Soluciones del Tema 2

Facultad de Económicas, Universidad de Castilla-La Mancha
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MATEMÁTICAS III PARA LA ECONOMÍA
MATEMÁTICAS III PARA LA EMPRESA
TEMA 2. INTEGRAL DE RIEMANN-SOLUCIONES
1.1.
ti − ti−1
1
8
1
i [ti−1 , ti ]
1
[0,1]
2
[1,9]
3 [9,10]
mi
0
6
54
Mi
6
54
60
Por tanto L(f, P ) = 1 · 0 + 8 · 6 + 1 · 54 = 102 y U (f, P ) = 1 · 6 + 8 · 54 + 1 · 60 = 498.
2.
ti − ti−1
π
5−π
5
i [ti−1 , ti ]
1
[0, π]
2
[π, 5]
3 [5,10]
mi
0
-1
sen(5)
Mi
1
0
1
Por tanto L(f, P ) = π · 0 + (5 − π) · (−1) + 5 · sen(5) y U (f, P ) = π · 1 + (5 − π) · 0 + 5 · 1.
2.1. Basta ver que P 0 está contenida en P .
2. Se calcula que L(f, P ) =
13
,
4
U (f, P ) =
Z
23
,
4
L(f, P 0 ) =
3
f (x) dx =
0
12
,
4
U (f, P 0 ) =
24
4
y por último
18
.
4
3.1. El valor máximo de |f (x)| si x ∈ [−1, 2] es 4 y por tanto, |f (x)| ≤ 4 si x ∈ [−1, 2].
2. Notar que x2 + 1 ≥ 1 ∀x ∈ R in en particular para x ∈ [−1, 2] y por tanto
|f (x)| = f (x) =
x2
1
≤ 1, si x ∈ [−1, 2].
+1
(f = |f | porque f es positiva).
3. |f (x)| = | sen(cos(x))| ≤ 1 (la función seno siempre está entre -1 y 1) ∀x ∈ R in en particular
para x ∈ [−1, 2].
4. Claramente |f (x)| ≤ 1 para x ∈ [−1, 2].
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5. Notar que x + 3 ≥ 2 ∀x ≥ −1 in en particular para x ∈ [−1, 2]. Por tanto
si x ∈ [−1, 2]|f (x)| = f (x) =
1
1
≤
x+3
2
(f = |f | porque f es positiva si x ∈ [−1, 2]).
(Nota: Las funciones de los apartados 1,2,3 y 5 son continuas en [−1, 2] (ver soluciones de 4.-),
que es un conjunto cerrado y acotado de R lo que garantiza (Teorema de Weierstrass), de forma
alternativa, que están acotadas en [−1, 2].)
4.1.- f (x) = x2 es continua ∀x ∈ R (es un polinomio) y en particular para x ∈ [−1, 2] y por tanto,
es integrable Riemann en [-1,2].
2.- f (x) =
1
x2 +1
es continua en x ∈ [−1, 2], por ser un cociente de polinomios (funciones continuas)
cuyo denominador no se anula y por tanto, es integrable Riemann en [-1,2].
3.- f (x) = sen(cos(x)) es continua en x ∈ [−1, 2], por ser una composición de funciones continuas,
y por tanto, es integrable Riemann en [-1,2].
4.- f (x) es discontinua en un solo punto: el {1}, que obviamente es un conjunto finito. Como f
está acotada en [−1, 2] es integrable Riemann en [-1,2].
5.- f (x) =
1
x+3
es continua en x ∈ [−1, 2], por ser un cociente de polinomios (funciones continuas)
cuyo denominador no se anula en [-1,2], y por tanto, es integrable Riemann en [-1,2].
5.1.-
R1
2.-
Rπ
sen(x) dx = 0
3.-
R 10
x cos(x2 ) dx = 12 (cos(100) − 1)
4.-
R2
1 dx = 1
0
−π
0
0
(x2 + 2x + 1)−1 dx = 23 .
6.- Usando f (x) = x y el intervalo de integración [-1,1], obtenemos
Z
1
|f (x)| dx =
Z
−1
1
|x| dx =
Z
−1
0
(−x) dx +
Z
−1
0
Por otro lado,
|
Z
1
−1
f (x) dx| = |
Z
1
−1
x dx| = 0.
1
x dx = 1.
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7.1.- c = 0.
2
2.- c = log( e 2−1 ).
3.- c = 4e .
8.Basta aplicar el teorema del cambio de variable para el cambio x2 + 1 = t.
9.1.- e−6/5 ≈ 0.30.
2.- t0 = 500 log(2) ≈ 346.57.
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