Geometría: Triángulos

Fuente: Universidad Católica de Chile
GUÍA PRÁCTICA N° 6
Plan Biólogo II 2011
TRIÁNGULOS
1.
C
Definamos...
Un triángulo es una figura plana, cerrada, limitada por 3 trazos llamados lados y que se
intersectan sólo en sus puntos extremos llamados vértices (no se cruzan).
Ejemplo 1 En el 4ABC figura, AB, BC y
CA son los lados del triángulo, mientras que
A, B y C son sus vértices.
A
B
2.
Ángulos en el triángulo
En un triángulo siempre se cumple
que:
C
γ0
La suma de sus ángulos internos
es igual a 180o , es decir,
γ
α + β + γ = 180o .
La suma de sus ángulos externos
es igual a 360o , es decir,
α0
α
A
Cada ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores no
adyacentes a él, es decir,
β0 = α + γ
1
β0
B
α0 + β 0 + γ 0 = 360o .
α0 = β + γ
β
γ0 = α + β
3.
Clasificación de triángulos
Se pueden clasificar según sus ángulos en
1. Acutángulo: Tiene sus tres ángulos agudos.
2. Rectángulo: Tiene un ángulo recto.
3. Obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso.
Y también según sus lados en
1. Escaleno: Tiene sus tres lados de distinta medida.
2. Isósceles: Tiene sólo dos lados de igual medida.
3. Equilátero: Tiene sus tres lados de igual medida.
Congruencia de triángulos
| |
|
R
| |
| |
Dos triángulos son congruentes si y sólo si sus ángulos y lados tienen la
misma medida de forma correspondiente, es decir, que uno de los triángulos
sea el otro pero girado.
C


