Libro de Prácticas 2009

LIBRO DE PRÁCTICAS DEL PRIMER SEMESTRE
ESTADISTICA II
CURSO 2009
CONTENIDO
PRACTICA 1: V. ALEATORIA, F. GENERATRIZ DE MOMENTOS Y TRANSFORMACIONES ........ 3
PRÁCTICA 2: VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS ............................................................................ 8
PRÁCTICA 3: VARIABLES ALEATORIAS ABSOLUTAMENTE CONTINUAS .................................... 16
PRÁCTICA 4: VARIABLES ALEATORIAS MÚLTIPLES.......................................................................... 24
PRÁCTICA 5: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA ............................................................................................. 33
PRÁCTICA 6: CURVAS DE CONCENTRACIÓN Y NÚMEROS ÍNDICE ................................................ 47
PRÁCTICA 7: SERIES DE TIEMPO............................................................................................................... 51
PRÁCTICA 8: MUESTREO.............................................................................................................................. 51
PRIMERAS REVISIONES 2003-2008 ............................................................................................................. 51
1
GLOSARIO
Las expresiones CALCULAR, HALLAR y ENCONTRAR se consideran equivalentes. En
estos problemas se está solicitando al alumno que realice las operaciones necesarias para
obtener una función, un parámetro, un número, un intervalo, una probabilidad o una
distribución de probabilidad.
Las expresiones DEDUCIR, PROBAR y DEMOSTRAR se consideran equivalentes. En
estos problemas se trata de realizar una demostración formal, en la que se pueden utilizar, y
en tal caso se deben explicitar, las propiedades y teoremas vistos en el curso y en los cursos
previos del sector cuantitativo.
RECONOCER UNA DISTRIBUCIÓN consiste en indicar a cuál de las distribuciones
estudiadas en el curso corresponde la distribución en cuestión, explicitando el o los
parámetros.
Cuando se pide PLANTEAR, el alumno debe encontrar la expresión que permite, mediante
operaciones posteriores, resolver un problema. En este caso no se pide resolver el problema,
sino solamente encontrar la ecuación o la fórmula que lo resuelve.
Cuando en un problema se dice MOSTRAR, se trata de encontrar un ejemplo o
contraejemplo, sin necesidad de demostrar.
Las expresiones EXPLICAR o INTERPRETAR se utilizan para solicitar al alumno que
explique, en un caso concreto, cómo se debe entender el resultado obtenido en relación con el
problema planteado.
Por JUSTIFICAR o FUNDAMENTAR se entiende que el alumno debe encontrar los
elementos teóricos, ejemplos o contraejemplos que validan un cierto resultado obtenido
previamente.
Cuando se pide ESTIMAR, dependiendo del caso concreto, se está haciendo referencia a
uno de tres problemas: a) encontrar un estimador mediante la aplicación de un método,
b) calcular una estimación puntual, c) calcular un intervalo de confianza.
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PRáCTICA 1: VARIABLE ALEATORIA, FUNCION GENERATRIZ DE MOMENTOS Y TRANSFORMACIONES
PRÁCTICA 1: VARIABLE ALEATORIA, FUNCION GENERATRIZ DE
MOMENTOS Y TRANSFORMACIONES
EJERCICIO 1
Calcular media y varianza de las siguientes variables aleatorias.
Uniforme discreta
px(x, n) = 1/n
x = 1,2,3,…….,n.
Bernoulli
px(x, p) = px (1-p)1-x
x = 0,1.
0< p<1
Binomial
px(x, n, p) = C xn px (1-p)n-x
x = 0,1,2,3,…….,n.
Poisson
e − λ .(λ ) x
px(x,λ) = p(x,λ) =
x!
x = 0,1,2,3,…….
λ ∈ R+
Geométrica
px(x, p) = p.(1-p)x
x = 0,1,2,3,……
0<p<1
Uniforme continua
f X ( x,a,b ) =
1
b−a
si a ≤ x ≤ b
a , b ∈ ℜ, a < b
Normal
f X ( x ; µ ,σ ) =
 1  x − µ 2 
1
exp − 
 
2 πσ
 2  σ  
-∞ < µ < +∞; σ > 0; -∞ < x < +∞
Exponencial (también denominada Exponencial Negativa)
λ exp(− λx )

f ( x; λ ) = 
0

x > 0, λ > 0
para cualquier otro valor
3
PRáCTICA 1: VARIABLE ALEATORIA, FUNCION GENERATRIZ DE MOMENTOS Y TRANSFORMACIONES
Beta
f ( x ; α ,β ) =
Γ( α + β ) α −1
x ( 1 − x )β −1
Γ( α )Γ( β )
α > 0; β > 0; 0 < x < 1
Gama
 λa a −1
x exp(−λx ) x > 0, a, λ > 0

f ( x; a, λ ) =  Γ(a )
0
para cualquier otro valor

Weibull
[
αλα x α −1 exp − (λx )α

f ( x; α , λ ) = 
0

]
x > 0; α , λ > 0
para cualquier otro valor
Pareto
f X ( x, α , θ ) =
α .θ α
x α +1
si x > θ , α > 1
EJERCICIO 2
a) Sea la V.A. X tal que pX(x) = 1/x con x = 1, 2, 4, 8, 16, … Probar que E(X) no existe.
b) Considere la distribución de Cauchy, f X ( x, µ ) =
1
π
1
1 + (x − µ)2
- ∞ < x < ∞ . Probar
que E(X) no existe.
EJERCICIO 3
Sea X una variable aleatoria absolutamente continua para la que existen todos sus momentos
ordinarios.
Se pide:
∂k M( t )
∂k M( t )
1. Demostrar que para k = 1, 2, 3,... es E ( X ) =
t = 0 , siendo
t = 0 la
∂t k
∂t k
derivada de orden k de la función generatriz de momentos de X evaluada en cero.
k
2. Sea Y = aX +b con a y b ∈ ℜ. Demostrar que la función generatriz de momentos de Y es
M Y ( t ) = e bt M X ( at ) .
4
PRáCTICA 1: VARIABLE ALEATORIA, FUNCION GENERATRIZ DE MOMENTOS Y TRANSFORMACIONES
EJERCICIO 4
Obtener la función generatriz de momentos para las variables del Ejercicio 1, exceptuando la
Weibull y la Pareto.
EJERCICIO 5
Sea X una variable aleatoria absolutamente continua para la que al menos existen sus dos
primeros momentos ordinarios y g(x) creciente y no negativa ∀ x ∈ ℜ.
1. Teorema de Markov: Demostrar que ∀ε > 0 se tiene que P (g(X) ≥ ε ) ≤
E[g(X)]
.
ε
2. Teorema de Tchebycheff: Usando la parte anterior demostrar que:
V(X)
P ( X − E(X) > ε ) ≤ 2 .
ε
EJERCICIO 6
Sea X una variable aleatoria.
a) Encontrar la relación que vincula a µ3(X) = E[X – E(X)]3 con los momentos
ordinarios de X hasta el orden 3.
b) Idem entre µ4(X) y los momentos ordinarios de X hasta el orden 4.
c) Sea X una variable aleatoria con distribución N(µ, σ2). Calcular µ3(X) y µ4(X).
EJERCICIO 7
Sea X una variable aleatoria discreta con Rec(X) = { − 3 , − 2 , − 1, 0 ,1, 2 , 3 } y con
probabilidades iguales en todos los puntos del recorrido.
a) Hallar recorrido y cuantía de Y = X2.
b) Hallar recorrido y cuantía de Z =2X-3
 z + 3
c) Verificar que FZ ( z ) = FX 

 2 
EJERCICIO 8
Sea FX(x) la función de distribución de una variable aleatoria X absolutamente continua.
Se pide:
Hallar la distribución de probabilidad de la variable aleatoria U, definida de la siguiente
manera: U = FX(X).
5
PRáCTICA 1: VARIABLE ALEATORIA, FUNCION GENERATRIZ DE MOMENTOS Y TRANSFORMACIONES
EJERCICIO 9 (Examen dic/2001)
Sea la variable X tal que:
 1

f X ( x ) = 2 x
 0

si x ∈ (0,1)
en otro caso
y sea la transformación Y = 10 X , se pide:
a) Hallar la densidad de Y, su recorrido y reconocerla.
b) Calcular E X .
c) El contenido (en toneladas) de los containers que se cargan en el puerto tiene distribución
Y. Si se elige un contenedor al azar, ¿cuál es la probabilidad de que su contenido supere
[E (Y ) + 2σ Y ] ?
( )
EJERCICIO 10
Sea X uniforme continua en el [0, 1]
a)
b)
c)
d)
Calcular FX (x)
Plantear la función de distribución acumulativa de Y = –2LX en función de FX (x)
Hallar la densidad de Y.
Calcular E(Y) de dos maneras distintas.
EJERCICIO 11
Sea una variable aleatoria X y g una función continua, con derivada continua y estrictamente
monótona, tal que Y = g(X) es también una variable aleatoria. Utilizando la relación FY(y) =
P(Y≤y) = P (g(X)≤y):
a) Explicitar la fórmula general para pasar de fX(x) a fY(y) para funciones monótonas.
b) Sea X una variable aleatoria con función de densidad dada por:
2
2 xe − x
si x > 0
fX ( x ) = 
0
en otro caso
2
Hallar la función de densidad de Y= X .
EJERCICIO 12
Sea X ~ N (0,1), hallar la densidad de Y = X2.
6
PRáCTICA 1: VARIABLE ALEATORIA, FUNCION GENERATRIZ DE MOMENTOS Y TRANSFORMACIONES
EJERCICIO 13
(Examen feb/1997)
La variable X = proporción de asientos contables erróneos en un conjunto muy amplio de
asientos tiene una distribución cuya función de densidad puede modelarse adecuadamente por
 1−θθ
x
si 0 < x < 1
fX ( x)= 
θ

en otro caso
0
Se pide:
1. Determinar el espacio paramétrico para θ.
2. Siendo Y = - Ln (X), plantear la función de distribución de Y en función de X. Hallar la
distribución de Y.
EJERCICIO 14
Sea X ~ Exp ( λ ).
1. Hallar la distribución de probabilidad de Y = [ X ] (Parte entera de X).
2. Hallar la distribución de Z = X – Y.
EJERCICIO 15
 0 si x < 1

