilidad de que los datos puedan sustentar la HA. En
este caso no realizar ninguna prueba y concluir que no se rechaza la H0.
Tres errores para tener en cuenta
Si bien fueron ya expuestos, es conveniente finalizar esta introducción, resumiendo los 3 errores más
habituales.
1. IC
Se debe decir: "existe un c% de confianza de que el IC contenga al valor θ", o "se tiene una
confianza del c% de que el valor muestral θˆ , se encuentre a menos de B, del valor θ
poblacional".
31
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
No decir: " existe un c% de confianza de que θ pertenezca al IC", o "se tiene una confianza del
c% de que el valor poblacional θ , se encuentre a menos de B, del valor θˆ muestral"
El valor θ es una constante y no una variable aleatoria. Una vez fijado el IC, θ pertenece o no
pertenece a él.
2. PH.
Se debe decir: "no se rechaza H0", lo cual significa que no se tiene evidencia suficiente para
rechazar H0.
No decir: "se acepta H0".
Esta afirmación solo puede ser expresada si se ha realizado un estudio de la potencia (ver más
adelante) y ésta ha resultado elevada para tamaños del efecto grandes.
3. Valor α
No interpretar α como la probabilidad de rechazar la hipótesis nula H0, sin agregar la expresión
condicional: si H0 es cierta.
Lo mismo se aplica al valor p.
Paso 5 Verificación y validación
P5a Verificación de supuestos
Consiste en la verificación de las especificaciones de diseño. En particular se realizará un estudio de
la potencia retrospectiva, técnica que se estudiará al final de la sección diseño.
P5b Validación
El resultado de la inferencia se valida con una nueva muestra o con una subdivisión de la que
procesó.
Por razones didácticas dividiré el resto del capítulo en 5 partes:
• I Diseño
• II Una variable: Comparación de grupos (IC y PH)
• III Dos variables: Comparación de grupos (IC y PH)
• IV Dos variables: Asociación de variables (IC y PH)
• V Pruebas de Control de Calidad, SQC
32
Jorge Carlos Carrá
I Diseño
a Tipos de muestreos probabilísticos
I Diseño
He comentado anteriormente 3 aspectos a tener en cuenta en la etapa de diseño, antes de realizar la
toma datos.
a. Tipo de muestreo.
b. Errores α, β y Potencia P
c. Tamaño de la muestra, n.
En esta sección presentaremos cada uno de estos temas.
Incidentalmente es oportuno observar que en los 3 últimos pasos del proceso, se requieren 2
distribuciones:
P3 Diseño
Esta etapa es previa al muestreo y por lo tanto no se requiere la distribución de la muestra.
1. Distribución poblacional hipotética (H0)
2. Distribución poblacional alternativa (H1)
P4 Análisis
Este paso es el único que requiere el análisis de la muestra.
1. Distribución poblacional hipotética (H0)
2. Distribución de una muestra
P5 Verificación de supuestos
Este paso es en realidad un ajuste del diseño luego del análisis, por lo cual se requieren nuevamente
2 distribuciones poblacionales.
1. Distribución poblacional hipotética (H0)
2. Distribución poblacional alternativa (H1)
a Tipos de muestreos probabilísticos
En un censo, a diferencia de un muestreo, se toman todos los elementos de todos los niveles.
1 Muestreo aleatorio simple, MAS
El es el tipo de diseño más simple y consiste en tomar toda la población en conjunto y extraer de ella
una muestra con elementos al azar. Cualquier elemento tiene la misma chance de ser elegido.
Ejemplos: rating de televisión, encuestas.
No siempre conviene muestrear aleatoriamente a toda la población. Algunos de los siguientes
diseños aprovechan la distribución de la población en niveles y subniveles, para bajar los costos o la
variabilidad.
Un ejemplo con distintos niveles anidados es: País(Escuela(Clase(Alumno)))
2 Muestreo Estratificado, Stratified
Los estratos son niveles con elementos homogéneos.
Se toman todos los estratos y se hace un muestreo aleatorio de los elementos de cada estrato. En un
caso extremo, con todos los elementos iguales, la media es igual a la de cualquier elemento y la
varianza es cero.
33
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Dado que los estratos presentan menos dispersión interna que dentro de la población sin estratificar,
mejora la variabilidad y por lo tanto la representatividad.
Ejemplo: Partidos Políticos(Afiliados). Se toman todos los partidos políticos y se muestrea a los
afiliados.
3 Muestreo por Conglomerados, Cluster
Los conglomerados son poblaciones en pequeña escala.
• Una etapa Single stage
Muestreo aleatorio de los conglomerados y tomar todos los elementos de cada conglomerado.
Presenta la ventaja de que no se necesita una lista de los elementos. Además, si los elementos
están muy distribuidos, baja los costos. Ejemplo: urnas electorales (personas). Se muestrea a
algunas urnas y se toman todas las personas.
• Bietápico, Bi–stage
Muestrear aleatoriamente a los conglomerados y también muestrear a los elementos de cada uno
de ellos. Se llama Multietápico (Multi–stage) cuando se repite el proceso, muestreando en todos
los niveles.
Otros ejemplos: hospitales(enfermos), pinos(hojas), Municipalidad(Manzanas(Personas)),
Escuela(Alumno), etc.
4 Muestreo sistemático
Algunas veces llamado quinteo. El primer elemento se elige al azar. Los restantes a intervalos
uniformes (uno cada cierta cantidad de elementos).
Ejemplo: encuestas.
Error de muestreo
Aparece como consecuencia de utilizar una parte de la población para estimar características de toda
la población.
Error de no muestreo
Son errores que no tienen que ver con el hecho de seleccionar una muestra.
Puede ser consecuencia de la naturaleza del diseño del estudio y/o de las imperfecciones en su
ejecución.
Se presentan tres tipos de errores de no muestreo:
1. Error de selección.
2. Error por falta de respuesta.
3. Error de medición.
Hasta el capítulo 9 se considera que el muestreo es MAS (aleatorio simple).
34
Jorge Carlos Carrá
I Diseño
b. Potencia P y errores alfa y beta
b. Potencia P y errores alfa y beta
Error α
Al definir la hipótesis H0, el analista está definiendo:
• α: probabilidad de rechazar H0 si es verdadera, P(RH0|H0).
• c = 1-α, probabilidad de no rechazar H0 si es verdadera, P(R'H0|H0).
Obervar que ambas expresiones, como todas las que se derivan de una prueba de hipótesis, se deben
interpretar dentro de una expresión condicional del tipo:
si la hipótesis nula es verdadera, entonces …
Error β y potencia P
Plantearemos ahora una H1 perteneciente al complemento de H0 que sea de particular interés en la
investigación.
¿Qué sucede si H0 es falsa y por lo tanto resulta verdadera una hipótesis H1 perteneciente a HA?
En la figura 5-5 se esquematiza la situación para la distribución muestral de la media.
Figura 5-5
Aunque las curvas se pueden dibujar con un eje θˆ común, por razones de claridad se han dibujado
separadas en esta figura.
H0: μ=μ0 origina la curva superior, si H0 es verdadera.
H1: μ=μ1 origina la curva inferior si una hipótesis específica con media μ1 es verdadera. Sus
divisiones se corresponden con los mismos sectores (colas) de la distribución H0.
Se agregan entonces ahora otras 2 probabilidades condicionales del tipo: si la hipótesis
nula es falsa, entonces …:
• β: probabilidad de no rechazar H0 si es falsa, P(R'H0|H1). Expresada como una función de θ,
β = β(θ), se llama CO, Característica de Operación.
35
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
•
1-β: probabilidad de rechazar H0 si es falsa, P(RH0|H1), también llamada Potencia estadística de
H1, P. Expresada como función de θ, resulta P = P(θ).
Si por ejemplo H1 es cierta y P = 66%, en 2 de cada 3 veces, el resultado de una muestra será
significativo.
El caso típico es probar una H0 contra un conjunto de valores de H1, por lo cual estas definiciones se
expresan como función de θ para así poder comparar las potencias P (o CO) para todos los valores
posibles de θ, extendiéndolas incluso para el valor de θ perteneciente a H0. Por lo tanto:
⎧α
P(θ ) = ⎨
⎩1-β
si θ = θ 0
si θ ≠ θ 0
⎧1 − α
si θ = θ 0
⎩β
si θ ≠ θ 0
β (θ ) = ⎨
P (θ ) = 1 − β (θ )
Curvas de potencia
Las curvas de potencia para cada problema resuelto, se obtendrán más adelante con un software
llamado GPower, pero podemos apreciar que para una prueba de 2 colas tendrá la forma de la figura
5-6, con el valor mínimo cuando θ = θ0 y tendiendo al máximo a medida que nos alejamos de este
valor, pues será más fácil para el test discriminar entre H0 y H1.
Figura 5-6
Los valores de potencia ideales serían entonces, 0 para θ = θ0 y 1 para θ ≠ θ0 . Este ideal nunca se
podrá alcanzar, pero un buen test será aquel para el cual la potencia se encuentre cerca de 0 para H0 y
cerca de 1 para H1.
En resumen se tienen en total 4 alternativas, para 2 eventos posibles: H0 es correcta o H0 es falsa y 2
acciones posibles: no rechazar o rechazar H0. En el cuadro de doble entrada de la figura 5-7a, se
resumen las 4 probabilidades, con el formato de una toma de decisiones (capítulo 3). Es importante
apreciar que los 4 casos son excluyentes, es decir que ninguna de ellos puede ocurrir en presencia de
otro.
Suelen llamarse a:
RH0|H0.= error de tipo I
R'H0|HA = error de tipo II.
De esta forma:
36
Jorge Carlos Carrá
I Diseño
b. Potencia P y errores alfa y beta
• α: probabilidad (error de tipo I)
• β: probabilidad (error de tipo II).
Tener en cuenta que un investigador nunca sabrá con certeza si la hipótesis H0 o H1 es verdadera, a
menos que conozca la población, en cuyo caso la estadística inferencial sería inútil. Por lo tanto
tampoco sabrá si está cometiendo un error α o β, pero podrá calcular y reducir las probabilidades de
cometerlos.
H0
Situación
H 1ε H A
Test
R'H0
RH0
Correcto
Error
c = 1-α
α
Error
Correcto
β
P = 1-β
Test
N
P
(H0) (HA)
N
(H0)
Situación
P
(HA)
VN
FP
FN
VP
a
b
Figura 5-7
Tener en cuenta
Los valores de α (o β) se refieren a la probabilidad de cometer un error dado que H0 (o H1) ha
ocurrido. En la tabla anterior estos valores se corresponden con los perfiles fila. Muy distintos
pueden ser los valores de cometer un error, dado que por ejemplo se ha rechazado H0. Este valor se
corresponde con el perfil de la columna RH0 y se asocia con la definición general de posibilidad
contra la chance (en inglés: odds against chance), vista en el capítulo 1, página posibilidad1.
La tabla siguiente ejemplifica esta diferencia para una población de 1000 individuos (con una
incidencia del 10%).
En este caso la probabilidad de que H0 sea verdad dado que se ha rechazado H0 (perfil columna RH0)
es de
45
1
45
= ≈ 33% , (equivale a un Odds =
= 50% ).
45 + 90 3
90
En cambio la probabilidad de rechazar H0 dado que H0 es verdad (perfil fila H0) es de α = 5%
Situación
H0
H 1ε H A
Test
Incidencia
R'H0
RH0
900
855
45 (α=5%)
100
10 (β=10%)
90
Figurra 5-8
Juicios
Suele utilizarse el procedimiento que se utiliza en un juicio como metáfora. En este caso se parte de
la presunción de inocencia:
H0: inocente
H1: culpable
Por lo tanto, resulta:
Error α: Es inocente y se lo considera culpable.
Error β: Es culpable y se lo considera inocente.
Pruebas Diagnóstico
Si consideramos convencionalmente como una prueba positiva a HA = P, se obtiene entonces la tabla
de la figura 5-7b, con las 4 interpretaciones, de acuerdo a la codificación médica de las Pruebas
Diagnóstico del capítulo 1, página codMedica1. Con esta codificación las 2 letras siguientes se
refieren al resultado del test, en este caso rechazar o no H0: VP (Verdadero Positivo), VN (Verdadero
37
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Negativo), FP (Falso Positivo) y FN (Falso Negativo).
Naturalmente se busca que los valores falsos (FP y FN) sean los menores posibles y que los
verdaderos (VP y VN) sean los mayores posibles.
Observar que en el contexto del ejemplo médico del capítulo 1, la distribución H0 es la de los
pacientes sanos, la de H1 es la de los pacientes enfermos, la potencia P es la sensibilidad, el
coeficiente de confianza c es la especificidad y la curva ROC es la Potencia versus alfa.
Se ha ordenado la tabla de contingencias para que se corresponda espacialmente con los 4 sectores
de las distribuciones de la figura 5-5, pero se debe notar que las distribuciones del estado real en las
pruebas de diagnóstico, se verifican simultáneamente. Aquí en cambio, las distribuciones de H0 y H1
son excluyentes.
La fila de H1 perteneciente a HA se analiza para saber que sucede cuando un evento específico H1 (en
este caso cuando un valor específico μ1), sucede. En forma concreta, esta fila se estudia para conocer
el error de no rechazar H0 o la probabilidad de rechazar H0, si en realidad un valor H1, perteneciente
a HA, sucede (ver figura 5-5).
Como alguna de las 4 alternativas debe suceder, pero uno nunca está seguro si el estado es H0 o H1,
en todo estudio deberían incluirse los valores de α y de P (o β = 1–P). El valor de α se adopta
convencionalmente en 5% (riesgo de 1 en 20) o en 1%.
Nota
Si consideramos como prueba positiva a la H0 (no es lo que se considera convencionalmente), se deberían
cambiar las P por las N.
Potencia estadística P
De acuerdo a lo ya comentado, es una indicación de la sensibilidad de la prueba, entendida como la
habilidad para detectar diferencias que superen un determinado valor.
P en porcentaje indica que si H1 es cierta, se rechazará H0, en un P% de las veces, detectando la
diferencia entre los valores de H0 y H1.Por su parte β mide el error de no detectar una diferencia que
está en la población.
Como veremos a continuación, depende de varios factores, pero el valor mínimo aceptable de
potencia que los investigadores utilizan para que tenga sentido el estudio, es de 80% (lo cual
equivale a un máximo de β = 20%).
Factores que afectan a P
Observando la figura 5-5, pueden extraerse los 3 factores que afectan a P (y por lo tanto al error
β = 1 − P ):
1. El error α
Los valores de α y P están interrelacionados. Cuando uno crece, el otro decrece y viceversa, en
tanto las distribuciones no varíen.
El valor de α se vincula estrechamente con el tipo de prueba: unilateral o bilateral.
Una prueba de una cola tiene mayor P que una prueba de 2 colas. Esto sucede porque la prueba
bilateral disminuye las colas (o sea α) en la mitad y por la conclusión anterior, disminuye P. Esta
conclusión es intuitiva pues una prueba unilateral agrega más información (la dirección) y por lo
tanto es lógico que aumente la potencia.
Observar que cuando las hipótesis coinciden, la potencia es el valor α.
2. El tamaño del efecto d
Ver apartado siguiente.
3. El tamaño de la muestra n
Este factor es el que usualmente regula el investigador para controlar la potencia (y β). Si el
tamaño de la muestra crece, decrece el error estándar y las curvas se hacen más leptocúrticas
(capítulo 1). Para igual punto crítico, α decrece y P crece. Esta particularidad se observará
matemáticamente en el punto siguiente.
38
Jorge Carlos Carrá
I Diseño
b. Potencia P y errores alfa y beta
Tamaño del Efecto de la población
En el capítulo 1, página ESBondad1, se introdujo por primera vez el concepto de tamaño del efecto,
al tratar el análisis de la Bondad del Ajuste de una variable.
En forma má genérica, se define al Tamaño del Efecto como cualquier medida estadística que
evidencia el grado con el que un evento dado esta presente en una poblacion (Cohen J. 1988, página
10). El tipo de medida se llama efecto, y su magnitud es el tamaño del efecto. Es razonable definir la
diferencia o distancia entre el valor de H0 y el valor de H1, ambos poblacionales, como tamaño del
efecto, E. En su forma más simple, para el caso de la distribución muestral de la media, se define
como:
E = μ1 − μ0
Se estandariza este valor, definiendo el tamaño del efecto estandarizado, simbolizado con la letra d.
Es el cociente entre E y la desviación estándar.
μ1 − μ0
direccional
σ
μ − μ0
d= 1
no direccional
σ
d=
(5.3)
Observar que d (semejante a la variable z de la población con desviación estándar σ) depende de E y
de σ. d aumenta si E aumenta o σ disminuye y viceversa.
Sin embargo notemos que el tamaño del efecto de la media se divide por el σ de la población y no
por la desviación estándar de la distribución muestral de medias. Esto debe ser así pues un tamaño
del efecto debe ser un descriptor de la población y no depender de la muestra ni de su tamaño.
Respecto de la variabilidad de la población, naturalmente se debe procurar controlar aquellos
factores que la incrementan, relacionados con los errores y la confiabilidad de las mediciones.
Si d se achica, por ejemplo al modificar E acercando el valor de H1 a H0 (implica correr μ1 hacia la
izquierda en la figura 5-5), la superposición de las distribuciones aumenta, P disminuye y viceversa.
Así por ejemplo, si μ1 coincide con el valor crítico, la potencia es 0.50.
En relación con d, β mide la probabilidad de no detectar el tamaño del efecto, cuando existe.
Es difícil de saber de antemano el tamaño del efecto existente en el estudio, pues la mayoría de los
investigadores analiza un tema por primera vez y solo tienen una vaga idea del efecto a esperar. Una
ayuda útil para convertir esa vaga idea en un número son las reglas de Cohen, J. 1988 (pag. 38). Este
investigador define valores convencionales para los tamaños del efecto, los cuales se recomiendan
cuando se carece de otra información aplicable. Los valores para algunas pruebas que estudiaremos
en este capítulo, se resumen en la tabla de la figura 5-8.
Verbal
Pequeño
Mediano
Grande
g
d, h
0.20 0.05
0.50 0.15
0.80 0.25
ρ, q, w
0.10
0.30
0.50
Figura 5-8
Por ejemplo para la prueba de la media μ, se tiene:
• d chico = 0.20 (es decir 20% de la desviación estándar σ)
• d mediano = 0.50 (es decir 50% de la desviación estándar σ)
• d grande = 0.80 (es decir 80% de la desviación estándar σ).
Observar que el efecto sobre P de los factores α, d y n, es directamente proporcional. Como
consecuencia, si el tamaño del efecto que se desea detectar es grande, no se necesitarán muchos
39
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
casos para tener una buena probabilidad de detectarlo. En cambio si es pequeño, el tamaño de la
muestra deberá ser grande.
Sabiendo que P y β están interrelacionadas en forma contraria, las 3 conclusiones mencionadas para
P también son aplicables a β, pero en sentido contrario.
La debilidad de la zona de no rechazo de H0, anteriormente comentada, se basaba en la posibilidad
de que esta región pueda incluir un valor moderado en el sentido de la desigualdad de HA. Ahora
podemos ver que la posibilidad de que esto suceda (medida por β) crece a medida que disminuye el
tamaño del efecto. Si β es grande, será grande la debilidad de esta región.
Los investigadores son cuidadosos en limitar un error α (FP), pero mucha atención debe ser dada a
los errores β (FN). Esta situación es de suma importancia por ejemplo en medicina. Si se parte de
que H0 asume que la población está sana, un error de diagnóstico β considera que no hay enfermedad
cuando en realidad la hay (Falso Negativo) y por lo tanto se perdería un tiempo precioso para iniciar
un tratamiento efectivo. De aquí la importancia de elegir una muestra lo más grande que se pueda
para minimizar el valor de β (aunque controlando el riesgo de n grande que se verá más adelante).
Finalmente, es conveniente puntualizar que, aún para valores determinados del tamaño de la prueba,
de la desviación estándar de la población y de α, una prueba de hipótesis tiene infinitos valores de
Potencia P (o del error β), pues este depende del tamaño del efecto. De aquí que carece de sentido la
expresión: "la potencia de esta prueba es 0.80", si no se complementa con la información
correspondiente del tamaño del efecto para el cual es válida.
En la bibliografía se encuentra el enlace para correr el applet Prueba de Hipótesis.
Curvas de Potencia
Es posible obtener en forma gráfica o tabular la relación de un parámetro (α, P, n o d) en función de
otro cualquiera, para los 2 restantes constantes, o para distintos valores de dos de los restantes,
manteniendo el otro constante. En particular son de interés las curvas de la potencia P en función del
tamaño del efecto y de la potencia P en función de n.
Cálculo de P (o de β)
1 A mano
Solución centralizada
Es una cálculo de la potencia aproximado, pero directo. El grado de aproximación es bueno si el
tamaño de la muestra es grande.
Figura 5-9
40
Jorge Carlos Carrá
I Diseño
b. Potencia P y errores alfa y beta
En la gráfica de la figura 5-9 se muestran para una prueba de θ = μ, las distribuciones para H0 = μ0 y
H1 = μ1, en un solo eje x común.
El valor del x crítico, común para ambas distribuciones, tiene por expresiones:
xc = μ 0 + zα
xc = μ1 + z β
σ
n
σ
n
Observar que a diferencia de los valores de x , cada valor de z se mide en un eje separado con centro
en su respectiva distribución. Los valores zα y zβ son las coordenadas del xc en los ejes z de cada
distribución. Para obtener los signos correctos de los valores del eje, zα y zβ, es recomendable
realizar siempre un dibujo de análisis similar al de la figura anterior para los datos del problema.
Habitualmente los signos de zα y zβ son contrarios entre sí.
Se conforma así un sistema de 2 ecuaciones con el cual se podrán resolver 2 incógnitas.
Existen en principio dos formas de operar.
• Calculando el valor crítico xc
El camino habitual (ver problemas resueltos a continuación), es:
zα → xc → zβ
•
Este procedimiento es completamente general, válido para todas las distribuciones.
Ecuación de diseño
Implica obtener una expresión matemática que nos dé directamente el valor de zβ, sin utilizar el
valor crítico xc .
Este procedimiento solo es posible cuando exista una ecuación pivote. No será aplicable, por
ejemplo, para la distribución binomial o la chi-cuadrado si proviene de la ecuación de la bondad
del ajuste.
Ecuación de diseño (para control por PH)
Si eliminamos el xc de ambas ecuaciones, se obtiene:
zβ σ x = zα σ x − ( μ1 − μ0 )
Se presenta esta ecuación intermedia para luego poder observar las similitudes con otros problemas
similares (proporciones y diferencia de medias).
Si dividimos por el error estándar y llamamos descentralidad (noncentral parameter), nc, al
término:
nc = nd
(5.4)
llegamos a la siguiente ecuación de diseño para control por PH (luego se verá otra para control por
IC), para distribuciones normales:
z β = zα − nc
(5.5)
Observar que todos los términos son adimensionales y que el resultado de la muestra es irrelevante,
lo cual confirma que los aspectos de diseño (potencia, tamaño de la muestra o tamaño del efecto),
deben ser realizados antes de la recolección de datos. El parámetro nc marca la distancia
estandarizada entre ambas distribuciones. Su signo estará definido por el de d, según sea una prueba
direccional o no direccional. Observar además, que nc es proporcional al tamaño del efecto
estandarizado y al tamaño de la muestra.
Puede verse con esta ecuación, que podrá obtenerse una potencia tan grande como se desee, con tal
de tomar n o d suficientemente grandes. Esta característica podría derivar en un riesgo por n grande,
es decir que produzca significación para casi cualquier tamaño del efecto, lo cual daría como
41
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
resultado una prueba no útil. Volveremos sobre este punto en el último apartado de esta sección
Diseño.
En la figura 5-9 se puede observar en forma vectorial, la interrelación entre zα, zβ y nc.
Si se divide la ecuación 5.5 por n se obtiene la ecuación en dimensiones del tamaño del efecto d.
Lo mismo puede hacerse con el eje z de la figura 5-9, de donde surge el eje inferior, en el que se han
colocado los tamaños del efecto d, contados a partir del origen de la distribución H0. Este eje
contiene los centros de la distribución H1 y en la figura se destacan:
• dP: tamaño del efecto d definido por el centro de la distribución H1. Es el tamaño del efecto
poblacional definido anteriormente con d, solo que se agrega el subíndice p en esta ocasión para
diferenciarlo nítidamente de otros valores, pero debe enfatizarse que el tamaño del efecto es
siempre poblacional. Cuando no sea necesaria esta distinción, seguiremos usando una notación
sin subíndice.
dP =
•
nc
n
dC: tamaño del efecto d cuando la distribución H1 se centra en el valor zα de la región crítica. Su
valor resulta de la ecuación anterior (ver figura 5-9), con zβ = 0, lo cual implica una potencia de
0.5 (valor que también se obtiene en forma intuitiva al colocar la distribución de H1 sobre la
región crítica)
dC =
zα
n
De la expresión de nc y de la figura 5-9, puede extraerse que si n crece indefinidamente, también lo
hace nc, la potencia se acerca a 1 tanto como se quiera y por lo tanto se rechazará H0 no importa
cuán chico sea el tamaño del efecto o cuán grande sea σ. Esto se conoce como el riesgo de un
tamaño de muestra grande.
Si la distribución es la t de Student, la ecuación de diseño será la siguiente:
tβ = tα − nc
En este caso, dada la limitación de las tablas de t, se deberá recurrir al SPSS (funciones CDF e IDF)
para hallar el valor deseado.
Podría elegirse cualquier incógnita de las 4 contenidas en la ecuación de diseño ( zα , z β , n y d ), pero
hay 2 aplicaciones típicas, para un tamaño del efecto conocido:
1. Análisis a posteriori o post hoc: => P .
Para calcular la potencia se deberá despejar zβ. Si la prueba es de 2 colas reemplazar zα por zα/2 y
calcular la potencia con las 2 colas (habitualmente una de ellas aporta un valor despreciable).
2. Análisis a priori: => n.
Para calcular el tamaño de la muestra se deberá despejar n (que se encuentra dentro de nc). Si la
prueba es de 2 colas, reemplazar zα por zα/2. El desarrollo de este tema será analizado más
adelante.
Solución descentralizada
Si cambiamos la variable t (o z) de la distribución de H1, para expresarla en el mismo eje
estandarizado t de H0, es decir con el cero en el centro de la distribución H0, el centro se encontrará
desplazado del 0 de H0 en el valor nc (positivo hacia la derecha y viceversa). Esta es la verdadera y
precisa distribución de H1 y se llama descentralizada (en general sesgada), la cual no consiste
simplemente en una traslación de la función centralizada, pero la diferencia con la distribución
aproximada (centralizada) solo se aprecia para n muy pequeños. En el siguiente problema resuelto se
entregará un gráfico con la distribución descentralizada que aclarará estos conceptos.
El parámetro nc es a veces llamado δ en las distribuciones t y λ en las distribuciones χ2 y F.
42
Jorge Carlos Carrá
I Diseño
b. Potencia P y errores alfa y beta
2 Curvas estandarizadas
Para evaluar con rapidez el cálculo de los errores β (o de la potencia P), se pueden utilizar curvas
preestablecidas o programas informáticos.
Existen curvas de β estandarizadas, en función del tamaño del efecto estandarizado d, para pruebas
de distintos estadísticos (z, t, χ2 y F), de 1 y de 2 colas, para varios valores de n y para varios de α
(Montgomery, D. 2003, apéndice A, VI). Estas curvas reciben el nombre de Característica de
Operación, CO y serán tratadas nuevamente al final de este capítulo, en la sección de Control de
Calidad.
3 SPSS
Se resuelven las incógnitas de cada distribución (H0 o H1), con las funciones CDF o IDF.
En el caso que se requiera la solución descentralizada, se necesitará la CDF descentralizada. El SPSS
cuenta con estas funciones para las distribuciones t, χ2 y F. Por ejemplo la correspondiente a la t de
Student se ejecuta con:
Transform > Compute variable > CDF & Noncentral CDF > Ncdf.T >
NCDF.T(tc,ν,nc). El valor tc es el valor t critico para el α considerado y ν son los grados de
libertad.
Como esta función NCDF.T es la de H1, entregará el valor de β.
En el archivo power.sps, se encuentra la sintaxis completa del procedimiento, para la prueba de 1
cola de la media de una variable.
4 GPower
Se aconseja recurrir a paquetes de software especialmente diseñados para resolver la ecuación de
diseño. En este libro utilizaré el software libre: GPower, desarrollado por el profesor Franz Faul
(GPower 3.1, 2009).
Descargar este programa de la página institucional de la Universidad Heinrich Heine (HHU) de
Dusseldorf, Alemania, cuya dirección electrónica se encuentra en la Bibliografía (GPower 3.1,
2009).
Instalar el software presionando setup.exe.
Luego de instalado, ejecutarlo con el acceso directo que se coloca en el escritorio. Se presenta la
ventana de la figura 5-10.
En ella solo basta elegir:
• Test family
familia del test. Por ejemplo elegir:
t test
• Statistical test
test específico dentro de la familia anteriormente seleccionada. Por ejemplo elegir:
Means: Difference from constant (one sample case) (Media: Diferencia
con una constante (caso de una muestra)).
• Type of power analysis
se resuelve la ecuación de diseño de acuerdo a la incógnita que se plantee. Se presentan 5 tipos
de análisis para calcular por ejemplo la potencia (Post hoc), el tamaño de la muestra (A
priori) o el tamaño del efecto (sensitivity), dados las restantes datos de la ecuación. Los
más utilizados serán: A priori para calcular el tamaño n dada la potencia, antes de realizar el
muestreo y Post hoc, para calcular la potencia retrospectiva dado el tamaño de la muestra n,
luego de realizada la experiencia (página 77).
Luego se entran en las cajas de texto los parámetros correspondientes al test. El valor a entrar en
Effect size d es el valor d antes definido (la ventana tiene un botón que puede calcularlo a
partir de las medias y sigma). Si se coloca el mouse sobre esta caja de texto se muestran la
codificación de los valores del efecto en las categorías: chico, mediano o grande según Cohen, J.
1988.
Observar que si la prueba es de 1 cola, no se coloca de cuál de ellas se trata. Si se coloca un tamaño
43
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
del efecto positivo, GPower asume cola derecha. Si se coloca un tamaño del efecto negativo, asume
cola izquierda.
Presionar Calculate.
En el panel Output Parameters, se presentan los resultados y en el panel superior Central
and noncentral distributions (hasta ahora en blanco), se presentan las distribuciones de
H0 y de H1 adaptadas a los valores de la prueba. El diagrama es similar al de la figura 5-5, pero en un
solo eje estandarizado.
Curvas de Potencia
Con el botón X-Y plot for a range of values, se obtiene en forma gráfica o tabular la
relación de un parámetro (α, P, n o d) en función de otro cualquiera, para los 2 restantes constantes,
o para distintos valores de dos de los restantes, manteniendo el otro constante. De esta forma
crearemos las curvas de Potencia en los problemas resueltos.
Figura 5-10
Distribuciones descentralizadas
Si se requiere un valor (y la gráfica) de la distribución descentralizada, se elegirá la opción
Generic test presente al final del cuadro desplegable Statistical test, para las pruebas
z, t, χ2 o F.
Nota
Si se resuelve el cálculo de una potencia con la distribución normal (asumiendo que se cumplen los
requisitos adecuados) en lugar de la t de Student usada por GPower, se observará alguna discrepancia.
Como la t de Student es platicúrtica y por lo tanto sus colas tienen mayor área que las de la normal, sus
valores de corte serán algo más grandes y por consiguiente la potencia devuelta por el GPower será algo
menor que la calculada con la distribución normal. Estas diferencias se harán imperceptibles en tanto el
tamaño de la muestra sea suficientemente grande.
44
Jorge Carlos Carrá
I Diseño
b. Potencia P y errores alfa y beta
Riesgos del comprador y del vendedor
En una prueban unilateral, el analista debe decidir que desigualdad asociará a H0.
Supongamos una situación resumida con la siguiente regla de decisión:
Evento: θ > θ0 => Acción: comprar
a) si define H0: θ ≤ θ0 (no comprar) => H1: θ > θ0 (comprar), resulta:
α = Comprar cuando no debió, riesgo del comprador
β = Νο comprar cuando debió, riesgo del vendedor
b) si define H0: θ ≥ θ0 (comprar) => H1: θ < θ0 (no comprar), resulta:
α = No comprar cuando debió, riesgo del vendedor
β = Comprar cuando no debió, riesgo del comprador
Identificado el error para cada riesgo, podrá especificar cuál será el valor numérico de la
probabilidad (α o β) que está dispuesto a tolerar. Como habitualmente α menor que β, un comprador
elegirá la opción a) y un vendedor la opción b).
Estima de la desviación estándar
En muchos problemas se requiere conocer la desviación estándar de la población. Se proponen a
continuación, 4 diferentes formas de estimarla, cuando ésta no se conoce.
1. Amplitud
Si se conoce la amplitud, dividirla por un coeficiente adecuado. Dado que la mayoría de los
datos se encuentran entre ± 3 desviaciones estándares de la media, se debería elegir el valor 6.
Sin embargo si la población no es normal, este coeficiente tenderá a disminuir el valor de s. De
aquí que es más recomendado tomar 5 o 4. A menos que se indique lo contrario, elegiremos 4.
2. Percentiles
Si se conocen 2 percentiles simétricos (por ejemplo P10 y P90 o P25 y P75), dividir la amplitud
entre los percentiles por la diferencia entre los valores z, suponiendo una distribución normal.
Observemos que si la distribución es efectivamente normal, este cociente da exactamente σ.
3. Coeficiente de variación
Si se conoce el CV, multiplicarlo por la media.
4. Estudio previo
Tomar el valor de la desviación estándar de una muestra anterior. En la sección de inferencia de
una varianza se verá cómo se pueden generar fácilmente los IC de la varianza (asumiendo que la
población sigue una distribución normal). En este caso, es más apropiado, además de un valor
puntual de la desviación estándar, considerar también los límites del IC para obtener así un
intervalo de posibles resultados y los mejores y peores escenarios.
Problema resuelto 5.1 Nuevo programa federal de educación
El Consejo de Educación de la provincia desea considerar un nuevo programa federal de educación. Para
acceder al mismo, el ingreso medio por familia no debe ser mayor que 2300$ mensuales. Una empresa
consultora indica que se estudiaron 80 familias y determinó que la desviación estándar era de 500$.
a) Hallar α si H0: μ ≥ 2300 y se define la región crítica se define como x < 2200 .
b) El Consejo de Educación desea saber si el estudio tiene la potencia suficiente para detectar la presencia de
un salario medio es 2050$.
c) Se desea una potencia de por lo menos 0.80 ¿Cuál será el tamaño del efecto d que detecta?
45
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Paso 1 Problema
Comparar grupos:
θ =μ
Paso 2 Modelo
Distribución normal de la distribución muestral de medias por TCL.
Paso 3 Diseño
a)
H 0 : μ ≥ 2300
H A : μ < 2300
Ver figura 5-11.
α = P(rechazar H0 si es verdadera)
⇒ α = P( X < 2200 si μ = 2300)
⇒ α = P(
X − 2300 2200 − 2300
<
)
500 / 80
500 / 80
⇒ α = P( z < −1.788) = 0.0375
La probabilidad de rechazar la H0 cuando es verdadera es 0.0375.
b)
H 0 : μ ≥ 2300
H1 : μ < 2300
Solución centralizada
1 Método 1: Calculando el valor crítico
β = P(aceptar H0 si μ = 2050)
⇒ β = P( X > 2200 si μ = 2050)
⇒ β = P( X
x − 2050 2200 − 2050
>
)
500 / 80
500 / 80
⇒ β = P( z > 2.68) = 0.0037
La probabilidad de no rechazar H0 cuando es falsa es 0.0037.
La potencia P resulta entonces:
P = 1 − 0.0037 = 0.9963
Existe un 99.6% de probabilidad de detectar una diferencia en la media de 250, si existe. En otras palabras, si
H1 es cierta, el 99.6% de las veces la prueba será significativa. Esta diferencia equivale a un tamaño del efecto
de:
d=
2050 − 2300
= −0.5
500
En otras palabras, la prueba detectará un tamaño del efecto mayor a 0.50 (mediano), con un probabilidad del
99%. Si este tamaño existe en la población, se rechazará H0 (resultado significativo) con una probabilidad de
99%.
2 Método 2: Ecuación de diseño
El valor de zβ, podría calcularse directamente a partir de la ecuación de diseño que utiliza el tamaño del efecto
en lugar del valor de H1:
z β = zα − nc
46
Jorge Carlos Carrá
I Diseño
b. Potencia P y errores alfa y beta
nc = nd = 80
−250
= −4.47
500
Por lo tanto:
z β = −1.788 − ( −4.47) = 2.68
Solución descentralizada
Requiere indefectiblemente de un programa que proporcione los valores de la t de Student no centralizada (por
ejemplo SPSS o GPower).
Con SPSS:
tcrit = IDF .T (0.0375,79) = −1.804
Nota
Por considerarla una notación eficaz, utilizaré la simbología del SPSS (CDF, NCDF; IDF o SIG), resumida en
el Apéndice B, incluso para las secciones no correspondientes a procedimientos del SPSS.
P = NCDF .T (−1.804, 79, −4.47) = 0.996
c)
zβ = z0.20 = 0.84
0.84 = −1.788 − 80d
d = 0.29
GPower
b)
Se obtienen las distribuciones de H0 y H1 y cualquier plot de una variable en función de las otras.
t test,
Means: Difference from constant (one sample case)
Post hoc
1 cola, α = 0.0375, d = 250/500 y n =80.
El resultado de las distribuciones se muestra en la figura 5-11. Observar que la distribución de H1 (en líneas
punteadas) es la distribución descentralizada y se encuentra desplazada del origen de H0 (línea continua) en el
valor:
nc = –0.5 √80 = –4.47.
El valor de P que devuelve es: 0.996.
Observar además que el valor crítico se ha obtenido con una distribución t en lugar de la distribución z usada
en este ejemplo. Dado que la muestra es grande, ambos valores son similares.
c)
Para responder a la pregunta c), se debe elegir "Sensitivity" en el tipo de análisis.
Figura 5-11
47
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Gráfica descentralizada
Si solo se requiere la gráfica descentralizada a partir del parámetro nc:
t test,
Generic t test
Post hoc
1 cola, α = 0.0375, non centrality (nc): -4.47, Df (Degree of freedom, Grados de libertad): 79.
Entrega una P de 0.996 y la gráfica anterior.
Curvas de Potencia
En la figura 5-12 se incluye el plot de la Potencia en función de tamaños del efecto, negativos y positivos, para
varios valores de n (si la prueba fuera de proporciones, debe cuidarse que las mismas no sean negativas).
Estos gráficos son de interés para el investigador, pues muestra la sensibilidad de la prueba para detectar
distintos tamaños de efecto, si existen. El valor de la potencia, para un d = 0, es igual a α como es de esperar.
He comentado que un valor mínimo de potencia que los investigadores utilizan para que tenga sentido el
estudio es 80%. Si tomamos este valor de potencia, se aprecia que la prueba detectará con un 80% de
probabilidad, un d de alrededor de 0.37 (para el cual corresponde un tamaño del efecto E = 185) para n = 50,
pero podrá detectar un d de alrededor de 0.225 (para el cual, E = 112.5) si aumentamos n a 140 (los valores
exactos se pueden obtener presionando el botón Table). La elección adecuada dependerá del E mínimo que
se desee detectar y de los costos.
Figura 5-12
En la bibliografía se encuentra el enlace para correr el applet Potencia.
Problema resuelto 5.2 Cantidad de cajas de cereales
Una máquina que llena cajas de cereales pone una cantidad en cada caja distribuida normalmente. La media es
de 100 g y la desviación estándar de 3g. Se desea probar H0 = 100 versus H0 ≠ 100 con una muestra de tamaño
10.
a) Encontrar α si la región de no rechazo es: 98 ≤ x ≤ 102
b) Se desea conocer la potencia P para detectar la presencia de un verdadero valor medio de 103.
48
Jorge Carlos Carrá
I Diseño
b. Potencia P y errores alfa y beta
c) Encontrar β y la potencia P cuando el verdadero valor medio es 104. ¿Por qué este valor es mayor que el
encontrado en b)?
Paso 1 Problema
Comparar grupos:
θ =μ.
Paso 2 Modelo
Distribución normal de la distribución muestral de medias por propiedad de las distribuciones normales.
Paso 3 Diseño
a)
Ver figura 5-13.
α = P( X < 98 si μ = 100) + P( X > 102 si μ = 100)
⇒ α = P(
X − 100 98 − 100
X − 100 102 − 100
<
) + P(
>
)
3 / 10
3 / 10
3 / 10
3 / 10
⇒ α = P( z < −2.108) + P( z > 2.108)
⇒ α = 0.0174 + 0.0174 = 0.0348
La probabilidad de rechazar la H0 cuando es verdadera es 0.0348.
Si se usara la distribución t, el resultado será:
α = P(t < −2.108) + P(t > 2.108)
α = 0.0321 + 0.0321 = 0.0642
La probabilidad de rechazar la H0 cuando es verdadera es 0.0642.
b)
Solución centralizada
1 Método 1: Calculando el valor crítico
β = P(98 ≤ X ≤ 102, si μ = 103)
⇒ β = P ( 98 − 103 ≤ X − 103 ≤ 102 − 103 )
3 / 10
3 / 10
3 / 10
⇒ β = P(−5.27 ≤ z ≤ −1.054)
⇒ β = 0.1469
La probabilidad de no rechazar H0 cuando es falsa es 0.1469. Con una distribución t resulta β = 0.1596.
La potencia P resulta entonces:
P = 1 − 0.1469 = 0.8531
Existe un 85.3% de probabilidad de detectar una diferencia en la media de 3, si existe en la población.
2 Método 2: Ecuación de diseño
Los valores de zβ, podrían calcularse directamente a partir de la ecuación de diseño que utiliza el tamaño del
efecto en lugar del valor de H1:
z β = zα − nc
nc = nd = 10
3
= 3.16
3
Por lo tanto:
z β s = 2.108 − 3.16 = −1.054
z β i = −2.108 − 3.16 = −5.27
49
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Solución descentralizada
Requiere indefectiblemente a un software como el SPSS.
tα = 2.108
NCDF .T (−2.108,9,3.16) = 0
1 − NCDF .T (2.108,9,3.16) = 0.841
P = 0 + 0.841 = 0.841
GPower
Entrega la solución precisa.
t test
Means: Difference from constant (one sample case)
Post hoc
2 colas, α = 0.0642, d = 3/3 y n =10,
Las distribuciones de H0 y H1, se muestran en la figura 5-13. Observar nuevamente la correspondencia entre el
valor crítico de t con nuestro cálculo. Entrega una potencia de 0.84.
Figura 5-13
c)
β = P(98 ≤ X ≤ 102, si μ = 104)
⇒ β = P(
98 − 104 X − 104 102 − 104
≤
≤
)
3 / 10
3 / 10
3 / 10
⇒ β = P(−6.324 ≤ z ≤ −2.108)
⇒ β = 0.0174
La potencia P resulta entonces:
P = 1 − 0.0174 = 0.983
La probabilidad de rechazar H0 cuando es falsa es 0.983. Este valor es mayor que el del punto b) pues el
tamaño del efecto E es mayor.
Existe un 98.3% de probabilidad de detectar una diferencia en la media de 4, si existe.
Las distribuciones de H0 y H1, obtenidas con GPower, se muestran en la figura 5-14.
50
Jorge Carlos Carrá
I Diseño
c. Tamaño de la muestra
Figura 5-14
Problema resuelto 5.3 Libro de texto
Un editor editará un libro de texto de un autor, si hay pruebas de que más del 10% de las instituciones
educativas lo adoptará.
a) Expresar el enunciado como relación entre un evento y una acción.
b) ¿Es un problema de 1 cola o de 2 colas?
c) ¿Cuál es el error más importante para el editor? ¿Cuál es el error más importante para el autor? Definir
distintas H0, y en base a ella asociar los errores α y β a los riesgos.
a)
Evento: p > 10% => Acción: editar
b) Es un problema de 1 cola pues el enunciado contiene las palabras "más del".
c)
si H0: p ≥ p0 (editar) => H1: p<p0 (no editar)
•
o α = No editar debiendo hacerlo. Riesgo del autor
o β = Editar no debiendo hacerlo. Riesgo del editor
si H0: p ≤ p0 (no editar) => H1: p>p0 (editar)
•
o α = Editar no debiendo hacerlo. Riesgo del editor
o β = No editar debiendo hacerlo. Riesgo del autor
c. Tamaño de la muestra
El objeto es encontrar el valor del tamaño de la muestra n, adecuada al proceso de inferencia y por lo
tanto al diseño que se haya realizado. En este sentido, hemos visto 2 formas equivalentes de realizar
la inferencia: por IC y por PH. El valor de n se encuentra en el error estándar de las inferencias de
posición.
Este cálculo se puede realizar, entonces, desde 2 distintas perspectivas, en función de cual haya sido
el objetivo principal del estudio: un IC o una PH:
• Control del ancho B del IC
• Control de la potencia P de la PH
Luego de calcular el tamaño de la muestra por un enfoque, se podrá verificar el control que ese
tamaño de muestra realiza en el otro.
51
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
1. Controlando el B de un IC
Cuando el objetivo del estudio es un IC, es natural encontrar el tamaño de la muestra que controle el
margen de error B del IC.
Veamos el cálculo para 4 problemas distintos: estimación de μ, estimación de p, estimación de Δμ y
estimación de Δp. En todos ellos el valor de n se encuentra en el error estándar. Se obtendrán
distintas ecuaciones de cálculo, pero se aconseja al estudiante no memorizar ninguna de ellas y
proceder en forma constructiva, a partir de la ecuación del error estándar o del error de estimación,
según corresponda.
Se incluyen en este estudio las expresiones aplicables cuando la población es finita.
Problema θ = μ (variables cuantitativas contínuas)
El valor de n se encuentra en el error estándar: σ θˆ =
σ
n
.
Población infinita
Se desea estimar el tamaño de la muestra dado el margen de error B, al que se desea que se encuentre
como máximo la media muestral θ de la media poblacional real θˆ , con un dado nivel de confianza
c% (ver IC). Esta relación se visualiza en la figura 5-15.
El valor de B, al igual que el tamaño del efecto, debe ser establecido en la fase de diseño, antes de
realizar el muestreo.
Figura 5-15
Ecuación de diseño (para control por IC)
Dado:
B =| θˆm − θ |
´
ma x
=| θˆc − θ |
se obtiene otra ecuación de diseño (ésta para control por IC):
B = zα /2σ θˆ = zα /2
σ
n
Si despejamos n, resulta:
⎛z σ⎞
n = ⎜ α /2 ⎟
⎝ B ⎠
2
Suele definirse un error de estimación estandarizado, BS como:
52
Jorge Carlos Carrá
(5.6)
I Diseño
c. Tamaño de la muestra
BS =
B
σ
Reemplazando, resulta:
⎛z ⎞
n = ⎜ α /2 ⎟
⎝ BS ⎠
2
(5.7)
Como interviene z, se requiere que la distribución muestral sea la normal, por lo cual los valores
mínimos deberán luego llevarse a n > 30 si la distribución de la población no es normal. Si se
desconoce σ, estimarla, como ya se ha dicho, con un valor muestral de desviación estándar anterior o
con la cuarta parte de la amplitud, si ésta se conoce. Se observa que si se disminuye a la mitad el
margen de error, el tamaño de la muestra se multiplica por 4.
Si el dato se expresa directamente en función del error estándar, despejando n, resulta:
⎛σ ⎞
n=⎜ ⎟
⎝σx ⎠
2
(5.8)
Factores que afectan a n
De la expresión (5.7) se desprende que son 2 los factores que afectan al tamaño de la muestra.
Recordemos antes que si el tamaño de la muestra crece, decrece el error estándar (capítulo 4) y la
curva se hace más leptocúrtica (capítulo 1).
1. El nivel de confianza c = 1 – α
Cuando c crece, para BS constante, n crece y viceversa.
Gráficamente conviene imaginar dos distribuciones f1 ( x ) y f 2 ( x ) , antes y después del cambio,
junto con 3 ejes x , z1 y z2 . Si n crece, la curva f 2 ( x ) se hace más leptocúrtica (menos
variabilidad) y por lo tanto el área dentro de la región de c para un determinado valor de x (por
ejemplo la CDF si el IC es inferior), debe crecer.
Observar que el nivel de confianza se encuentra asociado con el porcentaje del número de
repeticiones NR que conducen a un valor del error de estimación menor o igual a B.
2. El error de estimación BS
Cuando BS decrece, para z constante, n crece y viceversa.
Gráficamente conviene imaginar dos distribuciones f1 ( x ) y f 2 ( x ) , antes y después del cambio,
junto con 3 ejes x1 , x2 y z . Si n crece, la curva se hace más leptocúrtica. Como z es constante,
las áreas deben permanecer constantes, por lo cual, el crecimiento de la altura debe compensarse
con el decrecimiento de la base ( x2 < x1 ) y por consiguiente debe decrecer BS.
Población finita
Llamemos n∞ al valor de la expresión anterior para una población infinita. Este valor debe
compararse con algunos de los siguientes criterios para decidir si es aceptable.
El primer criterio ya fue utilizado en la aproximación hipergeométrica a la binomial.
n∞ < 0.05 N o equivalentemente: N > 20n∞
Otro criterio menos estricto es:
N > n∞ (n∞ − 1)
Si el criterio adoptado no se cumple, se debe aplicar otra expresión que parte de la inclusión de la cpf
en el error estándar.
σx =
σ
n
N −n
N −1
Recorriendo la misma secuencia que para población infinita, resultan:
En función del error estándar:
53
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
n=
N
( N − 1) A + 1
donde:
A=
V (x )
σ2
En función del error de estimación:
n=
n∞ N
n∞ + N − 1
(5.9)
Puede observarse que esta expresión de ajuste puede aproximase a un producto sobre la suma.
En este caso, es fácil ver por ejemplo, que:
si n∞ = 0.5N => n = 1/3N.
si n∞ = N => n = 1/2N.
si n∞ = 2N => n = 2/3N.
Criterios
Error de estimación
Se suele adoptar:
B ≤ 10%μ , (requiere el conocimiento de μ).
Si z = 2, equivale a σ x ≤ 5% μ .
Problema θ = p (variables cuantitativas discretas)
En este caso:
B pˆ = zα /2σ pˆ = zα /2
σB
n
Como la distribución poblacional es ahora la distribución de Bernoulli (capítulo 4, página
proporcion4), resultan válidas las expresiones anteriores reemplazando la desviación estándar por
(capítulo 3, página proporcion3).
σ 2 = σ B 2 = pq
Por lo tanto:
⎛z
n = ⎜ α /2
⎝ B
⎞
pq ⎟
⎠
2
Se aprecia entonces que se presenta un problema adicional pues la varianza depende del valor p a
estimar. Deberá entonces adoptarse un valor provisional para p.
Criterios
Tamaños mínimos de n y N
En estas ecuaciones se utiliza la aproximación de la distribución binomial a la normal.
El criterio establecido en el capítulo 3 era que np y nq deben ser mayores o iguales a 5, sin embargo
cuando la proporción poblacional se desconoce, como en este capítulo, los especialistas sugieren
además que el valor de n sea > 100. Por lo tanto, si el tamaño n resulta menor que 100, deberá
aumentarse hasta 100.
De aquí se desprende que si la población es finita, es decir si el tamaño de la muestra n es inferior al
de la población N, en un 5%, además de usar el cpf, la población debería ser de por lo menos
54
Jorge Carlos Carrá
I Diseño
c. Tamaño de la muestra
N = 2000. Algunos autores flexibilizan este criterio a un 10%, por el cual resulta entonces:
N ≥ 1000.
Varianza
Como la ecuación de la varianza incluye al valor p que debemos estimar, se puede:
• usar un valor muestral anterior p̂
• adoptar el valor más desfavorable para el que resulta el valor máximo del producto: pq.
Este valor es p = 0.5, para el cual:
pq = 0.25.
Esta conclusión se obtiene rápidamente analizando el máximo de la expresión cuadrática:
pq = p (1 − p ) = p − p 2
Error de estimación
En consonancia con el tratamiento de θ = μ , se recomienda que el valor del error de estimación no
supere el 10% de la media p, Bpˆ ≤ 10% p .
Si p es 0.5, esto equivale a adoptar como máximo el siguiente valor, usual en las investigaciones de
mercado:
Bpˆ ≤ 5% , es decir menor a 5 puntos porcentuales.
Regla práctica
Se puede formular una regla simple para estimar rápidamente el tamaño de la muestra para estimar la
proporción de una población para:
• Un nivel de confianza del 95% y 2 colas ( z = 1.96 ≈ 2 ).
• Un valor de p = 0.5 (condición más desfavorable cuando no se conoce la proporción
poblacional).
Por lo tanto, para estos datos:
⎛z σˆ
n = ⎜ α /2 p
⎜ B pˆ
⎝
2
⎞ ⎛ 2(0.5) ⎞
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟
B
ˆ
p
⎠ ⎝
⎠
2
En definitiva:
n=
1
B pˆ 2
Si por ejemplo se deseara detectar por lo menos un error B pˆ = 3% , se necesita una muestra de 1120
casos.
Nota
Existen procedimientos para estimar el tamaño de una muestra controlando por B para un problema de
θ = σ 2 , pero son más complejos que los anteriores. Si se encuentra en esta situación se recomienda
utilizar tablas preparadas a tal efecto o controlar por Potencia con un software como por ejemplo GPower
(página 128).
Problema θ = Δμ (variables cuantitativas
contínuas)
Se impone que las variables sean independientes.
Para poder despejar un solo valor de n, debe darse una relación entre n1 y n2:
n1 = k n2
55
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Sin perdida de generalidad podemos adoptar k ≥ 1 . El valor de k se llama radio de asignación
(allocation ratio).
El caso más simple es considerar k = 1, el cual además minimiza el tamaño muestral. En
consecuencia:
n1 = n2 = n
Partiendo de:
σ 2 Δx = σ x21 + σ x22
Si llamamos:
σ Δ 2 = σ 12 + σ 22
Resulta:
σ 2 Δx =
σ 12 + σ 22
n
=
σ Δ2
n
Por lo tanto:
B = zα σ Δx
⎛z σ ⎞
n=⎜ α Δ ⎟
⎝ B ⎠
2
En síntesis, se trata en forma similar al caso de una variable, utilizando σΔ.
Si k fuera distinto de 1 y si σ 1 = σ 2 = σ , se obtienen:
k + 1 ⎛ zα / 2σ ⎞
n2 =
⎜
⎟
k ⎝ B ⎠
2
2
⎛z σ⎞
n1 = k*n2 = ( k + 1) ⎜ α / 2 ⎟
⎝ B ⎠
2
( k + 1) ⎛ zα / 2σ ⎞ 2
n1 + n2 =
⎜
⎟
k
⎝ B ⎠
Problema θ = Δp (variables cuantitativas discretas)
Se impone que las variables sean independientes. Análoga extensión a la expresada para θ = p ,
considerando que cada una de las varianzas poblacionales, es ahora:
σ 12 = p1q1 σ 2 2 = p2 q2
Para el caso n1 = n2 = n:
σΔ =
p1q1 + p2 q2
Finalmente:
B = zα σ Δp̂
⎛ z p q + p2 q2
n=⎜ α 1 1
⎜
B
⎝
⎞
⎟⎟
⎠
2
Para calcular las desviaciones estándar de cada población, se pueden tomar los valores muestrales o
considerar la situación más desfavorable adoptando p = 0.5.
56
Jorge Carlos Carrá
I Diseño
c. Tamaño de la muestra
Problema resuelto 5.4 Peso de los pollitos
Un empresario desea estimar la ganancia en peso en 4 semanas de N = 1000 pollitos. Se desea determinar el
número de pollitos que deben seleccionarse para que se tenga una confianza del 95% de que la media muestral
del total de pollitos, se encuentre dentro de un Bτ = 1000 g, de la media poblacional. En estudios anteriores se
encontró que la varianza poblacional es de aproximadamente de 36 g. Utilizar α = 5%.
Paso 1 Problema
Comparar grupos:
θ =μ.
Paso 2 Modelo
Distribución normal de la distribución muestral de medias en forma tentativa hasta obtener el tamaño de la
muestra.
Paso 3 Diseño
Para no trabajar con los valores totales, previamente convirtamos el valor de Bτ :
Bx =
Bτ
=1
N
Es decir se desea conocer el tamaño de la muestra necesario para que la media muestral no se separe en más de
1g de la media poblacional, con una confianza del 95%.
Despejando n de la ecuación:
B = zα /2
σ
n
N −n
N −1
resulta:
n=
n∞ N
n∞ + N − 1
con:
⎛z ⎞
n∞ = ⎜ α /2 ⎟
⎝ BS ⎠
2
Reemplazando resulta:
n∞ = 144
Finalmente:
n = 125.9
Es decir, se debe adoptar un tamaño de muestra n = 126. Como n es mayor que 30 se valida la elección del
modelo normal para la distribución muestral de medias.
GPower
Esta forma de resolución se explicará luego en el análisis por control de la potencia, página 67.
t test
Means: Difference from constant (one sample case)
A priori
2 colas, α = 0.046, d = 1/6 = 0.166667 y P =0.50.
Equivalentemente:
2 colas, α = 0.046, d = 1/6(1.43) = 0.238 y P =0.80.
Se obtiene un valor de n = 144 (o 145), concordantes con el valor obtenido. Observar que se entró el valor de α
57
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
necesario para obtener t = 2.
Problema resuelto 5.5 Encuesta de estudiantes
El centro de estudiantes desea realizar una encuesta para determinar la proporción de estudiantes que está a
favor de renovar la biblioteca. La población de estudiantes es N = 2000 y se desea que el límite del error
estándar sea el 5% de p. No existe información previa para estimar p. Tomar zα/2 = 2.
Paso 1 Problema
Comparar grupos:
θ = p.
Paso 2 Modelo
Distribución normal de la distribución muestral de proporciones en forma tentativa hasta obtener el tamaño de
la muestra.
Paso 3 Diseño
Despejando n de la ecuación:
B = zα /2
pq
n
N −n
N −1
resulta:
n=
n∞ N
n∞ + N − 1
Donde:
n∞ =
Adoptando:
Resulta:
zα2 /2 pq
B2
p = 0.5
B = zα /2σ pˆ = 2(0.05)0.5 = 0.05
Por lo tanto:
n∞ = 400
Observar que podría haberse aplicado la regla de la inversa de la raíz de n.
Finalmente:
n = 333.4
Es decir, se debe adoptar un tamaño de muestra n = 334. Como n es mayor que 100 se valida la elección del
modelo normal para la distribución muestral de proporciones.
GPower
Esta forma de resolución se explicará luego en el análisis por control de la potencia, página 67.
t test
Means: Difference from constant (one sample case)
A priori
2 colas, α = 0.046, d = 0.05/0.5 = 0.1 y P =0.50.
Devuelve un tamaño n = 401. Observar que se entró el valor de α necesario para obtener t = 2.
58
Jorge Carlos Carrá
I Diseño
c. Tamaño de la muestra
2. Controlando la P de una PH
Es un método alternativo al del control del error de estimación B (IC), controlando en este caso la
potencia P (PH).
Como ya se ha mencionado, la ecuación de diseño contiene 4 incógnitas de las cuales 2 son de
particular interés:
• Cálculo de n
• Cálculo de P
El cálculo del tamaño de la muestra implica hallar un valor que sea lo suficientemente grande para
tener una buena probabilidad de rechazar H0 cuando en realidad una H1 de interés, sucede. Si existen
buenas chances (potencia) de detectar valores superiores a un deseado tamaño del efecto, el
investigador llevará adelante el muestreo. Si esta probabilidad es baja, será preferible no llevar
adelante el estudio.
El problema de obtener n dado P es algo más complejo que el inverso pues a menudo se requiere
realizar el cálculo con distribuciones (t de Student, chi-cuadrado o F), que contienen parámetros
dependientes de n (grados de libertad). El problema requiere entonces un proceso de aproximaciones
sucesivas (ver problema resuelto en la página 93).
Se presentan las ecuaciones de cálculo de n para población infinita. Las correspondientes a población
finita se resuelven con la expresión (5.9) ya estudiada anteriormente.
Problema θ = μ (variables cuantitativas contínuas)
Hemos ya deducido la ecuación de diseño para control por PH, distribuciones normales:
z β = zα − nc
Potencia, P
La potencia se calcula obteniendo zβ.
Tamaño de la muestra, n
Para calcular el tamaño de la muestra, se reemplaza el parámetro de descentralidad, nc y se despeja
n.
En función del tamaño del efecto
⎛ z − zβ ⎞
n=⎜ α
⎟
⎝ d ⎠
2
(5.10)
En función de las medias
Reemplazando el tamaño del efecto estandarizado, d:
d=
μ1 − μ0
σ
resulta finalmente:
⎛ z − zβ ⎞
σ⎟
n=⎜ α
⎝ μ1 − μ0 ⎠
2
(5.11)
Dado que se está utilizando una distribución muestral normal, los valores mínimos deberán llevarse a
n > 30.
59
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Factores que afectan a n
De la expresión (5.10), se desprende que son 3 los factores que afectan al tamaño de la muestra.
Recordemos antes que si el tamaño de la muestra crece, decrece el error estándar y la curva de f ( x )
se hace más leptocúrtica (capítulo 1).
1. El error α
Cuando α decrece, zα crece y n crece. Gráficamente, si n crece, la curva de f ( x ) se hace más
leptocúrtica y por lo tanto el área dentro de la región de α, debe decrecer.
2. La potencia P
Cuando P crece, zβ crece (negativamente) y n crece. Gráficamente, si n crece, la curva de f ( x )
se hace más leptocúrtica y por lo tanto el área dentro de la región de P, debe crecer
3. El tamaño d
Cuando d decrece, n crece y viceversa. Gráficamente, si n crece, la curva de f ( x ) se hace más
leptocúrtica. Como las z son constantes, las áreas deben permanecer constantes, por lo cual debe
decrecer d.
Prueba de 2 colas
El desarrollo anterior puede utilizarse para obtener expresiones adecuadas para cualquier otro
problema de prueba de hipótesis, con distribución normal o t de Student, sea unilateral o bilateral. En
el caso bilateral, cualquiera de los 2 puntos críticos conduce al mismo sistema de ecuaciones.
• Para calcular la potencia, reemplazar zα por zα/2 y calcular la potencia con las 2 colas
(habitualmente una de ellas aporta un valor despreciable). Ver el próximo problema resuelto.
• Para calcular el tamaño de la muestra, reemplazar zα por zα/2. Sin embargo, se presenta un
inconveniente con el valor de zβ a reemplazar, pues corresponde ahora a una cola que es menor
que la potencia dato, pues ésta surge de sumar las 2 colas. En la práctica basta considerar la cola
en la dirección del signo del tamaño del efecto, pues la otra es habitualmente despreciable (a
menos que el tamaño del efecto sea muy pequeño). Si se desea comprobarlo, calcular el valor del
área de la cola inferior (con el otro signo de zα/2) y eventualmente ajustar y proceder
iterativamente por prueba y error.
Distribución no normal
Si la distribución exacta es una distribución t, la expresión de cálculo es la misma, cambiando z por
t. Sin embargo, si se desea calcular el tamaño de la muestra se encontraría el inconveniente de que se
requiere el valor de n para introducir los grados de libertad. El problema se resuelve pre-calculando
un valor de n con una distribución z y realizando algunas iteraciones hasta lograr la potencia deseada
Estos casos los dejaremos para la siguiente sección (ver problema resuelto en la página 93) y en los
cálculos manuales solo trabajaremos con la aproximación a la distribución normal.
El software GPower, ya introducido anteriormente, es una herramienta simple y extraordinaria para
aquel investigador que requiera calcular tamaños de muestras que tengan una adecuada potencia,
ante cambios en otros parámetros, como la media, desviación estándar, alfa, tipo de prueba, etc.
A continuación se enuncian sin demostración, hasta las secciones II, III y IV, las ecuaciones de
potencia y tamaño de la muestra para otros tipos de problemas (ver resumen en las fórmulas del
apéndice C).
En la figura siguiente se repite la tabla de tamaños de efectos convencionales.
Verbal
Pequeño
Mediano
Grande
g
d, h
0.20 0.05
0.50 0.15
0.80 0.25
ρ, w
0.10
0.30
0.50
Figura 5-16
60
Jorge Carlos Carrá
I Diseño
c. Tamaño de la muestra
Si se tratara de hallar el tamaño de la muestra para una encuesta conteniendo varios de estos
problemas, se deberá realizar un análisis para cada uno de ellos y tomar el tamaño mayor.
Problema θ = p (variables cuantitativas discretas)
Ecuación de diseño (página 105):
z β σ pˆ1 = zα σ pˆ 0 − ( p1 − p0 )
(5.12)
Si la distribución binomial no puede aproximarse a la normal, el cálculo con la proximación puede
ser demasiado conservador y por lo tanto costoso, por lo cual se recomienda usar la binomial o al
menos controlar con un software que resuelva el cálculo exacto.
Potencia, P
La potencia se calcula obteniendo zβ.
Tamaño de la muestra, n
Tamaño de la muestra en función de las proporciones
⎛z p q −z pq
n=⎜ α 0 0 β 1 1
⎜
p1 − p0
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
2
(5.13)
Tamaño de la muestra en función del tamaño del efecto g
g = p1 − p0 direccional
g = p1 − p0 no direccional
Las expresiones son más complejas que las de la media pues las varianzas de H0 y H1 son distintas,
al depender de p. Además los tamaños del efecto convencionales son solo válidos para p0 = 0.5.
⎛z p q −z pq
n=⎜ α 0 0 β 1 1
⎜
g
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
2
Si se desearan utilizar tamaños del efecto convencionales para otros valores de p0, se debe usar una
transformación arcseno (ver Δp, más adelante).
Nota
El tamaño n para control por B se puede obtener de las expresiones anteriores de control por P, con
z β = 0 , el error muestral estandarizado en lugar del tamaño del efecto y la desviación estándar para
p = 0.5 , pues no se asume una H0.
2
⎛ z pq ⎞ ⎛ zα 0.5 ⎞2
=
n=⎜ α
⎜ B ⎟⎟ ⎜⎝ B ⎟⎠
⎝
⎠
Problema θ = σ 2 (variables cuantitativas
contínuas)
Ecuación de diseño (página 128).
χα2σ 02 = χ β2σ12
61
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Potencia, P
La potencia se calcula obteniendo χ2β con la distribución central de χ2 escalada dividiendo por el
tamaño del efecto E =
σ12
.
σ 02
Tamaño de la muestra, n
La variable n se encuentra dentro de los grados de libertad por lo cual el proceso de obtener n debe
hacerse por prueba y error (n = > P) o recurrir a un software que lo resuelva, tal como GPower.
Problema θ = Δμ = Δ (variables cuantitativas
contínuas)
Se utilizará la simbología Δ para indicar Δμ y se complementará con un subíndice 0 para indicar que
corresponde a la H0 o 1 para indicar que corresponde a la H1. Solo resumiremos aquí el caso de
muestras independientes. El caso de muestras apareadas se tratará en la página 145.
Tamaño de la muestra en función de las medias
Ecuación de diseño:
zβ σ Δx = zασ Δx − ( Δ1 − Δ 0 )
(5.14)
Ya indicamos que los subíndices de las deltas indican la hipótesis nula o la alternativa.
Si se asume independencia:
σ Δx =
σ 12 σ 22
n1
+
n2
Si las varianzas poblacionales se desconocen, se define (ver página 145) una varianza única llamada
varianza combinada s 2C :
sC 2 =
s12 + s22
2
Se demostrará en la página anteriormente citada que este reemplazo debe armonizarse con un
tamaño muestral equivalente nE :
nE =
n
2
Por lo tanto:
σ 2 Δx =
s 2c
n/2
Potencia, P
La potencia se calcula obteniendo zβ.
Tamaño de la muestra, n
Veamos solo el caso en el que σ 12 = σ 22 .
Para poder despejar un solo valor de n, debe darse una relación entre n1 y n2, llamada k, radio de
asignación (allocation ratio).
n1 = k n2
62
k ≥1
Jorge Carlos Carrá
I Diseño
c. Tamaño de la muestra
k=1
En este caso n1 = n2 = n .
Se obtiene:
⎡ ( z − z )s ⎤
n = 2⎢ α β C ⎥
⎣ Δ1 − Δ 0 ⎦
2
(5.15)
El tamaño de efecto para una diferencia de medias se define para H0: Δ0=0. Por lo tanto:
d=
Δ1
sC
De esta forma resulta:
n ⎡ ( z − zβ ) ⎤
nE = = ⎢ α
⎥
2 ⎣
d
⎦
2
(5.16)
En síntesis, se trata en forma similar al caso de una variable, utilizando sC y nE.
k>1
En este caso n1 ≠ n2.
Reemplazando n1 = k n2 en nE , resulta:
nE =
⎛ z − zβ ⎞
kn2 2
=⎜ α
⎟
(k + 1)n2 ⎝ d ⎠
2
resolviendo para n2, y luego para n1, se obtienen:
n2 =
k + 1 ⎛ zα − zβ ⎞
⎜
⎟
k ⎝ d ⎠
2
⎛ z − zβ ⎞
n1 = (k + 1) ⎜ α
⎟
⎝ d ⎠
2
Problema θ = Δp = Δ (variables cuantitativas
discretas)
Solo resumiremos aquí el caso de muestras independientes. El caso de muestras apareadas se tratará
en la página 178.
Tamaño de la muestra en función de las proporciones si H0: Δ0=0
Si se asume independencia y normalidad, la ecuación de diseño es:
zβ σ Δ = zασ Δ − (Δ1 − Δ 0 )
1
0
(5.17)
Si Δ0 = 0, entonces: Δ1 − Δ 0 = Δ1 = p1 − p2 correspondientes a H1.
Para el sigma de zα se utiliza p1 = p2 = pC y q1 = q2 = qC , en tanto que en el de zβ se utiliza
donde:
p̂ ,
63
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
n1 p1 + n2 p2
,
n1 + n2
nq +n q
qC = 1 1 2 2 ,
n1 + n2
pC =
Por lo tanto:
σΔ =
pC qC pC qC
+
,
n1
n2
σΔ =
p1q1 p2 q2
+
n1
n2
0
1
Si no se tienen los valores de H0, todas las expresiones se calculan con los valores de H1.
Potencia, P
La potencia se calcula obteniendo zβ.
Tamaño de la muestra, n
Veamos el caso más común: n1 = n2 = n .
⎛ z 2 pC qC − zβ p1q1 + p2 q2
n=⎜ α
⎜
Δ1
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
2
Reemplazando los valores de las proporciones combinadas pC y qC :
⎛ z ( p1 + p2 )(q1 + q2 ) / 2 − zβ p1q1 + p2 q2
n=⎜ α
⎜
Δ1
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
2
(5.18)
Tamaño de la muestra en función del tamaño del efecto h si H0: Δ0=0
El tamaño de efecto para una diferencia de proporciones se define siempre para H0: Δ0=0.
Un problema con la distribución muestral de proporciones es que la varianza depende del valor de la
misma. Se verá en la página 101, que con un cambio de variable arcseno, se consigue que las
proporciones se distribuyan en forma aproximadamente normal y además con una varianza que es
esencialmente independiente del valor de la proporción p. Con esta transformación se puede definir
entonces un tamaño de efecto h que no depende del valor de las proporciones. La transformación
utilizada es, concretamente:
j = 2arcsen p
Tamaños del efecto h
h = Δ1 j = j1 − j2 direccional
h = Δ1 j = j1 − j2 no direccional
Los valores de tamaño convencionales para h son:
• Chico, h = 0.20
• Mediano, h = 0.50
• Grande, h = 0.80
Esta transformación es válida también para probar ρ = ρ 0 para todo ρ 0 .
La ecuación de diseño resulta:
64
Jorge Carlos Carrá
I Diseño
c. Tamaño de la muestra
z β = zα − nc
La descentralidad nc resulta:
nc =
h
V ( j)
proporcional al tamaño del efecto e inversamente proporcional a la desviación estándar de la
distribución muestral.
Para
H 0 : ρ = ρ0
Se demuestra que V ( j ) =
1
, por lo tanto:
n
nc = n h
Despejando n:
⎛ z − zβ ⎞
n=⎜ α
⎟
⎝ h ⎠
Para
2
H 0 : Δ0 = 0
Si existe independencia se debe cumplir que:
V ( j) =
1 1 2
+ =
n n n
Por lo tanto:
nc =
n
h
2
Despejando n:
⎛z −z ⎞
n = 2⎜ α β ⎟
⎝ h ⎠
2
Nota
El tamaño n para control por B no se puede obtener de las expresiones de control por P, pues se debe
calcular la desviación estándar con
p1q1 + p2q2 y no con
pC qC + pC qC , dado que en el control por
B no se asume una H0.
σ
Problema θ = 1 2 (variables cuantitativas
2
σ2
contínuas)
Ecuación de diseño (página 198).
Fα 1 = Fβ R1
Potencia, P
La potencia se calcula obteniendo Fβ con la distribución de F central escalada dividiendo por el
tamaño del efecto R1 =
σ 12
.
σ 22
65
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Tamaño de la muestra, n
Al igual que en el problema de la varianza de una muestra, la variable n se encuentra dentro de los
grados de libertad, por lo cual el proceso de obtener n debe hacerse por prueba y error (n = > P) o
recurrir a un software, tal como GPower.
Problema θ = r (variables cuantitativas contínuas)
Ecuación de diseño (página 212):
zβ = zα − nc
Con:
nc = ( ρ F 1 − ρ F 0 ) n − 3
Siendo ρ F = arcth( ρ )
Potencia, P
La potencia se calcula obteniendo zβ.
Tamaño de la muestra, n
Despejando n, resulta:
2
⎛ z − zβ ⎞
n=⎜ α
⎟ +3
⎝ ρF1 − ρ F 0 ⎠
Problema θ = Δr (variables cuantitativas
contínuas)
Ecuación de diseño (página 212):
z β = zα − nc
Se define el tamaño del efecto q como:
q = Δ1 = ρ F 1 − ρ F 2
Como la varianza es:
V ( zF ) =
1
n−3
resulta:
nc =
n −3
q.
2
Potencia, P
La potencia se calcula obteniendo zβ.
Tamaño de la muestra, n
Despejando n, resulta:
2
⎛z −z ⎞
n = 2⎜ α β ⎟ + 3
⎝ q ⎠
66
Jorge Carlos Carrá
I Diseño
3. Control por PH vs control por IC
3. Control por PH vs control por IC
Si el cálculo del tamaño de la muestra se realizará controlando por la potencia, a partir de este valor
de n, se podrá calcular el margen de error que ese tamaño controla y viceversa.
Adicionalmente, podríamos preguntarnos cuales deberían ser las condiciones para que ambos
resultados coincidan. Si se define BS en forma correspondiente a la definición del tamaño del efecto
y se comparan las expresiones de n en ambos enfoques, se aprecian las siguientes particularidades,
que permitirán usar GPower para un diseño por IC. Esta resolución se mostró en los problemas
resueltos 5.4 y 5.5.
Dato: BS = d
BS puede hacerse igual a d si:
• zα/2
la ecuación correspondiente al control por IC es de 2 colas, por lo tanto debe figurar zα/2 y no zα.
• zβ = 0,
es decir la potencia debe ser 0.5 (con lo cual d = dC).
Dato: zα y zβ
Solo para los casos en los que el valor de σ es común para ambas distribuciones H0 y H1, se puede
obtener una relación entre el tamaño del efecto y el margen de error estandarizado BS.
Si se tiene por ejemplo, una potencia de 0.80 (zβ ~ –0.84) y un error α =0.05 (zα/2 ~ 1.96), resulta:
2
⎛ 1.96 + 0.84 ⎞ ⎛ 1.96 ⎞
n=⎜
⎟ =⎜
d
⎝
⎠ ⎝ BS ⎟⎠
2
por lo tanto:
2*1.4 1.96
=
d
BS
es decir:
d = 1.43BS
Siguiendo estos lineamientos, pueden obtenerse las correspondencias que sean adecuadas a los
valores y ecuaciones en estudio.
En el apéndice C se resumen las expresiones de cálculo del tamaño de una muestra, para las pruebas
de medias y proporciones, en los casos de una variable y de dos variables.
Problema resuelto 5.6 H0 versus H1
Se desea probar H0: μ = 24, frente a H1: μ = 25, con α = 0.05. a) Encontrar el tamaño de la muestra que
garantice esta exactitud y el valor crítico en x–barra, si se fija un β = 0.05, es decir se desea que menos del 5%
de las veces se cometa el error de no detectar una media μ = 25, si existe. b) Calcular el valor del margen de
error que este tamaño controla y verificar si se encuentra dentro del criterio recomendado en la teoría. c)
Calcular la potencia si se toman muestras de n = 50.
Suponer que σ2 = 10.
Paso 1 Problema
Comparar grupos:
θ =μ.
67
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Paso 2 Modelo
Distribución normal de la distribución muestral de medias en carácter provisorio hasta obtener el tamaño de la
muestra.
