Prácticas: cuestiones de utilidad

Practicas
Cuestiones de Utilidad
M. Cabrera, J. Vidal
Dept. TSC
ETSETB
UPC
Febrero-Mayo 2007
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Matriz de Permutación
Es Cuadrada
- Cada fila tiene todos los elementos igual a cero menos un único elemento
igual a 1.
- Cada columna tiene todos los elementos igual a cero menos un único
elemento igual a 1.
⎛0 0 0 1⎞
⎜
⎟
Ejemplo:
⎜1 0 0 0⎟
P=
- Coincide con su inversa
⎜0 1 0 0⎟
⎜
⎟
⎝0 0 1 0⎠
PP = I
- Permutación de filas de una matriz
⎛0
⎜
1
⎜
PA =
⎜0
⎜
⎝0
0
0
1
0
0
0
0
1
1 ⎞ ⎛ v1 ⎞ ⎛ v 4 ⎞
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
0 ⎟ ⎜ v 2 ⎟ ⎜ v1 ⎟
=
0 ⎟ ⎜ v3 ⎟ ⎜ v 2 ⎟
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
0 ⎠ ⎝ v 4 ⎠ ⎝ v3 ⎠
Donde vi es un vector fila
de 4 elementos
- Permutación de columnas de una matriz
AP = ( v1
v2
v3
⎛0
⎜
1
v4 ) ⎜
⎜0
⎜
⎝0
0 0 1⎞
⎟
0 0 0⎟
= ( v4
1 0 0⎟
⎟
0 1 0⎠
Donde vi es un vector
columna de 4 elementos
v1
v2
v3 )
2
Svd y matriz pseudoinversa
Cualquier matriz de orden MxN admite la descomposición en valores
singulares.
svd ( A ) : A MxN = U MxM Λ MxN V H NxN ;
⎛ d1
⎜
0
Λ =⎜
⎜ :
⎜
⎝0
0
:
:
:
:
dd
0
0
:⎞
⎟
:⎟
0⎟
⎟
0 ⎠ d <= min( M , N )
U H U = I MxM ;
V H V = I NxN
Valores Singulares de A
- Las columnas de U son los autovectores de la matriz AAT
- Las columnas de V son los autovectores de la matriz ATA
eig ( AA T ) : AA T = UΛU H ;
⎛ ( d )2
⎜ 1
Λ=⎜ 0
⎜⎜
⎝ :
0
:
:
eig ( A T A) : V T V = VΛV H ;
⎞
⎟
: ⎟
2 ⎟
( d d ) ⎟⎠
:
- Si A es diagonalizable su descomposición svd coincide con su
diagonalización:
svd ( A ) = eig ( A) ⇒ A NxN = U NxN Λ NxN U H NxN ;
U H U = I NxN
3
Matriz pseudoinversa
- A es una matriz de orden MxN
- La matriz pseudo inversa de A es de orden NxM
A# = (AHA)-1AH ,
y posee las siguientes propiedades:
A# A = I
A A# =PA (Matriz de proyección)
A A# A = A
A# AA# = A#
- Cuando la matriz (AHA)-1 no se puede invertir la matriz pseudoinversa se puede
calcular igualmente a partir de la descomposición svd de la matriz A
A # = pinv( A) = V Λ −1 U H
Λ −1
⎛ ( d )−1
⎜ 1
=⎜ 0
⎜⎜
⎝ :
0
:
:
⎞
⎟
: ⎟
−1 ⎟
( d d ) ⎟⎠
:
Inversa de los
Valores Singulares
de A
4
Matriz Cuadrada
- El rango de la matriz coincide con el número de valores singulares no
nulos.
- Cuando la matriz es de rango=N (no singular) teóricamente admite matriz
inversa y la matriz inversa coincide con la matriz pseudoinversa.
- Mediante el número de condición de la matriz se puede estimar la precisión
y error de clálculo que se comete al invertir una matriz.
eig (C) : C = UΛU H ;
⎛ d1
⎜
Λ=⎜ 0
⎜ :
⎝
cond (C) =
0
:
:
d max
d min
: ⎞
⎟
: ⎟
d d ⎟⎠
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