El Concepto de Partícula Resumen

El Concepto de Partícula
Luis Roa Oppliger
Departamento de Física,
Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas,
Universidad de Concepción,
Casilla 360-C Concepción, Chile
webpage: www.udec.cl/~lroa
Resumen
Mostramos una visión evolutiva del concepto de partícula. Comenzamos
con la partícula puntual de Newton y …nalizamos en la onda de Schrödinger.
Para ésto, se expone el experimento de dos rendijas a través de las cuales se
hacen pasar partículas elementales. Como aplicación, mostramos un ejemplo
unidimensional de una partícula dentro de una caja. Se comparan los comportamientos clásico y cuántico de la partícula en el espacio de con…guración.
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1
Introducción
El cambio conceptual de los elementos fundamentales de una teoría conlleva
a un desarrollo inesperado.
La física, como ciencia en su etapa primitiva, consiste básicamente en
disipar comprensivamente nuestra curiosidad acerca de algún fenómeno natural. La evolución de conceptos físicos comienza con los Griegos ya en el
año 2000 A.C. quienes formularon algunos principios físicos. En el período
287 - 212 A.C. Arquímedes introduce los conceptos de Equilibrio de Fuerzas
en Hidrostática. Galileo Galilei (1564 - 1642) hace importantes aportes por
medio de sus observaciones astronómicas. Isaac Newton (1642 - 1727) introduce las leyes de la mecánica aplicables a una partícula puntual. Leonard
Euler (1707 - 1783) modela los cuerpos rígidos como una colección in…nita de partículas puntuales. La mecánica de Newton alcanza su más alto
desarrollo con los aportes de D’Alambert (1717 - 1783), Lagrange (1736 1813) y Hamilton (1805 - 1865). Paralelo a ésto hay un gran desarrollo del
electromagnetismo llegando a las ecuaciones de James Cleark Maxwell (1831
- 1879), las cuales describen el comportamiento ondulatorio y las propiedades
de los campos electromagnéticos (entre ellos, la luz).
Hasta …nes del siglo XIX se distinguen dos conceptos físicos bien de…nido:
la partícula puntual y las ondas. La principal diferencia entre partícula y
onda es el efecto de interferencia que presenta esta última.
En la Sec. 2 explicamos, a través de un experimento teórico muy conocido,
la principal diferencia entre onda y partícula desde el punto de vista de la
teoría clásica. En la Sec. 3 se muestran los resultados del experimento de la
Sección 2. Estos resultados experimentales obligan a cambiar la imagen de la
partícula puntual clásica. La Sección 4 muestra un ejemplo académico de una
partícula unidimensional dentro de una caja. Aquí se muestra cómo di…ere
la descripción clásica de la descripción cuántica para este simple ejemplo. En
la Sección 5 presentamos un resumen.
2
Experimento Teórico
En esta Sección se muestra el diseño de un experimento y sus predicciones
teóricas. En la Sec. 2.1 el experimento se plantea con partículas clásicas
(puntuales), mientras que en la Sec. 2.2 el experimento se plantea con ondas
clásicas.
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2.1
Partículas
Considere una fuente S que emite partículas a una misma velocidad. Una
pantalla con dos rendijas (S1 y S2 de separación a) es puesta a una cierta
distancia de la fuente S. Una segunda pantalla A, paralela a las dos rendijas
es usada como detector de posición (colección de detectores, Figura 1). El
‡ujo de partículas emitidas por la fuente S es lo su…cientemente pequeño
como para asegurar que sólo una partícula a la vez realiza el viaje desde la
fuente S hasta unos de los detectores de A. El análisis teórico, en base al
comportamiento clásico de las partículas predice lo siguiente:
Figura 1: Experimento de dos rendijas con partículas clásicas.
² si se cierra la rendija S2 (S1 ) se mani…esta el patrón de intensidad I1
(I2 ), que consiste en una curva con un máximo frente a la rendija S1
(S2 );
² si las dos rendijas permanecen abiertas se mani…esta el patrón de intensidad I1+2 mostrado en la pantalla A0 de la Figura 1. Aquí se observan
dos máximos frente de cada rendija y un mínimo frente al centro de las
rendijas. El lector se puede imaginar el paso de arena por pequeños
ori…cios.
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² los detectores de la pantalla A captan partículas en forma discreta de
una a la vez. Los potrones de intensidad se construyen en el tiempo
con muchas partículas.
La intensidad I se de…ne como la razón entre el número de partículas que
llegan a un detector y el número total de partículas emitidas por la fuente S.
2.2
Ondas
Considere una fuente S que emite ondas electromagnéticas monocromáticas
(una longitud de onda bien de…nida). Una pantalla con dos rendijas (S1 y
S2 de separación a) del tamaño de la longitud de onda considerada es puesta
a una cierta distancia de la fuente S. Una segunda pantalla A paralela
a las dos rendijas es usada como detector (Figura 2). El análisis teórico
del experimento, en base al comportamiento clásico de las ondas predice lo
siguiente:
Figura 2: Experimento de dos rendijas con ondas.
