Unidad 11.4: Vectores Matemáticas 3 semanas

Unidad 11.4: Vectores
Matemáticas
3 semanas
Etapa 1 - Resultados esperados
0B
Resumen de la unidad
3B
En esta unidad, los estudiantes aplicarán los conceptos de vectores en dos dimensiones para
representar, interpretar y resolver problemas. Identificarán y aplicarán las propiedades de los vectores
y juzgarán si los cómputos de los vectores son razonables.
Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de usar su conocimiento
sobre los vectores en dos dimensiones para trabajar con cantidades físicas que tienen tanto
propiedades numéricas como direccionales.
Estándares de contenido y expectativas
4B
Números y operaciones
N.SN.11.1.1 Define vectores en dos dimensiones como objetos que tienen magnitud, dirección y su
representación geométrica.
N.SO.11.1.2 Reconoce los vectores como sistema que tiene algunas de las propiedades de los números
reales.
N.OE.11.1.3 Ilustra y aplica las propiedades de suma de vectores y multiplicación por un escalar para
representar, investigar y resolver problemas.
• Juzga la razonabilidad de los cómputos con vectores.
15B
Ideas grandes/Comprensión duradera:
Preguntas esenciales:
5B
•
•
•
•
Los vectores se suman y se multiplican para
resolver problemas.
Los modelos vectoriales de nuestro mundo
tienen limitaciones.
No todos los cómputos son razonables.
Los vectores ayudan con los cálculos
matemáticos en ingeniería y física.
6B
•
•
•
•
¿Cómo se utilizan los vectores para resolver
problemas?
¿Por qué no pueden representarse los
modelos físicos de cantidades vectoriales con
cantidades escalares?
¿Cómo sabes si un cómputo es razonable?
¿Cómo nos ayudan los vectores a entender el
mundo?
Contenido (Los estudiantes comprenderán...) Destrezas (Los estudiantes podrán...)
7B
8B
•
•
•
Los vectores en dos dimensiones como
objetos que poseen magnitud, orientación y
representación geométrica
Los vectores como sistema que tiene algunas
de las propiedades de los números reales
Las propiedades de la suma de vectores y la
multiplicación escalar
•
•
•
Ilustrar las propiedades de suma de vectores y
multiplicación por un escalar.
Aplicar las propiedades de suma de vectores y
multiplicación por un escalar para
representar, investigar y resolver problemas.
Juzgar la razonabilidad de los cómputos con
vectores.
Vocabulario de contenido
• dirección, dos dimensiones, magnitud, vector
16B
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Unidad 11.4: Vectores
Matemáticas
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Etapa 2 – Evidencia de avalúo
1B
Tareas de desempeño
Otra evidencia
9B
10B
1
Tesoro escondido
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
los vectores mediante la elaboración de un "mapa
del tesoro", del tesoro escondido de Roberto
Cofresí.
17B
0F
Instrucciones:
El pirata Cofresí ha escondido tesoros en una isla
con cinco árboles ubicados en los siguientes
puntos (30.0 m, -20.0 m), (60.0 m, 80.0 m), (-10.0
m, -10.0 m), (40.0 m, -30.0 m) y (-70.0 m, 60.0 m).
Todos los puntos se miden relativos a algún
origen, como se muestra en la figura.
Ejemplos de preguntas de examen/quiz
19B
1. Dado los vectores u = 2,1 and v = − 3,2 , 3
P2F
a. halla
P
u+v
b. halla v + u
c. saca conclusiones sobre u + v vs. v + u
d. halla la magnitud de u + v
e. halla u - v
f.
halla v - u
g. saca conclusiones sobre u - v vs. v - u
h. halla u y v en términos de los vectores
de base estándar
i.
halla 2 u +3 v
2. Dado los vectores AB y CD a continuación, 4
P
3F
P
En la bitácora de su barco se dan instrucciones de
empezar en el árbol A y moverse hacia el B, pero
cubriendo solo 1/4 de la distancia entre A y B. A
continuación, moverse al árbol C, cubriendo 1/5
de la distancia entre tu ubicación actual y C.
Luego, muévete hacia D, cubriendo 1/6 de la
distancia entre el lugar donde te encuentras y D.
Finalmente, desplázate hacia E, cubriendo 1/7 de
la distancia entre tú y E; detente y excava.
a. Asume que has determinado correctamente
el orden en que el pirata rotuló los árboles
con A, B, C, D y E, según se muestra en la
figura. ¿Cuáles son las coordenadas del punto
en que está enterrado su tesoro?
b. ¿Y si no supieras realmente la forma en que el
a. halla los componentes de cada vector
b. traza los vectores de posición u y v donde
u = AB y v = CD
c. halla u ⋅ v y saca una conclusión acerca
1
Fuente: http://www.cramster.com/answers-sep-10/physics/vector-problem-long-john-silver-pirate-buriedtreasure_949089.aspx?rec=0
3
Fuente: http://distance-ed.math.tamu.edu/Precalculus_home/Module6/problems_6AB.pdf
4
Ibídem.