1
 1 − x 3 si x ≥ 1

Sea la función FX(x) = 
1) Probar, justificando, que FX(x) es una función de distribución.
2) ¿Existen todos los momentos ordinarios de X? Justificar la respuesta.
3) ¿Existe la función generatriz de momentos de X? Justificar la respuesta.
7
PRACTICA 2: VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
PRÁCTICA 2: VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
EJERCICIO 1
Los boletos de ómnibus tienen 5 cifras. La primera puede ser un número del 1 al 5,
mientras que las 4 restantes pueden ser cualquiera de los 10 dígitos. Si todos los números
permitidos en cada cifra del boleto son equiprobables, ¿cuál es el valor esperado de la suma
de las cinco cifras?
EJERCICIO 2
(CANAVOS 4.10)
Supóngase que un examen contiene 15 preguntas del tipo falso o verdadero. El examen se
aprueba contestando correctamente por lo menos nueve preguntas. Si se lanza una moneda
para decidir el valor de verdad de cada pregunta, ¿cuál es la probabilidad de aprobar el
examen?
EJERCICIO 3
A la consulta de un Médico de Medicina General se anotan 12 pacientes. Por distintos
motivos sólo un 80% de los anotados finalmente concurre a la consulta.
a) ¿Cuál es la probabilidad que un día concurran a la consulta todos los anotados?
b) ¿Cuál es la probabilidad que un día no concurra ninguno de los anotados?
c) ¿Cuál es el número esperado de anotados que concurre efectivamente a la consulta?
d) ¿Cuál es el número más probable de anotados que concurre efectivamente a la consulta?
EJERCICIO 4 (Primera Revisión 2001)
De nueve personas que tienen un teléfono celular con sistema prepago, 4 lo poseen de la
empresa A y 5 de la empresa B.
PARTE 1
Se seleccionan sin reposición tres de las nueve personas.
a) Determine la probabilidad de que sólo una de ellas posea un celular de la empresa A.
b) Sea X = número de personas seleccionadas que poseen celular de la empresa A.
Determinar E(X).
c) Determinar V(X).
PARTE 2
Se seleccionan con reposición tres de las nueve personas.
a) Determine la probabilidad de que sólo una de ellas posea un celular de la empresa A.
b) Sea Y = número de personas seleccionadas que poseen celular de la empresa A.
Plantear la función generatriz de momentos Y.
c) Determinar E(Y) a partir de la función generatriz de momentos de Y.
d) Determinar V(Y) a partir de la función generatriz de momentos de Y.
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PRACTICA 2: VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
EJERCICIO 5
Sea X ~ Geom(p).
Se pide:
a) Calcular la probabilidad de que X tome como valor un número par.
b) Demostrar que se verifica P(X≥k)=(1-p)k, k∈N.
c) Demostrar que P(X≥k+x/X≥k) = P(X≥x) x∈Rec(X), k∈N. ¿Cómo se debe interpretar
este resultado?
EJERCICIO 6 (Primera Revisión 2000)
En una distribución geométrica donde X mide la cantidad de fracasos antes del primer
éxito, se sabe que P(X ≥ 2) = 0.81.
a) Determinar el recorrido de la variable aleatoria X.
b) Determinar la cuantía de la variable aleatoria X y hallar el valor de su parámetro.
EJERCICIO 7
(CANAVOS 4.32)
Un contador recientemente graduado pretende realizar el examen CPA. Si el número de
veces que se toma el examen constituye un conjunto de eventos independientes con una
probabilidad de aprobar igual a 0.6, ¿cuál es la probabilidad de que no se necesiten más de
cuatro intentos para aprobar el examen? ¿Son válidas las suposiciones de independencia y
probabilidad constante?
EJERCICIO 8
(CANAVOS 4.12)
El gerente de un restaurante que sólo da servicio mediante reservación sabe, por
experiencia, que el 15% de las personas que reservan una mesa no asistirán. Si el
restaurante acepta 25 reservaciones pero solamente dispone de 20 mesas, ¿cuál es la
probabilidad que a todas las personas que asistan al restaurante se les asigne una mesa?
EJERCICIO 9
(CANAVOS 4.27)
Una compañía recibe un lote de 1000 unidades. Para aceptarlo se seleccionan diez unidades
de manera aleatoria, y se inspeccionan. Si ninguna se encuentra defectuosa, el lote se
acepta; de otro modo, se rechaza. Si el lote contiene un 5% de unidades defectuosas:
a) Determinar la probabilidad de aceptarlo mediante el empleo de la distribución
hipergeométrica.
b) Aproximar la respuesta de la parte a) mediante el empleo de la distribución Binomial
c) Aproximar la respuesta de la parte b) mediante el empleo de la distribución Poisson.
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PRACTICA 2: VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
EJERCICIO 10
La llegada de autos a un peaje sigue una distribución de Poisson con un promedio de 3
autos por minuto.
a) ¿Cuál es la probabilidad que en un minuto no llegue ningún auto?
b) ¿Cuál es la probabilidad que lleguen exactamente 4 vehículos en dos minutos?
c) ¿Cuál es la probabilidad que en un minuto lleguen 2 autos y en el minuto siguiente
lleguen otros dos autos?
d) ¿Cuál es el número esperado de llegada de autos al peaje en media hora?
e) ¿Cuál es el número más probable de llegadas de autos al peaje en medio minuto?
EJERCICIO 11
El número de automóviles que circulan por una autopista, durante una hora, sigue una
distribución de Poisson de parámetro λ. Cada automóvil que circula por esta autopista tiene
una probabilidad p de sufrir un accidente. Los accidentes, para cada automóvil que circula,
son sucesos independientes. Hallar la distribución de la variable Y = número de accidentes
ocurridos en la autopista durante una hora.
EJERCICIO 12
(CANAVOS 4.21)
Mediante estudios recientes se ha determinado que la probabilidad de morir por causa de
cierta vacuna contra la gripe es de 0.00002. Si se administra la vacuna a 100 mil personas y
se supone que éstas constituyen un conjunto independiente de ensayos, ¿cuál es la
probabilidad de que mueran no más de dos personas a causa de la vacuna?
EJERCICIO 13 (Primera Revisión 1993)
Los científicos de un centro espacial deciden investigar la superficie de Marte. Envían un
robot de 4 metros de ancho para revisar el suelo marciano. El robot camina hacia adelante
sin parar y sin doblar y tiene combustible para marchar 5 kms. Se sabe que en un km.
cuadrado hay promedialmente 20 pequeños cráteres y que si el robot toca uno de ellos no
funciona más. Los científicos necesitan conocer la probabilidad de que el robot recorra los
cinco kms sin tocar ningún cráter. Sea X el número de cráteres en la faja que barre el robot.
(Observar que esa faja es de 4*5000 = 20000 m2 es decir 0,02 km2)
1. ¿Qué supuestos, en este caso específico, serán necesarios para que X se distribuya según
Poisson?
2. Suponiendo que se dan los supuestos del punto anterior, escribir la cuantía de X.
3. Calcular la probabilidad que preocupa a los científicos.
4. Los científicos arreglan el robot para que pueda saltar el primer cráter con que se
encuentra y siga caminando, calcular la probabilidad de que culmine con éxito su
caminata de cinco kms.
5. En el caso 4 ¿cuál es la probabilidad de que pueda recorrer por lo menos k kms
(k = 1,2,3,4)?
10
PRACTICA 2: VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
EJERCICIO 14
Un jugador de quiniela apuesta todas las semanas al número 6.
a) Calcular la probabilidad que el jugador gane por primera vez recién en la semana
10.
b) ¿Cuál es la probabilidad que en la semana 15 gane por segunda vez?
c) ¿Cuál es la probabilidad que en la semana 20 gane por tercera vez?
EJERCICIO 15 (Primera Revisión 1994)
Un astillero vende un único modelo de barco, cuyo precio es P. Los compradores nunca
adquieren más de un barco y la llegada de clientes compradores al local de ventas puede
modelizarse adecuadamente a través de la distribución de Poisson con tasa λ. El
mantenimiento del local de ventas implica una función de costos cuadrática de forma:
c(t) = bt2 b>0 donde t = tiempo que el local de ventas permanece abierto. Sea B(t) los
beneficios de la empresa (calculados como los ingresos por ventas menos los costos de
mantenimiento).
Se pide:
1. ¿Cuánto tiempo deberá el astillero mantener abierto el local de ventas para maximizar
los beneficios esperados?
2. Se sabe que el riesgo se cuantifica a través de la varianza de los beneficios. ¿Cuál es la
duración del negocio que minimiza el riesgo? Interprete el resultado.
3. Si P = 20, λ = 2 y b = 1. ¿Cuál es la probabilidad de que una empresa, maximizadora de
beneficios esperados, obtenga beneficios positivos? (Sugerencia: Utilizar la
aproximación normal, es decir que una v.a. Poisson(α) se aproxima por una N(α,α))
4. En el caso 3, ¿cuál es la probabilidad de pagar más de 100 de costo antes que venga el
primer cliente?
EJERCICIO 16 (Primer Control 1995)
Juan Quiniela tiene $ 2 y Pedro Tómbola tiene $ 1. Juegan lanzando una moneda de la
siguiente manera: si sale cara, Juan le paga a Pedro $ 1; si sale número, Pedro le paga a
Juan $ 1. El juego termina cuando uno de ellos queda sin dinero. Sea X = el número de
tiradas necesarias para terminar el juego.
Se pide:
a) Hallar el recorrido de X.
b) Calcular P(X=1), P(X=2), P(X=3).
c) Deducir la cuantía de X.
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PRACTICA 2: VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
EJERCICIO 17 (Primera Revisión 1996)
La cantidad de vehículos (N) que se reparan por hora en un taller mecánico es una variable
aleatoria cuya función de cuantía es:
P(N = n) = 0,1(0,9)n
n = 0,1,2,3,….
Cada vehículo reparado le produce al taller mecánico una ganancia de $250. El costo fijo
mensual es de $400.000. El taller funciona 8 horas por día, 25 días al mes.
Se pide:
1. Analizar si con la cantidad esperada de vehículos reparados por mes se logrará cubrir el
costo fijo
2. Del total de vehículos que se reparan por hora (N), una parte (también aleatoria) son
reparaciones eléctricas. Sea X = “Número de reparaciones eléctricas por hora” de la
cual se sabe que (X / N = n) ~ B(n;0,2).
a) Hallar la cuantía conjunta del par (X, N), con su recorrido.
b) Demostrar que la cuantía marginal de X es geométrica de razón p y hallar el valor
de p.
+∞
Sugerencia: recordar que
∑(
k −1+ n
n
)q n p k = 1 .
n =0
c) Si el costo fijo mensual de la sección electricidad del taller mecánico es de
$100.000. ¿Es dicha sección rentable para el taller?
EJERCICIO 18 (Examen May/1995)
En un Banco se presentan diariamente cheques a cobrar, cuyas firmas son sometidas a un
control de verificación. Los cheques llegan a razón de 300 por día a través de un proceso de
Poisson. Además, la probabilidad de que un cheque presentado para su cobro tenga una
firma falsa es 0.008. Puede suponerse que los cheques se presentan por distintas personas,
en forma independiente.
Se pide:
1. Plantear (sin calcular) la probabilidad de que en un día determinado se reciban para su
cobro exactamente 350 cheques
2. Sabiendo que en un día llegaron exactamente 300 cheques, calcular la probabilidad de
encontrar a lo sumo tres cheques con firmas falsas.
3. Plantear (sin calcular) la probabilidad que en un día determinado se presenten
exactamente tres cheques con firmas falsas.
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PRACTICA 2: VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
EJERCICIO 19 (Primera Revisión 1994)
Para un viaje diario entre dos ciudades una compañía de aviación dispone de capacidad
para 300 pasajeros. La demanda frecuentemente supera la capacidad del avión. Luego de
adquirido el pasaje, la decisión de viajar o no es tomada independientemente por cada
pasajero. La probabilidad que una persona que ha comprado el pasaje desista de viajar es
constante e igual a 0.20 para cada comprador de pasajes. Sea n el número de pasajes
comprados en un día y sea la variable aleatoria Xi definida así:
 1 si el comprador i decide viajar
Xi = 
0 si el comprador i decide no viajar
Se pide:
1. Definir, en función de n y de las Xi una variable aleatoria Y que indique el número de
pasajeros que diariamente deciden viajar
2. ¿Cuál es la distribución exacta de Y? Justificar.
3. Plantear la distribución aproximada de Y indicando por qué dicha aproximación vale en
este caso.
4. Usando la aproximación anterior determinar cuántos pasajes como máximo puede
vender la compañía diariamente para que, con probabilidad de 0,95 no quede ningún
pasajero sin asiento.
5. Si la decisión de viajar no se tomara independientemente por cada pasajero (por
ejemplo, la gente viaja en pareja o con su familia), ¿este hecho afectaría los resultados
obtenidos? Fundamentar.
EJERCICIO 20 (Examen Mar/2002)
Un fabricante de telas, el Sr. Desmán Telar, desea conocer más acerca de la calidad de sus
productos. Telar sabe que en 4 metros de tela se encuentra una falla en promedio y que el
número de fallas, X, se distribuye Poisson. Telar vende la tela en cortes de 6 metros.
Se pide:
1. Hallar la probabilidad de encontrar a lo sumo 2 fallas en un corte.
2. ¿Cuántas fallas en promedio se espera encontrar en un corte de tela? Justifique su
respuesta.
3. Sea T el metraje de tela entre 2 fallas consecutivas. Hallar P(T=2).
4. ¿Cuánto vale la E(T) y qué significa en este caso? Justifique su respuesta.
13
PRACTICA 2: VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
EJERCICIO 21 (Primera Revisión 1996)
La Tienda Italiana tiene dos sucursales (A y B). La llegada de clientes a cada una de las
sucursales es un proceso aleatorio con promedio λ1 llegadas por hora en la sucursal A y
promedio λ2 llegadas cada dos horas en la sucursal B. Cada sucursal permanece abierta 8
horas por día. Sean las variables aleatorias
X1 = ”número de clientes que llegan a la sucursal A en un día determinado (de 8 horas)”
X2 = ”número de clientes que llegan a la sucursal B en un día determinado (de 8 horas)”
Se pide:
1. Explicite los supuestos necesarios para que X1 y X2 tengan ambas distribución de
Poisson. Especificar los respectivos parámetros.
2. Si se supone que X1 y X2 son independientes, demostrar que la variable T = “número
total de clientes que llegan a las dos sucursales”, tiene distribución de Poisson. Hallar
el parámetro de la distribución de T. (Sugerencia: utilizar la función generatriz de
momentos).
3. Sabiendo que λ1 = 0.25 y λ2 = 0.25,
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día determinado lleguen en total 6 clientes a
las dos sucursales?
b) Sabiendo que en un día determinado llegaron en total 6 clientes a las dos sucursales,
calcular la probabilidad de que 4 de ellos hayan llegado a la sucursal A.
EJERCICIO 22
Un sistema electrónico contiene n componentes que funcionan independientemente entre sí.
Los componentes están conectados en serie y por lo tanto el sistema funcionará si todos los
componentes funcionan a la vez. Cada componente funciona bien durante un cierto número
de períodos de tiempo hasta que se estropea. Suponer que para i = 1, 2, ..., n el número de
períodos en los que la componente i funciona bien es una variable aleatoria discreta con
distribución Geom(pi). Determinar la distribución del número de períodos en los que el
sistema funciona bien.
EJERCICIO 23
Indique si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos. Si es falso, señale la respuesta
correcta.
1. Para calcular probabilidades en una distribución binomial, debe conocerse el número de
ensayos y la probabilidad de éxito.
2. La distribución probabilística de Poisson es una distribución continua.
3. Tanto la distribución Binomial como la de Poisson se ocupan de experimentos que sólo
tienen dos posibles resultados, un éxito o un fracaso.
4. Si 20% de un grupo de personas son miopes (“corta de vista”), y se selecciona un gran
número de muestras aleatorias de 20 personas, es razonable esperar que poco más de la
mitad de las muestras contenga a lo sumo una persona corta de vista.
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PRACTICA 2: VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
5. Si 0,1% (0,001) de las lámparas eléctricas producidas por una máquina son defectuosas,
la probabilidad de no encontrar una lámpara defectuosa en una muestra de 100 es
aproximadamente 0,90.
6. Si el número de ensayos permanece constante, la forma de una distribución binomial
tiende a volverse más simétrica conforme p aumenta.
7. Se sabe que las llegadas de camiones con basura a la usina de descarga siguen una
distribución de Poisson. Por lo tanto, los kg. de basura que traen dichos camiones tienen
distribución de Poisson.
8. La variable aleatoria Binomial cuenta el número de ensayos necesarios para observar
“k” éxitos y la variable aleatoria Binomial Negativa cuenta el número de éxitos
observados en n ensayos.
9. La cuantía Binomial Negativa puede escribirse como el producto de una Binomial
donde se obtuvieron (k-1) éxitos por la probabilidad de obtener un éxito.
10. Si no leyó el tema y adivinó la respuesta a cada una de estas 10 preguntas de verdadero
o falso, la probabilidad que haya adivinado las 10 en forma correcta es 1 en 1000.
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PRACTICA 3: VARIABLES ALEATORIAS ABSOLUTAMENTE CONTINUAS
PRÁCTICA 3: VARIABLES ALEATORIAS ABSOLUTAMENTE CONTINUAS
EJERCICIO 1
Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme sobre el intervalo (–1, +1).
a) Calcular el desvío estándar de X.
b) Calcular P(| X - µX | > σX ).
c) Calcular P(X > 2.σX ).
EJERCICIO 2
(CANAVOS 5.21)
Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme sobre el intervalo (a,b).
Si E (X) = 10 y VAR (X) = 12, encontrar los valores de a y de b.
EJERCICIO 3
(CANAVOS 5.9)
La demanda mensual de cierto producto A tiene una distribución normal con una media de
200 unidades y desviación estándar igual a 40 unidades. La demanda de otro producto B
también tiene una distribución normal con media de 500 unidades y desviación estándar
igual a 80 unidades. Un comerciante que vende estos productos tiene en su almacén 280
unidades de A y 650 de B al comienzo de un mes.
¿Cuál es la probabilidad de que, en el mes, se vendan todas las unidades de ambos
productos? Puede suponerse independencia entre ambos eventos.
EJERCICIO 4
Los frascos de dulce de leche tienen un peso neto (en gramos) con distribución N(998, 25).
¿Cuál es la probabilidad que un frasco elegido al azar tenga menos de 995 gramos?
EJERCICIO 5
En la central telefónica de La Paloma, al estudiar la duración (T) de las llamadas
telefónicas, se ha encontrado que la misma es, aproximadamente, una variable aleatoria con
la siguiente función de densidad:
0
si t ≤ 0


