Integración numérica

Integración numérica
Cálculo numérico
10 de mayo, 2011
Uno de los problemas básicos en análisis numérico es calcular aproximaciones para la integral
Z b
f (x) dx
(1)
I(f ) =
a
de una función continua f : [a, b] → R.
Existen diversas situaciones en las cuales el teorema fundamental del cálculo no es de utilidad
para obtener (1) en forma cerrada. Por ejemplo, cuando f no está disponible en forma analı́tica,
es decir cuando solamente podemos obtener valores de f para un número finito de valores de x; tal
es el caso en el que los valores de f se obtienen mediante experimentos de laboratorio, o realizando
simulaciones computacionales.
Los algoritmos de integración numérica se basan, prácticamente en su mayorı́a, en hacer particiones finitas del intervalo [a, b]. Entonces la integral (1) se estima como la suma de las aproximaciones en cada subintervalo [xi , xi+1 ] definidas como
(xi+1 − xi )fi = hi fi ,
en donde fi se obtiene mediante fórmulas o reglas llamadas cuadraturas. Las cuadraturas más
elementales son la regla del trapecio y la regla del rectángulo, en donde fi se calcula como sigue
(xi+1 + xi )
,
2
f (xi+1 ) + f (xi )
.
2
fiT = f (yi ),
fiR =
yi =
Las reglas compuestas asociadas consisten en sumar las aproximaciones en cada subintervalo, por
lo tanto
R(f ) =
T (f ) =
n−1
X
i=0
n−1
X
i=0
f (yi )hi ,
f (xi+1 ) + f (xi )
hi
2
son las reglas compuestas del rectángulo y del trapecio respectivamente.
En esta sección vamos a estudiar el error de aproximación de las reglas anteriores. Es decir
trataremos de obtener cotas para las cantidades
|I(f ) − R(f )|,
|I(f ) − T (f )|.
1
Consideraremos n + 1 nodos en el intervalo [a, b], en donde x0 = a y xn = b. Denotaremos por
paneles a los subintervalos de la forma [xi , xi+1 ].
La herramienta de análisis será la serie de Taylor de f con centro en yi , el punto medio del
panel [xi , xi+1 ],
1
1
(2)
f (x) = f (yi ) + (x − yi )f ′ (yi ) + (x − yi )2 f ′′ (yi ) + · · · + (x − yi )4 f iv (yi ) + O(h5i ),
2
4!
para lo cual requeriremos que f sea 5 veces continuamente diferenciable en el intervalo [a, b].
De la expresión anterior es fácil observar que la integral de f en el i-ésimo panel está dada por
Z xi+1
1
1 5 iv
f (x) dx = hi f (yi ) + h3i f ′′ (yi ) +
h f (yi ) + · · · + O(h6 ),
(3)
24
1920 i
xi
y que por lo tanto que el término dominante de error en la regla rectangular es de orden cúbico. El
error total en la regla rectangular es la suma de los errores en cada panel
1 X 3 ′′
hi f (yi ),
E=
24
n
(4)
i=1
de donde se puede concluir inmediatamente que |E| = O(h2 ), h = max{hi , i = 0, 1, . . . , n − 1}.
Consideremos el análisis de la regla trapezoidal, ahora necesitamos los valores de f en xi y xi+1
respectivamente
1
1
1
1 4 iv
f (xi ) = f (yi ) − hi f ′ (yi ) + h2i f ′′ (yi ) − h3i (yi )f ′′′ (yi ) +
h f (yi ) + · · ·
2
8
48
384 i
1
1
1
1 4 iv
f (xi+1 ) = f (yi ) + hi f ′ (yi ) + h2i f ′′ (yi ) + h3i (yi )f ′′′ (yi ) +
h f (yi ) + · · ·
2
8
48
384 i
combinando estas expresiones se obtiene
1
1 4 iv
f (xi+1 ) + f (xi )
= f (yi ) + h2i f ′′ (yi ) +
h f (yi ) + · · ·
2
8
384 i
Combinando (5) con el desarrollo de la integral (3) tenemos
Z xi+1
f (xi+1 ) + f (xi )
1
1 5 iv
f (x) dx =
hi − h3i f ′′ (yi ) −
hi f (yi ) + · · ·
2
12
480
xi
(5)
(6)
Por lo tanto el error en la regla trapezoidal, en cada panel, es de orden cúbico. El error total es
−2E, es decir dos veces el error obtenido en la regla rectangular.
Si definimos la cantidad
n−1
1 X 5 iv
hi f (yi )
F =
1920
i=0
entonces obtenemos el resultado siguiente
I(f ) = R(f ) + E + F + · · ·
= T (f ) − 2E − 4F + · · ·
Observa con cuidado que una combinación lineal de la regla trapezoidal y de la regla rectangular
permite cancelar el término E. La regla resultante es conocida como la regla de Simpson.
Desde un punto de vista geométrico, la regla compuesta de Simpson se puede construir como
sigue:
2
• Construir la parábola pi que pasa por los puntos
(xi , f (xi )),
• Obtener
(yi , f (yi )),
Z
(xi+1 , f (xi+1 )).
xi+1
pi (x) dx.
xi
• Calcular la suma
n−1
X Z xi+1
i=0
pi (x) dx.
xi
Ejercicios
1. Prueba que la expresión (4) es correcta.
2. Utiliza (4) para probar que |E| = O(h2 ).
3. Obtener la expresión (6) a partir de (3) y de (5).
4. Derivar la regla de Simpson y probar que la fórmula resultante es igual a la combinación
1
2
S(f ) = R(f ) + T (f ),
3
3
en donde R(f ) y T (f ) son las aproximaciones obtenidas por la regla del rectángulo y la regla
del trapecio respectivamente.
5. Escribe un programa en Matlab que obtenga aproximaciones a π mediante la integral
Z 1
4
dx.
π=
1
+
x2
0
6. Utiliza: a) la regla del rectángulo; b) la regla del trapecio; c) la regla de Simpson. Compara
los resultados obtenidos por las tres reglas cuando el espaciamiento es uniforme h = 1/n. Usa
los siguientes valores n = 8, 32, 128.
3