Puede descargarse desde aquí

CURSO PROPEDÉUTICO
COMÚN A TODAS LAS CARRERAS
ÁREA MATEMÁTICA
¡Bienvenidos!
Estos apuntes han sido pensados para ayudarte a recuperar y consolidar los
conocimientos matemáticos que seguramente adquiriste en el Nivel Medio, y
que son la base para afianzar otros más complejos relacionados con la
profesión que elegiste.
Para que podamos alcanzar este propósito es necesario que emprendas esta
nueva etapa con responsabilidad y compromiso, sabiendo que nada es posible
sin esfuerzo y que nada es tan difícil, incomprensible o inalcanzable como
parece, sólo se necesita constancia, paciencia y horas de estudio.
Son objetivos de este curso que te habitúes a los tiempos disponibles en un Nivel
Superior para estudiar un tema, que siempre son breves, y que fortalezcas tu
capacidad de resolver problemas de la manera más conveniente y en el menor
tiempo posible.
El material que presentamos ha sido elaborado por docentes del área
matemática para dar a todos los estudiantes la posibilidad de realizar una
puesta al día de conceptos y habilidades en matemáticas que se suponen
adquiridos en el nivel medio así como también equiparar la formación en esta
disciplina de los alumnos procedentes de las diferentes escuelas.
Sugerimos a los alumnos como forma de trabajo para desarrollar este guía,
repasar los conceptos teóricos básicos necesarios para abordar cada unidad
antes de realizar los ejercicios propuestos, para adquirir habilidades
matemáticas y lograr una mejor comprensión de todos los temas.
Docentes de Matemáticas
Curso Propedéutico
2
ISSP Nº 9112 “San Pablo”
Temas del Cuadernillo
Conjuntos numéricos ­ Números Reales Clasificación de los conjuntos numéricos
Operaciones de números reales. Propiedades Intervalos de números reales
Ecuaciones e inecuaciones Ejercicios
Expresiones algebraicas ­ Polinomios Conceptos importantes
Operaciones de polinomios Factorización de polinomios
Ejercicios
Trigonometría Sistemas de Medición de Ángulos
Razones trigonométricas Resolución de Triángulos rectángulos
Teoremas del seno y del coseno
Proporcionalidad Razón y proporción. Definición, propiedades
Magnitudes concepto, clasificación
Porcentaje
Incrementos porcentuales
Descuentos porcentuales
Ejercicios Curso Propedéutico
3
ISSP Nº 9112 “San Pablo”
CONJUNTOS NUMÉRICOS
La noción de número es tan antigua como el hombre mismo ya que son necesarios para
resolver situaciones de la vida diaria. Por ejemplo, usamos números para contar una
determinada cantidad de elementos (existen siete notas musicales, 9 planetas, etc.), para
establecer un orden entre ciertas cosas (el tercer mes del año, el cuarto hijo, etc.), para
establecer medidas (3,2 metros, 5,7 kg, -4ºC, etc.), etc.
NÚMEROS NATURALES
El conjunto de los números naturales está formado por aquellos que se utilizan para contar.
Se designa con la letra N y se representan: N={1, 2, 3, 4, ...}
Es un conjunto que tiene infinitos elementos pues si bien tiene primer término, el 1, que es el
menor de todos, no tiene último ya que es suficiente con sumar 1 a un número para obtener
otro mayor. Así, podemos afirmar también, que es un conjunto ordenado, por lo que podemos
representarlo sobre una recta de la siguiente manera:
1
2
3
4
5
6
Como ya sabemos, sobre este conjunto de números se pueden definir ciertas operaciones
como suma, resta, multiplicación y división.
Siempre que se sumen y se multipliquen dos números naturales se obtendrá otro número
natural, mientras que muchas veces, no sucede lo mismo si se restan.
Observen:
85  3
20 - 7  13
7 - 20  ? ¿Qué sucede?
NÚMEROS ENTEROS
Para solucionar el problema de la resta, se crean los números negativos –1, –2, –3, etc. como
opuestos de los números naturales. Además se incorpora el cero para dar solución a la resta de
un número consigo mismo. El conjunto de los números naturales, sus opuestos negativos y el
cero constituyen el conjunto de los números enteros, que se indica con la letra Z. Notemos
que N  Z .
Su representación sobre la recta numérica es la siguiente:
–2
–1
0
1
2
3
…es opuesto de…
Veamos algunos ejemplos:
 El opuesto de 2 es –2.
 El opuesto de –5 es 5, es decir (5)  5
 El opuesto de 0 es ...............
De esta manera, podemos redefinir la resta de dos números naturales como la suma de dos
números enteros.
Curso Propedéutico
4
ISSP Nº 9112 “San Pablo”
Ejemplo: Calcular:
1) 23    12  ?
Solución: sumar –12 es lo mismo que restar su opuesto, o sea 12, es decir:
23 + (–12) = 23 – 12 = 11
2) 9    20  ?
Solución: restar –20 es lo mismo que sumar su opuesto, o sea 20, por lo tanto:
9 – (–20) = 9 + 20 = 29
Podemos observar que ahora la suma, la resta y la multiplicación de números enteros dan
como resultado otro número entero.
¿Ocurrirá lo mismo en el caso de una división? Observen:
10    5  2
  8    1  8
45  ?
  3    2   ?
¿Hay algún número entero que cumpla con esta condición?
NÚMEROS RACIONALES
Para resolver esta situación habrá que introducir otro conjunto numérico, el conjunto de los
números racionales al que denotaremos con la letra Q.
Un número racional es el cociente (división) de dos números enteros m y n, siendo n distinto
m
n


de cero. Por lo tanto: Q   , m, n  Z , n  0 donde m es el numerador y n el denominador.
Notemos que Z  Q.
De la definición de número racional surge que todo número entero es racional, pues podemos
considerar al entero como un racional de denominador 1, por ejemplo:
3
3
donde - 3  Z,1  Z y 1  0
1
Representemos en la recta numérica algunos números racionales:
0
1
Veamos algunos ejemplos de números racionales:


7
es racional, pues es el cociente de 7 y 5, que son números enteros.
5
4
4 es racional pues
= 4 y 4 y 1 son enteros.
1
Curso Propedéutico
5
ISSP Nº 9112 “San Pablo”
 0,3 es la expresión decimal de un número racional porque
0,3 
3
ya que 3 y 10 son
10
números enteros

es la expresión decimal de un número racional porque
y 5
y 9 son números enteros.

es la expresión decimal de un número racional porque
y
14 y 90 son números enteros.
Estos tres últimos ejemplos muestran los tres tipos diferentes de expresiones decimales que
puede tener un número racional:
 Expresión decimal finita:
 Expresión decimal periódica pura:
 Expresión decimal periódica mixta:
;
;
Todo número racional puede escribirse como una expresión decimal cuya parte decimal
puede tener un número finito de cifras o puede tener un número infinito de cifras pero
periódica, pura o mixta.
Supongamos que nos dan el número decimal 233,21 Es una expresión decimal periódica
mixta, así que ya sabemos que es un número racional y por lo tanto se tiene que poder
expresar como una fracción (cociente de dos enteros). ¿Qué fracción es?
Para hallar esta fracción, existe una regla muy simple que podemos resumir así:
(todas las cifras de la expresión) - ( las cifras no periódicas de la expresión)
tantos 9 como cifras decimales periódicas y tantos 0 como cifras decimales no periódicas
Aplicando en el ejemplo, obtenemos: 233,21 
23321  2332 20989

