2 análisis del estado estacionario en circuitos no lineales

2. Análisis del Estado Estacionario en Circuitos no Lineales de Microondas
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ANÁLISIS DEL ESTADO ESTACIONARIO EN CIRCUITOS NO
LINEALES
El análisis del estado estacionario implica que se debe de encontrar la respuesta del circuito una vez
que los transitorios hayan expirado. Esto deja fuera a los esquemas basados en el dominio del
tiempo, a no ser que se parta de buenas condiciones iniciales. Los métodos que operan directamente
en el dominio de la frecuencia tampoco pueden ser aplicados directamente en circuitos no lineales,
debido a que las funciones descriptivas de éstos se acostumbran a modelar en el dominio del tiempo.
[1]
Por lo tanto, los métodos existentes hasta el momento que estudian el estado estacionario realizan
un análisis consistente en una combinación entre el dominio del tiempo y el dominio de la
frecuencia, tal como se puede apreciar en los métodos del balance armónico y balance armónico
wavelet los cuales veremos más adelante.
2.1
Formulación matricial general
Siguiendo la notación de [1], un circuito no lineal se puede describir de la siguiente forma:
C&x + Gx + f ( x) + u = 0
(2.1)
Donde C y G son matrices matrices N x × N x donde x es un vector columna de variables del
circuito y u es un vector de fuentes independientes.
Autor: Saioa Calvo Pulido
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Para analizar el estado estacionario debemos asumir que el circuito se encuentra bajo excitación
periódica, o que el circuito es autónomo y genera una salida periódica. En ambos casos el vector
solución x es periódico, de frecuencia fundamental correspondiente al periodo τ :
x(t + τ ) = x(t )
(2.2)
La ecuación (2.1) junto con las condiciones de contorno (2.2) se resuelve mediante la expansión de
las ecuaciones diferenciales no lineales en una ecuación algebraica no lineal para expandir los
coeficientes de x . La base de expansión debe de satisfacer las condiciones de contorno para que la
solución las satisfaga también. En otras palabras, la base de expansión debe ser periódica. Por lo
tanto asumiremos que [xl ] es un vector discreto que contiene valores de x muestreados en el
dominio del tiempo en los puntos temporales [t l ] y que tenemos una cierta base periódica {vl } que
~
tiene un par de transformadas, la transformada directa T y la inversa T asociadas, con :
~
X = T [xl ], [xl ] = T X
(2.3)
Por lo tanto, la ecuación (2.1) se puede escribir en el dominio transformado como ecuación matricial
no lineal:
Cˆ DX + Gˆ X + F ( X ) + U = 0
(2.4)
Donde Ĉ , D y Ĝ son matrices N t N x × N t N x . Ĉ y Ĝ se obtienen a partir de C y G tomando su
producto tensor con una matriz identidad N t × N t .
Denominaremos el lado izquierdo de (2.4) como:
φ ( X ) = Cˆ DX + Gˆ X + F ( X ) + U = 0
(2.5)
La solución de (2.5) se puede calcular mediante el método de Newton. Suponiendo X ( 0 ) como
valor inicial de X , se debe resolver en cada iteración la siguiente ecuación matricial lineal:
(
)
J ( X ( l ) ) = X (l +1) − X ( l ) = −φ ( X (l ) )
(2.6)
Donde X ( l ) es la solución de la l -ésima iteración, φ ( X ) está definida en (2.5) y J ( X ) es la matriz
jacobiana de φ ( X ) , en adelante Jacobiano:
J ( X ) = [J kl ( X )] =
Autor: Saioa Calvo Pulido
∂φ k
, k , l = 1,..., N t N x
∂X l
(2.7)
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Sustituyendo (2.5) en (2.7) y aplicando la regla de la cadena se obtiene la siguiente expresión para
calcular el Jacobiano:
 ∂f  ~
J ( X ) = Cˆ D + Gˆ + T  k T
 ∂xl 
(2.8)
Por lo tanto el Jacobiano se calcula como la suma de tres componentes matriciales: ĈD , Ĝ y
 ∂f  ~
T  k T . La dispersión del Jacobiano será equivalente a la dispersión del más denso de estos tres
 ∂xl 
componentes. Las matrices Ĉ y Ĝ raramente tienen una estructura densa, la matriz de derivadas
D puede tener una estructura dispersa sólo si la base escogida permite una representación dispersa
del operador derivada. Esto ocurre cuando {vl } tiene soporte finito.
La dispersión del tercer componente en (2.8) depende principalmente de la dispersión de la matrices
 ∂f 
~
de transformación directa e inversa T y T porque  k  en sistemas invariantes en el tiempo es
 ∂xl 
simplemente una matriz de bloques consistente en bloques diagonales.
Autor: Saioa Calvo Pulido
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