Lista de ejercicios # 3 - Claroline

1
UNIVERSIDAD DE COSTA RICA
FACULTAD DE CIENCIAS
ESCUELA DE MATEMÁTICA
Prof. José Rosales-Ortega
MA-1005 Ecuaciones Diferenciales
Segundo Ciclo del 2014
Lista de ejercicios # 3
Transformada de Laplace
1. Calcule, usando la definición, la transformada de Laplace de cada una de las siguientes
funciones:
(
sen t si 0 ≤ t ≤ π
(a) f (t) = t
(b) f (t) = t et (c) f (t) = sen at
(d) f (t) =
0
si t ≥ 0
2. Si F (s) es la transformada de Laplace de f (t), pruebe, a partir de la definición, que
t
L f ( ) (s) = aF (as).
a
3. Calcule la transformada de Laplace de cada una de las siguientes funciones:
(a) f (t) = sen2 t
(b) f (t) = cos3 t
4. Calcule la transformada de Laplace de cada una de las siguientes funciones:
Z t
sen t
sen u
(a) f (t) =
(b) f (t) =
du
(c) f (t) = e−t t cos 2 t.
t
u
0
5. Calcule la transformada de Laplace de cada una de las siguientes funciones:
(a) f (t) = t2 cos t
(b) f (t) = t et cosh t


si 0 ≤ t ≤ 1
t,
6. Considere la función f (t) = 2 − t,
si 1 < t ≤ 2


0,
si t > 2.
nR
o
t
a) L
f (u) du
0
b) L { t2 f (t) }
RtRu
c) L{ 0 0 v 2 f (u − v)dv du}.
Calcule:
2
7.
a) Determine la función y(t), si
Z
t
ew − e−w
t − y(t) =
y(t − w) dw
0
−1
b) Calcule y(t) = L
s e−πs
s2 + 2 s + 2
.
8. Halle la transformada de Laplace de la función que se muestra en el siguiente gráfico:
f(t)
1
t
1
2
9. Halle la transformada de Laplace de la función periódica que se muestra en el siguiente
gráfico:
f(t)
1
1
2
3
4
5
t
...
10. Calcule la transformada de Laplace de la función f (t) cuyo gráfico se muestra a continuación
f(t)
1
...
1
2
3
4
5
t
3
t
Z
0
11. Determine la función y(t) tal que y (t) + 6 y(t) + 9
y(w) dw = 1; siendo y(0) = 0.
0
12. Calcule L
Z
t
t
u sen (t − u) du .
0
13. Calcule la transformada de Laplace de la función f (t) = sen t + | sen t |.
14. Pruebe que si a ≥ 0, entonces
Z t
Z a
1
1
L
f (u) du
= L { f} −
f (u) du
s
s 0
a
15. Calcule la transformada de Laplace de cada una de las siguientes funciones:
1 − e−t
(b) f (t) =
t
et − 1
(a) f (t) =
t
sen2 t
(c) f (t) =
t
Z
(d) f (t) = t
t
( t − u )3 eu du
0
16. Use la transformada de Laplace para resolver los siguientes problemas de valor inicial:
a) y 00 + y = t;
y(0) = −1, y 0 (0) = 3.
b) 4 y 00 + y = −2;
1
.
2
y(0) = 0, y 0 (0) = 1, y 00 (0) = −1.
y(0) = 0, y 0 (0) =
c) y 000 + y 00 + 4 y 0 + 4 y = −2;
d ) y 000 − y 00 + 9 y 0 − 9 y = 0;
y(0) = 0, y 0 (0)


Z t
t, si 0 ≤
0
e) y (t) + 2 y(t) +
y(u) du = 2 − t, si

0

0, si t >
(
4 t; si 0 ≤ t ≤ 1
f ) y 00 (t) + 4 y(t) =
,
4; si t > 1
= 3, y 00 (0) = 0.
t ≤ 1
1 < t ≤ 2
2
tal que
dado que y(0) = 1..
y(0) = 1; y 0 (0) = 0.
17. Halle la transformada de Laplace de cada una de las siguientes funciones:
a) | sen t |.
Z t
b)
u e2u sen u du.
0
2
t
Z
u sen u du.
c) t
1
d) t e
t
Z
t
u
a
d
du
e2u sen u du.
4
18. Aplique la transformada de Laplace para resolver cada uno de los siguientes problemas
de valor inicial:


si 0 ≤ t ≤ 2
0,
00
0
y(0) = 1, y 0 (0) = −1
a) y + 4y + 4y =

 2−t
e ,
si t > 2


si 0 ≤ t ≤ 1
1,
00
0
y(0) = 0, y 0 (0) = 1
b) y + 2y + y =


0,
si t > 1
c) y 00 + y = uπ (t)
y(0) = 1, y 0 (0) = 0
19. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones:
Z t
a) y(t) +
(t − u) y(u) du = sen 2t.
0
Z
t
(t − u) y(u) du = 1.
b) y(t) +
0
Z
t
e−(t − u) y(u) du = cos t.
c) y(t) +
0
Z
t
e−(t − u) y(u) du = sen 2t.
d ) y(t) +
0
Z
t
( t + 1 − u ) y(u) du = 1 + sen t.
e) y(t) +
0
20. Para cada una de las funciones F (s), que se dan a
e−2s
.
s−1
e−2s − 3 e−4s
.
b) F (s) =
s+2
s e−3s
c) F (s) = 2
.
s +4s+5
e−3s (s − 5)
.
d ) F (s) =
(s + 1)(s + 2)
a) F (s) =
21. Resuelva el problema dado, aplicando la transformada de Laplace.
a) y 00 + y = u3 (t)
; y(0) = 0,
b) y 00 + y = t − (t − 4)u2 (t)
y 0 (0) = 1.
; y(0) = 0,
y 0 (0) = 1.
5
Z
22. Encuentre la transformada de Laplace de la función f (t) =
t
(t − u) e3u du.
0
23. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones integrales o íntegrodiferenciales, para y(t).
Z t
y(u) sen (t − u) du = t.
a) y(t) + 3
Z
0
t
(t − u) y(u) du = 1.
b) y(t) +
0
Z
c) y(t) +
t
(t − u)2 y(u) du = t3 + 3.
0
0
Z
t
y(u) sen (t − u) du = −sen t,
d ) y (t) + y(t) −
y(0) = 1.
0
24. Determine la transformada de Laplace de las funciones siguientes:
a) δ(t − 1) − δ(t − 3).
b) t δ(t − 1).
c) δ(t − π) sen t.
25. Resuelva los siguientes problemas de valor inicial:
a) y 00 + y = δ(t − π);
b) y 00 + 6 y 0 + 5 y = et δ(t − 1);
c) y 00 + y = δ(t − 2 π);
y 0 (0) = 0.
y(0) = 0,
y(0) = 0,
y(0) = 0,
y 0 (0) = 4.
y 0 (0) = 1.
26. Una masa unida a un resorte se libera desde el reposo, un metro por debajo de su posición
π
de equilibrio y comienza a vibrar. Después de
segundos, la masa es golpeada por un
2
martillo. El problema queda descrito por el siguiente problema de valor inicial:
π x00 + 9 x = −3 δ t −
2
x(0) = 1
x0 (0) = 0;
siendo x(t) el desplazamiento con respecto de la posición de equilibrio en el instante t.
Describa el movimiento de dicha masa.
27. Sea F (t) = t − 2 definida para t ∈ [0, 2]. Considere G(t) = |tF (t)| para t ∈ [0, 2], y
G(t + 2) = G(t) para cualquier otro t. Se pide que calcule L{G(t) ∗ et }.
6
28. Una malla eléctrica está descrita por las siguientes ecuaciones diferenciales:

Q3 (t)


(R1 + R2 )I1 (t) +
= E(t)


C







Q3 (t)

R2 I2 + L3 I30 (t) + L2 I20 (t) =
C




 I1 (t) = I2 (t) + I3 (t)







I2 (0) = I3 (0) = 0; I20 (0) = I30 (0) = 1
Reescriba el sistema anterior como un sistema de ecuaciones diferenciales donde sólo
aparezcan I2 e I3 como variables dependientes.
29. Suponga que se conoce lo siguiente:
√
L{sen ( t)} =
Se pide calcular
L
√
π
2s3/2
e−1/4s .
√ cos ( t)
√
t
30. P2-I-2011 Utilice la transformada de Laplace para resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

dx
dy


9
− 32
− 32y = H(t − 1)


