Fundamentos de la Teoría de Señales y Sistemas
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Fundamentos de la Teoría de
Señales y Sistemas
Alfredo Restrepo Palacios, Ph.D
Bogotá, Agosto 2012
Índice general
0. Bases matemáticas
0.1. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.2. Relaciones y Funciones . . . . . . . . . . . . . .
0.2.1. Par ordenado . . . . . . . . . . . . . . .
0.2.2. Producto cartesiano . . . . . . . . . . .
0.2.3. Relación . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.2.4. Partición . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.2.5. Relaciones de orden . . . . . . . . . . .
0.2.6. Suprémum, Infímum . . . . . . . . . . .
0.2.7. Máximo y mínimo . . . . . . . . . . . .
0.3. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.3.1. Sobreyección . . . . . . . . . . . . . . .
0.3.2. Inyección. (función uno-a-uno) . . . . .
0.3.3. Biyección. (correspondencia uno-a-uno)
0.4. Relaciones Ternarias . . . . . . . . . . . . . . .
0.4.1. Propiedades de relaciones ternarias . .
0.5. Estructuras algebráicas . . . . . . . . . . . . . .
0.5.1. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.5.2. Anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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23
ÍNDICE GENERAL
0.5.3. Espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.5.4. Matrices y Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . .
0.5.5. Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.6. Los Números Naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.6.1. Orden lineal para N . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.6.2. Divisor y múltiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.6.3. Números Primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.6.4. Factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.6.5. Máximo común divisor, mínimo común múltiplo . .
0.6.6. Conjuntos contables y no contables . . . . . . . . . .
0.6.7. Conteos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.6.8. Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.7. Los Números Enteros Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.7.1. La relación de orden lineal entre los números enteros
0.7.2. Intervalos enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.7.3. Algoritmo de la división . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.7.4. Congruencias módulo N . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.8. Los Números Racionales Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.8.1. Relación de orden lineal para los números racionales
0.8.2. Fallas geométricas y algebráicas de los racionales . .
0.8.3. Fallas topológicas de los racionales . . . . . . . . . . .
0.8.4. Cortes de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.9. Topología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.9.1. Topología estándar para números reales R . . . . . .
0.10. Los Números Reales R1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.10.1. Aproximación de reales con racionales . . . . . . . .
0.10.2. Aproximación de ū con racionales . . . . . . . . . . .
0.10.3. Relación de orden lineal . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.10.4. Congruencia entre números reales . . . . . . . . . . .
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iv
ÍNDICE GENERAL
0.10.5. El conjunto de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.10.6. Subconjuntos densos en ninguna parte . . . . . . . . . .
0.11. La circunferencia S1 = T1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.11.1. Circularidad de S1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.11.2. Definiciones Básicas y Notación . . . . . . . . . . . . . .
0.11.3. El promedio Circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.11.4. Promedio y mediana en S1 . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.11.5. La línea proyectiva P1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.11.6. La esfera de dimensión n (Sn ) . . . . . . . . . . . . . . . .
0.11.7. El toro de dimensión n (Tn ) . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.11.8. El espacio proyectivo de dimensión n (RPn ) . . . . . . .
0.12. Los números complejos C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.12.1. Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.12.2. Equivalencias de ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.12.3. Estructura algebráica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.12.4. Equivalencia entre las representaciones rectangular y polar de un número complejo . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.12.5. Interpretación geométrica del producto complejo . . . .
0.12.6. Inverso multiplicativo en coordenadas polares . . . . . .
0.12.7. Complejo conjugado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.12.8. La proyección estereográfica . . . . . . . . . . . . . . . .
0.12.9. Funciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.12.10.Excepciones a la fórmula (za )b = zab . . . . . . . . . . . . .
0.12.11.Transformaciones de Möbius . . . . . . . . . . . . . . . .
0.13. Los cuaternios (H) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.13.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.13.2. Suma y producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.13.3. Partes escalar y vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.13.4. Conjugado, magnitud e inverso . . . . . . . . . . . . . .
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ÍNDICE GENERAL
0.13.5. Nomenclatura para rotaciones en R3 . . . . . . . . . . . .
0.13.6. H como una estructura de anillo para C × C . . . . . . .
0.14. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.14.1. Subsucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.15. Espacios métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.15.1. Bolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.15.2. Métrica para S1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.15.3. Espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.15.4. Espacios topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.15.5. Límite de una sucesión de números . . . . . . . . . . . .
0.15.6. Convergencia en sentido de Cauchy . . . . . . . . . . . .
0.15.7. Sucesiones y subsucesiones de números reales . . . . . .
0.15.8. Espacios completos y completados . . . . . . . . . . . . .
0.16. Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.16.1. Re-ordenamiento de los términos de una serie . . . . . .
0.16.2. Criterios de convergencia de series de números reales y
de números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.16.3. La serie geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.16.4. La transformada zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.17. Puntos de Rn y Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.18. Intervalos de Rn y de Zn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.19. Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.19.1. Límite de una sucesión de funciones . . . . . . . . . . . .
0.19.2. Convergencia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.19.3. Límite de una función, dadas topologías con base para
el dominio y el rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.19.4. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.19.5. Continuidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.19.6. Con respecto a la continuidad de funciones con rango S1
v
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85
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105
105
106
ÍNDICE GENERAL
vi
0.19.7. Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.19.8. Interpretación geométrica de la derivada compleja . . . .
0.19.9. Aproximación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.19.10.Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.19.11.Diferenciabilidad real y las ecuaciones de Cauchy- Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.19.12.Extensión en series de potencias . . . . . . . . . . . . . .
0.19.13.Series de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.19.14.Integral de Riemann-Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . .
0.19.15.Particiones de intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.19.16.Variación de una señal continua . . . . . . . . . . . . . .
0.19.17.La integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.19.18.La integral de Riemann-Stieltjes . . . . . . . . . . . . . .
0.19.19.Integral de línea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.19.20.Transformada zeta inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.19.21.Teorema de representación de F. Riesz . . . . . . . . . . .
0.19.22.Transformadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.19.23.La distribución de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.19.24.La distribución constante . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.19.25.La distribución con núcleo escalón . . . . . . . . . . . . .
0.19.26.La distribución valor principal de 1/x y la transformada
de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Señales y sistemas
1.0. INTRODUCCIÓN . . . . . . .
1.1. Clasificación de las señales . .
1.2. Funcionales . . . . . . . . . .
1.3. Sistemas . . . . . . . . . . . .
1.3.1. Espacio vectorial . . .
1.3.2. Transformación lineal
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129
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148
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158
159
161
161
ÍNDICE GENERAL
vii
1.3.3. Normas Elepé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
1.4. La norma ele-infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
1.5. Variación de señales discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
1.6. Variación de señales continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
1.7. Variación promedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
1.8. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
2. Convolución y sistemas de convolución
176
2.0. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
2.1. Convolución (lineal) discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
2.2. Convolución (lineal) continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
2.2.1. Curvígrafos(“Splines”) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
2.2.2. Convolución de Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
2.3. Sistemas de convolución continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
2.3.1. Respuesta escalón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
2.3.2. Función característica (respuesta impulso) de sistemas
de convolución continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
2.3.3. Respuesta a una entrada constante . . . . . . . . . . . . . 194
2.3.4. Respuesta a la derivada de la entrada . . . . . . . . . . . 194
2.3.5. Identificación de sistemas de convolución . . . . . . . . . 195
2.3.6. Una aplicación del teorema fundamental del cálculo . . 196
2.3.7. La carga (la integral o el área) de la respuesta de un
sistema de convolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
2.4. La transformada de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
2.5. Sistemas de convolución discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
2.6. Impedancia y respuesta impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
2.7. Correlación determinística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
2.8. La convolución de Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
2.9. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
ÍNDICE GENERAL
viii
3. Señales periódicas (Fourier)
214
3.0. Señales periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
3.0.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
3.0.2. Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
3.0.3. Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
3.1. Sumas de señales periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
3.1.1. Caso discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
3.1.2. Notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
3.1.3. Caso continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
3.2. Señales semi periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
3.2.1. Caso continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
3.2.2. Caso discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
3.3. Exponenciales complejas y sinusoides . . . . . . . . . . . . . . . 224
3.3.1. Caso continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
3.3.2. Caso discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
3.4. Señales periódicas contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
3.4.1. Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
3.4.2. Propiedades de simetría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
3.4.3. Fórmula de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
3.4.4. Series de sinusoides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
3.4.5. Sumas parciales de una serie de Fourier . . . . . . . . . . 234
3.5. Convolución circular continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
3.6. Series de Fourier de funciones discontinuas y fenómeno de Gibbs240
3.7. Señales periódicas discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
3.7.1. Sumas tipo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
3.7.2. Sumas tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
3.7.3. Una biyección de CN a CN . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
3.8. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
ÍNDICE GENERAL
4. Transf. de Fourier de señales continuas
4.0. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.0.1. Motivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.0.2. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1. La transformada de Fourier L-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Propiedades de la transformada de Fourier L-1 . . . . . . . . . .
4.3. Convolución en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Polos y ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5. Transformada de Fourier L-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1. Respuesta a sinusoides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2. Filtro pasa bajas RC de un polo . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.3. Comportamiento transiente . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.4. Análisis del comportamiento asintótico . . . . . . . . . .
4.5.5. representación de un sistema con respuesta escalón discontinua en términos de una suma de sistemas identidad
(linea de retardo o filtro pasa todas) y un sistema con respuesta escalón continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6. Distorsión de fase y distorsión de amplitud . . . . . . . . . . . .
4.6.1. Filtro ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.2. Distorsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.3. Filtro pasa todas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.4. Décadas y octavas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.5. Frecuencias de corte y decibeles . . . . . . . . . . . . . .
4.7. La transformada de Fourier L-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8. Distribuciones temperadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.1. Distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9. Modulación SSB y la transformada de Hilbert . . . . . . . . . . .
4.9.1. Pares de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
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x
ÍNDICE GENERAL
4.10. Apéndice I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11. Apéndice II: Análisis en tiempo contra análisis en frecuencia . .
4.11.1. Respuesta del circuito RC pasa bajas de primer orden a
una señal onda cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11.2. Respuesta escalón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11.3. Respuesta de estado estable a una onda cuadrada . . . .
4.12. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. DFT y DTFT
5.0. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.0.1. Transformada inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1. Propiedades de la DTFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Frecuencias grandes y pequeñas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Filtros discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4. Respuesta en frecuencia sistemas de convolución . . . . . . . . .
5.5. Polos y ceros de H(z) y H(ω) correspondiente . . . . . . . . . . .
5.6. Sistemas de convolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.1. Respuesta a exponenciales complejas discretas . . . . . .
5.7. Transformada Discreta de Fourier DFT . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.1. Propiedades de corrimiento circular y modulación de la
DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.2. Simetría circular par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.3. Convolución circular discreta . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.4. Interpretación de lo convolución circular en términos de
señales periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.5. Relación de Parseval para la DFT . . . . . . . . . . . . . .
5.8. Propiedades de simetría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.1. Conjugada simétrica y conjugada antisimétrica . . . . . .
5.8.2. Implicaciones de las propiedades de simetría para transformadas de señales discretas . . . . . . . . . . . . . . . .
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374
375
377
ÍNDICE GENERAL
xi
5.9. Relación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.10. Señal muestreada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.10.1. Muestreo de señales continuas . . . . . . . . . . . . . . .
5.10.2. Reconstrucción de la señal continua a partir de sus muestras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.10.3. Fórmula para la interpolación trigonométrica de señales
contínuas a partir de muestras equiespaciadas . . . . . .
5.11. Resumen gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.12. Resumen de las transformadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.13. Resumen para la propiedad de Parseval . . . . . . . . . . . . . .
5.14. Resumen convolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.15. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Propiedades de los sistemas
6.0. Clasificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1. Sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Sistemas no lineales: los filtros L . . . . . . . . . . . .
6.2.1. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2. Muestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3. Estadísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.4. Estadísticas de orden . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.5. Mediana, mínimo y máximo . . . . . . . . . .
6.2.6. Algunas estadísticas L . . . . . . . . . . . . . .
6.2.7. Notación vectorial para las estadísticas L . . .
6.2.8. Estadísticas móviles o filtros de ventana móvil
6.2.9. Filtros L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.10. Señales raíz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3. Invarianza y Causalidad . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1. Invarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2. Causalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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xii
ÍNDICE GENERAL
6.4. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5. Sistemas homogéneos e invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.1. Caso discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.2. Caso continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6. Sistemas de convolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.1. Causalidad de un sistema de convolución . . . . . . . . .
6.6.2. Estabilidad de un sistema de convolución . . . . . . . .
6.7. Sistemas lineales e invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7.1. Con dominio Lp , p ∈ [1, ∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8. Representabilidad con convolución . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8.1. Sistemas discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8.2. Sistemas contínuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8.3. El teorema de representación de Riesz y su relación con
los sistemas contínuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.9. Sistemas de Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.9.1. Sistemas de Volterra discretos . . . . . . . . . . . . . . . .
6.10. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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434
435
Notación
A continuación se da el significado de parte de la terminología matemática
que se usa. Se asume que se tiene cierta familiaridad con lógica matemática
así como con la teoría de conjuntos: en particular, se asume que conoce el
significado de la conjunción ∧, de la disyunción ∨, de la implicación ⇒ y de
la doble implicación ⇔. Las letras son símbolos de elementos, conjuntos, etc.
x ∈ A : x pertenece a A (o, x es miembro de A).
P(x) : x cumple con la propiedad P.
∃ x ∈ A : para algún (o existe un) elemento x en el conjunto A
∀x ∈ A : para cada (o para todo) elemento x del conjunto A
a = b : quiere decir que los símbolos a y b representan la misma cosa.
: tal que
B = {x ∈ A : Q(x)} : B es el conjunto de los elementos de A que cumplen con la
propiedad Q.
A ⊃ B : el conjunto A contiene al conjunto B.
A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}.
A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}.
S
Ba = {x : ∃ a ∈ A, x ∈ Ba }.
a∈A
T
Ba = {x : ∀ a ∈ A, x ∈ Ba }.
a∈A
Conjunto vacío ∅; ∀x, x 3 A ⇒ A = ∅.
1
2
ÍNDICE GENERAL
[a] : clase de equivalencia del elemento a.
[x]N : x módulo N.
[a, b] : intervalos cerrados, elementos de R2 .
[a, b, c, d] : elementos de RN .
{x : P(x)} : el conjunto de los elementos que cumplen con la propiedad P.
{xi } : sucesiones.
(a, b) : pares ordenados.
(a, b) : intervalos abiertos.
(a, b, c, d) : n-tuplas.
]a, b[: intervalos abiertos de RN .
Una operación (clausurativa) entre los elementos de un conjunto A es una función ◦ : A × A → A
:= : que se define como.
=: : que se abrevia como.
EL ALFABETO GRIEGO
α, A: alfa
β, B: beta
γ, Γ : gama
δ, ∆ : delta
, E : épsilon
ζ, Z : zeta
η, H : eta
θ, ϑ, Θ : teta
ι, I : yota
κ, K : kapa
λ, Λ : lambda o labda
µ, M : my
ν, N : ny
ÍNDICE GENERAL
ξ, Ξ : xi
o, O : omicron
π, $, Π : pi
ρ, P : ro
σ, ς, Σ : sigma
τ, T : tau
υ, Υ : upsilon
φ, ϕ, Φ : phi f i
χ, X : ji
ψ, Ψ : psi
ω, Ω : omega
3
Capítulo 0
Bases matemáticas
0.1.
INTRODUCCIÓN
La mayoría de los términos que se usan con un sentido técnico es este
libro se definen matemáticamente. En este capítulo se ven algunos conceptos
matemáticos que son usados durante el resto del libro. La mayoría le serán
probablemente conocidos, otros no tanto. Parte de lo que se pretende es acordar
la nomenclatura a ser usada. Otros objetivos son: adquirir familiaridad con las
“congruencias módulo ene”, repasar los conceptos de dominio, rango y función
y, finalmente, ver las bases de la integral de Riemann-Stieltjes.
El lector iniciado, interesado en un tema particular en teoría de señales,
puede saltar este capítulo y referirse a él en caso necesario.
Ejercicio. Demuestre que A = B ⇔ A ⊂ B ∧ B ⊂ A
¿Qué son conjuntos disyuntos?
¿Qué es el conjunto potencia de un conjunto?
Ejercicio. Demuestre que
4
0.1. INTRODUCCIÓN
5
i {a, b} = {b, a}
ii {1, 2, 2} = {1, 2}
Entre las personas que en tiempos modernos relacionó la lógica y las
matemáticas está el lógico italiano Giuseppe Peano (1858-1932). Peano dio
una lista de propiedades que cumplen los números naturales. En París en 1900
durante la segunda conferencia internacional de matemáticas Peanó entregó a
B Rusell una copia de su “Formulario” donde trataba la axiomatización de las
matemáticas. La teoría de conjuntos, originada por Georg Cantor1 , se usa como
base para las matemáticas hoy en día. La idea de basar las matemáticas en la
teoría de conjuntos y, a la larga en lógica, tomó así fuerza desde finales del
siglo XIX. Los resultados de Gödel (1906-1978) indicando la imposibilidad de
obtener sistemas formales completos en los cuales basar las matemáticas, quizás
le restaron algo de ímpetu a esta tendencia racionalista en las matemáticas de
comienzos de siglo. Poincaré sostuvo la importancia de la intuición en las
matemáticas a comienzos del siglo XX.
1 Georg
Cantor (1845-1918) Destacado matemático ruso, entre muchos avances matemáticos se
destacan su interés por la idea del infinito, su definición del continuo y su teoría de conjuntos.
6
0.2.
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
Relaciones y Funciones
De los varios conceptos que se definen en este capítulo, el lector seguramente tendrá una idea intuitiva clara. Sin embargo, en aras de anclar la
intuición con el método axiomático, los definimos en todo caso. Así el caso de
par ordenado, que definimos de dos maneras dentro de la teoría de conjuntos.
0.2.1.
Par ordenado
Un par ordenado es una estructura de dos componentes en la cual hay una
asimetría que permite diferenciarlos. El origen del concepto tal vez se remonte
a los estudios de Fermat y Descartes en relación con lo que hoy llamamos
geometría analítica. Dado que {a, b} = {b, a}, el conjunto {a, b} no define el par
ordenado (a, b).
Definición 1. (a, b) = {a, {b}}
Definición 2. (a, b) = {a, {a, b}}
Ejercicio. ¿Qué axiomas de la teoría de conjuntos son necesarios para dar la
definición 1? ¿Para dar la definición 2?
Similarmente, la n-tupla (x1 , x2 , . . . , xn ), puede ser definida en la teoría de
conjuntos.
0.2.2.
Producto cartesiano
El producto cartesiano A × B de los conjuntos A y B es el conjunto de
los pares ordenados cuya primera componente es un elemento de A y cuya
segunda componente es un elemento de B.
A × B = {(a, b) : a ∈ A, ∧ b ∈ B}
0.2. RELACIONES Y FUNCIONES
7
Figura 1: El producto cartesiano de A y A
El producto cartesiano no es una operación conmutativa: si A , B entonces
A × B , B × A, además, el producto cartesiano tampoco es una operación
asociativa ya que
A × (B × C) , (A × B) × C
dado que (a, (b, c)) , ((a, b), c), con cualquiera de las definiciones dadas de par
ordenado, es decir, por ejemplo con la definición 2 de par ordenado, tenemos
que (a, (b, c)) = {a, {a, {b, {b, c}}}} mientras que ((a, b), c) = {{a, {a, b}}, {{a, {a, b}}, c}}
y así, a ∈ (a, (b, c)) pero a < ((a, b), c) y entonces, (a, (b, c)) , ((a, b), c).
Sin embargo, podemos definir tripla con (a, b, c) := {(a, (b, c)), ((a, b), c)} y
A × B × C como el conjunto de las triplas (a, b, c), con a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C.
Ejercicio. Dé un ejemplo de un producto cartesiano que no conmute.
Podemos generalizar la noción de tupla y definir las n-tuplas para cada entero
positivo n.
Ejercicio. Defina 4-tuplas.
0.2.3.
Relación
Una relación entre los elementos de un conjunto es algún subconjunto
del producto cartesiano del conjunto con sí mismo.
8
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
A = {0, 1, 2}
A × A = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2)}
Sea R = {(1, 0), (2, 1)} decimos entonces que 1 R 0 y 2 R 1. (Se lee: 1
está relacionado con 0 y 2 está relacionado con 1, o R relaciona a uno con cero,
R relaciona a dos con uno; también, “uno erre cero”, “dos erre uno” y “uno no
erre dos”.)
Ejemplo.
Propiedades de relaciones
Sea R una relación entre los elementos del conjunto A.
i) R es una relación reflexiva si
∀a ∈ A, (a, a) ∈ R
Figura 2: Para una relación reflexiva R, la diagonal de A × A debe estar en R
ii) R es una relación simétrica si
∀a, b ∈ A, (a, b) ∈ R ⇒ (a, b) ∈ R
0.2. RELACIONES Y FUNCIONES
9
Figura 3: Una relación simétrica
iii) R es una relación transitiva si
∀a, b, c ∈ A, (a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R
Figura 4: Transitividad. Si ψ está relacionada con δ y δ con χ entonces ψ está relacionada con χ
Con respecto a la figura 4, note que (a, b) y (b, c) determinan dos vértices
opuestos de un rectángulo y que uno de los vértices restantes es (b, b)
que está “sobre la diagonal”, el vértice restante, (a, c) es el requerido por
la propiedad de transitividad.
Ejemplo. ⊂ es transitiva y reflexiva. A ⊂ B, B ⊂ C ⇒ A ⊂ C, A ⊂ A
10
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
Ejemplo. ∈ no es transitiva. A ∈ B, B ∈ C ; A ∈ C
iv) R es una relación conectada si
∀a, b ∈ A, a , b ⇒ (a, b) ∈ R o (b, a) ∈ R
Figura 5: A la izquierda, relación conectada. A la derecha, una de corrimiento circular: para
cada fila y cada columna hay por lo menos un elemento de relación
v) R es una relación antireflexiva si
∀a ∈ A, (a, a) < R
vi) R es una relación antisimétrica si
∀a, b ∈ A, (a, b) ∈ R ∧ (a, b) ∈ R ⇒ a = b
vii) R es una relación de corrimiento circular si
∀a ∈ A, ∃! b ∈ A
a , b, tal que: (a, b) ∈ R, o, (b, a) ∈ R
Ejercicio. Muestre o dé un contraejemplo para la siguiente afirmación: si una
relación es simétrica y transitiva, entonces es reflexiva.
Ejercicio. Muestre o dé un contraejemplo para la siguiente afirmación: si una
relación es simétrica, transitiva y conectada, entonces es reflexiva.
0.2. RELACIONES Y FUNCIONES
Ejercicio. Muestre que
n
P
m=0
11
(nm ) = 2
Ejercicio. ¿Cuántas relaciones se pueden definir entre los elementos de un
conjunto de n elementos?
Relaciones de equivalencia y clases de equivalencia
La relación de equivalencia en muy útil en matemáticas. Decimos que una
relación es una relación de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva. Sea E una relación de equivalencia entre los elementos de un conjunto
A. Para cada elemento a de A definimos su clase de equivalencia como el
conjunto de los elementos de A que son equivalentes a a y se denota [a] :
[a] = x ∈ a : (x, a) ∈ E
Ejercicio. Muestre que b ∈ [a] si y sólo si la [a] = [b].
Ejercicio. Muestre que, dados (a, b) ∈ A, [b] = [a], o, [a] ∩ [b] = ∅
Ejercicio. Muestre que A =
0.2.4.
S
[a]
a∈A
Partición
Una partición de un conjunto A es una colección de subconjuntos disyuntos de A cuya unión es A.
Ejercicio. Dé una partición de {0, 1, 2}
Ejercicio. Demuestre que, dado un conjunto A, la colección de las clases del
equivalencial determinadas por cada uno de los elementos de A es una partición de A.
12
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
Ejercicio. ¿En cuántas clases de equivalencia particiona la relación congruencia
módulo 3 al conjunto de los números naturales?
Ejercicio. Dada una partición de A, diga cómo definir una relación de equiva-
lencia entre los elementos de A, tal que las clases de equivalencia resultantes
sean los elementos de la partición dada.
0.2.5.
Relaciones de orden
R es un orden parcial si es una relación transitiva, antisimétrica y reflexiva. R es un orden lineal si es un orden parcial y es una relación conectada.
El orden parcial típico es el dado por “ser subconjunto de” entre el conjunto
de subconjuntos de un conjunto dado, por ejemplo en la figura 6 se muestra el
orden , para los subconjuntos de {0, 1, 2}
Figura 6: Un orden parcial, no conectado
0.2.6.
Suprémum, Infímum
Sea A un conjunto linealmente ordenado por la relación ≤. Sea B un subconjunto de A y sea q un elemento de A. Si ∀b ∈ B, se tiene b ≤ q, se dice que q
es una cota superior de B. q es una cota superior mínima (suprémum) de B si:
0.3. FUNCIONES
13
1. q es una cota superior de B.
2. Para cada cota superior r de B en A, q ≤ r.
Similarmente, sea A un conjunto linealmente ordenado por la relación ≤.
Sea B un subconjunto de A y sea q un elemento de A. Si ∀b ∈ B, se tiene que q
es una cota inferior de B. q es una cota inferior máxima (infímum) de B si:
1. q es una cota inferior de B.
2. Para cada cota inferior r de B en A se tiene que r ≤ q.
Ejercicio. Demuestre que el suprémum de un subconjunto de un conjunto
linealmente ordenado, si existe, es único.
0.2.7.
Máximo y mínimo
Sea A un conjunto linealmente ordenado por la relación ≤. Sea B un subconjunto de A. Si B tiene suprémum r que pertenece a B, decimos que r es el
máximo de B. Similarmente, si B tiene infímum t, y t pertenece a B, decimos
que t es el mínimo de B.
Ejemplo. En los reales, en el intervalo abierto (0, 1) no tiene ni máximo ni
mínimo, 0 es su cota inferior máxima o infímum y 1 es su cota superior mínima
o suprémum.
Ejemplo. En los racionales {q ∈ Q : q2 ≤ 2} no tiene ni suprémum, ni infímum.
0.3.
Funciones
Una función es una tripla ( f, A, B) donde f es un subconjunto del producto
A×B, que no contiene dos pares ordenados con la misma primera componente
y que se conoce como la gráfica de la función; el conjunto A es el dominio de
la función y el conjunto B es el rango de la función. Ademas , cada elemento
del dominio es la primera componente de uno y solo un par de la gráfica. Tal
14
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
función también se denota como, f : A → B. Note que dos funciones pueden
diferir solamente en el rango.
Normalmente (a, b) ∈ f , se denota como f (a) = b; y se dice que b es la imagen
de a. Otra forma de decir que no hay dos pares de f con la misma primera
componente es:
(a, b) ∈ f ∧ (a, c) ∈ f ⇒ b = c
Como se dijo, todo elemento de A es la primera componente de algún elemento
de f :
∀a ∈ A, ∃ x ∈ f : x = (a, b)
Sin embargo, no todos los elementos del rango son necesariamente segundas
componentes de pares de la gráfica. En caso de que lo sean, se dice que la
función es sobreyectiva.
Figura 7: Diagrama de una función con dominio A y rango B
Abusando la notación descrita, si C es un subconjunto del dominio de
f , decimos que f (C) es el conjunto de las imágenes de los elementos de C,
o imagen de C. También, si D es un subconjunto del rango de f , ponemos
f −1 (D) = {a ∈ A : f (a) ∈ D}.
Ejercicio. Si C y D son subconjuntos del dominio de ( f, A, B), demuestre o dé
un contraejemplo para cada una de las afirmaciones siguientes:
0.3. FUNCIONES
15
i) f (C ∪ D) = f (C) ∪ f (D)
ii) f (C ∩ D) = f (C) ∩ f (D)
Ejercicio. Si C y D son subconjuntos del rango de ( f, A, B), demuestre o dé un
contraejemplo:
i) f −1 (C ∪ D) = f −1 C) ∪ f −1 (D)
ii) f −1 (C ∩ D) = f −1 (C) ∩ f −1 (D)
0.3.1.
Sobreyección
f : A → B es una sobreyección si ∀b ∈ B∃ a ∈ A (a, b) ∈ f , es decir,
una sobreyección es una función donde todo elemento del rango es la segunda
componente de algún par de la gráfica de la función.
Figura 8: f es una sobreyección de A en B, pero no una inyección
0.3.2.
Inyección. (función uno-a-uno)
f : A → B es una inyección si f no contiene dos pares con la misma
segunda componente. En símbolos, (a, b) ∈ f ∨ (c, d) ∈ f ⇒ a = c.
0.3.3.
Biyección. (correspondencia uno-a-uno)
Una biyección es una función que es uno-a-uno y también sobreyectiva.
16
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
Figura 9: f es una inyección de A en B, pero no es sobreyectiva
Figura 10: Una biyección
0.3. FUNCIONES
17
Ejercicio. (Cantor) Muestre que no es posible establecer una biyección entre
ningún conjunto y su conjunto potencia. (El Conjunto potencia o partes de de un
conjunto dado, se define como el conjunto de los subconjuntos del conjunto
dado.)
Nota. Se puede argumentar que parte de la labor de un ingeniero consiste
en cuantificar las variables que modela y en diseñar con base en éstas. Así, el
uso de números se convierte en una segunda naturaleza para el ingeniero. En
las secciones siguientes se dan definiciones de los números naturales, enteros,
racionales, reales, complejos y de los cuaternios. Dado que en ingeniería las
magnitudes se cuantifican se podría argumentar que es importante tener una
idea clara de cada uno de estos tipos de números. Los naturales se definen con
base en nociones de la teoría de conjuntos, los enteros con base en los naturales,
los racionales con base en los enteros, los reales con base en los racionales. En
cada uno de estos casos tenemos una relación de orden lineal y las operaciones
de suma y producto. Luego, tenemos RN , en donde tenemos la operación de
suma. En R2 tenemos además el producto complejo, y en R4 el producto de
cuaternios.
Definición 3. Una biyección p : A → A de un conjunto finito a sí mismo, se conoce
como una permutación de éste.
Definición 4. Una función t : A → A de un conjunto finito A con al menos dos
elementos, a sí mismo, se conoce como una transposición si A tiene exactamente dos
elementos a1 y a2 para los que t(a1 ) = a2 y t(a2 ) = a1 y, para el resto de los elementos
α de A, f (α) = α.
Ejercicio. Muestre que si una permutación se descompone como una composi-
ción de transposiciones en dos formas, el número de transposiciones es, en
ambos casos, par, o en ambos casos impar. (Dado el resultado positivo del
ejercicio anterior, clasificaremos las permutaciones en pares e impares).
18
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
Ejercicio. Escriba y clasifique las permutaciones de los elementos del conjunto
A = {0, 1, 2} en pares e impares.
0.4.
Relaciones Ternarias
Una relación ternaria entre los elementos de un conjunto A es un subconjunto del producto cartesiano A3 .
Ejemplo. Para el conjunto A = {0, 1, 2}, donde
A×A×A=
{(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 0, 2), (0, 1, 0),
(0, 1, 1), (0, 1, 2), (0, 2, 0), (0, 2, 1),
(0, 2, 2), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 0, 2),
(1, 1, 0), (1, 1, 1), (1, 1, 2), (2, 0, 0),
(2, 0, 1), (2, 0, 2), (2, 1, 0), (2, 1, 1),
(2, 1, 2), (2, 2, 0), (2, 2, 1), (2, 2, 2)}
considere la relación R = {(0, 1, 2), (1, 2, 0), (2, 0, 1)}
Figura 11: Un ordenamiento circular para {0, 1, 2}
0.4. RELACIONES TERNARIAS
0.4.1.
19
Propiedades de relaciones ternarias
Sea R una relación ternaria entre los elementos del conjunto A.
i) R es una relación ternaria dinámica si
∀(a, b, c) ∈ R, a , b, b , c, c , a
ii) R es una relación ternaria circulable si es cerrada con respecto a permutaciones pares de sus elementos:
(a, b, c) ∈ R ⇒ (b, c, a) ∈ R, (c, a, b) ∈ R
iii) R es una relación ternaria de orientación si no contiene ninguna permutación impar de ninguno de sus elementos:
(a, b, c) ∈ R ⇒ (a, c, b) < R, (b, a, c) < R, (c, b, a) < R
iv) R es una relación ternaria total si:
∀a ∈ A ∃ (x, y, z) ∈ R a = x ∨ a = y ∨ a = z
v) R es una relación ternaria transitiva si:
(a, b, c) ∈ R, (b, d, c) ∈ R ⇒ (a, b, d) ∈ R, (d, c, a) ∈ R
vi) R es una relación ternaria circular si cumplen.
Ejercicio. Muestre que dados dos puntos a y b, elementos de un conjunto A en
el que se ha definido una relación circular R, resulta la partición
A = {a, b} ∪ {x ∈ A : (a, x, b) ∈ R} ∪ {x ∈ A : (b, x, a) ∈ R}
que podríamos llamar el teorema de Jordan para conjuntos circularmente ordenados.
Dado un conjunto circularmente ordenado, podemos definir los intervalos
(a, b) = {x ∈ A : (a, x, b) ∈ R} y (b, a) = {x ∈ A : (b, x, a) ∈ R} ahora podemos
definir una topología con base dada por estos intervalos.
20
0.5.
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
Estructuras algebráicas
Las transformaciones lineales juegan una papel importante en ingeniería.¿Qué
es una transformación lineal? Para responder a esta pregunta se hace necesario
el concepto de espacio vectorial; aunque el lector probablemente haya trabajado
en repetidas ocasiones con espacios vectoriales. Para una definición formal,
necesitamos antes los conceptos más básicos de grupo y anillo.
Sean A un conjunto y o una operación o: A × A → A entre los elementos de
A
Cuando el conjunto A es finito y pequeño, puede ser conveniente especificar
la operación con una tabla.
a
b
c
d
a
a
c
d
b
b
d
b
a
c
c
b
a
c
a
d
c
d
b
d
Tabla 1: La tabla de una opración posible entre los elementos de {a, b, c, d}
Así, decimos que un grupoide (A, o) está dado por un conjunto no vacío
A y una operación entre los elementos o de éste. Note que no se requiere la
asociatividad de la operación.
Ejemplo. Considere el conjunto {a, b, c, d} y la operación en la Tabla 1
Un semigrupo (A, o) es un grupoide en el que la operación es asociativa. La
propiedad asociativa de la operación o se expresa así:
∀a, b, c ∈ A a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b) ◦ c
Ejemplo. (N, +) es un semigrupo.
0.5. ESTRUCTURAS ALGEBRÁICAS
21
Ejercicio. Dé un ejemplo de una operación no asociativa.(Loas octoniones)
Ejercicio. Diga si la operacion del grupoide en la tabla 2 es asociativa.
Un monoide (o un módulo) es un semigrupo en el cual hay un elemento
identidad. Es decir, debe existir un elemento e en el conjunto tal que: ∀a ∈
A a ◦ e = e ◦ a = a. Esta propiedad define a e como elemento identidad del
monoide.
Ejemplo. (N, +) es un monoide, con identidad dada por 1.
Ejercicio. Diga si un monoide puede tener más de un elemento identidad.
Ejercicio. Dé un ejemplo de un semigrupo que no sea un monoide.
α
β
γ
δ
α
β
γ
γ
α
β
α
δ
β
β
γ
δ
γ
δ
γ
δ
α
β
δ
α
β
γ
δ
Tabla 2: La tabla de una operación entre los elementos del conjunto finito α, β, γ, δ, 0.5.1.
Grupos
Un grupo es un monoide (G, o) en el que cada elemento tiene un inverso
con respecto a la operación definida el cual es un elemento que al multiplicarlo
por el elemento dado da el elemento identidad.Así un inverso de g ∈ G es un
elemento h ∈ G tal que gh = e.
(G, o) es un grupo abeliano (o conmutativo) si: ∀g, h ∈ G, g ◦ h = h ◦ g.
22
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
Ejercicio. Muestre que en un grupo, si gh = e entonces hg = e.
Ejercicio. Muestre que entonces en un grupo, cada elemento tiene uno y sólo
un inverso.
La teoría de grupos resultó impulsada inicialmente en forma importante
por los trabajos de Galois 2 , quien fue un matemático francés que estudió la
posibilidad de resolver con raíces, sumas, restas, productos y cocientes, las
ecuaciones polinómicas de orden arbitrario. El matemático Noruego Abel 3 ,
contemporáneo de Gauss y de Galois, trabajó en la imposibilidad de la solución
general algebráica de la ecuación de quinto grado.4
Ejercicio. Dé un ejemplo de un grupo no abeliano.
Ejercicio. Sea G = {ej0 , ej2π/3 , ej4π/3 } y como operación o, la multiplicación de
complejos. Muestre que (G, o) es un grupo abeliano. Dé la tabla de multiplicación correspondiente:
ef =
fg =
eg =
ee =
fe =
ff =
Tabla 3: Complete la tabal mostrada e = e j
ge =
gg =
2π0
3
, f = ej
2π
3
, g = ej
4π
3
(H, ◦) es un subgrupo del grupo (G, o), si H es un subconjunto de G y (H, o)
es un grupo. De ahora en adelante abreviaremos (G, ◦) como G.
2 Évariste
Galois (1811-1933) fue un matemático francés reconocido, junto con Abel, por su
estudio de las raíces de los polinomios y la idea de cuerpo (“field”).
3 Niels Henrick Abel (1802-1829) matemático Noruego, demostró que no existe una operación
algebráica explícita con forma de raíces, productos, cocientes, sumas y restas, para encontrar las
raíces de un polinomio de orden 5.
4 Tanto Galois como Abel murieron bastante jóvenes, Galois a causa de una herida recibida en
un duelo y Abel a causa de la tuberculosis.
0.5. ESTRUCTURAS ALGEBRÁICAS
23
El espacio cociente G/H. Dado un subgrupo H del grupo G, el conjunto de
los subconjuntos gH := {gh : h ∈ H, g ∈ G} de G se denota como G/H. El
espacio cociente es un grupo con respecto a la operación g1 H · g2 H = (g1 ◦ g2 )H
si y sólo si H es normal, es decir, si Hg = gH para cada g en G (en donde
Hg := {hg : h ∈ H, g ∈ G}).
K es un conjunto de generadores del grupo G, si el subgrupo más pequeño de G que contiene a K es G mismo.
Homorfismos de grupos
1
−1
i
−i
j
−j
k
−k
1
1
−1
i
−i
j
−j
k
−k
−1
−1
1
−i
i
−j
j
−k
k
i
i
−i
−1
1
−k
k
j
−j
−i
−i
i
1
−1
k
−k
−j
j
j
j
−j
k
−k
−1
1
−i
i
−j
−j
j
−k
k
1
−1
i
−i
k
k
−k
−j
j
i
−i
−1
1
−k
−k
k
j
−j
−i
i
1
−1
Tabla 4: La tabla de los cuaterniones
0.5.2.
Anillos
Un anillo (A, +, ·) es un conjunto de elementos A junto con 2 operaciones
“+” y “·” en donde:
i) (A, +) es un grupo abeliano. (Denote el módulo con 0).
ii) (A, ·) es un semigrupo.
24
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
iii) la operación · distribuye con respecto a la operación +, vale decir que,
∀a, b, c ∈ A : a · (b + c) = (a · b) + (a · c) y (b + c) · a = (c · a) + (c · a)
A es un anillo conmutativo si la operación “·” es conmutativa.
A es un anillo con unidad si (A, ·) es un monoide, es decir, si existe un
elemento identidad (denote este elemento identidad con 1) para la operación
“·”; éste se conoce como módulo multiplicativo. (0 es el módulo aditivo.)
r ∈ A es un divisor de cero, si ∃r, s ∈ A, r , 0, s , 0, r · s = 0
Ejercicio. Muestre que el anillo /0, N − 1/ con respecto a las operaciones de
suma y producto módulo-N, tiene divisores de cero si y sólo si N no es primo.
Un dominio de enteros (“ integer domain”) es un anillo conmutativo, que no
tiene divisores de cero.
Ejemplo. El conjunto de los números enteros con respecto a las operaciones
usuales de suma y producto, es un dominio de enteros.
Ejercicio. Dé un ejemplo de un dominio de enteros finito.
Un anillo de división es un anillo (A, +, ·) donde (A − {0}, ·) es un grupo.
Ejercicio. ¿Es todo anillo de división finito conmutativo?
Un cuerpo (“field”)es un anillo de división conmutativo.
Ejercicio. Todo dominio de enteros finito es un cuerpo
Un anillo de división no conmutativo se conoce como un cuerpo torcido
(“skew field”).
Ejercicio. Demuestre que cada dominio de enteros finito es un cuerpo.
0.5. ESTRUCTURAS ALGEBRÁICAS
25
IDEALES
Cuando se tiene una relación de equivalencia tipo módulo-N entre los
elementos de un anillo A, denotamos la clase de equivalencia que contiene al
cero (módulo aditivo) como la clase NA. Al escoger un elemento e cada una
de las clases de equivalencia obtenemos otro anillo, que denotamos A/NA.
Ideales y Cocientes de anillos
Sea (A, +, ·) un anillo. Sea BCA tal que (B, +) es un grupo. y ∀a ∈ A, ∀b ∈
B, ab ∈ Byba ∈ B. Decimos entonces que B es un ideal del anillo A, si en el
espacio cociente (A, +)/(B, +) = a + B : a ∈ A..... que la operación (a1 + B)(a2 +
B) := a1 a2 + B resulta un anillo que llaman el cociente de anillos A/B.
Homorfismos de anillos
0.5.3.
Espacio vectorial
Un espacio vectorial (V, ⊕, K, +, ⊗, ·) lo costituyen un grupo abeliano (V, ⊕)(de
“vectores”), con módulo 0 y un cuerpo (K, +, ⊗) (de “escalares”), con módulo
aditivo 0, normalmente, el origen (0 o módulo aditivo) de los espacios vectoriales lo representaremos con la letra griega teta: θ. Para R5 , θ = [0, 0, 0, 0, 0], y
módulo multiplicativo 1, en donde, para cada α, β ∈ K y casa v, w ∈ V, se tiene
que:
i) Hay un elemento en V que se expresa α · v(· : K × V)
ii) α · (v ⊕ w) = (α · v) ⊕ (α · w)
iii) (α + β) · v = (α · v) ⊕ (β · v)
iv) α · (β · v) = (α ⊗ β) · v
vi) 1 · v = v
26
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
Ejercicio. Demuestre que 0 · v = 0
Ejercicio. Demuestre la base de un espacio vectorial, si la dimensión de un
espacio es finita...
0.5.4.
Matrices y Determinantes
si se tienen espacios vectoriales V, W con vases finitas {e1 , e2 , . . . , en } y { f1 , . . . , fm }.
Sea T una tranformación lineal de V a W. Sean:
X
V(ei ) =
αi j fi i ∈ [1, n], j ∈ [1, m]
j
α11 α12 . . . α1m
α21 α22 . . . α2m
de escalares de W le decimos una
αij tales que el arreglo .
..
αn1 αn2 . . . αnm
matriz.
Note si p = {1, ..., m} → {1, ..., m} es una permutación, entonces podemos
Q
hablar de producto m
i=1 αi , p(i), definimos el determinante de la matriz como:
X
Y
detM =
(−1)q(p)
αip(i)
permutacionesp
(hay m! permutaciones) donde q(p) es el signo de la permutación (+ si es par
y − se es impar).
0.5.5.
Homomorfismos
Cuando se tiene una función, cuyo dominio y rango cuentan con alguna
estructura algebráica y ésta es respetada por la función, se dice que se tiene un
homomorfismo si la función es una biyección, se dice que los espacios dominio
y rango, son algebraicamente equivalentes o que son isomorfos.
0.6. LOS NÚMEROS NATURALES
27
Por ejemplo, si (A, +) y (B, ·) son semigrupos, W es una función de A en B
y ∀a, b ∈ A W(a + b) = W(a) · W(b), entonces A y B son homomórficos y W es
un homomorfismo.
Terminología de “vectores” y de “escalares” se originó con Hamilton, cuando hizo los estudios que culminaron con la definición de los cuaternios. Si
recordamos la fórmula del producto de cuaternios:
(a1 + bi + cj + dk)(α1 + βi + γj + δk) =
(aα − bβ − cγ − dδ)1 + (aβ + bα + cδ − dγ)i + (aγ − bδ + cα + dβ)j + (aδ + vγ − cβ + dα)k
tenemos que el producto (bi + cj + dk)(βi + γj + δk) esta dado por
(−bβ − cγ − dδ)1 + (cδ − dγ)i + (−bδ + dβ)j + (bγ − cβ)k
y su parte escalar es (−bβ − cγ − dδ), mientas que la parte vectorial es (cδ − dγ)i +
(−bδ + dβ)j + (bγ − cβ)k, compare con: [b, c, d] = [β, γ, δ] y [b, c, d] × [β, γ, δ].
0.6.
Los Números Naturales
Aunque todos tenemos una idea intuitiva de los números naturales, ellos
se pueden definir axiomáticamente, con base en la teoría de conjuntos.
Los números naturales se pueden definir en forma inductiva, así: Sea N el
conjunto que:
i) contiene al conjunto vacío como elemento: ∅ ∈ N.
ii) si x ∈ N, entonces x ∪ {x} ∈ N.
Nota. x ∪ {x} se conoce como el sucesor de x y lo denotamos S(x).
iii) ∀x ∈ N S(x) , φ.
28
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
iv) El único elemento de N que no es el sucesor de algún elemento de N es
φ.
v) ∀x, y ∈ N
n , y ⇒ S(x) , S(y).
Ejercicio. Demuestre las propiedades iii y v a partir de los axiomas de la teoría
de conjuntos.
A los elementos de N los llamamos números naturales. Así, los siguientes
4 conjuntos son números naturales: {}, {{}}, {{}, {{}}}, {{}, {{}}, {{}, {{}}}} y los denotamos:
0 := ∅ = {}
1 := {∅} = {{}}
2 := {0, 1} = {{}, {{}}}
3 := {0, 1, 2} = {{}, {{}}, {{}, {{}}}} note que S(n) = {0, 1, 2, . . . , n}
Nota. El conjunto de los subconjuntos que acabamos de definir tiene la propiedad
de que si un elemento es subconjunto de otro, también es elemento. Por esta
razón la relación ∈ para los elementos de N nos da una relación transitiva. Peano
5
fue el primero en dar una definición axiomática de los números naturales.
Los axiomas de Peano se pueden expresar así:
1) 0 ∈ N
2) si n ∈ N entonces S(n) ∈ N (Cada elemento tiene sucesor)
3) ∀n ∈ N
S(n) , 0 (Cero no es sucesor de nadie)
4) ∀n, m ∈ N n , m implica S(n) , S(m) (Elementos diferentes tienen
sucesores diferentes)
5 Giuseppe
Peano (1858,1932), fue un matemático italiano reconocido por sus aportes a la axiomatización de la matemáticas, entre los que se destacan axiomas para el conjunto de los números
enteros y sobre la estructura de un espacio vectorial, también la definición del concepto de aplicación lineal.
0.6. LOS NÚMEROS NATURALES
29
5) Si P es una propiedad del elemento 0 y el sucesor de cada elemento con
la propiedad tiene la propiedad, entonces cada elemento de N tiene la
propiedad. (Principio de inducción)
Ejercicio. m, n ∈ N ⇒ m ∩ n = m o m ∩ n = n
[[conceptodevariable]]
[[conceptodex ← y]]
[[algoritmo]]
[[Operaciones!mveces; porcadalementodemcalculeS(n)m0 ← m0 −1; m0 = 0?; n0 ←
S(n0 )]]
[[n̄ ← n; ∀i ∈ m; n̄ ← S(n̄)]]
0.6.1.
Orden lineal para N
La relación “ser subconjunto de” determina una relación de orden lineal
entre los elementos de N. Por ejemplo, 7 ⊃ 5 y 1 ⊃ 0.
Además, podemos definir el elemento máximo y el mínimo de dos números
así: máx(m, n) = m ∪ n y mı́n(m, n) = m ∩ n.
Ejemplo. El máximo de 3, 7, y 10 es 3 ∪ 7 ∪ 10
{0, 1, 2} ∪ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} ∪ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} = 10
Ejercicio. Muestre que N no tiene cota superior.
Ejercicio. Muestre que cada subconjunto no vacío de N tiene un mínimo.
Ejercicio. ¿Es (N, +) un grupo?
Ejercicio. ¿Es (N, ·) un monoide?
30
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
0.6.2.
Divisor y múltiplo
El número natural m es un divisor del número natural n si, para algún
número natural k, n = km. Escribimos m | n. Decimos que n es un múltiplo de
m.
0.6.3.
Números Primos
El número natural p es un número primo si sus únicos divisores son 1 y p.
0.6.4.
Factor
El número natural f es un factor del número natural n si:
i. f |n
ii. f es una potencia de un número primo: f = pk , con p prima y k entera.
iii. pk+1 = p f no divide a n.
Factorización única de los números naturales Muestre que la factorización en números
primos de cada número natural n, n = pk1 pk2 · · · pkt , p1 < p2 < · · · < pt es única.
(Gauss)
[[Elaborar]]
Ejercicio. Muestre que hay infinitos números primos.
0.6.5.
Máximo común divisor, mínimo común múltiplo
Sean m y n números naturales. Si el número natural d divide a m y a n y
ningún natural D con D > d, divide a m y a n, decimos que d es el máximo
común divisor de m y n. Escribimos d = [m, n]. También, si C es un múltiplo
de m y de n y ningún natural menor que C es múltiplo de m y de n, decimos
que C es el mínimo común múltiplo de m y n. Escribimos C = (m, n)
0.6. LOS NÚMEROS NATURALES
31
Ejercicio. Muestre que mn = [m, n](m, n)
Como dijimos al comienzo del capítulo, el uso de números es fundamental
en la labor de ingeniería. Aunque un amplificador sea desde cierto punto de
vista simplemente una estructura sólida en silicio, su diseño es impensable sin
el uso de números.
Definición 5. a y b son primos relativos si [a, b] = 1
0.6.6.
Conjuntos contables y no contables
Se dice que un conjunto A es finito si hay una inyección de A a un número
natural N.
Se dice que un conjunto A es contable (o enumerable) si existe una inyección
de A al conjunto N de los números naturales. note que según esta definición,
un conjunto finito es contable.
Ejemplo. El conjunto de los números naturales pares es contable.
Figura 12: Una inyección del conjunto de los números pares al conjunto de los números naturales
Ejercicio. Muestre que todo subconjunto finito de N tiene un máximo.
Ejercicio. Muestre que N no es finito.
32
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
Ejercicio. Diga si el conjunto de los naturales es contable. Explique.
Ejercicio. Muestre que si A es un conjunto contable infinito, entonces hay una
biyección de N a A.
0.6.7.
Conteos
Una biyección de N a un conjunto A se conoce como un conteo de A.
0.6.8.
Cardinalidad
Es una función de el “conjunto de los conjuntos” a N ∪ {contable infinito,
no contable}
Figura 13: Clasificación de conjuntos según su cardinalidad
0.7.
Los Números Enteros Z
Probablemente la humanidad haya hecho uso de los números enteros por
primera vez para llevar la contabilidad de los préstamos de dinero. Los antiguos prestamistas probablemente usaron colores diferentes para diferenciar los
números positivos (¿negro?) de los negativos (¿rojo?). Se dice que en algunos
casos se usaba como tinta en el pergamino del prestamista la sangre del deudor.
0.7. LOS NÚMEROS ENTEROS Z
33
El conjunto de los números enteros se puede definir en la siguiente forma;
inicialmente consideramos el conjunto {(x, y) : x ∈ {0, 1}, y ∈ N − {0}} = {0, 1} ×
N − {0}, en donde tenemos dos copias de los números naturales; una de los
enteros de la forma (0, n) que llamamos positivos, y la otra de enteros no
positivos (1, n); luego, identificamos los elementos (0, 0) y (1, 0), de tal forma
que sólo haya un cero entero que, sin embargo, no tendrá signo. Formalmente,
definimos el conjunto de los números enteros así:
Z = {(0, y) : y ∈ N} ∪ (1, y) : y ∈ N} ∪ {θ}
donde θ = {(0, 0), (1, 0)}. Esta definición y la notación que comúnmente usamos
para los números enteros se relacionan así:
“+n”=“n”= (0, n), n > 0, (números positivos)
“−n”= (1, n), n < 0, (números negativos)
“0”= θ.
Por convención, el número entero cero θ no es ni positivo, ni negativo.
Esta convención la mantendremos para el cero racional y para el cero real.
Similarmente, en el caso de los números complejos resulta contraproducente
definirle ángulo al origen del plano complejo, o cero complejo, y para usar
una sola convención en todos los casos hemos decidido no definir signo para
el cero en ningún caso.(A diferencia de la convención adoptada aquí, algunos matemáticos
usan la convención que el cero es negativo y positivo)
Ejercicio. Muestre que Z es contable.
0.7.1.
La relación de orden lineal entre los números enteros
La relación de “menor o igual que” entre los números enteros x = (x1 , x2 ) y
y = (y1 , y2 ), está dada por el conjunto {((x1 , x2 )(y1 , y2 )) : x1 = 1 ∧ y1 = 0 o x1 =
1 ∧ y1 = 1 ∧ y2 ≤ x2 o x1 = 0 ∧ y1 = 0 ∧ x2 ≤ y2 }
Aunque los números enteros se pueden contar, no se pueden contar manteniendo este orden lineal. (¿Por qué?)
34
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
Ejercicio. Muestre que aunque los enteros son contables, no se pueden contar
manteniendo el orden lineal definido. Es decir, para cada conteo b : N → Z,
para algún natural n, b(n + 1) < b(n) y para algún natural m, b(m + 1) > b(m).
0.7.2.
Intervalos enteros
El intervalo entero /n, m/, donde n y m son números enteros, es el conjunto de números enteros mayores o iguales que n y menores o iguales que
m.
Ejemplo. /5, 9/ = {5, 6, 7, 8, 9}
Ejemplo. /9, 5/ = ∅
Ejercicio. Muestre que (Z, +, ·) es un grupo.
Ejercicio. ¿Es (Z, +, ·) un anillo?.
0.7.3.
Algoritmo de la división
El algoritmo de la división dice que, dado un número entero a y el
número natural positivo N, hay números enteros únicos c (el cociente) y r (el
residuo), con 0 ≤ r < N, tales que:
a = cN + r. Escribimos r = JaKN y leemos “a módulo N”.
Ejemplo. J5K3 = 2,
J−1K3 = 2
Ejercicio. Demuestre el algoritmo de la división.
[[algoritmo de Euclides]]
0.8. LOS NÚMEROS RACIONALES Q
0.7.4.
35
Congruencias módulo N
K.F. Gauss6 fue tal vez la persona que reconoció por primera vez la utilidad
y la generalidad de este tipo de relación.
Considere el conjunto Z de los números enteros; sean m y n números enteros
y sea N un entero positivo; se dice que los números m y n son congruentes
módulo N, si su diferencia es un múltiplo entero de N, es decir, si ∃ r ∈ Z m −
n = rN.
Ejercicio. Muestre que la relación de congruencia módulos 3 es una relación de
equivalencia. ¿Cuál es la clase de equivalencia [2], del número 2, con respecto
a la relación de equivalencia congruencia módulo 3?
Ejercicio. Sean m, n, c1 , c2 , r1 , r2 números enteros tales que: m = 3c1 + r1 ,
0≤
r1 < 3 y n = 3c1 + 21 , 0 ≤ r2 < 3. Note que | r1 − r2 |< 3 y muestre que: hay
una k entera tal que m − n = 3k, si y solo si r1 = r2
Ejercicio. Muestre que los números enteros m y n son congruentes módulo N
si y sólo si los residuos (según el algoritmo de la división) al dividirlos por N
son iguales.
Ejercicio. Muestre que si m es congruente con n, módulo N, y que si a es
congruente con b, módulo N, entonces m + a es congruente con n + b, modN .
Ejercicio. Muestre que si m es congruente con n, módulo N, y que si a es
congruente con b, módulo N, entonces ma es congruente con nb, modN .
0.8.
Los Números Racionales Q
El término razón tiene entre otros sentidos los de proporción y de explicación así también los términos griego λoγoσ y el latino ratio. La relación entre
6 Carl
Friedrich Gauss (1777-1855) Matemático alemán en su tesis doctoral demostró el teorema
fundamental del algebra e hizo grandes contribuciones en astronomía y física.
36
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
dos números es un concepto al que los pitagóricos dieron gran importancia y
lo que inicialmente tenía como sentido razón de ser, pasó a tener también en de
cociente. Así, en número racional es una relación entre dos enteros. El término racional tiene pues los dos sentidos mencionados anteriormente desde el
nacimiento de la cultura occidental, y no es raro que la implicación del teorema
de Pitágoras de la existencia de longitudes irracionales, o inconmensurables,
fuera causa de incomodidad.
El conjunto de los números racionales es el tercer conjunto de números
que definimos. Como veremos, también es un conjunto contable (lo cual podría sorprendernos inicialmente). Desde ciertos puntos de vista, es similar al
conjunto de los números reales que definiremos en la siguiente sección; sin
embargo, los racionales con respecto a los reales adolecen de ciertas fallas geométrica, topológica, algebráica y analítica. Sin embargo, en su definición, son
más intuitivos que los reales.
Ejercicio. Encuentre un conteo del conjunto Z × Z
Considere el producto cartesiano Z × (N − {0}) del conjunto de los números
enteros y el conjunto de los números naturales con excepción del cero. Considere allí la relación ≡ determinada por (x, y) ≡ (n, m) si y solo si xm = yn.
Ejercicio. Demuestre que la relación ≡, acabada de definir es efectivamente
una relación de equivalencia entre los elementos del conjunto Z × (N − {0}).
Con la notación usual, el elemento (x, y) de Z × (N − {0}) es la fracción
No queremos, sin embargo, definir el conjunto de los números naturales
como Z × (N − {0}) porque tendríamos representaciones múltiples para un
mismo número racional (por ejemplo (1, 2) ≡ (2, 4)). Adoptamos la siguiente
definición.
x
y.
Γn
[[n + m =i ∈ m= n ∪ S(n) ∪ S(S(n)) ∪ . . .]]
|
{z
}
mveces
0.8. LOS NÚMEROS RACIONALES Q
37
Definición 6. Con base en la relación de equivalencia dada, el conjunto Q de los
números racionales está dado por las clases de equivalencia resultantes de la relación
≡ en Z × (N − {0}). En símbolos, Q = {[(x, y)] : x ∈ Z ∧ y ∈ (N − {0})}
Así, cada número racional es una clase de equivalencia, un subconjunto de
Z × (N − {0}). Las líneas de la figura 14 indican estas clases de equivalencia.
Figura 14: Cada línea representa un número racional
p
Ejemplo. El conjunto B = { q ∈ Z :
p2
q
< 2} es acotado superiormente pero no
tiene suprémum.
p
CASO 1. Si ( q )2 < 2 entonces existe un número entero δ tal que,
2
p 2 p + ( 1δ )
< 2
( ) <
q
q
entonces x =
pδ−1
qδ
>
p
q
y x ∈ B. Como,
2
!2
p + ( 1δ )
p
=
+
q
q
2p
δ
+
q2
y queremos
(p + 1δ )
q2
−
p2
p2
<2− 2
2
q
q
1
δ2
38
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
por lo que necesitamos
2p
δ
+
1
δ2
q2
de donde
p2
q2
<2−
2p
1
+ 2 < 2q2 − p2
δ
δ
2pδ + 1 < (2q2 − p2 )δ2
la anterior tiene solución para un valor de δ suficientemente grande, 14δ+1 < δ2
p
1
(e.g. q = 75 y 1δ = 15
)
p 2
CASO 2. Si ( q ) > 2, decimos que existe un número entero δ tal que,
2
p + ( 1δ )
p2
<
2 <
q
q2
entonces x =
pδ−1
q
es el infímum de B. Como,
p −
q
1 2
δ
p2
= 2 −
q
2p
δ
−
1
δ
q2
y queremos
p2 p −
−
q2 q
1 2
δ
p2
< 2 − 2
q
por lo que necesitamos
2p
δ
−
q2
1
δ2
<
p2
−2
q2
2pδ − 1 < δ2 (p2 − 2q2 )
la anterior tiene solución para un valor de δ suficientemente grande, 284δ − 1 <
p
1
1
164δ2 (e.g. q = 142
100 y δ = 2 )
0.8. LOS NÚMEROS RACIONALES Q
0.8.1.
39
Relación de orden lineal para los números racionales
Decimos que el número racional [(x, y)] es menor o igual que el número
racional [(m, n)], o que [(x, y)] ≤ [(m, n)] si,
1. 0 ≤ m y x ≤ 0
2. x ≥ 0, m ≥ 0, xn ≤ ym
3. x ≤ 0, m ≤ 0, ym ≤ xn
Note que este orden se puede interpretar con base en el dibujo de la figura
a14. Si una línea q está después que otra p moviéndose en sentido horario, el
número q es menor que el número p. Note que dadas dos líneas p y q, se puede
encontrar un punto de Z × (N − {0}) entre las dos líneas (entre dos racionales
siempre hay otro racional) y por lo tanto, hay otra línea que contiene el punto
mencionado y que está entre p y q según el orden definido.
Ejercicio. Dados los números racionales p y q, encuentre un número racional r
entre p y q tal que mı́n(p, q) < r < máx(p, q).
Ejercicio. Muestre que hay conjuntos de racionales con cota superior pero sin
cota superior mínima.
Ejercicio. ¿Es Z2 contable? (sugerencia: considere un camino en espiral que
parte del origen)
Ejercicio. ¿Es Z × (N − {0}) contable?
Ejercicio. ¿Es Q contable?
Como se puede mostrar, el conjunto de los números racionales es contable;
sin embargo, no se puede contar manteniendo el orden lineal definido, ¿por
qué? ¿cómo se puede contar?
40
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
Ejercicio. Muestre que si c : N → Q es una biyección, hay racionales p, q con
p ≤ q, tales que c(q) ≤ c(p).
Ejercicio. Muestre que (Q, +, ·) es un cuerpo.
0.8.2.
Fallas geométricas y algebráicas de los racionales
Como se descubrió en la Grecia antigua, si la geometría Euclídea es válida,
entonces el conjunto de los números racionales es insuficiente como modelo
para longitudes. Considere el triangulo mostrado en la figura 15 ¿es cierto que
los tres lados son conmensurables? La pregunta la podemos expresar así: ¿si
dos de las longitudes son números racionales, es la tercera racional también?
¿Hay una unidad de longitud d, no importa que tan pequeña, que nos permita expresar las longitudes de los tres lados como múltiplos enteros de esta
unidad? La pregunta probablemente se la hicieron los griegos antiguos por
primera vez, con muchas otras, y para su sorpresa encontraron que en muchos
casos, por ejemplo si el triangulo es rectángulo isósceles, los lados no son conmensurables. El hecho de que todo no sea “proporcionable” fue fuente de una
sensación de malestar inmensa entre algunos pitagóricos quienes trataron de
mantener secreto este hecho.
Figura 15: Un triángulo rectángulo: si x = y y l es una unidad de longitud tal que x = nl y y = nl
con m, n ∈ Z, para ninguna p ∈ Z se tiene que n = pl
Por lo tanto, si quisiéramos mantener la hipótesis de la conmensurabilidad
tendríamos que negar la existencia de ciertos triángulos rectángulos, en par-
0.8. LOS NÚMEROS RACIONALES Q
41
ticular de triángulos rectángulos isósceles. Esta es una falla geométrica de los
racionales.
Ejemplo. Un falla algebráica es que x2 = 2 no tiene solución en los racionales.
Ejercicio. Demuestre que no existe ningún número racional q tal que qq = 2.
Tenemos entonces que no hay ningún número racional q tal que qq = 2.
Ésta es una falla algebráica de los racionales: no son cerrados con respecto a la
toma de raíces cuadradas (otra falla algebráica que heredan de los reales es la
no solución de q2 = −1).
0.8.3.
Fallas topológicas de los racionales
A continuación mostramos que los racionales presentan también una falla
topológica. Esta consiste en la existencia de colecciones contables de intervalos
de racionales, cerrados y encajonados, cuya intersección es nula: decimos que
Q tiene huecos.
Un intervalo cerrado de racionales [a, b] está dado por el conjunto de los
números racionales menores o iguales que el racional b y mayores o iguales
que el racional a. El intervalo de racionales [a, b] es no vacío si y sólo si a ≤ b.
Considere el intervalo (de racionales) I0 = [a0 , b0 ] = [0, 1]; el conjunto de los
racionales es contable y por lo tanto también lo es el intervalo de racionales
[0, 1]. Sea {rn } un conteo de los racionales entre 0 y 1. Luego encontramos el
subintervalo [a0 , b1 ] de I0 , donde b1 es la rm con mínima m tal que a0 < rm < b1 .
Luego encontramos el intervalo [a1 , b1 ] donde a1 es la rm con mínima m tal
que a0 < rm < b0 . Continuamos de la misma manera: a partir del intervalo
[an , bn ] encontramos el intervalo [an , bn+1 ] con bn+1 = rm con m mínima tal que
an < rm < bn (entre dos racionales siempre hay otro racional)luego, [an+1 , bn+1 ]
donde an+1 = rm , m mínima tal que a0 < rm < b1 . Así definimos una colección
contable {Ik : k ∈ N}, decreciente Ik+1 ⊂ Ik , de intervalos de racionales no
42
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
vacíos. La colección resultante tiene intersección vacía, ya que si existiera una
S
q ∈ k ∈ NIk , q = rl para alguna l ∈ N, pero por construcción rl < Il y tenemos
una contradicción.
Decimos entonces que el conjunto de los números racionales tiene huecos
(es decir, hay subconjuntos acotados de Q que no tienen suprémum racional).
Note cómo la existencia de huecos es consecuencia de la contabilidad de Q.
Más adelante veremos que los racionales tienen otra falla, esta vez analítica: hay sucesiones de racionales que tienden a agruparse cada vez más (estas
sucesiones se conocen como sucesiones de Cauchy) y sin embargo no convergen. Es interesante que estas fallas, excepto una de las algebráicas, quedan
resueltas en los reales, que Dedekind7 definió usando ciertas particiones de
Q y Cauchy8 definió usando ciertas clases de equivalencia de sucesiones de
racionales.
Ejemplo. A = {k ∈ Q : k = 1 − n1 , n ∈ Q} es un conjunto acotado con suprémum.
0.8.4.
Cortes de Dedekind
Habiendo definido los conjuntos de los números naturales, los números
enteros y los números racionales, ¿Cómo definir los números reales? ¿Cómo
darles carta de ciudadanía a estos huecos de los racionales? Desde la época de
Pitágoras, de alguna forma se usan, sin haber sido definidos, estos números
que llamamos “reales” debido a que inicialmente a los número complejos se les
llamó “imaginarios” porque no se les podía visualizar, y así el nombre resultó
por oposición.
7 Willian Dedekind (1831-1916) Matemático Alemán alumno de Gauss, es reconocido por desarrollar la idea de que los números racionales y los irracionales forman un continuo: los número
reales. Cada número irracional divide el conjunto de los números racionales de manera particular.
8 Auguste Louis Cauchy (1789-1857) Matemática francés es reconocido por su trabajo en el análisis
y en teoría de permutación de grupos. Trabajó en convergencia y divergencia de series infinitas,
ecuaciones diferenciales y física matemática, entre otros.
0.8. LOS NÚMEROS RACIONALES Q
43
A mediados del siglo XIX se sintió una necesidad de rigor, por ejemplo al
hablar de límite; hubo un renacimiento de la importancia de la lógica en las
matemáticas, y se empezó axiomatizando el conjunto de los números naturales.
A partir de los Axiomas de Peano, de las ideas de Frege y Russell9 y de la
teoría de conjuntos, se dieron definiciones para los diferentes tipos de número.
Riemann10 y Weierstrass11 dieron definiciones de integral y de límite. Quizás
la definición más difícil de dar fue la de los números reales. Así a finales del
siglo XIX la pregunta era muy pertinente pero la respuesta no era nada obvia.
Richard Dedekind, un matemático alemán amigo de Riemann, dio la primera
definición axiomática de los número reales. El concepto básico de su idea es
un corte.
Un corte de Dedekind es una partición Q = k ∪ l ∪ m del conjunto de los
números racionales donde k y m no son vacíos y l es un conjunto unitario o
vacío, tal que, para cada k ∈ k, l ∈ l, m ∈ m, se tiene que k < m y, si l no es vacío,
k < l < m; además, ni k tiene máximo (racional) ni m tiene mínimo (racional).
Un corte de Dedekind es una forma de partir el conjunto de los racionales (osea
expresar como una partición).
Ejemplo. {q ∈ Q : q2 < 2 ∨ q < 0} ∪ ∅ ∪ {q ∈ Q : q2 > 2 ∨ q > 0} es un corte de
Dedekind. Este corte se usa para definir el número real raíz de dos, en la sección
siguiente.
Ejemplo. {q ∈ Q : q < 3}∪{3}∪{q ∈ Q : q > 3}. También es un corte de Dedekind.
(Este corte se usa para definir el número real 3, en la sección siguiente)
Algunos matemáticos abrevian y dicen que un corte de Dedekind es sólo
9 Bertrand
Russell (1872-1970) Matemático y filósofo inglés se le conoce como el fundador de la
lógica moderna.
10 Georg Riemann (1826-1866) Matemático alemán conocido por sus desarrollos en geometría no
euclídea, teoría analítica de números y por sentar las bases para la topología moderna.
11 Karl Weierstrass (1815-1897) Matemático alemán tutor de Cantor y Engel entre otros. Aunque
no publicó ningún artículo, sí escribió 3.
44
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
la componente k del corte formalmente definido anteriormente. La razón es
que la componente k determina unívocamente el corte y así es una cómoda
forma de abreviar. Además el énfasis al hablar de corte pasa, de ser una forma
de partir los racionales, a ser un conjunto de racionales.
0.9.
Topología
Definición 7. La clausura de un conjunto está dada por A ∪ Aa l donde Aa l es el
conjunto de los puntos de acumulaciòn de A
Definición 8. Un subconjunto X de un conjunto Y es denso si X̄ = Y
Definición 9. Un conjunto X es denso en ninguna parte si para ningún intervalo I,
I ∩ X es denso en I.
Una base para un espacio topológico es una colección de conjuntos abiertos
tal que cada conjunto abierto en el espacio es una unión de elementos de la
base.
Aac : Conjunto de los polos de acumulación de A.
Suponga que |Aac | ≤ 1 entonces A es contable y denso en ninguna parte.
Ejercicio. Suponga que (Aac )ac = ∅. 1) Cubra Aac con intervaloos disyuntos que
incluyen cada uno exactamente un punto de Aac . Resulta una unión contable
de contables que es contable.
Tenemos un teorema: Si en un espacio topológico con base contable el
conjunto de puntos de acumulación de un conjunto A no tiene puntos de
acumulación, A es contable.
0.9.1.
Topología estándar para números reales R
Es la que resulta al considerar como base el conjunto de los intervalos
abiertos. Note que los intervalos abiertos de la línea (p,q), p,q ∈ Q también dan
0.10. LOS NÚMEROS REALES R1
45
una base, que es contable.
Teorema: Un subconjunto A de R con (Aa l)a l = ∅ se puede expresar como
una sucesión sn consn ≤ sn+1
Demostración. Ordene los intervalos que lo cubran.
0.10.
Los Números Reales R1
Podemos decir que tanto R como Q son modelos de longitudes bastante
aceptables. La relación entre estos modelos y la realidad está dada por la intuición. Los racionales son un modelo que no nos permite tener triángulos
rectángulos isósceles. Los reales, por otra parte, predicen longitudes y duraciones que no podemos medir en el laboratorio. El modelar magnitudes físicas
con los números reales no cuadra entonces dentro del positivismo lógico, defendido por Mach.
Tanto los ingenieros como los físicos dicen que usan el conjunto de los
números reales, o un intervalo de éstos como modelo para ciertas magnitudes tales como el tiempo, el voltaje, la temperatura, etc. En realidad se trata
de un modelo intuitivo que sólo en parte usa las propiedades matemáticas
de los números reales. Comúnmente, tal modelo no es exactamente lo que
los matemáticos entienden por números reales; por ejemplo, ¿tiene sentido
diferenciar una coordenada de tiempo, o un valor de voltaje, racional de uno
irracional? Es claro que ningún instrumento tiene tal precisión; además, es
posible que no tenga sentido hablar de intervalos de tiempo, o de longitudes
arbitrariamente pequeños (ni arbitrariamente grandes). Así, actualmente hay
una situación de compromiso: la física usa un modelo que no tiene base experimental, porque no hay nada mejor.