90
90
Recuerda que siempre se puede verificar el resultado realizando la división entre el numerador
y el denominador encontrado.
Recordemos como se realizan las cuatro operaciones fundamentales en racionales: Q
Igual denominador: dejando el mismo
denominador se suman o restan los
numeradores
SUMA Y RESTA
Curso Propedéutico
Distinto denominador: se puede buscar
un denominador común o reemplazar a
cada fracción por otras equivalentes a
las dadas con igual denominador.
6
a c ac
 
b0
b b
b
a c ac
 
b b
b
5 7
10  21  6 25
 1 

3 2
6
6
ISSP Nº 9112 “San Pablo”
MULTIPLICACIÓN
DIVISIÓN
Se multiplican los numeradores y los
denominadores entre sí
Se multiplican numerador por
denominador (cruzado)
a c
ac
 
b d
bd
3 1 3 1
 

4 5 45
a c
ad
 
b d
bc
3 1 3 5
 

4 5
4 1
b, d  0
3
20
15
4
Se puede concluir que entre dos números racionales a y b, con a < b, existe otro racional de la
forma
ab
ab
b
que verifica a 
2
2
Esta propiedad se expresa diciendo que el conjunto Q es un conjunto denso, en contraposición
a los naturales, N, y los enteros, Z, que son conjuntos discretos.
NÚMEROS REALES
NÚMEROS IRRACIONALES
¿Se puede representar a todos los números que se conocen mediante una expresión decimal
finita o periódica?
Para contestar a esta pregunta, se debe pensar en un número muy conocido, el número  .
¿Cuál es el valor de  ? Una calculadora con 8 dígitos dará como valor de  al 3,141593;
una calculadora con 10 dígitos dará como valor de  al 3,14159264. En algún libro de
matemática se puede encontrar, por ejemplo:  = 3,14159265358979323846.
A los números reales cuya expresión decimal no es finita ni periódica los llamaremos
números irracionales. A este conjunto lo denotaremos con I. Algunos ejemplos son:




Los números irracionales también tienen su ubicación en la recta numérica.
Observemos que la suma de dos números irracionales no siempre da un número irracional y
que el producto de dos números irracionales no siempre da un número irracional.
Buscar ejemplos en donde se verifiquen dichas afirmaciones.
Observar que si n  , entonces n �2 (si n  0 ) y
son también números
t (si r  0 ) son números
irracionales. Se puede generalizar que si r  y t  I, r + t y r �
irracionales. Obviamente I también es un conjunto infinito de números.
El conjunto formado por los racionales y los irracionales se llama conjunto de números
reales, y se designa con la letra . Notemos que, por esta definición  . Los números
reales llenan por completo la recta numérica, por eso se la llama recta real. Dado un origen y
Curso Propedéutico
7
ISSP Nº 9112 “San Pablo”
una unidad, a cada punto de la recta le corresponde un número real y, a cada número real, le
corresponde un punto de la recta.
La relación existente entre los conjuntos numéricos la podemos graficar de la siguiente
manera:
Operaciones en números reales. Propiedades

SUMA Y MULTIPLICACION
Las operaciones de suma y multiplicación definidas en
Veamos algunas de ellas:
cumplen ciertas propiedades.
Sean a, b y c números reales cualesquiera.
Propiedades
Ley de cierre
Asociativa
Conmutativa
Existencia de elemento neutro
Existencia de inverso
de la Suma
de la multiplicación
ab 
a�
b

a   b  c   a  b  c *
a�
c   a �
b �
c *
b�
ab ba
a�
b  b�
a
Es el 0:
Es el 1:
a0  0a  a
a�
1  1�
aa
Es el opuesto aditivo:
a  (  a )  ( a )  a  0
Distributiva del producto con
respecto a la suma
Es el inverso multiplicativo:
1 1
a�  �
a  1 si a �0
a a
c  a�
cb�
c
 a  b �
* Observación: La propiedad asociativa nos permite prescindir del uso de paréntesis y
escribir simplemente
ó
 POTENCIACION
Si a es un número real y n es un número natural, entonces decimos que an se obtiene
multiplicando n veces el factor a, es decir: a n  a.a.a.a......
Curso Propedéutico
8
ISSP Nº 9112 “San Pablo”
Ejemplo: a6 = a . a . a . a . a . a
Decimos entonces que
es una potencia que tiene a a como base y a n como exponente.
Extendemos la definición para exponentes enteros definiendo, para
a0  1
  n 1 n
a  a , n  N
a  0:
 
Sean a, b números reales distintos de 0 y sean m, n números enteros.
PROPIEDADES DE LA POTENCIA
(a �b)m = am �bm
Distributiva con respecto al producto
a
 
b
Distributiva con respecto a la división
m

am
bm
an �am = an + m
Producto de potencias de igual base
an
División de potencias de igual base
m
a
a 
 a nm
n m
Potencia de potencia
 a n m
Observación: La potencia no es distributiva con respecto a la suma ni a la resta.

RADICACION
Para los enteros positivos
ya se ha definido la n-ésima potencia de b, a saber,
vamos a utilizar la ecuación
para definir la n-ésima raíz de a.
La notación de la raíz cuadrada de 49 es
cuando
, el símbolo
solo valor de
. Su valor es 7 porque
se usa sólo con
y no con
. Claro que siempre es posible escribir
. Además
. Podemos observar que
para todo número real
números reales.
. Ahora
, por lo que
y
. Aun
, así que se tendrá un
si se desea el valor negativo
no tiene una raíz cuadrada real ya que
no tiene solución en el conjunto de los
En general:
◊ La raíz cuadrada de
principal de
se define como sigue
a
Si a es un número real positivo
Curso Propedéutico
9
. A veces recibe el nombre de raíz cuadrada
a  b si
y sólo si a  b 2 y a>0
ISSP Nº 9112 “San Pablo”
Ejemplo:
, pues
(no es
ni
)
◊ En el caso de las raíces cúbicas se puede utilizar tanto números positivos como negativos,
así como el cero. Por ejemplo, 3 8  2 pues 23  8
3
3
 125  5 pues   5  125
Se concluye que:
Si a y b son números reales cualesquiera
si y sólo si
Se puede ver que existe una diferencia básica entre las raíces cuadradas y las raíces cúbicas.
Las raíces cuadradas están definidas sólo para los números reales positivos y el cero. Las
raíces cúbicas están definidas para cualquier número real.
Entonces en una regla general:
a si n es par sólo tiene solución el
n
radicando positivo
a si n es impar tienen solución los
n
4
81  3
4
 81  no tiene solución en reales
3
27  3
5
radicandos positivos y negativos
 32  2
Veamos ahora las propiedades de la radicación, las cuales son análogas a las de la
potenciación.
Sean
números reales positivos y
números naturales
Propiedades de la Radicación
Distributiva con respecto al producto
n
Distributiva con respecto a la división
ab  n a  n b
n
Raíz de raíz
a

b
n m
n
n
a
b
a 
n.m
a
Observaciones:
 Al igual que con la potenciación, la radicación no es distributiva con respecto a la suma
ni a la resta.
SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES
Es una propiedad que poseen los radicales cuando se puede dividir el índice de la raíz y el
exponente del radicando por un mismo número
 Si el índice de la raíz es impar se puede simplificar siempre sin tener en cuenta el
signo de la base del radicando. Por ejemplo:
5
5 
(dividimos índice y exponente por 5)
 2   2
7

2
 
3
21
2
 
3
3
(dividimos índice y exponente por 7)
Si el índice de la raíz es par, sólo se puede simplificar si la base es positiva, ya que si
la base fuera negativa podría presentarse el siguiente caso:
Curso Propedéutico
10
ISSP Nº 9112 “San Pablo”
4
( 2) 4 
4
16  2
los resultados no coinciden.
4
( 2)
4
 2
(si dividimos índice y exponente en 4)
Observación:
simplificar
cuando el índice es PAR y el radicando NEGATIVO, NO se puede
Recordemos como operar con radicales:
Con raíces semejantes
se extrae la raíz como factor
común y se opera
SUMA Y RESTA
1
2
6
6
3
5
1 2
86

