Boletín nº7

Universidad de Vigo
Departamento de Física Aplicada
Ampliación de Física. Año Académico 2006-2007.
E.T.S.I.Industriales
Boletín # 7 Vigo 15 de Mayo de 2007
Problema 51.- Una espira rectangular plana de lados a y b paralelos a los ejes OX y
OY respectivamente, se mueve en el plano XY con velocidad uniforme v paralela al eje
OX y sentido de las x crecientes. En el plano XY existe un campo magnético de
dirección perpendicular a dicho plano y módulo B(x,t) = Bo cos(wt)cos(kx) , donde Bo ,
w y k son constantes. Determínese la fuerza electromotriz inducida en la espira en
función del tiempo. Supóngase que, para t=0 el lado de la espira más atrasado en el
sentido del movimiento está situado en la posición x=0.
Solución:
ε=(Bobω/k) senωt [senk(x+a)-senkx] - Bobv cosωt [cosk(x+a)-coskx]
Problema 52.- Frente a una línea conductora
rectilínea indefinida recorrida por una corriente I(t)
se mueve perpendicularmente a ella con una velocidad
constante v una espira cuadrada conductora de lado
d, resistencia R y autoinducción L, tal como se indica
en la figura. Si la línea y la espira son, en todo
momento, coplanarias, hállese la ecuación diferencial
que liga a ambas intensidades I(t) e i.
I(t)
µο
i
d
v
d
r
Solución: iR+Ldi/dt = (µod/2π)[-Ln((r+d)/r) dI/dt + Ivd/[r(r+d)]
Problema 53 (Examen SEPTIEMBRE 2003).- Una
espira rectangular de resistencia R y lados a y b,
está contenida en plano en el que existe una línea
conductora rectilínea indefinida recorrida por una
corriente I(t) = Iocos(wt), como muestra la figura.
Calcular la fuerza sobre cada uno de los lados (MN,
NP, PQ y QM) de la espira.
Solución:
FNP =[(µo2b2Io2ω)/(4π2R(c+a))]Ln((c+a)/c) senωt cosωt (-i)
FQM =[(µo2b2Io2ω)/(4π2Rc)]Ln((c+a)/c) senωt cosωt (i)
FMN =[(µo2b2Io2ω)/(4π2R)]Ln2((c+a)/c) senωt cosωt (j)
FNP = - FMN
c
Q
P
b
I(t)
M
N
a
Problema 54 (Examen JUNIO 2003).- Considere un solenoide semi-infinito y núcleo
de aire, con N´ vueltas por unidad de longitud, por donde circula una intensidad de
corriente variable dada por I=Ioe-αt, siendo Io y α constantes. En el extremo superior
del solenoide, concéntrico a el y sin tocarlo, se fija un anillo delgado de aluminio de
radio a, ligeramente mayor que el radio del solenoide, y resistencia R, como se indica
en la figura.
Suponiendo que el campo magnético producido por el
I
solenoide tiene la misma dirección, sentido y módulo en
a
toda la superficie encerrada por el anillo y coincide con el
valor en el eje del solenoide. También suponga que la
autoinducción del anillo es despreciable:
(a)¿Cuál es la intensidad de corriente inducida en el anillo?
(b)¿Cuál es el campo magnético, en el centro del anillo,
I
producido por la corriente inducida? y ¿Cuál es su
dirección y sentido?.
Solución:
(a) i= (µoIoN´πa2αe-αt)/2R
(b) B =[(µo2IoN´πaα)/4R] e-αt uz
Problema 55.- Calcular la inductancia mutua por unidad
de longitud entre dos líneas de transmisión de dos cables
conductores cada una A-A`y B-B` mostradas en la figura
adjunta. Asúmase que los radios de los cables conductores
son mucho más pequeños que d y D.