f T (t) = 
 β - kt si t < 0 (k > 0)
 e
Se pide:
a) Determinar β para que fT(t) sea una función de densidad.
b) Suponiendo que k = 0,5 minutos, calcular la probabilidad de que una conversación dure
más de dos minutos.
c) Calcular la probabilidad de que la conversación dure entre 3 y 6 minutos.
16
PRACTICA 3: VARIABLES ALEATORIAS ABSOLUTAMENTE CONTINUAS
EJERCICIO 6 (Primera Revisión 1996)
Un restorán está especializado en el jabalí asado. Tras larga experiencia se sabe que el peso
de los jabalíes tiene una distribución normal donde el 33% de los jabalíes pesa menos de
27,8 kg. y sólo el 7,5% sobrepasan los 37,2 kg. El encargado de compras del restorán
rechaza todo jabalí que pese menos de 26 kg. Si en un mes se adquieren 250 jabalíes, ¿qué
cantidad se espera que sean rechazados con el criterio del encargado de compras? ¿Cuál es
la probabilidad aproximada de que se rechacen por lo menos 50 jabalíes?
EJERCICIO 7 (Primera Revisión 2000)
A un aeropuerto pequeño llegan, a través de un proceso de Poisson, un promedio de tres
aviones por hora.
a) A partir de un momento dado, ¿cuál es la probabilidad de tener que esperar más de
media hora hasta la próxima llegada de un avión?
b) Calcular la probabilidad de que la demora entre dos llegadas consecutivas sea inferior a
15 minutos.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que en los próximos 15 minutos no llegue ningún avión al
aeropuerto, si se sabe que en los 15 minutos anteriores no hubo ninguna llegada?
Fundamentar.
d) Considere los siguientes sucesos: A = “al aeropuerto llegan seis aviones en tres horas”
y B = “al aeropuerto llegan tres aviones en la primera hora, dos aviones en la segunda
hora y un avión en la tercer hora”. ¿Cuál de los dos sucesos tiene mayor probabilidad
de ocurrencia? Fundamente su respuesta.
EJERCICIO 8
Una linterna es alimentada por 5 pilas que funcionan de forma independiente, y cuyo
tiempo de vida, para cada pila medido en horas, es una variable aleatoria exponencial con
λ= 0.001. La linterna deja de se útil cuando dejan de funcionar 3 o más pilas. ¿Cuál es la
probabilidad de que la linterna funcione durante más de 1000 horas?
EJERCICIO 9
PARTE A
Si X ~ Exp(λ). Demostrar que para los números a y b, con a>0 y b>0, se cumple:
P(X>a+b/X>a)=P(X>b).
PARTE B
Un sistema consta de n componentes, que funcionan de forma independiente. El tiempo de
vida de la componente i es una v.a. Xi ~Exp(λ) i = 1, 2, ..., n
1) Hallar el tiempo medio transcurrido hasta que falla la componente que se rompe
primero.
2) Hallar el tiempo medio hasta que fallan k componentes. (k ≤ n).
17
PRACTICA 3: VARIABLES ALEATORIAS ABSOLUTAMENTE CONTINUAS
EJERCICIO 10
La empresa MORDISCON, administradora de un servicio de telefonía celular, factura sus
servicios de acuerdo a la duración de las llamadas. Se sabe que la duración de una llamada
(medida en minutos) se puede modelar aproximadamente por medio de una v.a. X con
función de densidad:
λ e − λx
si x > 0
(λ > 0)
f X ( x) = 
en otro caso
0
Se pide:
a) ¿Qué significado tiene λ en este problema?
b) Si el precio de cada minuto es de $3 (más IVA), ¿Cuál es el costo esperado por
llamado?
c) Si la empresa cambia su modo de facturar, pasando a cobrar el número de minutos que
dura una llamada por exceso (o sea si dura 2.3 minutos cobra 3, si dura 3.5 cobra 4).
Hallar el costo esperado por llamado (Considerar λ = 1/10, 1/2, 1, 2, 10).
d) Calcular el beneficio medio suplementario obtenido por modificar el sistema de cobro
(Utilizar los mismos valores de λ del punto anterior).
EJERCICIO 11 (Examen Dic/1999)
En un hormiguero conviven 1000 hormigas. Todos los días 550 de ellas salen a buscar
alimento. Cada una trae, en promedio, el doble del alimento que necesita para sobrevivir un
día. Todas las hormigas tienen diariamente las mismas necesidades de alimento. Si la
unidad representa el alimento necesario diario, la comida que trae cada hormiga es un
variable aleatoria X que se distribuye N(2,2). Se sabe que la cantidad de alimento que
consigue una hormiga es independiente de la que consiguen las demás.
Se pide:
1. Deducir (fundamentando) la distribución del alimento total diario que traen las 550
hormigas.
2. ¿Cuál es la probabilidad de que el alimento total diario alcance para las necesidades de
toda la población?
3. Un día aparece un oso hormiguero y se come exactamente 100 de las 550 hormigas que
habían salido a buscar alimento. ¿Cuál es la probabilidad de que el alimento, que traen
las demás, alcance para las necesidades de la población resultante?
4. Ante la presencia del oso hormiguero las hormigas deciden organizarse de otra manera.
En primer lugar, con certeza, toda hormiga que sale a buscar alimento, debe volver con
una carga que exactamente duplique lo necesario para su sustento diario. En segundo
lugar, al salir del hormiguero se habrán de dispersar de tal forma que la probabilidad de
que una hormiga sea atrapada por el oso sea exactamente 0.15. En tercer lugar, cada día
habrán de salir exactamente la cantidad mínima de hormigas necesarias (n) para cubrir
la demanda de alimento diario (K) con probabilidad no menor que 0.99. Se trata de
ayudar al hormiguero a calcular la cantidad de hormigas que deben salir en busca de
alimento el día que han quedado 900 sobrevivientes.
a) Sea W = “número de hormigas que se come el oso ese día”, plantear la
distribución de W en función de n.
b) Interpretar la expresión 2(n – W) y determinar n.
18
PRACTICA 3: VARIABLES ALEATORIAS ABSOLUTAMENTE CONTINUAS
EJERCICIO 12 (CANAVOS 5.29)
Sea X una variable aleatoria con distribución gama con a = 2 y λ = 0.02.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que X tome un valor menor al valor de la media?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que X tome un valor mayor de dos desviaciones estándar
con respecto a la media?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que X tome un valor menor al de su moda?
EJERCICIO 13 (CANAVOS 5.31)
La edad a la que un hombre contrae matrimonio por primera vez es una variable aleatoria
con distribución gama. Si la edad promedio es de 30 años y lo más común es que el hombre
se case a los 22 años, encontrar los valores de los parámetros a y λ para esta distribución.
EJERCICIO 14
Sea:
kx e −2kx
f : f ( x) = 
0
si x ≥ 0
si x < 0
Se pide:
1. Hallar k > 0 para que f sea una función de densidad de la variable aleatoria X.
2. Hallar el modo de la variable X y la E(X).
3. Sea Y = “Número de piezas defectuosas en un lote”. Su distribución de probabilidad
puede aproximarse por la de X aplicando las correcciones de continuidad:
1
1
P(Y = y ) = P ( y − ≤ X ≤ y + )
2
2
Hallar P(Y>10). Aproximando a dos cifras decimales.
4. Se observa una M.A.S. c/r de 50 lotes. Hallar el número esperado de lotes que
contienen más de 10 piezas defectuosas.
5. ¿Cuál es el número esperado de piezas defectuosas en la muestra de 50 lotes? Usar la
aproximación dada por (1).
EJERCICIO 15 (Primera Revisión 1995)
La demanda semanal (en kg.) de cierto producto se puede modelar aproximadamente por la
siguiente función de densidad:
e − x si x > 0
f X ( x) = 
en otro caso
0
A principios de cada semana se hace un aprovisionamiento de k kilogramos del producto.
Por semana la demanda de kg. del producto produce una ganancia de ax unidades
monetarias y el sobrante (que no es reutilizable) una pérdida de b(k-x) unidades monetarias.
1. Plantear la función de beneficio neto semanal en función de x y k. (Recordar que si no
hay sobrante no hay pérdida y como máximo se pueden vender k kilogramos, aún
cuando la demanda supere ese valor).
2. Hallar el valor de k que maximice el beneficio, neto semanal, esperado.
19
PRACTICA 3: VARIABLES ALEATORIAS ABSOLUTAMENTE CONTINUAS
EJERCICIO 16 (Examen Feb/1997)
En el camino a ″Paso de los Potros″ hay una sola estación de servicio con un surtidor de
nafta. Don Margarito, quien la atiende, se entretiene anotando la hora en que llega cada
vehículo a cargar nafta así como los litros que carga. De las anotaciones de Margarito se
deduce que el número de vehículos que llegan a su estación es una variable (X) que puede
modelarse adecuadamente por Poisson con media de 1 por hora. A su vez la cantidad de
nafta que carga cada uno es una variable (Y) modelable por una N(15,400). X e Y son
independientes y además los litros de nafta que carga un vehículo se suponen
independientes de los que carga cualquier otro.
Se pide:
1. Calcular la probabilidad de que en una mañana de trabajo (4 horas) lleguen más de 3
vehículos.
2. Calcular la probabilidad de que el segundo y el tercer vehículo que llegan carguen más
de 20 litros de nafta cada uno. Justifique.
3. Al comenzar la jornada de trabajo (de 12 horas), Margarito mide el contenido del
depósito de combustible y verifica que tiene 800 litros. Si ese día llegan exactamente 40
vehículos, ¿Cuál es la probabilidad de que se quede sin combustible antes de abastecer
completamente a todos? Fundamentar cada paso.
4. Suponiendo que ese día en lugar de llegar 40 vehículos, llegan exactamente k vehículos,
plantear la probabilidad pedida en el punto 3 en función de k y determinar el máximo k
natural, para el cual dicha probabilidad es menor a 0.2. (Sugerencia: para resolver la
inecuación, hacer el cambio de variables k = u )
5. ¿Cuánta nafta debería tener el depósito de la estación al iniciar la jornada de manera
que exista una probabilidad menor a 0.01 de que quede sin gasolina el día en que llegan
un número de vehículos exactamente igual al máximo valor de k hallado en el punto
anterior?
6. Calcular la probabilidad de que en una mañana de trabajo (4 horas) lleguen más de 3
vehículos.
7. Calcular la probabilidad de que el segundo y el tercer vehículo que llegan carguen más
de 20 litros de nafta cada uno. Justifique.
8. Al comenzar la jornada de trabajo (de 12 horas), Margarito mide el contenido del
depósito de combustible y verifica que tiene 800 litros. Si ese día llegan exactamente 40
vehículos, ¿Cuál es la probabilidad de que se quede sin combustible antes de abastecer
completamente a todos? Fundamentar cada paso.
9. Suponiendo que ese día en lugar de llegar 40 vehículos, llegan exactamente k vehículos,
plantear la probabilidad pedida en el punto 3 en función de k y determinar el máximo k
natural, para el cual dicha probabilidad es menor a 0.2. (Sugerencia: para resolver la
inecuación, hacer el cambio de variables k = u )
10. ¿Cuánta nafta debería tener el depósito de la estación al iniciar la jornada de manera
que exista una probabilidad menor a 0.01 de que quede sin gasolina el día en que llegan
un número de vehículos exactamente igual al máximo valor de k hallado en el punto
anterior?
20
PRACTICA 3: VARIABLES ALEATORIAS ABSOLUTAMENTE CONTINUAS
EJERCICIO 17 (Examen Feb/1998)
Una compañía de aviación realiza diariamente los siguientes vuelos:
08:00 – Montevideo – Punta del Este
0900 – Punta del Este – Montevideo
20:00 – Montevideo – Punta del Este
21:00 – Punta del Este – Montevideo
El avión tiene una capacidad máxima de 250 pasajeros. Estos, al tomar la decisión de
viajar, lo hacen independientemente de otros pasajeros, lo que permite suponer que la
demanda de pasajes se distribuye binomial. También puede suponerse que son
independientes las cantidades de pasajes demandados por tipo de viaje. Se dispone de la
siguiente información:
Distribución de la
Tipo de viaje
Precio Demanda
Demanda
08:00 – Montevideo – Punta del Este U$S 30
X1
B(275,0.80)
0900 – Punta del Este – Montevideo U$S 25
X2
B(250,0.80)
20:00 – Montevideo – Punta del Este U$S 20
X3
B(200,0.80)
21:00 – Punta del Este – Montevideo U$S 25
X4
B(250,0.80)
Se pide:
1. Hallar aproximadamente la probabilidad de que en el vuelo de las 8:00 la demanda
supere la capacidad máxima. ¿Qué puede decirse de los restantes vuelos?
2. Demostrar que la demanda total de pasajes diaria se distribuye también binomial,
especificando los parámetros de la distribución.
3. Sea Y el valor en U$S de las ventas diarias de pasajes. Expresar Y en función de las Xi.
4. Deducir, justificando, la distribución aproximada de Y.
5. Plantear en función de X2, X3 y X4 (sin calcular) la probabilidad de que las ventas
superen los U$X 20.000, si la demanda en el vuelo de las 8:00 es de 200 pasajeros.
EJERCICIO 18 (Primera Revisión 2000)
k ( x + 1 ) si 0 < x < 2
La función de densidad de la variable aleatoria X es f X ( x ) = 
en otro caso
 0
Se pide:
a) Calcular el valor de la constante k.
b) Determinar media y desviación típica de la variable aleatoria X.
c) Determinar la mediana de la variable aleatoria X.
d) Determinar la media de la variable aleatoria Y = X2 + 1 sin utilizar la función de
densidad ni la función generatriz de Y.
e) Determinar la función de densidad de la variable Y = X2 + 1.
f) Verificar el valor obtenido para la media de la variable aleatoria Y (en la parte d)
utilizando la función de densidad de la variable aleatoria Y.
21
PRACTICA 3: VARIABLES ALEATORIAS ABSOLUTAMENTE CONTINUAS
EJERCICIO 19 (CANAVOS 5.26)
La proporción de unidades defectuosas en un proceso de fabricación es una variable
aleatoria que se encuentra aproximada por una distribución beta con α= 1 y β= 20.
a) ¿Cuál es el valor de la media y de la desviación estándar?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción de artículos defectuosos sea mayor que un
10%? y ¿Mayor que un 15%?
EJERCICIO 20 (CANAVOS 5.36)
Sea X una variable aleatoria con distribución de Weibull y parámetros a = 2 y λ = 0.05.
a) Graficar la función de densidad de probabilidad.
b) Calcular la probabilidad de que X tome un valor mayor que la media.
c) Calcular la probabilidad de que X tome un valor que se encuentre en un intervalo de
amplitud igual a una desviación estándar desde la media, y después en un intervalo de
amplitud igual a dos desviaciones estándar desde la media.
EJERCICIO 21
El ingreso de los hogares tiene distribución Log-N(8, 2).
SE PIDE:
a) ¿Cuál es la probabilidad que un hogar tenga ingresos entre $5.000 y $10.000?
b) Calcular el ingreso esperado.
EJERCICIO 22
Una marca de computadoras se vende con 3 años de garantía. El tiempo hasta que se
produce la primera falla de las computadoras tiene distribución W(α = 2, λ = 1/8).
SE PIDE:
a) ¿Cuál es la probabilidad que una computadora elegida al azar tenga su primera falla en
el período de garantía?
b) ¿Cuál es el modo de la distribución?
c) Hallar el tiempo esperado hasta la primera falla.
d) Graficar la densidad W(α = 2, λ = 1/8).
EJERCICIO 23
La proporción de consumidores de un producto (X) varía de una ciudad a otra siguiendo
una distribución beta con parámetros (2, 3).
a) Calcular E(X).
b) Calcular P(X > E(X)).
c) Calcular la proporción de consumidores más probable en una ciudad.
d) Graficar fX.
22
PRACTICA 3: VARIABLES ALEATORIAS ABSOLUTAMENTE CONTINUAS
EJERCICIO 24
Los ingresos personales (X) en dos ciudades tienen distribuciones de Pareto con parámetros
(θ = 500, α = 2) y (θ = 700, α = 3) respectivamente.
a) Hallar el ingreso medio en las dos ciudades.
b) Hallar el ingreso mediano en la primera de las ciudades.
c) Calcular la probabilidad que un perceptor gane más de $2.000 en cada ciudad.
d) ¿En qué ciudad es más probable el suceso (1.000 ≤ X ≤ 2.000)?
e) ¿En qué ciudad hay mayor concentración del ingreso? Calcular los índices sintético y
analítico de Gini.
23
PRÁCTICA 4: VARIABLES ALEATORIAS MÚLTIPLES
PRÁCTICA 4: VARIABLES ALEATORIAS MÚLTIPLES
EJERCICIO 1
Sean X e Y dos variables aleatorias discretas con la siguiente distribución conjunta de
probabilidad.
PXY(x, y)
Y
0
1
2
a)
b)
c)
d)
e)
f)
0
0,15
0,10
0,05
X
1
0,10
0,10
0,10
2
0,05
0,10
0,25
Hallar las funciones de probabilidad marginales px(x) y py(y).
¿Las variables aleatorias X e Y son estadísticamente independientes?
Calcular pX/Y=0(x).
Calcular pY/X=2(y).
Calcular E(Y/X=x).
Calcular FXY(x, y) ∀(x, y).
EJERCICIO 2 (NOVALES 7.13)
a) Demostrar que la función de dos variables:
x + y
si x = 1 , 2 , 3 y y = 1 , 2

p X ,Y ( x, y ) =  21
 0
en otro caso
es una función de probabilidad bivariante.
b) Obtener las funciones de probabilidad marginales de las dos variables X e Y, así como
sus esperanzas y varianzas.
a) ¿Son independientes ambas variables?
b) Obtener la distribución de Y condicional en un valor de X, y calcular la esperanza
matemática y la varianza de Y condicionales en X = 3.
EJERCICIO 3
Se tiran dos dados, uno a continuación del otro. Sean X1 = “resultado de la cara superior del
primer dado” y X2 = “resultado de la cara superior del segundo dado”.
Sean Y1 = Máx {X1,X2} y Y2 = Mín {X1,X2}. Hallar la distribución conjunta del par
(Y1,Y2).
24
PRÁCTICA 4: VARIABLES ALEATORIAS MÚLTIPLES
EJERCICIO 4 (Examen Setiembre 1998)
Sea X ∼ Bernoulli (p), Y ∼ Bernoulli (1-p) y X, Y independientes.
Se pide:
1. Hallar la distribución de T = X – Y
2. Hallar la distribución de U = T + 1 y reconocerla
EJERCICIO 5
(Examen Febrero 1997)
Sean X e Y dos variables aleatorias discretas independientes con cuantías dadas por:
1
 4

p X ( x) =  1
4

 1 2
si x = −1
si x = 0
si x = 1
2
 3
pY ( y ) = 
 13
si y = −1
si y = 1
Se pide:
c) Determinar las cuantías de W = X + Y y de T = XY,
d) ¿Son W y T independientes? Justificar la respuesta.
EJERCICIO 6 (CANAVOS 6.3 y 6.6)
Sean X e Y dos variables aleatorias continuas con una función de densidad conjunta de
probabilidad dada por:
 3x − y

f X ,Y ( x , y ) =  5
 0
1< x < 2 , 1< y < 3
para cualquier otro valor
1. Obtener la función de distribución conjunta acumulativa.
2. ¿Cuál es la probabilidad conjunta de que X < 3/2 y Y < 2 ?
3. Mediante el empleo de sus respuestas a la parte a), obtener las distribuciones
acumulativas marginales de X y de Y.
4. Obtener las funciones de densidad marginales de X y de Y.
5. Obtener Cov(X,Y) y ρ(X,Y).
EJERCICIO 7
Sea fXY (x,y) = k.x.y una función de densidad conjunta definida sobre el rectángulo
0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.
1.
2.
3.
4.
Hallar el valor de la constante k.
Encontrar las funciones de densidad marginales de X e Y.
Hallar la E(X/Y).
¿Son X e Y independientes?
25
PRÁCTICA 4: VARIABLES ALEATORIAS MÚLTIPLES
EJERCICIO 8 (Examen de Mayo de 1998)
Sea X la variable aleatoria que mide la propensión de las familias a viajar en Semana de
Carnaval y sea Y la variable aleatoria que mide la propensión de las familias a viajar en
Semana de Turismo. La distribución conjunta del par (X, Y) es:
2( x 3 + y 3 ) si 0 < x < 1 , 0 < y < 1
f X , Y ( x, y ) = 
0
en otro caso