El teorema de Pitágoras nos permite argumentar que los números racionales
no son suficientes para modelar longitudes, si es que los triángulos rectángulos isósceles van a existir. La física cuántica ha mostrado que los números
46
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
reales probablemente tampoco son adecuados (¿quizás los conjuntos difusos?).
Comúnmente, ni el ingeniero ni el físico se preocupan por tales consideraciones; ellos trabajan con un modelo, en parte intuitivo y en parte axiomático,
de la línea de los números reales.
Veamos a continuación el modelo axiomático de los números reales, que ya
esbozamos en la sección anterior, desarrollado por R. Dedekind y G. Cantor.
Definición 10. Cada corte de Dedekind k ∪ l ∪ m se denomina un número real. R1
es el conjunto de los números reales. R1 hereda a Q: para cada elemento r de Q, tenemos
el corte: {q ∈ Q : q < r} ∪ {r} ∪ {q ∈ Q : q > r} y el número real correspondiente
{q ∈ Q : q < r}. Los cortes para los que la componente l del corte es vacía, determinan
un número real que no tiene correspondiente racional. Por ejemplo, el número real “raíz
de dos” corresponde al corte {q ∈ Q : q2 < 2 ∨ q < 0} ∪ ∅ ∪ {q ∈ Q : q2 > 2 ∨ q > 0}
y está dado por el conjunto de racionales {q ∈ Q : q ≤ 0, ∨q2 < 2}
Así un número real es un subconjunto propio (quizás “subconjunto propiamente dicho” sea una mejor traducción de proper set) y no vacío de racionales,
con las propiedades de no tener máximo y de que, para cada elemento q del
subconjunto, cada racional menor que q también es elemento.
Teorema de Arquímedes
Si q ∈ Q, q > 0. Entonces ∃n ∈ N, n > 0 : 0 ≤
Demostración:
q=
1
n
<q
k
⇒n=l
l
El teorema de Arquímedes:
∀x ∈ R : x > 0, ∃n ∈ N : n > 0 ⇒ 0 <
Ejercicio. Demuestre el teorema de Arquímedes.
1
<x
n
0.10. LOS NÚMEROS REALES R1
47
Proposición
Entre 2 reales s y r hay un racional q:
Por teorema de Arquímedes:
∃
1
1
rn + 1
1
< s − r(s > r) ⇒ r < + r < s : q = + r =
n
n
n
n
0.10.1.
Aproximación de reales con racionales
0.10.2.
Aproximación de ū con racionales
0.10.3.
Relación de orden lineal
La relación “ser subconjunto de” sobre los reales así definidos como subconjunto de racionales provee una relación de orden lineal para los números
reales.
Ejercicio. Muestre que la relación ser subconjunto de, es un orden lineal para
R
Por ejemplo, note que {q ∈ Q : q ≤ 0, ∨, q2 < 2} es subconjunto de {q ∈
Q : q < 3}, correspondientemente decimos que el número real raíz de dos es
menor o igual que el número real tres. Si se tiene un conjunto de números
reales, la unión de los conjuntos racionales correspondientes es también un
número real, y corresponde al máximo; la intersección al mínimo.
Ejercicio. Sea A un conjunto de números reales. Muestre que su unión es un
número real, o Q. Similarmente muestre que su intersección es o un número
real o vacía.
Podemos también definir un conjunto de reales extendido agregando al
conjunto de reales los subconjuntos Q y { }. Nuevamente tenemos un conjunto
linealmente ordenado por la relación ser subconjunto de. En este contexto,
48
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
llamamos a Q infinito y a { } menos infinito; los denotamos −∞ y +∞, respectivamente. Recuerde que ni +∞ (osea Q) ni −∞ (osea vacío) son números reales,
son números reales extendidos. El conjunto de los números reales junto con
las operaciones de suma y resta (R, +, ·) es un cuerpo (ver sección 0.5).
Ejercicio. Muestre que si A es un conjunto de reales con cota superior, entonces
la unión de los cortes correspondientes es un número real, y es el suprémum
de A.
Ejercicio. ¿Cómo define la suma y el producto de reales, considerados como
subconjuntos de racionales? Asuma que ya se definieron la suma y la resta de
racionales.
Ejercicio. ¿Es R1 contable? Sugerencia: muestre primero que los reales no
tienen huecos y recuerde que la existencia de huecos en los racionales se
mostró basándonos en que son contables.
Ejercicio. Muestre que cada sucesión de intervalos cerrados encajonados de
reales tiene intersección no vacía. (De hecho, que hay uno y sólo un punto en
tal intersección.)
0.10.4.
Congruencia entre números reales
El concepto de congruencias módulo N se puede generalizar así: sean x, y, z
números reales. Decimos que x y y son congruentes módulo z, si su diferencia
es un múltiplo entero de z, osea: ∃ r ∈ Z x− y = rz. La relación de congruencia
normalmente se abrevia así: x ≡ y mód z. Es fácil mostrar que si x ≡ y mód z
y a ≡ b mód z entonces x + a ≡ y + b mód z; sin embargo, no siempre se tiene
que xa ≡ yb mód z.
Ejercicio. Dé un ejemplo donde x ≡ y mód z, a ≡ b mód z, y sin embargo,
xa . yb mód z.
0.10. LOS NÚMEROS REALES R1
49
Ejercicio. Muestre que para cada real > 0 hay enteros m y n tales que | π− m
n |<
.
Para terminar esta sección, podríamos decir que con los números naturales contamos, con los enteros llevamos contabilidades y con los racionales
medimos magnitudes físicas que asumimos que se pueden subdividir en un
número arbitrariamente grande de partes iguales. El uso de números reales es
antetodo teórico ya que ninguna medida tiene precisión definitiva. Sin embargo, su utilidad es grande ya que al modelar magnitudes como números reales
podemos usar técnicas del cálculo para maximizar, obtener transformadas, etc.
Una de las enseñanzas del positivismo es que no es conveniente ser positivista
a ultranza: ni Kronecker aceptó el infinito de los naturales ni Mach aceptó los
átomos; pero sin el infinito y sin los átomos, la ciencia y la técnica estarían
innecesariamente limitadas hoy en día.
Los reales por su parte tienen fallas algebráicas: hay ecuaciones de la forma
p(x) = 0, con puna función polinómica que no tienen soluciones en R. Esta falla
la resuelven los complejos.
Denotemos con bxc el “máximo entero menor o igual” que x. Así, x − bxc es
la “parte decimal” de x.
0.10.5.
El conjunto de Cantor
El conjunto de Cantor es de importancia en topología y en sistemas dinámicos; también en teoría de la medida ya que es un conjunto no contable que
“mide cero”. Lo definimos a continuación. Considere la representación en base
3 de los números reales en el intervalo cerrado [0, 1]. Cada número allí está
representado por (al menos) una sucesión {t0 , t1 , t2 , · · · } donde cada ti ∈ {0, 1, 2}.
La idea es que cada número lo escribimos como 0.t0 t1 t2 · · · y que el número es
∞
P
ti 3−i . El por qué todo número real tiene tal representación lo explicamos más
i=0
adelante. Defina ahora una sucesión de subconjuntos del intervalo [0, 1]. Sea
50
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
A0 = [0, 1], sea A1 el conjunto de los números tales que t0 , 1, A2 el conjunto
de los números tales que t0 , 1 y t1 , 1, etc. Ai es el conjunto de los números
T
con t0 , 1, . . . , ti−1 , 1. Ahora defina C :=
Ai . Tenemos que:
i∈RN
i) C no es vacío: cualquier número en [0, 1] que en su expansión ternaria
no tenga unos está en el conjunto.
ii) De hecho, C es no contable ya que el conjunto de las sucesiones binarias
que representan números diferentes es no contable.
4
iii) C mide cero ya que A1 mide 1 − 13 , A2 mide 1 − 13 − 92 , A3 mide 1 − 13 − 92 − 27
∞ n−1
P
2
y en el límite, C mide 1 −
3n = 0.
n=1
Ejercicio. Demuestre ii).
Ejercicio. Diga si el conjunto de cantor es contable. Demuestre.
Todo número real entre [0, 1] tiene una representación ternaria.
0.10.6.
Subconjuntos densos en ninguna parte
Decimos que un subconjunto de R es denso en ninguna parte si hay una
colección de intervalos disyuntos cada uno conteniendo exactamente uno de
los puntos del conjunto.
Ejercicio. Muestre que un conjunto denso en ninguna parte es contable.
0.11.
La circunferencia S1 = T1
En esta sección definimos la esfera unidimensional S1 , que para dimensión 1 coincide con el toro unidimensional T1 y con la línea proyectiva RP1 .
0.11. LA CIRCUNFERENCIA S1 = T1
51
Considere las clases de equivalencia de R1 que resultan cuando se considera la relación congruencia módulo 2π. Dado un número real x, su clase de
equivalencia [x] está dada por el conjunto de los números reales de la forma
x + 2πn, donde n es un número entero. Note que la clase de equivalencia [x]
de cada número real x es contable. Vea la figura 16.
Figura 16: Los puntos indicados hacen parte de la clase de equivalencia de x
Las clases de equivalencia determinan una partición de R1 . Además, cada
clase de equivalencia [x] tiene un representante único en el intervalo [0, 2π) es
decir que [x] ∩ [0, 2π) contiene exactamente (ni más ni menos) un elemento.
Así, a cada número real x le hacemos corresponder el número JxK := [x] ∩
[0, 2π), al que llamamos “x módulo-2π”. Es claro que [JxK] = [x]. Las clases de
equivalencia son los elementos de S1 . S1 = {[x] : x ∈ R1 }.
Topología de S1 . El intervalo abierto con centro en [x] y radio , 0 < < π
de S1 es el subconjunto de S1 {[y] : [k x − y k< ]} donde kxk se muestra en la
figura 17.
Ahora definimos la suma en S1 por medio de la fórmula [x] + [y] = [x + y].
5π
Ejercicio. Calcule [ 3π
2 ] + [ 4 ].
Ejercicio. Diga si (S1 , +) es un grupo. Diga si es un anillo.
Sobre el conjunto S1 = {[x] : e ∈ R1 } definimos ahora una relación ternaria,
que demostraremos que es circular.
0.11.1.
Circularidad de S1
Considere la relación ternaria T de puntos en S1 definida a continuación.
Sean [x], [y], [z] elementos de S1 . Decimos que ([x], [y], [z]), ([y], [z], [x]), ([z], [x], [y]) ∈
52
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
Figura 17: kxk
Figura 18: El intervalo de S1 de radio con centro en [x], corresponde a una colección infinita
de intervalos de la línea de los números reales
0.11. LA CIRCUNFERENCIA S1 = T1
53
T si y sólo si:
i. JxK < JyK < JzK, o
ii. JzK < JxK < JyK, o
iii. JyK < JzK < JxK
en donde “<” es la relación “ser menor que” entre números reales.
Ejercicio. Muestre que la relación definida es circular.
Ejercicio. Muestre que para cada x, y, z ∈ R,
(mı́n(JxK, JyK, JzK), med (JxK, JyK, JzK), máx(JxK, JyK, JzK)). (Donde med quiere decir mediana) y sus permutaciones pares están en T.
Una diferencia fundamental entre R1 y S1 es que, en S1 , recorriendo el
conjunto hacia un lado, o el otro, regresamos al mismo punto. Es decir, dado
A, A + x = A − x tiene solución para x , 0 en S1 , pero no es R1 .
Ejercicio. Demuestre que, para x, y ∈ [0, 2π), mı́n{|x − y|, (mı́n{x, y} + 2π −
máx{x, y})} = [| x − y |]π siempre que x − y , ±π
Modelar la noción de circularidad con una relación es lo que podríamos
llamar matematizar el concepto de circularidad. Matematizar es lo que hizo
Newton es sus estudios de la mecánica. Un investigador a veces encuentra
conveniente matematizar sus conceptos. El uso de las matemáticas a su vez
requiere del rigor en las demostraciones.
0.11.2.
Definiciones Básicas y Notación
Los tintes se denotan como números complejos de magnitud 1; en particu√
√
lar, rojo = 1 + j0; anaranjado = (1 + j)/ 2; amarillo = 0+ j; citrino= (−1+j)/ 2;
√
√
verde = -1 + j; cian = (−1−j)/ 2; azul = 0 - j; violeta = (1−j)/ 2.
54
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
Es conveniente cuantificar las diferencias entre tintes; esto puede ser llevado a cabo con una métrica para el conjunto de números complejos de magnitud
1. Adicionalmente a la métrica d1(z1 , z2 ) = |z1 −z2 | resultante de la inmersión de
la circunferenca unitaria en el plano complejo, también se tienen las métricas:
d2(z1 , z2 ) = 1 − cos(arg(z1 ) − arg(z2 )) = Re[z1 z−1
]
2
d3(z1 , z2 ) = T(arg(z1 ) − arg(z2 ))
donde T es la función carpa periódica de periodo 2π dada por T(x)=|x| para
x ∈ [−π, π].
Una de las cuatro relaciones posibles opuesto, previo, posterior y simultáneo entre dos tientes z1 y z2 (posiblemente igual) resulta como sigue:
el tinte z2 es opuesto a z1 sí z2 = −z1
el tinte z2 es simultaneo al tinte z1 sí z2 = z1
el tinte z2 es previo (o negativo con respecto) al tinte z1 sí sen((arg(z1 )−arg(z2 )) =
Im[z1 z−1
]<0
2
el tinte z2 es posterior (o positivo con respecto) al tinte z1 sí sen((arg(z1 ) −
arg(z2 )) = Im[z1 z−1
]>0
2
0.11.3.
El promedio Circular
Dirección media o promedio circular
Sea z = [z1 . . . zN ] una colección de (posiblemente repetidos) N datos circulares;
asumiendo su suma diferente de 0 + 0 j, su dirección principal se dice que está
dada por:
PN
zi
z̄ = P1N
| 1 zi |
0.11. LA CIRCUNFERENCIA S1 = T1
0.11.4.
55
Promedio y mediana en S1
La media (o promedio) angular de una muestra de N datos φ1 , φ2 . . .
phiN viene dada por el argumento de la suma compleja de sus representaciones
complejas. Es decir la media es arg(Z), donde la suma compleja Z es
Z=
N
X
e jφi
i=1
Claramente la media no se encuetra definida para muestras cuya suma compleja sea cero, tales como las muestras equiespaciadas.
Para una muestra de angular se aplica el proceso de reducción de forma
reiterativa hasta llegar a una muestra irreducible. Si la muestra resultante es
trivialmente equiespaciada, diremos que es la mediana angular de la muestra.
En caso contrario, diremos que la muestra no tiene mediana.
0.11.5.
La línea proyectiva P1
Considere la relación de equivalencia entre los elementos de S1 dada por:
x ≡ y si y sólo si la distancia (como se definió para puntos en S1 ) entre x e y es
π. Así, cada clase de equivalencia contiene exactamente 2 puntos. Al conjunto
de estas clases de equivalencia lo denominamos P1 . También definimos una
distancia entre puntos en P1 .
[a − b]π/2 , si a − b , ±π/2,
dp ([x], [y]) = mı́n{ds (a, b) : a ∈ x, b ∈ y} =
π,
de lo contrario
2
Para n = 1, S = P , topológicamente. Para dimensiones mayores, el espacio
proyectivo no es homeomorfo a la esfera.
n
0.11.6.
n
La esfera de dimensión n (Sn )
En Rn+1 , tenemos Sn = {n ∈ Rn+1 : | x |= 1}.
56
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
0.11.7.
El toro de dimensión n (Tn )
Definimos Tn =
n
Q
S1 , (producto cartesiano). Note que S2 , S1 × S1 .
k=1
0.11.8.
El espacio proyectivo de dimensión n (RPn )
Definimos RPn como el conjunto de las líneas que pasan por el origen
en Rn+1 ; equivalentemente, RPn es la esfera de dimensión n Sn , donde se
han identificado los puntos antípodas, es decir, el espacio topológico cociente
correspondiente.
0.12.
Los números complejos C
Una vez que se detectaron fallas algebráicas en los reales, resultó la conveniencia de inventar un nuevo tipo de número. La fórmula para la solución
cuadrática era conocida en el año 2000 A.C. Desde los griegos hasta el siglo
XVI, la solución de estas ecuaciones fue considerada como la solución de un
problema geométrico; así, la ecuación x2 − x − 1 = 0 era la intersección de la
parábola y = x2 y la recta y = x + 1. Cuando la recta y la parábola no se intersecan, se decía que la solución de la ecuación era “imaginaria” (porque no se
podía visualizar). A los reales se les llamó así, en oposición. Más tarde, el nombre imaginario tomó un sentido más particular y a estos números imaginarios
se les llama ahora números complejos.
Basándose en resultados de del Ferro12 y Tartaglia13 , Cardano14 publicó
12 Scipione
del Ferro (1465-1526) Matemático italiano su aporte a las matemáticas en grande.
Aunque su nombre no es muy reconocido su trabajo en la resolución de ecuaciones cuadráticas se
trata en muchos textos matemáticos posteriores.
13 Niccolò Fontana “Tartaglia” (1499-1557) Matemático italiano planteó la solución de diversas
ecuaciones cúbicas hasta establecer la solución general de estas. Solución que luego fue publicada
por Cardano como producción propia.
14 Jérôme Cardan “Cardano” (1501-1576) Matemático italiano reconocido por la publicación de
0.12. LOS NÚMEROS COMPLEJOS C
57
en 1545 su Ars Margna, donde consideró raíces de números negativos por
primera vez en una publicación, considerando las soluciones respectivas como inútiles por carecer de interpretación geométrica. El Ars Margna también
incluía una solución de la ecuación cúbica x3 = 3px + 2q correspondiente
aqla intersección q
de una recta con la curva cúbica y = x3 . La solución es
p
p
3
3
q + q2 + p3 + q − q2 + p3 .
Unos 30 años después, Bombelli15 notó que si la recta es tal que p3 > q2
resulta la raíz de un número negativo aún en casos en los que hay una solución
geométrica al problema. Por ejemplo, la recta y = 15x+4, que interseca la cúbica
en x = 4, tiene este problema. Bombelli tuvo la (gran) idea de suponer que para
√3
√3
la ecuación x3 = 15x + 4, 2 + 11i es de la forma 2 + ni y 2 − 11i es de la forma
2 − ni. Definiendo la multiplicación y la adición de números complejos (como
la conocemos hoy en día) encontró que las cosas aún cuadraban bien en la
fórmula de Cardano.
Figura 19: La solución gráfica de las raíces reales de una cúbica
su Ars Magna, además de otros libros sobre juegos y azar donde sienta una aproximación a la
probabilidad.
15 Raffaele Bombelli (1530-1572) Matemático italiano. Entre sus publicaciones encontramos contribuciones a la teoría de números y acercamientos a la geometría analítica.
58
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
Como los números irracionales, los números complejos encontraron un rechazo inicial. Aún en 1702, Leibnitz consideraba estos números como “anfibios
entre la existencia y la no existencia”.En 1770 había aún una falta de claridad
√ √
√
tal que el mismo Euler dijo erróneamente que −3 −2 = 6.
Wessel, Argand y Gauss fueron las primeras personas en considerar los
números complejos como puntos del plano R2 . Con la identidad de Euler,
los números complejos se pueden ver como puntos de otro espacio también
(cilindro abierto más punto).
Los aportes al análisis complejo de Cauchy y Riemann, permitieron que
el tema de los números complejos creciera durante los años 1814 a 1815 en
una forma mucho mayor. El análisis complejo ha dado aportes valiosos al
análisis real, por ejemplo en la teoría de funciones analíticas, mostrando una
vez más la utilidad de considerar casos más generales para resolver problemas
en dominios particulares.
Los números complejos son ahora de uso común en la ingeniería electrónica. En particular, son de uso común la identidad de Euler, el teorema
de residuos de Cauchy y las funciones de Möbius16 . El uso de los números
complejos en ingeniería es debido entre otras cosas al concepto de impedancia,
el cual fue introducido por Charles P. Steinmetz17 , un ingeniero que emigró de
Alemania a Estados Unidos. El concepto de impedancia usado en el análisis y
síntesis de circuitos, está relacionado con los de resistencia por una parte y con
los de la transformada de Laplace, la transformada de Fourier y la convolución,
por la otra.
Para los griegos, la geometría y aritmética estaban íntimamente relacionadas.
16 August Ferdinand Möbius (1790-1886) Matemático y astrónomo alemán, en su obra el baricéntrico (1827) hace una introducción a coordenadas proyectivas homogéneas y correspondencias
poryectivas.
17 Charles Proteus Steinmetz (1865-1923) Matemático e ingeniero eléctrico nortamericano, es conocido por su trabajo en el desarrollo de la corriente alterna; algunas de sus mayores contribuciones
son en el área de hystéresis, lo que permitió el avance del diseño de motores eléctrico.
0.12. LOS NÚMEROS COMPLEJOS C
59
Aunque históricamente los números complejos empezaron a ser aceptados al
considerar ecuaciones polinómicas de tercer orden, hoy en día es más común
definirlos axiomáticamente. Así, los modelos más comunes para el conjunto
de los números complejos están basados en los siguientes conjuntos:
i) R1 × R1 : para coordenadas rectangulares (plano)
ii) (0, ∞) × S1 ∪ {θ}: para coordenadas polares (cilindro compactificado por
un lado)
La representación del número θ en coordenadas rectangulares es (0, 0). el
número entero cero se definió sin signo; similarmente, resulta inconveniente,
porque implica contradicciones, definirle coordenada polar φ (de fase o ángulo) al número complejo θ, con coordenadas rectangulares (0, 0).
Figura 20: El modelo de coordenadas rectangulares: el producto R1 × R1
Para pasar del modelo del plano al modelo del cilindro, es conveniente un
paso intermedio pasando por un cono. Imagine que el plano complejo C es el
plano x − y del espacio R3 . Luego suponga que colocamos un cono con vértice
en el origen del plano y con eje el eje z, como se muestra en la figura 22. Luego,
suponga que proyectamos hacia arriba, sobre el cono, los puntos del plano.
60
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
Figura 21: El modelo de coordenadas polares:(0, ∞) × S1 ∪ {θ}
Figura 22: El modelo geométrico cono para las coordenadas polares
0.12. LOS NÚMEROS COMPLEJOS C
61
Si nos olvidamos del resto de R3 y nos concentramos en el cono solamente,
resulta la imagen de C mostrada en la figura 23 en donde ya podemos indicar
las coordenadas polares ρ y φ
Figura 23: El modelo geométrico cono para las coordenadas polares
Finalmente, imagine que quitamos el vértice del cono y lo colocamos a un
lado y que hacemos que el resultante cono sin vértice se deforme (como si
fuera elástico) hasta convertirse en el cilindro de la figura 21, ensanchando el
cono para r pequeña y angostando el mismo para r grande.
0.12.1.
Nomenclatura
En coordenadas rectangulares, la primera componente de un número complejo se denomina su parte real y la segunda su parte imaginaria. Las funciones
Re e Im están definidas así:
Re(x, y) = x (parte real)
Im(x, y) = y (parte imaginaria)
Resulta conveniente denotar los números con coordenadas rectangulares
(0, 0), (1, 0) y (0, 1) abreviadamente, así: θ := (0, 0), 1 := (1, 0) y j := (0, 1).
Por lo tanto, en coordenadas rectangulares, (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = a1 + bj,
que escribimos simplemente como a + jb.
En coordenadas polares, la primera componente de un número complejo
se conoce
como su magnitud mientras que la segunda se conoce como su fase:
(r, φ) = r (magnitud)
∠(r, φ) = φ (fase).
Como dijimos, al origen θ del plano no le definimos fase.
62
0.12.2.
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
Equivalencias de ángulos
Sean α, β ∈ R1 ángulos; se dice que α y β son ángulos equivalentes si son
congruentes módulo 2π, así, S1 es el espacio natural para modelar ángulos.
Ejercicio. ¿2π ≡ 6π? ¿0 ≡ π? ¿−π/2 ≡ 3π/2?
Aunque es cierto que ζ ≡ Φ y α ≡ β implica que ζ + α ≡ Φ + β, hay que
ser cuidadoso cuando se considera la posible congruencia de productos de
ángulos: ζ ≡ Φ y α ≡ β no implica que ζα ≡ Φβ. Por ejemplo, 0 ≡ 2π y
1/2 ≡ 1/2 pero 0 . π.
Ejercicio. ¿ e j2π
0.12.3.
1/2
= e jπ ?
Estructura algebráica
Lo que diferencia al conjunto de los números complejos del plano de coordenadas rectangulares y del cilindro de coordenadas polares, es la estructura
algebráica dada por las operaciones “·” (producto) y “+” (suma) se definen
como sigue:
“+” (suma): (x, y) + (a, b) = (x + a, y + b) y es una función asociativa, conmutativa, con módulo aditivo y con inversos aditivos.
“·” (producto): (x, y) · (a, b) = (xa − yb, xb + ya) y es una función asociativa,
conmutativa, con módulo multiplicativo y con inversos. Con las definiciones
anteriores C tiene estructura de cuerpo.
Ejercicio. Muestre que las operaciones definidas son asociativas y conmutati-
vas.
Sea z = (x, y), si (x, y) + (a, b) = θ, entonces (a, b) = (−x, −y), por lo tanto el
inverso aditivo de z está dado por −z = (−x, −y).
Cada número complejo z, con excepción de θ, tiene un inverso multiplicativo
que denotamos z−1 . Para obtener una fórmula en coordenadas cartesianas para
0.12. LOS NÚMEROS COMPLEJOS C
63
z−1 , procedemos como sigue.
Si (x, y) · (a, b) = (1, 0) entonces, resolviendo para a y b encontramos los siguientes valores, siempre y cuando (x, y) , θ,
(x, y)
−1
−y
x
, 2
=: (a, b) = 2
2
x + y x + y2
!
Ejercicio. Deduzca la fórmula del inverso multiplicativo.
0.12.4.
Equivalencia entre las representaciones rectangular y
polar de un número complejo
Cada punto (x, y) de R1 × R1 corresponde a un punto de (0, ∞) × S1 ∪ {θ}
y viceversa. Si se tiene la representación en coordenadas polares (r, φ) de un
número complejo, sus partes real e imaginaria están dadas por: x = r cos φ y
y = r sen φ.
Figura 24: Equivalencia geométrica de las representaciones polar y rectangular de los números
complejos
Inversamente la magnitud r y la fase φ se obtienen a partir de las partes
64
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
real e imaginaria así: r =
p
x2 + y2
arctan(y/x),
π
2,
φ=
−π
2 ,
arctan(y/x) + π,
si x > 0,
si x = 0, y > 0
si x = 0, y < 0
si x < 0
Note la adición del término π cuando la parte real es negativa, debida a
que la fórmula arctan(y/x) sola es insuficiente: le asigna el mismo valor a cada
número (x, y) que esté sobre una línea que pase por el origen. Vea por ejemplo
la figura 25, donde (aunque la fase de z es diferente de la de −z), la fórmula
“φ = arctan(y/x)” les asignaría el mismo valor. Note también que si x = y = 0,
no se define fase. Note también que re jφ = −re jφ+π (la exponencial compleja la
definimos más adelante).
Figura 25: La fase de z es igual a la fase de −z más (o menos) π
Dado que la función tangente no es inyectiva, la función arctan no se define
siempre en la misma forma, aunque su imagen es siempre en intervalo abierto
de longitud π. Típicamente, por ejemplo en las calculadoras, se asume que el
rango es (−π/2, π/2). (Vea la figura 26).
Suponga que z ∈ C; si Im(z) = 0, se dice que el número z es “real”, en este
0.12. LOS NÚMEROS COMPLEJOS C
65
caso, si a , θ, su fase es 0 o π, dependiendo del signo: 0 si la parte real es
positiva y π si la parte real es negativa.
Si Re(z) = 0 e Im(z) , 0, se dice que z es “imaginaria” y su fase es π/2 o
−π/2 (¿Dependiendo de qué?).
Ejercicio. Muestre que |zw| = |z| |w|. (La magnitud de un producto es el producto
de las magnitudes)
Ejercicio. Muestre que ∠(zw) = ∠z + ∠w. (La fase de un producto es la suma de
las fases)
Ejercicio. Muestre que |z + w| ≤ |z| |w|. (La magnitud es subaditiva)
Ejercicio. Muestre que ||z| − |w|| ≤ |z − w| (Vea la figura 27)
Ejercicio. Sea g : R1 → C dada por g(t) = cos t. Grafique la magnitud y la fase
de g(t) para t ∈ [0, 2π).
Ejercicio. Sea h : R1 → C dada por h(t) = j sen t. Grafique la magnitud y la fase
de h(t) para t ∈ [0, 2π).
e jω
1+e jω
sen(ω)
= 12 + j 21 1+cos(ω) . También, grafique la magnitud,
la fase, la parte real y la parte imaginaria contra ω, para ω ∈ [0, 2π).
Ejercicio. Muestre que:
0.12.5.
Interpretación geométrica del producto complejo
Suponga que w es un número complejo dado, y defina f : C → C dada por,
f (z) = zw. Note que, geométricamente, a cada punto z, f le hace corresponder
un punto a distancia |z| |w| del origen y ángulo con respecto al eje real ∠z + ∠w.
En particular, como f (1) = w podemos mostrar que los triángulos θ − 1 − z
y θ − w − zw, indicados en la figura 28 son semejantes: si multiplicamos los
vértices zw y w de uno de los triángulos por e− j∠w , obtenemos los vértices del
triángulo similar a θ, 1, z; ¡Dibújelo usted mismo!
66
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
Figura 26: Una forma de definir la función arctan: con rango (−π/2, π/2)
Figura 27: Ilustración de la fórmula ||z| − |w|| ≤ |z − w|
0.12. LOS NÚMEROS COMPLEJOS C
67
Figura 28: Representación geométrica del producto complejo
0.12.6.
Inverso multiplicativo en coordenadas polares
En coordenadas polares, el inverso multiplicativo de a = (r, φ) está dado
por: (r, φ)−1 = (r−1 , −φ); recuerde que −φ ≡ 2π − φ.
Figura 29: Representación geométrica del inverso multiplicativo, el inverso aditivo y el conjugado
Ejercicio. ¿Cómo se definen las operaciones de suma y producto en coorde-
nadas polares?
68
0.12.7.
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
Complejo conjugado
Sea z = x + jy un número complejo. Su complejo conjugado se denota z∗
y está dado por: z∗ = x − jy.
Ejercicio. Sea z = 2 + 3j; grafique z, z−1 y z∗ en coordenadas rectangulares.
Ejercicio. Muestre que |z|2 = Re[zz∗ ].
Ejercicio. Muestre que |z|2 = z2 .
Ejercicio. Muestre que |z∗ | = |z|, ∠z∗ = −∠z.
Ejercicio. Muestre que, si z , 0, z−1 =
z∗
.
|z|2
Ejercicio. Muestre que (z + w)∗ = z∗ + w∗ .
Ejercicio. Muestre que (zw)∗ = z∗ w∗ .
Ejercicio. Muestre que Re(z) = 12 (z + z∗ ).
Ejercicio. Muestre que Im(z) = − 21 j(z − z∗ )
Ejercicio. Usando la fórmula tan(α+β) =
tan(α)+tan(β)
1−tan(α) tan(β) , muestre que ∠zw
= ∠z∠w.
Ejercicio. Representando cada número complejo z con la matriz,
Re[z] −Im[z]
Im[z] Re[z]
muestre que las operaciones de suma y producto de complejos coinciden con
las correspondientes de matrices.
0.12. LOS NÚMEROS COMPLEJOS C
69
Figura 30: La proyección estereográfica de x ∈ S1 − (π/2] es p(x) ∈ R1
0.12.8.
La proyección estereográfica
Existe una función interesante p de S1 − {Jπ/2K} a R1 , conocida como la
proyección estereográfica, y que puede generalizarse a esferas de dimensiones
mayores. En este contexto, S1 es la compactificación de un punto de R1 .
Ejercicio. Encuentre una fórmula para p(x) en términos de x. (x es el ángulo
con respecto al radio horizontal de la circunferencia.)
Proyección estereográfica, plano complejo extendido
En muchos casos resulta útil considerar el plano complejo extendido C ∪
{∞}. Este se obtiene adicionando un punto abstracto, el punto “∞”, al plano
complejo. Al punto ∞, como al origen θ, no se le define fase; su “magnitud”
se asume mayor que la magnitud de cualquier número complejo. Sus partes
real e imaginaria no se especifican. (Topológicamente, el espacio localmente
compacto R2 , mediante su compactificación de un punto es la esfera S2 )
El plano complejo extendido es topológicamente equivalente a la superficie
§2 de la esfera bidimensional. La proyección estereográfica es un homeomorfismo (es decir un a equivalencia topológica: una biyección bicontinua) de S2
al plano complejo extendido. Esta proyección le asigna el polo sur de la esfera
70
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
al origen del plano, el polo norte a ∞, puntos diferentes del polo norte a la
intersección de un línea que pasa por el polo norte y el punto en cuestión, con
el plano, cuando éste se imagina como tangente a la esfera en el polo sur.
Así es posible decir por ejemplo, que una función tenga un polo en infinito
y que las funciones de Möbius son biyecciones del plano complejo extendido
a sí mismo.
Una utilidad de visualizar así el plano junto con el infinito, es que el infinito
es más intuitivo u no algo “que no se puede ver porque está muy lejos”.
Figura 31: La proyección estereográfica
Para efectos algebraicos, se asume que:
z+∞=∞
si z , θ, z · ∞ = ∞ · z = ∞
∞·θ=θ
z/∞ = θ, si z , θ
z/θ = ∞, si z , θ
0.12.9.
Funciones lineales
Las funciones lineales f : C → C, dependiendo de si se considera como
conjunto de escalares (el cuerpo de los escalares) a R o a C, son de la forma
f (z) = wz, con z ∈ C constante, en el segundo caso, y de la forma f (z) = az, con
a ∈ R constante, en el primero. Note que si f es lineal con cuerpo C, también
es lineal con cuerpo R, pero no viceversa. Por ejemplo, f (z) = z∗ es lineal con
campo R pero no con cuerpo C.
0.12. LOS NÚMEROS COMPLEJOS C
0.12.10.
71
Excepciones a la fórmula (za )b = zab
Sea z = −1 = e jπ , ¿Cuánto vale (z2 )1/2 ? La respuesta, que podríamos llamar
La raíz cuadrada de 1, es 11/2 = 1 y tenemos una expresión con valor único. Sin
embargo, ¿qué hay incorrecto al escribir (z2 )1/2 = z1 = −1? Lo que no se está
teniendo en cuenta es lo siguiente: (e jπ2 )1/2 = e jπ ; el producto (1/2)(2π) está
dado por (1/2) ∗ 0 = 0 = 2π y no por π. Cuando se usan complejos y se tienen
exponentes fraccionarios, ¡hay que ser cuidadoso al usar la fórmula (z2 )1/2 !
Por otra parte, el conjunto de números que elevados al cuadrado son 1, lo
podríamos llamar el conjunto de las raíces cuadradas de 1. Así, las raíces de 1
son 1 y -1 pero la raíz de 1 es 1. Las raíces cúbicas de 1 son 1, e j2π/3 y e− j2π/3 .
Ejercicio. Diga si la función f : C → C, dada por f (z) = z2 es inyectiva o
sobreyectiva. también, dibuje las imágenes con respecto a f de los ejes real e
imaginario, de las lineas Re[z] = Im[z], Re[z] = −Im[z], de las lineas Re[z] = 1,
Re[z] = −1, Im[z] = 1, Im[z] = −1 y de las curvas |z| = 1, |z| = 0,5, |z| = 2.
Ejercicio. Diga si la función f : C → C, dada por f (z) = ez es inyectiva o
sobreyectiva. también, dibuje las imágenes con respecto a f de los ejes real e
imaginario, de las lineas Re[z] = Im[z], Re[z] = −Im[z], de las lineas Re[z] = 1,
Re[z] = −1, Im[z] = 1, Im[z] = −1 y de las curvas |z| = 1, |z| = 0,5, |z| = 2.
Ejercicio. Diga si la función f : C → C, dada por f (z) = ez tiene inversa
0.12.11.
Transformaciones de Möbius
Suponga que α, β, χ, γ son números complejos tales que αγ − βχ , 0 y
P
P
P
αz+β
considere m :
→ , donde
= C ∪ {∞}, dada por m(z) = χz+γ , m(∞) =
[QUEVAACA] y m γ/χ = ∞.
La función de Möbius f (z) = 1/z, que pertenece a esta familia , tiene
una interpretación geométrica en términos de la proyección estereográfica,
que explicamos a continuación. Primero, usando la proyección estereográfica,
72
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
P
proyectamos los puntos de en S2 ; tomando el radio de la esfera como 1/2. A
continuación, rotamos la esfera S2 media vuelta de tal forma que el polo sur y
el polo norte intercambien posiciones, manteniendo la circunferencia imagen
del eje imaginario invariante; finalmente volvemos a proyectar sobre el plano
P
P
P
: m = p−1 ◦ r ◦ p : → S2 → S2 → .
Veamos primero que, como el radio es 0.5, el procedimiento indicado deja
invariante (pasando por el ecuador de la esfera) la circunferencia de radio 1
con centro en el origen.
Figura 32: Transformaciones de Möbius 1 (COMO LE PONEMOS A ESTA GRÁFICA)
Veamos también que las partes positivas y negativa del eje real permanecen
invariantes, y que las partes positiva y negativa del eje imaginario se intercambian. Finalmente, veamos que, con el procedimiento indicado, la magnitud de
cada punto resulta invertida.
Si mostramos que los ángulos α y β son iguales, el resultado buscado se
sigue, ya que entonces los triángulos 0NB y CNA son similares por tener 2
1
ángulos iguales, entonces N0 = NC , entonces 1 = NC
1 osea 0B = 0A .
0B
0B
CA
Para mostrar que α = β, note que los arcos de circunferencia subtendidos
por α y β son iguales ya que los triángulos FDG y FEG son iguales, por lo tanto,
αz+β
λ
α = β. Ahora, más general, note que χz+γ = δ + χz+γ
, donde δ = χα y λ = βχ − αγ.
Ejercicio. Diga qué rotación r : S2 → S2 es necesaria, para implementar la
función de Möbius f (z) =
1−z
1+z
en la forma ya indicada.
0.12. LOS NÚMEROS COMPLEJOS C
73
Figura 33: Transformaciones de Möbius 2 (COMO LE PONEMOS A ESTA GRÁFICA)
Ejercicio. Encuentre una función de Möbius que no se pueda implementar en
la forma indicada.
Ejercicio. Muestre que la suma de dos funciones de Möbius es una función de
Möbius.
Ejercicio. Muestre que la composición de dos funciones de Möbius es una
función de Möbius.
Ejercicio. Muestre que cada transformación de Möbius transforma rectas y
circunferencias de C en rectas o circunferencias de C. Muestre que cada transP
formación de Möbius transforma circunferencias de en circunferencias de
P
.
Ejercicio. Encuentre la imagen de los ejes de C y de los semiplanos de parte
real positiva y negativa, con respecto a la transformación f (z) =
1−z
1+z .
Ejercicio. Encuentre la imagen de la circunferencia de radio 1 con centro en θ
de C y el círculo de radio 1 con centro en θ, con respecto a la transformación
f (z) = 1−z
1+z .
74
0.13.
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
Los cuaternios (H)
Los cuaternios fueron inventados por W. R. Hamilton hacia 1860, después
de haber tratado en vano durante años de definir un producto con inversos en
R3 − {θ}. en R2 tenemos el producto correspondiente al producto de complejos,
en coordenadas rectangulares. No es posible sin embargo, dotar al grupo
(R3 , +) con estructura de anillo de división, sin divisores de cero; es decir,
no hay producto tal como al que estamos acostumbrados para R3 . en R4 sí es
posible aunque el producto resultante no es conmutativo. Estos resultados se
los debemos a Hamilton.
Hoy sabemos que, de los Rn , solo en R1 , R2 , R3 y R4 es posible definir
un producto que, junto con la suma por coordenadas en Rn (osea, la ley del
paralelogramo), resulte en un anillo de división, sin divisores de cero. Por
ejemplo, el producto vectorial que se ve en el curso de cálculo vectorial (del
cual tendremos algo que decir más adelante en esta sección) tiene divisores
de cero. La terminología de producto vectorial y producto escalar se originaron
igualmente con Hamilton.
Los cuaternios tienen varias aplicaciones en ingeniería. recientemente se
ha explorado el uso de una transformada de Fourier definida con base en
los cuaternios, en vez de en los complejos. Los cuaternios permiten el uso de
fórmulas cortas para expresar transformaciones de perspectiva y de proyecciones; en gráficas y en robótica, se usan para codificar rotaciones en el espacio.
También, el uso de cuaternios para el tratamiento de imágenes a color es un
tema de actualidad. En geometría, son especialmente útiles para trabajar con
estructuras basadas en la esfera tridimensional S3 .
0.13.1.
Definición
Si x es un punto en R4 = R1 × R3 (como explicamos abajo, resulta conveniente pensar que las últimas 3 componentes de un cuaternio son las coorde-
0.13. LOS CUATERNIOS (H)
75
nadas de un punto en R3 ), con coordenadas cartesianas (a, b, c, d), poniendo
1 = (1, 0, 0, 0), i = (0, 1, 0, 0), j = (0, 0, 1, 0) y k = (0, 0, 0, 1), tenemos el cuaternio
x = a1 + bi + cj + dk, abreviadamente x = (a + ib + jc + kd).
0.13.2.
Suma y producto
La operación suma se define en forma estándar, con la ley del paralelogramo, como (a1+bi+cj+dk)+(α1+βi+γj+δk) = (a+α)1+(b+β)i+(c+γ)j+(d+δ)k,
mientras que el producto queda determinado por la ley distributiva y los productos elementales:
11 = 1
ii = jj = kk = −1
ij = −ji = k
ki = −ik = j
jk = −kj = i
Figura 34: Orden para productos elementales positivos
Note que el producto resultante no es conmutativo. El resultado del producto se puede recordar con la ayuda de la figura 34; el producto de i, j, o k
con sí misma, es -1. El producto de elemento i, j, o k con otro diferente, es “la
que no se usa”, con signo positivo cuando seguimos el orden indicado en la
76
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
figura 34, negativo en caso contrario. Así,
(x0 1 + x1 i + x2 j + x3 k)(y0 1 + y1 i + y2 j + y3 k) =
((x0 y0 − x1 y1 − x2 y2 − x3 y3 )1 + (x0 y1 + x1 y0 + x2 y3 − x3 y2 )i+
(x0 y2 + x2 y0 − x1 y3 + x3 y1 )j + (x0 y3 + x3 y0 + x1 y2 − x2 y1 )k)
Ejercicio. Mostrar que los cuaternios son un anillo. (¿Anillo de enteros?)
0.13.3.
Partes escalar y vectorial
con x = [x0 , x1 , x2 , x3 ], como punto de R4 , o x = x0 + x1 i + x2 j + x3 k, como
cuaternio, tenemos:
Parte escalar: S(x) = S(x0 +x1 i+x2 j+x3 k) = x0 1 = [x0 , 0, 0, 0] que comúnmente
se confunde intencionalmente con el número real x0 .
Parte vectorial: V(x) = V(x0 + x1 i + x2 j + x3 k) = x1 i + x2 j + x3 k = [0, x1 , x2 , x3 ]
que comúnmente se confunde intencionalmente con el punto [0, x1 , x2 , x3 ] de
R3 .
Así, escribimos la fórmula del producto de cuaternionico como: xy = x0 y0 −
V(x) · V(y) + x0 V(y) + y0 V(x) + V(x) × V(y) donde los productos · y × son los
productos escalar y vectorial de R3 , respectivamente. Vemos que el producto
cuaternionico no es conmutativo. Esta nomenclatura de “producto escalar”
y “producto vectorial”, tal como la conocemos hoy, se originó con Hamilton.
Vale la pena memorizar esta fórmula.
Si S(x) = 0, decimos que x es un cuaternio puro. Así, un cuaternio puro q
es de la forma [0, x1 , x2 , x3 ], cumple q = V(q) y como acabamos de decir, comúnmente lo identificamos con el punto [0, x1 , x2 , x3 ] de R3 . Si V(x) = [0, 0, 0], decimos que x es un escalar puro. Así, un escalar puro es de la forma [x0 , 0, 0, 0]
y como dijimos, comúnmente lo identificamos con el punto x0 de R1 .
Llamaremos a los cuaternios puros vectores y los denotaremos con letras
con diéresis. Llamaremos a los escalares puros escalares y los denotaremos con
variables con subíndice 0. Osea, a = a0 + ä.
0.13. LOS CUATERNIOS (H)
0.13.4.
77
Conjugado, magnitud e inverso
Definimos el conjugado del cuaternio x = (x0 1 + x1 i + x2 j + x3 k) como
x = x0 1 − (x1 i + x2 j + x3 k).
Entonces, xx∗ = x20 +x21 +x22 +x23 es un escalar de la magnitud del cuaternio:
|x|2 := xx∗ (que también se conoce como la “norma regular” N(x) de x)
∗
Ejercicio. Muestre que si x , θ = [0, 0, 0, 0], su inverso multiplicativo está dado
por: |x|−1 = |x|−2 x∗ .
Ejercicio. Muestre que (xy)∗ = y∗ x∗ .
Ejercicio. Muestre que (xy)−1 = y−1 x−1 .
Ejercicio. Muestre que q + q∗ = 2q0 .
Ejercicio. Encuentre
1
1+i+ j+k .
Ejercicio. Diga por qué, el producto en R3 dado por [x, y, z][a, b, c] = [yc −
zb, xc − az, xb − ay] junto con la operación normal suma, no permite tener un
anillo de división sin divisores de cero.
Un cuaternio es unitario si su magnitud vale 1. Por lo tanto, el anillo de los
cuaternios unitarios es la esfera tridimensional S3 (el conjunto de los puntos
de R4 a distancia unitaria del origen). En forma análoga a como los números
complejos de magnitud 1 viven en la esfera unidimensional, los cuaternios de
magnitud 1 viven en la esfera tridimensional.
Si ü es un cuaternio puro, ü2 = [0, u1 , u2 , u3 ][0, u1 , u2 , u3 ] = [−u1 − u22 −
2
u3 , 0, 0, 0] osea, su cuadrado es un escalar (de valor la norma). En general, el
producto de dos cuaternios puros está dado por üë = ü × ë − ü · ë. El cuadrado
de un cuaternio unitario puro es -1. Esto nos permite escribir, usando las series
de Taylor de seno y coseno eüt = cos t + ü sen t, siempre que ü sea un cuaternio
unitario puro.
78
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
Los cuaternios puros unitarios viven en una esfera bidimensional, en forma
análoga a como los números imaginarios puros (± j) viven en una esfera de
dimensión 0 (un conjunto de puntos).
Ejercicio. Muestre que un cuaternio puro tiene como cuadrado el escalar -1.
Ejercicio. Muestre que el inverso de un cuaternio unitario es unitario.
Ejercicio. Muestre que el producto de dos cuaternios unitarios es unitario.
1
Sea q un cuaternio unitario. Sea ü = V(q)
V(q) el vector unitario en la
| |
dirección de V(q). Así, q = q0 + V(q) ü. Note que tanto q0 como V(q) son
2
menores o iguales a 1 ya que q20 V(q) = 1. De hecho, como dijimos, podemos
escribir q = cos φ + ü sen φ, donde
φ es la fase del número complejo con parte
real q0 y parte imaginaria V(q). Por lo tanto φ ∈ [0, π] (ya que el número
complejo en cuestión tiene parte imaginaria no negativa).
0.13.5.
Nomenclatura para rotaciones en R3
Suponga que q es un cuaternio unitario (por lo tanto q−1 = q∗ ), y ë un
cuaternio puro (de hecho, el punto de R3 que queremos rotar). Entonces, qëq
es también un cuaternio puro ya que:
qëq∗ = cos φ + ü sen φ ë cos φ − ü sen φ
= − sen φ(ü · ë) + cos φë + sen φ(ü × ë) cos φ − ü sen φ
= − sen φ cos φ(ü · ë) + cos φ(ü · ë) sen φ + V(qëq∗ )
= 0 + V(qëq∗ )
Por otra parte, qëq∗ = |ë| ya que qëq∗ = qëq−1 = q |ë| q−1 = |ë|.Osea que
qëq∗ está a la misma distancia del origen que ë. Además, como se puede verificar,
para cada q unitaria, la función Lq : R3 → R3 dada por Lq (ë) = qëq∗ es lineal.
0.13. LOS CUATERNIOS (H)
79
Por lo tanto, L es representable como producto por
una matriz L(ë) = ëM, con
la propiedad que (ëM) (ëM)T = ëëT , por lo tanto, ë MMT ëT = ëëT por lo tanto
MMT es la matriz identidad, por lo tanto M es una matriz ortogonal especial;
así, decimos que Lq es una rotación o una reflexión, dependiendo de si el
determinante de M es 1 o -1. Mostraremos que el determinante es 1 y que por
lo tanto se trata de un rotación. Sea Λ : S3 × R3 → R3 ; dada por Λ(q, ë) = Lq (ë);
así, Λ es una función continua de dos variables. Por lo tanto, det M depende
continuamente de q y, como para q = 1, det M = det I = 1, y como det M sólo
puede tomar valores 1 y -1, concluimos que det M = 1.
Ejercicio. Muestre que Lq es lineal.
Ejercicio. Encuentre las filas de M en términos de q y concluya que el determi-
nante vale 1.
Alternativamente, considere el caso especial en que q = cos φ + i sen φ. con
ë = e1 i + e2 j + e3 k,
Lq (ë) = q e1 i + e2 j + e3 k q∗
= qq∗ ie1 + q jq∗ e2 + qkq∗ e3
2
2
= ie1 + q∗ je2 + q∗ e3
= ie1 + (cos 2φ − i sen 2φ)(e2 + e3 i) j
y tenemos que el “eje x” (el subespacio generado por i) permanece invariante
mientras que el “plano yz” (el subespacio generado por {j, k}) se rota en un
ángulo de valor 2φ. (Lo cual es interesante ya que entonces φ ∈ [0, π], como en
el caso de la recta proyectiva).
en el caso general, q = cos φ + ë sen φ, descomponemos a ë en una componente normal a ü, y otra paralela. Usando ë = ek +e⊥ , donde con α = ë· ü, ek = α|ü|ü
(la componente paralela a ü), y e⊥ = ë − α|ü|ü (la componente perpendicular a ü),
80
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
queda:
qëq∗ = (cos φ + ü sen φ)(ek + e⊥ )(cos φ − ü sen φ)
= ek cos2 φ + e⊥ cos2 φ − ek ü cos φ sen φ − e⊥ ü cos φ sen φ
+ üek sen φ cos φ + üe⊥ sen φ cos φ − üek ü sen2 φ − üe⊥ ü sen2 φ
= ek cos2 +ek sen2 φ + 0 + (e⊥ cos2 φ − e⊥ sen2 φ + 2e⊥ ü sen φ cos φ)
= ek + (e⊥ cos2 φ + 2e⊥ ü sen φ cos φ)
donde vemos que el sumando paralelo permanece invariante mientras que el
sumando ortogonal se rota un ángulo 2φ.
0.13.6.
H como una estructura de anillo para C × C
Nota: En esta sección, la unidad imaginaria se denota con i.
En esta sección usamos la convención que los cuaternios son pares ordenados de números complejos. Considere las siguientes operaciones de suma y
producto definidas para pares de números complejos:
a + b = (a, α) + (b, β) = (a + b, α + β)
ab =(a, α)(b, β) = (ab − αβ∗ , αβ + αb)
donde el asterisco indica número complejo conjugado. Note que el par (1,0)=(1
+ 0i, 0 + i) se comporta como módulo para este producto. Denotamos en
forma abreviada los pares de la forma (a, 0) como a; a ∈ C. Note que (0, α) =
(α, 0)(0, 1) = α(0, 1).
Denotamos de forma abreviada el par (0, 1) con j. Note que j2 = −1 y que
ja = a∗ j, a ∈ C.
El conjugado ā del cuaternio a = a + αj esta dado por:
ā = a∗ − αj
Note que con a = a + αj, aā = āa = aa∗ + αα∗ ≥ 0
Como se puede verficar, cada cuaternio a = a + α j diferente de 0 + 0 j, tiene
0.14. SUCESIONES
81
un inverso multiplicativo a−1 dado por:
a−1 =
a∗ − α j
aa∗ + αα∗
de lo que se concluye que se tiene un anillo de división.
Propiedades
i. Un cuaternio a = a + αj conmuta con cada cuaternio si y solo si es real, es
decir, a ∈ Re y α = 0
ii. āb = āb̄
Resulta a un espacio vectorial de dimensión 4, con base 1, i, j, i j. El espacio
se forma con la norma euclídea dada por:
a = (aā)1/2
En el espacio se define el porducto interno dado por:
< a, b >=
1
((a + b)(ā + b̄) − aā − bb̄)
2
1
(ab̄ − bā)
2
La norma satisface |xy| = |x||y|. La base 1, i, j, i j es ortonormal. El ordenamiento da una orientación para H.
=
0.14.
Sucesiones
Una sucesión unilateral de elementos de A es una función con dominio
el conjunto de los naturales, s : N → A.
82
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
Una sucesión bilateral de elementos de A es una función con dominio
el conjunto de los enteros, r : Z → A.
Si A es el conjunto de los números reales, se dice que la sucesión es real; si
A es el conjunto de los números complejos, se dice que la sucesión es compleja,
etc. La notación comúnmente usada es r = {rn }, la cual tiene el inconveniente
de ser muy similar a la usada para denotar conjuntos. Las sucesiones bilaterales complejas son el modelo del tipo de señal que denominaremos señal
discreta de longitud infinita.
Ejemplo. s : N → R, s = {sn } donde s(n) = sn = 2n + 3; más explícitamente,
pero incompletamente, podríamos escribir también, s = {3, 5, 7, 9, · · · } donde
es importante recordar que se está representando una sucesión (“sequence”)
y no un conjunto.
Figura 35: s es una sucesión unilateral
Ejemplo. r = {rn }, donde r(n) = rn = nπ; r = {0, π, 2π, 3π, · · · }.
Ejemplo. a = {an }, donde a(n) = an = ∠(−1)n ; a = {0, π, 0, π, · · · }, A continuación
se muestra una gráfica de a:
Ejercicio. Considere el conjunto S = {0, 1}N de las sucesiones unilaterales bina-
rias. Es decir, S = {s|s : N → {0, 1}}. Dé ejemplos de elementos de S. ¿Es finito?
¿Es S contable?
0.14. SUCESIONES
83
Figura 36: La sucesión a
Ejercicio. Diga qué es la “diagonal de Cantor”.
Ejercicio. Grafique la magnitud y la fase de an = j cos(nπ) como funciones de
la variable n.
Como explicaremos en la sección siguiente, el conjunto de las sucesiones
bilaterales complejas se denota CZ
0.14.1.
Subsucesiones
Sea s : N → N una sucesión unilateral de números naturales creciente, es
decir, si < s j siempre que i < j. Si r : N → A es una sucesión, decimos que
t : N → A, con ti := rsi es una subsucesión de r.
∞ \
∞
[
Ak
n=0 k=n
→
∞ [
∞
\
n=0 k=n
Ak
84
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
0.15.
Espacios métricos, convergencia
y espacios completos
Un espacio métrico (X, d) consiste en un conjunto X y una función d :
X × X → [0, ∞), que se conoce como métrica, tal que:
i. ∀ x0 inX, d(x, x) = 0
ii. ∀ x, y ∈ X, si d(x, y) = 0, entonces x = y (definitivamente positiva)
iii. ∀ x, y ∈ X, d(x, y) = d(y, x), (simetría)
iv. ∀ x, y, z ∈ X, d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z) (desigualdad del triángulo)
En un espacio métrico, la bola con centro c ∈ X y radio r ∈ (0, ∞) está dada
por el conjunto {x ∈ X : d(x, c) < r}, que denotamos Bc (r).
Ejercicio. Muestre que la función d : R2 × R2 → [0, ∞), dada por d(x, y) =
p
(x + y)2 + (x − y)2 para cada x, y ∈ R2 , con x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ), determina
una métrica para R2 . Esta métrica se conoce como la métrica euclídea para R2 .
Ejercicio. Para la métrica del ejemplo anterior, dibuje la bola con centro en el
origen y con radio l.
Ejercicio. En R2 , para cada x, y ∈ R2 , con x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ), considere la
métrica dada por d(x, y) = |x1 − y1 | + |x2 − y2 |. Esta métrica se conoce como la
métrica del taxista.
Ejercicio. En R2 , para cada x, y ∈ R2 , con x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ), considere la
métrica dada por d(x, y) = máx{|x1 − y1 |, |x2 − y2 |}. Esta métrica se conoce como
la métrica del producto.
0.15. ESPACIOS MÉTRICOS
0.15.1.
85
Bolas
En un espacio métrico, definimos la bola de centro y y radio r Br (x)
como el subconjunto dado por {x|d(y, x) < r}.
Ejercicio. Para las métricas euclídea, del producto y del taxista, dibuje las bolas
con centro el origen y radio 1.
0.15.2.
Métrica para S1
Definimos una métrica para s1 con base en la función T(x) mostrada en la
figura 37. La idea es que dos puntos en la circunferencia parten esta en 2 arcos
y que la distancia entre los puntos es la longitud del arco más corto. Así, si x, y
son ángulos en [0, 2π], su distancia está dada por d(x, y) := T(|x − y|).
Figura 37: Función para definir una métrica en S1
Damos a continuación una definición equivalente de distancia entre puntos
sobre la circunferencia. dados puntos [x], [y] en la circunferencia, definimos su
distancia como sigue:
ds ([x], [y]) = mı́n{JxK − JyK, mı́n{JxK, JyK} + 2π − máx{JxK, JyK}}
JxK − JyK]π , si JxK − JyK , ±π,
=
π,
de lo contrario
así, estamos tomando la longitud mínima de los recorridos entre x y y.
86
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
0.15.3.
Espacios normados
Un espacio normado (X, | · |) consiste en un espacio vectorial X con vector
cero θ, y una función | · |: X → [0, ∞), que se conoce como la norma, tal que:
i. ∀x ∈ X, |x| ≥ 0 (es no negativa)
ii. ∀x ∈ X, si|x| = 0, entonces x = θ (definitivamente positiva)
iii. ∀x, y, z ∈ X, |x − y| + |y − z| ≥ |x − z| (desigualdad del triángulo)
0.15.4.
Espacios topológicos
Un espacio topológico (X, U) consiste de un conjunto X, y una familia
U de subconjuntos de X, que denominaremos subconjuntos abiertos de X, tal
que:
i. φ, X ∈ U (tanto el espacio completo como el conjunto vacío son conjuntos
abiertos)
ii. Las uniones de elementos de U están en U (Las uniones arbitrarias de
conjuntos abiertos son conjuntos abiertos).
iii. Las intersecciones finitas de elementos de U están en U (Las intersecciones finitas de conjuntos abiertos son abiertas).
Un subconjunto de un espacio topológico se dice cerrado si su complemento es abierto.
Estas definiciones son debidas esencialmente a Hausdorff.
Un elemento p del espacio es un punto de acumulación (“limit point”) de
un subconjunto A si cada conjunto abierto que contiene a p, contiene al menos
un elemento de A diferente de p.
Ejercicio. Muestre que un subconjunto es cerrado si y sólo si contiene sus
puntos de acumulación.
0.15. ESPACIOS MÉTRICOS
87
Equivalentemente, dado un subconjunto A de un espacio métrico X, decimos que el punto x ∈ X es un punto de acumulación de A, si cada bola que
contenga a x, contiene un punto de A diferente de x.
A partir de una norma se puede definir una métrica d(x, y) = |x − y| pero no
viceversa: se necesita un espacio vectorial y la propiedad de la homogeneidad
positiva. Similarmente, con una métrica se puede definir una topología, pero
no viceversa: la desigualdad del triángulo no es una propiedad topológica.
0.15.5.
Límite de una sucesión de números
Sea s : N → X una sucesión unilateral con valores en un espacio métrico X.
Se dice que l es el límite de {sn } si, para cada bola que contenga a l, para cada
n a partir de cierta N, sn está en la bola. Si la imagen s(N) es finita, claramente
la sucesión converge.
Equivalentemente, en un espacio normado, l es el límite de la sucesión si,
para cada número real , hay un número natural N tal que, para cada n mayor
que N, |sn − l| < . Esto se denota sn → l. En tal caso, se dice que la sucesión
convergente.
Ejercicio. Muestre que ninguna sucesión puede converger a dos límites.
Cauchy supo de la idea de Dedekind para definir los números reales pero
de alguna manera, no le satisfacía. Cauchy dio otra definición de los reales,
basada en sucesiones de racionales en vez de subconjuntos de racionales. La
desventaja es que un número real, con la definición de Cauchy, es una clase de
equivalencia de sucesiones (algo más complejo que un corte de Dedekind). La
ventaja es que la idea se generaliza y se aplica a espacios métricos en general.
0.15.6.
Convergencia en sentido de Cauchy
Se dice que una sucesión {sn } en un espacio métrico es una sucesión de
Cauchy si d(sn , sm )tiende a cero cuando n y m tienden a infinito. Es decir, si
88
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
para cada positiva hay un número natural N tal que, siempre que n y m sean
mayores que N, d(sn , sm ) < Esto lo denotamos como d(sn , sm ) → 0. Si una
sucesión es convergente, claramente es una sucesión de Cauchy: esto se sigue
de la desigualdad del triángulo: d(sn , sm ) ≤ d(sn , l) + d(l, sm ).
Ejercicio. Diga si R2 es un espacio métrico completo. Diga si (0,1) lo es. Diga si
es necesario aclarar qué métrica se usa en cada caso.
0.15.7.
Sucesiones y subsucesiones de números reales
Sea {an } una sucesión real.
Lema 1. Si {an } es no decreciente y acotada superiormente, entonces converge.
Demostración 1. Como la imagen de {a} tiene cota superior, tiene cota superior
mínima, digamos α. Con > 0, α − no es cota superior, entonces para alguna N,
α − < an ≤ α, y se cumple la definición de convergencia de una sucesión.
Lema 2. Toda sucesión contiene una subsucesión que es o no creciente o no decreciente.
Demostración 2. Definimos inicialmente lo que es un pico y un valle: ak es un
pico de una sucesión {an } si, para cada n > k se tiene an < ak . Similarmente, ak es un
valle de la sucesión {an } si para cada a > k se tiene an > ak . hay dos posibilidades, o
la sucesión tiene infinitos picos, o no. en el primer caso, los picos dan una subsucesión
no creciente. En el segundo caso, o hay infinitos valles, o no. Si no, la sucesión es
eventualmente constante y esto nos da una subsucesión monótona; si sí, los valles
determinan una subsucesión no decreciente.
Corolario 1. (Bolzano-Wierstrass) Toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergente.
Teorema 1. Una sucesión (real o compleja) converge si y sólo si es una sucesión de
Cauchy.
0.15. ESPACIOS MÉTRICOS
89
Como resultado del ejercicio anterior, tenemos que R es completo.
Ejercicio. Diga si la sucesión {an } converge, cuando an está dada por:
a. an = (−1)n
b. an = (−0,9)n
c. an = ( j)n
d. an = ( n2 )
n
e. an = ( n+1
)
1
)
f. an = sen( n+1
g. an = (n)−n
h. an = sen n1
PRUEBA M de Weierstrass.
Sea { fn } una sucesión de funciones definidas en A, y sea {mn } una sucesión de
∞
P
números tales que ∀x ∈ A, | fn (x)| ≤ mn . Suponga que
mn converge. Entonces
∀x ∈ A
a
∞
P
∞
P
n=1
fn (x) converge en valor absoluto y
P
fn (x) converge uniformemente
n=1
fn (x).
n=1
Teorema 2. Si {an } es no decreciente y está acotada superiormente, entonces {an }
converge.
Demostración. Sea α la cota superior mínima. Dado > 0, α − no es cota
superior, entonces hay una an tal que α− < an ≤ α. Como {an } es no decreciente,
de algún N en adelante, las an son α − < an .
90
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
Lema 3. Cualquier sucesión {an } contiene una subsucesión que es o bien no decreciente
o bien no creciente.
Demostración. Definimos un punto cumbre a el número n tal que am < an ∀m <
n. Un punto valle se define de manera análoga.
CASO 1. La sucesión tiene infinitos puntos cumbre. Entonces estos conforman
una sucesión no creciente.
CASO 2. La sucesión tiene un número finito de puntos cumbre. Encuentre el
último de los puntos cumbre, el siguiente punto no es punto cumbre, tome éste.
Como no es cumbre, hay puntos a nivel o más abajo, tome uno de estos puntos
y repita el procedimiento. Lo anterior resulta en una sucesión no creciente.
Para la sucesión no decreciente usamos los puntos valle.
Corolario 2. Toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergente.
Teorema 3. Una sucesión {an } converge si y sólo si es un sucesión de Cauchy.
Demostración. ∀n, m > N |an − am | < → ∀n > N |an − aN | < 0.15.8.
Espacios completos y completados
Se dice que un espacio métrico es completo si cada sucesión de Cauchy es
una sucesión convergente.
Ejercicio. Muestre que tanto el conjunto de los números reales como el de los
números complejos, son completos, con respecto a la métrica d(x, y) = |x − y|.
Ejercicio. Muestre que el conjunto de los números racionales no es completo,
con respecto a la métrica d(x, y) = |x − y|.
Ejercicio. Dé un ejemplo de un espacio métrico no completo.
0.15. ESPACIOS MÉTRICOS
91
ahora proseguimos con la idea de Cauchy para definir los números reales.
suponga que inicialmente tenemos solamente los números racionales (y los
enteros y los naturales). Note que Q es un espacio métrico con la métrica
racional ρ : Q → Q dada por d(p, q) = |p − q|. Se puede tener una sucesión
de Cauchy {sn } de racionales, (es decir ρ(sn , sm ) 0) pero que no converja a
ningún racional, indicando que los racionales son completos.
Ejercicio. Dé un ejemplo de una sucesión de Cauchy de racionales que no
converja (a ningún racional).
La idea de Cauchy tiene la ventaja, sobre la de Dedekind, que generaliza a espacios métricos en general. Cauchy definió cierta relación de equivalencia en cierto conjunto de sucesiones de racionales. Considere el conjunto de las sucesiones racionales de Cauchy. Dos sucesiones tales {sn }, {tn } se
dicen equivalentes si ρ(sn , tm ) → 0. Veamos que efectivamente se tiene una
relación de equivalencia. Es reflexiva ya que si s es una sucesión de Cauchy,
ρ(sn , sm ) → 0. La relación es simétrica ya que ρ(sn , tm ) = ρ(tn , sm ). Finalmente, si
ρ(sn , tm ) y ρ(ti , r j ) tienden a cero, por la desigualdad del triángulo de la métrica,
ρ(sn , rm ) ≤ ρ(sn , tm ) + ρ(tn , rm ) también tiende a cero y tenemos que la relación
es transitiva.
Ahora definimos los números reales como las clases de equivalencia resultantes. Para definir una métrica en el conjunto resultante de los reales, definimos antes la operación de suma de reales. Si τ y σ son dos números reales,
definimos τ + σ como: [{tn } + {sn }] = [{tn + sn }], donde {tn } ∈ τ y {sn } ∈ σ. Note
que esta definición tiene sentido ya que el resultado es el mismo si tomamos
otros representantes {Tn } y {Sn }, es decir, si tanto {sn } y {Sn } como {tn } y {Tn },
están en las mismas clases de equivalencia, respectivamente, entonces {Tn +Sn }
y {tn + sn } están en la misma clase de equivalencia. Definiendo −τ como [{−tn }],
podemos definir la métrica d(τ, σ) = |τ − σ|.
En el conjunto resultante R tenemos elementos representantes de los números
racionales: las clases de equivalencia de sucesiones convergentes (a números
92
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
racionales). También, hay elementos de R que no son representantes de ningún
número racional, que son las clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy
no convergentes.
Finalmente debemos mostrar que el espacio métrico así definido es completo. Es decir, que sus sucesiones de Cauchy convergen. Si {τk } = {[{tkn }]} es una
sucesión de Cauchy de números reales, la clase de equivalencia de la sucesión
racional diagonal (tii ) es el límite de {τk } (¿por qué?).
Podemos decir que la incompletitud de Q es una falla analítica de los
racionales.
x
Ejemplo. Considere la sucesión {qn } = { yn } de racionales resultantes de la
n
xn+1 xn + 2yn
x0 7
ecuación de recurrencia,
=
con, = los primeros valores
yn+1
xn + yn
y0
5
son 7/5 = 1,4, 17/12 = 1,416 . . . , 41/29 = 1,413 . . . , . . . .
Ejercicio. Encuentre una expresión para los componentes de la matriz en el
ejemplo anterior.
Ejercicio. Muestre que la sucesión {qn } del ejemplo anterior es de Cauchy.
muestre que {q2n } converge a 2 y que {qn } converge a raíz de 2.
Ejercicio. Muestre que los reales de Dedekind y los de Cauchy son equiva-
lentes.
Ejercicio. Diga si Q es completo.
Ejercicio. Diga si el intervalo de reales (0, 1) es completo.
a) Con respecto a la métrica d(x, y)0|x − y|
Con respecto a la métrica δ(x, y) = |atan(x) − atan(y)|
0.16. SERIES
0.16.
93
Series
Definición 11. El término serie (“series” en inglés) quiere decir aquí el límite de
una sucesión de sumas parciales. En otros contextos, por ejemplo una serie de tiempos
(“time series”) es una sucesión de datos tomados a medida que avanza el tiempo. En
cierto sentido, lo que un profesional de la estadística llama una serie de tiempos es lo
que un ingeniero llama una señal discreta.
Suponga que tenemos la sucesión {an } con términos: a0 = 1; a1 = 1+1/2 = 1,5
a1 = 1 + 1/2 + 1/4 = 1,75 a1 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 = 1,895, etc. En donde el
n−1
P
término genérico an está dado por an = 1 + (1/2)i . Ahora, queremos saber
i=1
si la sucesión {an } converge y, el tal caso, límite. Tal límite lo denotamos así:
n−1
P
1 + (1/2)i y lo llamamos el valor de la serie. Si ha leído sobre la paradoja de
i=1
Zenón, y sabe el resultado de la serie, quizás vea aquí una solución matemática
a la paradoja, es decir, tenemos que el resultado de una suma infinita es finito:
n−1
P
1 + (1/2)i = 2.
i=1
En esta sección consideramos el problema de averiguar cuándo tiene una
n
P
sucesión {an } en donde los términos son sumas parciales de la forma an = bi ,
i=0
en donde asumimos que sabemos el valor de bi para cada i, y en caso de
n
P
convergencia, saber cuánto vale el límite, que denotamos bi .
i=0
Ejercicio. Muestre que la serie
n
P
i=0
1
i+1
=
∞
P
n=1
1
n
diverge hacia infinito, comparán-
dola con las áreas indicadas en la figura 38, sabiendo que la integral de
[0, ∞) es infinita.
1
x
sobre
94
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
0.16.1.
Re-ordenamiento de los términos de una serie
A partir de una serie dada
minos:
∞
P
i=0
∞
P
bi podemos obtener otra redondeando los tér-
i=0
b g(i) , es decir en donde asumimos que g es una biyección g : N N.
Es posible que
∞
P
bi converja pero que
i=0
∞
P
b g(i) no. Si converge para toda biyec-
i=0
ción g, decimos que la serie converge incondicionalmente. Es decir que para
cualquier re-ordenamiento de sus términos la serie resultante converge al mismo valor.
∞
P
(−1)n+1
converge a ln 2, lo que podríamos
Por ejemplo, resulta que la serie
n
n=1
escribir como: 1 − 12 + 13 − 41 + 15 − 16 + · · · = ln 2, pero si sumamos en el siguiente
orden [13],
1 1 1 1 1 1
1
1
− + − − + −
−
+ ···
2 4 3 6 8 5 10 12
1
1
1 1
1
1
1
1
= (1 − ) − + ( − ) − + ( − ) −
+ ···
2
4
3 6
8
5 10
12
1 1 1 1
1
1
= − + − +
−
+ ···
2 4 6 8 10 12
1
1 1 1 1 1
= (1 − + − + − + · · · )
2
2 3 4 5 6
1
= ln 2
2
1−
y, como vemos, ¡el resultado cambia! En este caso, la permutación g está dada
por: g(0) = 0, g(1) = 1, g(2) = 3, g(3) = 2, g(4) = 5, g(5) = 7, g(6) = 4, · · ·
∞
∞
P
P
Decimos que la serie
zi converge en magnitud, si la serie | zi | converge.
i=0
i=0
Ejercicio. Encuentre una fórmula para g(n).