Paso 3 Diseño
a)
Es una prueba de 2 colas. Ver en la siguiente figura de análisis que el centro de la distribución de la hipótesis
alternativa debe estar a la derecha del punto de corte de la hipótesis nula pues la potencia es 0.95, mayor de
0.50. Por lo tanto los valores de z y sus signos para estos valores de α y β son:
zα /2 = 1.96
z β = −1.645
2
⎛ 1.96 + 1.645 ⎞
n=⎜
⎟ 10 = 129.9
⎝ 25 − 24 ⎠
xk = μ0 + zα
σ
= 24 + 1.96
n
⇒ xk = 24.5
10
129.9
Por lo tanto se debería utilizar un tamaño de la muestra superior a 130, para garantizar no superar los errores
definidos por α y β. Como n es mayor que 30 se valida la elección del modelo normal para la distribución
muestral de medias.
b)
El margen de error es:
B = 1.96
10
= 0.54
130
Este valor es menor que el 10% de la media.
BS =
0.54
= 0.17
10
c)
Solución centralizada
Cola superior
z β = zα /2 − nc
1
= 50 0.316 = 2.23
10
z β = 1.96 − 2.23 = −0.27
nc = nd = 50
β S = 0.39
Cola inferior
zβ = − zα /2 − nc
z β = −1.96 − 2.23 = −4.19
βI = 0
Por lo tanto:
P = 0.61
Este valor indica que, para un tamaño muestral de 50, solo el 61% de las veces podrá ser detectado un tamaño
del efecto d = 0.316, si existe.
68
Jorge Carlos Carrá
I Diseño
3. Control por PH vs control por IC
Solución descentralizada
zα /2 = 1.96
NCDF .T (−1.96, 49,2.23) = 0
1 − NCDF .T (1.96, 49,2.23) = 0.608
P = 0 + 0.608 = 0.608
GPower
t test
Means: Difference from constant (one sample case)
A priori
2 colas, α = 0.05, d = 1/√10 = 0.316 y P =0.95
Las distribuciones de H0 y H1, se muestran en la figura 5-17. El valor que devuelve el programa GPower (con
distribuciones t) es 133, para el cual el coeficiente descentralizado nc = 3.65.
Observar nuevamente que el centro de la distribución de H1 se encuentra a una distancia nc del 0 de la
distribución H0 y que la distancia del valor crítico, medido desde el centro de H1, es, como corresponde, el zβ
calculado por la ecuación de diseño:
zβ = zα − nc
Para responder a la pregunta b), se debe elegir "Sensitivity" en el tipo de análisis y entrar una potencia de
0.5.
Figura 5-17
Curvas de Potencia
En la figura 5.17, se muestra el plot de la Potencia en función del tamaño n para varios d.
Si tomamos como un valor de potencia deseable a 0.8, se observa que la prueba detectará con un 80% de
probabilidad, un d grande de 0.8 para n de aproximadamente 15, pero para detectar un d chico de 0.2, debemos
aumentar n a aproximadamente 200 (los valores exactos se pueden obtener presionando el botón Table).
69
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Figura 5-18
Problema resuelto 5.7 Proporción de votantes
Un encuestador afirma que la proporción p1 de votantes del partido A a favor de una reforma política, es mayor
que la proporción p2 de los votantes del partido B.
a) El encuestador desea diseñar una prueba para detectar un tamaño del efecto de 0.1 (es decir cuando p1
excede a p2 en 0.1) con α = 0.05 y β ≤ 0.20. Por lo tanto se desea que el 80% de las veces se detecte ese
tamaño del efecto, si existe. Hallar el tamaño n.
b) Calcular el valor del margen de error que este tamaño controla y verificar si se encuentra dentro del criterio
recomendado en la teoría
c) Calcular la potencia si se toman muestras de n = 200 en cada partido.
Paso 1 Problema
Comparar grupos:
θ = p.
Paso 2 Modelo
Distribución muestral de proporciones normal, en carácter tentativo.
Paso 3 Diseño
a)
zα = 1.645
z β = −0.84
Resolución con las proporciones p1 y p2.
Se debe utilizar la expresión:
70
Jorge Carlos Carrá
I Diseño
3. Control por PH vs control por IC
⎛ z ( p1 + p2 )(q1 + q2 ) / 2 − zβ
n=⎜ α
⎜
Δ1
⎝
p1q1 + p2 q2 ⎞
⎟
⎟
⎠
2
con:
Δ1 = p1 − p2
la cual requiere conocer p1 y p2. Nos situaremos en la condición con mayor varianza, esto es con p1 = 0.5 y por
lo tanto p2 = 0.6.
Reemplazando, resulta:
2
⎛ 1.645 0.495 + 0.84 0.49 ⎞
n = ⎜⎜
⎟⎟ = 304.6
0.1
⎝
⎠
(Para calcular el valor crítico en x–barra, se requeriría conocer con precisión p1 o p2).
Por lo tanto, una muestra de tamaño común 305, garantizará los valores de α y β predeterminados. Como n es
mayor que 30 se valida la elección del modelo normal para la distribución muestral de proporciones.
En la resolución numérica anterior puede observarse que los valores de los radicandos son muy similares entre
sí e iguales a 0.5. Esto ocurre cuando las probabilidades están lejos de los extremos (digamos de 0.05 y de
0.95) y permite aproximar la situación a la de una diferencia de medias, tomando las desviaciones estándares
de σ1 y de σ2 en su valor máximo de 0.50. En este caso:
2
⎛ z − zβ ⎞ 2
n = 2⎜ α
⎟ σC
⎝ Δ1 ⎠
σ 2 + σ 22
σ C2 = 1
2
2
⎛ 1.64 + 0.84 ⎞
n=⎜
⎟ (0.25 + 0.25) = 307.5
0.1
⎝
⎠
Resolución con el tamaño de efecto h
j1 = 2arcsen p1 = 2arcsen 0.6 = 1.7722
j2 = 2arcsen p2 = 2arcsen 0.5 = 1.5702
h = j2 − j1 = 0.2018
Finalmente:
2
2
⎛ z − zβ ⎞
⎛ 1.64 − (0.84) ⎞
n = 2⎜ α
2
=
⎟
⎜
⎟ = 302
⎝ h ⎠
⎝ 0.2018 ⎠
GPower
z tests
Proportion: Difference between two independents proportions
A priori
1 cola, α = 0.05, p2 = 0.6, p1 = 0.5, P = 0.8, Allocation ratio n2/n1 = 1
Para obtener la solución con h, se debe presionar el botón Options.
Options > Use arcsin transform y Use Cohen's effect size index h.
Las distribuciones de H0 y H1, se muestran en la figura 5-19. El valor de n obtenido con este software (solución
descentralizada) es 305.
71
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Figura 5-19
b)
308(0.5) + 308(0.6)
= 0.55
308 + 308
= 2 pC qC = 2(0.55)(0.45) = 0.703
pC =
σΔ
1
El margen de error es:
B = 1.64
0.703
= 0.06 = 6%
308
Este valor es el 11% de p y por lo tanto el tamaño de la muestra es aceptable según el criterio del IC.
c)
Solución exacta como diferencia de proporciones
La ecuación de diseño es (apéndice C):
zβ σ Δ1 = zα σ Δ0 − Δ1
200(0.5) + 200(0.6)
= 0.55
200 + 200
pC qC pC qC
0.55(0.45) 0.55(0.45)
+
=
+
= 0.0497
200
200
n1
n2
pC =
σΔ =
0
σΔ =
1
p1q1 p2 q2
0.5(0.5) 0.6(0.4)
+
=
+
= 0.0495
n1
n2
200
200
z β = (1.64(0.0497) − 0.1) / 0.0465 = −0.397
β = 0.34
P = 0.65
El valor chico de P indica que muestras de n = 200 probablemente no detectan una diferencia de 0.1 (tamaño
del efecto) entre los valores poblacionales de p.
Solución aproximada como diferencia de medias
Utilizando la aproximación indicada en la respuesta a), obtenemos:
Solución centralizada
zβ = zα − nc
nc = nd
p − p2
0.1
=
= 0.141
d= 1
σ
0.5
72
Jorge Carlos Carrá
I Diseño
3. Control por PH vs control por IC
nc = 200(0.141) = 1.99
⇒ zβ = 1.645 − 1.99 = −0.349
Por lo tanto:
β = 0.36
P = 0.64
Solución descentralizada
La implementación con el SPSS de esta solución, es la siguiente:
IDF .T (0.05,199) = −1.65
tα i = −1.65
NCDF .T (−1.65,199,1.99) = 0
1 − NCDF .T (1.65,199,1.99) = 0.63
P = 0 + 0.63 = 0.63
Dado el alto tamaño de la muestra, ambas soluciones prácticamente coinciden.
GPower
Solución exacta como diferencia de proporciones
z tests
Proportion: Difference between two independents proportions
Post hoc
1 cola, α = 0.05, p2 = 0.6, p1 = 0.5, n1 = 200 y n2 = 200.
Entrega una P = 0.64.
Para responder a la pregunta b), se debe elegir "Sensitivity" en el tipo de análisis y entrar una potencia de
0.5.
Solución aproximada como diferencia de medias
t test
Means: Difference from constant (one sample case)
Post hoc
1 cola, α = 0.05, d = 0.1/√0.50 = 0.141, y n =200
Las distribuciones de H0 y H1, se muestran en la figura 5-20. Entrega una P = 0.64.
Figura 5-20
73
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Problema resuelto 5.8 Tamaño muestral de varias variables
Varios alumnos de la facultad desean realizar una investigación estadística, para lo cual han realizado el pedido
de autorización pertinente a las autoridades. Para convalidar el pedido deben presentar el tamaño mínimo de la
muestra, con su correspondiente justificación académica.
Asumen que una potencia satisfactoria es del 80%, es decir si existe realmente un tamaño del efecto (a
determinar), tendrá una chance del 80% de ser detectado. Eligen además el criterio tradicional de 5% para
decidir la significación estadística.
Una parte de la encuesta contiene preguntas con variables de escala. Una de ellas busca establecer si existen
diferencias significativas entre el desempeño de alumnos proveniente de escuelas públicas o privadas
(problema de comparación entre grupos) y postulan en principio que los tamaños de las muestras de cada
grupo sean iguales y que la prueba de esta pregunta sea de 2 colas.
Una segunda parte contiene preguntas categóricas. Una de ellas desea probar si la proporción de estudiantes
que aprueban un cambio hacia normas de promoción más estrictas, supera el 50%, debido a lo cual es
apropiada una prueba de 1 cola.
Finalmente una tercera parte contiene variables de escala como la de estaturas de varones y mujeres y desean
establecer la correlación entre diferentes variables.
Establecer el tamaño de muestra adecuado para satisfacer los requisitos de todas las preguntas.
Paso 1 Problema
Comparar grupos:
θ = μ , θ = p y establecer asociaciones θ = ρ .
Paso 2 Modelo
Distribución de las distribuciones muestrales de medias y proporciones normal en forma tentativa hasta
determinar el tamaño de la muestra.
Paso 3 Diseño
1 Pregunta cuantitativa
Realizaremos el estudio del tamaño de la muestra con los tamaños del efecto convencionales de Cohen y por
simplicidad usaremos la variable z en lugar de la t de Student.
Más adelante, en la sección que trata el problema de la diferencia de medias, página 145, veremos que si se
considera a ambas muestras de igual tamaño, el valor a entrar en las fórmulas es n/2. Por lo tanto:
z − zβ 2
n
=( α
)
d
2
En este caso, considerando en principio que la distribución es normal, se tienen (ver figura 5-21):
zα /2 = 1.96
z β = −0.85
Por consiguiente, utilizando los tamaños del efecto chico (0.20), mediano (0.50) y grande (0.80), se tienen los
siguientes tamaños muestrales para cada grupo:
1.96 + 0.85 2
n = 2(
) = 394
0.2
1.96 + 0.85 2
n = 2(
) = 64
0.5
1.96 + 0.85 2
n = 2(
) = 25
0.8
74
Jorge Carlos Carrá
I Diseño
3. Control por PH vs control por IC
GPower
t test
Means
Difference between two independents groups (two groups)
A priori
2 colas, α = 0.05, P = 0.8, Allocation ratio N2/N1 = 1 (tamaños de muestras iguales).
Figura 5-21
Obtenemos los siguientes tamaños de muestra para los distintos tamaños del efecto:
Chico: 0.20 => n = 394 en cada grupo
Mediano 0.50 => n = 64 en cada grupo
Grande 0.80 => n = 26 en cada grupo
Las distribuciones para un tamaño del efecto grande, se muestran en la figura 5-21.
Se desconoce a priori cual es el tamaño del efecto entre los grupos, pero es adecuado, en principio, partir de un
tamaño del efecto medio, por lo cual se propone encuestar en total 128 alumnos, 64 de cada grupo.
2 Pregunta cualitativa
Realizaremos el estudio del tamaño de la muestra con los tamaños del efecto convencionales de Cohen y por
simplicidad usaremos la variable z en lugar de la binomial, recordando que en este caso, el valor a obtener es
más conservador.
zα = 1.64
zβ = −0.85
Por consiguiente, utilizando los tamaños del efecto chico (0.05), mediano (0.15) y grande (0.25), se tienen los
siguientes tamaños muestrales para cada grupo:
1.64 + 0.85 2
) = 2480
0.05
1.64 + 0.85 2
n=(
) = 276
0.15
1.64 + 0.85 2
n=(
) = 100
0.25
n=(
Observar que resulta un valor mínimo de 100, por lo cual se cumple el criterio establecido para
θ = p.
GPower
t test
Means
Difference from constant (one sample case)
A priori
1 cola, α = 0.05, P = 0.8.
Obtenemos los siguientes tamaños de muestra para los distintos tamaños del efecto:
Chico: 0.05 => n = 2474
75
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Mediano 0.15 => n = 276
Grande 0.25 => n = 101
Las distribuciones para un tamaño del efecto medio, se muestran en la figura 5-22.
Figura 5-22
2 Preguntas para Inferencia de correlación
zα = 1.64
zβ = −0.85
Realizaremos el estudio del tamaño de la muestra considerando una H 0 : ρ0 = 0 y adoptando los tamaños del
efecto convencionales de Cohen.
Por consiguiente, utilizamos los tamaños del efecto chico (0.10), mediano (0.30) y grande (0.50). Los valores
transformados por la función arcth (EXCEL), son: efecto chico (0.100335), mediano (0.30952) y grande
(0.549306).
Por lo tanto:
2
2
⎛ zα − zβ ⎞
⎛ 1.64 − ( −0.85) ⎞
n=⎜
⎟ +3=⎜
⎟ + 3 = 619
⎝ 0.100335 ⎠
⎝ ρF ⎠
2
2
⎛ z − zβ ⎞
⎛ 1.64 − ( −0.85) ⎞
3
n=⎜ α
+
=
⎟
⎜
⎟ + 3 = 68
⎝ 0.30952 ⎠
⎝ ρF ⎠
2
2
⎛ z − zβ ⎞
⎛ 1.64 − ( −0.85) ⎞
3
n=⎜ α
+
=
⎟
⎜
⎟ + 3 = 24
⎝ 0.549306 ⎠
⎝ ρF ⎠
GPower
Exact
Correlation. Bivariate normal model
A priori
1 cola, α = 0.05, P = 0.8.
Obtenemos los siguientes tamaños de muestra para los distintos tamaños del efecto:
Chico: 0.107 => n = 616
Mediano 0.30 => n = 67
Grande 0.50 => n = 23
Las distribuciones para un tamaño del efecto medio, se muestran en la figura 5-23.
76
Jorge Carlos Carrá
I Diseño
Paso 5a: Verificar supuestos: Potencia retrospectiva
Figura 5-23
Como se debe tomar el tamaño que resulte mayor para todas las variables consideradas, si queremos que la
prueba detecte con una probabilidad de 80% un tamaño del efecto medio, el tamaño de muestra inicial debe ser
mayor a 276. Como n es mayor que 30 se valida la elección del modelo normal para las distribuciones
muestrales involucradas.
Luego de realizar la prueba y de acuerdo a la significación de la misma, se analizará la potencia en forma
retrospectiva.
Si por ejemplo, la prueba resultara no significativa (no se detecta efecto), se analizará la potencia para tamaños
del efecto grandes.
Si la potencia resulta baja, significará que ese tamaño del efecto, si existe, no sería detectado y se debería
aumentar el tamaño de la muestra.
Si la potencia resultara alta, significará que ese tamaño del efecto no existe (pues habría sido detectado y la
prueba fue no significativa) y por lo tanto el tamaño del efecto real debe ser igual o menor que el propuesto.
Si como contrapartida, la prueba resultara significativa (se detecta efecto), se analizará la potencia para
tamaños del efecto chicos.
Si la potencia resulta baja, significará que un tamaño del efecto mayor que el propuesto debe existir, pues
resultó significativa.
Si la potencia resultara alta, significará que ese tamaño del efecto probablemente es detectado y se debería
disminuir el tamaño de la muestra, para que no detecte efectos que no sean de utilidad.
Este análisis posterior, se aplicará en la siguiente sección.
Paso 5a: Verificar supuestos: Potencia
retrospectiva
Hasta ahora se ha descripto la importancia de incluir la potencia en el proceso de diseño, antes de
obtener la muestra del estudio. ¿Pero que sucede cuando se desconoce si el diseño realizado fue el
adecuado? En otras palabras, ¿qué papel cumple la potencia cuando se obtiene un resultado que es
significativo o que no lo es? Este aspecto pertenece al último paso (paso 5) del proceso general
delineado en la introducción inicial.
Solo tiene sentido tratar los resultados de una prueba (no rechazando o rechazando la H0), si la
potencia es lo suficientemente alta para el tamaño del efecto que interese al investigador, es
decir con distribuciones de H0 y H1 que no se superpongan. En este caso, si el resultado es no
significativo, no se rechazará H0, sabiendo que se comete un error β pequeño y si es significativo, se
rechazará H0, con potencia P grande para un tamaño del efecto de interés, en ambos casos para un
determinado tamaño del efecto de interés.
El proceso que prosigue a la toma de una muestra corresponde a los pasos 4 y 5 del planteo general:
77
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
•
P4 Análisis
Obtención de la significación de la muestra (valor p). Este valor utiliza la muestra para indicar la
existencia o no de un efecto poblacional, pero no establece si este efecto es importante (o
grande) a pesar de que ésta es la interpretación de la palabra "significación" en el lenguaje
ordinario. Por ejemplo, veremos luego (página 221), que un coeficiente de correlación muestral r
de 0.1 es significativo con un tamaño muestral de 1000, pero el valor del tamaño del efecto
poblacional ρ puede ser de escaso interés para el investigador (ver riesgo de n alto, más
adelante).
• P5 Verificación y validación
Específicamente en lo atinente a la verificación de supuestos, estudiaremos aquí lo concerniente
a la verificación del tamaño de la muestra, lo cual nos conduce a la obtención de la potencia
retrospectiva versus el tamaño del efecto, luego de conocida la significación. Este paso es en
realidad un ajuste del diseño luego del análisis, por lo cual no se utiliza la muestra, sino una
segunda distribución poblacional alternativa. Recordemos que la potencia está asociada a los 4
factores ya mencionados (tipo de prueba, α, n y d). El software GPower llama a la potencia
retrospectiva, análisis Post hoc (seleccionable dentro de la caja desplegable Type of
power analysis).
El análisis ya fue descripto en general y será profundizado luego en las restantes secciones de este
capítulo. Con referencia a la verificación, existen 2 tipos de riesgos según sea el resultado de la
prueba de significación. Para realizar este estudio, resultará de utilidad repetir el esquema que se
muestra en la figura 5-24.
Recordemos que si llamamos dP al tamaño del efecto poblacional, entonces:
P = 0.5 ⇔ d P = d c
(5.19)
Resultado no significativo (No se detecta efecto)
Llamamos dm al tamaño del efecto que resulta de la muestra (dividiendo el valor zm por n )
La potencia calculada con este tamaño del efecto muestral, dm, como si fuera el poblacional, se llama
Potencia Observada.
En el caso no significativo se cumple que:
• dm < dc
•
Potencia observada < 0.50.
Resultado significativo (Se detecta efecto)
Se cumple ahora que:
• dm > dc
•
78
Potencia observada > 0.50.
Jorge Carlos Carrá
I Diseño
Paso 5a: Verificar supuestos: Potencia retrospectiva
Figura 5-24
Estas conclusiones son de utilidad cuestionable, pues dm es un estimador sesgado de dP y por lo tanto
no podemos inferir sobre dP a partir del dm. Lo correcto es entonces evaluar la potencia con un
tamaño del efecto poblacional que resulte importante para el investigador, fijado antes de la
prueba.
Para asignar el valor del tamaño del efecto, cada investigador debe decidir, en forma subjetiva, cuál
es el tamaño adecuados a su estudio, basado en el entendimiento del problema que está estudiando.
Sin embargo, como ya se ha dicho, si se carece de mayor información y a modo de guía, puede
comenzarse con la división de los tamaños del efecto propuesta convencionalmente por Cohen
(Cohen, J. 1988) en chicos, medianos y grandes.
En cuanto a los valores de la potencia P, son razonables valores comprendidos entre 0.75 y 0.90. Por
lo tanto se puede considerar, también convencionalmente, que una potencia grande es aquella
superior a 0.8. Este valor es arbitrario pero razonable y equivale a la probabilidad de cometer un
error β =0.2. Observar que esto implica estimar que la presencia de un error de tipo I es 4 veces más
serio que la presencia de un error de tipo II.
Remarquemos que un investigador inteligente examinará la potencia en la etapa de diseño, antes de
tomar las muestras. El estudio retrospectivo de la potencia que contiene esta sección, se aplicará para
constatar si un determinado análisis es concluyente, especialmente cuando se desconozca si fue
realizado un diseño adecuado. Dado el resultado de la prueba (significativo o no), se pueden
presentar en principio 4 combinaciones de tamaño del efecto (alto o bajo) y potencia (alta o baja).
Sin embargo existen 2 casos extremos de interés que se muestran en la figura 5-25 y que se analizan
a continuación.
Partimos de la base que un investigador desea que los tamaños del efecto poblacionales altos sean
detectados con alta probabilidad y que los tamaños del efecto poblacionales bajos, carentes de
interés, no lo sean.
a
b
d ↑⇒ P ↓
si prueba no sign ⇒ No concluyente
d ↓⇒ P ↑
si prueba sign ⇒ No concluyente
Figura 5-25
El dm indica una prueba no significativa
Dado que en un resultado no significativo se comete un error β asociado con la potencia, parecería
que solo resultaría de interés analizar la potencia retrospectiva en este caso. Sin embargo, veremos
en esta sección que también cuando el resultado sea significativo se puede cometer un error asociado
directamente con la potencia.
La prueba no significativa indica que tiene una baja potencia observada (menor de 0.50) para el
tamaño del efecto muestral. Interesa precisar si el tamaño del efecto poblacional es alto o bajo. El
riesgo es que no sea detectado un tamaño del efecto alto, por lo cual probaremos un d . Se pueden
presentar los siguientes 2 casos.
d y P (figura 5-25a)
Si la potencia resultara baja, la existencia de un efecto grande d tendría un bajo porcentaje de ser
detectado. Esta situación se ha sombreado en la figura para una mejor comprensión. El estudio es no
concluyente, NC, pues la figura indica que es compatible la existencia de un tamaño del efecto
79
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
poblacional chico, mediano o alto. En particular, si existe un tamaño del efecto grande no detectado,
se estaría realizando todo un trabajo para nada. Esta situación puede ser originada por un tamaño de
la muestra demasiado bajo, llamado:
Riesgo de n bajo: algo grande está sucediendo y se obtiene un resultado no significativo.
La solución sería entonces, aumentar el tamaño n de la muestra.
d yP
Si la potencia resultara grande (en la figura 5-25a, la curva de H1 estaría bien separada de H0), un
efecto igual o superior al supuesto no está presente pues en este caso probablemente hubiera sido
detectado y la prueba no fue significativa. En otras palabras, si este efecto grande existiera en la
población, probablemente sería detectado en el estudio. Como no lo fue, es probable que el d no
exista y por lo tanto el estudio es concluyente. La hipótesis de investigación (para este d ) HA, es
falsa.
Para precisar la situación se podría partir de P (por ejemplo 0.80) y con este dato calcular entonces
los tamaños del efecto que la prueba puede detectar. Si se procede con un programa informático
(GPower), es relevante solicitar curvas de potencia en función del tamaño del efecto. Estas curvas
permiten extraer los tamaños del efecto que la prueba puede detectar, en el caso de que existan
(convencionalmente los que implican P > 0.80), para distintos tamaños muestrales. Luego se podrá
analizar si son grandes o chicos de acuerdo al interés del investigador.
El dm indica una prueba significativa
La prueba significativa indica que tiene una alta potencia observada (mayor de 0.50) para el tamaño
del efecto muestral. Interesa precisar si el tamaño del efecto poblacional es alto o bajo. Ahora el
riesgo es que sea detectado un tamaño del efecto bajo, sin interés para el investigador, por lo cual
probaremos un d . Se pueden presentar los siguientes 2 casos.
d y P (figura 5-25b)
Si la potencia resultara alta, la existencia de un efecto chico d tendría un alto porcentaje de ser
detectado (significativo). Esta situación se ha sombreado en la figura para una mejor comprensión.
El estudio es no concluyente, NC, pues podría existir un tamaño del efecto chico, mediano o alto.
En particular, la detección de un tamaño del efecto chico, podría carecer de significación práctica.
Esta situación puede ser originada por un tamaño de la muestra demasiado alto, llamado:
Riesgo de n alto: nada está sucediendo y se obtiene un resultado significativo.
El riesgo de n alto parece una paradoja, pues se tiene la idea de que cuanto más grande es el tamaño
de la muestra, mejor. En este caso observamos que un estudio significativo con gran cantidad de
participantes, rechazará H0 sin importar el tamaño del efecto. Este comentario marca la diferencia
entre significación e importancia. Un resultado puede ser estadísticamente significativo pero el
tamaño del efecto que detecta puede no ser importante (grande).
Supongamos que se prueba, por ejemplo, un medicamento antifebril aplicado a un grupo de
investigación respecto de un grupo de control. La H0 establece que no existe diferencia en la
temperatura media de ambos grupos. Supongamos que el medicamento provoca una disminución de
0.01°C. Este tamaño del efecto probablemente no sea clínicamente importante (o científicamente
significativo) pero puede hacerse estadísticamente significativo con tal de elegir un n
suficientemente grande.
d yP
Si en cambio, para este efecto chico, la potencia resultara también chica (en la figura 5-25b, la curva
de H1 estaría más superpuesta con la de H0), indicaría que un efecto inferior al propuesto no está
presente pues la prueba fue significativa. En otras palabras, si este efecto chico existiera en la
población, probablemente no sería detectado en el estudio. Como la prueba detectó un efecto, es
probable que el d no exista y el estudio es concluyente. El resultado significativo para tamaños del
efecto mayores al supuesto d , puede ser entonces también importante en la práctica.
Nuevamente y para precisar la situación se podría partir de P (por ejemplo 0.80) y con este dato
calcular entonces el tamaño del efecto a partir del cual, serían probablemente detectados, en el caso
de que existan.
80
Jorge Carlos Carrá
I Diseño
Paso 5a: Verificar supuestos: Potencia retrospectiva
Especialmente cuando no se tenga una clara idea de cuál es el tamaño del efecto que es relevante
para la investigación, es conveniente detectar al menos, las situaciones no concluyentes de la figura
5-25, que se resumen en forma de cuadro en la figura 5-26.
No Concluyente
Resultado
Verificar
No Significativo
P
d
Significativo
P
d
Figura 5-26
Si el resultado es no concluyente en alguno de los 2 casos, rediseñar el tamaño n de la muestra. En
el caso del riesgo de n alto, podría también disminuirse el valor de α, para hacer más difícil el
rechazo de H0. Este es un proceso iterativo que finaliza cuando se consigue limitar los riesgos de un
tamaño n inadecuado.
Notas
•
Una alternativa de análisis complementaria para el caso de comparación de medias, es calcular el dC
•
(dividiendo el valor zc por n ), pues a partir del mismo y de la significación de la prueba, se tiene
información acerca de los valores de los tamaños del efecto que la prueba detecta (o no), en el caso de que
existan.
En la metáfora de un juicio, los riesgos del tamaño muestral n deben asociarse con el tamaño del estudio.
Estudios voluminosos pueden garantizar significación aunque lo que esté sucediendo sea de mínima
importancia práctica. Por otro lado, estudios insuficientes pueden reflejar no significación estadística
aunque estén ocurriendo cosas de importancia práctica.
En cualquier caso es importante colocar en el informe final, información respecto del tamaño del
efecto, pues será valiosa para otros investigadores. Éstos podrán eventualmente rediseñar el estudio
de tal forma que el experimento no detecte un efecto chico si es significativo o que detecte un efecto
grande si es no significativo. Por esta razón, en los problemas resueltos de las secciones II , III y IV,
se realizará a posteriori de la significación, una verificación de los supuestos del diseño en lo
concerniente al tamaño de la muestra, con un análisis retrospectivo de la potencia versus el tamaño
del efecto (sin utilizar la muestra).
81
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
II Análisis de una variable
En cada una de las secciones II, III y IV se plantearán para cada una de las estimaciones, el
problema, el modelado, el análisis y la verificación.
En la sección II trataremos los 3 problemas de grupos. En la sección III, los 3 problemas de
comparación de grupos. Finalmente en la sección IV, veremos los 2 problemas de asociación de
variables. En cada una de los casos se indicará si la distribución en estudio es asintótica (solo válida
para muestras grandes) o exacta (válida para cualquier tamaño de la muestra) y en cada uno de los
casos se incluirá al menos una prueba exacta.
Como ya se ha comentado en la introducción de la página 16, dada la similitud de los
procedimientos generales, luego de aprender la técnica con uno de los problemas, por ejemplo, con
la variable media muestral, solo bastará recorrer ese modelo, realizando las adaptaciones pertinentes
para el resto de los casos. Estas adaptaciones y particularidades se encuentran resumidas en las tablas
de fórmulas del apéndice C.
Comencemos entonces con los problemas de una muestra:
a. θ = μ (variable de escala)
b. θ = p (variable categórica)
c.
θ = σ 2 (variable de escala)
Problema a: media de una variable
cuantitativa contínua
Modelado
De acuerdo a lo estudiado en el capítulo 4, se tienen varios modelos de distribuciones muestrales.
Los casos que se resuelven en forma paramétrica conducen a una distribución normal o t de Student.
Normal o t de Student (asintótica o exacta)
Supuestos
En la tabla de la figura 5-27, se recuerdan las únicas alternativas posibles.
82
Jorge Carlos Carrá
II Análisis de una variable
Problema a: media de una variable cuantitativa contínua
Desviación
Estándar
Casos
1y2
Casos
3y4
Caso 5
n>30 o
x normal
n > 30 o
x normal
n < 30 y
x no normal
Distribución
Asintótica
Exacta
Asintótica
=> t de Student
Exacta
σ
=>
s
––
=>
Normal
No paramétrica
Figura 5-27
Resumen distribución muestral de la media
En el caso 5 se aplican técnicas que no requieren el conocimiento de la distribución, llamadas no
paramétricas. Si bien serán el objetivo del capítulo 7, entre ellas se encuentran:
• La desigualdad de Tchebysheff ya estudiada en el capítulo 1.
• La prueba exacta de Fisher, aplicable a comparación de proporciones (página 171).
• La técnica llamada bootstrap (página 314).
Se comentó en el capítulo 4 que en algunos textos se utiliza un método alternativo para el caso 3 si
n > 30 (asintótica), resolviendo con una distribución normal (caso 1). Este método (no utilizado
aquí), conduce a colas más chatas (pues la distribución t de Student es platicúrtica) y por lo tanto a
un valor menor del punto crítico, haciendo más proclive el rechazo de la H0 (prueba menos
conservadora y con más potencia).
Es útil observar el formato con el cual se presentan los datos en este problema. Un ejemplo se
muestra en la figura 5-28, con una variable x de escala que contiene el concepto a estudiar.
x
1.23
2.45
3.26
6.45
8.23
…
6.78
1.56
3.21
4.13
2.56
Figura 5-28
Análisis por IC
Del capítulo 4 sabemos que la media de la distribución muestral de medias es un buen estimador
puntual de la media poblacional pues es un estimador insesgado y convergente, pero para agregar
una medida de la precisión se realiza una estimación por intervalo.
Recordemos que el procedimiento del análisis por IC consiste en:
1. Elección
2. Cálculo
La ecuación de probabilidades para el cálculo del IC proviene, para estos modelos, de la
estandarización de la variable en z o t.
83
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Figura 5-29
Distribución muestral de la media
Repetimos a modo de repaso, el proceso recorrido en la introducción. La transformación a realizar en
este caso es a la variable z.
Partiendo de la ecuación probabilística:
P(− zα /2 < z < zα /2 ) = c
Los z inferior y superior se llaman zα/2, pues c = 1-α.
Reemplazando la expresión de z:
P ( − zα /2 <
X −μ
σx
< zα /2 ) = c
Despejando μ:
P (− zα /2σ x < X − μ < zα /2σ x ) = c
P ( − X − zα /2σ x < − μ < − X + zα /2σ x ) = c
P ( X + zα /2σ x > μ > X − zα /2σ x ) = c
En definitiva:
P ( X − zα /2σ x < μ < X + zα /2σ x ) = c
Por la forma de operar se llama también a la ecuación de probabilidades, ecuación pivote. El valor
estandarizado del estadístico muestral se llama estadístico de prueba.
Esta ecuación indica que ese IC contendrá a la media poblacional, con una probabilidad c = 1-α:
Expresado de otra forma:
μ = X ± zα /2σ x
Observar que el contenido del segundo sumando es el error de estimación, B:
B = zα /2σ x
Por lo tanto:
μ = X ±B
Si el IC fuera unilateral, se deberá reemplazar zα/2 por zα.
Si en lugar de una distribución normal, la distribución es una t de Student, entonces el IC será:
μ = X ± tα /2σˆ x
Recordemos además del capítulo 4 que si la población no es infinita, se debe considerar el factor cpf,
el cual disminuye la varianza y por lo tanto el error de estimación:
84
Jorge Carlos Carrá
II Análisis de una variable
Problema a: media de una variable cuantitativa contínua
s2 ⎛ N − n ⎞
Vˆ ( X ) = ⎜
⎟
n⎝ N ⎠
El problema resuelto 5.9 contiene un ejemplo que ilustra el proceso. Un nivel de confianza c del 95%
nos indica que si se repitiera el proceso, en 95 de cada 100 veces, el intervalo comprenderá al valor
estimado. Para que el estudiante pueda verificar esta importante enseñanza, se insta a que, luego de
resolver el problema resuelto, realice la simulación guiada que se encuentra al final del capítulo
(página 311).
Debe remarcarse que por ejemplo un IC = (3; 5), indica que la media estimada es μˆ = 4 y no que la
media real sea 4. Por otra parte un IC del 95% no significa que exista un 95% de probabilidades de
que μ = 4, sino que la probabilidad de que los valores 3 y 5 comprendan a μ es del 95%.
Reglas de redondeo
Si se utiliza la base de datos original, redondear el IC a un decimal más que el usado en los datos. Si
solo se utiliza el resumen numérico de los datos (tamaño, media y desviación estándar), redondear al
mismo número de decimales usado en la media.
Análisis por PH
Recordemos que el procedimiento del análisis por PH consiste en:
1. Elección
2. Comparación
Elección
Sea μ0 un valor de referencia y desea investigarse si la población en estudio, quizá por efecto de
algún tratamiento, mantiene o no esa media. Las hipótesis toman la siguiente forma:
Bilateral
H 0 : μ = μ0
H A : μ ≠ μ0
Unilaterales
Cola izquierda
H 0 : μ ≥ μ0
H A : μ < μ0
Cola derecha
H 0 : μ ≤ μ0
H A : μ > μ0
Comparación
Se elige alguno de los 3 métodos alternativos descriptos en la página 27.
Interrelación entre IC y PH
Fijadas las regiones de una PH, las conclusiones acerca del resultado de la muestra son totalmente
equivalentes a las de un IC. En la figura 5-30 se muestra la situación por ejemplo, cuando el valor
muestral "cae" justo en el límite de la región crítica de una prueba unilateral (a modo de ejemplo).
85
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Figura 5-30
El segmento correspondiente al error de estimación B es el mismo en ambas técnicas:
B = zcσ x
Por otra parte, de la figura se observa que:
• para la PH:
xC = B + μ
•
y para el IC:
LCI = xm − B
Si xm = xc , se verifica:
LCI = μ
A partir de esta conclusión, es fácil observar que si el valor muestral "cae" dentro de la zona crítica,
el IC no comprenderá a μ, como es de esperar para resultados significativos, lo cual sucederá α% de
las veces. Lo opuesto ocurre si el valor muestral cae fuera de la zona crítica, lo cual sucederá (1–α)%
de las veces.
Barras de error
Complementariamente al estudio analítico, es posible realizar un análisis gráfico de tipo exploratorio
con los diagramas llamados: barras de error. Estas barras expresan gráficamente la relación:
μ = x ± zα /2σ x
O de otra forma:
μ = x±B
En donde B es el error de estimación, el cual da origen al nombre de estas graficas.
86
Jorge Carlos Carrá
II Análisis de una variable
Problema a: media de una variable cuantitativa contínua
Figura 5-31
Barras de error
SPSS
Los procedimientos SPSS son en realidad de Prueba de Hipótesis, PH, pero dentro de las salidas,
entrega los Intervalos de Confianza, IC.
Analyze > Compare Means > One-Sample T Test > seleccionar la variable, el valor
de µ0 y el intervalo de confianza (Options)
El procedimiento es aplicable tanto para muestras grandes como para muestras pequeñas pues el
SPSS emplea la t de Student en todos los casos. Es necesario advertir que el SPSS no utiliza la cpf y
como utiliza la t de Student, emplea la desviación estándar de la muestra en todos los casos. Si la
desviación estándar de la población fuera conocida, se debe utilizar la distribución normal (la cual no
utiliza la desviación estándar de la muestra) y seguir los pasos del cálculo manual sin computadora,
aunque asistido con la distribución normal del procedimiento Compute.
En las tablas que aparecen en el visor con los resultados de la prueba (ver siguiente problema
resuelto), observamos que:
• La desviación estándar del estimador se caratula por su otro nombre equivalente: Standard
Error o SE. Esta notación será la utilizada en todas las pruebas.
• La tabla expresa el valor del tm (t muestral) y no el tc (t crítico).
• El IC se basa en la diferencia μ−μ0 (incluye el μ0 de la PH en la expresión del IC). Por lo tanto
se deberá sumar μο para obtener el IC de μ (o alternativamente pidiendo un test para μ0 = 0). El
intervalo de confianza de la media μ también podría obtenerse con el procedimiento explorar
(capítulo 1).
La mayoría de los paquetes estadísticos de computación dan valores p de dos colas (en el SPSS se
indica con la palabra bilateral). Por lo tanto si se desea una prueba de una cola, al ser una
distribución simétrica, se deberá dividir por dos el valor de p. Por la misma razón, si se desea el IC
superior de 1-α, se deberá pedir el IC de 1-2α y tomar solo el límite inferior.
Si se está estudiando el total poblacional, entonces basta multiplicar la variable en estudio por N y
aplicar los pasos anteriores a la nueva variable de totales τ.
Para obtener tablas con las medias de las variables, ver el Apéndice A, tablas: procedimiento
medias: Analyze > Compare Means > Means.
Es interesante observar la diferencia entre el procedimiento Means y el de Crosstabs. El
87
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
procediemiento Means, devuelve el resumen que proviene de alguna medida de posición o de
dispersión (suma, mínimo, media, varianza, …) correspondiente a una tercera variable, en tanto que
con Crosstabs cada celda contiene la cuenta o frecuencia de casos que corresponde a cada
cruce
Nota
Las situaciones que se presentan con datos muestrales de los que solo se conozca el resumen dado por la
media y la desviación estándar, solo se podrán resolver con el SPSS si se crea una variable ficticia con el
mismo tamaño n, la misma media y la misma varianza.
Ejemplo
Sea una variable con un tamaño n = 20, una media de 3.5 y una varianza de 5. Primero se configurará una
variable con 18 datos arbitrarios (18 grados de libertad), por ejemplo iguales a la media. Los 2 datos
restantes y desconocidos a y b, resultarán de la resolución simultánea de 2 ecuaciones: media y varianza,
igualadas a los valores dados, 3.5 y 5 (2 grados de restricción).
Operando con la ecuación de la media, resulta:
a + b = 2x = 7
Operando con la ecuación de la varianza (capítulo1, expresión de Steiner), resulta:
a 2 + b2 = s 2 (n − 1) + 2 x 2 = 119.5
Resolviendo el sistema de las 2 ecuaciones (sugerencia: utilizar la relación: (a + b) = a + b + 2ab ),
se obtienen:
2
2
2
a = −3.392
b = 10.392
Si ingresamos al SPSS una variable con 18 valores iguales a 3.5, uno de –3.392 y el restante de 10.392,
podemos corroborar que tiene una media de 3.5 y una varianza de 5.
Un procedimiento alternativo cuando el tamaño de la muestra es grande, es simular una distribución normal
con esa media y desviación estándar. Habilitar la cantidad de casos en la vista de datos (capítulo 1,
Simulaciones) y luego ir a: Transform > Compute > Random Numbers > Rv.Normal. Entrar
la media y la desviación estándar.
Barras de error
Chart Builder > gráfico de barras, de líneas, de áreas o de dispersión (scatter plot). En
Element Properties se habilita la opción Error Bar, eligiendo para el eje y, en la opción
Statistic, la frecuencia (Count) o la media / mediana (Mean, Median). En el primer caso la
variable a estudiar se coloca en el eje x y en el segundo caso en el eje y, colocando en el eje x una
variable de grupos categórica, (con lo cual se obtiene un resumen del eje y para cada valor del eje x).
Naturalmente, esta variable categórica puede contener un solo valor (ver también apéndice A,
gráficos). Resultan particularmente útiles para comparar las medias de 2 o más grupos, situación que
se comentará en la sección de dos variables.
Tamaño del efecto y ecuación de diseño
Para este caso, como hemos visto en la sección I Diseño, página 39, se define el tamaño del efecto d,
como la diferencia entre el valor μ1 de la hipótesis alternativa H1 y μ0 de la H0, dividido la desviación
estándar.
d=
μ1 − μ0
σ
Los valores de tamaño convencionales, según Cohen (Cohen, J. 1988), son:
• Chico, d = 0.20
• Mediano, d = 0.50
• Grande, d = 0.80
La ecuación de diseño es:
88
Jorge Carlos Carrá
II Análisis de una variable
Problema a: media de una variable cuantitativa contínua
z β σ x = zα σ x − ( μ1 − μ0 )
o:
z β = zα − nc
con:
nc = nd
Potencia y tamaño de la muestra
Las relaciones se encuentran en la sección I Diseño, páginas 40 y 59, pues se utilizó este problema
de prueba de una media, para desarrollar los conceptos generales.
Problema resuelto 5.9 Deuda de la cooperadora
La muestra irrestricta aleatoria de la figura 5-32 contiene n = 9 registros de la cooperadora de una escuela es
seleccionada para estimar el promedio de la deuda sobre N = 484 cuentas.
IC
a) Estimar μ, la cantidad promedio de la deuda, si se establece un valor de eje zα/2 = 2. Analizar la confianza si
no se establece ninguna hipótesis adicional.
b) Analizar la confianza si se sabe que la distribución poblacional es normal, con el valor de eje zα/2 = 2.
PH
Si se sabe que la distribución poblacional es normal, probar la aseveración de que la media es distinta de 40,
con un 95 % de confianza. Interrelacionar gráficamente el IC con la PH.
Solución con computadora
Resolver con el SPSS.
Verificación: potencia retrospectiva
En este paso se pide realizar una verificación del supuesto que el tamaño de la muestra es adecuado. Se pide
analizar la potencia para establecer si el tamaño del efecto es relevante y si corresponde a un caso no
concluyente, rediseñar el problema calculando el tamaño de la muestra necesario para resolverlo.
Previamente es conveniente realizar la simulación guiada que se encuentra al final del capítulo (página 311).
33.9
32.1
50.0
Dinero adeudado
43.0 40.0 43.5
45.0
42.5
39.6
Figura 5-32
Solución
Paso 1 Problema
Comparar grupos:
θ =μ.
Paso 2 Modelo
Se incluye luego dentro de IC y PH.
Paso 3 Diseño
Tamaño de la muestra: 9.
89
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Paso 4 Análisis
No se conoce la media de la población (es lo que se desea estimar) pero se conoce un valor muestral y la
desviación estándar.
Como
n < 5% N , no es necesario usar la cpf.
x = 41.07$
s 2 = 30.25$
s2
sˆx = Vˆ ( x ) =
= 1.83
n
IC
Modelado
Distribución muestral de θˆ = x
a) El tamaño es n < 30. Si no se establece ninguna hipótesis, deberá considerarse que la distribución de la
población no es normal. Por lo tanto solo podrá usarse el teorema de Tchebyscheff (capítulo 1). Con un valor
de eje zk = 2, resulta entonces c ≥ 75%.
b) Si la distribución poblacional es normal, entonces la distribución muestral es una t de Student. Para obtener
c deberá entonces calcularse α para un valor de eje t =2 con ν =8.
Entrando al SPSS:
CDF.T(2,8)=0.96
Por lo tanto:
c=1-2(0.04)=0.92=92%
Inferencia
a)
b)
μ = 41.07 ± 3.66
IC = 37.4 a 44.7
P(μ = 41.07 ± 3.66) ≥ 0.75
μ = 41.07 ± 3.66
IC = 37.4 a 44.7
P(41.07 ± 3.66) = 0.92
Decisión
Esta decisión se puede expresar de la siguiente forma:
• Las diferencias entre los valores contenidos dentro del IC, no son significativas al nivel c = 92%.
PH
La aseveración no contiene el signo igual por lo cual pertenecerá a HA. Por lo tanto se definen:
H 0 : μ = 40
H A : μ ≠ 40 Aseveración
Modelado
Si la distribución poblacional es normal, entonces la distribución muestral es una t de Student con ν =8.
Inferencia
Por ser el primer ejemplo resuelto de PH, lo resolveremos con las 3 comparaciones alternativas.
1 Comparando el eje t
90
Jorge Carlos Carrá
II Análisis de una variable
Problema a: media de una variable cuantitativa contínua
tm =
x −μ
41.07 − 40
= 0.585
σx
1.83
tc = t0.025 (8) = 2.306
=
⇒ | tm |<| tc |⇒ No se Rechaza H 0
2 Comparando el eje
x
xm = 41.07$
B = tα /2σˆ x = 2.306(1.83) = 4.22
xc = μ + B = 40 + 4.22 = 44.22
⇒ | xm − μ |< B ⇒ No se Rechaza H0
3 Comparando las áreas
α = 0.05
CDF .T (0.585,8) = 0.71
⇒ colasup = 1 − 0.71 = 0.29
⇒ p = 2 P(t > tm ) = 2 ∗ 0.29 = 0.58
⇒ p > α ⇒ No se Rechaza H0
Decisión
La decisión se puede expresar de distintas formas:
• No existe evidencia suficiente para sustentar que la media es distinta de 40 (t(8) = 0.585, p = 0.58).
Observar que la conclusión contiene a la aseveración inicial.
• Es altamente probable que la diferencia entre el valor muestral obtenido (41.07) y el valor de la hipótesis
(40), se deba exclusivamente al azar (t(8) = 0.585, p = 0.58).
• La diferencia entre el valor muestral obtenido (41.07) y el valor de la hipótesis (40), no es significativa al
nivel α = 5% (t(8) = 0.585, p = 0.58).
En cualquier caso, expresar el valor p como parte de las conclusiones, pues su conocimiento es relevante
para quien lea el informe.
Los IC se utilizan primariamente para estimar el parámetro poblacional, pero también es usual acompañar la
decisión de una PH con el IC.
Interrelación gráfica del IC con la PH
El no rechazo o rechazo de la hipótesis μ = 40, con α = 0.05, se puede visualizar con el IC del 95%.
IDF.T(0.975,8)=2.31
Por lo tanto:
μ = 41.07 ± 2.31(1.83) = 41.07 ± 4.23
P( IC = 36.8 a 45.3) = 0.95
Se puede observar que el IC obtenido comprende al valor μ = 40, por lo cual suele expresarse que:
• Existe un 95% de confianza de que el intervalo contenga a μ = 40.
• En 95 de cada 100 veces que se realice un muestreo, el intervalo contendrá a μ = 40.
Figura 5-33
Como la PH no rechazó la H0: μ = 40, entonces el IC obtenido debe comprender al valor μ = 40 (lo cual
sucederá 95% de las veces).
91
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Vemos nuevamente que la decisión de no rechazo es una decisión débil pues el IC incluye al valor de la H0
pero también a muchos otros valores.
Solución con computadora
SPSS
Procedimiento en la página 87
c = 92%
Figura 5-34
c = 95%
Figura 5-35
Recordemos que el IC presentado en las dos últimas columnas se basa en la diferencia μ−μ0, por lo tanto se
deberá sumar μο (en este caso 40) para obtener el IC de μ.
Confrontar los valores de tm = 0.582, el valor de p = 0.577 y los IC, con los obtenidos manualmente.
El margen de error estandarizado para la pregunta b) puede obtenerse además con:
GPower
t test
Means: Difference from constant (one sample case)
Sensitivity,
2 colas, α = 0.05, Power: 0.5 y n =9.
Se obtiene un tamaño del efecto de 0.74, el cual se corresponde con
B
σ
=
4.23
= 0.77 .
5.5
Paso 5 Verificación: potencia retrospectiva
El resultado es no significativo por lo cual, para detectar la eventual presencia de un estudio no concluyente,
calculamos P para un d alto (0.80).
Observemos además que:
tm 0.585
=
= 0.195
n
9
t
2.31
dc = α =
= 0.77
n
9
dm =
92
Jorge Carlos Carrá
II Análisis de una variable
Problema a: media de una variable cuantitativa contínua
Estos valores nos indican que el resultado no es significativo (dm < dc) y que los tamaños del efecto
poblacionales grandes (0.80), superarán la potencia de 50% (correspondiente a dC).
1 SPSS
tα = IDF .T (0.025,8) = 2.31
Solución centralizada
tβ = tα − nd
nc = nd = 90.8 = 2.4
tβ = 2.31 − 2.4 = −0.094
P = 1 − CDF .T (−0.094,8) = 0.54
Solución descentralizada
NCDF .T (−2.31,8, 2.4) = 0
1 − NCDF .T (2.31,8, 2.4) = 0.56
P = 0 + 0.56 = 0.56
Entrega una P = 0.56. Si H1 es cierta, solo el 56% de las veces la prueba será significativa.La baja potencia o
sensibilidad de la prueba para un tamaño del efecto alto (por un tamaño de muestra n demasiado bajo), indica
un estudio no concluyente pues existe el riesgo de un efecto no detectado que sea lo suficientemente grande
para ser útil. El error de tipo II (con β = 0.44) es alto para ese tamaño del efecto.
Rediseño
Se debe diseñar de nuevo el estudio partiendo de la potencia P => n. Observar el carácter iterativo de todo
proceso en el cual estén involucrados diseño y análisis.
d = 0.80
⎛ t −t ⎞
n=⎜ α β ⎟
⎝ d ⎠
2
Para calcular los valores de t encontramos el inconveniente de que los grados de libertad no se conocen dado
que dependen de n. Se observa entonces que el tamaño de la muestra no solo se encuentra a la izquierda, sino
uqe también se encuentra a la derecha del signo igual, dentro de los grados de libertad. El ´problema es que no
puede obtenerse un solo n pues los grados de libertad no pueden "salir" de las funciones del tipo:
tα = IDF .T (CDF , n − 1)
Por esta razón se debe utilizar un proceso por aproximaciones sucesivas. Comenzamos con el grado de libertad
previo (ν = 8) para calcular un valor de n tentativo.
tα = IDF .T (0.975,8) = 2.31
tβ = IDF .T (0.20,8) = −0.89
2
2
⎛ tα − tβ ⎞ ⎛ 2.31 + 0.89 ⎞
n=⎜
⎟ =⎜
⎟ = 16
0.80 ⎠
⎝ d ⎠ ⎝
Si este valor hubiera dado entre 8 y 9 (en teoría 9), el proceso hubiera finalizado. Con un resultado menor que
8 o mayor que 9 (como en este ejemplo), repetimos el cálculo con este valor de n, para el cual ν = 15:
tα = IDF .T (0.975,15) = 2.13
tβ = IDF .T (0.20,15) = −0.87
2
2
⎛ t − t ⎞ ⎛ 2.14 + 0.87 ⎞
n=⎜ α β ⎟ =⎜
⎟ = 15
0.80
⎝ d ⎠ ⎝
⎠
Repitiendo el proceso:
93
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
tα = IDF .T (0.975,14) = 2.14
tβ = IDF .T (0.20,14) = −0.87
2
2
⎛ t − t ⎞ ⎛ 2.14 + 0.87 ⎞
n=⎜ α β ⎟ =⎜
⎟ = 15
0.80
⎝ d ⎠ ⎝
⎠
Como se ha obtenido una buena convergencia entre el valor de n y el grado de libertad utilizado en el cálculo,
finalizamos el proceso. Si este problema fuera real, debería repetirse el análisis inferencial con un tamaño
muestral de por lo menos 15 registros de la cooperadora. Naturalmente esta repetición del proceso puede
evitarse si un buen diseño precede al análisis.
Nota
Si no se dispusiera de un programa de computación para obtener los valores de la t de Student, puede aceptarse
utilizar la distribución normal como solución aproximada.
2 GPower
Entrega la solución descentralizada.
t test
Means: Difference from constant (one sample case)
Post hoc,
2 colas, α = 0.05, d = 0.8 y n =9.
Rediseño
Resolver el caso no concluyente con GPower es muy simple. Se obtiene el tamaño n que se requiere para una
potencia, digamos de 0.80, con solo elegir el análisis a priori y colocar el valor deseado de la potencia.
Observar que el mismo nombre a priori, indica un regreso hacia atrás, afirmando la recurrencia del
proceso iterativo.
A priori,
2 colas, α = 0.05, d = 0.8 y Potencia= 0.80.
Se obtiene: n = 15.
Gráficas
En la figura 5-36 y en la figura 5-37 se observan las distribuciones y las curvas de Potencia en función del
tamaño del efecto.
Figura 5-36
94
Jorge Carlos Carrá
II Análisis de una variable
Problema a: media de una variable cuantitativa contínua
Figura 5-37
Caso particular
θ = τ θˆ = τˆ
Si se está estudiando el total poblacional, entonces la ecuación del IC, será:
μτˆ = τˆ ± zα /2σˆτˆ
con las siguientes relaciones estudiadas en el capítulo 4.
τˆ = Nx
μτˆ = N μ x = N μ
σ τˆ = Nσ x
No es necesario un tratamiento especial dentro del SPSS pues podemos apreciar que:
τˆ = Nx = E( Nx)
y por lo tanto solo basta multiplicar por N a los valores de x y procesar a la variable resultante.
Analizando las expresiones de la inferencia se observa además que en el caso de una variable, los
resultados de los IC surgen de los de μ multiplicándolos por N y los valores z (o t) de las PH, son los
mismos, pues las N finalmente se cancelan.
Problema resuelto 5.10 Tareas triviales
En una empresa se desea estimar el número total de horas hombre que se pierden por semana en tareas
triviales. El control de una muestra de 50 empleados, sobre un total de 750 indica que la media es 10.31
horas/semana. Se sabe que la varianza poblacional es de 2.25.
IC
a) Calcular el IC de la media del total. Adoptar zα/2 = 2. ¿Puede asegurarse que el número total de horas
hombre que se pierden por semana en tareas triviales es mayor a 8000 horas?
b) Calcular el valor del coeficiente de confianza c:
PH
Probar la aseveración de que μτ = 7000 con un 95% de confianza. Interrelacionar gráficamente el IC con la PH.
95
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
SPSS
Resolver con el SPSS.
Paso 1 Problema
Comparar grupos:
θ =μ.
Paso 2 Modelo
Se incluye luego dentro de IC y PH.
Paso 3 Diseño
Tamaño de la muestra: 50
Paso 4 Análisis
IC
Modelado
Distribución muestral de θˆ = τˆ
Como n >30, es aplicable el TCL y como se conoce la desviación estándar poblacional la distribución
muestral de τ es normal. Como z = 2, c debe ser 95%.
No se conoce la media (es lo que se desea estimar) pero se conoce un valor y la desviación estándar.
τˆ = Nx = 7732.5
σ τ2ˆ = N 2
Inferencia
s2 N − n
= 23656
n N −1
σ τˆ = 154
μτˆ = τˆ ± zα /2σˆτˆ
⇒ τ = 7732.5 ± 2 ∗154
⇒ IC = 7424.5 a 8040.5
Decisión
Las diferencias entre los valores contenidos dentro del IC, no son significativas al nivel c = 95%. No puede
asegurarse que el número total de horas hombre que se pierden por semana en tareas triviales es mayor a 8000
horas, pues son posibles valores menores a este valor.
PH
H 0 : τ = 7000 Aseveración
H A : τ ≠ 7000
Modelado
Si la distribución poblacional es normal, entonces la distribución muestral es una t de Student con ν = 49.
Inferencia
1 Comparando el eje
96
τˆ
Jorge Carlos Carrá
II Análisis de una variable
Problema a: media de una variable cuantitativa contínua
τˆm = 7732.5
tc = t0.025 (49) = 1.96
τˆc = τ + tcσ τˆ = 7000 + 1.96(154) = 7302
⇒ | τˆm − τ |> B ⇒ Se rechaza H 0
2 Comparando el eje t
2 Comparando las áreas
tc = t.025 (49) = 1.96
τˆ − τ 7732.5 − 7000
=
= 4.75
tm =
σ τˆ
154
⇒ | tm |>| tc |⇒ Se rechaza H 0
α = 0.05
CDF .T (4.75, 49) = 1
⇒ colasup = 1 − 1 = 0
p = 2 P(t > tm ) = 2 ∗ 0 = 0
⇒ p < α ⇒ Se rechaza H 0
Decisión
La diferencia entre el valor muestral obtenido (7732.5) y el valor de la hipótesis (7000), es significativa al
nivel α = 5% (t(49) = 4.75, p =0.00). Existe evidencia suficiente para rechazar la aseveración de que el μτ =
7000 con un 95% de confianza.
Observar que el valor τ = 7000, cae fuera del IC, en correspondencia con el resultado de la PH.
Interrelación gráfica del IC con la PH
Figura 5-38
Como la PH rechazó la H0: τ = 7000, entonces el IC obtenido no debe comprender a este valor (lo cual
sucederá 5% de las veces, por lo cual es un evento poco común).
Vemos nuevamente que la decisión de rechazo es una decisión fuerte pues el IC excluye específicamente al
valor de la H0.
SPSS
Procedimiento en la página 87.
La variable se generó en forma artificial con la técnica explicada en el apartado SPSS de esta sección.
Figura 5-39
97
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Figura 5-40
El SPSS no incluye la cpf (corrección por población finita) por lo cual el valor del error estándar es levemente
distinto, diferencia que se expresa en las salidas relacionadas.
Problema b: proporción de una variable
cuantitativa discreta
El estadístico θˆ = p̂ es la proporción de éxitos o proporción muestral (también llamada "p
sombrero") de una variable x cuantitativa discreta dicotómica. Por lo tanto la distribución de la
proporción muestral es binomial o hipergeométrica y la transformación a realizar en este caso es a
la variable p̂ . En algunos libros puede encontrarse una notación que sigue al resto de las estimas: la
letra p del alfabeto latino para la muestra y la letra π del alfabeto griego, para la población.
El formato con el cual se presentan los datos, se muestra en la figura 5-41. Se tiene una variable x
categórica (en principio dicotómica), que contiene las proporciones a estudiar.
x
1
2
2
1
1
…
2
1
1
1
2
Figura 5-41
1 Binomial (exacta)
Modelado
Del capítulo 4 sabemos que la media de la distribución muestral de proporciones es un buen
estimador puntual de la proporción poblacional pues es insesgado y convergente y que la
distribución muestral de proporciones es una binomial o hipergeométrica, las cuales podrían ser
aproximadas a una normal. Es importante apreciar que solo en este último caso existe una ecuación
estandarizada z, que puede utilizarse como ecuación pivote. Por lo tanto, para muestras pequeñas, no
podrá aplicarse el método de IC, quedando solo disponible la PH con distribución binomial o
98
Jorge Carlos Carrá
II Análisis de una variable
Problema b: proporción de una variable cuantitativa discreta
hipergeométrica.
El análisis de θˆ = p̂ presenta como hecho particular que el error estándar depende del parámetro
poblacional que se está estimando. Esta situación exige pensar, entre otras cosas, cuál es el valor más
adecuado para su cálculo, el cual, como veremos, será distinto para IC y para PH.
Supuestos
1. Binomial, Hipergeométrica
Como la distribución muestral de proporciones es una binomial o hipergeométrica, deben ser
verificados los requisitos necesarios de ambas distribuciones.
Si la muestra es pequeña, la binomial (o hipergeométrica) no puede aproximarse a una normal,
debiendo ser tratada entonces como tal. Si se utilizan tablas de distribución binomial, las cuales están
expresadas en términos del número de éxitos y no de la proporción de éxitos, resultará más directo
realizar la comparación con el eje y.
Además, como la distribución es discreta, el valor de corte de la zona crítica yC no se corresponderá,
en general, exactamente con el valor de α predeterminado.
Prueba de 1 cola
Se define α como:
P ( y > yC ) < α
Por esta razón, las distribuciones discretas son conservadoras, lo cual significa que el valor de corte
sea mayor, coincidente en este caso con un error tipo α más chico y se rechazará con menor
frecuencia.
Prueba de 2 colas
Se tienen varias alternativas para computar α:
1. Asignar α/2 a ambas colas.
2. Asignar α/2 a la menor cola y la diferencia que subsista con α, a la otra cola.
3. Asignar α/2 a ambas colas y luego incrementar donde sea posible hasta que la suma no supere a
α.
Análisis por PH
Bilateral
H 0 : p = p0
H A : p ≠ p0
Unilateral
Cola derecha
H 0 : p ≤ p0
H A : p > p0
Cola izquierda:
H 0 : p ≥ p0
H A : p < p0
2 Normal (asintótica)
Modelado
Si la muestra es grande, estas distribuciones pueden aproximarse a una normal (capítulos 3 y 4). El
criterio establecido era que np y nq deben ser mayores o iguales a 5. Sin embargo si la proporción
99
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
poblacional se desconoce, como sucede en una estimación por IC, los especialistas sugieren además
que el valor de n sea mayor que 100.
Análisis por IC
En forma similar al desarrollo del problema de prueba de medias, se obtiene la expresión que
expresa el intervalo de confianza IC, que comprende a la proporción poblacional con una
probabilidad c = 1-α.
p = pˆ ± B
P ( pˆ − B < p < pˆ + B ) = c
Donde:
B = zα /2σˆ pˆ
Como se desconocen los valores poblacionales p, q , se deben tomar los muestrales pˆ , qˆ . Se
demostrará luego en la sección SPSS, que en este caso corresponde colocar en el denoiminador n–1
en lugar de n.
σˆ pˆ =
ˆˆ
pq
n −1
Los valores que se toman para el cálculo son los de la proporción muestral p̂ (actual o anterior) o el
ˆ ˆ ).
valor más desfavorable: pˆ = 0.5 (para el cual resulta el valor máximo del producto pq
Es posible mejorar esta expresión de varias formas distintas:
IC mejorados
Se aplica la cpc (capítulo 3) de 1/2n a ambos lados del IC, resultando:
p = pˆ ±
1
± zα /2σˆ pˆ
2n
IC cuadráticos
Se despeja p de la expresión:
z=
pˆ − p
σ pˆ
=
pˆ − p
pq / n
IC de Wilson
Cuando los valores de p son cercanos a 0 o a 1 (por ejemplo 0.001), se requiere un tamaño muestral
muy grande para que la aproximación normal resulte satisfactoria. Si esto no se cumple, Wilson ha
propuesto agregar 2 E y 2 F al número inicial, lo cual equivale a utilizar como valor de p sombrero al
valor ajustado:
pˆ =
y+2
,
n+4
el cual se corresponde con una desviación estándar ajustada de:
σˆ pˆ =
ˆˆ
pq
n+4
Análisis por PH
Dado que el análisis por PH se realiza tomando como base a la hipótesis planteada, corresponde
realizar los cálculos de la desviación estándar con p0 en lugar del p̂ usado en la construcción del
IC. En este caso, a diferencia de un IC, se conoce la distribución poblacional, por lo cual el criterio
de aproximación a una normal (capítulos 3 y 4), es que que np y nq deben ser mayores o iguales a 5.
En este caso la expresión apropiada para el cálculo de la desviación estándar es distinto al del IC:
100
Jorge Carlos Carrá
II Análisis de una variable
Problema b: proporción de una variable cuantitativa discreta
σ p̂ =
p0 q0
n
Por lo demás el esquema de cálculo no difiere del recorrido para la media. Si bien usualmente esta
diferencia en el cálculo de las desviaciones estándar es pequeña, podría suceder que las conclusiones
finales fueran distintas en ambos métodos.
Normal con transformación arcsen (asintótica)
Modelado
Ya hemos puntualizado que un inconveniente de la distribución de p̂ es que su varianza depende
del valor a estimar p . Una solución consiste en transformar la variable p̂ con la ecuación:
j = 2arcsen pˆ
Figura 5-42
La nueva distribución de j presenta la propiedad de que es aproximadamente normal y, como se
observará a continuación, tiene una varianza que no depende de los valores individuales de p.
Recordemos que el dominio del arcsen es:
−1 <
pˆ < 1
y que la imagen del arcsen es el campo de los reales.
Sus parámetros son:
E ( j ) = 2arcsen p
1
V ( j) =
n
Análisis
Los análisis por IC y PH siguen los lineamientos de una distribución normal.
Observar que la transformación no opera sobre los datos crudos originales. El procedimiento es
calcular p̂ a partir de cada muestra y construir luego la distribución muestral de j. Esta técnica no
está contenida en el SPSS.
3 Chi-cuadrado (asintótica)
Si bien este capítulo se titula inferencia paramétrica (métodos aplicables a variables cuantitativas),
en el caso de tratar técnicas de proporciones (tanto de una muestra como de dos muestras) se puede
utilizar en forma equivalente una técnica perteneciente a la estadística inferencial no paramétrica
(métodos aplicables a variables categóricas) llamada chi-cuadrado. La equivalencia surge de
considerar que las pruebas de proporciones se originan en una variable cualitativa (E, F) a la que se
le aplica el conteo de frecuencias originando una variable cuantitativa discreta. En este sentido,
puede estructurarse el análisis dentro de las variables cualitativas (como en el capítulo 1 y en el
capítulo 7, específico de técnicas no paramétricas) o dentro de las variables cuantitativas discretas
como en este capítulo. Lo mismo sucederá con el concepto de independencia.
101
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Bondad del Ajuste
La prueba de proporciones (binomial), fue definida para una variable dicotómica. Sin embargo, la
variable puede ser multicotómica con k niveles y en este caso la distribución exacta es la
multinomial (capítulo 3, página multinomial3), siendo la binomial un caso particular para k = 2.
En este caso la hipótesis a probar será del tipo:
H 0 : p1 = a, p2 = b, ... pk = k
La prueba chi-cuadrado consiste en la prueba de la Bondad del Ajuste, ya presentada en el capítulo
1, página bondad1. En esa oportunidad hemos definido la bondad del ajuste de una distribución de
frecuencias de una variable categórica multicotómica, a una distribución fija hipotética que contenga
valores esperados arbitrarios (teóricos o empíricos), como el valor chi-cuadrado dado por:
χ2 = ∑
(no − ne )2
ne
Si la variable es dicotómica, la Bondad del Ajuste equivale, en particular, a la PH:
H 0 : p = p0
H1 : p ≠ p0
En este caso podemos considerar que los valores absolutos observados para la variable dicotómica
con niveles E/F son npˆ y nqˆ (figura 5-43a) y los valores esperados según una hipótesis arbitraria
H0 son np0 y nq0 (figura 5-43b), respectivamente. Observar que se trata de valores absolutos y por
lo tanto se requiere multiplicar cada celda de las tablas por el tamaño de la muestra n.
E
npˆ
F
nqˆ
n
H0
E
np0
a
F
nq0
n
b
Figura 5-43
En definitiva, al medir y probar el ajuste a la H0 estamos probando la validez de la misma.
En el capítulo 1 quedaba pendiente el análisis de la significación de este valor. Manteniendo
constante el valor marginal, podemos calcular las probabilidades binomiales, tomando todas las
muestras como la de la tabla 5-43a, respecto de otra tabla fija como la de la figura 5-43b. Una
aproximación para muestras grandes fue descubierta por Karl Pearson, quién demostró que si en
lugar de calcular las probabilidades binomiales, calculamos el χ2 de cada una de esas tablas respecto
de la tabla fija, entonces, la distribución de esos chi-cuadrados sigue una distribución χ2, que se
aproxima a la binomial para muestras grandes.
Los grados de libertad para una variable multicotómica están dados por:
ν = c −1
siendo c = número de columnas (si la variable es dicotómica, c = 2). Este número es la cantidad de
celdas que pueden llenarse libremente. Se resta una celda pues su contenido resulta por diferencia
con el valor del total (marginal). Si para conocer algunos parámetros de la distribución hipotética
(H0) se utiliza la muestra, se pierden más grados de libertad. Por ejemplo, si la distribución hipotética
es la normal y se deben estimar la media y la desviación estándar por la muestra, se deben restar 2
grados de libertad, por lo cual, para este caso:
ν = c −1 − 2 = c − 3
En la sección correspondiente a comparación de 2 variables veremos la prueba de diferencia de
proporciones, la cual también puede aproximarse a una chi-cuadrado, vinculada en este caso al
análisis de la independencia de las 2 variables.
102
Jorge Carlos Carrá
II Análisis de una variable
Problema b: proporción de una variable cuantitativa discreta
Supuestos
Esta prueba es relativamente libre de supuestos, pero como se basa en propiedades asintóticas es solo
válida para grandes muestras. En este sentido requiere que el 100% de las celdas esperadas tengan
una frecuencia absoluta mayor que 1 y que el 80% de las celdas esperadas tengan una frecuencia
absoluta mayor o igual a 5.
Observar que este supuesto es el mismo el de la alternativa 2 (np y nq mayores o iguales a 5) pues
esta prueba equivale a la aproximación normal de la binomial.
Análisis por IC
Dado que no existe una ecuación pivote no se pueden construir IC.
Análisis por PH
Esta prueba es equivalente a la aproximación normal de la binomial. Esta equivalencia se puede
apreciar observando que el número de columnas es c = 2, por lo tanto χ2 tiene un grado de libertad
ν = 1 y entonces (capítulo 3, página chiz3):
χα 2 (1) = zα / 2 2
Por consiguiente un valor χ2 de un grado de libertad de cola superior es equivalente a un valor
z = χ 2 de 2 colas (el valor en la cola superior dela χ2 es igual ala suma de las 2 colas de la normal
z = χ 2 ).
χ 2 (1) > χ 2α (1) ⇒ |z |> z α ⇒ − zα / 2 > z > z α
/2
/2
Como los valores de χ2 solo pueden ser positivos, cualquier hipótesis alternativa implicará que χ2 > 0
y por lo tanto una prueba la bondad del ajuste será siempre unilateral de cola superior.
H 0 : Buen Ajuste χ 2 = 0
H A : Mal Ajuste χ 2 > 0
El buen ajuste implica que la distribución observada coincida con la distribución esperada. Pero aún
en el caso de que esta coincidencia sea perfecta, es probable que una muestra aleatoria no tenga
exactamente los mismos valores que la población, por lo cual la variable aleatoria χ2 (el estadístico
de prueba) no será exactamente 0 en la muestra. ¿Cuánto se considera aproximadamente 0? La
respuesta objetiva se basa en fijar el punto crítico a partir del cual se considera que χ2 está
suficientemente alejado de 0 como para rechazar la hipótesis nula.
En lo sucesivo, esta aclaración podrá sobrentenderse y podrá colocarse:
H 0 : Buen Ajuste
H A : Mal Ajuste
PH normal de 2 Colas
En este caso, como dada la equivalencia anterior, la chi-cuadrado considera la suma de las 2 colas de
la normal, no deberá realizarse ninguna alteración.
PH normal de una Cola
Dada la equivalencia entre la normal y la chi-cuadrado antes vista, deberá tenerse precaución si el
problema parte de una binomial (o normal aproximada) y la prueba es de una cola . En este caso,
para equiparar ambas pruebas, debe multiplicarse por 2 a la cola de la normal (valor crítico), para
obtener la cola (valor crítico) de la chi-cuadrado.
Ejemplo
Cola de la normal= 0.025, equivale a una cola superior de 0.05 de la chi-cuadrado.
103
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Nota
Si la prueba de la bondad del ajuste χ2 se extiende a un número de niveles mayor a 2, deja de ser
válida la vinculación con la distribución normal.
SPSS
Se tienen entonces tres alternativas:
1 Binomial
Analyze > Nonparametrics Tests > Legacy Dialogs > Binomial.
Utiliza para el contraste la distribución teórica exacta para esta variable, es decir una binomial de
parámetro p. No es necesaria una codificación, pues obtiene la dicotomía de los datos. Si no la
presentan, se deben dicotomizar a partir de un punto de corte de forma tal que los inferiores o iguales
se agrupan en la primera categoría y el resto en la otra. El valor p0 que se contrasta (casilla Test
Proportion) debe corresponder al grupo de la dicotomía correspondiente a la primer celda.
2 t de Student
Analyze > Compare Means > One-Sample T Test.
Para poder tratar a una proporción como a una media es necesario que:
• la distribución de p̂ sea aproximadamente normal, para lo cual el tamaño de la muestra n debe
ser moderadamente grande (np y nq deben ser mayores o iguales a 5),
• la variable a probar esté compuesta por una sucesión de 1 (Exitos) y 0 (Fracasos) para que la x
coincida con p̂ . Si no lo está se deberá recodificar, sin incluir los valores missing, NSNC (No
Sabe No Contesta), etc.
El denominador de la varianza estimada (con p̂ y q̂ ) es n–1 y no n.
σˆ pˆ =
ˆˆ
pq
n −1
La demostración es la siguiente:
SS xx
n −1
SS xx = ∑ x 2 − nx 2
sx2 =
Si se codifican con 1 a los E y con 0 a los F:
x = pˆ ⇒ ∑ x =npˆ
∑x =∑x
2
por lo tanto:
ˆˆ
SS xx = npˆ − npˆ 2 = npq
por lo tanto:
ˆˆ
SS xx npq
=
n −1 n −1
ˆˆ
s2
pq
Vˆ ( pˆ ) = x =
n n −1
sx2 =
Al utilizar la desviación estándar estimada con el valor muestral x = pˆ y no con el poblacional p0 ,
utilizar esta alternativa solo si:
1. p0 ≅ pˆ
2. n es grande.
104
Jorge Carlos Carrá
II Análisis de una variable
Problema b: proporción de una variable cuantitativa discreta
Esta alternativa tiene la ventaja, respecto de la prueba chi-cuadrado, de proveer las prestaciones ya
vistas en la estima de una media:
• el intervalo de confianza, el cual también puede obtenerse con el procedimiento explorar.
• la posibilidad de acompañar el estudio con un diagrama de barras de error pues x coincide con
p̂ . En realidad se puede obtener el diagrama de barras de error en cualquiera de las alternativas
si la variable es dicotómica y si se codifica a la variable con 1 (en los Éxitos) y 0 (en los
Fracasos).
Si los valores de p̂ y p0 son distintos, pero se desean presentar estas prestaciones, realizar primero
una prueba chi-cuadrado y solo hacer uso de las mismas, en el caso de que los resultados coincidan
con los de la prueba t de Student.
3 Chi-cuadrado
Este procedimiento ya fue utilizado al describir la Bondad del Ajuste en el capítulo 1, página
bondad1.
Analyze > Nonparametrics Tests > Legacy Dialogs > Chi-Square.
Compara la frecuencia absoluta observada en cada una de las 2 categorías (no es necesario
recodificar) con los valores esperados que se definen en la sección Expected Values (Valores
Esperados), en la parte inferior de la ventana.
Expected Values
All categories equal
Se usa esta opción cuando todas las proporciones esperadas tienen el mismo valor. Si por ejemplo el
número de categorías es 2, el valor será 0.5.
Values
En este caso, el cálculo del valor esperado parte del supuesto de que la proporción de éxitos; fracaso
sea p; q. Los valores esperados por categoría son los de la hipótesis a probar (por ejemplo modelos
teóricos, valores iguales, etc). Se entran en el mismo orden en el que se encuentran los números de
las categorías. Estas proporciones pueden introducirse:
• en tanto por uno,
• en porcentajes,
• en forma absoluta,
En cualquier caso, el SPSS realiza el cálculo de la proporción de cada valor respecto de la suma de
todos ellos, y luego los multiplica por el tamaño de la muestra.