Se pide:
1. Plantear y calcular la probabilidad de encontrar una familia cuya propensión a viajar en
las dos semanas supere 0,5 en ambos casos.
2. Hallar ρ(X,Y) sabiendo que X e Y están idénticamente distribuidas. ¿Cómo se
interpreta este resultado en este problema?
EJERCICIO 9 (Primera revisión de 1996)
Sea (X, Y) un vector bidimensional aleatorio continuo con esperanza finita.
Demostrar la siguiente igualdad: E[E(Y / X)] = E(Y).
EJERCICIO 10 (NOVALES 7.8 y 7.9)
Demuestre que para toda distribución bidimesional, se tiene:
a ) Cov[X , E (Y / X )] = Cov( X , Y )
b) V ( X ) = EY [V ( X / Y )] + VY [E ( X / Y )]
c ) E [g ( X )Y / X ] = g ( X ) E (Y / X )
d ) E [g ( X )(Y − E (Y / X ) / X ] = 0
e) V (Y / x ) = E (Y 2 / x ) − [E (Y / x )] 2
EJERCICIO 11 (Examen de Mayo de 2001)
Sean X1 y X2 dos variables aleatorias independientes y sean Y1= X1 - X2 y Y2= X1 + X2.
Hallar la condición que deben cumplir X1 y X2 para que Y1 y Y2 sean incorrelacionadas.
EJERCICIO 12 (Primera Revisión 1995)
1 n
X 1 + X 2 + ... + X n .
Xi=
∑
n i=1
n
Sabiendo que los primeros dos momentos, centrados en el origen, existen y son finitos tal
que E(Xi) = µi y E(Xi2) = σi2 + µi2, calcular ρ(Xi, X ) si las {Xi} son:
Sean las variables aleatorias X1, X2, ..., Xn y sea X =
a) idénticamente distribuidas e independientes.
b) Idénticamente distribuidas e incorrelacionadas.
26
PRÁCTICA 4: VARIABLES ALEATORIAS MÚLTIPLES
EJERCICIO 13 (Examen Diciembre de 1996)
Una automotora comercializa dos marcas: FIEL y FORO. Las ventas diarias de ambas
marcas tiene la siguiente distribución conjunta:
pX1, X2 (x1, x2) =
50 X1 X2
0,3 p
91
REC(X1, X2) = {(0,0); (0,1); (1,0); (1,1)}
Donde X1 = Ventas diarias de autos FIEL
X2 = Ventas diarias de autos FORO
Se pide:
1.
2.
3.
4.
5.
Hallar p para que pX1, X2 sea una cuantía conjunta.
Hallar las distribuciones marginales de X1 y X2 y reconocerlas.
¿Son X1 y X2 independientes? Fundamentar.
¿Cuál es la distribución de X1 sabiendo que ese día no se vendió ningún auto FORO?
Hallar la distribución de la variable Y = “Nº de autos vendidos por día en la
automotora”.
6. ¿Son X1 e Y independientes? Fundamentar.
EJERCICIO 14 (Examen de Marzo de 2001)
Una empresa de electrónica vende un solo tipo de alarmas para hogares en las siguientes
condiciones:
• Alarmas con colocación incluida; U$S 700
• Alarmas sin colocación: U$S 500
La demanda mensual tiene la siguiente distribución:
P( X 1 = x1 , X 2 = x2 ) = C x601 C x502 0,6 x1 + x2 .0 ,4110− x1 − x2
con Rec( X 1 , X 2 ) = { x1 = 0 ,1,2 ,....,60 ; x 2 = 0 ,1,2,....,50 }
Donde:
X1 = ”demanda mensual de alarmas con colocación”
X2 = ”demanda mensual de alarmas sin colocación”
Se pide:
1. Deducir las distribuciones marginales de X1 y X2 y reconocerlas.
2. ¿Son X1 y X2 independientes? Fundamentar la respuesta.
3. La empresa realiza las compras de alarmas una vez por mes. ¿Cuántas alarmas debe
comprar en un mes si el stock remanente del mes anterior es de 10 alarmas y se
pretende satisfacer la demanda con una probabilidad del 99%?
4. Sea la variable Y = “recaudación mensual en U$S por venta de alarmas (con o sin
colocación)”. Hallar la distribución aproximada de Y fundamentando la respuesta.
5. Calcular la probabilidad de que la recaudación mensual supere los U$S 50.000.
27
PRÁCTICA 4: VARIABLES ALEATORIAS MÚLTIPLES
EJERCICIO 15 (Examen de Marzo de 1996)
Sean dos variables aleatorias X e Y tales que X ∼ Poisson (λ ) y (Y/X = x) ∼ B(x, p)
Se pide:
e − λ [ (1 − p ).λ] x
p X ,Y ( x , y ) =
( x − y ) ! y!
1. Probar que
y
 p 
 y deducir el Rec (X ,Y).
. 
1− p 
qn
= q k eq
∑
n = k (n − k ) !
+∞
2. Utilizando el resultado anterior y recordando que
Deducir la cuantía marginal de Y, y reconocerla.
3. ¿Son X e Y independientes? Fundamentar la respuesta.
4. En el proceso de producción de telas se presentan ciertas fallas que solo pueden
detectarse mediante inspección visual. La aparición de fallas sigue un proceso de
Poisson a razón de una falla cada dos metros. La producción de telas se corta en piezas
de 10 metros que son entregadas a los inspectores de calidad para la detección de fallas.
Al analizar una pieza de 10 metros, la probabilidad de que una falla sea detectada por
un inspector es 0,95 y es constante e independiente en la detección de las fallas que
pudieran aparecer en la pieza. Sea X = Número de fallas en una pieza de 10 metros e Y
= Número de fallas detectadas por el inspector en una pieza de 10 metros.
a) Verificar que el par (X , Y) tiene una distribución conjunta como en el punto 1).
b) Si un inspector revisa 15 piezas. ¿Qué distribuciones siguen las siguientes
variables? :
T1 = Total de fallas en las 15 piezas
T2 = Total de fallas detectadas por el inspector en las 15 piezas
c) Hallar el número esperado de fallas no detectadas por el inspector en las 15
piezas revisadas.
EJERCICIO 16
En una urna hay N bolillas, de las cuales N1 son blancas y N2 = N - N1 son negras. Se
extraen 2 bolillas sin reposición. Sean las variables aleatorias:
1 si en la pimer extracción sale un bolilla blanca
X1 = 
0 si en la primer extracción sale una bolilla negra
1 si en la segunda extracción sale un bolilla blanca
X2 = 
0 si en la segunda extracción sale una bolilla negra
a) Demostrar que X1 y X2 son idénticamente distribuidas.
b) Mostrar que X1 y X2 no son variables aleatorias independientes.
28
PRÁCTICA 4: VARIABLES ALEATORIAS MÚLTIPLES
EJERCICIO 17
Supongamos que unos artículos con probabilidad p de ser aceptables se someten a
inspección, de manera que la probabilidad de que un artículo sea inspeccionado es p'.
Tenemos cuatro clases "aceptable e inspeccionado", "aceptable pero no inspeccionado", etc.
con probabilidades correspondientes pp', pq', p'q, qq', donde q = 1-p y q'=1-p'. Sea N el
número de artículos que pasa por el escritorio de inspección (tanto inspeccionados como no
inspeccionados) antes de que se encuentre el primer defectuoso y sea K el número (no
descubierto) de artículos defectuosos entre ellos.
Se pide: Encontrar la distribución conjunta de N y K y sus correspondientes distribuciones
marginales.
EJERCICIO 18 (Primer control de 1995)
Sean las v.a. X e Y con función de densidad conjunta:
6 y 2
f X , Y ( x, y ) = 
0
si − x ≤ y ≤ x , 0 ≤ x ≤ 1
en otro caso
Se pide :
a) Calcular E (Y/X = x)
b) Calcular E (X/Y = y)
EJERCICIO 19 (Primera Revisión de 1995)
Si se compran y venden artículos de acuerdo al juego libre del mercado se deben esperar
fluctuaciones tanto en la cantidad que se debe pagar por un artículo como en la cantidad en
que se podrá venderlo. Se supone que un comerciante paga una cantidad X (en unidades
normalizadas de forma adecuada) por un artículo que luego debe vender en una cantidad Y.
La distribución conjunta del vector (X, Y) es la siguiente:
kx 2 y 2
f X , Y ( x, y ) = 
 0
si 0 < x ≤ y ≤ 1
en otro caso
Se pide:
1. Suponiendo que no tenga costos fijos que deba cargar en el precio de venta de este
artículo, ¿cuál es la utilidad esperada por artículo?
2. ¿Cuál es la utilidad esperada por artículo para un nivel x0 de precios?
EJERCICIO 20
Suponga que la v.a. X está uniformemente distribuida en el intervalo (0,1). Asumiendo que
la distribución condicional de Y dado X=x tiene la siguiente función de cuantía:
P( Y = y / X = x ) = C yn x y ( 1 − x )n − y con y = 0,1,2 ,...., n
a) Encontrar la distribución de Y.
b) Calcular la esperanza de Y.
29
PRÁCTICA 4: VARIABLES ALEATORIAS MÚLTIPLES
EJERCICIO 21 (Primera Revisión 1995)
El sistema de autorizaciones de crédito a clientes de la tarjeta “Coca más Pizza” funciona
de la siguiente manera: desde diferentes lugares se envían pedidos de autorizaciones de
crédito, éstas son recibidas por un computador que las reparte (al azar) entre las terminales
de las encargadas de autorizaciones (cada una de las encargadas tarda el mismo tiempo en
procesar la respuesta). Si la terminal donde cayó el pedido no está libre, el computador
vuelve a enviarla (siempre eligiendo al azar, o sea que el pedido podría de nuevo caer en la
misma terminal anterior) hasta que consigue una terminal libre, allí el pedido se procesa y
se envía la respuesta al lugar correspondiente.
Sea N el número de intentos que realiza el computador antes de conseguir una terminal
libre y sea T el tiempo que tarda la autorización desde que se envía la solicitud hasta que se
recibe la respuesta. El vector (N,T)´ tiene la siguiente función de probabilidad:
 λ e − ( λ + β )t ( β t ) n

f N ,T ( n ,t ) = 
n!

0

n = 0 ,1,2,..... , t > 0 , λ > 0 , β > 0
en el resto
1. ¿Cuál es el número esperado de intentos antes que se encuentre una terminal
disponible?
2. Para agilizar los trámites, se harán k intentos, donde k es el número de intentos que se
esperaría hacer si la respuesta demorara t0 minutos, pasado ese número de intentos se
envía automáticamente la autorización del crédito independientemente del historial del
cliente. Indicar cuál es el número k de veces que se tiene que intentar antes de autorizar
automáticamente el crédito si:
a) t0 es igual a 5 minutos.
b) t0 es el tiempo promedio que se tarda en recibir respuesta. ¿Por qué este
valor es igual al hallado en el punto 1)? Fundamentar.
EJERCICIO 22
Sea una variable aleatoria Y que tiene la siguiente distribución de probabilidad:
P(Y=-1) = 1/3 P(Y=1)=2/3
y una variable aleatoria X que sigue una distribución uniforme sobre el intervalo [0,2] si
Y = -1 y una distribución uniforme sobre el intervalo (1, 5) si Y = 1.
Se pide:
a) Obtener la distribución de probabilidad de X condicionada por la variable Y.
b) Obtener la distribución de probabilidad de la esperanza condicional E(X/Y).
c) Obtener la distribución marginal de X.
d) Comprobar que la esperanza de X, coincide con la de la variable aleatoria E(X/Y).
30
PRÁCTICA 4: VARIABLES ALEATORIAS MÚLTIPLES
EJERCICIO 23
Un examen consta de tres partes que se califican por separado. Los puntajes de cada parte,
X1, X2, X3, siguen una distribución conjunta normal multivariada con vector de medias µ y
matriz de varianzas y covarianzas Σ:
 60 
 81 18 3 
 


µ =  65 
Σ = 18 64 3 
 40 
 3 3 81
 


Se pide:
1. Si se exige para aprobar cada parte por lo menos 50 puntos, calcular las probabilidades
de aprobar cada parte.
2. Si para aprobar el examen es suficiente obtener 50 puntos de media entre las tres partes,
calcular la probabilidad de aprobar el examen total.
3. Hallar la distribución de (X2 , X3).
4. Hallar el coeficiente de correlación lineal entre X2 y X3, e interpretar el resultado.
0.5 X 1 + X 2 + 1.5 X 3
. Hallar la distribución de Y.
5. Sea: Y =
3
6. Se perdieron las partes 1 y 2 del examen de uno de los alumnos, ¿cuál sería el valor
esperado del puntaje de las partes 1 y 2 si se sabe que el alumno obtuvo 50 puntos en la
parte 3?
EJERCICIO 24
El vector aleatorio (X,Y) tiene la siguiente función de densidad:
 1 − 12 ( x 2 + y 2 )
 e
f X ,Y ( x , y ) =  π
 0

en { x > 0 , y ≤ 0 } ∪ { x ≤ 0 , y > 0 }
en el resto
1. Demostrar que las variables marginales X e Y siguen una distribución N(0,1).
2. ¿X e Y son variables aleatorias independientes?
3. ¿Es normal bivariante la distribución conjunta de (X,Y)? ¿Qué deduce de estas
conclusiones?
EJERCICIO 25 (CANAVOS 6.1)
Se seleccionaron aleatoriamente 60 personas y se les preguntó su preferencia con respecto a
tres marcas A, B y C. Estas fueron de 27, 18 y 15 respectivamente. ¿Qué tan probable es
este resultado si no existen otras marcas en el mercado y la preferencia se comparte por
igual entre las tres?
31
PRÁCTICA 4: VARIABLES ALEATORIAS MÚLTIPLES
EJERCICIO 26
Tres monedas son lanzadas al mismo tiempo, este experimento se repite n veces. Sean:
X = “número de tiradas en las que no aparece ninguna cara”
Y = “número de tiradas donde aparece una sola cara”
Z = “número de tiradas donde aparecen dos caras”
Se pide:
a) Encontrar la cuantía conjunta de (X,Y,Z).
b) Encontrar la cuantía de (X,Z/Y=y).
EJERCICIO 27
Dadas U1 ~ U (0, 1) y U2 ~ U (0, 1) independientes entre si, hallar las distribuciones
conjuntas y marginales en los siguientes casos:
 X  U 1 + U 2 

