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10/10/2011
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 Control de un proceso en bucle cerrado:
PC
e
Controlador
M
v
Proceso
Medida
 Para poder aplicar el controlador adecuado necesitamos saber cómo se comporta el proceso a lo largo del tiempo.
 Cualquier proceso se puede identificar matemáticamente mediante una o varias ecuaciones diferenciales.
 Función de transferencia: Relación que existe entre la entrada y salida del proceso.
 Transformada de Laplace: Proceso matemático por el cual es posible convertir ecuaciones diferenciales en ecuaciones matemáticas que son más fáciles de manejar.
 Propiedades de la transformada de Laplace:






La transformada de una función del tiempo f(t) se convierte en una función de la variable s, F(s).
La transformada de la suma o resta de varias funciones del tiempo es la suma o resta de las transformadas.
La transformada del producto de una constante por una función de t es el producto de dicha constante por la transformada.
La transformada de la derivada enésima de una función f(t) es sn veces la transformada de f(t).
La transformada de la integral de la función f(t) es 1/s veces la transformada de f(t).
Transformadas:
 Impulso: 1
 Escalón unidad: 1/s
 Rampa: 1/s2

Teorema del valor final:
lim f t   lim s  Fs 
t 
s 0
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 Diagramas de bloques:
 Los diagramas de bloques de un sistema son bloques operacionales y unidireccionales que representan la función de transferencia de las variables de interés.
 Tiene la ventaja de representar en forma más gráfica el flujo de señales de un sistema.
 Con los bloques es posible evaluar la contribución de cada componente al desempeño total del sistema.  El diagrama de bloques de un sistema determinado no es único
Xs 
G s 
Ys 
Variable de entrada
Variable de salida
 Diagramas de bloques en bucle cerrado:
R(s)
+
E(s)
‐
B(s)
G(s)
C(s)
H(s)
Función de transferencia en bucle abierto
B(s)
 G(s)H(s)
E(s)
Función de transferencia trayectoria directa
C(s)
 G(s)
E(s)
Función de transferencia en bucle cerrado
C(s)
G(s)

R(s) 1  G(s)H(s)
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 Régimen transitorio y régimen estacionario:
x(t)
Sistema contínuo
y(t)
x(t)
t
y(t)
t
Régimen
transitorio
(t 0)
Régimen estacionario:
salida acotada en un pequeño margen
(t )
 Grados de estabilidad relativa:
x(t)
x(t)
t
y(t)
t
y(t)
t
t
Estable
Estable
x(t)
x(t)
t
y(t)
t
y(t)
t
Críticamente estable
t
Inestable
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 Especificaciones de funcionamiento para la salida:
x(t)
t
y(t)
Sobreoscilación
Respuesta B
1,05K
0,95K
K
Error de
posición
Respuesta A
t
Tiempo de establecimiento
Régimen transitorio
Régimen
estacionario
B es más estable que A
 Influencia en la respuesta transitoria de la situación de polos y ceros:
 El comportamiento de un sistema viene dado por la función de transferencia:
G s  
m
Ys  b 0s  b1s  b 2s  ...  b m 1s  b m

K
Xs 
a 0s n  a 1s n 1  a 2s n  2  ...  a n 1s  a n
m
m 1
m2
 ‐zi. Ceros de la función de transferencia.
 ‐pi. Polos de la función de transferencia.
 Con realimentación H(s):
G bc s  
 s  z 
Xs 
Ys 
G s 
i
i 1
n
 s  p 
i
i 1
E(s)
X(s) +
G s 
1  G s Hs 
U(s)
GC(s)=1
Y(s)
G(s)
H(s)
 Igualando a cero el denominador se tiene la ecuación característica cuyas raíces son los polos de la función de transferencia en bucle cerrado.
 Los ceros son las raíces del numerador. Los ceros y polos pueden ser reales o parejas de números complejos conjugados.
 Condición de estabilidad: los polos han de estar situados en el semiplano complejo que comprende la parte real negativa.
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 Calcular los polos y ceros de la siguiente función de transferencia en bucle cerrado y determinar la estabilidad del sistema:
G bc s  
1

2s  2s  1  1 1
s  
 2 2
2
1
 1 1 
j  s   j 
 2 2 
 Influencia en la respuesta transitoria de la situación de polos y ceros:
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 Sistemas de primer orden
 La ecuación diferencial que describe el comportamiento dinámico del sistema es una ecuación de primer orden.
ENTRADA
SALIDA
SISTEMA
xt 
y t 
a
dyt 
 b  yt   c  x t 
dt
 Función de transferencia:
G s  
Ys 
c
K