Ejercicio. Dé un ejemplo de una serie que no converja incondicionalmente.
0.16. SERIES
95
Figura 38: No tiene epígrafe
Ejercicio. Muestre que si una serie converge en magnitud, entonces converge
incondicionalmente.
0.16.2.
Criterios de convergencia de series de números reales
y de números complejos
La prueba de la integral es usada a veces para mostrar convergencia y a
veces para mostrar divergencia. En ambos casos la idea es hacer corresponder
los términos de la serie con las áreas de ciertos rectángulos, por encima o
por debajo de la curva de la función que se integra. Por ejemplo, considere la
función f (x) = 1x , para x > 0, y la serie con término genérico sn = n1 . Notando
N+1
N
∞
R
P
P
1
1
1
que
>
n
x dx = ∞, (vea la figura 39) concluimos que la serie
n diverge.
n=1
n=1
1
Similarmente, con g(x) = x2 , x > 0, tenemos que la serie
∞
P
n=1
N
P
n=1
1
n2
<1+
RN
1
dx
x2
1
n2
converge ya que
< 1 + 1 = 2.
1
Ejercicio. Encuentre el valor de
∞
P
n=1
1
,
n2
usando series de Fourier.
Si una serie de números reales (de complejos) converge cuando se toma
el valor absoluto (la magnitud) de sus términos, entonces la serie converge
incondicionalmente.
96
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
Encontrar el límite de una serie normalmente es más difícil que mostrar
que converge. El saber que ciertas series convergen, o divergen, sirve para
deducir la convergencia o divergencia de otras.
Figura 39: El criterio de la integral para mostrar divergencia
Figura 40: El criterio de la integral para mostrar convergencia
Ejercicio. ¿En qué consiste el criterio de convergencia de la raíz?
0.16. SERIES
0.16.3.
97
La serie geométrica
∞
P
Como veremos más adelante, la fórmula para la serie geométrica 1 +
que en forma abreviada escribimos como
∞
P
zn ,
n=1
zn , es útil para evaluar la trans-
n=0
formada de Fourier y la transformada zeta de ciertas señales discretas.
La versión finita de esta serie, que llamaremos la “suma geométrica”,
N
P
zn
n=0
también es útil y también tiene una fórmula sencilla, que deducimos a continm
1−zm+1
m
uación, y que, 1−z
1−z + z = 1−z . Esto permite demostrar la fórmula de la suma
N
P
de potencias de z. Para evaluar
zn procedemos inductivamente. el truco a
n=0
recordar es que, para z , 1, 1 + z =
N
P
n=0
1−z2
1−z ,
N
P
n=0
zn =
1−zN +1
1−z ,
si z , 1, y, claro está,
zn = N + 1, si z = 1.
Alternativamente, podemos deducir la suma geométrica de la fórmula
telescópica: (1 − z)(1 + z + z2 + z3 + · · · + zN ) = 1 − zN+1 , siempre y cuando z , 1.
La fórmula de la suma geométrica nos permite ahora deducir la fórmula de
N
N
P
P
la serie geométrica. Si z = 1, el valor de
zn = N+1 y la serie
zN diverge. En
n=0
otro caso, el valor de la serie
N
P
n=0
N
z queda determinado por el comportamiento
n=0
de zN a medida que N crece. Considerando la representación en coordenadas
polares de z dada por z = |z|e jθ , se tiene que zN = |z|N e jθN . Si |z| < 1, |z|N tiene a
∞
P
1
; si |z| ≥ 1, zN = |z|N e jθN diverge. Por lo tanto, la fórmula para
cero y
zn es 1−z
n=0
la serie geométrica está dada por,
∞
P
n=0
Ejercicio. Calcule
∞
P
n=0
2−n .
zn =
1
1−z
si y sólo si |z| < 1.
98
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
Ejercicio. Calcule
∞
P
2−n .
n=1
0.16.4.
La transformada zeta
Sea {wn } una sucesión bilateral de complejos; definimos su transformada
∞
P
zeta como la función W : D → C dada por la serie de Laurent W(z) =
wn z−n ,
−∞
con dominio los valores de z en el anillo de la región de convergencia de la
serie. Es común que la suma de la serie sea una función racional de la variable
z, u otra función conocida. Es claro que es tan importante dar la dependencia
funcional de W de z como su dominio, ya que dos sucesiones diferentes {wn },
{vn } pueden tener transformada con la misma dependencia funcional W(z) y
diferentes dominios D.
Figura 41: No tiene epígrafe
Ejemplo. La transformada de u−n está dada por
convergencia dada por |z| < 1.
∞
P
n=0
zn =
1
1−z ,
con región de
0.16. SERIES
99
Ejemplo. La transformada de u−n está dada por:
1/2
1
=
2 − z 1 − z/2
∞
1X z n
=
( )
2 n=0 2
−∞
=
1 X z −n
( )
2 n=0 2
=
1 X n −n
2 (z)
2 n=0
−∞
con |z| es la transformada de la señal xn = 2n u−n .
Ejemplo.
1
(1 − z)(2 − z)
1
1
=
−
1−z 2−z
−1
1
=
−
−1
z(1 − z ) 2 − z
−1
1
=
+
−1
z(1 − z ) 2z(1/2 − z−1 )
W(z) =
Corresponde a diferentes sucesiones en cada una de las regiones |z| < 1, 1 <
|z| < 2 y 2 < |z|.
Ejercicio. Encuentre las sucesiones correspondientes al ejemplo anterior.
100
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
Figura 42: No tiene epígrafe
0.17.
Interpretación funcional de los puntos de Rn
y Cn y notación para conjuntos de funciones
Un elemento de Rn se denota con la n-tupla x = [x0 , x1 , . . . , xn−1 ]. Con base
en la n-tupla x, podemos definir la función x : {0, 1, . . . , n − 1} → R en la forma
obvia con x(0) = x0 , x(1) = x1 , . . . , x(n − 1) = xn−1 ; en este sentido, R4 es el
conjunto de las funciones de {0, 1, 2, 3} a R.
Por ejemplo, el punto x = [2, −1, 3, 0] corresponde a la función con gráfica
como se muestra:
Figura 43: Gráfica de la función x
El conjunto de las funciones con dominio n = {0, 1, . . . , n − 1} y rango
C, lo podemos representar como Cn .Por ejemplo, considere la función f :
{0, 1, 2, 3} → C, dada por f (0) = 1, f (1) = j, f (2) = −j, f (3) = 1; podemos decir
que el punto [1, j, − j, 1] de C4 especifica completamente la función f : 4 → C.
0.18. INTERVALOS DE RN Y DE ZN
101
Extendiendo esta idea, decimos que el conjunto de las funciones de Z a C es
CZ y que, en general, el conjunto de las funciones con dominio D y rango R,
es RD .
Algunos conjuntos que podemos denotar en forma similar son:
CZ : El conjunto de la sucesiones bilaterales complejas.
CN : El conjunto de la sucesiones unilaterales complejas.
RZ : El conjunto de la sucesiones bilaterales reales.
RN : El conjunto de la sucesiones unilaterales reales.
CR : El conjunto de las funciones complejas con dominio real.
CC : El conjunto las funciones complejas con dominio complejo.
0.18.
Intervalos de Rn y de Zn
Sean a = [a1 , a2 , . . . , an ] y b = [ba , b2 , . . . , bn ] elementos de Rn . El intervalo
cerrado [a, b] es el conjunto de puntos x = [x1 , x2 , . . . , xn ] de Rn tales que par
cada i en /1, n/, ai ≤ xi ≤ bi . El intervalo abierto ]a, b[ es el conjunto de
puntos x = [x1 , x2 , . . . , xn ] de Rn tales que par cada i en /1, n/, ai < xi < bi .
Ejemplo. Sean a = [3, 2] y b = [4, 3], puntos de R2 , el intervalo ]a, b[ se muestra
en la figura (44
Sean r = [r1 , r2 , . . . , rN ] y s = [sa , s2 , . . . , sN ] elementos de ZN . El intervalo
entero, de dimensión N, /r, s/ es el conjunto de elementos k = [k1 , k2 , . . . , kN ]
tales que, para cada i en /1, N/, r j ≤ ki ≤ si ,
Las uniones de intervalos son los dominios naturales de las señales. Los intervalos multidimensionales son los dominios de las señales multidimensionales; por ejemplo, las imágenes tienen como dominio intervalos de dimensión
dos y se consideran señales de dimensión dos.
Por otra parte, los intervalos proveen bases para la topología estándar de
n
R . Estos intervalos se conocen como las bolas con respecto a la métrica del
producto.
102
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
Figura 44: El intervalo ](3, 4), (2, 3)[ de R2
También, decimos que un subconjunto de Rn es abierto si es una unión
de intervalos abiertos de Rn .
0.19.
Cálculo
0.19.1.
Límite de una sucesión de funciones
Suponga que para cada número natural n, fn : X → C, donde X es un
subconjunto de R1 , es una función. Si r es un número en X, entonces { fn (r)}
es una sucesión de números. Si para cada x ∈ X, la sucesión { fn (x)} converge,
podemos definir la función f : X → C, dad por f (x) = lı́mn→∞ fn (x) y decimos
que la sucesión de funciones fn converge a la función f . En símbolos, f es el
límite de fn si, ∀x ∈ X ∀ > 0 ∃ N ∀n > N, | fn (x) − f (x)| < , (donde es real y
n y N son naturales). Este tipo de convergencia se conoce como convergencia
punto a punto o convergencia puntual.
Ejemplo. La sucesión de funciones { fn }, donde cada fn : [0, 1] → C está dada
por fn (x) = xn , converge a la función c(x) dada por c(0) = 0 y c(x) = 1 si x ∈ (0, 1].
0.19. CÁLCULO
103
Observe la figura siguiente. note que las fn son continuas y que el límite c no
lo es.
Figura 45: Las funciones xn para n = 1, 2, 4, 6 y la función límite
0.19.2.
Convergencia uniforme
Se dice que la sucesión de funciones { fn (x)} converge a la función c(x)
uniformemente si la N en la definición no depende de x, es decir, la función f
es el límite uniforme de la sucesión de funciones { fn (x)} si, ∀ > 0 ∃ N ∈ N ∀x ∈
X | fn (x) − f (x)| < .
Ejemplo. La sucesión de funciones indicada en la figura 45 no converge uni-
formemente. (¿Por qué?)
Ejercicio. Diga en qué cosiste el criterio conocido como prueba de la M de
Wierstrass.
104
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
0.19.3.
Límite de una función, dadas topologías con base para
el dominio y el rango
Sea f : D → W una función cuyo dominio D y rango W son espacios
topológicos cuyas topologias tienen bases; informalmente hablando, eso ocurre
cuando tenemos intervalos abiertos, como por ejemplo en el caso de los números
reales. Decimos que b es el límite de f (x) cuando x tiende a a si para cada
intervalo abierto I, en W, que contenga a b existe un intervalo abierto J, en
D, que contenga a a tal que ∀x ∈ J − {a}, f (x) ∈ I es decir , f (J − {a}) es un
subconjunto de I.
Esto se denota: lı́m f (x) = b.
x→a
Figura 46: En la definición de límite, los puntos del intervalo J, con la posible excepción de a,
tienen imágenes dentro del intervalo I; en el caso de la definición de continuidad, la imagen de J
es un subconjunto de I
Se puede comprobar que, cuando el rango y el dominio son espacios métricos,
con métricas d y D, la definición anterior es equivalente a: ∀ > 0, ∃ δ > 0
0 < |x − a| < δ ⇒ d( f (x), b) < .
Cuando el rango y el dominio son R o C, tenemos la definición usual:
∀ > 0, ∃ δ > 0 0 < |x − a| < δ ⇒ | f (x), b| < .
0.19. CÁLCULO
0.19.4.
105
Continuidad
Sea f : R1 → R1 una función de los reales a los reales. Sea α ∈ R1 un
número real. Se dice que f es continua en α si para cada intervalo abierto I
que contenga a f (α) existe un intervalo abierto J que contiene a α y es tal que
f (J) es un subconjunto de I.
Para la línea de los números reales, tenemos la definición usual: f es continua en α si: ∀ > 0 ∃ δ > 0 |x − α| < δ ⇒ | f (x − f (α))| < .
Ejercicio. Dé un ejemplo de una función f : R1 → R1 que sea continua úni-
camente en cero. Sugerencia: f (x) = x si x es racional, y f (x) = −x si x es
irracional.
0.19.5.
0
Continuidad uniforme
Se dice que la función f es continua en el intervalo I si ∀α ∈ I, ∀ > 0 ∃ δ >
|x − α| < δ ⇒ | f (x) − f (α)| < .
Se dice que la función f es uniformemente continua en un intervalo I si
en la definición anterior δ no depende de x. En símbolos ∀ > 0 ∃ δ > 0
∀α ∈ I, |x − α| < δ ⇒ | f (x) − f (α)| < .
Ejercicio. Muestre que la función f (x) = 1/x es continua pero que no es uni-
formemente continua en el intervalo (0,1).
Ejercicio. Muestre que la función f (x) = x2 es uniformemente continua en el
intervalo (0,1).
Ejercicio. Muestre que la función sen t es uniformemente continua.
106
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
0.19.6.
Con respecto a la continuidad de funciones con rango
S1
Suponga que se tiene una función f : R1 → S1 . La fase de una función
compleja puede ser una de tales funciones y dos fases cuya diferencia sea un
múltiplo entero de 2π determinan la misma clase de equivalencia en S1 . Así,
una función de fase continua puede tener saltos de magnitud 2π pero no saltos
de magnitud π. Si d mide la distancia entre puntos en s1 y D la distancia entre
puntos de R, tenemos que f es continua en a si ∀ > 0, ∃ δ > 0 d(x, a) <
δ ⇒ D( f (x), b) < .
Ejercicio. Diga cuál de las siguientes funciones es continua y cuál discontinua:
f : R1 → S1 dada por f (ω) = ∠e jω .
f : R1 → S1 dada por f (ω) = ∠(e jω − 1).
0.19.7.
Derivada
La derivada, de funciones tanto reales como complejas, con dominio real o
complejo, está dada por el siguiente límite, siempre y cuando éste exista:
f 0 (x) = lı́m
h→0
f (x + h) − f (x)
h
donde f puede ser una función f : R1 → R1 , R1 → C, C → R1 , C → C. En cada
caso, la suma y el cociente se calculan apropiadamente.
En el último caso, para funciones complejas con dominio complejo, la
derivada está basada en el hecho de que hay un cociente bien definido entre
números complejos. Esto hace que el cálculo complejo sea una teoría riquísima en conceptos: están los derivados del cálculo vectorial y los derivados de
las operaciones complejas. Así, por ejemplo, hay dos productos; el escalar y
el complejo. Se dice que una función f : C → C que sea derivable en z0 , es
holomórfica en z0 .
0.19. CÁLCULO
107
Ejercicio. Dé ejemplos de funciones derivables y no derivables en cada uno de
los siguientes casos:
f : R1 → R1
f : R1 → C
f : C → R1
f :C→C
Ejercicio. ¿Cuáles son las ecuaciones de Cauchy-Riemann?
Ejercicio. Dé un ejemplo de una función g : R1 → R1 que sólo sea derivable en
0. (Sugerencia: g(x) = x f (x) donde f (x) = x para x racional, y f (x) = −x para x
irracional.)
Para funciones de R a R, la derivada tiene 3 interpretaciones: el límite de
un cociente, que tiene sabor algebraico y analítico; la tangente a una curva,
que es una contribución de Fermat y es probablemente la idea germinal del
cálculo; y una aproximación lineal que es la idea con mayores posibilidades
de generalización. Las dos primeras seguramente le son más conocidas. La
tercera resulta de considerar:
f (x + h) f (x + h f 0 (x)) y, por lo tanto, con t = x + h, x = t0 , resulta:
f (t) f (t0 ) + (t − t0 ) f 0 (t0 ), para t cerca a t0 (es decir h pequeña),
= f (t0 ) + λ(t), donde la función λ : R → R dada por λ(t) = (t − t0 ) f 0 (t0 ) es lineal.
La derivada de funciones de C a C tiene las interpretaciones de derivada
de límite de un cociente y de aproximación lineal. La derivada de funciones de
RN a RM tiene las interpretaciones de hiperplano tangente y de aproximación
lineal local.
108
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
Figura 47: La ecuación de la tangente está basada en la función lineal λ(x) = f 0 (x)(t − x)
0.19.8.
Interpretación geométrica de la derivada compleja
Si f : C → C es derivable en z0 , entonces, para z en las cercanías de z0 , f
está dada aproximadamente por f (z) f (z0 ) + Λ(z − z0 ) = f (z0 ) + w(z − z0 ),
donde Λ : C → C es lineal, con cuerpo C, y donde w := f 0 (z0 ) es el número
complejo conocido como la derivada compleja de f en z0 .
Ahora, si z1 y z2 son puntos cercanos a z0 , el ángulo z1 −z0 −z2 , está dado por
2 −z0 ]
la fase del cociente [z
[z1 −z0 ] . Por otra parte, considerando los puntos resultantes
f (z1 ), f (z0 ) y f (z2 ), al aplicar f , tenemos que el ángulo f (z1 ) − f (z0 ) − f (z2 ) está
[ f (z )− f (z )]
dado por la fase de [ f (z12 )− f (z00 )] . Entonces
[ f (z2 ) − f (z0 )] [w(z2 − z0 )]
=
[ f (z1 ) − f (z0 )] [w(z1 − z0 )]
[z2 − z0 ]
=
[z1 − z0 ]
y, por lo tanto las fases son iguales. Así, a menos que w = 0, tenemos que si f
es derivable en z0 , con derivada no nula, f preserva los ángulos con vértice en
z0 . Esta propiedad es de fundamental importancia en el cálculo complejo.
0.19. CÁLCULO
109
Figura 48: El ángulo con vértice z0 y el ángulo con vértice f (z0 ) son iguales
Ejercicio. ¿Es posible definir un cociente para los elementos diferentes del
origen, de R3 ? ¿Cuál sería el producto correspondiente?
Ejercicio. Para la función f : C → C dada por f (z) = z2 , aproxime f (1,1 + 0,9j)
usando f 0 (1 + j).
Si f tiene derivada compleja en cada uno de los puntos de una región
abierta, se dice que f es holomorfa en la región.
0.19.9.
Aproximación lineal
Para funciones f : RN → RM , el concepto de derivada se basa en el de
aproximación lineal local. Así decimos que f es diferenciable en x0 ∈ RN si en
las cercanías de x0 , f se comporta aproximadamente como, f (x) ≈ x0 +λ(x−x0 ),
en donde λ : RN → RM es una función lineal. ahora, recordemos que una
función de RN a RM es lineal si y sólo si tienen representación λ(x) = xL,
donde L es una matriz de M × N. Así, tenemos que en cierto sentido la matriz
L es la derivada de f en x0 . como recordará„ esta matriz es precisamente la
110
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
matriz Jacobiana de f evaluada en x0 : L = J(x0 ) donde:
∂ f1 (x)
∂x1
J(x) =
∂ fM (x)
∂x1
0.19.10.
···
···
···
∂ f1 (x)
∂xN
∂ fM (x)
∂xN
Diferencial
Equivalentemente, tenemos la siguiente noción de derivada. Sea f : RN →
R una función con N y M naturales positivos. Se dice que f es diferenciable
(en sentido real) en el punto c ∈ R si existe una función lineal (con cuerpo los
| f (c+h)− f (c)−T(h)|
= 0, donde | · | son las normas
reales) T : RN → RM tal que, lı́m
|h|
M
h→0
para RN y RM .
Se puede mostrar que T es única y se conoce como el diferencial T f (c), y
también como la función tangente a f en c. T f (c) es la matriz Jacobiana
M × N de f .
Ejercicio. Sea f : R2 → R1 dada por f (x, y) = x2 + y2 . Encuentre la ecuación del
plano tangente a la superficie de f en el punto (x, y) = (3, 5).
Ejercicio. Diga si f : C → C dada por f (z) = zz∗ es diferenciable o no. Explique.
0.19.11.
Diferenciabilidad real y las ecuaciones de CauchyRiemann
si L : C → C es una función lineal con cuerpo C, entonces es de la forma
L(z) = wz con z ∈ C. En R2 , con z = (x, y) y w = (a, b), tenemos la siguiente
representación matricial de L:
x a −b x
L =
y
b a y
0.19. CÁLCULO
111
Por otra parte, dada f : C → C como función R2 → R2 f está dada por:
x u(x, y)
f =
y
v(x, y)
y si es diferenciable su Jacobiano está dado por:
∂x u
J =
∂x v
∂ y u
∂y v
resultando la función lineal
x
x
LL = J •
y
y
y si f tiene derivada compleja w,
∂x u
∂ v
x
∂ y u a −b
=
∂ y v b a
y tenemos que las ecuaciones de Cauchy-Riemann se siguen: ∂x u = ∂ y v y
∂x v = −∂ y u. Las ecuaciones de Cauchy-Riemann son una condición necesaria
para diferenciabilidad, pero no suficiente. A menos que la f sea diferenciable
en un conjunto abierto
Ejercicio. Sea f : T → T la función del conjunto de los cuaternios al conjunto
de los cuaternios, dada por f (z) = wz, donde w = [w − 1, w2 , w3 , w4 ]. Exprese f
en forma matricial.
Ejercicio. Muestre que la siguiente función no es diferenciable en el origen
aunque cumple con las ecuaciones de Cauchy-Riemann allí. f (x + jy) =
x4 +y4
j x3 +y3 ,
f (θ) = θ
x4 −y4
x3 +y3
+
112
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
0.19.12.
Extensión en series de potencias
Las series de potencias determinan funciones con dominio dado por la
región de convergencia de la serie. Si la serie no incluye potencias negativas de
la variable, ésta se denomina una serie de Taylor mientras que si las incluye,
se denomina una serie de Laurent. Las series mostradas a continuación
indican series de Taylor:
1. f (x) = a0 +
∞
P
an xn , que escribimos abreviadamente como
∞
P
bn (z − z0 )n , que escribimos abreviadamente como
n=1
z0 )n .
an xn .
n=0
n=1
2. g(z) = b0 +
∞
P
∞
P
bn (z −
n=1
Mientras que la siguiente es una serie de Laurent:
n=−1
P
∞
bn (z − z0 )n + h(z) = b0 +
como
∞
P
n=−∞
∞
P
bn (z − z0 )n , que escribimos abreviadamente
n=1
bn (z − z0 )n .
La función determinada por una serie de Taylor se conoce como función
analítica. Tales funciones poseen derivadas de orden arbitrario: f 0 (x) =
∞
P
nan xn−1 (¿Por qué?) y, por lo tanto f 00 (0) = (2)(1)a2 , en general, procedin=1
endo inductivamente, se tiene que, f (n) = n!an , de donde resulta la fórmula de
f (n) (0)
los coeficientes: an = n! .
Por ejemplo, las funciones seno y coseno son funciones analíticas mientras
que la función |x| no lo es. Las series de Taylor son usadas en los programas
de computadores y calculadoras que usan aproximaciones a funciones tales
como la raíz cuadrada y las trigonométricas.
Una diferencia importante entre funciones de la variable real y funciones
de la variable compleja, es que en el caso complejo, tener derivada compleja es
0.19. CÁLCULO
113
condición suficiente para que una función de variable compleja tenga derivada
(continua) de cualquier orden.
Ejercicio. ¿Que dice el teorema de Morera?
Note que el conocimiento de una función analítica en un intervalo, por
pequeño que sea, determina completamente la función. Por lo tanto, dos funciones analíticas (diferentes) no pueden coincidir en ningún intervalo. Por
ejemplo, ninguna función analítica que no sea la función constante, es constante en ningún intervalo. en este sentido, la información de la totalidad de la
gráfica de cualquier función analítica está incluida en la gráfica de cualquier
intervalo no vacío, no importa que tan pequeño sea.
Ejercicio. ¿Cuál es la extensión en series de Taylor de la función seno alrededor
de cero?
Ejercicio. ¿Cuál es la de la función coseno?
Ejercicio. Si una serie converge en valor absoluto o en magnitud, ¿se puede
alterar el orden de los términos de la serie sin que su valor se altere?
Ejemplo. Sea f : R1 → R1 la función dada por f (x) =
cada número real (¿Por qué?). definiendo e =
f (x) f (y), es decir,
∞
P
n=0
(x)n
n!
=
∞
P
n=0
(y)n
n!
∞
P
n=0
(x+y)n
n!
∞
P
n=0
1
n!
∞
P
n=0
xn
n!
que converge para
y dado que f (x + y) =
(¿Por qué?) y que f es continua y
está definida para los reales, podemos concluir que f (x) = ex .
Ejercicio. Muestre que
∞
P
n=0
reales x y y.
Sugerencias:
(x+y)n
n!
=
∞
P
n=0
(x)n
n!
∞
P
n=0
(y)n
n!
para cualesquier números
114
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
1. Use la fórmula del binomio de Newton.
2. El conjunto {(n, k) ∈ N × N; k ≤ n} se puede “barrer” como se muestra en
la figura 49, variando n y m = n − k de 0 en adelante en vez de n de 0 en
adelante y k de 0 hasta n.
Figura 49: El conjunto {(n, k) ∈ N × N; k ≤ n}
A veces (en particular cuando hay convergencia en valor absoluto) una
función analítica f con dominio R1 se puede extender a la función g : C →
∞
P
C (con dominio C) utilizando la misma serie de Taylor: g(z) =
cn zn por
ejemplo, si cn =
n=0
1
n! ,
resulta la serie de la exponencial compleja.
Ejercicio. Muestre que, para φ ∈ R1 , g( jφ) = cos φ + j sen φ.
Ejercicio. Muestre que, para u, v ∈ C, g(u + v) = g(u)g(v).
Usando los resultados de los ejercicios anteriores escribamos g(z) = ez .
Ejercicio. Muestre que, pera x, φ ∈ R1 , g(x + jφ) = ex (cos φ + j sen φ)
Por lo tanto, si se tiene el número complejo z con representación en coordenadas
polares z = (r, φ), entonces z = re jφ .
Ejercicio. muestre que,
e jω
1+e jω
=
1
2
sen ω
+ j 2(1+cos
ω)
0.19. CÁLCULO
0.19.13.
115
Series de Laurent
Sea s = {si } una sucesión bilateral, por definición, la serie
de dos series:
∞
P
i=−∞
si =
∞
P
si +
i=0
potencias de la forma g(z) =
∞
P
∞
P
∞
P
si es la suma
i=−∞
s−i . una serie de Laurent es una serie de
i=1
n=−∞
cn (z − z0 )n .
El residuo de una función con expansión en series de Laurent es el coeficiente del término que incluye a z1 .
Teorema 4. si se sabe que la serie
∞
P
n=−∞
cn (z)n converge para z = z0 , entonces se puede
concluir que la serie converge para cada z con |z| < |z0 |.
Ejercicio. Demuestre el teorema anterior.
Así, la región de convergencia de una serie de Laurent es una corona circular
abierta junto con quizás algunos puntos de su frontera (la frontera está dada
por las circunferencias que acotan la corona). si la función g que se representa
con la serie es una función racional, en cada componente conectado de la frontera
de la región de convergencia hay por lo menos un polo de g(z) (¿Por qué?).
0.19.14.
Integral de Riemann-Stieltjes
A continuación, consideramos particiones de intervalos en intervalos y
definimos la variación de una función con el objeto de definir posteriormente
la integral de Riemann-Stieltjes.
0.19.15.
Particiones de intervalos
Es común particionar un intervalo en una colección de intervalos. Sea J un
intervalo de números reales, una partición de J es un conjunto de intervalos
cuya unión es J.
116
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
Ejemplo. [0, 1) ∪ [1, 3) ∪ [3, 5) es una partición en subintervalos de [0, 5).
Note que la partición de un intervalo [a, b) = [a0 , a1 ) ∪ [a1 , a2 ) ∪ · · · ∪ [an−1 , an )
queda determinada por el conjunto de puntos {a0 , a1 , a2 , . . . , an−1 , an } que delimitan los subintervalos, donde asumimos que a = a0 < a1 < a2 < . . . < an−1 <
an = b. Así, muchas veces se habla de la partición {a0 , a1 , a2 , . . . , an−1 , an } de [a, b).
Con esta representación de particiones con conjuntos, se dice que la partición Q es un refinamiento de la partición P, si Q es un subconjunto de
P.
Ejercicio. Muestre que si una función es monótona (es decir, es o no creciente, o
no decreciente) entonces, el subconjunto de su dominio donde es discontinua
es contable o vacío.
0.19.16.
Variación de una señal continua
Dada una función real f , definida en el intervalo [a, b] y siendo
P = {x0 , x1 , x2 , . . . , xn−1 , xn } una partición de [a, b), decimos que variación de f
n
P
en [a, b] con respecto a P está dada por Var( f, [a, b], P) = | f (xi ) − f (xi−1 )|.
i=1
Si ahora consideramos el conjunto de las posibles particiones de [a, b] (un
conjunto bastante grande) y el conjunto de los números reales correspondientes
a las variaciones de f con respecto a cada partición; decimos que el suprémum
de tal conjunto (recuerde que todo conjunto acotado de reales tiene suprémum)
es la variación total de f en [a, b]. Si la variación total de f es un número
real (es decir, si es finita) se dice que f es de variación acotada.
Ejercicio. Calcule la variación total de sen x en [0, 2π].
Ejercicio. Muestre que si f es una función monótona entonces la variación total
de f en [a, b] está dada por | f (b) − f (a)|.
0.19. CÁLCULO
117
Ejercicio. (Aditividad con respecto al intervalo.) Muestre que si [a, b] = [a, c] ∪
[c, b], entonces la variación total de f en [a, b] es igual a la variación total de f
en [a, c] más la variación total de f en [c, b].
Ejercicio. (Opcional.) Muestre que f es de variación acotada si y sólo si f es la
suma de dos funciones monótonas.
0.19.17.
La integral de Riemann
Sea f una función real definida en [a, b], sea p = {xi }N
∪ {xi , xi+1 }N−1
una
i=0
i=0
partición de [a, b] con x0 = a y xN = b. Sea ∆ = máx{xi+1 − xi : i ∈ /0, N − 1/} el
diámetro de la partición.
La integral superior de Riemann de f , en [a, b], con respecto a la partición p está dada por
b
Z
f (x)dx :=
a p
N−1
X
sup{ f (x) : x ∈ (xi , xi+1 )}[xi+1 − xi ]
i=0
mientras que la integral inferior de Riemann de f en [a, b], con respecto a
la partición p está dada por
Z
b
f (x)dx :=
a p
N−1
X
ı́nf{ f (x) : x ∈ (xi , xi+1 )}[xi+1 − xi ]
i=0
La integral superior de Riemann sobre [a, b] está dada por
b
Z
Z
b
f (x)dx = lı́m
∆→0
a
a p
y a la integral inferior sobre [a, b], por
b
Z
Z
b
f (x)dx = lı́m
a
∆→0
a p
118
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
si se cumple la igualdad
b
Z
b
Z
f (x)dx =
a
f (x)dx
a
decimos que f tiene integral de Riemann y que esta está dada por este valor
común
Z b
Z b
Z b
f (x)dx =
f (x)dx =
f (x)dx
a
1
Ejercicio. Sea f (x) =
0
0.19.18.
a
x∈Q
x∈R−Q
a
diga si tiene integral de Riemann en [0, 1].
La integral de Riemann-Stieltjes
La integral de Riemann es la que normalmente se estudia en un curso de
Cálculo I. La integral de Riemann-Stieltjes es una poderos herramienta que
no necesita para su definición basas matemáticas sofisticadas y que permite
unificar ciertos resultados en teoría de señales, de sistemas y en probabilidad.
La integral de Riemann-Stieltjes nos permite obviar el uso de “impulsos” en
sistemas de convolución continuos. La integral de Riemann-Stieltjes no tiene
una interpretación geométrica intuitiva y sencilla como la tiene la integral de
Riemann,en términos de áreas. Como la integral de Riemann, la integral de
Riemann-Stieltjes se define con un proceso de límite.
Una diferencia importante con respecto a la integral de Riemann es que una
integral de Riemann-Stieltjes involucra dos funciones, el integrando y el integrador. Para las aplicaciones que usaremos en teoría de señales será suficiente
recordar una fórmula que permite calcular muchas integrales de RiemannStieltjes en términos de integrales de Riemann. La integral de Riemann es un
caso particular de la integral de Riemann-Stieltjes.
0.19. CÁLCULO
119
Nomenclatura
Una integral de Riemann-Stieltjes se expresa así:
b
Z
b
Z
f dα o
a
f (x)dα(x)
a
donde [a,b] es el intervalo de integración, f es la función integrando y α es la función
integrador. Dos restricciones que asumiremos válidas son que el integrando no
son discontinuas simultáneamente y que son de variación acotada.
Ejemplo. Para dar una idea de lo que puede suceder al evaluar integrales de
Riemann-Stieltjes mostramos a continuación el resultado de una integral de
Riemann, sin deducir el resultado. Suponga que α es una función escalón
desplazada, como la mostrada en la figura 50, α(x) = 0 si x < 1, y α(x) = 1
si x > 1 y que el intervalo (a,b) contiene el número 1. Entonces, si f es una
Rb
función continua en 1, se tiene que, a f dα = f (1).
Sean f y α funciones definidas en [a, b] y sea P = {to , t1 , . . . , tn } una partición de [a, b); la suma de Riemann-Stieltjes de f en [a, b], con respecto a la
n
P
partición P y a la función α está dada por: S(P, f, α) =
f (ti )[α(ti ) − α(ti−1 )].
i=1
Por definición, la integral de Riemann-Stieltjes de f con respecto a α
existe si hay un número real A tal que para cada positiva existe una partición
P de [a, b] tal que para cada partición Q que sea un refinamiento de P, se tiene
Rb
que |S(Q, f, α) − A| < . En tal caso, escribimos a f dα = A.
Ejercicio. Sea α la función mostrada en la figura 50. Calcule
R2
0
cos x dα(x).
Integración por partes
Para la integral de Riemann, la fórmula de integración por partes se puede
recordar a partir de la derivada de un producto: d(uv) = udv + vdu. En términos
120
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
Figura 50: Una función escalón desplazada
de la integral de Riemann-Stieltjes, asumiendo que f y α son continuas en a y
b, la fórmula de integración por partes está dada por:
Z
b
b
Z
f (x)dα(x) +
a
α(x)d f (x) = f (b)α(b) − f (a)α(a)
a
Ejercicio. Sean f (x) = sen x y α(x) = u(x − π/2).
Calcule
R3
0
f (x)dα(x) +
R3
0
α(x)d f (x).
Caso particular I: La integral de Riemann
Si α es la función identidad, dada por α(x) = x, tenemos que
Rb
Rb
a
f (x)dα(x) =
f (x)dx donde la integral a la derecha es un integral de Riemann. B. Riemann
a
fue la primera persona en dar una definición axiomática de la integral. Arquímedes fue tal vez la primera persona en considerar el área bajo una curva
arbitraria.
Caso particular II: La integral de Riemann-Stieltjes cuando el integrador es
derivable
Rb
En general, si α(x) tiene derivada α0 (x) en [a, b], entonces, a f (x)dα(x) =
Rb
f (x)α0 (x) en donde la integral a la derecha es una integral de Riemann.
a
0.19. CÁLCULO
121
Caso particular III: La integral de Riemann-Stieltjes cuando el integrador es
derivable a trozos
Si α(x) es derivable excepto en un conjunto denso en ninguna parte (ver
sección 0.10.6) de puntos {ti }, y f es una función que tiene integral de Riemann
y es continua en los puntos de no-diferenciabilidad de α(x), se tiene que:
b
Z
t1
Z
f (x)dα(x) =
a
f (x)α0 (x)dx +
XZ
a
ti
f (x)α0 (x)dx
ti−1
i
Z
b
+
f (x)α0 (x)dx +
X
tn
f (ti )[α(t+i ) − α(t−i )]
i
Caso particular IV: La integral de Riemann-Stieltjes cuando el integrador es
continuo y estrictamente creciente
b
Z
α(b)
Z
f (x)dα(x) =
a
α(a)
f (α−1 (x))dx
Teorema fundamental del cálculo
Como se verá más adelante, la siguiente versión del Teorema fundamental
del cálculo es particularmente útil para relacionar la respuesta escalón con la
función característica de un sistema de convolución.
Rt
Sea f una función continua en t, y sea G(t) = a f (x)dx entonces , para a < t,
d
dt
t
Z
f (x)dx =
a
dG(t)
= f (t)
dt
Ejercicio. Demuestre que si f es continua en t, el límite cuando h tiene a cero
de
1 t+h
h t
R
f (x)dx es f (t).
122
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
Figura 51: Teorema fundamental del cálculo
Ejercicio. ¿En qué puntos es derivable la función de la figura 51?
Ejercicio. Demuestre el teorema fundamental del cálculo.
Integrales de línea complejas
Si f : C → C y γ : [a, b] → C con Γ := g[a, b], con la expresión
queremos decir:
b
Z
Γ
f (z)dγ
b
Z
Re[ f (γ)(t))]dRe[γ)(t)] −
a
R
Im[ f (γ)(t))]dIm[γ)(t)]
a
b
Z
+j
b
Z
Re[ f (γ)(t))]dIm[γ)(t)] −
a
!
Im[ f (γ)(t))]dRe[γ)(t)]
a
Ejercicio. Sea g : [0, 2π] → C, dada por γ(t) = e jt . Γ = γ([0, 2π]). Sea f : C → C
dada por f (z) = zn . Calcule
R
Γ
f (z)dγ, para diferentes valores enteros de n.
0.19. CÁLCULO
123
La formula con integral de Cauchy es:
H
Γ
f (z)
w−z dw
= f (z)
H
Γ
1
w−z dw,
donde
Γ es una curva cerrada tipo estrella y z es un punto en la región acotada por Γ.
El teorema del residuo dice: Sea Γ una curva tipo estrella, sea f una función
compleja analítica en la región abierta acotada por Γ, excepto posiblemente en
n
H
P
un conjunto finito de puntos z1 , z2 , . . . , zn . Entonces, f (z)dz = 2πj Res f (z).
k=1 z=zk
Γ
Uso de la integral de Riemann-Stieltjes en probabilidad
Un uso interesante de la integral de Riemann-Stieltjes ocurre en probabilidad. Como sabemos, toda variable aleatoria tiene función de distribución,
aunque quizás no tenga función de densidad (por ejemplo, si es discreta) o no
tenga función de masa. La integral de Riemann-Stieltjes nos permite dar una
expresión única para la esperanza de la variable (en caso de que esta exista,
claro). Si X es la variable aleatoria con primer momento y F es su distribución,
R∞
la esperanza de X está dada por: E[X] =
xdF(x).
−∞
La integral de una sucesión uniformemente convergente de funciones continuas
Suponga que { fn } es una sucesión uniformemente convergente en el intervalo [a, b] de funciones continuas. Defina una nueva sucesión {gn } de funRx
ciones con dominio [a, b] a partir de la ecuación gn (x) = fn (t)dt. Entonces
a
se puede demostrar (vea el libro de Cálculo de Apóstol, por ejemplo) que
si la sucesión { fn } converge uniformemente a la función f , entonces la suceRx
sión {gn } converge uniformemente a la función f (t)dt, en otras palabras,
lı́m
Rx
a
fn (t)dt =
Rx
a
a
lı́m fn (t)dt.
124
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
Este resultado permite concluir que si la serie de funciones continuas
∞
P
fn (t) converge uniformemente a la función f (t) en el intervalo [a, b], en-
n=0
tonces
lı́m
m→∞
m Z
X
n=0
x
x
Z
fn (t)dt =
lı́m
m→∞
a
a
m
X
fn (t)dt
n=0
para x ∈ [a, b]. Es decir, el orden de la integral y la serie se puede cambiar.
Promedio de una función en un intervalo
Sea f : R → R decimos que el promedio de f en [a, b] está dado por
f¯[a,b] =
1
b−a
b
Z
f (t)dt
a
Note que f¯ es la altura del rectángulo con base [a, b] y la misma área que la
Figura 52: Promedio de una función
que hay bajo la gráfica de f .
0.19. CÁLCULO
0.19.19.
125
Integral de línea
Una integral de línea es una integral de Riemann-Stieltjes
R
f dλ donde
Λ
λ : I → C es una función definida sobre un intervalo I ⊂ R, f : D ⊂ C → C (D
es el dominio de f ) y Λ := λ(I) ⊂ D. Más específicamente,
Z
b
Z
Λ
f dλ =
f (λ(t))dλ(t)
a
si λ es derivable, tenemos
b
Z
f (λ(t))λ0 (t)dt
a
Ejemplo. Sea f (z) = zn , a = 0, b = 2π y λ(t) = e jt entonces,
I
2π
Z
zn dλ =
S1
e jnt ( je jt )dt
0
2π
Z
=j
e j(n+1)t dt
0
2π j si n = −1
=
0
si n ∈ Z − {−1}
Ejercicio. ¿Qué dice el teorema del residuo?
0.19.20.
Transformada zeta inversa
Suponga que X(z) con región de convergencia R es la transformada zeta de
∞
P
{xn }, entonces X(z) =
xn z−n .
n=−∞
126
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
Ejemplo. Considere ahora una circunferencia de radio r. λ(t) = re jt entonces
I
2π
Z
zn dλ =
rn e jnt ( jre jt )dt
0
Z
2π
= jrn+1
e j(n+1)t dt
0
0
jr 2π n = −1
=
0
n , −1
2π j n = −1
=
0
n , −1
(El resultado no cambia.)
Ejercicio. Muestre que el resultado no cambia tampoco si Λ es una curva simple
cerrada que encierra el origen en sentido antihorario.
Si integramos sobre una curva simple cerrada en la región de convergencia,
I
∞
X
I
X(z)dλ =
Z
=
xn z−n dλ
Λ n=−∞
∞
2π X
0
xn z−n dλ
n=−∞
¿Qué radio de convergencia debe tener? Si se puede intercambiar el orden de
la serie y la integral,
I
X(z)dλ =
∞ Z
X
n=−∞
2π
xn z−n dλ
0
= 2π jx1
Ejercicio. Dé la fórmula para xn en general.
0.19. CÁLCULO
0.19.21.
127
Teorema de representación de F. Riesz
Hacia el final del curso estaremos interesados en responder la pregunta
de cómo representar un sistema lineal e invariante. El siguiente resultado
es valioso: el funcional φ : C[a, b] → R, donde C[a, b] es el conjunto de las
funciones continuas con dominio [a, b], es lineal si y sólo si φ es de la forma
Rb
φ(g) = a g(x)dλ(x), donde λ es la variación acotada en [a, b].
El funcional Dirac
El funcional δ : CR → C dado por δ(g) = g(0), tiene representación de Riesz
R∞
de la forma δ(g) = −∞ g(x)du(x), donde u es la función escalón.
0.19.22.
Transformadas
Finalmente, en esta sección, definimos las transformadas de Fourier del
escalón y de las señales constantes, en un sentido muy especial, que afortunadamente tiene muchos puntos de empate con las transformadas L1 y L2.
Inicialmente, definimos la clase de Schwartz y las distribuciones temperadas.
Decimos que una función f : R → R está en la clase de Schwartz, L, si
es indefinidamente derivable y ella y sus derivadas decrecen rápidamente en
infinito, en el sentido que ∀α, β ∈ N sup{xα Dβ f (x) : x ∈ R} < ∞
Las funciones infinitamente derivables de soporte compacto y otras como
2
e−x que no tienen soporte compacto, están en L. pa,b ( f ) := sup{xα Dβ f (x) : x ∈
R}, determina una familia contable de seminormas para L con la que se define
su topología: { fn } converge a 0 si y sólo si el límite cuando n tiende a infinito
de pa,b ( f ) es cero, para cada α y cada β naturales.
El espacio de funcionales continuos sobre L, que se denota L0 se llama
espacio de distribuciones temperadas.
128
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
Teorema 5. La transformada de Fourier es una aplicación continua de L en L tal
que:
1.
R∞
−∞
g(x)H(x)dx =
2. g(t) =
R∞
1
2π −∞
R∞
−∞
h(x)G(x)dx donde H es la transformada de h y G la de g.
G(ζ)e jζt dζ (fórmula de inversión)
Definición 12. La transformada de Fourier de φ ∈ L0 es la distribución temperada
Φ ∈ L0 dada por ∀g ∈ L Φ(g) = φ(G)
Teorema 6. La transformada de Fourier es una biyección lineal continua.
Definición 13.
Llamamos a g el núcleo del funcional γ dado por γ( f ) =
R∞
Llamamos a g la semilla del funcional η dado por η( f ) =
−∞
g(t) f (t)dt.
R∞
−∞
f (t)dg(t).
Es interesante observar lo que le sucede, cuando tienen núcleo o semilla, a
los núcleos o semillas de las distribuciones φ y Φ en la definición 12.
0.19.23.
La distribución de Dirac
Considere la distribución dada por δ( f ) = f (0), que no tiene núcleo pero
sí semilla: el escalón u(t). Por definición, su transformada ∆ es la distribución
dada por ∆( f ) = δ(F) = F(0), donde F es la transformada de f . Así, D sí tiene
R∞
R∞
núcleo, ya que ∆( f ) = F(0) =
f (t)e j0t dt =
f (t)1dt y vemos que el núcleo
−∞
de D es la función constante 1.
−∞
0.19. CÁLCULO
0.19.24.
129
La distribución constante
R∞
Sea κ dada por κ( f ) = −∞ f (t)dt, que, como vemos, tiene núcleo la función
constante 1. Por definición, su transformada está dada por,
K( f ) = κ(F)
Z ∞
=
F(Ω)dΩ
−∞
Z ∞Z ∞
=
f (t)e− jΩt dtdΩ
−∞
Z−∞
Z ∞
∞
?
=
f (t)
e− jΩt dΩdt
−∞
−∞
que sin embargo no tiene sentido, ya que
que K no tiene núcleo.
0.19.25.
R∞
−∞
e− jΩt dΩ no converge. Así, tenemos
La distribución con núcleo escalón
Considere la distribución con núcleo u(t): µ( f ) =
por definición, la transformada de m está dada por,
R∞
−∞
u(t) f (t)dt =
R∞
0
f (t)dt.
M( f ) = µ(F)
Z ∞
=
F(Ω)dΩ
Z0 ∞ Z ∞
=
f (t)e− jΩt dtdΩ
0
−∞
Z ∞
Z ∞
?
=
f (t)
e− jΩt dΩdt
−∞
que tampoco tiene sentido, ya que
M no tiene núcleo.
0
R∞
0
e− jΩt dΩ no converge. Así, tenemos que
130
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
0.19.26.
La distribución valor principal de 1/x y la transformada de Hilbert
Considere la distribución temperada dada por φ( f ) = lı́m→0
definición, la transformada de f está dada por,
R
||>0
f (t)
t dt. Por
Φ( f ) = φ(F)
Z
F(Ω)
dΩ
= lı́m
→0 ||>0 Ω
Z
Z ∞
1
= lı́m
f (t)e− jΩt dtdΩ
→0 ||>0 Ω −∞
Z ∞
Z
e−jΩt
?
dΩdt
=
f (t) lı́m
→0 ||>0 Ω
−∞
R
−jΩt
resultando un distribución con núcleo ||>0 e Ω dΩ = jsgnt, donde sgn es la
función sígnum. (sgn vale 1 para argumento positivo, -1 para argumento negR∞ − jΩt
ativo y 0 para argumento nulo). Sugerencia: evalúe e Ω dt usando cálculo de
0
residuos.
Así, en cierto sentido, 1/x y jsgn(x) son un par de Fourier.
Variación de señales discretas
Sea X : Z → C. La variación total de la señal se define como
∞
P
|xi −
i=−∞
xi−1 |.
Variación promedio
N
P
1
|xi
2N+1
N→∞
i=−N
La variación promedio se define como lı́m
− xi−1 |.
Ejercicio. Si X es una exponencial compleja periódica con periodo N, muestre
que su variación promedio está dada por
1
N
∞
P
i=−∞
|xi − xi−1 |
0.19. CÁLCULO
131
Ejercicio. Muestre que la variación promedio de e jω0 n está dada por |1 − e jω0 |
Problemas
1. Muestre o dé un contraejemplo en relación con la afirmación: Si una
relación es simétrica y transitiva, entonces es reflexiva.
2. C y D son dos subconjuntos del rango de f . Demuestre o dé un contraejemplo:
a) f −1 (C ∩ D) = f −1 (C) ∩ f −1 (D)
b) f −1 (C ∪ D) = f −1 (C) ∪ f −1 (D)
3. C y D son dos subconjuntos del dominio de f . Demuestre o dé un contraejemplo:
a) f (C ∩ D) = f (C) ∩ f (D)
b) f (C ∪ D) = f (C) ∪ f (D)
4. Muestre o dé un contraejemplo: Para ningún conjunto hay una biyección de
éste a su conjunto potencia.
5. Dé ejemplos de conjunto finito, contable infinito y no contable.
6. Muestre que hay infinitas ternas pitagóricas. (Números naturales a, b, c
tales que a2 + b2 = c2 )
132
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
7. Muestre que si se tiene una inyección de un conjunto A al conjunto N de
los números naturales, y que si A no es finito, entonces hay una biyección
de A a N.
8.
a) Dé un ejemplo de un subconjunto acotado de Q que no tenga suprémum (racional).
b) ¿Es cierto que todo subconjunto acotado de R tiene suprémum
(real)?
9.
a) Diga si el siguiente conjunto tiene suprémum racional: A = {q ∈ Q :
q2 < 9}.
b) Diga si el siguiente conjunto tiene suprémum racional: B = {q ∈ Q :
q2 < 8}.
10. Dé una sucesión de intervalos cerrados encajonados de racionales, con
intersección vacía.
11. Sea f : R1 → (−π/2, π/2) dada por f (x) = arctan (x). Diga si f es una
biyección, o no.
12. Dé las fases de 1 + j y de −1 − j.
2π
13. Sea N un número entero positivo y sea r un número entero. Sea z = e j N r ,
muestre que zN = 1.
14. Muestre que e jnπ = e− jnπ = cos(nπ) = cos(−nπ) = (−1)n .
P
15. Dé un ejemplo de una serie ∞
n=0 qn de racionales qn que converja a un
P
irracional pero que, en valor absoluto ∞
n=0 |qn |, converja a un irracional.
16. Muestre que e jt + 1 = 2e jt/2 cos(t/2).
17. Grafique en el plano complejo 1 − e jω , ω ∈ [0, 2π].
0.19. CÁLCULO
133
18. Para ω ∈ [−π, π], grafique la fase de e jω − e2jω .
19. Grafique la magnitud y la fase de f (t) = e jt + 1 para t ∈ [−π, π].
20. Sea f : R → C dada por f (Ω) =
jω
1+ jΩ .
21. Ses H : R → C dada por H(Ω) =
Grafique magnitud y fase.
1
1+ jΩ .
a) Grafique magnitud y fase.
b) Sea F(Ω) = H(Ω + 2) + H(Ω − 2). Grafique magnitud y fase.
22.
a) Grafique en el plano complejo la imagen de la función f : R → C
e jt
dada por f (t) = 1+e
jt
b) Grafique aproximadamente las partes real e imaginaria, contra t.
c) Grafique aproximadamente la magnitud y la fase contra t.
23. Sea f : R → C dada por f (ω) = e− j2Ω . Grafique la magnitud y la fase de
f (ω), para ω ∈ [0, 2π].
24. Calcule
2024
P
e j2π/7 .
n=0
25. Sea p : R → C dada por p(t) = (t−z)(t−z∗ ), donde z = e jΘ , Θ ∈ R. Muestre
que p es real y no negativa.
26. Se tiene f : C → C dada por f (z) = z∗ . Calcule el límite cuando a ∈ R
f (z+h)− f (z)
, si:
tiende a cero de
h
a) h = a(1 + j)
b) h = a(1 − j)
27. Muestre que p(z) = zN − 1 tiene una raíz real (z = 1) y N − 1 raíces
complejas, dada por las raíces de q(z) = zN−1 + zN−2 + · · · + z + 1.
28. Deduzca las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
134
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
29. Sea f : Z → C dada por f (n) = e j(2π/5)n , indique en el plano complejo los
puntos f (n) para n ∈ / − 10, 10/.
30. Grafique la magnitud y la fase de f contra n, para n ∈ /0, 10/, donde f es
la función definida en el problema anterior.
31. Encuentre k ∈ //0, 4 tal que e j(2π/5)1024 = e j(2π/5)k .
32. Sea z = e j2π(1/π)(12/15) . Dé el mínimo valor entero de n, positivo, tal que
zn = 1.
33. Encuentre un polinomio equivalente a a(1 − z9 )/(1 − z), para z , 1.
34. Sea f : C → C dada por f (z) = (1 + 2j)z. Sea T el triángulo mostrado.
dibuje la imagen f (T) de T.
35. Grafique la imagen del triángulo rectángulo con vértices Θ, 1 y 1 + j con
respecto a la función f : C → C dada por f (z) = (1 + 2 j)z2 .
36. Sea f : C − {−1} → C dada por f (z) = (1 − z)/(1 + z).
0.19. CÁLCULO
135
a) Grafique en el plano complejo las imágenes con respecto a f de los
ejes real e imaginario de C.
b) Diga si f es una biyección, o no. ¿Cuál es la preimagen de -1?
37. Sea f : C → C dada por f (z) = ez . Grafique las imágenes de los ejes del
plano complejo, y de las líneas que salen del origen con ángulos de nπ/4.
diga si es sobreyectiva.
38. Grafique en el plano complejo la imagen de la función f : R → C dada
por f (t) = cos3 (t) + j sen3 (t), para t ∈ [0, 2π]. Diga si f está parametrizada
por longitud de arco.
39. Sea f : R → C una función continua parametrizada por longitud de arco.
¿Es posible que la imagen de f en el plano tenga un vértice? (un vértice
es un punto con dos tangentes) ¿Es f diferenciable?
40. Sea p : R → R dada por p(x) = (x − z1 )(x − z2 ), donde z1 = e jΘ , Θ ∈ R,
z2 = z∗1 y muestre que p es una función no negativa.
41. Grafique en el plano complejo la imagen de F : R → C dada por F(Ω) =
e jΩ
. También, grafique la magnitud y la fase de F para Ω ∈ [0, 2π].
1+e jΩ
42. Dé la magnitud y la fase de
8
P
n=0
(1 + j)n .
43. Se tiene g : C → C dada por g(z) = ez . Dibuje la imagen de las lineas,
a) 1 + jt, con t ∈ [0, ∞).
b) 1 − jt, con t ∈ [0, ∞).
c) t(1 + j), con t ∈ [0, ∞).
d) t(1 − j), con t ∈ [0, ∞).
44. Sea f : C → C dada por f (z) = z2 . Diga si f respeta ángulos entre líneas que
se intersecten en los puntos z = Θ, z = 1 y z = 1 + j. Explique.
136
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
45. Se sabe que f : R3 → R1 es lineal y que f (0, 1, 1) = 1, f (1, 0, 1) = 2 y que
f (0, 1, 0) = 3. Encuentre A tal que f (x) = Ax.
46. Encuentre x en términos de y si:
a)
b)
47. Encuentre la extensión en series de Taylor de ln (1 + x) alrededor de x = 0.
48. Encuentre la extensión en series de Taylor de
1
1+x
alrededor de x = 0.
49. Encuentre la extensión en series de Taylor de la función ln (1 + 2z−1 ).
¿Cuál es la región de convergencia?
50. Diga si las siguientes series convergen. Si sí, dé el valor de convergencia.
a)
∞
P
n=1
1
n
0.19. CÁLCULO
b)
∞
P
n=1
51. Exprese
137
1
n2
9
P
n=0
zn como una función racional de z, para z , 1.
52. Dé los primeros cinco coeficientes de la extensión en series de Taylor de
la función f : R → R dada por f (x) = 2x , alrededor de cero.
53. Grafique la magnitud y la fase de
∞
P
n=1
5
P
n=1
j
( 2 )n
j
( 2 )n . Indique los números
2
P
n=1
j
( 2 )n y
en el plano complejo.
54. Sea g : (−1, 1] → R dada por g(x) = ln (1 + x). Encuentre los coeficientes
∞
P
de la serie de Taylor a0 +
an xn de g al rededor de cero. Diga si la serie
n=1
encontrada converge también para x = 1. Encuentre f 0 (1− ) (la derivada
∞
P
por la izquierda en 1). Diga si f 0 (1− ) =
nan xn−1 con x = 1.
n=1
55. Encuentre la transformada zeta U(z) con su respectiva región de convergencia (RC) del escalón discreto un (un = 1, si n ≥ 0, un = 0, si n < 0). A
continuación, encuentre otra señal discreta con transformada zeta U(z)
pero con diferente región de convergencia.
56. Demuestre que si
∞
P
|an | converge, entonces
n=0
57. Muestre que
10
P
n=−10
∞
P
n=0
2
1
zn = z−10 1−z
1−z .
58. Grafique las señales | sen(5πt)| y sen2 (5πt).
59. Diga si la señal | sen(5πt)| es derivable o no.
60. Diga si la señal sen2 (5πt). es derivable o no.
an también.
138
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
61. Encuentre el límite, cuando t tiende a cero, de
sen t
t ,
t ∈ R1 .
62. Encuentre el límite, cuando h tiende a cero, de
R
1 h
h 0
cos xdx.
63. Sea f : C → C dada por f (z) = z∗ . Encuentre, si existe, f 0 (z).
64. Sea f : C − {−1} → C dada por f (z) = z−1
z+1 . Diga si f respeta ángulos en
z = Θ, j, 1. Explique.
R1
65. Calcule −1 f (t)dα(t) donde f (t) = t2 y α(t) = 0 para t < 0 y α(t) = 1 − t
para t ≥ 0.
R∞ 2
66. Evalúe −∞ e−t e−jΩt dt, Ω ∈ R.
R∞
1 − jΩt
67. Evalúe −∞ 1+t
dt, Ω ∈ R.
2e
Rπ
dΩ
68. Evalúe −π (1,25−cos
.
Ω)2
69. Encuentre la variación total de f (x) = x(x − 1)(x − 2) en el intervalo [−1, 3].
70. Encuentre la variación total de la función sen t en el intervalo [0, 4π].
∞
P
71. Sean f, α : R → R dadas por α(x) =
u(x − n − 0,5) y, g(x) = x−2 , para
n=0
R∞
x , 0 y g(0) = 0. Calcule −∞ g(x)dα(x).
Rπ
Rπ
72. Sea λ(t) = u(t − 0,25) − u(t − 0,75). Calcule 0 sen(t)dλ(t), 0 sen2 (t)dλ(t)
Rπ
y 0 cos(2πt)dλ(t).
R 2
73. Calcule la integral de línea Λ ez dΛ donde Λ es el camino dado por
Λ(t) = 1 + jt, t[0, 1], Λ(t) = j + 1 − t, t[1, 2].
R∞ 2
74. Calcule −∞ e−t e−jt dt.
75. Calcule
R1
−1
u(t)d cos(t) usando la fórmula de integración por partes.
0.19. CÁLCULO
139
R 2π
76. Calcule 0 f (λ(t))dλ(t), donde f : C → C está dada por f (z) = z2 y
λ : R → C está dada por λ(t) = e jπ(t+u(t−1)) (u(t) es el escalón).
77. Sea f : [0, ∞) → R1 dada por f (x) = 0 si x = 0 y f (x) = sen(1/x) si x > 0.
Diga si f es de variación acotada en [0, 1]. Explique.
78.
a) Dibuje la gráfica y la imagen de la función g : [0, 8π] → C dada por
g(t) = te jt . También grafique la magnitud y la fase de la función.
b) Grafique la magnitud y la fase de f : C → C dada por f (z) = sen(z).
También, grafique las parte real e imaginaria de la función.
c) Grafique la magnitud y la fase de f : C → C dada por f (z) = ez .
También, grafique las parte real e imaginaria de la función.
79. Demuestre que la función f : C − {0} → C dada por f (z) = 1z puede ser
implementada en la siguiente forma:
Coloque el polo sur de una esfera de radio 12 sobre el origen del plano.
Suba los puntos del plano a la esfera, usando proyección estereográfica.
Rote la esfera manteniendola tangente al plano, y manteniendo invariantes las imágenes del eje real, de tal forma que al final, con proyección
estereográfica inversa, la imagen del punto que partió del punto j del
plano inicialmente, aterrice ahora sobre el punto −j.
80. Demuestre o dé un contraejemplo: para cada número complejo z , 0,
para todos números complejos w1 , w2 y w3 , no colineales en el plano, los
triángulos w1 − w2 − w3 y zw1 − zw2 − zw3 son similares.
81. Represente los productos de complejos y de cuaternios con matrices; es
decir, diga cómo obtener una matriz a partir de cada complejo (o cuaternio) de tal forma que al multiplicar las matrices correspondientes, resulte
la matriz correspondiente al producto de los complejos (o cuaternios).
140
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
82. Grafique la imagen del conjunto {z ∈ C : ∃ t ∈ R, z = e jt } con respecto a
la función f : C − {1} → C dada por f (z) = z−1
z+1 . Grafique la magnitud y la
fase con respecto a t.
83. Demuestre que si h es un cuaternio unitario y q un cuaternio puro, entonces hqh∗ es también un cuaternio puro.
84. Dé fórmulas para el ángulo φ y el cuaternio puro q que permitan expresar
el cuaternio a + bi + c j + dk en la forma cos(φ) + q sen(φ).
85. Encuentre los puntos de acumulación del conjunto {z ∈ C : ∃ n ∈ N,
jn }.
86. Encuentre el valor de la serie
1
n
+
P∞
1
n=1 n2 .
1
87. Encuentre el límite cuando z tiende a 0 de e z .
88. Demuestre que las sucesiones reales de Cauchy convergen (a reales).
89. Encuentre la matriz Jacobiana de f : R2 → R2 , dada por f (x, y) =
x4 −y4
x4 +y4
( x3 +y3 , x3 +y3 ), si (x, y) , (0, 0) y, f (0, 0) = (0, 0).
90. Diga si g : C → C dada por g(x + jy) =
x4 −y4
x3 +y3
x4 +y4
+ j x3 +y3 derivable.
91. Encuentre tres señales discretas con transformada zeta X(z) =
indique las regiones de convergencia correspondientes.
1+z
,
−z3 +2z2 +5− 6
92. Encuentre la serie de Taylor alrededor de 0 de g : [−1, ∞) → R; usando
10 términos, aproxime raíz de 2.
93. Encuentre la transformada zeta U(z), z ∈ RC del escalón discreto u,
(un = 1 si n ≥ 0 y un = 0 si n < 0). A continuación, encuentre otra señal
discreta con transformada U(z) pero diferente región de convergencia.
0.19. CÁLCULO
141
94. Sea f : C − {−1} → C dada por f (z) =
z = θ, z = j y z = 1. Explique.
z−1
z+1 .
Diga si f preserva ángulos en
95. Diga si la siguiente función tiene derivada compleja en el origen. También, evalúe las ecuaciones de Cauchy-Riemann allí.
f (x + jy) =
x4 − y4
x4 + y4
+
j
x3 + y3
x3 + y3
96. Dé una sucesión de intervalos cerrados encajonados de racionales con
intersección vacía.
97. Encuentre las componentes del inverso del cuaterio a + bi + c j + dk.
R 2π
98. Calcule la integral 0 f (λ(t))dλ(t), donde f : C → C está dada por
f (z) = z2 y λ : R → C está dada por e j(t+u(t−π)) . Donde u es el escalón.
99. Dé el periodo de la señal s : Z → C dada por sn = e jπ(6/27)n .
100. Exprese la señal s : Z → C dada por sn = [n]3 , como una suma de
exponenciales complejas.
P
n
−10 1−z21
101. Muestre que 10
n=−10 z = z
1−z .
102. Sea A un conjunto de reales, considerados como cortes de Dedekind.
Recuerde que el orden lineal para R está dado entonces por x ≤ y si y
S
α , Q. Demuestre entonces que β es la
sólo si x ⊂ y. suponga que β :=
α∈A
una cota superior mínima de A; osea, que β es un corte de Dedekind, que
es una cota superior de A y que no hay cotas superiores de A menores
que β.
103. Cada sucesión de reales no decreciente y acotada superiormente, converge.
104. Cada sucesión real acotada tiene una subsucesion convergente.
142
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
105. Una sucesión de reales converge si y sólo si es una sucesión de Cauchy.
106. Si p y q son cuaterinios, demuestre o dé un contraejemplo para, (pq)∗ =
p∗ q∗ .
107. Encuentre una sucesión de racionales que converja a un irracional pero
que en valor absoluto converja a un racional.
108. Para la señal discreta s:Z → C dada por: Sn =
−1n
|n|+1
a) Grafique para n ∈ [−5, 5].
b) Encuentre (si existen como números reales) ||s||1 , ||s||2 , ||s||3 .
109. Demuestre o de un contraejemplo para la siguiente afirmación, donde se
supone que f es una función y C y D son subconjuntos de su dominio:
f (C ∪ D) = f (C) ∩ f (D)
110. Demuestre o de un contraejemplo para la siguiente afirmación, donde se
supone que f es una función y C y D son subconjuntos de su rango:
f −1 (C ∪ D) = f −1 (C) ∩ f −1 (D)
111. Encuentre la transformada Zeta U(z), z ∈ R.d.C, del escalón discreto Un .
Encuentre otra señal con transformada U(z) pero diferente region de
convergencia.
112. Se tienen las funciones f, g : C → C dadas por:
g(z) = z2 ; f (z) = |z|2
a) Diga si es derivable.
b) Aproxime, en las cercanias de z = 1 + j, a g(1 + j) + λ(z − (1 + j)),
donde λ : C → C, es lineal (con campo de escalares C). Encuentre
λ. Cuantifique el error para z = 0,9 + 1,1j
0.19. CÁLCULO
143
113. Demuestre o de un contra ejemplo. x y y son elementos de R2 . La norma | |
es la norma euclídea. El producto es producto punto. | |es valor absoluto.
|x • y| ≤ |x||y|
114. Dé los primeros cinco coeficientes de la extensión en series de Taylor de
la función f (x) = 2x alrededor de x = 0
115. Muestre o de un contra ejemplo: Para ningún conjunto hay una biyección
de éste a su conjunto potencia.
116. Muestre o dé un contraejemplo de en relación con la afirmación: Si una
relación es simétrica y transitiva entonces es reflexiva.
117. Dé un ejemplo de un subconjunto acotado de Q que no tenga suprémum
racional.
118. Diga para qué calores de a la siguiente matriz es invertible, y encuentre
la inversa en términos de a; no deje determinantes indicados, desarrolle
las expresiones del caso, no las deje indicadas. Compuebe su respuesta.
a
4
9
2 3
5 6
8 7
119. Para la función f : R3 → R1 dada por:
1
f (x, y, z) = det 4
9
x
y
z
3
6
7
diga si es lineal; si sí, representela como producto por una matriz(dando
la matriz).
144
CAPÍTULO 0. BASES MATEMÁTICAS
120. Para la función f : R4 → R1 dada por:
w
5
f (w, x, y, z) = det
9
1
2
x
8
2
3
7
y
3
4
8
0
z
diga si es lineal; si sí, representela como producto por una matriz(dando
la matriz).
121. Considere la transformación de Morbius f : C − δ/γ → C dada por f (z) =
αz+β
δz+γ ; α, β, δ, γ ∈ C. Si α = 1, β = −1, δ = 1, γ = 1, grafique las imágenes
de los ejes real e imaginario, así como la imagen de la circunferencia de
radio 1 con centro en el origen y la del círculo que la circunferencia acota.
Indique las imagenes de los puntos 1, j, −1y j.
122. Si cos(t) + 2sen(t) = Acos(t + φ), encuentre A y φ.
Referencias
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Reading MA, 1974. (Integral de Riemann-Stieltjes)
[2] “Essay on Theory of Numbers”. Richard Dedekind. Dover, N.Y.,
1963.
[3] “Science and Hypothesis”. Henri Poincaré. Dover, N.Y., 1963.
[4] “Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite
Numbers”. Georg Cantor. Dover, N.Y., 1955.
[5] “Geometry of Complex Numbers”. Hans Schwerdteger. Dover,
N.Y.,1979.
[6] “Elementary Theory of Analytic Functions on One or Several
Complex Variables”. Henri Cartan. Dover, N.Y., 1995.
[7] “Principles of Mathematics”. Bertrand Russell. Norton, N.Y.,
1902. (Relaciones)
[8] “The Large, the small and the Human Mind”. Roger Penrose.
[9] “Theory of Complex Functions”. Reinhold Remmert. Springer,
N.Y.,1991.
145
146
REFERENCIAS
[10] “The Real Line and Calculus”. William Eaton. Class notes for
665A. The University of Texas at Austin, 1985. (Huecos de Q)
[11] “Visual Complex Analysis”. Tristan Needham. Clarendon, Oxford, 1997. (Visualizació del producto de complejos)
[12] “Quaternion-Fourier Transforms for Analysis of Two Dimensional Linear Time-Invariant Partial Diferential Systems”. Proc.
32nd Conf. Decision Contr., Dec. 1993, pp. 1830-1841.
[13] “Calculus. Cálculo Infinitesimal”. Michael Spivak. Reverté,
México, 1992. (Sucesiones, definición de reales)
[14] “Georg Cantor, His Mathematics and Philosophy of the Infinite”. J.W. Dauben. Princeton University Press, Princeton, 1979.
[15] ”Hypercomplex Fourier Tansform of Color Images”. IEEE International Conference on Image Procesing (ICIP 2001). S.J. Sangwine. Thessaloniki, Grece, Oct. 2001, vol. I, pp. 137-140.
[16] ”Quaternions and Rotation Sequences”. J.B. Kuipers. Princeton
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[17] ”Computational Conformal Mapping”. P.K. Kythe. Birkhäuser,
Boston, 1998. (ecs- Cauchy-Riemann y diferenciabilidad)
[18] ”On Quaternions and Octonions”. J.H. Conway and D.A. Smith.
AK Peters, Natick, 2003.
[19] ”Elementary Geometry in Hyperbolic Space”. Werner Frenchel
- de Gruyter, Berlín, 1989.
[20] ”Circular Processing of the hue variable: a Particular Trait
of Colour Image Procesing”. A. Restrepo, C.Rodriguez and
REFERENCIAS
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C.Vejarano. VISSAP-Second International Conference on Computer Vision Theory and Applications. Barcelona, Spain, March
2007
[21] ”Colour spaces”.A. Restrepo, C.Rodriguez and C.Vejarano.
VISSAP-First International Conference on Computer Vision
Theory and Applications. Setubal, Portugal, 2006.
[22] ”Directional Statistics”. K.V. Mardia and P.E. Jupp. Wiley,
Chichester, 2000.
[23] ”Color Appearance Models”. Mark D. Fairchild. Wiley, 2005.
Capítulo 1
Señales y sistemas
1.0.
INTRODUCCIÓN
Imagínese en una noche despejada al capitán de un barco comunicándose
con el de otro por medio de señales luminosas. Imagine que en el cerebro de
una persona se origina un impulso nervioso que al cabo de algún tiempo hace
que la persona mueva su mano izquierda. Imagine que por el cable de una
impresora viaja una señal que hará que se imprima la frase “Hello World”.
Un modelo sencillo de un sistema de comunicación incluye un emisor, un
canal de transmisión y un receptor; pero hay además otras cosas involucradas.
Por una parte está el vocabulario y la sintaxis del lenguaje de comunicación.
Por otra parte está la semántica de los mensajes que se pueden transmitir. Por
otra están las características de la implementación física del sistema.
En este curso, el sentido técnico de la palabra señal está dado por el aspecto
matemático de “lo que se transmite” en un proceso de comunicación. Aunque este
sea solo un aspecto del proceso de comunicación, su estudio resulta provechoso y básico para el entendimiento y potencial avance de los sistemas de
148
1.0. INTRODUCCIÓN
149
comunicación electrónicos y de otros tipos.
Como decimos, una señal es desde cierto punto de vista, una función. Así,
una señal es una abstracción de lo que se transmite en un proceso de comunicación. Se supone que una señal contiene información y que es producida
por un proceso físico: es la variación de una magnitud física en términos de
algún parámetro (típicamente el parámetro tiempo) y no cualquier función
que pueda definir un matemático.
Como ejemplo de señal, tenemos la función de voltaje (en la variable tiempo) resultante al convertir la intensidad de la onda de presión de aire correspondiente a algún sonido por medio de un micrófono, como se ilustra en la
figura 1.1. O también, la función de transmitancia luminosa (en la variable
posición) de una película fotográfica después de haber sido expuesta. Más
Figura 1.1: Obtención de una señal
específicamente, usaremos la siguiente definición de señal.