6
5    6 
3 5
15

5 6
Con raíces no semejantes.
8
Se descomponen cada uno de los
radicandos
en
forma
de
producto.
Se
aplica
la
propiedad
distributiva
Se extrae factor común
Se resuelve la suma algebraica
Con igual índice.
MULTIPLICACION
Y
DIVISION
Se mantiene el índice y se
agrupa dentro de un mismo
radicando.
Si es multiplicación se suman
los exponentes.
Si es división se restan los
exponentes.
Con distinto índice
2 2

72 
2
36 2 
2 6 2 
 2  1  6
2 7 2
3
x 2 y  3 xy 
3
x 2 y  3 xy 
3
3
x3 y 2
x
ab  3 ab 
2 3
Se debe buscar un índice común
Se agrupan los factores
Se opera con propiedades de la
potencia de igual base
2
4 2
a 3b 3  3 2 a 2 b 2  6 a 5b 5
ab  3 ab 
2 3
a 3b 3  3 2 a 2 b 2  6
a
b
RACIONALIZACION DE DENOMINADORES
Sabemos efectuar divisiones cuando el divisor es un número racional, pero ¿qué sucede si
hacemos la división de 3 en
? ¿Cómo realizaríamos dicha operación?
Podemos solucionar este inconveniente si encontramos un cociente equivalente al anterior
cuyo denominador sea un número racional. Al procedimiento que nos permite hallar tal
cociente equivalente se lo denomina racionalización de denominadores.
La nacionalización de radicales es un proceso donde se tiene que eliminar el radical o los
radicales, que están en el denominador de la fracción.
Curso Propedéutico
11
ISSP Nº 9112 “San Pablo”
Racionalizar una fracción con raíces en el denominador, es encontrar otra expresión
equivalente que no tenga raíces en el denominador. Para ello se multiplica el numerador y el
denominador por la expresión adecuada, de forma que al operar elimine la raíz del
denominador.
■ Racionalización de un radical de índice 2
Para racionalizar una expresión de este tipo, se debe multiplicar el numerador y el
8
denominador de la fracción por el denominador de la misma. En el siguiente caso:
que multiplicar el numerador y denominador por
8
5 8 5 8 5 8




5
5
5
5
5
52
5
5
hay
, de esta manera:
Después se despeja la raíz cuadrada del denominador ya que
la cantidad subradical que es 5 elevada al cuadrado puede eliminar o despejar la raíz
cuadrada:
■ Racionalización de una expresión de la forma
a
b
Se debe hacer un proceso similar al ejercicio anterior, multiplicar el numerador y
denominador de la fracción por el conjugado del denominador de la misma. En el siguiente
2
ejemplo:
2
2 3
2 3

2 3
2 3

hay que multiplicar el numerador y el denominador por

2 2 3
2 2  32
  2




2 3
2 2 3

 2 2  3
23
1
2
3.

■ Racionalización de un radical de índice mayor que 2
Tómese el siguiente caso, ya que tenemos numeradores y denominadores fraccionados y
multiplicados por índices mayores que 3.
2
5
8a 3 b 4
Primero, todas las cantidades
subradicales (si son números enteros elevados que no tienen exponente) se les debe obtener la
raíz enésima.
2
5
3
8a b
4

2
5
3
2 a 3b 4
Ahora, la cantidad que deberá ser multiplicada al numerador y
denominador de la fracción sigue un procedimiento diferente a las anteriores. Las cantidades
exponenciales de los subradicales del radical para multiplicar al numerador y denominador de
la fracción será el número del exponente que falta para acercarse al índice del radical. En caso
de que el exponente sea mayor que el índice de la raíz, la cantidad de aquel exponente será la
que falte para llegar al múltiplo más cercano de la raíz. 5 2 3 a 3b 4  5 2 2 a 2 b En este ejemplo,
es 5 2 2 a 2 b , ya que éste es el radical que al ser multiplicado por el denominador los
exponentes de las cantidades subradicales serán iguales al índice de la raíz...
Ahora, se procede a multiplicar el numerador y el denominador:
Curso Propedéutico
12
ISSP Nº 9112 “San Pablo”
2
5

5
2 2 a 2b
2 3 a 3b 4 5 2 2 a 2 b

25 2 2 a 2 b
5
2 5 a 5b 5

25 4a 2 b

2ab
5
4a 2 b
ab
POTENCIAS DE EXPONENTE FRACCIONARIO
m
p
a p  a m donde a  R  , m  Z y p  N

y

y
Intervalos de números reales
A un conjunto de la recta real lo llamamos intervalo si contiene por lo menos dos números
reales y también todos los números reales entre dos de sus elementos.
Se llama:

Intervalo abierto: de extremos a y b al conjunto de los x ε R que están entre a y b, sin
considerar los extremos a y b. Se escribe como  a, b    x  R / a  x  b . Gráficamente

Intervalo cerrado: de extremos a y b al conjunto de los x ε R que están entre a y b,
incluyendo los extremos a y b. Se escribe como  a, b   x  R / a  x  b .
Gráficamente

Intervalo abierto a la izquierda de extremos a y b al conjunto de los x ε R que están
entre a y b, que no incluyen al extremo a, pero incluye al extremo b. Se escribe como
 a, b   x  R / a  x  b . Gráficamente


Intervalo abierto a la derecha de extremos a y b al conjunto de los x ε R que están
entre a y b, que incluyen al extremo a, pero no incluye al extremo b. Se escribe como
 a, b    x  R /  x  b . Gráficamente

Curso Propedéutico
13
ISSP Nº 9112 “San Pablo”
Llamaremos intervalos infinitos a los siguientes conjuntos de puntos
 x  R / x  a   a, 
 x  R / x  a   a, 
 x  R / x  a    , a 
 x  R / x  a    , a 
Ejemplos:
Consideremos los siguientes conjuntos:
A   x  R /  2  x  5    2,5
B   x  R / x  3    ,3
Curso Propedéutico
14
ISSP Nº 9112 “San Pablo”
TRABAJO PRÁCTICO – NÚMEROS REALES
 según corresponda.
1) Completar con los símbolos , ,  ó 
 4 ........
 ........

........ I

........
 N ........

........ I
 {–2, , 0} ........

........ ........
........
2) Decir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
a) La suma de dos números naturales es siempre un número natural.
b) La diferencia de dos números naturales es siempre un número natural.
c) El cuadrado de un número racional negativo es un racional positivo.
d) Existen infinitos números racionales comprendidos entre 0 y
1
.
2
e) El conjunto de los números naturales carece de primer elemento.
3) Simplificar las fracciones hasta encontrar una fracción irreducible
a)
9  18
=
18  6
c)
15  12  18
=
9  24  30
5  20  18
=
3  6  10
b)
d)
36  25
=
100  15
4) Convertir en fracciones los siguientes decimales, reduciendo a su más simple expresión:
a) 0,04=
b) 0,13636...=
c) 0,25=
d) 0,1855...=
e) 0,02727...=
f) 2,444…=
5) Completar con = ó  y mencionar qué propiedades se cumplen o no se cumplen:
a)
..........
d)
……
b)
..........
c)
..........
6) Resolver aplicando propiedades de la potenciación:
2
1 2
a)    
2
3
a 2 
b)
2
2 3
a4
1
3
c) a 2  a  2  a  a 2 
 2   a  b2  d 3  