Solución: M =(µo/2π)Ln[1+(d/D)2]
A
d
A`
D
B
Problema 56 (Examen DICIEMBRE 2004).- Una espira cuadrada de alambre se
mueve con velocidad constante en dirección transversal a un campo magnético
uniforme confinado en una región cuadrada cuyos lados son de longitud el doble de las
de la espira. Calcular y hacer un gráfico esquemático de la f.e.m. inducida en la espira
en función de la distancia x, desde x = -2l hasta x = 2 l, especificando claramente su
sentido en cada punto.
Problema 57 (Examen SEPTIEMBRE 2004).- Un toroide delgado de radio medio b y
sección S, está dividido en dos mitades por un plano que contiene al eje de revolución,
cuyos materiales tienen permeabilidades µ1 y µ2 , respectivamente. Sobre el toroide se
arrollan N espiras por las que circula una corriente I. Calcular los vectores H y B en
ambos materiales y el coeficiente de autoinducción L del circuito.
Solución:
B= NI/[πb((µ1+ µ2)/( µ1 µ2))] uφ
H1= (NI/πb)( µ2/µ1+ µ2)] uφ
H2= (NI/πb)( µ1/µ1+ µ2)] uφ
L= (NS/πb)(µ1 µ2)/( µ1 + µ2)]
Problema 58 (Examen SEPTIEMBRE 2005).- Una espira cuadrada de lado 2b se
encuentra situada entre dos hilos paralelos, separados una distancia 2a. La espira es
coplanaria con los dos hilos y dos de sus lados son paralelos a ellos, estando su centro
separado una distancia c del punto medio entre los hilos.
B`
Halle la fuerza sobre la espira cuando ambos hilos
circula una corriente Io pero en sentido opuesto entre
sí, y por la espira fluye una corriente I1.
Solución:
F = (I1 Io µo 2ab/ π )[(1/((b+c)2-a2) – 1/(a2-(c-b)2) i
I1
Io
Io
d
c
Problema 59 (Septiembre 2006).- Una espira
cuadrada plana de lados a está contenida en el plano
XY, en el que existe una línea conductora rectilínea
indefinida recorrida por una corriente variable que
sigue la ley I(t)=Io(1-e-αt) con Io y a constantes (véase
figura). Despreciando la autoinducción de la espira:
a) Determínese la fuerza electromotriz inducida
I(t)
en la espira, supuesta en reposo, y el
coeficiente de inducción mútua entre el largo
hilo y la espira.
b) Si la espira se desplaza con velocidad uniforme
v paralela al eje OX y sentido de los x
crecientes,
determínese
la
fuerza
electromotriz inducida en la espira. Suponga
que para t=0 el lado de la espira más atrasado
en el sentido del movimiento está situado en la
posición x=0.
Solución:
(b) ε =
(a)
aµ o I o
2π
ε =−
aµ o I o ⎛ x + a ⎞ −αt
Ln⎜
⎟αe
2π
⎝ x ⎠
v
x
L12 =
a
aµ o ⎛ x + a ⎞
Ln⎜
⎟
2π
⎝ x ⎠
−αt
⎡
⎛ vt + a ⎞ a(1 − e ) ⎤
−αt
α
e
Ln
−
+
⎜
⎟
⎢
⎥
⎝ vt ⎠ (vt + a)t ⎦⎥
⎣⎢
Problema 60 (Diciembre 2006).- En el interior de un solenoide indefinido, de radio R
y de N´e espiras por unidad de longitud y que soporta una corriente alterna
Ie=Ieosenωt se dispone, concentricamente con él, una varilla infinitamente larga de
radio a, siendo a<R, hecha de una sustancia de permeabilidad magnética µ y sobre cuya
superficie se ha arrollado un solenoide indefinido de N´i espiras por unidad de
longitud. Se pide:
a) La inductancia mutua por unidad de longitud entre ambos solenoides.
b) La fuerza electromotriz inducida por unidad de longitud en el solenoide interior,
suponiendo que la corriente por dicho solenoide interior, Ii, es nula en todo
instante.
Solución:
(a) L´ie = µN´i N´e π a2
ε´i =- µN´i N´e π a2 Ieocoswt