Definición 14. Una señal continua es una función cuyo intervalo de RN , con la
posible excepción de un subconjunto denso en ninguna parte de puntos.
150
CAPÍTULO 1. SEÑALES Y SISTEMAS
Definición 15. Una señal discreta es una función cuyo dominio es un intervalo
de ZN . El rango de una señal discreta es un conjunto de números; por ejemplo, el
conjunto de los números complejos, o el intervalo /0, 255/.
Definición 16. Un subconjunto W de RN es denso en ninguna parte si para
cada punto de W hay in intervalo de RN que contiene al punto y a ningún otro
elemento de W.
Definición 17. Una señal continua en sentido laxo es una señal continua que se ha
dejado sin definir en un subconjunto denso en ninguna parte de su dominio.
La ingeniería es en parte el arte de asignar números a magnitudes físicas con
el objeto de manejar los diferentes aspectos en un diseño. Así como los físicos,
los ingenieros cuantificamos las variables con que trabajamos, lo que nos permite
usar herramientas matemáticas y poder hablar objetivamente de los resultados
esperados de un diseño. Esta actividad, que podríamos llamar aritmetizar, va
acompañada de aquella de matematizar, donde modelamos matematicamente
los fenomenos fisicos.
Ejemplo. En la figura 1.1 indicamos la función de voltaje v definida en el
intervalo (t1 , t2 ), los valores del voltaje son números reales: v : (t1 , t2 ) → R1
Seguramente, no cualquier función es una señal que provenga de algún
fenómeno físico, pero la función matemática es un poderoso modelo de señal.
Muchas de las herramientas usadas en ingeniería para el análisis de señales,
están basadas en el cálculo y en otras disciplinas matemáticas.
En un principio, en ingeniería de comunicaciones, las señales consideradas
eran generalmente continuas: señales de voltaje o corriente, en el dominio del
tiempo; por lo general eran señales de radio. La idea de poder transmitir palabras a distancia era muy atractiva. Así como el estudio de la electricidad se
impulsó con los experimentos de Volta con patas de ranas, probablemente la
idea de usar un cable coaxial para la transmisión de información a distancia se
1.0. INTRODUCCIÓN
151
inspiró en los axones largos y mielinados del sistema nervioso de los mamíferos. El problema que aún persiste con un cable coaxial (o de fibra óptica), es
la atenuación que sufre la señal con la distancia; así, resulta muy importante
poder amplificar una señal. La tecnología de tubos de vacío con electrodos
conectados a terminales externos permitió efectuar tal amplificación. Esta misma tecnología permitió el desarrollo del tubo de rayos catódicos, que es con lo
que se construían las pantallas de TV y los osciloscopios anteriormente. A finales de la década de los 40 del s.XX, se desarrolló un dispositivo amplificador
semiconductor que era pequeño, confiable y permitía integración (es decir, la
fabricación de un circuito electrónico muy denso: (muy denso: miles de componentes en un milímetro cuadrado, así como la posibilidad de producirlos en
gran cantidad): este dispositivo es el transistor bipolar, inicialmente construido con germanio o silicio y despues con arseniuro de galio. Probablemente
en un futuro se usen las señales luminosas tanto como las electrónicas en los
circuitos integrados.
La tecnología de las comunicaciones y del control para los vuelos Apolo (en
la década de los 60)fue análoga en gran medida (aunque usaron computadores
rudimentarios al final). En los sesentas, el análisis de señales discretas o series
de tiempo era más del dominio de los estadísticos que de los ingenieros.
A partir de los setentas, la tecnología digital entró en auge; se desarrollaron
varias familias de circuitos integrados que implementaban funciones lógicas,
se inventó el microprocesador, aparecieron las calculadoras electrónicas de
bolsillo (de 4 operaciones), las memorias bajaron de precio y aumentaron en
capacidad, etc. (La industria electrónica japonesa que hasta el momento era de
calidad regular llegó a sobrepasar el desempeño de la industria estadounidense
en algunos aspectos). Paralelamente, la teoría matemática básica que sería usada para el análisis y el tratamiento lineal de señales digitales, se sofisticó
en algún grado interpretando algunos resultados aplicables y desarrollando
otros como por ejemplo la transformada rápida de Fourier. Hoy en día, para
152
CAPÍTULO 1. SEÑALES Y SISTEMAS
tasas de muestreo por debajo de, aproximadamente, 109 Hz, la tecnología digital
supera en muchos aspectos a la tecnología análoga; el caso más patente es el
tratamiento de señales de audio donde el uso de técnicas digitales permite
una gran versatilidad en la implementación de sistemas para el tratamiento
de las señales. Desde los ochentas, compañías como Texas Instruments producen procesadores (DSP o digital signal processor) con arquitectura orientada
al tratamiento de señales.Desde la década de los noventas ha habido un boom
de las comunicaciones, que ha sido posible en parte por la tecnología para el
tratamiento digital de señales.
1.1. CLASIFICACIÓN DE LAS SEÑALES
1.1.
153
Clasificación de las señales
Inicialmente clasificamos las señales dependiendo de la cardinalidad de los
conjuntos dominio y rango de la función correspondiente. Si el dominio de la
señal es un conjunto contable, se dice que la señal es discreta.
Figura 1.2: Una señal discreta de longitud finita
Ejemplo.
Como dijimos, un ingeniero normalmente cuantifica las variables que usa,
es decir, las modela con conjuntos de números. En relación con el ejemplo
anterior, podemos definir la señal s : /1, 5/ → /0, 1/ donde el conjunto /1, 5/
representa los días y el conjunto /0, 1/ las posibilidades “llovió” y “no llovió”:
s(1) = 0, s(2) = 1, etc. Dado que en este curso el análisis de Fourier tiene en
papel importante, asumiremos que el rango de una señal es un subconjunto
de los números complejos C.
Asumiremos también que el rango es realista en el sentido que está dado
por el conjunto de valores que la señal en efecto podría tomar. Si el rango de una
señal es finito, se dice que la señal es digital. este punto es algo sutil ya que
154
CAPÍTULO 1. SEÑALES Y SISTEMAS
dos funciones pueden tener el mismo gráfico y distinto rango; como acabamos
de decir, se asume que el rango es el conjunto de valores que la señal puede
tomar, físicamente. por ejemplo, la señal almacenada en un disco compacto
es digital ya que cada componente está codificado con 16 bits. La señal del
ejemplo anterior es una señal digital, así como la del ejemplo siguiente:
Ejemplo. f : {1, 2, 3, 4, 5} → /0, 15/, dada por f (1) = 10, f (2) = 0, f (3) = 1,
f (4) = 9, f (5) = 15.
Cuando una señal se procesa o se almacena en un dispositivo electrónico
de tecnología digital, por ejemplo un computador, la señal es normalmente
discreta y digital. es discreta ya que sólo una cantidad finita de valores de la
señal pueden ser almacenados y es digital ya que los valores se representan
en algún código de bits y por lo tanto sólo hay un número finito de valores
posibles que la señal puede tomar.
Una señal continua es una señal cuyo dominio es R1 o, en general, un
intervalo de RN , con la posible excepción de un conjunto finito de puntos.
Es importante resaltar que las definiciones de continuidad de un función y de
continuidad de una señal son diferentes. La continuidad de una función es la que
ve en un curso de cálculo y se repasó en el capítulo anterior. La continuidad
de una señal, como se acaba se definir aquí, depende sólo de su dominio, f
puede ser una señal continua y no ser una función continua, como es el caso de
la función escalón de Heaviside que definimos un poco más adelante.
Se dice que una función f : R → C es una función escalera si localmente
es, o constante, o discontinua; es decir, para cada real x, si f es continua en
x, hay un intervalo abierto I que contiene a x tal que f es constante en I:∀x
∃a ∈ R, I ⊂ R : x ∈ I, f (I) = a, ó, f (→ x+ ) , f (→ x− ). Además, el conjunto
de los puntos de acumulación de las discontinuidades no tiene puntos de
acumulación.
Se dice que una función continua f : R → C es una función derivable en
sentido lato si tiente derivadas por la izquierda y por la derecha en cada punto, y
1.1. CLASIFICACIÓN DE LAS SEÑALES
155
el conjunto de los puntos de acumulación de los puntos de no diferenciabilidad
no tiene puntos de acumulación.
De ahora en adelante, cuando nos refiramos a señales continuas, asumiremos que se trata de funciones que son sumas de una función escalera y una
función derivable en sentido lato.
Señales escalón Continua y Discreta
La señal escalón continua u : R → C está dada por
1 si t ≥ 0
u(t) =
0 si t < 0
La señal escalón discreta u : Z → C está dada por
1 si n ≥ 0
un =
0 si n < 0
También, la señal impulso discreta, δ : Z → C está dada por
1 si n = 0
δn =
0 si n , 0
Por razones que explicamos más adelante, no definiremos la señal “impulso
continua” como una función, sino como un funcional.
La señal escalón continua se conoce también, especialmente en matemáticas, como función de Heaviside, en honor a Oliver Heaviside quien notó su
importancia en la teoría de sistemas lineales.
Ejercicio. ¿Puede ser digital una señal continua?
Ejemplo. Sea v : R1 → N donde v(x) = parte entera(x)
156
CAPÍTULO 1. SEÑALES Y SISTEMAS
Figura 1.3: Una señal continua. (La función correspondiente no es continua)
Tamaño
Definimos el tamaño de un conjunto a continuación. Si el conjunto es contable, su tamaño está dado por su cardinalidad. Si el conjunto es un subconjunto
de RN , su tamaño está dado por la correspondiente medida (de Lebesgue): su
longitud, su área o su volumen, etc.
Ejemplo. El tamaño del intervalo /4, 9/ es 6.
El tamaño de Z es infinito.
El tamaño del producto cartesiano /0, 1023/×/0, 1023//subsetZ/timesZ es 1.048.576
(o “un mega” en la jerga de los programadores).
El tamaño del intervalo (0, 10)/subsetR es 10, así como también lo es el del
intervalo [0, 10].
El tamaño de R1 es infinito.
El tamaño del producto cartesiano [2, 5] × [0, 2]/subsetR/timesR es 4.
Soporte
El soporte de una función es el subconjunto del dominio donde la función
toma valores diferentes de cero.
Ejemplo. El soporte de la señal escalón continua u : R → C, es el intervalo
1.1. CLASIFICACIÓN DE LAS SEÑALES
157
[0, ∞).
El soporte de la señal seno sen : R1 → C, es R1 − πZ.
El soporte de la señal escalón discreta, u : Z → C, es el conjunto de los números
naturales.
El soporte de la señal pulso discreta p : Z → C, pn = un − un−10 es /0, 9/.
Longitud y duración
La longitud de una señal está dada por el tamaño de su dominio. La
duración de una señal está dada por el tamaño del intervalo más pequeño
que contenga su soporte.
Ejemplo. A continuación se muestra una señal digital de longitud finita. Sea
s : /0, 3/ → {0, 2} dada por s = [0, 2, 0, 2], s(0) = 0, s(1) = 2, s(0) = 0, s(1) = 2.
Figura 1.4: Una función del conjunto 4 al conjunto de los números reales
Ejemplo. La señal s : N → C dada por s(n) = 2−n es de longitud infinita.
Ejemplo. La señal continua g(t) = u(t) − u(t − 1), donde u es la señal escalón
continua, es de longitud infinita pero de duración finita.
Ejemplo. La duración de la señal discreta sn = δn + δn−5 es 6.
158
CAPÍTULO 1. SEÑALES Y SISTEMAS
Ejercicio. Grafique la señal g(t) del ejemplo anterior para t ∈ (−1, 2).
Después de toda esta taxonomía, concluimos esta sección diciendo que
en este curso, en general, las señales continuas serán funciones de R1 →
C (descomponibles en sumas de funciones escalera y funciones derivables
en sentido lato), las señales discretas de longitud infinita serán funciones de
Z → C y las señales discretas de longitud finita, funciones de N → C, donde
N = /0, 1, . . . , N − 1/ es algún número natural, por ejemplo, N = 4 = {0, 1, 2, 3}.
Casi siempre trabajaremos con señales de uno de estos tres tipos.
Figura 1.5: Una señal discreta con rango complejo
1.2.
Funcionales
Conceptualmente, un funcional es un objeto intermedio entre aquellos de
funciòn o señal, y de sistema. Un funcional es una función (valga la redundancia) que asigna un número (o, más generalmente, un elemento de un cuerpo
de escalares) a cada una de las funciones en un espacio vectorial de funciones.
Por ejemplo, considere el funcional φ : V → C, definido para un conjunto V
de señales, que asigna a cada señal s ∈ V el número s(0); escribimos φ(s) = s(0);
1.3. SISTEMAS
159
así, φ(cos) = 1. Más adelante consideraremos en particular los funcionales que
son lineales, los que respetan la estructura de combinación lineal del espacio
de señales V.
1.3.
Sistemas
Un sistema es una función cuyos dominio y rango son conjuntos de
señales. Un sistema es una colección indexada de funcionales {φt }, ∀t φt : V →
C, cada uno de ellos definido para una colección de señales V = {s : T → C},
todas con el mismo dominio T, donde hay un funcional φt , t ∈ T para cada uno
de los valores del dominio T de las señales. Decimos que, si a un sistema S se
aplica la señal de entrada s, la señal de salida r, para un tiempo t es r(t) = S[s](t).
El concepto de sistema es tan básico e importante como el de señal pero
su definición matemática es ligeramente más compleja. La idea es que los
sistemas transforman las señales. Los sistemas son modelos del tipo “caja
negra” en cuanto que no necesariamente conocemos su implementación física.
Sabemos qué entra y qué sale pero solamente se tiene una abstracción de lo
que hay dentro de la caja: a veces interesa más saber qué hace el sistema que
cómo lo hace.
En teoría de señales los sistemas se denominan filtros. Con frecuencia,
en matemáticas, decimos que una función de un conjunto de funciones a
un conjunto de funciones es una transformación; así, un sistema es una
transformación. En ingeniería, hablamos de la transformada de fourier y de un
filtro o sistema RC, la diferencia fundamental es la implementabilidad física de
los sistemas y el aspecto teórico de las transformadas.
En teoría de señales, de control y de sistemas, se acostumbra representar un
sistema como una caja negra; sin embargo, un ingeniero seguramente deberá
tener en mente otras características del dispositivo que se modela, ya que todo
modelo tarde o temprano deja de ser válido, por una u otra razón.
160
CAPÍTULO 1. SEÑALES Y SISTEMAS
Figura 1.6: Un sistema es una función entre conjuntos de señales
Figura 1.7: Representación de un sistema como una “caja negra”
1.3. SISTEMAS
161
Si tanto el dominio como el rango contienen señales discretas únicamente,
se dice que se tiene un sistema discreto. Si tanto el dominio como el rango
contienen señales continuas únicamente, se tiene un sistema continuo. En
otro caso, se tiene un sistema mixto.
Si tanto el dominio como el rango son espacios vectoriales sobre el mismo
cuerpo y el sistema es una transformación lineal, se dice que el sistema es
lineal. En caso contrario, se dice que el sistema es no lineal.
1.3.1.
Espacio vectorial
Quizás sea este el momento para repasar la definición de espacio vectorial.
decimos que la quíntupla (V, +, K, +, ∗, ·), donde (V, +) es un grupo abeliano (de
“vectores”) con módulo aditivo Θ, y (K, +, ·) es un anillo (de “escalares”) con
módulo aditivo 0, y módulo multiplicativo 1 y hay una operación de producto
de escalares por vectores que es quizás la razón del nombre escalar: escalar un
vector. Las definiciones precisas de grupo y anillo se dan en el capítulo 4. Por
ahora, decimos que, para cada α, β ∈ K y cada v, w ∈ V, se tiene que:
1) Hay un elemento en V que se expresa α · v (v escalado por α).
2) α · (v + w) = (α · v) + (α · w)
3) (α + β) · v = (α · v) + (β · v)
4) α · (β · v) = (α ∗ β) · v
5) 1 · v = v
Ejercicio. 0 · v = Θ.
1.3.2.
Transformación lineal
Sean (V, +, K, +, ∗, ·) y (W, ⊕, K, +, ∗, ) espacios vectoriales sobre el mismo
campo. La función T : V → W es una transformación lineal si para cada
162
CAPÍTULO 1. SEÑALES Y SISTEMAS
α, β ∈ K y cada x, y ∈ V se tiene que: T(α · x + β · y) = α T(x) ⊕ β T(y). Así
una transformación lineal es una transformación que preserva la estructura de
espacio vectorial. De manera análoga, T es lineal si cumple con las propiedades
de homogeneidad: ∀α ∈ K ∧ ∀u ∈ V, T(α · u) = α T(u), y de superposición:
∀u, v ∈ V, T(u + v) = T(u) + T(v).
Ejercicio. Demuestre que si T es una transformación lineal entre los espacios
(V, +, K, +, ∗, ·) y (W, ⊕, K, +, ∗, ) y si 0 es el módulo del grupo (V, +) y Θ es el
módulo del grupo (W, ⊕), entonces T(0) = Θ.
Para cada sistema lineal, continuo o discreto, se tiene por lo tanto que la respuesta
a la señal cero es la señal cero.
Ejemplo. Considere el espacio vectorial V de las funciones continuas h : [0, 1] →
C, con las operaciones de suma de funciones, sobre el cuerpo de los complejos.
Considere el conjunto de los funcionales lineales, definido sobre este espacio.
Como se enuncia en el teorema de Riesz, para cada funcional lineal φ : V → C,
de este tipo, hay una función g : R → C, de variación acotada, tal que φ se
puede representar como una integral de Riemann-Stieltjes:
Z 1
φ(h) =
h(t)dg(t)
0
Ejercicio. En relación con el ejemplo anterior, si φ(h) = h(0), para cada h, ¿Cómo
está dada la función g?
1.3.3.
Normas Elepé
La teoría de la medida de Lebesgue se usa para definir rigurosamente los
espacios Lp , p ∈ [1, ∞].
Dado un espacio vectorial, podemos proceder a definir una función del conjunto de los vectores al conjunto de los números reales no negativos, llamada
norma.
1.3. SISTEMAS
163
Más precisamente, una norma (que se denota similarmente a un valor
absoluto: k · k, donde el punto indica el argumento) es un funcional (no lineal)
real (es decir una función de un conjunto de funciones a los reales) definido
sobre el conjunto de vectores de un espacio vectorial, que cumple con las
propiedades de ser positivamente homogéneo, definitivamente positivo y subaditivo:
i) ka f k = |a|k f k para cada función f del espacio y cada escalar a. (Positivamente homogéneo)
ii) k f k = 0 si y sólo si f es la función cero. (Definitivamente positivo)
iii) k f + gk ≤ k f k + kgk. (Subaditivo)
Ocasionalmente se dice que la norma de una función de el “tamaño” de la
función o “qué tan lejos” está del origen (el vector cero) del espacio vectorial.
Nosotros asumiremos que los vectores son señales.
Inicialmente consideramos algunas normas de señales discretas; usaremos eles minúsculas para denotar las normas. Posteriormente consideraremos
señales continuas cuyas normas denotaremos con eles mayúsculas.
Algunas normas para subconjuntos de CZ (eles minúsculas)
Sea s : Z → C una señal discreta. Se dice que s es sumable en magnitud si
−1
∞
P
P
cada una de las series
|sn | y
|sn | convergen (a números reales). Sea l1 el
n=−∞
n=0
conjunto de las señales discretas sumables en magnitud. Es claro que l1 es un
espacio vectorial con la adición r = s + t dada por rn = sn + tn . en este espacio
definimos la norma l-1 dada por:
ksk =
=
−1
X
|sn | +
∞
X
n=−∞
∞
X
n=0
∞
X
n=1
n=0
|s−n | +
|sn |
|sn |
164
CAPÍTULO 1. SEÑALES Y SISTEMAS
Ejercicio. Muestre que efectivamente se tiene una norma (que cumple con
suabditividad, homogeneidad positiva y que es definitivamente positivo).
Ejemplo. Suponga que para cada n, sn = s−|n| , entonces, ksk1 =
1 + 2 = 3.
−1
P
n=−∞
2n +
∞
P
n=0
2−n =
La norma l-2 de s está dada por:
v
u
t
ksk2 =
−1
X
|s2n | +
n=−∞
∞
X
|s2n |
n=0
El conjunto de las señales discretas con normal l-2 finita se denota l2 .
Ejercicio. Muestre que efectivamente se tiene una norma.
Ejercicio. Diga si las siguientes series convergen. en caso de convergencia, dé
el valor del límite.
∞
P
n=1
∞
P
n=1
∞
P
n=1
1
n
1
n2
(−1)n+1
n
Más generalmente, definimos
1
∞
X p p
kskp :=
|s|
n=−∞
1.3. SISTEMAS
165
Eles mayúsculas
Para señales continuas, también se define la norma Ele-uno y se denota con
ele mayúscula. Sea h : R1 → C una señal continua. La norma L-1 de h está
dada por:
Z
∞
khk1 =
|h(t)|dt
−∞
Se dice que s es integrable en magnitud si su norma L-1 es finita. El
conjunto de las señales continuas que son integrables en magnitud se denota
L1 .
La norma L-2 de h está dada por:
sZ
∞
khk2 =
|h(t)|2 dt
−∞
El conjunto de las señales continuas con norma L-2 finita se denota L2 . En
general para p > 1
! 1p
Z ∞
2
khkp =
|h(t)| dt
−∞
Originalmente en ingeniería eléctrica, las señales consideradas eran funciones de voltaje o de corriente casi siempre. Dado que la potencia instantánea
que disipa una resistencia es proporcional al cuadrado del voltaje entre sus
terminales, y al cuadrado de la corriente que pasa por ella, resulta intuitivo
darle a la integral (y a la suma en el caso discreto) del cuadrado de señales el
nombre de energía. En teoría de señales es común hablar de la energía de una
señal h la cual está por el cuadrado de su norma L2 : E(h) = (khk2 )2 .
Para señales periódicas, dividimos la energía correspondiente a un periodo entre el valor del periodo T y la denominamos potencia promedio:
RT
p̄ = T1 0 |h2 (t)|dt.
Ejercicio. Sea f : R1 → C dada por, f (t) =
k f k1 y k f k2 . Diga si f ∈ L1 y/o f ∈ L2 .
1
t
para t , 0 y f (0) = 0; encuentre
166
CAPÍTULO 1. SEÑALES Y SISTEMAS
Figura 1.8: La señal de voltaje h se aplica a una resistencia de un ohmio
Ejercicio. Sea f la función dada por
1
t , si t ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞)
f (t) =
0, si t ∈ [−1, 1]
Encuentre k f k1 y k f k2 . Diga si f ∈ L1 y/o f ∈ L1 .
Ejercicio. Sea f la función dada por
si t = 0
1,
f (t) =
sen t , si t , 0
t
Encuentre k f k1 y k f k2 . Diga si f ∈ L1 y/o f ∈ L1 .
Ejercicio. Compruebe la tabla de la figura siguiente:
Ejercicio. Sea s : R1 → R1 dada por s(t) = cos 5πt. Diga si s(t) es una señal
integrable en valor absoluto. Diga si s2 es una señal integrable.
1.3. SISTEMAS
167
R1
1
t
1
√
t
1
2
t
0
·
R∞
0
∞
2
∞
∞
∞
1
·
Tabla 1.1: Integrales
Figura 1.9: Gráfica 1t ,
1
√
, 1
t t2
168
CAPÍTULO 1. SEÑALES Y SISTEMAS
Figura 1.10: La señal cos 5πt para t ∈ [−0,1, 0,6]
Figura 1.11: La señal de la figura anterior, en valor absoluto
1.3. SISTEMAS
169
Figura 1.12: La señal dela figura anterior, al cuadrado
Lp [0, 2π)
Para señales continuas definidas en un intervalo solamente, por ejemplo
el intervalo [0, 2π), también se definen las normas ele-p, las cuales se denotan
como Lp [a, b). Sea h : [0, 2π) → C una señal continua de longitud finita o,
equivalentemente, una señal periódica h : R1 → C con tiempo de repetición
2π o, también equivalentemente, una señal h : S1 → C. La norma L-1 de h está
dada por:
Z
∞
khk1 =
|h(t)|dt
−∞
Se dice que s es integrable en magnitud si su norma L-1 es finita. El
conjunto de las señales continuas que son integrables en magnitud se denota
L1 .
La norma L-2 de h está dada por:
sZ
∞
khk1 =
|h2 (t)|dt
−∞
El conjunto de las señales integrables con norma L-2 finita se denota L2 .
170
1.4.
CAPÍTULO 1. SEÑALES Y SISTEMAS
La norma ele-infinito
El conjunto de las señales continuas acotadas se denota L∞ y el de las
señales discretas acotadas se denota l∞ . La norma L-∞ de una señal continua
s está dada por:
ksk∞ = sup{|s(t)| : t ∈ R1 }
Similarmente, si r es una señal discreta, su norma l-∞ está dada por:
krk∞ = sup{|rn | : n ∈ Z}
Por lo tanto, una señal es acotada si y sólo si su norma ele-infinito es finita. Por
ejemplo, la norma de la señal continua cos t es 1, mientras que la señal discreta
2n no es acotada.
Ejercicio. Encuentre la norma L∞ de la señal g(t) = 1 − 2|t| .
Ejercicio. Sea F : R → C dada por F(ω) = e jω + a + j. Encuentre kFk∞ .
Adéndum 1. La acotabilidad de las señales es usada para definir la estabilidad
de un sistema, como lo haremos en el capítulo 5. El espacio ele-dos es un
espacio de Hilbert con propiedades interesantes, tales como la ortogonalidad y
el teorema de la proyección. Los espacios ele-uno y ele-infinito son duales en
cierto sentido que tiene que ver con el conjunto de funcionales lineales que se
pueden definir sobre el espacio (en este mismo sentido el espacio ele-dos es el
dual de sí mismo). Los espacios ele-uno y ele-infinito también están relacionados
en la teoría de estabilidad de sistemas de convolución.
Las señales en el espacio L1 tienen transformada de Fourier, como se definió;
esta transformada la llamaremos transformada L1 . Para las señales en L2 es
posible definir una transformada de Fourier L2 , la cual daremos en un apéndice
al final del capítulo 5. Es claro que más simple sea la teoría que subyace al uso
de una herramienta es mejor. El hecho de que la señal senc no esté en L1 y
1.5. VARIACIÓN DE SEÑALES DISCRETAS
171
no tenga transformada de Fourier L1 es una de las razones principales (otra
siendo la búsqueda de una homogeneidad en el rigor del curso) por la que
damos la definición de la transformada de Fourier L2 .
Adéndum 2. Una deducción de por qué “voltios por amperios da vatios”.
Figura 1.13: Tubo de rayos catódicos
Suponga que del cátodo salen n electrones por segundo, y que la carga del
electrón es −q. Así, del cátodo sale una carga de −nq culombs por segundo. El
trabajo que realiza la fuente de voltaje al acelerar un electrón cuando viaja del
cátodo a la pantalla es qV.
Ejercicio. Calcule la energía cinética que adquiere el electrón, asumiendo que
la velocidad inicial es aproximadamente cero y que viaja horizontalmente, y
que el campo eléctrico es aproximadamente uniforme de valo V/q donde d es
la distancia del cátodo al ánodo (pantalla). Compruebe que es qV.
1.5.
Variación de señales discretas
La variación es un funcional. Definimos la variación de una señal discreta
P
{sn } como Var(s) = n∈Z ksn − sn−1 k. Es interesante anotar que el filtro mediana
FALTA
TA
172
CAPÍTULO 1. SEÑALES Y SISTEMAS
(definido más adelante) nunca aumenta la variación de una señal, lo que puede
considerarse como una propiedad alisadora («smoothing») del filtro.
1.6.
Variación de señales continuas
Fue deinida en el capítulo anterior, al hablar de la integral de RiemannStieltjes.
1.7.
Variación promedio
TA
Al considerar un intervalo del dominio que crece, es la variación en el
intervalo, dividida por la longitud del intervalo, en el límite cuando la longitud
del intervalo tiende a infinito. Así, la variación promedio de la función seno es
4.
1.8.
Problemas
1. Muestre que las normas L1 , L2 y L∞ cumplen la desigualdad del triángulo:
k f + gk ≤ k f k + kgk.
2. Calcule la energía de la señal [u(t) − u(t − π)] sen(t).
R∞ sen(t)
3. Muestre que ( t )2 dt = π/2.
0
R∞ sen(t)
4. Muestre que ( t )dt = π/2.
0
5. Muestre que
R∞
|
sen(t)
t |dt
= ∞. Sugerencia: considere una señal triángulo
0
como la mostrada en la figura 1.14, la cual es no negativa y acotada por
1.8. PROBLEMAS
|
sen(t)
t |.
173
¿Cuánto vale la integral de F(t)/t para t ∈ (0, π)?
Figura 1.14: La señal | sen(t)| y una onda triángulo F(t)
sen(t)
6. Sea f (t) = ( t )2 , para t , 0 y f (0) = 1. Encuentre k f k1 y k f k2 . Diga si
f ∈ L1 y si f ∈ L2 .
R
7. Encuentre el valor de lı́m→0 |Ω|> e−jΩt dΩ.
Ω
8. A una resistencia de 1KΩ se le aplica la señal de voltaje sen(5000t). Diga
cuánta energía disipa la resistencia en un segundo. Diga cuánta energía
disipa durante un periodo de la señal aplicada. Resuelva el problema
para el caso de la señal | sen(5000t)|.
9. Si r : Z → C está dada por rn = 2−n [un − un−100 ], calcule krk1 y krk2 .
10. Encuentre las normas L-1, L-2 y L-∞ de la señal r(t) =
1
.
1+t2
11. Dé un ejemplo de una señal con norma L1 finita, pero con norma L2
infinita.
12. Dé un ejemplo de una señal con norma L2 finita, pero con norma L1
infinita.
174
CAPÍTULO 1. SEÑALES Y SISTEMAS
13. Calcule la norma L∞ de s(t) = arctan (x) − π.
14. Con ejemplos, muestre que ni L1 es subconjunto de L2 , ni L2 de L1 .
15. Demuestre que L2 [0, 2π) ⊂ L1 [0, 2π).
16. Demuestre que l1 ⊂ l2 .
17. Encuentre una señal continua que esté el L1 pero no en L2 , y viceversa.
18. Muestre que cada señal discreta s : Z → C sumable en magnitud, es
sumable en magnitud al cuadrado.
19. Diga si senc() es L1 , L2 , L∞ .
20. Encuentre la norma L2 de la señal f : R → C dada por
1
.
1+t2
Referencias
[1] “Geometry of Complex Numbers”. Hans Schwerdteger. Dover,
N.Y.,1979.
[2] “Elementary Theory of Analytic Functions of One or Several
Complex Variables”. Henri Cartan. Dover, N.Y., 1995.
[3] “Mathematical Analysis”. Tom M. Apostol. Adyson-Wesley,
Reading MA, 1974.
[4] “Signals and Systems”. A. V. Oppenheim, A. S. Willsky y I. T.
Young. Prentice Hall, Londres, 1983.
[5] “Fourier and Wavelet Analysis”. Bachman, Narici and Beckenstein. Springer, N.Y., 2000.
[6] “Functional Analysis”. F. riesz y B. Sz-Nagy. dover, N.Y., 1990.
[7] “Fuctional Analysis”. G. Bachman y L. Narici. Academic Press,
N.Y., 1966.
175
Capítulo 2
Convolución y sistemas de
convolución
2.0.
INTRODUCCIÓN
La convolución se puede ver como una operación entre señales; así, dadas
dos señales, resulta otra señal. La convolución es una herramienta de utilidad
en probabilidad, análisis de sistemas, análisis de Fourier y otras áreas; su utilidad es más que todo teórica. La solución de muchas ecuaciones diferenciales
(y de diferencia) lineales, no homogéneas y con coeficientes constantes, en
función del término no homogéneo 1 , es una convolución continua o discreta,
respectivamente.
Dada la fácil representabilidad en el dominio de la frecuencia de Fourier de
los sistemas de convolución, la convolución es un concepto muy útil y popular
1 Los
sistemas que se modelan con ecuaciones diferenciales, o de diferencia, homogéneas se
conocen como los sistemas autónomos.
176
2.0. INTRODUCCIÓN
177
en tratamiento de señales.
La convolución también es un concepto importante en teoría de sistemas,
en ecuaciones diferenciales y en ecuaciones de diferencia. Consideremos esto
desde el punto de vista de la ingeniería eléctrica. Un circuito puede verse como
un sistema que transforma una señal de entrada en una señal de salida. Si el
circuito está compuesto por resistencias, bobinas y condensadores lineales e
invariantes, además de amplificadores lineales, el circuito se puede modelar
con una ecuación diferencial, lineal y de coeficientes constantes. Es decir que
para cada corriente o voltaje en el circuito hay una ecuación integro-diferencial
en esta variable, con un término no homogéneo que depende de la señal de
entrada al circuito y, si se quiere, de las condiciones iniciales del circuito. En
realidad, en este curso no asumiremos condiciones iniciales, debido a que
asumimos que el circuito ha estado funcionando siempre, ¨desde t = −∞¨1 .
Vale la pena resaltar que si derivamos una ecuación integro-diferencial al
querer convertirla en una ecuación diferencial, perdemos información; además,
es posible que el término no homogéneo no tenga derivadas del orden requerido.
Tanto el voltaje entre los terminales de un condensador, como la corriente
por una bobina son integrales, de la corriente y del voltaje, repectivamente,
y por esto asumimos que son funciones continuas. Es decir, que si para un
Rt
intervalo [a, b] se tiene que la integral a(t) := t b(τ)dτ existe como un número
0
real, para toda t ∈ [a, b] entonces a(t) es continua en (a, b). Además, asumimos
que la corriente por una inductancia y el voltaje sobre un condensador, por ser
integrales, además de ser funciones continuas, cuentan con derivadas izquierda y derecha en cada punto t.
Adéndum. Note que
1 Esto
R
1
dτ
0 τ
= ∞ para cualquier epsilon positiva (>0) (∞ no es
está relacionado con el hecho de que las transformadas, de Laplace y de Fourier que
consideramos, son bilaterales.
178
CAPÍTULO 2. CONVOLUCIÓN Y SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN
un número real pero es una forma conveniente de indicar el comportamiento de
R t+
Rt
la integral) y que por lo tanto una integral de la forma t b(τ)dτ − t b(τ)dτ =
0
0
R t+
b(τ)
no
siempre
tiende
a
0
cuando
tiende
a
cero.
Sinembargo,
cuando
t
la integral es acotada, este límite sí es cero, lo cual implica la continuidad de
Rt
a(t) := t b(τ)dτ.
0
Por ejemplo, considere el circuito RL mostrado en la figura 2.1, el cual se
excita con una señal de voltaje e(t), que conocemos en su totalidad, para toda
t ∈ (−∞, ∞), y con respuesta la señal de corriente s(t), la cual queremos conocer
también para cada t real. La ecuación 2.1 describe el sistema correspondiente.
e(t) = Ls0 (t) + Rs(t)
(2.1)
Figura 2.1: Circuito RL serie
Como mostraremos más adelante, la solución general de la ecuación 2.1,
en términos de e, está dada por:
Z ∞
s(t) =
e(t − τ)dg(τ)
(2.2)
−∞
donde g(t) =
escalón del sistema, es decir, la solución de la ecuación cuando e = u. Vea
1
−Rt/L
)u(t) que como mostramos a continuación es la respuesta
R (1−e
2.0. INTRODUCCIÓN
179
la figura 2.2. La única suposición adicional que haremos para encontrar la
respuesta escalón g, es que ésta es acotada, es decir, g ∈ L∞ . A la integral en la
ecuación 2.2 la llamaremos la convolución de Stieltjes de la señal e con la señal
g.
Figura 2.2: Respuesta escalón del circuito de la figura 2.1
Para encontrar la respuesta g(t) (a la señal) escalón, consideramos primero
el caso t < 0, luego el hecho que s es continua y finalmente el caso t > 0. Para
t < 0, la ecuación 2.1 se reduce a:
0 = Ls0 (t) + Rs(t)
0 = s0 (t) +
R
s(t)
L
(2.3)
mientras que para t > 0 la ecuación es:
1 = Ls0 (t) + Rs(t)
1/L = s0 (t) +
R
s(t)
L
(2.4)
en el primer caso, la solución está dada por s(t) = ke−Rt/L y como requerimos que
la solución sea acotada, ponemos k = 0. Así, tenemos s(t) = 0 y, en particular,
s(0− ) = 0. En el segundo caso, para t > 0, la solución es s(t) = 1/R + ke−Rt/L
180
CAPÍTULO 2. CONVOLUCIÓN Y SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN
y como requerimos que la corriente sea una función continua, con s(0+ ) = 0,
resulta que el voltaje sobre la resistencia en 0+ es 0 y que por lo tanto el voltaje
sobre la inductancia en 0+ es 1 y como éste está dado por Ls(0+ ) = −kR, tenemos
que k = −L/R. Por lo tanto, escribimos,
g(t) =
Rt
R
[1 − e− L ]u(t)
L
Ejercicio. Usando la fórmula 2.2, encuentre la respuesta del circuito cuando
s(t) = 1 + cos t.
Note que para un circuito RL, el valor de R juega un papel inverso en la
constante de tiempo τ = L/R al que juega la resistencia en la constante de
tiempo τ = RC en un circuito RC. Un circuito RC con resistencia grande es
«lento», mientras que un circuito RL con resistencia grande es «rápido».
Ejercicio. ¿Es válido asumir que la señal mostrada en la figura 2.2 ha llegado a
un «estado estable» para t = 5τ, donde τ = L/R?
Ejercicio. ¿Cuál es la respuesta escalón del circuito RC pasa bajas? ¿De un RC
pasa altas?
Por otra parte, la convolución discreta es la solución de las ecuaciones de
diferencia lineales y con coeficientes constantes, en términos del término no
homogéneo de la ecuación. Así por ejemplo, para la ecuación de diferencia, sn =
0,5sn−1 + en , donde nuevamente asumimos que e es la entrada a algún sistema
discreto gobernado por esta ecuación y que s es la salida correspondiente,
resulta que, asumiendo causalidad, la salida s para una entrada e arbitraria
∞
P
está dada por,
en−k hk . Donde h es la solución de la ecuación cuando la
k=−∞
entrada es una señal impulso discreta, o delta de Kronecker, δn . A la sumatoria
de la ecuación anterior la llamaremos la convolución discreta de las señales
e y h.
2.1. CONVOLUCIÓN (LINEAL) DISCRETA
2.1.
181
Convolución (lineal) discreta
Dado que a veces una serie es más intuitiva que una integral, quizás la
convolución discreta sea más fácil de visualizar que la continua; por esto
comenzamos con ella. Sean f y g señales discretas con dominio Z; la convolución de f y g, que se denota f ∗ g, es también una señal discreta. Sea h = f ∗ g;
∞
P
para cada n, hn está dada por, hn =
fk gn−k .
k=−∞
Ejercicio. Diga si
∞
P
k=−∞
fk gn−k =
∞
P
fn−k gk , y qué condiciones serían necesarias.
k=−∞
Dado un valor específico N de n, para calcular hN =
∞
P
fk gN−k , resulta
k=−∞
conveniente graficar gN−k , contra k, para lo cual trasladamos la gráfica de gk
«hasta que g0 quede en k = N» y luego «reflejamos» alrededor de k = N. Note
que esto se sigue de reemplazar el argumento n, en la definición de gn , por
N − k.
Ejemplo. Sean f, g : Z → C dadas por:
n, n ∈ / − 10, 10/
fn =
0, n < / − 10, 10/
0,
gn =
1,
n < /1, 4/
n ∈ /1, 4/
Ejercicio. Usando la información dada en la figura 2.4, calcule h2 si f y g son
como en el ejemplo anterior y h = f ∗ g.
Ejemplo. Sea x una señal discreta cualquiera y sea y = h ∗ x, donde h está dada
por,
1/3, n ∈ {−1, 0, 1}
hn =
0,
n < {−1, 0, 1}
182
CAPÍTULO 2. CONVOLUCIÓN Y SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN
Figura 2.3: Las señales discretas f y g a ser convolucionadas
k
2−k
g2−k
fk
-2
4
1
-2
-1
3
1
-1
0
2
1
0
1
1
1
1
2
0
0
2
3
-1
0
3
Tabla 2.1: La señal g2−k
Figura 2.4: g2−k
4
-2
0
4
5
-3
0
5
2.1. CONVOLUCIÓN (LINEAL) DISCRETA
183
si x = u, donde u es la señal escalón discreta (un = 0 para n < 0, un = 1 para
n ≥ 0), tenemos que,
y0 = 1/3(x−1 + x0 + x1 ) = 2/3
y1 = 1/3(x0 + x1 + x2 ) = 1
y2 = 1
y−2 = 0
...
y, en general,
0,
1/3,
yn =
2/3,
1,
n ≤ −2
n = −1
n=0
n≥1
Ejercicio. Para el ejemplo anterior, demuestre que, en general, para una entrada
x, yn = 1/3(xn−1 + xn + xn+1 )
Ejemplo. Queremos encontrar una fórmula para la solución yn = xn +0,5yn−1 , en
términos de x, asumiendo que yn tiende a 0 cuando n tiende a −∞. Procediendo
184
CAPÍTULO 2. CONVOLUCIÓN Y SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN
directamente, tenemos que, usando yn−1 = xn−1 + 0,5yn−2 ,
yn = xn + 0,5xn−1 + 0,25yn−2
= xn + 0,5xn−1 + 0,25xn−2 + 0,125yn−3
= xn + 0,5xn−1 + 0,25xn−2 + 0,125xn−3 + (1/16)yn−4
= xn + 0,5xn−1 + 0,25xn−2 + 0,125xn−3 + (1/16)xn−4 + (1/32)yn−5
= ...
∞
X
=
2k xn−k
n=0
=x∗h
con hn = 2−n un
2.2.
Convolución (lineal) continua
Definiremos dos tipos de convolución; una es la «convolución de Stieltjes»
y la otra es la «convolución continua estándar». Suponga que s, e, g, h : R → C
son señales contínuas. La convolución de Stieltjes s de e con g, se denota e ∗ dg
R∞
y para cada t, está dada por, s(t) = [e ∗ dg](t) = −∞ e(t − τ)dg(τ); mientras
que la convolución estándar s, de e y h, está dada por, s(t) = [e ∗ h](t) =
R∞
e(t − τ)h(τ)d(τ).
−∞
Ejercicio. Muestre que si s y h están en L1 , entonces e ∗ h también lo está.
Inicialmente damos un ejemplo de convolución continua estándar.
Ejemplo. Sean h y e las funciones mostradas en la figura 2.5. La función e es
una señal escalón. sea s = e ∗ h. Las figuras 2.6 y 2.7 ilustran el cálculo de s(1).
La función e(1 − τ), “en el eje τ”, es una versión reflejada y desplazada de e(τ),
2.2. CONVOLUCIÓN (LINEAL) CONTINUA
185
como se muestra en la figura 2.6. La integral de h(τ)e(1 − τ), con respecto a τ,
es el área sombreada en la figura 2.7, la cual vale 2/3; por lo tanto, s(1) = 2/3.
Figura 2.5: Las señales e y h a ser convolucionadas
Ejemplo. Sean h(t) = u(t + 1) − u(t − 1)
entonces s está dada por,
0,
t + 3,
s(t) =
2,
3 − t,
0,
y e(t) = u(t + 2) − u(t − 2). Si s = s ∗ h
t ≤ −3
−3 ≤ t ≤ −1
−1 ≤ t ≤ 1
1≤t≤3
t≥3
(vea la figura 2.8) Compruebe. Así decimos que la convolución de dos pulsos
es un trapecio. Similarmente, la convolución de un pulso consigo mismo, es
un triangulo.
Ejercicio. Calcule y grafique h ∗ h, para la h definida en el ejemplo anterior.
Ejercicio. Calcule f ∗ g si f (x) = x3 y g = esta dada por, g(x) = 1/2, x ∈ [−1, 1] y
g(x) = 0, x < [−1, 1].
186
CAPÍTULO 2. CONVOLUCIÓN Y SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN
Figura 2.6: Para calcular s(1) es necesario multiplicar h(τ) y e(1 − τ)
2.2. CONVOLUCIÓN (LINEAL) CONTINUA
Figura 2.7: El valor de s(1) es el área sombreada
Figura 2.8: g = f ∗ h
187
188
CAPÍTULO 2. CONVOLUCIÓN Y SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN
En general, no hay garantía de que convolución de dos señales exista. Como
se indicación en un ejercicio anterior, en el caso particular en que las señales
tengan normas ele − 1 finitas, la convolución existe. También, se puede mostrar
que cuando f tiene norma ele − 1 finita, si g es acotada entonces f ∗ g también
es acotada.
Ejercicio. (La operación de convolución es conmutativa.) Demuestre, para el
caso discreto y para el caso continuo, que si f ∗ g existe, entonces f ∗ g = g ∗ f .
Ejercicio. (La operación de convolución distribuye con respecto a la suma.)
Demuestre que si f ∗ h y g ∗ h existen, entonces ( f + g) ∗ h = f ∗ h + g ∗ h.
Ejercicio. (La operación de convolución es homogénea) Demuestre que si α es
una constante y f ∗ h existe, entonces (α f ) ∗ h = α( f ∗ h).
2.2.1.
Curvígrafos(“Splines”)
Definimos el curvígrafo de orden cero, como s0 (t) = u(t + 0,5) − u(t − 0,5),
El spline de orden 1 como s1 (t) = [s0 ∗ s0 ](t) y en general, en forma inductiva,
sn (t) = [sn−1 ∗ s0 ](t).
Ejercicio. Grafique s0 (t), s1 (t), s2 (t) y s3 (t).
Ejercicio. Muestre que el límite de sn (t), cuando n tiende a infinito, es una
gaussiana, ke−t /σ . Encuentre k y σ.
2
2.2.2.
Convolución de Stieltjes
La convolución (lineal, continua) de Stieltjes de la señal e con la
señal g la denotamos e ∗ dg. Si s = e ∗ dg, para cada t, s(t) está dada por,
Z∞
s(t) =
e(t − τ)dg(τ)
−∞
2.2. CONVOLUCIÓN (LINEAL) CONTINUA
189
si g(t) es derivable, con derivada g0 = h, la convolución de Stieltjes se puede
expresar en términos de una convolución continua estándar:
Z∞
s(t) =
Z∞
e(t − τ)dg(τ) =
−∞
e(t − τ)h(τ)dτ
−∞
La convolución de Stieltjes es útil para caracterizar los sistemas de convolución que tengan respuesta escalón discontinua (con saltos), ya que evita
el uso de herramientas de análisis funcional tales como los impulsos de Dirac.
Figura 2.9: Una señal con salto en t = 0
Ejemplo. Sea g(t) la señal mostrada en la figura 2.9 y suponga que quere-
mos evaluar la convolución de Stieltjes [sen ∗dg](t). Según la definición que
190
CAPÍTULO 2. CONVOLUCIÓN Y SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN
acabamos de dar, ésta está dada por:
Z
∞
0
Z
sen(t − τ)dg(τ) =
sen(t − τ)g0 (τ)dτ + sen(t − 0)[g(0+ ) − g(0− )]
−∞
−∞
1
Z
+
sen(t − τ)g0 (τ)dτ + sen(t − 1)[g(1+ ) − g(1− )]
0
∞
Z
+
sen(t − τ)g0 (τ)dτ
0
1
Z
= 0 + sen(t) +
sen(t − τ)g0 (τ)dτ + 0 + 0
0
= sen(t) − [cos(t − 1) − cos(t)]
√
= 2 cos(t − π/4) − cos(t − 1)
= |z| cos(t + ∠z)
donde z =
√
2e− jπ/4 − e− j .
Ejercicio. Muestre que, para constantes α y β, y señales x, w, h : (αx + βw) ∗ dg =
α(x ∗ dg) + β(w ∗ dg)
2.3.
Sistemas de convolución continuos
En esta sección continuamos el tema expuesto en la introducción de este
capítulo. Dado que es común que la respuesta escalón de un sistema lineal
e invariante tenga saltos, como por ejemplo un RC pasa-altas, definimos los
sistemas de convolución continuos en términos de una convolución de Stieltjes.
Así, un sistema de convolución continuo es un sistema que, para cada
entrada e, produce la salida
s = e ∗ dg
donde g se conoce como la respuesta escalón del sistema.
(2.5)
2.3. SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN CONTINUOS
191
Figura 2.10: Un sistema de convolución
Asumiremos que las señales involucradas (e, g, s) pueden estar indefinidas
en un subconjunto denso en ninguna parte de S. Esta definición de sistema de
convolución nos permite obviar el uso de impulsos.
2.3.1.
Respuesta escalón
A continuación con las suposiciones hechas con respecto de la respuesta
escalón, así como la fórmula de la integración por partes de la integral de
Riemann-Stieltjes, mostramos que la g en la ecuación 2.5 es efectivamente la
respuesta escalón del sistema.
Z ∞
Z ∞
u(t − τ)dg(τ) +
g(τ)du(t − τ) = u(−∞)g(∞) − u(∞)g(−∞)
−∞
−∞
= 0g(∞) − 1g(−∞)
= −g(−∞)
Donde g(∞) := limt→∞ g(t) y así sucesivamente con g(−∞), u(∞), u(−∞) Por lo
tanto,
Z ∞
Z ∞
u(t − τ)dg(τ) = −
g(τ)du(t − τ) − g(−∞)
−∞
−∞
= g(t) − g(−∞)
192
CAPÍTULO 2. CONVOLUCIÓN Y SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN
Y sólo en caso que g(−∞) = 0 (que sin embargo es lo que asumiremos de ahora
en adelante) se tiene que g es la respuesta escalón del sistema.
El resultado obtenido muestra que g es la respuesta escalón de un sistema
que tenga relación entrada/salida dada por la ecuación 2.5. También, dadas las
propiedades de superposición y homogeneidad de la operación de convolución indicadas en los ejercicios finales de la sección 2.2, podemos concluir que
los sistemas de convolución son lineales.
Muchos sistemas de interés en ingeniería electrónica son sistemas de convolución; por ejemplo, los circuitos de resistencias, inductancias y capacitancias lineales, ya que éstos se modelan con ecuaciones diferenciales lineales con
coeficientes constantes y, como mostraremos en la sección 2.8, la solución de
estas ecuaciones es una convolución de Stieltjes.
Ejemplo. El circuito de la figura 2.11 es un sistema de convolución con respuesta escalón g(t) = [1 − e−t/RC ]u(t).
Ejercicio. Para el sistema del ejemplo anterior, encuentre la respuesta corre-
spondiente a la entrada e(t) = cos 10t.
Figura 2.11: Circuito RC pasa bajas de primer orden
2.3. SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN CONTINUOS
2.3.2.
193
Función característica (respuesta impulso) de sistemas
de convolución continuos
Como dijimos, un sistema es un sistema de convolución continuo, si para
cada señal de entrada e(t), la salida s(t) está dada por s = e ∗ dg, donde g(t) es
la respuesta escalón del sistema:
Z
∞
s(t) =
e(t − τ)dg(τ)
−∞
Si g cumple con la condición de ser esencialmente derivable, como definimos
más abajo, decimos que el sistema tiene función característica, esta función tendrá como dominio R1 con la posible excepción del conjunto finito de
puntos donde g no sea derivable. Las condiciones que la respuesta escalón
g debe cumplir para que esto suceda son:
que g sea continua.
que g sea derivable excepto, posiblemente, en un conjunto finito
de puntos.
De una función que cumpla con las condiciones anteriores, decimos que
es esencialmente derivable. Así, si g es esencialmente derivable, no tiene
saltos (es decir, lı́m por derecha es igual al lı́m por izquierda en todas partes)
y es derivable, con derivada g0 , con la posible excepción de un conjunto finito
de puntos. En tal caso, denotamos con h a la “derivada” g0 de g y la llamamos la función característica del sistema, que se conoce también como
“respuesta impulso” del sistema. Si la respuesta escalón no es esencialmente
derivable, diremos que el sistema no tiene respuesta impulso. Cuando el sistema tenga respuesta impulso escribiremos la salida como:
Z
∞
s(t) =
Z
∞
h(τ)e(t − τ)dτ =
−∞
h(t − τ)e(τ)dτ
−∞
194
CAPÍTULO 2. CONVOLUCIÓN Y SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN
2.3.3.
Respuesta a una entrada constante
Un caso interesante ocurre cuando la señal de entrada a un sistema de
convolución es constante. Suponga que se tiene un sistema de convolución
R∞
continuo con respuesta escalón g y que la integral −∞ dg(τ) (corresponde a la
salida cuando la entrada es la señal constante 1) en finita y vale H.
Así, si la señal de entrada es constante, con e(t) = A, la señal de salida
también es constante de valor AH.
Z ∞
Z ∞
s(t) =
e(t − τ)dg(τ) = A
dg(τ) = AH
−∞
−∞
Como se verá en el capítulo 5, la respuesta de un sistema de convolución
a una sinusoide es, o una sinusoide de la misma frecuencia, o la señal cero. El
resultado que acabamos de ver es un caso particular ya que una señal constante
es una sinusoide con frecuencia cero.
2.3.4.
Respuesta a la derivada de la entrada
En ciertos casos, se conoce la respuesta de un sistema de convolución a una
entrada dada e(t) y se quiere saber la respuesta correspondiente a la derivada
e0 (t). Con gran generalidad, si la salida correspondiente a la entrada e es s,
entonces la salida cuando la entrada es la derivada e0 de e, es la derivada s0 de
s, ya que:
Z ∞
d
0
e(t − τ)dg(τ)
s (t) =
dt
Z ∞ −∞
d
?
e(t − τ)dg(τ)
=
dt
Z−∞
∞
=
e0 (t − τ)dg(τ)
−∞
Ejercicio. Diga cuándo es válido el segundo paso en la deducción anterior.
2.3. SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN CONTINUOS
195
Así, la derivada de la salida se obtiene derivando la entrada. También, dado
que, usando integración por partes,
Z ∞
s(t) =
e(t − τ)dg(τ)
−∞
Z ∞
g(τ)de(t − τ), cambio de variable
= g(∞)e(−∞) − g(−∞)e(∞) −
−∞
Z ∞
= g(∞)e(−∞) − g(−∞)e(∞) −
g(t − τ)de(τ), como g(−∞) = e(−∞) = 0
−∞
Z ∞
=−
g(t − τ)de(τ)
−∞
entonces, si la respuesta escalón es derivable,
Z ∞
Z ∞
d
d
?
0
g(t − τ)de(τ)] = −
g(t − τ)de(τ)
s (t) = [−
dt
−∞
−∞ dt
y usando integración por partes y g(−∞) = e(−∞) = 0
Z ∞
0
s (t) = −
e(t − τ)dg0 (τ)
−∞
Ejercicio. Hay casos como s(t) = cos t, para los cuales e(−∞) , 0, ¿qué pasa en
estos casos?
2.3.5.
Identificación de sistemas de convolución
Suponga que se tiene un sistema de convolución continuo que se desea
identificar. Es decir, ¿cómo podemos encontrar su función característica si sólo
tenemos acceso a la entrada y la salida del sistema? Como veremos a continuación, el primer paso es aplicar una señal escalón. Como es posible que la
respuesta escalón tenga saltos, y por lo tanto no tengo función de transferencia característica, a menudo debemos contentarnos con representar el sistema
como una convolución de Stieltjes.
196
CAPÍTULO 2. CONVOLUCIÓN Y SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN
2.3.6.
Una aplicación del teorema fundamental del cálculo
Como dijimos, la respuesta escalón de un sistema se define como la señal
que se obtiene a la salida de éste cuando la entrada es una señal escalón u(t).
A continuación, usando el teorema fundamental del cálculo, veremos cómo
están relacionadas la función característica h de un sistema de convolución
continuo y su respuesta escalón g.
Si se tiene un sistema de convolución continuo con función característica
h, su respuesta escalón está dada por,
Z ∞
g(t) = |u ∗ h|(t) =
u(τ)h(t − τ)dτ
−∞
como u(t) = 0 para τ < 0 y u(t) = 1 para τ ≥ 0
Z ∞
g(t) =
u(τ)h(t − τ)dτ
0
con t fija, sea x = t − τ y dx = −dτ, entonces,
Z
Z −∞
h(x)(−dx) =
g(t) =
t
t
h(x)(dx)
−∞
y, de acuerdo con el teorema fundamental del cálculo, si h es continua en t,
entonces, g0 (t) = h(t). Así, otra vez, cuando la función característica existe, ésta
se obtiene derivando la respuesta escalón del sistema.
Ejemplo. El circuito RC pasa bajas de primer orden mostrado en la figura 2.11,
tiene función de característica h(t) = [1/RC]e−t/RC u(t), que es la derivada de su
respuesta escalón, g(t) = [1 − e−t/RC ]u(t), para t , 0.
Ejercicio. Grafique la respuesta escalón del circuito de la figura 2.12.
En muchos textos de teoría de señales, se define la “señal impulso δ(t)”
como la “derivada de la señal escalón u(t)”, o como el límite en una sucesión
2.3. SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN CONTINUOS
197
Figura 2.12: Circuito RC pasa altas
de funciones {dn (t)}: por ejemplo,
1 1
n, si t ∈ [− 2n , 2n ]
dn (t) =
0, si t ∈ R1 − [− 1 , 1 ]
2n 2n
esta sucesión de funciones tiende a la función ∆ : R1 → R1 ∪ {−∞, ∞} dada
por,
0, t , 0
∆(t) =
∞, t = 0
R
R
Para cada n, dn = 1 y, por lo tanto, lı́m dn = 1; sin embargo. la función
∆(t) tiene integral (de Riemann o de Lebesque) nula, es decir,
Z
∞
∆(t)d(t) = 0
−∞
R
R
Como se ve, lı́m dn (t)dt , lı́m dn (t)dt. La razón por la cual es común
el uso de la notación para integrales para denotar funcionales lineales es que
la integral es lineal, pero aparte de esta propiedad de linealidad, el funcional
lineal Dt con dominio el conjunto de funciones contínuas f : R1 → R1 , y rango
198
CAPÍTULO 2. CONVOLUCIÓN Y SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN
el conjunto de los reales, dado por Dt ( f ) = f (t) es en realidad diferente de la
R∞
integral −∞ f (τ)∆(t − τ)dτ.
Aunque nemotécnicamente sea conveniente el uso de distribuciones de
Dirac con notación de integral, es probable que no sean convenientes en un
estudio inicial de los sistemas de convolución continuos por parte de un futuro
investigador, que no conozca la teoría de las distribuciones pero que sí conoce
el cálculo elemental. El funcional Dt sí se puede expresar en términos de una
integral de Riemann-Stieltjes:
Z
∞
Dt ( f ) =
f (τ)dλt (τ) = f (t)
−∞
donde λt (τ) = u(τ − t) y u es la señal escalón.
Dado que hemos definido la señal como una función de un conjunto de
números a otro conjunto de números, no hablaremos de señal impulso continua; sin embargo sí hablaremos de (señal) “respuesta impulso”. También
hablaremos de señal impulso discreta, o delta de Kronecker.
Ejemplo. La señal g(t) = [1 − e−t ]u(t) es continua (aunque no tenga derivada en
t = 0). La convolución de Stieltjes está dada por,
Z
0
∞
Z
e(t − τ)g (τ)dτ + 0 +
−∞
Z
e(t − τ)g (τ)dτ = 0 + 0 +
0
0
∞
e(t − τ)e( − τ)dτ
0
0
Note que aunque, e∗h = h∗e, se tiene que, siempre y cuando g(−∞) = e(−∞) = 0,
Z
∞
Z
∞
e(t − τ)dg(τ) = −
−∞
e(τ)dg(t − τ)
−∞
donde la variable de integración es τ.
Ejemplo. Considere el circuito RC pasa altas mostrado en la figura 2.12. Como
sabemos, la respuesta escalón de este circuito está dada por g(t) = e−t/RC u(t),
2.3. SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN CONTINUOS
199
la cual tiene un salto en t = 0. Si queremos obtener la salida de este circuito
cuando la entrada es e(t) = sen t, debemos evaluar la siguiente integral:
Z
∞
sen(t − τ)dg(τ)
s(t) =
−∞
Ejercicio. Calcule la integral indicada en el ejemplo anterior.
Ejercicio. Sean e(t) = 1 + cos t y g(t) = e−t u(t). Calcule
R∞
−∞
e(t − τ)dg(τ).
Ejercicio. Se tiene un sistema de convolución continuo cuya respuesta escalón
es como se muestra en la figura 2.13. Calcule la respuesta del sistema a la
entrada e(t) = 1+cos t. Recuerde que esta respuesta escalón ya la consideramos
en la figura 2.9.
Figura 2.13: La respuesta escalón de un sistema de convolución. Note que así como un RC pasa
altas, la respuesta escalón de este sistema no es diferenciable.
2.3.7.
La carga (la integral o el área) de la respuesta de un
sistema de convolución
Así como al cuadrado de una señal lo llamamos la “potencia instantánea”
de la señal, a la integral de una señal, asumiendo que es una señal de corriente,
200
CAPÍTULO 2. CONVOLUCIÓN Y SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN
la podemos llamar la carga 2 de la señal. La carga, o área, de una señal, cuando
existe, es uno de los parámetros que la caracteriza. Sea s = e ∗ dg la convolución
de Stieltjes de la señal e con la señal g. Se puede demostrar que la carga de s es
R∞
el producto de la carga de e y −∞ dg(τ), es decir,
#
# "Z ∞
"Z ∞
Z ∞
dg(t)
e(t)dt
s(t)dt =
−∞
−∞
−∞
o, si el sistema tiene función característica h, como el producto de las cargas de
e y de h:
"Z
# "Z
#
Z
∞
∞
s(t)dt =
∞
e(t)dt
−∞
h(t)dt
−∞
−∞
para demostrar esto, procedemos directamente:
Z ∞
Z ∞Z ∞
s(t)dt =
e(t − τ)dg(τ)dt
−∞
−∞
−∞
cambiando el orden de integración y con el cambio de variable u = t − τ,
Z ∞
Z ∞Z ∞
s(t)dt =
f (t − τ)h(τ)dtdτ
−∞
tenemos
Z
−∞
∞
Z
−∞
∞
s(t)dt =
−∞
Z
dgτ
−∞
−∞
y el sistema tiene función característica,
Z ∞
Z ∞
Z
s(t)dt =
f (u)du
−∞
∞
f (u)du
−∞
∞
h(τ)dτ
−∞
Note que la misma constante de proporcionalidad H que relaciona el nivel
de la señal constante de salida, con el de la entrada, cuando la entrada es
2 La convolución de dos funciones de densidad de probabilidad tiene área unitaria ya que cada
una de ellas tiene área igual a uno. Este resultado se puede inferir del hecho que la función de
densidad de probabilidad de la suma de dos variables aleatorias independientes es la convolución
de las densidades de las variables que se suman.
2.4. LA TRANSFORMADA DE HILBERT
201
una constante, es el que relaciona las áreas (cuando existen) de las señales de
entrada y salida.
Ejemplo. Suponga que se aplica la señal u(t) − u(t − 2) a un sistema de con-
volución con respuesta impulso e−t u(t); la integral de la señal de salida vale
2.
Ejercicio. Compruebe el resultado del ejemplo anterior.
Ejercicio. Muestre que si a un sistema de convolución se aplica un pulso de la
forma u(t + 1/2) − u(t − 1/2), la salida tiene una integral igual a la integral de
la respuesta impulso del sistema.
2.4.
La transformada de Hilbert
La transformada de Hilbert de una señal s es la convolución s ∗ h con
1
t, t , 0
h(t) =
0, t = 0
Por lo tanto, es la respuesta de un sistema de convolución con respuesta escalón
h(t) y con función característica 1t .
2.5.
Sistemas de convolución discretos
Los sistemas discretos cuya relación entrada/salida esté gobernada por
una ecuación de diferencia lineal con coeficientes constantes, son sistemas de
convolución discretos.
Un sistema discreto que produzca para cada entrada e, una respuesta r
igual a la convolución discreta de la entrada y cierta función característica h
202
CAPÍTULO 2. CONVOLUCIÓN Y SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN
del sistema, se denomina un sistema de convolución discreto:
rn =
∞
X
ek hn−k
k=−∞
La señal impulso discreta δn se indica a continuación:
0, si n , 0,
δn =
1, si n = 0
Figura 2.14: La señal impulso discreta
La respuesta impulso de un sistema es la respuesta del sistema cuando la señal que se aplica a la entrada es una señal impulso. A continuación
se mostrará que la respuesta impulso de un sistema de convolución discreto es precisamente su función característica h. Si la entrada al sistema es la
señal impulso δ, entonces la salida evaluada en la instancia n está dada por,
∞
∞
P
P
δk hn−k =
δn−k hk = hn ya que δn−k = 1 cuando k = n, y 0 en caso
k=−∞
k=−∞
contrario.
Ejercicio. Se tiene un sistema promedio móvil, el cual para cada entrada e y
produce la salida r dada por: rn = (1/3)(en−1 + en + en+1 ). Encuentre la respuesta
impulso del sistema. Diga si el sistema es de convolución, es decir diga si existe
una señal h que permita representar la salida en términos de la entrada como
∞
P
una convolución: rn =
ek hn−k
k=−∞
2.6. IMPEDANCIA Y RESPUESTA IMPULSO
203
Ejercicio. Se tiene un sistema discreto con entrada x y salida y gobernado por
la ecuación de diferencia yn = xn + 0,5yn−1 .
1. Encuentre la respuesta impulso h, si se sabe que h−1 = 0.
2. Encuentre h si h1 = 0.
2.6.
El uso de impedancias para hallar la respuesta
impulso de sistemas de convolución
Las impedancias son una de las herramientas más usadas por la ingeniería
eléctrica. El uso de impedancias se debe en gran medida a los trabajos de
Charles P. Stienmetz.
Como se vio, una forma de hallar la respuesta impulso de un sistema de
convolución continuo consiste en plantear la ecuación diferencial que relaciona
la entrada con la salida, resolverla cuando la entrada es una señal escalón y
derivar la respuesta escalón así hallada.
Otra forma, particularmente apropiada cuando se tiene práctica con el
análisis de circuitos resistivos, es resolver el circuito en términos de impedancias, por ejemplo en el plano de la variable compleja s. La relación entra las
transformadas de Laplace del voltaje y la corriente en una resistencia, un condensador o una inductancia (asumiendo que los elementos reactivos no tienen
energía almacenada en t = 0) es una función que sólo depende de la variable s.
Así, la impedancia de una resistencia de R ohmios es R, la de una capacitancia
de C faradios es 1/(sC) y la de una inductancia de L henrios es sL. Además,
como se sabe, la transformada de Laplace de una convolución es un producto,
1
es decir, L(e ∗ h) = L(e)L(h); para condensador lineal, V(s) = sC
I(s), para una
inductancia lineal, V(s) = LsI(s) y para una resistencia lineal, V(s) = RI(s).
El procedimiento a seguir, es el siguiente: si se quiere encontrar la respuesta
impulso de un circuito con entrada a y salida b, primero se pasa el circuito al
204
CAPÍTULO 2. CONVOLUCIÓN Y SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN
plano s, escribiendo A(s) en lugar de a(t), B(s) en lugar de b(t) y trabajando
el circuito como un circuito de impedancias. Luego se despeja la relación
B(s)/A(s), la cual llamaremos H(s); finalmente, se calcula la respuesta impulso
como h = L−1 (H). También se puede calcular la respuesta escalón dada por
g = L−1 [ 1s H(s)].
Ejemplo. Para encontrar la respuesta impulso de un RC pasa bajas de primer
orden, encontramos la relación B(s)/A(s) con base en el circuito mostrado en la
figura 2.15, así:
B(s)
1/(sC)
1
H(s) =
=
=
A(s) r + 1/(sC) rsC + 1
1
h(t) = L−1
= (1 − e−t/rC )u(t)
rsC + 1
Figura 2.15: Circuito RC pasa bajas e primer orden en el plano s
Ejercicio. Encuentre H(s) para el circuito RC pasa altas.
Ejercicio. Si decimos que el sistema identidad (el que tiene entrada = salida)
tiene función de transferencia H(s) = 1, muestre que pasa altas = identidad pasa bajas.
Ejercicio. Encuentre la función de transferencia (la relación [volt. salida]/[volt.
entrada]) para un circuito similar al de la figura 2.15, en el dominio jΩ. Grafique
la magnitud y la fase. Considere los siguientes casos:
2.7. CORRELACIÓN DETERMINÍSTICA
205
Inductancia, capacitancia.
Resistencia, paralelo (capacitancia, inductancia).
Paralelo (capacitancia, inductancia), resistencia.
Serie (capacitancia, inductancia), resistencia.
Resistencia, serie (capacitancia, inductancia).
2.7.
Correlación determinística
La correlación determinística 3 de dos señales se puede definir en términos de una convolución. La correlación determinística de las señales
contínuas g y h se denota corrdet(g, h) entonces, para cada t,
Z
∞
f (t) =
g(τ)h∗ (τ − t)dτ
−∞
note que f (t) = g(t) ∗ h(−t).
Similarmente, para señales discretas s y t, si r = corrdet(s, t), se tiene que
para cada n,
∞
X
rn =
sk t∗k−n
k=−∞
por lo tanto, rn = sn ∗ t−n .
Ejercicio. ¿Es cierto que corrdet(g, h) = corrdet(h, g)? Demuestre o dé un contraejemplo.
3 En
contraste con la correlación estocástica está dada por la esperanza E[XY] de dos variables
aleatorias o de dos procesos estocásticos.
206
CAPÍTULO 2. CONVOLUCIÓN Y SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN
La correlación determinística es un estimador usado en estimación espectral. La densidad espectral de potencia de un proceso aleatorio estacionario está
dada por la transformada de Fourier de su función de autocorrelación. Norbert
Wiener del MIT, con una amplia gama de intereses, hizo aportes importantes
en esta área de a caracterización espectral de procesos aleatorios y, en general,
en análisis de Fourier.
2.8.
La convolución de Stieltjes es la solución de las
ecuaciones diferenciales
Suponga que se tiene la siguiente ecuación diferencial:
Z
t
y(n) + an−1 y(n−1) + · · · + a1 y + a−1
y=x
(2.6)
−∞
donde podríamos pensar que y es la salida de un sistema cuando la entrada
es x.
Si g es la respuesta escalón, es decir la solución cuando x = u, es decir si g
es tal que,
Z
t
g(n) + an−1 g(n−1) + · · · + a1 g + a−1
g=u
−∞
asumiendo g con derivadas hasta de orden n, veamos qué sucede si reem-
2.9. PROBLEMAS
207
plazamos la función g = x ∗ dg en el lado izquierdo de la ecuación 2.6:
Z
t
(x ∗ dg)(n) + an−1 (x ∗ dg)(n−1) + · · · + a1 (x ∗ dg) + a−1
(x ∗ dg)
−∞
Z
= (x ∗ dg ) + an−1 (x ∗ dg
(n)
(n−1)
t
) + · · · + a1 (x ∗ dg) + a−1 x ∗
dg
−∞
Z
t
= x ∗ [dg(n) + an−1 dg(n−1) + · · · + a1 dg + a−1
dg]
−∞
= x ∗ du
=x
por lo tanto, g es solución de la ecuación 2.6.
La diferenciabilidad o integrabilidad de g las garantizamos en este caso
por ser estas derivadas e integrales variables físicas.
2.9.
Problemas
1. Muestre que si f, g ∈ L1 entonces f ∗ g ∈ L1 .
2. Sean g(t) y f (t) señales continuas con soportes (−1, 1) y (2, 7) respectivamente. Encuentre el intervalo más pequeño que con seguridad contenga
el soporte de g ∗ f .
3. Sea f (t) = u(t) − u(t − 1). Calcule y grafique [ f ∗ f ](t). Calcule y grafique
[ f ∗ f ∗ f ](t).
4. Se tiene un sistema discreto promedio móvil, el cual para cada entrada e
produce la salida r dada por rn = 41 (en−1 +2en +en+1 ). Encuentre la respuesta
impulso del sistema. Diga si el sistema es de convolución, es decir, diga
∞
P
si se puede representar con la ecuación de la forma, rn =
ek hn−k .
k=−∞
208
CAPÍTULO 2. CONVOLUCIÓN Y SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN
5. Encuentre la respuesta escalón de un circuito LR pasa altas. Exprese
la salida en términos de la entrada usando una convolución con una
integral de Riemann-Stieltjes. Evalúe la integral cuando la entrada es la
señal:
a) 1 + sen(t)
b) e−t cos(t)
6. Encuentre la respuesta impulso de un sistema discreto con ecuación de
diferencia rn = en + (1/2)rn1 donde r es la salida, e es la entrada y además
se sabe que rn = 0, para n < 0. Sugerencia: Haga una tabla con columnas
n, en y rn .