d) 
2
1 
 12  b  d 
5

7) Expresar como exponente fraccionario y resolver:
a)
10
 1 
13  

 13 
Curso Propedéutico
2

b)
a a

3
a
c) 7  2 
15
1

7
d)
52  3 5
5
53

ISSP Nº 9112 “San Pablo”
8) Resolver:
2
5
2  3
a)  3    2  


2
 4 
2
4
b) 3
  
8
9
c)
200 
d)
5
e)
1
1

16
   3 
0
98  3 2 
abc  5 a 2c 3 
x 2 y 5  7 xy 
9) Racionalizar:
5
2 7
a)
b)
3
5
a
c)
d)
2
5
3
2a b 4 c 2
20
3
40
Curso Propedéutico
16
ISSP Nº 9112 “San Pablo”
ECUACIONES
Un problema de ingenio frecuente es: pensar un número, sumarle 15, multiplicar por 3 el
resultado. A lo que se obtiene, restarle 9, dividirlo por 3 y restarle 8.
Si la respuesta es, por ejemplo, 32, el número pensado originalmente es 28. ¿Cómo se sabe?
Para contestar esta pregunta, expresemos en lenguaje simbólico todas las operaciones
realizadas. Llamémosle x al número pensado originalmente (valor desconocido a averiguar).
Entonces:
 x  15  3
 9
3
 8  32 .
Aplicando las propiedades conocidas de las operaciones entre número reales, obtenemos:
 x  15 3  9
3
 8  32 
 x  15  3
3
 9  8  32 
3
x  15  3  8  32
.
Por lo tanto, realizar todos los cálculos pedidos equivale a simplemente sumarle 4 al número
original. De esta manera, restándole 4 a 32 es fácil descubrir cuál había sido el número
pensado en principio.
Observemos que para resolver el problema utilizamos una igualdad en la que un valor era
desconocido. Muchos problemas se resuelven de manera similar, lo que originó el estudio de
las… Ecuaciones.
En particular, cuando el valor desconocido es uno solo, a dicha ecuación la llamamos
ecuación con una incógnita. Algunos ejemplos de ecuaciones con una incógnita son:
a) 3 x + 4 = 5 x – 8
b) 2 x2 + 20 = 24 x –20
c) log x = 3 – log (x + 2)
Resolución de ecuaciones de primer grado
Con las propiedades vistas anteriormente estamos en condiciones de resolver cualquier tipo de
ecuación de primer grado. Veamos ciertos casos particulares.
Sea la ecuación: 2x – 8 = 2(3 + x)
Resolución:
2x  8
2x  8
2x  8  2x
8




2  3  x
6  2x
6  2x  2x
6
por propiedad distributiva :
por propiedad uniforme de la suma :
operando:
¡ ABSURDO!
¿Qué significa esto? ¿Habremos cometido algún error durante el desarrollo?
No se cometió ningún error. El absurdo provino de que la ecuación dada no tiene solución en
los números reales, es decir, no existe ningún valor de x que satisfaga la ecuación. El
conjunto solución de dicha ecuación es vacío.
Sea la ecuación:
Resolución:
–10x = 5(2x – 4)
-10x = 10x-20
-10x-10x =-20
-20x=-20
x= (-20)÷(-20)
x= 1
INECUACIONES
Una inecuación es una desigualdad condicionada al valor que asuman las incógnitas (valores
desconocidos)
Resolver una inecuación es encontrar el conjunto de todos los números reales que hace que la
desigualdad sea verdadera. Este valor de la incógnita generalmente es un intervalo de valores
que muchas veces se representa por una semirrecta. Su solución se expresa en intervalos.
Regla general para resolver una inecuación
Se sigue el mismo procedimiento que para resolver una ecuación, pero se debe tener en cuenta las siguientes
propiedades:
a-Si sumamos a ambos miembros de una desigualdad un número real cualquiera, la
desigualdad se mantiene en el mismo sentido.
En símbolos: Sean a, b, c ε R, si a < b, entonces a + c < b + c.
b. Si multiplicamos ambos miembros de una desigualdad por un número positivo, la
desigualdad resultante mantiene el sentido de la primera.
En símbolos: Sean a, b, c ε R, si a < b y c > 0, entonces a.c < b.c
c. Si multiplicamos ambos miembros de una desigualdad por un número negativo, la
desigualdad resultante cambia su sentido respecto de la primera.
En símbolos: Sean a, b, c ε R, a < b y c < 0, entonces a.c > b.c
Ejemplo: -2(x+3)<-x-2
-2x-6<-x-2
-2x+x<-2+6
-x<4
x>-4
S= (-4,+∞)
Curso Propedéutico
18
ISSP Nº 9112 “San Pablo”
TRABAJO PRÁCTICO – ECUACIONES E INECUACIONES
1) Seleccionar las respuestas correctas:
a) La solución de la ecuación 4x – 8 = 2x – (–x) – (–1) es:
Un numero fraccionario y entero
9//7
Un numero entero y negativo
9
Ninguna de las anteriores
b) La solución de la ecuación: 5x + 10x –6 – 9 + 4x = x + 3 – 12 es:
15
2/3
3/2
-(3/2)
Ninguna de las anteriores
c) El valor de m que pertenece a N y que es solución de la ecuación
m + 3(4m – 6) = –10 + 2(3m –5)
es:
0
-(2/7)
2
Inexistente
Ninguna de las anteriores
2) Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado y determina cuando sea posible a que
conjunto numérico pertenece cada una de ellas
1
a) 4  x  ( 15  x )
b) ( y  1 )( 2  y )  5  y( 4  y )  2 y
2
5
a 4
1
2
 5 18 x
a  2  
 a    5a 
c) 3( x  9 ) 
d)
2
6
3
6
 3
a

x

3
(
x

a
)
x
a
e)
, siendo
la incógnita y
un número real fijo.
f) 5t  4  t  4 ( 1  t )
x 1 x 1

4
h)
2
3
x4 x4
3x  1

2
j)
3
5
15
Curso Propedéutico
g)  3x  2   x  3  8
i) 2 x  3  3 4 x  5  17  8 x
1
x5
x  1 2  3x
k) 2


7
2
7
19
ISSP Nº 9112 “San Pablo”
3- Plantea y resuelve los siguientes problemas
a) De un depósito lleno de líquido se saca la mitad del contenido, después la tercera parte
del resto y quedan aún 1600 litros. Calcula la capacidad del depósito.
b) La semisuma de un número y su consecutivo, aumentada en la tercera parte de dicho
número da como resultado la sexta parte de treinta y cinco.¿Cuál es el número?
4­ Resolver las inecuaciones y representar sus soluciones en el eje real:


a)  x / 4 x 


5

 0
2



d)  y / 6  4. 2  y  
b)  x / 
1

y  5
2

a) x  1  2x   0,4  3  x
Curso Propedéutico
2 5

 x  0
3 9



e)  z / 


1

  z  3
2

h ) x /


c)  y /


f) x /
10

 y  3
3

1  2x

 2x 
4

3  x 5  x


5
3 
20
ISSP Nº 9112 “San Pablo”
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
En el álgebra se observa que se emplean letras y otros símbolos para representar números o
cantidades conocidas y desconocidas en ecuaciones y desigualdades.
1
n
si b  0 ;
Ejemplos: bn = b.b ......b ; b  n ;
a (b + c) = a b + a c
b
El término expresión algebraica se emplea para cualquier combinación de variables y
constantes que se forme utilizando un número finito de operaciones.
Ejemplos: a x2 ;
a x2+ b x + c ;
x3  y
;
ax 2  by
1.7 c + 37
;
x 3  7 y 2
2x  7 y
Monomio es una expresión algebraica con un solo término
Ejemplos: 4 x2 ;
-8 x z3 y7 ;
7
x y7 ;
5
4  a y3z
Operaciones entre Monomios:

Suma y Resta de Monomios
Para suma o restar monomios, se suman o se restan los coeficientes de términos semejantes.
Ejemplos:
1) 3 x2 y + 5 x2 y = 8 x2 y
2) 7 x3 y3 - 2 x3 y3 = 5 x3 y3
3) 3 x2 y + y3 - 7 x2 y = y3 -4 x2 y
Importante: Sólo se pueden sumar o restar términos semejantes

Producto de Monomios
Cuando se multiplican monomios, se multiplican los coeficientes numéricos para obtener el
coeficiente numérico del producto. Luego se multiplican los factores re3stantes usando las
reglas de los exponentes:
Ejemplos:
1) (3 x3 ) ( - 7 b x4) = -21 b x7
2) (4 a x2 ) ( 7 b x3) = 28 a b x5
3) (-5 x y2 z3) ( 3 x2 y2) = -15 x3 y4 z3
4)