Xs  as  b τs  1
 K. Ganancia del sistema (factor de amplificación entre salida‐entrada)
 τ. Constante de tiempo. Nos da una idea de lo rápido o lento que es el sistema en responder. A mayor valor, más lento es el sistema.
 Sistemas de primer orden
 Respuesta ante entrada escalón de x unidades:
Ys  

K x
 yt   Kx 1  e  t/τ
τs  1 s

 El régimen permanente tiende a Kx.
 T>5τ. Régimen permanente.
Matemáticamente la salida alcanza su valor final en un tiempo infinito, pero en el sistema real lo hace en tiempo finito. Para fines prácticos se considera que la salida alcanza el estado estable en cierto porcentaje del valor final. Se suele usar el criterio del 95% (5τ)
 Cálculo de τ. yτ   Kx 1  e  τ/τ   0,632Kx
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 Modelo de un motor de corriente continua controlado por
inducido:
 Modelo de un sistema de accionamiento: relaciona las órdenes de mando
generadas en la unidad de control con las fuerzas y pares utilizados para
producir el movimiento
  s 
u s
k p k1 k 2


km
 R i  k i k 2  Js  B   k p  k b  k T k1k 2  Tm s  1
k p k1k 2  Js  B 
 s 
Tˆ s  1

 k̂ m m
u  s   R i  k i k 2  Js  B   k p  k b  k T k1k 2 
Tm s  1
 Sistemas de segundo orden
 La ecuación diferencial que describe el comportamiento dinámico del mismo es una ecuación de segundo orden.
ENTRADA
xt 
SALIDA
SISTEMA
y t 
a
d 2 yt 
dyt 
b
 c  yt   e  x t 
dt
dt
 Función de transferencia:
G s  
Ys 
e
Kω 2n
Kω 2n
 2
 2

2
Xs  as  bs  c s  2  ξω n s  ω n s  σ  ωd js  σ  ω d j
s  2  ξω n s  ω  0
2
2
n
s12  ξω n  ω n 1  ξ 2 j  σ  ωd j
K
e
c
ωn 

c
a
b
2ac
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 Sistemas de segundo orden
 K. Ganancia del sistema en estado estacionario. y=K.x.
 ωn. Frecuencia natural no amortiguada. Si no existiera amortiguamiento el sistema oscilaría con esta frecuencia.
 ξ. Coeficiente de amortiguamiento. Mide la estabilidad relativa.
 σ. Factor de decrecimiento. Im(s)
ωn
s1
G s  
ωd j

Re(s)
-σ
cos  =ζ
s2
-ωd j
Ys 
e
Kω 2n
Kω 2n
 2
 2

2
Xs  as  bs  c s  2  ξω n s  ω n s  σ  ω d js  σ  ω d j
s 2  2  ξω n s  ω 2n  0
s12  ξω n  ω n 1  ξ 2 j  σ  ω d j
 Amortiguamiento cero, ξ = 0
 Se tiene un sistema no amortiguado.
 En este caso la salida es:
yt   K  1 - cosω n t 
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 Amortiguamiento unidad, ξ = 1
 Se tiene un sistema críticamente amortiguado.
 En este caso la salida es:


yt   K  1 - e -ωn t  1  ω n t 
 Amortiguamiento mayor que la unidad, ξ > 1
 Se tiene un sistema sobreamortiguado.
 En este caso la salida es:

yt   K  1 - Ae-ωn Bt  Ce -ωn Dt
A

ξ  ξ 2 1
2 ξ2 1
B  ξ  ξ 2 1
C
ξ  ξ2 1
2 ξ2 1
D  ξ  ξ2 1
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 Amortiguamiento menor que la unidad, 0 < ξ < 1
 Se tiene un sistema subamortiguado.
 En este caso la salida es:





ξ
yt   K  1 - e -ξωn t   cos ω n 1  ξ 2 t 
sin ω n 1  ξ 2 t
2


1

ξ


y(t)
 

Especificaciones
yp
Mp
1,05K
K
0,95K
0,9K
0,1K
t
tr
tp
ts
tr 
1 ξ2
πα
, α  arctg
ωd
ξ
tp 
π
ωd
ts 
π
σ
Mp  e
Ubicación polos
s e  σ  ω d j