7. Se tiene un sistemas de convolución continuo con función característica
h(t) = e−t u(t).
a) Encuentre la respuesta r(t) del sistema si la entrada x(t) está dada
por:
1) x(t) = 5
2) x(t) = cos(2t)
b) Si x(t) = u(t) − u(t − 1), calcule
R∞
−∞
r(t)dt.
8. Se tienen dos sistemas de convolución, uno con función característica h1
y el otro h2 . Si la salida del primer sistema se conecta con la entrada del
segundo (es decir se colocan “en cascada”) como se muestra en la figura
2.16, resulta un nuevo sistema. ¿Es de convolución? Si sí, ¿Cuál es su
función característica
9. Par el siguiente circuito, usando impedancias,
a) Encuentre su función de transferencia H(s).
b) A partir de H(s), encuentre la función característica h(t).
2.9. PROBLEMAS
209
Figura 2.16: Dos sistemas de convolución en cascada
Figura 2.17: Un circuito RLC pasa banda de segundo orden
10. Calcule f ∗ dg si f (t) = sen(t) y g(t) = e−t u(t).
11. Se tiene un sistemas de convolución continuo con respuesta escalón como
se muestra g(t) = 0 para t < [0, 5].
a) Encuentre la respuesta del sistema a la señal cos(t). Expresela en la
forma A cos(t + φ).
b) Si la entrada es el pulso unitario. Encuentre la carga de la salida.
12. Se tiene un sistema de convolución continuo con respuesta escalón dada
por g(t) = u(t)e−t , al cual se aplica una entrada x(t) produciendo la salida
R∞
R∞
y(t). Si se sabe que −∞ x(t)dt = 2, encuentre −∞ y(t)dt.
13. Se tiene un sistema de convolución discreto con función característica
dada por hn = 2−n . Encuentre la respuesta a la señal en = un − un−2 .
210
CAPÍTULO 2. CONVOLUCIÓN Y SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN
Figura 2.18: Respuesta escalón
14. Se tiene un sistema de convolución continuo con respuesta escalón dada
por g(t) = u(t)e−t , al cual se aplica una entrada e(t) = u(t)sen(t), donde
u es la señal escalón. encuentre la formula de la salida y grafique para
t ∈ [1, 8π].
15. Se tiene un sistema discreto, con entrada x, y salida y, que cumple con
las siguientes condiciones:
a) yn = xn − 0,5yn−1
b) Esta relación se puede iterar hacia atrás y es válida en el límite:
yn = xn − 0,5xn−1 + 0,25yn−2
= xn − 0,5xn−1 + 0,25xn−2 − 0,125yn−3 = . . .
(2.7)
c) Cada salida tiende a cero cuando n tienda a −∞.
1) Encuentre la respuesta impulso del sistema.
2) Encuentre la respuesta escalón del sistema (osea la salida cuando la entrada es el escalón unitario Un )
16. Muestre que la convolución iterada del curvígrafo de orden creo, consigo
mismo, en el límite, es una campana de gaus.
2.9. PROBLEMAS
211
17. Encuentre la función de transferencia con respuesta escalón g(t) = (1 −
e−t )u(t). Exprese la salida como una suma de senusoides si la entrada es
cos2 (t).
18. Se tiene un sistema de convolución dicreto con respuesta impulso dada
por hn = Un 2−|n| .
a) Encuentre la función de transferencia H(ω) y muestre que es real y
par.
20
b) Si la entrada es la señal sn = e jπ 45 n , exprese la señal de salida como
una suma de exponenciales complejas discretas.
19. Se tiene un sistema de convolución contínuo con respuesta escalón dada
1
+ 1)u(t). Encuentre y grafique la salida, si la entrada es
por g(t) = ( 1+t
R ∞ cos(t−τ)
1 + cos(t). Si lo desea, de la respuesta en términos de 0 (1+t)2 δτ.
20. Se tiene un sistema de convolución contínuo con respuesta escalón dada
por g(t) = (1 − t)(u(t) − u(t − 1)), donde u es la señal escalón.
a) Grafique g.
b) Encuentre la respuesta a la señal tu(t)(¿es la integral de u?)
c) Encuentre la respuesta a la señal cos(t)
21. La respuesta de un sistema de convolución continuo con respuesta escalón g a la señal e jΩ0 t es la misma exponencial compleja multiplicada
por una constante compleja K. Encuentre K.
22. La señal g(t) tiene tranformada G(Ω), con G(Ω) = 0 para |Ω| = 2π10000.
Meustreando g, se obtiene la señal discreta x : Z → C dada por xn =
g(nT), T = 10−5 . la señal x es filtrada con el sistema dicreto con ecuación
de diferencia yn = 0,25(xn−1 + 2xn + xn+1 ), produciendo una señal discreta
212
CAPÍTULO 2. CONVOLUCIÓN Y SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN
y = {yn }. Finalmente, a partir de la señal y se obtiene la señal continua
s(t), con la siguiente fórmula de interpolación:
s(t) =
∞
X
n=−∞
yn senc(
πt − nπT
)
T
a) Encuentre la función de transferencia D(ω) = Y(ω)/X(ω) del sistema
discreto.
b) Encuentre la respuesta impulso del sistema dicreto.
c) Si S(Ω) es la transformada de la señal de salida, encuentre la función de transferencia A(Ω) = S(Ω)/G(Ω) correspondiente al sistema
completo.
Referencias
[1] “Mathematical Analysis”. Tom M. Apostol. Addison-Wesley,
Reading MA, 1974.
[2] “Signals and Systems”. A. V. Oppenheim, A. S. Willsky y I. T.
Young. Prentice Hall, Londres, 1983.
[3] “Ecuaciones Diferenciales”. D. L. Kreider, R. G. Kuller y D. R.
Ostberg. Fondo Educativo Interamericano, Bogotá , 1973.
213
Capítulo 3
Representación de señales
periódicas en el dominio de la
frecuencia (de Fourier)
3.0.
Señales periódicas
Algunas de las señales que se originan en procesos físicos son aproximadamente periódicas durante algún intervalo de tiempo. Por ejemplo la señal de
voltaje tomada por un micrófono de un violín tocando un La. A los sonidos
graves les corresponden frecuencias más bajas que a los sonidos más agudos.
Parece ser que el sistema auditivo humano reconoce patrones que son aproximadamente periódicos durante periodos cortos de tiempo. Por otra parte,
las funciones periódicas (principalmente sinusoidales) han jugado un papel
importante en física y en matemáticas, y su teoría está bastante desarrollada.
Por estas y otras razones es de utilidad el estudio de las señales periódicas en
214
3.0. SEÑALES PERIÓDICAS
215
ingeniería.
También, es importante diferenciar entre la frecuencia con que un proceso
periódico se repite y las frecuencias que un análisis de Fourier produce. Así,
definiremos frecuencia de Fourier como la frecuencia de una sinusoide o
una exponencial compleja. como veremos en el capítulo 4, las exponenciales
complejas son las eigenfunciones, o funciones propias de los sistemas de convolución. Aunque la frecuencia de Fourier ha jugado un papel fundamental en la
teoría de sistemas lineales y en el análisis de señales , nuevas técnicas como
las onditas (ondelettes, wavelets), permiten la consideración de otros conjuntos
de señales básicas.
Figura 3.1: Obtención de una señal
3.0.1.
Definiciones
Inicialmente, damos unas definiciones que permiten hablar sin ambigüedad
sobre los conceptos de señal periódica y de periodo, tanto en el caso discreto como
en el continuo.
216
CAPÍTULO 3. SEÑALES PERIÓDICAS (FOURIER)
Sea s : R1 → C una señal continua. El número real a es un tiempo de
repetición de la señal s si ∀tR1 s(t − a) = s(t), es decir, a es un tiempo de
repetición si al “correr” la señal a unidades, resulta la misma señal.
Note que el número cero es un tiempo de repetición de cualquier señal.
Sea S el conjunto de os tiempos de repetición de s mayores que cero; si S no es
vacío, se dice que la señal s es periódica; en caso contrario, se dice que s es no
periódica. Si s es periódica, su periodo es el infímum de S.
Para una señal constante, casa número real es un tiempo de repetición; por
lo tanto , las señales continuas constantes son periódicas y tienen período cero.
Similarmente, si r : Z → C es una señal discreta, se dice que k ∈ Z es
un tiempo de repetición de la señal si ∀n ∈ Z rn = rn+k ; cero es siempre un
tiempo de repetición, y si el conjunto de los tiempos de repetición positivos
(en este caso aquellos mayores o iguales a 1) de r, no es vacío, se dice que r es
periódica y, en tal caso, su periodo está dado por el mínimo de este conjunto
de tiempo de repetición positivos. Note que el periodo de una señal discreta
constante es 1.
Ejemplo. Sea r la señal periódica dada por rn = [n]3 , o
1, si n es múltiplo de 3
rn =
0, si n no es múltiplo de 3
Figura 3.2: Una señal discreta con periodo 3.
Ejercicio. Diga si la señal sn = e jnπ/2 es periódica, o no. En caso afirmativo,
encuentre el periodo.
3.0. SEÑALES PERIÓDICAS
217
Ejercicio. Diga si la señal sn = e jn es periódica, o no. En caso afirmativo, en-
cuentre el periodo.
3.0.2.
Frecuencia
Si se tiene una señal periódica, continua con periodo T, o discreta con periodo N, mayor que cero, su frecuencia está dada por T1 o N1 , respectivamente.
La frecuencia de una señal continua está en [0, ∞], mientras que la frecuencia
de una señal discreta es un número en el intervalo [0, 1]. Por cierta razón que
explicamos a continuación, para señales discretas, la frecuencia 0 es equivalente a la frecuencia 1, mientras que para frecuencias de señales contínuas
asumiremos que 0 es equivalente a ∞.1
Por convención, decimos que la frecuencia de una señal constante (discreta o continua) es cero. Así, las señales discretas con periodo 1 (las discretas
constantes) tienen 2 frecuencias: uno y cero. Las señales constantes (y otras)
contínuas también tienen 2 frecuencias: 0 y ∞.
Ejercicio. Dé un ejemplo de una señal continua periódica no constante, con
periodo cero.
Como se define más adelante, para exponenciales complejas y para sinusoides, la frecuencia angular de una sinusoide o de una exponencial compleja
con frecuencia f , es ω = 2π f .
Ejercicio. Sea s una señal discreta con periodo N, con N > 1. Sea r un número
natural dado. ¿Es la señal t dada por tn = sm periódica? si sí, ¿cuál es su
periodo?
Las sinusoides discretas y las exponenciales complejas discretas no siempre
son periódicas; dado que su periodo es un número natural, son periódicas sólo
1 Recuerde
que ∞ no es un número real. Más bien, es un símbolo conveniente.
218
CAPÍTULO 3. SEÑALES PERIÓDICAS (FOURIER)
si su frecuencia f es el inverso de un natural; Sin embargo, la frecuencia
angular de una exponencial compleja discreta o de una sinusoide discreta no
está determinada en forma única por su frecuencia: dado un entero N > 0
todas las exponenciales complejas con frecuencia angular de la forma 2πM/N,
con N y M primos relativos, tienen periodo N y frecuencia 1/N.
3.0.3.
Unidades
Frecuencia de una sinusoide o exponencial compleja: Hz (herzios).
Frecuencia de una señal que no se sinusoide o exponencial compleja: cps
(ciclos por segundo).
3.1.
Sumas de señales periódicas
Tanto en la práctica como en la teoría, es frecuente encontrar sumas de
señales periódicas. Las series de Fourier permiten representar señales contínuas periódicas como límites de sumas de exponenciales complejas armónicamente relacionadas. Las señales discretas periódicas se puede escribir como
sumas de exponenciales complejas discretas. Las sinusoides son las funciones
propias2 de los sistemas lineales e invariantes y, para estudiar el efecto que un
sistema lineal tiene sobre una señal periódica, es útil saber el efecto producido
sobre la sinusoide. También es interesante saber cuándo la suma de dos señales
es periódica y, en caso que lo sea, tener una idea de cuál puede ser el periodo
de la suma.
= λx, para algún escalar λ. Similarmente,
e es una eigenseñal del sistema S si para algún número complejo w, S(e) = we.
2 Recuerde que x es un auto vector de la matriz A si Ax
3.1. SUMAS DE SEÑALES PERIÓDICAS
3.1.1.
219
Caso discreto
Sean x, y : Z → C, señales discretas periódicas. ¿Es x + y periódica? Es
posible que la suma sea una señal constante, y por lo tanto periódica; por
ejemplo y si x = −y. ¿Es posible que sea no- periódica?
Ejercicio. Sean x y y señales discretas periódicas con periodos positivos M y N
respectivamente. Demuestre que el producto MN es un tiempo de repetición
de la señal suma y que por lo tanto, la señal suma de las señales es periódica.
Ejercicio. Sean x y y señales discretas periódicas con periodos positivos M y
N respectivamente. Demuestre que el mínimo común múltiplo de M y N es
también un tiempo de repetición de la señal suma.
3.1.2.
Notación
MCM denota el mínimo común múltiplo. MCD denota al máximo común
divisor.
Ejercicio. Muestre que, ∀m, n ∈ Z,
mn = MCM(m, n)MCD(m, n).
Ejercicio. Sean x = {xn } y y = {yn } las señales discretas dadas por:
1, n ∈ 3Z
xn =
0, de lo contrario
1, n ∈ 4Z
yn =
0, de lo contrario
donde 3Z es el conjunto de los números enteros múltiplos de 3 y 4Z es el
conjunto de los números enteros múltiplos de 4. ¿Cuál es el periodo de x? ¿el
de y? ¿el de x + y?
Ejercicio. Sean x y y señales periódicas con periodos 6 y 3 dadas por x =
{. . . 0, 1, 2, 1, 0, 3, 0, 1, 2, 1, 0, 3, 0, . . . }, y = {. . . 0, 0, −2, 0, 0, −2, 0, 0, −2 . . . } ¿Cuál
es el periodo de x + y?
220
CAPÍTULO 3. SEÑALES PERIÓDICAS (FOURIER)
Figura 3.3: Una señal con periodo 3, otra con periodo 4 y su suma
Ejercicio. Caracterización del periodo de la suma de señales periódicas. Sean x
y y señales discretas periódicas con periodos M y N respectivamente. Sea z =
x + y periódica, y sea K el periodo de z. Muestre que, entonces, MCM(M, N) =
MCM(M, K) = MCM(N, K).
Ejercicio. Sean x y y señales discretas periódicas con periodos M y N respec-
tivamente. Muestre que si no se cumple que MCM(M, N) = MCM(M, K) =
MCM(N, K) entonces x + y , z.
3.1.3.
Caso continuo
Cuando se suman dos señales periódicas contínuas, la situación es más
sutil: la suma no necesariamente es periódica.
Sean s : R1 → C y r : R1 → C señales contínuas y periódicas con periodos
V y W respectivamente. ¿Es s + r periódica? ¿Puede ser constante?
Ejercicio. Calcule el periodo de f (t) = sen t + 1/2 sen 2t. Figura 3.4.
3.1. SUMAS DE SEÑALES PERIÓDICAS
Figura 3.4: Las señales sen t, 1/2 sen 2t y su suma
Figura 3.5: La señal g(t) = sen t + sen πt
221
222
CAPÍTULO 3. SEÑALES PERIÓDICAS (FOURIER)
Ejercicio. Diga si la señal g(t) = sen t + sen πt es periódica. Figura 3.5.
Se puede mostrar que la señal del ejercicio anterior no es periódica; por
lo tanto, la suma de dos señales periódicas contínuas no necesariamente es
periódica. La suma de dos señales contínuas periódicas, resulta ser semi
periódica. Según la definición de H. Bohr, las señales periódicas son semi
periódicas pero no todas las señales semi periódicas son periódicas. Si el cociente de los periodos V y W de dos señales contínuas es un número racional
entonces existen números enteros M y N tales que MV = NW, entonces MV es
un tiempo de repetición positivo de la suma y ésta es periódica.
Ejercicio. ¿tiene periodo cero toda suma de dos señales contínuas con periodo
cero?
Conjetura 1. La suma de dos señales periódicas contínuas es periódica si y solo si el
cociente de sus períodos es un número racional.
Aunque la propiedad de semi periodicidad de una señal ha sido definida
rigurosamente y es intuitiva, no ha sido explotada en ingeniería. Es posible
observar diagramas de tiempo correspondientes a sonidos “naturales” tales
como una nota musical siendo tocada por un violín o cantada por una persona
y se observa que la señal se repite pero sólo aproximadamente. En teoría de caos
se estudian sistemas dinámicos no lineales de orden tercero o mayor y se ha
observado que algunos de ellos producen señales que se repiten aproximadamente. Por otra parte, cuando se audifica una señal (estrictamente) periódica,
el sonido no es agradable, suena como un “pito”.
El estudio de los sistemas dinámicos ha recibido un impulso reciente dado el interés en la teoría del caos. Allí, las señales semi periódicas son más
comunes.
Ejercicio. Demuestre que la suma de dos sinusoides es periódica si y sólo si el
cociente de los periodos es racional.
3.2. SEÑALES SEMI PERIÓDICAS
3.2.
223
Señales semi periódicas
Quizás la definición más conocida sea la de Harald Bohr (hermano de
Niels). Inicialmente, definimos tiempo de repetición con error .
3.2.1.
Caso continuo
Sea s : R1 → C una señal, y sea un real. Decimos que un número real t
es un tiempo de repetición de s, con error , si para cada número real
t, se tiene que |s(t) − s(t − τ)| < . Si para casa positiva, no importa qué tan
pequeña, hay una longitud L, tal que cada intervalo de reales de longitud L
contiene al menos un tiempo de repetición positivo de s con error , decimos
que s es semi periódica, o semi periódica.
Ejercicio. Muestre que si s es periódica, entonces es semi periódica.
√
Ejercicio. Muestre que sen
3.2.2.
2t + sen t es semi periódica y que no es periódica.
Caso discreto
Sea s : Z → C una señal, y sea un real. Decimos que un número entero k
es un tiempo de semirepetición de s, con error , si, para cada número
entero n, se tiene que |sn − sn+k | < . Si, para cada positivo, no importa qué
tan pequeña, s tiene tiempo de repetición con error , decimos que s es semi
periódica.
Ejercicio. Muestre que cos(n) es una señal semi periódica, y no periódica.
Sugerencias: 1. Muestre que cos es uniformemente contínua. 2. Muestre que
∀ > 0 ∃m, n tal que |2πn − m| < 224
3.3.
CAPÍTULO 3. SEÑALES PERIÓDICAS (FOURIER)
Exponenciales complejas y sinusoides
Una clase importante de señales periódicas está dada por las sinusoides
y las exponenciales complejas. Estas son las funciones propias de los sistemas
lineales e invariantes.
3.3.1.
Caso continuo
Una sinusoide es de una señal s : R1 → C de la forma, s(t) = b cos(Ωt +
φ), Ω ∈ R1 , φ ∈ R1 , donde b es la amplitud, Ω es la frecuencia angular y φ
es la fase de la señal sinusoidal.
Una exponencial compleja es una señal s : R1 → C de la forma, s(t) =
jΩt
be , Ω ∈ R1 , b ∈ C donde b es la amplitud de la exponencial compleja y
Ω es su frecuencia angular. Tanto la parte real como la parte imaginaria de
una exponencial compleja son sinusoides: s(t) = be jΩt = b cos Ωt + jb sen Ωt.
Tanto las exponenciales complejas contínuas como las sinusoides contínuas
son funciones periódicas. Si la frecuencia angular Ω es diferente de cero, el
periodo de la señal es 2π/Ω y la frecuencia es Ω/2π. Si Ω = 0, la señal es
constante y, por definición, su periodo es cero.
3.3.2.
Caso discreto
Para señales discretas, las definiciones son similares. Una exponencial
compleja discreta es una señal s : Z → C dada por, sn = be jωn ω ∈ R1 , ∈ C,
donde b es la amplitud de la exponencial compleja y ω es su frecuencia
angular. Tanto la parte real como la parte imaginaria de una exponencial
compleja discreta son sinusoides discretas: sn = be jΩt = b cos Ωn + jb sen Ωn.
Las exponenciales complejas discretas y las sinusoides discretas no siempre
son periódicas; lo son sólo si la frecuencia angular ω es un múltiplo racional
de 2π.
3.3. EXPONENCIALES COMPLEJAS Y SINUSOIDES
225
Si la frecuencia angular ω es un múltiplo racional qπ, de 2π, diferente de
cero, donde q = M/N es la forma irreducible de q, el periodo de la señal está
dado por N (¿Por qué?).
Si ω = 0, la señal es constante y, por definición, su periodo es 1. Las frecuencias angulares de las señales discretas se pueden considerar como ángulos y,
como tales son equivalentes bajo la relación de congruencia módulo 2π. Por lo
tanto, una exponencial discreta constante tiene periodo uno, frecuencia angular 0 = 2π y frecuencias 1 y 0.
Ejercicio. Muestre que la señal s : Z → C dada por sn = cos(3n), no periódica.
Ejercicio. Encuentre el periodo de la señal s : Z → C dada por sn = e j2π(4/124)n .
Con el análisis de Fourier, las exponenciales complejas y las sinusoides
juegan un papel importante en la teoría de señales porque permiten la representación de señales periódicas en términos de sumas o series de exponenciales
complejas así como la representación de señales no periódicas como integrales
de exponenciales complejas.
La frecuencia de un exponencial compleja o la de una sinusoide se denomina frecuencia de Fourier. La frecuencia angular de una exponencial
Figura 3.6: La señal sen t
compleja, o de una sinusoide constante continua, es cero.
226
CAPÍTULO 3. SEÑALES PERIÓDICAS (FOURIER)
Figura 3.7: La señal cos t
Deducción de ciertas fórmulas útiles utilizando números complejos
1.
cos(a + b) = Re(e j(a+b) )
= Re(e j(a) e j(b) )
= cos a cos b − sen a sen b
2.
sen(a + b) = Im(e j(a+b) )
= Im(e j(a) e j(b) )
= cos a sen b + sen a cos b
Dado que la función coseno es par, y la seno es impar, de las fórmulas
anteriores se deduce que:
3. cos a cos b = 12 [cos(a + b) + cos(a − b)]
4. sen a sen b = 21 [cos(a − b) − cos(a + b)]
3.3. EXPONENCIALES COMPLEJAS Y SINUSOIDES
227
5. cos a sen b = 12 [sen(a + b) + sen(b − a)]
6. Sea ce jφ = a − jb. Entonces,
c cos(θ + φ) = (c/2)e jθ e jφ + (c/2)e− jθ e− jφ
= (1/2)(a − jb)e jθ + (c/2)(a + jb)e− jθ
= (a/2)(e jθ + e− jθ ) + (b/2 j)(e jθ − e− jθ )
= a cos θ b sen θ
Similarmente, si a cos θ + b sen θ = c cos(θ + φ), entonces 2a (e jθ + e− jθ ) + 2jb (e jθ −
e− jθ ) = c cos(θ + φ), por lo tanto ce jφ = a − jb. En conclusión, tenemos que ,
asumiendo c > 0, a cos θ + b sen θ = c cos(θ + φ), si y sólo si, ce jφ = a − jb. Es
decir, a cos θ + b sen θ = c cos(θ + φ), si y sólo si c = |a − jb| y φ = ∠(a − jb).
Esta identidad permite representar la suma de dos sinusoides (de la misma
frecuencia) en cuadratura, como una señal coseno desfasada.
Ejercicio. Muestre que − cos a = cos(a + π).
Ejemplo. La señal sen t + cos t se puede escribir como
√
como − 2 cos(t − 3π/4)
√
2 cos(t − π/4) y también
Ejercicio. Muestre que a cos(ω + Θ) + b sen(ω + φ) = |z| cos(ω + ∠z) donde z =
ae jΘ − be jφ .
Ejercicio. Exprese cos a + cos b como un coseno.
Ejercicio. Exprese sen a + sen b como un coseno.
Ejercicio. Exprese cos a + sen b como un coseno.
Ejercicio. Muestre que: |z| cos(ω + ∠z) = 0,5ze jω + 0,5z∗ e jω .
228
3.4.
CAPÍTULO 3. SEÑALES PERIÓDICAS (FOURIER)
Representación en el dominio de la frecuencia
de señales periódicas contínuas
A mediados del siglo XVIII Daniel Bernoulli consideró la posibilidad de
representar una función como una serie de sinusoides. En 1777, Euler publicó
la fórmula de los coeficientes de dicha serie. Las series de Fourier fueron introducidas por el físico-matemático J. B. J. Fourier, a comienzos del siglo XIX
como un método de solución de ecuaciones con derivadas parciales. Inicialmente, sus ideas no fueron bien recibidas por los miembros de la Academia
de ciencias francesa. Durante el tiempo transcurrido desde la publicación de
sus ideas hasta ahora, se ha dedicado un gran esfuerzo para hacer su formulación más precisa. El estudio de las series de Fourier ha propiciado directa o
indirectamente el desarrollo de otras áreas en matemáticas.
Las series Fourier, que son series de sinusoides o de exponenciales complejas armónicamente relacionadas, permiten representar muchas señales periódicas en el dominio de la frecuencia.
Haciendo una analogía con los experimentos de Newton con prismas,
relacionando frecuencias con colores, al análisis de Fourier se le conoce también
como análisis espectral.
3.4.1.
Series de Fourier
Sea s : R1 → C una función periódica con periodo 2π y suponga que:
∈2π
| f (t)|2 dt ∈ R1 , (es decir, que la integral existe y es finita), entonces, f
0
∞
P
se ‘puede representar con una serie de Fourier: f (t) =
cn e jnt donde los
n=−∞
coeficientes están dados por:
1
cn =
2π
2π
Z
f (t)e− jnt dt
0
3.4. SEÑALES PERIÓDICAS CONTÍNUAS
229
∞
P
cn e jnt0 = 0,5[ f (t+0 ) + f (t−0 )].
RT
En general, si f es periódica con periodo T y 0 | f (t)2 |dt ∈ R1 (es decir,
la integral de la magnitud al cuadrado sobre un periodo existe y es finita)
entonces:
∞
X
f (t) =
cn e jnΩ0 t
Si f es continua en t0 , entonces,
−∞
n=−∞
donde
Z
1 T
f (t)e−jΩ0 nt dt
T 0
Ω0 se conoce como la frecuencia angular fundamental de f y está dada
por: Ω0 = 2π/T (la frecuencia fundamental es 1/T). Los múltiplos de la frecuencia fundamental se conocen como frecuencias armónicas. La fundamental
es la primera armónica. Cuando un conjunto de frecuencias tienen mínimo
común múltiplo, se dice que están armónicamente relacionadas. El valor del
coeficiente c0 , el cual está dado por el promedio de la señal sobre un periodo,
se conoce también como el nivel “DC” o “nivel promedio” de la señal.
La representación en series de Fourier de una señal periódica permite su
representación en el dominio de la frecuencia de Fourier.
cn =
Ejemplo. Sea f (t) = sen t + cos 2t. Su representación en el dominio de la fre-
cuencia es el señal discreta mostrada en la figura siguiente, correspondiente
a los coeficientes cn de las exponenciales complejas en la serie (suma finita en
∞
P
este caso) de Fourier
cn e jnΩ0 t .
n=−∞
Ejercicio. Sea s(t) una onda cuadrada, como se muestra en la figura 3.9. En-
cuentre los coeficientes cn de su expansión en series de Fourier para −6 < n < 6.
Ejercicio. Encuentre la serie de Fourier de la señal de periodo 2π dada por et
pera t ∈ (−π, π). Con base en la fórmula de los coeficientes, encuentre el valor
P
1
de la serie ∞
n=1 n2 .
230
CAPÍTULO 3. SEÑALES PERIÓDICAS (FOURIER)
Figura 3.8: Representación de sen t + cos 2t en el dominio de la frecuencia de Fourier
Figura 3.9: Una onda cuadrada con periodo 2π y nivel DC cero
3.4. SEÑALES PERIÓDICAS CONTÍNUAS
231
Ejercicio. Suponga que se tiene una señal cuadrada de voltaje, positiva, con
frecuencia 60. ¿Cuánto vale su periodo? ¿Cuánto cale su frecuencia angular
fundamental? Si su amplitud es de 12 voltios, ¿Cuánto vale su nivel DC?
Calcule la magnitud de la fundamental, y de la segunda y tercera armónicas.
Ver figura 3.10.
Figura 3.10: Onda cuadrada con periodo 1/60 y nivel DC de 6V
Ejercicio. Demuestre que la serie de Fourier de una función continua converge
uniformemente.
3.4.2.
Propiedades de simetría
Ejercicio. Muestre que si f es periódica y par, y su serie de Fourier tiene coefi-
cientes cn , entonces {cn } es una sucesión par.
Ejercicio. Muestre que si f es periódica y real, con serie de Fourier con coefi-
cientes cn , entonces {Im[cn ]} es una sucesión impar y {Re[cn ]} es una sucesión
par.
Ejercicio. Muestre que si f es periódica y real y par, su serie de Fourier tiene
sucesión de coeficientes real y par.
3.4.3.
Fórmula de Parseval
La siguiente identidad, conocida como fórmula de Parseval, permite relacionar la potencia promedio de una señal periódica con la norma l − 2 de sus
232
CAPÍTULO 3. SEÑALES PERIÓDICAS (FOURIER)
coeficientes de Fourier:
∞
X
1
|cn | =
T
n=−∞
T
Z
| f (t)|2 dt
2
0
La fórmula de Parseval se puede considerar como una generalización
del teorema de Pitágoras, donde los “catetos” son los coeficientes cn y la
“hipotenusa” es la energía promedio de la señal, definida como el promedio
del cuadrado de la señal, tomado sobre un periodo.
Ejercicio. Para la onda triángulo mostrada en la figura 3.11, calcule su poten-
cia promedio E. Calcule también la potencia promedio E5 de sus primeras 5
armónicas:
5
X
E5 =
|cn |2
n=−5
finalmente, calcule E5 /E.
Figura 3.11: Onda triángulo de frecuencia 60, con nivel DC de 6 voltios
Ejercicio. Use la fórmula de Parseval para encontrar la potencia promedio de
la señal sen t/3 + sen t/5.
1
Ejemplo. Se pide calcular k 1+t
2 k2 .
Z
∞
−∞
1
1
dt =
2
1 + t2
Z
∞
−∞
"
#
1 − t2
1
+
dt
(1 + t2 )2 1 + t2
3.4. SEÑALES PERIÓDICAS CONTÍNUAS
Z
Z
∞
−∞
233
∞
1
dt = arctan t|∞
−∞ = π
2 2
−∞ (1 + t )
Z π/2
t2
tan2 u
π
dt
=
sec2 udu =
2
2
2
2
2
(1 + t )
−π/2 (1 + tan u)
de donde tenemos que
1
k2 =
k
1 + t2
3.4.4.
r
π
2
Series de sinusoides
Resulta conveniente, para señales periódicas reales, representarlas con una
serie de sinusoides. Sea f una señal continua periódica real, con periodo 2π.
Suponga que
∞
X
f (t) =
cn e jnt
n=−∞
donde
cn =
1
2π
Z
π
f (t)e− jnt dt
−π
Entonces, también podemos expresar a f así:
f (t) =
∞
X
n=0
an cos nt +
∞
X
bn sen nt
n=1
donde
Rπ
R
1 π
1
a0 = c0 = 2π
f
(t)dt
y
a
=
f (t) cos(ntπ)dt y bn =
n
π
−π
P −π
n ≥ 1. También como, f (t) = ∞
e
n=0 n cos(nt + φ).
R
1 π
π −π
f (t) sen(ntπ)dt,
Ejercicio. Muestre que: cn = 0,5(an + bn ), c−n = (an + jbn ), n > 0. c0 = a0
Ejercicio. Muestre que: an = cn + c−n , bn = j(cn − c−n ).
Ejercicio. Muestre que si f es real, Re(cn ) es una sucesión par e Im(cn ) es una
sucesión impar.
234
3.4.5.
CAPÍTULO 3. SEÑALES PERIÓDICAS (FOURIER)
Sumas parciales de una serie de Fourier
Suponga que f es una onda cuadrada impar. La fundamental y las siguientes 3 armónicas de f son entonces sen t, 1/3 sen 3t, 1/5 sen 5t, 1/7 sen 7t,
recuerde que una onda cuadrada no tiene armónicas pares. Las armónicas se
muestran en la figura 3.13 y las sumas parciales a continuación en las figuras
3.14 y 3.15.
Sea f una señal continua periódica, con periodo 2π. Suponga que f (t) =
Rπ
P∞
1
jnt
f (t)e− jnt dt. Para cada número natural positivo
donde, cn = 2π
n=−∞ cn e
−π
Pm
jnt
m, defina fm así: fm = n=−m cn e , entonces,
fm (t) =
m
X
cn e jnt
n=−m
=
=
=
=
m Z π
1 X
f (τ)e− jnτ dτe jnt
2π n=−m −π
Z π
m
X
1
f (τ)
e− jnτ e jnt dτ
2π −π
n=−m
Z π
m
X
1
f (τ)
e jn(t−τ) dτ
2π −π
n=−m
Z π
1
f (τ)SEm (t − τ)dτ
2π −π
donde SEm es la función “senc enmascarada” de orden m, también conocida
como núcleo de Dirichlet, y está dada por:
e− jmx (1 − e j(2m+1)x )
1 − e jx
sen[(m + 1/2)x]
=
sen[x/2]
SEm (x) =
Si x es múltiplo de 2π y
SEm = 2m + 1
3.5. CONVOLUCIÓN CIRCULAR CONTINUA
235
Si x es un múltiplo de 2π.
A continuación se grafica la función senc enmascarada de orden 4; note
que es periódica con periodo 2π.
Figura 3.12: La señal senc enmascarada, SE4 (x), de orden 4
Ejercicio. Muestre que
Pm
n=−m
zn =
z−m (1−z2m+1 )
1−z
Ejercicio. Grafique SE5 (x).
A continuación se muestran las primeras sumas parciales, correspondientes
a la serie de una onda cuadrada. Note cómo se va cuadrando la señal y cómo
va apareciendo el fenómeno de Gibbs.
3.5.
Convolución circular continua
Suponga que tanto f como g son funciones periódicas con periodo T y con
expansiones en series de Fourier dada por:
f (t) =
∞
X
n=−∞
cn e
jnΩ0 t
g(t) =
∞
X
n=−∞
dn e jnΩ0 t
236
CAPÍTULO 3. SEÑALES PERIÓDICAS (FOURIER)
Figura 3.13: Las señales sen t, 1/3 sen 3t, 1/5 sen 5t, 1/7 sen 7t
Figura 3.14: La suma parcial señales sen t + 0
Figura 3.15: La suma parcial señales sen t + 1/3 sen 3t
3.5. CONVOLUCIÓN CIRCULAR CONTINUA
Figura 3.16: La suma parcial señales sen t + 1/3 sen 3t + 1/5 sen 5t
Figura 3.17: La suma parcial señales sen t + 1/3 sen 3t + 1/5 sen 5t + 1/7 sen 7t
237
238
CAPÍTULO 3. SEÑALES PERIÓDICAS (FOURIER)
donde
cn =
1
T
T
Z
dn =
f (t)e− jnΩ0 t dt
0
1
T
T
Z
g(t)e− jnΩ0 t dt
0
Suponga que uno está interesado en saber qué función h(t) tiene serie de
Fourier con coeficientes cn dn , es decir,
h(t) =
∞
X
cn dn e jnΩ0 t
n=−∞
∞
X
1
=
T
T
Z
f (s)e− jnΩ0 s dn e jnΩ0 t ds
0
n=−∞
∞
T X
1
=
T
Z
1
=
T
Z
0
dn e jnΩ0 (t−s) f (s)ds
n=−∞
T
g(t − s) f (s)ds
0
Esta última fórmula la denominamos la convolución circular continua de
g y f.
Ejercicio. Calcule y grafique la convolución circular continua de una onda
cuadrada de periodo 1, ciclo útil de 50 %, nivel mínimo 0V y máximo 1V y una
onda triángulo de periodo 1, nivel mínimo 0V y máximo 1V. Asuma cualquier
condición necesaria no estipulada.
Ejercicio. Se tienen dos señales contínuas periódicas, con periodo 2π como se
muestra en la figura 3.18:
f (t) =
∞
X
cn e jnt
n=−∞
si h(t) =
∞
P
n=−∞
cn dn e jnt , grafique h contra t.
g(t) =
∞
X
n=−∞
dn e jnt
3.5. CONVOLUCIÓN CIRCULAR CONTINUA
239
Figura 3.18: Dos señales periódicas con periodo 2π
si r(t) =
∞
P
n=−∞
dn e j2nt , grafique r.
Ejercicio. Calcule la convolución circular continua de SE5 (ω) y T(ω), donde T
es como se muestra en la figura 3.19
Figura 3.19: La onda triángulo par de periodo 2π
240
CAPÍTULO 3. SEÑALES PERIÓDICAS (FOURIER)
3.6.
Series de Fourier de funciones discontinuas y
fenómeno de Gibbs
Considere la onda tipo “sierra” mostrada en la figura 3.20. Así, s(t) =
Figura 3.20: Onda sierra
∞
P
n=−∞
cn e jnt con cn =
Sea Sm (s, t) =
(−1)n+1
jn
m
P
n=−m
si n , 0 y c0 = 0.
cn e jnt la versión truncada a 2m + 1 términos de su serie
de Fourier.
Sm (s, t) =
m
X
(−1)n+1 n=1
jn
m
X
2
e jnt − e− jnt =
(−1)n+1 sen(nt)
n
n=1
m→∞
por lo tanto Sm (s, t) → 0.
Lema 4. Si f tiene integral de Riemann, sus coeficientes decrecen proporcionalmente
como n1 o más rápido, cuando n → ∞ y f (t) tiene límites f (π− ) y f (π+ ) cuanto
t → π− y t → π+ , respectivamente, entonces las sumas parciales de la serie de
m
P
f (t+ )+ f (t− )
Fourier Sm (t) =
cn e jnt tienden a
.
2
n=−m
Demostración. Considere el caso t = π y ponga
g(t) = f (t) +
1 f (π+ ) − f (π− ) s(t)
2π
3.6. SERIES DE FOURIER DE FUNCIONES DISCONTINUAS Y FENÓMENO DE GIBBS241
f (π+ )+ f (π− )
.
2
si t , π donde s es la sierra y g(π) =
Así,
lı́m− g(t) = f (π− ) +
t→π
y
lı́m+ g(t) = f (π+ ) +
t→π
f (π+ ) + f (π− )
π = g(π)
2π
f (π+ ) + f (π− )
(−π) = g(π)
2π
y tenemos que g es continua en π. Los coeficientes de Fourier ĝn de g están
f (π+ )− f (π− )
relacionados con los coeficientes de fˆn y de s, (ŝn ) así: ĝ = fˆ−
ŝn y por un
2π
resultado previo, como ĝn también decrece por lo menos proporcional a n1 y g es
f (π+ )− f (π− )
f (π+ )− f (π− )
Sm (s, π) →
continua, Sm ( f, π) → g(π). Por lo tanto, Sm ( f, π)−
2π
2
f (π+ )− f (π− )
y como Sm (s, π) = 0, Sm ( f, π) →
.
2
Teorema 7. Si f : S1 → C es continua con derivada continua y acotada excepto en
un conjunto finito, entonces lı́m− f (t) y lı́m+ f (t) existen para cada x ∈ S1 y
t→x
t→x
Sm ( f, x) →
f (x+ ) − f (x− )
2
en particular, si f es continua en x, Sm ( f, x) = f (x).
Lord Kelvin diseñó máquinas para el cálculo de funciones periódicas a
partir de sus coeficientes de Fourier y viceversa. Michelson construyó una
de estas máquinas y la probó con la sierra definida anteriormente, con los
primeros 80 coeficientes. Sorpresivamente encontró que la máquina no dibujaba un serrucho sino que le añadía 2 pequeñas oscilaciones a cada lado de la
discontinuidad.
Luego de comprobar que la máquina estaba funcionando correctamente,
notó que al aumentar el número de coeficientes las oscilaciones se corrían hacia
la discontinuidad y se mantenían con una amplitud de aproximadamente 17 %
con respecto al valor absoluto correcto. Esto parece contradecir el teorema 16.4
de [8]. Gibbs, en 2 cartas a Nature, clarificó y resolvió el problema. A pesar de
242
CAPÍTULO 3. SEÑALES PERIÓDICAS (FOURIER)
que Sn (h, t) → h(t) punto a punto, las gráficas de sn no se aproximan a la gráfica
de h necesariamente, en el caso en que la convergencia es uniforme las gráficas
sí se hacen similares. En general el exceso a cada lado de una discontinuidad
es de aproximadamente 9 % del valor de la discontinuidad.
Para el caso de la sierra, esto lo demostramos así:
s(π+ ) = lı́m
n→∞
n
X
2
r=1
r
sen
rπ
→2
n
x
Z
0
λ
dλ
λ
(ver [8], capítulo 17.)
3.7.
Expresión de señales discretas periódicas como
sumas de exponenciales complejas
El objetivo de esta sección es doble: por una parte, obtener la representación
de señales discretas periódicas como sumas de exponenciales complejas (discretas) y por otra, hacer una introducción a la transformada discreta de Fourier(DFT). La expansión de señales periódicas discretas como sumas de exponenciales complejas permite la representación en el dominio de la frecuencia
3.7. SEÑALES PERIÓDICAS DISCRETAS
Figura 3.21: Señal generada por la máquina de Michelson
243
244
CAPÍTULO 3. SEÑALES PERIÓDICAS (FOURIER)
de Fourier de tales señales; estas sumas se conocen también como seres discretas
de Fourier.
Las señales discretas periódicas se pueden representar como sumas finitas
de exponenciales complejas, a diferencia de las señales periódicas contínuas
las cuales se representan como series de exponenciales complejas. De hecho, si
el periodo de la señal discreta en cuestión es N, no más de N términos en la
suma son necesarios.
Como se verá en el capítulo 5, tal expansión permite también la representación en el dominio de la frecuencia de señales discretas de longitud finita, conocida como DFT. La representación en el dominio de la frecuencia de
señales discretas de longitud infinita se trata en la sección siguiente; la representación en el dominio de la frecuencia de estas señales se obtiene por medio
de la Transformada de Fourier de tiempo discreto.
El camino para obtener la expansión de las señales periódicas discretas en
sumas de exponenciales discretas tomado aquí, es algo indirecto; inicialmente,
la idea es obtener cierta biyección lineal de CN a CN . Empezamos por mostrar
que el resultado de ciertas sumas de exponenciales complejas es cero.
3.7.1.
Sumas tipo I
Las sumas tipo I son de la forma
N−1
P
2π
2π
e j N k . Sea WN = e j N y considere la
k=0
suma
N−1
P
k=0
k
WN
,
donde N > 1.
Ejercicio. Demuestre que para N = 3,
N−1
P
k=0
k
WN
= 0 (Vea la figura 3.22.)
A continuación se demuestra que, en general, para N > 1,
N−1
P
k=0
k
WN
= 0.
k
Geométricamente se puede argumentar como sigue. Los números WN
,k∈
/0, N − 1/, están uniformemente distribuidos sobre la circunferencia de radio 1
3.7. SEÑALES PERIÓDICAS DISCRETAS
245
Figura 3.22: La suma de los tres números complejos mostrados es cero
con centro en el origen del plano complejo C. Si la suma no fuera cero, al rotar
el plano 2π/N radianes, los sumandos seguirán siendo los mismos mientras
que el resultado sería diferente, y esto es una contradicción.
N−1
P k
Algebraicamente, argumentamos como sigue. Suponga que
WN = x
k=0
N−1
P
y que x , 0. A continuación, multiplique por WN obteniendo, WN
WN x entonces
N−1
P
k=0
N−1
P
0
k
=
WN
+ WN
0
k+1
N
WN
= WN x, dado que WN
= WN
, se tiene que
k=0
N−1
P
k=0
k
WN
; por lo tanto
N−1
P
k=0
k=0
N−1
P
k=0
k
WN
=
k+1
WN
=
k
WN
= WN x y x = xWN , entonces, x = 0,
lo cual es una contradicción ya que se asumió que x , 0.
Ejercicio. Muestre el resultado anterior usando la fórmula de la suma geométri-
ca.
3.7.2.
Sumas tipo II
Ahora, suponga que r es un número natural y considere la suma
N−1
P
k=0
rk
WN
.
Hay dos casos importantes por considerar, dependiendo de si r es un múltiplo
246
CAPÍTULO 3. SEÑALES PERIÓDICAS (FOURIER)
entero de N, o no.
Ejercicio. Demuestre que si r es un múltiplo de N (es decir, si r es congruente
con 0, módulo N, y JrKN , 0), entonces,
N−1
P
k=0
rk
WN
=N
Ejercicio. Demuestre que si N no es un múltiplo de r, (es decir , si r no es congru-
ente con 0, módulo N, y JrKN , 0), entonces,
N−1
P
rk
WN
=
k=0
r(N−1)
0
r
{WN
, WN
, . . . , WN
}
N−1
P
k
WN
= 0 (Sugerencia:
k=0
(N−1)
0
1
{WN
, WN
, . . . , WN }. En
si r y N son primos relativos,
=
caso contrario, si m es el máximo común divisor de r y N, s = r/m y M = N/m,
se tiene que:
r(N−1)
0
r
{WN
, WN
, . . . , WN
r(M−1)
0
r
} = {WN
, WN
, . . . , WN
0
r
, WN
, WN
,
r(M−1)
. . . , WN
r(M−1)
0
r
donde la lista WN
, WN
, . . . , WN
r(M−1)
0
r
, . . . , WN
, WN
, . . . , WN
}
se repite m veces.)
Como conclusión, tenemos que las sumas de la forma
JrKN = 0, y 0, cuando JrKN , 0
N−1
P
k=0
rk
WN
valen N, cuando
Ejercicio. Muestre el resultado anterior usando la fórmula de la suma geométri-
ca.
3.7.3.
Una biyección de CN a CN
Toda matriz cuadrada A de N por N números complejos define la función
lineal L : CN → CN dada por L(x) = xA. Similarmente, toda función lineal de
CN a CN se puede representar como el producto por una matriz cuadrada de
N por N. si la matriz es invertible, se tiene una biyección: además, los vectores
fila y los vectores columna de la matriz serán linealmente independientes y
bases para CN . A continuación presentaremos una de tales matrices.
3.7. SEÑALES PERIÓDICAS DISCRETAS
247
(r−1)(k−1)
Lema 5. La matriz A = JArk K = JWN
K, donde cada componente Ark de la
(r−1)(k−1)
matriz está dado por Ark = WN
es invertible.
Prueba. La matriz es invertible ya que tiene inversa. La matriz N1 , donde
−(r−1)(k−1)
B = JBrk K con Brk = WN
, es la matriz inversa, como se muestra a continuación. Sea C = AB, con componentes Ci j , entonces,
Ci j =
N
X
(k−1)(i−1)
WN
−(j−1)(k−1)
WN
k=1
=
N
X
0
WN
k=1
=N
Además, para i , j
Ci j =
N
X
(k−1)(i−1)
WN
−(j−1)(k−1)
WN
k=1
=
N
X
(k−1)(i− j)
WN
k=1
=0
ya que [i − j]N , 0, por lo tanto, C es una matriz diagonal con componentes en
la diagonal de valor N y N1 C es la matriz identidad.
(N−1)k
0k
1k
Corolario 3. Los N vectores de la forma [WN
, WN
, . . . , WN
forman una base para CN .
], con k ∈ /0, N − 1/,
Prueba. Dado un elemento x = [x0 , x1 , . . . , xN−1 ] de CN , sea X = xA, X =
[X0 , X1 , . . . , XN−1 ] es también un elemento de CN . Como A es invertible, podemos escribir x = XA−1 . Así, estamos expresando a x como una combinación
lineal de los vectores columna de A−1 . Como esto es válido para cualquier
248
CAPÍTULO 3. SEÑALES PERIÓDICAS (FOURIER)
vector x en CN , concluimos que los vectores columna de
CN .
1
NB
son una base para
Corolario 4. Dada una señal x = [x0 , x1 , . . . , xN−1 ] de duración finita, sus componentes se pueden expresar así:
xn =
N−1
X
2π
Xk e j N nk
k=0
donde los coeficientes Xk están dados por:
Xk =
N−1
1 X − j 2π nk
xn e N
N n=0
Prueba. La prueba consiste en expresar a x como x = XA−1 = (xA)A−1 .
Lema 6. Si en la expresión xn =
N−1
P
2π
Xk e j N nk se permite que n tome cualquier valor
k=0
entero, resulta una señal discreta, de longitud infinita, periódica.
nk
Prueba. Se sigue del hecho que los términos WN
tienen tiempo de repetición
N.
3.8.
Problemas
1. Exprese la señal an = Im (jn ) como una suma de exponenciales complejas
discretas. Muestre que xn es una señal impar y exprésela también como
una suma de senos discretos.
2. Exprese la señal mostrada en la figura 3.23 como una suma de exponenciales complejas discretas.
3. Encuentre el periodo de las siguientes señales contínuas:
3.8. PROBLEMAS
249
Figura 3.23: Una señal periódica discreta
a) sen2 (t)
b) sen(9t) + sen(15t)
c) sen(2πt/7) + sen(2πt/5)
d) sen cos(t)
e) sen2 (t) + cos2 (t)
p
f ) sen( (2)t)
g) tan(t)
h) sen(2πt)
i) e jt
4. Diga si la señal discreta xn = e j5n es periódica, o no. Explique.
5. Dé el periodo de la señal discreta xn = [n]4 .
6. Sea w = e j2π/16 . Calcule w1073741823 . Sugerencia: wn es periódica (¿Cuál es
el periodo?). Calcule log2 1073741823.
7. Sea f (t) = sen(2πt/3) + sen(2πt/4) + sen(2πt/5). Encuentre un número
real T , 0 tal que f (t + T) = f (t).
250
CAPÍTULO 3. SEÑALES PERIÓDICAS (FOURIER)
8. Encuentre la representación en series de Fourier (de exponenciales complejas) de la señal f (t) = sen(2πt) + cos(3πt) − 0,5 sen(3πt) + sen(5πt).
9.
a) Encuentre la frecuencia fundamental de la señal g(t) = sen(2πt/5) +
7 cos(2πt/7).
b) Usando la fórmula de Parseval correspondiente, encuentre la energía promedio de la señal.
10. Encuentre w1073741825 si w = e j2π/16 . Sugerencia: encuentre log2 1073741825
11. Diga si la señal cos(t) + cos(πt) es periódica, o no. Si sí, encuentre el
periodo.
12. Encuentre el periodo de la señal continua sen2 (t).
13. Encuentre el periodo de sen(2πt/4) + cos(2πt/3), t ∈ R.
14. Encuentre el periodo de e j2πn/5 + e j2πn/3 , n ∈ Z.
15. Exprese la señal discreta periódica s = {. . . 1, 1/2, 0, 1/2, 1, 1/2, 0, . . . }, de
periodo 4, como una suma de exponenciales complejas discretas. Asuma
que s0 = 0 y que, por lo tanto, la señal es par.
16. Una serie de Fourier se puede expresar en términos de exponenciales
complejas o de senos y cosenos:
∞
X
n=−∞
cn e jnΩ0 t =
∞
X
an cos(nΩ0 t) +
n=0
∞
X
bn sen(nΩ0 t)
n=1
exprese las cn ’s en términos de las an ’s y bn ’s, y viceversa.
17. Grafique 1/2 + 1/2(−1)n contra n.
18. Exprese sn = 1/2 + 1/2(−1)n como una suma de exponenciales complejas
discretas. También, la señal (− j)n .
3.8. PROBLEMAS
251
19. Encuentre el periodo de la señal rZ → C dada por rn = e j2πn(256/1023) . nota:
1023 es número primo y por lo tanto, la fracción 256/1023 es irreducible.
20. Diga si la señal s : Z → C dada por sn = e j8πn/34 es periódica, o no. En
caso afirmativo, dé el periodo.
21. Muestre que para cada número real x ≥ 0, para cada > 0, hay un
número natural N tal que |x − 2πN|N < .
22. Muestre que para cada función continua periódica con periodo 2π, f ,
N
P
para casa > 0, hay una suma de exponenciales complejas
ck e jtk tal
k=0
que | f (t) −
N
P
ck e | < .
jtk
k=0
23. Se tiene la señal f (t) = sen(9t) + sen(15t).
a) Diga si es periódica. Si sí, dé el periodo.
b) Diga si hay coeficientes cn tales que f (t) =
los valores para Ω0 y cn .
P∞
n=−∞ cn e
jnΩ0 t
. Si sí, dé
24. Muestre que la convolución (lineal continua) de dos señales periódicas
con norma L1 no nula, no existe.
25. Encuentre una señal r : Z → C de periodo 15 y una r : Z → C de periodo
10, tales que su suma tenga periodo 6.
26. Usando la fórmula de Parseval, encuentre la potencia promedio de
cos(t) + cos(πt).
27. Se tiene una señal periódica g : R → C con periodo 2 y dada por g(t) =
u(t) − u(t − 1) para t ∈ [0, 2). Calcule y grafique la convolución circular de
g consigo misma.
28. Exprese A sen(a) + B sen(b) como C cos(c + φ).
252
CAPÍTULO 3. SEÑALES PERIÓDICAS (FOURIER)
e− jmx (1−e j(2m+1)x )
sen[(m+1/2)x]
= sen(x/2) , para x , 0. Encuentre el límite
29. Muestre que
1−e jx
cuando x tiene a cero. Grafique para m = 10.
30. Encuentre el periodo de r : Z → C dada por rn = e j3πn/7 .
√
31. Demuestre que cos(2πt) + cos(2πt/ 2) no es periódica. O, en caso contrario, dé el periodo.
R π sen((n+0,5)t)
32. Muestre que, para cada natural n, 0 sen(0,5t) dt = π.
33. Se tiene una onda cuadrada de 60 ciclos por segundo, de nivel promedio 0.5 y amplitud pico a pico de 1. Encuentre la potencia promedio
de la señal así como la potencia promedio asociada con las primeras 5
armónicas.
34. Dé señales discretas de periodos M y N tales que
a) El periodo de la suma sea mcm (M, N) , MN.
b) El periodo de la suma sea menor que mcm (M, N).
35. Muestre que la señal s : Z → C dada por sn = e jn es casi periódica pero
no periódica.
36. Se tiene una onda periódica de periodo 2π, nivel promedio 0.5 y amplitud
pico a pico de 1, como se muestra en la figura 36. Si su serie de Fourier
P
jnt
es ∞
−∞ cn e , encuentre la potencia promedio de la versión truncada de
P
su serie de Fourier dada por 6−6 cn e jnt .
37. Si cn es la sucesión de los coeficientes de Fourier de una señal continua
f (t) periódica con periodo T, ¿ cuál es la sucesión de coeficientes de la
señal periódica g(t), indicada a continuación?.
g(t) =
1
T
T
Z
f (t − τ) f (τ)δτ
0
3.8. PROBLEMAS
253
38. Se tiene una onda periodica de periodo 2π, el nivel proemdio 1,0 y
amplitud pico-pico de 2, como se muestra a continuación. Si su serie
P
jnt
de Fourier es ∞
n=−∞ cn e , encuentre la potencia promedio de la versión
P
truncada de su serie de Fourier dada por 5n=−5 cn e jnt
39. f (t) es una onda cuadrada par de periodo 2π, nivel DC 0,5 y amplitud 1,
con serie de cosenos coeficientes an :
f (t) =
∞
X
an cos(nt) =
∞
X
hn e jnt
n=−∞
n=0
a) Grafique f (t).
b) Encuentre a0 , a1 y a2 .
c) grafique g(t) dada por
P∞
n=−∞
hn e jnt .
40. Se tiene un sistema de convolución continuo con respuesta escalón g(t) =
e−t u(t). Al sistema se aplica la señal e(t) = 1 + cos(t) + cos(5t).
a) Encuentre la salida.
b) Encuentre la potencia promedio de la entrada.
c) sando Parseval, encuentre la potencia pormedio de la entrada
254
CAPÍTULO 3. SEÑALES PERIÓDICAS (FOURIER)
41. Se tiene una onda periódica de periodo 1, nivel promedio 0,7 y amplitud
P
jnt
pico a pico de 1. Si su serie de Fourier es ∞
n=−∞ cn e , encuentre la
potencia promedio de la version truncada de su serie de Fourier, dada
P
por 3n=−3 cn e jnt .
2π
42. Para la señal continua g : R → C dada por : g(t) = sen( 2π
15 t) + cos( 12 t).
a) Diga si es periódica. Si sí, dé el período de g.
P
jnΩ0 t
b) Expreselo en la forma ∞
. Es decir, dé los valores de Ω0
n=−∞ cn e
y de las cn .
c) Encuentre la convolución circular de las señales [123456789] y [001001001]
d) Se tiene un sistema de convolución continuo con respuesta escalón
dada por g(t) = u(t)e−t , al cual se le aplica una entrada e(t). Si se sabe
R0
R0
que −∞ e(t) = 2 encuentre −∞ s(t) donde s(t) es la sañelade salida
correspondiente.
e) Se tiene un sistema de convolución discreto con función característica hn = 2−n . Encuentre la salida cuando la entrada es la señal
en = un − un−1 .
f ) Se tiene un sistema de convolución continuo con función de tranjΩ
ferencia H(Ω) = 1+ jΩ . Encuentre la respuesta a la señal 1 + cos(t).
g) Encuentre la función de transferencia del sistema con respuesta
escalón g(t) = e−t u(t).
h) Se tiene un sistema de convolución discreto conres puesta impulso
dada por hr = un 2−|n| . Si la entrada es la señal s = . . . , 1, 1, 0, 1, 1, 0, . . .
de periodo 3, exprese la salida como una suma de exponenciales
complejas discretas.
i) A un sistema de convolución continuo con respuesta escalón g(t) =
u(t)e−t se le aplica una señal e(t) = sen(t)[u(t) − u(t − 3π)]. encuentre
la integral de la señal de salida.
3.8. PROBLEMAS
255
j) Se tiene un sistema de convolución continuo. Grafique e, g y s, donde
s es la convolución de Stieltjes
Z ∞
s(t) =
e(t − τ)δg(τ)
n=−∞
y donde g(t) = t[u(t) − u(t − 1)] es la respuesta escalón del sistema;
la entrada e está dada por u(t)cos(t).
Referencias
[1] “Digital Signal Processing”. A. V. Oppenheim y R.W. Shafer.
Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1975.
[2] “Mathematical Analysis”. T.M. Apostol. 2nd Ed. AddisonWesley, Reading, 1974.
[3] “Fourier Series”. G.P. Tolstov. Dover, N.Y., 1962.
[4] “Almost Periodic Functions”. H. Bohr. chelsea, N.Y., 1947.
[5] “Sobre la periodicidad de sumas de señales discretas periódicas”. A. Restrepo y L. Chacón. Memorias del simposio de
Tratamiento de Señales, Imágenes y Visión Artificial, Universidad de los Andes, Bogotá, 1995.
[6] “On the period of sums of discrete periodic signals”. A. Restrepo y L. Chacón. IEEE Signal Processing Letter, vol. 5, No. 7, pp.
164-166, 1998.
[7] “Análisis de Fourier”. J. Duoandikoetxea. Addison- Wesley,
Wilmington, 1995.
[8] “Fourier Analysis”. T.W. Körner. Cambridge University Press,
Cambridge, 1998.
256
Capítulo 4
La Transformada de Fourier
de Señales continuas
4.0.
Introducción
La invarianza, tanto de las exponenciales complejas como de las sinusoides,
con respecto a la diferenciación, nos dice que la respuesta de un sistema lineal descrito por una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes, a
una sinusoide o una exponencial compleja, es una sinusoide o una exponencial compleja de la misma frecuencia. La idea de representar señales periódicas
con series de sinusoides o de exponenciales complejas resulta así doblemente
poderosa: con gran generalidad, para sistemas lineales e invariantes, la respuesta a una exponencial compleja de frecuencia arbitraria, es todo lo que
necesitamos para encontrar la respuesta a señales periódicas.
El análisis de Fourier es útil en audiología, en lingüistica, en teoría de sistemas, en óptica, en mecánica cuántica y en otras áreas. En el caso de ingeniería
257
258
CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
electrónica, sus principales aplicaciones están en las áreas de comunicaciones,
voz y audio, bioingeniería y control.
4.0.1.
Motivación
Inicialmente, indicamos una forma plausible de obtener la transformada
de Fourier de ciertas señales, usando una serie de Fourier. Considere una señal
periódica s(t), como la mostrada en la figura 4.3.a. Suponga que 2π es un
tiempo de repetición de la señal y que tiene serie de Fourier con coeficientes
cn , como se muestra en la figura 4.3.b. Ahora suponga que queremos aislar el
segmento de s en el intervalo [−π, π] agregando segmentos de valor cero, antes
y después de cada intervalo de la forma [(2k − 1)π, (2k + 1)π], k ∈ Z, dando
lugar a la señal f (t) con tiempo de repetición T y concordante con s en [−π, π],
como se muestra en la figura 4.3.c. Y, finalmente, que alargando la longitud de
los intervalos nulos se obtiene en el límite la señal g(t) que se muestra en la
figura 4.3.d, concordante con s en [−π, π], y nula por fuera de [−π, π].
∞
P
Así, la señal s(t), tiene una serie de Fourier de la forma, s(t) =
cn e− jnt ,
n=−∞
Rπ
1
s(t)e jnt dt.
con coeficientes dados por, cn = 2π
−π
Suponga que la serie de Fourier de f (t) tiene coeficientes dn , es decir,
∞
X
f (t) =
2π
dn e− j T nt
(4.1)
n=−∞
con
1
dn =
T
Z
T/2
2π
f (t)e j T nt dt
(4.2)
−T/2
Definiendo ∆Ω = 2π/T, Ωn = n y F(Ωn ) = Tdn , aumentamos T y obtenemos
ecuaciones correspondientes a las ecuaciones 4.1 y 4.2, cuando T tiende a ∞.
4.0. INTRODUCCIÓN
259
Figura 4.1: a. Una señal periódica
Figura 4.2: b. El resultado de agregar intervalos nulos entre periodos
Figura 4.3: c. el resultado en el límite.
260
CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
Sea
g(t) = lı́m f (t)
T→∞
∞
X
= lı́m
T→∞
= lı́m
T→∞
2π
dn e−j T nt
n=−∞
∞
X
1
F(Ωn )e− jΩn t
T
n=−∞
∞
X
1
= lı́m
F(Ωn )e−jΩn t ∆Ω
T→∞
2π
n=−∞
que podemos ver como el límite de una suma de Riemann,
g(t) =
con G(Ω) = lı́m F(Ωn ) = lı́m
T→∞
1
2π
R T/2
T→∞ −T/2
Z
∞
G(Ω)e− jΩt dΩ
−∞
f (t)e jΩn t dt. Así, G(Ω) se puede ver como una
de interpolación de F(Ωn ). Vea la figura 4.3.d.
Ejemplo. Queremos calcular la serie de Fourier de la señal que se muestra en
4.0. INTRODUCCIÓN
261
la figura 4.4.
1
dn =
T
=
1
T
Z
T/2
f (t)e− jnΩ0 t dt
−T/2
Z 1
− jnΩ0 t
e
Z
−1
1
2π
1
e− jn T t
T −1
2
n=0
T,
i
h 2nπ
=
2nπ
1 T e j T − e− j T , n , 0
T j2nπ
2
n=0
T,
=
sen( 2nπ
)
2
T 2nπT , n , 0
=
T
2
2nπ
= senc (
)
T
T
2
= senc (n∆Ω)
T
Figura 4.4: Pulsos
262
CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
4.0.2.
Objetivo
Quizás tenga sentido decir que en la práctica las señales tienen duración
finita; sin embargo, no es conveniente restringirnos a conjuntos de señales de
duración finita, la generalidad tiene sus ventajas. En todo caso, muchas señales
continuas, de longitud infinita, de duración infinita y no periódicas, se pueden
expresar como las integral de una función de la forma S(Ω)e jΩt :
Z ∞
1
S(Ω)e jΩt dΩ
(4.3)
s(t) =
2π −∞
En estos casos, la función S(Ω) provee la caracterización en el dominio de la
frecuencia de Fourier de la señal s(t). S(Ω) se conoce como la transformada de
Fourier de s(t).
Para señales s en L1 , su transformada S(Ω) se calcula así:
Z ∞
S(Ω) =
s(t)e jΩt dt
(4.4)
∞
Note la similitud entre la fórmula 4.4 de la transformada y la de la trans1
y el signo del exponente de la exponencial
formada inversa 4.3. El factor 2π
jΩt
compleja e son la únicas diferencias; algunos autores cambian estas convenciones.
En ingeniería, tradicionalmente, t es la variable en el dominio natural de la
señal y Ω la del dominio de la frecuencia. El par que acabamos de definir se conoce
como la transformada de Fourier L-1, la razón es que para que la transformada
exista para cada valor real del argumento Ω, es suficiente que la señal sea
integrable en magnitud. Muchas señales no son integrables en magnitud, en
particular, la señal senc no lo es. La señal senc sí es integrable en magnitud al
cuadrado.
Las transformadas de señales en La2 y la de distribuciones las consideramos
más adelante, brevemente, en este capítulo. Es una lástima que el tratamiento
riguroso de la transformada de Fourier de señales bastante arbitrarias tenga
4.1. LA TRANSFORMADA DE FOURIER L-1
263
que ser en alguna medida lento: hay que empezar por señales en L − 1, luego
en L − 2, luego L − p, luego distribuciones funcionales.
Para señales en L2 se define una transformada de Fourier L − 2 que es un
límite en norma de funciones en L1 ∩ L2 - La transformada de una distribución
está dada por la distribución aplicada a la transformada de la función.
4.1.
La transformada de Fourier L-1
Así como convergencia de una serie en magnitud implica convergencia
incondicional, la existencia de una integral, cuando el integrando está en magnitud, implica la existencia de la integral con el integrando sin magnitud.
Ejercicio. Muestre que si una función es integrable en magnitud, entonces es
integrable.
Si g : R1 → C es una señal integrable en magnitud, la siguiente fórmula
determina un número complejo G(Ω) para cada Ω ∈ R1 :
∞
Z
G(Ω) =
g(t)e− jΩt dt
−∞
ya que, la integrabilidad en magnitud de g(t) implica la integrabilidad en
magnitud de g(t)e jΩT ya que
Z
∞
Z
|g(t)e
− jΩt
∞
|dt =
|g(t)|dt
−∞
−∞
Note que G(Ω) se define como la suma de los siguientes límites, cuando T
tiende a infinito, de
Z
0
Z
g(t)e
−T
− jΩt
dt +
T
g(t)e− jΩt dt
0
(4.5)
264
CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
y no como el límite cuando T tiende a infinito de,
Z
T
g(t)e− jΩt dt
(4.6)
−T
La expresión de la ecuación 4.6 se conoce como el valor principal de Cauchy
de g(t)e− jΩt . Esta diferencia es importante ya que, en ciertos casos, el límite en
la ecuación 4.6 puede ser cero mientras que los límites en la la ecuación 4.5
RT
pueden ser +∞ y −∞, y su suma no está definida. Por ejemplo, −T sen tdt es
RT
cero para toda T, sin embargo, 0 sen tdt no tiende a ningún valor particular a
medida que T crece.
Ejemplo. Calcule la transformada de Fourier dela señal s(t) dada por:
1,
s(t) =
0,
t ∈ [−π, π]
t < [−π, π]
Note que la señal es integrable en magnitud. Por definición, la transforma-
Figura 4.5: Una señal pulso
da S(Ω), que también escribimos [F(s)](Ω) (“la transformada de Fourier de s
4.1. LA TRANSFORMADA DE FOURIER L-1
evaluada en Ω), está dada por,
Z
Z ∞
− jΩt
s(t)e
dt =
π
265
e− jΩt dt
−π
−∞
−1 jΩt π
e |−π , siempre que Ω , 0
jΩ
=
e jΩt − e− jΩt
jΩ
2 sen πΩ
=
Ω
=
si Ω = 0
Z
π
e− jΩt dt = 2π
−π
resumiendo,
Ω=0
2π,
S(Ω) =
2 sen πΩ , Ω , 0
Ω
= 2πsenc πΩ
Esta función aparece con relativa frecuencia en teoría de señales; la función
senc x está definida como senc = senx x , para x , 0, y senc (0) = 1. Como se
puede comprobar, la función senc es continua. La función senc también es
conocida como el núcleo de Fourier continuo.
Ejercicio. Calcule la transformada de la señal continua f dada por f (t) = e|t| .
(La “campana de Laplace”).
Ejercicio. Diga si la señal “campana de Cauchy” dada por
1
1+t2
está en L1 .
2
Ejercicio. Diga si la señal e−t está en L1 .
2
Ejercicio. Calcule la transformada de Fourier de la señal e−t . ¿Es cierto que la
transformada de Fourier de una campana de Gauss es otra campana de Gauss?
266
CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
Figura 4.6: La función senc x
Ejercicio. Calcule la transformada de Fourier de la señal
2
Ejercicio. Muestre que e−x =
R∞ 2
√2
e−t
π 0
1
.
1+t2
cos(2tx)dt
Nota. La representación en el dominio de la frecuencia de Fourier de señales
periódicas tales como las sinusoides y las exponenciales complejas la obtenemos por medio de su representación como series (o sumas) de Fourier, es
decir, con el conjunto de coeficientes {cn } de la serie, graficado contra Ω = nΩ0
(donde Ω0 = 2π/T y T es un tiempo de repetición) mejor que contra n. Las
sinusoides no nulas no son señales en L1 ni en L2 . Estas señales no tienen transformada (según la definimos aquí); la integral correspondiente no converge
para ninguna frecuencia Ω.
Ejercicio. ¿Para qué valores de Ω existe el límite de
RT
0
cos te− jΩt dt cuando T
tiende a infinito?
De aquí en adelante, hasta la sección 4.5, solo se considerará la transformada
de Fourier de señales integrables en magnitud. En esta forma, se tendrá la
seguridad de que la transformada es también una señal cuyo dominio es la
4.2. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER L-1
267
línea de los números reales. Lamentablemente, como vimos en el ejemplo
anterior, la transformada de una señal en L1 no necesariamente está en L1 .
Nota. El lector familiarizado con las teorías de Fourier, de sistemas o de proba-
bilidad, puede preguntarse en este punto las razones por las cuales la función
impulso no se utiliza en la definición de transformada de Fourier de las señales
sinusoidales; algunas de éstas son:
i El autor no considera conveniente su uso en un curso introductorio tal
como Teoría de Señales.
ii El impulso, en matemáticas, no es ninguna función con dominio un
conjunto de números; es una entidad ficticia que tal vez sería el núcleo del
funcional de Dirac, el funcional de Dirac está dado por el funcional que
asigna a cada función en un espacio vectorial de funciones con dominio
R, el valor de la función cero.
iii La teoría matemática en la cual se definen los impulsos es la teoría de las
distribuciones. Esta teoría es más sofisticada que el cálculo y cubrirla es
innecesario ya que:
a La función escalón, junto con la integral de Riemann-Stieltjes y las
series de Fourier, son suficientes para desarrollar la teoría de señales
y sistemas en el contexto del cálculo.
b Las series de Fourier permiten una representación adecuada de
señales periódicas continuas en el dominio de la frecuencia.
4.2.
Propiedades de la transformada de Fourier L-1
La transformada de Fourier es ampliamente usada por varias razones; tal
vez las más importantes tengan que ver con las propiedades de modulación,
268
CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
de convolución y la transformada inversa. La propiedad de modulación (lineal) de la transformada de Fourier se aprovecha para compartir un canal por
multiplexación en frecuencia; por ejemplo, éste es el sistema usado par la transmisión de radio AM comercial. La propiedad de convolución junto con la de
la transformada inversa, permiten el modelaje y el diseño de sistemas lineales
invariantes (e.g. filtros) en el dominio de la frecuencia.
Una tercera razón para la popularidad de la frecuencia de Fourier se encuentra en el campo del procesamiento de audio y de voz: hay una correspondencia entre la frecuencia percibida de un sonido y las frecuencias de Fourier
de sus componentes, especialmente de la fundamental; de hecho, hay quienes
aseguran que los únicos “tonos puros” son los de tipo sinusoidal. Sin embargo, el oído humano no es muy sensitivo a fase de Fourier: si se escuchan dos
señales periódicas y luego se escuchan nuevamente, esta vez retardando una
con respecto a la otra, es difícil escuchar una diferencia.