En esta explicación comparamos solo 2 categorías o niveles (binomial) pero aquí podemos ver lo que
ya anticipamos en el procedimiento de la Bondad del Ajuste: el test χ 2 , a diferencia de las
alternativas anteriores, puede utilizarse para más de 2 categorías (multinomial), por lo cual las cajas
de diálogo están preparadas para ello.
Los grados de libertad son en general: ν = c-1, siendo c el número de categorías de la variable.
Se pueden elegir todas las categorías o las comprendidas dentro de un rango que se especifica en
Use specified range. Se excluyen del análisis las categorías definidas como Missing en el
editor de variables.
Tamaño del efecto y ecuación de diseño
1 Normal
El tamaño del efecto g, se define como la diferencia entre el valor p1 de la hipótesis alternativa H1, y
H0:
g = p1 − p0
La ecuación de diseño resulta ahora:
z β σ pˆ1 = zα σ pˆ 0 − ( p1 − p0 )
105
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
De la cual se deduce:
⎛ z p q − zβ
n=⎜ α 0 0
⎜
g
⎝
p1q1 ⎞
⎟
⎟
⎠
2
Las expresiones son ahora más complejas que las de la media, pues, como ya sabemos, las varianzas
de H0 y H1 son distintas pues dependen de p. El tamaño del efecto (pequeño, mediano o grande) no
solo depende de las diferencias sino que además depende del valor de las p de cada hipótesis. Por
ello se definen valores de tamaño del efecto convencionales solo para p0 = 0.5:
• Chico, g = 0.05
• Mediano, g = 0.15
• Grande, g = 0.25
2 Normal con transformación arcsen
Para resolver el inconveniente anterior se utiliza la transformación no lineal arcseno de las
proporciones ya tratada en la página 101 (Cohen, J. 1988, pag 180):
j = 2arcsen p
Se define entonces al tamaño del efecto h, el cual no depende del valor de las proporciones:
h = j1 − j0 (direccional)
h =| j1 − j0 | (no direccional)
De esta forma se demuestra que se obtiene la siguiente ecuación de diseño (ahora sí similar a la de
las medias):
z β = zα − nc
con:
nc = n h
Observar nuevamente que nc es proporcional al tamaño del efecto e inversamente proporcional a la
desviación estándar de la distribución muestral ( σ j =
1
).
n
De estas ecuaciones se deduce:
⎛z −z ⎞
n=⎜ α β ⎟
⎝ h ⎠
2
Los valores convencionales de Cohen son (Cohen, J. 1988, página 184):
• Chico, h = 0.20
• Mediano, h = 0.50
• Grande, h = 0.80
Si inversamente se deseara convertir estos valores convencionales de h a los p del estudio, (dados p1
y h), se deberá resolver el sistema de 3 ecuaciones que definen j1, j2 y h. Esto implica transformar p1
a j1, con h hallar la transformada j2 y finalmente reconvertir este valor a p2.
3 Chi-cuadrado
En este caso un tamaño del efecto adecuado es el equivalente poblacional del φ muestral estudiado
en el capítulo 1, página fi1, al que se lo denomina w.
w=
106
χ2
n
=
( fo − fe )2
∑ f
e
Jorge Carlos Carrá
II Análisis de una variable
Problema b: proporción de una variable cuantitativa discreta
De aquí que el parámetro de descentralidad resulta:
χ 2 = w2 n = nc
Los tamaños del efecto convencionales propuestos por Cohen, son:
• Chico, w = 0.10
• Mediano, w = 0.30
• Grande, w = 0.50
Es oportuno remarcar nuevamente que el tamaño del efecto w no informa sobre la significación del
ajuste de la muestra a la población de la H0 sino sobre la intensidad de la diferencia entre la
población H1 respecto de la población H0 Luego de haber analizado la significación (paso 4 del
procedimiento general, página 15), resta saber si los valores detectados (o no detectados)
corresponden a tamaños del efecto poblacionales w chicos, medianos o grandes. Esto se realiza con
la verificación (paso 5) de la potencia retrospectiva, incluida en todos los problemas resueltos, la
cual podrá dar lugar a un rediseño del tamaño de la muestra (paso 3).
Potencia y tamaño de la muestra
1 Normal usando las proporciones
En la sección I Diseño, se establecieron, sin demostración, expresiones del cálculo de la potencia y
del tamaño de una muestra para una prueba de proporciones. Ahora podemos demostrar esas
relaciones.
Se procede de manera análoga al desarrollo de una prueba de medias, reemplazando la media y la
desviación estándar por las expresiones correspondientes a proporciones.
zα =
pˆ − p0
σ pˆ
zβ =
0
pˆ − p1
σ pˆ
1
Los subíndices 0 y 1 corresponden a H0 y H1, respectivamente.
De esta forma se obtiene la siguiente ecuación de diseño:
z β σ pˆ1 = zασ pˆ 0 − ( p1 − p0 )
Potencia, P
Despejando zβ se obtiene:
zβ =
zα σ pˆ 0 − ( p1 − p0 )
σ pˆ
1
Tamaño de la muestra, n
Si consideramos n1 = n2 = n y operamos, se obtiene:
⎛z p q −z pq
n=⎜ α 0 0 β 1 1
⎜
p1 − p0
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
2
2 Normal usando el tamaño del efecto h
Potencia, P
Se despeja de la ecuación de diseño.
z β = zα − nc
Tamaño de la muestra, n
Despejando n, se obtiene:
107
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
⎛z −z ⎞
n=⎜ α β ⎟
⎝ h ⎠
2
3 Chi–cuadrado
Potencia, P
Se debe resolver con la CDF χ2 no centralizada, con un parámetro de descentralidad dado por:
χ 2 = w2 n = nc
Tamaño de la muestra, n
Se despeja n de la ecuación anterior, pero debe conocerse el parámetro de descentralidad. Se debe
entonces trabajar por prueba y error: nc => P y luego:
n=
nc
w2
Problema resuelto 5.11 Entrada a la universidad
Una muestra irrestricta aleatoria de n = 100 estudiantes de un colegio fue seleccionada para estimar la fracción
de N = 3000 estudiantes del último año que asistirán a la universidad. Los resultados de la muestra se grafican
en la tabla de la figura 5-44, en donde los 1 significan respuesta positiva. La sumatoria de los 1 es 15.
Estudiante
x
1
0
2
1
3
1
4
0
… 97 98 99 100
1
… 0 1 1
Figura 5-44
IC
Hallar la proporción de estudiantes del último año que planea asistir a la universidad. Usar α = 5%.
PH
El colegio afirma que el 20% de los estudiantes asistirá a la universidad. ¿Existe evidencia suficiente para
aceptar esta aseveración? Interrelacionar gráficamente el IC con la PH.
Solución con computadora
Resolver con el SPSS.
Verificación: potencia retrospectiva
En este paso se pide realizar una verificación del supuesto que el tamaño de la muestra es adecuado. Analizar
la potencia para establecer si el tamaño del efecto es relevante y si corresponde a un caso no concluyente,
calcular el tamaño de la muestra necesario para resolverlo.
Paso 1 Problema
Comparar grupos:
θ = p.
Paso 2 Modelo
Se incluye luego dentro de IC y PH.
Paso 3 Diseño
Tamaño de la muestra: 100.
108
Jorge Carlos Carrá
II Análisis de una variable
Problema b: proporción de una variable cuantitativa discreta
Paso 4 Análisis
IC
Modelado Normal
Distribución muestral de θˆ = p̂
ˆ = 15 > 5 y n ≥ 100 se puede utilizar una distribución normal.
Como np
El valor α = 5% implica un zα/2 = 1.96.
No se conoce la media (es lo que se desea estimar) pero se conoce un valor y la desviación estándar.
pˆ = 0.15
Como
n < 5% N , no corresponde utilizar la cpf, por lo cual, resulta:
ˆˆ
pq
σˆ pˆ =
= 0.035887
n −1
Inferencia
B = zα / 2σˆ pˆ = 1.96(0.035887) = 0.0703
p = pˆ ± B = 0.15 ± 0.0703
⇒ IC = 0.0796 a 0.220
Decisión
Las diferencias entre los valores contenidos en el IC, no son significativas al nivel c = 95%. El verdadero valor
poblacional se encuentra dentro de un B = 6% (a ±6%) del valor 15%, con una confianza del 95%.
PH
Modelado Chi–cuadrado
Recordemos que la prueba chi-cuadrado no permite construir un IC pues carece de una ecuación pivote.
H 0 : Buen Ajuste Aseveración
H A : Mal Ajuste
E F
15 85 100
H0
E F
20 80 100
Figura 5-45
χ 2 (1) =
Inferencia
Modelado normal
(15 − 20) 2 (85 − 80) 2
+
= 1.563
20
80
CDF .Chisq(1.563,1) = 0.788
⇒ p = P ( χ 2 > χ m 2 ) = 0.212
⇒ p > α ⇒ No se rechaza H 0
H 0 : p = 0.20 Aseveración
H A : p ≠ 0.20
Como
npˆ = 15 > 5 , la distribución muestral se aproxima a una normal.
109
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Inferencia
1 Comparando el eje
p̂
Utilizando el valor de la hipótesis p0
zc = z.025 = −1.96
p0 q0
= 0.04
n
B = zcσ pˆ = 1.96(0.04) = 0.0784
σ pˆ =
pˆ c = p0 + zcσ pˆ = 0.20 − 0.0784 = 0.1216
pˆ m − p0 = 0.15 − 0.20 = −0.05
⇒ | pˆ m − p0 |< B ⇒ No se rechaza H 0
2 Comparando el eje z
zc = z0.025 = −1.96
Utilizando el valor de la hipótesis p0
p0 q0
= 0.04
n
pˆ − p0 0.15 − 0.20
=
= −1.25
zm =
0.04
σ pˆ
σ pˆ =
⇒ | zm |<| zc |⇒ No se rechaza H 0
2 Comparando las áreas
α = 0.05
CDF .T (−1.25,99) = 0.107
⇒ colainf = 0.107
⇒ p = 2 P( z > zm ) = 2(0.107) = 0.214
⇒ p > α ⇒ No se rechaza H 0
Decisión
La diferencia entre el valor muestral obtenido (0.15) y el valor de la hipótesis (0.20), no es significativa al
nivel α = 5% (z = –1.25, p = 0.214). No existe evidencia suficiente para rechazar la aseveración planteada por
el colegio de que el 20% de los estudiantes asistirá a la universidad.
Observar que esta decisión es compatible con el IC obtenido, pues 0.20 pertenece al IC. Sin embargo podrían
presentarse discrepancias, las cuales se deberían a que se utilizan distintas desviaciones estándar.
Interrelación gráfica del IC con la PH
Figura 5-46
Como la PH no rechazó la H0: p = 0.20, entonces el IC obtenido debe comprender a este valor (lo cual
sucederá 95% de las veces). Se recuerda (página 100), que a diferencia de la prueba de una media, esta relación
110
Jorge Carlos Carrá
II Análisis de una variable
Problema b: proporción de una variable cuantitativa discreta
puede ahora no cumplirse pues las desviaciones estándar utilizadas en los cálculos del IC y de la PH son
distintos entre sí.
Soluciones con computadora
SPSS
Procedimiento en la página 104
Chi-Cuadrado
Figura 5-47
Figura 5-48
Por lo tanto no se rechaza la H0: p = 0.20 (valor p = 0.211).
Observar que en la salida se brinda información para verificar el cumplimiento de los 2 aspectos que validan la
prueba:
• No más del 20% de las celdas de la tabla de contingencias deben tener un valor menor a 5.
• Ninguna celda debe tener un valor menor que 1.
En este ejemplo se cumplen ambas.
t de Student
Recordemos que el SPSS resuelve con el valor muestral x = pˆ y no con p0 . Además no utiliza la cpf en
ningún caso. Por lo tanto las resoluciones manuales correspondientes, son:
1 Comparando el eje t
tc = t0.025 (99) = −1.96
pˆ − p 0.15 − 0.20
tm =
=
= −1.393
0.03589
σ pˆ
⇒ | tm |<| tc |⇒ No se rechaza H 0
2 Comparando las áreas
α = 0.05
CDF .T (−1.393,99) = 0.083
⇒ colainf = 0.083
⇒ p = 2 P(t < tm ) = 2(0.083) = 0.167
⇒ p > α ⇒ No se rechaza H 0
111
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Figura 5-49
Prueba de Ho: p = 0.20
Figura 5-50
El valor p =0.167 mayor que α = 0.05, por lo cual no se rechaza H0. Dado que esta conclusión es compatible
con la de chi–cuadrado, se puede utilizar la misma.
Observar que el IC se puede obtener directamente colocando p0 = 0:
Figura 5-51
Estos valores se corresponden con la solución manual si se utiliza la distribución t de Student.
GPower
El margen de error B puede obtenerse con GPower (solución binomial en lugar de normal).
Exact
Proportion: Difference from constant (binomial test, one sample case)
Sensitivity,
2 colas, α = 0.05, constant proportion (po) = 0.2 Power = 0.5 y n =100.
Se obtiene un tamaño del efecto g = 0.08, en lugar de 0.07.
Paso 5 Verificación: potencia retrospectiva
El resultado es no significativo, por lo tanto calcularemos la potencia para un tamaño del efecto alto.
1 Solución manual
1 Normal
Supongamos que el investigador no utiliza los valores convencionales pues estima que para su estudio un
efecto alto es h = 0.56.
zβ = zα − nc
nc = n h = 100 0.56 = 5.6
zβ = 1.64 − 5.6 = −3.96
112
Jorge Carlos Carrá
II Análisis de una variable
Problema b: proporción de una variable cuantitativa discreta
De donde resulta una potencia cercana a 1. Si H1 es cierta, casi el 100% de las veces la prueba será
significativa. Como no resultó significativa, es probable que la hipótesis de investigación (para este h ) sea
falsa y en la realidad no exista un tamaño del efecto grande, indicando un estudio concluyente.
Calculemos ahora la potencia pero con las expresiones de p0 y p1 (a partir del tamaño del efecto h y con
p0 = 0.2 ). Se debe primero calcular p1 con el sistema de 3 ecuaciones desarrollado en la teoría.
j0 = 2arcsen p0 = 2arcsen 0.2 = 0.927
j1 = 0.56 + 0.927 = 1.43
2
⎛
⎛ 1.43 ⎞ ⎞
p1 = ⎜ sen ⎜
⎟ ⎟ = 0.43
⎝ 2 ⎠⎠
⎝
g = p1 − p0 = 0.23
Ecuación de diseño:
z β σ pˆ1 = zα σ pˆ 0 − ( p1 − p0 )
σ pˆ =
p0 q0
=
n
0.2(0.8)
= 0.040
100
σ pˆ =
p1q1
=
n
0.23(0.77)
= 0.042
100
0
1
Por lo tanto:
z β σ pˆ1 = 1.64(0.040) − 0.23 = −0.164
Finalmente:
z β = −3.91 ⇒ Potencia ∼ 1
2 Chi-cuadrado
Solución descentralizada
El parámetro descentralizado para la distribución χ2 es:
nc = w2n
Si consideramos, por ejemplo, un efecto grande de 0.50:
nc = 0.52 (100) = 25
El cálculo de la potencia se realiza de la misma forma que en los problemas anteriores:
IDF .CHISQ (0.95,1) = 3.84
1 − NCDF .CHISQ(3.84,1, 25) = 0.998
P = 0.998
Este valor indica que si este efecto alto existiera en la población, el estudio probablemente lo hubiera
detectado. Como no lo detectó, el estudio es concluyente.
Si consideramos ahora el tamaño del efecto muestral del φ de la prueba:
χ2
1.563
= 0.125
n
100
nc = 0.1252 (100) = 1.563
1 − NCDF .CHISQ(3.84,1,1.563) = 0.239
P = 0.239
φ=
=
Es decir que si H1 es verdadera con un tamaño del efecto poblacional coincidente con el de la muestra, existe
solo un 23.9% de probabilidades de que el estudio resulte significativo.
113
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
2 SPSS
Lo resolveremos con la distribución exacta binomial. Para esta distribución no existe una ecuación de diseño
similar a la utilizada para una normal, por lo cual solo puede usarse el procedimiento general (ver página 40).
Para determinar cuáles son los valores críticos de x–barra que, en la distribución binomial b(100, 0.2),
producen colas de α/2 en ambos extremos, se debe trabajar por prueba y error o utilizar GPower. Utilizando
este último (punto siguiente), se determina que los límites deben ser 12 y 29. Por lo tanto:
ki = 12
CDF .BINOM (12,100, 0.2) = 0.0253
k S = 29
1 − CDF .BINOM (29,100, 0.2) = 0.011
De esta forma, la suma de ambas colas no supera α = 0.05.
Solución
Asignemos ahora el tamaño del efecto g = 0.23.
CDF .BINOM (12,100,0.43) = 0
1 − CDF .BINOM (29,100,0.43) = 0.99
Por lo tanto:
P = 0.99
3 GPower
1 Resolución binomial
Exact
Proportion: Difference from constant (binomial test, one sample case)
Post hoc
Options > Assign α/2 to both sides, then increase to minimize the
difference of α1 + α2 to α. Esta opción comienza asignando α/2 en ambos extremos, calcula los
valores críticos para que cada cola no supere α/2 y luego incrementa el valor de la cola más chica de tal forma
que la suma no supere α.
2 colas, α = 0.05, g = 0.23, constant proportion (po) = 0.2 y n =100.
Observar que para calcular el tamaño del efecto g por GPower (botón Determine), GPower ofrece 3
alternativas: por diferencia, por cociente y por el odds–ratio (OR) estudiado en el capítulo 1.
Entrega una potencia de 0.998. En la figura 5-52 y en la figura 5-53 se observan las distribuciones y las curvas
de Potencia en función del tamaño del efecto. Se pueden ver las altas potencias de esta prueba para detectar
efectos mayores a 0.13. El investigador deberá determinar si son lo suficientemente grandes para ser útiles.
Figura 5-52
114
Jorge Carlos Carrá
II Análisis de una variable
Problema b: proporción de una variable cuantitativa discreta
Figura 5-53
2 Resolución chi-cuadrado
χ2 tests
Goodness of fit tests: Contingency tables
Post hoc,
effect size: 0.50 (grande), α = 0.05, n = 100, ν = 1. Observar que esta ventana no tiene una selección del tipo
de cola pues la prueba de la bondad del ajuste χ = 0 es siempre de cola superior.
Entrega una potencia de: 0.998. Este efecto probablemente no exista, pues si existiera, la prueba daría
significativa (estudio concluyente).
Para el tamaño del efecto φ muestral:
effect size: 0.125, α = 0.05, n = 100, ν = 1.
Entrega una potencia de: 0.239.
En la figura 5-54 y en la figura 5-55 se observan las distribuciones y las curvas de Potencia en función del
tamaño del efecto, para varios valores de n. Con el tamaño de la muestra (n = 100), se requeriría un tamaño del
efecto de 0.28 para llegar a una potencia de 0.8.
2
Figura 5-54
115
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Figura 5-55
Problema resuelto 5.12 Chocolate preferido
Un fabricante afirma que las familias prefieren por igual al chocolate de la marca A y al de la marca B. Para
probarlo se muestrean 10 familias y resulta que 2 prefieren la marca A.
PH
Usando α = 0.05, ¿puede rechazarse la aseveración del fabricante?
IC
Observar que por ser una muestra pequeña (np= 2 < 5), solo puede usarse la distribución binomial, por lo
cual no existe ecuación pivote y por lo tanto no se pueden definir IC.
SPSS
Resolver con el SPSS.
Verificación: potencia retrospectiva
Analizar la potencia versus el tamaño del efecto de la prueba y si corresponde a un caso no concluyente,
calcular el tamaño de la muestra necesario para resolverlo.
Paso 1 Problema
Comparar grupos:
θ = p.
Paso 2 Modelo
Se incluye luego dentro de IC y PH.
Paso 3 Diseño
Tamaño de la muestra: 10.
116
Jorge Carlos Carrá
II Anális
sis de una varriable
Problema b: proporción de una variable cuantitativ
va discreta
Paso
o 4 Anális
sis
PH
H 0 : p = 00.50 Aseverración
H A : p ≠ 0.50
O en térrminos del núm
mero de éxitos y:
H 0 : y = 5 Aseveraación
HA : y ≠ 5
Mode
elado Binom
mial
Distrib
bución muestra
al de θˆ = p̂
Como
np
n ˆ = 2 < 5 , al
a distribución solo
s
puede trattarse como binomial b(10,0.55).
Infere
encia
1 Comp
parando el ejee y
Como las
l tablas de distribución binoomial están exppresadas en térrminos de y = nnúmero de éxittos y no en la
proporcción de éxitos, es más directoo comenzar la ccomparación co
on el eje y.
F
Figura 5-56
Se debeen adoptar valoores de corte qu
ue no superen el
e valor de α. En
E este caso (taabla de distribu
uciones
binomiaales, b(10,0.5),, apéndice B), se determina qque los límites deben ser 1 y 99, los cuales coonfiguran un vaalor
α = 0.022 (ver figura 5-56).
Para yc = 1, se obtienee de la tabla, unna cola de 0.111.
yc = 1
ym = 2
⇒ ym > yc ⇒ No se reechaza H 0
2 Comp
parando el ejee p̂
Como pˆ =
y
, el dessarrollo es trivial.
n
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
pˆ c = 0.1
pˆ m = 0.2
⇒ pˆ m > pˆ c ⇒ No se rechaza H 0
3 Comparando las áreas
α = 0.022
p = 2 P ( y < ym == 2(0.055) = 0.11
⇒ p > α ⇒ No se rechaza H 0
Modelado Chi cuadrado
H 0 : Buen Ajuste Aseveración
H A : Mal Ajuste
Usaremos el mismo valor α = 0.022 de la prueba binomial.
Inferencia
1 Comparando el eje
χ2
(5 − 2) 2 (5 − 8) 2 18
+
= = 3.6
5
5
5
α = 0.022
χ c2 = IDF .chisq (1 − 0.011,1) = 6.47
χ m2 (1) =
⇒ χ m2 < χ c2 ⇒ No se rechaza H 0
2 Comparando las áreas
sig.CHISQ(3.6,1) = 0.058
p = P ( χ 2 > χ m2 ) = 0.058
⇒ p > α ⇒ No se rechaza H 0
Decisión
La diferencia entre el valor muestral obtenido (2) y el valor de la hipótesis (5), no es significativa al nivel
α = 0.022 (χ2(1) =3.6, p = 0.058). No existe evidencia suficiente para rechazar la aseveración de que las
familias prefieren por igual al chocolate de la marca A y al de la marca B.
SPSS
Procedimiento en la página 104
1 Binomial
Figura 5-57
Se aprecia que SPSS no entrega los valores de corte correspondientes al número de casos. Para obtenerlos por
computadora, ver GPower, más adelante.
118
Jorge Carlos Carrá
II Análisis de una variable
Problema b: proporción de una variable cuantitativa discreta
2 t de Student
Figura 5-58
Figura 5-59
Comprobación manual
pˆ = 0.20
2
ˆˆ
s yb
= pq
n
10
= 0.2(0.8) = 0.1777
n −1
9
⇒ s yb = 0.4216
σˆ p2ˆ =
2
s yb
n
⇒ σˆ pˆ = 0.1333
0.2 − 0.5
= −2.25
0.1333
CDF .T (−2.25,9) = 0.0255
p = 2 P(t < 0.0255) = 0.051
⇒ p > α ⇒ No se rechaza H 0
t=
3 Chi cuadrado
Figura 5-60
119
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Figura 5-61
Observar que en la salida se brinda información para verificar el cumplimiento de los 2 aspectos que validan la
prueba:
• Más del 80% de las celdas esperadas deben tener un valor mayor a 5.
• El 100% de las celdas esperadas deben tener un valor mayor que 1.
En este ejemplo se cumplen ambas.
Paso 5 Verificación: potencia retrospectiva
El resultado es no significativo por lo cual deberíamos calcular P para un tamaño del efecto g =Δp grande
Como p0 = 0.5, se pueden utilizar los tamaños del efecto g convencionales, los cuales indican que un g grande
es 0.25. Además solicitaremos el gráfico de la potencia en función del tamaño del efecto.
1 SPSS
Para determinar (sin una tabla) cuáles son los valores críticos de y que producen colas de α/2 en ambos
extremos, se debe trabajar por prueba y error o utilizar GPower. Utilizando este último (punto siguiente) se
determina que los límites deben ser 1 y 9.
ki = 1 ⇒ CDF .BINOM (1,10,0.5) = 0.011
kS = 9 ⇒ 1 − CDF .BINOM (8,10,0.5) = 0.011
De esta forma, la suma de ambas colas no supera α = 0.022.
Solución
Asignemos ahora un tamaño del efecto grande g = 0.25.
CDF .BINOM (1,10,0.75) = 0
1 − CDF .BINOM (8,10, 0.75) = 0.244
Por lo tanto:
P = 0.244
El resultado es devastador. El estudio es no concluyente pues prácticamente no tiene potencia para detectar un
tamaño del efecto alto. Existe el riesgo de un tamaño del efecto grande no detectado, lo cual puede ser
originado por un tamaño de la muestra demasiado bajo.
Riesgo de n bajo: algo grande está sucediendo y se obtiene un resultado no significativo.
La solución sería entonces rediseñar el estudio calculando el tamaño de la muestra necesario para una potencia
de al menos 0.80.
Rediseño
Se debe rediseñar el estudio inferencial partiendo de la potencia P => n. Usaremos la aproximación normal
para el cálculo manual.
120
Jorge Carlos Carrá
II Análisis de una variable
Problema b: proporción de una variable cuantitativa discreta
⎛z p q −z pq
n=⎜ α 0 0 β 1 1
⎜
p1 − p0
⎝
zα = 2.24
⎞
⎟
⎟
⎠
2
zβ = IDF .Normal (0.20) = 0.84
Por lo tanto:
⎛ z p q − zβ p1q1
n=⎜ α 0 0
⎜
p1 − p0
⎝
2
2
⎞ ⎛ 2.24 0.5(0.5) − 0.84 0.75(0.25) ⎞
⎟ =⎜
⎟ = 36
⎟ ⎝
0.25
⎠
⎠
La conclusión es que debería repetirse el análisis con un tamaño muestral de por lo menos 36 familias.
2 GPower
Exact
Proportion: Difference from constant (binomial test, one sample case)
Post hoc,
Options > Assign α/2 to both sides, then increase to minimize the
difference of α1 + α2 to α
2 colas, α = 0.022, g = 0.25, constant proportion= 0.5 y n =10.
Entrega una potencia de 0.244 y los puntos de corte: yc = 1, yc = 9.
Rediseño
A priori,
2 colas, α = 0.022, g = 0.25, constant proportion= 0.5 y P = 0.80.
Entrega un tamaño n = 36.
Gráficas
Distribuciones
Figura 5-62
Curvas de Potencia
121
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Figura 5-63
En la figura 5-62 y en la figura 5-63 se observan las distribuciones y las curvas de Potencia en función del
tamaño del efecto. Se puede ver que esta prueba no detecta (bajas potencias) tamaños del efecto grandes que
pueden ser útiles.
Problema resuelto 5.13 Bondad del ajuste
En algunos procedimientos descriptos en este capítulo se requiere comprobar que la distribución poblacional es
normal. Dado que poseemos ahora la herramienta de probar la bondad del ajuste de una distribución de
frecuencias a cualquier distribución, consideremos que necesitamos probar la aseveración de que las siguientes
puntuaciones de CI (Coeficiente de Inteligencia), provienen de una distribución normal con media μ = 100 y
σ = 15 . Analizar luego la potencia retrospectiva.
CI
Frecuencia
< 80
21
80-95
96-110
50
78
Figura 5-64
Paso 1 Problema
Comparar formas de las distribuciones.
Paso 2 Modelo
Distribución chi–cuadrado.
Paso 3 Diseño
Tamaño de la muestra: 210.
122
Jorge Carlos Carrá
111-120
42
>120
19
II Análisis de una variable
Problema b: proporción de una variable cuantitativa discreta
Paso 4 Análisis
PH
H 0 : Buen Ajuste Aseveración
H A : Mal Ajuste
Las frecuencias esperadas se calculan a partir del cálculo de las probabilidades de la distribución normal
correspondientes a cada clase, considerando los extremos reales de los intervalos, aplicando la corrección por
continuidad y multiplicando por n = 210. Se deja al estudiante la verificación de los valores de la siguiente
tabla.
CI
Frecuencia
< 79.5
18.03
79.5-95.5
62.21
95.5-110.5
78.95
110.5-120.5
32.78
>120.5
18.03
Figura 5-65
χ2 = ∑
(no − ne )
(21 − 18.03)2
(19 − 18.03) 2
=
+ ... +
= 5.303
ne
18.03
18.03
Sig.ChiSq(5.303, 4) = 0.258
⇒ ⇒ p = P ( χ 2 > χ m 2 ) = 0.258
⇒ p > α ⇒ No se rechaza H 0
2
Decisión
La diferencia entre el valor muestral obtenido (5.303) y el valor de la hipótesis (0.0), no es significativa al
nivel α = 5% (χ2(4) = 5.303, valor p = 0.258). No existe evidencia suficiente para rechazar la aseveración
planteada de que los CI provienen de una distribución normal.
Solución con computadora
Chi-Cuadrado
Colocar las marcas en una variable, las frecuencias en otra y utilizar Weight Cases.
Figura 5-66
Paso 5 Verificación: potencia retrospectiva
El resultado no es significativo por lo cual deberíamos calcular P para un tamaño del efecto grande.
Chi-cuadrado (solución descentralizada)
El parámetro descentralizado para la distribución χ2 es:
nc = w2n
123
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Si consideramos, por ejemplo, un efecto grande de 0.50:
nc = 0.52 (210) = 52.5
Cálculo de la potencia.
IDF .CHISQ (0.95, 4) = 9.49
1 − NCDF .CHISQ(9.49, 4,52.5) = 0.99
P = 0.99
Este valor indica que es altamente probable que si este efecto grande existiera en la población, sería detectado,
por lo cual el estudio es concluyente. Si no lo fuera, se deberían probar varios valores de n y por lo tanto del
parámetro descentralizado nc hasta obtener una potencia de por lo menos 0.80. Una forma práctica de hacerlo
con el SPSS es crear una variable con una secuencia de valores posibles del parámetro de descentralización (a
la que podemos llamar por ejemplo nc). Luego la colocaremos como parametro de la función 1–NCDF.
En este ejemplo:
1 − NCDF .CHISQ (9.49, 4, nc )
El resultado más cercano a 0.80, nos dará el parámetro de descentralidad nc buscado, con el cual se calculará
el tamaño muestral n. Este proceso tiene la ventaja de enseñar el proceso constructivo para resolver el
problema: Un software como GPower lo podrá realizar en forma automática, pero con un procesamiento no
evidente.
GPower
χ2 tests
Goodness of fit tests: Contingency tables
Post hoc,
effect size: 0.50 (grande), α = 0.05, n = 210, ν = 4.
Entrega una potencia de: 0.99.
En la figura 5-67 y en la figura 5-68 se observan las distribuciones y las curvas de Potencia en función del
tamaño del efecto, para varios valores de n. Con el tamaño de la muestra (n = 210), se requeriría un tamaño del
efecto de 0.25 para obtener una potencia de 0.82.
Figura 5-67
124
Jorge Carlos Carrá
II Análisis de una variable
Problema c: varianza de una variable cuantitativa contínua
Figura 5.68
Problema c: varianza de una variable
cuantitativa contínua
Modelado
Diagramas de caja
Estos diagramas (ver capítulo 1) proveen la posibilidad de realizar en forma gráfica un análisis de
comparación de varianzas exploratorio y preliminar. Al informar acerca de la AIC, Amplitud
InterCuartílica y de la amplitud entre extremos, proveen alguna de las medidas de dispersión. Serán
particularmente útiles cuando se estudie más adelante la comparación entre varianzas.
Chi-cuadrado (exacta)
El formato con el cual se presentan los datos, se muestra en la figura 5-69. Se tiene una variable x de
escala, que contiene el concepto a estudiar.
125
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
x
1.23
2.45
3.26
6.45
8.23
…
6.78
1.56
3.21
4.13
2.56
Figura 5-69
De acuerdo a lo estudiado en el capítulo 4, si la distribución poblacional es normal, para cualquier
tamaño de la muestra, la distribución:
χν2 =
(n − 1) s 2
σ2
ν = n −1
sigue una distribución chi-cuadrado exacta con ν grados de libertad. Por lo tanto la transformación a
realizar en este caso es a la variable χ2.
Para obtener las expresiones de la media y desviación estándar, basta convertir las relaciones vistas
en el capítulo 3, con la ecuación anterior, resultando.
E (s 2 ) = σ 2
V (s 2 ) =
2σ 4
n −1
La primera expresión nos indica que s2 es un estimador insesgado de σ2. Esta es la razón por la cual
se define s2 con n–1, en lugar de hacerlo con n5. De la segunda observamos que el estimador es
convergente. Existen otros estimadores de σ2 como por ejemplo el que resulta de dividir SSxx por
n+1 en lugar de n-1. Este estimador de la varianza poblacional es sesgado pero tiene la propiedad
deseable de minimizar el error cuadrático medio entre los valores de cada una de las posibles
muestras y el valor poblacional.
Supuestos
1. Normalidad
A diferencia de una inferencia para la media o proporción, el requisito de normalidad es mucho
más importante en este caso, a tal punto que desviaciones del mismo pueden originar errores
serios. Por esta razón esta prueba es poco usada en la práctica. En el caso que sea necesario
utilizarla es imprescindible explorar este supuesto con las herramientas gráficas comentadas en
el capítulo 1, página transformacion1 (entre ellas el histograma o las gráficas Q-Q) y la prueba
5
Por otro lado, este procedimiento hace más grande la cantidad, con lo cual compensa el hecho de que una
muestra tiende a tener menor variabilidad que la población, debido a la dificultad de que capture los valores
extremos.
Jorge Carlos Carrá
126
II Análisis de una variable
Problema c: varianza de una variable cuantitativa contínua
estadística χ2 de la bondad de ajuste vista en la sección anterior.
Recordemos además del capítulo 3 que si ν >100, la distribución χ2 se puede aproximar a una
normal, con la media y desviación estándar anteriores.
Análisis por IC
El estimador puntual s2 es insesgado y convergente pero desarrollaremos un estimador por intervalo
para medir su precisión. Para ello partimos de la siguiente ecuación pivote:
P ( χ I2 ≤ χ 2 ≤ χ S2 ) = c
reemplazando la expresión de χ2 y despejando σ2, se obtiene:
⎛ s 2 (n − 1)
s 2 (n − 1) ⎞
P⎜ 2
≤σ2 ≤ 2
⎟=c
χ I (ν ) ⎠
⎝ χ S (ν )
Observar que en este caso, el IC no puede expresarse con el formato σ = s ± B , puesto que el IC
no está centrado en la varianza muestral.
Estudiar el problema resuelto siguiente.
2
2
Análisis por PH
Bilateral
H 0 : σ 2 = σ 02
H A : σ 2 ≠ σ 02
Unilateral
H 0 : σ 2 ≥ σ 02
H A : σ 2 < σ 02
o también:
H 0 : σ 2 ≤ σ 02
H A : σ 2 > σ 02
Interrelación entre IC y PH
Fijadas las regiones de una PH, las conclusiones acerca del resultado de la muestra son totalmente
equivalentes a las de un IC. En la figura 5-70 se muestra la situación para, por ejemplo, cuando el
valor muestral "cae" justo en el límite de la región crítica.
En forma general, se puede plantear:
• para la PH:
sc2 =
•
σ 2 χ S2
n −1
y para el IC:
LCI =
sm2 (n − 1)
χ S2
2
2
Si sc = sm , se tiene:
LCI = σ 2
Se observa entonces que si el valor muestral "cae" dentro de la zona crítica, el IC no comprenderá a
σ2, como es de esperar para resultados significativos. Lo opuesto ocurre si el valor muestral "cae
fuera de la zona crítica.
127
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Figura 5-70
SPSS
El SPSS no incluye esta prueba, por lo cual he desarrollado la sintaxis de la figura 5-71, la cual
reproduce los pasos que se deben realizar para resolver la inferencia a mano. La primer parte es la
prueba de hipótesis y la segunda es el intervalo de confianza.
Figura 5-71
Prueba de la varianza.
Para que el código funcione se debe preparar en el editor de datos 4 variables con los nombres:
ssq, sigmasq, df y alfa, donde ssq es la varianza muestral, sigmasq es el valor
poblacional de la varianza a probar, df son los grados de libertad y alfa es el nivel de
significación. Colocar los valores numéricos correspondientes al caso en estudio.
Luego abrir una ventana de sintaxis y escribir el código de la figura 5-71 (o pegar el que se
encuentra en el archivo sintaxis.txt). Ejecutar con Run > All.
Tamaño del efecto y ecuación de diseño
Para este caso, de define el tamaño del efecto como el cociente entre el valor σ21 de la hipótesis
alternativa H1, y σ20, el valor de H0.
E=
128
σ12
σ 02
Jorge Carlos Carrá
II Análisis de una variable
Problema c: varianza de una variable cuantitativa contínua
Si procedemos en forma análoga a lo hecho para una distribución normal y despejamos s2 de las
expresiones para H0 y H1 e igualamos, se obtiene la siguiente ecuación de diseño:
χα2σ 02 = χ β2σ12
Esta relación indica que la distribución de H1, χ β , es la misma distribución central χ2 pero
dividiendo los valores de χ2 por el tamaño del efecto. La distribución de H1 resultará entonces
escalada con el tamaño del efecto.
Potencia y Tamaño de la muestra
Potencia,P
Como la distribución de H1 es la misma distribución central χ2 dividiendo los valores de χ2 por el
tamaño del efecto, para hallar la potencia solo bastará hallar las CDF (y/o 1–CDF) de esa chicuadrado para el valor crítico χ β2 (ver problema resuelto).
Tamaño de la muestra, n
Puede apreciarse que el tamaño de la muestra solo aparece en los grados de libertad. Si se conoce n,
no existen inconvenientes en calcular P, (n => P), pero, a la inversa, si se deseara calcular P => n,
debería operarse por prueba y error (n => P), obteniendo el valor de ν que verifique:
α => χα2 (ν )
χα2 (ν ) y E => χ β2 (ν )
χ β2 (ν ) => P
Naturalmente es un proceso iterativo por lo cual se utilizan tablas preparadas a tal efecto o un
software como por ejemplo SPSS o GPower. Al final del siguiente problema resuelto se muestra el
procedimiento.
Problema resuelto 5.14 Peso de los sobres de café
Un supervisor del proceso de empacado de café en sobres toma una muestra aleatoria de 12 sobres,
construyendo la tabla de la figura 5-72.
15.7 15.8 15.9 16 16.1 16.2
g/sobre
2
2
3 3
1
N° sobres 1
Figura 5-72
IC
a) Si el peso de cada sobre tiene una distribución normal, estimar el peso promedio de la población con un
coeficiente de confianza del 95%.
b) Estimar la desviación estándar de la población con un coeficiente de confianza del 90%.
PH
Probar la aseveración de que μ = 16 y σ = 0.04 (σ2 =0.0016). Interrelacionar gráficamente el IC con la PH de
la varianza en forma gráfica.
SPSS
Resolver con el SPSS.
Verificación: potencia retrospectiva
Analizar la potencia versus el tamaño del efecto para la prueba de varianzas y si corresponde a un caso no
concluyente, calcular el tamaño de la muestra necesario para resolverlo.
129
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Paso 1 Problema
Comparar grupos:
θ = μ y θ = s2
Paso 2 Modelo
Distribuciones normal., t de Student y chi–cuadrado.
Se incluyen luego dentro de IC y PH.
Paso 3 Diseño
Tamaño de la muestra: 12.
Paso 4 Análisis
IC
Modelado
Distribución muestral de θˆ = x
El tamaño n es menor que 30, la distribución poblacional es normal y se desconoce la desviación estándar
poblacional. Entonces la distribución muestral es una t de Student con ν =11.
Distribución muestral de θˆ = s
La distribución es chi-cuadrado. No se necesitan ni la media ni la desviación estándar.
2
Inferencia
θˆ = x
x = 15.937
s 2 = 0.0224
s2
sˆx = Vˆ ( x ) =
= 0.0432
n
IDF .T (0.95,11) = 1.796
B = 1.796(0.0432) = 0.077
⇒ μ = 15.97 ± 0.077
⇒ IC ( μ ) = 15.89 a 16.05
θˆ = s 2
P(4.57 ≤ χ 2 ≤ 19.68) = 0.90
⇒ P(
s 2 (n − 1)
s 2 (n − 1)
2
≤
≤
) = 0.90
σ
χ S2 (ν )
χ I2 (ν )
⇒ P(0.0125 ≤ σ 2 ≤ 0.054) = 0.90
⇒ IC (σ 2 ) = 0.0125 a 0.054
Decisión
Se espera que estos IC incluyan al valor poblacional μ o σ2 con una confianza del 95% o 90%,
respectivamente.
130
Jorge Carlos Carrá
II Análisis de una variable
Problema c: varianza de una variable cuantitativa contínua
PH
θˆ = x
H 0 : μ = μ0 Aseveración
H A : μ ≠ μ0
θˆ = s 2
H 0 : σ 2 = σ 02 Aseveración
H A : σ 2 ≠ σ 02
Modelado
Ídem IC.
Inferencia
1 Comparando el valor del eje estandarizado
θˆ = x
tc = t0.025 (11) = −2.201
x − μ 15.967 − 16
tm =
=
= −0.77
σx
0.0432
⇒ | tm |<| tc |⇒ No se rechaza H 0
θˆ = s 2
χ m2 =
(n − 1) s 2
σ
2
=
11(0.0224)
= 154
0.042
A un valor c = 0.90, le corresponde una cola superior α/2 = 0.05, por lo tanto:
χ c2 = 19.68
⇒ χ m2 > χ c2 ⇒ Se rechaza H 0
2 Comparando el valor del eje sin estandarizar
θˆ = x
xm = 15.967
B = tα / 2σˆ x = 2.201(0.0432) = 0.0951
xc = μ − B = 16 − 0.0951 = 15.90
Como se analiza la cola inferior:
θˆ = s
⇒ xm > xc ⇒ No se rechaza H 0
2
sm2 = 0.0224
s =
2
c
Como se analiza la cola superior:
χ c2σ 2
n −1
=
19.68(0.0016)
= 0.00286
11
⇒ sm2 > sc2 ⇒ Se rechaza H 0
3 Comparando las áreas
θˆ = x
α = 0.05
CDF .T (−0.77,11) = 0.23
131
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
⇒ cola inf = 0.23
⇒ p = 2 P(| t |>| tm |) = 2 ∗ 0.23 = 0.46
⇒ p > α ⇒ No se rechaza H 0
θˆ = s 2
α = 0.10
CDF .CHISQ(154,11) = 1
Por lo tanto:
p = P( χ 2 > χ 2m ) = 0
⇒ p < α ⇒ Se rechaza H 0
Conclusiones
θˆ = x
La diferencia entre el valor muestral obtenido (15.97) y el valor de la hipótesis (16), no es significativa al nivel
α = 5%, (t(11) = –0.77, p = 0.46). No existe evidencia suficiente para rechazar la aseveración de que el peso
promedio de la población de café en sobres es de 16.
Observar que esta decisión es compatible con el IC obtenido, pues 16 pertenece al IC.
θˆ = s 2
La diferencia entre el valor muestral obtenido (0.0224) y el valor de la hipótesis (0.0016), es significativa al
nivel α = 10% (χ2(11) = 154, p = 0.00). Existe evidencia suficiente para rechazar la aseveración de que la
desviación estándar es 0.04.
Interrelación gráfica del IC con la PH para s2
Figura 5-73
Como la PH rechazó la H0: σ2 = 0.0016, entonces el IC obtenido no debe comprender a este valor (lo cual
sucederá en promedio el 10% de las veces).
SPSS
Procedimiento en la página 87
θˆ = x
Figura 5-74
132
Jorge Carlos Carrá
II Análisis de una variable
Problema c: varianza de una variable cuantitativa contínua
Figura 5-75
θˆ = s 2
Procedimiento en la página 128
Resultados de los comandos contenidos en la sintaxis.
chi _ sq = 154.07
sign = 0.000
Decisión = Rechazar H 0
chi inf = 4.57
chi sup = 19.68
LCI = 0.0125
LCS = 0.053
Paso 5 Verificación: potencia retrospectiva
El resultado es significativo por lo cual deberíamos calcular P para un tamaño del efecto E bajo. Supongamos
que, a juicio del investigador, un tamaño del efecto bajo es E =
σ 12
= 0.5 .
σ 22
1 SPSS
Para determinar cuáles son los valores de χ2 que producen colas de α/2 en ambos extremos, utilizamos la
función del SPSS llamada Inverse DF (solo para distribuciones contínuas).
IDF .CHISQ(0.05,11) = 4.57
χ i2 = 4.57
IDF .CHISQ(0.95,11) = 19.68
χ s2 = 19.68
De esta forma, la suma de ambas colas es α = 0.10.
Solución
Asignemos ahora el tamaño del efecto E.
Vimos que la distribución de H1 es la misma distribución central χ2 dividiendo los valores de χ2 por el tamaño
del efecto.
σ 12
= 0.5 , resulta:
σ 22
CDF .CHISQ(4.57 / 0.5,11) = 0.39
SIG.CHISQ(19.68 / 0.5,11) = 0.00004
Para un tamaño del efecto es E =
En definitiva (ver la figura siguiente), la potencia será:
P = 0.39 + 0 = 0.39
Si este tamaño del efecto estuviera presente en la población, probablemente no sería detectado. Como la
prueba dio significativa, probablemente detectó un tamaño del efecto mediano o grande, lo cual es
satisfactorio.
133
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
2 GPower
χ2 tests
Variance: Difference from constant (one sample case)
Post hoc,
2 colas, α = 0.10, E = 0.5 y n =12. Devuelve una potencia de 0.39.
Figura 5-76
Observar que la distribución de H1 es la misma que la de H0 (no es la χ2 descentralizada), solo que escalada en
el eje x. Así por ejemplo tomando los valores de la primer raya verde, el valor del eje y de H0 (curva contínua)
para χ2 = 4.574, es el mismo que el correspondiente a H1 (curva a trazos) para χ2 = 4.574/0.5 = 9.15.
Rediseño
En este problema no ha sido necesario el rediseño del estudio inferencial. Pero, ¿cómo se hubiera procedido si
la prueba hubiera dado no significativa. En este caso deberíamos calcular P para un tamaño del efecto E alto.
Al solo efecto de ejemplificar el proceso de rediseño, supongamos que, a juicio del investigador, un tamaño del
efecto alto es E =
σ 12
= 1.5 .
σ 22
Para este tamaño del efecto, resulta:
CDF .CHISQ(4.57 /1.5,11) = 0.01
SIG.CHISQ(19.68 /1.5,11) = 0.28
En definitiva (ver la figura siguiente), la potencia será:
P = 0.01 + 0.28 = 0.29
Como la potencia es baja, es probable que la pueba no significativa no haya detectado tamaños del efecto
grandes y se debe por lo tanto rediseñar el experimento.
Se debe rediseñar partiendo de la potencia P => n. Dado que el tamaño de la muestra se encuentra en los
grados de libertad, se debe actuar por aproximaciones sucesivas probando varios valores de n.
SPSS
Una forma práctica de hacerlo con el SPSS es crear una variable llamada por ejemplo, gl, con una secuencia
de valores posibles y colocarla como parametro de la función IDF.CHISQ, en este caso:
CHIi = IDF .CHISQ (0.05, gl )
CHIs = IDF .CHISQ (0.95, gl )
Los resultados se colocan dentro de:
CDF .CHISQ(CHIi /1.5, gl )
SIG.CHISQ(CHIs /1.5, gl )
Ambas ecuaciones se pueden combinar en una sola, obteniendo:
SIG.CHISQ( IDF .CHISQ(0.95, gl ) /1.5, gl )
134
Jorge Carlos Carrá
II Análisis de una variable
Problema c: varianza de una variable cuantitativa contínua
La combinación que lleve al valor más cercano a 0.80, será el grado de libertad buscado, con el cual se
calculará el tamaño muestral n. Este proceso tiene la ventaja de ser constructivo. Naturalmente que un software
específico como GPower resuelve el problema en forma automática (pero encubierta).
De esta forma se llega a:
IDF .CHISQ(0.05,73) = 54.3
χ i2 = 54.3
IDF .CHISQ(0.95, 73) = 93.9
χ s2 = 93.9
CDF .CHISQ(54.3 /1.5, 73) = 0
SIG.CHISQ(93.9 /1.5, 73) = 0.80
P = 0 + 0.80 = 0.80
La conclusión es que debería repetirse el análisis con un tamaño muestral de por lo menos 74 sobres.
GPower
χ2 tests
Variance: Difference from constant (one sample case)
Post hoc,
2 colas, α = 0.10, E = 1.5 y n =12. Devuelve una potencia de 0.29.
Rediseño
A priori,
Para una potencia de 0.80, entrega un tamaño de muestral de 74.
Gráficas
En la figura 5-76 y en la figura 5-77 se observan las distribuciones y la curvas de Potencia en función del
tamaño del efecto, para varios valores de n.
En las curvas de potencia se pueden ver las bajas potencias de esta prueba para tamaños del efecto menores
que 3 (el investigador debe interpretar si son lo suficientemente grandes para ser útiles).
Si se aumenta la potencia (aumentando n), la prueba podría dar significativa.
Figura 5-76
135
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Figura 5-77
136
Jorge Carlos Carrá
III Análisis de dos variables: Comparación entre grupos
Problema a: comparación de medias de variables cuantitativas contínuas
III Análisis de dos
variables: Comparación
entre grupos
Los procedimientos inferenciales de una variable vistos hasta ahora, no son los que se presentan
habitualmente en las investigaciones. Sin embargo se requiere haber recorrido su estudio pues son un
requisito previo para la resolución de los que siguen en esta sección y la siguiente. En las
investigaciones reales la situación que se presenta con frecuencia es la necesidad de comparar 2 o
más grupos de valores (muestras) sin ninguna información directa acerca de la población (o
poblaciones) de la que son extraídos. Este es el objetivo de las secciones III y IV.
En esta sección veremos la estimación los siguientes casos:
a. Comparación de medias
b. Comparación de proporciones
c. Comparación de varianzas
Las comparaciones pueden ser realizadas con la diferencia o con el cociente o razón. Para cualquier
tamaño de la muestra, la diferencia es apropiada para las medias y proporciones, en tanto que la
razón lo es para las varianzas. Veremos en cada apartado que si el tamaño de la muestra es grande,
pueden ser utilizados además las razones o diferencias, respectivamente.
En todos los casos se define la H0 por la negativa, pues recordar (introducción) que esta es la forma
de poder rechazarla (Popper, K. 1980). Estos métodos son aplicables cuando los datos muestrales se
miden en las mismas unidades. Si se analizan variables con distintas unidades, como peso y altura, se
deberán utilizar los métodos de la sección IV.
Problema a: comparación de medias de
variables cuantitativas contínuas
Diferencia de medias θ = Δμ
En el capítulo 1 hemos visto las propiedades básicas de la esperanza y de la varianza. Dos de ellas,
aplicadas a la distribución muestral de medias, conducen a:
E ( X 1 ± X 2 ) = μ1 ± μ 2
V ( X 1 ± X 2 ) = V ( X 1 ) + V ( X 2 ) ± 2Cov( X 1 , X 2 )
En particular veremos aquí el tratamiento de la diferencia de las medias de 2 muestras
ΔX = X 1 − X 2 . Éstas pueden haber sido obtenidas de una población (antes y después de algún
tratamiento) o de 2 poblaciones distintas, de hecho, en algunos trabajos de investigación se utilizan
los subíndices E por grupo Experimental y C por grupo de Control.
137
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Modelado
Normal o t de Student (exacta o asintótica)
Análogamente al caso de una variable, la distribución de la diferencia de medias sigue una
distribución normal o t de Student, en función de las condiciones de normalidad y del tamaño de la
muestra.
Supuestos
1. 5 Casos
Los mismos que para el estudio de una sola muestra, aplicables ahora a ambas poblaciones. Sin
embargo, en cada uno de los distintos casos se agregarán algunos requisitos adicionales.
2. Independencia o dependencia
Se dividirá el tipo de análisis según sean o no distribuciones poblacionales independientes.
Dos muestras de poblaciones independientes
Análisis por IC
El formato con el cual se presentan los datos, se muestra en la figura 5-78. Se tiene una variable de
escala que define el concepto a estudiar, x y una variable categórica dicotómica y que define los 2
grupos, con niveles 1 y 2. Observar que los valores de la variable x no están apareados por casos,
como lo será en la siguiente sección.
x
y
1.23 1
2.45 2
3.26 2
6.45 1
8.23 1
… …
6.78 2
1.56 1
3.21 1
4.13 1
2.56 2
Figura 5-78
Dado que tenemos distribuciones poblacionales separadas e independientes (no existe ninguna
relación ni apareamiento entre ellas), sus medias muestrales también lo serán y entonces la
covarianza entre ellas es cero. Por lo tanto la expresión general queda:
V ( ΔX ) = V ( X 1 ) + V ( X 2 )
Cada término del segundo miembro deberá reemplazarse por la expresión correspondiente ya tratada
en el estudio de una variable.
Colocando la siguiente ecuación pivote, en la ecuación de probabilidades:
z=
ΔX − Δμ
σ Δx
se obtiene, reemplazando y despejando Δμ:
Δμ = ΔX ± B
138
Jorge Carlos Carrá
III Análisis de dos variables: Comparación entre grupos
Problema a: comparación de medias de variables cuantitativas contínuas
con B = tα /2σˆ Δx = tα /2 SEΔx .
Casos
1 y 2 Se conocen las σ de ambas poblaciones
Es el caso menos real pues difícilmente se conozcan las desviaciones estándar de las poblaciones. En
este caso, si el tamaño de la muestra es grande o la distribución de la población es normal, la
distribución aplicable es la normal.
3 y 4 Ambas σ se desconocen
Si el tamaño de la muestra es grande o la distribución de la población es normal, la distribución
aplicable es la t de Student.
a σ1 ≠ σ2 (heterocedasticidad)
Es el caso más razonable. En realidad en este caso el estadístico de prueba se desconoce pero la
prueba t sigue siendo robusta aunque aproximada, en tanto:
n1 = n2.
Si esto no se cumple, se ha encontrado una aceptable aproximación si se reemplaza el valor de los
grados de libertad por el que resulta de la siguiente ecuación (especie de valor combinado):
⎡
⎤
⎢
⎥
2
V ( X1) + V ( X 2 ))
(
⎢
νC = ⎢
− 2⎥
2
2
⎥
⎥
⎢ (V ( X 1 ) ) + (V ( X 2 ) )
n2 + 1
⎥⎦
⎢⎣ n1 + 1
El corchete significa: "parte entera" (equivale a una aproximación hacia abajo).
Una alternativa más sencilla y además conservadora (produce un valor crítico mayor, con lo cual es
más difícil rechazar), consiste en tomar el grado de libertad menor de n1 − 1 o n2 − 1 .
b σ1 = σ2 (homocedasticidad)
En este caso (la prueba estadística de homocedasticidad se verá luego al comparar varianzas), la
distribución es una t de Student con ν = ν1+ν2, estimando la varianza poblacional por un valor
ponderado o combinado sC2 de las varianzas muestrales.
sC2 = ∑
(ni − 1)si2
=
∑ (ni − 1)
∑ SS
∑ (n − 1)
i
i
Se aprecia que este promedio ponderado da mayor valor relativo a la muestra mayor. La lógica es
que si una muestra es mayor que la otra, contiene mayor información y por lo tanto es razonable que
tenga más peso relativo. Si las muestras son iguales, sC es la media de los valores.
Este valor deberá reemplazarse en la expresión general de la V ( ΔX ) .
Si por ejemplo se tratara de una población infinita, resultará:
V (ΔX ) =
sC2 sC2
+
n1 n2
Sacando factor común y reagrupando, resulta:
V (ΔX ) =
sC2
nE
En donde nE es la n equivalente de n1 y n2, dada por:
nE =
n1n2
n1 + n2
139
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Si además: n1 = n2 = n , la n equivalente nE será la mitad de n.
nE =
n
2
Estudiar luego el problema resuelto siguiente.
Análisis por PH
La hipótesis a probar más común es la igualdad de las medias, lo cual implica Δμ = 0, llamada
prueba de homogeneidad de medias. Los requisitos generales son los mismos del análisis por IC.
Bilateral
H 0 : Δμ = 0
H A : Δμ ≠ 0
Unilateral
H 0 : Δμ ≥ 0
H A : Δμ < 0
o
H 0 : Δμ ≤ 0
H A : Δμ > 0
Nota
El esquema anterior no cambia si la hipótesis a probar fuera una diferencia constante c distinta de 0. Por
ejemplo, para una prueba bilateral, el planteo será:
H 0 : Δμ = c
H A : Δμ ≠ c
En este caso el estadístico de prueba será, naturalmente:
z=
Δ X − Δμ
σ Δx
=
ΔX − c
σ Δx
y en el IC deberá analizarse si comprende o no al valor Δμ = c.
Dos muestras apareadas
Normal o t de Student (exacta o asintótica)
Análisis por IC
Es un caso particular con muestras apareadas uno a uno, es decir que el mismo caso relaciona a cada
par de datos.
El formato con el cual se presentan los datos, se muestra en la figura 5-79. Se tienen ahora 2
variables de escala que miden el mismo concepto a estudiar, x1 y x2, apareadas para los mismos
casos (cada par de valores x1, x2 corresponden al mismo caso), lo cual, en general, se acompaña de
una fuerte correlación, a diferencia de la prueba para poblaciones independientes.
140
Jorge Carlos Carrá
III Análisis de dos variables: Comparación entre grupos
Problema a: comparación de medias de variables cuantitativas contínuas
x1
1.23
2.45
3.26
6.45
8.23
…
6.78
1.56
3.21
4.13
2.56
x2
6.32
3.56
2.45
7.89
8.63
…
5.65
2.35
1.56
3.46
2.45
Figura 5-79
Se observa que se cumple implícitamente:
n1 = n2.
Cuando las poblaciones tienen un grado de dependencia, su covarianza no es cero, la covarianza
entre las medias tampoco es cero y no se puede aplicar el tratamiento anterior.
El procedimiento consiste en definir previamente la diferencia D = X 1 − X 2 entre los valores de las
variables X y analizar en cuál de los 5 casos nos encontramos.
Para la obtención de la media y de la varianza de esta nueva variable, existen 2 procedimientos.
Primer procedimiento
Implica aplicar las propiedades de la media y la varianza al segundo miembro de la ecuación
D = X 1 − X 2 , para expresarla en función de las varianzas de X1 y X2.
Se obtiene así (capítulo 1):
μ D = E (ΔX ) = E ( D ) = E ( X 1 ) − E ( X 2 ) = μ1 − μ2
σ D2 = σ Δ2x = σ 12 + σ 22 − 2Cov( X 1 , X 2 )
σ D2 = σ 12 + σ 22 − 2 ρσ 1σ 2
Si las varianzas son iguales, queda:
σ D2 = σ 2 2(1 − ρ )
Si se realiza una estima por la muestra:
sD2 = sC 2 2(1 − rP )
Si en lugar de X, realizamos el análisis para las X , resultan:
μD = μ1 − μ2
sD2 =
sC 2 2(1 − rP )
n
Se observa que este método requiere conocer el coeficiente de correlación. Si este coeficiente fuera
cero, la prueba coincide con la prueba de muestras independientes (muestras iguales).
Este diseño tiene una ventaja cuando la covarianza es positiva, pues la varianza será menor que la de
las medias sin aparear (al restársele el término de la covarianza). Otra forma de verlo es apreciar que
al aparear los datos por cada caso, se disminuye la variabilidad dentro de cada caso y por lo tanto la
variabilidad total.
Como desventaja se observa que si la distribución es una t de Student se pierde 1 grados de libertad,
respecto de la prueba sin aparear ( n1 + n2 − 2 versus n1 + n2 − 1 ), lo cual es importante si el tamaño
de la muestra es bajo. Estas dos características influyen en la potencia, pero en sentidos contrarios.
141
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Como regla general para decidir cuál de las dos pruebas utilizar, se puede decir que si la correlación
es alta, el diseño apareado conduce en general a una mayor potencia que el de medias sin aparear.
Segundo procedimiento
Consiste en crear en la base de datos la nueva variable D y tratarla como un caso de una variable,
obteniendo su media y su varianza.
En cualquier caso y aplicando a la nueva variable D, el análisis de estimación de una variable
estudiado en la sección I, se obtendrá la siguiente ecuación:
Δμ = D ± B
Con B = zα /2σ D .
Análisis por PH
Son validos los lineamientos generales del análisis por IC.
Bilateral
H0 : D = 0
HA : D ≠ 0
Unilateral
H0 : D ≥ 0
HA : D < 0
o
H0 : D ≤ 0
HA : D > 0
Barras de error
Estas barras proveen la posibilidad de realizar en forma gráfica, aunque informal, un análisis de
comparación de medias exploratorio y preliminar. Como hemos visto en el análisis de la media de
una variable, las barras de error muestran con una barra vertical la longitud del IC, ver figura 5-80.
Cualquiera de los valores que se encuentren dentro de la altura de dicha barra, indica una media
estadísticamente posible (con una probabilidad dada por el coeficiente de confianza c). De aquí que,
en principio, si la barra de una variable se traslapa con la de otra variable, puede interpretarse como
que sus valores medios no tienen una diferencia estadísticamente significativa. Por contraposición, si
los intervalos no se superponen, se puede expresar (aunque con cierto margen de error) que una de
las variables tiene una media distinta a la de la otra.
Sin embargo, no debe extraerse una conclusión final acerca del traslape y en cualquier caso es
necesario realizar una rigurosa prueba estadística. Esto es debido a que las barras de error de los IC
individuales se construyen con las desviaciones estándar de cada uno y el traslape implica sumar o
restar estos márgenes de error. En cambio, en un IC de la diferencia, se suman las varianzas..
Esto se aprecia observando en la figura que, para que exista superposición, deben ser:
LCI 2 < LCS1
LCS 2 > LCI1
Si reemplazamos por las expresiones de cada IC se obtiene luego de agrupar:
−( B1 + B2 ) < x2 − x1 < B1 + B2
En cambio, la expresión que resulta del IC de Δμ, para traslape (Δμ = 0), es:
Δx − B < 0 < Δx + B
142
Jorge Carlos Carrá
III Análisis de dos variables: Comparación entre grupos
Problema a: comparación de medias de variables cuantitativas contínuas
y por lo tanto:
− B < x2 − x1 < B
Se observa entonces que el solapamiento de los IC individuales implica la suma de las desviaciones
estándar de cada grupo, en tanto que en la prueba correcta de comparación de medias, se suman las
varianzas. Por otra parte, si la distribución aplicable es la t de Student, son distintos los grados de
libertad de los IC individuales respecto del IC de la diferencia.
Figura 5-80
SPSS
Comenzar explorando el comportamiento de ambas medias con un diagrama de barras de error (ver
más adelante). Si las barras se solapan, se tendrá un indicio de que las muestras pueden provenir de
poblaciones con igual media.
Veamos el tratamiento de las dos situaciones:
1. Dos muestras independientes
Analyze > Compare Means > Independent-Sample T Test > seleccionar las
variables de escala cuyos valores van a ser comparados entre los 2 grupos de casos (puede ser más
de una variable) > seleccionar la variable que contiene los niveles que definen los dos grupos > clic
en Define Groups para indicar cuáles son esos dos niveles.
Los 2 subgrupos se forman en base al criterio que se desee: eligiendo 2 niveles cualesquiera de la
variable de agrupación (esto puede requerir una recodificación previa) o un punto de corte de una
variable de escala. Con Options, seleccionar el coeficiente de confianza.
Si la hipótesis a probar fuera una diferencia constante c distinta de 0, se procede igual, debiendo
luego analizar si el IC comprende o no al valor Δμ = c. Sin embargo, dado que el SPSS no realiza
una PH para este caso, si por ejemplo fuera μ1 − μ2 = c , bastará restar
c
a cada dato del grupo 1 y
2
sumarlo a cada dato del grupo 2. De esta forma se obtiene:
tm =
Δx − Δμ
σ Δx
=
x1 − x2 − c − 0
σ Δx
expresión que equivale a probar Δμ = c (las desviaciones no cambian).
143
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
2. Dos muestras apareadas
Analyze > Compare Means > Paired-Sample T Test > seleccionar una de las
variables a ser probadas y con un clic en la flecha, moverla a la lista de variables apareadas. Repetir
para la otra variable. Como puede observarse, se pueden elegir simultáneamente otros pares para
correr varias pruebas en simultáneo. Si en algún caso falta un miembro del par, el SPSS no lo
considera. Con Options, seleccionar el coeficiente de confianza.
3 GLM
Las pruebas t de esta sección y las pruebas de regresión/correlación que veremos en la siguiente
sección IV, están relacionadas entre sí, pues no son más que variaciones matemáticas equivalentes.
Existe una lógica central que las unifica llamada Modelo Lineal General, GLM (General Lineal
Model), el cual utiliza una distribución F.
Este camino para resolver el problema en el SPSS, presenta el agregado de devolver el parámetro de
descentralidad y la potencia observada para un tamaño del efecto poblacional coincidente con el
tamaño del efecto de la muestra.
1 Dos muestras independientes
Analyze > General Lineal Model > Univariate.
Colocar las variables a estudiar en Dependent Variable y la variable que define los grupos en
Fixed Factors > OK.
2 Dos muestras apareadas
Analyze > General Lineal Model > Repeated Measures (no se encuentra en la
versión estándar del SPSS).
Number of levels: 2 > Add > Define.
Colocar las 2 variables en Within Subjects Variables > OK.
Razón de medias independientes θ = Rμ
Si el tamaño de la muestra es grande, como ocurre con el Meta-análisis, página 271, puede utilizarse,
para poblaciones independientes, el cociente de las medias como medida de comparación.
R=
x1
x2
Transformación ln
Como es una razón y la distribución no es normal, se normaliza (aproximadamente) con la
transformación del logaritmo natural.
⎛x ⎞
ln R = ln ⎜ 1 ⎟
⎝ x2 ⎠
s2
s2
Vln R = 1 2 + 2 2
n1 x1 n2 x2
Distribución aproximada: normal.
Tamaño del efecto y ecuación de diseño
En los 3 problemas de dos variables, se presentan 2 particularidades respecto de los de una variable.
1. Puede existir un problema de notación en la designación de las poblaciones (1 y 2) y de las
hipótesis (0 y 1).
Seguiremos indicando con los subíndices de las medias, 1 y 2, a las dos poblaciones a estudiar,
pero agregamos ahora una notación para identificar a las hipótesis nula y alternativa. Como
utilizaremos Δμ para la diferencia de medias y Δp para la diferencia de proporciones,
144
Jorge Carlos Carrá
III Análisis de dos variables: Comparación entre grupos
Problema a: comparación de medias de variables cuantitativas contínuas
convendremos que el subíndice de Δ designe, para cualquiera de estas pruebas, a las hipótesis, es
decir Δ0 para H0 y Δ1 para H1. Observar que de esta forma, las medias de la distribución muestral
de diferencias serán entonces Δ0 para H0 y Δ1 para H1.
Si bien en el capítulo 1 hemos ya utilizado a Δ para identificar a las desviaciones, en general no
existe posibilidad de confusión.
2. Los tamaños del efecto de 2 poblaciones, se definen para una H0 que contiene un valor definido
(0 para las diferencias de medias y 1 para el cociente de varianzas), por lo cual estos tamaños del
efecto, solo requieren el valor (o los valores) de la H1. Por lo tanto, cuando se utiliza un
programa específico de potencia como GPower, los valores a entrar son directamente los
correspondientes a la H1.
Se presentan, como ya sabemos, 2 situaciones:
Dos muestras independientes
Caso σ1 = σ2 = σ
d=
Δ1
σ
Recordar que en las expresiones del tamaño del efecto, los valores se refieren a la hipótesis
alternativa H1 Δ1 = μ1 − μ2
Por otra parte la expresión general de la varianza muestral, queda:
⎛1 1 ⎞
+ ⎟
⎝ n1 n2 ⎠
σ Δ2x = σ x2 + σ x2 = σ 2 ⎜
1
2
Para que las expresiones de la ecuación de diseño sean similares con el caso σ1 ≠ σ2, es conveniente
definir un n equivalente, nE:
1
1 1
= +
nE n1 n2
De esta forma:
σ Δ2x =
σ2
nE
Si el valor común de la varianza poblacional se desconoce, podemos aproximarla por la varianza
combinada de las muestras sC2 (página 139)
Por lo tanto:
d=
Δ1
sC
σ Δ2x ==
sC2
nE
Caso σ1 ≠ σ2
Si las varianzas son distintas se requiere que los tamaños muestrales sean iguales: n1 = n2 = n. El no
cumplimiento de esta limitación produce con frecuencia errores importantes.
En este caso, la expresión general de la varianza muestral, queda:
σ Δ2x = σ x2 + σ x2 =
1
2
1 2
(σ 1 + σ 22 )
n
Utilizando la expresión del n equivalente nE:
145
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
nE =
n1n2
n
=
n1 + n2 2
resulta:
σ Δ2x =
1 ⎛ σ 12 + σ 22 ⎞
⎜
⎟
2
nE ⎝
⎠
La expresión entre paréntesis es similar a la de la varianza combinada, pero en este caso con las
poblacionales. De todas formas, cuando no se conocen, se reemplazarán las varianzas poblacionales
por las muestrales (Cohen, J. 1988, pag 44 y GPower). Finalmente resulta:
σ Δ2x =
σC2
nE
Se observa que, de esta forma, la definición del tamaño del efecto es la misma, cualquiera sea el caso
(varianzas distintas o varianzas iguales)6.
Los valores de tamaño convencionales, según Cohen son los mismos que para una media:
• Chico, d = 0.20
• Mediano, d = 0.50
• Grande, d = 0.80
Para obtener la ecuación de diseño, procedemos de manera análoga al desarrollo de una muestra
(recordemos que por simplicidad se utiliza Δ para la diferencia de las medias poblacionales con
subíndices indicando la hipótesis nula o la alternativa).
xc = Δ 0 + zα σ Δx
xc = Δ1 + zβ σ Δx
Resolviendo el sistema:
zβ = zα −
Δ1 − Δ 0
σ Δx
zβ σ Δx = zασ Δx − ( Δ1 − Δ 0 )
En estas expresiones, Δ0 (diferencia de medias de la H0) puede tomar cualquier valor, pero recordar
que el tamaño del efecto se define solo para Δ0 = 0.
Dos muestras apareadas
El tamaño del efecto dz7, respecto de μ D = 0 , se define como:
dz =
μD
σD
Los valores de μD y σD fueron ya definidos. La ecuación de diseño es la misma que la de una
muestra.
6
Observar que si se multiplica y divide por 2, es posible también la ecuación alternativa (ver pagina 40):
σ Δ2x =
7
sΔ 2
n
Cohen (Cohen, J. 1988, página 48), llama z a D.
Jorge Carlos Carrá
146
III Análisis de dos variables: Comparación entre grupos
Problema a: comparación de medias de variables cuantitativas contínuas
Potencia y tamaño de la muestra
En la sección I Diseño, se establecieron, sin demostración, expresiones de cálculo para la potencia y
el tamaño de una muestra de una prueba de diferencia de medias. Ahora podemos obtener esas
relaciones.
Dos muestras independientes
Potencia, P
De la ecuación de diseño solo resta calcular zβ y hallar la CDF y/o 1–CDF.
Tamaño de la muestra, n
σ 12 = σ 22
Para poder despejar un solo valor de n, debe darse una relación entre n1 y n2:
n1 = k n2
Con k ≥ 1 . El valor de k se llama radio de asignación (allocation ratio).
El caso más simple es considerar k = 1, el cual además minimiza el tamaño muestral.
k>1
En este caso n1 ≠ n2.
Reemplazando n1 = k n2 en nE , resulta:
⎛ z − zβ ⎞
kn2 2
nE =
=⎜ α
⎟
(k + 1)n2 ⎝ d ⎠
2
resolviendo para n2, y luego para n1, resultan:
k + 1 ⎛ zα − zβ ⎞
n2 =
⎜
⎟
k ⎝ d ⎠
2
⎛ z − zβ ⎞
n1 = (k + 1) ⎜ α
⎟
⎝ d ⎠
2
2
⎡ ( zα − zβ ) sC ⎤
Idénticas relaciones se obtienen reemplazando la expresión al cuadrado por: ⎢
⎥ .
⎣ Δ1 − Δ0 ⎦
k=1
El caso n1 = n2 es un caso particular del anterior:
nE =
n ⎛ zα − zβ ⎞
=⎜
⎟
2 ⎝ d ⎠
2
σ 12 ≠ σ 22
En este caso se debe proceder en forma inversa: Partir de 2 valores tentativos de n1 y n2 y con ellos
calcular un valor n ponderado con la ecuación siguiente. Luego, con este valor de n y el valor del
tamaño del efecto requerido, calcular la potencia. Si no es la deseada, iterar el proceso.
n=
σ12 + σ 22
σ12 / n1 + σ 22 / n2
147
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Dos muestras apareadas
Son idénticas al caso de una sola muestra.
Problema resuelto 5.15 Toma de apuntes en clase
Un investigador desea probar que la toma de apuntes en clase produce mayor retención que el que no lo hace.
Para ello toma una muestra de 5 alumnos de cada grupo, A: toma apuntes, B: no toma apuntes y compara sus
notas finales. Estos datos se muestran en la tabla de la figura 5-81. Se asume una distribución poblacional
normal.
IC
Obtener el IC de la diferencia entre las medias de ambos grupos, para un nivel de significación del 95%.
PH
Probar la aseveración de que existe influencia en la toma de apuntes con α = 5%. Interrelacionar gráficamente
el IC con la PH.
SPSS
Resolver con el SPSS.
Verificación: potencia retrospectiva
Analizar la potencia versus el tamaño del efecto de la prueba y si corresponde a un caso no concluyente,
calcular el tamaño de la muestra necesario para resolverlo.
Puntaje A Puntaje B
10
8
9
6
6
6
6
2
5
6
Figura 5-81
Paso 1 Problema
Comparar grupos:
θ = Δμ .
Paso 2 Modelo
Distribuciones normal y t de Student.
Se incluyen luego dentro de IC y PH.
Paso 3 Diseño
Tamaño de la muestra: n1 = 5, n2 = 5.
Paso 4 Análisis
IC
Modelado
Distribución muestral de θˆ = Δx
Los valores de las medias y desviaciones estándar son:
x1 = 7.2
x2 = 5.6
148
Jorge Carlos Carrá
III Análisis de dos variables: Comparación entre grupos
Problema a: comparación de medias de variables cuantitativas contínuas
s1 = 2.17
s2 = 2.19
Inferencia
Como n < 30 pero la distribución poblacional se asume normal, corresponde una t de Student. Asumiendo por
el momento que las desviaciones estándar poblacionales son iguales (se probará más adelante, en la sección de
comparación de desviaciones estándar, página 199), debemos calcular la desviación estándar combinada.
4S12 + 4 S22
= 4.752
8
sC = 2.18
sC2 =
Por lo tanto:
2
= 1.378
n
Δμ = Δx ± B
B = tα /2σ Δx = 2.306(1.378) = 3.178
⇒ Δμ = (7.2 − 5.6) ± 3.178 = 1.6 ± 3.18
⇒ IC (Δμ ) = −1.58 a 4.78
σ Δx = sC
Decisión
Las diferencias entre los valores contenidos dentro del IC, no son significativas al nivel c = 95%. Como 0
pertenece al IC, existe un 95% de probabilidad o confianza de que el IC contenga a θ = 0.
PH
H 0 : μ1 = μ2
H A : μ1 ≠ μ 2 Aseveración
Modelado
Distribución muestral de
Ídem IC.
θˆ = ΔX
Inferencia
Se busca probar la hipótesis Δμ = 0
1 Comparando el eje Δx
Δxm = 1.6
tc = t0.025 (8) = 2.306
B = tα /2σ Δx = 2.306(1.378) = 3.178
Δxc = Δμ ± B = 0 ± 3.178 = ±3.178
⇒ | Δxm − Δμ |< B ⇒ Δxm < Δxc ⇒ No se rechaza H 0
2 Comparando el eje t
2 Comparando las áreas
tc = t0.025 (8) = 2.306
Δx − Δμ 1.6 − 0
tm =
=
= 1.16
σ Δx
1.378
⇒ | tm |<| tc |⇒ No se rechaza H 0
α = 0.05
149
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
CDF .T (1.16,8) = 0.86
⇒ colasup = 1 − 0.86 = 0.14
⇒ p = 2 P(t > tm ) = 2 ∗ 0.14 = 0.28
⇒ p > α ⇒ No se rechaza H 0
Decisión
La diferencia entre el valor muestral obtenido (Δμ = 1.6) y el valor de la hipótesis (Δμ = 0), no es significativa
al nivel α = 5% (t(8) = 1.16, p = 0.28). Por lo tanto no existe evidencia suficiente para sustentar que las medias
poblacionales de los grupos A: toma apuntes y B: no toma apuntes, sean distintas, a este nivel de significación.