AB ∼
= PQ




∼

BC = QR



∼

AC = P R
4ABC ∼
= 4P QR ⇒



^ABC ∼

= P QR




^BAC ∼

= QP R



^ACB ∼
= P RQ
|
A
BP
| |
|
4.
|
Q
Para determinar si dos triángulos son congruentes utilizaremos los siguientes
postulados
C
C0
1. ALA: Dos triángulos son congruentes si tienen
respectivamente iguales un lado y los dos ángulos
adyacentes a ese lado.
A
2
|
B
A0
|
B0
C
| ||
| ||
2. LAL: Dos triángulos son congruentes cuando tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos
respectivamente iguales.
C0
|
A
B
|
A0
C
| ||
| ||
B
|
A0
C
A
5.
B0
| ||
C0
| ||
4. LLA> : Dos triángulos son congruentes cuando
tienen dos lados y el ángulo opuesto al mayor de
esos lados respectivamente iguales.
||
|
A
C0
||
3. LLL: Dos triángulos son congruentes si tienen sus
tres lados respectivamente iguales.
B0
|
B
|
A0
B0
Elementos secundarios
C
Altura: es el segmento perpendicular
que va desde un vértice al lado opuesto
o a su prolongación.
Ojo 1 En la figura, H es el ortocentro (punto de intersección de las alturas).
3
F
E
H
A
D
B
Bisectriz: es el trazo que divide al
ángulo en dos ángulos congruentes.
C
Ojo 2 En la figura, I = incentro
(punto de intersección de las bisectrices).
Ojo 3 El incentro, es el centro de la
circunferencia inscrita al triángulo, es
decir, que es tangente interiormente
a sus lados. Por lo tanto, el incentro
equidista de todos los lados.
γ γ
E
F
I
α
β
β
α
A
B
D
Transversal de gravedad: Es el trazo
que une un vertice con el punto medio
del lado opuesto.
C
+
Ojo 4 En la figura, G = centro de
gravedad (punto de intersección de
las transversales de gravedad).
Ojo 5 Si el 4ABC es rectángulo en
C, entonces CD = AD = DB.
F
+
|
A
D
|
B
C
Ojo 6 En la figura, O = circuncentro (punto de intersección de las simetrales).
4
E
G
Simetral: Es la recta perpendicular
que pasa por el punto medio de cada
lado del triángulo.
Ojo 7 El circuncentro, es el centro
de la circunferencia circunscrita al
triángulo, es decir, que pasa por todos
los vértices. Por lo tanto, el circuncentro equidista de todos los vértices.
+
F
E
O
+
A
|
D
|
B
C
Mediana: Es el segmento de recta que une los
puntos medios de los lados del triángulo.
+
F
Ojo 8 4ADF ∼
= 4DBE ∼
= 4F EC ∼
= 4EF D
E
+
Ojo 9 F E//AB, F D//BC y DE//AC.
A
|
D
Ojo 10 En todo triángulo isósceles coinciden los elementos secundarios
correspondientes al lado distinto.
C
γ γ
+
α
+
|
A
α
|
B
Ojo 11 En todo triángulo equilátero coinciden los elementos secundarios
correspondientes a cualquier lado. Además, coinciden el ortocentro, incentro, etc.
C
30o 30o
|
|
|
|
30o
30o
A
30o
|
5
|
30o
B
|
B
Ejercicios
Sin calculadora. Marcar sólo 1 alternativa.
1. En el triángulo BED de la figura, el valor del ángulo x es
C
a) 19o
18o
b) 23o
c) 29o
46o
d)
58o
e)
116o
A
35o
B
x
D
E
2. En el 4GHI de la figura, la medida del ^x es
150o
I
a) 45o
b) 75o
c) 135o
d) 150o
e) 210
x
G
2x − 15o
H
−−→
3. El valor de γ en el 4DEF de la figura, con G ∈ DE, es
F
a) 30o
6.
b) 40o
c) 50o
d) 60o
e)
γ
70o
D
6
4γ
E
G
4. La clasificación del triángulo ABC de la figura, es
C
a) escaleno y acutángulo.
b) escaleno y rectángulo.
x
c) isósceles y acutángulo.
30o
d) isósceles y obtusángulo.
B
4x
e) isósceles y rectángulo.
A
5. En la figura, 4ABC equilátero y 4BDC rectángulo en D e isósceles,
¿cuál es la medida del ^x?
C x
a) 45o
D
b) 60o
c) 75o
d) 105o
e) 135o
A
B
6. En el 4ABC de la figura, AC = BC. ¿Cual es la medida del ^ACB?
a) 110o
b)
C
115o
c) 120o
d) 140o
e) 150o
A
7
150o
B
7. Si α es la mitad de β en la figura, entonces γ =
a) 30o
β
b) 45o
c) 60o