Otra razón es que las exponenciales complejas (en general, las exponenciales) son funciones propias de los sistemas lineales invariantes: la respuesta
de un sistema lineal e invariante a una exponencial compleja es una exponencial compleja de la misma frecuencia, multiplicada por una constante (el
“valor propio” que resulta estar dado por la transformada de Fourier de la
función característica del sistema evaluada en la frecuencia de la exponencial
compleja). Cuando un sistema lineal e invariante con función característica
real se excita con una sinusoide, la salida es también una sinusoide (real) de la
misma frecuencia, posiblemente desfasada y con amplitud diferente (o la señal
cero). En modelos dispersivos de medios de propagación de ondas, las únicas
señales que no se distorsionan, en cuando a forma de onda, son la sinusoides.
A continuación se listan algunas de las propiedades de la transformada de
Fourier. Se asume que la señal s en su dominio natural (en contraste con la
señal s en el dominio de la frecuencia) es una función integrable en magnitud
(i.e. s ∈ L1 ). Estrictamente hablando, se asume que la integral de Fourier se
4.2. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER L-1
269
define con una integral de Lebesgue, en vez de con una de Riemann; también
, que dos funciones son equivalentes si el subconjunto de su dominio donde
difieren (es decir, el soporte de su diferencia) tiene medida cero.
i) (Teorema de Riemann-Lebesgue.) Si la señals : R1 → C es integrable en magnitud, su transformada de Fourier S(Ω) tiende a cero a medida que |Ω|
R∞
g(t)e− jΩt dt, después
crece: lı́mΩ→∞ S(Ω) = lı́mΩ→−∞ S(Ω) = 0. G(Ω) =
se toma G(Ω) − (−G(Ω)) = 2G(Ω) y entonces
−∞
∞
Z∞
Z
G(Ω) = 0,5 g(t)e− jΩt dt +
g(t)e− jΩt e jπ dt
−∞
−∞
∞
Z∞
Z
π
= 0,5 g(t)e− jΩt dt +
g(t)e− jΩ(t− Ω ) dt
−∞
haciendo t0 = t −
−∞
π
2
G(Ω) = 0,5
Z∞ g(t) − g(t −
−∞
π −jΩt
) e
dt
Ω
Así, no es posible, posible, por ejemplo, que la transformada de una señal
integrable en magnitud sea la señal escalón: u(Ω).
Ejercicio. Demuestre el teorema de Riemann-Lebesgue.
Sugerencia: Muestre que si g está en L1 , lı́mδ→0
luego, con
Z ∞
G(Ω) =
g(t)e− jΩt dt
−∞
R∞
−∞
|g(t + δ) − g(t)dt = 0
270
CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
y
Z
−G(Ω) = −
Z
=
∞
g(t)e− jΩt dt
−∞
∞
g(t − π/Ω)e− jΩt dt
−∞
y
Z
∞
2G(Ω) =
Z
∞
g(t)e− jΩt dt +
Z−∞
∞
=
g(t − π/Ω)e− jΩt dt
−∞
g(t) + g(t − π/Ω) e− jΩt dt
−∞
resulta
Z
∞
G(Ω) ≤ 0,5
g(t) + g(t − π/Ω) e− jΩt dt
−∞
ii) (Si s es integrable en magnitud), su transformada de Fourier S(Ω) es
acotada:
Z ∞
Z ∞
Z ∞
|S(Ω)| = |
s(t)e− jΩt dt| ≤
|s(t)e− jΩt dt| =
|s(t||e− jΩt dt|
−∞
− jΩ
dado que |e
−∞
−∞
| = 1, se puede concluir que, para cada Ω,
Z ∞
|S(Ω)| ≤
|s(t|dt
−∞
por lo tanto, kSk∞ ≤ ksk1 y por lo tanto, S ∈ L∞ . Así, la transformada de
Fourier F es una transformación de L1 a L∞ . En la sección 4.7, extenderemos el dominio de la transformada a L1 ∪ L2 .
F : L1 → L∞ , F(h) = H,
Z ∞
H(Ω) =
h(t)e− jΩt dt
−∞
4.2. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER L-1
271
Figura 4.7: La transformada de Fourier
iii) La transformada de S(Ω) de una señal en L1 es una función uniformemente
continua.
Demostración.
Z
∞
S(Ω + h) − S(Ω) =
Z
− j(Ω+h)t
s(t)e
Z−∞
∞
=
∞
s(t)e− jΩt dt
dt −
−∞
s(t)e− jΩt [e− jht − 1]dt
−∞
por lo tanto,
∞
Z
|S(Ω + h) − S(Ω)| ≤
|s(t)||e− jht − 1|dt
−∞
como el lado derecho no depende de Ω, si el límite cuando h tiende a
0 es 0, tendremos continuidad uniforme. Como |s(t)||e− jht − 1| ≤ 2|s(t)|,
que es integrable; si tenemos una sucesión {hn } → 0 entonces s(t)[e− jht −
1] → 0 usando el teorema de la convergencia dominada de Lebesgue, e
intercambiando las operaciones de límite e integral, tenemos
Z ∞
Z ∞
− jΩt − jht
lı́m
s(t)e
[e
− 1]dt =
lı́m s(t)e− jΩt [e− jht − 1]dt
n|to∞
−∞ n|to∞
−∞
=0
272
CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
y, como {hn } es cualquier sucesión que converja a cero, tenemos que S es
continua. *Caso particular. Considere el caso particular en que g ∈ L1 ∩L2 .
Para mostrar que S es continua en Ω = Ω0 , considere |S(Ω) − S(Ω0 )|.
Z ∞
Z ∞
S(Ω) − S(Ω0 ) =
s(t)e− jΩt dt −
s(t)e− jΩ0 t dt
−∞
Z−∞
∞
− jΩt
− jΩ0 t
=
s(t)[e
−e
]dt
−∞
así,
∞
Z
|s(t)[e− jΩt − e− jΩ0 t ]|dt
|S(Ω) − S(Ω0 )| ≤
−∞
y, con la desigualdad de Cauchy-Schwartz.
|S(Ω) − S(Ω0 )| ≤ ksk2 |[e− jΩt − e− jΩ0 t ]|dt
que tiende a cero cuando Ω tiende a Ω0 . Así no es posible, por ejemplo,
que la transformada de una señal integrable en magnitud sea 1/Ω.
iv) (Propiedad de convolución.) La transformada de Fourier de la convolución de
dos señales integrables en magnitud, es el producto de las transformadas
correspondientes. Si s, r ∈ L1 entonces,
F[s ∗ r] = F[s] · F[r] :
Z ∞
Z ∞
− jΩt
[F(s ∗ r)](Ω) =
e
s(τ)r(t − τ)dτ dt
−∞
Z−∞
Z
∞
∞
=
s(τ)
e− jΩt r(t − τ)dt dτ
Teorema de Fubini
−∞
−∞
Z ∞
Z ∞
=
s(τ)e− jΩτ
e jΩτ e− jΩt r(t − τ)dt dτ
−∞
−∞
Z ∞
Z ∞
− jΩτ
=
s(τ)e
dτ
e jΩu r(u)du
con u = t − τ
−∞
= [F(s)](Ω)[F(r)](Ω)
−∞
4.2. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER L-1
273
Nota. Una de las diferencias entre las transformadas de Laplace bilateral
R(s) y de Fourier R(Ω) de una señal r(t) es que la transformada de Laplace
tiene como dominio un subconjunto del plano complejo C mientras que
la de Fourier tiene como dominio un subconjunto de la línea R1 :
Z
R(Ω) = [F(r)](Ω) =
Z
R(s) = [L(r)](s) =
∞
Ω ∈ A ⊂ R1
r(t)e−jΩt dt,
−∞
∞
r(t)e−st dt,
s∈B⊂C
−∞
Ejercicio. ¿Cómo está dada la región de convergencia B de la transfor-
mada de Laplace de una señal de orden exponencial?
v) (Fórmula de inversión.) Si tanto s como S son integrables en magnitud,
acotadas y uniformemente continuas,
1
s(t) =
2π
∞
Z
S(Ω)e jΩt dΩ
−∞
es decir, podemos recuperar la señal s a partir de su transformada S con
una fórmula muy similar a la de la transformada.
La demostración no es directa, como tal vez uno podría esperar, ya que
R∞
la integral −∞ e− jΩ(t−τ) dτ no converge. La demostración se basa en los
siguiente resultados:
1
lı́m
r→∞ 2π
Z r
1−
−r
|Ω| jΩt
e S(Ω)dΩ = s(t)
r
y
donde
Kr (t) = r
sen( 2t )
t
2
!2
lı́m
r→∞
1
[ f ∗ Kr ](t) = f (t)
2π
274
CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
Figura 4.8: La función 1 − |Ω|r para varios valores de r
Rr h sen(rΩ/2) i
jΩτ
1 − |Ω|
dτ = r rΩ/2 . Sugerencia: Un
r e
triángulo es la convolución de un pulso con sigo mismo.
Ejercicio. Muestre que
Ejercicio. Muestre que
donde Kr = r
−r
Rr −r
1−
|Ω|
r
e jΩt S(Ω)dΩ = s ∗ Kr ,
h sen(t/2) i2
t/2
Ejercicio. Muestre que lı́mr→∞
1
2π [s
∗ Kr ](t) = s(t).
Para el caso de la transformada L2 veremos que tiene derivada izquierda
y derecha en cada punto y, para cada numero real t.
s(t) =
lı́mr→t+ s(x) + lı́mr→t− s(x)
2
(es decir, en los puntos donde s es discontinua, s toma un valor igual al
promedio de los límites izquierdo y derecho) y si su transformada S(Ω)
es integrable en valor absoluto, entonces.
Ejercicio. Demuestre (indirectamente) que la función senc x no es un ele-
mento de L1 . (Sugerencia: si la señal senc fuera integrable en magnitud,
su transformada sería uniformemente continua.)
4.2. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER L-1
275
También aplicando 4 veces la transformada de Fourier a s, tenemos,
(4π)2 s. Excepto por un factor de escala aplicar 4 veces la transformada
de Fourier es la identidad, en cierto subespacio de L1 .
Ejercicio. Calcule la transformada de Fourier, iterativamente, cuatro ve-
ces.
vi) (Transformada del complejo conjugado.) Si la transformada de s es S, la
transformada del complejo conjugado s∗ de s está dada por,
[F(s∗ )] = S∗ (−Ω)
R
Para ver esto, dado que para todo número complejo z, (z∗ )∗ , que ( z)∗ =
R
z∗ , y que (e− jΩ )∗ = e jΩ , se tiene que,
Z ∞
Z ∞
∗
− jΩt
s (t)e
dt =
[s(t)e jΩt ]∗ dt
−∞
−∞
#∗
"Z ∞
jΩt
s(t)e dt
=
−∞
= [S(−Ω)]∗
vii) (Modulación.) Si la transformada de s(t) es S(Ω), entonces la transformada
de e jΩ0 t s(t) es S(Ω − Ω0 ):
Z ∞
F[e jΩ0 t s(t)](Ω) =
e jΩ0 t s(t)e− jΩt dt
Z−∞
∞
=
s(t)e− j(Ω−Ω0 )t dt
−∞
= S(Ω − Ω0 )
Esta propiedad es base para el análisis de sistemas de modulación vestigial (para TV). DSB y SSB (radio no comercial), AM y otros.
276
CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
Ejemplo. Calcular la transformada de Fourier de s(t) = cos(10t)e−|t|
2
Sabiendo que la transformada de Fourier de e−|t| es 1+Ω
2 , podemos utilizar
la propiedad de modulación y obtener (usando linealidad también):
1
1
+
1 + (10 − Ω)2 1 + (10 + Ω)2
S(Ω) =
!
Figura 4.9: Sistema básico de modulación y demodulación DSB. (No se incluyen filtros ni
amplificadores.)
viii) (Desplazamiento en tiempo.) Si la transformada de s(t) es S(Ω), entonces la
transformada de s(t − τ) es e− jΩτ S(Ω):
Z ∞
F[s(t − τ)](Ω) =
s(t − τ)e− jΩt dt
x=t−τ
−∞
Z ∞
=
s(x)e− jΩ(x+τ) dx
−∞
− jΩτ
=e
S(Ω)
Note que esta propiedad se puede considerar como la dual de la propiedad
de modulación.
Ejercicio. Calcule y grafique: Re[S(Ω)], Im[S(Ω)], |S(Ω)| y ∠S(Ω), si s(t) =
[u(t − 2π/5) − u(t − 8π/5)] sen 5t, donde u(t) es la función escalón.
4.2. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER L-1
277
ix) (Linealidad.) La linealidad de la transformada de Fourier se muestra utilizando la linealidad de la integral:
Z ∞
[F(α f + βg)](Ω) =
(α f (t) + βg(t))e− jΩt dt
−∞
Z ∞
Z ∞
=α
f (t))e− jΩt dt + β
g(t))e− jΩt dt
−∞
−∞
= α[F( f )](Ω) + β[F(g)](Ω)
Ejemplo. Sea r : R1 → C una señal con trasformada R(Ω) y sea, s(t) =
r(t+h)−r(t)
con h , 0. Entonces, la transformada de s está dada por S(Ω) =
h
1 − jΩh
[e
−
1]R(Ω). Esto se deduce fácilmente de las propiedades de linealh
idad y desplazamiento
S(Ω) = [F(s)](Ω)
Z ∞
r(t + h) − r(t) − jΩt
=
e
dt
h
Z−∞
Z
∞
∞
r(t + h) − jΩt
−r(t) − jΩt
=
e
dt −
e
dt
h
h
−∞
−∞
−1 − jΩh
[e
− 1]R(Ω)
=
h
Ejercicio. Calcular el límite cuando h tiende a cero de 1h [e− jΩh − 1] (R/ jΩ).
x) (Transformada de la derivada.) Si s es derivable (e integrable en magnitud)
con transformada de Fourier S(Ω) entonces, si la derivada r = s0 es
también integrable en magnitud, la transformada de Fourier R de r está
dada por:
R(Ω) = [F(s0 )](Ω) = jΩS(Ω)
2
Ejercicio. Sea g(t) = e−t . Grafique g0 (t) y g00 (t). Encuentre y grafique las
transformadas de Fourier de g(t), g0 (t) y g00 (t).
278
CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
Ejercicio. Demuestre la propiedad de la derivada de la transformada de
Fourier. sugerencia: vea las propiedades ix, x y xi.
Ejercicio. Muestre que si f (t) y jt f (t) son integrables en magnitud y que si
la transformada de f es F(Ω) entonces la transformada de jt f (t) es F0 (Ω).
xi) (Parseval.) (Mark Antoine Parseval, Circa 1776 - 1836) La energía de una
señal multiplicada por 2π es igual a la energía de su transformada:
Z ∞
Z ∞
2
2π
|s (t)|dt =
|S2 (Ω)|dΩ
−∞
−∞
Aunque la fórmula es más general, aquí trabajaremos en L1 ∩ L2 .
La fórmula se puede deducir así: sean e y r señales y asuma que S = F[s]
y R = F[r]. Como F[s ∗ r] = SR, se tiene que s ∗ r = F−1 [SR], es decir,
Z ∞
Z ∞
1
S(Ω)R(Ω)e jΩt dΩ
s(τ)r(t − τ)dτ =
2π −∞
−∞
tomando t = 0 resulta,
Z ∞
Z ∞
1
s(τ)r(−τ)dτ =
S(Ω)R(Ω)dΩ
2π −∞
−∞
ahora, asuma que s(t) = r∗ (−t), entonces s(t) tiene transformada S(Ω) =
R∗ (Ω) o, equivalentemente, s∗ (t) = r(−t) y R(Ω) = S∗ (Ω), y se tiene que,
Z ∞
Z ∞
1
∗
S(Ω)S∗ (Ω)dΩ
s(τ)s (τ)dτ =
2π −∞
−∞
La fórmula deseada.
La fórmula de Parseval nos dice que la energía de una señal es proporcional a la energía de su transformada. Esto nos permite llamar a
|S(Ω)|2 el espectro de energía de la señal s(t). Por esta razón también,
4.2. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER L-1
279
muchas técnicas conducentes al cálculo de la transformada de Fourier de
una señal se conocen como técnicas de estimación espectral. De hecho, una
parte de la terminología del análisis de Fourier y de filtros está basada en
la correspondiente a la luz. Si en la figura siguiente, el rayo izquierdo es
incidente y blanco, e interrumpimos el paso de una gama de rayos en la
región entre los prismas, la luz al otro lado sale coloreada. si interrumpimos el paso de las luces de longitud de frecuencia baja (rojos), ¿de qué
color es la luz resultante?
Como dijimos, es necesario asumir que la señal tiene energía finita, es
decir, que está en L2 , para que la demostración dada tenga sentido.
Ejercicio. Muestre que,
Z
∞
1
s(τ)r (τ)dτ =
2π
−∞
Z
∞
S(Ω)R∗ (Ω)dΩ
∗
−∞
Ejercicio. Muestre que toda señal integrable acotada y de duración finita,
es integrable en magnitud.
Ejercicio. Encuentre una relación entre la correlación de dos señales
R∞
R∞
−∞
−∞
s(τ)r∗ (τ − t)dτ y la correlación de sus transformadas
η)dΩ
S(Ω)R∗ (Ω −
Ejercicio. Muestre que si S(Ω) es la transformada de s(t), entonces la
transformada de s(−t) es S(−Ω).
xii) (Propiedades de simetría.)
a) Si s(t) es una señal “real”, es decir si su parte imaginaria es cero
para cada t, entonces las partes real e imaginaria son par e impar,
respectivamente. Consecuentemente, la magnitud |S(Ω)| es par y la
fase impar.
280
CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
Demostración. Por definición,
Z ∞
s(t)e− jΩt dt
S(Ω) =
−∞
Z
Z ∞
s(t) cos(Ωt)dt −
=
∞
s(t) sen(Ωt)dt
−∞
−∞
Por lo tanto, si s es real,
Z
∞
Re[S(Ω)] =
s(t) cos(Ωt)dt
−∞
Que es una función par de la variable Ω; también,
Z ∞
Im[S(Ω)] = −
s(t) sen(Ωt)dt
−∞
es una función impar de la variable Ω.
Entonces, dado que
p
|S(Ω)| = Re[S(Ω)]2 + Im[S(Ω)]2
y que tanto Re[S(Ω)]2 como Im[S(Ω)]2 son funciones pares, podemos
concluir que |S(Ω)| es par.
Ejercicio. Muestre que si s es real, la fase de S es impar.
b) Si s(t) es una señal par, es decir s(t) = s(−t), entonces su transformada
S(Ω) es par también. Por definición
Z ∞
S(−Ω) =
s(t)e jΩt dt
u = −t
−∞
Z ∞
=
s(−u)e−jΩu du
−∞
Z ∞
=
s(u)e−jΩu
−∞
= S(Ω)
4.3. CONVOLUCIÓN EN FRECUENCIA
281
Ejercicio. Muestre que si s es una señal real par, su transformada S
también es real y par.
Ejercicio. Muestre que la transformada de una señal impar es impar.
4.3.
Respuesta en frecuencia de sistemas de convolución continuos
Suponga que se tiene un sistema de convolución continuo, con respuesta
escalón g, como se muestra en la figura 4.10.
Figura 4.10: Un sistema de convolución
Inicialmente, mostramos el siguiente resultado: la respuesta de un sistema
de convolución a una exponencial compleja es una exponencial compleja de la
misma frecuencia, o la señal Θ. Suponga que la entrada al sistema es la señal
e jΩ0 t . Por definición, la respuesta del sistema está dada por,
Z
∞
r(t) =
e jΩ0 (t−τ) dg(τ)
Z−∞
∞
e jΩ0 t e− jΩ0 τ dg(τ)
−∞
Z ∞
jΩ0 t
=e
e− jΩ0 τ dg(τ)
=
−∞
282
CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
R∞
dado que −∞ e− jΩ0 τ dg(τ) es un número complejo, que depende de Ω0 , vemos
que, a menos que tal número sea cero, r(t) es una exponencial compleja de
frecuencia Ω0 . A este factor de amplificación para exponenciales complejas,
en función de la frecuencia, lo llamamos la función de transferencia del
sistema, que denotamos H(Ω):
Z ∞
H(Ω) =
e− jΩτ dg(τ)
−∞
Ahora suponga que la entrada s(t), es una señal en L1 , con transformada
S(Ω). Por definición, la salida estará dada por,
Z ∞
r(t) =
s(t − τ)dg(τ)
−∞
la transformada de r estará dada por
Z ∞
Z ∞
R(Ω) =
e jΩt
s(t − τ)dg(τ) dt
−∞
−∞
Z ∞Z ∞
=
e jΩt s(t − τ)dg(τ) dt
−∞
−∞
si podemos cambiar el orden de integración, y con el cambio de variable
u=t−τ
Z ∞Z ∞
R(Ω) =
e jΩ(τ+u) s(u)du dg(τ)
−∞
Z−∞
Z ∞
∞
jΩτ
=
e
e jΩu s(u)du dg(τ)
−∞
Z−∞
Z ∞
∞
jΩτ
=
e dg(τ)
e jΩu s(u)du
−∞
−∞
= H(Ω)S(Ω)
donde H es la función de transferencia del sistema, y S la transformada de
Fourier de la entrada s(t).
4.3. CONVOLUCIÓN EN FRECUENCIA
283
Alternativamente, suponga que, tanto la respuesta impulso del sistema h
como la respuesta escalón g y la señal de entrada s, son señales en L1 . Sea
H(Ω) la transformada de Fourier de h(t), G(Ω) la de g(t) y S(Ω) la se s(t). Sea
y(t) la respuesta del sistema. Usando las propiedades de convolución y de
la derivada de la transformada de Fourier, la transformada de Y de y está
dada por la relación siguiente entre la función de transferencia del sistema y
la transformada de su respuesta escalón: H(Ω) = jΩH(Ω).
Y(Ω) = jΩG(Ω)S(Ω) = H(Ω)S(Ω)
Figura 4.11: Representación en tiempo y en frecuencia de un sistema de convolución
Los sistemas de convolución también se conocen en ingeniería eléctrica
como filtros (lineales e invariantes). Dado que los sistemas de convolución son
modelos bastante comunes de sistemas físicos y que es más fácil de visualizar
el producto de dos funciones que su convolución, tenemos que la transformada de Fourier es una herramienta útil para el análisis de sistemas lineales e
invariantes.
Suponga que se hace pasar una haz de luz solar (blanca) por un prisma y
que a continuación se coloca una placa con una rendija muy delgada, entonces,
obtendremos una luz coloreada bastante monocromática después de la rendija.
En cierto sentido, habremos “filtrado” una luz con muchas componentes de
284
CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
frecuencia para obtener luz de cierto color, con un contenido de frecuencias
diferente. este sería un ejemplo de un filtro “pasa banda” ya que en la salida,
en frecuencia, sólo se tiene un pequeño intervalo (banda) de frecuencias.
Figura 4.12: Descomposición espectral de un rayo de luz
La transformada de Fourier H de la función característica h de un sistema
de convolución se conoce como la función de transferencia del sistema.
Por la propiedad de la derivada de la transformada de Fourier, la transformada
G de la respuesta escalón está relacionada con la función de transferencia así:
H(Ω) = jΩG(Ω)
Z ∞
H(0) =
h(t)dt
Ω,0
−∞
= lı́m g(t) − lı́m g(t)
t→∞
t→−∞
= lı́m g(t)
t→∞
Suponga ahora que por medio de un micrófono convertimos la señal de
intensidad de presión de aire producida por una contralto que canta, en una
señal de voltaje la cual pasamos por un sistema de convolución cuya función
de transferencia es par y, para frecuencias positivas, cero para frecuencias
por encima de 2KHz y uno entre 0 y 2 KHz. Si por medio de un parlante
4.3. CONVOLUCIÓN EN FRECUENCIA
285
reconvertimos la señal eléctrica en una señal audible, escucharemos una señal
más grave, probablemente sin valor artístico, que la original.
Ejercicio. Se tiene un filtro con función de transferencia como la mostrada en
la figura 4.13, si la señal mostrada en la figura 4.14 tiene como transformada de
Fourier la mostrada en la figura 4.15, grafique aproximadamente el espectro
(i.e. la magnitud de la transformada de Fourier) de la señal de salida.
Figura 4.13: La función de transferencia de un pasa bajas ideal
Figura 4.14: Esta señal se aplica al filtro pasa bajas ideal
Las transformadas involucradas en los dos ejercicios siguientes tienen sentido en la teoría de la transformada de Fourier L2 , que cubriremos más adelante.
Las incluimos debido a su popularidad en el área de tratamiento de señales.
286
CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
Figura 4.15: Transformada de Fourier de la señal en la figura anterior
Ejercicio. Calcule F−1 (H) donde H es,
1,
Ω ∈ (−π, π)
H(Ω) =
1/2, Ω ∈ {−π, π}
0,
Ω < [−π, π]
Ejercicio. Sea
t=0
1,
e(t) =
senc πt , t , 0
πt
Suponga que esta señal se aplica a un filtro con la función de transferencia H(Ω)
dada en el ejercicio anterior. Grafique aproximadamente el espectro |Y(Ω)|2 de
la señal de salida.
Ejercicio. Encuentre la función de transferencia de un pasa bajas RC de primer
orden y la de un pasa altas RC de primer orden.Asuma R=C=1. Grafique las
magnitudes y las fases de las funciones de transferencia.
Ejercicio. Un inversor sinusoidal de voltaje se obtiene a menudo filtrando la
fundamental de una onda cuadrada. Suponga que se tiene una onda cuadrada
4.4. POLOS Y CEROS
287
de 60 ciclos por segundo, y que se filtra con un RC pasa bajas de primer
orden.Encuentre la frecuencia de corte para maximizar el cociente:
Potencia promedio de la fundamental
Potencia promedio de la tercera armónica
Recuerde que una onda cuadrada no tiene armónicas pares.
Figura 4.16: Falta epígrafe
4.4.
Comportamiento en frecuencia en términos de
los polos y ceros de H(s)
Sea H(s) = s−1 G(s) la transformada de Laplace de la función característica
de un sistema de convolución con respuesta escalón con respuesta escalón g,
donde G es la transformada de Laplace de g. Asumiremos que s es la variable
compleja s = σ + jΩ ∈ C; con σ, Ω ∈ R.
Así asumiendo que el sistema es causal y que por lo tanto h(t) = g(t) = 0
para t < 0, tenemos que las transformadas de Fourier de h y de g están dadas
288
CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
por
H(Ω) = H(0 + jΩ)
G(Ω) = G(0 + jΩ)
Es decir, la transformada de Fourier corresponde a la transformada de Laplace
evaluada sobre el eje imaginario del plano complejo s.
Asumiendo que la función de transferencia H(s) es una función racional de
la variable s (lo cual ocurre siempre que el sistema tenga una ecuación diferencial correspondiente), por el teorema fundamental del álgebra, tenemos que
tanto el numerador como el denominador se pueden factorizar. Así, podemos
escribir
a(s − z1 )(s − z2 ) · · · (s − zn )
H(s) =
(s − p1 )(s − p2 ) . . . (s − pm )
para una función de transferencia con n ceros y m polos. Al restringirse al
dominio de la frecuencia de Fourier, tenemos:
H(Ω) =
a( jΩ − z1 )( jΩ − z2 ) · · · ( jΩ − zn )
( jΩ − p1 )(jΩ − p2 ) . . . ( jΩ − pm )
Concentrándonos en la magnitud de H y obviando la fase, ya que para decir el
tipo de filtro (pasa bajas, pasa altas, banda rechazada, etc.) que H representa,
sólo se usa la magnitud, tenemos
|H(Ω)| =
|a||(jΩ − z1 )||( jΩ − z2 )| · · · |( jΩ − zn )|
|( jΩ − p1 )||( jΩ − p2 )| . . . |( jΩ − pm )|
Queremos visualizar la relación entre la ubicación de los polos y ceros de G
(que son los de H con la posible excepción en s = Θ). Interpretando cada factor
como la distancia de jΩ a cada polo y cero, tenemos que la magnitud de H en
la frecuencia Ω, es proporcional al producto de las distancias a los ceros de jΩ
dividido por el producto de las distancias a los polos de jΩ. En particular, si
hay algún polo de la forma jΩ0 , la función de transferencia H(Ω) se anula en
Ω = Ω0 y si hay un polo en las cercanías de jΩ1 , la función de transferencia
crece en las cercanías de Ω = Ω1 . Vea la figura 4.17.
4.4. POLOS Y CEROS
289
Figura 4.17: NO TIENE EPÍGRAFE
Ejercicio. Para el diagrama de polos y ceros de H(s), mostrado en la figura
anterior, grafique aproximadamente |H(Ω)|.
Ejercicio. Para cada una de las funciones de transferencia listadas a contin-
uación, haga un diagrama de polos y ceros y diga de qué tipo de filtro se
trata.
H(s) =
1
s2 +s+1
H(s) =
s
s2 +4s+1
H(s) =
s2 +1
s2 +4s+s
H(s) =
s2
s2 +4s+1
290
4.5.
CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
Transformada de Fourier L-2
Como se vio en la sección anterior, si la señal de entrada s a un sistema de
convolución continuo con función de transferencia H(Ω), tiene transformada
S(Ω) entonces la transformada de la señal de salida es el producto S(Ω)H(Ω).
Si la señal de entrada s es periódica y no tiene norma L − 1 nula, entonces no
tiene transformada. A continuación se obtiene una caracterización en frecuencia de sistemas de convolución continuos, para señales periódicas. suponga
que la señal de entrada σ(t) es periódica, con frecuencia angular fundamental
Ω0 y con representación en series de Fourier dada por
σ(t) =
∞
X
cn e jΩ0 nt
n=−∞
suponga además que la transformada de la respuesta impulso h(t) del sistema
es H(Ω). Por definición, la respuesta del sistema ρ(t) es la convolución de σ y
4.5. TRANSFORMADA DE FOURIER L-2
291
h:
ρ(t) = σ(t) ∗ h(t)
Z ∞
=
h(τ)σ(t − τ)dτ
Z
−∞
∞
=
h(τ)
−∞
=
=
=
=
∞ Z
X
n=−∞
∞
X
n=−∞
∞
X
n=−∞
∞
X
∞
X
cn e jΩ0 n(t−τ) dτ
n=−∞
∞
h(τ)cn e jΩ0 n(t−τ) dτ
−∞
∞
Z
cn e
jΩ0 nt
h(τ)cn e jΩ0 n−τ dτ
−∞
cn e jΩ0 nt H(nΩ0 )
H(nΩ0 )cn e jΩ0 nt
n=−∞
por lo tanto, la salida tiene representación como serie de Fourier dada por:
ρ(t) =
∞
X
dn e jΩ0 nt
n=−∞
donde los coeficientes dn están dados por:
dn = cn H(nΩ0 )
Las dos últimas fórmulas caracterizan la señal de salida en el dominio de
la frecuencia de Fourier. Ahora podemos concluir que el periodo de la señal
de entrada es un tiempo de repetición de la señal de salida. ¿Por qué?
Si la entrada es una suma de exponenciales complejas no necesariamente
armónicamente relacionadas (es decir, que las frecuencias no sean múltiplos
292
CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
enteros de una cierta frecuencia fundamental), la suma es una señal casiperiódica, y se tiene el mismo resultado: los coeficientes de las exponenciales de
la señal de salida están dados por el producto del coeficiente de cada exponencial de entrada por la función de transferencia evaluada en la frecuencia de la
exponencial. en general, si la entrada está dada por,
σ(t) =
∞
X
cn e jΩ0 nt
n=−∞
la salida será,
ρ(t) =
∞
X
dn e jΩ0 nt
n=−∞
donde dn = cn H(nΩ0 ).
4.5.1.
Respuesta a sinusoides
Suponga que la respuesta impulso h(t) de un sistema de convolución continuo es real. Entonces, la magnitud de la función de transferencia H(Ω) del
sistema es par, y la fase es impar. Si a este sistema se le aplica la señal cos(Ω0 t),
la respuesta r del sistema, por linealidad, estará dada por:
r(t) = 0,5|H(Ω0 )|e j∠H(Ω0 ) e jΩ0 t + 0,5|H(−Ω0 )|e j∠H(−Ω0 ) e− jΩ0 t
= 0,5|H(Ω0 )|e j∠H(Ω0 )+jΩ0 t + 0,5|H(−Ω0 )|e j∠H(−Ω0 )− jΩ0 t
(¿Por qué?)
= |H(−Ω0 )| cos(jΩ0 t + ∠H(Ω0 ))
Así la respuesta de un sistema de convolución con respuesta escalón real
es también una sinusoide y de la misma frecuencia, a menos que la función de
transferencia valga cero para esa frecuencia.
Ejercicio. Se tiene una señal cuadrada con frecuencia de 60 Hz; esta señal se
aplica a un filtro pasa bajas ideal con frecuencia de corte en 100Hz. ¿cuál es la
señal de salida del filtro? (Expresela como una serie de sinusoides).
4.5. TRANSFORMADA DE FOURIER L-2
293
Figura 4.18: La respuesta de un sistema de convolución a una sinusoide, es una sinusoide de
la misma frecuencia, o la señal cero si H(Ω0 ) = 0
Ejercicio. Una onda triángulo de frecuencia 1cps (ciclo por segundo) es pasada
por un rectificador de media onda, obteniendo la señal s(t) mostrada en la
figura 4.19. Grafique la salida cuando s(t) es filtrada con un filtro pasa bajas
ideal con frecuencia de corte 0.2Hz y 1.5Hz.
Figura 4.19: Onda triángulo con rectificación de media onda
Ejemplo. Suponga que se tiene una señal cuadrada g(t), como se muestra en
la figura siguiente. Es fácil mostrar que su expansión en series de Fourier
294
CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
contiene armónicas impares únicamente y que está dada por,
g(t) = a0 +
∞
X
bn sen(nt)
n=0
donde a0 = 1/2, bn = 2/(nπ) con n impar y bn = 0 con n par. Suponga que g(t)
Figura 4.20: Una onda cuadrada y su espectro
se pasa por un filtro pasa bajas ideal, con frecuencia angular de corte igual a
5, como se muestra en la figura 4.21. A la salida del filtro se tiene la suma del
nivel DC, y de la primera y tercera armónicas. En la figura 4.23 se muestra la
Figura 4.21: Función de transferencia de un pasa bajas ideal
suma de las señales 0,5 sen(t) y 1/3 sen(3t).
4.5.2.
Filtro pasa bajas RC de un polo
Ejercicio. Calcule la respuesta escalón g(t) del filtro RC mostrado
4.5. TRANSFORMADA DE FOURIER L-2
Figura 4.22: Espectro de la suma de dos señales coseno y un nivel DC
Figura 4.23: La señal 0,5 sen(t) + 1/3 sen(3t)
Figura 4.24: Filtro RC pasa bajas de primer orden
295
296
CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
Ejercicio. Calcule la derivada h(t) de la respuesta escalón del ejercicio anterior
(es decir, la respuesta impulso).
Ejercicio. Calcule la transformada de Fourier de la señal h(t) = e−t si t ≥ 0 y
h(t) = 0 si t < 0. Las partes real e imaginaria de la función H(Ω) =
grafican a continuación.
1
1+ jΩ
se
Figura 4.25: La parte real de la función de transferencia del pasa bajos RC con RC=1
Ejercicio. Dé expresiones para la magnitud, la fase, la parte real, y la parte
imaginaria de la función de transferencia H(Ω) = 1+1jΩ . A continuación se
muestran gráficas de la magnitud y la fase de la función de transferencia
H(Ω) = 1+1jΩ .
Ejercicio. Repita el análisis anterior para un RC pasa altas de un polo. La
respuesta escalón en este caso es g(t) = u(t)e−t . Por lo tanto, la función de
jΩ
transferencia está dada por H(Ω) = 1+ jΩ (Compruebe). Grafique g así como la
magnitud y la fase de H.
4.5. TRANSFORMADA DE FOURIER L-2
297
Figura 4.26: La parte imaginaria de la función de transferencia del pasa bajos RC con RC=1
Figura 4.27: La magnitud de H(Ω) =
1
1+ jΩ
298
CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
Figura 4.28: La fase de H(Ω) =
4.5.3.
1
1+jΩ
Comportamiento transiente
El que la respuesta de una sistema de convolución a una sinusoide sea una
sinusoide de la misma frecuencia, o la señal cero, es algo que vale la pena
recordar. El análisis de Fourier asume que se conocen las señales para toda
t, desde t → −∞. (Esto no sucede cuando se estudian modelos de sistemas
usando la transformada de Laplace unilateral.) En el análisis de Fourier no
consideramos condiciones iniciales y asumimos que la señal se aplica “desde
menos infinito”.
Si asumimos que la entrada al sistema es una sinusoide multiplicada por
la señal escalón: u(t)A cos(Ω0 t). Para sistemas estables, la respuesta a este tipo
de sinusoides truncadas tiende asintóticamente a la respuesta de la señal no
truncada A cos(Ω0 t), a medida que t tiende a infinito. La respuesta a la sinusoide
la denominamos respuesta en estado estable sinusoidal. La respuesta a
la sinusoide truncada la denominamos respuesta total. La diferencia entre la
total y la de estado estable la denominamos respuesta transiente.
Un caso particular se tiene cuando la frecuencia de la sinusoide es cero. En
este caso, la respuesta escalón tiende asintóticamente ala respuesta a la señal
4.5. TRANSFORMADA DE FOURIER L-2
299
constante de valor 1; esta respuesta, como vimos en es capítulo 2, es una señal
R∞
constante de valor −∞ dg(t), donde g es la respuesta escalón del sistema.
Ejercicio. Se tiene un sistema de convolución con respuesta escalón g(t) =
(1 − e−t )u(t). Encuentre la respuesta a la señal cos t y a la señal u(t) cos t.
4.5.4.
Análisis del comportamiento asintótico
R
Considere la respuesta cos(Ω0 [t − τ])dg(τ) a una sinusoide aplicada desde
R
menos infinito y la respuesta cos(Ω0 [t − τ])u(t − τ)dg(τ) a una sinusoide
aplicada en cero:
Z ∞
Z ∞
Z ∞
cos(Ω0 [t−τ])dg(τ)−
cos(Ω0 [t−τ])u(t−τ)dg(τ) =
cos(Ω0 [t−τ])dg(τ)
−∞
−∞
Así, tendremos comportamiento asintótico si lı́mt→∞
t
R∞
t
cos(Ω0 [t−τ])dg(τ) =
0.
Ejercicio. diga qué condiciones debe cumplir g para tener comportamiento
asintótico.
4.5.5.
representación de un sistema con respuesta escalón discontinua en términos de una suma de sistemas identidad
(linea de retardo o filtro pasa todas) y un sistema con respuesta escalón continua
Suponga que se tiene un sistema identidad. Es decir, un sistema cuya
salida es siempre igual a la entrada. Para este sistema la respuesta escalón es la
señal escalón: g(t) = u(t) y la función de transferencia es la función constante
H(Ω) = 1.
Suponga ahora que se tiene una linea de retardo: para cada entrada e(t), la
salida del sistema es la entrada retardada τ unidades: s(t) = e(t − τ). en este
300
CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
caso, la respuesta escalón está dada por g(t) = u(t − τ). (Dado que este sistema
es claramente lineal e invariante, y dada la propiedad de desplazamiento en
tiempo de la transformada de Fourier, es ese sentido, diremos que la función
de transferencia de la linea de retardo, también conocida como un filtro pasa
todas, está dada por: H(Ω) = e = −jΩτ.)
Suponga que se tiene un sistema de convolución con respuesta escalón
g(t) con derivadas excepto en un conjunto finito de puntos, con una posible
cantidad finita de saltos, y acotada. Note que podemos expresar una respuesta
escalón así como la suma de: una señal derivable en sentido relajado, es decir
continua y con derivada excepto en un conjunto finito de puntos, por una
parte y una señal escalonada, es decir, una suma de señales escalón desplazadas
y escaladas, por la otra. La señal escalonada corresponderá a la suma (es decir el
paralelo) de sistemas identidad y la señal sin saltos a un sistema de convolución
con función característica.
Ejemplo. La respuesta escalón de un RC pasa altas es g(t) = e−t u(t) = u(t) −
(1 − e−t )u(t). Así, decimos que un pasa altas es un pasa todas “menos un pasa
bajas”. Vea las figuras 4.29, 4.30 y 4.31.
Figura 4.29: Un pasa altas es la identidad menos un pasa bajas
4.5. TRANSFORMADA DE FOURIER L-2
301
Figura 4.30: respuesta escalón del pasa altas de primer orden
Figura 4.31: La respuesta en la figura anterior es equivalente a la suma de un escalón y el
negativo de la respuesta escalón de un pasa bajas de primer orden, que no salta
302
CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
4.6.
Distorsión de fase y distorsión de amplitud
4.6.1.
Filtro ideal
Un filtro ideal es un filtro cuya función de transferencia H(Ω) tiene una
magnitud |H(Ω)| que es o uno, o cero (constante a trozos), y cuya fase ∠H(Ω)
es lineal: ∠H(Ω) = mΩ, donde m es una constante (recuerde quedos ángulos se
consideran equivalentes si su diferencia es un múltiplo entero de 2π).
Considere el caso en el que la entrada es una señal periódica representable
como una serie de Fourier. Una fase lineal asegura que cada componente,
sinusoidal o exponencial, sufra el mismo retardo temporal y una magnitud
binaria y constante a trozos asegura que cada componente en la banda de paso
reciba la misma atenuación.
Ejemplo. Suponga que se tiene un filtro con función de transferencia H(Ω) =
e j5Ω , cuya magnitud es constante e igual a uno y con fase lineal dada por
∠H(Ω) = 5Ω. Si la entrada al filtro es e(t) = cos(at) + cos(bt), la salida está dada
por,
cos(at + ∠H(a)) + cos(bt + ∠H(b))
= cos(at + 5a) + cos(bt + 5b)
= e(t + 5)
Por lo tanto, el único efecto de este filtro es adelantar la señal que se filtra.
4.6.2.
Distorsión
Cuando la magnitud de la función de transferencia no es contante a trozos
con valores cero, en la banda de rechazo, y uno, en la banda de paso, se dice que
se tiene distorsión de amplitud. Cuando la fase no es lineal, se dice que se
tiene distorsión de fase.
4.6. DISTORSIÓN DE FASE Y DISTORSIÓN DE AMPLITUD
303
Para ilustrar los efectos de estas distorsiones, comparemos un filtro ideal
pasa bajas con un filtro pasa bajas RC. Sean HI (Ω) y HR C(Ω), respectivamente,
las funciones de transferencia de los filtros, dadas por
1,
HI (Ω) =
0,
HR C(Ω) =
|Ω| ≤ 1
|Ω| > 1
1
1 + jΩ
suponga que la señal e(t) = cos(0,1t) + cos(0,5t) + cos(2t) mostrada en la figura
4.32.a, se filtra con cada uno de estos filtros. La idea es dejar pasar las señales
con frecuencias angulares 0.1 y 0.5 y rechazar la señal de frecuencia 2. La
respuesta del filtro ideal está dada por:
rI (t) = cos(0,1t) + cos(0,5t)
mientras que la del RC está dada por:
rRC (t) = 0,995 cos(0,1t − 0,099) + 0,894 cos(0,5t − 0,463) + 0,447 cos(2t − 1,107)
En la medida que 0.995 es diferente de 1, 0.894 es diferente de 1 y 0.447 es
diferente de 0, tenemos distorsión de amplitud; el la medida en que 0.099/0.1
es diferente de 0.463/0.5, se tiene distorsión de fase. Note que en realidad no
hay mucha distorsión de fase; esto se debe a que la fase de la función de
transferencia de HRC (Ω) es aproximadamente lineal para omegas pequeñas,
ya que es una arcotangente. El que HRC (Ω) atenúe la señal cos(2t) sólo a
0,447 cos(2t − . . . ) sí es bastante problemático y se debe a que la magnitud
de HRC (Ω) decrece lentamente alrededor de Ω = 1.
Ejercicio. Utilizando Matlab, grafique las respuestas rI (t) y rRC (t), mencionadas
arriba, para t ∈ [0, 200]; compare las diferencias.
304
CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
Figura 4.32: a. Señal de entrada b. Señal de salida del filtro ideal c. Señal de salida del filtro RC
4.6. DISTORSIÓN DE FASE Y DISTORSIÓN DE AMPLITUD
305
La distorsión de fase que sufre una señal que se filtra con un filtro de fase
no lineal, es similar a lo que le sucede a una onda que viaja a través de un
medio dispersivo.
4.6.3.
Filtro pasa todas
Un filtro pasa todas ideal nos permite ver lo que sucede en la banda
de paso de un filtro que no distorsiona. Un filtro pasa todas es un filtro con
respuesta escalón de la forma: g(t) = u(t − τ), es decir, une escalón atrasado o
adelantado, dependiendo del signo de τ. Por lo tanto, la función de transferencia de un pasa todas está dada por:
∞
Z
H(Ω) =
e−jΩ0 t dg(t)
−∞
que incluye el caso H(Ω) = 1, correspondiente al sistema identidad.
Más generalmente, un pasa todas es cualquier filtro con función de transferencia con magnitud unitaria, es decir de la forma,
H(Ω) = e jφ(Ω) ,
φ : R1 → S1
donde φ(Ω) es la función fase de la función de transferencia. La respuesta a
una exponencial compleja estará dada entonces por,
s(t) = e jφ(Ω0 ) e jΩ0 t
= e jφ(Ω0 )+ jΩ0 t
= e jΩ0 (φ(Ω0 )/Ω0 +t)
teniéndose que, si la entrada es una exponencial compleja, la salida s es una
versión desplazada de la entrada e; el retardo, dado por φ(Ω0 )/Ω0 , depende
de la frecuencia Ω0 de la exponencial compleja.
306
CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
Si la función de fase lineal, φ(Ω0 ) = mΩ, como asumimos inicialmente,
entonces la salida correspondiente a una entrada igual a una suma de exponenciales complejas es una versión retardada de la entrada y el retardo está
dado por m, independientemente de las frecuencias involucradas. De hecho, si
la fase es lineal, la función de transferencia del filtro está dada por H(Ω) = e jmΩ
y la señal de entrada e(t) tiene transformada de Fourier E(Ω), la transformada
de la señal de salida s(t) es
S(Ω) = E(Ω)H(Ω) = E(Ω)e jmΩ
y, por las propiedades de desplazamiento en t y de transformada inversa, la
salida está dada por, s(t) = e(t + m), por esta razón, un pasa todas ideal también
se conoce como una línea de retardo ideal. El filtro identidad que produce a la
salida la misma señal de entrada, en un pasa todas con fase cero.
Ejercicio. Suponga que se desea un filtro pasa todas, que introduce un retardo
de valor 10 a la señal de entrada; es decir, s(t) = e(t − 10) donde s y e son la
salida y la entrada respectivamente. ¿Cuál es la función de transferencia H(Ω)
del filtro?
Ejercicio. Suponga que se desea un filtro pasa todas, como el diseñado en el
ejercicio anterior. Si la entrada es la señal e(t) = cos(5πt). ¿Cuál es la salida?
Exprese la salida en cuadratura: a cos(5πt) + b sen(5πt)
Note que, en el ejercicio anterior, puede ser equivalente usar el pasa todas
o un pasa bajas ideal con banda de paso que incluya las frecuencias de la señal,
¿por qué?.
4.6.4.
Décadas y octavas
Las décadas y las octavas se usan para medir relaciones (es decir cocientes)
en forma logarítmica. Así, se dice que 20.000 está 3 décadas por encima de 20 y
4.6. DISTORSIÓN DE FASE Y DISTORSIÓN DE AMPLITUD
307
que 1000 está 3 octavas por debajo de 8000. Las fórmulas para medir la relación
entre f1 y f2 en décadas y en octavas, respectivamente, están dadas por,
D = log10 (
f1
)
f2
O = log2 (
f1
)
f2
Ejercicio. ¿Cuántas octavas tiene un piano estándar?
Ejercicio. ¿Cuántas octavas hay de un do al siguiente fa?
Ejercicio. ¿Cuantas décadas hay en 3 octavas?
Figura 4.33: Do=C (261.626Hz), Re=D (293.665Hz), Mi=E(329.628Hz), Fa=F (349.228Hz), Sol=G
(391.995Hz), La=A (440.0Hz), Si=B (493.883Hz)
4.6.5.
Frecuencias de corte y decibeles
En la practica, muchos filtros se implementan con elementos tales como
bobinas, resistencias y condensadores (o elementos análogos para variable no
308
CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
x1/x2
log(x1/x2)
log2 (x1/x2)
10 log(x1/x2)
20 log(x1/x2)
300/30
1
3.322
10
20
880/440
0.301
1
3.01
6.02
25/50
-3.01
-1
-3.01
-6.02
Relación natural
en décadas
en octavas
dB de potencia
dB de voltaje
Tabla 4.1: Relación natural
eléctricas), y la función de transferencia resultante es una función racional
(es decir, el cociente de dos polinomios) en la variable Ω. Un filtro ideal, en
general un filtro con una función de transferencia que tenga magnitud discontinua, no tiene una función de transferencia racional y por lo tanto no puede
ser implementado así. Las funciones de transferencia racionales tienen transiciones suaves entre las “bandas de paso” (donde la magnitud de la función
de transferencia es relativamente grande) y las “bandas de rechazo” (donde la
magnitud es relativamente pequeña) graduales, sin discontinuidades.
Normalmente, se considera que las frecuencias de corte de los filtros
ocurren donde la magnitud de la función de transferencia es √1 veces la
2
magnitud máxima en la banda pasante. eso se debe a que la variable física que
la señal representa normalmente, por ejemplo voltaje, es proporcional a la raíz
cuadrada de la potencia correspondiente y así, en las frecuencias de corte, la
relación de potencias entre las señales de salida y de entrada es la mitad de la
correspondiente relación en la banda de paso.
Una relación entre potencias PPes se expresa en dB’s (decibeles) dando el
s
valor 10 log10 PPse . Una relación entre voltajes V
Ve o corrientes se expresa en dB’s
s
dando el valor 20 log10 V
Ve . La utilidad del uso de dB’s está en poder sumar y
restar ganancias en vez de multiplicarlas dividirlas.
Una ganancia de voltaje de 0.707 equivalente a una de potencia de 1/2,
corresponde a: 10 log10 0,5 ≈ −3dB; por esto, en ingeniería electrónica, frecuencias Ωc para las que la magnitud de la ganancia se reduce a √1 , donde
2
4.6. DISTORSIÓN DE FASE Y DISTORSIÓN DE AMPLITUD
309
|H(Ωc )|2 = 1/2, se les llama frecuencias de corte de 3dB.
Ejemplo. Suponga que se tiene un pasa bajas RC de primer orden.Para encon-
trar su frecuencia de corte procedemos así,
1
1 + jΩRC
1
1
|H(Ω)|2 =
=
2
|1 + jΩRC|
1 + (ΩRC)2
H(Ω) =
El valor máximo de la magnitud es |H|max = 1, y ocurre cuando Ω = 0. Si
1
|H|max = √1 , entonces Ω = Ωc = RC
.
2
El ancho de banda (“Band Width”=BW) se mide normalmente sobre el
semieje positivo e frecuencias, de tal forma que, para un pasa bajas, el ancho
de banda es igual a su frecuencia de corte.
Resulta conveniente graficar la magnitud en decibeles de la función de
transferencia de un filtro, contra la frecuencia, en décadas. Para un pasa bajas
de primer orden, resulta la siguiente ecuación,
20 log(|
1
1
]1/2 )
|) = 20 log([
1 + jΩRC
1 + (ΩRC)2
= −10 log(1 + (ΩRC)2 )
= −20 log(Ω/Ωc )
donde Ωc = 1/RC.
Ejercicio. Para la función de transferencia H del ejercicio anterior, con Ωc = 10,
grafique 20 log10 H(Ω) contra log10 Ω. Si la gráfica es aproximadamente lineal,
encuentre la pendiente.
Ejercicio. Si la entrada al circuito RC pasa bajas es una señal escalón, y el
voltaje inicial del condensador es cero, el tiempo de subida tr se define como
310
CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
Figura 4.34: Representación en decibeles de la función de transferencia
el tiempo que toma a ala señal de salida en ir de 0.1 a 0.9. ¿Cómo se relaciona
el tiempo de subida con la frecuencia de corte en un pasa bajas RC de primer
orden?
Ejercicio. Para el circuito RC pasa bajas, si R=1KΩ y la frecuencia (no angular)
de corte es 10KHz, ¿Cuánto vale C? ¿Cuánto vale el tiempo de subida?
Ejercicio. Se tiene un bombillo de 110V y potencia de 60W. ¿Cuál debe ser
el voltaje para que disipe una potencia de 30W? (Asuma que el cambio de
temperatura no afecta significativamente la resistencia del bombillo, lo cual es
falso.)
Ejercicio. Se tiene una resistencia de 1KΩ, si se aplica un voltaje V=10V, ¿Qué
potencia disipa? Sea x el voltaje que se debe aplicar a la resistencia para que
disipe 5W, ¿Cuánto vale la relación r = x/10 ¿Cuánto vale 20 log(r)?
Ejercicio. Se tiene un pasa bajas RC con frecuencia (angular) de corte de 10 r/s.
¿Cuál es la salida si la entrada es e(t) = sen t + sen 10t + sen 102 t?
4.6. DISTORSIÓN DE FASE Y DISTORSIÓN DE AMPLITUD
311
Ejercicio. Encuentre la función de transferencia al colocar en cascada un RC
pasa bajas de primer orden y un RC pasa altas de primer orden. a) Si las dos
etapas se aíslan con un seguidor. b) Si la salida de una se conecta directamente
a la entrada del otro.
Ejercicio. Suponga que tiene un filtro pasa todas con función de transferencia
dada por H(Ω) = e jΩ (la magnitud y la fase de H se muestran en la figura
4.35); si la entrada es e(t) = sin t + sin 2t, ¿Cuál es la salida s(t)? ¿Cuánto vale la
pendiente de la fase de H?
Figura 4.35: La magnitud y la fase de un pasa todo con fase lineal
Ejercicio. Suponga que se tiene un filtro pasa todo con función de transferencia
tal como se indica en la figura 4.36; si la entrada es e(t) = sen t + sen 2t, ¿Cuál
es la salida s(t)? Grafique e(t) y s(t) para t ∈ [0, 2π].
Ejemplo. Si la señal cos t − 0,2 cos 3t se filtra con el pasa todas de la figura 4.36,
resulta la señal cos t − 0,2 cos(3t − π). Observe la distorsión en la forma de onda
en las figuras siguientes.
312
CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
Figura 4.36: Un pasa todo con fase no lineal
Note que el filtro pasa bajas RC de primer orden, para frecuencias pequeñas,
tiene una magnitud aproximadamente plana (es decir constante) y una fase
bastante lineal. Por lo tanto, el filtro no distorsiona mucho las componentes de
baja frecuencia de la señal (las que se supone que interesan y deben aparecer a
la salida del filtro). Para frecuencias cercanas a la frecuencia de corte del filtro
las distorsiones de amplitud y de fase introducidas son apreciables.
Ejercicio. Comente sobre la distorsión introducida por el filtro RC pasa bajas
de primer orden a la frecuencia de corte, y para frecuencias mucho mayores
que la frecuencia de corte
Ejercicio.
1. Diseñe un filtro pasa bajas RC con frecuencia de corte 60Hz.
2. Calcule los coeficientes de Fourier {cn } para una onda triángulo con periodo 1/60 seg., amplitud de dos voltios pico a pico, nivel DC de un voltio,
como se muestra en la figura siguiente.
4.6. DISTORSIÓN DE FASE Y DISTORSIÓN DE AMPLITUD
313
Figura 4.37: a) La señal de entrada. b) La señal de salida (alteración de la forma de onda)
314
CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
3. Si la onda triángulo se filtra con el pasa bajas, calcule los coeficientes de
Fourier de la señal de salida.
4. Utilizando Matlab, calcule y grafique aproximadamente dos periodos de
la señal de salida. (Utilice las 10 primeras armónicas.)
Figura 4.38: Onda triángulo
4.7.
La transformada de Fourier L-2
Desafortunadamente, tres de las señales no periódicas más comunes en
teoría de sistemas y señales no son integrables en magnitud: la señal constante
1, la señal escalón y la señal senc . De éstas, solo la señal senc está en L2 .
Para ésta última podemos definir una transformada de Fourier, que es como
esperábamos, un pulso en frecuencia. Note de paso que la transformada L − 2
no necesariamente produce funciones uniformemente continuas.
Un hecho básico es que L1 ∩ L2 es denso en L2 . Así, es posible aproximar
cada función de L2 con señales en L1 ∩ L2 , que en particular están en L1 y
tienen transformada tal como la acabamos de definir. La aproximación es en
el sentido de la norma L2 y no necesariamente es lineal. Es decir, decimos que
una sucesión de funciones { fn } en L1 ∩ L2 aproxima a la función en L2 si k fn − f k2
tiende a cero.
4.8. DISTRIBUCIONES TEMPERADAS
4.7.1.
315
Definición
Sea s(t) una señal con magnitud al cuadrado integrable, es decir, una señal
en L2 . Sea N un número natural y considere las versiones truncadas de s dadas
por: s(t)[u(t + N) − u(t − N)]. Note que cada sn es integrable en magnitud, y en
magnitud al cuadrado, es decir está en L1 ∩ L2 . Por lo tanto, cada sN (t) tiene una
transformada de Fourier L − 1 que denotaremos SN (Ω). Se puede mostrar que
{SN } es una sucesión de Cauchy en L2 y, dado que L2 es un espacio completo,
existe una función S(Ω) tal que kS − Sn k2 tiene a cero a medida que N crece. A
ésa S la llamamos también el límite en norma L − 2 de {SN }. Este límite nos da la
transformada de Fourier L − 2 de la señal s.
R Nπ
Ejercicio. Calcule el límite, a medida que N crece, de −Nπ senc (t)e jΩt dt.
Ejercicio. Encuentre la transformada de Fourier L − 2 de la señal senc .
4.8.
La transformada de Fourier de distribuciones
temperadas
Finalmente, en esta sección, definiremos las transformadas de Fourier del
escalón y de las señales constantes, en un sentido muy especial, que afortunadamente tiene muchos puntos de empate con las trasformadas L − 1 y L − 2.
Inicialmente, definimos la clase de Schwartz y las distribuciones temperadas.
Decimos que una función f : R → R está en la clase de Schwartz, L, si
es indefinidamente derivable y ella y sus derivadas decrecen rápidamente en
infinito, en el sentido que:
∀α, β ∈ N
−x2
e
sup{xα Dβ f (x) : x ∈ R} < ∞
Las funciones infinitamente derivables de soporte compacto y otras como
que no tienen soporte compacto, están en L. pα,β ( f ) := sup{xα Dβ f (x) : x ∈
316
CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
R}, determina una familia contable de seminormas para L con la que se define
su topología: { fn } converge a 0 si y sólo si el límite cuando n tiende a infinito
de pα,β ( f ) es cero, para cada α y cada β naturales.
El espacio de funcionales continuos sobre L, que se denota L0 se llama
espacio de distribuciones temperadas.
Teorema 8. La transformada de Fourier es una aplicación continua de L en L tal que
1.
R∞
−∞
g(x)H(x)dx =
R∞
−∞
h(x)G(x)dx donde H es la transformada de h, y G la de
g.
2. g(t) =
R∞
1
2π −∞
G(ζ)e jζt dζ (fórmula de inversión)
Definición 18. La transformada de Fourier de φ ∈ L0 es la distribución temperada
Φ ∈ L0 dada por
∀g ∈ L Φ(g) = φ(G)
(4.7)
Teorema 9. La transformada de Fourier es una biyección lineal continua.
4.8.1.
Distribuciones
Llamamos a g el núcleo del funcional γ dado por
Z
∞
γ( f ) =
g(t) f (t)dt
−∞
mientras que g es la semilla del funcional η dado por
Z
∞
η( f ) =
f (t)dg(t)
−∞
Es interesante observar lo que le sucede, cuando tienen núcleo o semilla, a
los núcleos o semillas de las distribuciones φ y Φ en la ecuación 4.7.
4.8. DISTRIBUCIONES TEMPERADAS
317
La distribución de Dirac
considere la distribución dada por δ( f ) = f (0), que no tiene núcleo pero
sí semilla: el escalón u(t). Por definición, su transformada ∆ es la distribución
dada por
∆( f ) = δ(F)
= F(0)
donde F es la transformada de f . Así, ∆ sí tiene núcleo, ya que
∆( f ) = F(0)
Z ∞
f (t)e j0t dt
=
−∞
Z ∞
=
f (t)1dt
−∞
y vemos que el núcleo de ∆ es la función constante 1.
La distribución constante
R∞
Sea κ dada por κ( f ) = −∞ f (t)dt, que como vemos, tiene núcleo la función
constante 1. Por definición, su transformada está dada por,
K( f ) = κ(F)
Z ∞
=
F(Ω)dΩ
−∞
Z ∞Z ∞
=
f (t)e jΩt dtdΩ
−∞ −∞
Z ∞
Z ∞
?
=
f (t)
e jΩt dΩdt
−∞
que sin embargo no tiene sentido, ya que
que K no tiene núcleo.
−∞
R∞
−∞
e jΩt dΩ no converge. Así, tenemos
318
CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
La distribución con núcleo escalón
Considere la distribución con núcleo u(t):
Z ∞
u(t) f (t)dt
µ( f ) =
−∞
Z ∞
f (t)dt
=
0
por definición, la transformada de m está dada por,
M( f ) = µ(F)
Z ∞
=
F(Ω)dΩ
0
Z ∞Z ∞
=
f (t)e jΩt dtdΩ
0
−∞
Z ∞
Z ∞
?
=
f (t)
e jΩt dΩdt
−∞
que tampoco tiene sentido, ya que
tiene núcleo.
R∞
0
0
e jΩt dΩ no converge. Tenemos que M no
La distribución valor principal de 1/x y la transformada de Hilbert
R
f (t)
Considere la distribución temperada dada por φ( f ) = lı́m→0 ||>0 t dt. Por
definición la transformada de f está dada por
Φ( f ) = φ(F)
Z
F(Ω)
= lı́m
dΩ
→0 ||>0 Ω
Z
Z ∞
1
= lı́m
f (t)e jΩt dt dΩ
→0 ||>0 Ω −∞
Z ∞
Z
e jΩt
?
=
f (t) lı́m
dΩ dt
→0 ||>0 Ω
−∞
4.9. MODULACIÓN SSB Y LA TRANSFORMADA DE HILBERT
resultando una distribución con núcleo lı́m→0
R
319
e jΩt
dΩ.
||>0 Ω
e jΩt
dΩ
||>0 Ω
R
= jsgn (t), donde sgn es la función
sígnum. (sgn vale 1 para argumento positivo, -1 para argumento negativo y
R ∞ sen(Ωt)
cero para argumento nulo). Sugerencia: evalúe 0
Ω dΩ usando cálculo de
residuos.
Ejercicio. Muestre que lı́m→0
Así, en cierto sentido, 1/x y jsgn (t) son un par de Fourier.
4.9.
Modulación SSB y la transformada de Hilbert
Con relación al sistema de modulación en la figura 4.39 note que el espectro
de h es sgn (Ω)S(Ω) y que b(t) es una modulación de banda lateral inferior de
s(t). Observe también la figura 4.43.
Figura 4.39: Espectro de la señal s(t)
Ejercicio. Implemente la modulación de banda lateral inferior.
320
CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
Figura 4.40: Espectro de la señal modulada f (t)
Figura 4.41: Espectro de la señal h(t)
Figura 4.42: Espectro de la señal resultante b(t)
4.9. MODULACIÓN SSB Y LA TRANSFORMADA DE HILBERT
321
Figura 4.43: Modulación SSB usando la transformada de Hilbert
4.9.1.
Pares de Hilbert
z(t) tiene Z(Ω) = 0 para Ω < 0 entonces Re(z) y Im(z) son pares de Hilbert.
Demostración
Suponga f (t) := Rez(t) y g(t) := =z(t) pare de Hilbert. Entonces:
G(Ω) =
1
sgn(Ω)F(Ω)
j
Entonces
Z(Ω) = F(Ω) + jG(Ω)
= F(Ω) + sgn(Ω)F(Ω)
Entonces
Ω<0
0,
Z(Ω) =
2F(Ω), Ω > 0
322
CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
Suponga que no existe Z(Ω) = 0 para cada ω > 0 desde que F y G sean reales,
Z(−Ω) = F(−Ω) + jG(−Ω) = F∗ (Ω) + jG∗ (Ω) = [F(Ω) + jG(Ω)]∗
entonces para ω > 0, F(Ω) = jG(Ω), y por hipótesis también para Ω < 0,
F(Ω) = −jG(Ω), tenemos:
F(Ω) = jsgn(Ω)G(Ω)
ó
G(Ω) =
1
sgn(Ω)F(Ω)
j
Nota. X(Ω) = X∗ (−Ω) ⇔ <X(Ω) par y =X(Ω) impar.
Nota. g(t) = f (t) ∗ 1t f (t) = −g(t) ∗ 1t = −( f (t) ∗ 1t ) ∗ 1t . La convolución es
asociativa?? si:
Z Z
Z
Z
Z
a(s)b(τ−s)δs g(t−τ)δτ =
a(s) b(τ−s)g(t−τ)δτδs =
a(s)b∗ g(t−τ)δs
4.10.
Apéndice I
Considere el circuito mostrado en la figura 4.44:
Deseamos hallar la ganancia G(Ω) = S(Ω)/E(Ω) y el ancho de banda (BW)
de tres decibeles del circuito realimentado y mostrar que el producto es aproximadamente constante, independientemente de la cantidad de realimentación,
dada por la relación entre R1 y R2. Como sabemos, para un pasa bajas RC de
un polo, V2(Ω)/V1(Ω) = a/(a + jΩ/Ω0 ), donde Ω0 = 1/RC.
Note que V2(0)/V1(0) es decir la ganancia del RC en frecuencia cero, es 1
y por lo tanto, S(0) = A(E(0) − KS(0)), donde K = R1/(R1 + R2); despejando
obtenemos: S(0) = E(0)A/(1 + AK) y tenemos que, en DC, la ganancia es A/(1 +
AK) = 1/A−1 + K; que para A suficientemente grande, es aproximadamente
1/K. Llamaremos a esta ganancia G0 .
4.10. APÉNDICE I
323
Figura 4.44: Modelo de un polo de un amplificador operacional realimentado
En general, para una frecuencia Ω,
S(Ω) = A[E(Ω) − KS(Ω)][1/(1 + jΩ/Ω0 )]
despejando,
S(Ω)
A
1
=
=
E(Ω) 1 + AK + jΩ/Ω0
1/A + K + jΩ/AΩ0
asumiendo que 1/A tiene un valor despreciablemente pequeño,
G(Ω) =
1
K−1
=
1/A + K + jΩ/AΩ0
1 + jΩ/AKΩ0
Note que esta es la función de transferencia de un filtro pasa bajas de
primer orden con ganancia en frecuencia cero de G(0) = K−1 y BW = AKΩ0 ,
por lo tanto, el producto ganancia por ancho de banda es AΩ0 , independiente
de la cantidad de realimentación K. Las aproximaciones dejan de ser válidas
en la medida en que K−1 se aproxime a A. Por ejemplo, para el operacional
monolítico uA741, A vale un millón y Ω0 vale 2π (1Hz).
324
CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
Laboratorio. usando un 741, monte un amplificador de ganancia 20 y mida
el ancho de banda.
4.11.
Apéndice II: Análisis en tiempo contra análisis en frecuencia
4.11.1.
Respuesta del circuito RC pasa bajas de primer orden
a una señal onda cuadrada
Este ejemplo ilustra el hecho de que el análisis en frecuencia puede ser
insuficiente y que el dominio del tiempo no se puede ignorar. suponga que a
un circuito pasa altas RC de primer orden, como se muestra en la figura 4.45,
se aplica una onda cuadrada c(t), con periodo T, como se muestra en la figura
4.46.
Figura 4.45: Circuito RC pasa bajas
Un análisis en frecuencia de la respuesta r(t) de este sistema de convolución
a esta entrada periódica nos da los coeficientes de Fourier de la señal de salida,
4.11. APÉNDICE II: ANÁLISIS EN TIEMPO CONTRA ANÁLISIS EN FRECUENCIA325
Figura 4.46: Una onda cuadrada
dados los coeficientes de Fourier de la onda cuadrada de entrada c(t):
∞
c(t) =
1
2X1
nπ
2nπt
(E + F) + (E − F)
sen
cos
2
π
n
2
T
(4.8)
n=1
∞
2X
nπ
1
RC
(E + F) + (E − F)
sen
cos(nΩ0 t + atan (nω0 RC))
p
2
2
π
2
n=1 n 1 + (nΩ0 RC)
(4.9)
donde Ω0 = 2π/T. Note que las señales tienen armónicas pares nulas. La
señal r(t) es también la respuesta en estado estable del circuito; es decir, es la
respuesta a la entrada e(t) = c(t)u(t) para t >> 5RC.
r(t) =
Aunque la fórmula 4.9 nos da una descripción analítica de la señal de
salida, la cual en principio contiene toda la información sobre ésta, hay ciertos
detalles que no aparecen explícitamente y que de hecho son bastante difíciles
de obtener a partir de la fórmula. por ejemplo, la función de transferencia del
filtro nos da el nivel promedio de la salida en términos del nivel promedio
de la entrada; sin embargo, el voltaje pico a pico de la señal de salida no es
tan fácil de obtener. Para encontrar este voltaje podemos hacer un análisis en
tiempo.
326
CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
4.11.2.
Respuesta escalón
Suponga que en el circuito de la figura 4.44, el voltaje inicial del condensador, vc (0− ) es B y que a la entrada se aplica la señal i(t) = B + (A − B)u(t); así,
para t < 0, vi (t) = B y para t > 0, vi (t) = A. Resolviendo la ecuación diferencial
correspondiente con la condición inicial dada encontramos que,
t
t
vc (t) = A[a − e− RC ] + Be− RC
4.11.3.
(4.10)
Respuesta de estado estable a una onda cuadrada
Suponga que la entrada al circuito es una onda cuadrada (ciclo útil de 50 %)
con “techo” (nivel alto) E voltios, “piso” (nivel bajo) F voltios y periódo T,
como se muestra en la figura 4.46; note que el nivel promedio de esta señal
es 21 (E + F) y que su voltaje pico a pico es E − F. La respuesta del circuito es
como se muestra en la figura 4.47 donde se observa la respuesta transiente y
la transición a la respuesta estable.
Figura 4.47: Respuesta del circuito RC a una onda cuadrada
Para hallar los valores pico C y D de la señal de salida en estado estable,
4.12. PROBLEMAS
327
utilizamos la fórmula 4.10, definimos τ = RC y resolvemos el siguiente par de
ecuaciones:
T
T
C = E(1 − e− 2τ ) + De− 2τ
T
T
D = F(1 − e− 2τ ) + Ce− 2τ
de las que podemos deducir
T
T
C = (E + Fe− 2τ )
1 − e− 2τ
1−e
− Tτ
1
T
= (E + Fe− 2τ )
T
1 − e− 2τ
T
D = (F + Ee
T
T
− 2τ
T
)
1 − e− 2τ
1−e
− Tτ
1
T
= (F + Ee− 2τ )
T
1 − e− 2τ
T
ya que (1 − e− τ ) = (1 − e− 2τ )(1 − e− 2τ ); así tenemos que C + D = E + F y,
consecuentemente con el hecho de que el circuito es un pasa bajos con ganancia
1 para frecuencia cero, los niveles DC de entrada y salida son iguales: (C +
D/2) = (E + F)/2; además, el voltaje pico a pico de la señal de salida está dado
por
T
C − D = (E − F)
1 − e− 2τ
T
1 + e− 2τ
T
= (E − F)tanh ( )
4τ
T
Ejercicio. Demuestre que
1−e− 2τ
T
1+e− 2τ
T
= tanh ( 4τ
).
T
T
En la figura 4.48 se grafica tanh ( 4τ
) contra 2τ
. En las figuras 4.49 y 4.50 se
muestra la salida en estado estable para dos valores extremos de T, en un caso
para T << τ y en el otro para T >> τ.
4.12.
Problemas
1. Calcule la transformada de Fourier F(Ω), si f (t) =
328
CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
Figura 4.48: Gráfica de la relación de los voltajes pico a pico de entrada y salida del circuito RC
Figura 4.49: Respuesta estable para T << τ
Figura 4.50: Respuesta estable para T >> τ
4.12. PROBLEMAS
329
a) e−|t|
b)
1
1+t2
c) cos(10t)e−|t|
2
d) e−t
e) u(t) − u(t − 1)
2
f ) e−5t cos(20t)
2. Diga si la señal senc (t) es integrable en magnitud, o no. Si sí, dé el valor
de la integral, si no, demuestre.