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pirata rotuló los árboles? Reajusta el orden de
los árboles, por ejemplo, B (30 m, -20 m), A
(60 m, 80 m), E (-10 m, -10 m), C (40 m, -30
m), y D (-70 m, 60 m), y repite el cálculo para
demostrar que la respuesta no depende del
orden en que están rotulados los árboles.
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica
de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de
tarea de desempeño).
d del ángulo entre u y v
d. halla la medida del ángulo (al grado más
cercano) entre u y v
e. halla un vector unitario en la dirección de
v
Diario
1. ¿Cómo se corresponden los números de la
dirección y la magnitud con la apariencia del
vector?
2. ¿Qué sucede cuando mueves el vector a una
nueva posición usando su punto medio?
3. Halla el valor de a si los vectores (-2,5) y (1,a)
son
a. paralelos
b. perpendiculares
20B
Vectores sobre el terreno 2
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
los vectores para hallar la longitud de cable
requerida para cruzar el Río Yauco. Además de
sumar vectores, los estudiantes calcularán el
vector de deslizamiento y representarán su
trabajo en papel cuadriculado. (Nota: son datos
ficticios.)
Boletos de entrada/salida
Instrucciones:
1. Dado el paralelogramo ABCD, halla 5
1. Para tirar un cable sobre el Río Yauco, tienes
que determinar la distancia de una orilla del
río a la otra. Los postes de cableado se ubican
en los puntos A y D. Comienza con el punto A.
Camina 21 metros al sur. Luego camina al
este y 22.5 metros sobre el puente.
Finalmente, camina al norte 9 metros para
llegar al punto D. Usando la información
anterior, haz un dibujo a escala de las
distancias y direcciones recorridas. El punto
final debe llamarse D. El vector resultante que
a. DA + AB
une el punto A con el punto D en tu dibujo a
escala es equivalente a la suma de los
b. AC
vectores que representan las distancias
2. Dados los puntos P(1,1), Q(2,3) y R(-1,7), halla
recorridas en cada parte del recorrido. Mide
lo siguiente. Redondea al grado más
la magnitud del vector AD en tu dibujo a
cercano.) 6
escala. ¿Cuántos metros hay al cruzar el Río
a. la medida del ángulo P
Yauco del punto A al punto D?
b. la medida del ángulo Q
2. Utiliza papel cuadriculado para hallar el
c. la medida del ángulo R
vector de deslizamiento resultante cuando se
suman los siguientes vectores de
18B
1F
21B
P4F
P5F
2
Fuente: http://mathinscience.info/public/vectors/vectors.htm
Fuente: http://distance-ed.math.tamu.edu/Precalculus_home/Module6/problems_6AB.pdf
6
Ibídem.
5
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Matemáticas
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deslizamiento en el orden que se muestra: 30
pies al norte, 50 pies al oeste y 15 pies al sur.
3. Dibuja un diagrama vectorial en papel
cuadriculado. Halla la magnitud y dirección de
cada vector resultante.
(a) Un avión que se desplaza al oeste a una
velocidad aérea de 525 millas por hora.
(b) Un avión que se desplaza al oeste a una
velocidad de 525 millas por hora y un
viento de cola de 20 millas por hora.
(c) Un avión que se desplaza al oeste a una
velocidad de 525 millas por hora y un
viento en contra de 20 millas por hora.
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica
de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de
tarea de desempeño).
Etapa 3 – Plan de aprendizaje
2B
Actividades de aprendizaje
1B
•
Información básica de vectores 7: Crea una serie de notas guiadas (para una guía, véase
http://www.teachnet-uk.org.uk/2006%20Projects/Maths-KS4-5_catch-up/straight_linesvectors/Introduction-vectors.ppt). Haz que los estudiantes completen las frases importantes,
ilustraciones, etc. mientras que estudian las tarjetas en conjunto. Asegúrate de incluir suma, resta,
multiplicación por escalar y cómo hallar vectores en las notas de guía. Dale seguimiento con la
actividad de aprendizaje - Hoja de actividades Información básica de vectores.
Hoja de actividades Información básica de vectores 8: Los estudiantes practican la suma, resta,
multiplicación por un escalar y cómo hallar vectores (ver anejo: 11.4 Actividad de aprendizaje Hoja de actividades Información básica de vectores).
Caminando con los ojos vendados 9: Antes de que empiece la clase, rotula las paredes del salón con
los puntos cardinales N, S, E y O. Divide a los estudiantes en parejas. Uno lleva puesta una venda
sobre los ojos (de verdad o virtual) mientras el otro le da direcciones. El objetivo es darle
direcciones al estudiante vendado para que pueda llegar del punto A al punto B. Si se dan bien las
direcciones, bastará con solo una dirección en voz alta que incluya tanto magnitud como
orientación. (Si este tipo de actividad no funcionaría con tu clase, puede lograrse con una hoja de
papel cuadriculado con los puntos "A" y "B" marcados.) Los estudiantes entonces nombrarán
algunas cantidades que tengan tanto magnitud como orientación; solo magnitud u orientación, y ni
P6F
P
5TU
U5T
•
•
P7F
P8F
P
P
7
Fuente: http://www.teachnet-uk.org.uk/2006%20Projects/Maths-KS4-5_catch-up/Straight_lines-vectors.htm
Ibídem.
