Teoría - Departamento de Matemática Aplicada (DMA).

Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM
5
1
Integral doble de Riemann
5.1
Definición
Llamaremos rectángulo cerrado de R2 al producto de dos intervalos cerrados y acotados
de R, es decir
©
ª
R = [a, b] × [c, d] = (x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d
Si los intervalos son abiertos, el rectángulo se llama abierto. Se llama área del rectángulo
al producto de las longitudes de los intervalos que lo definen, es decir A(R) = (b−a)(d−c).
5.2
Particiones de un rectángulo
Sea R = [a, b] × [c, d] ⊂ R2 . Llamaremos partición de R al producto cartesiano de una
partición de [a, b] por otra de [c, d]. Es decir, si P1 = (a = x0 < x1 < . . . < xn = b) ∈
P([a, b]) y P2 = (c = y0 < y1 < . . . < ym = d) ∈ P([c, d]), entonces
P = P1 × P2 = {Rij = [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ] : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m} ∈ P(R)
La partición P consta de n · m rectángulos.
Si P, P 0 ∈ P(R), diremos que P 0 es más fina que P , P ≺ P 0 , si cada rectángulo de
P 0 está contenido en algún rectángulo de P .
5.3
Sumas de Riemann
Sea R = [a, b] × [c, d] ⊂ R2 , P = {Rij = [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ] : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m} ∈
P(R) y f : R −→ R una función acotada. Se definen las sumas inferior y superior de
Riemann de f asociadas a P como
s (f, P ) =
S (f, P ) =
n X
m
X
i=1 j=1
m
n X
X
mij · A(Rij ) =
Mij · A(Rij ) =
n X
m
X
i=1 j=1
n X
m
X
i=1 j=1
mij (xi − xi−1 )(yj − yj−1 )
Mij (xi − xi−1 )(yj − yj−1 )
i=1 j=1
donde
mij = inf {f (x, y) : (x, y) ∈ Rij }
y
Mij = sup {f (x, y) : (x, y) ∈ Rij }
La suma de Riemann de f asociada a P y a {(ξij , ηij ) ∈ Rij : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m} es
S (f, P, {(ξij , ηij )}) =
m
n X
X
i=1 j=1
f (ξij , ηij ) · A(Rij ) =
n X
m
X
i=1 j=1
f (ξij , ηij )(xi − xi−1 )(yj − yj−1 )
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5.4
2
Propiedades
Sean R = [a, b] × [c, d], P, P 0 ∈ P(R) y f : R −→ R una función acotada. Se tienen las
siguientes propiedades:
1. Para cualesquiera (ξij , ηij ) ∈ Rij ∈ P , 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m, se tiene que
s (f, P ) ≤ S (f, P, {(ξij , ηij )}) ≤ S (f, P )
2. Si P ≺ P 0 , entonces
¡
¢
¡
¢
s (f, P ) ≤ s f, P 0 ≤ S f, P 0 ≤ S (f, P )
3. Si m y M son, respectivamente, el infimo y el supremo de f en R, se tiene que
m · A(R) ≤ s (f, P ) ≤ S (f, P ) ≤ M · A(R)
5.5
Integral doble de Riemann
Sean R = [a, b] × [c, d] y f : R −→ R una función acotada. Se definen las integrales
inferior y superior de Riemann de f sobre R como
ZZ
f (x, y) dx dy = sup {s(f, P ) : P ∈ P(R)}
R
ZZ
f (x, y) dx dy = inf {S(f, P ) : P ∈ P(R)}
R
Es claro, de las propiedades anteriores, que
ZZ
ZZ
f (x, y) dx dy
f (x, y) dx dy ≤
R
R
y cuando ambas coinciden se dice que f es integrable Riemann sobre R, definiéndose
la integral como el valor común que se representará por
ZZ
f (x, y) dx dy
R
En caso contrario se dice que f no es integrable Riemann sobre R. Se representará por
R(R) a la familia de todas las funciones que son integrables Riemann sobre R.
5.6
Teorema de caracterización de la integrabilidad Riemann
Sean R = [a, b] × [c, d] y f : R −→ R una función acotada. Son equivalentes:
1. f es integrable Riemann sobre R.
2. Para cada ε > 0 existe Pε ∈ P(R) tal que S(f, Pε ) − s(f, Pε ) < ε.
3. Existe I ∈ R tal que para cada ε > 0 existe Pε ∈ P(R) verificando que
|S (f, Pε , {(ξij , ηij )}) − I| < ε
para cualquier suma de Riemann asociada a Pε .
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5.7
3
Propiedades
Sean R = [a, b] × [c, d] y f, g : R −→ R funciones integrables Riemann.