Este resultado coincide con el análisis de IC, pues al contener el valor 0 indica que este valor es posible al
nivel α = 5%.
Interrelación gráfica del IC con la PH
Figura 5-82
Como la PH no rechazó la H0: Δμ = 0, entonces el IC obtenido debe comprender a este valor (lo cual sucederá
95% de las veces).
SPSS
Procedimiento en la página 143
Se deben colocar los datos de ambos grupos en una sola columna (PR5_7 en la tabla siguiente) y las variables
de segregación por grupos, en otra (PR5_7gr en la tabla siguiente). Los resultados de la prueba de
Independent-Sample T Test, son:
Figura 5-83
Figura 5-84
Nota
Para obtener la varianza combinada con el SPSS ir a: Analyze > Compare Means > One-way
ANOVA > colocar la variable de datos en Dependent List y la variable de de segregación por grupos en
Factor.
La varianza combinada aparece en la celda Within Groups-Mean Square (figura 5-85).
150
Jorge Carlos Carrá
III Análisis de dos variables: Comparación entre grupos
Problema a: comparación de medias de variables cuantitativas contínuas
Figura 5-85
El margen de error estandarizado puede obtenerse además con:
GPower
t test
Means: Difference from constant (one sample case)
Sensitivity,
2 colas, α = 0.05, Power: 0.5 y n1 =5, n2 =5.
Se obtiene un tamaño del efecto de 1.41, comparable con 3.18/2.18 = 1.45.
Paso 5 Verificación: potencia retrospectiva
El resultado es no significativo por lo cual calculamos P para un d alto (0.80).
Observemos además que:
dm =
tm
1.16
=
= 0.733
nE
2.5
dc =
tα
2.31
=
= 1.46
nE
2.5
Estos valores nos indican que el resultado no es significativo (dm < dc) y que los tamaños del efecto
poblacionales grandes (0.80), tendrán una potencia inferior a 50% (correspondiente a dC).
1 SPSS
Para determinar cuáles son los valores de t que producen colas de α/2 en ambos extremos, usamos la función
Inverse DF (solo para distribuciones contínuas).
IDF .T (0.025,8) = −2.31
ti = −2.31
IDF .T (0.975,8) = 2.31
ts = 2.31
Solución centralizada
Asignemos ahora un tamaño del efecto d = 0.80 y calculemos la potencia.
tβ = tα − nc
nc = nE d
n∗n n
= = 2.5
n+n 2
nc = 2.5 *0.8 = 1.265
tβ s = 2.31 − 1.265 = 1.045
nE =
151
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
tβi = −2,31 − 1, 265 = −3.57
1 − CDF .T (1.045,8) = 0.164
CDF .T (−3.57,8) = 0.036
En definitiva (ver la figura siguiente), la potencia será:
P = 0.164 + 0.036 = 0.2
Solución descentralizada
Por lo tanto:
NCDF .T (−2.31,8,1.265) = 0
1 − NCDF .T (2.31,8,1.265) = 0
P = 0.001 + 0.198 = 0.199
Entrega una P = 0.20. El resultado es demoledor. La baja potencia o sensibilidad de la prueba para un tamaño
del efecto grande, indica que existe el riesgo de un efecto no detectado que sea lo suficientemente grande para
ser útil, por lo cual el estudio es no concluyente.
Riesgo de n bajo: algo grande está sucediendo y se obtiene un resultado no significativo.
Rediseño
Se debe rediseñar el estudio inferencial partiendo de la potencia P => n.
Para calcular los valores de t encontramos el problema ya mencionado en la prueba de una media. Los grados
de libertad no se conocen dado que dependen de n. Por esta razón se debe utilizar un proceso por
aproximaciones sucesivas. Comenzamos con el grado de libertad previo (ν = 8) para calcular un valor de n
tentativo.
tα = IDF .T (0.975,8) = 2.31
tβ = IDF .T (0.20,8) = −0.89
2
2
⎛ t −t ⎞
⎛ 2.31 + 0.89 ⎞
n = 2⎜ α β ⎟ = 2⎜
⎟ = 32
0.80
⎝ d ⎠
⎝
⎠
Con este valor de n (el cual => ν = 31+31 = 62), repetimos el cálculo:
tα = IDF .T (0.975, 62) = 2
tβ = IDF .T (0.20, 62) = −0.85
2
2
⎛ t −t ⎞
⎛ 2 + 0.85 ⎞
n = 2⎜ α β ⎟ = 2⎜
⎟ = 26
⎝ d ⎠
⎝ 0.80 ⎠
Con este valor de n (el cual => ν = 25+25 = 50), repetimos el cálculo:
tα = IDF .T (0.975,50) = 2.01
tβ = IDF .T (0.20,50) = −0.85
2
2
⎛ tα − tβ ⎞
⎛ 2.01 + 0.85 ⎞
n = 2⎜
⎟ = 2⎜
⎟ = 26
0.80 ⎠
⎝ d ⎠
⎝
Como se ha obtenido una buena convergencia entre el valor de n y el grado de libertad utilizado en el cálculo,
finalizamos el proceso.
La conclusión es que debería repetirse el análisis con un tamaño muestral de por lo menos 26 alumnos por
grupo.
Potencia observada
Utilizar el GLM.
Options > Descriptive statistics, Estimates of effect size, Observed
power.
152
Jorge Carlos Carrá
III Análisis de dos variables: Comparación entre grupos
Problema a: comparación de medias de variables cuantitativas contínuas
Figura 5-86
Se puede observar que los valores entregados son equivalentes a los ya obtenidos. En particular, los valores
que se leen en las 2 últimas columnas corresponden a nc y potencia observada:
7.5 − 5.6
= 0.734
4.75
nc = nd = 2.5(0.734) = 1.16
P(obs) = 0.177
d=
Controlar este valor de la potencia observada con GPower.
2 GPower
Entrega la solución descentralizada.
t test
Means
Difference between two independents groups (two groups)
Post hoc,
2 colas, α = 0.05, d = 0.8 y n1 = 5, n2 = 5.
Rediseño
A priori,
Para una potencia de 0.80, entrega un tamaño de muestral de 26 en cada grupo.
Gráficas
En la figura 5-87 y en la figura 5-88 se observan las distribuciones y las curvas de Potencia en función del
tamaño del efecto.
Figura 5-87
153
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Figura 5-88
Problema resuelto 5.16 Toma de apuntes en clase
Resolver el problema resuelto anterior, si los datos se encuentran apareados por una variable de igualación
dada por el coeficiente de inteligencia de cada alumno, CI. Los datos son ahora los indicados en la figura 5-89.
CI Puntaje A Puntaje B D=A-B
110
10
8
2
100
9
6
3
98
6
6
0
103
6
2
4
101
5
6
-1
Figura 5-89
IC
Obtener el IC de la diferencia entre las medias de ambos grupos, para un nivel de significación del 95%.
PH
Probar la aseveración de que existe influencia en la toma de apuntes con α = 5%. Interrelacionar gráficamente
el IC con la PH.
SPSS
Resolver con el SPSS.
Verificación: potencia retrospectiva
Analizar la potencia versus el tamaño del efecto de la prueba y si corresponde a un caso no concluyente,
calcular el tamaño de la muestra necesario para resolverlo.
Paso 1 Problema
Comparar grupos:
θ = Δμ .
Paso 2 Modelo
Distribuciones normal y t de Student.
Se incluyen luego dentro de IC y PH.
154
Jorge Carlos Carrá
III Análisis de dos variables: Comparación entre grupos
Problema a: comparación de medias de variables cuantitativas contínuas
Paso 3 Diseño
Tamaño de la muestra: 5
Paso 4 Análisis
IC
Modelado
Distribución muestral de θˆ = ΔX
Calculamos previamente la diferencia entre los valores de las variables, como se muestra en la figura 5-89
(corroborar además que se obtiene el mismo valor con la expresión de cálculo a partir de las variables A y B
originales):
D = X1 − X 2
D = 1.6
s = 2.073
s2
= 0.927
sˆD = Vˆ ( D) =
n
Aplicamos a esta nueva variable el análisis de estimación de una variable, por medio de la siguiente ecuación:
Δμ = D ± tα /2σˆ D
Inferencia
IDF .T (0.975, 4) = 2.78
B = 2.78(0.927) = 2.578
⇒ Δμ = 1.6 ± 2.578
⇒ IC (Δμ ) = −0.974 a 4.174
Decisión
El valor Δμ = 0 es posible pues 0 pertenece al IC. Existe un 95% de probabilidad o confianza de que el IC
contenga a θ = 0.
PH
H 0 : Δμ = 0
H A : Δμ ≠ 0 Aseveración
Modelado
Distribución muestral de
Ídem IC.
θˆ = Δx
Inferencia
1 Comparando el eje t
D − Δμ
1.6 − 0
= 1.725
σD
0.927
tc = t0.025 (4) = 2.78
⇒ | tm |<| tc |⇒ No se rechaza H 0
tm =
Comparando el eje
=
Δx
155
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Dm = 1.60
B = tα /2σˆ D = 2.78(0.927) = 2.58
Dc = Δμ + B = 0 + 2.58 = 2.58
⇒ Dm < Dc ⇒ No se Rechaza H0
2 Comparando las áreas
α = 0.05
CDF .T (1.725, 4) = 0.92
⇒ colasup = 1 − 0.92 = 0.08
⇒ p = 2 P(t > tm ) = 2 ∗ 0.08 = 0.16
⇒ p > α ⇒ No se rechaza H 0
Decisión
La diferencia entre el valor muestral obtenido (1.6) y el valor de la hipótesis (0), no es significativa al nivel α =
5%. (t(4) = 1.725, p = 0.16). Por lo tanto no existe evidencia suficiente para sustentar que las medias
poblacionales de los grupos A: toma apuntes y B: no toma apuntes, sean distintas, a este nivel de significación.
Interrelación gráfica del IC con la PH
Figura 5-90
Como la PH no rechazó la H0: Δμ = 0, entonces el IC obtenido debe comprender a este valor (lo cual sucederá
95% de las veces).
SPSS
Procedimiento en la página 143.
Se debe n colocar los datos de ambos grupos en dos columnas (PR5_7A y PR5-7B en la tabla siguiente). Los
resultados de la prueba de Paired-Sample T Test, son
Figura 5-91
Figura 5-92
Paso 5 Verificación: potencia retrospectiva
El resultado es no significativo por lo cual calculamos P para un dZ alto (0.80).
156
Jorge Carlos Carrá
III Análisis de dos variables: Comparación entre grupos
Problema a: comparación de medias de variables cuantitativas contínuas
Observemos además que:
tm 1.725
=
= 0.77
n
5
t
2.78
dc = α =
= 1.24
n
5
dm =
Estos valores nos indican que el resultado no es significativo (dm < dc) y que los tamaños del efecto
poblacionales grandes (0.80), tendrán una potencia inferior a 50% (correspondiente a dC).
1 SPSS
Para determinar cuáles son los valores de t que producen colas de α/2 en ambos extremos, usamos la función
Inverse DF.
IDF .T (0.025, 4) = −2.78
tα i = −2.78
IDF .T (0.975, 4) = 2.78
tα s = 2.78
Solución centralizada
Asignemos ahora un tamaño del efecto dZ = 0.80 y calculemos la potencia.
tβ = tα − nc
nc = nd = 5(0.8) = 1.78
Por lo tanto:
tβ s = 2.78 − 1.78 = 1
tβi = −2.78 − 1.78 = −4.56
1 − CDF .T (1, 4) = 0.186
CDF .T (−4.56, 4) = 0.005
En definitiva (ver la figura siguiente de GPower), la potencia será:
P = 0.186 + 0.005 = 0.191
Solución descentralizada
La implementación con el SPSS de esta solución, es la siguiente:
NCDF .T (−2.78, 4,1.78) = 0.0003
1 − NCDF .T (2.78, 4,178) = 0.28
Por lo tanto:
P = 0 + 0.28 = 0.28
La diferencia entre ambas soluciones se reduce a medida que aumenta n. Por ejemplo para n = 11, la potencia
con la solución no centralizada es 0.660, en tanto que con la no centralizada es: 0.667.
Se advierte con esta solución un hecho ya comentado en la página 141. Si comparamos la potencia de la
solución con apareamiento (0.28), con la solución sin apareamiento (grupos independientes), obtenida en el
problema resuelto anterior (0.20), se observa que el apareamiento y la correlación entre los grupos, aumenta la
potencia, en tanto este efecto no se vea neutralizado con la pérdida de grados de libertad.
El estudio prácticamente no tiene potencia para detectar tamaños del efecto altos. Existe el riesgo de un efecto
no detectado que sea lo suficientemente grande para ser útil, por lo cual el estudio es no concluyente.
Rediseño
Se debe rediseñar el estudio inferencial partiendo de la potencia P => n:
157
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
d = 0.80
tα = 2.78
tβ = IDF .T (0.20, 4) = −0.94
Se obtiene:
2
2
⎛ t − t ⎞ ⎛ 2.78 + 0.94 ⎞
n=⎜ α β ⎟ =⎜
⎟ = 22
0.80
⎝ d ⎠ ⎝
⎠
Con este valor de n (el cual => ν = 21), repetimos el cálculo:
tα = IDF .T (0.975, 21) = 2.08
tβ = IDF .T (0.20, 21) = −0.86
2
2
⎛ t − t ⎞ ⎛ 2.08 + 0.86 ⎞
n=⎜ α β ⎟ =⎜
⎟ = 14
0.80
⎝ d ⎠ ⎝
⎠
Con este valor de n (el cual => ν = 13), repetimos el cálculo:
tα = IDF .T (0.975,13) = 2.16
tβ = IDF .T (0.20,13) = −0.87
2
2
⎛ t − t ⎞ ⎛ 2.16 + 0.87 ⎞
n=⎜ α β ⎟ =⎜
⎟ = 15
0.80
⎝ d ⎠ ⎝
⎠
Dada la casi convergencia entre el valor de n y el grado de libertad utilizado en el cálculo, finalizamos el
proceso. La conclusión es que debería repetirse el análisis con un tamaño muestral de por lo menos 15 registros
de la cooperadora.
Potencia observada
Utilizar el GLM.
Options > Descriptive statistics, Estimates of effect size, Observed
power.
Tests of Within-Subjects Contrasts
Measure: MEASURE_1
Source
factor1
Error(factor1)
factor1
Linear
Linear
Type III Sum
of Squares
6.400
8.600
df
1
4
Mean Square
6.400
2.150
F
2.977
Sig.
.160
Partial Eta
Squared
.427
Noncent.
Parameter
2.977
Observed
a
Power
.265
a. Computed using alpha = .05
Figura 5-93
En los casos en los que hay solo 2 grupos, el valor de F es el cuadrado del valor de t (la significación es la
misma).
En particular, los valores que se leen en las 2 últimas columnas corresponden a:
1.6 − 0
= 0.772
2.073
nc = nd = 5(0.772) = 1.726
d=
El valor del parámetro de descentralidad de la distribución F (2.977) es el cuadrado del que corresponde a la
distribución t (1.726).
P(obs) = 0.265
2 GPower
Entrega la solución precisa.
t test
Means
158
Jorge Carlos Carrá
III Análisis de dos variables: Comparación entre grupos
Problema a: comparación de medias de variables cuantitativas contínuas
Difference between two dependents means (matched pairs)
Post hoc
2 colas, α = 0.05, d Z= 0.8 y n = 5.
Observar que GPower ofrece con el botón Determine, una prestación para calcular el tamaño del efecto de 2
formas: directamente de las variables x e y, o a través de la variable D. Entrega una P = 0.28.
Rediseño
A priori,
Para una potencia de 0.80, entrega un tamaño de muestral de 15.
Gráficas
En la figura 5-94 y en la figura 5-95 se observan las distribuciones y las curvas de Potencia en función del
tamaño del efecto.
Figura 5-94
Figura 5-95
Caso particular
θ = Δτ θˆ = Δτˆ
159
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Recordemos del caso de una variable que para estudiar los totales poblacionales, solo basta
multiplicar las variables en estudio por N y repetir los pasos anteriores para estas nuevas variables.
Sin embargo, a diferencia del caso de una variable, los resultados de la inferencia de Δμ, son
distintos a los de Δτ, a menos que: N1 = N2. Solo en este caso particular, los resultados de los IC
surgen de los de Δμ multiplicándolos por N. Los valores z (o t) de las PH, son los mismos, pues las
N finalmente se cancelan.
Problema resuelto 5.17 Construcción de centro comercial
Una gran tienda multinacional está considerando dos lugares alternativos para construir su centro comercial.
Una consideración importante es conocer si existe una diferencia importante entre los ingresos totales de las
familias de estas dos comunidades. Los datos del último relevamiento se muestran en la figura 5-96.
x
s
n
N
A 2500 125 30 4000
B 1980 99 40 5200
Figura 5-96
IC
Obtener el IC de la diferencia entre las totales poblacionales de ambos grupos, para un nivel de significación
del 95%.
PH
Probar la aseveración de que existe diferencia en los totales con α = 5%.
SPSS
Resolver con el SPSS.
Verificación: potencia retrospectiva
Analizar la potencia versus el tamaño del efecto de la prueba y si corresponde a un caso no concluyente,
calcular el tamaño de la muestra necesario para resolverlo.
Paso 1 Problema
Comparar grupos:
θ = Δτ .
Paso 2 Modelo
Distribuciones normal. y t de Student .
Se incluyen luego dentro de IC y PH.
Paso 3 Diseño
Tamaño de la muestra: n1 = 30, n2 = 40.
Paso 4 Análisis
IC
Modelado
Distribución muestral de θˆ = Δτˆ
Como no se dan los valores crudos que originan los estadísticos de la tabla, solo puede realizarse un análisis
suponiendo que las muestras son independientes. Como además, ambos tamaños muestrales son mayores que
30, se verifica el TCL.
τˆ1 = N1 x1 = 4000(2500) = 10000000
160
Jorge Carlos Carrá
III Análisis de dos variables: Comparación entre grupos
Problema a: comparación de medias de variables cuantitativas contínuas
τˆ2 = N 2 x2 = 5200(1980) = 10296000
στ2ˆ = N12
1
σ τ2ˆ = N 22
1
s12
= 8.33 ∗109
n1
s22
= 6.625 ∗109
n2
Inferencia
σ Δτˆ =
σ τ2ˆ
1
n1
+
σ τ2ˆ
2
n2
= 14.955 ∗109 = 122290
Δτ = Δτˆ ± zα /2σ Δτˆ
B = 1.99(122290) = 243357
Δτ = −296000 ± 243357
IC (Δτ ) = −539357 a − 52643
Nota
En lugar del valor z = 1.96 para una cola del 2.5%, se tomó el valor de t =1.99 con 68 grados de libertad, para
comparar luego con la solución del SPSS.
Decisión
El valor 0 no está comprendido en el IC, por lo cual la diferencia entre ambos totales es significativa al nivel
c = 95%.
PH
H 0 : Δτ = 0
H A : Δτ ≠ 0 Aseveración
Modelado
Distribución muestral de
Ídem IC.
θˆ = Δτˆ
Inferencia
1 Comparando el eje z
2 Comparando las áreas
zc = z.025 = 1.96
Δτˆ − Δτ 296000 − 0
=
= 2.42
zm =
σ Δτˆ
122290
| zm |>| zc |⇒ Se rechaza H 0
α = 0.05
p = 2(1 − CDF .T (2.42,68)) = 0.018
p < α ⇒ Se rechaza H 0
Decisión
La diferencia entre el valor muestral obtenido (296000) y el valor de la hipótesis (0), es significativa al nivel
α = 5% (z = 2.42, p = 0.018). Por lo tanto existe evidencia suficiente para sustentar que los ingresos totales de
las familias de las dos comunidades son distintos. La empresa debería elegir la comunidad B.
161
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
SPSS
Procedimiento en la página 143.
La variable se generó en forma artificial con la técnica explicada en la página 88 de la sección dedicada al
problema de la media poblacional (una variable) y se encuentra en el archivo PR5_16.sav de la base de
datos.
Independent Samples Test
t-test for Equality of Means
95% Confidence Interval of the
Difference
Std. Error
t
df
Sig. (2-tailed)
Mean Difference
Difference
Lower
Upper
-2.410
68
.019
-2.96000E5
1.22824E5
-5.41092E5
-50907.79886
-2.420
63.566
.018
-2.96000E5
1.22306E5
-5.40367E5
-51633.16140
Figura 5-97
Paso 5 Verificación: potencia retrospectiva
El resultado es significativo por lo cual calculamos P para un d bajo (0.20).
Observemos además que:
dm =
tm
2.42
=
= 0.58
nE
17.14
dc =
tα
1.96
=
= 0.47
nE
17.14
Estos valores nos indican que el resultado es significativo (dm > dc) y que los tamaños del efecto poblacionales
chicos (0.20), tendrán una potencia inferior al 50% (correspondiente a dC).
1 SPSS
Cálculo de los valores de t que producen colas de α/2 en ambos extremos.
t I = IDF .T (0.025,68) = −1.99
t S = IDF .T (0.975,68) = 1.99
Solución centralizada
Asignemos ahora un tamaño del efecto de 0.20 y calculemos la potencia.
tβ = tα − nc
nc = nE d
nE =
n1 ∗ n2
= 17.14
n1 + n2
nc = 17.14(0.2) = 0.828
tβ s = 1.99 − 0.828 = 1.162
tβi = −1.99 − 0.828 = −2.818
1 − CDF .T (1.162,68) = 0.003
CDF .T (−2.818,68) = 0.125
162
Jorge Carlos Carrá
III Análisis de dos variables: Comparación entre grupos
Problema a: comparación de medias de variables cuantitativas contínuas
En definitiva (ver la figura siguiente), la potencia será:
P = 0.125 + 0.003 = 0.128
Solución descentralizada
NCDF .T (−1.99,68,0.828) = 0.02
1 − NCDF .T (1.99,68,0.828) = 0.127
Por lo tanto:
P = 0.002 + 0.127 = 0.129
La baja potencia o sensibilidad de la prueba para un tamaño del efecto chico, indica que los efectos
significativos detectados son superiores a este valor bajo. Es probable entonces que si este efecto chico
existiera en la población, probablemente no sería detectado en el estudio, por lo cual el estudio es concluyente.
2 GPower
Entrega la solución precisa.
t test
Means
Difference between two independents groups (two groups)
Post hoc,
2 colas, α = 0.05, d = 0.2 y n1 = 30, n2 = 40.
Entrega una P = 0.127.
Gráficas
En la figura 5-98 y en la figura 5-99 se observan las distribuciones y las curvas de Potencia en función del
tamaño del efecto.
Figura 5-98
163
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Figura 5-99
Problema b: comparación de
proporciones de variables cuantitativas
discretas
Diferencia de proporciones θ = Δp
Modelado
Dos muestras independientes
Hemos visto en este capítulo que el problema θˆ = p̂ , se puede resolver con una distribución
binomial, una t de Student o una Chi-cuadrado. Sin embargo, en el presente problema, la distribución
binomial no es adecuada pues si bien se tienen dos distribuciones binomiales e independientes, la
distribución de θˆ = Δp̂ no es binomial.
El formato con el cual se presentan los datos, se muestra en la figura 5-100, tabla de la izquierda. Se
tienen 2 variables cuantitativas discretas, en principio dicotómicas. Una que define el concepto a
estudiar, x, con niveles que llamaremos E y F y la otra que llamaremos y, que define los 2 grupos,
con niveles 1 y 2.
164
Jorge Carlos Carrá
III Análisis de dos variables: Comparación entre grupos
Problema b: comparación de proporciones de variables cuantitativas discretas
x y
E 1
F 2
E 2
E 1
F 1
… …
F 2
E 1
E 1
F 1
F 2
x y
E 1
E 1
… …
F 1
F 1
… …
E 2
E 2
… …
F 2
F 2
Figura 5-100
Visto como un diseño de tabla de contingencias (capítulo 3, página DiseñosTC3), se obtiene la tabla
de la figura 5-101. El problema a estudiar es la comparación de las proporciones condicionales pE|1 y
pE|2 pertenecientes a distribuciones binomiales separadas e independientes con totales marginales de
Y fijos (lo cual equivale también a comparar pF|1 con pF|2). Esta selección se muestra en la tabla de la
derecha de la figura anterior, ordenando la tabla de la izquierda, primero por x y luego por y. Un
ejemplo podría ser comparar las proporciones de Varones (E) con estudios primarios (1) y la de
Varones (E) con ausencia de estudios primarios (2).
x
T
E F
1
2
y
T
Figura 5-101
La prueba de hipótesis:
H 0 : pE|1 = pE|2
se llama homogeneidad de proporciones (capítulo 1, página homogeneidad1) entre las dos
distribuciones binomiales y1 e y2, separadas e independientes.
Se hace notar que suele simplificarse la notación, llamando:
p1 = pE|1
p2 = pE|2
Utilizaremos cualquiera de ellas a menos que exista confusión con la simbología de las
probabilidades marginales de fila: p1 y p2. Observar además que la diferencia de proporciones se
corresponde con la medida Diferencia de Riesgos (RD) presentada en el capítulo 1, página
Razones1. Si bien p1 y p2 son las medidas primarias en un muestreo, al realizar cálculos de diseño y
por lo tanto de tamaño del efecto, suelen ser más útiles las medidas: RD (diferencia), RR (cociente) u
OR (cociente de posibilidades). Cualquiera de estos 3 valores puede reemplazar a una de las
proporciones, pues la proporción restante podrá siempre calcularse con la medida suministrada
(compruebe el lector esta aseveración).
Supuestos
1. Independencia
Las distribuciones poblacionales y1, y2 no deben estar relacionadas ni apareadas. El formato de
165
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
la figura 5-100, con las muestras de las poblaciones 1 y 2 en una sola columna, es el adecuado
pues no existe apareamiento. No podrían aplicarse las técnicas de esta sección si las poblaciones
1 y 2 estuvieran en 2 columnas distintas (con niveles de E y F en cada una), pues este formato
implica un apareamiento por casos, dado que cada caso tiene resultados en la población 1 y en la
2. Este caso se estudiará luego.
1 Normal (asintótica)
Para cada muestra se deben cumplir las condiciones de aproximación de una binomial a una normal.
E ( pˆ1 ± pˆ 2 ) = p1 ± p2
V ( pˆ1 ± pˆ 2 ) = V ( pˆ1 ) + V ( pˆ 2 )
Si bien en los problemas que se resuelvan con la normal, no es necesaria la confección de una tabla
de contingencias, se recomienda hacerla para interpretar más integralmente los datos. Además
prepara el terreno para la resolución con la distribución chi–cuadrado.
A modo de ejemplo, construir la tabla de contingencias adecuada a un problema con la consigna:
"Una muestra de 100 hogares de una comunidad 1, indica que 70 se encuentran mirando un
determinado programa de TV. En la comunidad 2, 50 de 120 hogares, estaba mirando el programa".
Si llamamos M al evento "Mirar el programa", resulta la siguiente tabla de contingencias preliminar:
x
T
M M'
100
1 70
y
120
2 50
T
Figura 5-102
Análisis por IC
En el caso de una estimación por IC en la que no se conoce el valor poblacional, se suele adoptar el
criterio de que cada n debe ser mayor que 100, aunque es admisible aceptar un valor de n menor si
las proporciones pE|1 y pE|2 son cercanas a 0.5 (página 54).
La siguiente es la ecuación pivote.
z=
Δpˆ − Δp
σ Δpˆ
Si las poblaciones son independientes:
σ Δpˆ =
p1q1 p2 q2
+
n1
n2
Despejando Δp, se obtiene la ecuación de IC:
Δp = Δpˆ ± B
B = zα /2σˆ Δpˆ
Al igual que el análisis de θˆ = p̂ se presenta un hecho particular que consiste en que el error
estándar depende del valor de la proporción muestral que se desea estimar. Esta situación exige
pensar cuál es el valor más adecuado para su cálculo: o bien se adoptan las proporciones muestrales
p̂ o bien se puede adoptar el valor más desfavorable: p = 0.5 (para el cual resulta el valor máximo
del producto pq).
166
Jorge Carlos Carrá
III Análisis de dos variables: Comparación entre grupos
Problema b: comparación de proporciones de variables cuantitativas discretas
Análisis por PH
Si se está probando la hipótesis de homogeneidad de proporciones, en consonancia con esta
homogeneidad, se demuestra que el valor a utilizar para las proporciones de éxitos E, debe ser un
valor combinado o ponderado. En el caso de las proporciones se debe ponderar con los tamaños
muestrales en lugar de hacerlo con los grados de libertad que se utilizan en la varianza combinada
del problema de diferencia de medias (página 139):
pC =
n1 pˆ1 + n2 pˆ 2
n1 + n2
qC =
n1qˆ1 + n2 qˆ2
n1 + n2
Sin embargo esta prueba no se encuentra disponible en el SPSS. Si bien, al igual que una prueba
θˆ = p̂ (página 104), puede correrse una prueba de comparación de medias, recodificando
previamente a la variable x con 1 en el nivel deseado (por ejemplo E) y 0 en el restante, esta prueba
no utiliza el valor ponderado, por lo cual no es fiable. Queda entonces solo la prueba chi-cuadrado
que se verá en el punto 3, la cual además, es válida para variables multicotómicas.
Bilateral
H 0 : pE|1 = pE|2
H A : pE|1 ≠ pE|2
Unilateral
H 0 : pE|1 ≥ pE|2
H A : pE|1 < pE|2
o
H 0 : pE|1 ≤ pE|2
H A : pE|1 > pE|2
Nota
El esquema anterior no cambia si la hipótesis a probar fuera una diferencia constante c distinta de 0. Por
ejemplo, para una prueba bilateral, el planteo será:
H 0 : Δp = c
H A : Δp ≠ c
En este caso el estadístico de prueba será, si resulta válida la aproximación normal:
z=
Δpˆ − Δp
σ Δpˆ
=
Δpˆ − c
σ Δpˆ
pero en este caso la desviación estándar deberá utilizar los valores de las proporciones sin combinar:
σ Δpˆ =
pˆ1qˆ1 pˆ 2 qˆ2
+
n1
n2
En el IC deberá analizarse si comprende o no al valor Δp = c.
2 Normal con transformación arcsen (asintótica)
En forma análoga al caso de una muestra de proporciones (página 101) la transformación de cada
variable p̂ con la ecuación:
j = 2arcsen pˆ
167
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Figura 5-103
presenta la propiedad de que cada distribución de j es aproximadamente normal y tiene una varianza
que no depende de los valores individuales de p.
Sus parámetros son:
E ( Δj ) = j1 − j2
V ( Δj ) =
1 1 2
+ =
n n n
El proceso de análisis continúa como de costumbre.
3 Chi-cuadrado (asintótica)
En forma análoga a la situación vista en el análisis de proporciones de una muestra, página 101, en
las proporciones de dos muestras se puede utilizar en forma equivalente la técnica no paramétrica
chi-cuadrado.
La prueba de homogeneidad entre todos los niveles de y (o de x), es equivalente a la de
independencia entre las variables x e y (capítulo 1, página homogeneidad1). Para demostrarlo
observemos que la hipótesis establece la igualdad de los perfiles fila. Si recordamos del capítulo 1
que cuando esto sucede, las 2 variables son independientes, queda establecida la vinculación.
Veamos una demostración más formal.
Si los perfiles fila son iguales, también lo son con la distribución marginal fila. Eso puede verse
partiendo de:
n1E n2 E
=
n1
n2
Aplicando la propiedad de las proporciones que establece que la igualdad de 2 proporciones es
también igual a la proporción de las sumas de los numeradores y denominadores, se obtiene la
siguiente relación:
n1E n2 E n1E + n2 E nE
=
=
=
n1
n2
n1 + n2
n
Esta relación es la conocida relación de independencia entre x e y:
n1E =
nE n1
n
Totales
Las relaciones de independencia de variables, planteadas para las celdas 1E y 2E, son:
n1E =
n1nE
n
n2 E =
n2 nE
n
Estas relaciones pueden expresarse también:
n1E =
nE
n1 = pE n1
n
n2 E =
nE
n2 = pE n2
n
Es decir: los valores totales de cada celda pueden obtenerse multiplicando una probabilidad marginal
pE y el valor total del otro marginal. Si la hipótesis de homogeneidad es verdad, se espera que la
mejor estima de ese porcentaje común sea el valor marginal pE.
168
Jorge Carlos Carrá
III Análisis de dos variables: Comparación entre grupos
Problema b: comparación de proporciones de variables cuantitativas discretas
Probabilidad conjunta
Observar que la proporción marginal puede expresarse como:
pE =
n1E + n2 E pˆ E |1n1 + pˆ E|2 n2
=
= pC
n1 + n2
n1 + n2
De esta forma, si H0 es verdad, se espera que la mejor estima de las proporciones de éxitos E, sea un
valor ponderado o combinado de las proporciones de la muestra. Como ya establecimos, este
resultado es una consecuencia comprensible ya que si hay una distribución común, la mejor
estimación debe ser la que surge del porcentaje conjunto de ambos grupos.
Estas dos pruebas tienen una diferencia en cuanto a los datos predeterminados. La de homogeneidad
parte del conocimiento de uno de los totales marginales de la tabla de contingencias, diseño
equivalente a k distribuciones binomiales independientes (capítulo 3, página DiseñosTC3). En
cambio en la de independencia, el único elemento predeterminado es el total general y en este
sentido equivale a un diseño multinomial con r×c categorías. De todas formas no necesitamos
preocuparnos por el tipo de diseño pues ambos se analizan en forma asintótica (para grandes
muestras) en forma similar con una chi-cuadrado.
Recordemos además que la independencia entre variables es una propiedad simétrica, por lo tanto
comparar E|1 con E|2, resulta equivalente a comparar cualquiera de las otras combinaciones de cada
nivel de x con y, o viceversa.
Análisis por PH
Dado que este procedimiento carece de una ecuación pivote, solo podrá aplicarse al método de
prueba de hipótesis.
Recordemos (capítulo 1), que la prueba de independencia se realiza con el valor chi-cuadrado de la
bondad del ajuste, definido por:
χ2 = ∑
(no − ne )2
ne
La PH establece que (ver también página 101):
H 0 : Buen Ajuste χ 2 = 0
H A : Mal Ajuste χ 2 > 0
( χ 2 = 0 es equivalente en este caso a independencia).
Se puede demostrar (Pearson) que si tomáramos todas las muestras (tablas de contingencias) de una
población con las mismas probabilidades marginales y calculamos el χ2 de cada una de esas tablas
respecto de la condición de independencia, entonces, la distribución de esos chi-cuadrados sigue una
distribución χ2 con grados de libertad dados por:
ν = (r − 1)(c − 1)
siendo r = número de filas y c = número de columnas (demostrado por Karl Pearson).
Esta relación encuentra su lógica en la figura 5-104. Sea una tabla de contingencias con r = 4 filas y
c = 3 columnas. Si se conocen los valores de los totales marginales, de las rc = 3* 4 = 12 posibles
celdas a llenar, solo 6 son libres, pues las restantes salen por diferencia con los totales.
Una de ellas, digamos la indicada con c se obtiene por diferencia con el total general.
Otras r − 1 = 3 , digamos las indicadas con a, por diferencia con los marginales de fila.
Finalmente otras c − 1 = 2 , digamos las indicadas con b, por diferencia con los marginales de
columna. Por lo tanto:
ν = rc − 1 − (r − 1) − (c − 1) = (r − 1)(c − 1)
169
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
1
A
B
y
C
D b
T
x
2
b
3
a
a
a
c
T
Figura 5-104
Recordemos finalmente que una prueba de χ 2 = 0 (bondad del ajuste) solo puede tener como
alternativa χ2 > 0 y por lo tanto una prueba la bondad del ajuste será siempre unilateral de cola
superior.
Pruebas equivalentes
Para una tabla de 2×2, la prueba χ2 (1) conduce a iguales conclusiones que las que se obtendrían con
una prueba z, en tanto se utilice el valor ponderado. Esto es así pues la distribución χ2 (1) es
equivalente al cuadrado de la distribución z:
P (| z |> zα / 2 ) = P ( z 2 > z 2α /2 ) = P ( χ 2 (1) > χα 2 (1))
Demostración
Si en la tabla de contingencias 2 x 2se llaman a, b a las frecuencias de la primera fila y c, d a las de
la segunda fila, se obtiene:
χ2 =
(a + b + c + d )(ad − bc) 2
(a + b)(c + d )(b + d )(a + c)
Es decir:
χ2 =
n(ad − bc)2
∏ m arg inales
Por otra parte, el lector puede demostrar que este valor es exactamente el que se obtiene elevando al
cuadrado el valor de z dado por:
z=
Δpˆ − 0
pc qc pc qc
+
n1
n2
Supuestos
Esta prueba es relativamente libre de supuestos, pero como se basa en propiedades asintóticas es solo
válida para grandes muestras. Una regla empírica utilizada es que el 100% de las celdas esperadas
tengan una frecuencia absoluta mayor que 1 y que al menos el 80% de estas celdas esperadas tengan
una frecuencia absoluta mayor o igual a 5. Si estas condiciones no se cumplen, se pueden agrupar
celdas recodificando adecuadamente o utilizar la prueba exacta de Fisher delaparatado siguiente.
Notas
La equivalencia de la homogeneidad con la independencia, permite extender las siguientes conclusiones de
la independencia.
• En la exposición se analizó x para cada nivel de y, pero podría haberse analizado y para cada valor de
x, en forma totalmente equivalente.
170
Jorge Carlos Carrá
III Análisis de dos variables: Comparación entre grupos
Problema b: comparación de proporciones de variables cuantitativas discretas
•
•
Como ya se ha comentado para la bondad del juste, puede estructurarse el concepto de independencia
dentro de las variables categóricas (como en el capítulo 1) o dentro de las variables cuantitativas
discretas como en este capítulo.
No deben usarse las barras de error para la comparación visual y preliminar de proporciones pues no
solo el traslape de las barras de error de los IC individuales implica sumar o restar desviaciones
estándar (y en un IC de la diferencia, se suman varianzas), sino que, además, sabemos que existen
diferencias entre los errores estándar utilizados en los IC y en la PH de proporciones.
Variables multicotómicas
Se desprende de la demostración anterior, que ambas variables pueden ser en general multicotómicas
con k niveles, no estando limitadas en el número de niveles que contenga cada una (las variables
dicotómicas x e y solo sirvieron para simplificar la demostración). En este caso la hipótesis de
homogeneidad a probar será una generalización de la anterior para 2 variables:
H 0 : p1 = p2 = ... = pk
4 Prueba exacta de Fisher (condicional)
Dado que en el caso de comparación de proporciones no se cuenta con una distribución teórica
exacta, se incluye este apartado una prueba exacta (pues el valor de significación p no depende del
tamaño de la muestra). Como norma general, no es aconsejable informar un valor de p asintótico sin
haber chequeado previamente su precisión con un valor p exacto u obtenido por muestreo aleatorio
(página 314).
Esta prueba desarrollada por Fisher dio origen a los llamados test de permutación o test exactos
que se comentarán en la página 314.
El procedimiento ya fue comentado en el capítulo 3 al interpretar la distribución hipergeométrica
como una tabla de contingencias con marginales constantes, página FisherExact3. Para obtener el
valor p exacto se consideran todas las posibles frecuencias en las 4 celdas que originen resultados
más extremos que el observado y luego se suman estas probabilidades.
Esta prueba se realiza bajo la condicionalidad de mantener constantes los valores marginales y bajo
la hipótesis de homogeneidad (o independencia). Esta última condición refleja la circunstancia
observada en el capítulo 3 de que la media de la distribución hipergeométrica es justamente la tabla
en la que se manifiesta la condición de independencia entre las variables.
El resultado de esta prueba se puede apreciar en las tablas 2×2 que entrega el SPSS (ver problema
resuelto), aunque no está restringido a variables dicotómicas.
La dama inglesa
En el capítulo 3, página damaBristol3, se presentó este problema histórico en el cual una dama (la
bióloga Muriel Bristol), aseguraba que era capaz de detectar si en una taza de té con leche se había
colocado primero la leche o primero el té. Fisher propuso una prueba con 8 tazas de té con leche. En
4 de ellas se había colocado primero la leche y en las 4 restantes, primero el té. Esta información fue
provista a la dama pero el orden en el que se le presentaron las tazas fue aleatorio.
Quedaba por establecer si el resultado de la prueba se debe a la habilidad de la dama o al producto
del azar. Por conveniencia en las figuras siguientes se repite la tabla de contingencias y la
distribución de probabilidades. Recordemos que consideramos a la fila de totales como una "urna"
con 8 esferas, de las cuales en 4 la dama dice que se colocó primero el te y en 4 dice que se colocó
primero la leche. Se extraen simultáneamente 4 "esferas", de las cuales en 3 la dama dice te y en
1 dice leche. Se trata entonces de una distribución hipergeométrica definida por:
h(3,8, 4, 4)
171
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Dama dice
te leche Total
realidad
3
te
leche 1
Total 4
1
3
4
4
4
8
Figura 5-105
Figura 5-106
Las hipótesis son:
H 0 : la dama no tiene la habilidad (independencia)
H1 : la dama tiene la habilidad
La prueba que interesa es de 1 cola y por lo tanto el valor p será (ver la distribución
pdf .hiper ( y,8, 4, 4) en la figura 5-106):
p = 0.229 + 0.014 = 0.243
Por lo tanto, para un α = 0.05 no existe evidencia suficiente para rechazar la H0 y aceptar que la
dama tiene razón, a pesar que acertó 6 veces de las 8 (ver tabla de contingencias). Puede apreciarse
además que con un α ≤ 0.014 , la hipótesis de independencia no se rechazaría nunca. Esto es debido
al aspecto conservador de una prueba con distribución discreta (página 99), especialmente cuando
tiene pocos valores como en este ejemplo.
SPSS
Naturalmente la prueba puede obtenerse en forma automática con el SPSS y para un número de filas
y columnas mayor de 2×2. Luego de introducir la tabla de contingencias anterior: Analyze >
Descriptive Statistics > Crosstabs > Statistics > Chi-square.
Presionar además el botón Exact > Exact.
Se obtiene la siguiente tabla, con el valor p = 0.243. Observar la diferencia con el valor p asintótico
obtenido con la distribución chi-cuadrado:
0.157
= 0.0785 . Eso es debido a que no se cumple el
2
supuesto para la utilización de esta distribución de que las celdas tengan un valor mayor que 5
172
Jorge Carlos Carrá
III Análisis de dos variables: Comparación entre grupos
Problema b: comparación de proporciones de variables cuantitativas discretas
(advertencia inidicada con a. al pie de la tabla).
El valor llamado Point Probability es la probabilidad puntual correspondiente al valor de la
muestra, en este ejemplo h(3,10, 4, 4) = 0.229 . Dado el carácter conservativo de la prueba, algunos
estadísticos proponen sustraer la mitad de este número al valor p y lo llaman valor p medio (mid p
value).
Figura 5-107
Dos muestras apareadas
Se llama también prueba de McNemar. A cada caso se le aplican 2 tratamientos x e y y se desea
probar si existe diferencia entre antes y después.
El formato con el cual se presentan los datos, se muestra en la figura 5-108a. Se tienen 2 variables
cuantitativas discretas dicotómicas, que llamamos x1 y x2 como si fueran 2 tratamientos distintos
aplicados al mismo caso. Ambas variables tienen los mismos niveles 1 y 2. En la figura 5-108b se
presentan los datos en el formato de una tabla de contingencias 2×2 (donde, por simplicidad en la
notación de los totales de cada celda, hemos llamado 1 al F y 2 a E).
x1 x2
E E
F E
E F
E F
F F
… …
F E
E E
E F
F F
F E
x1
F
E
F n11 n12
E n21 n22
x2
T
T
n
b
a
Figura 5-108
Los casos comprendidos en las celdas 11 y 22 no varían antes y después por lo tanto no aportan nada
a la evidencia. Por consiguiente, este test se centra en la comparación de los valores de las celdas 12
y 21.
173
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Supuestos
•
•
Ambas variables deben ser dicotómicas con los mismos niveles.
n12 + n21 ≥ 10
Definiciones
•
Proporciones
n12
n
n
p21 = 21
n
p12 =
•
Número de pares discordantes:
nD = n12 + n21
•
Probabilidad de pares discordantes:
pD = p12 + p21 =
•
nD
n
Diferencia de pares discordantes:
Δ D = n12 − n21
•
Cociente de pares discordantes o Razón de Chances OR (Odd Ratio):
OR =
n12 p12
=
n21 p21
Observar que conocer p12 y p21 es equivalente a conocer la suma pD y el cociente OR.
1 Binomial (exacta)
Nos interesa en particular el espacio muestral reducido de los pares discordantes, es decir la
probabilidad condicional de 12|D (o 21|D) con un tamaño muestral fijo nD.
Esto es equivalente a analizar la variable:
pˆ = p12|D =
n12 p12
OR
.
=
=
nD pD 1 + OR
La distribución de esta variable es una binomial (condicional a que nD sea constante8) B(nD, p0) con
p0 = 0.5 , pues dado que la H0 es n12 = n21 , será: p = q = 0.50 .
Análisis por PH
1
H 0 : p = p0 =
2
1
HA : p ≠
2
Observar que esta prueba es equivalente a:
H 0 : n12 = n21
H A : n12 ≠ n21
y también a:
8
El procedimiento exacto consiste en considerar a nD como un resultado P(n = nD) de la binomial no
condicional B(n, pD). La aproximación es adecuada para muestras grandes.
Jorge Carlos Carrá
174
III Análisis de dos variables: Comparación entre grupos
Problema b: comparación de proporciones de variables cuantitativas discretas
H0 : OR = 1
H A : OR ≠ 1
El valor p es la probabilidad de que en n ensayos se presenten valores por lo menos tan extremos
como n12 E (o n21 F).
Valor p = 2( sigbinomial (n12 , nD , 0.50))
siendo sig (significación) la notación para la cola de la distribución.
2 Normal (asintótica)
Análisis por PH
Dado que se conoce p = q = 0.50 puede utilizarse el criterio de aproximación a una distribución
normal dado por nD p ≥ 5 . Si se cumple, entonces:
z=
pˆ =
pˆ − 0.5
σ pˆ
n12
OR
=
nD 1 + OR
σ pˆ =
OR
OR
0.5
=
=
2
(1 + OR ) nD (1 + OR ) nD
nD
Reemplazando y operando, resulta:
n12 − n21
Δ
= D
n12 + n21
nD
z=
3 Chi-cuadrado (asintótica)
Análisis por PH
Si la prueba es de 2 colas, como ν = 1, χα 2 (ν = 1) = z 2α / 2 , se cumple que:
χ 2 >χ 2α ⇒ |z|>z α ⇒ − zα / 2 > z > z α
/2
/2
Por lo tanto, en lugar de la normal puede utilizarse en forma equivalente el siguiente estadístico χ2
que mide la bondad del ajuste (será también una distribución aproximada pues la normal lo es):
(n − n )
χ = 12 21
2
2
n12 + n21
Si se incluye la corrección por continuidad, cpc:
χ2 =
(| n12 − n21 | −1)
2
n12 + n21
La PH es ahora:
H 0 : Buen Ajuste χ 2 = 0
H A : Mal Ajuste χ 2 > 0
La prueba χ2 de la bondad del ajuste solo puede tener como hipótesis alternativa χ2 > 0 (χ2 es
siempre positiva) y por lo tanto es siempre de cola superior. Como el grado de libertad de χ2 es 1,
175
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
esta prueba es además equivalente a una prueba z de 2 colas, por lo cual si la prueba z es unilateral
solo puede utilizarse el estadístico z.
Observar que no es posible un análisis por IC en ningún caso pues no existe una ecuación pivote.
Formatos muestras independientes vs muestras apareadas
Bajo determinadas condiciones, un formato puede convertirse en el otro, pero cada uno corresponde
a 2 tipos de muestras distintas.
El formato de muestras apareadas puede convertirse al de muestras independientes creando una
variable x con niveles x1 y x2, en una sola columna. Luego se creará una variable E/F, encolumnando
apropiadamente estos valores en correspondencia con x1 y x2. Naturalmente, los distintos cruces
deben tener sentido, lo cual no siempre ocurre.
Por su parte, el formato de muestras independientes puede convertirse al de muestras apareadas solo
si los tamaños muestrales de los niveles que se van a aparear son iguales. Naturalmente existe una
gran cantidad de posibilidades de apareamiento, por lo cual ahora no existe una sola alternativa.
Desde el punto de vista de la tabla de contingencias, los valores de las celdas interiores del formato
sin aparear se convierten en los marginales del formato apareado, teniendo la libertad de elegir
entonces los valores de los cruces de esta tabla (ver el siguiente problema resuelto).
De igual forma que para la prueba de diferencia de medias, ambos formatos conducen a resultados
distintos, pues uno supone la independencia entre niveles y el otro un apareamiento entre ellos.
SPSS
Muestras independientes
Chi-cuadrado (no paramétrica)
Analyze > Descriptive Statistics > Crosstabs.
Esta prueba se realiza siempre entre 2 variables. Si fueran por ejemplo 3 o más variables, hemos
visto en el capítulo 1, página crosstabs1, que se podrá realizar la prueba de 2 variables para cada
nivel de las restantes colocando estas variables en layer (capa) o con una segmentación previa del
archivo (con Split File).
Muestras apareadas
McNemar (no paramétrica)
Analyze > Nonparametric Tests > Legacy Dialogs > 2 Related Samples.
Colocar ambas variables dicotómicas en la primera fila. Seleccionar otro par en el caso de que se
desee.
Tildar McNemar (Wilcoxon es una prueba apta para variables ordinales, ver capítulo 7).
También está disponible en el procedimiento Crosstabs, tildando McNemar en Statistics.
Razón de proporciones θ = Rp
Cuando los tamaños muestrales de muestras independientes son grandes, lo cual ocurre en la técnica
Meta-análisis (página 271), se utilizan otras 2 medidas (entre otras), basadas en el cociente o razón
de proporciones: RR y OR.
1 Normal Risk Ratio, RR (asintótica)
Es el cociente de las proporciones.
RR =
176
pˆ1
pˆ 2
Jorge Carlos Carrá
III Análisis de dos variables: Comparación entre grupos
Problema b: comparación de proporciones de variables cuantitativas discretas
Transformación ln
Como RR es una razón, la distribución se normaliza (aproximadamente) con la transformación por el
logaritmo natural.
pˆ1
pˆ 2
qˆ qˆ
qˆ
qˆ
= 1+ 2 = 1 + 2
a b
pˆ1n1 pˆ 2 n2
ln RR = ln
Vln RR
Distribución: aproximadamente normal.
Intervalos de Confianza
Se obtienen como de costumbre pero como el tamaño del efecto está transformado, el resultado final
deberá antitransformarse.
Prueba de hipótesis
Hipótesis nula: homogeneidad de proporciones, lo cual implica RR = 1 y logaritmo 0
Bajo esta hipótesis la varianza debe calcularse con los valores combinados pc y qc. Para calcular el
valor muestral puede utilizarse la expresión de chi-cuadrado vista anteriormente.
2 Normal, Odd Ratio, OR (asintótica)
Si se tratara de una sola población, el tamaño del efecto sería el cociente entre p y q llamado
posibilidades (Odd en inglés):
O=
p
q
Como esta medida no está distribuida normalmente, se la transforma con el logaritmo natural.
Cuando esta tranformación se aplica a un odd, se llama logit.
⎛ p⎞
ln O = ln ⎜ ⎟ = log it (O)
⎝q⎠
En el caso de 2 poblaciones, se define en forma análoga el cociente de posibilidades, OR (Odd
Ratio):
OR =
O1
pˆ / qˆ
pˆ qˆ
ad
= 1 1 = 1 2 =
O2 pˆ 2 / qˆ2 qˆ1 pˆ 2 bc
donde a, b, c y d son los valores (por filas) de las 4 celdas de la tabla de contingencias .
Transformación ln
Como OR es una razón la distribución se normaliza (aproximadamente) con la transformación del
logaritmo natural.
pˆ1qˆ2
ad
= ln
qˆ1 pˆ 2
bc
1 1 1 1
= + + +
a b c d
ln OR = ln
Vln OR
Distribución: aproximadamente normal.
Intervalos de Confianza
Como el tamaño del efecto está transformado, el resultado final deberá antitransformarse.
Prueba de hipótesis
Hipótesis nula: homogeneidad de proporciones, lo cual implica OR = 1 y logaritmo 0.
Bajo esta hipótesis la varianza debe calcularse con los valores combinados pc y qc. Para calcular el
valor muestral puede utilizarse la expresión de chi-cuadrado vista anteriormente.
177
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Tamaño del efecto y ecuación de diseño
En la sección I Diseño, página 63, se establecieron, sin demostración, las expresiones de cálculo de
la potencia y del tamaño de una muestra, para una prueba de proporciones. Ahora podemos ver esas
relaciones.
Dos muestras independientes
1 Normal
Si procedemos como en la deducción de la ecuación de diseño de la media (página 40), la ecuación
de diseño de este caso resulta:
zβ σ Δ = zασ Δ − (Δ1 − Δ 0 )
1
0
Si Δ0 = 0, entonces: Δ1 − Δ 0 = Δ1 = p1 − p2 correspondientes a H1.
Para el sigma de zα se utiliza p1 = p2 = pC y q1 = q2 = qC , en tanto que en el de zβ se utiliza
donde:
p̂ ,
n1 p1 + n2 p2
,
n1 + n2
nq +n q
qC = 1 1 2 2 ,
n1 + n2
pC =
Por lo tanto:
σΔ =
pC qC pC qC
+
,
n1
n2
σΔ =
p1q1 p2 q2
+
n1
n2
0
1
Si no se tienen los valores de H0, todas las expresiones se calculan con los valores de H1.
2 Normal con transformación arcsen
Sabemos que la diferencia de proporciones presenta la dificultad de que la desviación estándar
depende de los valores poblacionales desconocidos. De aquí que un mismo tamaño del efecto
producido por diferentes valores de p, tiene distintas potencias.
En forma similar al caso de una variable, se puede resolver este inconveniente, realizando la
transformación arcsen (página 101) y utilizando el tamaño del efecto h (el tamaño del efecto se
define para Δ 0 = 0 ):
h = j2 − j1
j = 2arcsen p
De esta forma se demuestra que se obtiene una ecuación similar a la ecuación de diseño del
problema de las medias:
z β = zα − nc
con:
nc =
n
h
2
Los valores de tamaño convencionales son:
178
Jorge Carlos Carrá
III Análisis de dos variables: Comparación entre grupos
Problema b: comparación de proporciones de variables cuantitativas discretas
•
•
•
Chico, h = 0.20
Mediano, h = 0.50
Grande, h = 0.80
Utilización de software o tabla de h para una muestra con p = p0
Si se utiliza un software o tabla pensados para Δp para calcular un problema de una muestra, los
valores convencionales dados deben adaptarse. En el caso de una muestra la varianza total es la
mitad y la desviación estándar, la raíz cuadrada de la mitad (Cohen, J. 1988, página 202).
La ecuación de diseño es:
z β = zα − nc
con nc = n h ' .
2 , para eliminar este factor del denominador.
h' = h 2
El valor de h´ surge de multiplicar al valor h por
Deben utilizarse los valores de h que resultan de resolver el sistema de 3 ecuaciones que definen p0,
p1 y h.
Naturalmente, si p0 =0.5, los resultados obtenidos coincidirán con los correspondientes al tamaño del
efecto g (página 105). En este caso, luego de resolver el sistema, se obtienen:
• Chico, h' = 0.14
• Mediano, h' = 0.43
• Grande, h' = 0.74
Esto se puede comprobar con el GPower comparando entre sí los procedimientos:
z tests. Difference between two independent proportions
Exact. Difference from constant (binomial test, one sample case)
3 Chi-cuadrado
Como ya hemos visto, este problema puede expresarse como una tabla de contingencias, para la cual
es válida la prueba de independencia χ2.
En este caso un tamaño del efecto adecuado es el valor poblacional del coeficiente φ muestral
estudiado en el capítulo 1, al que llamaremos w.
χ2
w=
n
=
∑
( fo − fe )2
fe
De aquí que el parámetro de descentralidad resulta:
χ 2 = w2 n = nc
Los valores convencionales de tamaños del efecto propuestos por Cohen, son:
• Chico, w = 0.10
• Mediano, w = 0.30
• Grande, w = 0.50
4 Normal con razones de proporciones
Los tamaños del efecto son las mismas razones, RR y OR. Dado que la distribución aplicable es la
normal, se utiliza la misma ecuación de diseño de medias, adaptándola a estos casos:
zβ σ θˆ = zασ θˆ − (θ1 − θ 0 )
1
0
En ambos casos θ es el logaritmo natural del tamaño delefecto y θ0 = 0 pues la hipótesis de
equivalencia implica que la razón es 1 y entonces el logaritmo es 0.
179
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Dos muestras apareadas
1 Normal
El tamaño del efecto es la razón de chances OR:
OR =
p12
p21
El tamaño del efecto se define para OR0 = 1 ( pˆ 0 = 0.5 ) correspondiente a H0.
La distribución binomial condicional origina la siguiente ecuación de diseño para aproximación
normal:
zα σ pˆ 0 + p0 = z β σ pˆ1 + p1
Donde:
pˆ =
n12
OR
=
nD 1 + OR
σ pˆ =
ˆˆ
pq
OR
=
nD (1 + OR ) nD
Como H0: OR = 1, resulta:
zα
0.5
+ 0.5 = zβ
nD
pˆ1qˆ1
+ pˆ1
nD
2 Chi cuadrado
Si en lugar de una normal, se utiliza chi-cuadrado, es aplicable, como en el caso de muestras
independientes, la siguiente ecuación que toma el lugar de una ecuación de diseño, pero que requiere
el cálculo del valor crítico:
χ 2 = w2 n = nc
(n − n )
χ = 12 21
2
n12 + n21
2
=
n 2 ( p12 − p21 )
2
nD
Con:
nD
n
pD
p12 =
OR + 1
p21 = pD − p12
pD =
Potencia y tamaño de la muestra
Dos muestras independientes y H0: Δ0=0
1 Normal
Las expresiones de cálculo usando las 2 proporciones, son algo más complejas pues las varianzas
dependen de cuál es la hipótesis bajo la cual se utilizan.
H 0 : p1 = p2
•
En este caso se adopta en correspondencia:
180
Jorge Carlos Carrá
III Análisis de dos variables: Comparación entre grupos
Problema b: comparación de proporciones de variables cuantitativas discretas
σΔ =
0
pC qC pC qC
+
n1
n2
Si no se tienen los valores de H0, calcular con los valores de H1.
zα = ( Δpˆ − 0) / σ Δ0
H1 : p1 ≠ p2
•
σΔ =
1
p1q1 p2 q2
+
n1
n2
zβ = (Δpˆ − Δ1 ) / σ Δ1
donde Δ1 = p1 − p2
Si despejamos Δp̂ de las relaciones anteriores, se obtiene la siguiente ecuación de diseño para
proporciones.
zα σ Δ0 = zβ σ Δ1 + Δ1
Potencia, P
Despejando zβ:
zβ = ( zα σ Δ0 − Δ1 ) / σ Δ1
Tamaño de la muestra, n
Si consideramos n1 = n2 se obtiene:
⎛ z 2 pC qC − zβ p1q1 + p2 q2
n=⎜ α
⎜
Δ1
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
2
Reemplazando los valores combinados, resulta:
⎛ z ( p1 + p2 )(q1 + q2 ) / 2 − zβ
n=⎜ α
⎜
Δ1
⎝
Nota
Como
p1q1 + p2 q2 ⎞
⎟
⎟
⎠
2
σ 12 ≠ σ 22 , si n1 ≠ n2 , se debe proceder en forma inversa: Partir de 2 valores tentativos y con ellos
calcular un valor n ponderado con la ecuación siguiente. Luego, con este valor de n y el valor del tamaño
del efecto requerido, calcular la potencia. Si no es la deseada, iterar el proceso.
n=
σ12 + σ 22
σ12 / n1 + σ 22 / n2
2 Normal con transformación arcsen
Potencia, P
De la ecuación de diseño:
z β = zα − nc
con:
181
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
nc =
n
h
2
Tamaño de la muestra, n
Despejando n:
⎛ z − zβ ⎞
n = 2⎜ α
⎟
⎝ h ⎠
2
3 Chi–cuadrado
Potencia, P
Aplicando el método general (página 40), se debe obtener el valor crítico y resolver con la CDF χ2
no centralizada siendo nc = w2 n .
Tamaño de la muestra, n
Se despeja n de la ecuación del parámetro de descentralidad, pero para conocerlo se debe trabajar por
prueba y error: nc => P y luego:
n=
nc
w2
4 Normal con razones de proporciones
Potencia, P
Se despeja z β como de costumbre.
Tamaño de la muestra, n
Dado que n no se encuentra en forma explícita en la ecuación de diseño, se podría trabajar por
prueba y error: n => P, hasta obtener el P deseado.
Dos muestras apareadas
1 Normal
Potencia, P
Se despeja z β de la ecuación de diseño.
Tamaño de la muestra, n
Se despeja nD de la ecuación de diseño:
⎛ z 0.5 − zβ pˆ1qˆ1
nD = ⎜ α
⎜
pˆ1 − 0.5
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
2
Se debe dar la probabilidad de pares discordantes pD para calcular n con: pD =
2 Chi–cuadrado
Ídem muestras independientes.
182
Jorge Carlos Carrá
nD
.
n
III Análisis de dos variables: Comparación entre grupos
Problema b: comparación de proporciones de variables cuantitativas discretas
Problema resuelto 5.18 Tratamiento para dejar de fumar
Se utilizan 2 tratamientos para tratar la adicción a fumar, para lo cual se clasifica a las personas en Fumadores
F y No Fumadores, N. Se desea probar si la proporción de Fumadores luego del tratamiento, T1, es igual a la
de Fumadores luego del tratamiento, T2. Se toma una muestra de 114 personas y resulta la siguiente tabla de
contingencias.
nO
x
F
T1 33
y
T2 21
54
T
T
N
42 75
18 39
60 114
Figura 5-109
El número observado de éxitos en las 2 poblaciones es 33 y 21. El tamaño de cada muestra es 75 y 39 y el
tamaño total del muestreo es 114.
La proporción de éxitos en cada población es:
p1 = pF |1 = 33 / 75 = 0.44 = 0.44 y p2 = pF |2 = 21 / 39 = 0.538 .
IC
Obtener el IC de la diferencia entre las proporciones de ambos grupos, para un nivel de significación del 95%.
PH
Probar la aseveración de que existe diferencia entre la proporción de Fumadores luego de ambos tratamientos,
con α = 5%. Interrelacionar gráficamente el IC con la PH.
SPSS
Resolver con el SPSS.
Verificación: potencia retrospectiva
Analizar la potencia versus el tamaño del efecto de la prueba y si corresponde a un caso no concluyente,
calcular el tamaño de la muestra necesario para resolverlo.
Paso 1 Problema
Comparar grupos:
θ = Δp .
Paso 2 Modelo
Distribuciones normal y chi–cuadrado.
Se incluyen luego dentro de IC y PH.
Paso 3 Diseño
Tamaño de la muestra:
n1 = 75, n2 = 39.
Paso 4 Análisis
IC
Modelado
Distribución muestral de θˆ = Δp̂
Inferencia
Calculemos previamente las proporciones muestrales:
Perfiles fila y columna.
183
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
x|y
x
F
T1 44
y
T2 53.8
47.4
T
T
N
56
100
46.2 100
52.6 100
y|x
F
T1 61.1
y
T2 38.9
100
T
x
T
N
70 65.8
30 34.2
100 100
Figura 5-110
Si bien los valores de n son menores que 100, dado que las pE|1 y pE|2 no son lejanas a 0.5, la distribución
muestral se puede aproximar a una Normal y por lo tanto puede utilizarse esta distribución.
Normal
σˆ Δpˆ =
pˆ1qˆ1 pˆ 2 qˆ2
+
n1
n2
0.44(0.56) 0.538(0.462)
+
= 0.0982
75
39
Δp = Δpˆ ± B
ν = 74 + 38 = 112
B = zα / 2σˆ Δpˆ = 1.96(0.0982) = 0.1924
σˆ Δpˆ =
⇒ Δp = (0.44 − 0.538) ± 0.1924 = −0.098 ± 0.1924
⇒ IC = −0.2904 a 0.944
Decisión
Las diferencias entre los valores contenidos dentro del IC, no son significativas al nivel c = 95%. Como 0
pertenece al IC, no se rechaza que no existe diferencia significativa entre las proporciones de ambos grupos.
PH
H 0 : Δp = 0
H A : Δp ≠ 0 Aseveración
Modelado Normal
Distribución muestral de θˆ = Δp̂
Se debe adoptar el valor ponderado o combinado en lugar de las proporciones muestrales, debido a lo cual los
resultados de IC y de PH no resultan equivalentes.
54
= 0.474
114
pC qC pC qC
=
+
n1
n2
pC =
σˆ Δpˆ
⇒ σˆ Δpˆ =
Inferencia
1 Comparando el eje t
184
0.474(0.526) 0.474(0.526)
+
= 0.0985
75
39
zc = z0.025 = 1.96
Jorge Carlos Carrá
III Análisis de dos variables: Comparación entre grupos
Problema b: comparación de proporciones de variables cuantitativas discretas
zm =
Δpˆ − 0 −0.098 − 0
=
= −0.994
0.0985
σˆ Δpˆ
⇒ | zm |<| zc |⇒ No se rechaza H 0
Comparando el eje
Δp̂
Δpˆ m = −0.098
B = zα / 2σˆ Δpˆ = 1.96(0.0985) = 0.193
Δpˆ c = Δp ± B = 0 ± 0.193 = ±0.193
⇒ | Δpˆ m − Δp |< B ⇒ No se rechaza H 0
2 Comparando las áreas
α = 0.05
p = 2 ∗ CDF .normal (−0.994) = 0.322
⇒ p > α ⇒ No se rechaza H 0
Modelado Chi-cuadrado
H 0 : Buen Ajuste
H A : Mal Ajuste Aseveración
Tabla de valores esperados, en caso de independencia:
nE
x
F
T1 35.5
y
T2 18.5
54
T
T
N
39.5 75
20.5 39
60
114
Figura 5-111
Se cumple el supuesto ne >5 en al menos el 80% de las celdas, por lo cual es posible aplicar la distribución
χ2 con ν = 1.
χ 2 (1) =
(33 − 35.5) 2 2.52 2.52 2.52
+
+
+
= 0.977
35.5
39.5 18.5 20.5
Este valor coincide con la expresión alternativa ya vista para una tabla de 2×2 (las diferencias se deben a los
redondeos):
χ2 =
[33(18) − 42(21)]2114
= 0.998
(75)(39)(54)(60)
Para utilizarlo en el cálculo de la potencia, calculemos el coeficiente φ.
φ=
Inferencia
1 Comparando el eje χ2
χ2
n
= 0.0926
IDF .CHISQ(0.95,1) = 3.84
2
⇒ χ c2 = χ 0.05
(1) = 3.84
χ m2 = 0.977
⇒ χ m2 < χ c2 ⇒ No se rechaza H 0
2 Comparando las áreas
α = 0.05
SIG.CHISQ(0.977,1) = 0.32
185
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
⇒ p = P( χ 2 > χ m2 ) = 0.32
⇒ p > α ⇒ No se rechaza H 0
Observar que la CDF de la prueba z es similar a la de la prueba chi cuadrado (0.32), pues para esta última,
ν = 1 (página 170).
Decisión
La diferencia entre el valor muestral obtenido, 9.8% (44%-53.8%) y el valor de la hipótesis (0), no es
significativa al nivel α = 5%. (χ2(1) = 0.977, p = 0.64). Por lo tanto no existe evidencia suficiente para
sustentar que ambos tratamientos son distintos, α = 5%
Interrelación gráfica del IC con la PH
Figura 5-112
Como la PH no rechazó la H0: Δp = 0, entonces el IC obtenido debe comprender a este valor (lo cual sucederá
95% de las veces).
SPSS
Procedimiento en la página 176
Chi-cuadrado
Figura 5-113
La diferencia entre 0.998 y el valor del cálculo manual 0.977, se debe al redondeo de las frecuencias esperadas.
Con el procedimiento Crosstabs se obtiene:
186
Jorge Carlos Carrá
III Análisis de dos variables: Comparación entre grupos
Problema b: comparación de proporciones de variables cuantitativas discretas
Figura 5-114
Paso 5 Verificación: potencia retrospectiva
El resultado es no significativo por lo cual deberíamos calcular P para un tamaño del efecto alto. Resolveremos
el problema con una distribución chi-cuadrado.
Chi-cuadrado (solución descentralizada)
El parámetro descentralizado para la distribución χ2 es:
nc = w2n
Si consideramos, por ejemplo, un efecto grande de 0.50:
nc = 0.52 (114) = 28.5
El cálculo de la potencia se realiza de la misma forma que en los problemas anteriores:
IDF .CHISQ (0.95,1) = 3.84
1 − NCDF .CHISQ(3.84,1, 28.5) = 0.999
P = 0.999
Este valor indica que es probable que si este efecto grande existiera en la población, probablemente sería
detectado en el estudio, por lo cual el estudio es concluyente.
Si consideramos ahora el tamaño del efecto muestral del φ de la prueba, calculemos la potencia observada:
nc = 0.09262 (114) = 0.977
1 − NCDF .CHISQ(3.84,1,0.977) = 0.167
P = 0.167
Es decir que si H1 es verdadera con un tamaño del efecto poblacional coincidente con el de la muestra, existe
solo un 16.7% de probabilidades de que el estudio resulte significativo.
GPower
z tests
Si se desea utilizar la distribución normal o el tamaño del efecto h de Cohen, ir a:
z tests
Proportion: Difference between two independents proportions
Options > Use Cohen's effect size index h.
χ2 tests
Si se desea utilizar la distribución chi-cuadrado, ir a:
χ2 tests
Goodness of fit tests: Contingency tables
187
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Post hoc,
effect size: 0.50 (grande), α = 0.05, n = 114, ν = 1.
Entrega una potencia de: 0.99 (corroborar que resulta coincidente con el cálculo por el índice h de Cohen).
Para el tamaño del efecto φ muestral:
effect size: 0.0926, α = 0.05, n = 114, ν = 1.
Entrega una potencia de: 0.167.
Gráficas
En la figura 5-115 y en al figura 5-116 se observan las distribuciones y las curvas de Potencia en función del
tamaño del efecto, para varios valores de n. Con el tamaño de la muestra (n = 114), se requeriría un tamaño del
efecto de 0.27 para llegar a una potencia de 0.8.
Figura 5-115
Figura 5-116
188
Jorge Carlos Carrá
III Análisis de dos variables: Comparación entre grupos
Problema b: comparación de proporciones de variables cuantitativas discretas
Problema resuelto 5.19 Tratamiento para dejar de fumar
Considerar que el problema anterior proviene en realidad de muestras apareadas, antes (T1) y después (T2) de
un solo tratamiento, con un tamaño muestral de 75 para cada una, de acuerdo a la siguiente tabla.
Utilizar un nivel de significación de 0.05 para probar si las proporciones de pares discordantes (F antes y N
después versus F después y N antes), son iguales. Analizar luego la potencia retrospectiva.
nO
T1
F N
F 15 8 33
T2
N 6 46 42
21 54 75
Figura 5-117
Paso 1 Problema
Comparar grupos:
θ = Δp .
Paso 2 Modelo
Distribuciones binomial, normal y chi–cuadrado.
Se incluyen luego dentro de IC y PH.
Paso 3 Diseño
Tamaño de la muestra: ver figura 5-117.
Paso 4 Análisis
Modelado Binomial
H 0 : p = p0 =
HA : p ≠
1
Aseveración
2
1
2
α = 0.05
1 − CDF .BINOM (5,14,0.50) = 0.789
⇒ p = P( y > ym ) = 0.789
⇒ p > α ⇒ No se rechaza H 0
Modelado Normal
H 0 : n12 = n21 Aseveración
H A : n12 ≠ n21
Como np ≥ 5 se puede aplicar la aproximación a una normal con:
z=
n12 − n21
Δ
2
= D =
= 0.534
14
n12 + n21
nD
zc = z.025 = 1.96
189
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Inferencia
⇒ | zm |<| zc |⇒ No se rechaza H 0
Modelado Chi-cuadrado
H 0 : Buen Ajuste Aseveración
H A : Mal Ajuste
Se cumple el supuesto n12 + n21 ≥ 10 , por lo cual es posible aplicar la distribución χ2 con ν = 1.
χ 2 (1) =
Inferencia
1 Comparando el eje χ2
(| 8 − 6 | −1) 2
= 0.0714
8+6
IDF .CHISQ(0.95,1) = 3.84
2
χ c2 = χ 0.05
(1) = 3.84
χ m2 = 0.286
⇒ χ m2 < χ c2 ⇒ No se rechaza H 0
2 Comparando las áreas
α = 0.05
SIG.CHISQ(0.0714,1) = 0.789
⇒ p = P ( χ 2 > χ m2 ) = 0.789
⇒ p > α ⇒ No se rechaza H 0
Por lo tanto no existe evidencia suficiente para rechazar que las proporciones de pares discordantes sean
iguales.
SPSS
Procedimiento en la página 176.
Figura 5-118
Paso 5 Verificación: potencia retrospectiva
El resultado es no significativo por lo cual deberíamos calcular P para un tamaño del efecto alto. Supongamos
que el investigador entiende que un tamaño del efecto OR grande es por lo menos 1.3.
Normal
Ecuación de diseño para la aproximación normal:
zα
Como:
190
0.52
+ 0.5 = zβ
nD
pˆ1qˆ1
+ pˆ1
nD
Jorge Carlos Carrá
III Análisis de dos variables: Comparación entre grupos
Problema b: comparación de proporciones de variables cuantitativas discretas
nD = 14
p
OR = 12 = 1.3
p21
resulta:
pˆ1 =
n12
OR
=
= 0.565
nD 1 + OR
σ pˆ =
0
σ pˆ =
1
0.52
= 0.134
14
pˆ1qˆ1
0.565*0.435
=
= 0.132
14
nD
Por lo tanto:
zα 0.134 + 0.5 = z β 0.132 + 0.565
reemplazando zα = 1.96 , se obtiene:
z β = 1.497
Finalmente:
P = 0.068
Chi-cuadrado
χ2 =
( n12 − n21 )
2
n12 + n21
=
n 2 ( p12 − p21 )
2
nD
nD 14
=
= 0.186
n 75
pD
0.186
p12 =
=
= 0.0808
2.3
OR + 1
p21 = pD − p12 = 0.1052
pD =
Por lo tanto:
χ =
2
w=
n 2 ( p12 − p21 )
nD
χ2
n
=
2
752 ( 0.0808 − 0.1052 )
=
= 0.239
14
2
0.239
= 0.0564
75
El parámetro descentralizado para la distribución χ2 es:
nc = w2n
nc = 0.05642 (75) = 0.238
El cálculo de la potencia se realiza de la misma forma que en los problemas anteriores:
IDF .CHISQ (0.95,1) = 3.84
1 − NCDF .CHISQ(3.84,1,0.238) = 0.077
P = 0.077
En definitiva existe el riesgo de un tamaño del efecto grande no detectado y se podría estar realizando todo un
trabajo para nada. Se está en presencia de un riesgo de n bajo: algo grande está sucediendo y se obtiene un
resultado no significativo, por lo cual el estudio es no concluyente.
Rediseño
Se debe rediseñar el estudio inferencial partiendo de la potencia P => n:
191
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
⎛ z 0.5 − zβ pˆ1qˆ1
nD = ⎜ α
⎜
pˆ1 − 0.5
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
2
zα = 1.96
zβ = −0.84 ( P = 0.80, β = 0.20)
pˆ1 = 0.565
2
⎛ 1.96(0.5) + 0.84 0.565(0.435) ⎞
nD = ⎜
⎟⎟ = 461
⎜
0.565 − 0.5
⎝
⎠
n
n
461
pD = D => n = D =
= 2478
n
pD 0.186
La conclusión es que debería repetirse el análisis con un tamaño muestral de por lo menos 2478 personas
(cálculo con la aproximación normal).
GPower
Binomial
Exact
Proportions: Inequality, two dependence groups (McNemar)
Post hoc,
2 colas, OR = 1.3, α = 0.05, n = 75, pD = 14/75 = 0.186 (con pD y n, GPower obtiene nD).
Options: faster aproximation
Entrega una potencia de: 0.023 (calculada en forma exacta como binomial).
Rediseño
A priori,
Para una potencia de 0.80, entrega un tamaño de muestral de 2468 (cálculo como binomial).
Gráficas
En la figura 5-119 y en la figura 5-120 se observan las distribuciones binomiales y las curvas de Potencia en
función del tamaño del efecto, para varios valores de n. Con el tamaño de la muestra es decir el número de
pares (n = 75), se requeriría un tamaño del efecto altísimo de cerca de 7 para llegar a una potencia cercana a
0.80 o con un tamaño del efecto de 1.3 se requeriría una muestra de alrededor de 2475.