3. La respuesta impulso de un sistema de convolución continuo es h(t) =
u(t)e−t . Encuentre la respuesta r(t) cuando la entrada al sistema es e(t)
a) cos(t) + cos(2t)
b) u(t) − u(t − 1). (Encuentre la transformada de Fourier de la salida.)
4. Se tiene un filtro pasa bajas ideal con frecuencia de corte en 70Hz. Encuentre la salida si la entrada es la señal mostrada en la figura 4.51.
Figura 4.51: Señal periódica
5. Encuentre la transformada de Fourier, G(Ω), de la señal e−|t| sen(100t).
Grafique la magnitud y la fase de G. Sea cuidadoso con la fase.
330
CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
6. Considere el circuito mostrado en la figura 4.52, el cual modela la impedancia de una punto de oscilodcopio X10 (atenuado por 10) y la impedancia
de entrada del amplificador del osciloscopio. Se dice que la punto está
compensada si C=9pF.
a) Encuentre la respuesta escalón para C=9pF, 5pF y 12 pF. (¿Ha visto
estas formas de onda en la pantalla de un osciloscopio?)
b) Encuentre la función de transferencia del circuito para C=9pF, 5pF
y 12pF.
Figura 4.52: Circuito
7. La magnitud y la fase de la transformada de la señal x(t) se muestran
a continuación. Grafique la magnitud y la fase de la transformada de
x(t) sen(10t). Sea cuidadoso con la fase.
8. Calcule la transformada de Fourier de la señal u(t + 1) − u(t − 1). Con base
en ésta, calcule la transformada de:
a) u(t) − u(t − 2)
b) u(t) − u(t − 1)
c) u(t) − 2u(t − 1) + u(t − 2)
4.12. PROBLEMAS
331
Figura 4.53: Magnitud y fase
d) r(t) − 2r(t − 1) + r(t − 2), donde r es la función rampa, la integral del
escalón.
t2
9. Calcule y grafique la transformada de f (t) = e− 2 así como la de f 0 (t) =
t2
−te− 2 .
10. Se tiene un sistema de convolución cuya respuesta impulso está dada
por
1/2, |t| ≤ 1
h(t) =
0,
|t| > 1
encuentre la respuesta del sistema a la entrada e(t) = sen(t) + sen(10t).
11. Se tiene un filtro con función de transferencia H(Ω) =
1
1+ jΩ .
Si la entrada
Rπ
está dad por e(t) = sen(t) + sen(2t), sea s(t) la salida. Encuentre −π e2 (t)dt
Rπ
y −π s2 (t)dt. Sugerencia: utilice la fórmula de Parseval para series de
Fourier (capítulo 3).
12. Se tiene un filtro con función de transferencia dada por H(Ω) =
a) Grafique |H(Ω)| y ∠H(Ω).
b) Encuentre las frecuencias de corte ±Ωc de 3 dB.
c) Dé los valores de ∠H(Ωc ) y ∠H(Ωc ).
jΩ
1+ jΩ .
332
CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
d) Encuentre la respuesta escalón del sistema.
13. Sabiendo que la transformada del pulso p(t) = u(t + 1) − u(t − 1) es una
senc : P(Ω) = 2senc (Ω), muestre que la transformada del triángulo
r(t) = [p ∗ p](t) es R(Ω) = 4senc 2 (Ω). Grafique r(t) y R(Ω).
14. Haciendo un análisis de 10 armónicas, grafique la salida del sistema (no
lineal) mostrado en la figura siguiente.
Figura 4.54: Rectifivador de media onda y pasabajas RC
15.
a) Encuentre la transformada G(Ω) de la señal g(t) = u(t + 1) − u(t −
1). Grafique g y G. Utilizando propiedades de la transformada de
Fourier,
b) Encuentre la transformada H(Ω) de la señal h(t) = g(t − 1). Grafique
h y H.
c) Encuentre la transformada R(Ω) de la señal r(t) = g(t)−h(t). Grafique
r y R.
d) Encuentre la transformada S(Ω) de la señal s(t) si se sabe que r(t) =
s0 (t).
16. Encuentre la transformada de Fourier de la señal mostrada (Figura 4.56).
Sugerencia:
4.12. PROBLEMAS
333
Figura 4.55: Pasabajs RC con frecuencia de corte 1Hz y entrada con nivel DC
Figura 4.56: Señal triangular
Figura 4.57: La convolución de dos pulsos es un triángulo
334
CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
17. Suponga que PB es un sistema de convolución con respuesta escalón
g(t) = (1 − e−t )u(t) y función coracterística correspondiente h(t) = e−t u(t).
Figura 4.58: Pasa-altas = identidad - pasabajas
a) Encuentre la respuesta escalón del sistema compuesto: PA=I-PB,
donde I es el sistema identidad.
b) Calcule la función de transferencia H(Ω) del subsistema PB.
c) Encuentre la función de transferencia del sistema compuesto.
18. Se tiene un sistema con función de transferencia H(Ω) =
jΩ
1+ jΩ .
a) GRafique |H(Ω)| y ∠H(Ω). Diga qué tipo de filtro es.
b) Encuentre la frecuencia de corte de 3dB.
c) Encuentre la respuesta escalón del sistema.
19. Encuentre la potencia promedio de la señal de entrada así como la potencia promedio de la fundamental y de las dos primeras armónicas de
la salida (figura 4.59). Asuma estado estable (i.e. la señal se aplica desde
siempre).
20. ) Se tiene un sistema de convolución continuo con respuesta escalón
g(t) = e−t u(t), donde u es la señal escalón. Diga qué tipo de filtro es
(pasabajas, pasabanda, etc.) y dé la transformada S(Ω) de la salida s(t) si
la entrada es la señal mostrada: e(t) = 0 para t < 0, t para 0 < t.
4.12. PROBLEMAS
335
Figura 4.59: Problema 20
Figura 4.60: La señal mostrada se filtra con el sistema de convolución
21. Sea φ el funcional valor principal 1x , dado por
Z
f (t)
φ( f ) = lı́m
dt
→0 ||>0 t
encuentre g(t) para que el funcional Φ( f ) dado por Φ( f ) = f (F), donde F
es la transformada de Fourier L1 de f , se puede expresar como:
Z ∞
Φ( f ) =
f (t)g(t)dt
∞
22. Sea φ el funcional delta de Dirac, dado por δ( f ) = f (0), encuentre g(t) para
que el funcional ∆( f ) dado por ∆( f ) = δ(F), donde F es la transformada
de Fourier L1 de f , se puede expresar como:
Z ∞
∆( f ) =
f (t)g(t)dt
−∞
336
CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
23. Sea γ el funcional con distribución g dada por
Z ∞
f (t)g(t)dt
γ( f ) =
−∞
muestre que el funcional Γ( f ) dado por Γ( f ) = γ(F), donde F es la transformada de Fourier L1 de f , se puede expresar como:
Z ∞
Γ( f ) =
f (t)G(t)dt
−∞
donde G es la transformada de Fourier L1 de g.
1
24. Calcule la transformada de Fourier G(Ω) de la señal g(t) = 1+t
2 , diga si G
es par o impar, real o imaginaria, o ninguna de las anteriores.
25. La señal cos(t) + u(u) − u(t − 2π) se aplica a un sistema de convolución
continuo con respuesta escalón u(t) − u(t − 1). Encuentre la salida.
26. A un sistema de convolución continuo con función de transferencia
H(Ω) = 1+1jΩ se aplica una onda cuadrada de frecuencia 5 ciclos por
segundo, nivel promedio 1V y amplitud pico a pico de 2 V. Encuentre:
a) La potencia promedio de la entrada.
b) La potencia promedio de salida.
c) La potencia promedio de las 2 primeras armónicas de la entrada.
d) La potencia promedio de las 2 primeras armónicas de la salida.
27. Se tiene un sistema de convolución continuo con respuesta escalón g(t) =
e−t u(t). Al sistema se aplica la señal e(t) = 1 + cos(t) + cos(5t).
a) Encuentre la salida.
b) Encuentre la potencia promedio de la entrada.
c) Usando Parseval, encuentre la potencia promedio de la salida.
4.12. PROBLEMAS
337
28. Se tiene un sistema de convolución continuo con respuesta escalón g1 (t) =
2
e−t . Sea g2 (t) = g01 (t).
a) GRafique g1 (t) y g2 (t).
b) Si g1 (t) y g2 (t) son respuestas escalón de sistemas de convolución,
grafique las funciones características correspondientes.
c) Encuentre los anchos de banda de 3dB de los dos sistemas.
29. Se tiene un sistema de convolución con respuesta escalón u(t − 1) + (1 −
2
e−t )u(t), donde u es la señal escalón.
a) Con una convolución de Stieltjes, encuentre la respuesta r(t) del
sistema, cuando la entrada es una exponencial compleja de la forma
e jΩ0 t .
b) Encuentre y grafique
r(t)
.
e jΩ0 t
30. Encuentre la respuesta del siguiente sistema a la señal 1 + cos(t) + cos(2t).
Expresela como una suma de cosenos desfasados.
31. Con un filtro con función de transferencia H(Ω) = 1+1jΩ se filtra la señal
| cos(5t)|, encuentre la potencia promedio de las primeras 3 armónicas de
la señal de salida.
32. Las señales s(t) = e−|t| y w(t) = u(t+1)−u(t−1) se aplican al sistema mostrado en la figura 4.61. Describa con una fórmula cada una de las señales
a(t), b(t), c(t), e(t), d(t), f (t), g(t) en el dominio del tiempo, y grafique
aproximadamente sis espectros: |A(t)|2 , |B(t)|2 , |C(t)|2 , |E(t)|2 , |D(t)|2 , |F(t)|2 ,
|G(t)|2 .
33. Se tiene un sistema con función de transferencia H(Ω) = u(Ω + 450) −
u(Ω−450). Si se aplica a la entrada una onda cuadrada de periodo 16.6ms,
como se muestra en la figura 4.62.
338
CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
Figura 4.61: Sistema
4.12. PROBLEMAS
339
Figura 4.62: Onda cuadrada
a) Encuentre la potencia promedio de la entrada y de la salida.
b) Encuentre y grafique la salida.
34. Se tiene un sistema de convolución continuo con respuesta escalón dada
por g(t) = (1 − e−t )u(t). Si la entrada es e(t) = 1 + cos(t) + cos(3t), exprese
la salida como suma de cosenos desfasados.
35. Se tiene un sistema de convolución continuo con respuesta escalón g(t) =
e−t u(t). Al sistema se aplica la señal e(t) = 1 + cos(t) + cos(5t). Usando
Parseval, encuentre la potencia promedio de la entrada y de la salida.
36. Muestre que si f y g están en L1 , f ∗ g también.
37. Evalúe el límite cuando tiende a cero de
el signo de t.
R
e jΩt
dΩ
|Ω|> Ω
sea cuidadoso con
340
CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
38. Encuentre una función de fase no nula, que sea par e impar. (Sugerencia:
π = −π.)
R∞
39. Muestre que, si g es integrable en magnitud, entonces lı́mδ→0 −∞ |g(t +
δ) − g(t)|dt = 0.
40. El circuito mostrado está en estado estable sinusoidal. Encuentre la frecuencia de oscilación y grafique las señales a(t), b(t) y c(t).
41. A un RC pasa bajas de primer orden con frecuencia de corte de 3dB de
1, se aplica la señal e(t) = arctan (t). Encuentre la energía de la señal de
salida.
42. Se tiene un sistema de convolución continuo con función característica
dada por cos(10t)e−|t| . Diga qué tipo de filtro es (pasa bajas, pasa altas,
etc.) y dé las frecuencias de corte de 3dB.
43. Se tiene la señal x(t) con transformada X(Ω) = [u(Ω+11)−u(Ω+9)+u(Ω−
9) − u(Ω − 11)]e− jΩ . Grafique la transformada de la señal x(t) cos(10t).
44. Encuentre la respuesta del siguiente sistema a la señal 1 + cos(t) + cos(2t).
Exprésela como una suma de cosenos desfasados.
45. Con un filtro con función de transferencia H(Ω) = 1+1jΩ se filtra la señal
| cos(5t)|, encuentre la potencia promedio de las primeras 3 armónicas de
la señal de salida.
46. Utilizando las propiedades de la transformada de Fourier, sabiendo que
la transformada de f (t) = u(t + 1) − u(t − 1) es F(Ω) = 2senc (Ω), encuentre
la transformada de g∗ (t), si g(t) = e j10t [u(t) − 2u(t − 1) + u(t − 2)].
47. Utilizando las propiedades de la transformada de Fourier
, sabiendo que
√
π −( Ω )2
−(at)2
la transformada de Fourier de f (t) = e
es F(Ω) = a e 2a , encuentre
el ancho de banda de un filtro con respuesta impulso h(t) = f 0 (t).
4.12. PROBLEMAS
341
48. Se tiene un sistema de convolución continuo con respuesta escalón g(t) =
e−2t u(t).
a) Encuentre la transformada de Fourier G(Ω) de g(t).
b) Grafique la magnitud y la fase de la función de transferencia H(Ω).
c) Si la entrada es 3 + cos(t) + sen(3t), encuentre la salida.
49. Se tiene un sistema de convolución con función de transferencia H(Ω =
1
1+2 jΩ ),
a) Encuentre el nivel promedio de la salida cuando la entrada está
dada por e(t) = | sen(t)|.
b) Grafique aproximadamente la magnitud de la transformada de la
cos(t)
salida cuando la entrada está dada por e(t) = 1+t2 .
50. Encuentre la potencia promedio de | sen(t)|.
51. Usando impedancias, encuentre la función de transferencia del circuito
mostrado. Luego, encuentre la respuesta a la señal 1 + cos(t) + cos(10t).
Figura 4.63: Circuito impedancias
52. Se tiene un sistema de convolución continuo con respuesta escalón g(t) =
e−2t u(t). Diga qué tipo de filtro es. Dé la transformada S(Ω) de la salida
s(t), si la entrada es la señal triángulo que se muestra en la figura 4.64.
342
CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
Figura 4.64: Señal de entrada
53.
a) Encuentre la función de transferencia H(Ω), del sistema (figura 4.65)
b) Encuentre H(0), BW de 3dB y el producto H(0)BW.
Figura 4.65: Sistema
54. A un RC pasa bajas de primer orden, con frecuencia de corte de un
radian por segundo, se aplica una onda cuadrada de amplitud pico a
pico 1, nivel promedio 12 y periodo 2π. Encuentre las series de Fourier de
la entrada y de la salida. Repita para el caso de un pasa altas.
55. A un RC pasa bajas de primer orden, con frecuencia de corte de un
radian por segundo, se aplica una onda cuadrada de amplitud pico a
pico 1, nivel promedio 12 y periodo 2π. Encuentre las potencias promedio
de la entrada y de la salida.
4.12. PROBLEMAS
343
56. A un RC pasa altas de primer orden, con frecuencia de corte de un
radian por segundo, se aplica una onda cuadrada de amplitud pico a
pico 1, nivel promedio 12 y periodo 2π. Encuentre las potencias promedio
de la entrada y de la salida.
57. A un pasa banda con factor de calidad 5 y frecuencia de resonancia 10 se
aplica una onda cuadrada de amplitud pico a pico 1, nivel promedio 12 y
periodo π/5. Encuentre las series de Fourier de la entrada y de la salida.
58. Usando propiedades de la transformada de Fourier, a partir de la transformada del pulso p(t) = u(t + 1) − u(t − 1), encuentre la transformada de
la señal triángulo d(t) = (t + 1)u(t + 1) − 2tu(t) + (t − 1)u(t − 1). Grafique
p, d y sus transformadas.
59. Encuentre la función de transferencia del sistema con respuesta escalón
g(t) = e−t u(t).
60. Diga a cuántas décadas por octava equivalen -20dB por década.
61. A un RC pasa bajas de primer orden con frecuencia de corte de 3dB de
1, se aplica la señal e(t) = arctan (t). Encuentre la energía de la señal de
salida.
62. Se tiene un sistema de convolución continuo con función característica
dada por cos(10t)e−|t| . Diga qué tipo de filtro es (pasa bajas, pasa altas,
. . . ) y dé las frecuencias de corte de 3dB.
63. Encuentre la transformada de la señal s(t) = e−|t| cos(10t). Expresela de tal
forma que se vea que es real y par. Grafiquela.
64. Encuentre la función de transferencia del sistema con respuesta escalón
g(t) = e−t u(t).
344
CAPÍTULO 4. TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
65. Se tiene un sistema de convolución continuo con respuesta escalón dada
por g(t) = e−t u(t). Encuentre y grafique (magnitud y fase) la función de
R∞
transferencia del sistema, la cual está dada por: H(Ω) = −∞ e− jωt dg(t).
66. Demuestre que
Z
∞
Z
∞
|s(t)|2 dt =
2π
−∞
|S(Ω)|2 dΩ
−∞
donde S es la transformada de Fourier (CTFT) de s.
67. Encuentre la transformada de la señal s(t) = e−|t| cos(10t). Expresela de tal
forma que se vea que es real y par. Grafiquela.
68. Grafique la magnitud y la fase de la transformada de la derivada de la
2
campana de Gauss e−t
69. A un sistema de convolución continuo con respuesta escalón g(t) = e−t u(t)
se aplica una señal e(t) = sen(t)[u(t) − u(t − 3π)]. Encuentre la integral de
la señal de salida.
70. Se tiene un sistema de convolución discreto con respuesta impulso dada
por hn = un 2−n . Si la entrada es la señal periódica s = {. . . 1, 1, 0, 1, 1, 0, . . . }
de periodo 3, exprese la salida como una suma de exponenciales complejas discretas.
71. Encuentre la función de transferencia del sistema con respuesta escalón
g(t) = (1 − e−t )u(t). Exprese la salida como una suma de sinusoidales si la
entrada es cos2 (t).
72. Demuestre la fórmula de Parseval de la transformada de Fourier.
Referencias
[1] “Digital Signal Processing”. A. V. Oppenheim y R.W. Shafer.
Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1975.
[2] “Signals and Systems”. A. V. Oppenheim, A. S. Willsky y I. T.
Young. Prentice Hall, Londres, 1983.
[3] “Mathematical Analysis”. T.M. Apostol. 2nd Ed. AddisonWesley, Reading, 1974.
[4] “Fourier Transforms”. S. Bochner y K. Chandrasekhanran.
Princeton University Press, Princeton, 1949.
[5] “Análisis de Fourier”. J. Duoandikoetxea. Addison- Wesley,
Wilmington, 1995.
[6] “Sistemas Digitales y Analógicos, Transformadas de Fourier, Estimación Espectral”. A. Papoulis. Marcombo, Barcelona,
1986.
[7] “Special Functions and their Applications”. N.N. Lebedev.
Dover, N.Y. 1972.
[8] “Exercices Résolus de Mathématiques”. M. Carbon, P. Marry,
N. Point y D. Vial. Dunod, Paris, 1986.
345
346
REFERENCIAS
[9] “Fourier and Wavelet Analysis”. G. Bachman, L.Narici, E. Beckenstein. Springer, N.Y., 2000.
Capítulo 5
DTFT, DFT y Relaciones entre
transformadas
5.0.
Introducción
En este capítulo consideramos el análisis de Fourier de las señales discretas
de longitud infinita, periódicas y el l2 ; respectivamente, la DFT, la DTFT. Las
señales discretas de longitud finita se analizan en forma similar a las discretas
periódicas con la DFT (“Discrete Fourier Transform”) la consideramos con
otro nombre cuando representamos señales discretas periódicas como sumas
de exponenciales complejas discretas, en el capítulo 3 podemos decir que la DFT
es la transformada de Fourier para señales discretas de longitud finita; más
exactamente, de señales con dominio finito y circular, retomaremos ese tema
en la sección 5.7.
Por otra parte, la DTFT (“Discrete Time Fourier Transform”) es la transformada de Fourier para señales discretas de longitud infinita; la DTFT de la
347
348
CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT
señal s : Z → C, sumable en magnitud, está dada por:
S(ω) =
∞
X
sn e− jωn
n=−∞
Como asumimos que s es sumable en magnitud, entonces su transformada
de Fourier S(ω) existe, por convergir en magnitud, para toda ω real, y es una
función acotada ya que,
∞
∞ X
X
− jωn −
jωn
≤
sn e
sn e
n=−∞
n=−∞
∞
X
=
|sn ||e− jωn |
=
n=−∞
∞
X
|sn |
n=−∞
= ksk1
Ejercicio. Muestre que cada señal discreta s : Z → C en l2 , está en l1 .
Note que la transformada S(ω) de una señal discreta es una función periódica, para la que 2π es un tiempo de repetición: S(ω + 2π) = S(ω), ya que 2π
es un tiempo de repetición de cada término sn e− jωn .
También note que S(−ω) tiene serie de Fourier con coeficientes {sn }. Esta
propiedad nos permitirá dar una fórmula para la transformada inversa DTFT−1
basada en los resultados sobre series de Fourier, vistos en el capítulo 3. Antes,
veamos un ejemplo.
Ejemplo. Sea s : Z → C la señal dada por
1, n ∈ {−1, 0, 1}
sn =
0, n < {−1, 0, 1}
5.0. INTRODUCCIÓN
349
entonces
S(ω) =
∞
X
sn e− jωn
n=−∞
=
1
X
sn e− jωn
n=−1
= e jω + 1 + e− jω
= 1 + 2 cos ω
Tanto S como su magnitud y fase, se grafican a continuación.
Figura 5.1: La función 1 + 2 cos ω
Ejercicio. Grafique la magnitud y la fase de H(ω) = (1 + cos 2ω)e− jω
Como vimos, 2π es un tiempo de repetición de S(ω). Si s1 , 0 o s−1 , 0, el
periodo de S(ω) es 2π. Si s1 = 0 y s−1 = 0, y s2 , 0 o s−2 , 0, entonces π es el
tiempo de repetición de S(ω) ya que, ahora
S(ω) = · · · + s−2 e j2ω + s0 + s2 e− j2ω + . . .
350
CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT
Figura 5.2: La magnitud de la función 1 + 2 cos ω
Figura 5.3: La fase de la función 1 + 2 cos ω. Como π = −π, la función también es impar
5.1. PROPIEDADES DE LA DTFT
351
y, cada exponencial compleja sk e− jkω tiene periodo 2π/k. en general, el periodo de S es el mínimo común múltiplo de los periodos de las exponenciales
complejas no nulas en la serie, ya que éstas son funciones linealmente independientes.
5.0.1.
Transformada inversa
Para obtener la fórmula de la trasformada inversa, para recuperar {sn } a
partir de S(ω), utilizamos el hecho de que S(−ω) tiene expansión en series de
Fourier con coeficientes {sn }. Por lo tanto, la fórmula de los coeficientes de
Fourier, vista en el capítulo 3, nos da la transformada inversa:
Z 2π
1
sn =
S(−ω)e− jωn dω
2π 0
y, por lo tanto, la fórmula de la transformada inversa es,
Z 2π
1
sn =
S(ω)e jωn dω
2π 0
También, tenemos la siguiente fórmula de Parseval:
Z 2π
∞
X
1
|S(ω)|2 dω
|sn |2 =
2π
0
n=−∞
que relacione la norma l2 de la señal s con la potencia promedio de la señal S,
en forma similar al caso correspondiente a las series de Fourier.
5.1.
Propiedades de la transformada de Fourier en
tiempo discreto, DTFT
La transformada de Fourier en tiempo discreto es lineal: la transformada
de una combinación lineal de señales es la combinación respectiva de las trans-
352
CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT
formadas individuales. Las propiedades de desplazamiento y modulación son
similares a las del caso continuo.
i) Linealidad. Sean s = {sn } y r = {rn } señales en l1 y sean α y β constantes
complejas. Entonces, F[αs + βr] = αF[s] + βF[r], ya que
X
X
X
[αs + βr]e− jωn = α
se− jωn + β
re− jωn
n∈Z
n∈Z
n∈Z
ii) Desplazamiento. Sea S(ω) la transformada de Fourier F{sn }(ω) de la señal
{sn }, entones, la transformada de la señal desplazada {sn−k } está dada por,
X
sn−k e− jωn
m=n−k
F{sn−k }(ω) =
n∈Z
=
X
sm e− jω(m+k)
m∈Z
= e− jω(k)
X
sm e− jω(m)
m∈Z
= e− jω(k) S(ω)
Ejercicio. Como se puede mostrar, la transformada S(ω) de la señal s(t)
mostrada en la figura 5.4 está dada por S(ω) = 13 (1 + 2 cos(ω)); encuentre
y grafique la transformada de la versión desplazada sn−1 , mostrada en la
figura 5.5.
Figura 5.4: La respuesta impulso de un promedio móvil
5.1. PROPIEDADES DE LA DTFT
353
Figura 5.5: La respuesta impulso de un promedio móvil causal
iii) Modulación. Desplazar en tiempo corresponde a multiplicar con una
exponencial compleja en frecuencia. Si la transformada se desplaza en
frecuencia, ¿qué ocurre con s, en tiempo? Si S(ω) = [F(s)](ω), ¿cuánto vale
F−1 [S(ω − ω0 )]? por definición:
1
F [S(ω − ω0 )] =
2π
2π
Z
S(ω − ω0 )e jωn dω
−1
0
γ = ω − ω0
Z 2π−ω0
1
S(γ)e j(γ+ω0 )n dγ
=
2π −ω0
Z
e jω0 n 2π−ω0
=
S(γ)e jγn dγ
2π −ω0
=
e jω0 n
=
2π
2π
Z
S(γ)e jγn dγ
0
= e jω0 n sn
R 2π
1
dado que 2π
S(ω)e jωn dω y que la integral es independiente de dónde
0
empiece y dónde termine, siempre y cuando se integre sobre un periodo.
Por lo tanto, un desplazamiento en frecuencia del espectro de la señal,
corresponde a la multiplicación de la señal por una exponencial compleja
discreta en tiempo, es decir, a una modulación de la señal.
354
CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT
Así, si sn es una señal discreta, al multiplicar por la señal discreta cos(ω0 n)
resulta que, utilizando las propiedades de linealidad y de modulación,
si la transformada de {sn } es S(ω), la transformada de {sn cos(ω0 n)} está
dada por: 12 [S(ω + ω0 ) + S(ω − ω0 )].
Ejercicio. Demuestre que si f es periódica, con periodo T, entonces, para
cualquier número real τ, (Observe la figura 5.6.)
T
Z
f (t)dt =
0
T+τ
Z
τ
f (t)dt
Figura 5.6: En los dos casos se ha sombreado el área sobre un periodo
5.2.
Frecuencias (de Fourier) grandes y pequeñas de
señales discretas
La mejor forma de visualizar la frecuencia angular ω de una exponencial
compleja discreta e jωn es con el punto de una circunferencia, que subtiende el
ángulo de valor ω. Así, estar cerca a 2π es lo mismo que estar cerca a 0. Las
frecuencias cercanas a cero son frecuencias bajas mientras que las lejanas de
cero, son frecuencias altas.
5.2. FRECUENCIAS GRANDES Y PEQUEÑAS
355
Figura 5.7: La circunferencia de Fourier para señales discretas
Por lo tanto, la mayor frecuencia es π y la exponencial compleja de magnitud unitaria con mayor frecuencia es e jπn :
Re (e jπn ) = cos(πn) = (−1)n
Im (e jπn ) = sen(πn) = 0
Figura 5.8: Una señal con periodo 2
El periodo mínimo que una señal discreta periódica no constante puede
tener es 2 y correspondiente al caso de frecuencia angular π.
La frecuencia angular menor es 0 = 2π y la exponencial compleja discreta
correspondiente es e j0n que es constante: Re (e j0n ) = 1, Im (e j0n = 0).
356
CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT
Figura 5.9: Una señal discreta, con frecuencia 0 y periodo 1
Nota. Como se dijo, para que una exponencial compleja discreta de la forma
sn = e jωn sea periódica, es necesario (y suficiente) que la frecuencia angular ω
sea un múltiplo racional de 2π: ω = 2πq, q ∈ Q. En otro caso, la señal no es
periódica sino casi periódica. (Como dijimos en el capítulo 0: sea x un número
real; definimos “x módulo 2π”, que denotamos [x]2π , como el único número
en el intervalo [0, 2π) que es congruente con x, módulo 2π. Es decir, y = [x]2π si
y sólo si, y ∈ [0, 2π) y para algún número entero m, x = 2πm + y. Por ejemplo,
[31]2π = 5,86722 . . . mientras que [32]2π = 0,58407 . . . )
Considere la señal sn = e jn . El grafo de s es un subespacio denso de S1 ; s no
es periódica: s0 = 1 y para ningún valor de n diferente de 0 se tiene que sn = 1;
sin embargo, a medida que n crece, n toma valores arbitrariamente cercanos
a múltiplos de 2π y [n]2π toma valores arbitrariamente cercanos a cero; por
ejemplo, [31416]2π = 0,07346 . . . .
Ejercicio. Demuestre que {e jn : n ∈ Z} es denso en S1 .
Ejercicio. Demuestre que e jn es una señal discreta casi periódica.
Dos exponenciales complejas discretas del mismo periodo pueden tener
diferente variación promedio.
Ejemplo. Las señales e j
2π
7 n
3
y e j 7 2πn son ambas de periodo 7 pero la primera
2π
3
tiene variación promedio |1 − e j 7 n | y la segunda |1 − e j 7 2πn |. Como podemos
ver, la variación promedio de una exponencial compleja e jω0 n es proporcional
a su frecuencia de Fourier, módulo 2π.
5.3. FILTROS DISCRETOS
357
Figura 5.10: Las distancias correspondientes a las variaciones promedio de las
0
exponenciales complejas e jωo n y e jωo n
5.3.
Filtros discretos
Dado que la respuesta a la exponencial compleja e jωo n de un filtro con
función de transferencia H(ω) es H(ωo )e jωo n , diremos que el filtro es pasa bajas
si para |ω| < y |ω − 2π| < .
Figura 5.11: Pasa bajas
358
CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT
Figura 5.12: Pasa altas
Figura 5.13: Pasa bandas
5.4.
Respuesta en frecuencia de sistemas de convolución discretos
Las exponenciales complejas, en general, las señales periódicas no nulas,
no tienen transformada de Fourier; éstas se representan en el dominio de
la frecuencia como sumas de exponenciales complejas. Las señales que son
sumables en valor absoluto tienen transformada de Fourier para toda ω.
Como en el caso continuo, trataremos por separado la respuesta de sistemas
de convolución; primero la respuesta a señales que tienen transformada y
después la respuesta a señales periódicas.
Suponga que se tiene un sistema de convolución discreto, con entrada x,
salida y y respuesta impulso h, tal como se muestra en la figura 5.14.
5.4. RESPUESTA EN FRECUENCIA SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN
Figura 5.14: Un sistema de convolución con respuesta impulso h
Por definición, la transformada Y de la salida está dada por
∞
X
Y(ω) =
yn e− jωn
n=−∞
y es la convolución de x y h, por lo tanto.
∞
∞ X
X
Y(ω) =
xi hn−i e−jωn
=
n=−∞ i=−∞
∞ X
∞
X
xi hn−i e− jωn
n=−∞ i=−∞
y, asumiendo que el oren de la suma se puede alterar,
∞ X
∞
X
Y(ω) =
xi hn−i e−jωn
i=−∞ n=−∞
con el cambio de variable k = n − i
∞
X
n=−∞
− jωn
xi hn−i e
=
∞
X
k=−∞
xi hk e− jω(k+i)
359
360
CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT
entonces
Y(ω) =
=
∞ X
∞
X
xi hk e− jω(k+i)
i=−∞ k=−∞
∞
∞
X
X
− jω(i)
xi e
hk e− jω(k)
i=−∞
k=−∞
= X(ω)H(ω)
por lo tanto, se tienen dos representaciones del sistema: una en “tiempo” y la
otra en frecuencia, como se muestra en la figura 5.15.
Figura 5.15: Las representaciones en tiempo y frecuencia de un sistema de convolución
Ejemplo. Se tiene un promedio móvil con ancho de ventana igual a tres, donde
la salida yi está dada por el promedio 13 (xi−1 + xi + xi+1 ) de los tres componentes
de la señal de entrada en una ventana centrada en i.
Ejercicio. Demuestre que el sistema promedio móvil es un sistema de convolu-
ción y que su respuesta impulso está dada por la figura 5.16.
Ejercicio. Muestre que la función de transferencia del promedio móvil está
dada por
H(ω) =
1 − jω
1
(e
+ e j0 + e jω ) = (1 + 2 cos ω)
3
3
5.4. RESPUESTA EN FRECUENCIA SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN
361
Figura 5.16: La respuesta impulso de un promedio móvil con ancho de ventana igual a tres
Figura 5.17: Magnitud
362
CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT
Figura 5.18: Fase
Ejemplo. Suponga que se tiene un sistema discreto de convolución cuya re-
spuesta impulso está dada por
1/2, n ∈ {−1, 1}
hn =
1,
n=0
0,
n ∈ Z − {−1, 0, 1}
por lo tanto, su función de transferencia está dada por,
H(ω) = 1 + cos(ω)
Ejercicio. Grafique la magnitud y la fase e a + cos(ω)
Ejercicio. Suponga que el filtro del ejemplo anterior se coloca en cascada con
el promedio móvil de ancho de ventana 3. Calcule la respuesta impulso del
filtro resultante así como su función de transferencia. Grafique la magnitud y
la fase de la función de transferencia.
Ejercicio. Encuentre la función de transferencia de un promedio móvil con
ancho de ventana igual a cinco.
5.5. POLOS Y CEROS DE H(Z) Y H(ω) CORRESPONDIENTE
363
Ejercicio. Grafique la magnitud y la fase de
Y(ω) =
5.5.
1
1
(1 − 2 cos ω)(1 + cos ω) = − (cos ω + cos(2ω))
3
3
Polos y ceros de H(z) y H(ω) correspondiente
Suponga que H(z) es una función racional de la variable z, es decir que es
un cociente de polinomios
H(z) =
a0 + a1 z + · · · + an zn
bo + b1 z + · · · + bn z m
por el teorema fundamental del álgebra, tanto el numerador como el denominador pueden ser factorizados.
Qn
(z − ci )
H(z) = Qmi=1
i=1 (z − pi )
a las constantes ci se les llama los ceros de H(z) y las pi los polos de H(z).
Ahora, dado que H(ω) = H(eiω ) tenmos que
Qn
|(eiω − ci )|
|H(z)| = Qmi=1 iω
i=1 |(e − pi )|
que interpretamos geométricamente para cada ω como el producto de las
distancias de e jω a los ceros, partido por el producto de las distancias a los
polos. Note que dado el diagrama de polos y ceros, partido por el producto de
la figura 5.19, podemos graficar aproximadamente |H(ω)| (figura 5.20).
364
CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT
Figura 5.19: Diagrama de polos y ceros
Figura 5.20: Magnitud de H(ω)
5.6. SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN
365
5.6.
Respuesta de sistemas de convolución discretos
a señales periódicas
5.6.1.
Respuesta a exponenciales complejas discretas
Como se vio en el capítulo 3, las señales periódicas discretas se pueden
representar como sumas finitas de exponenciales complejas discretas. Si x =
{xn } es una señal periódica con periodo N, ésta se puede representar como,
xn =
N−1
X
2π
Xk e j N nk
k=0
Como los sistemas de convolución son lineales, para conocer la respuesta
a x, basta con conocer la respuesta del sistema a cada exponencial compleja
2π
e j N nk .
Si la respuesta impulso del sistema es h = {hn } y la entrada es la exponencial
compleja, rn = e jω0 n la salida y = {yn } está dada por la convolución,
yn =
∞
X
hk e jω0 (n−k)
k=−∞
= e jω0 n
∞
X
hk e− jω0 k
k=−∞
=e
jω0 n
H(ω0 )
donde H(ω0 ) es la función de transferencia del sistema evaluada en ω = ω0 .
Por lo tanto, la respuesta u a la señal de entrada x, expresada como
xn =
N−1
X
k=0
2π
Xk e j N nk
366
CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT
está dada por
un =
N−1
X
Xk H(
k=0
2π j 2π k
k)e N
N
Ejercicio. Calcule la respuesta del sistema promedio móvil a las siguientes
señales utilizando la fórmula anterior:
1. xn = cos(πn)
2. xn = cos(0n)
3. xn = cos([2π/3]n)
Ejercicio. Exprese como una sima de sinusoides la respuesta del sistema causal
con ecuación de diferencia yn = xn + 0,5yn−1 (x la entrada, y la salida) a la señal
(−1)n .
5.7.
Transformada Discreta de Fourier DFT
A continuación consideramos la representación en el dominio de la frecuencia de Fourier de las señales discretas de longitud finita. Las señales discretas de
longitud finita son señales cuyo dominio es un conjunto finito , normalmente
un intervalo entero, y su rango es el conjunto de los números complejos.
nosotros asumiremos normalmente que el dominio de las señales discretas de
longitud finita es un intervalo de la forma /0, N − 1/.
Las señales digitales discretas de longitud finita son las señales que mejor
se pueden representar en un computador digital: son arreglos (“arrays”) unidimensionales; su representación en el dominio de la frecuencia resulta ser
también una señal de longitud finita y por lo tanto, también un array. Por esta
y otras razones, la transformada correspondiente, conocida como la Transformada Discreta de Fourier (“Discrete Fourier Transform”, DFT) es una se las
5.7. TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER DFT
367
herramientas más usadas hoy en día en el campo del tratamiento de señales
digitales. Estrictamente hablando, es una familia de algoritmos conocida como FFT (“Fast Fourier Transform”) para el cálculo rápido de la DFT cuando la
longitud de la señal es una potencia de dos, la que es ampliamente usada. (Si
está interesado en estudiar los algoritmos de la FFT, puede consultar [1], por
ejemplo.)
Como se mencionó en el capítulo 1, la señal s : /0, N − 1/ → C tiene longitud
N, y se puede modelar como un punto en CN . La representación de las señales
de longitud finita en el dominio de la frecuencia, es similar a la representación
de las señales discretas periódicas de longitud infinita, vista en el capítulo 3, lo
cual tienen sentido si se piensa que en periodo es suficiente para especificar
completamente tales señales.
Sea x = [x0 , x1 , . . . , xN−1 ] ∈ CN una señal discreta de longitud N. Se define
su transformada discreta de Fourier DFT(x) como la señal X ∈ CN donde
cada componente está dado por
Xk =
=
N−1
1 X − j 2π nk
xn e N
N n=0
N−1
1 X
−nk
x n WN
N n=0
Con base en los resultados del capítulo 3, decimos que la DFT es una biyección lineal (un homomorfismo) de CN → CN . en particular, la DFT es invertible:
a partir de X podemos recuperar x como DFT−1 (X); ésta transformada inversa
está dada por: x = [x0 , x1 , . . . , xN−1 ] = DFT−1 (X).
Ejercicio. Para la señal mostrada en la figura 5.21, calcule su transformada
discreta de Fourier.
Ejemplo. Sea x la señal de longitud 3 dada por x = [1, 2, 3]. su transformada
368
CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT
Figura 5.21: Una señal de longitud finita N = 3
discreta de Fourier X = DFT(x) está dada por,
Xk =
1
(1 + 2e− j2πk/3 + 3e− j4πk/3 )
3
por lo tanto,
X0 =
1
(1 + 2e− j2π0/3 + 3e−j4π0/3 ) = 3
3
X1 =
1
(1 + 2e− j2π/3 + 3e− j4π/3 )
3
X2 =
1
(1 + 2e− j4π/3 + 3e− j8π/3 )
3
X = [X0 , X1 , X2 ]
Ejercicio. Calcule la transformada inversa DFT−1 (X) de la señal X del ejemplo
anterior. compruebe su respuesta.
5.7.1.
Propiedades de corrimiento circular y modulación de la
DFT
Sea x = [x0 , x1 , . . . , xN−1 ] una señal de longitud N con transformada X =
[X0 , X1 , . . . , XN−1 ]. Considere la señal y = [y0 , y1 , . . . , yN−1 ] = [x[n+m]N : n ∈
N] = [xm , xm+1 , . . . , xN−1 , x0 , . . . , xm−1 ] obtenida a partir de x por medio de un
5.7. TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER DFT
369
corrimiento circular de magnitud m. Sea Y = DFT(y); entonces,
Yk =
=
=
=
N−1
2π
1 X
x[n+m]N e− j N nk
N n=0
2π
2π
2π
2π
1
(xm e− j N 0k + xm+1 e− j N k + · · · + xN−1 e− j N (N−1−m)k + x0 e− j N (N−m)k
N
2π
+ · · · + xm−1 e− j N (N−1)k )
2π
2π
2π
2π
2π
2π
1
(xm e− j N mk e j N mk + xm+1 e− j N mk e j N (m+1)k + · · · + xN−1 e− j N (N−1)k e j N mk
N
2π
2π
2π
+ x0 e j N mk + · · · + xm−1 e j N mk e− j N (N−1+m)k )
2π
2π
2π
1 j 2π mk
e N (xm e− j N mk + xm+1 e j N (m+1)k + · · · + xN−1 e−j N (N−1)k + x0
N
2π
+ · · · + xm−1 e− j N (N−1+m)k )
2π
2π
2π
2π
1
(x0 + · · · + xm−1 e− j N (N−1+m)k + xm e− j N mk + xm+1 e j N (m+1)k
N
2π
+ · · · + xN−1 e− j N (N−1)k )
= e j N mk
2π
= e j N mk Xk
Así, hacer un corrimiento circular en el dominio natural de la señal, equivale
a multiplicar por una exponencial compleja en el dominio de la frecuencia:
2π
DFT([x[n+m]N : n ∈ N]) = e j N mk DFT([xn : n ∈ N]).
2π
Similarmente, la DFT de [e j N nm xn : n ∈ N] está dada por [X[k−m]N : k ∈ N];
es decir, la multiplicación en el dominio natural por una exponencial compleja
(lo que podríamos llamar la modulación de la señal), equivale a un corrimiento
circular en el dominio de la frecuencia.
370
5.7.2.
CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT
Simetría circular par
Decimos que la señal x = [xn : x ∈ N] = [x0 , x1 , . . . , xn−1 ] tiene simetría
circular par si, para cada n ∈ N = /0, N − 1/,
xn = xJ−nKN
Ejercicio. Muestre que si x tienen simetría circular par, entonces DFT(x) tam-
bién tiene simetría circular par.
Ejercicio. Muestre que si x es real y tiene simetría circular par, entonces DFT(x)
también es real y tiene simetría circular par.
5.7.3.
Convolución circular discreta
Suponga que r = [r0 , r1 , . . . , rN−1 ] y s = [s0 , s1 , . . . , sN−1 ] son señales discretas
de longitud N. Suponga que R = [R0 , R1 , . . . , RN−1 ] y S = [S0 , S1 , . . . , SN−1 ] son
las correspondientes DFT’s de r y s. ¿Qué señal es la transformada inversa
u = [u0 , u1 , . . . , uN−1 ] = DFT−1 (RS) del producto RS? ¿Es una convolución?
Por definición, RS está dada por
Rk Sk =
N−1
N−1
X
1 X
−mk 1
−nk
r m WN
·
sn WN
N m=0
N n=0
=
N−1 N−1
1 XX
−mk
−nk
rm WN
s n WN
N2 m=0 n=0
=
N−1 N−1
1 XX
−(m+n)k
rm sn WN
N2 m=0 n=0
y, dado que,
ui = [DFT (RS)]i =
−1
N−1
X
k=0
ik
Rk Sk WN
5.7. TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER DFT
371
se tiene que,
ui =
N−1
X
ik
Rk Sk WN
k=0
N−1 N−1
N−1
X
1 XX
−(m+n)k ik
=
rm sn WN
WN
N2 m=0 n=0
k=0
N−1
N−1
N−1
1 X X X (i−m−n)k
rm
sn
WN
= 2
N m=0 n=0
k=0
note que cuando n es congruente (módulo N) con i − m, es decir, cuando
(i − m) − n es un múltiplo de N, se tiene que
N−1
X
(i−m−n)k
=N
(i−m−n)k
=0
WN
k=0
y que en caso contrario,
N−1
X
WN
k=0
por lo tanto
N−1
1 X
ui =
rm sJi−mKN
N m=0
donde Ji − mKN es un único número en /0, N − 1/ que es congruente módulo-N
con i − m. note que para cada i, a medida que m toma valores consecutivos en
/0, N − 1/, Ji − mKN también lo hace, aunque comenzando en i en vez de en
cero y teniendo en cuenta que a continuación de N − 1 sigue 0. La razón por la
cual u se denomina la convolución circular de r y s se hace ahora aparente;
observe la figura siguiente.
372
CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT
Figura 5.22: Los términos rm si−m a ser sumados, para computar ui . Note el eje m
5.7.4.
Interpretación de lo convolución circular en términos de
señales periódicas
Si consideramos extensiones de r y s (las cuales tienen como dominio el
conjunto /0, N − 1/) a señales s̃ y r̃ que tengan como dominio el conjunto Z
de los números enteros, haciendo que s̃ y r̃ sean periódicas con periodo N,
podemos escribir,
N−1
1 X
ui =
s̃m r̃i−m
N m=0
donde,
r̃n =
N−1
X
nk
,
Rk WN
n∈Z
nk
,
Sk WN
n∈Z
k=0
s̃n =
N−1
X
k=0
5.7. TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER DFT
373
En la figura 5.23 se muestra un ejemplo específico de la convolución circular
de dos señales de longitud 8, para el cálculo de u2 .
Ejercicio. Calcule u2 si u es la convolución circular de [1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 0] y
[3, 3, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 0].
Figura 5.23: Las señales rn y sn , y las correspondientes extensiones periódicas r̃k y s̃2−k , necesarias
para el cálculo de u2
374
5.7.5.
CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT
Relación de Parseval para la DFT
Sean x = [x0 , x1 , . . . , xn−1 ] y r = [r0 , r1 , . . . , rn−1 ] señales de longitud N; y sean
X = [X0 , X1 , . . . , Xn−1 ] y R = [R0 , R1 , . . . , Rn−1 ] sus respectivas DFT’s. Dado que
la DFT de una convolución circular es el producto de las DFT’s, es decir que,
x©r = DFT−1 (XR)
N−1
N−1
X
1 X
nk
xk r[n−k]N =
Xk Rk WN
N
k=0
n=0
k=0
N−1
N−1
X
1 X
xk r[−k]N =
Xk Rk
N
k=0
rk = x∗[−k]N , Rk = Xk∗
k=0
N−1
N−1
X
1 X
xk x∗[−k]N =
Xk Xk∗
N
k=0
k=0
N−1
N−1
1 X 2 X
|xk | =
|Xk |2
N
k=0
k=0
que es la fórmula buscada.
Ejercicio. Muestre que si rn = x∗[−n] entonces sn = r∗[−k] .
N
5.8.
N
Propiedades de simetría de la transformada de
Fourier DTFT
Las propiedades que se mencionan aquí son aplicables a las transformadas
de Fourier de señales continuas y de señales discretas.
inicialmente recordemos que la transformada de una señal par es par.
también, que las partes real e imaginaria, así como la magnitud y la fase, de
la transformada de una señal real (es decir de una señal compleja con parte
imaginaria cero) son par e impar, respectivamente.
5.8. PROPIEDADES DE SIMETRÍA
375
Las componentes de la transformada de una señal dada como la suma de
una señal par y una señal impar. Dada una señal discreta s, ¿Cómo se expresa
s como la suma s = p + i de una señal par p y una impar i? ¿Hay más de una
expresión del tipo deseado?
Ejercicio. Muestre que las señales p e i definidas a continuación son par e impar,
respectivamente, y que su suma es s. pn = 1/2(sn + s−n ), in = 1/2(sn − s−n ).
Ejercicio. Descomponga la señal escalón discreta como la suma de una señal
par y una impar.
Si f (t) es una señal continua, entonces f (t) = p(t)+i(t), donde p(t) = 0,5[ f (t)+
f (−t)] e i(t) = 0,5[ f (t) − f (−t)], provee la descomposición deseada.
Ejercicio. Encuentre la descomposición en suma de señal par e impar de la
señal p(t) = 1 si t ∈ [0, 1), y 0 si t < [0, 1)
5.8.1.
Conjugada simétrica y conjugada antisimétrica
Si s es una señal discreta compleja, se dice que s es conjugada simétrica
si sn = s∗−n ; s es una señal conjugada antisimétrica si −sn = s∗−n . Si la parte
imaginaria de la señal es cero, las definiciones de conjugada simétrica y de
conjugada antisimétrica coinciden con las de señal par y señal impar, respectivamente. Similarmente, si f (t) es una señal continua compleja, f es conjugada
simétrica si f (t) = f ∗ (−t) y es conjugada antisimétrica si f (t) = − f ∗ (−t).
Ejercicio. Dada una señal compleja, encuentre su descomposición como una
suma de una señal conjugada simétrica y una conjugada antisimétrica.
Ejercicio. Encuentre una señal que sea conjugada simétrica y conjugada anti-
simétrica, simultáneamente.
376
CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT
Figura 5.24: La suma de una señal par y una impar
La transformada de Fourier de una señal real es conjugada simétrica, por
lo tanto, la magnitud de la transformada es par, mientras que la fase es una
impar. La transformada de Fourier de una señal real par, tiene componente
imaginaria nula. Note que esto no implica que la fase sea cero. La transformada
de una señal imaginaria (i.e. con parte real nula) es conjugada antisimétrica;
así, la parte real de la transformada es impar y la parte imaginaria es par.
Ejercicio. Muestre que, si g es una señal continua con transformada de Fourier
G.
G∗ (Ω) = [F(g)]∗ (Ω) = [F(g∗ )](−Ω)
Similarmente, si s es una señal discreta con transformada de Fourier S.
S∗ (ω) = [F(s)]∗ (ω) = [F(s∗ )](−ω)
5.8. PROPIEDADES DE SIMETRÍA
377
Si g es una señal conjugada simétrica, su parte real es par y su parte
imaginaria es impar. Si g es conjugada antisimétrica, su parte real es impar y
su parte imaginaria es impar.
Ejercicio. Si H es una señal conjugada simétrica, ¿Qué propiedades de simetría
tienen su magnitud y su fase? ¿Si es conjugada antisimétrica?
5.8.2.
Implicaciones de las propiedades de simetría para transformadas de señales discretas
Las propiedades de simetría mencionadas anteriormente son válidas tanto
para la transformada de Fourier de señales continuas como para la transformada de señales discretas. Para señales discretas, la periodicidad de la
transformada tiene implicaciones ulteriores que consideramos a continuación.
Dado que la transformada de Fourier S(ω) de una señal discreta s = {sn } es
periódica, con tiempo de repetición 2π, y que si la señal es real, la magnitud
|S(ω)| de su transformada es par y la fase ∠S(ω) impar, es posible conocer S(ω)
para toda ω ∈ R1 dados sus valores para 0 omega ∈ [0, π] solamente. Como |S|
es par, |S(ω)| = |S(−ω)| y, como es periódica, |S(ω) = S(ω + 2π)|, por lo tanto,
|S(π + ω) = S(π − ω)|; vea la figura 5.25. Por otra parte ∠S(ω) = −∠S(−ω) y
∠S(ω) = ∠S(ω + 2π) implican ∠S(ω + π) = ∠S(π − ω); además, el hecho de que
la fase sea impar y que tome el mismo valor en −π y en π implica que la fase
en estas frecuencias es o cero o π: ∠S(π) = ∠S(−π) = 0 o ∠S(π) = ∠S(−π) = π.
Ejercicio. Muestre que las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones están
dadas por los ángulos equivalentes a cero y los ángulos equivalentes a π.
a≡b
2π
a ≡ −b
2π
similarmente, asumiendo que la parte imaginaria de s es cero, conociendo
la fase de S(ω) entre 0 y π, es posible averiguarla para cualquier valor de
378
CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT
Figura 5.25: La restricción de una señal discreta a ω ∈ [0, π]. a. es suficiente para reconstruir
la transformada en [−π, π]. b. ya que ésta es par y, para cada ω real. c. ya que es periódica con
periodo 2π
5.8. PROPIEDADES DE SIMETRÍA
379
ω ∈ R1 .
P
− jωn
Im (sn ) = 0 y S(ω) = ∞
implican,
n=−∞ sn e
Re [S(ω)] =
∞
X
sn cos(ωn)
← función par
n=−∞
Im [S(ω)] =
∞
X
sn sen(ωn)
← función impar
n=−∞
La magnitud de S(ω) es una función par: |S(ω)| =
p
Im [S(ω)]2 + Re [S(ω)]2
Ejercicio. Comente sobre las propiedades de simetría de la transformada de
Fourier de la señal pn = 1 si n ∈ / − 1, 1/, y pn = 0 si n < / − 1, 1/.
Ejemplo. Muestre que la transformada de sn = e−|n| es real y par.
S(ω) =
∞
X
2−n e jωn +
n=0
=
1
∞
X
2−n e− jωn − 1
n=0
1
+
−1
jω
− jω
1 − e2
1 − e2
2 − cos(ω)
=
−1
1,25 − cos(ω)
Ejercicio. Grafique la magnitud y la fase de la transformada de 2−|n| .
Nota. Hemos visto 4 transformadas de Fourier: series de Fourier, trasformada
de señales continuas, transformada de señales discretas y DFT (que también la
podríamos llamar sumas de Fourier). Además de otras propiedades, en cada uno
de os cuatro casos tenemos una propiedad de Parseval y una de convolución. la
relación de Parseval nos permite considerar la transformada como un espectro
de energía. La propiedad de convolución nos permite visualizar convoluciones
como productos en el dominio de la frecuencia.
380
5.9.
CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT
Relación entre la transformada de Fourier de
señales de duración finita (y longitud infinita)
y la transformada discreta de Fourier de la señal
de longitud finita correspondiente
Suponga que se tiene una señal discreta de longitud infinita, s : Z → C.
Además, suponga que s es de duración finita N; en particular, suponga que el
soporte de s está contenido en el intervalo /0, N − 1/. Sea x : N → C la señal
de longitud finita x = [s0 , s1 , . . . , sn−1 ], que coincide con s donde está definida.
La transformada de Fourier de s está dada por:
s(ω) =
∞
X
sn e− jωn =
n=−∞
N−1
X
sn e− jωn
n=0
mientras que la transformada discreta de Fourier de x está dada por
Xk =
N−1
1 X − j 2π nk
sn e N
N n=0
por lo tanto, podemos concluir que,
Xk =
1 2π
S( k)
N N
y por lo tanto, las Xk son muestras a escala de S(ω).
En otras palabras, la DFT de la versión truncada x de s, da N muestras a
escala de la transformada de Fourier S de s, en el intervalo [0, 2π); una cada
20 pi/N radianes, comenzando en cero y terminando en 2π(N−1/N). En la figura
5.26 se ilustra un ejemplo.
5.10. SEÑAL MUESTREADA
381
Figura 5.26: Las Xk ’s son muestras a escala de S(ω)
5.10.
Relación entre las transformadas de Fourier
de una señal continua y la de la señal discreta
muestreada correspondiente
Una señal continua se puede procesar con un sistema continuo. Sin embargo, la versatilidad y resistencia al ruido de los sistemas digitales hacen
práctica otra alternativa para señales que no incluyen frecuencias por encima
de aproximadamente 300kHz ; por ejemplo, señales sísmicas, de audio, potenciales nerviosos, etc. Así, la señal continua se convierte en una señal digital, se
procesa digitalmente y se reconvierte en señal análoga con un conversor D/A.
El primer paso consiste en muestrear y cuantificar (en número de bits dados, e.g.
16) la señal continua; esto se logra con un S/H (“Sampler and Holder”), y un
conversor A/D (análogo/digital) y un filtro pasa bajas que suaviza la salida del
D/A. Esta es la tecnología usada para el tratamiento digital de audio y la que
seguramente será usada en TV comercial en el futuro.
382
CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT
Para que una señal continua pueda ser filtrada pueda ser filtrada efectivamente así, es necesario que no se pierda información al pasar de la señal
continua a la señal discreta, es decir, que la señal continua sea recuperable a
partir de sus muestras. Una condición que garantiza este requisito, es que la
señal continua tenga transformada con soporte acotado y que las muestras se
tomen a una tasa lo suficientemente alta. Esto se explica a continuación.
Es importante advertir que los efectos del proceso de cuantificación no se
consideran aquí. La cuantificación tiene dos efectos: introducir un ruido con
densidad uniforme en la señal que se muestrea y hacer los sistemas discretos
efectivamente no lineales. La no linealidad de los filtros puede hacer que se
produzcan oscilaciones inesperadas (“limit cycles”, por ejemplo) o incluso
señales caóticas. Una referencia clásica para este tema es [1].
5.10.1.
Muestreo de señales continuas
Suponga que tiene una señal continua g(t) la cual se muestrea a una tasa
de muestras por unidad del parámetro t, obteniendo la señal discreta x dada
por xm = g(nT), donde T es un número real positivo y n ∈ Z. Asuma que tanto
x como g y G son señales en ele − uno. Sean G(Ω) y X(ω) las transformadas,
respectivamente, de las señales g(t) y xn . Por lo tanto,
1
T
∞
X
X(ω) =
xn e− jωn
(5.1)
X(ω)e jωn dω
(5.2)
n=−∞
1
xn =
2π
π
Z
−π
∞
Z
G(Ω) =
g(t)e− jΩt dt
(5.3)
G(Ω)e jΩt dΩ
(5.4)
−∞
Z
∞
g(t) =
−∞
5.10. SEÑAL MUESTREADA
383
Usando la ecuación 5.4 tenemos,
xn = g(nT) =
1
2π
Z
∞
G(Ω)e jΩnT dΩ
−∞
∞ Z (2r+1)π/T
1 X
=
G(Ω)e jΩnT dΩ
2π r=−∞ (2r−1)π/T
donde el intervalo de integración se ha particionando usando intervalos de
la forma . . . , (−3π/T, −π/T], (−π/T, π/T], (π/T, 3π/T], . . . etc. con el cambio de
variable u = Ω − 2πr/T se obtiene,
∞ Z π/T
1 X
2πr j(u+ 2πr )nT
T
)e
xn =
G(u +
du
2π r=−∞ −π/T
T
usando Ω en vez de u, nuevamente,
∞ Z π/T
1 X
2πr j(Ω+ 2πr )nT
T
dΩ
xn =
G(Ω +
)e
2π r=−∞ −π/T
T
note que e j2πrn = 1 para cada n; intercambiando el orden de la serie y la integral,
Z π/T X
∞
1
2πr jωnT
xn =
)e
dΩ
G(ω/T +
2π −π/T r=−∞
T
con el cambio de variable ω = TΩ,
Z π X
1 ∞
1
ω
2πr
xn =
G( +
) e jωn dΩ
2π −π T r=−∞ T
T
comparando con 5.2 tenemos que,
X(ω) =
∞
1 X
ω 2πr
G( +
)
T r=−∞ T
T
Por lo tanto, X es una señal suma de versiones desplazadas y escalizadas
de G. Por ejemplo, para r = 0, se tiene el término G( ωT ), para r = 1, el término
384
CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT
Figura 5.27: La transformada de una señal continua
Figura 5.28: La transformada de la señal muestreada correspondiente
G( ωT + 2π
T ), etc. En las figuras siguientes se ilustra la posible relación entre X y
G para una señal g pasa bajas. BW (“Band width”) se refiere al ancho de banda
total de la señal, incluyendo frecuencias negativas.
Como se verá más adelante, es importante que los componentes del espectro de X estén separados, como ocurre en la figura. Esto ocurrirá siempre que
0
TΩ0 < π, es decir, T1 > 2Ω
2π , por lo tanto, la tasa de muestreo debe ser mayor
que dos veces la componente de frecuencia (en Hertz) máxima de g. Esta tasa
se conoce como tasa de Nyquist.
En caso contrario, si TΩ0 ≥ π, los componentes se sobrelapan y se dirá que
hay enmascaramiento (“aliasing”) de frecuencias. Note que como toda transformada de señal discreta, X tiene tiempo de repetición 2π; así, normalmente sólo
es de interés el intervalo ω ∈ [−π, π] o el intervalo ω ∈ [0, 2π]. Las frecuencias
5.10. SEÑAL MUESTREADA
385
cercanas a 0 son frecuencias bajas, frecuencias cercanas a π son frecuencias
altas; cuando hay un enmascaramiento leve, la información de frecuencias
altas se distorsiona. Si el enmascaramiento es fuerte, todas las componentes
de frecuencias se distorsionan. Por esta razón, antes de muestrear una señal
continua, ésta se debe filtrar con un pasa bajas análogo (continuo) para evitar que
una contaminación fortuita de la señal continua, a altas frecuencias, termine influyendo de manera indeseada en frecuencias más bajas al hacer la conversión
D/A; por ejemplo, un murciélago cerca al micrófono de una cantante podría
hacer el truco. Este filtro se conoce como filtro antialiasing.
5.10.2.
Reconstrucción de la señal continua a partir de sus
muestras
Suponga que la señal continua g(t) se ha muestreado por lo menos a la tasa
de Nyquist T1 tal que: Ω0 < πT , donde Ω0 es la máxima componente de frecuencia
de g. Expresando a g como la transformada inversa de su transformada se tiene,
Z ∞
1
G(Ω)e jΩt dΩ
g(t) =
2π −∞
como g(t) está “limitada en frecuencia”,
Z Ω0
1
g(t) =
G(Ω)e jΩt dΩ
2π −Ω0
como Ω0 < π/T,
g(t) =
1
2π
Z
π/T
G(Ω)e jΩt dΩ
−π/T
dado que g se muestreo por lo menos a la tasa de Nyquist, usando un resultado
que se derivó anteriormente, para Ω ∈ [−π, π], se tiene que G(Ω) = TX(ΩT),
por lo tanto,
Z π/T
1
g(t) =
TX(ΩT)e jΩt dΩ
2π −π/T
386
dado que X(ω) =
CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT
P∞
xn e− jΩn , tenemos que,
Z π/T X
∞
1
T
g(t) =
xn e− jΩTn e jΩt dΩ
2π −π/T n=−∞
Z π/T X
∞
T
g(nT)e− jΩTn e jΩt dΩ
=
2π −π/T n=−∞
n=−∞
intercambiando el orden de la serie y la integral,
"
#
Z π/T
∞
X
T
jΩ(t−Tn)
g(t) =
g(nT)
e
dΩ
2π −π/T
n=−∞
=
∞
X
n=−∞
∞
X
g(nT)
sen[ πT (t − nT)]
π
T (t
− nT)
π
g(nT)senc ( (t − nT))
T
n=−∞
(5.5)
esta última fórmula expresa la señal g(t) en términos de sus muestras {g(nT)}.
Desde cierto punto de vista esta es una formula de interpolación; la interpolación
se hace usando funciones senc .
Este resultado nos dice que no hay pérdida de información al pasar de una
señal limitada en frecuencia a la sucesión de sus muestras, si éstas se toman
con una rapidez de al menos la tasa de Nyquist.
Esta fórmula es válida también para señales g ∈ L2 . El lector interesado
puede consultar el artículo siguiente:
A.J. Jerry. “The Shannon Sampling Theorem, its Various Extensions . . . ” Proc.
IEEE vol. 65, pp. 1565-1596, Nov. 77.
La fórmula 5.5 se puede interpretar así: “sobre la línea de los números
reales, marque las posiciones t = nT, coloque una señal sen( πT (t − nT) centrada
en t = nT, para cada marca; luego, sume todas las señales”. Note que cada
senc se anula en las posiciones t = NT excepto en la que está centrada.
5.10. SEÑAL MUESTREADA
387
Ejemplo. Como una ilustración de la fórmula 5.5, considere la señal de du-
ración 3, {gn } = {. . . , , 0, 1, 0,8, 0,6, 0, . . . }, como se muestra en la figura 5.29. En
Figura 5.29: Una señal discreta de duración finita
la figura 5.30 se muestran las señales g0 senc (t), g1 senc (t − 1) y g2 senc (t − 2). En
Figura 5.30: Las señales g0 senc (t), g1 senc (t − 1) y g2 senc (t − 2)
la figura 5.31 se muestran la señal f (t) = g0 senc (t)+ g1 senc (t−1)+ g2 senc (t−2).
Note que efectivamente, f (0) = g0 , f (1) = g1 y f (2) = g2 .
388
CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT
Figura 5.31: La señal f (t) = g0 senc (t) + g1 senc (t − 1) + g2 senc (t − 2)
5.10.3.
Fórmula para la interpolación trigonométrica de señales
contínuas a partir de muestras equiespaciadas
Suponga que nos dan N muestras {s0 , s1 , . . . , sN−1 } de la señal continua g(t),
g : [0, T] → C, espaciadas regularmente en el intervalo [0, T]:
sn = g(nT/[N − 1]), N ∈ {0, 1, . . . , N − 1}
Es posible entonces encontrar una señal continua que es una suma de
exponenciales complejas y que concuerda con las muestras dadas de g. Esta
señal está dada por,
N−1
X
2π
g̃ =
Xk e j A kt
k=0
donde
Xk =
N−1
1 X − j 2π nk
sn e N
N
k=0
Ejercicio. Explique por qué la fórmula dada cumple con las especificaciones
indicadas.
5.10. SEÑAL MUESTREADA
389
Ejercicio. Interpole las muestras 0, 1, 0,8, 0,6, 0 usando la fórmula dada. Grafique
y compare con la figura 5.30.
390
5.11.
CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT
Resumen gráfico
Figura 5.32: Serie de Fourier
Figura 5.33: Transformada de Fourier
5.11. RESUMEN GRÁFICO
391
Figura 5.34: DTFT
Figura 5.35: Suma de Fourier
Figura 5.36: DFT
392
CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT
5.12.
Resumen de las transformadas
Serie de Fourier:
cn =
1
T
T
Z
f (t)e− jnΩ0 t dt
f (t) =
0
∞
X
cn e jnΩ0 t
t ∈ R1 periodo T = 2π/Ω0
n=−∞
Suma de Fourier:
Xk =
N−1
2π
1X
f (t)e− jn N nk dt
T n=0
xn =
N−1
X
2π
Xk e− jn N nk
n ∈ Z, periodo N
k=0
Transformada de Fourier (de señales discretas de longitud infinita en l1 ) [DTFT]:
S(ω) =
∞
X
sn e− jnωn dt
sn =
n=−∞
1
2π
2π
Z
S(ω)e− jnωn dω
0
Transformada Discreta de Fourier (de señales discretas de longitud infinita) [DFT]:
N−1
2π
1X
Xk =
f (t)e− jn N nk dt
T n=0
xn =
N−1
X
k=0
2π
Xk e− jn N nk
n ∈ N, k ∈ N N = /0, N − 1/
n
5.12. RESUMEN DE LAS TRANSFORMADAS
Transformada de Fourier (de señales continuas en L1 ):
Z ∞
Z ∞
1
− jΩt
F(Ω) =
f (t)e
dt f (t) =
F(Ω)e jΩt dΩ
2π −∞
−∞
393
t ∈ R1 , Ω ∈ R1
394
CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT
5.13.
Resumen para la propiedad de Parseval
Se mantienen los símbolos de la página anterior. Serie de Fourier:
∞
X
|cn |2 =
n=−∞
1
T
T
Z
| f (t)|2 dt
0
Suma de Fourier:
N−1
N−1
X
1 X
|xn |2 =
|Xk |2
N n=0
k=0
Transformada de Fourier (de señales discretas de longitud infinita en l1 ) [DTFT]:
∞
X
|sn |2 =
n=−∞
1
2π
2π
Z
|S(ω)|2 dω
0
Transformada Discreta de Fourier (de señales discretas de longitud infinita) [DFT]:
N−1
N−1
X
1 X
|xn |2 =
|Xk |2
N n=0
n=0
Transformada de Fourier (de señales continuas en L1 ):
5.13. RESUMEN PARA LA PROPIEDAD DE PARSEVAL
Z
∞
1
| f (t)| dt =
2π
−∞
Z
∞
|F(Ω)|2 dΩ
2
−∞
395
396
CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT
5.14.
Resumen convolución
Se mantienen los símbolos de la página anterior. Serie de Fourier:
∞
X
cn dn e
k=−∞
jnΩ0 t
1
=
T
T
Z
f (t − τ)g(τ)dτ
0
donde cn y dn son los coeficientes de Fourier de f y g.
Suma de Fourier:
N−1
X
nk
Rk Sk WN
=
k=0
N−1
1 X
sm rJn−mK
N m=0
Transformada de Fourier (de señales discretas de longitud infinita en l1 ) [DTFT]:
1
2π
2π
Z
S(ω)R(ω)dω =
0
∞
X
sk rn−k
k=−∞
Transformada Discreta de Fourier (de señales discretas de longitud infinita) [DFT]:
N−1
N−1
X
1 X
−nk
Sm RJk−mK
rk sk WN =
N
m=0
k=0
5.14. RESUMEN CONVOLUCIÓN
Transformada de Fourier (de señales continuas en L1 ):
Z ∞
Z ∞
1
jΩt
F(Ω)G(Ω)e dΩ =
f (τ)g(t − τ)dτ
2π −∞
−∞
Z ∞
Z ∞
1
jΩt
F(W)G(t − W)dW
f (t)g(t)e dΩ =
2π −∞
−∞
397
398
5.15.
CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT
Problemas
1. Las señales x, y : 6 → C, discretas de longitud finita, se muestran en la
figura 5.37. Encuentre DFT−1 [DFT(x)DFT(y)]. Sugerencia: ¿Qué relación
hay entre la DFT y la convolución circular?
Figura 5.37: Dos señales discretas de longitud finita
2. Sea r : Z → C, la señal discreta pulso discreto de longitud infinita (y
duración finita) dada por
1, si n ∈ {0, 1, . . . , L − 1}
rn =
0, si n < {0, 1, . . . , L − 1}
a) Grafique rn contra n.
b) Muestre que la transformada de Fourier R(ω) de r, está dada por
− jω L−1
2
R(ω) = e
sen( ωL )
2
sen ω
2
si ω , 0 y R(0) = L. (Una señal senc enmascarada).
c) Utilizando Mathematica, grafique R(ω) contra ω para L = 10, ω ∈
[−π, π).
3. Sea s : Z → C, la señal dada por sn = 2−|n| cos(3n). Calcule su transformada de Fourier.
5.15. PROBLEMAS
399
4. Se tiene un sistema de convolución discreto con función de transferencia
H(ω) = (1/3)(1+2 cos(ω)). Calcule la respuesta del sistema (en el dominio
n) a la señal xn = (1/5) cos( 2π
3 n).
5.
a) Calcule la convolución circular de las señales [1, 2, 3] y [0, 1, 0].
b) Calcule la convolución circular de [0, 1, 0, 1, 0] y [2, 2, 3, 4, 5].
6. Se tiene un sistema de convolución discreto con función de transferencia
H(ω) = cos(ω). Calcule la respuesta del sistema (en el dominio n) a la
señal xn = sen(n π2 ) + cos(nπ). Para n ∈ / − 10, 10/ grafique la entrada y la
salida.
7. La respuesta impulso de un sistema de convolución discreto está dada
por:
0,
n<0
hn =
−n
3
n≥0
Si la entrada al sistema es la señal xn = cos(n/2) + cos(n), exprese la salida
yn como una suma de cosenos (desfasados).
8. Se tiene un sistema de convolución discreto con función de transferencia
H(ω) = cos(ω). Encuentre la respuesta impulso del sistema.
9.
a) Encuentre la transformada G(Ω) de la señal continua g(t) = e−|t| ,
t ∈ R1 .
b) Encuentre la transformada S(Ω) de la señal discreta sn = g(n/10),
n ∈ Z.
P
c) Usando Matlab, grafique S(ω) y 10 5r=−5 G(10ω + 2π10r). Compare
y Explique.
10. Si la función de transferencia de un sistema está dada por H(ω) =
2 j sen(ω)
400
CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT
a) Grafique la magnitud y la fase de H.
b) Encuentre la respuesta impulso del sistema.
c) Dé la ecuación de diferencia entrada/salida del sistema.
d) Encuentre la salida si la entrada está dada por en = cos(nπ).
e) Encuentre la salida si la entrada está dada por en = 1 + cos(2πn/3) +
cos(nπ).
11. Se tiene un sistema e convolución discreto que produce a la salida una
versión retardada de la señal de entrada: yn = xn−2 , como se muestra en
la figura 5.38.
a) Encuentre la función de transferencia H(ω), del sistema.
b) Encuentre la respuesta impulso del sistema.
Figura 5.38: Un filtro de retardo
12. Suponga que se tiene un sistema de convolución discreto con función de
transferencia H(ω) = e jω/2 . Encuentre la respuesta impulso del sistema.
13. Suponga que se tiene un sistema de convolución discreto con función de
transferencia H(ω) = e j3ω . Encuentre la respuesta impulso del sistema.