2 x3 y


3x y 4 
6x4 y5
Polinomios
Se llama polinomios a la suma de monomios en los que, las variables estén elevadas a
potencias naturales o cero.
Ejemplos:
1) 2 x3 - 3 x2 + 4 x + 1, una sola variable x; se lo escribe p(x)= 2 x3 - 3 x2 + 4 x + 1
2) 2 x2 y – 5 x y3
dos variables x , y; se lo escribe p(x, y) = 2 x2 y – 5 x y3
Curso Propedéutico
21
ISSP Nº 9112 “San Pablo”
3) 2x y + 3 z y - 4y tres variables x, y, z, se lo denota p(x, y, z)= 2x y + 3 z y - 4y
El grado del polinomio, está dado por el término de mayor grado.
p(x)= 2 x3 - 3 x2 + 4 x + 1 tiene grado 3.
P(x, y) = 2 x2 y – 5 x y3 tiene grado cuarto.
p(x, y, z)= 2x y + 3 z y - 4y tiene grado 2
Un polinomio con exactamente dos términos se lo denomina binomio.
Ejemplos: p(x, y)= a x2 + b y ; p(x)= 4 x + 5 ; p(x, y)= 6 x6 - 9 y
Un polinomio con exactamente tres términos es un trinomio.
Ejemplos:
p(x)= 3 x3 - 2 x + 1 ;
p(x, y, z, w)= 2x y + 3 z y - 4 w
Operaciones entre Polinomios

Suma y Resta
Para suma o restar dos polinomios, se suman o se restan los coeficientes de términos
semejantes.
Ejemplos:
1) ( 3 x2 + 2 x y -5 y) +(-6 xy + 6 x2 - 7 y) = 9 x2- 4 x y -12 y
2) (4 y - 3 z + 4 x y) - (7 y - 8 z - 6 x y) = -3 y + 5 z + 10 x y
3) 3 x2 + 2 x y - y3 - 8 x y = 3 x2 - 6 x y - y3
4) ( 2 x2 –5 x +3 )+( -3 x3 + 2 x –1) = - 3 x3 + 2 x2 –3 x + 2
Observación:
 En caso que, se suman dos polinomios de distinto grado, la suma es un polinomio que,
tiene el grado del mayor grado de los polinomios sumados.
 En caso que, se suman dos polinomios de igual grado, la suma es un polinomio que,
tiene el grado menor o igual al grado de los polinomios sumados.

Multiplicación
Para multiplicar un polinomio por otro, cada término de un polinomios se multiplica por cada
término del otro polinomio. Es decir se usa la propiedad distributiva.
Ejemplos:
1) 4 x2y (3x y2+ 2 x3 y ) = (4 x2y) ( 3 x y2) + (4 x2y ) (2 x3 y) = 12 x3 y3 + 8 x5 y2.
2) ( x2 + b ) (x + c) = x2 (x + c) + b ( x + c) = x3 + c x2 + b x + b c
Otro método consiste en multiplicar de la misma manera que con los números reales. Cuando
se emplea éste método, los términos semejantes se colocan en la misma columna.
Ejemplo:
Curso Propedéutico
22
ISSP Nº 9112 “San Pablo”
4 x3 – 2 x2 + 0 x +5
x
2 x2 – x – 0.5
------------------------------------------------2 x3 + x2 + 0 x - 2.5
4
- 4 x + 2 x3 + 0 x2 - 5 x
8 x5 - 4 x4 + 0 x3 +10 x2
-------------------------------------------------------8 x5 – 8 x4 + 0 x3 + 11 x2 -5 x -2.5
Productos Especiales

El producto especial (a + b) (a - b). da como resultado una diferencia de cuadrados
a2 - b2
En el siguiente ejemplo se muestra un producto especial:
Ejemplo: (x + 4) (x - 4) = x2 - 4 x + 4 x - 16 = x2 - 16.
En general: ( a+ b ) ( a- b) = a2 - a b + a b - b2 = a2 - b2

El producto especial (a + b)2 da como resultado un trinomio cuadrado perfecto a2 + 2
a b + b2
Recordemos que (a+ b)2 = (a + b) ( a+ b), si multiplicamos obtenemos:
(a+ b)2 = (a + b) ( a+ b) = a2 + a b + b a + b2 = a2 + 2 a b + b2
Ejemplos:
1) ( x + 3 y)2 = x2 + 6 x y + 9 y2
2) (4 a - b)2 = 16 a2 - 8 a b + b2
( a + b)2  a2 + b2
RECUERDA QUE:
( a - b)2  a2 - b2

El producto especial (a + b)3 da como resultado un cuadrinomio cubo perfecto a3 + 3
a2 b + 3 a b2 + b3
(a+ b)3 = (a + b)2 ( a+ b) y sabiendo que (a+ b)2 = a2 + 2 a b + b2
Sustituyendo, multiplicando, asociando y conmutando obtenemos:
(a+ b)3 = (a + b)2 ( a+ b) = (a2 + 2 a b + b2 ) ( a + b) = a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3
Es decir que:
(a+ b)3 = a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3
Ejemplos:
1) (2 b + a )3=8 b3 + 12 a b2 + 6 a2 b + a3
2) ( y + 1 )3= y3 + 3 y2 + 3 y + 1
3) ( x - 2 )3= x3 - 6 x 2 + 12 x – 8
Curso Propedéutico
23
ISSP Nº 9112 “San Pablo”

División de Polinomios
Los polinomios se disponen como en la división de números y ordenados por sus potencias
de mayor a menor. Los términos del cociente se obtienen en varios pasos, parecidos a la
división numérica.
Ejemplo: Divida (3x 4  2 x 3  4 x  4)   x 3  2 x 2  
Veremos el algoritmo de la división para determinar los polinomios cociente y resto.
1º se
ordenan
decrecientes
según las
potencias
(3 x 4  2 x 3  0 x 2  4 x  4)
de la variable “x”, el
dividendo y el divisor completando, a
demás, el dividendo.
2º dividimos el primer término del
(3 x 4  2 x 3  0 x 2  4 x  4) x 3  2x 2
3x
dividendo con el primer término del
divisor, obteniéndose así el primero
termino del cociente.
3º multiplicamos el primer término del
(3 x 4  2 x 3  0 x 2  4 x  4) x 3  2x 2
3x
cociente por todo el divisor.
- (3 x  6 x )
4
4º se resta este producto del dividendo,
obteniéndose un nuevo dividendo.
3
(3 x 4  2 x 3  0 x 2  4 x  4) x 3  2x 2
3x
- (3 x 4  6 x 3 )
8 x3  0 x 2
5º reiteramos el procedimiento 2º, 3º y 4º
hasta obtener el polinomio resto, de grado
menor que el divisor.
(3 x 4  2 x 3  0 x 2  4 x  4) x 3  2x 2
3x + 8
- (3 x 4  6 x 3 )
8 x3  0 x 2
- 8 x 3  16 x 2
16 x 2  4 x  4
Quedan entonces determinados el polinomio cociente C(x)= 3x+8 y el polinomio resto R(x)=
16 x 2  4 x  4 que verifican:
3x 4  2 x 3  0 x 2  4 x  4  ( x 3  2 x 2 )  (3 x  8)  (16 x 2  4 x  4)
La división está bien hecha si se cumple que: Dividendo = divisor x cociente + resto
Grado (resto) < Grado (divisor)

Regla de Ruffini:
Curso Propedéutico
24
ISSP Nº 9112 “San Pablo”
Cuando el divisor es un polinomio de la forma x  a, se puede aplicar el método ya aprendido
o aplicarse la regla de Ruffini, que prescinde de las variables.
Ejemplo: Dividir (3 y4 + 0 y3 +y2 -5y+4) : (y +1), primero aplicando el método aprendido, y
luego aplicando la regla de Ruffini
3 y4 + 0 y3 +y2 -5y+4
y +1________
-3y4 -3y3
3 y3 -3y2+4y-9
- 3y3 + y2 -5 y+4
3 y3 +3y2____
4y2 - 5 y+4
-4y2 -4 y_____
3
-1
X
0
-3
-3
3
1
3
4
-5
-4
-9
-9 y + 4
4
9
13
9y+9
13
El polinomio cociente es 3 y3 -3y2+4y - 9; y el polinomio resto es 13.