9
Fuente: www.curriculumframer.com
8
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Unidad 11.4: Vectores
Matemáticas
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•
magnitud ni orientación.
Los vectores y el deporte de orientación 10: Los estudiantes aplican los vectores en la elaboración de
modelos de situaciones físicas dentro del deporte de orientación. Usando la idea de que los
vectores se identifican por magnitud (longitud) y dirección desde un punto inicial, los estudiantes
competirán con otros compañeros de clase para desarrollar orientaciones en el deporte de
orientación para que gane su equipo (ver anejo: 11.4 Actividad de aprendizaje - Vectores y deporte
de orientación).
P9F
P
Ejemplos para planes de la lección
12B
•
•
Introducción a los vectores 11: Se introduce a los estudiantes a la idea de los vectores en una
cuadrícula usando el ejemplo de un avión en pleno vuelo. Tras una breve mini lección, se guía paso
a paso a los estudiantes con problemas de práctica antes de dejarlos que intenten unos problemas
por su cuenta (ver anejo: 11.4 Ejemplo para plan de lección - Introducción de vectores).
Vectores en un mapa 12: Los vectores se utilizan para representar muchos conceptos, como la
fuerza, la velocidad y la aceleración. Los estudiantes dibujarán un sistema de vectores y hallarán el
resultante gráficamente, escribirán los componentes de un vector como una matriz de columna y
hallarán el resultante por medio de la suma de matrices. Resolverán además problemas prácticos
usando un sistema de vectores (ver anejo: 11.4 Ejemplo para plan de lección - Vectores en un
mapa).
1. Divide la clase en parejas. Repártele a cada estudiante una copia de las hojas de actividades, un
mapa de Puerto Rico, una brújula y marcadores.
2. Pídeles a los estudiantes que abran el mapa de Puerto Rico y ubiquen a San Juan. Pídeles que
hagan una lluvia de ideas para determinar cómo se ve un vector. Ubica la isla de Vieques en el
mapa. Dibuja una línea entre San Juan y la isla de Vieques. El aeropuerto Antonio Rivera
Rodríguez está ubicado en Vieques y el Aeropuerto Internacional se ubica en San Juan. Utiliza
una regla y la escala de tu mapa para determinar la distancia que tendría que recorrer el avión.
La distancia es un valor escalar. Pídeles a los estudiantes que hagan una lluvia de ideas para
encontrar otros valores escalares (temperatura, libras, altitud, velocidad, longitud,
distancia). Pregúntales si pueden pilotar el avión de San Juan a Vieques con solo saber la
distancia. Como piloto, necesitas saber la orientación.
3. Usando la brújula, pídeles a los estudiantes que hallen la dirección a la que tendría que dirigirse
el piloto para orientarse de San Juan a Vieques. Expresa la dirección en grados desde el norte
(0o). Ahora, expresa la distancia y la dirección juntas. En conjunto, la distancia y la orientación
se llaman deslizamiento. El deslizamiento es un vector.
4. Menciónales a los estudiantes que un vector se dibuja con una cola en el punto de origen y una
flecha en el destino para indicar orientación. La longitud del vector indica la distancia o su
magnitud. Recuerda, si se cambia la orientación de un vector, deja de ser el mismo vector.
5. Pídeles a los estudiantes que dibujen un vector en su mapa de San Juan a Vieques. ¿Se
encuentra la cola de la cabeza del vector en San Juan?
P10 F
P1F
P
P
P
P
10
Fuente: http://distance-ed.math.tamu.edu/Precalculus_home/Module6/signature_lab6.pdf
Fuente: www.curriculumframer.com
12
Fuente: http://mathinscience.info/public/vectors/vectors.htm
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Unidad 11.4: Vectores
Matemáticas
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6. Pídeles que representen los siguientes vectores en una hoja de papel cuadriculado: velocidad
de viento de 20 mph hacia el norte, un carro que se desplaza a 60 mph de sur a suroeste, un
barco que se desplaza a 4 nudos por hora del este al noreste.
7. Los estudiantes utilizarán la tarea de Misión Imposible para una misión encubierta como piloto
en entrenamiento en el aeropuerto internacional de San Juan.
8. Los estudiantes utilizarán la hoja de componentes de vectores de la tarea de Misión Imposible
como gráfica.
Recursos adicionales
13B
•
•
•
•
•
•
•
http://profjserrano.wordpress.com/
http://www.vaxasoftware.com/doc_edu/mat/ptosvect.pdf
http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf
http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf
Matemáticas Integradas I, II, III de McGraw Hill
Precálculo: Funciones y gráficas de Raymond Barnett
Algebra I de Glencoe
5TU
U5T
5TU
U5T
5TU
5TU
U5T
U5T
Conexiones a la literatura
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Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a
los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo
el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción.
Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio.
• Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer
• El matemático del rey de Juan Carlos Arce
• La música de los números primos: El enigma de un problema matemático abierto de Marcus Du
Sautoy
Junio 2012
Adaptado de Understanding by Design de Grant Wiggins y Jay McTighe
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