d) 75o
e)
γ
α
85o
8. Si en un 4ABC se cumple que ^CAB + ^ABC = ^ACB y
^CAB = 2^ABC ¿cuánto mide ^ABC?
a) 30o
b) 45o
c) 60o
d) 90o
e) 120o
9. Si el 4ABC es rectángulo en A y ^CAB + ^ABC = 120 o , entonces
^CAB + ^BCA =
a) 90o
b) 120o
c) 140o
d) 150o
e) 160o
10. En la figura, AB//L. ¿Cuál es el valor de α + β?
B
a)
105o
50o
L
b) 120o
c) 130o
A
d) 150o
α
e) 175o
β
C
8
11. Si el triángulo ABC de la figura, es rectángulo en C, entonces el complemento del ^x mide
C
a) 22o
46o
o
b) 34
c) 36o
d) 44o
e) 46o
x
−−→
12. El valor de γ en el 4DEF de la figura, con G ∈ DE, es
A
B
F
a) 20o
γ
b) 30o
c) 80o
d) 100o
5γ
80o
e)
120o
D
G
E
13. En el triángulo ABC de la figura, se traza la transversal DE. ¿Cuánto
mide el ^CM D?
C
a) 63o
54o
b) 70o
E
M
c) 103o
d) 117o
e) Ninguna de las anteriores.
9
A
45o
16o
B
D
14. En la figura, ^DAB = ^ABC. Entonces, el ^x mide
D
a) 80o
C
E
x
b) 100o
c) 110o
d) 120o
110o
e) 140o
A
B
15. ¿Cuánto mide el ^x en el 4M N L de la figura?
L
a) 60o
α x
b) 40o
c) 30o
d) 20o
e)
M
10o
2α
120o
α
O
N
16. De acuerdo a la información suministrada en la figura, ¿cuál es la medida del ^SM R?
R
a) 110o
b) 120o
T
α
c) 150o
M
d) 160o
e)
P
170o
10
α
α
40o
Q
S
17. En el 4ABC de la figura, si M es punto medio de AB y
^BCM = ^M BC = 30o , entonces el ^BCA mide
C
a) 120o
b) 100o
c) 90o
d) 80o
e) 60o
A
B
M
18. Si 4P QR y 4T N M son dos triángulos escalenos tales que 4P QR ∼
= 4T N M ,
entonces, ¿cuál de las siguientes proposiciones es falsa?
a) P Q ∼
= TN
b) P R ∼
= TM
c) QR ∼
= NM
d) ^QRP ∼
= ^N M T
e) ^P QR ∼
= ^T M N
19. En la figura, 4ABC ∼
= 4DEF , con D perteneciente a BC, AC//DF , ^BDE =
o
o
80 y ^ACB = 40 , ¿cuál es la medida del ^DEF ?
A
B
a) 40o
D
b) 60o
E
c) 80o
d) 90o
C
e) No se puede determinar.
F
11
−−→
−
−→
20. En la figura, DC ⊥ AD y CB ⊥ AB. Si ^DAC ∼
= ^BAC, entonces
el triangulo CAB es congruente con el triangulo DCA en su orden
a) ACD
D
b) ADC
c) CAD
C
d) DCA
A
e) CDA
B
21. El triángulo ABC de la figura, es isósceles de base AB, CD ⊥ AB y
AD = DB. Entonces, ¿cuál(es) de los siguientes pares de triángulos
es (son) congruentes?
I)
4ADE con 4BDE
II) 4AEC con 4BEC
C
III) 4ADC con 4BDC
a) Sólo I
b) Sólo II
E
c) Sólo III
d) Sólo I y II
D
A
B
e) I, II y III
22. En la figura, el 4ABC es equilátero y el 4DEA es rectángulo isósceles. Si CE es altura, entonces α + β + γ =
C
γ
a) 105o
b) 120o
c) 135o
d) 150o
e)
A
165o
α
D
12
β
E
B
−−→
23. En la figura, BD es bisectriz del ^B ¿Cuál es la medida del ^x?
C
a) 10o
60o
b) 20o
70o
D
c) 50o
d) 60o
e) 110o
x
A
B
24. En el 4ABC de la figura, CE es transversal de gravedad y CE = BE.
A
La medida del ^BCA es
a) 40o
70o
b) 70o
E
c) 80o
d) 90o
e) no se puede calcular.
B
C
−→
−−→ −→
25. En la figura, RS es simetral de AB y AD//RS. ¿Cuál es la medida
del ^ACB si ^CAD = ^CBA?
a) 139o
b)
D
90o
C
S
c) 51o
d) 49o
e) 41o
49o
A
13
R
B
26. En el triángulo P QR de la figura, ^P RQ = 80 o y DE es mediana.
¿Cuánto mide el ^x?
C
a) 35o
b) 45o
R
c) 50o
d) 55o
55o
e) 60o
P
x
D
Q
27. El triángulo DEF de la figura es isósceles de base DF . R es punto
medio de DF y ^DF E = 50o . ¿Cuánto mide el ^REF ?
F
a) 25o
b) 30o
R
c) 40o
d) 50o
D
e) 80o
E
28. En el triángulo equilátero ABC de la figura, E es punto medio de
AB y BD es bisectriz del ^ABC. ¿Cuánto mide el suplemento de
(^x + ^y)?
C
o
a) 150
y
b) 120o
D
c) 90o
x
d) 60o
A
e) 30o
14
E
B
29. En el 4ABC de la figura, ¿cuál de las siguientes afirmaciones permite
demostrar que CF es bisectriz del ^BCA?
C
a) CD ∼
= CE y ^DF C ∼
= ^EF C
b) AD ∼
= EB y CD ∼
= CE
E