Valor Numérico de un polinomio. Teorema del resto
El valor numérico de un polinomio en x= a es el valor que se obtiene de sustituir a la
variable x por el número a y efectuar las operaciones indicadas.
Se obtiene un número al que denominaremos como p(a)
Ejemplo: El valor numérico de 3 x3 -3x2+4x-9 en x= 1, x= -1, x= a
El valor numérico del polinomio en x= 1, es p(1) = 3 ( 1) 3 –3 ( 1)2 + 4.1 -9 =- 5
El valor numérico del polinomio en x= -1, es p(-1) = 3 (- 1) 3 –3 ( -1)2 +4.(-1)-9 = -19
El valor numérico del polinomio en x = a p(a) = 2 ( a) 3 – ( a)2 +4ª -9
Cuando el valor numérico del polinomio en x= a es cero se dice que a es raíz del polinomio o
cero del polinomio.
En el ejemplo x= -1 es raíz del polinomio P(x) =2 x3 – x5 +1

Teorema del Resto
El resto de dividir un polinomio p(x) de grado mayor o igual a uno, por otro de la forma x +
a, es el valor numérico del polinomio p(x) para x= a cambiado de signo.
Demostración
p(x) 
/
Curso Propedéutico
x+a
c(x) ,
de modo tal que p(x) = (x + a) c(x) + r ,
25
ISSP Nº 9112 “San Pablo”
r
El resto de la división es r = p(-a), En el ejemplo: ( 3 y4 + 0 y3 +y2 -5y+4 ) : (y +1)
r = 3 (-1)4 + 0 (-1) 3 + (-1)2 – 5 (-1) + 4 = 13
Factoreo de Expresiones Algebraicas
A fin de simplificar el proceso de resolución cuando operamos algebraicamente, resulta
conveniente, replantear distintas expresiones algebraicas, presentándolas como producto de
dos o más factores, esto es factorearlas.
Como su nombre lo indica entonces, factorear implica expresar un polinomio como
producto de dos o más factores.
Veamos brevemente los distintos casos desde el más simple.
 Factor Común
Todos los términos del polinomio contienen un mismo factor numérico y/o literal; en otras
palabras, cada término es divisible por un mismo monomio. Este se extrae como monomio
que multiplica a un nuevo polinomio que resulta de dividir a cada término del polinomio
original.
Ejemplo: Factorear 5 x4 y2 - 10 x2 y3 - 15 x3 y2
Tiene como divisor máximo común a: 5 x2 y2
Luego puede extraerse como factor que multiplica a: x2 - 2 y - 3 x
Y esto implica que: 5 x4 y2 - 10 x2 y3 - 15 x3 y2 = 5 x2 y2 ( x2 - 2 y - 3 x )

Factoreo por Grupos
A veces el polinomio que se quiere factorear, no contiene un factor común en todos los
términos, pero si por grupos.
Ejemplo: Factorear 3 a x+ b2 y + a y + 3 b2 x
Aplicando la propiedad asociativa y la conmutativa, se obtiene:
3 a x+ b2 y + a y + 3 b2 x = ( 3 a x + 3 b2 x) +( b2 y + a y )
factoreando en cada grupo:
= 3 x ( a+ b2 ) + y ( a + b2 ) agrupando
= ( a + b2 ) ( 3 x + y)

Trinomio Cuadrado Perfecto
Recordemos que el cuadrado del binomio x+ y , es igual a la suma del cuadrado de las bases
más dos veces el producto de los mismos.
Ejemplo: Factorear x2 + 2 x y + y2
Recordando lo trabajado en productos especiales:
x2 + 2 x y + y2 = ( x + y )2
 Cuatrinomio Cubo Perfecto
Cuatro términos, dos de los cuales son cubos perfectos; otro término es el triple producto del
cuadrado de la base del primero por el segundo y el cuarto es el triple producto de la base del
primero por el cuadrado de la base del segundo.
Ejemplo: Factorear 8 b3 - 12 a b2 + 6 a2 b - a3
Curso Propedéutico
26
ISSP Nº 9112 “San Pablo”
De nuevo aplicando uno de los productos especiales, se obtiene que:
8 b3 - 12 a b2 + 6 a2 b - a3 = ( 2 b - a )3

Diferencia de Cuadrados
Consideremos el caso del binomio ( a2 - b2), se puede factorear así:
( a2 - b2) = ( a - b) ( a+ b) Visto como un producto especial
Ejemplo: Factorear ( 9 - y2 )
Aplicando el producto especial (a- b) (a+ b) obtenemos:
( 9 - y2 ) = (3- y) ( 3 + y)

Factoreo de la suma o diferencia de dos potencias de igual grado por la suma o
diferencia de sus bases
En primer lugar analizaremos si es posible factorear la suma de potencias por la suma o
diferencia de sus bases.
Ejemplos:
1) Factorear x5 + 25
Como x= -2 es raíz del polinomio, el polinomio x5 + 25 es divisible por x + 2, efectuando la
división del polinomio x5 - 25 por x +2 se obtiene con regla de Ruffini, se obtiene el cociente
y el resto 0
En consecuencia: x5 + 25 = ( x + 2 ) (x4 - 2 x3 + 4 x2 - 8 x + 16)
2) Factorear x5 - 25
Como x=2 es raíz del polinomio, el polinomio x5 - 25 es divisible por x - 2, efectuando la
división del polinomio x5 - 25 por x -2 se obtiene el cociente y el resto 0
En consecuencia: x5 - 25 = ( x- 2 ) (x4 - 2 x3 + 4 x2 - 8 x + 16)
3) Factorear x6 - 26
Como x= 2 es raíz del polinomio, el polinomio x 6 - 26 es divisible por x - 2, efectuando la
división del polinomio x6 - 26 por x -2 se obtiene el cociente y el resto 0
En consecuencia x6 - 26= (x -2) (x5 +2 x4 + 4 x3 + 8 x2 + 16x + 32)
Curso Propedéutico
27
ISSP Nº 9112 “San Pablo”
Trabajo practico- Expresiones algebraicas
1-Simplifique cada expresión:
a) 10 w + w2 - 8 w2
b) 7 x y2 - 5 x2 y + 4 x y2
c) 4(a+b) + 3 (b+a)
5
4
5
4
d) 2( x + 3 y) - 3(x- 2y) + 5(2 x - y) e)  x  6 x  7 x  1   x  8 x  5 x  9
1
3