Figura 5-119
192
Jorge Carlos Carrá
III Análisis de dos variables: Comparación entre grupos
Problema c: comparación de varianzas de variables cuantitativas contínuas
Figura 5-120
Chi-cuadrado (solución descentralizada)
χ2 tests
Goodness-of-fit tests: Contingency tables
Post hoc,
Effect size: 0.0564, α = 0.05, n = 75, Df: 1.
Entrega una potencia de: 0.077.
Figura 5-121
Problema c: comparación de varianzas
de variables cuantitativas contínuas
σ
Razón de varianzas θ = 12
2
σ2
Esta sección permitirá analizar la igualdad o no entre las varianzas poblacionales de 2 distribuciones.
193
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
El formato con el cual se presentan los datos, se muestra en la figura 5-122. Se tiene una variable de
escala que define el concepto a estudiar, x y una variable categórica dicotómica que define los 2
grupos, con niveles 1 y 2.
x
y
1.23 1
2.45 2
3.26 2
6.45 1
8.23 1
… …
6.78 2
1.56 1
3.21 1
4.13 1
2.56 2
Figura 5-122
Modelado
Se puede realizar esta prueba con 2 técnicas distintas:
1. Prueba F
2. Prueba de Levene
Prueba F (exacta)
Se demuestra que si las distribuciones poblacionales son normales e independientes, para cualquier
tamaño de la muestra, la distribución:
⎛ s /s ⎞
F (ν 1 ,ν 2 ) = ⎜ 1 2 ⎟
⎝ σ1 / σ 2 ⎠
2
con:
ν 1 = n1 − 1
ν 2 = n2 − 1
sigue una distribución F con ν1 y ν2 grados de libertad. Por lo tanto la transformación a realizar en
este caso es a la variable F.
En la comparación de medias y proporciones resultó conveniente asignar una letra a la diferencia, Δ.
Por la misma razón, en el caso de resultar conveniente (por ejemplo al tratar la potencia),
asignaremos en este caso la letra R a la razón o cociente. Por lo tanto, la expresión anterior podría
expresarse como:
⎛R ⎞
F (ν 1 ,ν 2 ) = ⎜ S ⎟
⎝ Rσ ⎠
2
Supuestos
1. Normalidad
Este requisito, de igual forma que para el caso del análisis de una varianza, no es robusto, por lo
cual deberá estudiarse con cierto detalle.
194
Jorge Carlos Carrá
III Análisis de dos variables: Comparación entre grupos
Problema c: comparación de varianzas de variables cuantitativas contínuas
2. Independencia
Este requisito implica, como ya sabemos, que las muestras no estén apareadas o asociadas.
Análisis por IC
Si en la ecuación general de probabilidades,
P( FI ≤ F ≤ FS ) = c
se reemplaza la ecuación anterior, se obtiene una ecuación pivote en la cual se puede despejar el
cociente de las varianzas poblacionales σ12/ σ12, para obtener así la ecuación del IC:
⎛ s2
⎞
1
σ 2 s2
1
P ⎜ 12
≤ 12 ≤ 12
⎟=c
⎝ s2 FS (ν 1,ν 2 ) σ 2 s2 FI (ν1,ν 2 ) ⎠
Notar que por la propiedad recíproca (capítulo3), esta expresión es equivalente a:
⎛ s2
⎞
σ 2 s2
P ⎜ 12 FI (ν 2 ,ν 1 ) ≤ 12 ≤ 12 FS (ν 2 ,ν 1 ) ⎟ = c
σ 2 s2
⎝ s2
⎠
Si el 1 está comprendido en el IC, entonces la igualdad entre las varianzas poblacionales es
admisible, con un nivel de confianza dado por c. Este problema se llama homogeneidad de
varianzas o también homocedasticidad.
Observar que en este caso, al igual que en la estima de la desviación estándar, el IC no puede
expresarse con el formato
σ 12 s12
=
± B , puesto que el IC no está centrado en el cociente de
σ 2 2 s2 2
varianzas muestrales.
Estudiar el problema resuelto 5.20.
Análisis por PH
Bilateral
H 0 : σ 12 = σ 22
H A : σ 12 ≠ σ 22
Unilateral
H 0 : σ 12 ≥ σ 22
H A : σ 12 < σ 22
o
H 0 : σ 12 ≤ σ 22
H A : σ 12 > σ 22
Notas
Cola superior
En el capítulo 3 hemos visto la propiedad recíproca para obtener las colas inferiores de las distribuciones F.
Sin embargo, dada la hipótesis de igualdad, la ecuación de F resulta:
s
F (ν 1 ,ν 2 ) = 12
s2
2
Como se tiene libertad para elegir quién es 1 y quién 2, puede hacerse de tal forma que el cociente sea
siempre mayor que 1 (es decir con la varianza muestral mayor en el numerador). Esta elección, si bien no
es obligatoria, conduce a necesitar solo la cola superior en el proceso de una PH (en la construcción de un
IC bilateral se requieren ambos valores). Esto es así pues el valor muestral no debe contradecir a la HA
195
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
(página 31), por lo cual solo se necesitará verificar la cola superior, se trate de una prueba unilateral o
bilateral.
Valores críticos
Si se usa una tabla como la del apéndice B, puede suceder que los grados de libertad no se encuentren en
ella. La solución es interpolar linealmente pero como solo deseamos conocer el valor crítico para situar,
respecto de él, al valor muestral, en la mayoría de los casos esto no es necesario. Sea por ejemplo la
búsqueda del valor F crítico para α = 0.05 y ν1 = 10, ν2 = 45. Sin interpolar se obtienen 2 valores:
F (10, 40) = 2.08
F (10,50) = 2.03
El valor crítico real estará entre ambos valores, pero si el valor muestral es mayor que 2.08, se situará en la
región de rechazo y si es menor que 2.03, se situará en la región de no rechazo. Solo habrá que realizar la
interpolación lineal si el valor muestral se sitúa entre ambos valores críticos.
Interrelación entre IC y PH
Fijadas las regiones de una PH, las conclusiones acerca del resultado de la muestra son totalmente
equivalentes a las de un IC. En la figura 5-123 se muestra la situación por ejemplo, cuando el valor
muestral "cae" justo en el límite de la región crítica.
Se plantean 2 ecuaciones generales:
• para la PH:
⎛ s12 ⎞ σ 12
⎜ 2 ⎟ = 2 FS
⎝ s2 ⎠c σ 2
•
y para el IC:
⎛ s12 ⎞
⎜ 2⎟
⎝ s2 ⎠ m
LCI =
Fs
⎛ s12 ⎞ ⎛ s12 ⎞
= ⎜ 2 ⎟ , se tiene:
2 ⎟
⎝ s2 ⎠c ⎝ s2 ⎠m
Si ⎜
LCI =
σ12
σ 22
Figura 5-123
A partir de esta conclusión, es fácil observar que si el valor muestral "cae" dentro de la zona crítica,
el IC no comprenderá a σ12 / σ22, como es de esperar para resultados significativos. Lo propio ocurre
si el valor muestral "cae fuera de la zona crítica.
196
Jorge Carlos Carrá
III Análisis de dos variables: Comparación entre grupos
Problema c: comparación de varianzas de variables cuantitativas contínuas
Diferencia de desviaciones θ = Δd
Prueba de Levene (normal o asintótica)
La prueba F es muy sensible a la falta de normalidad de las poblaciones por lo cual la versión para
esta prueba utilizada en el SPSS es la prueba de Levene, mucho más robusta y además no está
limitada a solo 2 poblaciones.
Procedimiento
1. Desviaciones medianas absolutas
Calcular la mediana de cada muestra. Con ella obtener las desviaciones medianas absolutas para
cada valor de x de ambas muestras:
d =| x − Q2 |
(puede reemplazarse la mediana con la media)
2. Prueba t de muestras independientes
Realizar una prueba t de Δμ para muestras independientes para estas nuevas variables d. Puesto
que el contenido da las mismas son ahora desviaciones, se está en realidad efectuando una
prueba de variaciones.
Análisis por IC y PH
Se aplican las correspondientes a una prueba t de muestras independientes.
Diagramas de caja
Es conveniente comenzar explorando los datos con un diagrama de cajas. Estos diagramas (ver
también el análisis del comportamiento de la varianza de una variable) proveen la posibilidad de
realizar en forma gráfica un análisis de comparación de varianzas exploratorio y preliminar. A
diferencia de las barras de error para la comparación de medias (página 142), aquí miramos la altura
de las cajas. Si la altura de las cajas (AIC) y la longitud de los bigotes de cada una de las muestras
son aproximadamente iguales y no existen valores extremos que distorsionen los diagramas, tenemos
un indicio de que las muestras probablemente proceden de poblaciones con igual varianza.
Nota
No pueden compararse las barras de error de las varianzas individuales pues la superposición equivale a
realizar la diferencia de valores muestrales, en tanto que la prueba F se basa en un cociente. En cambio sí
podrían ser utilizados las variables d de la prueba de Levene.
SPSS
Prueba de Levene
La prueba de Levene se presenta en 2 lugares:
1. Prueba de θ = Δμ para muestras independientes
2. Procedimiento explorar: Analyze > Descriptive Statistics > Explore >
colocar la variable en estudio en Dependientes y la que define los grupos en Factores
(puede ser más de uno). En Plots activar la opción Untransformed (datos sin
transformar).
Prueba F
Si bien esta prueba no está contenida en el SPSS, se puede obtener con la sintaxis que se muestra en
la figura 5-124. La misma reproduce los pasos que se deben realizar para resolver a mano la
inferencia entre 2 poblaciones, la primer parte es la prueba de hipótesis y la segunda es el intervalo
de confianza.
197
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Figura 5-124
Para que el código funcione preparar en el editor de datos 5 variables con los nombres:
s1sq_s2sq, sigma1sq_sigma2sq, df1, df2 y alfaF, donde s1sq_s2sq es el cociente de
las varianzas muestrales, sigma1sq_sigma2sq es el cociente de las varianzas poblacionales a
probar, df1 y df2 son los grados de libertad y alfaF es el nivel de significación. Colocar los
valores numéricos correspondientes al caso en estudio.
Luego abrir una ventana de sintaxis y escribir el código de la figura 5-124 (o pegar el que se
encuentra en el archivo sintaxis.txt) y ejecutar con Run > All.
Tamaño del efecto y ecuación de diseño
Para este caso, se define el tamaño del efecto, como R1 =
σ 12
perteneciente a H1, pues este cociente
σ 22
es 1, si la hipótesis nula es cierta, R0 = 1 .
⎛σ 2 ⎞
E = ⎜ 12 ⎟ = R1
⎝ σ 2 ⎠1
Procedemos en forma análoga al de una distribución normal, partiendo de H 0 : σ 12 = σ 22 , despejando
s1/2 s22 de las expresiones para H0 y H1. Obtenemos así la siguiente ecuación de diseño:
Fα 1 = Fβ R1
Es decir que la distribución de H1, Fβ , es la misma distribución central F, dividiendo los valores de
F por el tamaño del efecto. La distribución de H1 resultará entonces escalada con el tamaño del
efecto.
198
Jorge Carlos Carrá
III Análisis de dos variables: Comparación entre grupos
Problema c: comparación de varianzas de variables cuantitativas contínuas
Potencia y tamaño de la muestra
Potencia, P
Vimos que la distribución de H1 es la misma distribución central F dividiendo los valores de F por el
tamaño del efecto. Por lo tanto, para hallar la potencia solo bastará hallar las CDF (y/o 1–CDF) de
esa distribución F para el valor crítico Fβ (ver problema resuelto).
Tamaño de la muestra, n
El tamaño n de la muestra solo aparece en los grados de libertad y se presenta un problema similar al
comentado en el problema de una varianza (página 128), para el cálculo de P => n, debiendo aperar
por prueba y error (grados de libertad => P), por lo cual, para acelerar el proceso, se utilizan tablas
preparadas a tal efecto o un software como por ejemplo GPower.
Problema resuelto 5.20 Toma de apuntes en clase
En el problema resuelto de comparación de medias (página 148), había quedado pendiente el análisis de las
varianzas.
Un investigador desea probar que la toma de apuntes en clase produce mayor retención que el que no lo hace.
Para ello toma una muestra de 5 alumnos de cada grupo, A: toma apuntes, B: no toma apuntes y compara sus
notas finales. Estos datos se muestran en la tabla de la figura 5-125
Puntaje A Puntaje B
10
8
9
6
6
6
6
2
5
6
Figura 5-125
IC
Obtener el IC del cociente entre las varianzas de ambos grupos, para un nivel de significación del 90%.
PH
Probar la aseveración de que no existe diferencia entre las varianzas con α = 10%. Interrelacionar gráficamente
el IC con la PH.
SPSS
Resolver con el SPSS.
Verificación: potencia retrospectiva
Analizar la potencia versus el tamaño del efecto y si corresponde a un caso no concluyente, calcular el tamaño
de la muestra necesario para resolverlo.
Paso 1 Problema
Comparar grupos:
θ=
σ1
σ2
.
Paso 2 Modelo
Distribuciones t de Student y F.
Se incluyen luego dentro de IC y PH.
199
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Paso 3 Diseño
Tamaño de la muestra:
n1 = 5, n2 = 5.
Paso 4 Análisis
IC
Modelado
Distribución muestral de
θˆ =
s12
s22
x1 = 7.2
x2 = 5.6
s12 = 4.7
s22 = 4.8
Inferencia
s12 4.7
=
= 0.979
s22 4.8
FS = IDF .F (0.95, 4, 4) = 6.39
FI = IDF .F (0.05, 4, 4) = 0.16
Si no se cuenta con el SPSS, FI se obtiene de:
FI =
0.979
1
= 0.16
6.39
1
σ2
1
≤ 12 ≤ 0.979
6.39 σ 2
0.16
⇒ 0.153 ≤
σ12
≤ 6.12
σ 22
⎛ s12 ⎞
⇒ IC ⎜ 2 ⎟ = 0.153 a 6.12
⎝ s2 ⎠
Decisión
Las diferencias entre los valores contenidos dentro del IC, no son significativas al nivel c = 95%. Como 1
(cociente de varianzas iguales) se encuentra comprendido en el IC, no existen diferencias significativas entre
las varianzas.
PH
200
H0 :
σ 12
= 1 Aseveración
σ 22
HA :
σ 12
≠1
σ 22
Jorge Carlos Carrá
III Análisis de dos variables: Comparación entre grupos
Problema c: comparación de varianzas de variables cuantitativas contínuas
Prueba F
Modelado
Distribución muestral de
θˆ = Rs =
2
s12
s22
Ídem IC.
Inferencia
1 Comparando con el eje estandarizado F
Los F críticos son los FS y FI ya obtenidos en el IC.
FS = IDF .F (0.95, 4, 4) = 6.39
FI = IDF .F (0.05, 4, 4) = 0.16
4.7 / 4.8
Fm (4, 4) =
= 0.979
1
⇒ Fm < Fc ⇒ No se rechaza H 0
2 Comparando con el eje sin estandarizar Rs2
⎛ s2 ⎞
Rs2 = ⎜ 12 ⎟ = 0.979
m
⎝ s2 ⎠ m
( Rs 2 )ci = Fci Rσ 2 = 0.16(1) = 0.16
( Rs2 )cs = Fcs Rσ 2 = 6.39(1) = 6.39
⇒ ( Rs )ci < Rs < ( Rs )cs ⇒ No se rechaza H 0
2
3 Comparando con las áreas
2
m
2
α = 0.10
SIG.F (0.979, 4, 4) = 0.51
⇒ p = 2 P( F > Fm ) = 1
⇒ p > α ⇒ No se rechaza H 0
Decisión
La diferencia entre el valor muestral obtenido (0.95) y el valor de la hipótesis (1), no es significativa al nivel
α = 10%. (F(4,4) = 0.979, p = 1). Por lo tanto no existe evidencia suficiente para rechazar la aseveración de
que las varianzas de los grupos, A: toma apuntes y B: no toma apuntes, son iguales.
Interrelación gráfica del IC con la PH
Figura 5-126
Como la PH no rechazó la H0: Rσ2 = 1, entonces el IC obtenido debe comprender a este valor (lo cual sucederá
90% de las veces).
201
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Prueba de Levene
Modelado t de Student
1 Desviaciones Medianas Absolutas
Para cada muestra resulta Q2 = 6. Calculando las desviaciones absolutas respecto de la media se obtienen 2
nuevas columnas.
2 Prueba t de diferencia de muestras independientes
Con estos valores se obtienen los valores de la tabla 5-127.
Desviación A
Desviación B
Media Desviación Std
1.60
1.816
1.20
1.789
Figura 5-127
Inferencia
Con estas 2 nuevas variables realizamos la prueba t de diferencia de medias independientes, la cual produce los
siguientes valores:
Comparando las áreas
α = 0.10
CDF .T (0.351,8) = 0.633
⇒ colasup = 1 − 0.633 = 0.367
⇒ p = 2 P(t > tm ) = 2 ∗ 0.367 = 0.734
⇒ p > α ⇒ No se rechaza H 0
SPSS
Procedimiento en la página 197
Prueba F
Ejecutando la sintaxis se obtiene:
Fisher = 0.979
Finf = 0.16
Fsup = 6.39
LCIF=0.15
LCSF=6.25
SIGNF=0.51
no rechazar H0.
Prueba de Levene
Figura 5-128
202
Jorge Carlos Carrá
III Análisis de dos variables: Comparación entre grupos
Problema c: comparación de varianzas de variables cuantitativas contínuas
Los valores del cálculo manual son los mismos del cuadro SPSS de la figura 5-128. En la columna Levene
Statistic se muestra el valor F, pero debe recordarse del capítulo 3, página Error! Bookmark not
defined., que: Fα (1,8) = tα / 2 (8) = (0.351) = 0.123 .
2
2
Diagrama de caja
Figura 5-129
Si bien la caja del grupo B es menor que la del A, en el grupo B hay 2 extremos que influyen en la
construcción del diagrama de caja. En consecuencia esta aproximación gráfica no permite extraer
conclusiones.
Paso 5 Verificación: potencia retrospectiva
El resultado es no significativo por lo cual deberíamos calcular P para un E alto. Consideremos que el
investigador adopta al valor de 1.5 como un E alto.
1 SPSS
Para determinar cuáles son los valores de F que producen colas de α/2 en ambos extremos, utilizamos la
función del SPSS llamada Inverse DF (solo para distribuciones contínuas).
IDF .F (0.05,4, 4) = 0.156
Fi = 0.156
IDF .F (0.95, 4, 4) = 6.39
Fs = 6.39
De esta forma, la suma de ambas colas es α = 0.10.
Solución
Asignemos ahora el tamaño del efecto E. Vimos que la distribución de H1 es la misma distribución central F,
dividiendo los valores de F por el tamaño del efecto.
Con un tamaño del efecto E = σ1/σ2 = 1.5, resulta:
CDF .F (0.156 /1.5,4,4) = 0.026
SIG.F (6.39 /1.5, 4, 4) = 0.094
En definitiva (ver la figura siguiente), la potencia será:
203
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
P = 0.026 + 0.094 = 0.12
La baja potencia o sensibilidad de la prueba para un tamaño del efecto grande, indica que existe el riesgo de un
efecto no detectado que sea lo suficientemente grande para ser útil, por lo cual el estudio es no concluyente.
Rediseño
Se debe rediseñar el estudio inferencial partiendo de la potencia P => n. Dado que el tamaño de la muestra se
encuentra en los grados de libertad, se debe actuar por aproximaciones sucesivas probando varios valores de n,
hasta llegar a una potencia de 0.80 (ver página 134). De esta forma se llega a:
IDF .F (0.05,152.152) = 0.77
Fi = 0.77
IDF .F (0.95,152,152) = 1.31
Fs = 1.31
CDF .F (0.77 /1.5,152,152) = 0
SIG.F (1.31/1.5,152,152) = 0.80
P = 0 + 0.80 = 0.80
La conclusión es que debería repetirse el análisis con un tamaño muestral de por lo menos 153 alumnos en
cada grupo. En el problema de comparación de medias se concluyó que era necesario un tamaño muestral de
por lo menos 26 en cada grupo, pero para comparar las varianzas, vemos que se requieren por lo menos 153
alumnos.
2 GPower
F tests
Variance
Test of equality (two sample case)
Post hoc,
2 colas, α = 0.10, Ratio var1/var0 = 1.5 y n1 = n2 = 5, Allocation ratio = 1. Devuelve una potencia de 0.12.
Rediseño
A priori,
Para una potencia de 0.80, entrega un tamaño de muestral de n1 = n2 = 153.
Gráficas
En la figura 5-130 y en la figura 5-131 se observan las distribuciones y las curvas de Potencia en función del
tamaño del efecto, para varios valores de n (n=n1+ n2). Observar que la distribución de H1 es la misma que la
de H0 (no es la F descentralizada), solo que escalada en el eje x.
Para n = 10, se pueden ver las bajas potencias de esta prueba para tamaños del efecto que parecen ser
suficientemente grandes. Se requeriría un tamaño del efecto de 16 para llegar a una potencia de 0.8.
Si se aumenta n, aumenta la potencia considerablemente y la prueba podría dar significativa.
GPower entrega además los límites de la región crítica: (0.156; 6.388).
204
Jorge Carlos Carrá
III Análisis de dos variables: Comparación entre grupos
Problema c: comparación de varianzas de variables cuantitativas contínuas
Figura 5-130
Figura 5-131
205
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
IV Análisis de dos variables:
Asociación entre variables
En el capítulo 1 estudiamos las técnicas que permiten conocer el grado de asociación entre los datos
muestrales de 2 variables. Dividimos aquel estudio en 2 técnicas separadas: Correlación y
Regresión. La correlación se ocupa de la asociación y la regresión de la predicción.
En esta sección realizaremos el segundo paso, es decir estudiaremos como inferir esos resultados a
las poblaciones. Estimaremos los coeficientes de regresión, los coeficientes de la recta poblacionales
y realizaremos predicción valores. Todo ello con la medida del error. Para realizar la inferencia se
requiere encontrar, como ya sabemos, un estimador, en lo posible insesgado y convergente de los
parámetros a estimar, con su distribución de probabilidades.
Problema a: Correlación
Trata de establecer la asociación entre 2 variables aleatorias X e Y. Para muchas aplicaciones, el
investigador solo está interesado en la correlación lineal.
1. Escala por escala (por lo menos)
θ =ρ
La correlación líneal poblacional se simboliza con la letra griega ρ.
Supuestos
La correlación simple se basa en 4 suposiciones sobre la población:
1 Linealidad
La relación entre ambas variables aleatorias es lineal.
2 Aleatoriedad
Ambas variables son aleatorias. Esta suposición se diferencia de los supuestos de la regresión
(sección siguiente), en donde se exige que la variable x sea constante.
3 Normalidad
La distribución de una variable, condicionada a los distintos valores de la otra variable, es normal.
Esta suposición equivale a decir que la distribución de las variables aleatorias (X, Y) es binormal.
En general los datos suelen exhibir asimetría (negativa o positiva) y/o curtosis por lo cual esta
condición no es fácil de verificar. Como mínimo se debe controlar por lo menos que no existan
206
Jorge Carlos Carrá
IV Análisis de dos variables: Asociación entre variables
1. Escala por escala (por lo menos)
extremos (capítulo 1, página Error! Bookmark not defined.). Si los hubiera, debe calcularse la
correlación con y sin ellos.
4 Homocedasticidad
Las varianzas de la distribución de una variable condicionada a la otra, son iguales.
Existen en general 2 alternativas.
a t de Student
Modelado
Demostraremos luego en la página 234 a partir de la ecuación de la varianza estimada de la
pendiente de la recta de regresión que si se cumplen los los 3 supuestos anteriormente enunciados y
la correlación poblacional ρ es cero, entonces el estadístico rP, al que llamaremos simplemente r,
sigue una distribución t de Student con:
ν = n−2
y parámetros:
E (r ) = 0
1− r
Vˆ ( r ) =
n−2
2
Puede observarse que en este enfoque, la varianza depende del coeficiente de correlación, además
del tamaño de la muestra. A mayor valor del coeficiente de correlación, menor varianza, lo cual es
un problema pues las mayores correlaciones aparecen más precisas. Por esta razón es más
conveniente utilizar la transformación de Fisher que se verá a continuación y luego de realizar el
estudio antitransformar al coeficiente de correlación.
Análisis
Análisis por IC
No puede construirse un IC con la expresión de la t de Student, pues las ecuaciones parten del
supuesto: ρ = 0 y por lo tanto en la ecuación pivote no se puede despejar el parámetro poblacional
(ρ ≠ 0 solo es posible si HA es cierta). El IC provendrá de la transformación de Fisher que se
presentará en el punto siguiente.
Análisis por PH
Ho : ρ = 0
HA : ρ ≠ 0
Con esta prueba, el investigador solo puede probar si ρ tiene algún valor distinto de cero, cualquiera
sea éste.
t=
r−ρ
σr
=
r −0
σr
Si se reemplaza la varianza del coeficiente de correlación por la varianza estimada y se opera con
estas expresiones, se obtiene:
t=r
n−2
1− r2
El factor 1 − r 2 se llama coeficiente de no determinación.
207
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Si ahora se despeja el valor crítico de r al que llamamos rc resulta:
rc 2 =
tc 2
tc 2 + n − 2
Método alternativo
La tabla que se encuentra en el Apéndice B, contiene los valores críticos del coeficiente de
correlación de Pearson, que resultan de la ecuación anterior. Esta tabla puede ser utilizada para
simplificar el proceso, pues permite realizar la comparación directamente con los valores del eje r.
Notas
1 Como puede suceder que rP fuera distinto de cero y que simultáneamente no pueda rechazarse que ρ sea
cero, es necesaria no solo la inferencia, sino también un análisis de potencia para conocer que tamaños del
efecto se están detectando.
2 Correlación biserial puntual
Si consideramos las 2 variables de un problema de comparación de medias independientes (variable de
datos y variable grupal), la correlación entre las mismas, llamada correlación biserial
puntual, rpb. La relación entre rpb y t estará dada por la relación indicada en la fórmula anterior.
b Normal con transformación arcth
Modelado
La distribución t de Student del coeficiente de correlación es sesgada a la derecha, su varianza
depende del coeficiente de correlación y además es solo válida para H0: ρ = 0. Estos inconvenientes
pueden resolverse con el cambio de variable, llamado transformación de Fisher:
Z = arcth x =
1 1+ x
ln
2 1− x
Para que el logaritmo tenga sentido, el dominio debe ser (como lo es la th(x)):
−1 < x < 1
En nuestro caso, resulta:
zF =
1 1+ r
ln
2 1− r
Se ha usado el subíndice F para que no se confunda con la variable z, con la cual no existe ningúna
relación.
Figura 5-132
Por su parte, la imagen de esta función es el campo de los reales.
Se demuestra que los parámetros de esta nueva distribución son:
E ( zF ) = ρ F
1
V ( zF ) =
n−3
208
Jorge Carlos Carrá
IV Análisis de dos variables: Asociación entre variables
1. Escala por escala (por lo menos)
Observamos que la transformación de Fisher, además de normalizar, produce una varianza
independiente del valor de ρ. Se resuelve así un problema similar al estudiado en las proporciones,
página 101, en donde se utilizó la transformación arcseno.
El estadístico de prueba es entonces:
z=
zF − ρ F
σz
F
Se destaca que la transformación, al igual que la arcsen de las proporciones, tampoco opera sobre los
datos crudos originales. El procedimiento es calcular r a partir de cada muestra y construir la
distribución muestral de zF. Esta técnica no está contenida en el SPSS, por lo tanto se deben realizar
2 transformaciones: a la variable zF y luego a la variable z.
Análisis
Análisis por IC
A partir del modelo anterior, resulta:
ρ F = zF ± B
B = zα / 2σ zF
Si el IC fuera unilateral, se deberá reemplazar zα/2 por zα.
Los valores de r o ρ (para por ejemplo los límites del IC) se obtienen despejando r de la
transformación de Fisher:
r = th( zF ) =
exp(2 z F ) − 1
exp(2 zF ) + 1
Se construyen los IC y las PH, como en cualquier distribución normal. Los IC en z posteriormente se
antitransforman para obtener los valores en la variable original. Esta transformación será además
utilizada en la página 213, para construir un tamaño del efecto que no dependa de la varianza.
Si se deseara obtener el error estándar del coeficiente de correlación, la antitransformación conduce
a:
SE r = (1 − r 2 ) * SE ZF
Nota
Las transformaciones de Fisher directa e inversa pueden obtenerse con una calculadora que tenga funciones
hiperbólicas o con las funciones de EXCEL:
Fisher(x)
Fisherinv(z)
Análisis por PH
H o : ρ = ρ0
H A : ρ ≠ ρ0
Se compara de la forma habitual con el estadístico de prueba o con las áreas.
θ = Δρ
Se utiliza la transformación de Fisher que aproxima la distribución a una normal con:
E ( Δz F ) = 0
V (Δz F ) =
1
1
2
+
=
n−3 n−3 n−3
209
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
A partir de estos parámetros se siguen los mismos lineamientos de una sola muestra.
2. Nominal por nominal (por lo menos)
La prueba de asociación chi-cuadrado, llamada de la bondad del ajuste fue introducida en el
capítulo 1, página Error! Bookmark not defined. y ya fue utilizada en este capítulo en la página
101. Requiere el formato de una tabla de contingencias
Supuestos
Es una prueba no paramétrica pues no necesita el conocimiento acerca de la distribución de la
población de donde surge el conteo.
Modelado
χ2 = ∑
(no − ne ) 2
ne
Esta ecuación tiene aplicación general en los siguientes casos:
Una variable
Bondad del ajuste a una distribución arbitraria. Tablas r×1 para todo r, vistas en θˆ = p̂ , página 101.
Dos variables
Bondad del ajuste a una distribución bivariable con independencia de esas variables. Tablas r×c, para
todo r y c. Vistas en θˆ = Δ p̂ , página 168.
Si n es grande (valor de la celda del total), la frecuencia esperada de cada celda es mayor o igual a 5
(lo cual implica que el tamaño mínimo de la muestra debe ser 5 por el número de celdas) y el 100%
de las celdas eséradas tiene un valor mayor que 1, el estadístico χ2 sigue aproximadamente una
distribución chi-cuadrado con grados de libertad dados por:
ν = (r −1)(c −1)
siendo r el número de filas (row) y c el número de columnas (column).
Como la prueba chi-cuadrado de la bondad del ajuste es χ 2 = 0 y χ2 es siempre positiva (no toma
en cuenta la dirección de las diferencias), la HA solo puede ser > 0 y por lo tanto es una prueba de
cola superior.
Análisis
A partir de este modelo se pueden formular inferencias como PH (página 101).
H 0 = Buen Ajuste χ 2 = 0
H A = Mal Ajuste χ 2 > 0
3 Ordinal por ordinal (por lo menos)
Si las variables son ordinales o la variable de escala en estudio se transforma en una variable ordinal,
creando los rangos o jerarquías para cada valor (ver capítulo 1, página Error! Bookmark not
210
Jorge Carlos Carrá
IV Análisis de dos variables: Asociación entre variables
3 Ordinal por ordinal (por lo menos)
defined.), entonces se puede aplicar la técnica no paramétrica llamada prueba de correlación de
Spearman.
Supuestos
Solo exige que la muestra sea aleatoria.
Una característica saliente de esta prueba es la de no necesitar los supuestos paramétricos acerca de
la población, tales como la normalidad.
Como ventaja adicional y a diferencia del coeficiente de Pearson, suele detectar algunas
correlaciones no lineales.
Modelado
Valores críticos
Si n < 30
Utilizar tablas especiales de valores críticos del coeficiente de correlación de Spearman que evitan
cualquier supuesto de normalidad o de linealidad entre las variables (Apéndice B). Puede observarse
en la tabla que para valores muy chicos de n, los valores críticos del coeficiente de correlación de
Pearson (calculados con la t de Student), son menores o iguales a los del coeficiente de correlación
de Spearman.
En estadística, cuanto mayor sea el valor de corte, se dice que es más conservadora (o
conservativa) pues se rechazará con menor frecuencia. Esto indica que, para esos valores de n, la
utilización de la t de Student, produce un resultado menos conservador que con el valor correcto.
Si n > 30
Utilizar como distribución de rS, al que llamaremos simplemente r, una aproximación a la normal,
con parámetros:
E (r ) = 0
1
Vˆ (r ) =
n −1
Tabla de contingencias
Hemos visto que una tabla de contingencias con datos nominales, puede analizarse con una chicuadrado. ¿Qué sucede si la tabla de contingencias contiene datos ordinales9? ¿Puede aprovecharse
la mayor información que incluye esta métrica? Una prueba con el coeficiente de correlación de
Spearman, incluye demasiada cantidad de empates, pero existen otras diversas formas, entre las
cuales se encuentra la la chi- cuadrado ordinal.
Esta prueba parte del supuesto de asociación lineal entre las variables. Una aproximación intuitiva
sería obtener el coeficiente de correlación de Pearson y en realidad (Agresti A, página 34), esta
asociación se puede medir por:
M 2 = ( n − 1) r 2 ν = 1
Para n grande, esta variable tiene aproximadamente una distribución Chi-cuadrado con ν = 1. Como
el grado de libertad es 1, sabemos que M sigue entonces una distribución normal, la cual es adecuada
cuando se desea una prueba de una cola.
9
Si una de las variables es dicotómica, puede interpretarse como ordinal en cualquier caso.
211
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Análisis
Conocidos los valores críticos, el procedimiento no difiere de los ya conocidos y utilizados.
SPSS
Coeficientes de correlación
Analyze > Correlate > Bivariate. Colocar las variables que se van a investigar, tildar el
coeficiente de correlación deseado y el tipo de prueba (1 cola o 2 colas).
Options
Tildar: Means and standard deviations y Cross-product deviations and
covariances.
Tabla de contingencias
Analyze > Descrptive Statistics > Crosstabs. Colocar en filas y columnas las
variables que se van a investigar. Tildar Statistics y elegir los estadísticos que se requieran.
SPSS entrega el resultado de la prueba chi-cuadrado ordinal en la tabla Chi Square Tests, como
Linear by Linear Asociation.
Tamaños del efecto y ecuación de
diseño
Definimos aquí los tamaños del efecto para luego integrarlos a la ecuación de diseño.
ρ
t de Student
H0 : ρ = 0
HA : ρ ≠ 0
Para la prueba del coeficiente de correlación ρ0 = 0, se utiliza el valor poblacional ρ como tamaño
del efecto. Apreciar que ρ − ρ 0 = ρ y que éste coeficiente es adimensional.
Los valores de tamaño convencionales, según Cohen (Cohen, J. 1988), son:
• Chico, ρ = 0.10
• Mediano, ρ = 0.30
• Grande, ρ = 0.50
Se realiza un comentario similar al realizado para el tamaño del efecto w correspondiente a la prueba
de la bondad del ajuste (página 107) y a la prueba de homogeneidad de proporciones. El coeficiente
de correlación ρ no informa sobre la significación de la asociación sino sobre la intensidad de la
misma. Luego de haber analizado la significación, resta saber si los valores detectados (o no
detectados) corresponden a tamaños del efecto poblacionales ρ chicos, medianos o grandes. Esto se
realiza con el análisis de potencia retrospectiva, incluida en todos los problemas resueltos.
Para obtener la ecuación de diseño razonamos en forma similar al caso inicial de prueba de la media
(sección I Diseño, página 40) y partimos de la igualación del resultado muestral para H0 y H1:
rm = z aσ r + ρ 0 = z β σ r + ρ1
212
Jorge Carlos Carrá
IV Análisis de dos variables: Asociación entre variables
Tamaños del efecto y ecuación de diseño
De aquí resulta que la descentralidad nc es proporcional al tamaño del efecto e inversamente
proporcional a la desviación estándar de la distribución muestral.
Si en para la hipótesis H o : ρ = 0 reemplazamos Vˆ ( r ) , por V (r ) para lo cual reemplazamos r por
ρ, resulta:
nc = ρ1
n−2
1 − ρ12
con lo cual se obtiene la ecuación de diseño:
t β = tα − nc
normal con transformación arcth
H 0 : ρ = ρ0
H A : ρ ≠ ρ0
Si se tratara del caso H 0 : ρ = ρ 0 ≠ 0 , no podrá utilizarse el tamaño del efecto ρ, anteriormente
expresado pues la varianza utilizada depende de ρ. De aquí que un mismo tamaño del efecto
producido por diferentes valores de ρ0, tendrá distintas potencias. El problema se resuelve en forma
similar al caso de Δp con una transformación, en este caso la transformación de Fisher, página 208
Operando y llamando:
nc = ( ρ F 1 − ρ F 0 ) n − 3
se obtiene la ecuación de diseño:
z β = zα − nc
w
Como ya hemos visto en las pruebas de la bondad del ajuste y de homogeneidad de proporciones,
para estas pruebas chi- cuadrado se adopta como tamaño del efecto al equivalente poblacional del
coeficiente φ muestral estudiado en el capítulo 1, página Error! Bookmark not defined., al cual se
lo llama w.
w=
χ2
n
=
( fo − fe )2
∑ f
e
El parámetro descentralizado y la ecuación de diseño es:
χ 2 = w2 n = nc
Los valores de tamaño convencionales, según Cohen (Cohen, J. 1988), son:
• Chico, w = 0.10
• Mediano, w = 0.30
• Grande, w = 0.50
Nuevamente es saludable diferenciar la intensidad de la relación informada por el tamaño del efecto
poblacional w y la significación informada por el valor p (significación).
Δρ
H 0 : Δρ = 0
H A : Δρ ≠ 0
213
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
El tamaño de efecto para una diferencia se define siempre para H0: Δ0=0.
Utilizando la transformación de Fisher,
1
2
ρ F = arcth ρ = ln
1+ ρ
1− ρ
se define el tamaño del efecto q como:
q = Δ1 = ρ F 1 − ρ F 2 direccional
q =| Δ1 |= ρ F 1 − ρ F 2 no direccional
Los valores de tamaño convencionales, se obtienen resolviendo el sistema de 3 ecuaciones que
definen ρF1, ρF2 y q. Esto implica definir 2 valores distanciados un tamaño del efecto ρ, transformar
ρ1 a ρF1, y ρ2 a ρF2 y finalmente obtener q, (Cohen, J. 1988, página 131). Se observará que
prácticamente se tienen los mismos valores que para el tamaño del efecto ρ.
• Chico, q = 0.10
• Mediano, q = 0.30
• Grande, q = 0.50
Si inversamente se deseara convertir estos valores convencionales de q a los ρ del estudio, se deberá
transformar ρ1 a ρF1, con q hallar la transformada ρF2 de ρ2 y finalmente reconvertir este valor a ρ2.
La transformación de Fisher puede también utilizarse para resolver el caso de una muestra con ρ0 ≠ 0
(página 213). Las relaciones son similares pero resultan de considerar la mitad de la varianza pues
cada muestra contribuye con
1
a la varianza total.
n−3
Ecuación de diseño:
z β = zα − nc
con nc =
n−3
q.
2
Observar nuevamente que nc es proporcional al tamaño del efecto e inversamente proporcional a la
desviación estándar de la distribución muestral.
Utilización de software o tabla de q para una muestra con ρ = ρ0
Se presenta un problema similar al tratado para Δp (página 179).
En el caso de utilizar un software o tabla pensados para Δρ, los valores convencionales dados deben
adaptarse, pues en el caso de una muestra la varianza total resulta la mitad y la desviación estándar,
la raíz cuadrada de la mitad (Cohen, J. 1988, página 132).
La ecuación de diseño es:
z β = zα − nc
con nc = n − 3 q ' .
El valor de q´ surge de multiplicar al valor q por
2 , para eliminar este factor del denominador.
q'= q 2
Naturalmente, si ρ0 =0, los resultados obtenidos con el tamaño del efecto ρ, coincidirán con los
obtenidos con q'. En este caso, luego de resolver el sistema de 3 ecuaciones que definen ρF1, ρF2 y q,
se obtienen:
• Chico, q' = 0.141
• Mediano, q' = 0.424
• Grande, q' = 0.707
Esto se puede comprobar con el GPower comparando entre sí los 2 procedimientos:
214
Jorge Carlos Carrá
IV Análisis de dos variables: Asociación entre variables
Potencia y tamaño de la muestra
Exact. Correlation: bivariate Normal Model, y
z tests. Two independent Pearson r´s
Potencia y tamaño de la muestra
ρ
t de Student
Potencia, P
Se calculará tβ.
Tamaño de la muestra, n
Resolviendo la ecuación de nc para n, resulta:
2
⎛ nc ⎞
n = ⎜ ⎟ (1 − ρ12 ) + 2
⎝ ρ1 ⎠
Nota
GPower utiliza n en lugar de n–2 en la ecuación de la Vˆ ( r ) .
Normal con transformación arcth
Potencia, P
Se calculará zβ
Tamaño de la muestra, n
Resolviendo la ecuación de nc para n, resulta:
2
⎛ z − zβ ⎞
n=⎜ α
⎟ +3
⎝ ρF1 − ρF 0 ⎠
w
Chi-cuadrado
A partir de la ecuación de diseño se podrán calcular:
Potencia, P
Se debe resolver con la CDF χ2 no centralizada, con un parámetro de descentralidad dado por:
χ 2 = w2 n = nc
Tamaño de la muestra, n
Se despeja n de la ecuación anterior, pero debe conocerse el parámetro de descentralidad. Se debe
entonces trabajar por prueba y error: nc => P y luego:
n=
nc
w2
Δρ
Potencia P
De la ecuación de diseño se calculará zβ
215
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Tamaño de la muestra n
Resolviendo para n se obtiene un tamaño muestral dado por:
2
⎛ z − zβ ⎞
n = 2⎜ α
⎟ +3
⎝ q ⎠
Problema resuelto 5.21 Relación entre ingreso y gastos
Continuación del problema resuelto del capítulo 1, página Error! Bookmark not defined..
John Keynes argumentó en 1936 que existe una relación teórica entre el ingreso de una persona (x) y sus
gastos de consumo (y): a medida que el ingreso aumentaba, el consumo crecía en una cantidad menor.
Posteriormente Milton Friedman, premio nobel de economía, recolectó los siguientes datos sobre ambas
variables. Las unidades son miles de millones de dólares corrientes.
x
284.00
328.00
345.00
364.00
364.00
398.00
419.00
441.00
447.00
483.00
y
191.00
206.00
216.00
230.00
236.00
254.00
266.00
281.00
290.00
311.00
∑ x = 3873
∑ x = 1533801
∑ y = 2481
∑ y = 629223
∑ xy = 982266
2
2
Figura 5-133
a) Construir un IC con un nivel de confianza del 95%.
b) Realizar una prueba de significación del coeficiente de correlación de Pearson para H 0 : ρ = 0 con un
nivel de confianza del 95%, Interrelacionar gráficamente el IC con la PH.
c) Analizar la potencia retrospectiva versus el tamaño del efecto de la prueba y si corresponde a un caso no
concluyente, calcular el tamaño de la muestra necesario para resolverlo.
Resolver con SPSS y con GPower.
Paso 1 Problema
Asociar variables.
Paso 2 Modelo
Distribuciones normal y t de Student.
Se incluyen luego dentro de IC y PH.
Paso 3 Diseño
Tamaño de la muestra: 10.
216
Jorge Carlos Carrá
IV Análisis de dos variables: Asociación entre variables
Potencia y tamaño de la muestra
Paso 4 Análisis
a) IC
En el capítulo 1 se calcularon los siguientes valores:
rP =
SS xx
SS xx SS yy
= 0.994
R2 = 0.988
Agregamos ahora:
zF =
1 1 + r 1 1 + 0.994
ln
= ln
= 2.903
2 1 − r 2 1 − 0.994
1
1
V ( zF ) =
= = 0.143
n−3 7
σ z = 0.143 = 0.378
F
B = zα / 2σ zF = 1.96(0.378) = 0.74
ρ F = z F ± B = 2.903 ± 0.74
⇒ IC = 2.163 a 3.643
Si el IC fuera unilateral, se deberá reemplazar zα/2 por zα.
Los valores finales de ρ se obtienen antitransformando la ecuación de Fisher:
exp(2(2.163) − 1)
= 0.973
exp(2(2.163) + 1)
exp(2(3.643) − 1)
LCS =
= 0.998
exp(2(3.643) + 1)
LCI =
⇒ IC = 0.973 a 0.998
Las diferencias entre los valores contenidos dentro del IC, no son significativas al nivel c = 95%. Estos valores
indican una muy fuerte asociación entre el ingreso de una persona (x) y sus gastos de consumo (y).
El valor 0 no pertenece al IC por lo cual existe un 95% de confianza de que el intervalo no contenga a ρ = 0.
b) PH
z normal con transformación arcth
H 0 : ρ = 0 Aseveración
H A : p ≠ 0 ⇒ zF ≠ 0
1 Comparando el eje z
2.903 − 0
= 7.68
0.378
zc = z0.025 = 1.96
| zm |>| zc |⇒ Se rechaza H 0
zm =
2 Comparando el eje zF
z Fm = 2.903
B = zα / 2σˆ zF = 1.96(0.378) = 0.740
z Fc = z F + B = 0 + 0.740 = 0.740
⇒ zFm > z Fc ⇒ Se rechaza H 0
3 Comparando las áreas
α = 0.05
217
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
CDF .norm(7.68) = 1
colasup = 1 − 1 = 0
p = 2 P (t > t m ) = 0
p < α ⇒ Se rechaza H 0
El coeficiente de correlación 0.994, es significativo al nivel del 5%. (z = 7.68, p = 0.00). Por lo tanto existe
evidencia suficiente para rechazar la hipótesis de que la correlación entre el ingreso de una persona y sus
gastos de consumo es cero.
Interrelación gráfica del IC con la PH
Figura 5-134
Como la PH rechazó la H 0 : z F = 0 , entonces el IC obtenido no debe comprender a este valor (lo cual
sucederá 5% de las veces, por lo cual es un evento poco común).
Modelado t de Student
H 0 : ρ = 0 Aseveración
HA : p ≠ 0
1− r2
= 0.00149
n−2
σ r = 0.0386
V (r ) =
Inferencia
1 Comparando el eje r
Se puede utilizar la expresión obtenida en la teoría:
rc 2 =
tc 2
tc 2 + n − 2
Pero en este caso, utilizaremos la tabla que resulta de esta ecuación con los valores críticos de r ya calculados
(Apéndice B). Entrando con n = 10 para una cola de 0.025, se obtiene rc = 0.63. Como rm = 0.994, resulta:
| rm |>| rc |⇒ Se rechaza H 0
2 Comparando el eje t
tm =
rP
σ (rp )
= 25.7
tc = t0.025 (8) = 2.306
| tm |>| tc |⇒ Se rechaza H 0
3 Comparando las áreas
α = 0.05
CDF .T (25.7,8) = 1
colasup = 1 − 1 = 0
p = 2 P (t > t m ) = 0
218
Jorge Carlos Carrá
IV Análisis de dos variables: Asociación entre variables
Potencia y tamaño de la muestra
p < α ⇒ Se rechaza H 0
SPSS
Procedimiento en la página 212
Figura 5-135
Paso 5 Verificación: potencia retrospectiva
Este paso responde a la pregunta c. La prueba resultó significativa y podríamos analizar si está detectando (alta
potencia) efectos chicos (0.10).
Observemos además que (utilizando por ejemplo las expresiones con la t de Student):
n−2
10 − 2
=
= 2.84
2
1− r
1 − 0.12
tm
25.7
ρm =
=
= 0.993
n − 2 25.86
1− r2
tc
2.31
ρc =
=
= 0.81
n − 2 2.84
1− r2
Estos valores nos indican que el resultado es significativo (ρm > ρc) y que los tamaños del efecto poblacionales
chicos (0.10), tendrán una potencia inferior a 50% (valor correspondiente a ρC).
1 SPSS
tα = IDF .T (0.025,8) = 2.31
Solución centralizada
n−2
= 0.284
1− r2
t β = tα − nc = 2.31 − 0.284 = 2.026
nc = ρ
1 − CDF .T (2.026,8) = 0.04
P = 0.04
Solución descentralizada
P = 1 − NCDF .T (2.31,8,0.284) = 0.04
219
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
La potencia es muy baja por lo cual podemos concluir que si este efecto chico existiera en la población,
probablemente no sería detectado en el estudio. Como la prueba detectó un efecto, es probable que el d no
exista, por lo cual el estudio es concluyente.
GPower
Exact
Bivariate normal model
Post hoc,
2 colas, Correlation ρ H1 = 0.1. α = 0.05, n = 10, Correlation ρ H0 = 0.
Entrega una P = 0.058.
Notas
a) GPower calcula los grados de libertad con otro algoritmo (Barabesi and Greco (2002)).
b) Si se deseara utilizar la transformación arcth, presionar Options y elegir Use Fisher Z.
Gráficas
En la figura 5-136 y en lafigura 5-137 se observan las distribuciones y las curvas de Potencia en función del
tamaño del efecto, para varios valores de n. Para n = 10, se pueden ver las bajas potencias de esta prueba para
tamaños del efecto pequeños, lo cual indica que existen tamaños superiores, pues la prueba dio significativa.
Figura 5-136
Figura 5-137
220
Jorge Carlos Carrá
IV Análisis de dos variables: Asociación entre variables
Potencia y tamaño de la muestra
Nota
Si se coloca un valor de n grande, por ejemplo 1000, se obtiene una potencia de 0.88, lo cual indica que el
estudio detectará un tamaño del efecto chico, aún cuando no sea de interés para el investigador (riesgo de n
grande). Este es un ejemplo claro de la diferencia entre significación e importancia (página 78).
Problema resuelto 5.22 Relación entre ingreso y gastos
Si en el problema resuelto anterior, se crean 2 variables ordinales con los rangos de los valores de x e y, se
obtienen los siguientes valores (por simplicidad en la notación las llamaremos también x e y):
x
284.00
328.00
345.00
364.00
364.00
398.00
419.00
441.00
447.00
483.00
y
191.00
206.00
216.00
230.00
236.00
254.00
266.00
281.00
290.00
311.00
∑ x = 55
∑ y = 55
∑ x = 384.5
∑ y = 385
∑ xy = 384.5
2
2
Figura 5-138
Realizar una prueba de significación del coeficiente de correlación de Spearman ρ = 0 con un nivel de
confianza del 95%.
Paso 1 Problema
Asociar variables.
Paso 2 Modelo
Distribución t de Student.
Se incluyen luego dentro de IC y PH.
Paso 3 Diseño
Tamaño de la muestra: 10
Paso 4 Análisis
Modelado
H 0 : ρ = 0 Aseveración
HA : p ≠ 0
En el capítulo 1 se obtuvo el valor:
rS =
SS xy
ssxxSS yy
= 0.997
Agregamos ahora:
221
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
1 − rS2
= 0.00075
n−2
σ ( rS ) = 0.0273
V (rS ) =
Inferencia
1 Comparando el eje rS
rSm = 0.997
De la tabla del apéndice B:
rSc = 0.649
⇒ rSm > rSc ⇒ Se Rechaza H 0
Observar que el valor crítico que se extrae de la tabla del Apéndice B, es similar al que se obtiene para el
coeficiente de correlación de Pearson.
rS 2 =
tc 2
(2.306)2
=
= 0.399
tc 2 + n − 2 (2.306)2 + 8
rSc = 0.632
En caso de que no se cuente con la tabla del apéndice B, se puede realizar el cálculo como si fuera el
coeficiente de Pearson, como primera aproximación.
De esta forma:
2 Comparando el eje t
tm =
rS
σ (rS )
= 36.5
tc = t0.025 (8) = 2.306
| tm |>| tc |⇒ Se rechaza H 0
3 Comparando las áreas
α = 0.05
CDFT (36.5,8) = 0.9999
colasup = 1 − 1 = 0.000
p = 2 P (t > tm ) = 0.000
p < α ⇒ Se rechaza H 0
Decisión
Se rechaza la correlación al nivel de significación α = 5% (t(8) = 36.5, p = 0.000).
SPSS
Procedimiento en la página 212
222
Jorge Carlos Carrá
IV Análisis de dos variables: Asociación entre variables
Potencia y tamaño de la muestra
Figura 5-139
Paso 5 Verificación: Potencia retrospectiva
Es similar al problema resuelto anterior.
Problema resuelto 5.23 Mejora de los ingresos públicos
En la ciudad se ha generado un debate acerca de los mecanismos más adecuados para mejorar los ingresos
públicos. Se ha clasificado a los integrantes de una muestra de acuerdo a su opinión y afiliación política y los
resultados se muestran en la tabla de la figura 5-140.
A
Reducir impuestos 18
x Pedir un préstamo 17
Despedir personal 8
43
Total
y
B
12
9
10
31
C
20
12
24
56
Total
50
38
42
130
Figura 5-140
a) Para un nivel de significación del 95%, probar la aseveración de que existe relación entre las variables:
Opinión, x, Afiliación y. Resolver con el SPSS.
b) Analizar la potencia retrospectiva versus el tamaño del efecto de la prueba y si corresponde a un caso no
concluyente, calcular el tamaño de la muestra necesario para resolverlo.
Paso 1 Problema
Comparar formas de las distribuciones.
Paso 2 Modelo
Distribución chi–cuadrado.
Se incluyen luego dentro de IC y PH.
Paso 3 Diseño
Tamaño de la muestra: ver figura 5-140
Paso 4 Análisis
a)
H 0 : x e y independientes
H A : x e y dependientes Aseveración
Modelado
Distribución χ2
El tamaño n = 130 y cada celda tiene una frecuencia esperada mayor o igual a 5, entonces se puede utilizar una
distribución muestral es chi-cuadrado con (3-1)(3-1) = 4 grados de libertad.
Deberá entonces calcularse χ2 para α = 0.05 con ν =4.
Entrando al SPSS o con una tabla:
223
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
IDF.chisq(0.95,4)=9.49.
Inferencia
1 Comparando el eje
χ m2 = ∑
(no − ne )2
= 7.396
ne
χ C2 = 9.49
χ m2 < χ c2 ⇒ No se rechaza H 0
2 Comparando las áreas
α = 0.05
p = 2 ∗ SIG.CHISQ(7.396, 4) = 0.232
⇒ p > α ⇒ No se rechaza H 0
Decisión
No existe evidencia suficiente para sustentar la existencia de dependencia al nivel de significación α = 5%
(χ2(4) = 7.396, p = 0.232).
SPSS
Procedimiento en la página 212
Figura 5-141
Paso 5 Verificación: potencia retrospectiva
Como el resultado no es significativo se debe analizar el riesgo de que no se estén detectando (con potencia
baja) efectos grandes a juicio del investigador. Probaremos un efecto grande de 0.5 (convención de Cohen).
1 SPSS
Solución descentralizada
nc = nw2 = 130(0.50) 2 = 32.5
1 − NCDF.CHISQ(9.39,4,32.5) = 0.998
P = 0.998
La potencia es alta, por lo cual si este efecto grande existiera sería detectado, como no lo fue, es probable que
no exista y por lo tanto el estudio es concluyente.
GPower
χ2 tests
Goodness of fit tests Contingency tables
224
Jorge Carlos Carrá
IV Análisis de dos variables: Asociación entre variables
Potencia y tamaño de la muestra
Post hoc.
α = 0.05, Effect size w = 0.5 Df (grados de libertad)= 4 y n = 130.
Entrega una potencia de 0.99.
Gráficas
En la figura 5-142 yen la figura 5-143 se observan las distribuciones. Apreciar que ambas curvas tienen
correspondencia con las hipótesis w = 0 y w =0.5 (lo cual equivale a nc = 32.5).
Se presentan también las curvas de Potencia en función del tamaño del efecto, para varios valores de n. Para n
= 10, se pueden ver las altas potencias de esta prueba para tamaños del efecto grandes, lo cual es una
indicación de que estos tamaños no existen (pues hubiera dado significativa) y que existen tamaños menores.
Figura 5-142
Figura 5-143
Problema resuelto 5.24 Cuerpo y mente
Es posible encontrar en Internet estudios que vinculan la condición atlética de los estudiantes universitarios y
el desempeño académico. La siguiente tabla presenta uno de estos estudios.
225
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Calificación
Debajo de la media
Arriba de la media
Total
Ninguna
290
238
528
Participación Atlética
1-3 semestres 4 o más semestres
94
42
125
63
219
105
Total
426
426
852
Figura 5-144
a) ¿Presentan estos datos evidencia suficiente para establecer una dependencia entre la Participación Atlética y
la Calificación?
b) ¿La proporción de estudiantes con Calificaciones superior a la media es distinta de la Calificación debajo de
la media, para los que tienen Participación Atlética de 4 o más semestres?
Utilizar un α = 0.05.
c) Analizar la potencia retrospectiva de la prueba a) y si corresponde a un caso no concluyente, calcular el
tamaño de la muestra necesario para resolverlo.
Paso 1 Problema
Comparar formas de las distribuciones.
Paso 2 Modelo
Distribuciones normal y chi–cuadrado.
Se incluyen luego dentro de IC y PH.
Paso 3 Diseño
Tamaño de la muestra: ver figura 5-144
Paso 4 Análisis
PH
a)
Modelado Chi-cuadrado
H 0 : Buen Ajuste
H A : Mal Ajuste Aseveración
Tabla de valores esperados, en caso de independencia:
Participación Atlética
Calificación
Ninguna 1-3 semestres 4 o más semestres
264
109.5
52.5
Debajo de la media
264
109.5
52.5
Arriba de la media
528
219
105
Total
Total
426
426
852
Figura 5-145
Se cumple el supuesto ne >5, por lo cual es posible aplicar la distribución χ2 con ν = 2*1=2.
χ 2 (2) =
Inferencia
226
(290 − 264) 2
(63 − 52.5) 2
+ ... +
= 13.71
264
52.5
α = 0.05
SIG.CHISQ(13.71, 2) = 0.001
⇒ p = P ( χ 2 > χ m2 ) = 0.001
Jorge Carlos Carrá
IV Análisis de dos variables: Asociación entre variables
Potencia y tamaño de la muestra
⇒ p < α ⇒ Se rechaza H 0
Por lo tanto existe evidencia suficiente para rechazar la aseveración de que existe dependencia entre la
Participación Atlética y la Calificación.
b)
Es un problema de p̂ que resolveremos con la t de Student. En este caso, en la distribución del perfil columna
ˆ = 0.6 .
4 o más semestres, resultan qˆ = 0.4 y p
Modelado Normal
H 0 : p = 0.50 Aseveración
H A : p ≠ 0.50
Como
n = 42 > 5 , la distribución muestral se aproxima a una normal.
Inferencia
Comparando las áreas
Utilizando el valor de la hipótesis p0
zc = z0.025 = −1.96
p0 q0
= 0.0487
n
pˆ − p0 0.60 − 0.50
=
= 2.08
zm =
0.048
σ pˆ
σˆ pˆ =
α = 0.05
1 − CDF.normal (2.08) = 0.021
⇒ cola sup = 0.021
⇒ p = 2 P ( z > zm ) = 2(0.021) = 0.042
⇒ p < α ⇒ Se rechaza H 0
Decisión
La diferencia entre el valor muestral obtenido, 0.6 y el valor de la hipótesis (0.5), es significativa al nivel α =
5%. (z = 2.08, p = 0.04). Por lo tanto existe evidencia suficiente para sustentar que la proporción de estudiantes
con Calificaciones superior a la media es distinta de la Calificación debajo de la media, para los que tienen
Participación Atlética de 4 o más semestres.
SPSS
a) Chi-cuadrado
Figura 5-146
227
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
b) t de Student
Figura 5-147
c)
Paso 5 Verificación: potencia retrospectiva
El resultado es significativo por lo cual deberíamos calcular P para un tamaño del efecto bajo. Resolveremos el
problema con una distribución chi-cuadrado.
Chi-cuadrado (solución descentralizada)
El parámetro descentralizado para la distribución χ2 es:
nc = w2n
Si consideramos, por ejemplo, un efecto chico de 0.10:
nc = 0.12 (852) = 8.52
El cálculo de la potencia se realiza de la misma forma que en los problemas anteriores:
IDF .CHISQ(0.95, 2) = 5.99
1 − NCDF .CHISQ(5.99, 2,8.52) = 0.75
P = 0.75
Este valor indica que es probable que si este efecto chico existiera en la población, existe un 75% de
probabilidades de que sea detectado en el estudio. Como la potencia es menor de 0.80, consideramos que no es
detectado y por lo tanto que el estudio es concluyente.
GPower
χ2 tests
Goodness of fit tests: Contingency tables
Post hoc,
effect size: 0.10 (chico), α = 0.05, n = 852, ν = 2.
Entrega una potencia de: 0.75.
Gráficas
En la figura 5-148 y en la figura 5-149 se observan las distribuciones y las curvas de Potencia en función del
tamaño del efecto, para varios valores de n. Con el tamaño de la muestra (n = 852), se requeriría un tamaño del
efecto de 0.11 para llegar a una potencia de 0.82.
228
Jorge Carlos Carrá
IV Análisis de dos variables: Asociación entre variables
Potencia y tamaño de la muestra
Figura 5-148
Figura 5.149
229
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Problema b: Regresión simple
1 Escala por escala
Trata de establecer la predicción del valor de una variable aleatoria Y que es función lineal de una
variable no aleatoria x. No debe confundirse la independencia estadística introducida en el capítulo
1 con la dependencia matemática que indica cual es la variable funcionalmente independiente. Para
evitar esta doble utilización de la palabra independencia, cuando nos refiramos a la independencia
funcional, se utilizará la simbología de VD para la variable dependiente y VI para la variable
independiente. Otra alternativa es usar el término de variable regresora o predictora para x y
variable respuesta para y.
En el capítulo 1 vimos como obtener una ecuación de regresión que modela la relación entre las
variables de la muestra. Esta herramienta sería intrascendente si no damos un paso decisivo para, a
partir de esa ecuación, modelar la relación de esos datos en la población y responder acerca de cuál
es la calidad de esta relación para poder finalmente usar este modelo como predictor.
En esta sección comenzaremos con la construcción de IC y PH para realizar la inferencia para una
sola VI de escala (y una sola VD de escala) y poder así predecir valores, conociendo el margen de
error. Luego analizaremos si se viola alguno de los supuestos sobre los que basaremos el análisis.
Al final de la sección consideraremos variables categóricas tanto en la VI como en la VD y en el
capítulo 6 trataremos la regresión múltiple, con más de una VI.
Utilización
•
•
Si el análisis de correlación lineal resulta no significativamente distinto de 0, la mejor estimación
de la variable es la media.
Si el análisis de correlación lineal resulta significativamente distinto de 0, la mejor estimación de
la variable es el valor que resulta de la recta de regresión. Tener en cuenta que podría presentarse
el riesgo de un tamaño muestral grande (página 80) lo cual produciría un resultado significativo
aún para un valor de r chico. En estos casos la predicción no sería tan buena, pudiendo
minimizar este riesgo con un análisis de potencia retrospectiva.
Supuestos
El modelo matemático se basa en 4 supuestos. Los 3 primeros se encuentran simbolizados en la
figura 5-150.
1 Linealidad
La relación poblacional se modela por la siguiente relación lineal respecto de los parámetros de la
recta, llamada LRP, Línea de Regresión Poblacional (desconocida):
⎧ Y = E (Y ) + ε
⎨
⎩ E (Y ) = B0 + B1 x
Tanto los valores de los coeficientes de la recta como del error ε, son desconocidos.
Es importante destacar que la linealidad no se refiere a la relación entre las variables VI y VD (la
cual puede ser no lineal como en este caso de regresión simple), sino a la linealidad en las Bi.
230
Jorge Carlos Carrá
IV Análisis de dos variables: Asociación entre variables
Supuestos
2 Aleatoriedad
Y es una variable aleatoria, pero en principio es conveniente suponer que x no es aleatoria sino
constante (a diferencia del análisis de correlación), es decir o bien es determinista controlada por el
investigador o bien es un valor observado de una variable aleatoria X (X = x). Ambos casos se tratan
en forma idéntica, pero su interpretación es distinta. El hecho que x se asuma constante será la base
de varias de las demostraciones y permite asignar la variabilidad de la ecuación, enteramente a Y.
Llamamos a la componente determinista: E(Y) o μY, en tanto que a la componente aleatoria: ε
(error).
Para remarcar la condición de x no aleatoria, se suele usar también la notación:
E (Y ) = E (Y | x) = μY | x
Los valores poblacionales que interesa predecir son:
1. Coeficientes B de la recta de regresión poblacional.
2. E(Y) para varios valores coincidentes de x.
3. Valor específico de un nuevo Y para un solo valor de x.
Los símbolos de estos valores son los mismos que se usaron en el capítulo 1, sin el agregado del
carácter circunflejo. Observar que tanto E (Y ) como Y , son valores poblacionales desconocidos,
pero en tanto Y es aleatorio (su valor es al azar), E (Y ) es fijo y determinado. En la figura 5-150, Y
se encuenra en algún lugar desconocido y aleatorio de la vertical correspondiente al x estudiado, en
tanto que E (Y ) , también desconocido, se encuentra sobre la LRP fija.
3 Error: Normalidad y Homocedasticidad
Para cada valor de x, se generan distintos valores de y, debido a errores sistemáticos
(equivocaciones) y aleatorios (provocados por variables omitidas en el modelo (regresión múltiple) y
por limitaciones en la recolección / medición de los datos).
La distribución del error ε y por lo tanto la distribución de los valores de Y (pues E(Y) es constante),
se asume normal:
N ( E (ε ),V (ε )) normal
con:
⎧ E (ε ) = 0
⎨
2
⎩V (ε ) = V (Y ) = σ constante
Observar en la figura 5-150 que el modelo de la recta de regresión es entonces una verdadera recta
que contiene los promedios o valores esperados sobre la cual se presentan las variabilidades
(normales) del error aleatorio. Existen modelos con otras distribuciones de ε llamados GLM, General
Lineal Models. En estos modelos se puede elegir la distribución dentro del grupo de las familias de
las exponenciales (Poisson, Binomial, Gauss, Gamma, etc).
La propiedad de que las varianzas σ2 de esas distribuciones normales sean iguales para cualquier
valor de x, se llama homocedasticidad. Esta propiedad se viola si algunos puntos del diagrama de
dispersión están más cerca de la recta de regresión que otros.
Como este error poblacional se desconoce, se estima por el residuo e definido en el capítulo 1:
e = Y − Yˆ
Corolario 1
Una consecuencia de los supuestos 2 y 3 es que la variable x no está correlacionada con el error de Y
(y por lo tanto con el residuo).
E ( x, ε ) = xE (ε ) = 0
Esto es, se cumple la condición de independencia (capítulo 1):
231
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
E ( x, ε ) = E ( x) E (ε )
Corolario 2
Se refiere a los parámetros de ε .
⎧ E (ε ) = 0
⎪
⎨
σ2
⎪V (ε ) =
n
⎩
4 Error: Independencia
Los errores ε que se presentan en una sucesión de mediciones (variable tiempo), son independientes
entre sí.
Cov(ε i , ε j ) = 0
Si se expresara esta relación en forma de una matriz de covarianzas, la misma sería una matriz
diagonal con todas las celdas de la diagonal igual a σ2 y ceros fuera de la misma.
Para reflejar este supuesto se grafican los residuos e, en función de x sucesivas.
La no independencia se llama autocorrelación. Si la mayoría de los residuos positivos es seguida de
un residuo también positivo, se denomina autocorrelación positiva. Si es seguido por un residuo de
sentido contrario, se denomina autocorrelación negativa.
Figura 5-150
Línea de Regresión Poblacional, LRP
Para sintetizar todas las propiedades de los errores se suele utilizar la notación NID, Normally and
Independently Distributed, (Distribuidos Normal e Independientemente) y expresar que la
distribución de los errores es:
NID(0,σ )
Error estándar de la estimación
Como la desviación estándar σ del error poblacional ε, se desconoce, se necesita una medida que
contenga la variabilidad en torno a la recta de regresión. Su interpretación es análoga a la desviación
estándar. Así como la desviación estándar mide la variabilidad en torno a la media aritmética, el
error estándar de la estimación mide la variabilidad en torno a la recta de regresión.
232
Jorge Carlos Carrá
IV Análisis de dos variables: Asociación entre variables
Cadena de Normalidad
Demostraremos luego de obtener la varianza de la pendiente, que SSE/ν (ν son los grados delibertad
que se explicitarán enseguida) es un estimador insesgado de σ2, por lo tanto:
σˆ 2 =
SSE
ν
ν = n - N ° Bi
Como ya sabemos, el símbolo circunflejo significa "estima de" σ. El valor σ̂ se denomina error
estándar de la estimación y la expresión indica que mide la variabilidad o dispersión de los
valores observados de y alrededor de la recta de regresión.
• SSE es la suma de los cuadrados de los residuos definida en el capítulo 1. De aquí que cualquier
incumplimiento en los supuestos del modelo puede afectar la utilidad de este estimador de σ2. Se
dice que es un estimador dependiente del modelo.
• N° de Bi es el número de coeficientes de la recta. En la regresión simple este número es igual a
2.
Los grados de libertad no son n − 1 como en el cálculo de la varianza muestral (en donde se
estima la media poblacional), sino n − 2 pues para el cálculo de σ̂ 2 se debe usar la estima de 2
parámetros poblacionales (B0 y B1) en lugar de 1.
Observar que este residuo no se mide perpendicularmente a la recta de regresión, sino a lo largo del
eje y.
Es de hacer notar, además, que el estimador de σ2 es SSE/ν y no la varianza de e. El valor σ2 solo
contempla la varianza de y sin incluir la varianza de ŷ , por lo tanto su estima sigue los mismos
lineamientos. Veremos más adelante cual es la expresión completa de la varianza del residuo e
(página 244).
•
Relación entre el cuadrado del error estándar de la estimación y el coeficiente
de correlación
Recordando (capítulo 1):
SST = SS yy = SSE + SSR
Dividiendo por SSyy:
1=
SSE
+ R2
SS yy
Finalmente:
1 − R2 =
SSE σˆ 2 (n − 2)
= 2
SS yy
s y (n − 1)
Cadena de Normalidad
En el capítulo 3 vimos que si Y1, ….,Yn son variables aleatorias distribuidas normalmente, entonces
la combinación lineal de ellas, también es normal. Utilizando esta propiedad y partiendo del
supuesto número 2 de que el error poblacional ε se asume normal, podemos descubrir una cadena de
distribuciones normales.
ε ⇒ Y ⇒ Bˆ ⇒ Yˆ ⇒ e
Si la respectiva varianza es conocida, cualquiera de estas variables aleatorias es normal, pues se
relaciona con las anteriores a través de una combinación lineal (las 3 últimas surgen de las
ecuaciones de cálculo de cada una de ellas, estudiadas en el capítulo 1). En particular, las
distribuciones de
B̂ y de Ŷ , nos permitirán realizar la inferencia a la población. Como veremos
233
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
luego, todas las varianzas dependen de la varianza del error σ 2 , la cual es comúnmente
desconocida. Pero si se reemplaza σ 2 por el estimador insesgado σ̂ 2 (cuadrado del error estándar
de la estimación), entonces se demuestra que las distribuciones son ahora t de Student, con las cuales
puede ser realizada la inferencia.
Observar además que los valores numéricos de los coeficientes o de la VD, obtenidos en el capítulo
1, deben interpretarse como un valor puntual muestral de una variable aleatoria.
Estima puntual. Teorema de Gauss–Markov
Los estimadores puntuales de la ecuación de regresión, obtenidos por OLS (Ordinary Least Square),
son estimadores de mínima varianza, EIMV, o eficientes, (también llamados BLUE, Best Linear
Unbiased Estimator, página 19), aunque no necesariamente convergentes. Pueden existir mejores
estimadores, pero serán sesgados o no lineales.
Sabemos además que una estima puntual de valores no informan sobre la precisión. Para ello, al
igual que para los IC, construiremos en lo que sigue, intervalos.
a. Inferencia sobre los coeficientes de
la recta
Modelado
Los coeficientes son función lineal de los valores de la variable y. Como se supone que la
distribución de esta variable es normal, entonces serán normales las distribuciones de los
coeficientes. Por lo tanto, las transformaciones a realizar son en este caso a la variable z o a la
variable t, según se conozca o no la varianza del error, respectivamente.
En el caso de que no se conozca esta varianza, se puede demostrar que la expresión:
t=
Bˆi − Bi
σˆ ( Bi )
tiene una distribución t de Student con:
ν = n − N ° Bi
en nuestro caso será: ν = n–2.
Para realizar la inferencia, solo resta obtener las ecuaciones de la media y la varianza.
θ = B1 (pendiente)
Distribución t
Demostraremos que:
E ( Bˆ1 ) = B1
V ( Bˆ1 ) =
σ2
SS XX
Dos bases para las demostraciones:
• B̂1 =
cY (combinación lineal de las observaciones Y, que se obtendrá a continuación)
∑
•
234
Y = B0 + B1 x + ε (LRP)
Jorge Carlos Carrá
IV Análisis de dos variables: Asociación entre variables
a. Inferencia sobre los coeficientes de la recta
SS xy ∑ Δ x Δ y ∑ Δ x y − y ∑ Δ x
Δ y
Bˆ1 =
=
=
= ∑ x = ∑ cY
SS xx
SS xx
SS xx
SS xx
donde hemos llamado:
c=
Δx
=
SS xx
Δx
=
∑ Δxx − x∑ Δx
Δx
∑ Δxx
Por lo tanto, los coeficientes B1 son una combinación lineal de las observaciones Y.
Observar que:
∑c = 0
∑ cx = 1
1
∑ c = SS
2
xx
Si observamos que las x son fijas:
Media
E ( Bˆ1 ) = ∑ cE (Y ) = ∑ cE ( B0 + B1 x + ε ) = B0 ∑ c + B1 ∑ cx + ∑ cE (ε ) = B1
Por lo tanto B̂1 es un estimador insesgado de B1 .
Varianza
σ2
V ( Bˆ1 ) = ∑ c V (Y ) = σ 2 ∑ c 2 =
SS xx
donde hemos utilizado la independencia de los errores ε. Observar que no es un estimador
convergente (página 18), pero por el teorema de Gauss-Markov es un estimador eficiente o de
mínima varianza.
Nota
El estadístico t se obtiene de:
t=
Bˆ1 Bˆ1 SS xx Bˆ1sx n − 1
=
=
sB1
σˆ
σˆ
Esta prueba es en realidad idéntica a la del coeficiente de correlación. Esta característica puede visualizarse
reemplazando en la ecuación de t, la pendiente y el error estándar de la estima y recordando las siguientes
relaciones (capitulo 1):
s
Bˆ1 = r y
sx
1− r2 =
SSE σˆ 2 ( n − 2)
= 2
SS yy
s y (n − 1)
Se obtiene así:
t=r
n−2
1− r2
ecuación ya presentada para el coeficiente de correlación (página 207).
θ = B0 (Ordenada al origen)
Es de menor interés que B1. Demostraremos que:
E ( Bˆ0 ) = B0
235
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
σ
σ
V ( Bˆ0 ) =
+ x2
n
SS xx
2
2
Dos bases para las demostraciones (en ninguna aparece Yˆ ):
• Y = Bˆ0 + Bˆ1 x (LRM)
•
Y = B0 + B1 x + ε (LRP)
Media
E ( Bˆ0 ) = E (Y ) − E ( Bˆ1 ) x = B0 + B1 x − B1 x = B0
Por lo tanto:
E ( Bˆ0 ) = B0
Es decir: B̂0 es un estimador insesgado de B0 .
Varianza
V ( Bˆ0 ) = V (Y ) + x 2V ( Bˆ1 ) − 2 xCov(Y , Bˆ1 )
Primer término
Y = B0 + B1 x + ε
V (Y ) = V (ε ) =
1
σ2
V
(
)
ε
=
n2
n
Segundo término
σ2
x 2V ( Bˆ1 ) = x 2
SS xx
Tercer término
La covarianza ente Y y B̂1 es cero (ver demostración en la página 239).
Reemplazando éstas relaciones y agrupando:
V ( Bˆ0 ) =
σ2
n
+ x2
σ2
⎛ 1 x2 ⎞
=σ2⎜ +
⎟
SS xx
⎝ n SS xx ⎠
Observar nuevamente que no es un estimador convergente (página 18), pero por el teorema de
Gauss-Markov es un estimador eficiente o de mínima varianza.
Como se desconoce σ, se reemplaza por el error estándar de la estimación y en correspondencia se
cambia el símbolo de la varianza por el de varianza estimada.
Consecuencia
•
Para disminuir la varianza de la pendiente y de la ordenada al origen, es conveniente que los
valores de x estén dispersos horizontalmente (gran SSxx). En el caso de la ordenada al origen es
conveniente además que el tamaño n de la muestra sea grande.
A partir de la varianza de la pendiente es posible demostrar 2 ecuaciones que habían quedado
pendientes.
