Presentación sobre Series de Fourier

Series de Fourier
FIZ0313 - Métodos de la Fı́sica Matemática II
Primer Semestre de 2012
c sgurruti, 2012
Series de Fourier
Teorema de Stone - Weierstrass
c sgurruti, 2012
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Series de Fourier
Teorema de Stone - Weierstrass
Definición: El subconjunto A de C[a, b] se denomina álgebra si, para
cualquier f, g ∈ A y para cualquier α ∈ R, f + g, f g, αf ∈ A.
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Series de Fourier
Teorema de Stone - Weierstrass
Definición: El subconjunto A de C[a, b] se denomina álgebra si, para
cualquier f, g ∈ A y para cualquier α ∈ R, f + g, f g, αf ∈ A.
Si tomamos un álgebra, y le pedimos dos condiciones adicionales:
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Series de Fourier
Teorema de Stone - Weierstrass
Definición: El subconjunto A de C[a, b] se denomina álgebra si, para
cualquier f, g ∈ A y para cualquier α ∈ R, f + g, f g, αf ∈ A.
Si tomamos un álgebra, y le pedimos dos condiciones adicionales:
• A contiene alguna función constante no idénticamente cero, y por tanto
contiene a todas las funciones constantes.
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Series de Fourier
Teorema de Stone - Weierstrass
Definición: El subconjunto A de C[a, b] se denomina álgebra si, para
cualquier f, g ∈ A y para cualquier α ∈ R, f + g, f g, αf ∈ A.
Si tomamos un álgebra, y le pedimos dos condiciones adicionales:
• A contiene alguna función constante no idénticamente cero, y por tanto
contiene a todas las funciones constantes.
• A separa puntos en C[a, b], i.e. para cualquier par de puntos x1, x2 ∈ [a, b]
distintos, existe una función f ∈ A tal que f (x1) 6= f (x2).
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Series de Fourier
Teorema de Stone - Weierstrass
Definición: El subconjunto A de C[a, b] se denomina álgebra si, para
cualquier f, g ∈ A y para cualquier α ∈ R, f + g, f g, αf ∈ A.
Si tomamos un álgebra, y le pedimos dos condiciones adicionales:
• A contiene alguna función constante no idénticamente cero, y por tanto
contiene a todas las funciones constantes.
• A separa puntos en C[a, b], i.e. para cualquier par de puntos x1, x2 ∈ [a, b]
distintos, existe una función f ∈ A tal que f (x1) 6= f (x2).
obtenemos el siguiente resultado.
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Series de Fourier
Teorema: Si A es un álgebra en C[a, b] que contiene las constantes
y separa puntos, entonces A es denso en C[a, b]; i.e. cualquier función
continua es aproximable por elementos del álgebra.
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Series de Fourier
Teorema: Si A es un álgebra en C[a, b] que contiene las constantes
y separa puntos, entonces A es denso en C[a, b]; i.e. cualquier función
continua es aproximable por elementos del álgebra.
Es posible probar que que el polinomio trigonométrico
a0 +
n
X
ak cos (kx) + bk sin (kx)
k=1
cumple las hipótesis del Teorema de Stone-Weierstrass en un intervalo
[−π, π]. Ahora, considere el siguiente funcional:
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Series de Fourier
Teorema: Si A es un álgebra en C[a, b] que contiene las constantes
y separa puntos, entonces A es denso en C[a, b]; i.e. cualquier función
continua es aproximable por elementos del álgebra.
Es posible probar que que el polinomio trigonométrico
a0 +
n
X
ak cos (kx) + bk sin (kx)
k=1
cumple las hipótesis del Teorema de Stone-Weierstrass en un intervalo
[−π, π]. Ahora, considere el siguiente funcional:
F[hn, gn] =
Z
π
Z
π
−π
=
p X
a0
f (x) −
−
hn cos (nx) + gn sin (nx)
2
n=1
!2
dx
L(hn, gn) dx
−π
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Series de Fourier
que puede ser interpretado como la desviación cuadrática del ajuste por
polinomios trigonométricos a la función f (x) para la iteración p. De las
ecuaciones de Euler-Lagrange para L(hn, gn),
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Series de Fourier
que puede ser interpretado como la desviación cuadrática del ajuste por
polinomios trigonométricos a la función f (x) para la iteración p. De las
ecuaciones de Euler-Lagrange para L(hn, gn),
1
hn =
π
Z
π
f (x) cos (nx) dx
−π
∧
1
gn =
π
Z
π
f (x) sin (nx) dx
−π
con n ≥ 0 para hn, y n ≥ 1 para gn. Éstos términos son los coeficientes
de Fourier de f (x).
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Series de Fourier
Relaciones de Ortogonalidad
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Series de Fourier
Relaciones de Ortogonalidad
Es útil recordar que:
π
1
π
Z
1
π
Z
cos (mx) cos nx dx = δn,m
m, n ≥ 1
sin (mx) sin nx dx = δn,m
m, n ≥ 1
−π
π
−π
1
π
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Z
π
cos (mx) sin nx dx = 0
−π
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Series de Fourier
Series de Fourier para intervalos [a, b]
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Series de Fourier
Series de Fourier para intervalos [a, b]
F (x) =
∞
X
a0
2nπx
an cos
+
2
`
n=1
+ bn sin
2nπx
`
con ` = b − a. Los coeficientes vienen dados por:
2
a0 =
`
an =
bn =
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b
2
`
Z
2
`
Z
a
Z
F (x) dx
a
2nπx
F (x) dx
cos
`
b
sin
a
b
2nπx
F (x) dx
`
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Series de Fourier
Motivación de Fourier
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Series de Fourier
Motivación de Fourier
Considere una placa de metal plate cuadrada, cuyo lado mide π metros,
con coordinadas (x, y) ∈ [0, π] × [0, π].
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Series de Fourier
Motivación de Fourier
Considere una placa de metal plate cuadrada, cuyo lado mide π metros,
con coordinadas (x, y) ∈ [0, π] × [0, π].
Si no hay fuentes de calor dentro de la placa, y si 3 de los 4 lados
se mantienen a 0oC, mientras que el cuarto lado (dado por y = π) se
mantiene a un gradiente de temperatura T (x, π) = x, es posible probar que
la distribución estacionaria de calor está dada por:
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Series de Fourier
Motivación de Fourier
Considere una placa de metal plate cuadrada, cuyo lado mide π metros,
con coordinadas (x, y) ∈ [0, π] × [0, π].
Si no hay fuentes de calor dentro de la placa, y si 3 de los 4 lados
se mantienen a 0oC, mientras que el cuarto lado (dado por y = π) se
mantiene a un gradiente de temperatura T (x, π) = x, es posible probar que
la distribución estacionaria de calor está dada por:
T (x, y) = 2
∞
X
(−1)n+1
n=1
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n
sin(nx)
sinh(ny)
sinh(nπ)
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Series de Fourier
Ejercicios
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Series de Fourier
Ejercicios
Para ver ejemplos y aplicaciones, se sugiere ver la Ayudantı́a 4
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