dt
dt




Z t
dy
dx
x(u)du
+
8
−2
+
+ 8y = 0


dt
dt

0





x(0) = 32, y(0) = 9
31. P2-II-2010 Determine la función f (t) si
Z t
Z
2
−2t
u δ(u − π)f (t − u) du = e cos (2t)H(t − π) +
o
0
32. Considere la siguiente ecuación diferencial de segundo orden
ty 00 + 4y 0 + 9ty = cos (3t),
sujeta a las condiciones y(0) = 0, y 0 (0) = 0.
t
H(z − π)
√
dz.
z−π
7
a) Aplique la transformada de Laplace para obtener la siguiente ecuación diferencial de
primer orden:
dY
2s
−s
− 2
Y = 2
,
ds
s +9
(s + 9)2
donde Y (s) = L{y(t)}.
b) Resuelva la ecuación anterior para encontrar
y(t) = L−1 {Y (s)}.
33. P2-I-2012
a) Suponga que F (s) = L{f (t)} y G(s) = L{g(t)}. Compruebe que se verifica la
siguiente fórmula:
L{−t · (f (t) ∗ g(t))} = F 0 (s)G(s) + F (s)G0 (s).
b) Use la parte anterior para calcular
1
1
−1
−2
−1
·
+ 2·
L
.
s3 s − a
s (s − a)2
34. P2-II-2012 Suponga que la transformada de Laplace de f (t) es F (s), y que la transformada de Laplace de f 0 (t) existe .
a) Utilice propiedades de la transformada de Laplace para verificar la siguiente fórmula:
L{−teat f 0 (t)} = (s − a)F 0 (s − a) + F (s − a).
b) Utilice la parte anterior para encontrar el valor de
−4(s − 3)2
2
−1
L
+
.
[(s − 3)2 + 4]2
(s − 3)2 + 4
35. P2-II-2012 las siguientes funciones f (t) = H(t) y g(t) = t[H(t) − H(t − 2)].
a) Calcule p(t) = f (t) ∗ g(t).
b) Use lo anterior para graficar a p(t).
36. RP2-II-2011 Calcule la siguiente transformada de Laplace1 :
1 + t − et
.
L
t2
1
Puede denotar con f (t) a la función , luego multiplicar por t2 y usar derivadas.
8
37. RP2-II-2011 Encuentre la transformada inversa siguiente:
−6
1
e
1
−1
−2s 1 + s
−3s
L
−
.
−e
+e
s2
s2
s+2 s
38. RP2-II-2011 Utilice la transformada de Laplace y la siguiente fórmula
eat ∗ ebt sin (ct) =
at
c
b−a
e
−
cos
(bt)
+ 2
ebt sin (ct),
2
2
c + (b − a)
c + (b − a)2
para hallar la solución de la ecuación diferencial:
 t
para t ∈ [0, π[
 e
00
0
y (t) + 2y (t) + 6y(t) =
 t
e (1 + e−π ) para t ∈ [π, +∞[,
y con condiciones iniciales y(0) = 1 y y 0 (0) = 0.
39. P3-I-2013 Sean f y g dos funciones definidas sobre [0, +∞[ tales que
a) f (0) = 1.
b) f 0 (t) = −g(t).
√
s2 + 1 − s
c) L{g(t)} = √
.
s2 + 1
Hallar utilizando propiedades de la transformada de Laplace el valor de L{f (t)}.
40. P3-I-2013 Encuentre f (t) tal que
e−2s
s
2s + 3
−5s
−1
+ 4
+e
.
f (t) = L
+ 2
s(s + 1)(s + 2)
s + 4s + 5
s + 2s2 + 1
41. P3-I-2013 Hallar la transformada de Laplace de la función definida por
f (t) = cos(t) − |cos(t)|.
42. P3-I-2013 Hallar la solución, f (t), de la siguiente ecuación integral por medio de la
transformada de Laplace:
Z t
Z t
−t
f (t − u)f (u) du = t(1 − e ) + 2
f (t − u)e−u du,
0
que cumpla f (0) = 0.
0
9
43. P3-I-2014 La función f (t) = cos3 (t) es la única solución del problema
f (4) (t) + 10f 00 (t) + 9f (t) = 0, f (0) = 1, f 0 (0) = 0, f 00 (0) = −3, f 000 (0) = 0.
Use la ecuación diferencial anterior y propiedades de la transformada de Laplace para
mostrar que
3 s3 + 7s
.
L cos (t) (s) = 4
s + 10s2 + 9
No se admite resolver el ejercicio mediante fórmulas trigonométricas básicas de reducción
de orden de la potencia del coseno.
44. P3-I-2014 Calcular f (t) si
(
)
−2s
−s 2
4e
2s
−
6
1
−
e
2014
f (t) = L−1
+ 2
+
+ √
s2 − 4
s − 6s + 5
s
s
45. P3-I-2014 Para un número real positivo, t, definimos su parte entera [t] como el mayor
entero menor o igual a t. Por ejemplo, [0.3] = 0; [9.9] = 9; [11] = 11. Definamos la siguiente
función f (t) = 2 + (−1)[t] , para t ≥ 0.
a) Dibuje el gráfico de f (t).
b) Calcule L{f (t)}(s).
Z t
2u
2t
f (t − u)e du (s).
c) Calcule L e
0