1 Demostración del valor del error estándar de la estimación
σˆ =
236
SSE
ν
Jorge Carlos Carrá
IV Análisis de dos variables: Asociación entre variables
a. Inferencia sobre los coeficientes de la recta
Partimos de:
E ( SSE ) = E[∑ (Y − Yˆ ) 2 ] = E[∑ (Y − Bˆ0 − Bˆ1 x) 2 ]
Reemplazando:
Bˆ0 = Y − Bˆ1 x
E ( SSE ) = E[∑ (Y − Y + Bˆ1 x − Bˆ1 x) 2 ]
Agrupando:
E ( SSE ) = E[∑ [(Y − Y ) − Bˆ1 ( x − x )]2 ]
Desarrollando el cuadrado:
E ( SSE ) = E[∑ (Y − Y ) 2 + Bˆ12 ∑ ( x − x ) 2 − 2 Bˆ1 ∑ (Y − Y )( x − x )]
De la ecuación de la estima de la pendiente (capítulo 1), obtenemos:
∑ (Y − Y )( x − x ) = ∑ ( x − x ) Bˆ
2
1
Por lo tanto, los 2 últimos términos se agrupan en:
− Bˆ12 ∑ ( x − x) 2
Recordando además (Steiner, capítulo 1):
∑ (Y − Y ) = ∑ Y
2
2
− nY 2
E ( SSE ) = E[∑ Y 2 − nY 2 − Bˆ12 ∑ ( x − x ) 2 ]
Distribuyendo la E:
E ( SSE ) = ∑ E (Y ) − nE (Y 2 ) − E ( Bˆ12 )∑ ( x − x ) 2
2
Recordando nuevamente la expresión de Steiner:
E (U 2 ) = V (U ) + [ E (U )]2
se obtiene:
E ( SSE ) = ∑ [V (Y ) + [ E (Y )]2 ] − n[V (Y ) + [ E (Y )]2 ] − [V ( Bˆ1 ) + [ E ( Bˆ1 )]2 ]∑ ( x − x ) 2 ]
Reemplazando las identidades siguientes:
E (Y ) = B0 + B1 x
V (Y ) = σ 2
E ( Bˆ ) = B
1
V ( Bˆ1 ) =
1
σ2
SS XX
E (Y ) = B0 + B1 x
se obtiene:
E ( SSE ) = nσ + ∑ ( B0 + B1x) − n[
2
Agrupando los términos en
2
Bo2,
B12
σ2
n
+ ( B0 + B1 x ) ] − ∑ ( x − x ) [
2
2
σ2
SS XX
+ B12 ]
y 2 BoB1, se observa que todos ellos se anulan, por lo tanto:
E ( SSE ) = ( n − 2)σ 2
Es decir:
237
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
⎛ SSE ⎞
2
E⎜
⎟ =σ
⎝n−2⎠
Por lo tanto, un estimador insesgado de σ es:
SSE
n−2
σˆ 2 =
Si se recorre la demostración, se podrá apreciar que el valor 2 que aparece en la expresión, coincide
con el número de parámetros Bi de la ecuación de regresión.
2 Demostración del estadístico de rP
La varianza estimada de la pendiente se define como:
σˆ 2
Vˆ ( Bˆ1 ) =
SS xx
Si reemplazamos en esta expresión, la expresión del error estándar de la estimación y recordamos la
expresión de SSE (capítulo 1):
SSE = SS yy −
SS xy 2
SS xx
obtenemos:
⎛ SS yy ⎛ SS xy ⎞2 ⎞
1
⎜
−⎜
Vˆ ( Bˆ1 ) =
⎟ ⎟
n − 2 ⎜ SS xx ⎝ SS xx ⎠ ⎟
⎝
⎠
Recordando que (capítulo 1):
SS yy
Bˆ1 = rP
SS xx
resulta (llamando r a rP, por simplicidad):
Vˆ ( Bˆ1 ) =
1 ⎛ Bˆ12 ˆ 2 ⎞
− B1 ⎟
⎜
n − 2 ⎝ r2
⎠
Bˆ 2 ⎛ 1
Bˆ 2 ⎛ 1 − r 2 ⎞
⎞
Vˆ ( Bˆ1 ) = 1 ⎜ 2 − 1⎟ = 1 ⎜ 2 ⎟
n−2⎝ r
⎠ n−2⎝ r ⎠
La expresión del estadístico t de la pendiente, con H0: ρ = 0 (con lo cual B1 = 0), es:
t=
Bˆ1 − B1
Bˆ1
=
σ ( Bˆ1 ) σ ( Bˆ1 )
Reemplazando la varianza de la pendiente por la expresión obtenida de la varianza estimada de la
pendiente, queda finalmente:
t=r
n−2
1− r2
Esta expresión demuestra la relación planteada en la página 207.
t=
238
r−ρ
σr
=
r −0
σr
Jorge Carlos Carrá
IV Análisis de dos variables: Asociación entre variables
a. Inferencia sobre los coeficientes de la recta
Covarianzas
Veamos las covarianzas que son necesarias en las demostraciones.
a Covarianza entre Y y B̂1
A partir de la independencia entre las Yi, demostraremos que la covarianza ente Y y B̂1 es cero, es
decir no están correlacionados.
De acuerdo a una de las propiedades de la covarianza (capítulo 1):
Y
c
Cov(Y , Bˆ1 ) = Cov(∑ i , ∑ ciYi ) = ∑ i Cov(Yi , Y j )
n
n
Puede observarse que las variables dentro de la covarianza coinciden. Luego:
• Cuando i ≠ j, el valor es 0, pues las variables son independientes,
• Cuando i = j, el valor también es 0, pues la covarianza se convierte en la varianza V (Yi ) = σ 2 .
Como este valor es constante por el supuesto inicial, sale fuera de la sumatoria, quedando solo
ci , suma que es cero por demostración anterior.
∑
Cov(Y , Bˆ1 ) = 0
Otra demostración:
Cov(Y , SS xy ) Cov(∑Y , ∑Y ( x − x ) ∑ ( x − x )σ
Cov(Y , Bˆ1 ) =
=
=
=0
SS xx
nSS xx
nSS xx
2
b Covarianza entre B̂0 y B̂1
Cov( Bˆ , Bˆ ) = Cov(Y − xBˆ , Bˆ ) = Cov(Y , Bˆ ) − xCov( Bˆ , Bˆ )
0
1
1
1
1
1
1
Pero ya hemos visto que:
Cov (Y , Bˆ1 ) = 0
Por otra parte:
Cov( Bˆ1, Bˆ1 ) = V ( Bˆ1 ) =
σ2
SS xx
Por lo tanto:
Cov( Bˆ0 , Bˆ1 ) =
− xσ 2
SS xx
A menos que x sea cero, B̂0 y B̂1 están altamente correlacionados.
c Covarianza entre Y y Ŷ
Cuando se predice un valor no utilizado en el cálculo del valor estimado, estas variables aleatorias
son independientes y por lo tanto su covarianza es cero.
Peor si el valor x pertenece a los datos, Y no es independiente de Ŷ . Se puede demostrar que en
este caso la covarianza Cov (Y , Yˆ ) , coincide con la varianza de Ŷ , la cual se demostrará en la
página 242. Por lo tanto:
⎛ 1 ( x − x )2 ⎞
Cov(Y , Yˆ ) = V (Yˆ ) = σ 2 ⎜ + a
⎟
SS xx ⎠
⎝n
239
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Análisis
A partir de los modelos anteriores, con el estadístico de prueba t (pues σ se debe estimar con σ̂ ), se
pueden formular inferencias como IC o PH.
Un caso importante en la elección del valor del coeficiente de la pendiente B1 para una PH, es
determinar si existe o no una relación significativa entre las variables. Para esto se prueba si la
pendiente es o no igual a cero. Esta prueba es en esencia la significación del modelo.
H 0 : B1 = 0
H A : B1 ≠ 0
Si no se puede rechazar la H0, el mejor estimador es la media ŷ = y o la verdadera relación entre
las variables no es lineal.
Dado que este coeficiente de la recta de regresión se relaciona directamente con el coeficiente de
correlación rP (recordar que la pendiente de la recta estandarizada, coincide con rP), los valores de t
(o z) de ambas PH coinciden. Esta coincidencia no se mantiene en la regresión múltiple.
ANOVA
Existe otra prueba estadística para probar la significación del modelo:
H 0 : B1 = 0
H A : B1 ≠ 0
Si no se rechaza la hipótesis nula, puede admitirse (luego de una prueba de potencia) que no existe
relación lineal entre las variables. Si se rechaza, el modelo lineal (o uno de grado superior, regresión
múltiple) es adecuado.
En el capítulo 1 se definieron las magnitudes:
e2 = ( y − yˆ ) 2 Residuo no explicado por la regresión.
• SSE =
•
∑ ∑
SST = ∑ Δ y = ∑ ( y − y )
2
2
Variabilidad total ( SS yy ) si no hay variables x (el mejor predictor
es la media).
•
SSR = ∑ Δ yˆ 2 = ∑ ( yˆ − y ) 2 Variabilidad explicada por la regresión ( SS yyˆˆ ) respecto del
predictor anterior (la media).
Recordemos además las expresiones más simples para el cálculo:
•
•
SST = SS yy
SS xy2
= Bˆ12 SS xx = Bˆ1SS xy
SS xx
SST = SSE + SSR
SSR =
•
Si dividimos las mismas por grados de libertad apropiados obtenemos expresiones de las varianzas:
•
•
SSR
. En general ν es igual al número de coeficientes B de la recta menos 1.
1
SSE
2
MSE =
(equivale a σˆ , ya definido). En general ν es igual a n menos el número de
n−2
MSR =
coeficientes B de la recta.
•
MST =
SST
. ν es igual a n menos 1.
n −1
La prueba estadística F de comparación de varianzas de la sección anterior (página 197), sugiere que
también exista una prueba F para comparar las varianzas explicada M;SR y no explicada MSE de la
regresión.
El estadístico:
240
Jorge Carlos Carrá
IV Análisis de dos variables: Asociación entre variables
b. Inferencia sobre los valores de y
F (1, n − 2) =
MSR
MSE
pertenece a un conjunto poderoso de pruebas llamado ANOVA, ANalysis Of VAriance que se
estudiaran en el capítulo 6, Inferencia paramétrica 2.
El valor de F será 0 cuando MSR sea 0, es decir cuando la recta sea horizontal, su pendiente sea 0 y
la relación sea no lineal.
Para un valor alto de F, rechazaríamos la hipótesis de linealidad. Como la distribución de F es
conocida, se podrán utilizar las regiones de rechazo y de no rechazo, ya familiares.
En el capítulo 3, vimos que existe una relación entre la prueba F y la prueba t:
Fα (1, n − 2) = tα2 / 2 ( n − 2)
De esta forma, los valores obtenidos con la prueba t anterior, deben ser compatibles con la ecuación
de F. De todas formas, observar que la prueba t permite probar 1 o 2 colas, en cambio la prueba F,
solo puede probar 2 colas de t (F es el valor absoluto de t y por lo tanto equivale a una doble
desigualdad).
Las pruebas ANOVA se presentan siempre con el formato convencional de la figura 5-151.
SS
ANOVA
MS
ν
F
Sig
Regresión
Residuos
Total
Figura 5-151
b. Inferencia sobre los valores de y
θ = E(Y)
Modelado
Se trata de inferir sobre el valor medio (determinista) de la variable aleatoria Y, E(Y) que se
encuentra sobre la línea de regresión poblacional, LRP para varios valores iguales de xa (todos los
que se encuentren en el escenario del problema). Se utilizará el valor estimado de Y para originar los
IC o PH correspondientes. La distribución de la Yˆ en estudio será una de las graficadas
verticalmente en la figura 5-150, para el valor de x deseado.
Dado que la distribución de los coeficientes es normal, entonces será normal la distribución de la
estima de la variable y, pues ésta es una relación lineal de aquellos. Por lo tanto, las
transformaciones a realizar en este caso son a la variable z o a la variable t, según se conozca o no la
varianza del error, respectivamente.
En el caso de que no se conozca esta varianza, se puede demostrar que la expresión:
t=
Yˆ − μY | x
σˆ yˆ
tiene una distribución t de Student con:
ν = n − N ° Bi
En este caso ν = n − 2 .
241
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
El hecho de que se utilice la letra B para simbolizar al error de estimación no debe provocar
confusiones pues los coeficientes de la recta siempre llevan subíndices. Si se desea, se puede utilizar
la letra E como alternativa.
B = E = tcσ Yˆ
Para realizar la inferencia, solo resta obtener las ecuaciones de la media y la varianza de Yˆ .
Dos bases para las demostraciones:
•
•
Yˆ = Bˆ0 + Bˆ1 x (LRM)
Y = Bˆ + Bˆ x (LRM)
0
1
Media E (Yˆ )
E (Yˆ ) = E ( Bˆ0 ) + E ( Bˆ1 ) x = B0 + B1 x = E (Y | x) = μY | x
Por lo tanto:
E (Yˆ ) = μY | x
Varianza V (Yˆ )
V (Yˆ ) = V ( Bˆ0 + Bˆ1 x) = V (Y + Bˆ1 ( x − x ))
⎛ 1 ( x − x )2 ⎞
V (Yˆ ) = σ 2 ⎜ +
⎟
SS xx ⎠
⎝n
Esta deducción utiliza la propiedad ya demostrada de que la covarianza entre Y y B̂1 es 0.
Otra alternativa de demostración, surge de utilizar la covarianza de B̂0 y B̂1 :
V (Yˆ ) = V ( Bˆ0 ) + Bˆ1 x) = V ( Bˆ0 ) + x 2V ( Bˆ1 ) + xCov( Bˆ0 , Bˆ1 )
Reemplazando las respectivas varianzas y covarianzas y agrupando, se obtiene la ecuación anterior.
En la figura 5-152 se muestra en línea punteada la Línea de Regresión Muestral. LRM, con las
bandas de IC conteniendo los IC de μY para cada punto (medidos en dirección vertical pues es la
dirección de Y).
Consecuencias
Puede observarse que la varianza V (Yˆ ) disminuye con:
1. La disminución del error estándar de estimación (dispersión de los datos originales sobre cada
vertical).
2. El aumento de n.
3. El aumento de la dispersión horizontal SSxx.
4. El acercamiento del valor de xa a la media. Los IC presentan el valor mínimo en la media y se
van ensanchando a medida que se aleja la VI de la media.
Si el valor de n es grande y el punto se encuentra cerca de la media, la varianza tiende a cero y
por lo tanto también el IC de ese punto.
242
Jorge Carlos Carrá
IV Análisis de dos variables: Asociación entre variables
b. Inferencia sobre los valores de y
Figura 5-152
Línea de Regresión Muestral, LRM
Bandas con trazo punteado: IC de E(Y)
Bandas con trazo lleno: IP de Y
Análisis
A partir de los modelos anteriores y en forma totalmente análoga al resto del capítulo, se pueden
formular inferencias como IP o PH, para E (Y ) .
t=
Yˆ − μY | xa
σ Yˆ
IC
⎧⎪ P ( μY | xa = yˆ a ± B ) = c
⎨
⎪⎩ B = tα /2σ Yˆ
PH
Comparaciones:
p ↔α
t m ↔ tc
yˆ m ↔ yˆ c
θ= Y
Es el valor Y para un solo valor de xa. Se trata de inferir sobre el valor específico de la variable
aleatoria Y, en general fuera de la línea de regresión poblacional, LRP (ver nuevamente la figura 5150), por efecto de la variabilidad σ del error ε. Como Y es una variable aleatoria, es una situación
diferente a la inferencia de un valor determinista, tal como los parámetros poblacionales estudiados
hasta ahora. Cuando la estima se realiza sobre una variable y no sobre una constante, los intervalos
se llaman de intervalos de predicción, IP, en lugar de intervalos de confianza. Por la misma razón y
a diferencia de la precaución que debe tenerse en la lectura de un IC (página 23), ahora no existe ese
riesgo.
243
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Modelado
Partimos del análisis del residuo e del cual, como veremos, se conoce la distribución y sus
parámetros.
Como ya sabemos:
e = Y − Yˆ
Como ambas variables de la derecha son aleatorias distribuidas normalmente y el residuo es una
combinación lineal de ellas, también tendrá una distribución normal. Por lo tanto, las
transformaciones a realizar en este caso son a la variable z o a la variable t, según se conozca o no la
varianza del error ε, respectivamente.
En el caso de que no se conozca esta varianza, se puede demostrar que la expresión:
t=
e − E (e)
σe
tiene una distribución t de Student con:
ν = n − N ° Bi
en nuestro caso será: ν = n–2.
Media del residuo e
E (e) = E (Y ) − E (Yˆ )
Pero hemos visto enel punto anterior que los 2 términos de la derecha son iguales. Por lo tanto:
E (e) = 0
Varianza del residuo e
Debemos diferenciar si el valor y pertenece a los datos ym (y muestral) o se extrapola de los mismos
yP (y predicho).
a) y predicho yP
En este caso el punto de coordenadas x es un nuevo valor que no pertenece al cálculo de la recta (por
eso se llama valor predicho e intervalo de predicción).
V (e) = V (Y − Yˆ ) = V (Y ) + V (Yˆ ) − 2Cov (Y , Yˆ )
Como se predice un valor no utilizado en el cálculo del valor estimado, estas variables aleatorias son
independientes y por lo tanto su covarianza es cero. Por lo tanto llamando eP al residuo predicho:
V (eP ) = σ 2 + V (Yˆ )
Reemplazando las expresiones conocidas de los dos primeros términos, resulta:
⎛ 1 ( x − x )2 ⎞
V (eP ) = σ 2 + σ 2 ⎜ + a
⎟
SS xx ⎠
⎝n
En definitiva:
⎛ 1 ( x − x )2 ⎞
V (eP ) = σ 2 ⎜1 + + a
⎟
SS xx ⎠
⎝ n
Consecuencias
•
244
Puede observarse que la estima de un solo valor de Y, es mayor que la correspondiente al valor
medio E(Y) ( figura 5-152, trazo contínuo). Los IP de los valores específicos de Y son más
amplios debido al 1 que aparece dentro del paréntesis. Esto es debido a que, en la estima de un
Jorge Carlos Carrá
IV Análisis de dos variables: Asociación entre variables
b. Inferencia sobre los valores de y
•
valor específico de Y distinto de la media E(Y), ubicada sobre la línea de regresión poblacional
LRP (ver nuevamente la figura 5-150), interviene la varianza σ del error ε.
Se puede observar además que si el punto se encuentra cerca de la media y el tamaño de la
muestra es grande, se pueden despreciar los últimos sumandos del paréntesis y usar el error
estándar de estimación como varianza del intervalo.
Análisis: IP
Puesto que E (e) = 0 , resulta:
t=
Y − Yˆ
σe
Se puede utilizar esta ecuación como ecuación pivote de Y, despejándo este valor de la misma para
construir un IP. Apreciar que, a diferencia de los IC clásicos, el valor estimado se encuentra
antecedido por un signo +. De todas formas, como la distribución es simétrica ( tα / 2 = −tα /2 ), no
existen diferencias en la expresión final de los IP, respecto de los IC.
Apreciar además que ambas variables Y e Yˆ son aleatorias, por lo cual el dibujo de la distribución
en estudio es la de e y no la de cada una de ellas.
Por otra parte, no podría construirse una PH pues el valor poblacional Y es una variable aleatoria y
solo se puede realizar una hipótesis sobre un valor desconocido fijo.
b) y muestral ym
En este caso el punto de coordenadas x pertenece a los datos con los cuales se calculó la recta.
Si el valor pertenece a los datos, y no es independiente de Ŷ . En este caso, hemos visto que la
covarianza Cov (Y , Yˆ ) , coincide con la varianza de ŷ , es decir:
( xa − x )2 ⎞
2⎛1
ˆ
Cov(Y , Y ) = σ ⎜ +
⎟ = V (Yˆ )
n
SS
XX
⎝
⎠
Por lo tanto:
V (em ) = V (Y ) + V (Yˆ ) − 2V (Yˆ )
V (em ) = V (Y ) − V (Yˆ ) = σ 2 − V (Yˆ )
en definitiva:
V (em ) = σ 2 − V (Yˆ )
Reemplazando valores:
⎛ 1 ( x − x )2 ⎞
V (em ) = σ 2 ⎜1 − − a
⎟
SS xx ⎠
⎝ n
Confrontar la diferencia de signos de esta ecuación con la obtenida para el e predicho.
El valor t considerando la desviación estándar del error, variable con cada valor de x,
σ em = V (em ) , se llama residuo estudientizado, el cual sigue una distribución t con (n–1)–(k+1),
grados de libertad, siendo k el número de variables regresoras x.
t=
Y − Yˆ
σ em
245
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Si se considera la desviación estándar σ constante, se lo llama, residuo estandarizado, el cualsigue
una distribución normal.
z=
Y − Yˆ
σ
Como σ se desconoce se utiliza σ̂ , lo cual conduce a una t de Student con n–(k+1) grados de
libertad.
De todas formas los IC y los IP de cualquier valor, pertenezca o no a los datos, se calculan con los
valores predichos.
Consecuencias
•
•
Si x está cerca de la media y n es razonablemente grande, los residuos estudientizado y
estandarizado, son aproximadamente iguales.
Si x está lejos de la media, el valor de la varianza es pequeña (lo contrario de lo que sucede con
la predicción). En consecuencia, los puntos alejados tienen mayor influencia sobre la recta de
regresión pues al tener menos variabilidad están más cerca de la misma. Esta situación se llama
heterocedasdticidad y contradice uno de los supuestos del modelo (homocedasticidad). Veremos
luego una forma de encararlo (WLS).
Casos Influyentes
Es importante localizar aquellos puntos que tienen mayor efecto sobre el modelo, sea en los valores
predichos o en los coeficientes, modificando la orientación o la traslación de la recta. Naturalmente
sería deseable no tener este tipo de puntos.
Para esto se estudia el efecto que en la regresión, provoca la presencia (o ausencia) de un
determinado caso.
En este sentido, existen 2 tipos de ecuaciones de regresión: la estudiada hasta ahora, a la que
podemos llamar "completa" Ŷ y la "reducida" que puede crearse eliminado un determinado caso i,
a la que llamaremos Yˆ .
Si bien el SPSS entrega en forma automática las diferencias entre ambas rectas para cada punto de la
regresión, éstas diferencias pueden construirse "a mano" seleccionando todos los casos menos el
caso en cuestión (Select Cases), luego colocando ese valor de x como adicional para que el
SPSS calcule el valor predicho y solicitando la regresión. Las diferencias entre los valores de esta
ecuación reducida y los originales de la completa, deben coincidir con las entregas del SPSS.
Estas diferencias pueden ser relevantes e influyentes por diversas razones.
1. Tener pocos casos
2. Presencia de puntos extremos (outliers) en la variable x o en la variable y
3. Errores en la transcripción de datos
4. Modelo no adecuado
Antes de exponer las diferencias, veamos 2 índices referidos a los outliers.
i
Extremos en y, outliers
Son aquellos cuyos residuos estandarizados (ZRE) están a más de 3 desviaciones estándar de la
media.
Extremos en x, outliers
Los puntos extremos de la variable x pueden generar un efecto más grande sobre la regresión. Esto
es particularmente cierto en la regresión lineal. Imaginar por ejemplo, una nube de puntos
aproximadamente sobre una recta y un punto externo a la misma a gran distancia x. Obviamente la
246
Jorge Carlos Carrá
IV Análisis de dos variables: Asociación entre variables
Casos Influyentes
recta resultante será influenciada en forma importante por este punto, pero su residuo podría ser
relativamente bajo. Es decir que un residuo bajo no resulta garantía de un buen ajuste.
Además de poder estudiar si existen extremos en x (capítulo 1), se pueden obtener 2 indicadores que
informan acerca de la distancia de cada valor x, respecto de su media.
Distancia de Mahalanobis, MAH
Una forma de medir esa distancia para una regresión simple, es con el cuadrado de z:
⎛x −x ⎞
MAH i = ⎜ i
⎟
⎝ sx ⎠
2
En una regresión múltiple es más compleja de calcular. Observar que no interesa conocer la VD,
pero SPSS calcula esta distancia solo para los valores que tengan ambas coordenadas.
Puntos de corte
Se sugieren los siguientes puntos de corte para individualizar valores potencialmente influyentes,
aunque es preferible usar el índice Leverage (punto siguiente):
⎧MAHi > 15, si n < 100
⎨
⎩MAHi > 25, si n > 100
Leverage, LEV (brazo de palanca)
En una regresión múltiple, debemos recordar la matriz H, definida en el capítulo 1:
ˆ = HY
Y
Yˆi = ∑ hijY j
Se define al Leverage para cada caso como la diagonal de H. Como la matriz sombrero H,
contiene los pesos que multiplican a cada Yij para obtener Yˆi , el valor hii es el peso (leverage) de la
componente Yii .
Su valor resulta dado por:
hii =
k ( xi − x ) 2
+
n
SS xx
En particular para una regresión simple, k = 1:
hii =
1 ( xi − x )2
+
n
SS xx
Si se compara esta ecuación con la de la varianza del residuo e, se concluye que:
V (e) = σ 2 (1 − hii )
Como el valor medio es k/N, se define el leverage centrado como:
LEVi =
( xi − x ) 2
SS xx
Se puede observar que:
LEVi =
MAH i
n −1
247
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Puntos de corte
El valor de leverage se encuentra entre 0 y 1:
0 < hii < 1
Como el valor medio es k/n, se ha sugerido el siguiente punto de corte para individualizar valores
potencialmente influyentes:
hii >
2k
n
k = número de predictores x.
También se utilizan 2(k+1) o 2(k–1) en lugar de 2(k).
Leverage y Residuo
Un leverage alto está asociado con un residuo bajo (atrae la recta hacia él, de aquí el nombre) y
viceversa. Existen relaciones matemáticas que los vinculan:
SRE =
hii +
RES
σˆ 1 − hii
ei 2
≤1
SSE
De aquí que un deseable residuo bajo puede no provenir de un buen ajuste, sino de un alto leverage.
En otras palabras no es suficiente mirar solo a los residuos.
Diferencias en los coeficientes
Veamos ahora sí, a los índices de influencia, en este caso de los coeficientes. Todos ellos se pueden
definir en forma no estandarizada y estandarizada.
DfBETA(s), DFB
Diferencia en el coeficiente B respectivo, para el caso omitido (el coeficiente es único para todos los
casos). Se llaman Beta, pero se refieren a los coeficientes Bi y no βi.
DFBi = Bˆ − Bˆ i
SDfBETA, SDB
Es el valor estandarizado que surge al dividirlo por la desviación estándar de B̂
Nuevamente, no se trata del valor beta del capítulo 1. En algunos textos se coloca la S al final.
SDBi =
Bˆ − Bˆ i
σ Bˆ
Puntos de corte
Se adopta en general como punto de corte a 1 para muestras pequeñas y en general (SPSS):
| SDB |>
2
n
Diferencias en los valores predichos
A diferencia de los anteriores, se manifiestan en cada uno de los casos, no solo en el caso omitido.
Los 2 primeros, DfFIT y SDfFIT, son solo los valores de diferencia para el caso omitido.
248
Jorge Carlos Carrá
IV Análisis de dos variables: Asociación entre variables
Casos Influyentes
DfFIT, DFF
Diferencia (Difference) en el ajuste Ŷ .
DFFi = Yˆ − Yˆ i
SDfFIT, SDFF
El valor anterior se estandariza dividiéndolos por la desviación estándar. En algunos textos se coloca
la S al final.
SDFi =
Yˆ − Yˆ i
σ Yˆ
Puntos de corte
Algunos autores (SPSS) establecen el punto de corte como 1 para muestras pequeñas y en general:
| SDF |> 2
k
n
Distancia de Cook, COO
La diferencia anterior no contempla los cambios que la ausencia del caso i, provoca en el resto de los
valores predichos y residuos. Una medida que considera a todos los casos es la distancia de Cook.
∑ ( DFF )
2
i
COOi =
j
(k + 1)σ 2
k = número de predictores x.
Esta medida contempla el aporte sobre la influencia tanto de la VI como de la VD. Esto puede
observarse por la relación matemática existente entre COO y las causales hii (provocadas por x) y
SRE (provocadas por y):
COOi =
1
h
SREi 2 ii
k +1
1 − hii
COO aumenta tanto por el aumento de SRE como por el de hii.
Puntos de corte
Si un punto es influyente, su ausencia causa grandes cambios en la recta y su COO es alto. Un valor:
COO > 1
es usualmente utilizado como punto de corte. Sin embargo, más que seguir una regla rígida es útil
prestar atención a los puntos con COO relativos mayores que el resto.
Razón de covarianzas, COV
Es otra medida que incluye las diferencias en todos los casos e informa, no sobre la diferencia del
modelo, sino sobre la diferencia de las variabilidades o varianzas. Es el cociente entre el
determinante de la matriz SS con un caso particular excluido y la matriz con todos los casos.
COV i =
| SSi |
| SS |
Puntos de corte
Si el radio es igual a 1, no existe influencia.
249
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
COV i > 1 ± 3
k
n
k = número de predictores x.
La obtención manual de COO y COV sigue los mismos lineamientos anteriores.
Los casos que a la vez sean influyentes y extremos deben ser estudiados para iniciar una acción
correctiva. Entre ellas se podría decidir por: corrección de errores, transformación de los datos,
cambio del modelo o aumento del tamaño de la muestra.
SPSS
Analyze > Regressión > Linear > colocar las dos variables que se desean procesar en
las cajas de VD y VI.
Statistics
Se abre una caja de diálogo en donde se seleccionarán Estimates, Confidence Intervals
(colocar el nivel), Model fit y Descriptives. Con ellos se generan tablas con los estadísticos
básicos para el análisis.
Casewise diagnostics
Si se desea obtener un diagnóstico de residuos estandarizados (ZRE) para cada caso o solo para los
que estén (por ejemplo) a más de 2 desviaciones estándar de la media, tildar Casewise
diagnostics y elegir el número de desviaciones estándar.
Durbin–Watson
Es un test estadístico para probar la H0: correlación serial entre términos adyacentes bajo el supuesto:
de independencia. Si bien se verá en el capítulo 6, será comentado en el Problema Resuelto de esta
sección.
Save
Se agregan a la base de datos nuevas variables para cada uno de los casos de la vista de datos, entre
las cuales se pueden elegir:
Los valores predichos
PRE_1: Unstandardized Predicted Value
ZPR_1: Standardized Predicted Value
Los residuos
RES_: Unstandardized Residual
ZRE_1: Standardized Residual. Es el valor z del residuo o en otras palabras es el residuo dividido la
desviación estándar del error σ, constante para todos los datos.
SRE_1: Studentized Residual. Es el valor t del residuo o en otras palabras es el residuo dividido la
desviación estándar del residuo (y muestral), el cual varía con cada uno.
El error estándar de la predicción
SEP_1: Standard Error of Predicted Value.
Es el valor σ ŷ
Nota
El
σ e se calcula a mano con: V (e) = σ 2 − V (Yˆ )
o dividiendo RES_1/SRE_1.
Intervalos para la Media e Individual (SPSS los llama a ambos IC)
LMCI_1: 95% Lower Mean CI
UMCI_1: 95% Upper Mean CI
LICI_1: 95% Lower Individual CI
UICI_1: 95% Upper Individual CI
Influence Statistics
DFB0_1: Cambio (Difference) en B0
250
Jorge Carlos Carrá
IV Análisis de dos variables: Asociación entre variables
Tamaño del efecto y ecuación de diseño
SDB0_1: Cambio en B0 estandarizado
DFB1_1: Cambio en B1
SDB1_1: Cambio en B1 estandarizado
DFF_1: Cambio en el valor predicho (Fit) o en el residuo (tienen el mismo valor).
SDF_1: Cambio en el residuo estandarizado
DRE_1: Residuo resultante en la ecuación reducida (Deleted). DRE_1 = RES_1+DFF_1
COO_1: Distancia de Cook
COV_1: Radio de covarianzas
MAH_1: Distancia de Mahalanovis
LEV_1: Leverage
Notas
• Si se colocan nuevos casos con un valor de x arbitrario, sin el valor de y, se puede obtener para ellos: el
valor predicho, el error estándar del valor predicho y los IP, todos ellos calculados con el resto de los
valores (x; y).
• En el visor se agrega además una tabla con estadísticas resumen de los residuos.
Plots
Se pueden pedir aquí gráficos de las variables predichas y residuos. Tildando Produce all
partial plots, se generan gráficos de puntos de la VD con cada una de las VI (para 2 o más
variables en la regresión múltiple).
GLM
Hemos visto que las pruebas t y las pruebas de regresión/correlación, están relacionadas por el
modelo llamado Modelo Lineal General, GLM (General Lineal Model), el cual utiliza la distribución
F.
Este camino para resolver el problema tiene el agregado de que devuelve el parámetro de
descentralidad y la potencia observada para un tamaño del efecto poblacional coincidente con el
tamaño del efecto de la muestra.
Analyze > General Lineal Model > Univariate.
Colocar la variable y en Dependent Variable y la variable x en Covariate(s)> OK.
Options > tildar Observed Power.
Tamaño del efecto y ecuación de
diseño
Analizaremos el tamaño del efecto para la pendiente de la recta, para la cual se adopta como tamaño
del efecto al coeficiente poblacional B1, para una H0:
H 0 : B1 = 0
H A : B1 ≠ 0
Razonando en forma similar al caso de la prueba de la media, se obtiene la ecuación de diseño:
t β = tα − nc
con:
SS xx
nc = Bˆ1
= Bˆ1
σˆ 2
n −1
sx
σˆ
Nota
GPower toma n en lugar de n–1.
251
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Potencia y tamaño de la muestra
Potencia, P
De la ecuación de diseño se obtiene tβ.
Tamaño de la muestra, n
De la ecuación de nc se obtiene n, resultando:
2
⎛ nc σˆ ⎞
n=⎜
+1
ˆ ⎟
⎝ B1s x ⎠
Problema resuelto 5.25 Relación entre ingreso y gastos
Continuación del problema resuelto del capítulo 1 acerca de la predicción de John Keynes, quién argumentó
que existe una relación teórica entre el ingreso de una persona (x) y sus gastos de consumo (y): a medida que el
ingreso aumentaba, el consumo crecía en una cantidad menor.
x = I: Ingreso de una persona.
y = C: Consumo.
Los datos están en miles de millones de dólares corrientes.
x
284.00
328.00
345.00
364.00
364.00
398.00
419.00
441.00
447.00
483.00
y
191.00
206.00
216.00
230.00
236.00
254.00
266.00
281.00
290.00
311.00
∑ x = 3873
∑ x = 1533801
∑ y = 2481
∑ y = 629223
∑ xy = 982266
2
2
Figura 5-153
a) Realizar una prueba de significación de los coeficientes de la recta (prueba de que sus valores son 0), al
nivel 98%. Interrelacionar gráficamente el IC con la PH.
b) Utilizar el modelo de regresión para elaborar una predicción de los gastos de consumo promedio para todas
las personas con un ingreso de 400, al nivel 95%. Probar la aseveración de que el gasto de consumo promedio
es 265. Interrelacionar gráficamente el IC con la PH.
c) Utilizar el modelo de regresión para elaborar una predicción del gasto de consumo individual para un
ingreso de 400, al nivel 95%. Probar la aseveración de que el gasto de consumo puntual es 265.
d) Analizar la potencia retrospectiva versus el tamaño del efecto de la prueba y si corresponde a un caso no
concluyente, calcular el tamaño de la muestra necesario para resolverlo.
Resolver con SPSS y con GPower.
Paso 1 Problema
Asociar variables.
252
Jorge Carlos Carrá
IV Análisis de dos variables: Asociación entre variables
Potencia y tamaño de la muestra
Paso 2 Modelo
Distribuciones t de Student y F.
Se incluyen luego dentro de IC y PH.
Paso 3 Diseño
Tamaño de la muestra: 10
Paso 4 Análisis
a)
En el capítulo 1 se obtuvo la ecuación de regresión:
Cˆ = 3.09 + 0.633 ∗ I
(9.69) (0.025)
En el segundo renglón se colocaron entre paréntesis los errores estándar de los coeficientes, valores que serán
obtenidos a continuación.
En todos los cálculos que siguen, se requiere conocer la estimación de la desviación estándar del error ε.
SSE = SS yy −
σˆ 2 =
SSE
SS xy2
SS xx
= 165
= 20.6
ν
σˆ = 4.54
Supuestos
La regresión parte de varios supuestos. El análisis de los mismos se realizará luego en un problema resuelto
con el SPSS.
Significación de la Pendiente
Modelado t de Student
σˆ 2
Vˆ ( Bˆ1 ) =
= 6.096 ∗10−4
SS XX
σˆ ( Bˆ ) = 0.025
1
Inferencia
IC
tc = t0.01 (8) = 2.896
B = tσˆ ( Bˆ1 ) = 2.896(0.025) = 0.0724
B = Bˆ ± B
1
1
B1 = 0.633 ± 0.0724
IC ( B1 ) = 0.561 a 0.705
253
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
PH
H 0 : B1 = 0 Aseveración
H A : B1 ≠ 0
1 Comparando el eje t
tc = t0.01 (8) = 2.896
Bˆ
0.633
tm = 1 =
= 25.32
σ Bˆ 0.025
1
| tm |>| tc |⇒ Se rechaza H 0
2 Comparando el eje B̂1
tc = t0.01 (8) = 2.896
Bˆ = 0.633
1m
Bˆ1c = 0 + 2.896(0.025) = 0.0724
| Bˆ1m |>| Bˆ1c |⇒ Se rechaza H 0
3 Comparando las áreas
α = 0.02
p = 2 ∗ sigT (−25.32,8) = 0.000
⇒ p < α ⇒ Se rechaza H 0
Interrelación gráfica del IC con la PH
Figura 5-154
Como la PH rechazó la H0: B1 = 0, entonces el IC obtenido no debe comprender a este valor (lo cual sucederá
2% de las veces).
Modelado Distribución F
F (1, n − 2) =
MSR
MSE
Del capítulo 1:
SS xx = 33788
SS yy = 13686
SS xy = 21374
Por lo tanto:
SS xy2
213742
= 13521
SS xx 33788
SST = SS yy = 13686
SST = SSE + SSR ⇒ SSE = SST − SSR
SSR =
254
=
Jorge Carlos Carrá
IV Análisis de dos variables: Asociación entre variables
Potencia y tamaño de la muestra
SSE = 13686 − 13521 = 165
MSR 13521
F (1, n − 2) =
=
= 655
MSE 165 / 8
Inferencia
α = 0.02
p = 2 ∗ SIG.F (655,8) = 0.000
⇒ p < α ⇒ Se rechaza H 0
Cuadro ANOVA
ANOVA
MS
ν
1
13521
8
20.6
9
SS
13521
165
13686
Regresión
Residuos
Total
F
655
Sig
0.000
Figura 5-155
Observar que Fα (1, n − 2) = tα /2 ( n − 2) = 25.4 2 = 645
2
655 . Las diferencias se deben al redondeo.
Decisión
Se rechaza H0 al nivel de significación α = 2% (t(8) = 25.32, p = 0.000). Por lo tanto existe evidencia
suficiente para rechazar la aseveración de que la pendiente de la recta entre el ingreso de una persona (x) y sus
gastos de consumo (y), es cero.
Significación de la Ordenada al origen
Modelado t de Student
⎛1
x2 ⎞
Vˆ ( Bˆ0 ) = σˆ 2 ⎜ +
⎟ = 94.028
⎝ n SS XX ⎠
σˆ ( Bˆ0 ) = 9.69
Inferencia
IC
t0.01 (8) = 2.896
B = tσˆ ( Bˆ0 ) = 2.896(9.69) = 28.06
B = Bˆ ± B
0
0
B0 = 3.09 ± (28.06)
IC ( B0 ) = −24.9 a 31.15
PH
H 0 : B0 = 0 Aseveración
H A : B0 ≠ 0
1 Comparando el eje t
tm =
Bˆ0
σ Bˆ
0
=
3.09
= 0.32
9.69
255
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
tc = t0.01 (8) = 2.896
| tm |<| tc |⇒ No se rechaza H 0
2 Comparando el eje B̂0
tc = t0.01 (8) = 2.896
Bˆ = 3.09
0m
Bˆ 0 c = 0 + 2.896(9.69) = 28.06
| Bˆ0 m |<| Bˆ0c |⇒ No se rechaza H 0
3 Comparando las áreas
α = 0.02
p = 2 ∗ sigT (0.32,8) = 2(0.378) = 0.756
⇒ p > α ⇒ No se rechaza H 0
Interrelación gráfica del IC con la PH
Figura 5-156
Como la PH no rechazó la H0: B0 = 0, entonces el IC obtenido debe comprender a este valor (lo cual sucederá
98% de las veces).
Decisión
No se rechaza H0 al nivel de significación α = 2% (t(8) = 0.32, p = 0.756). Por lo tanto no existe evidencia
suficiente para rechazar la aseveración de que la ordenada al origen de la recta entre el ingreso de una persona
(x) y sus gastos de consumo (y), es cero.
b)
Estima de E(Y) para xa = 400
⎛ 1 ( x − x )2 ⎞
⎛ 1 (400 − 387.3) 2 ⎞
=
20.6
V ( yˆ ) = σˆ 2 ⎜ + a
⎟
⎜ +
⎟ = 2.158
33788
SS xx ⎠
⎝ 10
⎠
⎝n
σ ( yˆ ) = 1.469
yˆ = Cˆ = 256.3
a
a
Inferencia
IC
t0.025 (8) = 2.306
B = tσˆ ( yˆ ) = 2.306(1.469) = 3.387
Por simplicidad usaremos la notación μY como equivalente a μY | x .
μY = yˆ a ± B
256
Jorge Carlos Carrá
IV Análisis de dos variables: Asociación entre variables
Potencia y tamaño de la muestra
μY = 256.3 ± 3.387
IC ( μY ) = 252.9 a 259.7
PH
H 0 : μY = 265 Aseveración
H A : μY ≠ 265
1 Comparando el eje t
tm =
yˆ m − μY
σ yˆ
=
256.3 − 265
= −5.92
1.469
tc = t0.025 (8) = 2.306
| tm |>| tc |⇒ Se rechaza H 0
2 Comparando el eje
Ŷ
Yˆm = 256.3
tc = t0.025 (8) = 2.306
ˆ
Yc = 265 − 2.306(1.469) = 261.6
| Yˆ − Y |>| Yˆ − Y |⇒ Se rechaza H
m
3 Comparando las áreas
0
c
0
0
α = 0.05
p = 2 ∗ sigT (−5.92,8) = 0.000
⇒ p < α ⇒ Se rechaza H 0
Interrelación gráfica del IC con la PH
Figura 5-157
Como la PH rechazó la H 0 : μY = 265 , entonces el IC obtenido no debe comprender a este valor (lo cual
sucederá 5% de las veces).
Decisión
Se rechaza H0 al nivel de significación α = 5% (t(8) = –5.92, p = 0.000). Por lo tanto existe evidencia
suficiente para rechazar la aseveración de que el gasto de consumo promedio es 265.
c)
Estima de Ya para xa = 400
IP
V (e) = σˆ 2 + V ( yˆ ) = 4.542 + 2.158 = 22.76
σ (e) = 4.77
B = tσ (e) = 2.306(4.77) = 11
257
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Ya = yˆ a ± B
Ya = 256.3 ± 11
IP (Ya ) = 245.3 a 267.3
SPSS
Procedimiento en la página 250
Solicitar:
Statistics > Casewise diagnostics (3 standard deviation) y Durbin–Watson
Colocar un nuevo caso con x = 400 (pues este valor no está presente en los datos) y solicitar:
Save >
Predicted Values >
Unstandardized PRE_1
Standardized ZRE_1
S.E. of mean predictions SEP_1
Residual >
Unstandardized RES_1
Standardized ZRE_1
Studentized SRE_1
Deleted DRE_1
Predictions Intervals
Mean (LMCI-1 y UMCI_1)
Individual (LICI-1 y UICI_1)
Prueba de Regresión
La última fila corresponde al valor predicho xa = 400.
Figura 5-158
Se hace notar que todos los valores de los IP de las últimas 2 columnas, se calculan con las expresiones:
V (e p ) = σˆ 2 + V ( yˆ )
Y = Yˆ ± t0.025 (8)σ ep
258
Jorge Carlos Carrá
IV Análisis de dos variables: Asociación entre variables
Potencia y tamaño de la muestra
Figura 5-159
Observar que el SPSS no entrega los valores de residuos para datos predichos (la última fila para xa = 400, se
encuentra en blanco), por lo cual el valor obtenido de σ (e p ) para el cálculo del IP correspondiente a xa = 400
(4.77 en este ejemplo), no es visible.
Las últimas 3 columnas de la figura 5-159 fueron obtenidas con Compute para obtener las desviaciones
estándar de la estimación del error ε, de los residuos medidos
e y de la predicción Yˆ :
RES _1
ZRE _1
RES _1
= SE _ resid medido =
= σˆ 2 − V ( yˆ )
SRE _1
V ( yˆ ) = ( SEP _ calc) 2 = σˆ 2 − V (em )
σˆ = SE _ error =
σ em
Esta última columna coincide con la de SEP_1 entregada por el SPSS (ver la columna SEP_1 en la figura).
Dado que los valores de x se encuentran ordenados en sentido creciente, se puede observar además que la
varianza del residuo de cada punto disminuye hacia los extremos (SE_resid). Para datos más numerosos, es
conveniente presentar un gráfico como el siguiente:
SE_resid vs PRE
Figura 5-160
Será útil en el análisis de los puntos influyentes apreciar que ninguno de los residuos estandarizados (o
estudientizados) supera el punto de corte 3, por cuya razón, además, SPSS no entrega la tabla de Casewise
diagnostics.
259
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Figura 5-161
En la siguiente tabla proporcionada en el mismo conjunto de tablas, se pueden observar los valores de SSR,
SSE, MSR, MSE, F y el valor p.
Figura 5-162
El siguiente gráfico se obtiene con: Graphs > Chart Builider > Scatter Dot. Luegose hace un
doble clic en el gráfico y se presiona el icono de la recta de regresión. Si se desean obtener las bandas de
confianza de la estima de Y y de E(Y), se tilda la opción deseada, Mean o Individual, en el panel
Confidence Intervals. Si se desean ambas en el mismo gráfico se tilda una y luego de obtenida se
repite para la otra.
Figura 5-163
El SPSS no procesa la PH para la estimación del E(Y) coirrespondiente a un valor específico de x, por lo cual
la respuesta a unaPH debe realizarse con el IC. En este caso el valor 265 no está contenido en el IC cuyos
valores se encuentran en la figura 5-158:
IC = [ LMIC ;UMIC ] = [252.7; 259.5]
Por lo tanto existe evidencia suficiente para rechazar la aseveración de que el gasto de consumo promedio es
265.
d)
Paso 5 Verificación: potencia retrospectiva
La verificación que se ha incluido en todos los problemas resueltos ha sido la correspodiente al tamaño de la
muestra derivada del paso 3, Diseño. En este caso incluiremos además las verificaciones concernientes al paso
2, modelo, las cuales se realizarán luego en el problema resuelto contenido en la página 265.
La prueba resultó significativa y podríamos considerar si está detectando efectos chicos (con alta potencia).
Esto ya se realizó con la prueba equivalente del coeficiente de correlación (problema resuelto, página 216),
260
Jorge Carlos Carrá
IV Análisis de dos variables: Asociación entre variables
Potencia y tamaño de la muestra
habiendo concluido que el estudio era concluyente pues si un efecto chico existiera en la población,
probablemente no sería detectado en el estudio.
En su lugar calculemos ahora la Potencia Observada, es decir la potencia para una hipótesis alternativa que
configurara una población con un tamaño del efecto igual al valor de la muestra.
Observemos que:
s
61.3
= 25.6
nc = n − 1Bˆ1 x = 9(0.633)
σˆ
4.54
2.306
B1c =
= 0.057
61.3
9
4.54
B1m = 0.633
Estos valores nos indican que el resultado es significativo (B1m > B1c) y que el tamaño del efecto muestral,
superará la potencia de 50% (correspondiente a B1c).
1 SPSS
tα = IDF .T (0.025,8) = 2.31
Solución centralizada
t β = tα /2 − nc
t β = 2.306 − (25.6) = −23.3
1 − CDF.T (−23.3,8) = 1
P =1
Solución descentralizada
P = 1 − NCDF .T (2.306,8, 25.6) = 1
Potencia observada
Utilizar el GLM.
Options > Descriptive statistics, Estimates of effect size, Observed
power.
Figura 5-164
Se observa la coincidencia con la técnica anterior. Aquí aparecen además, los valores del parámetro de
descentralidad y la potencia observada para un tamaño del efecto poblacional igual al de la muestra.
GPower
t tests
Linear bivariate regression: One group, size of slope
Post hoc.
2 colas, α = 0.02, Slope H0: B1 = 0 Slope H1: B1 = 0.633 (solo para obtener la curva de potencia), sX= 61.3,
sY= 39 y n = 10.
Observar la existencia de la siguiente restricción realtiva al coeficiente estandarizado (capítulo1):
−1 < rP = B1
sX
<1
sY
261
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Para evitar colocar valores incompatibles con esta restricción que puedan detener el programa, es conveniente
usar la calculadora del tamaño del efecto (Determine).
Recordar que GPower utiliza n en lugar de n–1.
Gráficas
En la figura 5-165 y en la figura 5-166 se observan las distribuciones y las curvas de Potencia en función del
tamaño del efecto, para varios valores de n. Como el resultado es significativo se debe evitar el riesgo de que
no se estén detectando (potencia alta) efectos chicos a juicio del investigador, lo cual no ocurre en este caso, de
acuerdo al resultado de la prueba del coeficiente de correlación.
Figura 5-165
Figura 5-166
Problema resuelto 5.26 Relación entre ingreso y gastos
Analizar con el SPSS la existencia de casos influyentes en el problema resuelto anterior.
262
Jorge Carlos Carrá
IV Análisis de dos variables: Asociación entre variables
Potencia y tamaño de la muestra
Casos influyentes
Solicitar:
Save >
Mahalanovis
Leverage Ratio
DfBeta(s) Cambios en los coeficientes
Standardized DfBetas
DfFit Cambio en el valor predicho (Fit) o en el residuo.
Standardized DfFit
Covariance Ratio
Cook's
En la figura 5-167 y en la figura 5-168, se muestran las variables generadas.
Es instructivo para comprender las mismas, realizar al menos una vez la obtención de algunos de los valores en
forma separada (obtener la ecuación de regresión reducida eliminando un caso de la regresión con el
procedimiento Select Cases y comparar con la regresión completa sin reducir).
Comprobar además el cumplimiento de las interrelaciones:
V (e) = σ 2 (1 − hii )
1
h
COOi =
SREi 2 ii
k +1
1 − hii
Figura 5-167
Figura 5-168
Se puede observar que el caso 1 (primera fila) presenta valores de influencia de COO_1 mayor que 1, lo cual
indica que el caso es influyente. Su Leverage, hii = LEV_1+1/n, tiene un valor superior al punto de corte (es un
extremo en x), pero su residuo estandarizado ZRE_1, si bien es el mayor no supera a 3 (1.816).
263
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
hii = 0.41582 >
2k 2(1)
=
= 0.2
n
10
Debe decidirse el criterio a seguir para el tratamiento de los casos influyentes, como el que se ha detectado en
este ejemplo.
Para datos más numerosos, es conveniente presentar la información en forma gráfica, por ejemplo como los
diagramas de puntos siguientes.
LEV vs PRE
Informa acerca de outliers en x. Presenta el comportamiento esperado que el índice crece a partir del centro de
los valores.
Figura 5-169
LEV vs SE_resid
Informa sobre la vinculación entre los extremos de x (leverage) y la dispersión de los extremos de y (error
estándar del residuo). A mayor leverage, menor error estándar del residuo y viceversa.
Figura 5-170
COO vs PRE
Informa acerca de casos anómalos. Se observa el alto valor de COO para el caso 1.
264
Jorge Carlos Carrá
IV Análisis de dos variables: Asociación entre variables
Potencia y tamaño de la muestra
Figura 5-171
Paso 5 Verificación
En el paso 5 se deben verificar 2 aspectos concernientes a los pasos 2, modelo (supuestos) y paso 5,
diseño (tamaño de la muestra). La verificación del tamaño de la muestra ya se ha realizado como
potencia retrospectiva (página 260). En esta sección resta analizar que tan bien se cumplen los 4
supuestos del modelo sobre los cuales se basó el análisis, antes de adoptar el modelo como predictor.
Si no se verifican estos supuestos, el modelo no es razonable y se deberá modificar, iniciando un
procedimiento iterativo en la búsqueda del mejor ajuste del modelo a los datos. De aquí la
importancia de dominar algún programa de computo con el cual complementar el juicio inteligente
del investigador.
Recorremos esta investigación utilizando el problema resuelto anterior.
Problema resuelto 5.27 Relación entre ingreso y gastos
Paso 5 Verificación: supuestos del modelo
Analizar el cumplimiento de los 4 supuestos en el problema que estudia la relación entre el ingreso y los
gastos.
1 Linealidad
Además del coeficiente de correlación, se puede evaluar la linealidad con un gráfico de los residuos
studentizados SRE_1 versus los valores predichos, PRE_1, figura 5-172. La gráfica debe ser más o menos
lineal.
265
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Figura 5-172
2 Aleatoriedad
El supuesto de que x no es aleatoria, se encuentra implícito en la toma de los datos.
3a Error: Normalidad
Se puede comprobar con Analyze > Descriptive Statistics > Explore > Colocar la variable
RES_1 en Dependent List> Plots > Stem and Leaf Histogram y Normality Plots
with Tests.
El diagrama de tallo y hojas o el histograma (figura 5-173) no sugieren que haya motivos para rechazar la
normalidad. Muestras pequeñas no necesariamente lucen como normales, pero no hay valores extremos y la
distribución tiene un solo modo, más o menos en el medio.
En el capítulo 1, página normalidad1 vimos que existe un plot especial llamado Q–Q, (Cuantil–Cuantil), el
cual grafica el ze esperado si los datos provinieran de una determinada distribución Normal versus el valor
observado. Este valor esperado se obtiene hallando la CDF para cada dato y luego el percentil correspondiente
a la distribución teórica de comparación (Normal en este caso).
Si los datos se ajustan a la distribución normal, la gráfica debe ser una recta, figura 5-174. El gráfico
Detrended (trend es tendencia, por lo tanto significa la remoción de la tendencia lineal), figura 5-175,
coloca en el eje y las desviaciones entre los valores esperados y observados. Con este grafico se detectan
patrones y desviaciones con más facilidad, los cuales no parecen existir en este caso.
Figura 5-173
266
Jorge Carlos Carrá
IV Análisis de dos variables: Asociación entre variables
Potencia y tamaño de la muestra
Figura 5-174
Figura 5-175
Las pruebas estadísticas formales existentes en este procedimiento del SPSS, que prueban la hipótesis
estadística de la normalidad, son: Kolmogorov-Smirnov y Shapiro-Wilk. Los resultados de las mismas se
observan en el visor, figura 5-176. Si bien estas pruebas se tratarán en el capítulo 7 (estadística no
paramétrica), se puede ver que el valor p (0.20 y 0.653), indica que no se rechaza la normalidad para cualquier
α menor, por ejemplo α =0.05. Debe decirse también que como la muestra es pequeña, la potencia es baja
(error β alto) y por lo tanto la probabilidad de no rechazar la hipótesis, incorrectamente, puede ser alta.
Figura 5-176
Nota
El lector podría, en forma alternativa, usar el procedimiento de la Bondad del Ajuste, en este caso a una
distribución normal, tratado en la página 102, aunque en este caso debe calcular separadamente e introducir los
valores hipotéticos de la distribución normal.
3b Error: Homocedasticidad
Esta propiedad se puede chequear con un gráfico de puntos, entre los residuos y el valor predicho. Graphs >
Chart Builder > Scatter/dot > colocar las variables RES_1 en el eje y y PRE_1 en el eje x. Se
obtiene el gráfico de la figura 5-177.
267
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Figura 5-177
Los residuos aparecen aleatoriamente dispuestos alrededor de una línea horizontal que pasa por 0. Parece
existir un extremo en el primer valor, que habrá que investigar, pero no borrar. En el peor de los casos,
entregar una regresión separada, con y sin el extremo (se puede individualizar a quién pertenece, seleccionando
el botón Data Label Mode de la barra de herramientas y haciendo un clic con el mouse sobre el punto).
Si las dispersiones aparecen como no constantes, ensayar algún cambio de variables (capítulo 1) y realizar de
nuevo el análisis de regresión. Si la varianza parece crecer con x, considerar la raíz cuadrada de x o el
logaritmo natural de x.
4 Error: Independencia
Este supuesto se puede evaluar con un gráfico de los residuos studentizados SRE_1 versus una variable que
represente la secuencia de toma de los datos (tiempo). Si se supone que estos datos fueron tomados en el orden
en el cual se presentan, se obtiene la gráfica de la figura 5-178. La gráfica no debe mostrar ningún patrón.
Un test estadístico para probar la H0: correlación serial entre términos adyacentes (capitulo 7), es el de Durbin–
Watson. El estadístico de prueba es:
d=
∑ (e − e )
∑e
2
i −1
2
i
i
0 < d < 4 . Valores cercanos a 2 indican que no están correlacionados. Menor a 2 indica una auto–correlación
positiva y mayor a 2 una auto–correlación negativa.
Figura 5-178
Mínimos Cuadrados Ponderados
En la técnica vista hasta ahora, OLS (Ordinary Least Square), todos los casos contribuyen de igual
modo. Esto significa que el método es insensible a los datos en el sentido que asume la variabilidad
de los valores de la VD para cada valor de la VI (homocedasticidad). Para observar gráficamente
268
Jorge Carlos Carrá
IV Análisis de dos variables: Asociación entre variables
2 Escala por categórica
este comportamiento se puede graficar la nube de puntos de y en función de x, en la medida que
haya suficiente cantidad de repeticiones. Es esperable que no se presente ningún patrón. Por otra
parte hemos visto que los residuos no son constantes con la VI, incluso bajo la hipótesis de
homocedasticidad de los verdaderos errores.
El método WLS (Weighted Least Square), o regresión robusta, pondera a cada punto por medio de la
variable que se desee. Naturalmente se busca que las observaciones de mayor variabilidad o de
mayor influencia tengan menos ponderación (el caso extremo de descartar un valor equivale a una
ponderación de 0).
Recordemos que en la parte inferior de la ventana del método de Regresión del SPSS, existe una caja
de texto llamada WLS Weight, en la cual se puede colocar una variable de ponderación.
Esta variable se puede generar a mano o por el SPSS.
Generación a mano
Se calcula la varianza de la VD desagregada por grupos de similar valor a la VI. El reciproco de esta
varianza puede servir como variable de ponderación.
Generación por el SPSS
Solo disponible si se cuenta con el menú Regresión > Weight Estimation, el cual
conduce a la ventana de la figura 5-179.
Figura 5-179
Este procedimiento asume que la varianza de la VD se incrementa con una determinada potencia de
la VI. Por lo tanto los pesos tendrán la forma de la inversa de esta expresión.
Si se coloca como variable de ponderación a la VI, el SPSS averiguará cual es la potencia a la que se
debe elevar esta variable para maximizar la función de verosimilitud de la VD, llamada LL (Log
Likelihood).
Con Options > Save best weight as new variable, se agregará al archivo esta
nueva variable (WGT_1), la cual podrá ser usada luego como variable de ponderación.
2 Escala por categórica
Para completar los casos de regresión, quedan por estudiar las inferencias cuando existen variables
categóricas (VD y/o VI).
Si existen VI categóricas,
269
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
VI dicotómica
VI multicotómica
3 Categórica por escala
Para completar la teoría para la regresión, resta considera el caso en el cual la VD es categórica. Este
caso se llama regresión logística.
Verosimilitud
Dado que Y y e siguen una distribución normal,
Y = n ( B0 + B1 x, σ )
e = n(0,σ )
si se define:
zi = B0 + B1 xi
se tiene que la función densidad de z es:
f =
1
− zi 2
1
e 2
2πσ
Se define la función verosimilitud L (Likelihood) como:
L = f1 × f 2 × ... × f n
LL = ∑ Y ln( pˆ ) +(1 − Y )ln(qˆ )
Se demostró en el capítulo 1 que los coeficientes de la recta de regresión se obtienen minimizando la
función SSE (OLS). Se puede demostrar que estos coeficientes son los mismos que maximizan a la
función L.
Estadístico de prueba
H0 : Bj = 0
H A : Bj ≠ 0
El estadístico se llama Wald:
Wj =
Bj
sB j
Este estadístico sigue una distribución normal.
Modelo lineal
270
Jorge Carlos Carrá
IV Análisis de dos variables: Asociación entre variables
Introducción al Meta-Análisis, MA
Modelo Logit
Modelo Probit
SPSS
Introducción al Meta-Análisis, MA
Estando familiarizados con el concepto de tamaños del efecto (poblacionales), resulta pertinente dar
un pequeño paso e introducir un moderna técnica estadística llamada Meta-Análisis, en adelante,
MA, la cual es una aplicación importante de los tamaños del efecto muestrales. Veremos además que
para su comprensión no se requiere recorrer una empinada curva de aprendizaje.
El MA es un procedimiento sistemático cuantitativo que combina información proveniente de un
gran número de estudios independientes para proveer una mayor potencia estadística. La aparición
explosiva de enorme cantidad de estudios sobre un mismo tema con resultados redundantes e incluso
no pocas veces contradictorios, ha tornado difícil el establecimiento de conclusiones. Es entonces
que una técnica como el MA resulta de gran importancia. Sin embargo debe aclararse que, dado que
el MA implica la actualización permanente con nuevas informaciones, no es, por definición,
concluyente.
El resto de esta sección se estructura de la siguiente forma:
1. Cálculo de los tamaños de efecto.
2. Combinación de resultados.
1 Cálculo de los tamaños del efecto individuales
En la sección diseño se definieron tamaños del efecto poblacionales necesarios para cuantificar a los
valores de la hipótesis alternativa. El MA moderno utiliza los tamaños de efectos muestrales de
estudios individuales para producir una estima del tamaño del efecto poblacional global, con su
correspondiente IC y PH. Se utiliza como medida un tamaño del efecto pues tiene la gran ventaja de
no depender del tamaño de la muestra utilizado, por lo cual pueden combinarse resultados
correspondientes a distintos tamaños muestrales.
En general, los datos originales caen en una de las siguientes tres categorías:
• Comparación de medias de los grupos control y experimental.
• Comparación de proporciones de los grupos control y experimental (tablas de contingencias
2x2).
• Coeficientes de correlación.
A continuación se resumen las medidas más usuales de tamaños del efecto y sus varianzas. Con estos
valores y conociendo la distribución del tamaño del efecto global, se pueden calcular los IC y la
significación para cada caso.
Notación
En lugar de diferenciar a las poblaciones como 1 y 2, resultará más apropiado llamarlas E
(Experimental) y C (Control).
a Comparación de medias
La comparación puede ser realizada con la diferencia o con el cociente.
271
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
1 Diferencia de medias, d de Cohen
x −x
d= E C
σ
( nC − 1)( sC ) + ( nE − 1)( sE )
2
σ=
2
nC + nE − 2
⎛ n + nE
⎞ ⎛ nC + nE ⎞
d2
+
Vd = ⎜⎜ C
⎟⎟ ⎜
⎟
2 ( nC + nE − 2 ) ⎠ ⎝ nC + nE − 2 ⎠
⎝ nC nE
Distribución: t de Student.
Presenta el inconveniente de ser sesgada para tamaños muestrales pequeños.
2 Cociente de medias, Response Ratio, R
x
R= E
xC
Transformación ln
Como es una razón y la distribución no es normal, se normaliza (aproximadamente) con la
transformación del logaritmo natural.
⎛x ⎞
ln R = ln ⎜ E ⎟
⎝ xC ⎠
s2
s2
Vln R = E 2 + C 2
nE xE nC xC
Distribución aproximada: normal.
b Comparación de proporciones
P
N
Total
Experimental Control Total
a
b
nP
c
d
nN
nE
nC
n
Figura 5-180
Las 3 medidas que se describirán a continuación, ya fueron vistas al tratar la comparación de
proporciones Δp , (página 164), pero se repiten aquí cambiando la notación 1 y 2 por E y C.
1 Diferencia de proporciones, Risk Difference, RD
Se calcula la tasa de respuesta de ambos grupos:
pˆ E =
a
nE
pˆ C =
b
nC
Luego se definen:
RD = Δpˆ = pˆ E − pˆ C
pˆ qˆ
pˆ qˆ
VRD = E E + C C
nE
nC
Inconveniente:
272
Jorge Carlos Carrá
IV Análisis de dos variables: Asociación entre variables
Introducción al Meta-Análisis, MA
Com ya sabemos, el rango de variación de RD está fuertemente limitado por las magnitudes de pˆ E y
pˆ C . Los valores de RD aumentan cuando ambas tasas son cercanas a 0 o 1, lo cual genera una
aparente heterogeneidad entre estudios.
Distribución: aproximadamente normal.
Intervalos de Confianza
Como de costumbre.
Prueba de hipótesis
Hipótesis nula: homogeneidad de proporciones, lo cual implica RD = 0.
Sabemos que bajo esta hipótesis la varianza debe calcularse con los valores combinados pc y qc. Un
método más directo para calcular el valor muestral es utilizar la expresión de chi-cuadrado vista
también en la sección del análisis de la diferencia de proporciones, página 170:
χ2 =
n(ad − bc)2
∏ m arg inales
Naturalmente este valor deberá compararse con el punto de corte también medido en chi-cuadrado.
2 Cociente de proporciones, Risk Ratio, RR
pˆ
RR = E
pˆ C
Transformación ln
Como RR es una razón la distribución se normaliza (aproximadamente) con la transformación por el
logaritmo natural.
pˆ E
pˆ C
qˆ
qˆ
qˆ
qˆ
= E+ C = E + C
a
b
pˆ E nE pˆ C nC
ln RR = ln
Vln RR
Distribución: aproximadamente normal.
Intervalos de Confianza
Como de costumbre pero como el tamaño del efecto está transformado, el resultado final deberá
antitransformarse.
Prueba de hipótesis
Hipótesis nula: homogeneidad de proporciones, lo cual implica RR = 1 y logaritmo 0
Bajo esta hipótesis la varianza debe calcularse con los valores combinados pc y qc. Para calcular el
valor muestral puede utilizarse la expresión de chi-cuadrado vista anteriormente.
3 Cociente de posibilidades, Odd Ratio, OR
Si se tratara de una sola población, el tamaño del efecto sería el cociente entre p y q llamado
posibilidades (Odd en inglés):
O=
p
q
Como esta medida no está distribuida normalmente, se la transforma con el logaritmo natural.
Cuando esta tranformación se aplica a un odd, se llama logit.
⎛ p⎞
ln O = ln ⎜ ⎟ = log it (O)
⎝q⎠
273
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
En el caso de 2 poblaciones, se define en forma análoga el cociente de posibilidades, OR (Odd
Ratio):
OR =
OE pˆ E / qˆ E pˆ E qˆC ad
=
=
=
OC pˆ C / qˆC qˆ E pˆ C bc
Transformación ln
Como OR es una razón la distribución se normaliza (aproximadamente) con la transformación del
logaritmo natural.
pˆ E qˆC
ad
= ln
ˆqE pˆ C
bc
1 1 1 1
= + + +
a b c d
ln OR = ln
Vln OR
Distribución: aproximadamente normal.
Intervalos de Confianza
Como el tamaño del efecto está transformado, el resultado final deberá antitransformarse.
Prueba de hipótesis
Hipótesis nula: homogeneidad de proporciones, lo cual implica OR = 1 y logaritmo 0.
Bajo esta hipótesis la varianza debe calcularse con los valores combinados pc y qc. Para calcular el
valor muestral puede utilizarse la expresión de chi-cuadrado vista anteriormente.
c Correlación
Transformación de z de Fisher
El amaño del efecto es el coeficiente de correlación de Pearson. Como su distribución no es normal,
se normaliza aproximadamente con la transformación z de Fisher.
1 ⎛1+ r ⎞
ln ⎜
⎟
2 ⎝ 1− r ⎠
1
VzF =
n−3
zF =
Distribución: aproximadamente normal.
Inconvenientes:
1. Está sesgado ligeramente cuando el tamaño muestral es bajo.
2. Hay que tener cuidado con no incluir estudios demasiado heterogéneos.
Intervalos de Confianza
Como el tamaño del efecto está transformado, el resultado final deberá antitransformarse.
Prueba de hipótesis
Hipótesis nula: Incorrelación.
2 Combinación de resultados
Para poder combinar resultados en un MA los estudios deben ser susceptibles de ser comparados
estadísticamente y deben contener todos los valores inferenciales estadísticos esenciales, esto es,
como mínimo los 3 resultados de la columna de valores muestrales de la tabla de página 28 (valor p
incluso cuando es no significativo), los grados de libertad y los tamaños de las muestras.
Se siguen 2 pasos:
a. Prueba de homogeneidad.
b. Cálculo de un estimador del tamaño del efecto global y su significación.
274
Jorge Carlos Carrá
IV Análisis de dos variables: Asociación entre variables
Introducción al Meta-Análisis, MA
a Prueba de homogeneidad
Los modelos pueden ser:
1 De efectos fijos (homogeneidad entre estudios)
Se asume que hay un solo tamaño de efecto poblacional compartido por todos los estudios y por lo
tanto realiza el cálculo basado en el supuesto de que la única variación en el tamaño del efecto se
debe al error del muestreo.
2 De efectos aleatorios (heterogeneidad entre estudios)
Se asume que existe además una componente de variación aleatoria entre poblaciones (varianza
interestudios), la cual se calcula y se introduce en la expresión de la varianza. El modelo de efectos
fijos es un caso particular del de efectos aleatorios, si esta componente es cero.
Por lo tanto el primer paso es comprobar la homogeneidad o heterogeneidad entre estudios, lo cual
se hace con un estadistico Q definido por Cochran ( Ê es el estimador del tamaño del efecto y se
define en el apartado siguiente):
(
n
QT = ∑ wi Ei − Eˆ
i =1
)
2
Distribución
χ2 con n–1 grados de libertad.
H 0 : Homogeneidad
H A : Heterogeneidad
Si QT es significativa y rechazamos la hipotesis nula de homogeneidad entre los estudios, aplicamos
el modelo de efectos aleatorios. De lo contrario aplicamos el modelo de efectos fijos.
Asumimos en esta introducción que tratamos un modelo de efectos fijos.
b Cálculo de un estimador del tamaño del efecto global
El estimador al que llamaremos Ê , sintetiza el tamaño del efecto global de los tratamientos. Este
estimador es una media ponderada de los tamaños del efecto individuales.
Se pondera con la inversa de la varianza del tamaño del efecto E de cada estudio, con lo cual se
pondera la diferencia en los tamaños muestrales y potencia de cada estudio individual.
Las expresiones de cálculo son, por lo tanto:
n
Eˆ =
∑w E
i
i =1
n
∑w
i =1
w=
i
i
1
Varianza
Si la varianza se presenta como ln, los tamaños del efecto E, deberán también estar expresados
como ln.
Inferencia
Se demuestra que la varianza del estimador Ê es:
sE2ˆ =
1
n
∑w
i =1
i
275
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Distribución
Se asume que la distribución de Ê es una normal.
IC
Los IC se forman de la manera habitual:
IC = Eˆ ± B = Eˆ ± zα /2 sEˆ
Si el tamaño del efecto está transformado, el resultado final deberá antitransformarse. Si por ejemplo
se tratara de una transformación ln, se antitransforma con una exponencial:
IC = eln IC
PH
Las hipótesis son:
H0 : E = 0
HA : E ≠ 0
Observar que los tamaños del efecto de cocientes también se incluyen en estas hipótesis pues se
transforman con logaritmos y por lo tanto la igualdad implica un cociente igual a 1 y en definitiva un
logaritmo igual a 0.
Se calcula el valor muestral estandarizado y a partir del mismo, el valor p.
Software
Existen varios programas específicos para realizar Meta-Análisis, cuyas direcciones electrónicas se
encuentran en la bibliografía, entre ellos:
• Comprehensive Meta-Analysis, CMA (ver problema resuelto).
• Mix (Addin para EXCEL).
• Review Manager (Cochrane)
Para finalizar incluyo un problema resuelto, correspondiente a comparación de proporciones.
Problema resuelto 5.28 La aspirina en la prevención primaria.
Se han realizado diversos MA que combinan estudios relacionados con el efecto de la aspirina en la prevención
primaria de la enfermedad cardiovascular. La prevención primaria se diferencia de la secundaria en que reúne a
pacientes sin historia previa de eventos cardiovasculares mayores. El estudiante puede consultar la profusa
información que sobre este tema se encuentra en Internet. Este problema solo tiene la pretensión de presentar
el proceso de cálculo para 5 estudios experimentales, los cuales se resumen en las tablas de contingencia que se
presentan a continuación. El Positivo indica que el individuo desarrolla un evento cardiovascular. El grupo
Experimental fue tratado con aspirina y el de Control con un placebo.
a) Utilizando el tamaño del efecto OR, obtener el IC del tamaño del efecto global y probar que la aspirina tiene
efectos significativos en la prevención primaria de esta enfermedad ( α = 5% ). Interrelacionar gráficamente
el IC con la PH. b) Analizar la potencia retrospectiva versus el tamaño del efecto de la prueba.
1
Experimental Control Total
P
67
87
154
N
69
86
155
Total
136
173
309
276
Jorge Carlos Carrá
IV Análisis de dos variables: Asociación entre variables
Introducción al Meta-Análisis, MA
2
Experimental Control Total
P
49
97
146
N
48
94
142
Total
97
191
288
3
Experimental Control Total
P
166
8
174
N
83
4
87
Total
249
12
261
4
Experimental Control Total
P
9
4
13
N
10
6
16
Total
19
9
29
5
Experimental Control Total
P
117
12
129
N
56
3
59
Total
173
15
188
Figura 5-181
Paso 1 Problema
Comparar grupos (metaanálisis).
Paso 2 Modelo
Distribuciones normal y chi–cuadrado.
Se incluyen luego dentro de IC y PH.
Paso 3 Diseño
Tamaño de la muestra: ver figura 5-181
Paso 4 Análisis
1 Cálculo de los tamaños de efectos OR
El OR se calcula colocando en los numeradores de los Odds al grupo experimental. Por lo tanto:
• Un OR igual a 1 equivale a igualdad entre los resultados de los grupos experimental y control.
• Un OR menor que 1 indica que el grupo experimental tiene menos cantidad de P, por lo cual la aspirina ha
tenido efecto. Denominaremos a este tratamiento: Protector.
•
Un OR mayor a 1 indica que el grupo experimental tiene mayor cantidad de P, por lo cual la aspirina no
ha tenido efecto. Denominaremos a este tratamiento: Riesgo.
Las expresiones de cálculo son:
OR =
Vln OR
pˆ E qˆC ad
=
qˆ E pˆ C bc
1 1 1 1
= + + +
a b c d
277
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
w=
1
Var
Inferencia
IC
ln E = ln Eˆ ± zc sln Eˆ
IC = eln E
PH
H 0 : OR ≥ 1
H A : OR < 1 Aseveración
zm =
ln Eˆ − 0
sln Eˆ
Con ellas se obtienen los siguientes valores. Se incluye la inferencia para cada grupo. Como se desea probar
que la aspirina tiene efectos significativos, esto es OR < 1, es una prueba de 1 cola con α = 5%
pE
pC
OR
ln(OR)
Tipo de tratamiento
V (lnOR)
s(lnOR)
w
w relativo
ln(IC)-LCI
ln(IC)-LCS
IC-LCI
IC-LCS
zm
p (sign)
1
0.435
0.445
2
0.335
0.338
3
0.954
0.954
4
0.692
0.625
5
0.906
0.949
0.960
‐0.041
0.989
‐0.011
1.000
0.000
1.350
0.300
0.522 ‐0.649 Protector
Protector
Riesgo
Riesgo
Protector
0.0525
0.229
19.03
0.458
–∞
0.408
0
1.399
‐0.179
0.858
0.0621 0.393 0.627 0.249 0.627 0.792
16.08 2.54
1.59 0.387 0.0612 0.0383
–∞ –∞
–∞ 0.478 1.229 1.853
0
0
0
1.491 2.805 4.970
‐0.043 0.000 0.379
0.965
1 0.705
0.443 0.666 2.25 0.0544 –∞ 0.655 0 1.561 ‐0.976 0.329 Figura 5-182
Los efectos de los estudios 3 y 4 son iguales o mayores a1, lo cual indica que el grupo de tratamiento se
comportó peor que el de control (efecto Riesgo).
Los grupos más precisos son los 1 y 2 por lo cual tienen los mayores pesos w.
Nota
Dada la equivalencia entre la normal y la chi-cuadrado con ν = 1, si la prueba es bilateral se podría usar la
expresión siguiente y usar la distribución χ2 para calcular el valor p.