σ π
ωd
100
 Respuestas dependiendo del coeficiente de amortiguamiento.
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 Polos dominantes:
 En los sistemas de orden superior, alguno o algunos de los polos se encuentran más cerca del eje imaginario. A dichos polos se les llama polos dominantes porque determinan en mayor medida el comportamiento y respuesta del sistema.
 Ejemplo. Dada la siguiente función de transferencia, calcular el sistema de segundo orden equivalente:
136
s 4  18s 3  87s 2  70s  136
G(s) 
 Presenta los siguientes polos en bucle cerrado:

-9.1543
Sus efectos son de corta duración (se desprecian)
-8.3369
-0.2544+1.3105i
Polos dominantes de lazo cerrado
-0.2544-1.3105i
 El sistema de segundo orden equivalente será:
G(s) 

1.6
s 2  0.5s  1.6

-0.2500 + 1.2400i
-0.2500 - 1.2400i
Polos de lazo cerrado
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 Si en régimen permanente la salida es diferente al valor deseado, se dice que existe un error en estado estacionario, este error depende del tipo de sistema de control (en forma específica de la función de transferencia en bucle abierto) y de la señal de entrada.  Error en régimen estacionario:
 Se clasifican de acuerdo a su capacidad de seguir entradas escalón, rampa, parabólicas y otras.
 Las entradas reales se suelen considerar como una combinación de ellas.  Los valores de los errores estacionarios debidos a esas entradas individuales son indicativos del desempeño del sistema. 13
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 Considérese la siguiente función de transferencia en bucle abierto:
G(s)H(s) 
K(Ta s  1)(Tb s  1)  (Tm s  1)
s N (T1s  1)(T2s  1)  (Tps  1)
 El esquema de clasificación está basado en la cantidad de integraciones indicadas por la función de transferencia de lazo abierto (es decir el valor de N en sN)  Si N=0, el sistema se denomina tipo cero.
 Si N=1, el sistema se denomina tipo uno, y así sucesivamente.
 Esta clasificación es diferente e independiente a la del orden del sistema.
 Al aumentar el número del tipo, disminuye el error en régimen estacionario.
 Al disminuir el número del tipo, empeora el problema de estabilidad.
 Considérese el siguiente sistema en bucle cerrado:
R(s)
+
E(s)
‐
B(s)
C(s)
G(s)
H(s)
 La señal de error E(s) en Laplace es:
E(s) 
1
R(s)
1  G(s)H(s)
 Utilizando el teorema del valor final podemos encontrar el valor final de la señal de error:
e es  lim e(t)  lim sE(s)  lim
t 
s0
s0
sR(s)
1  G(s)H(s)
 Se observa que el valor del error depende tanto del sistema como de la entrada. 14
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 El error estacionario del sistema, para una entrada escalón unitario (error en posición) es:
s
1
1
1


s  0 1  G(s)H(s) s
1  G(0)H(0) 1  K P
e es  lim
 Constante de error en posición Kp:
K P  lim G(s)H(s)  G(0)H(0)
 Para un sistema tipo 0:
s0
K P  lim
s 0
K(Ta s  1)(Tbs  1) 
K
(T1s  1)(T2s  1) 
e es 
1
1 K
 Para un sistema tipo 1 o superior:
K P  lim
s 0
K(Ta s  1)(Tbs  1) 

s N (T1s  1)(T2s  1) 
e es  0
 El error estacionario del sistema, para una entrada rampa unitaria (error en velocidad) es:
e ss  lim
s 0
1
1
s
1
 lim

2

s
0
sG(s)H(s) K V
1  G(s)H(s) s
 Constante de error en velocidad KV:
K V  lim sG(s)H(s)
 Para un sistema tipo 0:
 Para un sistema tipo 1:
s 0
sK(Ta s  1)(Tbs  1) 
1
 0 e es 

s 0
(T1s  1)(T2s  1) 
KV
K V  lim
K V  lim
s 0
sK(Ta s  1)(Tbs  1) 
1
1
 K e es 

s(T1s  1)(T2s  1) 
KV K
 Para un sistema tipo 2 o superior:
K V  lim
s 0
K(Ta s  1)(Tbs  1) 

s N (T1s  1)(T2s  1) 
e es 
1
0
KV
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 Resumen:
Error en estado estacionario en términos de la ganancia K
Entrada escalón
Sistema tipo 0
Entrada rampa
Entrada aceleración
r(t)  1
r(t)  t
r(t)  t 2
1
1 K



Sistema tipo 1
0
1
K
Sistema tipo 2
0
0
2
K
Tema 2. Análisis de sistemas.
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