1. Para cualesquiera α, β ∈ R se tiene que
ZZ
ZZ
ZZ
g(x, y) dx dy
[αf (x, y) + βg(x, y)] dx dy = α
f (x, y) dx dy + β
R
R
R
2. Si m ≤ f (x, y) ≤ M en cualquier punto (x, y) ∈ R, entonces
ZZ
m · A(R) ≤
f (x, y) dx dy ≤ M · A(R)
R
3. Si f (x, y) ≤ g(x, y), para todo (x, y) ∈ R, entonces
ZZ
ZZ
f (x, y) dx dy ≤
g(x, y) dx dy
R
R
4. La función valor absoluto de f , |f |, es también integrable Riemann y
¯
¯
¯Z Z
¯ ZZ
¯
¯
¯
f (x, y) dx dy ¯¯ ≤
|f (x, y)| dx dy
¯
¯
¯
R
5.8
R
Teorema de Fubini
Sean R = [a, b] × [c, d] y f : R −→ R una función acotada e integrable sobre R, y
supongamos que para cada x ∈ [a, b] existe la integral
Z
J(x) =
d
f (x, y) dy
c
Entonces también existe la integral de J(x) sobre [a, b] y se cumple que
ZZ
Z
f (x, y) dx dy =
¶
d
J(x) dx =
f (x, y) dy
a
R
5.9
Z b µZ
b
a
dx
c
Notación
Se suele representar
Z b µZ
¶
d
f (x, y) dy
a
c
Z
dx =
Z
b
dx
a
d
f (x, y) dy
c
entendiendo esta última expresión como que en primer lugar hay que hacer la integral de
f , respecto de y, entre c y d, y su resultado integrarlo, respecto de x, entre a y b.
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5.10
4
Observación
En el teorema de Fubini se pueden invertir las variables y resulta que
Z b Z d
Z d Z b
ZZ
f (x, y) dx dy =
dx
f (x, y) dy =
dy
f (x, y) dx
a
R
c
c
a
cuando existen todas las integrales implicadas.
5.11
Integrabilidad de las funciones continuas
Si f : R = [a, b] × [c, d] −→ R es continua, entonces f es integrable Riemann sobre R.
5.12
Contenido nulo
Sea A ⊂ R2 un conjunto acotado. Se dice que A tiene contenido nulo si para cada ε > 0
existe una familia finita de rectángulos, {Ri }N
i=1 , tales que
A⊂
N
[
Ri
N
X
y
i=1
5.13
A(Ri ) < ε
i=1
Ejemplos
1. Cualquier conjunto finito de puntos tiene contenido nulo.
2. Cualquier sucesión convergente de puntos tiene contenido nulo.
3. El grafo de una función continua definida sobre un intervalo compacto tiene contenido
nulo.
4. Todo subconjunto de un conjunto de contenido nulo tiene contenido nulo.
5. La unión finita de conjuntos de contenido nulo tiene contenido nulo.
5.14
Teorema
Sea f : R = [a, b] × [c, d] −→ R acotada y sea Df (R) el conjunto de discontinuidades de f
en R. Entonces, si Df (R) tiene contenido nulo, la función f es integrable Riemann sobre
R.
5.15
Integral de Riemann sobre otros recintos acotados
Sea S ⊂ R2 acotado y f : S −→ R una función acotada. Se define
ZZ
ZZ
f (x, y) dx dy =
fe(x, y) dx dy
S
R
donde R = [a, b] × [c, d] es cualquier rectángulo que contiene a S y
(
f (x, y) , si (x, y) ∈ S
fe(x, y) =
0
, si (x, y) ∈ R \ S
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5.16
5
Propiedades
La integral de Riemann sobre recintos acotados tiene las mismas propiedades de la integral
sobre rectángulos, ya descritas en (5.7), y además
ZZ
ZZ
ZZ
f (x, y) dx dy =
f (x, y) dx dy +
f (x, y) dx dy
A∪B
A
B
siempre que A ∩ B tenga contenido nulo.