a )   = 
 Y  U 1 − U 2 
 X  U .U 
b)   =  1 2 
 Y  U 1 / U 2 
 X   sen(2πU 1 ) − 2 ln U 2 
c)   = 
 Y   cos(2πU 1) − 2 ln U 2 
EJERCICIO 28
Dadas X1, X2, ….. , Xn iid con distribución FX(x), hallar las densidades de:
U = max { X1, X2, ….. , Xn }
V = min { X1, X2, ….. , Xn }
EJERCICIO 29
Dadas las variables aleatorias X e Y independientes ambas con distribución Geom(p), hallar
la cuantía de U = min { X ,Y } y de V = X – Y. Demostrar que U y V son independientes.
EJERCICIO 30
Dos amigos convienen en encontrarse en un boliche entre la hora cero y la una de la
madrugada. Las llegadas serán independientes y convienen en que cada uno ha de esperar
al otro por espacio de 10 minutos, y si no se encuentran, se retirarán del boliche. Si se
supone que las llegadas tienen distribución uniforme continua en el intervalo (0, 1), ¿cuál es
la probabilidad de que los amigos se logren encontrar?
32
PRÁCTICA 5: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
PRÁCTICA 5: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
EJERCICIO 1
Indicar si los siguientes datos son de corte transversal o de series temporales:
a) Ingresos de los hogares de Montevideo en el mes de setiembre de 2006.
b) Número de inasistencias de los docentes de un establecimiento escolar de los últimos 6
meses.
c) Tasa de desempleo del Interior en los 8 trimestres calendario de 2005 y 2006.
d) Resultados del examen de Estadística del 15/10/2006, en el cual rindieron la prueba 148
alumnos.
e) Total anual de egresos en el conjunto de las instituciones universitarias del país, en los
últimos 5 años.
EJERCICIO 2
La siguiente tabla muestra los años que un conjunto de 30 trabajadores encuestados ha
estado en su actual empresa:
4
9
8
11
11
13
3
14
6
7
10
12
1
14
5
18
21
9
4
4
7
11
8
17
2
9
2
2
6
13
a) Construir la distribución de frecuencias absolutas.
b) Obtener las frecuencias relativas para cada clase y su representación gráfica.
c) ¿Qué porcentaje de trabajadores ha estado en su actual empresa más de 8 años? ¿Y
menos de 13?
d) Dibujar el gráfico de frecuencias acumuladas.
e) Repetir los pasos anteriores utilizando ahora intervalos de clase con 1 como límite
inferior del primer intervalo de clase, y longitud de cada intervalo igual a 4.
EJERCICIO 3 (Novales 1.13)
Suponga que dispone de m observaciones de la variable X, con las que calcula su media x
y de n observaciones de la variable Y, con las que calcula su media y . Pruebe que el
promedio z de los m + n datos, tomados todos conjuntamente, puede escribirse:
z=
m
n
x+
y
n+m
n+m
33
PRÁCTICA 5: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
EJERCICIO 4
Una empresa tiene 200 administrativos que reciben U$S 500 mensuales y 800 obreros que
reciben U$S 200 por mes. En tiempo de depresión temporal, todos los salarios se rebajan
un 20% y 600 obreros son mandados a seguro de paro. Sin embargo el departamento de
relaciones públicas da a conocer una declaración en el sentido de que el salario promedio
aumentó. Explique por qué sucede esto.
EJERCICIO 5 (Primera revisión 1997)
El gráfico adjunto corresponde a la función de distribución empírica acumulada de la
cantidad de automóviles diarios vendidos en una automotora, observada en un mes de
trabajo.
F X(x )
1
0 .9
0 .5
0 .2
x
1
2
3
4
Se pide:
1. Explicitar la función de distribución empírica acumulada.
2. Determinar la distribución de frecuencias relativas y graficarla.
3. ¿Qué porcentaje de días se vende en la automotora un automóvil o más? Fundamente su
respuesta.
EJERCICIO 6 (Primera Revisión 2000)
A partir de una muestra de 10 datos se obtuvieron los siguientes resultados:
Media aritmética = 4
Mediana = 5
Realizados los cálculos se descubre que la observación con valor más pequeño estaba
equivocada y en lugar de 2 era 1.
a) ¿Cuál es el valor correcto de la media aritmética? Fundamente su respuesta.
b) ¿Cuál es el valor correcto de la mediana? Fundamente su respuesta.
34
PRÁCTICA 5: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
EJERCICIO 7
Una empresa de transporte lleva estadísticas, desde hace varios años, del rendimiento de
dos marcas de llantas. De las mismas se han sacado los siguientes resultados (en Km.)
LLANTA MEDIANA MEDIA
A
25.000
27.000
B
27.000
25.000
Suponga que las dos llantas se venden al mismo precio. ¿Qué marca recomendaría usted al
negocio de transportes? ¿Por qué?
EJERCICIO 8 (Primer control 2000)
El porcentaje de insectos muertos luego de una aplicación de insecticida se registra en la
siguiente tabla:
Tiempo en minutos
5
10
30
45
60
Porcentaje de insectos
muertos
50
75
85
95
100
Indicar, justificando brevemente, si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:
(a) El tiempo de vida aproximado más frecuente desde la aplicación del insecticida es de 2
minutos 30 segundos.
(b) Sólo el 15% sobrevive más de 30 minutos.
(c) El 10% de las muertes se produce aproximadamente luego del primer minuto.
(d) El tiempo medio aproximado de vida luego de la aplicación es de 11 minutos y medio.
EJERCICIO 9
Indicar qué medidas de posición serían más útiles en cada uno de los siguientes casos,
justificando la respuesta.
1. El gerente de producción de una fábrica de envases de vidrio quiere saber cuál es el
tamaño de envase que debe fabricar en mayor cantidad. Tiene a mano un buen número
de datos de los tamaños de envases ordenados por los clientes.
2. El gerente de ventas de una compañía que produce mobiliario de lujo desea seleccionar
regiones para establecer salas de exhibición. ¿En qué medida del ingreso familiar estará
más interesado?
35
PRÁCTICA 5: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
EJERCICIO 10 (Múltiple opción seleccionada de los exámenes de 2001)
1. En una muestra de hogares la mediana de los ingresos de los varones (Xmed) es 4000 y
la mediana de los ingresos de las mujeres (Ymed) es 3500. Entonces,
a)
b)
c)
FX* ( 4000 ) < FY* ( 4000 )
FX* ( 4000 ) = FY* ( 4000 )
FX* ( 4000 ) > FY* ( 4000 )
2. Para comparar la dispersión entre la distribución del ingreso de los hogares de
Maldonado y la distribución del recorrido hasta la escuela rural de los alumnos de
Lavalleja, el indicador más apropiado es:
a) La varianza
b) La desviación estándar
c) El coeficiente de variación
EJERCICIO 11 (Seleccionado del examen de Mar/2000)
Comente las siguientes afirmaciones fundamentando su veracidad o falsedad:
1. La mediana es una medida de posición que es invariante a alteraciones en los valores
extremos.
2. Cuando se tienen datos agrupados es imposible calcular exactamente los valores de la
media y la varianza de los datos originales sin agrupar.
3. El coeficiente de variación no es tan bueno para medir la dispersión de una variable
como el desvío estándar porque aquel depende de la unidad de medida de la variable.
EJERCICIO 12 (Examen Mar/2000)
PARTE A
A continuación se presenta un cuadro aparecido en un análisis de concentración a partir del
Censo de Establecimientos Industriales.
NUMERO DE
EMPLEADOS
1-4
5-9
10-19
20-49
50-99
100-249
250-499
500-999
1000-2499
2500 – 4000
PORCENTAJE
PORCENTAJE ACUMULADO
ACUMULADO
DE VALOR AGREGADO POR EL
DE
FABRICANTE
ESTABLECIMIENTOS
36,5
1,1
52,3
2,7
67,6
5,9
80,5
13,3
83,0
21,5
96,2
36,5
98,4
49,8
99,4
63
99,8
78,2
100,0
100,0
36
PRÁCTICA 5: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
EJERCICIO 12 (continuación)
1. ¿El 80.5 % de los establecimientos representan el 21.5 % del valor agregado?
Justifique su respuesta.
2. Qué porcentaje de los establecimientos tienen 2.500 empleados o más.
3. ¿Qué participación tienen en el total del valor agregado industrial los establecimientos
que tienen 2.500 empleados o más?
4. Si sabemos que el total de 100.000 establecimientos del país tienen en conjunto un
valor agregado total de 400 millones.
4.1) ¿Cuál es el valor agregado generado en establecimientos que tienen hasta 49
empleados?
4.2) ¿Cuántos empleados hay trabajando en establecimientos que tienen hasta 49
empleados?
PARTE B
1. Completar el siguiente cuadro, a partir del cuadro presentado en la PARTE A. Utilice
como definición de los intervalos: [
)
NUMERO DE
EMPLEADOS
1-5
5-10
10-50
50-250
250-4000
FRECUENCIA RELATIVA
DE ESTABLECIMIENTOS
LAS SIGUIENTES PREGUNTAS DEBEN RESPONDERSE EN BASE AL CUADRO
CALCULADO EN B.1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
¿Cuál es la mediana del número de empleados?
El 50 % de los establecimientos tienen hasta ___________ empleados.
El primer cuartil es ___________
El tercer cuartil es ___________
El 50 % central de las observaciones se encuentra en un intervalo de amplitud _______
¿Cuál es la cantidad media de empleados por establecimiento? ¿Cuántos empleados hay
en el total del país?
8. ¿Cuál es el intervalo modal de la cantidad de personal ocupado?
37
PRÁCTICA 5: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
EJERCICIO 13
La siguiente es la distribución de los ingresos de los hogares a partir de la muestra de la
Encuesta Nacional de Hogares de un mes
[ y’i-1
1000 2000 3000 5000 7000 10000 -
y’i )
2000
3000
5000
7000
10000
15000
ni
100
120
150
100
80
50
Se pide:
1. Calcular la distribución de frecuencias y representarla gráficamente.
2. Calcular la función de distribución acumulada de frecuencias relativas y representarla
gráficamente.
3. Calcular las medidas de posición e interpretar su significado.
4. Calcular las medidas de dispersión.
5. Calcular las medidas de simetría y apuntamiento.
EJERCICIO 14 (Examen Set/1997)
Parte A
En una muestra de 100 datos se obtuvieron los siguientes resultados:
X = 5.55
x0.5 = xmediana = 5.15
s2 = 16
Realizados los cálculos se descubre que una observación con valor 10 estaba equivocada y
correspondía el valor 15.
¿Cuál es el valor correcto de la media, la mediana y la varianza de la muestra?
Parte B
El año pasado en esta época, los datos de préstamos personales de EFECTIVO-YA
mostraron una media de $ 650 y una desviación estándar de $ 300. Recientemente se
calculó la media en $ 1.000 y la desviación estándar en $ 350. Se pide: ¿mostraron mayor o
menor variación relativa los préstamos del año pasado respecto al año actual?
Parte C
¿Por qué se elevan al cuadrado las desviaciones respecto a la media al calcular la
desviación estándar?
38
PRÁCTICA 5: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
EJERCICIO 15 (Primera Revisión de 2001)
PARTE A
En la siguiente tabla se presentan los salarios anuales (en miles de dólares) de los directores
ejecutivos de 100 grandes empresas.
Frecuencia
absoluta
90 , 790
40
790 , 1490
36
1490 , 2190
14
2190 , 2540
10
TOTAL
100
xi' −1 , xi'
Utilice las columnas libres del cuadro para efectuar los cálculos que considere necesarios.
a)
b)
c)
d)
Calcule la media. Interprete su significado.
Calcule la mediana. Interprete su significado.
Calcule el recorrido intercuartil. Interprete su significado.
Calcule la varianza y la desviación estándar.
PARTE B
En la siguiente tabla se presentan las edades de los ejecutivos de la Parte A. En base a ella
se calcularon algunas medidas de resumen.
xi' −1 , xi'
50 , 60
60 , 70
70 , 80
TOTAL
Frecuencia
absoluta
42
50
8
100
x = 61.6 (61 años y 7 meses)
Mediana = 61.6 (61 años y 7 meses)
Primera cuartila = 55.95 (55 años y 11 meses)
Tercera cuartila = 66.6 (66 años y 7 meses)
Varianza = 38.44 años 2
Desviación estándar = 6.2 años
Se desea comparar la dispersión de los salarios y las edades de los directores ejecutivos.
a) En su opinión, ¿cuál es el indicador más apropiado para comparar la dispersión en este
caso? Fundamente su respuesta.
b) Calcule el indicador apropiado y comente el resultado obtenido.
c) Dado que la mediana para las edades es 61.6 (61 años y 7 meses), ¿se puede afirmar
que los ejecutivos menores de 61 años y 7 meses ganan hasta el valor de la mediana de
los salarios hallado en la Parte A? Fundamente su respuesta.
EJERCICIO 16 (Novales 1.7)
Demuestre que si se efectúa un cambio de variable: Y = aX + b , entonces la media
aritmética de Y es: y = a x + b , y su varianza: S y2 = a 2 S x2 . Probar asimismo que la
mediana y la moda experimentarán la misma transformación que la media. Suponga a > 0.
39
PRÁCTICA 5: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
EJERCICIO 17 (Examen Set/1996)
Una empresa comercializa diferentes productos cuyos precios oscilan en el mes de abril
entre $10 y $14. Una muestra de las ventas del mes de abril arrojó los siguientes resultados:
Precio
10
11
12
13
14
Cantidad de productos
50
150
100
80
20
Se pide:
a) Calcular media y varianza de la distribución de la muestra de precios de abril.
b) Los precios de la tabla no incluyen el IVA. Hallar, aplicando las propiedades
correspondientes, la media y la varianza de los precios con IVA (23%).
c) Para el mes siguiente (mayo), los precios sin IVA se incrementarán en $ 1. Hallar
media, mediana, modo y varianza de la distribución de los precios (sin IVA) del mes de
mayo, suponiendo que las cantidades de productos en la muestra permanecen
inalterados.
EJERCICIO 20
Los sueldos que paga una empresa a sus empleados, vienen dados por:
[ y’i-1
14000
15000
16000
17000
18000
19000
20000
21000
-
y’i )
15000
16000
17000
18000
19000
20000
21000
22000
Ni
5
7
8
6
5
4
3
2
La empresa propone al personal dos posibles
arreglos de negociación:
Arreglo 1:
yi = 0.8 ui - 2000
Arreglo 2:
ti = 1.2 yi + 3000
Se pide:
a) ¿Cuál es el sueldo promedio que paga la empresa?
b) ¿Cuál es el nuevo sueldo promedio u , según el Arreglo 1?
c) ¿Cuál es la mediana del sueldo, t0,5, según el Arreglo 2?
d) ¿Sobre qué sueldo yi , están el 20% de los sueldos superiores?
e) ¿Qué porcentaje del dinero destinado a pagar sueldos representan los sueldos de las
personas que ganan más de yi = $ 18.000?
f) ¿Cuál es la varianza de los sueldos U, según el Arreglo 1?
g) ¿Cuál es el coeficiente de variación de los sueldos U, según el Arreglo 1?
h) ¿Cuál es el coeficiente de variación de los sueldos T, según el Arreglo 2?
40
PRÁCTICA 5: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
EJERCICIO 19
Con la finalidad de conocer la calidad de producción de una fábrica (Fábrica A), se extraen
al azar 100 lotes de un conjunto de “n” lotes de igual tamaño, de un cierto artículo. El
examen de los 100 lotes elegidos proporciona los siguientes resultados:
Cantidad de piezas defectuosas
de cada lote
0
1
2
3
4
5
6
7
Cantidad de lotes
observados
10
11
14
20
13
14
11
7
Se pide:
1.
2.
3.
4.
5.
Calcular la distribución de frecuencias y representarla gráficamente.
Calcular la función de distribución acumulada de frecuencias relativas y representarla.
Calcular las medidas de posición.
Calcular las medidas de dispersión.
Calcular las medidas de forma (simetría y apuntamiento).
Para conocer la calidad de producción de otra fábrica competidora de la anterior (Fábrica
B), también se extraen al azar 100 lotes de un conjunto de “n” lotes de igual tamaño, de un
cierto artículo. El examen de los 100 lotes elegidos proporciona los siguientes resultados:
Cantidad de piezas defectuosas
de cada lote
0
1
2
3
4
5
6
7
Cantidad de lotes
Observados
5
8
7
23
18
10
19
10
Calcular las medidas de posición, dispersión, simetría y apuntamiento para la Fábrica B y
compararlas con las calculadas para la Fábrica A.
41
PRÁCTICA 5: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
EJERCICIO 20
Los siguientes datos corresponden a la tasa de alfabetización de 21 países donde opera
una empresa hotelera.
País
Haití
Guatemala
Nicaragua
El Salvador
Honduras
Bolivia
Brasil
Dominicana R.
Perú
Colombia
México
Ecuador
Panamá
Venezuela
Paraguay
Chile
Costa Rica
Cuba
Argentina
Uruguay
Barbados
Tasa de
alfabetización
53
55
57
73
73
78
81
83
85
87
87
88
88
88
90
93
93
94
95
96
99
Se pide:
1. Clasificar la variable tasa de alfabetización en, cualitativa (nominal u ordinal) o
cuantitativa (discreta o continua). Justifique su respuesta.
2. Construir un gráfico de tallos y hojas, con hojas de un dígito.
3. Determinar los cuartiles.
4. Construir un diagrama de cajas.
5. En base al diagrama de cajas construido identificar los países atípicos. Justifique su
respuesta.
42
PRÁCTICA 5: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
EJERCICIO 21
A continuación se presentan datos del PBI por persona en dólares anuales de países de
Asia
País
Bangladesh
Afganistán
Vietnam
Camboya
India
China
Pakistán
Indonesia
Filipinas
Corea del Norte
Tailandia
Malasia
Corea del Sur
Taiwan
Hong Kong
Singapur
Japón
PBI
(por persona en
dólares anuales)
202
205
230
260
275
377
406
681
867
1000
1800
2995
6627
7055
14641
14990
19860
Se pide:
1. Clasificar la variable PBI en, cualitativa (nominal u ordinal) o cuantitativa (discreta o
continua). Justifique su respuesta.
2. Construir un gráfico de tallos y hojas, con hojas de tres dígitos.
3. Determinar los cuartiles.
4. Calcular el recorrido intercuartílico e interpretar su resultado.
5. Construir un diagrama de cajas.
6. En base al diagrama de cajas construido identificar los países atípicos. Justifique su
respuesta.
43
PRÁCTICA 5: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
EJERCICIO 22 (Examen Feb/2001)
Una encuesta por muestreo dirigida a 1.000 parejas con 10 o más años de convivencia se
realizó para investigar el número de hijos varones e hijas mujeres de las parejas,
obteniéndose los resultados que se presentan en el siguiente cuadro.
VARONES
0
1
2
3
4
Total
0
200
100
70
50
20
440
1
100
150
30
20
10
310
MUJERES
2
3
80
50
40
20
20
10
10
10
0
0
150
90
4
10
0
0
0
0
10
Total
440
310
130
90
30
1.000
Se pide:
Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. En caso que la afirmación sea
falsa, justificar la respuesta.
1. En la población de parejas con 10 o más años de convivencia no hay parejas con 7
descendientes o más.
2. Si se considera la variable aleatoria “Número de descendientes”, el modo es 2.
3. Los resultados son coherentes con la teoría de que en los nacimientos hay un leve
predominio de los varones sobre las mujeres.
4. El número medio de descendientes por pareja en la muestra es 2.
EJERCICIO 23
La siguiente tabla muestra la distribución conjunta de frecuencias relativas de la variable
CRED que representa el número de tarjetas de crédito que posee una persona y la variable
COMP que refleja el número de compras semanales pagadas con tarjeta de crédito.
N° Tarjetas
1
2
3
0
0,08
0,03
0,01
Número de compras por semana
1
2
3
0,13
0,09
0,06
0,08
0,08
0,09
0,03
0,06
0,08
4
0,03
0,07
0,08
1. Hallar la distribución marginal de la variable COMP. ¿Cuál es el numeró medio y la
desviación típica del número de compras semanales pagadas con tarjeta de crédito?
Obtener la distribución del número de tarjetas de crédito que poseen las personas de