c) CD ∼
= CE y DF ∼
= EF
D
d) DF ∼
= EF y ^DF A ∼
= ^EF B
e) CD ∼
= CE y ^CDF ∼
= ^CEF
A
F
30. ¿En qué triángulo al trazar cualquier bisectriz se forman dos triángulos
congruentes?
a) Rectángulo isósceles.
b) Isósceles acutángulo.
c) Rectángulo escaleno.
d) Equilátero.
e) En ninguno.
31. Los ángulos exteriores de un triángulo están en la razón 3 : 2 : 3, luego
el triángulo es
a) escaleno obtusángulo.
b) escaleno rectángulo.
c) isósceles obtusángulo.
d) isósceles rectángulo.
e) isósceles acutángulo.
32. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
a) Dos triángulos rectángulos que tienen un cateto respectivamente
congruente, son congruentes.
b) Si dos triángulos rectángulos tienen la hipotenusa congruente, son
congruentes.
c) Si dos triángulos rectángulos tienen dos ángulos correspondientes
congruentes, son congruentes.
d) Si dos triángulos rectángulos tienen dos lados correspondientes
congruentes, son congruentes.
15
B
e) Si dos triángulos rectángulos tienen un ángulo respectivamente
congruentes, son congruentes.
−−→ ←→
←→
33. En la figura, AD//CB. Se puede determinar que AB es bisectriz del
^DAC si:
(1)
(2)
4ACB es rectángulo en C.
^DAB = 45o
A
D
a) (1) por sı́ sola.
C
b) (2) por sı́ sola.
B
c) Ambas juntas, (1) y (2).
d) Cada una por si sola, (1) ó (2).
e) Se requiere información adicional.
34. En el 4P QR de la figura, S es punto medio de P Q y ^RQS = 55 o .
Se puede determinar que el 4P QR es isosceles si:
R
(1) RS ⊥ P Q.
(2) ^QRS = ^P RS
a) (1) por sı́ sola.
b) (2) por sı́ sola.
c) Ambas juntas, (1) y (2).
d) Cada una por si sola, (1) ó (2).
e) Se requiere información adicional.
16
P
S
Q
35. El 4ABC de la figura es rectángulo si:
(1)
(2)
^CAB = ^ABC
^BF A = 135◦ ; AD y BE son bisectrices
de los ángulos A y B, respectivamente.
C
a) (1) por sı́ sola.
E
b) (2) por sı́ sola.
D
F
c) Ambas juntas, (1) y (2).
d) Cada una por si sola, (1) ó (2).
A
B
e) Se requiere información adicional.
36. En el 4P QR de la figura, RS es altura y P S = SQ . El 4P QR es
equilátero si:
(1)
(2)
4P SR ∼
= 4QSR
^SP R = 60o
R
a) (1) por sı́ sola.
b) (2) por sı́ sola.
c) Ambas juntas, (1) y (2).
d) Cada una por si sola, (1) ó (2).
P
Q
S
e) Se requiere información adicional.
37. En el 4M N P de la figura, se puede afirmar que los triangulos RON
y ROP son congruentes si:
(1)
(2)
R punto medio de N P .
4M OP es equilátero.
P
a) (1) por sı́ sola.
b) (2) por sı́ sola.
R
c) Ambas juntas, (1) y (2).
d) Cada una por si sola, (1) ó (2).
e) Se requiere información adicional.
17
M
O
N
38. En la figura, 4P QR ∼
= 4P ST y T pertenece a RQ . Se puede determinar la medida del ^P T R si
R
T
o
(1) ]QP S = 50
(2) ^ST P = 65o
a) (1) por sı́ sola.
b) (2) por sı́ sola.
c) Ambas juntas, (1) y (2).
Q
P
d) Cada una por si sola, (1) ó (2).
e) Se requiere información adicional.
S
39. Los triángulos ABC y BAD son congruentes. Se puede determinar la
medida del ^BEA si:
(1)
(2)
^DAB = 40o
CE ∼
= EB ∼
= DE ∼
= EA
C
D
a) (1) por sı́ sola.
E
b) (2) por sı́ sola.
c) Ambas juntas, (1) y (2).
d) Cada una por si sola, (1) ó (2).
A
B
e) Se requiere información adicional.
40. 4ADC ∼
= 4BEC. El 4DEC es equilátero si:
(1)
(2)
^CAD = 30o
^ADC = 120o
C
a) (1) por sı́ sola.
b) (2) por sı́ sola.
c) Ambas juntas, (1) y (2).
d) Cada una por si sola, (1) ó (2).
A
e) Se requiere información adicional.
18
D
E
B
1C
6C
11 D
16 C
21 E
26 B
31 D
36 B
2B
7C
12 A
17 C
22 C
27 C
32 D
37 D
3A
8A
13 E
18 E
23 B
28 E
33 C
38 D
19
4D
9D
14 E
19 C
24 D
29 C
34 D
39 A
5C
10 C
15 D
20 C
25 B
30 D
35 B
40 B