ALGEBRA LINEAL TAREA ESPACIOS VECTORIALES 1

ALGEBRA LINEAL
TAREA ESPACIOS VECTORIALES
XAVIER SALAZAR B
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
ESPE
1.
COMPROBAR SI TIENEN ESTRUCTURA DE ESPACIO
VECTORIAL
REALES Y COMPLEJOS
1.1. Sean a, b ∈ R comprobar que a +
Reales.
√
3 · b, también es elemento de los
1.2. Sean
ordenados
en los Complejos, definidas para:
todos los
pares
La suma : z1 z2 = z2 z1
Y para la multiplicación
porun escalar definida de la forma habitual.
α z2 z1 = αz2 αz1
MATRICES:
1.3. Las matrices 2x 2 en los reales , definidas para:
La suma :
a1 a2
b1 b2
a 1 + b1
0
+
=
,
a3 a4
b3 b4
0
a4 + b4
La multiplicacion por un escalar:
a1 a2
αa1
α
=
a3 a4
αa3
1
αa4
,
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
1.4. Sean A cualquier matriz de nx n, X y B matrices de dimensión nx 1.
Comprobar que los sistema de ecuaciones lineales de la forma AX = B
tiene estructura de espacio vectorial. :
a) Si A y B no son constantes y X son constantes .
b) Si A y B son constantes y X no son constantes .
1.5. Sean x1 , x2 , ..., xn escalares sobre cualquier cuerpo K y A1 , A2 , ....., An
matrices de dimensión nx 1, comprobar:
A1 x1 + A2 x2 + ..... + An xn = B,
tiene estructura de espacio vectorial, para las siguientes condiciones. :
a) Si A1 , A2 , ...., An , B no son constantes y x1 , x2 , ..., xn son constantes .
b) Si A1 , A2 , ....., An , B son conocidos y x1 , x2 , ...xn no son constantes.
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FUNCIONES: Comprobar que tiene estructura de espacio vectorial:
1.6.
El conjunto de todas las funciones con primera derivada.
1.7. El conjunto de todos los polinomios con residuo x-1, al ser divididos
para x2 + x + 1.
1.8. El conjunto de las funciones de la forma y 000 − y 00 · sen(x) + y 0 = a ,
para todos los y ∈ F y a ∈ R escalar.
2.
COMPROBAR QUE TIENE ESTRUCTURA DE SUBESPACIO
VECTORIAL:
2.1. Comprobar que la matrices Antihermı́ticas son un subespacio vectorial de las matrices cuadradas sobre cualquier cuerpo K.
2.2. Comprobar que las matrices que operen para la multiplicación
(AB = C); siendo B una matriz dada, tienen estructura de subespacio
vectorial, en las matrices de nx m sobre cualquier cuerpo K.
2.3. Los polinomios de tercer grado que cumplen con P (0) = P (1) = 1,
son un subespacio de todos los polinomios de tercer grado reales.
2.4. El conjunto de todas las funciones pares, son un subespacio de las
funciones reales.
2.5. El conjunto de los R4 cumple con |a| + |b| = 0 es subespacio de todos
los R4 .
2.6. El conjunto de todas las funciones de la forma: F (x) = a0 f (x) +
a1 f 0 (x) + a2 f 00 (x) + a3 f 000 (x) + ........ + an f n (x), son un subespacio de las funciones.
2.7. La traza de una matriz es subespacio de todas las matrices cuadradas.
2.8.
El determinante es un subespacio de las matrices cuadradas.
2.9. La serie de Maclaurin, es un subespacio de todas las funciones
derivables.
2.10. El algoritmo de la división para los polinomios. Asumiendo que
solo el divisor es constante y los otros elementos varı́an, es un subespacio
de todos los polinomios reales.
Z1 = {
1
Para el siguiente espacio vectorial Z1 , Z2 ∈ C3
i 2 − 1 , 1 − i 1 + i 1 − 3i }
Z2 = {
i
1
3.
0
,
1+i
2
0
,
3
1
0
}
3.1.
Comprobar si Z1 , y Z2 generan a los C3 .
3.2.
Comprobar si Z1 , y Z2 son Linealmente independientes.
3.3. Generar un subespacio para Z1 ⊕ Z2 y para el plano generado entre
Z1 y Z2 , encontrar bases.
3.4.
Una matriz cambio de coordenadas de Z1 hacia Z2 . .
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3
Sean {v1 , v2 .v3 , v4 } vectores generadores de V
4.
Cual de los siguientes espacios V1 o V2 son vectores que generan V . ¿ Alguno de
ellos genera un subespacio respecto de V .
4.1.
V1 = {v1 + v2 , v2 + v3 , v1 + v3 }.
4.2.
V2 = {v1 + v2 , v2 + v3 , v3 + v4 , v1 + v4 }.
Sea (U, K, ⊕, ), donde {u1 , u2 , u3 , u4 } ∈ U ,
5.