χm2 =
(Total )(ad − bc)2
∏ m arg inales
2 Combinación de resultados
Con los valores contenidos en la tabla anterior, se obtiene:
Jorge Carlos Carrá
278
IV Análisis de dos variables: Asociación entre variables
Introducción al Meta-Análisis, MA
n
ln Eˆ =
∑ w ln E
i
i =1
i
n
∑w
= −0.047
i
i =1
La varianza de este estimador es:
sln2 Eˆ =
1
n
∑w
i =1
= 0.024
i
sEˆ = 0.155
IC
La distribución es una normal El intervalo de confianza del 95% será:
ln IC = ln Eˆ ± zc sln Eˆ = −0.047 + 1.64(0.155)
ln IC =(−∞;0.2072)
Finalmente:
IC = e ln IC = (0;1.23)
PH
H 0 : OR ≥ 1
H A : OR < 1 Aseveración
El valor muestral estandarizado es:
zm =
Por lo tanto el valor p es:
ln OR − 0
= −0.303
sln OR
Valor p = sign(0.303) = 0.38
⇒ p > α ⇒ No se rechaza H 0
Interrelación gráfica del IC con la PH
Figura 5-183
Como la PH no rechazó la H 0 : OR ≥ 1 , entonces el IC obtenido debe comprender a este valor (lo cual
sucederá 95% de las veces).
Conclusión
No existe evidencia suficiente para sustentar la aseveración de que la aspirina tiene efecto en la prevención
primaria de la enfermedad cardiovascular.
279
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Paso 5 Verificación: potencia retrospectiva
El resultado es no significativo por lo cual deberíamos calcular P para un tamaño del efecto alto. Supongamos
que el investigador considera alto un OR = 1.5.
zβσ θˆ = zασ θˆ − (θ1 − θ 0 )
1
0
zα = 1.96
θ 0 = ln(1) = 0
θ1 = ln(1.5) = 0.405
Adoptando:
σ 2θˆ = σ 2θˆ = 0.024
0
se obtiene:
zβ = zα -
1
θ1
0.405
= 1.96 = -0.654
σ θˆ
0.1549
1
Por lo tanto:
P = 0.5 + CDF .normal ( −0.654, 0,1) = 0.5 + 0.26 = 0.76
La potencia es cercana a 0.80 (alta), por lo cual podemos concluir que si este efecto grande existiera en la
población, probablemente sería detectado en el estudio. Como la prueba no detectó un efecto, es probable que
el d no exista, por lo cual el estudio es concluyente.
GPower
Exact tests
Proportion: Inequality, two independent groups (unconditional)
Options > Odds ratio.
Post hoc,
2 colas, OR: 1.5, α = 0.05, proporcion p2 = 266/459 = 0.58 n1 = 616, n2 = 459.
Entrega una potencia de: 0.88.
Gráficas
En la figura 5-184 se observa la curva de Potencia en función del tamaño del efecto. Con el tamaño de la
muestra, a partir de un OR = 1.45, se obtiene una potencia mayor a 0.8.
280
Jorge Carlos Carrá
IV Análisis de dos variables: Asociación entre variables
Introducción al Meta-Análisis, MA
Figura 1-184
CEM
Veamos la solución con este software.
Ejecutar el programa y abrir una página nueva. Luego se crearán las columnas necesarias con:
Insert > Column for > Study names
Insert > Column for > Effect size data
Seleccionar: Comparison of two groups, time-points, or exposures (includes
correlations)
Seleccionar:
Dichotomous (number of events) > Unmatched groups, prospective (e.g.
controlled trials, cohort studies) > Events and sample size in each group
En la caja de diálogo que se presenta colocar los nombres de los grupos (en este ejemplo: Experimental y
Control) y los nombres del evento dicotómico (en este ejemplo: P (se presenta la enfermedad) y N (no se
presenta la enfermedad).
Entrar el nombre de cada estudio (en este ejemplo 1, 2, 3, 4 y 5) y los datos. Si están en EXCEL o SPSS,
copiar y pegar cada columna. Al entrar el último dato CMA calcula los efectos y los muestra en columnas
sombreadas de amarillo. Si se hace doble clic en un valor calculado, CMA muestra en una ventana emergente
las fórmulas y el proceso de cálculo.
Figura 5-185
Si se desea agregar otros índices, hacer clic derecho sobre cualquiera de las columnas amarillas > Customize
computed effect size display. Tildar los índices deseados.
Antes de iniciar el análisis, elegir el nivel de confianza en: Computational options. En este caso, como
la prueba es de 1 cola con α = 5%, se debe elegir CI = 90%.
Iniciar el análisis presionando el botón: Run analysis. Se presenta la siguiente información con todos los
datos relevantes. El tamaño del efecto predeterminado es OR y el modelo por defecto es Fixed Effect. Si
se desea cambiarlos presionar el botón. Effect Measure: Odds ratio.
281
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Figura 5-86
Observar que CMA presenta la relación gráfica de los IC con la PH, gráfica que se llama Forest Plot en
MA, nombre que proviene de una deformación del apellido Forrest, en honor a Pat Forrest quién lo utilizo en
una revisión de cancer de mama.
Si se presiona el botón Next Table, se presenta, entre otros datos, el análisis de homogeneidad (prueba Q).
Se aprecia en lafigura siguiente que el valor p es no significativo por lo cual no existe evidencia suficiente para
rechazar la hipótesis de homogeneidad y entonces es correcto el modelo de efectos simples.
Figura 5-187
Para volver a la tabla de datos, presionar el botón Data entry.
282
Jorge Carlos Carrá
V Pruebas de Control de Calidad, SQC
Introducción al Meta-Análisis, MA
V Pruebas de Control de
Calidad, SQC
En tiempos en los que la competencia adquiere una importancia capital, resulta imprescindible la
presencia de medidas que ayuden a mantener la calidad de los productos.
Las técnicas acerca de la calidad pueden dividirse en
• Técnicas aplicables durante el proceso de producción (online).
• Técnicas aplicables a la aceptación del producto terminado
1 Calidad durante la producción (online)
Las variaciones inherentes a la fabricación de productos se clasifican en aleatorias y sistemáticas.
• Aleatorias o naturales
Se producen al azar y son por ejemplo provocadas por las condiciones atmosféricas, variaciones
de los materiales, vibraciones en las máquinas, etc. Están siempre presente y no pueden
eliminarse por completo. Estas provocan que no haya 2 productos que sean exactamente iguales.
• Sistemáticas o asignables
Son todas las restantes y pueden eliminarse una vez que se detectan las causas, sean éstas
materiales o humanas.
El Control Estadístico de Calidad, más conocido por sus siglas en inglés SQC, Statistic Quality
Control, busca advertir las variaciones sistemáticas que se producen en un proceso, en el momento
que ocurren, de tal forma que puedan identificarse las causas y corregirlas a tiempo.
Es de la familia de las PH, pero presenta las siguientes diferencias relevantes con las mismas:
1. Parámetro poblacional
Εl parámetro poblacional θ = θ0 no es un valor hipotético sino un valor dato conocido y
preestablecido.
2. Ecuación pivote
EL SQC centra el análisis en el intervalo de aceptación de la prueba. lo cual se expresa
formalmente en el Intervalo de Aceptación. Este intervalo se construye despejando de la
ecuación pivote el valor estimado (a diferencia de un IC, en donde se despeja el parámetro
poblacional).
3. Diagramas de Control
Como se realizan varias muestras, es más operativo utilizar los llamados Diagramas de Control,
Quality Charts, que presentaremos más adelante.
Los parámetros que se controlan habitualmente en un proceso se pueden dividir en:
Variables de escala
•
•
De posición
Media o x–barra en una distribución normal.
De dispersión
Amplitud R (Range) en una distribución normal.
Desviación estándar s en una distribución chi-cuadrado.
283
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Variables categóricas
Número de éxitos np o proporción muestral p, o en una distribución binomial
Número de casos c o proporción de casos u, en una distribución de Poisson
2 Calidad del producto terminado
Se realiza habitualmente tomando 1 muestra (en algunos caso 2 muestras) de n elementos, llamada
muestreo de aceptación y se fija el número de aceptación, llamado Nivel de Calidad Aceptable,
NCA. Si el número de elementos defectuosos no supera el NCA, se acepta el lote. En caso contrario,
se rechaza. Puede observarse que es un proceso hipergeométrico, pero en la práctica, por sencillez,
se estudia como binomial.
1 Calidad durante la producción
a. Variables de escala
Ejemplificaré los conceptos esenciales de los llamados diagramas de control con el primer caso
(media muestral).
Control de x-barra, A y s
Control de θˆ = x
Si se despeja la media muestral de la ecuación pivote:
zα /2 =
X −μ
σx
Se obtiene:
X = μ ± zα /2σ x
Este intervalo se llama de aceptación, IA.
Si la media poblacional se desconoce, se adopta la media de las medias muestrales, llamada gran
media, x .
Si la desviación estándar poblacional se desconoce, se adopta la media de las desviaciones estándar
muestrales, la cual, como vimos en el capítulo 4, estará afectada por un factor c4 (tabla SQC del
apéndice B).
σˆ =
s
c4
σx =
s
c4 n
El valor de z que se adopta normalmente es z = 3.
Los límites de este intervalo se denominan: LCS, Límite de Control Superior o en inglés UCL
Upper Control Limit y LCI, Límite de Control Inferior o LCL, Lower Control Limit. La expresión
gráfica de este intervalo, se llama Diagrama de Control, el cual se aprecia en la figura 5-188,
obtenida con el SPSS.
En el eje x se colocan las muestras sucesivas y el intervalo para cada muestra se coloca en el eje y.
En la figura se presentan 16 muestras. La línea que contiene al valor medio se llama Línea Central,
LC.
284
Jorge Carlos Carrá
V Pruebas de Control de Calidad, SQC
Control de x-barra, A y s
Debe remarcarse que la proyección de todos los puntos del diagrama sobre un eje vertical es en
realidad la distribución muestral del estadístico en estudio, con su media y los valores de z =3 y
z = –3.
Si esta distribución fuera normal, esto significaría que debe esperarse que alrededor del 97% de los
puntos de varias muestras, se encuentre dentro de esos límites. En este caso se dice que el proceso se
encuentra Bajo Control. Si esto no se verificara, se dice que el proceso está Fuera de Control.
Incluso en el caso de que se cumplan los porcentajes anteriores, debe sospecharse de proceso fuera
de control si los puntos se comportan de forma no aleatoria, como por ejemplo si las 3 muestras de
100 son consecutivas.
Figura 5-188
Diagrama de Control de la media
Para detectar comportamientos no aleatorios, son útiles las siguientes 4 reglas obtenidas del Western
Electric Handbook, 1956 (muestras de 4, 5 o 6 elementos):
1. 1 punto fuera de z = 3
2. 2 de3 puntos consecutivos fuera de z = 2 y del mismo lado.
3. 4 de 5 puntos fuera de z = 1 y del mismo lado
4. Una corrida de más de 8 puntos.
Se define una corrida como una secuencia de observaciones del mismo tipo, ascendentes o
descendentes.
Si el proceso está fuera de control, deberán investigarse las causas de esta anormalidad (ver
diagrama Pareto, más adelante)
Se acostumbra a usar la amplitud R (diferencia entre el valor más alto y el valor más bajo) en lugar
de la desviación estándar. Esto se debe a que el tamaño de la muestra es pequeño por lo cual no es
mucha la pérdida en la precisión y también a razones históricas previas al uso intensivo de las
computadoras.
En este caso, el IA se conforma por:
X = μ ± A2 R
Donde:
• R es el promedio de las amplitudes de cada muestra.
• A2 es un factor que depende del tamaño de la muestra y se obtiene de la tabla de Factores para
SQC, que se reproduce en el apéndice B.
285
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Diseño del Muestreo
En el lenguaje de SCQ, las muestras se denominan subgrupos.
Es necesario especificar el tamaño de la muestra y la frecuencia de muestreo. Cuanto mayor es el
tamaño y mayor es la frecuencia de muestreo posible, mayor es la probabilidad de que se detecten
pequeños corrimientos pero es antieconómico. En general se debe optar por un tamaño grande con
una frecuencia pequeña o por un tamaño pequeño con una alta frecuencia. En la industria se tiende a
priorizar pequeñas y frecuentes muestras y se asume en general que el número de muestras debería
ser mayor que 20 y el tamaño de cada una debe estar entre 5 y 15, usualmente 4, 5 o 6.
Subgrupos racionales
Esto significa que las muestras (subgrupos) deben seleccionarse de tal forma que las causas
sistemáticas que tiendan a producir puntos que queden fuera del Intervalo de Aceptación, IA,
ocurran entre las muestras y no dentro de las muestras. Si por ejemplo se desea estudiar el
desempeño de un empleado, seleccionar muestras que se encuentren dentro de su turno de trabajo.
De esta forma las diferencias sistemáticas por distintos trabajadores quedarán entre las muestras y no
influirán en el análisis.
Control de θˆ = s
En este caso el intervalo de aceptación es:
s = s ± 3σ s
Se demuestra que (Montgomery, D. 2003. pag 609):
σs =
s
1 − c42
c4
c4 se encuentra en la tabla SQC del apéndice B.
El proceso sigue los lineamientos anteriores. Si el valor del límite inferior da negativo es común
tomarlo como 0.
Un proceso puede estar bajo control en la media pero fuera de control en las desviaciones, lo cual
indica que existen unidades demasiado grandes y demasiado cortas. Es más, como el control de la
media depende de las desviaciones (por la incidencia en el error estándar), se sugiere comenzar con
el control de s. Si el proceso estuviera fuera de control en s, los límites de control de la media, tienen
poco significado.
286
Jorge Carlos Carrá
V Pruebas de Control de Calidad, SQC
Control de x-barra, A y s
Figura 5-189
Diagrama de Control de la desviación estándar
Control de θˆ = R
La amplitud es más fácil de calcular y la entienden rápidamente quienes carecen de formación
estadística. El IA resulta de:
LCR = R ± 3sR
Sin embargo, por simplicidad se utilizan:
LCI R = D3 R
LCS R = D4 R
Donde D3 y D4 se obtienen de la tabla de Factores para SQC, en el apéndice B.
Son válidas las mismas consideraciones vertidas en el control de s, en particular la importancia de
analizar los controles de la media y de las amplitudes en forma conjunta.
Figura 5-190
Diagrama de Control de la amplitud
SPSS
Analyze > Quality Control > Control Charts.
287
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Figura 5-191
El SPSS tiene la opción Individuals, Moving Range, para obtener diagramas de control en
los casos que solo se dispone de muestras de tamaño 1. Este caso no será estudiado en este capítulo
(Montgomery, D. 2003, pag 616)
Control de θˆ = X θˆ = R y θˆ = s
Casos son unidades
Elegir la variable que contiene los valores sin procesar (desagregados por muestra) y colocarla en
Process Measurement. Los casos que conforman cada muestra se deben definir en otra
variable, la cual se colocará en Subgroups Defined by.
SPSS realizará el análisis por columnas, dentro de cada muestra definida por la segunda variable.
Figura 5-192
288
Jorge Carlos Carrá
V Pruebas de Control de Calidad, SQC
Control de x-barra, A y s
En el sector Charts, elegir si se desea estimar la media con la desviación estándar o con la
desviación promedio. En correspondencia con esta elección, se puede elegir el gráfico de control de
R o de s, respectivamente.
Presionando el botón Control Rules, se pueden elegir algunas reglas de control para designar
puntos que estén fuera de control. Las 4 reglas del Western Electric Handbook, antes enunciadas,
son parte de las que se presentan. SPSS muestra un punto rojo en los resultados en que se produce
una violación a las reglas de control.
Casos son subgrupos
Elegir las variables (más de una) que contienen los valores a procesar por cada muestra (fila) y
colocarlas en Samples. SPSS realizará el análisis por filas.
El resto es similar al caso anterior.
Titles
Permite incluir en los gráficos: títulos, subtítulos y pies de página.
Options
Permite fijar el número de sigmas del intervalo. Por defecto es 3 sigmas.
Control Rules
Permite elegir reglas cuya función es detectar comportamientos no aleatorios. Son una extensión de
las 4 reglas obtenidas del Western Electric Handbook, 1956, mencionadas anteriormente.
En la salida se muestran con diferentes colores los puntos que cumplen y que no cumplen las reglas.
En este último caso, se indica además, cuál de las reglas no cumple.
Statistics
Permite incluir límites fijos en los gráficos de control de las variables de escala. Esto puede ser útil si
se desea determinar si el proceso cae dentro de límites prefijados.
Se incluyen además varios índices que miden la capacidad y performance del proceso.
Figura 5-193
289
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Problema resuelto 5.29 Tiempos de terminación de auditorías
Usted trabaja para una empresa que realiza auditorías contables. El gerente desea establecer si los tiempos de
terminación están bajo control, para los cual se muestrearon 6 auditorías para cada una de las 5 oficinas de la
empresa y se midieron los tiempos de terminación de cada una. Los resultados se muestran en la tabla de la
figura 5-194.
1
6.0
4.6
4.5
4.5
6.6
4.6
2
6.90
7.10
6.20
6.90
5.30
5.20
3
7.10
6.90
7.10
6.20
6.90
6.90
4
6.80
6.20
6.50
7.10
5.20
6.80
5
6.00
4.60
4.50
4.50
5.20
6.80
Figura 5-194
Construya diagramas de control para investigar si los tiempos de auditoría están bajo control.
En principio construimos la siguiente tabla:
1
2
3
4
5
M1
6.00
6.90
7.10
6.80
6.00
M2
4.60
7.10
6.90
6.20
4.60
M3
4.50
6.20
7.10
6.50
4.50
M4
4.50
6.90
6.20
7.10
4.50
M5
6.60
5.30
6.90
5.20
5.20
M6 Media Amplitud Desv Std
6.00 5.13
2.10
0.92
5.20 6.27
1.90
0.85
6.90 6.85
0.90
0.33
6.80 6.43
1.90
0.68
6.80 5.27
2.30
0.95
Figura 5-195
x = 5.99
R = 1.82
s = 0.746
Diagrama de control de R
LCI R = D3 R = 0
LCS R = D4 R = 2.004(1.82) = 3.647
Diagrama de control de s
s = 0.746 ± 3σ s
0.746
σs =
1 − 0.95152 = 0.241
0.9515
⇒ s = 0.746 ± 3(0.241)
⇒ LCI s = 0.023
⇒ LCSs = 1.469
Observando la tabla de la figura 5-195, (los diagramas de control equivalentes se presentarán en la sección de
resolución con el SPSS), se ve que las dispersiones están bajo control, pues todas se encuentran dentro del
intervalo de aceptación. Se pueden construir, por lo tanto, los diagramas de control de la media.
Diagrama de control de la media usando la amplitud
X = μ ± A2 R
A2 = 0.483
290
Jorge Carlos Carrá
V Pruebas de Control de Calidad, SQC
Control de x-barra, A y s
x = 5.99 ± 0.483(1.82) = 5.99 ± 0.879
⇒ LCI x = 5.111
⇒ LCS x = 6.869
Diagrama de control de la media usando la desviación estándar
X = μ ± 3σ x
s
0.746
σx =
=
= 0.32
c4 n 0.9515 6
⇒ x = 5.99 ± 3(0.32)
⇒ LCI x = 5.029
⇒ LCS x = 6.95
Observando nuevamente la tabla de la figura 5-195, se concluye que el proceso está bajo control. Todas las
medias se encuentran dentro del intervalo de aceptación.
SPSS
Procedimiento en la página 287
Si se colocan los datos en una sola columna, se debe incluir una variable para desagregar por los 5 grupos de
tamaño 6:
Analyze > Quality Control > Control Charts > Variables Charts > X-bar, R, s
> Cases are Units.
Si se colocan los datos en filas, se deben conformar 6 variables, una por cada muestra:
Analyze > Quality Control > Control Charts > Variables Charts > X-bar, R, s
> Cases are Subgroups.
En ambos casos, el resultado es el mismo.
Ir a Control Rules y seleccionar todos los controles.
Range
Figura 5-196
291
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Standard deviation
Figura 5-197
X-bar using range
Figura 5-198
292
Jorge Carlos Carrá
V Pruebas de Control de Calidad, SQC
b. Variables categóricas
X-bar using standard deviation
Figura 5-199
Observar las similitudes de los gráficos de control, ya sea usando las amplitudes o bien las desviaciones
estándar.
b. Variables categóricas
Se aplica cuando los datos son resultados de un conteo y no de una medición.
Control de proporción y n° de éxitos
Este control es aplicable a variables dicotómicas que siguen una distribución binomial. Se realiza un
muestreo de tamaño n y se clasifica a los resultados como defectuosos y no defectuosos, de acuerdo
a una comparación con un estándar.
Puede interesar medir el número total de defectos, D = np, o la proporción de defectos, p.
Control de θˆ = np
Aproximando la distribución binomial a la normal, la expresión de cálculo resulta:
npˆ = np ± 3snpˆ
snpˆ = npq
Si el valor poblacional se desconoce, se adopta el promedio de las proporciones muestrales:
npˆ = np ± 3snp
snp = npq
Si el límite inferior da negativo, utilizar el 0 como límite inferior.
Si la aproximación a la normal no es adecuada, se deben construir los límites del IA de la tabla de
distribuciones binomiales.
293
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Figura 5-200
Diagrama de Control del número de éxitos
Control de θˆ = p̂
pˆ = p ± 3s pˆ
Si la proporción poblacional es desconocida, se adopta la media de las proporciones muestrales:
pˆ = p ± 3s p
sp =
pq
n
Figura 5-201
Diagrama de Control de la proporción muestral
294
Jorge Carlos Carrá
V Pruebas de Control de Calidad, SQC
SPSS
SPSS
Analyze > Quality Control > Control Charts > Attribute Charts
Control de θˆ = npˆ y θˆ = p̂
Casos son unidades
Cada fila es una unidad de una muestra con Éxitos o Fracasos. Esta variable se coloca en
Characteristic.
Las unidades que conforman cada muestra se deben definir en otra variable, la cual se colocará en
Subgroups Defined by.
Si el tamaño de las muestras es distinto, elegir el gráfico p.
Figura 5-202
La palabra inglesa Nonconforming significa defectuosos.
Casos son subgrupos
Cada fila es el resultado del número de éxitos por muestra. Se debe introducir el tamaño de esa
muestra en Sample Size.
295
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Figura 5-203
Problema resuelto 5.30 Quejas sobre desempeño de funcionarios
Debido a las frecuentes quejas de los clientes, en un banco se ha realizado un control acerca de la disparidad en
el desempeño de los funcionarios. Se seleccionaron 6 créditos otorgados por cada uno de 5 funcionarios y se
registró el número de incumplimientos. En la tabla de la figura 5-204, se presenta el detalle (los
incumplimientos se codifican con el número 1).
Funcionario Cr1 Cr2 Cr3 Cr4 Cr5 Cr6 Total
p
0
0
0
0
0
1
1
1
0.1667
0
0
1
0
1
0
2
2
0.3333
1
0
0
0
0
0
3
1
0.1667
1
1
1
1
1
1
4
6
1
0
0
1
0
0
0
5
1
0.1667
Figura 5-204
np = 2.2
p = 0.3667
Diagrama de control de np
snpˆ = npq = 6(0.3667)(0.6333) = 1.18
npˆ = np ± 3snp
⇒ LCI np = −1.34 = 0
⇒ LCSnp = 5.74
296
Jorge Carlos Carrá
V Pruebas de Control de Calidad, SQC
SPSS
Diagrama de control de p
sp =
pq
0.3667(0.6333)
=
= 0.1967
n
6
pˆ = p ± 3s p = 0.3667 ± 3(0.204)
⇒ LCI p = −0.223 = 0
⇒ LCS p = 0.957
Observando la tabla de la figura 5-204, se aprecia que el funcionario 4 está claramente fuera de control (ver
además los diagramas de control con el SPSS, en el siguiente punto). La gerencia debería determinar cuál es la
razón que produce el elevado número de incumplimientos.
SPSS
Procedimiento en la página 295
Si se toman los datos detallados con 1 y 0, se debe incluir una variable para desagregar por los 6 grupos:
Analyze > Quality Control > Control Charts > Attribute charts > p, np >
Cases are Units.
Si se toman los datos totales con el número de defectos por cada grupo, solo se debe conformar una variable:
Analyze > Quality Control > Control Charts > > Attribute charts > p, np >
Cases are Subgroups. En este caso, se debe informar el tamaño n de la muestra.
En ambos casos, el resultado es el mismo.
Ir a Control Rules y seleccionar todos los controles.
np
Figura 5-205
Figura 5-206
297
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
p
Figura 5-207
Figura 5-208
Control de número de casos por unidad
Este control es aplicable a la variable categórica c, número de casos por unidad.
Observar que en una variable binomial, cada muestra de tamaño n contiene unidades defectuosas o
normales, cuyo número, de 0 a n, está relacionado con n.
En cambio en una variable de Poisson, cada muestra de tamaño n contiene unidades con un número
de defectos no relacionados con el tamaño n.
Control de θˆ = c
Aproximando la distribución de Poisson a la normal, la expresión de cálculo resulta
c = c ± 3sc
donde, recordemos del capítulo 2:
sc = c
Si la aproximación a la normal no es adecuada, se deben construir los límites del IA de la tabla de la
distribución de Poisson.
Si el límite inferior da negativo, utilizar el 0 como límite inferior.
298
Jorge Carlos Carrá
V Pruebas de Control de Calidad, SQC
Control de número de casos por unidad
Figura 5-209
Diagrama de Control del número de casos
Control de θˆ = u
El valor de u se define como el cociente entre c y el tamaño de la muestra n.
u=
c
n
Figura 5-210
Diagrama de Control de la proporción de casos
Los valores del diagrama de u son el cociente por n = 6, de los valores de c.
299
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
SPSS
Analyze > Quality Control > Control Charts > Attribute Charts
Control de θˆ = c y θˆ = u
Casos son unidades
Las unidades se agrupan en subgrupos o muestras.
Cada celda contiene la cantidad de casos por unidad. Esta variable se coloca en
Characteristic.
Las unidades que conforman cada muestra se deben definir en otra variable, la cual se colocará en
Subgroups Defined by.
El número total de casos c por muestra, es la suma de todos los valores de la variable
Characteristic que están comprendidos en cada muestra.
En el gráfico c, no interviene el tamaño de las muestras, por lo cual es apto cuando este tamaño es
distinto para las distintas muestras.
Figura 5-211
Casos son subgrupos
Cada celda contiene ahora el resultado del número de casos c por muestra.
Se debe introducir el tamaño n de la muestra en Sample Size.
300
Jorge Carlos Carrá
V Pruebas de Control de Calidad, SQC
SPSS
Figura 5-212
Problema resuelto 5.31 Defectos en solicitudes de crédito
Se desea controlar el número de defectos (violaciones) cometidos en cada solicitud de crédito. Se seleccionan 6
solicitudes (muestras de tamaño n = 6) y se cuenta el número de defectos. Se repite el proceso 5 veces. El
resultado se resume en la tabla de la figura 5-213.
Construir gráficos de control para analizar el número de violaciones por solicitud.
Muestra S1 S2 S3 S4 S5 S6 Total
2
3
1
1
0
2
1
9
2
0
0
1
0
3
2
6
0
2
1
2
0
1
3
6
4
2
5
6
2
0
4
19
1
2
0 3
1
0
5
7
Figura 5-213
c = 9.4
sc = 9.4 = 3.066
c
u = = 1.566
6
sc 3.066
su = =
= 0.511
6
6
Diagrama de control de c
c = c ± 3sc
⇒ LCI c = 0.202
301
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
⇒ LCSc = 18.598
Diagrama de control de u
u = u ± 3su
⇒ LCIu = 0.033
⇒ LCSu = 3.099
Los valores del control de c son un múltiplo de n = 6 de los valores de u.
La muestra número 4 sugiere un problema. La gerencia debería analizar las causas para reducir el número de
incumplimientos.
SPSS
Procedimiento en la página 300
Si se toman los datos detallados, se debe incluir una variable para desagregar por grupos de tamaño 6:
Analyze > Quality Control > Control Charts > Attribute charts > c,u > Cases
are Units.
Si se toman los datos totales, se conforma solo una variable con el número de defectos por cada grupo:
Analyze > Quality Control > Control Charts > > Attribute charts > c,u >
Cases are Subgroups. En este caso, se debe informar el tamaño de la muestra.
En ambos casos, el resultado es el mismo.
Ir a Control Rules y seleccionar todos los controles.
c
Figura 5-214
Figura 5-215
302
Jorge Carlos Carrá
V Pruebas de Control de Calidad, SQC
Diagramas de diagnóstico
u
Figura 5-216
Figura 5-217
Diagramas de diagnóstico
Son un complemento de los diagramas de control y se usan para investigar las causas de las
variaciones que se observan en el proceso.
Diagramas de causa-efecto
Es un diagrama que relaciona los resultados (efectos) con un conjunto de causas posibles. Estas
causas surgen en general por propuestas de un grupo grande de personas, por ejemplo dejando el
diagrama en una cartelera a la vista de los empleados de una fábrica. Se invita así a que cada persona
que lo desee, pegue (post it) su idea u opinión sobre la posible causa del problema.
En general adquiere una forma parecida a la espina de pescado, nombre con el cual suele ser
denominado.
Figura 5-218
303
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
En cada una de las ramas o áreas (espinas principales) que en principio se hayan detectado, pueden ir
agregándose subramas o subcausas como lluvia de ideas de las causas o porque del problema. No
existen reglas acerca de cuáles deben ser las causas principales, pero las más comunes son las
asociadas con los métodos, los materiales, el equipo y el personal.
Diagramas Pareto
El diagrama de Causa y Efecto no ofrece una respuesta numérica al problema, pero es un vehículo
para la construcción de un diagrama Pareto. Su nombre se debe al científico italiano del siglo XIX
Vilfredo Pareto, quien observó que la mayor parte de la actividad en un proceso es causada por una
cantidad relativamente pequeña de factores.
Luego de cuantificar el número de veces o frecuencia que se presenta cada una de las causas, se
puede construir un diagrama de barras con las causas en abscisas y el número de defectos en
ordenadas. La particularidad de un diagrama Pareto es que las barras se ordenan de mayor frecuencia
a menor frecuencia y que se presenta además un diagrama de líneas con la frecuencia acumulada.
Figura 5-219
SPSS
Analyze > Quality Control > Pareto Charts
Figura 5-220
304
Jorge Carlos Carrá
V Pruebas de Control de Calidad, SQC
Diagramas de diagnóstico
Las opciones que se presentan en este cuadro de diálogo, ya fueron analizadas en el capítulo 1, SPSS
> Gráficos: Legacy Dialogs. A modo de ejemplo, veamos las ventanas para un par de
selecciones.
Simple + Group of Cases
Figura 5-221
305
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Stacked + Group of Cases
Figura 5-222
Problema resuelto 5.32 Quejas sobre desempeño de funcionarios
En el problema resuelto de página 296 se construyó un gráfico de control para realizar un control acerca de la
disparidad en el desempeño de los funcionarios de un banco. Para realizar una investigación, el gerente les pide
a los clientes que se quejan que llenen un formulario. En la siguiente tabla se presenta el resumen de las causa
de quejas recibidos en los últimos 12 meses.
Queja
Frecuencia
Atención deficiente
71
Errores involuntarios
23
Falta de preparación
2
Tiempo de espera excesivo
10
Figura 5-223
Construir un diagrama Pareto. ¿Qué quejas resolvería primero?
SPSS
Procedimiento en la página 304
Analyze > Quality Control > Pareto Charts
Utilizar la vista de variables para rotular cada nivel y la función Weight Cases para procesar la columna
de frecuencias.
306
Jorge Carlos Carrá
V Pruebas de Control de Calidad, SQC
Diagramas de diagnóstico
Figura 5-224
2. Calidad del producto
terminado
Muestreo de Aceptación
Para evaluar con rapidez las probabilidades de los diversos niveles de calidad que puede presentar un
lote, el comprador usualmente utiliza las curvas llamadas Característica de Operación, CO, las
cuales, recordemos de la sección diseño al comienzo del capítulo, son gráficas de β para cada uno de
los valores de θ, si H0 es falsa y de c = 1-α, si H0 es cierta. En control de calidad es más común
llamarlas CO(θ) en lugar de β(θ).
Las gráficas de la potencia serán entonces P = 1–CO.
Como ejemplo de su construcción, analizar el problema resuelto 5.27, aplicable a un muestreo por
atributos de una cola. Este muestreo consiste en aceptar o rechazar un elemento que se clasifica en
forma dicotómica: defectuoso o no defectuoso.
En este caso la distribución apropiada es la binomial.
Problema resuelto 5.33 Muestreo de aceptación
Una empresa deber evaluar la aceptación de un elemento a partir de la siguiente hipótesis.
H0: el lote es bueno si p ≤ 0.10
ΗΑ: el lote es malo si p > 0.10
Se predetermina una Regla de decisión, la cual consiste en fijar un número crítico llamado NA, Número de
Aceptación. Supongamos que se determina que NA = 2. Este valor crítico define el sector α.
Si llamamos y al número de elementos defectuosos, se tiene entonces:
307
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
P(rechazar )=P( y ≥ 3) = α
Construir las curvas CO y P, si el tamaño de la muestra es n = 25.
Diagrama CO
Se trata de un problema de distribución binomial, para la cual:
p = variable (para p ≤ 0.10, el lote es bueno, de lo contrario es malo)
n = 25
Se trata de calcular las probabilidades CO en función del tamaño del efecto g = p1 − p0 :
CO = P ( y = 2 | p1 ) = P ( pˆ =
2
| p1 ) = P ( pˆ = 0.08 | p1 )
25
Utilizamos la tabla de probabilidades binomiales para n = 25 (Apéndice B).
En la fila de y = 2, (figura 5-225), se tienen todas las CDF para distintos valores de p (son los valores de H1 y
por lo tanto corresponden a p1). Como estos valores son las probabilidades de aceptar el lote, tolerando hasta 2
elementos defectuosos (punto de corte), son en definitiva, los valores de CO.
Figura 5-225
Expresando esos valores en forma de diagrama, se obtiene la curva de CO de la figura 5-226, para:
n =25 e y = 2.
Figura 5-226
Para este plan de muestreo, se observa por ejemplo que la probabilidad de aceptar un lote que tiene un 10% de
defectuosos es de 53.7% (CO = 1-α), y por lo tanto α = 46.3%.
Si en realidad tiene un 30% de defectuosos, es CO = 0.9% (CO = β para esta HA).
308
Jorge Carlos Carrá
V Pruebas de Control de Calidad, SQC
Diagramas de diagnóstico
Diagrama de Potencia
Como P = 1 – β, la curva de la Potencia se construye en forma directa a partir de la CO:
Figura 5-227
Para esta prueba de cola superior, cuanto mayor es la diferencia positiva entre el valor verdadero con el
hipotético (p0 = 0.1), mayor es la potencia para detectar esta disparidad. Cuando ambos valores coinciden, la
potencia resulta igual a α pues la hipótesis nula sería cierta.
GPower
Exact
Proportion: Difference from constant (binomial test, one sample case)
Post hoc
1 cola, α = 0.463, g = arbitrario (solo para obtener la curva de potencia), constant proportion (po) = 0.1 y n
=25.
Dado que este programa requiere α y no el valor NA, se lo debe calcular previamente (valor complementario
de la tabla anterior para y = 2 y p = 0.1, es decir 0.463).
Las distribuciones para un tamaño del efecto g = 0.2 (p1 = 0.3), se muestran en la figura 5-228. Se muestra el
valor crítico N = 3.
La curva de potencia en función del tamaño del efecto (g = p2-p1), se muestra en la figura 5-229. La
discrepancia para la parte izquierda de g = 0, se debe a que GPower cambia de cola de la prueba con el signo
del tamaño del efecto. Cuando el tamaño del efecto es negativo, la cola de la prueba pasa de la derecha a la
izquierda con un punto de corte (para igual α), distinto del de la derecha (figura 5-230).
309
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Figura 5-228
Figura 5-229
Figura 5-230
310
Jorge Carlos Carrá
Simulaciones
1 Estadística paramétrica
Simulaciones
En esta última sección del capítulo 5, aprenderemos a construir simulaciones para simular el proceso
de una inferencia. En la primera parte con los métodos de la estadística paramétrica de este capítulo
y en la segunda parte con un método no paramétrico que no requiere conocer la distribución de
probabilidades de la población, ni de alguna variable relacionada.
1 Estadística paramétrica
Problema
Se desea probar la aseveración de que la media de las presiones arteriales (en cm Hg) es μ > 12.5
Se sabe que la distribución de la población es normal con σ =2.5 cmHg. Se decide adoptar α = 0.05.
Por lo tanto las hipótesis quedan así:
H 0 : μ ≤ 12.5
H A : μ > 12.5
El procedimiento habitual es tomar una muestra y realizar la inferencia, pero en lugar de utilizar el
cálculo, usaremos una simulación de la distribución de H0. Partiremos de una población de N = 1000
elementos de la variable de escala presión distribuida normalmente con μ =12.5 cmHg y σ =2.5
cmHg, de la cual se muestrean 30 elementos. Esta simulación se puede realizar directamente con
NAN (Números Aleatorios Normales) generados con un software como SPSS o EXCEL o mediante
una simulación Montecarlo con NAU (Números Aleatorios Uniformes), generados con una
calculadora.
a Con NAN
Para realizar la simulación utilizar la función RV.NORMAL del SPSS, introduciendo μ = 12.5 y
σ = 2.5 . Relea la sección Simulación (TCL) del capítulo 4 para obtener 100 muestras de tamaño 30
con la interpretación: muestra = fila.
Luego generar una nueva variable Media que sea el promedio de cada una de las 100 muestras,
utilizando la función Mean del comando Compute, colocando como argumentos var1 to
var30. Esta variable es la distribución muestral de medias, con 100 replicas.
Calcular la media y la varianza de esta variable Media.
Continuar con el paso c.
b Con NAU
Si no se cuenta con un generador de NAN, puede utilizarse la simulación Montecarlo con NAU
aprendida en el capítulo 2. Utilizaremos aquí una binomial b(25; 0.5) que se aproxima a una normal,
con parámetros: μ =12.5 cmHg, y σ =2.5 cmHg.
Los resultados se observan en las columnas 1 y 2 de la tabla de la figura 5-231.
311
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Simulación Montecarlo de los NAN
a) Numeración de los elementos de la FDP normal
Se realizará un muestreo irrestricto aleatorio de elementos de la población para lo cual se numeran
cada uno de los 1000 elementos. El número asignado a cada uno se llama número de orden. Esta
asignación se muestra en la columna 3 de la figura 5-231, la cual, como ya sabemos, contiene las
frecuencias acumuladas de la distribución normal.
b) Muestreo de cada elemento
En la generación de los NAN con el SPSS, todo el proceso que hace el software se debe ahora
realizar en forma manual, por lo cual el lector puede disminuir los siguientes tamaños en aras de
facilitar el trabajo de cómputo.
Generar 30 NAU con la calculadora (tecla Random). Entrando con este número en la columna 3 de
la figura 5-231, extraer de la columna 1 el NAN que le corresponde. Colocar estos números NAN en
una fila. Repetir para generar 100 filas.
x(NAN)
f
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
2
5
15
32
61
97
133
155
155
133
97
61
32
15
56
2
F(x)
(N° de órden)
1-2
3-7
8-22
23-54
55-115
116-212
213-345
346-500
501-655
656-788
789-885
886-946
947-978
979-993
994-998
999-1000
Figura 5-231
c) Generación de la distribución muestral
Hallar la media de cada fila. Se genera entonces una columna de 100 valores de la distribución
muestral de medias.
c Inferencia
Usaremos ahora la simulación para construir manualmente un IC y una PH para cada una de las 100
medias obtenidas, las cuales pueden colocarse en la primera columna de la tabla de la figura 5-232.
312
Jorge Carlos Carrá
Simulaciones
1 Estadística paramétrica
x
LCI
LCS
IC
2 7 12.5 17 22
PH
p
R/R'
Figura 5-232
Estimación por IC
a) Construcción de los IC
Construir un IC para cada una de las x generadas con la simulación. Colocar los LCI y LCS en las
columnas 2 y 3.
Se obtienen así 100 IC. Graficar una barra horizontal en las columnas 4 y 5 desde el valor LCI hasta
el valor LCS (guiarse con las ubicación de los valores de x colocados en el encabezamiento: 2, 7,
12.5, 17 y 22).
b) Decisión
Contar las barras que comprenden al valor de μ0 = 12.5 y llenar los siguientes espacios en blanco.
Se observa que_______ de las 100 muestras incluyen a μ0, esto es un _______ %, lo cual está si/no
de acuerdo con el valor nominal del ______ %.
Se observará mayor convergencia si se aumenta la cantidad de muestras.
Prueba de Hipótesis
a) Comparación
Dado que ya se cuenta con el cálculo del IC, los valores incluidos en el IC conducirán a la zona de
No Rechazo y viceversa. Sin embargo es instructivo actuar como si el IC se desconociera, realizando
la comparación, por ejemplo con áreas. Hallar el valor de zm que le corresponde a cada x generado
en la simulación. Calcular el valor de p para este zm y colocarlo en la penúltima columna de la tabla
de la figura 5-232. Comparando p con α=0.05, llenar la última columna con R (Rechazo) o R' (No
rechazo).
c) Decisión
En la experiencia se observa que_______ % de las 100 muestras fueron rechazadas siendo ciertas.
Esto es el _______ % y si/no está de acuerdo con la predicción teórica.
313
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Ejercicio
De forma similar al desarrollo anterior, construir los IC de 68 % y las pruebas de hipótesis con
α = 32% para el mismo ejemplo.
2 Estadística no paramétrica:
Distribuciones exactas
Las distribuciones asintóticas parten de supuestos como el de normalidad de las poblaciones, bajo
los cuales los parámetros a estudiar siguen una determinada distribución (normal, t de student, chicuadrado, F, etc). Esto es muchas veces incorrecto, lo cual ya fue mencionado al estudiar la media de
una población con distribución poblacional no normal y muestra chica (caso 5 del cuadro de la
página 82) y también en las pruebas de varianzas, muy sensibles al supuesto de normalidad de las
poblaciones.
Un método paramétrico para resolver estas situaciones es transformar los datos, procedimiento que
ya fue utilizado en varias ocasiones en este capítulo (recordar la transformación arcsen para
proporciones (página 106), las transformaciones logaritmo para los cocientes (página 176) y la
transformación arcth para correlaciones (página 213).
Los restantes procedimientos se engloban en los llamados métodos no paramétricos que
estudiaremos en el capítulo 7, cuyo nombre se refiere a que no se asume que el parámetro a estudiar
verifique una determinada distribución teórica. Estos métodos se dividen en 2 tipos:
1. Distribuciones de permutación y métodos de remuestreo
2. Transformación de los datos en variables ordinales
Estos métodos permiten además analizar parámetros que carecen de una distribución muestral,
siquiera aproximada, como es el caso de la mediana.
Describiremos aquí las distribuciones de de permutación.
Distribuciones de aleatorización, de permutación
o exactas
Es crucial que los cálculos de inferencia (LCI, LCS y valor p), sean realizados en forma precisa,
pues de ellos depende la decisión. Las distribuciones exactas son una alternativa al cálculo de IC y
PH en forma asintótica.
La idea básica (iniciada por Fisher y Pitman en la década de 1930 con el ahora conocido Test Exacto
de Fisher), es responder a la pregunta: ¿dados estos datos, cuales son los posibles caminos de que
hayan provenido de la población?
Para responderla se simula la población original formando todas las permutaciones (o
combinaciones) posibles de la misma muestra y se construye con ellas la distribución muestral del
estadístico muestral que se desee (media, mediana, varianza, etc), llamada distribución de
aleatorización, de permutación o exacta.
Los procedimientos de inferencia, IC y PH, no cambian, solo difieren en la forma de realizar el
muestreo. Recordar además que si se tiene el IC, se puede realizar la PH, observando si el valor de la
hipótesis nula pertenece o no al IC.
IC
En el caso de un IC, los muestreos son con reemplazo y se crea una distribución exacta centrada en
el valor muestral del estadístico a estudiar.
Luego de obtener la distribución exacta se procede con el mismo esquema de cualquier distribución
muestral, calculando los percentiles para establecer los límites del IC:
P0.025 < θ < P0.975
314
Jorge Carlos Carrá
Simulaciones
2 Estadística no paramétrica:
Distribuciones exactas
PH
En el caso de una PH, se deberá realizar el muestreo de forma tal que sea consistente con H0 (por
ejemplo su media deberá converger al valor fijado por H0).
Luego de obtener la distribución exacta consistente con H0 (ver ejemplos a continuación), se calcula
el valor p correspondiente al valor muestral original, buscando la posición de este valor en la
distribución exacta ordenada y calculando la frecuencia relativa de la cola de este valor. Si se trata de
una prueba de 2 colas, se multiplicará por 2 y luego se comparará con α para establecer las
conclusiones.
La efectividad de las distribuciones exactas es tan grande, que estos métodos se están convirtiendo
en las alternativas preferidas para realizar una inferencia, debido a lo cual las nuevas versiones del
SPSS (y del resto de los paquetes de software) los incluyen. Veamos a continuación algunos casos.
Una proporción
IC
Supongamos que el tamaño muestral sea n = 10.
El número total de muestras posibles es equivalente al de tablas como la de la figura 5-233a
partiendo de (E, F) = (0, 10), hasta (10, 0). Cada una de esas tablas sintetiza todas las situaciones. La
correspondiente a por ejemplo 1 Éxito, pˆ =
1
9
y 9 Fracasos, qˆ =
, engloba a todas las
10
10
combinaciones de casos que contienen 1 E y 9 F, por lo cual se debe multiplicar la probabilidad de
que ocurra uno de estos eventos por la permutación de 10 elementos con 1 E y 9 F.
Una breve reflexión conduce a que el número total de tablas distintas es n + 1 , pues se comienza a
contar desde 0.
PH
Se deben dar los valores de la H0 en otra tabla como por ejemplo la de la figura 5-233b, la cual
implica en este ejemplo, para E una probabilidad p =
4
6
y para F una probabilidad q =
.
10
10
Al multiplicar la probabilidad de que ocurra uno de estos eventos por, por ejemplo la permutación de
10 elementos con 1 E y 9 F, cada una de estas tablas tiene una probabilidad dada por la distribución
binomial.
E
1
F
9
n
10
H0
E
4
a
F
6
10
b
Figura 5-233
Comparación de proporciones
PH
Este caso conduce al test exacto de Fisher (padre de las pruebas exactas) tratado en la página 171 y
en la página FisherExact3 del capítulo 3. En ese capítulo se observó que el número de muestras
(tablas) posibles es el valor del marginal menor más 1 pues se empieza desde 0.
En los ejemplos anteriores el número de muestras puede ser manejable, incluso para un cálculo
manual, pero este no es el caso de los siguientes ejemplos.
Un parámetro de escala (media, mediana, varianza, etc)
IC
Supongamos que el tamaño muestral sea n = 10. Se deben formar todas las muestras de igual tamaño
que la original, con reemplazo y luego calcular el estadístico. El muestreo debe ser con reemplazo
315
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
pues un muestreo sin reemplazo obtendría siempre la misma distribución.
Aunque este tamaño es muy pequeño, existen 92378 muestras con repetición10, que pueden formarse
con los 10 datos. Si la muestra fuera por ejemplo de tamaño 100, la cantidad de combinaciones
posible sería inmanejable, incluso para las computadoras más modernas.
PH
No se ha establecido por ahora un procedimiento para obtener una prueba exacta.
Comparación de 2 parámetros de escala
IC
Si por ejemplo se tratara de estudiar la comparación (de medias, varianzas, etc) de 2 poblaciones
independientes, A y B con 3 y 4 elementos respectivamente, se se deberían formar todas las muestras
con reemplazo separadamente de cada uno de los 2 grupos y luego formar el estadístico, en este
caso la diferencia. Nuevamente, como se consideran juntos todos los datos de cada grupo, el
muestreo debe ser con reemplazo pues un muestreo sin reemplazo obtendría siempre la misma
distribución.
El número de muestras es de 14411. Si los valores fueran 5 y 5 la cantidad sería 9765625 muestras.
Si la comparación A–B fuera apareada, no deben mezclarse los resultados de diferentes casos, pues
están apareados. Se procede con los pares en forma similar al caso de una variable.
PH
Para muestrear en forma consistente con la H0: Δ = 0, no se debe remuestrear a cada muestra por
separado como se hace para el IC, sino a ambas muestras juntas pues se supone que proceden de la
misma población. Se crean todos los reordenamientos posibles sin reemplazo y luego se separarán
en 2 grupos A y B del mismo tamaño que los originales, lo cual provocará que aleatoriamente
algunos de los valores originales de un grupo se contabilicen en el otro.
Si por ejemplo las muestras tuvieran 3 y 4 elementos respectivamente, se se deberían formar 35
muestras12. Se calculan el estadíostico de cada grupo y se realiza la diferencia. El estadístico de esta
distribución de diferencias estará cercana a 0, como corresponde a H0: Δ = 0,
Si la comparación A–B fuera apareada:
• No deben mezclarse los resultados de diferentes casos, pues están apareados.
• Un muestreo consistente con la H0: Δ = 0, supone que la permutación de cualquier par es tan
probable como la inversa.
Por lo tanto el muestreo de cada par tiene 2 posibles resultados que se diferencian solo en el signo. Si
por ejemplo se tienen 10 pares, el número de muestras posibles es 102413. Con 20 pares el número
sería 1048576.
Asociación de variables
Esta situación se corresponde con los análisis de correlación y regresión.
IC
Si por ejemplo se tratara de estudiar la correlación entre 2 poblaciones, A y B con una muestra de 5
pares, se se deberían formar todas las muestras de pares de tamaño 5, con reemplazo, es decir 12614.
19!
.
10!9!
3 4
11
Permutaciones con repetición tomadas de a n: 3 4 = 144
10
Combinaciones con repetición de 10, tomadas de a 10 =
7!
.
3!4!
10
13
Permutaciones co repetición de 2 elementos tomados de a 10: 2 = 1024
12
Permutaciones con repetición de 7 elementos, con 3 y 4 repetidos:
316
Jorge Carlos Carrá
Simulaciones
2 Estadística no paramétrica:
Distribuciones exactas
Si la muestra tuviera 10 pares, el número de muestras posibles sería 92378.
Para obtener los coeficientes de la recta de regresión, se realiza el muestreo en forma similar, pero
ahora el estadístico se obtiene con las fórmulas de los coeficientes de la recta.
PH
Nuevamente ejemplifiquemos para un análisis de correlación. Para realizar un muestreo consistente
con H0: ρ = 0, debe suponerse que no existe correlación entre ambos grupos y por lo que tanto todos
los apareamientos posibles de un grupo A con el otro B tienen la misma probabilidad.
Si por ejemplo el estudio consistiera en 2 muestras A y B de tamaño 5 cada una, se deberían formar
las 120 permutaciones de 5 elementos 15 de cualquiera de los 2 grupos, por ejemplo B y asociarlas
una a una con el mismo ordenamiento del otro grupo A. Si la muestra fuera de 15 elementos, el
número de muestras sería alrededor de 1 millón de millones.
Para obtener los coeficientes de la recta de regresión, se realiza el muestreo en forma similar, pero
ahora el estadístico se obtiene con las fórmulas de los coeficientes de la recta.
Remuestreo
Para obtener la distribución exacta cuando el número de muestras elevado, se extrae aleatoriamente
un alto número de muestras de los datos originales, pero manejable (llamado a veces muestreo
MonteCarlo). Con estas muestras se obtiene entonces la distribución del estadístico de interés, del
mismo modo con el que se obtiene una distribución muestral. Los resultados que se obtengan se
consideran representativos de los que se obtendrían si se consideraran todas las muestras posibles.
Por consiguiente, este procedimiento estará sujeto a 2 fuentes de variabilidad:
1. Muestra original extraida aleatoriamente de la población.
2. Remuestreo extraido aleatoriamente de la muestra.
De todas formas un concepto sigue vigente: cuanto mayor es el tamaño de la muestra original (fuente
1), más confiables serán los resultados. La segunda fuente de variación es en general pequeña en
muestras grandes, pero puede ser importante si el tamaño muestral original es pequeño.
Para la mayoría de los estudios, un remuestreo mínimo es de 1000 muestras, lo cual requiere de una
computadora con programas específicos.
Los nombres que recibe el remuestreo diferencian si se trata de un remuestreo para IC o para PH:
• IC: Bootstrap o Jackknife
• PH: prueba de permutación con remuestreo (a veces se omite la palabra remuestreo, en cuyo
caso el contexto indicará si se realiza o no)
IC
Bootstrap
El nombre bootstrap alude al cordón (strap) de los zapatos (boot), recordando la imagen de alguien
intentando salir del barro sin ayuda, tirando del cordón de sus propios zapatos (pull oneself up by
one's bootstraps). Se extraen aleatoriamente muestras de igual tamaño que la muestra original.
Se calcula el valor del estadístico en estudio y se crea la distribución muestral del mismo a la que se
llama distribución bootstrap.
Jackknife
Consiste en formar submuestras de los datos dejando sistemáticamente afuera una observación a la
vez. Por lo tanto cada muestra tiene un tamaño muestral de n–1 y difieren entre sí solo en el único
caso omitido.
14
Combinaciones con repetición de 5, tomadas de a 5 =
15
Permutaciones de 5 elementos:
9!
.
5!4!
5!
317
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Se calcula el valor del estadístico en estudio y se crea la distribución muestral del mismo a la que se
llama distribución jacknife.
PH
Prueba de permutación con remuestreo
La distribución de aleatorización con remuestreo debe contemplar, como ya se ha dicho, que el
muestreo sea consistente con H0 y se obtiene en general con un muestreo sin reemplazo.
SPSS
IC (Bootstrap)
El SPSS 18 incluye un módulo opcional Bootstrap para la obtención de IC. Si se encuentra
disponible, un botón Bootstrap se incorpora a muchos procedimientos: frecuencias, descriptivos,
explorar, tablas de contingencias (para las medidas simétricas: nominal por nominal, ordinal por
ordinal y escala por escala), medias, correlación, regresión, etc. La ventana que se abre se muestra en
la figura 5-234. Sin embargo, las muestras seleccionadas no aparecen en forma explícita en la vista
de datos.
La opción BCa, Bias Corrected accelerated, es una modificación del cálculo de los
percentiles y debe usarse si la distribución bootstrap es sesgada (respecto del valor muestral) y
asimétrica, pero se debe tener precaución si el tamaño de la muestra es muy pequeño, pues no
habría suficientes datos para determinar las correcciones necesarias.
Nota
Oservar que con bootstrapping se pueden obtener los IC para parámetros que no tienen
procedimientos en el SPSS, como la varianza o la desviación estándar.
Si se desea obtener los IC de una proporción, codificar la variable dicotómica con 0 (F) y 1 (E) y
luego correr el procedimiento Frequencies, solicitando la media (mean) y tildando el botón
Bootstrap.
318
Jorge Carlos Carrá
Simulaciones
2 Estadística no paramétrica:
Distribuciones exactas
Figura 5-234
PH (Exact)
Si la versión del SPSS contiene el módulo Exact Tests, se incluye para todos los procedimientos
no paramétricos y para la tabla de contingencias (crosstabs) la opción de realizar un análisis por
PH sea con la distribución exacta o con remuestreo16. Esto puede verse por ejemplo con el ya
utilizado procedimiento de una prueba Binomial: Analyze > Nonparametric tests >
Legacy Dialogs > Binomial > Exact. Se presenta la siguiente ventana:
16
Observar que el procedimiento Crosstabs incluye a Bootstrap (IC para las medidas simétricas) y Exact
(valores p de los test chi-cuadrado y de estas medidas bajo el supuesto de H0: valor = 0).
319
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Figura 5-235
La opción por defecto es la distribución normal como aproximación asintótica de la binomial
(Asymptotic only). La opción Monte Carlo es el remuestreo y la opción Exact es la
distribución de permutación o exacta.
Ejemplo: bootstrap para una media
Sea por ejemplo la siguiente muestra de n = 10 extraída de una población no normal (observar el
caso 465.3, muy extremo):
3.6 465.3 2.8 56.6 2.6 89.1 12.1 19 6.2 1.3
Figura 5-236
Para que el alumno pueda comprender el proceso paso a paso, usaré un software que muestre las
muestras seleccionadas. He elegido en este caso a Minitab, dado que la versión completa por 30 días
puede descargarse del sitio que se encuentra en la bibliografía.
Instalar Minitab, abrir una página nueva y seguir el siguiente proceso.
1. Colocar los datos de la tabla anterior en la columna C1.
2. Crear en la columna C2, 10 probabilidades iguales a 0.1 (muestreo aleatorio con igual
probabilidad para cada caso).
3. Calc > Random Data > Discrete. Colocar los valores que se encuentran en la figura
5-237. Se generan de esta forma 500 muestras (filas) de 10 elementos cada una (columnas), con
los mismos elementos de la población original (con repetición).
320
Jorge Carlos Carrá
Simulaciones
2 Estadística no paramétrica:
Distribuciones exactas
Figura 5-237
4. A partir de ahora seguimos el mismo esquema de cualquier distribución muestral. Si se desea
obtener la distribución bootstrap de la media (varianza), calcularemos las medias (varianzas) de
cada muestra. Si se crea luego el histograma de esta distribución y se calculan sus parámetros, se
apreciará que se acerca a la forma que predice la teoría, por ejemplo, normal para la distribución
de medias, de acuerdo al TCL. A pesar que elremuestreo puede calcular todo lo que se necesita a
partir de las muestras, si por ejemplo la distribución bootstrap del remuestreo es razonablemente
normal, podrían usarse las fórmulas que se basan en esta distribución.
Para seguir trabajando en el SPSS, copiar las celdas y pegarlas en la vista de datos del SPSS.
Si se desea seguir dentro de Minitab:
Calc > Row Statistics. Ingresar las variables C3-C12, elegir el estadístico (Mean o
Standard deviation) y guardar los resultados en otra columna (C13).
Figura 5-238
321
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Inferencia: IC
El método general para obtener los IC supone que la distribución bootstrap no se puede aproximar a
alguna de las tabuladas y por lo tanto todo lo que se requiera deberá partir de la misma distribución.
Para calcular el IC del 95% de esta distribución (C13), se deben hallar los percentiles P0.025 y P0.975.
En Minitab, se debe proceder manualmente ordenando la columna con Data > Sort y buscando
los valores de la posición correspondiente (capítulo 1). Se abre la ventana de la figura 5-239.
Completar los datos de la figura, con lo cual se genera la columna C14, con los datos de la C13
ordenados de menor a mayor.
Figura 5-239
En la columna (C14 en este ejemplo), buscar los valores de las posiciones siguientes:
P0.025 = P0.025(501) = P12
P0.975 = P0.975(501) = P488
Alternativamente tomar como percentiles, a las medias de los valores en las posiciones 12 y 13 (488
y 489), respectivamente.
El intervalo de confianza será entonces:
P0.025 < μ < P0.975
Este intervalo, no simétrico si la distribución bootstrap es asimétrica, deberá contener con un 95% de
confianza, al valor μ de la población (65.9).
322
Jorge Carlos Carrá
Ensayo: Radio Profesor-Clase por tipo de escuelas
Introducción
Ensayo: Radio ProfesorClase por tipo de escuelas
Introducción
El programa PISA, Programme for International Student Assessment (Programa para la Evaluación
Internacional de los Alumnos), perteneciente a la OCDE (Organización para la Cooperación y el
Desarrollo Económico) con sede en Paris, realiza cada 3 años en varios países del mundo, una
prueba sobre los alumnos de 15 años (entre 15 años y 3 meses y 16 años y 2 meses.
El objetivo es conocer las habilidades y conocimientos de los alumnos en la educación obligatoria.
Es relevante comentar que el conjunto de países que participó en PISA 2006 representa el 90% del
PBI (Producto Bruto Interno) mundial.
La prueba PISA no es una prueba tradicional pues no apunta a examinar que bien los estudiantes han
aprendido las materias curriculares, sino a como se encuentran preparados para el transcurso de sus
vidas fuera de la escuela. En palabras sencillas mide lo que el alumno "sabe hacer "y no lo que
"sabe".
Los resultados de las pruebas de PISA 2006 se presentaron a nivel mundial el pasado 5 de diciembre
de 2007
Argentina participó en PISA 2000 y PISA 2006. El país resolvió no participar en PISA 2003,
alegando razones relacionadas con limitaciones presupuestarias. Es probable sin embargo, que esta
deserción haya sido consecuencia de los magros resultados que arrojaron las pruebas de PISA 2000.
(De Vedia M. 2005 y Rodrigo L. 2005).
El archivo ARG_Sch06_SPSS_Dec07b.sav, de la Base de Datos, contiene algunas de las variables
que han resultado de PISA 2006.
Radio Profesor-Clase
Un índice que se mide en los estudios de la calidad educativa, es aquel que mide la relación entre el
número total de alumnos full-time en un determinado nivel y el número de profesores full-time de
ese mismo nivel (si un profesor no es full-time se convierte en equivalente full-time). Este número se
lama Radio Alumno-Profesor.
Como parte de los cuestionarios PISA, los directores de cada escuela respondieron a dos preguntas
que originan las variables: Tamaño de la clase (clsize) y Radio Alumno-Profesor (strratio).
Los valores promedio, para Argentina, son: para la variable clsize, Tamaño de Clase, 31 alumnos y
para la variable strratio, Radio Alumno-Profesor, 12 alumnos por profesor.
Realizando una simple regla de tres se obtiene el Radio Profesor- Clase, es decir la cantidad de
profesores que existen, en promedio, por cada clase. Este valor resulta de 2.6 profesores por clase
(31/12). De aquí concluimos que: en la Argentina por lo menos un profesor cobra por no dar
clase, por cada uno que da clase.
En la variable str_c, contenida en el archivo, se ha realizado en forma digital el cálculo anterior,
desagregado para cada tipo de escuela. Los valores del Radio Profesor- Clase se muestran en el
323
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
diagrama de barras de la figura 5E-1. Se observa en mismo que estos valores van desde 2.21 para las
escuelas privadas hasta 3.09 para las escuelas públicas.
La situación de Argentina es patética y vergonzosa pues las escuelas públicas exhiben alrededor de 3
profesores por clase, es decir que, según los datos directos de la encuesta, en Argentina dos
profesores no dan clase por cada uno que da clase. Solo 3 países de los 57 evaluados en las
pruebas PISA, ostentan más de 3 profesores por clase: Azerbaijan, Grecia y Argentina.
Figura5E-1
Radio Profesor-Clase por escuelas
Las diferencias entre estos valores es estadísticamente significativa, tal como se desprende de las
pruebas t realizadas para cada par y que se muestran en las figuras 5E-2, 5E-3 y 5E-4.
Figura5E-2
Prueba t para el Radio Profesor-Clase entre las escuelas Privada y Pública
324
Jorge Carlos Carrá
Ensayo: Radio Profesor-Clase por tipo de escuelas
Radio Profesor-Clase
Figura5E-2
Prueba t para el Radio Profesor-Clase entre las escuelas Pública y Pública de gestión privada
Figura5E-2
Prueba t para el Radio Profesor-Clase entre las escuelas Privada y Pública de gestión privada
En el gráfico de la figura 5E-5, se muestran los valores del Radio Profesor- Clase, para los 6 países
latinoamericanos evaluados en PISA 2006. Se puede observar que si Argentina tuviera valores de
Profesor-Clase comparables a los de Brasil o Colombia (con quienes comparte la cola de la escala de
rendimientos latinoamericana), los docentes argentinos cobrarían alrededor del doble del salario que
actualmente perciben (a Insumos constantes).
Figura 5E-5
Radio Profesor–Clase para varios países
No es poco frecuente leer y escuchar en los medios informativos, referencias persistentes acerca de
una aparentemente excesiva cantidad de docentes con licencia en la escuela pública, producto de la
utilización abusiva de "conquistas" contenidas en los distintos Estatutos del Docente provinciales.
Estas inquietudes reciben, por otra parte, respuestas poco claras y poco cuantitativas por parte de los
dirigentes responsables. Los datos anteriores, extraídos directamente de los directores de las
escuelas, resultan altamente reveladores acerca de la consistencia de estas sospechas. Esta situación
325
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
refuerza el principio de que cualquier gasto público no implica una mejora en el desempeño de los
alumnos.
326
Jorge Carlos Carrá
Ensayo: Segregación en Argentina
Introducción
Ensayo: Segregación en
Argentina
Introducción
Retornamos a los resultados de la evaluación PISA 2006 descripta en el ensayo "Radio ProfesorClase".
PISA utiliza el acrónimo ESEC para identificar a un índice estadístico desarrollado por sus
científicos, cuya función es medir el Estado Socio-Económico y Cultural de los alumnos.
Este factor es uno de los caballitos de batalla para quienes buscan una excusa para la inacción. No
hay duda que un bajo entorno socioeconómico afecta a los rendimientos de los alumnos y que el
aprendizaje es más dificultoso para estos estudiantes, pero una cosa muy distinta es utilizarlo como
pretexto para evitar mirar otros factores que surgirían nítidamente, al hacer una introspección hacia
adentro de la escuela.
El ESEC del alumno es generado en PISA a través de un análisis factorial sobre diversas variables
que se le preguntan a los alumnos, las cuales tienen el objeto de medir el grado de riqueza material,
cultural y educativa alcanzado por los padres.
Esencialmente se deriva de tres componentes:
1. Estudios alcanzados por el padre y la madre
2. Ocupación del padre o madre
3. Recursos domésticos, a saber:
educativos: escritorio para estudiar, su propia habitación, un lugar tranquilo para estudiar, libros
para estudiar, diccionario, computadora, calculadora, etc.
culturales: literatura clásica, libros de poesía, pinturas, etc.
materiales: software educativo, Internet, celulares, etc.
El ESEC de cada escuela es la media aritmética de los valores del ESEC de cada uno de los alumnos
escolarizados en dicha escuela (luego de obtenido el ESEC de todas las escuelas, se tipifica
estadísticamente de tal forma que su media sea 0 y la desviación estándar 1).
Escuelas públicas y privadas
En las figuras 5E-6 y 5E-7 presento la regresión lineal del ESEC de cada alumno y de cada escuela
con el rendimiento de sus alumnos en Ciencias, para Argentina, pero su patrón de comportamiento se
presenta en los 6 países latinoamericanos.
327
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Figura 5E-6
Regresión lineal de Rendimientos de alumnos en Ciencias según el ESEC
Figura 5E-7
Regresión lineal de Rendimientos de escuelas en Ciencias según el ESEC
328
Jorge Carlos Carrá
Ensayo: Segregación en Argentina
Escuelas públicas y privadas
El objetivo de un sistema educativo debería tender simultáneamente a: ubicar al alumno en el
cuadrante I, desplazar la línea hacia arriba (es decir mejorar el rendimiento de todos los alumnos),
disminuir su pendiente (es decir aumentar la equidad) y reducir la diferencia entre el ESEC mayor y
el menor.
Por la disposición general de los puntos de la figura E7-1, observamos una cierta correlación visual:
a mayor ESEC crece la posibilidad de obtener un buen resultado en Ciencias.
Al interpretar el valor R cuadrado es lícito decir que el ESEC explica el 19.5% de la variabilidad de
esos rendimientos (PISA, 2006, Volumen 2, pag 123). Esto también se puede expresar en otras
palabras diciendo que: resta un margen del 80.5% para aplicar políticas educativas.
En la figura E7-2 se muestra la regresión lineal por escuelas desagregando por el tipo de escuela en
Argentina, en la cual puede apreciarse que las escuelas privadas y las públicas de gestión privada
(círculos oscuros), se posicionan en general en el deseado Cuadrante I. Este indicador explicita dos
aspectos: los alumnos de las escuelas privadas tienen en general mejores rendimientos que los de las
escuelas públicas y además concurren mayoritariamente a las escuelas privadas, los jóvenes
favorecidos por su entorno sociocultural.
Si comparamos los valores de R2 observamos que el ESEC tiene una mayor influencia en los
resultados cuando aparece aglomerado por escuelas, que cuando se considera como un
atributo individual de los alumnos.
Nuestra intuición nos indica que los alumnos se ven altamente influenciados por el grupo al que
pertenecen, pero no siempre conocemos el sentido de dicha influencia. De acuerdo con estos datos,
resulta más importante que el alumno asista a una escuela en donde la mayoría de los alumnos
provengan de entornos con alto ESEC, que el hecho de que él mismo alumno provenga de un
entorno familiar con un elevado ESEC. Se trata de un proceso de asimilación cultural mediante el
cual los individuos adoptan peculiaridades culturales pertenecientes a un sector que actúa como
referente (Tiramonti G. 2008, pag 165).
En otras palabras, es esperable que dos estudiantes con similares características familiares, pero
que asisten a escuelas con distinto ESEC, se diferencien más en sus rendimientos que otros dos
estudiantes con distinto ESEC, pero que asistan a la misma escuela. Esto valida la siguiente
hipótesis y subraya el efecto negativo que tiene la discriminación de los estudiantes en escuelas de
características distintas.
"Alumnos con situación socioeconómica favorecida, nivelarán hacia arriba a los alumnos con
carencias, en tanto todos ellos puedan elegir la escuela de su preferencia"
Si trazamos una recta vertical por sobre cualquier ESEC negativo, se observará la presencia de
escuelas públicas que hacen bien su trabajo, logrando un rendimiento superior a su valor esperado
(por encima de la recta de regresión), a pesar de su desfavorable ESEC. Esto ilustra claramente que
los bajos resultados de estos alumnos no son inevitables. El argumento de que las escuelas pueden
hacer poco ante alumnos con problemas sociales no se encuentra apoyado por esta evidencia y las
escuelas que se esfuerzan por mejorar los resultados de los alumnos de extracción social más
modesta, lo consiguen (Hanushek E, Rivkin S, 2005c Teachers, schools, and academic
achievement).
El archivo ARG_Sch06_SPSS_Dec07b.sav, contiene alguna de las variables que han resultado de
PISA 2006. Entre ellas, los resultados por escuelas de las evaluaciones de Lectura (LE_Media),
Ciencias (SC_Media) y Matemáticas (MA_Media). Por otro lado, la variable schltype contiene el
tipo de escuela (Privada, Pública de gestión privada y Pública) y la variable schltype2, agrupa a las
escuelas públicas en una sola categoría.
Vimos en las figuras anteriores E7-1 y E7-2, que los alumnos de escuelas privadas se posicionan
mayoritariamente en el primer cuadrante, presentando en general un mayor rendimiento que los de
escuelas públicas (círculos claros). Esta realidad se puede apreciar con más nitidez en las figura E73, en donde se han calculado los promedios por escuela, desagregados además por Género. El
comportamiento para las otras 2 disciplinas es similar como puede comprobar el estudiante que
obtenga estos gráficos. Se observa que los alumnos de escuelas privadas presentan un mayor
329
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
rendimiento que los de escuelas públicas. La diferencia global de los rendimientos entre escuelas
públicas y privadas, resultan estadísticamente significativas, como puede apreciarse de las pruebas t
realizadas para cada para cada par y que se presentan en las figuras 5E-8, 5E-9, 5E-10 y 5E-11.
Figura 5E-8
Rendimientos por escuelas
Figura 5E-9
Prueba t para el Rendimiento de Ciencias entre las escuelas Privada y Pública de Gestión Privada
Figura 5E-10
Prueba t para el Rendimiento de Ciencias entre las escuelas Privada y Pública
330
Jorge Carlos Carrá
Ensayo: Segregación en Argentina
Escuelas públicas y privadas
Figura 5E-11
Prueba t para el Rendimiento de Ciencias entre las escuelas Pública y Pública de Gestión Privada
Como corolario de lo expuesto en estos dos últimos apartados, llegamos a una conclusión que debe
expresarse con gran irritación: las escuelas públicas son en general de peor calidad que las privadas
por lo cual, para obtener buenos resultados en nuestros sistemas educativos, es importante
elegir una escuela privada, la cual funciona en la práctica como un filtro de carácter
económico en la selección de alumnos.
Esta segregación conformada por alumnos que dejan la escuela pública y concurren a escuelas
privadas, provoca además la pérdida de la posibilidad de que los alumnos aventajados puedan
configurar un modelo para alumnos menos adelantados, lo cual se conoce en la bibliografía
especializada como efecto descreme y efecto compañero (Aedo C, et al. 2001, pag 52), conformando
finalmente el círculo vicioso diagramado en la figura 5E-12.
Cuanto menor es la calidad educativa de la escuela pública, aumentan las probabilidades para que las
familias que puedan, opten por una escuela privada. Estos alumnos abandonan la escuela pública y
dado que su perfil es de mayor rendimiento académico, presionan hacia abajo la calidad de la escuela
pública, repitiéndose el ciclo.
Calidad Educativa
-
R
Efecto Descreme
+
Elección Escuela
Privada
Figura 5E-12
Modelo de lazos causales de Efecto Descreme
Un comentario para los estudiantes argentinos que estén leyendo estas líneas. Esta realidad que
pueda parecerte lógica por ser la única que resulta de tu experiencia, era muy distinta en la Argentina
previa a tu nacimiento. En esas épocas existía un sistema educativo en el que las escuelas públicas
tenían mayor prestigio que las privadas, producto de su superior nivel académico. ¿Habrá influido en
este cambio de proporciones, el Factor Humano conformado por los adultos de cada sistema?
Los dirigentes de los países con mejores estudiantes, en particular Finlandia, han tratado de dar a
todos los estudiantes, con independencia de su lugar de residencia, las mismas oportunidades para
recibir una educación de alta calidad. Una red comprensiva de escuelas y la contratación de
profesores altamente calificados en todas ellas, han sido disposiciones importantes para garantizar la
igualdad en educación en todas las regiones del país. Como contrapartida, los países con mayor
331
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
estratificación en la educación, como los latinoamericanos, tienden a un rendimiento más bajo que
los países con una estructura más integrada.
332
Jorge Carlos Carrá
Problemas
I Diseño
Problemas
I Diseño
Entrenamiento de empleados
Se entrena a los empleados de una compañía con 2 métodos distintos para comparar la efectividad de
cada uno. Para esto se mide el tiempo de duración del trabajo. Se los divide en 2 grupos de igual
tamaño y se espera que la amplitud del tiempo de operación para ambos grupos sea de
aproximadamente 8 minutos. Si el error máximo de estimación debe ser de 1 minuto (se desea que el
valor muestral θˆ , se encuentre a menos de 1 minuto, del valor θ poblacional desconocido), con
probabilidad 0.95, ¿cuántos empleados se debe incluir en cada grupo?
R: 32.
1. Cadena de expendio de comida rápida
Una cadena de expendio de comida rápida, construirá una nueva sucursal en una ruta si por lo
menos 150 automóviles por hora pasan por esa ruta. Estipula que el error de tipo I no debe ser
mayor a 0.01 y que la desviación estándar de la población no es superior a 50. a) Si desea que la
prueba tenga una potencia de 0.99 para detectar un número de autos mayor a 160 ¿Qué tamaño
debe tener la muestra para cumplir con sus pretensiones? b) ¿Cuál es la potencia para detectar un
número de autos mayor a 160, si el tamaño n es de 100? c) ¿Cuál es el error de estimación para
la situación a)?
R: GPower. c) 5.
2. Temperatura de las mujeres
Una investigación prueba la hipótesis (α = 0.05) de que el promedio de la temperatura de las
mujeres es de 37°C con una desviación estándar de 0.268°C. Aceptar que la distribución
muestral de medias es normal si correspondiera una t de Student. a) ¿Qué tamaño de muestra se
requiere para detectar una media alternativa en el promedio de la temperatura de las mujeres tan
baja como 36.77°C, si se desea que la potencia del test sea de al menos 0.90? b) ¿Cuál es la
potencia para detectar una temperatura de 36.9°C, si el tamaño n es de 20? c) Cuál es el error de
estimación para la situación a).
R: GPower. c) 0.127.
3. Cambio en la reglamentación
El centro de estudiantes de una facultad desea probar que al menos el 60% de los estudiantes
está a favor de un cambio en la reglamentación utilizando el 5% de significancia. Una
discrepancia importante respecto de su hipótesis es de que menos del 50% estuvieran a favor del
cambio. a) Si desea diseñar una prueba que detecte esta diferencia (si existe), con un potencia del
0.99. ¿Qué tamaño debe tener la muestra? b) ¿Cuál es la potencia para detectar esa diferencia, si
el tamaño n que le autorizan no puede superar los 200? c) Calcular el margen de error para la
situación a).
R: GPower. c) 4.2 puntos porcentuales.
4. Reacción frente a un estímulo
La reacción de un individuo frente a un estímulo puede ser R o T. Un experimentador quiere
estimar la probabilidad de que una persona reaccione de manera T. a) ¿cuántas personas debe
incluir en el experimento? Suponer B = 0.04 con probabilidad 0.90 y que espera que p sea
333
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
alrededor de 0.60. b) Repetir la pregunta anterior si no conoce p.
R: a) 406, b) 423.
5. Afirmación de un periodista
Usted lee en el diario: "en una encuesta de 1000 casos como esta, 19 de 20 casos no deben diferir
en más de dos puntos porcentuales en cualquier dirección, del valor que se obtendría
entrevistando a todas las personas". Verifique el tamaño de la muestra implicado en esta
afirmación del periodista.
R: 9604.