5.17
Integral de Riemann sobre recintos proyectables
1. Un recinto S ⊂ R2 se llama x-proyectable si es de la forma
S = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, ϕ1 (x) ≤ y ≤ ϕ2 (x)}
donde ϕ1 , ϕ2 : [a, b] −→ R son funciones continuas con ϕ1 (x) ≤ ϕ2 (x), para todo
x ∈ [a, b]. Aplicando el teorema de Fubini, si f : S −→ R, se tiene que
ZZ
Z b Z ϕ2 (x)
f (x, y) dx dy =
dx
f (x, y) dy
a
S
ϕ1 (x)
2. Un recinto S ⊂ R2 se llama y-proyectable si es de la forma
S = {(x, y) : c ≤ y ≤ d, ψ1 (y) ≤ x ≤ ψ2 (y)}
donde ψ1 , ψ2 : [c, d] −→ R son funciones continuas con ψ1 (y) ≤ ψ2 (y), para todo
y ∈ [c, d]. Aplicando el teorema de Fubini, si f : S −→ R, se tiene que
ZZ
Z d Z ψ2 (y)
f (x, y) dx dy =
dy
f (x, y) dx
c
S
5.18
ψ1 (y)
Aplicaciones
1. Cálculo de áreas: Si S ⊂ R2 , su área es
ZZ
A(S) =
dx dy
S
2. Cálculo de masas y centro de gravedad: Si S ⊂ R2 representa a una superficie plana
con densidad puntual ρ(x, y) ≥ 0, para cada (x, y) ∈ S, entonces la masa de S viene
dada por
ZZ
m(S) =
ρ(x, y) dx dy
S
y el centro de gravedad de S, (xg , yg ), viene dado por
ZZ
ZZ
1
1
xg =
xρ(x, y) dx dy ,
yg =
yρ(x, y) dx dy
m(S)
m(S)
S
S
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6
3. Cálculo de volúmenes: Sea D ⊂ R3 un recinto xy-proyectable definido por
©
ª
D = (x, y, z) : (x, y) ∈ S ⊂ R2 y f (x, y) ≤ z ≤ g(x, y)
Entonces, su volumen vendrá dado por
ZZ
V (D) =
[g(x, y) − f (x, y)] dx dy
S
La aplicación es análoga para recintos xz-proyectables e yz-proyectables.
4. Areas de superficies: Sea Ω ⊂ R3 la superficie xy-proyectable definida por
©
ª
Ω = (x, y, z) : (x, y) ∈ S ⊂ R2 y z = f (x, y)
Entonces su área viene dada por
ZZ
s
A(Ω) =
µ
1+
∂f
∂x
¶2
µ
+
∂f
∂y
¶2
dx dy
S
La aplicación es análoga para superficies xz-proyectables e yz-proyectables.
5.19
Teorema del Cambio de Variable
Sea S ⊂ R2 compacto y Ω ⊂ R2 un conjunto abierto con S ⊂ Ω. Sea ϕ : Ω −→ R2 ,
◦
ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v)), con derivadas parciales continuas, inyectiva en S y tal que
ϕ−1 : ϕ(S) −→ S tiene derivadas parciales continuas. Entonces, si f ∈ R (ϕ(S)) la
función (f ◦ ϕ) · |Jϕ| ∈ R(S) y
ZZ
ZZ
f (x, y) dx dy =
f (x(u, v), y(u, v)) · |Jϕ(u, v)| du dv
S
ϕ(S)
donde Jϕ es el Jacobiano de ϕ, es decir
¯ ∂x
∂(x, y) ¯¯ ∂u
Jϕ(u, v) =
= ∂y
∂(u, v) ¯ ∂u
5.20
¯
∂x ¯
∂v ¯
∂y ¯
∂v
Algunos cambios de variable usuales
1. Coordenadas polares: El cambio a coordenadas polares clásicas
½
x = ρ cos θ
y = ρ sen θ
con ρ ≥ 0 y θ ∈ [0, 2π), aplica biyectivamente R2 \ {(0, 0)} en (0, ∞) × [0, 2π), siendo
|J| = ρ, y queda
ZZ
ZZ
f (x, y) dx dy =
f (ρ cos θ, ρ sen θ) ρ dρ dθ
S
S∗
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7
donde S ∗ es la transformada de S por coordenadas polares. Con frecuencia
S ∗ = {(ρ, θ) : θ1 ≤ θ ≤ θ2 , ρ1 (θ) ≤ ρ ≤ ρ2 (θ)}
y en este caso
Z
ZZ
S
Z
θ2
ρ2 (θ)
dθ
f (x, y) dx dy =
θ1
f (ρ cos θ, ρ sen θ) ρ dρ
ρ1 (θ)
2. Coordenadas polares centradas en (x0 , y0 ):
½
x = x0 + ρ cos θ
y = y0 + ρ sen θ
3. Coordenadas elı́pticas centradas en (x0 , y0 ):
½
x = x0 + aρ cos θ
y = y0 + bρ sen θ
;
|Jϕ| = ρ
;
|Jϕ| = abρ
4. Cuando el recinto S ⊂ R2 está limitado por cuatro curvas de la forma ϕ(x, y) = a,
ϕ(x, y) = b, ψ(x, y) = c y ψ(x, y) = d, suele dar buenos resultados hacer el cambio
de variables
½
u = ϕ(x, y)
v = ψ(x, y)
siempre que se cumplan las condiciones del teorema del cambio de variable.