2-Multiplique los siguientes polinomios:
a) (a +b) ( a+ c)
b) (x+ 5 ) (x2+ 6)
c) (4 x2- 2 x + 1) (3 x -2)
d) (a +8) ( a -8)
e) (3 x - 2) 2
f) (a + 2)3
3- Realizar las operaciones y hallar el valor numérico de cada resultados para x= -2
a)   5 x 3  2 x 2  x  7  +   6  x 3  3 x  =
b)  3x 2  4 x  6 x  2 x 2  3x  
c)  x  4  2 
d)  5 x 4  2 x 3  3 x  3 :  x  2  
4- Factorear los siguientes polinomios
a) 16 a8 b t + 64 a b9 t7 + 8 a5 b3 t +40 a4 b t5
b) 65 a c + 16 c x - 14 x y - 35 a y
c)
9 6 2 25 2 4 5 4 3
p y 
p y  p y
36
16
4
d) 64 x3 y3 - 24 x2 y2 + 3xy e)
1
8
4 4 6
9 2 2
x z 
p q
25
16
f) a4 - 34
g) a3 m9 + b6 c9
h) 1,2 a2 n3 z3 + 0,8 a3 n2 z4 + 4,2 a n5 z
i) 9 a c + 6 cm- 3 c x - 6 a2 - 4 a m + 2 a x
j)
27 3 6 9 2 3 5
8 9 3
a c  a b c  2 a b 6c 4 
bc
8
2
27
k)
1 4
a  10000 x16
256
l) x3 + 43
m) 27 n3 - 64 r6
n) 2,4 b5 z3 - 1.2 b z2 + 0.6 b2 z5
o) 16 p x z - 4 p x -24 p y z + 6 p y + 8 q x z - 2 q x - 12 q y z + 3 q y
p) 81 -x 8
Curso Propedéutico
28
ISSP Nº 9112 “San Pablo”
5) Factorear y simplificar:
9 a 2  12 a b  4 b 2
27 a 3  54 a 2 b  36 a b 2  8 b3
6) Resolver previo factoreo:
a)
2a
a 4  b4

=
3b 2 9a 2  a 2  b 2 
b)
2
x3
 2
=
x  2 x  4x  4
c)
d)
x

 4  x  2 x 2  4 4 x  8
=
. 4
.
x2  4x  4
x  16
2x
2
x2  9 x2  6x  9


x 3  27 x 2  3x  9
Curso Propedéutico
29
ISSP Nº 9112 “San Pablo”
TRIGONOMETRÍA
La palabra trigonometría proviene del griego: trigonos (triángulo) y metria (medida). En sus
orígenes esta rama de la matemática se utilizó para resolver problemas de agrimensura y
astronomía, pero con el desarrollo de la ciencia se ha convertido en un instrumento
indispensable en la física, la ingeniería, la medicina y todo otro proceso en el que se
encuentren comportamientos que se repiten cíclicamente. Sirve para estudiar fenómenos
vibratorios, como por ejemplo la luz, el sonido, la electricidad., etc.
Sistemas de Medición de Ángulos
Para medir ángulos pueden adoptarse distintas unidades. Los sistemas más usados son:
 Sistema sexagesimal, cuya unidad de medida angular es el grado sexagesimal, que es
la noventa-ava parte del ángulo recto y se simboliza 1º. La sesenta-ava parte de un
grado es un minuto (1’) y la sesenta-ava parte de un minuto es un segundo (1”).
angulorecto
 1
90
1
 1'
60
1'
 1' '
60
Un ángulo llano mide 180º y un giro completo mide 360º.

Sistema circular o radial, cuya unidad de medida es el radián. La proporcionalidad
que existe entre la longitud s de los arcos de dos circunferencias concéntricas
cualesquiera determinados por un ángulo central α y los radios r correspondientes,
permite tomar como medida del ángulo el cociente
arco
s
 Un ángulo central de 1
radio r
radián es aquel que determina un arco que tiene una longitud igual al radio s=r
Un radián es la medida del ángulo con vértice en el centro de la circunferencia y cuyos lados
determinan sobre ella un arco s de longitud igual al radio r.
Para relacionar un sistema de medición con otro, observemos la siguiente tabla:

Angulo
Sistema sexagesimal
Sistema circular
1 giro
360º
2
1 llano
180º

1 recto
90º

2
Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Una razón trigonométrica es una razón de las longitudes de dos lados de un triángulo
rectángulo. Las tres razones trigonométricas básicas son el seno, el coseno, y la tangente.
Sea el triángulo rectángulo ABC cuyos lados tienen longitudes a, b, c y de ángulos agudos B
y C, como se indica en la figura. Consideremos un sistema de referencias de origen B, con el
lado BA perteneciente al semieje positivo de la x y de modo que todo el triángulo resulte
incluido en el primer cuadrante
Curso Propedéutico
30
ISSP Nº 9112 “San Pablo”
y
̂ b
1
B
C
a
1
c
x
A
sen  
De la definición de seno de un ángulo resulta
b
a
Es decir: El seno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo está dado por la relación
entre el cateto opuesto a dicho ángulo y la hipotenusa.
c
De la definición de coseno de un ángulo resulta cos  
a
Es decir: El coseno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo está dado por la
relación entre el cateto adyacente a dicho ángulo y la hipotenusa.
sen  b

De la definición de tangente de un ángulo resulta: tg  
cos  c
Es decir: La tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo está dado por la
relación entre el cateto opuesto y el cateto adyacente a dicho ángulo.
c
De las relaciones y de la definición de cotangente, cosecante y secante, resulta: ctg  
b
cos ec  

a
b
sec  
a
c
Signo de las razones trigonométricas
Curso Propedéutico
31
ISSP Nº 9112 “San Pablo”
α
1º cuadrante
O° a 90°
2º cuadrante
90°a 180°
3º cuadrante
180°a 270°
4º cuadrante
270° a 360°
sen
cos
tg
+
+
+
+
-
+
+
-

Razones trigonométricas de ángulos notables
α
sen
0º
0
30º
45º
60º
1
2
3
2
cos
1
tg
0
3
2
3
3
2
2
2
2

1
2
1
3
90º
1
180º
0
270º
-1
0
-1
0

0
 
Resolución de triángulos rectángulos rectángulo
Consiste en determinar las medidas de todos sus elementos, entendiéndose por ellos a sus
lados y ángulos interiores. Se debe tener en cuenta que las expresiones a emplear deberán
seleccionarse según el caso a resolver.
Relación lados y ángulos de un triángulo rectángulo
Observa el triángulo rectángulo de la figura. Los lados se relacionan con el llamado teorema
de Pitágoras: a 2  b 2  c 2 y los ángulos se relacionan con la propiedad de la suma de ángulos
interiores del triángulo: Aˆ  Bˆ  Cˆ  180º
Entre los lados y los ángulos se relacionan con las razones anteriormente explicadas seno,
coseno, tangente y sus reciprocas
c
senCˆ 
a
cosecĈ 
b
cos Cˆ 
a
secĈ 
ˆ  c
tgC
b
cotgĈ 
1
a

c
senĈ
1
cosĈ

a
b
1
b

c
tgĈ
Identidades importantes
Curso Propedéutico
32
ISSP Nº 9112 “San Pablo”
► sen   osen2  1
► tan  

es llamada identidad pitagórica
sen
cos 
► cot g 
cos
sen
Resolución de triángulos oblicuángulos y obtusángulos
Teorema del coseno
Dado un triangulo ABC, siendo α,β,γ, los ángulos, a, b, c, los lados respectivamente
opuestos a estos ángulos entonces:
c 2  a 2  b 2  2ab cos( )
El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos no
rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.
El teorema relaciona un lado de un triángulo con los otros dos y con el coseno del ángulo
formado por estos dos lados:
Teorema del seno
Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C son
respectivamente a, b, c, entonces cada lado es proporcional a su ángulo opuesto.
Trabajo práctico- Trigonometría
1-Expresar en radianes los siguientes ángulos dados en el sistema sexagesimal
Curso Propedéutico
33
ISSP Nº 9112 “San Pablo”
a) 360º
b) 130º
c) 45º
d) 30º
e)270º
2- Expresa en el sistema sexagesimal
a) 3

2
b) 3

6
c) 5

4
3- Calcula el valor exacto cuando sea posible:
a) sen 0  2 cos 0  3sen   4 cos
b) tg