6. Promedios de ventas
Una cadena de tiendas prueba la hipótesis de que la diferencia entre los promedios de ventas de
2 productos es mayor o igual a cero, con α =0.05. En la prueba desea detectar, en el caso de que
exista, una diferencia entre los promedios de ventas de los 2 productos de menos de 10U$S, con
una probabilidad de al menos 0.90. Por experiencia previa se sabe que la desviación estándar de
ambos productos es de 8U$S. a) ¿Cuál es el tamaño de cada muestra, si se asumen iguales? b)
¿Cuál es la potencia para detectar esa diferencia, si el tamaño de la muestra de un producto es de
10 y la del otro es de 14? c) ¿Cuál es el error de estimación para la situación a)?
R: GPower, c) 5.6.
7. Fabricación de envases
Dos diferentes tipos de maquinas se usan en la fabricación de envases de metal para una
chocolatería. Una lata es considerada defectuosa si presenta descoloración o alguna abolladura.
Suponer que p1 =0.06 y p2 = 0.0 y usar α = 0.05 (prueba de 2 colas). a) Determinar el tamaño de
la muestra necesaria para detectar esta diferencia con una probabilidad de al menos 0.8. b) Si se
realiza un muestreo de 200 elementos en cada máquina, ¿cuál es la potencia para este tamaño del
efecto? c) Calcular el margen de error para la situación a).
R: GPower. c) 2.8 puntos porcentuales.
II Análisis de una variable
8. Redacción correcta
En las situaciones siguientes, plantee correctamente las H0 y HA y finalmente redacte la
conclusión utilizando las palabras "rechazo" o "sustentan", según corresponda (página 30), tanto
si se rechaza H0 como si no se rechaza.
Aseveración: La media de las precipitaciones es menor a 2.3 mm.
Aseveración: La proporción de mujeres en la universidad es al menos 50%.
Aseveración: La varianza de pesos al nacer difiere de 450 g
Aseveración: La diferencia de temperaturas es 2°C
Aseveración: El cociente de varianzas de las puntuaciones de CI supera a 1.6.
9. Decisión con una simulación
Se desea probar la hipótesis de que el CI (Coeficiente de Inteligencia) de los alumnos es mayor
que 100, utilizando un α = 5%. Se toma una muestra de 30 alumnos y se obtiene x = 105
s = 15 . Utilizando alguno de los procedimientos de la sección Simulaciones, página 311, genere
100 muestras de n = 30 de una población con μ = 100 y σ = 15 y obtenga una conclusión
respecto del valor 105 obtenido.
10. Hipertensión
La hipertensión se define como un nivel de presión arterial igual o mayor a 140 mmHg. Usted
desea realizar una prueba para saber si es hipertenso y se toma la presión en diferentes
momentos, obteniendo los resultados de la tabla siguiente. a) Use un α = 0.05 para probar la
aseveración de que su presión es menor a 140 mmHg. Establezca los supuestos que sean
imprescindibles para realizar los cálculos y relacionar gráficamente el IC con la PH. Resolver
manualmente y con el SPSS. b) Repetir si sabe que la desviación estándar poblacional es de 10
mmHg. c) Realizar un estudio retrospectivo de la potencia versus el tamaño del efecto y si
corresponde a un caso no concluyente, calcular el tamaño de la muestra necesario para
334
Jorge Carlos Carrá
Problemas
II Análisis de una variable
resolverlo.
Presión 131 132 140 126 128 144 136 143 140 131
R: SPSS.
11. Nueva pasta dental
Un dentista desea estudiar la efectividad de una nueva pasta dental. Un grupo de N = 1000 niños
participa del estudio. Después de 3 meses de iniciado el estudio hace un muestreo a 10 niños
construyendo la tabla adjunta. a) Estimar el número medio de caries para todo el grupo y
establecer un límite para el error de estimación. Usar B = 2σ θˆ . b) Establecer el coeficiente de
confianza si, 1) no se tiene información poblacional, 2) se sabe que la distribución de la
población es normal, 3) se sabe además que σ = 1.49. c) ¿Es aceptable establecer que μ = 2.1
con una confianza del 95 %? Responder con una prueba de hipótesis si se sabe que la
distribución poblacional es normal. d) Realizar el estudio retrospectivo de la potencia versus el
tamaño del efecto y si corresponde a un caso no concluyente, calcular el tamaño de la muestra
necesario para resolverlo. Verificar con el GPower y con el SPSS.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Niño
N° de caries 0 4 2 3 2 0 3 4 1 1
12.
13.
14.
15.
20.
R: a) µ = 2, B = 0.938. b-1) P(µ = 2±0.938) ≥ 75%, b-2) P(µ = 2±0.938) = 92.4%,
b-3) P(µ = 2±0.938) = 95%. d) Un riesgo de n bajo, requiere un rediseño del cual surge: n = 16
(para P = 0.80 y d = 0.80).
Nueva pasta dental
Usando los datos del problema anterior, estimar el número total de caries, τ para todo el grupo
durante 3 meses. Establecer B.
R: τ = 2000, B = 938.
Nueva pasta dental
Usando los datos del problema del dentista, determinar el tamaño de la muestra para estimar µ
con un límite para el error de estimación de 0.20. (Usar zc = 2). Si luego se usa esta n y se
muestrea, resulta una media de 3 y una desviación estándar de 0.1, hallar: a) la P (µ > 2), b) los
intervalos de confianza del 99%, bilateral, superior e inferior.
R: n = 182 (con cpf). a) 100%, b) IC =2.981 a 3.0185, IC > 2.983, IC < 3.0173.
Producción diaria de un producto
Se desea estimar la producción diaria de un producto en una fábrica. Se registra la producción
diaria durante 50 días obteniéndose una media de 871 ton y una desviación estándar de 21 ton.
a) Probar la hipótesis de que µ = 880 ton con α= 0.05. b) Obtener un intervalo de confianza del
95 %. ¿Puede asegurarse que la producción diaria es mayor a 870 ton? Relacionar gráficamente
el IC con la PH. c) calcular la probabilidad ß de no rechazar H0 si en realidad µ = 870 ton, d)
analizar la potencia versus el tamaño del efecto y si corresponde a un caso no concluyente,
calcular el tamaño de la muestra necesario para resolverlo.
R: a) zm = -3.03, p = 0.00122, 1 cola, se rechaza, b) IC = 865.19 a 876.82. No pues son posibles
valores menores a 870 ton, c) 0.0793.
Muertes en accidentes de tránsito
Un estudio de 200 personas muertas en accidentes indica que la edad media es de 31.5 años con
una desviación estándar σ de 12 años. Construir un IC de 95% de la media poblacional. Los
límites no incluyen a las edades menores de 20 años. ¿Esto significa que las personas menores
de esta edad rara vez mueren en accidentes?
R: IC = (29.8; 33.2).
Problemas psicosomáticos
Un psiquiatra cree que el 80% de la gente que va al médico tiene problemas de naturaleza
psicosomática. Para probar su teoría selecciona 25 pacientes al azar. a) Suponiendo que la teoría
es cierta, ¿cuál es el valor esperado de pacientes que tienen problemas psicosomáticos?, b)
calcular la probabilidad de que menos de 15 pacientes tengan problemas psicosomáticos, c) si en
la muestra hay 10 pacientes con problemas psicosomáticos, ¿qué se puede afirmar de la teoría
335
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
21.
22.
23.
24.
25.
26.
336
del psiquiatra? Usar α = 5%. Realizar el estudio retrospectivo de la potencia versus el tamaño
del efecto y si corresponde a un caso no concluyente, calcular el tamaño de la muestra necesario
para resolverlo. Verificar con SPSS y GPower.
R: a) 20, b) 0.006 c) yc (GPower: Exact > binomial test > Post hoc), se rechaza.
Renovación del centro de estudiantes
En la próxima votación para renovar el centro de estudiantes, se supone que el 40% de los
alumnos votará por el candidato Alexis. Se realiza una encuesta al azar de 20 estudiantes de los
cuales 5 dicen que votarán por Alexis. Probar la suposición utilizando un nivel de significación
del 5%. Realizar el estudio retrospectivo de la potencia versus el tamaño del efecto y si
corresponde a un caso no concluyente, calcular el tamaño de la muestra necesario para
resolverlo. Verificar con SPSS y GPower.
R: yc (GPower: Exact > binomial test > Post hoc), no se rechaza.
Empleo recién recibido
En un instituto de estudios terciarios se afirma que al menos el 50% de los egresados consiguen
empleo al recibirse. ¿En cuál de las siguientes situaciones puede rechazarse la afirmación del
instituto con un nivel de significación del 5%? a) Se entrevista a 10 egresados tomados al azar de
los cuales solo 2 afirman haber conseguido empleo. b) Se entrevista a 20 egresados de los cuales
4 afirman haber conseguido empleo (la misma proporción muestral de la entrevista anterior). c)
Se entrevista a 30 egresados de los cuales 10 afirman haber conseguido empleo. Realizar el
estudio retrospectivo de la potencia versus el tamaño del efecto y si corresponde a un caso no
concluyente, calcular el tamaño de la muestra necesario para resolverlo. Verificar con SPSS y
GPower.
R: a) yc (GPower: Exact > binomial test > Post hoc), no. b) yc (GPower: Exact
> binomial test > Post hoc), sí. c) zm=-1.88, si.
Vacuna contra la gripe
Se sabe que cuando no se usa ninguna vacuna contra la gripe, la probabilidad de pasar el
invierno sin resfriarse es del 50%. Una nueva vacuna es sometida a prueba para determinar su
eficacia contra el resfrío. Cuarenta personas son vacunadas y observadas por un año. Veintiocho
pasaron el invierno sin resfriarse. ¿Presentan los datos muestrales evidencia suficiente de que la
vacuna es efectiva (es decir que aumenta el porcentaje de personas sin resfriarse)? a) Usar
α=5%. b) Usar α=1%. Realizar el estudio retrospectivo de la potencia versus el tamaño del
efecto y si corresponde a un caso no concluyente, calcular el tamaño de la muestra necesario
para resolverlo. Verificar con SPSS y GPower.
R: a) zm=2.53, efectiva, b) efectiva.
Vacuna contra la gripe
Para el problema anterior, hallar la cantidad mínima de personas de las 40, que deben pasar el
invierno sin resfriarse para que el nivel de significación sea 5%.
R: 26.
Déficit fiscal
El gobierno afirma que el 50% de los habitantes está de acuerdo en las medidas tomadas para
bajar el déficit fiscal. Para verificarlo se tomó una muestra de 64 personas de las cuales 27
indicaron que están de acuerdo con las medidas. a) ¿Hay evidencia suficiente para rechazar la
afirmación del gobierno? Usar α=5% y probar con por lo menos 2 distribuciones distintas.
Relacionar gráficamente el IC con la PH. b) ¿Con el mismo nivel de significación cuántas
personas deberían haber estado de acuerdo para rechazar la afirmación del gobierno? Realizar el
estudio retrospectivo de la potencia versus el tamaño del efecto y si corresponde a un caso no
concluyente, calcular el tamaño de la muestra necesario para resolverlo. Verificar con SPSS y
GPower.
R: a) zm=-1.25, no. b) 39.
Color de heladeras
Un fabricante de heladeras produce un modelo en tres diferentes colores, A, B y C. Dice que más
de 1/3 de todos los clientes prefieren el color A pues de las primeras 1000 heladeras vendidas,
Jorge Carlos Carrá
Problemas
II Análisis de una variable
27.
16.
17.
18.
400 fueron del color A. Usando α=1%, ¿es correcta la afirmación del fabricante? Probar con por
lo menos 2 distribuciones distintas y relacionar gráficamente el IC con la PH. Realizar el estudio
retrospectivo de la potencia versus el tamaño del efecto y si corresponde a un caso no
concluyente, calcular el tamaño de la muestra necesario para resolverlo. Verificar con el
GPower.
R: zm=4.47, sí.
Rating
Es conocido que las empresas pagan los anuncios en televisión de acuerdo al “rating” del
programa. Un productor de TV afirma que su noticiero es visto por el 50% del público
televidente. Una empresa desea publicitar en dicho espacio. a) ¿De qué tamaño debe ser la
muestra para no cometer un error B de estimación mayor a 5 puntos porcentuales? b) Si toma
una muestra de 100 televidentes y 38 indican que ven ese noticiero, ¿es evidencia suficiente de
que la afirmación del productor del noticiero es falsa? Usar α=1%. Probar con por lo menos 2
distribuciones distintas y relacionar gráficamente el IC con la PH. Realizar el estudio
retrospectivo de la potencia versus el tamaño del efecto y si corresponde a un caso no
concluyente, calcular el tamaño de la muestra necesario para resolverlo. Verificar con SPSS y
GPower.
R: a) 400, b) zm = –2.4, sí.
Gen recesivo
Un análisis de 400 nacimientos de ciertas parejas con un gen recesivo determinó que 105 de
ellos, presentaron el gen. a) Construir un IC del 95% para la proporción poblacional de hijos de
parejas que presentan el gen recesivo. b) Un investigador postuló que esas parejas tienen una
probabilidad de 0.20 de que sus hijos tengan el gen. Determine si la hipótesis del investigador
parece correcta con al menos 2 distribuciones distintas. Relacionar gráficamente el IC con la PH.
R: a) IC = (0.219; 0.306), b) No, existe evidencia suficiente para rechazar la hipótesis de que
esas parejas tienen una probabilidad de 0.20 de que sus hijos tengan el gen.
Marca de cigarrillos
Se sabe que 1 de cada 10 fumadores prefiere la marca de cigarrillos A. Luego de una campaña
publicitaria se toma una muestra de 200 fumadores de los cuales 26 dijeron preferir la marca A.
a) ¿Presentan estos datos suficiente evidencia para indicar un aumento en la preferencia por la
marca A? Tomar α = 0.05. Relacionar gráficamente el IC con la PH. b) Realizar el estudio
retrospectivo de la potencia versus el tamaño del efecto y si corresponde a un caso no
concluyente, calcular el tamaño de la muestra necesario para resolverlo. Verificar con SPSS y
GPower.
R: a) zm = 1.41, p = 0.079, 1 cola, IC > 0.0952, no.
Personas que acampan
Las autoridades del parque nacional están interesadas en la proporción de personas que acampan
y que consideran que los espacios disponibles son adecuados. Toman una muestra irrestricta
aleatoria de 30 personas de los primeros 300 grupos acampados de la temporada. Utilizando la
tabla adjunta, donde xi = 1 si la respuesta es sí, (espacios adecuados), estimar p, la proporción de
acampantes que consideran adecuados los lugares y establecer B con α = 5 %. ¿Es aceptable
establecer que p = 0.90 con una confianza del 95 %? Responder con una prueba de hipótesis con
al menos 2 distribuciones distintas, relacionando gráficamente el IC con la PH. Realizar el
estudio retrospectivo de la potencia versus el tamaño del efecto y si corresponde a un caso no
concluyente, calcular el tamaño de la muestra necesario para resolverlo. Verificar con el GPower
y con el SPSS.
Persona
1 2 3 … 29 30
muestreada
Respuesta x 1 0 0 … 1 1
337
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
R: p = 5/6, B = 0.1324.
28. Personas que acampan
Usando los datos del problema anterior, a) determinar n para estimar p con B igual a 5 puntos
porcentuales, b) estimar el número total de respuestas si y establecer Bx con α = 5 %.
R: a) n = 128, b) τ = 250, Bx = 39.4.
29. Formularios de impuestos muy complicados
Una encuesta sobre 520 residentes establece que el 54 % de los entrevistados considera que los
formularios de impuestos son muy complicados. ¿Está justificado un artículo periodístico que
afirma: “la mayoría encuentran complicados los formularios de impuestos”? Usar α = 5 % y
probar con al menos 2 distribuciones distintas. Relacionar gráficamente el IC con la PH.
Verificar con SPSS.
Nota: Si se realiza una prueba chi-cuadrado, recordar que como es una prueba unilateral, un
valor de α = 5 % en la normal, equivale a un α = 10 % en la chi-cuadrado (página 103).
R: zm = 1.82, p = 0.035, 1 cola, IC > 0.504, sí.
30. Protección al consumidor
Una etiqueta de dulces de una empresa local indica que el peso neto es de 397 g. La
municipalidad lo contrata para verificar esta afirmación y para ello realiza un muestreo aleatorio
de 20 frascos, obteniendo una media de 395.73 g y una desviación estándar de 24.08 g. a) Si se
selecciona al azar un frasco y verifica que los pesos se distribuyen en forma normal, calcular la
probabilidad de que su peso sea menor a 395.73 g, b) si se seleccionan al azar a 20 frascos,
calcular la probabilidad de que su peso medio sea menor a 395.73 g, c) en base a estos
resultados, ¿Cuál es su conclusión? De todas formas, el presidente de la empresa le argumenta
que la muestra es demasiado pequeña. ¿Qué le contesta? Elabore su respuesta con el cálculo de
la potencia retrospectiva.
R. a) p = 0.4801, b) p = 0.408, c) el resultado importante es el b) e indica que la muestra es
consistente con la etiqueta pues no se puede rechazar que el peso sea mayor a 397 g.
31. Nuevo tipo de pólvora
Un fabricante de pólvora ha diseñado un nuevo tipo de pólvora que produce una velocidad
inicial del proyectil de 3000 m/s. Se hace una prueba con 8 proyectiles obteniéndose las
velocidades de la tabla adjunta. Suponer que las velocidades iniciales tienen una distribución
normal. ¿Muestran estos datos evidencia suficiente para indicar que la velocidad promedio es
diferente de 3000 m/s? Usar un nivel de significación α = 0.05 y relacionar gráficamente el IC
con la PH. Realizar el estudio retrospectivo de la potencia versus el tamaño del efecto y si
corresponde a un caso no concluyente, calcular el tamaño de la muestra necesario para
resolverlo. Verificar con el GPower y con el SPSS.
Velocidades (m/s)
3005
2995
2925
3005
2935
2935
2965
2905
R: tm(7) = -2.97, p = 0.0208, IC = 2925.92 a 2991.58, sí.
32. Falla de vigas de hormigón
Se estudia el número de ciclos hasta que se produce una falla de vigas de hormigón obteniéndose
(en miles de ciclos) los siguientes datos:
Número de ciclos
774 633 477 268 407 576 659 963 193
a) estimar el intervalo de confianza del 90 % del número promedio de ciclos. b) Estimar el
intervalo de confianza del 90 % para la varianza del número de ciclos. c) ¿Es aceptable
338
Jorge Carlos Carrá
Problemas
II Análisis de una variable
establecer que μ = 800 con una confianza del 90 %? Responder con una prueba de medias y
relacionar gráficamente el IC con la PH. Realizar el estudio retrospectivo de la potencia versus el
tamaño del efecto y si corresponde a un caso no concluyente, calcular el tamaño de la muestra
necesario para resolverlo. Verificar con el GPower y con el SPSS.
R: a) IC = 399.25 a 700.75, b) IC = 30498 a 173071.
33. Comprensión de textos
Un profesor afirma que al menos el 20% de los alumnos tiene dificultades para comprender
textos. Se evalúa a 100 alumnos de los cuales 16 tienen dificultades de comprensión de textos. a)
¿Es suficiente evidencia para refutar la afirmación del profesor? Usar α=5%. b) ¿Con α=5%,
que porcentaje como máximo debe haber en la muestra para poder refutar la afirmación de
manera correcta? Probar con por lo menos 2 distribuciones distintas y relacionar gráficamente el
IC con la PH. Realizar el estudio retrospectivo de la potencia versus el tamaño del efecto y si
corresponde a un caso no concluyente, calcular el tamaño de la muestra necesario para
resolverlo. Verificar con SPSS y GPower.
R: a) zm=-1, no, b) 13%.
34. Conciencia ecológica
Una encuesta sobre 520 residentes establece que el 54% de los entrevistados considera que no
existe una adecuada conciencia ecológica en la población. ¿Es justificado un artículo
periodístico que afirma: “la mayoría de los habitantes no tiene conciencia por la ecología”? Usar
α=1%. Probar con por lo menos 2 distribuciones distintas y relacionar gráficamente el IC con la
PH. Realizar el estudio retrospectivo de la potencia versus el tamaño del efecto y si corresponde
a un caso no concluyente, calcular el tamaño de la muestra necesario para resolverlo. Verificar
con SPSS y GPower.
R: zm=1.82, no.
35. Accidentes en los fines desemana
Para probar que los sábados y domingos se produce el doble de accidentes que los restantes días
de la semana, se elige una muestra de 90 accidentes independientes entre sí, tal como se muestra
enla tabla siguiente. ¿Es válida la suposición a un nivel de significacióndel 5%? Realizar el
estudio retrospectivo de la potencia versus el tamaño del efecto y si corresponde a un caso no
concluyente, calcular el tamaño de la muestra necesario para resolverlo.
D L M M J V S
Día
N° de accidentes 30 6 8 11 7 10 18
R: SPSS y GPower.
36. Número de llamadas
El número de llamadas que se reciben en una central telefónica desde las 9:00 horas hasta las
9:05 horas durante un período de 100 días es la siguiente:
Número de llamadas 0 1 2 3 4 5 6 7
3 10 25 30 15 12 5 0
Frecuencias
A un nivel del 5% constrastar la hipótesis de que la frecuencia observada sigue una distribución
de Poisson. Realizar el estudio retrospectivo de la potencia versus el tamaño del efecto y si
corresponde a un caso no concluyente, calcular el tamaño de la muestra necesario para
resolverlo.
R: SPSS y GPower.
37. Número de hijos varones
La tabla siguiente reúne los datos de una encuesta realizada a 100 familias con 3 hijos. Probar al
1% si los datos se ajustan a una binomial con igual probabilidad de nacimiento de varones y
mujeres. Realizar el estudio retrospectivo de la potencia versus el tamaño del efecto y si
corresponde a un caso no concluyente, calcular el tamaño de la muestra necesario para
resolverlo.
339
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
Número de hijos varones 0 1
16 39
Frecuencias
2
3
33 12
R: SPSS y GPower.
38. Preferencias de los consumidores
Este problema se inició en el capítulo 1. Usted trabaja en una dependencia que estudia las
preferencias de los consumidores de una empresa y desea saber si las preferencias acerca de 4
diferentes presentaciones del mismo producto, A, B, C y D, se distribuye por igual. Los
resultados de una muestra de 100 consumidores se muestran en la siguiente tabla.
A
0.375
B
0.2083
C
0.2083
D
0.2083
Probar la hipótesis nula de que el patrón de frecuencias de la población se distribuye en forma
uniforme. Utilizar α = 5%. Realizar el estudio retrospectivo de la potencia versus el tamaño del
efecto y si corresponde a un caso no concluyente, calcular el tamaño de la muestra necesario
para resolverlo.
R: SPSS y GPower.
39. Libros prestados en la biblioteca
Este problema se inició en el capítulo 1. La bibliotecaria de una universidad realizó una
agrupación de los libros por tema. Luego tomó una muestra aleatoria de 4217 libros entre los
prestados el último trimestre. Ambos resultados se muestran en la siguiente tabla.
% en biblioteca
Prestados
Negocios
33
1211
Humanidades
28
954
Ciencias
22
941
Sociales
10
810
Otros
7
301
Probar la hipótesis nula de que el patrón de frecuencias de la población de los libros prestados no
difiere de la distribución de los libros existentes. Utilizar α = 5%. Realizar el estudio
retrospectivo de la potencia versus el tamaño del efecto y si corresponde a un caso no
concluyente, calcular el tamaño de la muestra necesario para resolverlo.
R: SPSS y GPower.
40. Operaciones a plazo fijo
Este problema se inició en el capítulo 1. Los siguientes datos representan la cantidad de
operaciones a plazo fijo realizadas diariamente en un banco, durante 42 días. ¿Contradicen estos
datos que la cantidad de operaciones se distribuye normalmente? Utilizar α = 5%. Agrupar los
datos en 9 clases comenzando con las marcas 15 y 20 (ajustar el primer y último intervalo para
que comprendan las colas de la distribución). Realizar el estudio retrospectivo de la potencia
versus el tamaño del efecto y si corresponde a un caso no concluyente, calcular el tamaño de la
muestra necesario para resolverlo.
29 13 19 34 24 29 45 41 23 22 38
32 50 46 56 26 14 25 39 33 49 35
28 25 26 21 27 34 30 36 18 24 34
31 41 33 23 34 26 21 40 48
R: SPSS y GPower.
41. Leyes de Mendel de los garbanzos
Este problema se inició en el capítulo 1. Las leyes de Mendel establecen que el número de
garbanzos que caen en las clasificaciones redondos y amarillos, rugosos y amarillos, redondos y
verdes y rugosos y verdes se encuentran en la relación 9:3:3:1. De una muestra de 100
garbanzos, 55, 18, 17 y 10 cayeron en las respectivas clases. ¡Son estos datos congruentes con el
modelo mendeliano? Utilizar α = 5%. Realizar el estudio retrospectivo de la potencia versus el
tamaño del efecto y si corresponde a un caso no concluyente, calcular el tamaño de la muestra
necesario para resolverlo.
R: SPSS.
340
Jorge Carlos Carrá
Problemas
II Análisis de una variable
42. Máquina de empacar jabón en polvo
Un fabricante de una máquina de empacar jabón en polvo afirma que su máquina puede llenar
las cajas con el peso requerido con un rango de no más de 0.40 onzas. Se realiza una muestra de
8 cajas de 48 onzas y resultó una media de 49.6 onzas y una varianza de 0.018 onzas2. a)
¿contradicen estos resultados la afirmación del fabricante?, usar α =5%. b) hallar un intervalo
del 90% de confianza para la varianza y otro para la amplitud y relacionar gráficamente el IC
con la PH. Realizar el estudio retrospectivo de la potencia versus el tamaño del efecto y si
corresponde a un caso no concluyente, calcular el tamaño de la muestra necesario para
resolverlo. Verificar con el GPower.
R: a) χ2m (7) =12.6, p = 0.1648, no, b) IC = 0.00896 a 0.05814, IC = 0.3786 a 0.9645.
43. Máquina de rayos X de un dentista
Un inspector examina la máquina de rayos X de un dentista. Las regulaciones especifican un
promedio de 60 mRad con una σ = 12 mRad. Para ello realiza una muestra de 30 emisiones
resultando una media de 60 mRad y una desviación estándar de 15 mRad. ¿Soportan estos
valores la hipótesis de que la máquina necesita una revisión? Usar α =1%. Relacionar
gráficamente el IC con la PH. Realizar el estudio retrospectivo de la potencia versus el tamaño
del efecto y si corresponde a un caso no concluyente, calcular el tamaño de la muestra necesario
para resolverlo. Verificar con el GPower.
R: χ2m (29) = 45.3, p = 0.0275, IC >11.47, no
44. Validez de un examen
Un factor para determinar la validez de un examen es la aptitud para discriminar entre los
mejores y peores estudiantes. En otras palabras se requiere que la dispersión sea moderadamente
grande. Se diseña un examen de 500 preguntas y por la historia de pasados exámenes se sabe que
una σ =75 puntos es deseable. Para probar la validez del examen se toma uno preliminar a una
muestra de 24 estudiantes resultando una desviación estándar s =72 puntos. a) Usando un nivel
de significación de 0.01 probar si el examen resulta válido, relacionando gráficamente el IC con
la PH. Obtener además el IC para la desviación estándar poblacional. Realizar el estudio
retrospectivo de la potencia versus el tamaño del efecto y si corresponde a un caso no
concluyente, calcular el tamaño de la muestra necesario para resolverlo. Verificar con el
GPower.
R: a) χ2m = (23)=21.19, p = 0.861, IC =2697.7 a 12876,02, IC = 51.94 a 113.47, si.
45. Equipo de medición
Un investigador está convencido que su equipo de medición posee una variabilidad medida por
σ = 2. Al realizar un experimento registró las observaciones: 4.1, 5.2 y 10.2. a) ¿Muestran estos
datos evidencia suficiente para indicar un desacuerdo con su posición? Relacionar gráficamente
el IC con la PH. Usar un nivel de significación α = 0.10.
R: a) χm2 (2) = 5.29, p = 0.142, IC = 3.53 a 206.1, no.
46. Resistencia del cemento
Un fabricante asegura que su cemento posee una resistencia relativamente estable y que tiene
una amplitud de 40 kg/cm2. Supongamos que lo que quiere decir es que las observaciones caen
en esa amplitud el 95 % de las veces y por lo tanto la amplitud es aproximadamente 4 σ. De 10
observaciones obtiene s2=135. a) ¿Muestran estos datos evidencia suficiente para indicar que la
dispersión es mayor a la indicada por el fabricante? Usar un nivel de significación α = 0.05 y
relacionar gráficamente el IC con la PH.
R: a) χ2m (9) = 17.55, p = 0.0408, IC > 103.73, sí.
47. Datos de ejecutivos de 20 empresas
La tabla siguiente contiene los datos proporcionados por veinte ejecutivos de 20 empresas.
Ingresar la tabla al SPSS y responder las siguientes preguntas.
a) Probar la hipótesis de que la edad promedio de los ejecutivos es mayor de 50 años (α = 5%).
Expresar el IC.
b) La mediana del número de niños en toda la población de EEUU es 2. ¿La proporción de
ejecutivos con más de 2 niños es significativamente diferente de la población general? (α =
10%). Realizar la prueba de 3 formas distintas. Relacionar gráficamente el IC con la PH.
341
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
c) El 65% de todos los adultos de EEUU son casados. ¿La proporción de ejecutivos casados es
significativamente mayor que la población general? (α = 2%). Realizar la prueba de 3 formas
distintas. Relacionar gráficamente el IC con la PH. Recordar la función Automatic
Recode.
R: a) t(19)=2.693, sign < 0.05, se rechaza p≤0.50, la población de ejecutivos es
significativamente mayor de 50 años. IC de 51.3371 a 60.6629
b) 1) b(0.4, 20,0.4), p>0.10, no se rechaza p=0.50, la proporción de niños en los ejecutivos no es
significativamente distinta de la población general.
2) t(19)=1.371, sign≥0.10, no se rechaza p=0.5. IC de 0.421 a 0.83790.
3) χ2(1)=1.80, p>0.10, no se rechaza p=0.5
c) 1) b(0.65,20,0.9), sign < 0.02, se rechaza p≤0.65, la proporción de ejecutivos casados es
significativamente mayor que la población general
2) t(19)=3.632, sign ≤ 0.02, se rechaza p≤0.65. IC de 0.7559 a 1.0441.
3) χ2(1)=19.938, sign < 0.02, se rechaza p≤0.65.
Nombre
Edad
Estado civil
Niños
Parkdale
68
C
3
SAS Inst.
50
C
3
Cogentrix
65
C
3
Raeford
66
C
3
H&H Yarns
52
C
1
Harvey Ent.
44
C
4
Radiator
77
C
3
Parrish Tire
43
C
2
Spectrum
59
C
2
SE Hospital
45
C
4
Miller Bldg.
55
C
3
Pneumafil
55
S
0
Kroehler
50
C
3
Caro. Pete.
42
D
2
Tanner Cos.
64
C
4
Raycom Inc.
43
C
2
Cummins
57
C
4
W.R. Bonsal
62
C
3
Maola Milk
67
C
2
Waste Inds.
56
C
2
48. Lanzar una moneda
Forme un grupo de estudiantes para realizar el experimento de lanzar una moneda. Sea x = la
proporción de caras. a) Calcular el tamaño de la muestra necesario para que el error de muestreo
sea inferior a 0.09 con una confianza del 95%. b) Realizar los lanzamientos con ese tamaño
muestral y verificar que el IC contenga a la verdadera proporción poblacional (p = 0.5), 95% de
las veces.
III Análisis 1vi–1vd:
Comparación entre grupos
49. Inhibidores de corrosión
Se comparan 2 tipos de recubrimientos inhibidores de corrosión midiendo las profundidades
máximas promedios yi. a) Estimar la diferencia verdadera con un intervalo de confianza del 90
%, b) ¿el recubrimiento B es un mejor protector de corrosión. Realizar el estudio retrospectivo
342
Jorge Carlos Carrá
Problemas
III Análisis 1vi–1vd:
Comparación entre grupos
de la potencia versus el tamaño del efecto y si corresponde a un caso no concluyente, calcular el
tamaño de la muestra necesario para resolverlo. Verificar con el GPower.
A
B
30
n (tamaño) 35
0.18 0.21
y (cm)
0.02 0.03
s (cm)
R: a) IC =-0.0406 a -0.0194, b) sí.
50. Rodaje de dos tipos de neumáticos
Un fabricante desea comparar el rodaje de dos tipos de neumáticos, A y B. Para ello se
seleccionan aleatoriamente un neumático del tipo A y uno del tipo B y se colocan en las ruedas
traseras de cada uno de 5 automóviles. Los datos se muestran en la tabla adjunta. Probar la
hipótesis de igualdad entre los valores de A y B y hallar el intervalo de confianza del 95 % de la
diferencia de desgaste si, a) los datos se toman sin aparear (como si los datos se asignaran a las
10 ruedas en forma aleatoria obteniéndose 10 datos), b) si los datos se consideran apareados por
cada automóvil, llamado diseño aleatorizado en bloques (resultando 5 diferencias de
observaciones). ¿Cómo planificaría este experimento: con diferencias apareadas o sin aparear? c)
Relacionar gráficamente el IC con la PH de que no existe diferencia en cada caso. d) Realizar el
estudio retrospectivo de la potencia versus el tamaño del efecto y si corresponde a un caso no
concluyente, calcular el tamaño de la muestra necesario para resolverlo. Verificar con el GPower
y con el SPSS.
Automóvil A
B
1
10.6 10.2
2
9.8 9.4
3
12.3 11.8
4
9.7 9.1
5
8.8 8.3
R: a) IC =-1.45 a 2.41, b) IC =0.38 a 0.58.
51. Velocidad en la mecanografía
Se seleccionan al azar 5 secretarias para probar la velocidad en la mecanografía (en palabras por
minuto), en una máquina eléctrica A y en una máquina estándar B. Los resultados se registran en
la siguiente tabla. a) ¿Justifican los datos que la velocidad aumenta al usar la máquina A?, usar α
= 10 %. b) Realizar el cálculo suponiendo que las secretarias son distintas para cada máquina.
¿Cuáles son las ventajas y desventajas respecto de diseñar el experimento con 5 diferentes
secretarias para cada máquina? Responder con un cálculo de la potencia para cada caso
(poblaciones independientes o apareadas). c) Para las poblaciones apareadas, ¿es aceptable
establecer que Δμ > 5.8 con una confianza del 90 %? Relacionar gráficamente el IC con la PH y
realizar el estudio retrospectivo de la potencia versus el tamaño del efecto. Si corresponde a un
caso no concluyente, calcular el tamaño de la muestra necesario para resolverlo. Verificar con el
GPower y con el SPSS.
Secretaria A B
1
82 73
2
77 69
3
79 75
4
68 62
5
84 71
R: SPSS y GPower.
52. Garantía de heladeras
Dos marcas de heladeras A y B tienen una garantía de 1 año. Una muestra aleatoria de 50
heladeras A reveló que 12 se descompusieron antes de terminar la garantía. Una muestra de 60
de la marca B reveló que también 12 se descompusieron durante la garantía. Si una de estas
343
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
heladeras se descompuso antes de terminar la garantía, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la
marca A? Estimar la diferencia real entre las proporciones de fallas durante la garantía con un
coeficiente de confianza de 0.98. Probar la aseveración de que existe diferencia entre las
proporciones de heladeras descompuestas, con por lo menos 2 distribuciones distintas.
Relacionar gráficamente el IC con esta PH. Realizar el estudio retrospectivo de la potencia
versus el tamaño del efecto y si corresponde a un caso no concluyente, calcular el tamaño de la
muestra necesario para resolverlo. Verificar con SPSS y GPower.
R: IC = -0.1449 a 0.2249.
53. Tratamiento para dejar de fumar
Se somete a tratamiento a individuos previamente clasificados como Fumadores y No
Fumadores. Los resultados se muestran en la siguiente tabla. Utilizando un nivel se significación
del 5%, probar la aseveración del fabricante de que su tratamiento es eficaz. Verificar con el
SPSS.
nO
Antes
F NF
5 12 17
F
Después
NF 22 50 77
27 62 84
R: SPSS.
54. Fabricación de chips
En la fabricación de chips, una medición clave son las anchuras de ciertas ventanas antes y
después de un proceso de ataque químico. Se muestrearon 10 ventanas antes del ataque químico
(en µm):
2.52 2.50 2.66 2.73 2.71 2.67 2.06 1.66 1.78 2.56.
Después del ataque químico se seleccionaron otros 10 en forma independiente:
3.21 2.49 2.94 4.38 4.02 3.82 3.30 2.85 3.34 3.91
a) Explorar gráficamente el comportamiento de la relación entre ambas medias y ambas
desviaciones estándar (α = 5%). b) Probar que el ancho promedio de la ventana antes del ataque
químico es de 2.15 y después del ataque químico es de 3.14 (α = 5%). c) Probar que la
diferencia verdadera de los anchos es de 0.15 al nivel del 5 %. d) ¿Es aceptable establecer que
σ1 = σ2 con una confianza del 90 %? Responder con una prueba F y con una prueba de Levene.
Relacionar gráficamente el IC con la PH en todas las pruebas. e) Para la prueba de hipótesis de
la diferencia de medias, realizar el estudio retrospectivo de la potencia versus el tamaño del
efecto y si corresponde a un caso no concluyente, calcular el tamaño de la muestra necesario
para resolverlo. Verificar con el GPower y con el SPSS.
R: d) IC = 0.16645 a 1.17259, e) IC = 0.1480 a 1.466.
55. Vehículos a gas versus gasoil
Para reducir el costo anual de combustible, una compañía de transportes ha adquirido 100
vehículos a gas. Se hace un experimento con 100 vehículos a gas y 100 a gasoil. El costo por km
de los vehículos a gas es de 6.70 centavos con una varianza de 0.36, en tanto que para los
gasoleros es de 6.54 centavos con s2 = 0.40. ¿Muestran estos datos evidencia suficiente para
indicar una diferencia significativa entre ambos? Usar un nivel de significación α = 0.10. .
Relacionar gráficamente el IC con la PH. Analizar la potencia versus el tamaño del efecto y si
corresponde a un caso no concluyente, calcular el tamaño de la muestra necesario para
resolverlo.
R: zm = 1.83, p = 0.0672, IC = 0.017 a 0.303, sí.
56. Afección cardiaca
En el departamento de cardiología de un hospital se registra que 52 de 1000 hombres y 23 de
1000 mujeres que ingresan al hospital tienen alguna afección cardiaca. Si una de esas personas
tiene una afección cardíaca, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? ¿Muestran estos datos
evidencia suficiente para indicar una diferencia significativa entre ambos? Usar un nivel de
344
Jorge Carlos Carrá
Problemas
III Análisis 1vi–1vd:
Comparación entre grupos
significación α = 0.05 y probar con por lo menos 2 distribuciones distintas. Relacionar
gráficamente el IC con la PH. Analizar la potencia versus el tamaño del efecto y si corresponde a
un caso no concluyente, calcular el tamaño de la muestra necesario para resolverlo. Verificar con
SPSS y GPower.
R: zm = 3.41, p = 0.00065, IC = 0.0150 a 0.043, si.
57. Comparación de procesos de fabricación
Con el objeto de comparar 2 procesos de fabricación, se eligen al azar 500 piezas de cada uno,
como se muestra en la tabla siguiente. Probar la aseveración de que no hay diferencia entre
ambos procesos al nivel 5%. Realizar el estudio retrospectivo de la potencia versus el tamaño del
efecto y si corresponde a un caso no concluyente, calcular el tamaño de la muestra necesario
para resolverlo.
Buena Regular Mala
440
47
13
A
414
46
10
B
R: SPSS y GPower.
58. Salario vs lectura de diarios (capítulo 1)
Un editor de periódicos se pregunta si la costumbre de la gente de leer diarios está relacionada
con el salario de los lectores. Se aplica una encuesta obteniéndose, entre otros, los siguientes
gráficos.
100.0%
LECTURA
45.7%
26.8%
Values
75.0%
17.5%
11.8%
LECTURA nunca
LECTURA a v eces
14.1%
LECTURA mañana o tarde
LECTURA ambas
23.7%
41.2%
19.5%
50.0%
10.9%
39.0%
39.2%
15.2%
25.0%
32.9%
28.3%
0.0%
14.6%
19.6%
SALAR IO 300-500
SALAR IO 700-900
SALAR IO 500-- 700
SALAR IO 900-- 1100
SALARIO
345
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
97
90
85
Values
80
70
60
46
50
41
40
SALAR IO 300-500
SALAR IO 500-- 700
SALAR IO 700-900
SALAR IO 900-- 1100
SALARIO
Probar si ambas variables son independientes al nivel 5%. Realizar el estudio retrospectivo de la
potencia versus el tamaño del efecto y si corresponde a un caso no concluyente, calcular el
tamaño de la muestra necesario para resolverlo.
R: SPSS y GPower.
59. Calificaciones vs tiempo escuchando música (capítulo 1)
Un educador tiene la opinión de que las calificaciones que obtienen los alumnos depende del
tiempo que se pasan escuchando música. Se entrega un cuestionario a los estudiantes con dos
preguntas: ¿Cuántas horas por semana escuchas música? ¿Qué promedio de calificaciones
tienes? Del procesamiento resultaron los siguientes gráficos (entre otros).
100.0%
23.6%
8.4%
17.4%
11.6%
CALIFIC 2--4
CALIFIC 4--6
43.2%
CALIFIC 6--8
CALIFIC 8--10
21.1%
75.0%
Values
18.2%
50.0%
28.4%
45.8%
20.0%
28.4%
25.0%
29.1%
10.3%
20.0%
0.0%
9.1%
MÚSICA 0-- 5
25.3%
20.6%
11.6%
2.1%
MÚSICA 5-- 10 MÚSICA 10- - 20 MÚSICA 20- - 30
MÚSICA
346
CALIFIC
5.8%
Jorge Carlos Carrá
CALIFIC 0--2
Problemas
III Análisis 1vi–1vd:
Comparación entre grupos
Count
MÚSICA
Total
0--5
5--10
10--20
20--30
Total
55
95
155
95
400
Probar si ambas variables son independientes al nivel 5%. Realizar el estudio retrospectivo de la
potencia versus el tamaño del efecto y si corresponde a un caso no concluyente, calcular el
tamaño de la muestra necesario para resolverlo.
R: SPSS y GPower.
60. Economistas, ingenieros y abogados (capítulo 1)
Se pregunta a 50 economistas, 40 ingenieros y 10 abogados si creen que la bolsa bajará, subirá o
permanecerá igual en el próximo mes. EL 20 % de los economistas opina que subirá, mientras
que el 40 % de ellos piensa que bajará. El 50 % de los ingenieros se inclina que permanecerá
igual y tan solo el 5 % cree que bajará. Por último, la mitad de los abogados cree que subirá y la
otra mitad cree que bajará. ¿Existe relación entre P y F? Utilizar α = 5%. Realizar el estudio
retrospectivo de la potencia versus el tamaño del efecto y si corresponde a un caso no
concluyente, calcular el tamaño de la muestra necesario para resolverlo.
R: SPSS y GPower.
61. Votantes (capítulo 1)
Una muestra de 200 votantes reveló la siguiente información sobre 3 candidatos A, B y C.
28 votaron a favor de A
98 a favor de A o B pero no de C
42 a favor de B pero no de A o C
122 a favor de B o C pero no de A
64 a favor de C pero no de A o B
14 a favor de A y C pero no de B
¿Son independientes A y B? ¿A y C? ¿B y C? Utilizar α = 5%. Realizar el estudio retrospectivo
de la potencia versus el tamaño del efecto y si corresponde a un caso no concluyente, calcular el
tamaño de la muestra necesario para resolverlo.
R: SPSS y GPower.
62. Juego de entrada al mercado (capítulo 3)
Dos empresas A y B deben decidir si abrir un restaurant en un shopping. Las estrategias son
Entrar, E y No entrar, N. Si las 2 empresas deciden N, la ganancia será 0 para ambas. Si un
decide E y la otra N, la firma que entra gana 30000$. Si ambas deciden E, ambas pierden 10000$
pues no ha suficiente demanda para ambas. a) Obtener los equilibrios de Nash (puros y mixtos) y
el valor del juego. Construir las formas normal y extensiva del juego. Se tomaron datos
experimentales creando una simulación con el programa ComLabGame, de la cual resultaron las
siguientes cantidad de elecciones de celdas: EE: 22, EN: 8, NE: 7, NN: 13.
a) Probar si estos resultados son compatibles con la elección de cada una de las estrategias del
juego. ¿Qué estrategia eligieron los jugadores? b) ¿Muestran estos datos evidencia suficiente
para indicar una diferencia significativa entre las ganancias teórica y real de esa estrategia? Usar
un nivel de significación α = 0.05 y relacionar gráficamente el IC con la PH. Realizar el estudio
retrospectivo de la potencia versus el tamaño del efecto y si corresponde a un caso no
concluyente, calcular el tamaño de la muestra necesario para resolverlo.
R: SPSS y GPower.
63. Clases de consulta
Solo el 60% de los estudiantes de estadística aprobaron el primer parcial (variable A: Aprobado).
347
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
De quienes pasaron, el 85% concurrieron a clases de consulta (variable P: Primer Parcial). El
20% de los que no aprobaron, también concurrieron a clases de consulta.
a) Hallar la probabilidad de que un estudiante haya aprobado, dado que concurrió a clases de
consulta. b) Obtener el valor de chi-cuadrado y el coeficiente de contingencias entre la variable P
y la variable C. Considerar n = 100. Probar la aseveración de que existe dependencia usando α =
5%.
R: SPSS y GPower.
64. Período de entrenamiento
Una operación de ensamblado de una fábrica requiere un período de entrenamiento de
aproximadamente 1 mes. Se sugiere un nuevo método de entrenamiento y se ha realizado una
prueba para comparar el nuevo método con el procedimiento estándar. El tiempo de ensamble
(en minutos) se registró para cada empleado al final del período de entrenamiento y se muestran
en la tabla adjunta. a) ¿Muestran estos datos evidencia suficiente para indicar que el tiempo para
el nuevo procedimiento es menor? Usar un nivel de significación α = 0.05 y relacionar
gráficamente el IC con la PH. Realizar el estudio retrospectivo de la potencia versus el tamaño
del efecto y si corresponde a un caso no concluyente, calcular el tamaño de la muestra necesario
para resolverlo.
Procedimiento Procedimiento
estándar
nuevo
32
44
35
40
37
35
31
27
35
31
29
32
28
34
25
31
41
34
R: SPSS y GPower.
65. Contenido de grasa de la carne
Se desea estimar el contenido de grasa en la carne para poder determinar el precio de venta. Se
consideran 2 métodos diferentes en 8 diferentes muestras de carne. Los resultados se muestran
en la tabla de la figura. a) ¿Muestran estos datos evidencia suficiente para indicar una diferencia
significativa entre ambos? Usar un nivel de significación α = 0.05 y relacionar gráficamente el
IC con la PH. Realizar el estudio retrospectivo de la potencia versus el tamaño del efecto y si
corresponde a un caso no concluyente, calcular el tamaño de la muestra necesario para
resolverlo.
R: SPSS y GPower.
Método 1
23.1
27.1
25.0
27.6
22.2
27.1
23.2
24.7
Método 2
22.7
27.4
24.9
27.2
22.5
27.4
23.6
24.4
∑ x = 200
∑ x = 5030.36
∑ y = 200.1
∑ y = 5035.23
∑ xy = 5032.37
∑ D = −0.1
∑ D = 0.85
2
2
2
66. Técnicas de auditoría
Un auditor de una cadena de supermercados desea comparar la eficiencia de dos técnicas de
auditoría diferentes. Para esto selecciona una muestra de 9 cuentas y les aplica la técnica A y a
otras 9 cuentas les aplica la técnica B. En la tabla se indican el número de errores encontrados. a)
Determinar si existe evidencia de una diferencia en el número medio de errores detectados por
cada técnica, usar α =0.10, calcular para las diferencias un intervalo de confianza del 90%, b) si
348
Jorge Carlos Carrá
Problemas
III Análisis 1vi–1vd:
Comparación entre grupos
se aparean las observaciones y se calculan previamente las diferencias, ¿aumenta la cantidad de
información que se obtiene?, responder calculando un intervalo de confianza del 90%. En todos
los casos relacionar gráficamente el IC con la PH. c) Analizar la potencia retrospectiva versus el
tamaño del efecto y si corresponde a un caso no concluyente, calcular el tamaño de la muestra
necesario para resolverlo.
R: SPSS y GPower.
A
B
x = 1113
125 89
x 2 = 137973
116 101
133 97
y = 880
115 95
y 2 = 86240
123 94
120 102
xy = 108831
132 98
D = 233
128 106
121 98
2
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑D
= 6551
67. Valor de las viviendas
En la municipalidad se considera el uso de un modelo de evaluación por computadora para
determinar el valor de cada una de las viviendas del municipio. Para ello se comparan las
evaluaciones del modelo A con las de un tasador B. Se seleccionan al azar 10 viviendas
mostrándose los resultados en la tabla adjunta. a) Analizando los resultados como un
experimento apareado, ¿presentan los datos muestrales evidencia que indique una diferencia en
el valor medio de ambos procedimientos? Usar α =0.05. b) Obtener un intervalo de confianza
del 95% para Δμ. c) Si la información de la muestra es representativa de las 40000 viviendas del
municipio, obtener un intervalo de confianza del 95% para la ganancia (perdida) total en las
valuaciones si se usa el modelo. d) ¿Cuál es la ganancia (perdida) estimada en la valuación total
de las viviendas? e) La municipalidad cobra 3% de impuestos del valor estimado de la valuación.
¿Qué cantidad en más (o menos) recaudará la dirección de rentas si usa el modelo de
computadora? f) Obtener un intervalo de confianza del 95% para la cantidad en más (o menos)
que el municipio recibirá en concepto de impuestos. g) Analizar la potencia retrospectiva versus
el tamaño del efecto para la aseveración de que no existen diferencias en las medias y si
corresponde a un caso no concluyente, calcular el tamaño de la muestra necesario para
resolverlo. Verificar con el GPower y con el SPSS.
R: a) tm(9) = 1.5267, p = 0.1612, no, b) IC = -288.95 a 1488.95, c) IC = -11558208 a 59558208,
d) $ 24000000, e) $ 720000, f) IC =-346 759 a 1 786 759
Valuaciones ($)
x = 338500
A
B
x 2 = 1.2153E + 10
1 21000 20000
2 37500 36000
y = 332500
3 42000 40000
y 2 = 1.1637E + 10
4 28000 28500
5 30000 31000
xy = 1.1886E + 10
6 36500 35000
D = 6000
7 44500 44000
8 23000 24500
D 2 = 1.7500E + 07
9 46000 44000
10 30000 29500
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
68. ¿Los hombres ganan más que las mujeres?
Se presume que los hombres ganan más que las mujeres en trabajos similares. En una fábrica se
tomó una muestra de 38 operarios varones y se encontró que el salario medio por hora era
11.38$ y la desviación estándar de 1.84$. En una muestra de 45 mujeres resultó un salario medio
349
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
por hora de 8.42$ con una desviación estándar de 1.31$.
a) Explorar gráficamente el comportamiento de la relación entre ambas medias.
b) Probar que los operadores ganan más de 2$ por hora que las operadoras (α = 1%).
c) Probar que las desviaciones estándar de ambas poblaciones son iguales (α = 1%), con una
prueba F y con una prueba de Levene.
En todos los casos relacionar gráficamente el IC con la PH.
R: b) tm(81)=2.77 sign =0.003,los operadores hombres ganan más de 2$ por hora que las
mujeres.
c) Fm(37,44)=1.973, sign =0.015, las dispersiones de varones y de mujeres son iguales.
IV Análisis 1vi–1vd:
Asociación entre variables
69. Coeficiente de inteligencia (capítulo 1)
Un grupo de investigadores desea estudiar si los estudiantes con alto coeficiente de inteligencia,
CI, tienen también altas calificaciones en la escuela. Se sabe que esto es parcialmente cierto pues
otros factores afectan el comportamiento académico. Se toma una muestra de 12 estudiantes y se
obtienen los datos de la tabla siguiente.
CI (x)
117
92
102
115
87
76
107
108
121
91
113
98
Calific(y)
3.7
2.6
3.3
2.2
2.4
1.8
2.8
3.2
3.8
3.0
4.0
3.5
a) Calcular la variación explicada, la variación no explicada, la variación total y el coeficiente de
determinación. b) Obtener el coeficiente de correlación lineal y si corresponde, la ecuación de
regresión con una medida de la precisión. c) Predecir la calificación promedio para un CI = 95
con el intervalo de predicción. d) Relacionar gráficamente el IC con la PH de que la pendiente es
0. Utilizar un nivel de significación del 0.05. e) Analizar la potencia retrospectiva de cada prueba
y si corresponde a un caso no concluyente, calcular el tamaño de la muestra necesario para
resolverlo.
R: Capítulo 1, SPSS y GPower.
70. Distancia y tiempo de entrega
Un analista toma una muestra aleatoria de 10 embarques enviados por camión por una
determinada compañía y registra la distancia y el tiempo de entrega (al mediodía más cercano).
a) Calcular la variación explicada, la variación no explicada, la variación total y el coeficiente de
determinación. b) Obtener el coeficiente de correlación lineal y si corresponde, la ecuación de
regresión con una medida de la precisión. c) Predecir el número de días para 500km con el
intervalo de predicción. d) Relacionar gráficamente el IC con la PH de que la pendiente es 0.
Utilizar un nivel de significación del 0.01. e) Analizar la potencia retrospectiva de cada prueba y
si corresponde a un caso no concluyente, calcular el tamaño de la muestra necesario para
resolverlo.
x(km)
y(días)
825
3.5
215
1
1070
4
550
2
480
1
920
3
1350
4.5
325
1.5
670
3
1215
5
R: Capítulo 1, SPSS y GPower.
71. Accidentes en los conductores más jóvenes
Una compañía de seguros considera que se producen más accidentes en los conductores más
jóvenes y que por lo tanto se les debe cobrar una prima mayor. Se realizó una muestra de 1200
personas en la que se relevó la edad y la situación en cuanto a los siniestros en los últimos 3
años. Esta información se presenta en la tabla adjunta. a) ¿Existe relación entre la edad de la
persona y los siniestros? Utilizar un nivel de significación del 0.05. b) Analizar la potencia
retrospectiva de la prueba y si corresponde a un caso no concluyente, calcular el tamaño de la
muestra necesario para resolverlo.
350
Jorge Carlos Carrá
Problemas
V Análisis de Control de Calidad
Situación
Con Siniestro
Sin Siniestro
Edades
18–25 26–40 41–55 >56
54
60
55
22
180
235
434
160
R: SPSS y GPower.
72. Ecuación y = x2
En un archivo nuevo introducir diez pares de valores (x, y) de la ecuación y = x2.
a) Obtener el diagrama de dispersión con el coeficiente de determinación, el coeficiente de
correlación y la recta de regresión: y sobre x. b) Realizar una prueba de significación de los
coeficientes de la recta al nivel 98%. c) Utilizar el modelo de regresión para elaborar una
predicción de E(y) para un x arbitrariamente elegido por el estudiante, al nivel 95%. d) Utilizar
el modelo de regresión para elaborar una predicción de y para un x arbitrariamente elegido por el
estudiante, al nivel 95%. e) Relacionar gráficamente el IC con la PH de que la pendiente es 0. f)
Analizar la potencia retrospectiva para las pruebas del coeficiente de correlación y de la
pendiente y si corresponde a un caso no concluyente, calcular el tamaño de la muestra necesario
para resolverlo.
R: SPSS y GPower.
73. Valor revisado vs valor de libros
Los auditores deben comparar el valor revisado x con el valor de libros y. Una muestra de 10
artículos, produjo la tabla siguiente. a) Obtener el diagrama de dispersión con el coeficiente de
determinación, el coeficiente de correlación y la recta de regresión: y sobre x. b) Realizar una
prueba de significación del coeficiente de correlación. c) Realizar una prueba de significación de
los coeficientes de la recta al nivel 95%. d) Utilizar el modelo de regresión para elaborar una
predicción de E(y) para un x de 80, al nivel 90%. e) Utilizar el modelo de regresión para elaborar
una predicción de y para un x de 80, al nivel 90%. Explicar la diferencia respecto de la pregunta
anterior, f) Convertir las variables en ordinales y obtener el coeficiente de correlación de
Spearman con su significación. α = 5%. g) Relacionar gráficamente el IC con la PH de que la
pendiente es 0. h) Analizar la potencia retrospectiva para los coeficientes de correlación y
obtener la potencia observada para la pendiente y si corresponde a un caso no concluyente,
calcular el tamaño de la muestra necesario para resolverlo.
x
y
x = 701
8
11
13 15
6
9
31 28
43 40
125 135
39 38
278 277
58 55
100 99
∑
∑ x = 110873
∑ y = 707
∑ y = 112035
∑ xy = 111378
∑ D = −6
∑ D = 152
2
2
2
R: SPSS y GPower.
V Análisis de Control de Calidad
74. Contenido de grasa de cereales
Archivo Grasa.txt
Un productor de cereales desea asegurar la calidad del producto en cuanto al contenido de grasa,
para lo cual verifica el proceso de producción cada hora, tomando una muestra de 3 envases. Los
351
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
resultados se indican en la tabla siguiente.
En forma manual y con el SPSS, elaborar los diagramas de control adecuados para determinar si
el proceso está fuera de control en algún momento.
Muestra
Grasa
1
12.5 15.6 13.3
2
16.1 17.1 14.9
3
17.2 16.1 21.2
4
12.4 17.0 13.1
5
18.3 16.3 15.9
6
19.2 8.4 13.3
7
14.1 17.0 15.2
8
15.6 13.3 13.6
9
13.9 14.9 15.5
10
18.7 21.2 20.1
11
15.3 13.1 13.7
12
14.1 15.9 18.0
13
15.6 13.3 18.1
14
13.9 14.9 17.7
15
18.7 21.2 8.4
16
11.1 13.8 11.9
17
16.5 15.9 18.0
18
18.0 12.0 18.1
19
17.8 11.2 17.7
20
11.5 15.9 8.4
75. Calorías que se muestra en las etiquetas
Archivo Calorias.txt
Una empresa de control ciudadano recibe quejas acerca de la veracidad en la cantidad de calorías
que se muestra en la etiqueta de y una marca de chocolates. Para verificar esta afirmación, toma
muestras de 4 barras de chocolate en cada uno de 10 lugares de expendio. Los resultados se
indican en la tabla siguiente.
En forma manual y con el SPSS, elaborar los diagramas de control adecuados para determinar el
valor medio de la cantidad de calorías y si existen indicios de que esta cantidad está fuera de
control, en algún lote.
M1
M2
M3
M4
M5
M6
M7
M8
M9
M10
1 28.00 31.00 27.00 33.00 35.00 33.00 35.00 32.00 25.00 35.00
2 30.00 35.00 32.00 33.00 37.00 33.00 34.00 33.00 27.00 35.00
3 28.00 35.00 34.00 35.00 32.00 27.00 34.00 30.00 34.00 36.00
4 32.00 35.00 35.00 37.00 35.00 31.00 30.00 30.00 27.00 33.00
76. Número de acciones que suben
Archivo Acciones.txt
Un inversionista desea, toma una muestra aleatoria de 20 acciones durante 5 días consecutivos y
cuenta el número de acciones que suben. Resume los resultados en la siguiente tabla, en donde 1
significa que subió. En forma manual y con el SPSS, elaborar los diagramas de control
adecuados para determinar si es razonable creer que las posibilidades de que una acción suba o
baje en un determinado día son 50 a 50. ¿Qué porcentaje de acciones debería subir en un día
352
Jorge Carlos Carrá
Problemas
Problemas con base de datos
para que el proceso esté fuera de control?
D1 D2 D3 D4 D5
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
77. Valijas extraviadas en el aeropuerto
Las pérdidas de valijas extraviadas por vuelos en el aeropuerto de Bariloche se registran
mensualmente, tomando muestras de tamaño 5. Los resultados de los últimos 15 meses se
muestran en la tabla siguiente.
3 2 1 5 4 3 3 2 1 2 5 2 1 3 4
Determinar la media del número de pérdidas c por mes, del número de pérdidas u por mes y por
unidad y los límites de estas cantidades. ¿Hay algún mes en el que el número de pérdidas esté
fuera de control?
78. Control automático de errores de un procesador de textos
Para analizar la efectividad del control automático de errores de un procesador de textos, el
personal de informática de la universidad tomó 5 muestras de 25 páginas realizadas con este
procesador. Este estudio reveló lo siguiente:
10 páginas con 11 errores
12 páginas con 15 errores
6 páginas con 12 errores
1 página con 2 errores
3 páginas con 7 errores
Preparar diagramas p (porcentaje de páginas con errores) y diagramas c (cantidad de errores por
página) para analizar la efectividad de este software. ¿Existe algún resultado fuera de control?
Problemas con base de datos
Todos los archivos que se mencionan en los problemas se encuentran en la dirección (acceso
restringido a alumnos):
http://www.aprehender.net/JCC/viewtopic.php?f=52&t=267
353
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
79. Costo de la garantía
Abrir el archivo garantia.sav
Una compañía de venta de insumos electrónicos ofrece un año de garantía para los productos
que vende. Para los 200 productos vendidos el año anterior, el costo que significó la garantía se
encuentra en el archivo garantía.sav. El dueño de la compañía decide que a menos que la
desviación estándar real sea menor que 13 $, comprará los insumos a otro mayorista.
¿Deberá cambiar de proveedor si se utiliza un nivel de significación de 0.01? Presentar los
resultados de la prueba con una tabla elaborada en el visor del SPSS. Expresar el IC.
Acompañar los resultados con diagramas de caja (editar los extremos, si existen).
Con un histograma analizar visualmente el cumplimiento de los supuestos.
R: χ2(199) = 289.88, sign≤0.01, la diferencia es significativa, se rechaza Ho: σ ≤ 13,
deberá cambiar de proveedor. IC = de 13.88 a 17.99.
80. Solteros y casados
Abrir el archivo trabajo.sav.
Probar con un nivel de significación de 0.01 si el 90 % de las personas en la población, se
encuentran ya sea solteras o casadas (variable c3). Realizar la prueba de 3 formas distintas.
Expresar el IC.
R: a) Binomial (0.903,1200,0.90), sign ≥ 0.01, no se rechaza la hipótesis p = 0.90 como
proporción de los solteros y casados en toda la población.
b) t(1199)=0.391, sign > 0.01, no se rechaza Ho. IC de 0.8866 a 0.9201
c) χ2 (1)=0.148, sign > 0.01, no se rechaza Ho.
81. Precio de venta de vehículos todo terreno
Abrir el archivo TTerreno.sav
Realizar una regresión múltiple entre la variable dependiente PVP (precio de venta al público) y
las variables que en principio pueden pensarse que pueden explicar y predecir el precio de venta:
Cilindro, Potencia, Peso, RPM, Plazas, Consurb, Velocida y
Acelerac.
a) Obtener la ecuación de regresión múltiple. Interpretar cada uno de los coeficientes.
Observando la columna de significación de cada coeficiente de regresión, estimar las variables
que no parecen ser aptas para predecir el PVP adoptando un α = 5%.
b) Obtener una de las ecuaciones de ajuste que proporciona el programa en forma estadística:
entrar todas las variables de escala del archivo en la caja de variables independientes, y en
Method elegir Stepwise. El SPSS parte de un modelo con una sola variable (la de mayor
correlación de Pearson con la variable dependiente). Luego las variables son examinadas en cada
paso para entrar o salir del modelo, según criterios especificados por el usuario. Comparar la
respuesta a) con la b).
c) Obtener la gráfica del plano de regresión de PVP versus Peso y Cilindros.
d) Obtener de entre las ecuaciones no lineales provistas por el SPSS, la que mejor ajuste a la
relación entre las variables: PVP y Peso. Interpretar cada coeficiente. Obtener la gráfica.
R: a) En valores estandarizados: PVP = 0,523 *cilindro - 0,227*potencia + 0,669*peso +
0,131*rpm - 0,007*plazas + 0,015*consurb - 0,025*velocida - 0,137*acelerac
b) En valores estandarizados: PVP = 0,561*peso + 0,351*cons 120*+ 0,495*cilindro - 0,231*cc.
d) Modelo cúbico: PVP = 3 998 400 – 3.6230*peso2 +0.002 *peso3. R2 = 0.710.
82. Práctica religiosa vs sentimiento nacionalista
Abrir el archivo trabajo.sav.
Si analizamos la práctica religiosa de los encuestados (c8), la ideología (c9), y el sentimiento
nacionalista (c11) y todos ellos por comunidades autónomas (c15), vemos que:
a) Los más practicantes de la religión son los ____________________ y los que menos son
los________________
b) Los más de izquierda son los de_______________________ y los más de derecha son los de
_________________
c) Los más nacionalistas son los de _____________________ y los menos nacionalistas los de
________________
354
Jorge Carlos Carrá
Problemas
Problemas con base de datos
83. Demografía
Contrastar las siguientes hipótesis:
d) La muestra trabaja un promedio de 40 horas semanales (b3).
e) La muestra se declara satisfecha con su trabajo (b36). (El punto neutro de la escala es 4)
f) Ideológicamente, la muestra es de centro (c9). (El punto medio de la escala es 4)
Efectuar los mismos 3 contrastes pero separando por grupos según se indica:
g) Por sexo (c1).
h) Por hábitat (c16).
i) Por clase social (c10).
R:
a) Cantabria y Cataluña,
b) País Vasco y La Rioja,
c) Navarra y Cantabria,
d) no, trabaja más de 40,
e) si,
f) no, es de izquierda,
g) 1- los hombres no pues trabajan más de 40 horas, las mujeres si (p = 0.554),
2- si para ambos,
3- no, de izquierda,
h) 1- en general trabajan más de 40 horas en hábitats de menos de 50000 habitantes y alrededor
de 40 horas en hábitats de más de 50000 habitantes excepto el grupo de más de 250000
habitantes,
2- En todos los hábitats se sienten satisfechos con su trabajo (medias alrededor de 5 o superior),
3- En todos los hábitats la media está por debajo de 4 (tendencia a la izquierda), solo en el
hábitats de entre 10001 y 50000 habitantes la media (3.81) no difiere significativamente de 4,
i) 1- En todas las clases sociales la media es significativamente superior a 40 horas, excepto en el
grupo de clase Media Alta, en que la media de horas es de 37.5 y no difiere significativamente
de 40,
2- La tendencia parece ser que a medida que descendemos en la clase social, desciende también
la satisfacción en el trabajo. El único grupo que no se muestra satisfecho con su trabajo es el de
la clase Baja (media = 4.52, que no difiere significativamente de 4),
3- La clase Media Alta es la que más se aproxima a la ideología de centro (media = 3.578). A
medida que descendemos en la clase social (de Media a Baja), la media tiende a valores más
bajos (por lo tanto hacia la izquierda), todos significativamente inferiores al punto central (4).
84. Causas del desempleo
Abrir el archivo trabajo.sav
Las variables b13 a b21 indican las posibles causas del desempleo. Seguramente la evaluación
por cada persona dependerá de si se encuentra con o sin trabajo (b1). Realizar una prueba t de
diferencia entre el grupo de personas activas y no activas para cada variable. Ordenar los 9
resultados según el grado de significación.
R:
b15, b20, b21, b14, b18, b19, b16, b13, b17.
85. Antigüedad vs satisfacción
Abrir el archivo trabajo.sav
Contrastar la hipótesis de que los trabajadores de mayor antigüedad se declaran más o menos
satisfechos (b36) que los de menor antigüedad. Para probarlo dividir la variable de escala b4,
antigüedad, en 2 categorías a partir de la mediana de la misma.
R:
no es significativa
86. Situación en España
Abrir el archivo trabajo.sav
Los encuestados opinaron acerca de la situación en España en ese momento (a13), un año atrás
(a14) y la previsión para un año después (a15). Contrastar las posibles diferencias entre cada uno
355
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
de los pares posibles (pruebas apareadas) y sacar conclusiones. Acompañar con un diagrama de
barras que represente la media de los grupos y que contenga barras de error con intervalos
confidenciales del 95%.
R:
a13-a14 actual más pesimista que un año atrás, (diferencia negativa, por lo tanto la media actual es
menor), a13-a15 futuro más optimista que presente, a14-a15 futuro más optimista que presente.
87. Tiempos de trabajo
Abrir el archivo trabajo.sav
Completar los espacios en blanco:
Los hombres en actividad de la muestra trabajan_________ (Sí/No) el mismo promedio de horas
semanales (b3) que las mujeres en actividad. Los ______hombres en actividad de la muestra
trabajan un promedio de ________horas/semana, mientras que las _______mujeres trabajan un
promedio de ______ horas/semana. Con un riesgo α del 5% las varianzas de ambos grupos son
___________________ (Iguales/Desiguales) por lo que una t de ___________, con un grado de
significación de __________, es signo inequívoco de que el promedio de horas/semana que
trabajan los hombres y mujeres de la muestra ________ (Sí/No) difiere significativamente.
Acompañar los resultados de las pruebas de comparación de medias con gráficos ilustrativos de
barras de error y los de comparación de varianzas (dentro de cada prueba t con muestras
independientes) con diagramas de caja.
R:
No-258-43.411-142-36.48-6.92-Iguales-4.76-0.0000-Sí.
88. Precio de los todoterrenos
Abrir el archivo tterreno.sav.
a) Calcular el precio medio de los todoterrenos por marcas, número de plazas y número de
cilindros. Completar los espacios en blanco:
La marca con un precio medio más alto de _______________ptas, es ________________que
tiene una oferta en el mercado de _________todoterrenos. Por el contrario, la marca con un
precio medio más bajo de _______________ptas, es ________________, aunque solo dispone
de _________modelos en el mercado. Las marcas con mayor número de todoterrenos en el
mercado son _________________________ y _____________________________-, con un total
de _______modelos distintos cada una de ellas.
b) Respecto al precio medio según el número de plazas, vemos que los que más abundan son los
todoterrenos de ____plazas (un total de _____) y el grupo con un precio medio más alto, según
este concepto son los de _______plazas (___________ptas), mientras que los más baratos son
los de _______plazas (___________ptas).
c) Respecto al número de cilindros, como cabía esperar, existe una notable diferencia entre los
precios de los de 4 cilindros (____________ptas), de 6 cilindros (_______________ptas) y de 8
cilindros (____________ptas).
R: a) 9759786-Mercedes-6-Lada-1733562-2-Nissan y Suzuki-19. b) 5-61-8-5172450-42460243. c) 3274610-5764428-7956841.
89. Precio vs consumo
Abrir el archivo tterreno.sav
Contrastar las siguientes hipótesis:
a) El consumo promedio a 120 km/h es de 12 litros.
b) La velocidad máxima promedio de los todoterrenos es de 155 km/h.
c) El consumo urbano de los automóviles de 4 cilindros es de 12.2 litros.
d) El precio promedio de los todoterrenos de la marca Nissan es de 4000000 ptas.
e) El precio medio de los todoterrenos de la marca Land Rover es significativamente superior al
de los de la marca Mitsubshi. Acompañar con un diagrama de cajas con las variables en el eje x
y un diagrama de líneas que represente la media de los grupos.
f) Los coches de 4 cilindros consumen en promedio lo mismo que los de 6 cilindros. Probar para
cada una de las 3 variables de consumo: CONS90, CONS120 y CONSURB.
g) Contrastar las tres variables de consumo de dos en dos y concluir si existen diferencias
356
Jorge Carlos Carrá
Problemas
Problemas con base de datos
90.
91.
92.
93.
significativas entre ellas. Acompañar con un diagrama de 3 barras que representen la media de
cada uno de los grupos y barras de error con intervalos confidenciales del 99%.
R: a) Sí. b) No. c) No. d) Sí. e) No. f) No en los tres casos. g) CONS120-CONS90: Sí,
CONS120-CONSURB: No, CONSURB-CONS90: Sí.
General Social Survey
Abrir el archivo GSS.sav.
El GSS (General Social Survey) es un organismo de investigación norteamericano que
anualmente encuesta a 1500 personas mayores de 18 años sobre muy distintos tópicos.
a) Obtener un gráfico de barras de error con los datos de la variable que informa si el encuestado
seguirá trabajando si se convirtiera en una persona rica (richwork). Contrastar la hipótesis de
que los que opinan que continuarán trabajando son mayoría. Realizar la prueba de 3 formas
distintas. Expresar el IC.
b) Obtener un gráfico de barras de error para probar si el porcentaje de mujeres que seguirán
trabajando si se convirtiera en una mujer rica, es el mismo que el de los hombres, (se debe
recodificar con 0 y 1). Ejecutar el análisis estadístico apropiado. Escribir un corto resumen de los
resultados.
R:
a) b(0.70,642, 0.5), p<0.05, por lo tanto se rechaza p=p0=0.5,
t(641)=10.907, p<0.05, se rechaza p=p0=0.5. IC de 0.6622 a 0.7334
χ2(1)=100.5, p<0.05, se rechaza p=p0=0.5
b) χ2(1)=0.384, p>0.05, no se rechaza p1=p2.
Eficacia de dos drogas
Abrir el archivo gripe.sav.
Una compañía que fabrica productos medicinales, prueba la eficacia de dos drogas distintas
contra la gripe en dos grupos independientes de personas. Los resultados se encuentran en el
archivo gripe.sav. Obtener un gráfico que permita explorar si existe diferencia entre ambas
medicinas. Probar luego con un nivel de significación de 0.05 si existe diferencia significativa en
la eficiencia entre las dos medicinas.
R: χ2(1)= 0.035, sign≥0.05, la diferencia no es significativa, no se rechaza Ho: p1 = p2, acerca de
que las drogas no son diferentes.
Computadoras más rápidas
Abrir el archivo Pal-Cal.sav.
Una compañía fabricante de computadoras colocará en el mercado una computadora más rápida
Pal que su modelo anterior Cal. Sin embargo en las pruebas de aceptación la velocidad de
procesamiento de la Pal parece ser mas variable (la velocidad de procesamiento depende del
programa que esté corriendo, de la cantidad de los datos de entrada y de la cantidad de los datos
de salida). Se realizaron dos muestras de 1000 corridas a cada computadora. Los resultados del
tiempo de procesamiento en centésimas de segundo se encuentran en el archivo Pal-Cal.sav.
a) Probar si la diferencia de tiempos promedio es significativamente mayor en las computadoras
Cal. Usar α =0.05. Expresar el IC.
b) Al nivel α = 0.05 probar si la velocidad de procesamiento de Pal es mas variable que la de
Cal.
c) Acompañar los resultados con barras de error y diagramas de caja (editar los extremos).
Nota:
editar la estructura del archivo para conformar una variable tiempo y otra tipo de
computadora. Si las pruebas son significativas, determinar cuál de las dos variables predomina.
R: a) t(1504) = -36.54, sign < 0.05, la diferencia es significativa, se rechaza Ho: μcal ≥ μpal. IC de
-26.41028 a -23.72002
b) F(1,1998) =316, sign < 0.05, la diferencia es significativa, se rechaza Ho: σcal ≤ σpal.
Beneficios Sobre Ventas
Abrir el archivo BENEFICI.SAV.
Crear las variables (BSV = Beneficios Sobre Ventas):
BSV94=BAI94/VENTAS94*100
357
Capítulo 5 Inferencia Paramétrica I
BSV95=BAI95/VENTAS95*100
Seleccionar únicamente aquellas empresas con V95 entre -100 y 100. Obtener la ecuación de
regresión simple entre BSV95 y BSV94:
BSV95 = _______________+_________________* BSV94
Estandarizar ambas variables y obtener en la base de datos 2 nuevas variables ZBSV94 Y
ZBSV95. La ecuación de regresión entre estas dos variables es:
ZBSV95 = ______________+_______________* ZBSV94
El R2 = _____________Evidentemente la correlación simple entre las variables en ambas
situaciones es la misma con un valor de R = _________.
Seleccionar ahora únicamente a las empresas tal que -2 < ZRE_1 < 2, (la variable ZRE_1
contiene los residuos estandarizados de la regresión BSV95 en función de BSV94. Esto equivale
a considerar como casos extremos a los que se separan más de 2 desviaciones estándar de su
media. La identificación de casos atípicos es importante porque su presencia en la muestra puede
distorsionar los resultados de la regresión.
Quedan en el archivo un total de 76 empresas de las 81 iniciales, cuyo porcentaje promedio de
beneficios en el año 1994 fue de __________puntos y en el año 1995 de ______. La correlación
de Pearson entre ambos es de ____________puntos. El grado de significación es p =______. Se
observa que es signo inequívoco de que existe una relación lineal significativa entre ambas
variables. La ecuación de regresión entre las variables es ahora:
BSV95 = _______________+__________________*BSV94
El R2 ha pasado a ser de ________ y su p = ________. Volvemos a hacer ahora un
Scatterplot con BSV95 como VD y BSV94 como VI y trazamos la recta de regresión.
Respuestas: 5.05839-0.515901—2.6421E-16-0.515901-0.35523-0.59601-7.324-10.013-0.8990.0000-3.682605-0.864310-0.80765-0.0000.
358
Jorge Carlos Carrá