dicho estudio. ¿Cuál es el número más frecuente de tarjetas de crédito que posee una de
estas personas?
2. Calcular la distribución del número de compras semanales pagadas con tarjetas de
crédito que realizan las personas que poseen tres tarjetas. ¿Cuál es la media de esta
distribución?
3. ¿Qué conclusiones pueden extraerse a partir de la distribución conjunta sobre la
relación entre ambas variables?
44
PRÁCTICA 5: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
EJERCICIO 24
A continuación se presenta el puntaje otorgado por los clientes a un nuevo sistema de
gerenciamiento de las relaciones con los clientes (CRM). Cuanto mayor el puntaje, se
considera mejor la opinión acerca del sistema.
EDAD
OPINIÓN [20,40) [40,60) [60,80)
1
70
20
20
2
40
50
30
3
50
70
50
4
40
60
100
TOTAL
200
200
200
TOTAL
110
120
170
200
600
Se pide:
1. Determinar la distribución conjunta de frecuencias relativas (trabaje con dos dígitos
decimales).
2. Determinar la distribución marginal de frecuencias relativas de la variable EDAD.
3. Determinar la distribución marginal de frecuencias relativas de la variable OPINION.
4. Determinar el promedio de edades en la muestra.
5. Determinar la distribución de frecuencias relativas de la edad condicionada por
OPINION = 1.
6. Determinar la distribución de frecuencias relativas de la edad condicionada por cada
uno de los valores de opinión.
7. Determinar el promedio de la variable edad condicionado por OPINION = 1.
8. Determinar el promedio de la variable edad condicionado por cada uno de los valores
de opinión.
9. Comente el vínculo entre ambas variables, en base a los promedios condicionales
calculados.
EJERCICIO 25
En la siguiente tabla se dan las alturas, medidas en metros, de 12 padres y sus hijos
mayores:
Altura del
padre (X)
Altura del
hijo (Y)
1.65 1.60 1.70 1.63 1.73 1.57 1.78 1.68 1.73 1.70 1.75 1.80
1.73 1.68 1.73 1.65 1.75 1.68 1.73 1.65 1.80 1.70 1.73 1.78
Se pide:
a) Construir el diagrama de dispersión.
b) Calcular la covarianza entre X e Y.
c) Calcular el coeficiente de correlación lineal y comentar el resultado obtenido.
45
PRÁCTICA 5: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
EJERCICIO 26 (Novales 1.14)
Pruebe que si las dos variables que estudia, X e Y, están relacionadas mediante:
Y = a.X + b, entonces su coeficiente de correlación es +1 si a > 0 y es igual a –1 si a < 0.
EJERCICIO 27 (Novales 1.12)
¿Cómo afecta al coeficiente de correlación entre dos variables X e Y que multipliquemos
las observaciones correspondientes a X por una constante α, y a las observaciones
correspondientes a Y por una constante β, ambas positivas? ¿Y si sumamos o restamos una
constante a cada variable? ¿Depende del signo de dicha constante?
46
PRACTICA 6: CURVAS DE CONCENTRACION Y NUMEROS INDICE
PRÁCTICA 6: CURVAS DE CONCENTRACIÓN Y NÚMEROS ÍNDICE
EJERCICIO 1
De las siguientes afirmaciones indicar aquellas que son verdaderas justificando su
respuesta:
a) La mediana nunca es mayor que la mediala.
b) El valor absoluto del Índice de Gini (IG) es siempre menor que 2.
c) Si el eje de las Y representa F* y el eje de las X representa T, entonces la gráfica de la
curva de Lorenz tiene concavidad negativa.
d) El valor cero del IG indica que no hay concentración.
EJERCICIO 2
Se tienen los datos de la Encuesta Continua de Hogares de 1988, relativos a la distribución
del ingreso per cápita (en S.M.N.) del hogar de estudiantes universitarios:
0
2
4
6
8
10
-
2
4
6
8
10
30
5578
2804
680
219
103
86
a)
b)
c)
d)
e)
Hallar la función de distribución acumulada.
Hallar la función de distribución del ingreso acumulado, T(x).
Hallar la mediala e interpretar el valor obtenido.
Representar gráficamente T(x) en función de F*(x).
Hacer un estudio de la concentración:
1. relacionando t(x) con h(x).
2. relacionando T(x) con F*(x).
3. calculando los índices de concentración.
f) Sabiendo que el ingreso per cápita de un hogar se calcula sumando los ingresos de
todos los integrantes del hogar y luego dividiéndolo entre el número de integrantes del
mismo, ¿existirá realmente concentración o Ud. cree que podría haber otro tipo de
causas que influyen para que exista concentración? Especifique cuáles le parece que son
las causas.
47
PRACTICA 6: CURVAS DE CONCENTRACION Y NUMEROS INDICE
EJERCICIO 3 (Examen de Diciembre de 2001)
Si en una población de 100 hogares 90 de ellos tienen un ingreso de $1000 y los 10
restantes tienen un ingreso de $11000 cada uno, entonces el índice sintético de Gini es:
a)
b)
c)
d)
G = 0.6
G = 0.55
G = 0.45
Ninguna de las anteriores.
EJERCICIO 4 (Examen de Marzo de 2001)
El 80% de los hogares más pobres detenta el 20% del ingreso total, mientras que el 20% de
los hogares más ricos detenta el 80% del ingreso total. Entonces,
a) El índice sintético de Gini es 0.16.
b) El índice sintético de Gini es 0.40.
c) El índice sintético de Gini es 0.60.
EJERCICIO 5
La población rural de un país está distribuida en 2414 poblados, el poblado más chico tiene
100 habitantes y el más grande tiene 20.000. La siguiente es la clasificación de los poblados
por número de habitantes en miles de personas:
menos de 3
entre 3 y 5
entre 5 y 7
entre 7 y 9
entre 9 y 15
más de 15
342
964
553
289
120
146
a) Estudie si existe concentración de la población rural en ese país.
b) Sabiendo que para un país vecino el Índice de Gini es igual a 0.67, ¿qué puede decir de
la concentración en cada uno de los países?
EJERCICIO 6
Una cooperativa de ahorro y crédito desea instalar sucursales en dos localidades diferentes
(ciudad A y ciudad B). Dado que el costo de instalación y puesta en funcionamiento de
cada sucursal es elevado, se ha tomado como resolución instalar primero una sucursal en
una de las ciudades y al año siguiente instalarla en la otra. Se ha decidido instalar primero
la sucursal en la ciudad donde se observe el mayor potencial de ahorro y donde se espera
obtener cuentas de ahorro con mayor monto depositado.
Para ello se ha tomado una muestra de 1.000 habitantes en cada una de las ciudades y se los
clasificó según su potencial de ahorro (en U$S) y se obtuvo que:
48
PRACTICA 6: CURVAS DE CONCENTRACION Y NUMEROS INDICE
Ciudad A
[X’i-1 - X’i)
0 - 100
100 – 200
200 – 300
300 – 500
500 – 1000
ni
150
200
300
200
150
Ciudad B
Realizados los cálculos se obtuvieron las siguientes medidas de resumen:
x0.50 = 257.14 sx2 = 24.350
IG = 0.2883
xmed = 329.16
x = 280
Se pide:
En qué ciudad aconseja usted instalar la sucursal si utiliza como criterio de decisión las
siguientes medidas:
a) media
b) mediana
c) Índice sintético de concentración
d) media y coeficiente de variación
e) media, mediana y coeficiente de simetría
f) mediana y mediala.
Para cada uno de los casos fundamente claramente su respuesta y aclare además cuáles son
los problemas que representa restringir nuestro criterio de decisión a un número limitado de
medidas para tomar una resolución, de acuerdo al siguiente ejemplo:
En la cuidad A el modo es igual a 233.33 y en la ciudad B es igual a 242.85. Dado que
el modo es el valor de la variable que más veces se repite en la muestra, entonces en la
cuidad B, la posibilidad de ahorro más común es de U$S 242.85 por lo cual se aconsejaría
instalar la sucursal en la ciudad B . El problema de decidir sólo usando el modo es que no
sabemos como se distribuye la variable alrededor del modo, por ejemplo en la ciudad A
hay como máximo 650 casos que están por encima del modo, y si en la cuidad B, hubiera
menor cantidad de casos, nuestra elección hubiera sido incorrecta. Otra objeción a
nuestra elección sería si justo en la ciudad B el modo es el máximo valor que toma la
variable.
EJERCICIO 7 (Examen de Mayo de 2001)
Sabiendo que en el punto F * = 0.7 el índice analítico de Gini es δ j = 5.4 entonces, el 30%
más rico de la muestra detenta:
a)
b)
c)
El 60% del ingreso total.
El 70% del ingreso total.
El 80% del ingreso total.
49
PRACTICA 6: CURVAS DE CONCENTRACION Y NUMEROS INDICE
EJERCICIO 8 (examen Mar/2003)
F*(x)
La figura adjunta representa la función de
distribución empírica del ingreso de una muestra
de 500 perceptores en 2002 en Kinshasa.
1
0,9
0,5
a) Calcular el Índice Sintético de Gini.
b) El Índice de Gini de Ciudad El Cabo fue de 0,2518
en el año 2002, ¿cuál de estas dos ciudades tuvo mayor
concentración del ingreso en el 2002?
0,2
0
100 200 250 300
x
EJERCICIO 9
Dados los siguientes índices de producción industrial (1992 = 100):
1985 1986 1990 1992 1993 1994 1995
75
81
96
100
93
105 105
1.
2.
3.
4.
Interpretar el valor del Índice del año 1993.
Desplazar la base a 1985 = 100
¿En qué año se produjo el mayor aumento del índice respecto al año anterior?
Se sabe que el valor del índice de producción industrial en 1990 con base 1970 = 100,
es 315. Presentar la serie anterior con base 1970 = 100.
EJERCICIO 10
Usted desea calcular y publicar cada año un índice de uso especial, que planea denominar
Índice de Actividad Empresarial. Tres series parecen promisorias como bases para el
índice, y son el precio de la lana, el número de automóviles nuevos vendidos y la velocidad
de circulación del dinero (publicada por el Banco Central). Su jefe (economista de gran
jerarquía) decide que el movimiento de dinero debe tener una ponderación de 60%; el
número de automóviles nuevos vendidos, de 30%; el precio de la lana, de 10%. Se pide:
a) Elaborar el Índice de Actividad Empresarial para 1981 (el período base) y 1990.
Año 1981
Año 1990
Precio de
la lana
(por kilo)
U$S 0.20
U$S 0.50
Número de
automóviles
vendidos
100.000
80.000
Velocidad de
circulación del
dinero (un índice)
80
120
b) Interpretar los índices.
50
PRACTICA 6: CURVAS DE CONCENTRACION Y NUMEROS INDICE
EJERCICIO 11
Se va a elaborar un índice de precios de ropa para 1989 con base en 1982. Los precios de
1982 y 1989 y las cantidades consumidas en dichos años, se muestran a continuación:
Artículos
Vestidos ( unidad)
Zapatos ( par)
Precio
Cantidad
Precio
En 1982 Vendida en 1982 en 1989
U$S 35
500
U$S 65
U$S 40
1200
U$S 90
Cantidad
Vendida en 1989
400
980
Se pide:
1. Hallar el índice de precio ponderado de Laspeyres para 1989 usando 1982 como base.
2. Interpretar el resultado.
EJERCICIO 12 (Primera Revisión de 2001)
Indique cuál de las afirmaciones es correcta para cada uno de los ítems siguientes,
sabiendo que sólo una de ellas es correcta. Fundamente su respuesta.
1. Un índice de valor se puede obtener:
1.a. Multiplicando un índice de precios de Paasche por un índice de
cantidades de Laspeyres, o multiplicando un índice de precios de
Laspeyres por un índice de cantidades de Paasche.
1.b. Solamente multiplicando índice de precios de Laspeyres por un índice
de cantidades de Paasche.
1.c. Solamente multiplicando índice de precios de Paasche por un índice de
cantidades de Laspeyres.
1.d. Ninguna de las anteriores
2. Si el Indice de Gini sintético en dos ciudades distintas es 0.35
2.a. La curva de Lorenz es la misma en ambas ciudades.
2.b. La distribución del ingreso es menos equitativa en una tercer ciudad con
IG= 0,3.
2.c. El ingreso medio es el mismo en las dos ciudades.
2.d. Ninguna de las anteriores
51
PRACTICA 6: CURVAS DE CONCENTRACION Y NUMEROS INDICE
EJERCICIO 13
Las siguientes son las cantidades vendidas y los precios de tres productos en los años
1988,1989 y 1990, comercializados por una empresa.
Año 1988
p
q
Producto A 80 300
Producto B 150 30
Producto C 300 120
Año 1989
p
q
100 400
160 50
320 100
Año 1990
p
q
150 350
200 60
400 120
1. Calcular los índices de precios de Laspeyres con base 1988 = 100.
2. Calcular los índices de cantidades de Paasche con igual base.
3. Calcular los índices de valor con base 1988 = 100.
EJERCICIO 14 (Novales 3.1)
Probar que los índices de Laspeyres y de Paasche de cantidades están relacionados
por: Lt / 0 = 1 P0 / t .
52
PRACTICA 7: SERIES DE TIEMPO
PRÁCTICA 7: SERIES DE TIEMPO
EJERCICIO 1 (Novales 2.1)
Considere la expresión Pt = P0 e gt , y aproxime linealmente por un desarrollo en serie de
Taylor la función exponencial para valores pequeños de g. Muestre que, si g es próximo a
Pt − P0
cero, se tiene:
= gt y explique que esta expresión refleja un crecimiento que es
P0
lineal en Pt para valores de g próximos a cero.
a) Suponga que una variable responde al proceso: Pt = P0 e gt , con P0 , g conocidos, y
escribimos:
(1)
Pt = P0 (1 + π ) t
para una constante π calculada como:
π = e g − 1 . Pruebe, a partir de (1), que
•
Pt / Pt = g . Es decir, siempre que exista una determinada relación entre los parámetros
π y g, ambos procesos de crecimiento generan exactamente el mismo comportamiento
temporal.
b) Recíprocamente, suponga que una variable responde al proceso: Pt = P0 (1 + π ) t para
una constante π conocida, pero escribimos:
Pt = P0 e gt
(2)
con un parámetro g calculado a partir de g = ln(1 + π ) . Pruebe, a partir de (2), que:
Pt − Pt −1
=π
Pt −1
EJERCICIO 2 (Novales 2.3)
Suponga que el valor del índice mensual de producción de un determinado sector industrial
es, en diciembre de 1994, de 185, y que la producción en dicho sector experimenta tasas
sucesivas de incremento, durante los seis primeros meses de 1995, de 0.74%, 0.24%,
0.53%, 0.64%, 0.83% y 0.44%. Obtenga el valor numérico del índice en junio de 1995.
Aproxime las tasas de crecimiento intermensual a un solo decimal, y utilícelas para calcular
el valor numérico del índice en junio. ¿Cuánto diría que ha crecido el índice durante el
semestre de acuerdo con ambas estimaciones? ¿Cuáles serían las tasas anualizadas
correspondientes en ambos casos?
53
PRACTICA 7: SERIES DE TIEMPO
EJERCICIO 3
Se considera la serie de datos de ventas de una empresa durante 11 años (medida en
millones de pesos constantes).
Año
Ventas
1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999
0,2
0,4
0,5
0,9
1,1
1,5
1,3
1,1
1,7
1,9
2,3
Se pide:
1.
2.
3.
4.
5.
Representar gráficamente la serie.
Determinar la tendencia mediante una recta.
Determinar la tendencia utilizando promedios móviles de 3 años.
Determinar la tendencia utilizando promedios móviles de 4 años.
Representar sobre el gráfico de la parte 1 las tendencias obtenidas en las partes 2 a 4.
EJERCICIO 4 (Primera Revisión de 2000)
Se considera la serie de datos del valor de la Unidad Reajustable U.R. (yi ) durante 22
meses (desde Setiembre de 1998 hasta Junio de 2000).
MES (xi ) U.R. (yi )
1
180.82
2
181.84
3
183.22
4
183.79
5
185.01
6
186.00
22
∑x
MES (xi ) U.R. (yi )
7
189.35
8
189.68
9
190.60
10
191.18
11
191.72
12
191.96
22
i
= 253
i =1
∑y
i =1
22
i
= 4202.57
∑x
i =1
MES (xi ) U.R. (yi )
13
193.46
14
193.87
15
194.87
16
194.93
17
195.17
18
195.62
22
2
i
= 3795
∑y
i =1
MES (xi ) U.R. (yi )
19
197.00
20
197.00
21
197.62
22
198.26
22
2
i
= 803415.808
∑x y
i
i
= 49051.78
i =1
Se pide:
a) Determinare la recta de tendencia.
b) Determinar el valor del coeficiente de correlación de la muestra. Fundamente su
respuesta.
c) ¿Considera adecuado un resumen lineal de la relación entre el mes y el valor de la
unidad reajustable? Fundamente su respuesta.
54
PRACTICA 7: SERIES DE TIEMPO
EJERCICIO 5
Se considera la serie de ingresos netos de una empresa (medidos en miles de dólares).
Trimestre 1995 1996 1997 1998 1999
9
10
13
11
14
I
16
15
22
17
18
II
18
18
17
25
25
III
21
20
24
21
26
IV
Considerando un modelo aditivo:
1. Determinar la tendencia considerando que es lineal.
2. Determinar el componente estacional.
3. Interpretar los resultados.
EJERCICIO 6 (Control 2000)
Los datos trimestrales de ventas de circuitos integrados en La Pila Alegre durante los
últimos 3 años se presentan en la siguiente tabla.
Trimestre / Año
I
II
III
IV
2015
9
16
18
21
2016
10
15
18
20
2017
13
22
17
24
Los valores obtenidos para los parámetros de la recta de Tendencia son los siguientes:
Intercepción ( β̂ 0 )
Variable t
( β̂1 )
Coeficientes
12.48
0.68
Sabiendo que
1. t = 1 para el primer trimestre del año 2015, t = 2 para el segundo trimestre del año 2015, etc.
2. Tˆ2 = 13.85 , Tˆ6 = 16.58 y Tˆ10 = 19.30 ,
Se pide:
a) Calcular el valor de la estacionalidad del segundo trimestre, Ê2 .
b) Calcular el subíndice correspondiente y el valor de la Tendencia del segundo trimestre del año
2017.
55
PRACTICA 7: SERIES DE TIEMPO
EJERCICIO 7 (Primera Revisión de 2001)
La cantidad de unidades vendidas (en miles de unidades) por una empresa es:
CUATRIMESTRE
I
AÑO
t
1999
1
UNIDADES
VENDIDAS
19
II
1999
2
24
III
1999
3
28
I
2000
4
20
II
2000
5
25
III
2000
6
29
Utilice las columnas libres del cuadro anterior para efectuar los cálculos que considere
necesarios.
Efectúe los cálculos con 2 dígitos decimales.
Considerando un modelo aditivo:
a) Determine los coeficientes estacionales, sabiendo que la tendencia (considerando que es
lineal) se puede representar por Tt= 19,667+1,2857 . t
t=1,...,6
b) Interprete los coeficientes de estacionalidad obtenidos.
c) Determine la tendencia (para el año 2000) de la serie de ventas utilizando promedios
móviles centrados de período 3.
EJERCICIO 8
Considerando un modelo aditivo y que la tendencia se ajusta a través de una recta,
determine tendencia y estacionalidad de la siguiente serie. Represente gráficamente los
resultados.
Cuatrimestre 1995 1996 1997 1998 1999
500 450 350 550 550
I
350 350 200 350 400
II
250 200 150 250 350
III
EJERCICIO 9
1. Considerando un modelo multiplicativo y determinando la tendencia por el método de
promedios móviles de 3 períodos, hallar los componentes de tendencia y estacionalidad
de la serie presentada en el ejercicio 5.
2. Representar gráficamente los resultados.
3. En base a los resultados obtenidos determinar cuál modelo considera más adecuado
para representar la serie.
56
PRACTICA 8: MUESTREO
PRÁCTICA 8: MUESTREO
EJERCICIO 1
Sea X1, X2, ... , Xn una MAS c/r de X. Obtener la distribución exacta en el muestreo de
i=n
1 i =n
Y = ∑ X i y de X = ∑ X i en los siguientes casos:
n i =1
i =1
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
X ~ Bernoulli (p)
X ~ Binomial (m, p)
X ~ Geométrica (p)
X ~ Poisson ( λ )
X ~ Exponencial ( λ )
X ~ Gamma (a,λ )
X ~ Normal ( µ ,σ 2 )
Si se tiene que X ~ FX ( x ) desconocida con E( X ) = µ y V(X) = σ 2 < ∞ , ¿cuál es la
distribución aproximada de Y y X ?
EJERCICIO 2 (Múltiple opción seleccionado de los exámenes de Marzo y Setiembre
de 2001 y de la Segunda Revisión de 2001)
1. La dispersión de la distribución en el muestreo de X depende de:
a) El tamaño de la muestra y la dispersión de la variable X.
b) La dispersión de la variable X y el verdadero valor de µ.
c) El tamaño de la muestra y el verdadero valor de µ.
2. Si X tiene distribución Bernoulli(p) , entonces X − p :
a) Tiene distribución exacta Cuasi-Binomial.
 p( 1 − p ) 
b) Tiene distribución exacta N  0 ,
.
n