² si se cierra la rendija S2 (S1 ) se mani…esta el patrón de intensidad I1
(I2 ), que consiste en una curva continua con un máximo frente a la
rendija S1 (S2),
² si las dos rendijas permanecen abiertas se mani…esta el patrón de intensidad I1+2 mostrado en la pantalla A0 de la Figura 2,
32
² los detectores de la pantalla A captan energía en forma continua y todos
a la vez, independientemente de la intensidad de las ondas.
El patrón de intensidad I1+2 presenta una estructura de máximos y mínimos (ceros) que es llamado patrón de interferencia. Este patrón es consecuencia del principio de superposición que obedecen los campos electromagnéticos y las ondas en general. En los máximos, los campos provenientes de
S1 se suman constructivamente con los campos provenientes de S2 . En los
mínimos, los campos provenientes de S1 se suman destructivamente con los
campos provenientes de S2 .
3
Resultado Experimental
En esta Sección resumimos los resultados de la realización experimental del
sistema de dos rendijas.
3.1
Ondas
² Para altas intensidades de radiación los resultados experimentales concuerdan con los resultados del modelo teórico. Esto es, se presenta el
patrón de interferencia y los detectores funcionan en forma continua.
² Sorpresa, al disminuir considerablemente la intensidad, los detectores
comienzan a captar en forma discreta. Entonces la intensidad se reduce
a un nivel tal que sólo un detector, a la vez, capta energía.
² Los detectores absorben unidades de energías E = ¹h!, donde ! es
la frecuencias de la onda electromagnética monocromática y ¹h es la
constante de Planck (¹
h ¼ 1:055 £ 10¡34 Js).
De estas observaciones se puede concluir que las ondas están formadas
de partículas de energía ¹h!. Luego, uno esperaría que el patrón de interferencia (Fig. 2) desaparezca y a cambio aparezca el patrón de intensidades de
partículas (Fig. 1).
Sin embargo, a pesar de que esta nueva partícula llamada fotón, pasa de
a una desde S hasta A, el patrón de interferencia continua manifestándose.
En consecuencia podemos decir que:
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² el fotón tiene un comportamiento de onda (patrón de interferencia)
pero cuando es detectado en A se proyecta íntegramente en un único
detector (región in…nitesimal del espacio).
² Por este resultado debemos cambiar muestra imagen clásica de partícula
puntual a un campo en el espacio de coordenadas. Este campo es complejo y se conoce con el nombre de función de onda. Sin embargo la
función de onda es una representación en espacio de coordenadas de un
elemento de un espacio vectorial complejo llamado espacio de Hilbert.
² El fotón se comporta como una onda que se propaga en el espacio, sin
embargo cuando se detecta, mani…esta un comportamiento de partícula
puntual. Esto es lo que se conoce como comportamiento dual. Sin
embargo, debemos entender que esta dualidad se presenta en nuestra realidad que es clásica, quizás porque no tenemos las herramientas
matemáticas adecuadas para describir el comportamiento del fotón.
² Lo que sucede en los detectores es conocido como el colapso de la función de onda y es un tema que actualmente se discute.
² Así, el patrón de interferencia, se debe a la función de onda de la
partícula fotón (y no al carácter electromagnético clásico del problema
inicial) tanto a bajas como a altas energías.
El fotón no es una partícula newtoniana en el sentido de que no es una
partícula puntual. El fotón puede estar en una superposición de estados de
posición, esto es, el subsiste simultáneamente distribuido en una cierta zona
espacial.
3.2
Partícula
A la luz de estos resultados, Louis de Broglie conjetura que los electrones
(partículas) pueden presentar el mismo comportamiento de los fotones.
Más tarde, Davisson y Germer comprueban la conjetura de Louis de
Broglie realizando el experimento de la doble rendija con electrones.
Con este resultado experimental, junto a otros, se acepta que la partícula
no es puntual, sino que es descrita por una función de onda Ã(x) (onda
de Schrödinger). Cuando la partícula es detectada, toda su energía y momentum se mani…estan en el detector. Desde un punto de vista clásico este
comportamiento es conocido como dualidad onda - partícula.
34
Es así entonces como se introduce o cambia un concepto fundamental en
el mundo físico.
4
Partícula dentro de una Caja
Una partícula de masa m sólo se puede mover en una dirección del espacio
limitado por dos paredes rígidas. Esto es descrito por un potencial V (x) de
la forma (Fig. 3)
V (x) =
8
>
< 0
>
:
jxj < L=2
1
(1)
jxj ¸ L=2
Figura 3: Potencial caja de ancho L.