1. Determinar para que valores de a; U1 genera a U ;
2. Generar subespacios de U1 respecto de U y encontrar sus bases
3. Para los valores de a encontrados, comprobar si U1 es linealmente independiente.
U1 = {u1 +a.u2 +a.u3 +a.u4 , a.u1 +u2 +a.u3 +a.u4 , a.u1 +a.u2 +u3 +a.u4 , a.u1 +a.u2 +a.u3 +u4 }
6.
Sea U, espacio vectorial de las funciones racionales, de la
forma
g(x)
; x 6= 0, x 6= 2, x 6= −2,
x(x2 − 4)
donde g(x) pertenece a las funciones enteras de segundo grado.
f(x) =
6.1.
Determinar si U es de dimension 3.
6.2.
Determinar si : f1 (x), f2 (x), f3 (x) ∈ U para:
1
1
1
f1 (x) = , f2 (x) =
, f3 (x) =
x
x−2
x+2
.
6.3.
Una matriz cambio de coordenadas de V hacia U , sabiendo que.
1
1
1
,
,
V =
x2 − 4 x(x + 2) x(x − 2)
7.
Sea (W, C, +, ·), donde w1 , w2 , w3 ∈ W
W1 = {(k − i)w1 + w3 , w1 − (2ki)w2 + (k − i)w3 , (k − i)w1 + (k)w2 + w3 }
.
1. Determinar para que valores de k; W1 genera a W ;
2. Generar subespacios de W1 respecto de W y encontrar su base.
3. Para los valores de k encontrados, comprobar si W1 es linealmente independiente.
8. Sean A matriz simétrica, y B una matriz antisimétrica.
Comprobar que son linealmente independientes y generan a
todas las matrices cuadradas. Podemos afirmar que las matrices
simétricas y antisimétricas son complementarias
9.
Sea V , el espacio de las funciones Reales,
tales que
V = {f1 , f2 , f3 , f4 ; f5 }; V ∈ F
Comprobar si V es Linealmente Independiente cuando:
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9.1.
Si f1 6= f2 6= f3 6= f4 6= f5 .
9.2.
Si f1 = a yf2 6= f3 6= f4 6= f5 , para a ∈ R escalar.
9.3.
Si f1 = f2 y f3 6= f4 6= f5 .
9.4.
Si f1 = x y f2 6= f3 6= f4 6= f5 .
9.5.
Si se expresa f1 como una combinación lineal de f2 , f3 , f4 , f5 .
9.6.
Si f1 = xf2 y f3 6= f4 6= f5 .
10.
Sea W , el espacio de las funciones Reales,
donde
W = {f(x) + x · g(x) , x · f(x) + g(x) , h(x) }
,
es linealmente independiente.
11.
Sean U, V subesapcios que pertenecen a P4 .
U = {p(x) ∈ P4 /p(−1) = p(0) = p(1) = 0}
0
00
V = {p(x) ∈ P4 /p(x) = x · p (x) + p (x)}
1. Generar una base para U y para V
2. Hallar subespacios Suma e Intersección entre U y V . Encontrar sus bases
12.
Para el siguiente subespacio
S = {(X, Y, Z) ∈ R3 /−X−Y −Z = m−λ+2 , (λ+1)X+Y +Z = 2m+2 , X+Z = m , (λ+1)X−Y +Z = λ−2}
1. Determinar para que valores de m y λ; S genera a todos R3 .
2. Encontrar una base para S .
3. Determinar para que valores de m y λ; S no genera a todos R3 .
13.
Para los siguientes espacios, determinar
S1 = {(a, b, c, d, e) ∈ R5 /2b − 2c + d = 0 , 3a + 4b − c − e = 0}
S2 = {(a, b, c, d, e) ∈ R5 /4a + 2d − d = 0 , 9a + 2b + c − e = 0 , a + b + c + d + e = 0}
1. Generar bases para S1 y S2
2. S1 y S2 ¿Son espacios complementarios?
3. Hallar una matriz cambio de base de S1 ⊕ S2 hacia el espacio canónico de
R5
14.
cual de los siguiente conjuntos es una base
14.1.
V = {cos(θ), cos(2θ), cos(3θ)}.
14.2.
V = {Ln(x), Ln(x2 ), Ln(x3 )}.
14.3.
V = {e2t , te2t , t2 e2t }.
15.
15.1.
U ⊕V y U ∩V.
Sean U, V ∈ M2x 2 , Hallar:
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15.2.
V → U.
U=
1
V =
1
16.
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5
a b a b
=0
∈ M2x2 / c d
2 3 1
1 1
1 1
1 0
,
,
,
1
1 0
0 0
0 0
APLICACIONES A LA INGENIERIA DE BASES Y
SUBESPACIOS
16.1. DE ALGEBRA LINEAL CON APLICACIONES DE DAVID POOLE. Pagina 114, Balanceo de ecuaciones quimicas ejecicios 13 y 14.