 p( 1 − p ) 
c) Tiene distribución aproximada N  0 ,
.
n


d) Ninguna de las anteriores.
3. Sea X una variable aleatoria discreta, simétrica, con esperanza y varianza finitas. Se
selecciona una muestra aleatoria con reposición de X de tamaño n = 50. Entonces:
a) La función de distribución empírica es una función continua para todo x ∈ REC (X).
b) La media de la muestra es siempre mayor que el modo.
c) Si se ordenan las observaciones de la muestra, entonces min( X i ) = min{REC( X )} .
1 i =50
V(X) 

d
Xi 
→
Y ~ N  E(X),
.
∑
50 i =1
50 

e) Ninguna de las anteriores.
d)
57
PRACTICA 8: MUESTREO
4. Se tiene una MAS c/r de tamaño n = 10. Entonces la distribución de X :
a)
b)
c)
d)
No se puede conocer en ningún caso.
Es gamma si X es exponencial.
Sólo se puede conocer en el caso que X sea normal.
Ninguna de las anteriores.
EJERCICIO 3
Sean X ~ N (µX , σX2 ) y Y ~ N (µY , σY2 ) variables aleatorias independientes y sean a y b
constantes dadas, no nulas.
1. Hallar la función generatriz de momentos del estadístico T = aX + bY y reconocerla.
2. Para µX = 2, σX2 = 100 , µY = 4 y σY2 = 144, hallar P(2X + 3Y > 18).
EJERCICIO 4
Una máquina empaqueta automáticamente cajas que contienen dos docenas de naranjas
para la exportación. Las naranjas tienen un peso (en gramos) cuya distribución de
probabilidad es N(295, 225). Se considera que el proceso de empaque está normalizado si
el contenido neto de las cajas se encuentra dentro de ± 10% del peso esperado. ¿Cuánto
debe pesar el contenido neto de las cajas para que el proceso esté normalizado?
EJERCICIO 5
Si en la distribución gamma se hace a = n/2 y λ = 1/2, la distribución resultante se
denomina chi-cuadrado con n grados de libertad. Hallar su función generatriz de momentos,
y calcular su media y varianza.
EJERCICIO 6
Dada una v.a. X que se distribuye N (0,1), hallar la distribución de Y = X2 y reconocerla
especificando los valores de sus parámetros.
EJERCICIO 7 (Control 2001)
( X − 2 )2
.
9
a) Indicar la distribución de Y, y utilizarla para calcular P(Y ≤ 3,84).
b) Calcular P(Y ≤ 3,84) utilizando la tabla normal.
Sea X ~ N (2,9) y sea Y =
58
PRACTICA 8: MUESTREO
EJERCICIO 8 (Examen Octubre de 1997)
Sea X ~ N (0,9)
1. Hallar E(X2).
2. Recordando que si X ~ N ⇒ γ2 = 0 (siendo γ2 el coeficiente de apuntamiento), probar
que V(X2) = 162.
3. Sea X1, X2, X3, X4, X5, X6 una MAS c/r de X ~ N (0,9). Sean las variables aleatorias U
y J tales que:
a)
b)
c)
d)
2
6
X 
U = ∑ i 
J = ∑ X i2
i =1  3 
i =1
Hallar la distribución de U.
Calcular P(J ≤ 113.4).
Hallar el valor de c, tal que P(J > c) = 0.1
Probar que E(U) = 6 y V(U) = 12. Fundamentar.
6
EJERCICIO 9
En la promoción de una nueva marca de dulce de leche se afirma que los frascos tienen un
contenido neto con un promedio de 750 gramos y una desviación estándar de 20 gramos.
Un supermercado comprará un gran lote de frascos de dulce de leche si en una muestra
(MAS C/R) de 31 frascos el promedio del contenido neto supera los 745 gramos.
a) Asumiendo que la promoción dice la verdad, ¿Cuál es la probabilidad que el
supermercado adquiera el lote?
b) Si el contenido neto de los frascos es una variable aleatoria con distribución normal,
¿Cuál es la probabilidad que la varianza de la muestra supere los 320 gramos
cuadrados?
EJERCICIO 10 (Examen Dic/1994)
A un aeropuerto deben llegar, después de medianoche, dos vuelos de una misma compañía.
Sean X e Y las v.a. que miden el momento de arribo (en minutos, después de medianoche)
del primer y segundo vuelos respectivamente. Se sabe que X e Y son independientes y que
sus distribuciones están adecuadamente modeladas por: X ~ N (µ , σ2 ) , Y ~ N (µ + 5 , σ2).
Es decir que µ es el momento esperado de arribo del primer vuelo y 5 minutos más tarde se
espera la llegada del segundo vuelo.
La dirección del aeropuerto decide cobrar una multa de M unidades monetarias por las
diferencias entre el momento esperado de arribo y la llegada efectiva de los vuelos según la
siguiente fórmula:
M = 100(X - µ)2 + 100(Y - µ - 5)2
1. Hallar la distribución de M/100.σ2
2. Para σ2 = 2.31 calcular la probabilidad de que la multa no supere las 640 unidades
monetarias.
59
PRACTICA 8: MUESTREO
EJERCICIO 11 (CANAVOS 7.22)
Para un gerente de planta es muy importante controlar la variación en el espesor de un
material plástico. Se sabe que la distribución del espesor del material es normal con una
desviación estándar de 0.01 cm. Una muestra aleatoria de 25 piezas de este material da
como resultado una desviación estándar muestral de 0.015 cm. Si la varianza de la
población es (0.01)2 cm2 ¿cuál es la probabilidad de que la varianza muestral sea igual o
mayor que (0.015)2 cm2? Por lo tanto, ¿qué puede concluir con respecto a la variación de
este proceso?
EJERCICIO 12
Sea X ~ N (0,1) y X1, X2, ... , X10 una MAS c/r de tamaño 10 de X, se define el estadístico:
10
J = ∑ X i2
i =1
1. Calcular las siguientes probabilidades P(J > 18,3) ; P(J ≤ 9.34) ; P(3.25 < J < 16)
2. Siendo S2 la varianza muestral para las 10 observaciones anteriores, calcular
P( S 2 > 1.14 )
EJERCICIO 13 (Examen Mar/2003)
Sean X1 y X2 dos variables aleatorias tales que: X1 ≈ χ k2 y X2 ≈ χ r2 con k > r. Sea X3 otra
variable aleatoria independiente de X2, tal que X3 = X1 – X2. Deducir, utilizando la función
generatriz de momentos, la distribución de X3. Recuerde que la χ n2 es una Gamma(n/2, 1/2).
EJERCICIO 14 (Examen Diciembre de 1994)
Sean X, Y y W tres variables aleatorias independientes tales que:
X ~ N (µ1, σ12 )
Calcular P(T < 2.065) siendo T =
Y ~ N (µ2, σ22 )
W ~ N (0,1)
W
2
 X − µ1   Y − µ 2

 + 
 σ1   σ 2



2
Sugerencia: hallar la distribución de T ´= 2T .
60
PRACTICA 8: MUESTREO
EJERCICIO 15
Sea X1, X2, ... , X12 una MAS c/r de tamaño 12 de X ~ N(8, σ2), se define el estadístico:
T=
(
11 X − 8
)
S2
donde S2 es la varianza muestral. Calcular P(T > 2,2)
EJERCICIO 16
Parte A (CANAVOS 7.25)
Un fabricante de cigarrillos asegura que el contenido promedio de nicotina, en una de sus
marcas, es 0.6 mg por cigarrillo. Una organización independiente mide el contenido de
nicotina de 16 cigarrillos de esta marca y encuentra que el promedio y la desviación
estándar muestral son 0.75 mg y 0.175 mg, respectivamente, de nicotina. Si se supone que
la cantidad de nicotina en estos cigarrillos es una variable normal, ¿qué tan probable es el
resultado muestral dado el dato proporcionado por el fabricante?
Parte B
¿Cómo cambia la probabilidad calculada en la Parte A si el promedio y el desvío estándar
de la muestra son los mismos, pero se obtienen de una muestra de tamaño 36?
EJERCICIO 17 (Examen)
La fábrica de bebidas "La Sequía" lanzó al mercado su nuevo refresco "Rain Rain". Para
darle publicidad la empresa organiza un concurso que consiste en determinar en quién toma
más litros de "Rain Rain" en una hora. Un conocedor de estadística afirma que el número
de litros que puede tomar una persona en una hora es una variable aleatoria L dada por:
L = U 2 + V 2 + Z 2 donde U, V y Z son variables aleatorias N (0, σ2) independientes.
Se pide: sabiendo que el número de litros que toma un participante es independiente de los
que toma cualquier otro, calcular la probabilidad de que el participante A tome en una hora
más que el triple del participante B.
EJERCICIO 18
Sean X e Y dos variables aleatorias independientes con distribuciones dadas por
X ~ N (µX , 9) y Y ~ N (µY , 16 ) y sean X1, X2, ... , X10 y Y1, Y2, … , Y8 muestras
aleatorias simples con reposición de X y de Y respectivamente y SX2 y SY2 las
S2
correspondientes varianzas muestrales, se define el estadístico: W = X2 .
SY
1

Calcular P(W > 2,1291) y P > 5.6864  .

W
61
PRACTICA 8: MUESTREO
EJERCICIO 19
Sea X1, X2, ... , Xn una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente
distribuidas con X1 ~ U ( 0 , 1).
Sea Yn = max { X1, X2, ...Xn }
1. Hallar Fn(t) la función de distribución de Yn en función de n.
2. Hallar lim Fn (t )
n →∞
EJERCICIO 20
Sean X1, X2, ...Xn una secuencia de variables aleatorias iid con X1 ~ Exp (θ).
Sea Yn = min { X1, X2, ...Xn }
1. Hallar Fn(t) la función de distribución de Yn en función de n.
2. Hallar lim Fn (t )
n→∞
EJERCICIO 21
Sea Xn una v.a discreta tal que REC(Xn) = { 1/n , 2/n , ..... , (n-1)/n , 1 }.
Siendo P ( X n ≤ t ) = Fn (t ) hallar
lim Fn (t )
n→∞
EJERCICIO 22
Sea Y ~ Binomial ( n , p )
∧
1. Probar que la variable aleatoria p =
∧
∧
Y
P

→
p
n
P
2. Probar que p (1 − p ) → p (1 − p )
∧
3. Probar que
p− p
∧
∧
d

→
Z ~ N ( 0,1 )
p( 1 − p ) / n
EJERCICIO 23
Dada X1, X2, ... , Xn una MAS c/r de X con E(X 2) < ∞, demostrar que X converge en
probabilidad a µ y que S 2 y s 2 convergen en probabilidad a σ 2 .
62
PRIMERAS REVISIONES 2003 – 2008
PRIMERA REVISIÓN 2003
Ejercicio 1 (Ambos Sectores)
Una muestra de mil quinientos establecimientos industriales se clasificaron de acuerdo al
personal ocupado (variable X) y para ellos se calculó el Valor Bruto de Producción
(V.B.P – variable Y) en cada tramo de personal ocupado. La tabla siguiente muestra los
resultados obtenidos:
Número de
Personal Ocupado
( Número de personas ) establecimientos
1–4
600
5–9
450
10 – 49
300
50 – 199
100
200 - 500
50
V.B.P.
( en miles de pesos )
17.000
30.000
100.000
200.000
300.000
Se pide:
1. Calcular la densidad empírica de X.
2. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones corresponde con el correcto significado que tiene
el área bajo el histograma entre dos valores del eje de las abscisas, x0 y x1 (con x0< x1)?
Justifique su elección.
2_a. Proporción de personal ocupado entre a x0 y x1.
2_b. Probabilidad de que un establecimiento tenga como máximo x1 empleados y más
de x0 empleados.
2_c. Probabilidad de que un establecimiento tenga menos de x1 empleados y por lo
menos x0 empleados.
2_d. Proporción de establecimientos con personal ocupado entre a x0 y x1.
3. Calcular el primer quintil ( x0,20 ) de la distribución de X e interpretar el resultado.
4. Calcular el índice de Gini para la concentración del V.B.P.. Comentar el resultado.
Ejercicio 2 (Ambos Sectores)
La Intendencia Municipal de Canelones decide reparar las calles de Solymar. Se sabe que el
número de pozos por cuadra (variable X) en dicha zona se distribuye Poisson con λ=5, y
que el número de pozos en una cuadra es independiente del número de pozos en otras
cuadras. Una cuadrilla de obreros municipales en una jornada de trabajo repara
exactamente 6 pozos.
Se pide:
1. Calcular la probabilidad que una jornada de trabajo no le alcance a una cuadrilla para
reparar una cuadra (aproximar a 3 decimales).
2. ¿Cuál es la distribución del número total de pozos en cuatro cuadras?
63
PRIMERAS REVISIONES 2003 – 2008
3. Si la Intendencia de Canelones envía 3 cuadrillas a Solymar, ¿cuál es la probabilidad de
que en una jornada de trabajo reparen 4 cuadras?
Ejercicio 3
Las diferentes partes de este ejercicio son independientes.
Parte A (Ambos Sectores)
Sea X una variable aleatoria que se distribuye uniforme continua en [a, b] con 0<a<b.
Hallar la función de densidad de la variable aleatoria Z =
X.
Parte B (Sector Económico)
En una evaluación de 12 sitios web universitarios se determinó el número de defectos de
diseño:
Sitio Web
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
Número de errores
68
3
16
2
2
85
6
0
3
6
36
2
SE PIDE:
B.1) Construir el diagrama de cajas.
B.2) ¿Existen datos atípicos? En caso afirmativo indique cuáles son los valores atípicos.
Justifique su respuesta.
Parte B (Sector Administrativo-Contable)
Sea X una variable aleatoria que se distribuye Geométrica con parámetro p. Demostrar que
P(X>a+b/X>a)=P(X>b), siendo a>0 y b>0.
Parte C (Sector Económico)
Con relación al Índice de los Precios del Consumo (IPC) de base marzo de 1997 que
elabora el Instituto Nacional de Estadística, marque con una cruz ( X ) la respuesta correcta
en cada uno de los siguientes casos (Respuesta correcta +1,5, sin respuesta 0, respuesta
incorrecta -0,5).
a) El objetivo principal del IPC es:
El ajuste de las jubilaciones y pensiones
La deflación de la variable consumo en el Sistema de Cuentas Nacionales
Estimar las variaciones de los precios de la canasta de consumo de los hogares
El cálculo del salario real de los trabajadores dependientes
b) La población de referencia del IPC es:
Los hogares particulares de Montevideo
Los hogares particulares de Montevideo excluidos los hogares con infraconsumo
(primer decil) y con consumo suntuario (décimo decil)
Los hogares particulares de áreas urbanas grandes del Uruguay
Los hogares particulares del Uruguay
64
PRIMERAS REVISIONES 2003 – 2008
c) El peso que tienen los Alimentos y Bebidas en la canasta del IPC de base 1997 es
aproximadamente:
40%
35%
28%
22%
Ejercicio 4 (Ambos Sectores)
Los días que demoran los barcos de pesca en regresar a puerto cuando salen a pescar
pueden modelarse por una Normal. Sea X = “Tiempo que demora en volver a puerto el
barco A una vez que salió de pesca (en días)” y sea Y = “Tiempo que demora en volver a
puerto el barco B una vez que salió de pesca (en días)”. Se sabe que:
X ~ N (15, 64 )
Y ~ N (10 ,125 )
y que X e Y son independientes.
Se pide:
4_a ) Determine la distribución de la variable aleatoria T = X – Y. Justifique su
respuesta.
4_b )
Si ambos barcos salen juntos ¿cuál es la probabilidad de que A vuelva antes que B?
4_c ) Si ambos barcos salen juntos, ¿cuál es la probabilidad de que A y B vuelvan juntos
(es decir, regresan en el mismo momento)?
4_d ) Si el barco retorna a puerto después de µ + σ días, debe pagar una multa de U$S
1.000 ( µ y σ son, respectivamente, la media y el desvío estándar del tiempo que demora en
volver a puerto el barco una vez que salió de pesca).
4_d_1 ) Hallar la probabilidad de que el barco A tenga que pagar la multa.
Justificar.
4_d_2 ) Hallar la probabilidad de que el barco B tenga que pagar la multa.
Justificar.
4_d_3 ) Calcular el importe de la multa esperada para cada barco. Justificar la
respuesta.
65
PRIMERAS REVISIONES 2003 – 2008
PRIMERA REVISIÓN 2004 - SECTOR ECONÓMICO
EJERCICIO 1
Una de las metas de todo negocio es maximizar la relación entre ganancia y capital
invertido en la empresa. Una medida del éxito es el retorno sobre la aportación, que es la
relación de la ganancia neta entre el valor de las acciones. A continuación se muestran los
porcentajes de ganancia sobre las acciones para 21 empresas.
52,7
12,3
31,1
12,2
22,9
11,4
19,6
8,6
19,2
6,2
17,3
-5,1
16,6
-9,0
15,8
-14,5
15,0
-19,2
14,7
-41,6
12,8
Se pide:
1. Determinar la primera cuartila, la mediana y la tercera cuartila.
2. Complete la siguiente frase: Por lo menos la cuarta parte de las empresas analizadas
tienen un retorno sobre la aportación de a lo sumo _____________%.
3. Calcular el recorrido intercuartílico e interpretar el resultado en este caso.
4. Construir un diagrama de caja.
5. ¿Existen valores atípicos? ¿Cuáles son?
6. Usando el diagrama de caja, indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o
falsas (F), justificando su respuesta:
6.a) El 50 % central de los datos están más disperso que el 25 % superior de los datos
6.b) El 25 % superior de los porcentajes de ganancia sobre las acciones es más disperso que
el 25 % inferior.
EJERCICIO 2
Una joyería divide sus clientes en dos categorías: A y B. Los primeros son de alto poder
adquisitivo -clientes A- tienen una atención especial y son atendidos por un único
empleado. El tiempo de atención de un cliente A (Variable X), medido en horas puede
modelarse por una distribución normal (2, 0.64). Los clientes de menor poder adquisitivo
-categoría B- llegan a la joyería de acuerdo a un proceso de Poisson a razón de 6 por hora
(variable Y). X e Y son independientes.
SE PIDE
1. Empezó a ser atendido un cliente de la categoría A:
1.1 ¿Cuál es la probabilidad de que su atención demore entre 1 hora y 1,5 horas?
1.2 ¿Cuál es la probabilidad de tener que esperar mas de 15 minutos para que llegue el
primer cliente de la categoría B?
1.3 ¿Cambiaría el resultado obtenido en la parte 1.2 si se sabe que acaba de llegar un cliente
de la categoría B?
Justifique su respuesta.
2. ¿Cambiaría el resultado obtenido en la parte 1.2 si no se supiera que empezó a ser
atendido un cliente de la categoría A? Justifique su respuesta.
66
PRIMERAS REVISIONES 2003 – 2008
3. Si X1 y X2 representan los tiempos de atención dos clientes consecutivos de la categoría
A y se sabe que:
 2   0,64 0,2 
 X1