4.1
Resultados Clásicos
² La energía total E de la partícula dentro de la caja, está dada por
su energía cinética y no tiene restricción. Esto es, E = mv2 =2 puede
tomar cualquier valor.
² Dado un valor de energía E, ésta permanece constante.
La trayectoria de la partícula en el espacio de con…guración (posición &
tiempo) es descrita por rectilíneas continuas ascendentes y descendentes en
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la Figura 3. Aquí vemos que la partícula se mueve con rapidez constante y
cambia su dirección cada vez que alcanza una de las paredes.
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
0
0.5
1
1.5
t
2
2.5
3
Figura 4: Trayectorias clásica (rectilíneas) y cuántica (curvas) de una
partícula dentro de una caja unidimensional.
4.2
Resultados Cuánticos
Las ecuaciones por las que se rige el comportamiento de la partícula cuántica
sometida al potencial dado por la relación (1), restringen su energía a los
valores discretos
¹ 2¼ 2 n2
h
n = 1; 2; 3:::
(2)
2mL2
Esta discretización de la energía de la partícula constituye una diferencia
fundamental entre la descripción clásica y cuántica.
Otras diferencias fundamentales entre la descripción clásica y cuántica
son las siguientes:
En =
² clásicamente la partícula puede tener energía cero. Cuánticamente ésto
(E = 0) está prohibido y se justi…ca por medio del Principio de Incerteza de Heisenberg (P.I.H.). El menor valor de la energía cuántica
es E1 = ¹h2¼ 2 =(2mL2 ) 6= 0. Este valor sólo se acerca a cero para m y/o
L muy grandes, lo cual también es compatible con el P.I.H.
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² clásicamente, la partícula puede poseer un único valor de energía, mientras que la partícula cuántica puede subsistir en una superposición de
estados de distintos valores de energías dadas por la relación (2).
Suponemos que inicialmente la partícula se encuentra en una superposición de estados de energía E1 y E2 con igual amplitud de probabilidad. La
trayectoria promedio de la partícula dentro de la caja es descrita por la curva
sinusoidal sólida de la Figura 4. Las líneas segmentadas de la misma …gura
encierran la región con mayor probabilidad de encontrar a la partícula.
5
Resumen
El cambio conceptual en la forma de describir a una partícula involucra
nuevos efectos físicos. El ejemplo anterior muestra que es posible encontrar
a la partícula donde clásicamente nunca estuvo. Además, la posición de la
partícula en un instante t cualquiera está bien de…nida según la descripción
clásica, mientas que cuánticamente ésta subsiste en una región del espacio
no puntual. Otro aspecto interesante de este simple ejemplo, es el hecho de
poseer solución exacta tanto clásica como cuántica.
Así, como el movimiento de la partícula clásica es gobernado por las leyes
de Newton o las ecuaciones de Lagrange o las ecuaciones de Hamilton, así
también el movimiento de la partícula cuántica es gobernado por la ecuación
de Schrödinger. Es razonable pensar que la descripción clásica debe ser un
límite de la descripción cuántica. Sin embargo, este paso aún es discutido y
estudiado. La principal di…cultad radica en la existencia de efectos puramente
cuánticos sin contraparte cuántica.
Hoy en día son numerosas las aplicaciones prácticas de la Mecánica Cuántica, por nombrar algunas: semiconductores, superconductores, laser, efecto
Zeeman, efecto Stark, Efecto Hall Cuántico, etc.
Otro concepto físico fundamental no considerado en esta presentación
es el tiempo. La teoría general de la relatividad modi…ca la concepción de
tiempo absoluto (mecánica clásica) a un tiempo relativo asociado a sistemas
de referencia inerciales.
Nuestro agradecimiento al proyecto 96.011.016-1.2 de la D. I. de la
Universidad de Concepción.
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Bibliografía
1. Quantum Mechanics Vol. 1 and 2, C. Cohen - Tannoudji, B. Diu
and F. Laloë, John Wiley & Sons, NY (1997).
2. Mecánica Cuántica: Teoría no relativista, L. D. Landau y E. M.
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3. Quantum Mechanics: An introduction, W. Greiner, Springer - Verlag,
Berlin (1994).
4. Principle of Quantum Mechanic, R. Shankar, Plenum Press, NY and
London (1994).
5. Quantum Theory and Measurement, Edited by J. Archibald Wheeler
and W. Hubert Zuker, Princeton Series in Physics (1983).
6. Selected Papers on Quantum Electrodynamics, Edited by Julian Schwinger, Dover Publication, INC NY (1958).
7. Conceptual Foundations of Quantum Mechanics, Bernard d’Espagnat, ABP Perseus Books (1999).
8. Quantum Theory : Concepts and Methods (Fundamental Theories of
Physics, Vol 57) Asher Peres, Kluwer Academic Publishers (1998).
9. Feynman Lectures On physics (Volume 3), Richard Phillips Feynman, Addison-Wesley (1970).
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