14. Si x = [1, 0, 0], z = [1, 1, 1] y se sabe que z es la convolución circular de x
y cierta señal y, encuentre y.
15. Se tiene un sistema discreto con entrada x, y salida y, que cumple con las
siguiente condiciones:
5.15. PROBLEMAS
401
yn = xn + 0,5yn−1 .
La relación se puede iterar hacia atrás, y es válida en el límite,
cuando n → −∞:
yn = xn + 0,5xn−1 + 0,25yn−2
= xn + 0,5xn−1 + 0,25xn−2 + 0,125yn−3
= ···
Siempre que la entrada tienda a 0 cuando n → −∞, la salida también.
a) Diga si el sistema es de convolución. Explique.
b) Exprese la salida como una suma de exponenciales complejas, si la
entrada está dada po JnK3 .
16. La señal g(t) tiene transformada G(Ω), con G(Ω) = 0 para |Ω| > 2π10000.
Muestreando g, se obtiene la señal discreta x : Z → C dada por xn =
g(nT), T = 10−5 . La señal x es filtrada con el sistema discreto con ecuación
de diferencia yn = xn − xn−1 , produciendo la señal discreta y = {yn }.
Finalmente, a partir de la señal y se obtiene la señal continua s(t), con la
siguiente fórmula de interpolación:
s(t) =
∞
X
n=−∞
yn senc [
πt − nπT
]
T
a) Encuentre la función de transferencia D(ω) = Y(ω)/X(ω) del sistema
discreto.
b) Encuentre la respuesta impulso del sistema discreto.
c) Si S(Ω) es la transformada de la señal de salida, encuentre la función de transferencia S(Ω) = S(Ω)/G(Ω) correspondiente al sistema
completo.
402
CAPÍTULO 5. DFT Y DTFT
Note que ésta es una forma versátil de implementar filtros análogos con
base en filtros digitales. Diga cuáles inconvenientes tiene.
17. Diga qué tipo de filtro es el promedio móvil ponderado que para cada
señal de entrada x produce a la salida la señal y dada por yn = 0,25(xn−1 +
2xn + xn+1 ). es decir,
a) Encuentre la respuesta impulso.
b) Compruebe que es de convolución.
c) Encuentre la función de transferencia. Ahora, ¿de qué tipo es?
d) También, diga i el sistema es lineal, invariante, estable y causal. En
cada caso, explique.
18. Calcule la DFT de la señal [1,1,0,0,1]. Expresela como un vector real.
19. Se tiene un sistema de convolución discreto con respuesta impulso dada
por hn = un 2−n ,
a) Encuentre la función de transferencia H(ω) y muestre que es real u
par.
b) Si la entrada es la señal sn = e jπ(20/45)n , exprese la señal de salida
como una suma de exponenciales complejas.
c) La señal g(t) tiene transformada G(Ω) con G(Ω) = 0 para |Ω| >
2π10000. Se obtiene luego la señal discreta x usando xn = g(nT)
con n ∈ Z, T = 10−5 . Luego, la señal discreta es filtrada con un
sistema de convolución discreto con ecuación de diferencia dada por
yn = 0,5(xn − xn−1 ). Finalmente, se reconstruye una señal continua
P
s(t) = ∞
0 yn senc (π/T[t − nT]).
1) Encuentre la función de transferencia del sistema discreto. Diga
qué tipo de filtro es.
5.15. PROBLEMAS
403
2) Encuentre la respuesta impulso del sistema discreto.
3) Si S(Ω) es la transformada de la señal de salida, encuentre la
S(Ω)
función de transferencia H(Ω) = G(Ω) del sistema completo.
P
2
20. Usando la propiedad de Parseval de la DTFT, calcule ∞
n=−∞ |sn |, donde
sn = 2−|n| .
21. Se tiene un sistema de convolución continuo con función catacterística
dada por cos(10t)e−|t| . Diga qué tipo de filtro es y dé las frecuencias de
corte de 3db.
22. Para el sistema con respuesta escalón g(t) = e−t u(t), diga qué tipo de filtro
es y encuentre las frecuencias de corte de 3db. También, si se aplica la
entrada la señal e(t) = arctan(t), encuentre la energía de la señal de salida.
23. Se tiene la señal discreta de longitud finita X T = [1, −j, −1, j] ∈ R4 , a
partir de la cual se obtiene la señal X como se indica:
1
1
X =
1
1
1
j
−1
−j
1
−1
1
−1
1
−j
−1
j
x
usando esta información expres a x en la forma xn =
valor de las Yk s y compruebe su solución.)
P3
k=0
2π
Yk e j 4 nk .(Dé el
Referencias
[1] “Digital Signal Processing”. A. V. Oppenheim y R.W. Shafer.
Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1975.
[2] “Computer Based Exercises for Signal Processing”. C-S. Burrus,
et.al., Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1994.
[3] “Dicrete-Time Signal Processing”. A. V. Oppenheim y R.W.
Shafer. Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1989.
[4] “Digital Signal Processing”. J.G Proakis y D.G. Manolakis. Pentice Hall, Upper Saddle River, 1996.
[5] “Chaos in Digital Filters”. L.O. Chua y T. Lin. IEEE trans. on
Circuits and Systems, vol. 35, no. 6, pp. 648-658,1988.
404
Capítulo 6
Propiedades de los sistemas y
su correspondiente
clasificación
6.0.
Clasificación
Los sistemas de clasifican de acuerdo a sus propiedades. Una de ellas, que
ya mencionamos en el capítulo 2 al hablar de sistemas de convolución, es la
linealidad. La propiedad de linealidad se frasea en términos del concepto de
espacio vectorial de señales, y del cuerpo de los complejos. Otras propiedades
que un sistema puede tener y que consideramos en este capítulo son: invarianza,
causalidad y estabilidad.
Los sistemas de convolución son lineales e invariantes pero hay sistemas
lineales y sistemas invariantes que no son de convolución. Con gran generalidad, un sistema lineal e invariante es un sistema de convolución. Como era
405
406
CAPÍTULO 6. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS
de esperar, la causalidad y la invarianza de un sistema de convolución están
determinados por la respuesta escalón del sistema, o por la respuesta impulso,
cuando existe.
Sea S : A → B un sistema lineal de un espacio vectorial de señales A a un
espacio vectorial de señales B, ambos con el mismo cuerpo. Si a medida que
consideramos diferentes señales de entrada x, evaluamos la señal de salida
y(t) = [S(x)](t) del sistema en un tiempo dado t = t0 , resulta el funcional lineal
φ : A → C (C es el conjunto de los complejos) dado por φ(x) = [S(x)](t0 ). Esta
observación, junto con un resultado conocido como el Teorema de representación
de Riesz nos permite expresar la salida de un sistema lineal (no necesariamente
invariante) como una integral de Riemann-Stieltjes, similar en forma a la convolución de Stieltjes vista en el capítulo 2 para sistemas lineales e invariantes,
cuando el espacio de las señales de entrada A es el conjunto de las señales
contínuas con soporte contenido dentro de un intervalo dado.
Otro espacio de señales que es importante en teoría de sistemas, es el
espacio de las señales de variación acotada. Si una señal es de variación acotada
y es derivable, entonces su derivada está en L1 (¿Por qué?).
Los sistemas contínuos lineales, pero no necesariamente invariantes, se
modelan con,
Z
∞
y(t) =
e(τ)dgt (τ)
−∞
y, menos generalmente pero a menudo equivalentemente, con,
Z ∞
y(t) =
h(t, τ)e(τ)dτ
−∞
La teoría de los sistemas lineales está bastante sofisticada. No existe una
teoría que cubra los sistemas en general (lineales y no lineales) que tenga un
nivel de desarrollo similar. A partir de la década de los setentas se comenzaron
a estudiar los filtros L, o los filtros basados en estadísticas de orden. El filtro
más conocido de esta familia es el filtro mediana, introducido por Tukey como
la media móvil, para el estudio de series de tiempo en estadística.
6.1. SISTEMAS LINEALES
407
Los sistemas no lineales se han estudiado con las llamadas series de Volterra
(en honor a Vito Volterra, matemático italiano, quien publicó varios resultados relacionados a finales de siglo pasado). Sin embargo, esta teoría no es
suficientemente general, en particular, no modela el filtro mediana.
Así, hay dos áreas grandes en las que se clasifican los sistemas no lineales:
en el caso continuo, los sistemas pueden ser lisos, y si son de forma y0 =
f (y) + x, donde x es la entrada y y es la salida, cuando f tiene Jacobiano, y
los sistemas arrugados (osea no lisos) pero lineales a trozos (o PL: “picewise
linear”), como en el caso del circuito de Chua. Los sistemas discretos no lineales
que se estudian normalmente son de la forma yn = f (yn−1 ) + xn , donde f tiene
Jacobiano o es lineal a trozos.
la sección 6.1 pasó al capítulo
cero, revisar la introducción.
6.1.
Sistemas lineales
Sean (V, ⊕, K, +, ·) y (W, ∗, K, +, ·) espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo. La función T : V → W es una transformación lineal si para cada
α, β ∈ K y cada x, y ∈ V se tiene que T(α · x ⊕ β · y) = α · T(x) ∗ β · T(y). Así, una
transformación lineal es un homomorfismo entre espacios vectoriales.
En otras palabras, T es lineal si cumple con las propiedades de homogeneidad:
para cada α ∈ K y cada u ∈ V, T(αu) = αT(u), y de superposición: para cada
u, v ∈ V, T(u + v) = T(u) + T(v).
Ejercicio. Demuestre que si T es una transformación lineal entre los espacios
(V, ⊕, K, +, ·) y (W, ∗, K, +, ·) , que 0 es el módulo del grupo (V, ⊕) y Θ es el
módulo del grupo (W, ∗), entonces, T(0) = Θ.
Para cada sistema lineal, continuo o discreto, se tiene por lo tanto que la respuesta
a la señal cero es la señal cero.
Para cada sistema lineal, continuo o discreto, se tiene por lo tanto que la respuesta
a la señal cero es la señal cero.
408
CAPÍTULO 6. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS
Ejemplo. Considere el espacio vectorial V de las funciones contínuas con dominio [0, 1] y rango complejo, con la operación de suma de funciones, sobre el cuerpo de los complejos. Considere el conjunto de funcionales lineales
definidos sobre este espacio. Como se puede mostrar, para cada funcional lineal f : V → C, de este tipo hay una función g de variación acotada tal que f se
puede representar como una integral de Riemann-Stieltjes:
1
Z
f (h) =
h(t)dg(t)
0
Ejemplo. Considere el espacio vectorial V de las funciones contínuas con do-
minio [0, 1] y rango complejo, con la operación de suma de funciones, sobre el
cuerpo de los complejos. Considere el espacio vectorial W = C2 sobre el cuerpo
de los complejos C. Sea T : V → W dada por
1
"Z
T(h) =
1
Z
h(t)e
j2πt
dt,
0
h(t)e
− j2πt
#
dt
0
Ejercicio. Diga si la función T del ejemplo anterior es una transformación lineal.
Ejercicio. Diga si el promedio móvil es una transformación lineal y, en caso
afirmativo, ¿Entre qué espacios vectoriales?
Ejercicio. Diga si la DFT es un homomorfismo entre CN y CN , o no y ¿Por qué?
Rb
Teorema 10. Riesz. La integral de Riemann-Stieltjes a s(τ)dλ(τ) donde λ es una
función dada de variación acotada, define un funcional lineal sobre el espacio de las funciones contínuas. Conversamente, cada funcional lineal definido sobre el espacio de las
funciones contínuas con soporte incluido en el intervalo [a, b], puede ser representado
en esta forma.
Suponga que se tiene un sistema lineal S y que las posibles señales de
entrada e son las señales contínuas con soporte acotado por el intervalo [a, b].
6.2. SISTEMAS NO LINEALES: LOS FILTROS L
409
Entonces, para un valor t1 fijo, el valor de la señal de salida [S(e)](t1 ) es un
funcional lineal sobre el espacio de señales de entrada. Por el teorema anterior,
tenemos que
Z b
s(τ)dλ1 (τ)
[S(e)](1) =
a
y similarmente para otro valores de t, por lo tanto, en general tenemos que,
b
Z
[S(e)](t) =
s(τ)dλt (τ)
a
o, abusando un tanto de la notación,
b
Z
[S(e)](t) =
s(τ)dλ(τ)
a
o, si λ es derivable con derivada h,
b
Z
[S(e)](t) =
s(τ)h(t, τ)dτ
a
Para señales de entrada con soporte lo suficientemente centrado y localizado en el intervalo [a, b], con respecto a un posible corrimiento, tenemos que si
λt (τ) = λ(τ − t) entonces el sistema es invariante con respecto al corrimiento.
6.2.
Sistemas no lineales: los filtros L
Es común en ingeniería el pasar una señal por un sistema con el objeto de
quitarle una característica indeseable, o de resaltar una deseable. Por ejemplo,
considere el ecualizador de un equipo de sonido.
Con frecuencia, una señal resulta “contaminada con ruido” al ser transmitida; por ejemplo, la señal de un satélite. Es decir, la señal que se recibe es
diferente de la señal que se transmite y no hay mucho que se pueda hacer para
evitarlo. Este problema se alivia en parte usando sistemas digitales ya que para
410
CAPÍTULO 6. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS
que un “1” se convierta en un “0” o viceversa, se necesita un nivel de ruido
alto.
Otra forma de aliviar el problema consiste en estimar la señal original en el
punto de recepción, dado cierto conocimiento de las señales que se transmiten
y del ruido. Por ejemplo, si se sabe que la señal no tiene componentes de
frecuencia por encima de 5KHz, cualquier cosa a frecuencias más altas es
ruido y se puede considerar el uso de un filtro pasa bajas.
Si la señal y el ruido tienen espectros que se traslapen apreciablemente,
el uso de un sistema de convolución no permitirá separar la señal del ruido.
Por ejemplo, considere una imagen, donde los bordes tienen componentes
de frecuencia altas y contienen parte importante de la información que se
transmite, la cual resultó contaminada con ruido aditivo de alta frecuencia. este
problema se resuelve en forma relativamente satisfactoria usando un sistema
no lineal: filtro mediana.
Otra razón por la que es importante estudiar los sistemas no lineales es que
los sistemas lineales son sólo modelos aproximados de sistemas reales. Así, no
siempre es conveniente ni realista asumir que cierto sistema es lineal. Por ejemplo, cuando se quiere estudiar la distorsión introducida por un amplificador
con transistores.
A continuación repasamos algunos conceptos útiles en la definición de los
filtros L, también conocidos como estadísticas L móviles.
6.2.1.
Permutaciones
Una permutación es una biyección de un conjunto finito a sí mismo. Para
funciones de un conjunto finito a sí mismo, los conceptos de inducción, sobreyección y biyección coinciden; así una permutación de los elementos del
conjunto N = {0, 1, . . . , N − 1} es una biyección de N a N. Como sabemos, a un
conjunto de n elementos le corresponden n! permutaciones posibles.
Ejemplo. La función p : {0, 1, 2, 3} → {0, 1, 2, 3}, dada por p(0) = 2, p(1) = 1,
6.2. SISTEMAS NO LINEALES: LOS FILTROS L
411
p(2) = 3, p(3) = 0 es una permutación del conjunto 4 = {0, 1, 2, 3}. También,
usando vectores, escribimos: [0, 1, 2, 3] → [2, 1, 3, 0].
6.2.2.
Muestra
En la práctica, una muestra (“Sample”) es el resultado de una encuesta
o experimento. Técnicamente, una muestra [x0 , x1 , . . . , xN−1 ] es un punto en
RN , es decir, un vector de N componentes. La razón por la cual modelamos
una muestra como un vector y no como un conjunto es que en una muestra
podemos tener elementos repetidos mientras que en un conjunto n0 : {2, 2} =
{2}.
Nota. Un vector sin embargo, tiene más estructuras que la necesaria ya que
normalmente el orden de las componentes de una muestra no es relevante (a
diferencia de una serie de tiempo). Así, una definición apropiada podría ser la
clase de vectores dada por las permutaciones de sus componentes.
6.2.3.
Estadísticas
En la práctica, una estadística extrae cierta información de la muestra y la
condensa en un solo número. Técnicamente, una estadística es una función de
RN → R1 .
Así por ejemplo, el promedio es una estadística. es la función promedio:
P
R → R1 dada por, promedio[x0 , x1 , . . . , xN−1 ] = N1 N−1
n=0 xn .
N
El grafo de la función promedio es un plano que pasa por el origen de RN+1 ,
ésta es una forma de ver que el promedio es una estadística lineal. El promedio
es el estimador de máxima verosimilitud de la media de una distribución
gausiana.
412
6.2.4.
CAPÍTULO 6. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS
Estadísticas de orden
El vector de las estadísticas de orden (“order statistics”) de la muestra x =
[x0 , x1 , . . . , xN−1 ] se denota como x = [x( 0), x( 1), . . . , x(N−1) ]; los componentes
de este vector, conocidos como las estadísticas de orden, corresponden a un
ordenamiento de la muestra: x( 0) ≤ x( 1) ≤ · · · ≤ x(N−1)
Ejemplo. Las estadísticas de orden de x = [5, 3, 3, 8, 0, −2, 5] son:
x = [x( 0), x( 1), . . . , x(N−1) ] = [−2, 0, 3, 3, 5, 5, 8]
La notación x(i) corresponde al hecho siguiente: sea p una permutación de
N = {0, 1, . . . , N − 1} tal que, xp(0) ≤ xp(1) ≤ · · · ≤ xp(N−1) : omitiendo la “pe”
en xp(i) nos resulta la notación mostrada. Las estadísticas de orden son una
herramienta muy útil y antigua en la estadística. Por ejemplo, la mediana es el
estimador de máxima verosimilitud de la media de una distribución laplaciana.
Para calcular la mediana no es necesario hacer sumas ni divisiones, esto hacía
su uso muy atractivo cuando no había calculadoras ni computadoras. Algunas
personas en Inglaterra no las consideraban “dignas” y se referían a su uso como
“quick and dirty”. Hoy en día la situación se ha invertido en cierto sentido ya
que las instrucciones de sumas y divisiones se llevan a cabo muy rápidamente
en un computador, mientras que las de ordenar datos toman más tiempo.
6.2.5.
Mediana, mínimo y máximo
Si el tamaño N de la muestra x = [x0 , x1 , . . . , xN−1 ] es impar, con N = 2k + 1,
y por lo tanto k = [N−1]
2 , su mediana está dada por,
med (x) = x(k)
Similarmente, su mínimo y su máximo están dados por,
mı́n(x) = x(0)
máx(x) = xN−1
6.2. SISTEMAS NO LINEALES: LOS FILTROS L
6.2.6.
413
Algunas estadísticas L
Las estadísticas L son combinaciones lineales de las estadísticas de orden de
una muestra. Así, por ejemplo, el rango (“range”) y el midrango (“midrange”)
de la muestra x, definidos a continuación, son estadísticas L:
rango(x) := x(N−1) − x(0)
midrango(x) := 0,5(x(N−1) + x(0) )
Los cuasirangos (“quasiranges”) se definen así:
Qr::N (x) := x(N−r−1) − x(r)
6.2.7.
Notación vectorial para las estadísticas L
Resulta conveniente expresar las estadísticas L en notación matricial, como el producto, γxT donde el vector γ = [γ0 , γ1 , . . . , γN−1 ] es un vector de
coeficientes, y T indica vector transpuesto. Así, para N = 5, los vectores de
coeficientes para la mediana, el mínimo, el máximo, el rango y el midrango
están dados por,
estadística
mediana
mínimo
máximo
rango
midrango
promedio
vector de coeficientes
[0, 0, 1, 0, 0]
[1, 0, 0, 0, 0]
[0, 0, 0, 0, 1]
[−1, 0, 0, 0, 1]
[0,5, 0, 0, 0, 0,5]
[0,2, 0,2, 0,2, 0,2, 0,2]
414
6.2.8.
CAPÍTULO 6. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS
Estadísticas móviles o filtros de ventana móvil
Cuando se tiene una señal discreta (serie de tiempo en la jerga estadística) y
a partir de ésta se obtiene otra desplazando una ventana sobre la señal original
y escribiendo como valor de la señal de salida correspondiente a la coordenada
en la que la ventana está centrada el valor correspondiente a alguna estadística
aplicada a la muestra de los datos en la ventana, decimos que tenemos un
filtro de ventana móvil o una estadística móvil. Si m : R2k+1 → R1 es
la estadística en cuestión, x : R → C la entrada y y : R → C la salida, tenemos
que, para cada i entera, yi = m[xi−k , . . . , xi , . . . , xi+k ].
6.2.9.
Filtros L
Cuando se tiene un filtro de ventana móvil y la estadística en cuestión es un
estadística L, decimos que tenemos un filtro L, o filtro de estadísticas
de orden. Quizás el filtro L más conocido sea el filtro mediana que, como
el promedio móvil, se usa para buscar tendencias subyacentes en series de
tiempo en estadística.
El filtro mediana Con ventana de ancho 2k + 1 se puede implementar
como se muestra en la figura 6.1.
Ejercicio. Muestre que el filtro mediana cumple con la propiedad de homo-
geneidad.
Ejercicio. Dé un contraejemplo que ilustre el hecho que el filtro mediana no
cumple con la propiedad de superposición.
Ejercicio. Diga si el filtro mediana es un sistema lineal.
Ejercicio. Filtre la señal periódica {. . . , 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0 . . . } de periodo
6, con un filtro mediana de ancho de ventana tres, con uno de ancho de ventana
igual a cinco, y con uno de ancho de ventana igual a siete.
6.2. SISTEMAS NO LINEALES: LOS FILTROS L
415
Figura 6.1: Un filtro mediana tiene tres bloques principales: uno que toma segmentos de la
señal de entrada, otro que ordena los datos en los segmentos y otro que toma el valor ordenado
intermedio, o mediana
6.2.10.
Señales raíz
Los filtros no lineales son más difíciles de analizar, debido a que hay que
hacerlo caso por caso y no se tiene un volumen de conocimiento para ninguno
en particular, similar al que se ha acumulado para los filtros no lineales. La
caracterización de las señales que pasan sin sufrir alteración por un filtro, o
señales raíz del filtro, constituye una caracterización teórica importante de
un filtro no lineal. (En el caso de un filtro de convolución, las exponenciales
complejas con frecuencias para las que la función de transferencia del filtro
vale 1 + j0).
Tyan, Brandt y Longbotham han caracterizado las señales raíz del filtro
mediana. Como dijimos, una señal x = {xn } es una señal raíz (o señal invariante,
o señal idempotente) del filtro mediana si al filtrarla obtenemos nuevamente la
misma señal.
Las señales raíz del filtro mediana se pueden clasificar en dos conjuntos.
Uno contiene señales localmente monótonas con grado de monotonicidad local
igual al ancho de la ventana del filtro en cuestión. Por ejemplo, las señales
416
CAPÍTULO 6. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS
lomo-3 son señales raíz del filtro mediana con ventana de ancho 3. el otro
conjunto, contiene señales binarias y periódicas, no necesariamente localmente
monótonas. Tyan anotó en 1981 que las señales localmente monótonas eran
invariantes, posteriormente, Brandt y Longbotham, independientemente en
1987, indicaron la relevancia de los conjuntos de señales periódicas binarias. A
continuación damos ejemplos de señales periódicas binarias. Por simplicidad,
las señales tienen rango {0, 1} en todos los casos.
Ejemplo. La señal {. . . , 0, 1, 2, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 2, 1, 0, 0, . . . } es localmente monótona
de grado 3 y es señal raíz del filtro mediana de ventana de ancho 3.
Ejemplo. La señal {. . . , 0, 1, 0, 1, 0, . . . } es una señal raíz del filtro mediana con
ancho de ventana 5. Note que no lo es del de ventana de ancho 3.
Ejemplo. La señal {. . . , 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, . . . } de periodo 8, es señal raíz
del filtro mediana con ventana de ancho 7.
Ejemplo. La señal {. . . , 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, . . . } de periodo 7, es señal raíz
del filtro mediana con ventana de ancho 9.
6.3.
Invarianza y Causalidad
Los nombres de invarianza y de causalidad resultan de considerar la evolución de las señales en la variable tiempo. Hoy en día el dominio de una señal
no necesariamente se refiere a tiempo si no, por ejemplo a desplazamiento;
sin embargo, se sigue utilizando la misma terminología. Antes de definir las
propiedades, considere el uso de cierta notación para señales desplazadas.
Sea f : R1 → C una señal continua. Sea t un número real y sea g : R1 → C
la señal continua tal que, ∀t ∈ R1 g(t) = f (t − τ), decimos que la señal g es
una versión desplazada de la señal f y a denotamos como τ f . Usando esta
convención, 0 f = f y ∀t ∈ R1 g(t) = f (t − τ)
6.3. INVARIANZA Y CAUSALIDAD
417
Figura 6.2: La señal s y una versión desplazada τ s de ésta
Similarmente, para señales discretas, si r : Z → C, entonces .v r es la versión
de la señal r desplazada v unidades hacia la derecha, es decir, ∀n ∈ Z.v rn = rn−v .
6.3.1.
Invarianza
Se dice que el sistema continuo S es invariante si, ∀x ∈ CR , y ∀τ ∈ R,
S(τ x) =τ (S[x]), es decir
∀t ∈ R1
[S(τ x)](t) = [S(x)](t − τ)
Esta propiedad se ilustra en la figura 6.3.
Similarmente, para sistemas discretos, se dice que el sistema discreto S es
invariante si, ∀x ∈ CZ , y ∀v ∈ Z, S(v x) =v (S[x]), es decir
∀n ∈ Z [S(v x)]n = [S(x)]n−v
Ejercicio. Diga si el filtro RC pasa bajas de primer orden es invariante.
Ejercicio. Diga si el filtro promedio móvil es invariante.
Ejercicio. Muestre que el filtro mediana es invariante.
418
CAPÍTULO 6. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS
Figura 6.3: Si la señal de entrada a un sistema invariante se desplaza, la salida se desplaza en
la misma forma.
6.3.2.
Causalidad
Aunque la causalidad es un concepto bastante intuitivo, una definición
axiomática en teoría de sistemas quizás no sea obvia. El tema de la causalidad
ha sido considerado con frecuencia en filosofía, por ejemplo por Hume y por
Russell, y en la filosofía de la física cuántica.
Decimos pues, que el sistemas continua S es un sistema causal si el valor
de la salida y(t) = [S(x)](t), en t no depende de la entrada x(τ) para valores
de τ mayores que t. (Osea, el presente de la señal de salida depende solamente
del presente y el pasado de la señal de entrada y no del futuro de la señal de
entrada.) En símbolos, S es causal si:
∀x, u ∈ CR , ∀τ ∈ R 3 ∀t < τ x(t) = u(t) ⇒ ∀t < τ[S(u)](t) = [S(x)](t)
en palabras: el sistema S es causal si siempre que dos señales concuerden hasta
un cierto punto τ, las salidas correspondientes también concordarán hasta τ.
6.3. INVARIANZA Y CAUSALIDAD
419
Figura 6.4: Las tres señales mostradas x, y, z para t < τ, coinciden
Es claro que cualquier sistema clásico que evolucione en el tiempo, por
ejemplo un filtro RC será causal. En mecánica cuántica no es claro que todo
sistema sea causal. También, si el dominio de las señales no es el tiempo, no
hay razón para asumir a priori que el sistema sea causal.
Similarmente, el sistema discreto S es un sistema causal si siempre que 2
señales concuerden hasta n = v, las salidas correspondientes también concuerdan hasta n = v:
∀x, u ∈ CZ , ∀v ∈ Z 3 ∀n ≤ v xn = un ⇒ ∀n ≤ v[S(u)]n = [S(x)]n
la salida yn = [S(x)]n , evaluada en n no depende de la entrada xv , para valores
de v mayores que n.
Ejercicio. Diga si el filtro RC pasa bajas de primer orden es causal.
Ejercicio. Diga si el filtro promedio móvil es causal.
Ejercicio. Dé un ejemplo de un promedio móvil causal.
Ejercicio. Diga si el filtro continuo pasa bajas ideal es causal.
Más adelante en este capítulo daremos caracterizaciones alternas para la
causalidad de los sistemas de convolución.
420
6.4.
CAPÍTULO 6. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS
Estabilidad
Intuitivamente, un sistema es estable si siempre que la entrada no sea
demasiado grande, la salida tampoco lo es. Como se vio en el capítulo anterior,
el tamaño de las señales se mide utilizando las normas elepé: Lp y lp . Aquí nos
restringiremos al caso p = ∞.
El Estado de un sistema es un vector de señales correspondientes a varias
variables de un sistema (por ejemplo la corriente y el voltaje en el condensador
de un circuito RC serie), es decir, un estado es un elemento del producto
cartesiano de las magnitudes de interés de un sistema. cuando se estudian los
sistemas usando el concepto de estado, es útil definir la estabilidad del sistema
en términos de sensitividad a condiciones iniciales diciendo que dos estados
son lo suficientemente similares entonces la evolución del sistema a partir de
cada uno de estos también será similar. Esta idea tiene que ver con la llamada
estabilidad en el sentido de Liapunov y con la posible caoticidad de un sistema.
Otro tipo de estabilidad tiene que ver con el hecho de que un sistema pueda oscilar, es decir, producir una señal de salida periódica con entrada cero.
Normalmente esto es indeseable, cuando hay realimentaciones espurias. Para
sistemas de convolución, es posible predecir si esto sucederá conociendo la
posición de los polos de la función de transferencia en el plano complejo, usando la transformada de Laplace o la transformada zeta, respectivamente, para
sistemas contínuos y discretos. Un sistemas dinámico sin entrada (por ejemplo
un oscilador) se caracteriza con una ecuación de diferencia homogénea; en este
caso, con sistema estable, se quiere decir que las soluciones sean acotadas.
El tipo de estabilidad en el que estamos interesados aquí se conoce como
estabilidad EASA. Decimos que un sistemas es estable en el sentido entrada
acotada - salida acotada, o EASA (“BIBO”: “bounded input, bounded output”),
si para cada señal de entrada con norma ele-infinito, finita, la salida tiene
norma ele-infinito finita. Es decir, para cualquier señal de entrada acotada, la
salida es una señal acotada.
6.4. ESTABILIDAD
421
Quizás sea conveniente anotar que aunque normalmente un sistema inestable es indeseable, no siempre es así. Por ejemplo, la maniobrabilidad de un
avión puede incrementar notablemente bajo condiciones de inestabilidad. Lo
importante es poder predecir el resultado y que el sistema produzca la salida
deseada.
Ejercicio. Diga si el promedio móvil es estable en sentido EASA, o no.
Ejercicio. Dé un ejemplo de un sistema no estable.
Ejercicio. Se tiene un sistema discreto T el cual, para cada señal de entrada x,
produce la señal de salida T(x), x = {xn } y T(x) = {[T(x)n ]}. Si T está definida
como se indica en cada caso abajo, diga si T es:
Lineal
Causal
Invariante
Estable
1. [T(x)n ] = gn xn ¿Cómo dependen sus respuestas de g?
2. [T(x)n ] =
Pn
3. [T(x)n ] =
Pn+n0
k=n0
xk
k=n−n0
xk
4. [T(x)n ] = xn−n0
5. [T(x)n ] = ex n
6. [T(x)n ] = a · xn + b
422
6.5.
CAPÍTULO 6. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS
Sistemas homogéneos e invariantes
Es interesante considerar esta clase de sistemas, que incluye la clase de los
sistemas de convolución, debido a la interesante propiedad de que la respuesta
a una exponencial es un exponencial. Así, las exponenciales son las señales
propias de los sistemas homogéneos e invariantes.
6.5.1.
Caso discreto
Sea xn la entrada a un sistema discreto homogéneo e invariante, aunque no
necesariamente lineal (es posible que no cumpla con la propiedad de superposición). Suponga que la entrada es exponencial, de la forma xn = an . Sea yn
la respuesta correspondiente del sistema. Por ser invariante el sistemas, si se
aplica la entrada xn+1 = aan , la salida correspondiente será ahora yn+1 y como
el sistema es homogéneo, yn+1 = ayn , por lo tanto,
yn = y0 an
mostrando que la salida también es exponencial.
6.5.2.
Caso continuo
Sea x(t) = at la entrada a un sistema discreto homogéneo e invariante,
aunque no necesariamente lineal (es posible que no cumpla con la propiedad
de superposición). Sea y(t) la respuesta correspondiente del sistema. Por ser
invariante el sistema, si se aplica la entrada x(t + τ) = aτ at , por lo tanto,
y(t) = y0 at
mostrando que la salida también es exponencial.
6.6. SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN
6.6.
423
Sistemas de convolución
En esta sección se estudian los sistemas de convolución con cierto detalle,
a la luz de las propiedades definidas. La función característica del sistema
permite decir en forma inmediata si el sistema es causal y evaluando una
integral o una serie, si es estable en sentido EASA. Es fácil probar que los
sistemas de convolución son lineales e invariantes.
Es práctica común asumir que si un sistema es lineal e invariante, entonces
es representable con una convolución. Los casos de sistemas lineales e invariantes no representables con convolución se presentan cuando el sistema es
discontinuo en el sentido que el orden de ciertos límites no se puede cambiar.
Ejercicio. Demuestre que un sistema de convolución continuo es lineal.
Ejercicio. Demuestre que un sistema de convolución discreto es lineal.
Ejercicio. Demuestre que un sistema de convolución es continuo invariante.
Ejercicio. Demuestre que un sistema de convolución es discreto invariante.
Un sistemas de convolución queda completamente especificado cuando se
conocen su respuesta impulso o su respuesta escalón. Por lo tanto, debe ser
posible decir si el sistema es causal o no, si es estable o no, conociendo su
respuesta impulso o su respuesta escalón.
6.6.1.
Causalidad de un sistema de convolución
¿Cómo es la respuesta impulso de un sistema de convolución causal?
suponga que el sistema de convolución continuo S es causal. como S es lineal,
la respuesta a la señal cero, es la misma señal cero. Como asumimos que el
sistema es causal, la respuesta a una señal que sea cero con anterioridad a
tiempo cero; es también cero con anterioridad a tiempo cero. La señal escalón
424
CAPÍTULO 6. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS
es cero para tiempos menores que cero; como conclusión tenemos que la respuesta escalón de un sistema de convolución causal tiene que ser cero para
tiempos menores a cero. Por lo tanto la respuesta impulso, si existe, es cero
para tiempos menores que cero (la derivada de una constante es cero).
Para sistemas discretos, la situación es similar y el resultado es el mismo:
suponga que S es un sistema de convolución discreto; como S es lineal, la
respuesta a la señal cero es la señal cero, como la señal impulso discreta es cero
para instancias menores que cero y el sistema es causal, la respuesta impulso
es cero para instancias menores que cero.
Por lo tanto, si un sistema de convolución es causal, entonces su respuesta
escalón y su respuesta impulso son cero en la parte negativa de su dominio.
Si h(t) es la respuesta impulso de un sistema continuo de convolución causal,
entonces para t < 0, h(t) = 0. Si hn es la respuesta impulso de un sistema
discreto de convolución causal, para n < 0, hn = 0.
Conversamente, suponga que se tiene un sistema de convolución continuo
y que su respuesta escalón se anula en la parte negativa de su dominio. Sea e
una señal de entrada; la salida está dada entonces por,
Z ∞
r(t) =
e(t − τ)dg(τ)
−∞
Z τ=∞
=−
e(τ)dg(t − τ)
τ=−∞
como la respuesta escalón g(t) es cero para t < 0, se tiene que,
Z
r(t) = −
τ=t
τ=−∞
e(τ)dg(t − τ)
y, dados los límites de la integral, concluimos que la salida r para cada entrada
e, para cada tiempo t, solo depende de los valores que e tome con anterioridad
a t. Es decir, r sólo depende de la restricción de e al intervalo(−∞, t) de su
dominio. Por lo tanto, el sistema es causal.
6.6. SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN
425
Similarmente, si se tiene un sistema discreto de convolución cuya respuesta
impulso h se anula en la parte negativa de su dominio, para cada entrada x se
tiene la salida y está dada por
yn =
n
X
hn−k xk
k=−∞
de donde concluimos que la salida y para una instancia n, depende solamente
de la restricción de la entrada al intervalo / − ∞, n/; por lo tanto, el sistema es
causal.
Resumimos diciendo que un sistema de convolución con respuesta impulso
h es causal si y sólo si si función característica h (o en su defecto, la respuesta
escalón g) se anula en la parte negativa de su dominio.
6.6.2.
Estabilidad de un sistema de convolución
Suponga que se tiene un sistema de convolución continuo cuya respuesta
impulso h es integrable en magnitud, es decir, h ∈ L1 . Suponga que la señal de
entrada x es acotada y que su norma L∞ está dada por kxk∞ (y es finita). La
426
CAPÍTULO 6. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS
norma L∞ de la señal de salida y está dada por,
kyk∞ = sup{|y(t)| : t ∈ R1 }
Z ∞
h(τ)x(t − τ)dτ| : t ∈ R1 }
= sup{|
Z −∞
∞
|h(τ)x(t − τ)|dτ : t ∈ R1 }
≤ sup{
Z−∞
∞
= sup{
|h(τ)||x(t − τ)|dτ : t ∈ R1 }
Z−∞
∞
≤ sup{
|h(τ)|kxk∞ dτ : t ∈ R1 }
−∞
Z ∞
= sup{kxk∞
|h(τ)|dτ : t ∈ R1 }
Z−∞
∞
= kxk∞ sup{
|h(τ)|dτ : t ∈ R1 }
−∞
= kxk∞ khk1
<∞
En forma similar se puede mostrar que si se tiene un sistema de convolución
discreto, kyk∞ < kxk∞ khk1 , por lo tanto, si la respuesta impulso {hn } es sumable
en magnitud (i.e. si está en l1 ) y si la entrada es acotada (i.e. si está en l∞ )
entonces la salida está acotada y su norma ele-infinito es menor que el producto
de las normas ele-uno de h y ele-infinito de x.
Concluimos que, si la respuesta impulso de un sistema de convolución
tiene norma ele-uno finita, entonces el sistema es estable en sentido EASA.
Viceversa, suponga que se tiene un sistema de convolución continuo cuya
respuesta impulso no está en L1 , es decir, su norma ele-uno es infinita. Queremos mostrar que entonces podemos encontrar una señal de entrada acotada a
la que le corresponda una señal de salida no acotada.
Suponga primero que la integral de la respuesta impulso es infinita. En este
caso, la respuesta escalón no es acotada y por lo tanto el sistema es inestable.
6.6. SISTEMAS DE CONVOLUCIÓN
427
Por otra parte, si la integral de la respuesta impulso es finita, como el caso
de una función h(t) = u(t)senc (t) tenemos que la respuesta escalón acotada.
Similarmente, si la respuesta impulso tiene integral divergente (como en
el caso de una función seno), y la integral en magnitud infinita, queremos
encontrar una señal que tienda a infinito cuando t tiende a infinito.
No nos interesa una señal que tome el valor infinito ya que esta no sería
una función de los reales a los complejos. Una señal puede estar indefinida
en un conjunto finito de puntos, según dijimos en el capítulo 1. Así, lo que
necesitamos es una señal que diverja hacia infinito en un punto.
Por ejemplo, si la señal de entrada es la señal
1,
x(t) =
−1,
h(−t) ≥ 0
h(−t) < 0
entonces, la señal de salida y está dada por
Z ∞
y(t) =
h(τ)x(t − τ)dτ
Z−∞
∞
y(0) =
h(τ)x(−τ)dτ
Z−∞
∞
=
|h(τ)|dτ
−∞
= khk1
=∞
Conjetura 2. Un sistema de convolución con respuesta impulso no integrable en
magnitud no es estable EASA.
Ejercicio. Diga si es cierto que un sistema de convolución continuo es estable
EASA si y sólo si la la transformada unilateral de Laplace de su respuesta
escalón no tiene polos en el semiplano abierto derecho. Explique.
428
CAPÍTULO 6. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS
Ejercicio. Diga si es cierto que un sistema de convolución discreto es estable
EASA si y sólo si la transformada zeta de su función característica no tiene
polos en el círculo de radio 1 con centro en el origen. Explique.
6.7.
Sistemas lineales e invariantes
6.7.1.
Con dominio Lp , p ∈ [1, ∞)
6.8.
Representabilidad con convolución
Como se vio en la sección anterior, un sistema de convolución es lineal e
invariante. Inversamente, suponga que se tiene un sistema continuo S, lineal e
invariante. ¿Es S necesariamente representable con una convolución? Es decir,
si h es la derivada de la respuesta escalón del sistema, o función característica,
¿se tiene que para cada señal de entrada x, S(x) = x ∗ h?
6.8.1.
Sistemas discretos
Considere inicialmente un sistema discreto lineal e invariante. Sea δ la señal
impulso discreta y sea h la correspondiente respuesta impulso, es decir,
h = S(δ)
hn = [S(δ)]n
sea x = {xn } una señal de entrada arbitraria.
Sea .m δ la señal impulso desplazada m unidades y sea α una constante; así,
para cada n, [α(m δ)]n = αδn−m .
Note que toda la señal discreta se puede expresar como una serie de señales
6.8. REPRESENTABILIDAD CON CONVOLUCIÓN
429
Figura 6.5: La señal impulso discreta (o delta de Kronecker)
impulso desplazadas y pesadas:
x=
∞
X
i=−∞
xi .i δ
xn =
∞
X
xi [i δ]n
i=−∞
Ejemplo. Suponga que x es la señal mostrada en la figura 6.6.
Figura 6.6: Una señal discreta
La señal de la figura anterior se puede descomponer como una suma infinita
de señales impulso desplazadas y pesadas:
Suponga que el sistema es lineal en sentido amplio es decir que cumple con la
propiedad de convolución no sólo para sumas finitas de señales sino también
con respecto a series de señales, entonces, denotando y como la respuesta a la
430
CAPÍTULO 6. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS
Figura 6.7: La descomposición de la señal en la figura 6.6 como una suma de señales impulso
pesadas y desplazadas.
señal x.
y = S(x) = S(
=
∞
X
xi .i δ)
i=−∞
∞
X
xi S(i δ)
i=−∞
y si S es invariante,
y = S(x) =
∞
X
xi .i h
i=−∞
entonces, para cada número entero n,
y = S(x) =
∞
X
xi hn−i = x ∗ h
i=−∞
Lo anterior muestra que si un sistema discreto es invariante y lineal en
sentido amplio, entonces es representable por una convolución.
6.8. REPRESENTABILIDAD CON CONVOLUCIÓN
431
Ejercicio. Para un sistema de convolución con respuesta impulso como la
mostrada en la figura 6.8.
Figura 6.8: La respuesta impulso de un promedio móvil
1/3, n ∈ {−1, 0, 1}
hn =
0
n < {−1, 0, 1}
muestre que la salida r, para una entrada s, está dada por rn = (1/3)(sn−1 + sn +
sn+1 ).
6.8.2.
Sistemas contínuos
para sistemas contínuos lineales e invariantes la situación es más compleja
pero la conclusión es similar: con gran generalidad, los sistemas contínuos
lineales e invariantes, son representables con una convolución.
Suponga que se tiene un sistema continuo S, lineal e invariante, con respuesta escalón g(t). Sea u(t) la señal escalón, así, g(t) = [S(u)](t). Suponga que
se tiene una entrada que es una suma finita de señales escalón desplazadas:
e(t) =
N
X
ek [u(t − tk ) − u(t − tk+1 )]
k=−N
como se muestra en la figura 6.9. a este tipo de señales las llamaremos señales
simples. como el sistema es lineal e invariante, la respuesta correspondiente
432
CAPÍTULO 6. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS
Figura 6.9: Una señal “simple”
r = S(e) está dada por,
r(t) =
N
X
ek [u(t − tk ) − u(t − tk+1 )]
k=−N
y se puede observar que para señales de entrada simples, dada la linealidad
e invarianza del sistema se concluye que es de convolución ya que la suma
anterior es equivalente a una convolución de Stieltjes:
Z N
r(t) =
e(t − τ)dg(τ)
−N
Ejercicio. Demuestre la fórmula anterior.
¿qué sucede para señales de entrada más complejas? ¿ES suficiente saber
que S es lineal e invariante y conocer su respuesta escalón g para encontrar la
respuesta r?
Suponga que e es una función continua y de variación acotada que se anula
por fuera de [−T, T]: suponga también que g es de variación acotada. Dado un
número natural N ≥ 2, decimos que la función
"
#
N−1
X
(k + 1)T
kT
eN (t) =
e( ) u(t kT ) − u(t −
)
N
N
N
k=−N
6.8. REPRESENTABILIDAD CON CONVOLUCIÓN
433
es una función simple de orden N que aproxima a e(t). El límite de eN (t) cuando
N tiende a infinito es e(t) (¿Por qué?). Por lo tanto, la respuesta del sistema a
e(t) está dada por
r(t) = S lı́m eN (t)
N→∞
si el sistema es continuo en el sentido de poder conmutar la operación límite
con S,
r(t) = lı́m S [eN (t)]
N→∞
= lı́m
N→∞
N−1
X
k=−N
"
#
(k + 1)T
kT
)
e( ) u(t kT ) − u(t −
N
N
N
ya que S es lineal e invariante. Nuevamente tenemos que
τ=T
Z
r(t) = −
τ=∞
Z
r(t) =
τ=−T
τ=−∞
e(τdg(τ))
e(t − τ)dg(τ)
que es una convolución.
Ejercicio. Sea Σ el espacio de las señales que son límites de señales simples.
¿Es L1 un subconjunto de Σ?
6.8.3.
El teorema de representación de Riesz y su relación con
los sistemas contínuos
El teorema en cuestión dice que un funcional f : RC[a,b] → R es lineal si y
sólo si es representable en la forma
b
Z
f (g) =
g(τ)dλ(τ)
a
434
CAPÍTULO 6. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS
donde λ es una función de variación acotada y g : [a, b] → R es continua.
Entonces, para señales de entrada contínuas de duración finita y con duración contenida en el intervalo [a, b], tenemos que un sistema es lineal si y
sólo si es representable así:
Z b
[ f (g)](t) =
g(τ)dλ(τ, t)
a
donde la restricción de λ : [a, b] × R → R a λ(·, t), para cada t, es de variación
acotada.
Conjetura 3. El resultado anterior es válido si las señales de entrada no son de
duración finita.
6.9.
Sistemas de Volterra
Los sistemas de Volterra1 son sistemas invariantes no-lineales. No todo
sistema invariante no-lineal es un sistema de Volterra, en particular, el filtro
mediana es un sistema invariantes o-lineal que no es un sistema de Volterra.
Para que un sistema sea un sistemas de Volterra se necesita que cumpla ciertas
condiciones de diferenciabilidad.
6.9.1.
Sistemas de Volterra discretos
Suponga que g es una función de RL+1 a R1 la cual tiene extensión en series
de Taylor alrededor del origen [0, 0, . . . , 0] de RL+1 . Si y = S(x), y para cada n,
yn está dada por yn = g(xn , xn−1 , . . . , xn−L ) entonces
yn = h0 +
L
X
i=0
1 Vito
h1i xn−i +
L X
L
X
i=0 j=0
h2i j xn−i xn− j +
L X
L X
L
X
h3i jk xn−i xn− j xn−k + · · ·
i=0 j=0 k=0
Volterra fue un matemático italiano de comienzos del siglo 20 que hizo aportes importantes a la teoría del análisis funcional
6.10. PROBLEMAS
435
Esta representación se conoce como una serie de Volterra. Los coeficientes
h0 , h1i , h2ij , etc. son los coeficientes de Volterra del sistema.
Ejercicio. Suponga que se tiene un sistema de convolución T con respuesta
impulso dada por h0 = 1, h1 = 2, h2 = 1 y hn = 0 para n < /0, 2/. Suponga que
la salida de este sistema se pasa por un sistema U que eleva al cuadrado, es
decir, si z = U(y), entonces, para cada n, zn = (yn )2 . Sea z = S(x) = U(T(x)).
Encuentre los coeficientes de Volterra del sistema S = UT.
6.10.
Problemas
1. Se tiene un sistema discreto causal que cumple con la ecuación de diferencia yn = (1/2)yn−1 + xn , donde x es la entrada y y la salida. Encuentre
la función de transferencia del sistema.
2. Se tiene un sistema continuo el cual, para cada señal de entrada e(t)
Rt
produce la señal de salida s(t) = −∞ e(τ)dτ. Diga si el sistema es estable.
Si sí, demuestre, si no, dé un contraejemplo.
3. Se tiene un sistema discreto rango móvil con ventana de ancho tres.
La relación entrada-salida está dada por, yn = rango{xn−1 , xn , xn+1 } =
máx{xn−1 , xn , xn+1 } − mı́n{xn−1 , xn , xn+1 }. Diga si el sistema es estable y si
es invariante. en cada caso, si sí, demuestre, si no, dé un contraejemplo.
4. Se tiene un sistema continuo que produce a la salida la señal s(t) dada
R∞
por s(t) = −∞ e−|t−2τ| r(τ)dτ cuando la entrada es la señal r(t).
a) Encuentre la salida correspondiente a la entrada u(t).
b) Encuentre la salida correspondiente a la entrada u(t − 10).
c) Diga si el sistema es estable. (Demuestre o dé un contraejemplo.)
d) Diga si la señal es lineal. (Demuestre o dé un contraejemplo.)
436
CAPÍTULO 6. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS
e) Diga si el sistema es estable. (Demuestre o dé un contraejemplo.)
f ) Diga si el sistema es de convolución.
5. Se tiene un sistema de convolución continuo con respuesta impulso dada
por h(t) = (1 − e−t )u(t). Diga si el sistema es causal y si es estable. En cada
caso, argumente o dé contraejemplo.
6. Se tiene un sistema continuo con entrada e(t) y salida s(t), relacionadas
por,
Z ∞
1
e(τ)dτ
s(t) =
1
+
(t
− 2τ)2
−∞
a) Diga si el sistema es lineal.
b) Diga si es invariante.
c) Diga si es de convolución.
d) Diga si es causal.
e) Diga si es estable EASA.
7. Se tiene un sistema continuo con entrada e(t) y salida s(t), relacionadas
R∞
por, s(t) = −∞ h(t, τ)e(τ)dτ donde h es una función de R2 → C.
a) Muestre que el sistema es lineal
b) Dé condiciones que deba cumplir h para que el sistema sea:
1) Estable en sentido EASA.
2) Causal.
3) Invariante.
4) De convolución.
8. Se tiene un sistema de convolución continuo con respuesta escalón g(t) =
tu(t).
6.10. PROBLEMAS
437
a) Diga si es estable (muestre o dé contraejemplo).
b) Diga si es causal (muestre o dé contraejemplo).
9. Se tiene un sistema causal discreto donde la salida {yn } y la entrada {xn }
están relacionadas así: yn = máx{xn−1 , xn , xn+1 } − mı́n{xn−1 , xn , xn+1 }
a) Diga si el sistema es lineal.
b) Diga si es invariante.
c) Encuentre la respuesta impulso del sistema.
10. Se tiene un sistema continuo con relación entrada/salida dada por, s(t) =
R∞
e(τ)h(t, τ)dτ si h(t, τ) = e−|t−5τ| .
−∞
a) Grafique h(t, τ) contra τ para t = 1 y t = 10.
b) Diga si es causal (muestre o dé contraejemplo).
c) Diga si es invariante (muestre o dé contraejemplo).
d) Diga si es lineal (muestre o dé contraejemplo).
e) Diga si es estable EASA (muestre o dé contraejemplo).
11. Se tiene un sistema que, para cada entrada s(t), produce la señal de salida
R∞
r(t) = −∞ h(t, τ)s(τ)dτ donde h(t, τ) = th1 (τ) + (1 − t)h2(t) y h1 (τ) = (1 − e−τ )
y h1 (τ) = (1 − e−2τ ).
12. Dé la definición de sistema causal. muestre que si un sistema de convolución continuo tiene respuesta escalón g(t) nula para t < 0, el sistema
es causal.
13. Se tiene un sistema discreto, con entrada x, y salida y, que cumple con
las siguientes condiciones:
a) yn = xn − 0,5yn−1
438
CAPÍTULO 6. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS
b) Esta relación se puede iterar hacia atrás y es válida en el límite:
yn = xn − 0,5xn−1 + 0,25yn−2
= xn − 0,5xn−1 + 0,25xn−2 − 0,125yn−3 = . . .
c) Cada salida tiende a cero cuando n tienda a −∞. Diga si el sistema
es de convolución.
Referencias
[1] “Digital Signal Processing”. A. V. Oppenheim y R.W. Shafer.
Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1975.
[2] “Mathematical Analysis”. T.M. Apostol. 2nd Ed. AddisonWesley, Reading, 1974.
[3] “Fourier Series”. G.P. Tolstov. Dover, N.Y., 1962.
[4] “Almost Periodic Functions”. H. Bohr. Chelsea, N.Y., 1947.
[5] “Sobre la periodicidad de sumas de señales discretas periódicas”. A. Restrepo y L. Chacón. Memorias del simposio de
Tratamiento de Señales, Imágenes y Visión Artificial, Universidad de los Andes, Bogotá, 1995.
[6] “On the period of sums of discrete periodic signals”. A. Restrepo y L. Chacón. IEEE Signal Processing Letter, vol. 5, No. 7, pp.
164-166, 1998.
[7] “Análisis de Fourier”. J. Duoandikoetxea. Addison- Wesley,
Wilmington, 1995.
[8] “Fourier Analysis”. T.W. Körner. Cambridge University Press,
Cambridge, 1998.
439
440
REFERENCIAS
Nuevo
en cap V
FILTROS DISCRETOS
FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE SEÑALES Y
SISTEMAS
Por: Alfredo Restrepo Palacios, Ph. D.
Este libro puede ser usado como texto para el curso básico de un semestre en
Teoría de Señales, que se ve en las carreras de Ingeniería Eléctrica y Electrónica.
El enfoque es axiomático, por lo que también es un buen libro de referencia.
Es bastante autocontenido: se repasan varios conceptos de cálculo, la integral de Riemann-Stiletjes, las normas Lp . Aunque el libro comienza con los
fundamentos necesarios, es recomendable cierta madurez; así, es recomendable haber visto cálculo diferencial e integral y variable compleja.
El libro está diseñado para estudiantes de pregrado de ingeniería o física
que estén interesados en adquirir los conceptos básicos para la representación
y tratamiento de las señales en el dominio de la frecuencia de Fourier. Es
posible también que un estudiante de matemáticas quiera ver aplicaciones
que le permitan generar intuición para varias definiciones.
El tema que más se desarrolla es el análisis de Fourier. Se consideran cuatro
casos: series de Fouries para señales continuas periódicas, transformada de Fourier
para señales continuas integrables en magnitud, transformada de Fourier en
tiempo discreto para señales discretas sumables en magnitud, sumas de Fourier o
DFT tanto para señales discretas de longitud finita como para señales discretas
periódicas.
El siguiente tema en extensión es el de los sistemas de convolución, que
son los sistemas más importantes en el enfoque clásico para este curso. Se hace
énfasis en que las exponenciales complejas son eigenfunciones o funciones
propias de los sistemas de convolución.
También se consideran sistemas no lineales donde el análisis de Fourier
es poco útil. Se dan definiciones de invarianza y causalidad de sistemas, en
general, sin restringirlas a sistemas de convolución inicialmente.
El enfoque tomado es matemático, lo cual redunda en precisión y en generalidad. Se dan ejemplos resueltos así como ejercicios y problemas al final de
cada capítulo. Un aspecto en el que este curso se diferencia de la mayoría de
los cursos introductorios de señales es que se ha evitado el uso de funciones
delta de Dirac, para el caso continuo. Para esto, se usa la respuesta escalón de
los sistemas de convolución continuos, la integral de Riemann-Stieltjes y las
series de Fourier.
El profesor Restrepo es Ingeniero Electrónico de la Pontificia Universidad
Javeriana, MSc. y Ph.D. de la Universidad de Texas en Austin y, actualmente, es
profesor investigador en el departamento de Ingeniería Eléctrica y Electrónica
de la Universidad de los Andes, en Bogotá. Sus áreas de investigación incluyen
el tratamiento no lineal y estadístico de señales.
Índice de figuras
1.
2.
3.
4.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
Una relación simétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
El producto cartesiano de A y A
Para una relación reflexiva R, la diagonal de A × A debe estar en R
Transitividad. Si ψ está relacionada con δ y δ con χ entonces ψ está relacionada
con χ
5.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
10
12
14
15
16
16
18
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Clasificación de conjuntos según su cardinalidad . . . . . . . . . . . . . .
Cada línea representa un número racional . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
32
37
. . . . . . . . . . . . .
Diagrama de una función con dominio A y rango B . . .
f es una sobreyección de A en B, pero no una inyección .
f es una inyección de A en B, pero no es sobreyectiva . .
Una biyección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Un ordenamiento circular para {0, 1, 2} . . . . . . . . .
Un orden parcial, no conectado
.
.
.
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.
.
Una inyección del conjunto de los números pares al conjunto de los números
naturales
13.
14.
15.
Un triángulo rectángulo: si x = y y l es una unidad de longitud tal que x = nl y
y = nl con m, n ∈ Z, para ninguna p ∈ Z se tiene que n = pl
16.
9
A la izquierda, relación conectada. A la derecha, una de corrimiento circular:
para cada fila y cada columna hay por lo menos un elemento de relación
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
7
8
9
. . . . . . . . . .
Los puntos indicados hacen parte de la clase de equivalencia de x . . . . . . .
443
40
51
17.
18.
kxk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
El intervalo de
S1
de radio con centro en [x], corresponde a una colección
. . . . .
La solución gráfica de las raíces reales de una cúbica . . . . . .
El modelo de coordenadas rectangulares: el producto R1 × R1 .
El modelo de coordenadas polares:(0, ∞) × S1 ∪ {θ} . . . . . . .
El modelo geométrico cono para las coordenadas polares . . . .
El modelo geométrico cono para las coordenadas polares . . . .
infinita de intervalos de la línea de los números reales
19.
20.
21.
22.
23.
24.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La fase de z es igual a la fase de −z más (o menos) π . . . . .
Una forma de definir la función arctan: con rango (−π/2, π/2) .
Ilustración de la fórmula ||z| − |w|| ≤ |z − w| . . . . . . . . . .
Representación geométrica del producto complejo . . . . . .
.
.
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.
.
52
57
59
60
60
61
.
.
.
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.
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63
64
66
66
67
Representación geométrica del inverso multiplicativo, el inverso aditivo y el
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
La proyección estereográfica de x ∈ S1 − (π/2] es p(x) ∈ R1 . . . . . . . . . . 69
La proyección estereográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Transformaciones de Möbius 1 (COMO LE PONEMOS A ESTA GRÁFICA) . . 72
Transformaciones de Möbius 2 (COMO LE PONEMOS A ESTA GRÁFICA) . . 73
Orden para productos elementales positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
s es una sucesión unilateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
La sucesión a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Función para definir una métrica en S1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
No tiene epígrafe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
El criterio de la integral para mostrar divergencia . . . . . . . . . . . . . . 96
El criterio de la integral para mostrar convergencia . . . . . . . . . . . . . . 96
No tiene epígrafe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
No tiene epígrafe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
conjugado
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
.
.
.
.
.
.
Equivalencia geométrica de las representaciones polar y rectangular de los
números complejos
25.
26.
27.
28.
29.
52
43.
44.
45.
46.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
n
Las funciones x para n = 1, 2, 4, 6 y la función límite . . . . . . . . . . . . . 103
Gráfica de la función x
El intervalo ](3, 4), (2, 3)[ de R2
En la definición de límite, los puntos del intervalo J, con la posible excepción
de a, tienen imágenes dentro del intervalo I; en el caso de la definición de
47.
48.
49.
50.
51.
52.
. . . . . . . . . . . .
La ecuación de la tangente está basada en la función lineal λ(x) = f 0 (x)(t − x) .
El ángulo con vértice z0 y el ángulo con vértice f (z0 ) son iguales . . . . . .
El conjunto {(n, k) ∈ N × N; k ≤ n} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Una función escalón desplazada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Teorema fundamental del cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Promedio de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
104
108
109
114
120
122
124
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
1.10.
1.11.
1.12.
1.13.
1.14.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Una señal discreta de longitud finita . . . . . . . . . . . . . . .
Una señal continua. (La función correspondiente no es continua) . .
Una función del conjunto 4 al conjunto de los números reales . . . .
Una señal discreta con rango complejo . . . . . . . . . . . . . .
Un sistema es una función entre conjuntos de señales . . . . . . .
Representación de un sistema como una “caja negra” . . . . . . .
La señal de voltaje h se aplica a una resistencia de un ohmio . . . .
Gráfica 1t , √1 , t12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
t
La señal cos 5πt para t ∈ [−0,1, 0,6] . . . . . . . . . . . . . . . .
La señal de la figura anterior, en valor absoluto . . . . . . . . . .
La señal dela figura anterior, al cuadrado . . . . . . . . . . . . .
Tubo de rayos catódicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La señal | sen(t)| y una onda triángulo F(t) . . . . . . . . . . . . .
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149
153
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157
158
160
160
166
167
168
168
169
171
173
continuidad, la imagen de J es un subconjunto de I
Obtención de una señal
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2.1. Circuito RL serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
2.2. Respuesta escalón del circuito de la figura 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 179
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
2.9.
2.10.
2.11.
2.12.
2.13.
. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Las señales e y h a ser convolucionadas . . . . . . . . . .
Para calcular s(1) es necesario multiplicar h(τ) y e(1 − τ) . .
El valor de s(1) es el área sombreada . . . . . . . . . . .
g= f ∗h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Una señal con salto en t = 0 . . . . . . . . . . . . . . .
Un sistema de convolución . . . . . . . . . . . . . . . .
Circuito RC pasa bajas de primer orden . . . . . . . . . .
Circuito RC pasa altas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Las señales discretas f y g a ser convolucionadas
g2−k
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182
182
185
186
187
187
189
191
192
197
La respuesta escalón de un sistema de convolución. Note que así como un RC
2.14.
2.15.
2.16.
2.17.
2.18.
. . . . . . . . . . . . .
Circuito RC pasa bajas e primer orden en el plano s .
Dos sistemas de convolución en cascada . . . . . .
Un circuito RLC pasa banda de segundo orden . . .
Respuesta escalón . . . . . . . . . . . . . . . . .
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199
202
204
209
209
210
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
3.11.
3.12.
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
Una señal con periodo 3, otra con periodo 4 y su suma .
Las señales sen t, 1/2 sen 2t y su suma . . . . . . . . .
La señal g(t) = sen t + sen πt . . . . . . . . . . . . .
La señal sen t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La señal cos t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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216
220
221
221
225
226
230
230
231
232
235
pasa altas, la respuesta escalón de este sistema no es diferenciable.
La señal impulso discreta
Obtención de una señal
Una señal discreta con periodo 3.
Representación de sen t + cos 2t en el dominio de la frecuencia de Fourier
. . . . .
. . . . . .
Onda triángulo de frecuencia 60, con nivel DC de 6 voltios . .
La señal senc enmascarada, SE4 (x), de orden 4 . . . . . . . .
Una onda cuadrada con periodo 2π y nivel DC cero
Onda cuadrada con periodo 1/60 y nivel DC de 6V
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3.13.
3.14.
3.15.
3.16.
3.17.
3.18.
3.19.
3.20.
3.21.
3.22.
3.23.
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.
4.9.
. . . . .
. . . . . . . . . . . .
La suma parcial señales sen t + 1/3 sen 3t . . . . . . . .
La suma parcial señales sen t + 1/3 sen 3t + 1/5 sen 5t . . .
.
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.
La suma de los tres números complejos mostrados es cero .
Una señal periódica discreta . . . . . . . . . . . . . . .
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b. El resultado de agregar intervalos nulos entre periodos .
c. el resultado en el límite. . . . . . . . . . . . . . . . .
Pulsos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Una señal pulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La función senc x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . .
La función 1 − |Ω|
r para varios valores de r . . . . . . . . .
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Las señales sen t, 1/3 sen 3t, 1/5 sen 5t, 1/7 sen 7t
La suma parcial señales sen t + 0
.
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.
.
La suma parcial señales sen t + 1/3 sen 3t + 1/5 sen 5t + 1/7 sen 7t
. . . . . . . .
La onda triángulo par de periodo 2π . . . . . . . . .
Onda sierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Señal generada por la máquina de Michelson
Dos señales periódicas con periodo 2π
a. Una señal periódica
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236
236
236
237
237
239
239
240
243
245
249
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259
259
259
261
264
266
271
274
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276
281
283
284
285
285
286
287
289
Sistema básico de modulación y demodulación DSB. (No se incluyen filtros ni
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Representación en tiempo y en frecuencia de un sistema de convolución . .
Descomposición espectral de un rayo de luz . . . . . . . . . . . . . . .
La función de transferencia de un pasa bajas ideal . . . . . . . . . . . .
Esta señal se aplica al filtro pasa bajas ideal . . . . . . . . . . . . . . .
Transformada de Fourier de la señal en la figura anterior . . . . . . . . .
Falta epígrafe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
NO TIENE EPÍGRAFE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
amplificadores.)
4.10.
4.11.
4.12.
4.13.
4.14.
4.15.
4.16.
4.17.
.
.
.
.
Un sistema de convolución
.
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.
.
4.18. La respuesta de un sistema de convolución a una sinusoide, es una sinusoide
de la misma frecuencia, o la señal cero si H(Ω0 ) = 0 . . . . . . . . . . . . .
4.19. Onda triángulo con rectificación de media onda . . . . . . . . . . . . . . .
4.20. Una onda cuadrada y su espectro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.21. Función de transferencia de un pasa bajas ideal . . . . . . . . . . . . . . .
4.22. Espectro de la suma de dos señales coseno y un nivel DC . . . . . . . . . . .
4.23. La señal 0,5 sen(t) + 1/3 sen(3t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.24. Filtro RC pasa bajas de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.25. La parte real de la función de transferencia del pasa bajos RC con RC=1 . . . .
4.26. La parte imaginaria de la función de transferencia del pasa bajos RC con RC=1
4.27. La magnitud de H(Ω) = 1+1jΩ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.28. La fase de H(Ω) = 1+1jΩ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.29. Un pasa altas es la identidad menos un pasa bajas . . . . . . . . . . . . . .
4.30. respuesta escalón del pasa altas de primer orden . . . . . . . . . . . . . . .
4.31. La respuesta en la figura anterior es equivalente a la suma de un escalón y el
293
293
294
294
295
295
295
296
297
297
298
300
301
301
4.32. a. Señal de entrada b. Señal de salida del filtro ideal c. Señal de salida del filtro RC 304
4.33. Do=C (261.626Hz), Re=D (293.665Hz), Mi=E(329.628Hz), Fa=F (349.228Hz),
Sol=G (391.995Hz), La=A (440.0Hz), Si=B (493.883Hz) . . . . . . . . . . . . 307
4.34. Representación en decibeles de la función de transferencia . . . . . . . . . . 310
4.35. La magnitud y la fase de un pasa todo con fase lineal . . . . . . . . . . . . . 311
4.36. Un pasa todo con fase no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
4.37. a) La señal de entrada. b) La señal de salida (alteración de la forma de onda) . 313
4.38. Onda triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
4.39. Espectro de la señal s(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
4.40. Espectro de la señal modulada f (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
4.41. Espectro de la señal h(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
4.42. Espectro de la señal resultante b(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
4.43. Modulación SSB usando la transformada de Hilbert . . . . . . . 321
negativo de la respuesta escalón de un pasa bajas de primer orden, que no salta
4.44.
4.45.
4.46.
4.47.
4.48.
4.49.
4.50.
4.51.
4.52.
4.53.
4.54.
4.55.
4.56.
4.57.
4.58.
4.59.
4.60.
4.61.
4.62.
4.63.
4.64.
4.65.
Modelo de un polo de un amplificador operacional realimentado
. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Una onda cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Respuesta del circuito RC a una onda cuadrada . . . . . . . . . .
.
.
.
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.
.
.
323
324
325
326
Gráfica de la relación de los voltajes pico a pico de entrada y salida del circuito RC 328
Respuesta estable para T << τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
Respuesta estable para T >> τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
Señal periódica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
Circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
Magnitud y fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
Rectifivador de media onda y pasabajas RC . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
Pasabajs RC con frecuencia de corte 1Hz y entrada con nivel DC . . . . . . . 333
Señal triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
La convolución de dos pulsos es un triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . 333
Pasa-altas = identidad - pasabajas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
Problema 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
La señal mostrada se filtra con el sistema de convolución . . . . . . . . . . . 335
Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
Onda cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
Circuito impedancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
Señal de entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
5.6.
5.7.
La función 1 + 2 cos ω
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La fase de la función 1 + 2 cos ω. Como π = −π, la función también es impar .
La respuesta impulso de un promedio móvil . . . . . . . . . . . . . . .
La respuesta impulso de un promedio móvil causal . . . . . . . . . . . .
En los dos casos se ha sombreado el área sobre un periodo . . . . . . . . .
La circunferencia de Fourier para señales discretas . . . . . . . . . . . . .
.
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.
.
.
.
Circuito RC pasa bajas
La magnitud de la función 1 + 2 cos ω
.
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.
349
350
350
352
353
354
355
5.8. Una señal con periodo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9. Una señal discreta, con frecuencia 0 y periodo 1 . . . . . . . . . . . . . . .
5.10. Las distancias correspondientes a las variaciones promedio de
0
las exponenciales complejas e jωo n y e jωo n . . . . . . . . . . . . . .
5.11. Pasa bajas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.12. Pasa altas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.13. Pasa bandas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.14. Un sistema de convolución con respuesta impulso h . . . . . . . . . . . . .
5.15. Las representaciones en tiempo y frecuencia de un sistema de convolución . .
5.16. La respuesta impulso de un promedio móvil con ancho de ventana igual a tres .
5.17. Magnitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.18. Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.19. Diagrama de polos y ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.20. Magnitud de H(ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.21. Una señal de longitud finita N = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.22. Los términos rm si−m a ser sumados, para computar ui . Note el eje m . . . . . .
5.23. Las señales rn y sn , y las correspondientes extensiones periódicas r̃k y s̃2−k ,
necesarias para el cálculo de u2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.24. La suma de una señal par y una impar . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.25. La restricción de una señal discreta a ω ∈ [0, π]. a. es suficiente para reconstruir
355
356
357
357
358
358
359
360
361
361
362
364
364
368
372
373
376
la transformada en [−π, π]. b. ya que ésta es par y, para cada ω real. c. ya que es
. . . . . . . . . . . . . . .
5.26. Las Xk ’s son muestras a escala de S(ω) . . . . . . . .
5.27. La transformada de una señal continua . . . . . . . .
5.28. La transformada de la señal muestreada correspondiente
5.29. Una señal discreta de duración finita . . . . . . . . .
5.30. Las señales g0 senc (t), g1 senc (t − 1) y g2 senc (t − 2) . . .
5.31. La señal f (t) = g0 senc (t) + g1 senc (t − 1) + g2 senc (t − 2)
5.32. Serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
periódica con periodo 2π
.
.
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378
381
384
384
387
387
388
390
5.33.
5.34.
5.35.
5.36.
5.37.
5.38.
. . .
. . . . . . . . . . . .
Suma de Fourier . . . . . . .
DFT . . . . . . . . . . . .
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Dos señales discretas de longitud finita .
Un filtro de retardo . . . . . . . . . .
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390
391
391
391
398
400
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6.2. La señal s y una versión desplazada τ s de ésta . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3. Si la señal de entrada a un sistema invariante se desplaza, la salida se desplaza
en la misma forma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4. Las tres señales mostradas x, y, z para t < τ, coinciden . . . . . . . . . . . .
6.5. La señal impulso discreta (o delta de Kronecker) . . . . . . . . . . . . . . .
6.6. Una señal discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7. La descomposición de la señal en la figura 6.6 como una suma de señales impulso
pesadas y desplazadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8. La respuesta impulso de un promedio móvil . . . . . . . . . . . . . . . .
6.9. Una señal “simple” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
415
417
Transformada de Fourier
DTFT
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6.1. Un filtro mediana tiene tres bloques principales: uno que toma segmentos de la
señal de entrada, otro que ordena los datos en los segmentos y otro que toma el
valor ordenado intermedio, o mediana
418
419
429
429
430
431
432
Índice de cuadros
1.
2.
3.
4.
. . . . . .
.
2π
4π
j 2π0
j
j
Complete la tabal mostrada e = e 3 , f = e 3 , g = e 3 . . . . . . . . . . .
La tabla de los cuaterniones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La tabla de una opración posible entre los elementos de {a, b, c, d}
La tabla de una operación entre los elementos del conjunto finito α, β, γ, δ, .
.
.
.
20
21
22
23
1.1. Integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
2.1. La señal g2−k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
4.1. Relación natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
452