 ≈ N  ; 

 X 2
 2   0,2 0,64 
Determinar la probabilidad de que X1+X2 sea menor a una hora y 15 minutos. Interprete el
resultado.
EJERCICIO 3
La siguiente tabla muestra la distribución de salarios en la empresa A. Trabaje con dos
dígitos decimales.
Cantidad
Salarios
(en SMN) funcionarios
[0, 4)
700
[4, 10)
280
[10, 20]
20
Total
1.000
a) Determinar la curva de Lorenz. Graficarla.
b) Calcular el índice sintético de Gini.
c) Determine la mediala e interprete su resultado en este caso.
d) Determine la mediana e interprete su resultado en este caso.
e) En la empresa B el índice sintético de Gini es 0.69. ¿En cuál de las empresas es mayor la
concentración de salarios?
EJERCICIO 4 (13 puntos) (las partes de este ejercicio son independientes)
Parte A
k .x 2 . y si 0 < x < y < 1
f XY ( x, y ) = 
en otro caso
 0
1) Hallar k para que fXY(x,y) sea una función de densidad.
2) Determinar FXY(x,y) ∀x,y
3) Hallar fX(x) y fY(y).
4) ¿X e Y son independientes? Fundamente su respuesta.
Sea
Parte B
5. y 4 si 0 < y < 1
Sea f Y ( y ) = 
en otro caso
0
Sea T = - 2 + Y .
Determinar la función de densidad de T.
67
PRIMERAS REVISIONES 2003 – 2008
PRIMERA REVISIÓN 2005
EJERCICIO 1
En una encuesta realizada a 400 familias se han obtenido los siguientes datos
sobre sus ingresos salariales (X) y gastos de consumos del último mes (Y), ambos
en unidades monetarias (u.m.), considerando intervalos del tipo [ ). El cuadro
siguiente muestra el número de familias en cada clase.
CONSUMO (x)
0 – 1.200
1.200 – 1.800
1.800 – 2.600
100 – 1.000
44
32
40
GASTOS (Y)
1.000 – 1.600
16
64
88
1.600 – 2.400
0
20
96
a) Determinar el promedio de gastos familiares
b) Determinar las distribuciones de frecuencias relativas de los gastos, condicionados por cada nivel de ingreso (utilice 3 decimales)
c) Justificar, usando promedios condicionales, si la siguiente frase es correcta: “a
medida que aumentan los ingresos salariales, se reducen los gastos de consumo
de las familias encuestadas”.
d) Determinar el intervalo modal de los ingresos salariales de las familias.
e) Determinar y graficar la función de distribución acumulada empírica de la variable ingresos salariales.
f) Una entidad financiera se propone captar como clientes al 60% central de las
familias según la variable ingresos salariales. Hallar el ingreso salarial mínimo y
máximo que deberán ser captados.
EJERCICIO 2
En el supermercado “De la Esquina”, el tiempo total que un cliente debe esperar
desde que llega a la caja con la mercadería que desea adquirir hasta que termina
todo el trámite de su adquisición, es una variable aleatoria X, medida en minutos.
Sea Y = tiempo de espera en la cola hasta que el cliente es atendido por la cajera.
Sea Z = tiempo que demora la cajera en listar las compras y que el cliente realice
el pago. Por consiguiente, X = Y + Z
1 −x / 2
 .e
si 0 < y < x < +∞
La f. de densidad conjunta de (X,Y) es: f XY ( x, y ) =  4
 0
en otro caso
Se pide:
a) Determinar fX(x).
b) Determinar fY(y).
c) ¿Son independientes el tiempo total (variable X) y el tiempo de espera en la
cola (variable Y)? Fundamente su respuesta.
d) Determinar la función generatriz de momentos de X, MX(t)
68
PRIMERAS REVISIONES 2003 – 2008
e) Determinar el tiempo promedio que demora un cliente en hacer la cola en la
caja, que la cajera liste las compras y realizar el pago. Sugerencia: utilice la
función generatriz de momentos de X, MX(t).
EJERCICIO 3 (Las partes son independientes)
Parte A)
En la fábrica de autos de carrera “La Imbatible”, se sabe que las variables X e Y se
definen estadísticamente de la siguiente manera:
X = diámetro de un tornillo de la rueda de un auto de carrera (en cm.)
Y = diámetro de la correspondiente tuerca (en cm.)
La función de distribución conjunta de X e Y es:
  2   0,009 2
X 
  ≈ N  
; 
  2,04   0
Y 




0,009  
0
2
El tornillo y la tuerca ajustan si el diámetro de ésta es mayor que aquél y su
diferencia es menor a 0.08 cm.
Se pide:
A.1.- Sea W = Y – X. Determinar la distribución de probabilidad de W. Fundamente
la respuesta.
A.2.- Si se eligen al azar un tornillo y una tuerca, ¿cuál es la probabilidad de que
ajusten?
Parte B)
B.1.- Dice la metodología del Índice de Precios al Consumo con base marzo de
1997: “teniendo en cuenta el objetivo de un IPC, existen algunos aspectos básicos
a definir:
a) la fórmula de cálculo que se utiliza para realizar la estimación de la variación de
los precios
b) la definición del consumo
c) la población a la cual se refiere el consumo (estrato de referencia)”
B.1.1.- ¿Cuál es la fórmula de cálculo? Presente su expresión analítica,
explicando cada uno de sus componentes.
B.1.2.- El estrato de referencia del IPC base marzo 1997 es (encierre con un
círculo la opción correcta):
i) el total de hogares particulares residentes en el área urbana de todas las
localidades mayores de 5000 habitantes existentes en el país
ii) el total de hogares particulares de Montevideo, excluyendo los hogares que se
enuentran en los extremos de la distribución del ingreso
iii) el total de hogares particulares de Montevideo, Canelones y San José
iv) el total de hogares particulares residentes en el área urbana de Montevideo sin
exclusión de ningún tipo.
69
PRIMERAS REVISIONES 2003 – 2008
B.2.- Responda si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). Si
la respuesta es Falso (F), fundamente su respuesta.
i)
ii)
iii)
iv)
El valor del índice sintético de Gini = 0.7 puede surgir de una única
curva de Lorenz.
El valor del índice sintético de Gini = 0 puede calcularse con varias
formas diferentes de la curva de Lorenz.
El valor del índice sintético de Gini = 1 puede calcularse con varias
formas diferentes de la curva de Lorenz.
Si se nos presentan los siguientes valores: mediana = 7.000 u.m. y
mediala = 10.000 u.m., podemos afirmar que existe un error de cálculo.
Parte C)
Sea una variable aleatoria X, con función generatriz de momentos:
M X (t ) =
2
con t > 2
2−t
a) Deducir la varianza de X a partir de la función generatriz de momentos.
b) Reconocer la distribución de X, indicando su nombre y su(s) parámetro(s).
Parte D)
El cuadro muestra el número medio de horas (Y) efectivamente trabajadas por
semana de un trabajador del sector de Tecnologías de Información y
Telecomunicaciones en los últimos cuatro años, y el componente de tendencia Tt,
considerando un comportamiento lineal de Yt.
Año
Trimestre
t
Yt
T̂t
Año
Trimestre
t
Yt
T̂t
2001
2001
2001
2001
2002
2002
2002
2002
I
II
III
IV
I
II
III
IV
1
2
3
4
5
6
7
8
30
38
37
36
31
37
38
35
34,4
34,6
34,9
35,1
35,3
35,6
35,8
36,1
2003
2003
2003
2003
2004
2004
2004
2004
I
II
III
IV
I
II
III
IV
9
10
11
12
13
14
15
16
32
41
40
37
32
40
39
36
36,3
36,5
36,8
37,0
37,3
37,5
37,7
38,0
a) Determinar los coeficientes estacionales.
b) Para el año 2002, determinar los valores de la serie desestacionalizada.
c) Si la tendencia estacional no existiera, ¿en qué trimestre del año 2002 sería
máximo el número de horas trabajadas efectivas? Justificar.
d) Estimar la tendencia para el año 2001 mediante promedios móviles centrados
de 4 períodos en la serie original Yt (trabaje con 3 dígitos decimales).
70
PRIMERAS REVISIONES 2003 – 2008
PRIMERA REVISIÓN 2007 – Sector Administrativo-Contable
EJERCICO 1] (9 puntos)
Una muestra de ingresos de 60 hogares tiene una media de $10.500 y una mediana de
$9.000. El 50 % central de los ingresos ordenados se encuentra entre $8.000 y $12.000.
SE PIDE: Indicar si es verdadera (V) o falsa (F) cada una de las siguientes afirmaciones,
justificando su respuesta.
a) Si se construye un diagrama de caja,
a . 1) Un ingreso de $2.500 es considerado atípico.
V€
F€
a . 2) Un ingreso de $17.000 es considerado atípico.
V€
F€
a . 3) Si los ingresos mínimos y máximos del conjunto de los 60 hogares son $3.200 y
$19.000 respectivamente, entonces no hay datos atípicos.
V€
F€
b) El ingreso total de los 60 hogares es de $540.000.
V€
F€
c) La distribución es asimétrica con cola a la izquierda.
V€
F€
71
PRIMERAS REVISIONES 2003 – 2008
EJERCICO 2] (15 puntos)
Suponga que está en una fábrica, sea X el contenido de partículas contaminantes cuando no
trabaja un equipo depurador, y sea Y el contenido de partículas contaminantes cuando sí
trabaja el equipo depurador. El comportamiento de (X,Y) se puede modelar mediante la
función de densidad conjunta:
α ..x. y 2
f XY ( x, y ) = 
0
0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤1
en otro caso
Se pide:
1. Hallar el valor de la constante α para que f XY ( x, y ) sea una función de densidad
conjunta.
2. Calcular la probabilidad de que el equipo depurador reduzca la cantidad de
partículas contaminantes a la tercera parte o más, es decir P(X ≥ 3.Y).
3. Determinar la función de densidad marginal de Y.
4. Calcular P(Y≤0,4)
5. Calcular fX/Y(x/y).
6. ¿Son independientes X e Y? Justificar la respuesta.
EJERCICO 3] (4 puntos)
Indique si es correcta o incorrecta cada una de las siguientes afirmaciones.
Por cada respuesta correcta se suma 0,5 puntos y por cada respuesta incorrecta se resta 0,5
puntos. Si no contesta, vale 0 punto.
1. En relación con la Metodología del Índice Medio de Salarios del año 2002, el objetivo
consiste en contar con un indicador actualizado de la evolución de los ingresos:
SI
NO
a) de todos los trabajadores del país
b) de todos los asalariados excluyendo trabajadores rurales y zafrales
c) que modificara la práctica adquirida en los años anteriores
d) excluyendo a los trabajadores del Sector Público
2. Según la Metodología del Índice de Precios al Consumo publicada por el INE:
SI
NO
a) El estrato de referencia incluye sólo hogares de Montevideo.
b) El estrato de referencia incluye sólo hogares de asalariados.
c) En la canasta se excluyen los bienes estacionales.
d) En la canasta se incluyen bienes heterogéneos.
72
PRIMERAS REVISIONES 2003 – 2008
EJERCICO 4] (12 puntos)
Una PYME adquiere una máquina que posee una pieza clave. Cuando falla, dicha pieza
puede ser sustituida con un repuesto y así sucesivamente hasta usar 4 repuestos. Al
vencimiento del cuarto repuesto la máquina sale de servicio definitivamente. Los tiempos
de vida útil de la pieza clave y sus repuestos: X0, X1……. X4 son variables aleatorias de
distribución exponencial (λ) independientes entre sí.
Se pide:
1) Si la duración media de la pieza clave y sus repuestos es de 25 meses, determinar λ.
2) ¿Cuál es la probabilidad que en el primer año de actividad se necesite un único
repuesto de la pieza clave?
3) Calcular la probabilidad que la máquina continúe funcionando transcurridos 10
años.
73
PRIMERAS REVISIONES 2003 – 2008
PRIMERA REVISIÓN 2008 – Sector Económico
EJERCICO 1 (7 puntos)
Los socios de una mutualista se clasificaron por tramos de edad para analizar la relación
entre la edad y el número de consultas en un trimestre, obteniéndose los siguientes
resultados.
Edad (X)
[0;20)
[20;40)
[40;60)
[60;90)
Total
0
1.200
400
100
0
1.700
1
300
2.500
200
200
3.200
CONSULTAS (Y)
2
3
100
0
400
300
2.700
200
400
1000
3.600
1.500
Total
1.600
3.600
3.200
1.600
10.000
SE PIDE:
1. Calcular el r(X.Y) sabiendo que:
∑ y.n( y) = 14.600
y
∑y
2
.n( y ) = 30.200
y
∑∑ x. y.n( x, y) = 726.000
x
y
2. Interpretar el valor de r(X.Y) en este problema.
EJERCICO 2 (3 puntos)
Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). No hace falta
fundamentar. (Cada respuesta correcta: +0,5 puntos. Respuesta incorrecta: –0,5 puntos.
Sin respuesta: 0 puntos).
El IMS tiene cobertura geográfica nacional.
El IPC tiene cobertura geográfica nacional.
La UR se actualiza mensualmente con el IPC.
Las deudas en dinero, que se pagan fuera de fecha, se actualizan con el IMS.
El IMS se calcula con la fórmula del Índice de Precios de Laspeyres.
El IPC se calcula con la fórmula del Índice de Precios de Laspeyres.
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
F
F
EJERCICIO 3 (18 puntos)
En cada una de las partes deberá seleccionar la opción correcta, fundamentando la
respuesta. Cada respuesta correcta, con fundamento, vale 3 puntos. Caso contrario, 0
punto.
1. Si X ∼ B(100, 0.99) entonces:
P(X=0) ≅ 1
P(X=0) ≅ 0
P(X=100) ≅ 1
74
PRIMERAS REVISIONES 2003 – 2008
2. Una variable
aleatoria X tiene
Rec(X) = {3, 5, 8}.
¿En cuál de los
siguientes casos la
variable X tiene la
mayor varianza?
3
5
8
3. Para investigar la relación entre dos
variables (X, Y) se tomó una muestra de
tamaño n = 3 y se obtuvo:
(x1, y1) = (5, 10)
(x2, y2) = (6, 3)
(x3, y3) = (5, 10)
Entonces:
4. En una distribución de Pareto,
α=3 y θ=1.000, la mediana es:
con
5. En una población de 20 solteros, 30
casados y 10 divorciados se selecciona
una muestra con equiprobabilidad y
reposición de 6 personas. La probabilidad
que resulten 2 solteros, 3 casados y un
divorciado es:
6. Si X ∼ N(0, 1), entonces E(X ) =
3
5
8
3
5
8
r(X.Y) > 0
r(X.Y) = + 1
r(X.Y) = – 1
X0,5 = 1.260
X0,5 = 1.180
X0,5 = 1.050
0,139
0,0139
0,00139
0
1
2
π
EJERCICIO 4 (12 puntos)
Un examen consta de tres partes que se corrigen por separado. Las puntuaciones de
cada parte X1 , X2 , X3 siguen una distribución normal multivariante con vector de medias µ
y matriz de varianzas y covarianzas Σ .
 70 
 
µ =  60 
 50 
 
 36 7 − 4 


Σ =  7 100 17 
 − 4 17 49 


SE PIDE:
a) Si para aprobar el examen es suficiente obtener en promedio 50 puntos entre las
tres partes, ¿cuál es la probabilidad de aprobar el examen?
75
PRIMERAS REVISIONES 2003 – 2008
EJERCICIO 4 (continuación)
 X1 + X 2 
 . Calcular Cov[(X1 + X2), X3] y deducir la distribución
X
3


b) Sea el vector 
 X1 + X 2 
 .
 X3 
conjunta del vector 
c) Si un alumno ha obtenido 120 puntos como suma de la primera y segunda partes,
¿cuál es la probabilidad de que apruebe el examen?
76