 5sen 0  6 cos ec
2
2

 2 cos 180º 3 cos ec 270º  sen 90º
2
4- Indicar el signo de las siguientes funciones trigonométricas
a) sen 560º=
b) tg120º=
c) cos 800º=
d) sec14º=
4- Plantear y resolver
a. El piloto de un avión debe calcular el ángulo de descenso de su nave, si se encuentra a 50m
del suelo a 72m de la pista de aterrizaje. ¿Cuál es dicho ángulo?
b- A 20m de la costa se encuentra un barco que debe virar un ángulo de 40º para llegar al
puerto más cercano ¿A qué distancia se encuentra del mismo?
c- Nos situamos a observar una montaña en un punto ubicado a nivel del mar y a 25 km del
pico de la misma. Desde ese punto se observa con un ángulo de elevación de 7º ¿Cuál es la
altura de la montaña?
d- Una escalera se apoya en una pared y tiene su pie a 3 m de la misma. Se alcanza a una
ventana que está a 16 m del suelo. ¿Qué ángulo determina la escalera con el suelo?
e- Calcula la altura de un árbol que a una distancia de 10 m se ve bajo un ángulo de 30º
5- Plantea y resuelve los triángulos oblicuángulos
a- Dos personas A y B, se encuentran a una distancia de 200 metros una de la otra. Cuando un
avión pasa por el plano vertical de las mencionadas personas, éstas lo ven simultáneamente
con ángulos de elevación de 40° y 53°, respectivamente. Calcula la altura del avión en ese
momento.
b- Un topógrafo situado en un punto C, sitúa dos puntos A y B en los lados opuestos de un
lago. Si el punto C está a 10 Km. de A y a 15 Km. de B y, además, el ángulo C mide 40°.
Calcula el ancho del lago.
c- Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm y el ángulo que forman es de
48º15’. Calcular la medida de sus lados.
PROPORCIONALIDAD
Curso Propedéutico
34
ISSP Nº 9112 “San Pablo”
Definición: Parte de las matemáticas que estudia las relaciones existentes entre magnitudes.
Conceptos básicos en proporcionalidad:
- Razón: Es el cociente entre dos números de la forma a/b, siendo b distinto de cero. Los
términos de una razón se denominan: antecedente (numerador) y consecuente (denominador)
- Proporción: Es la igualdad entre dos razones. Partes de una proporción: medios y extremos.
a c

b d
a y d son los extremos y b y c son los medios.
- Propiedades de las proporciones:
1. En cualquier proporción se cumple: “Producto de medios igual a producto de extremos”
a c
  ad  bc
b d
2. Invirtiendo el orden de medios y extremos simultáneamente se obtienen proporciones
equivalentes, pero SIEMPRE que se cumpla la primera propiedad con los mismos números,
es decir el mismo producto de medios y extremos:
a
c
b d
 esequivalente a 
b d
a
c
3. Si sumamos o restamos los antecedentes y los consecuentes de dos o más razones
equivalentes obtenemos otra razón equivalente a las anteriores.
a c ac
 
b d bd
En esta propiedad se fundamenta el cálculo de los repartos.
El término desconocido en una proporción se calcula aplicando el producto de medios igual a
producto de extremos
Magnitud:
Cualquier característica medible de algo. Diferenciar entre magnitud y unidades. Magnitudes:
longitud, superficie, volumen, capacidad, masa, tiempo….Unidades: m, l, g, hora, mn…..
- Tipos de magnitudes:
 Independientes: Son aquellas que no implican una variación simultánea y
proporcional de ambas. Es decir que al variar una de ellas no hace que la otra varíe
necesariamente o en la misma proporción.
 Dependientes: Están relacionadas, de modo que al variar una de ellas hace que varíe
la otra.
Magnitudes dependientes (proporcionales): Pueden ser de dos tipos:
1. Magnitudes directamente proporcionales:
Aquellas en las que el incremento en una de ellas provoca un incremento proporcional en la
otra y una disminución en una de ellas provoca el mismo efecto en la otra. Es decir, al
multiplicar una de ellas por un número la otra queda multiplicada por el mismo número.
Ejemplo: nº cuadernos comprados y precio.
2. Magnitudes inversamente proporcionales: Son aquellas en las que un incremento en una de
ellas provoca una disminución proporcional en la otra magnitud y viceversa. Es decir al
multiplicar una de ellas por un número la otra queda dividida entre ese mismo número.
Curso Propedéutico
35
ISSP Nº 9112 “San Pablo”
Ejemplo: velocidad y tiempo.
PORCENTAJES
Concepto: Un porcentaje es una parte de algo referida a un todo, cuando ese todo es cien. Por
lo tanto se representa como una fracción de denominador cien:
22
 22% es decir, de cien
100
partes se toman 22.
Podemos establecer proporciones entre cualquier razón de datos y otra razón cuyo
denominador será 100 y su numerador representará al porcentaje equivalente.
Los porcentajes son siempre proporciones directas
Analizaremos un ejemplo sencillo. ¿Cuál es el porcentaje de alumnos que han faltado por la
nieve si en una clase de 25 alumnos han faltado 8?
1- Tabla de magnitudes
2- Completamos la tabla con los datos del problema suponiendo un total de 100 alumnos para
calcular el porcentaje, según su definición:
Alumnos totales
25
100
Ausencias por la nieve
8
x
3- Aplicamos la proporcionalidad directa, ya que todos los porcentajes lo son, es decir el
cociente de cada par de datos debe permanecer constante
25 8
8  100
 x
 x  32
100 x
25
Es decir han faltado un 32% o 32/100 alumnos
Incrementos porcentuales
Se utilizan cuando se aplica un incremento a un precio total: ejemplo, recargos, impuestos
como el IVA.
En ese caso, consideraremos el precio neto representará el 100, y el incremento se sumará a
100 y equivaldrá al precio con el impuesto incluido.
Ejemplo: Precio sin IVA: 60 €
Precio con IVA (7%): 107
Porcentaje
100
107
Curso Propedéutico
Precio
60
x
36
ISSP Nº 9112 “San Pablo”
Establecemos las proporciones teniendo en cuenta que los porcentajes son siempre
directamente proporcionales:
60
x

aplicando la propiedad fundamental de las proporciones
100 107
60.107= 100x
6420 =100x
64, 20=x
Obteniendo así el precio final con el impuesto incluido.
Descuentos porcentuales
Se utilizan cuando se hacen rebajas o descuentos sobre un precio. En este caso el precio
equivalente al 100, será aquel antes de practicar el descuento, y el precio con el descuento
equivaldrá a 100 menos el descuento o rebaja que se practique.
Ejemplo: Precio sin descuento: 60$
Porcentaje
100
100-20=80
Precio ($)
60
x
Establecemos las proporciones teniendo en cuenta que los porcentajes son siempre
directamente proporcionales:
60
x

Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones:
100 80
60. 80= 100x
4800 =100x
48=x
Obteniendo así el precio final con el descuento realizado.
Trabajo práctico – Proporcionalidad y porcentaje
1-Calcular el término desconocido de las siguientes proporciones:
Curso Propedéutico
37
ISSP Nº 9112 “San Pablo”
2- Resolver los siguientes problemas
a-De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. ¿Qué porcentaje de alumnos ha
ido de viaje?
b-Al adquirir un vehículo cuyo precio es de $ 8800, nos hacen un descuento del 7.5%.
¿Cuánto hay que pagar por el vehículo?
c-El precio de un ordenador es de $ 1200 sin IVA. ¿Cuánto hay que pagar por él si el IVA
es del 16%?
d- Al comprar un monitor que cuesta $ 450 nos hacen un descuento del 8%. ¿Cuánto
tenemos que pagar?
e- Se vende un artículo con una ganancia del 15% sobre el precio de costo. Si se ha
comprado en $ 80. Halla el precio de venta.
f- Cuál será el precio que hemos de marcar en un artículo cuya compra ha ascendido a
$180 para ganar al venderlo el 10%.
g- ¿Qué precio de venta hemos de poner a un artículo comparado a $ 280, para perder el
12% sobre el precio de venta?
h-Se vende un objeto perdiendo el 20% sobre el precio de compra. Hallar el precio de
venta del citado artículo cuyo valor de compra fue de $ 150.
Curso Propedéutico
38
ISSP Nº 9112 “San Pablo”