universidad nacional del callao vicerectorado de investigación

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
VICERECTORADO DE INVESTIGACIÓN
FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA
INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN DE INGENIERÍA QUÍMICA
INFORME FINAL DE INVESTIGACIÓN
ELBORACIÓN DEL TEXTO: ALGEBRA LINEAL CON MAPLE
AUTOR: Lic. FERNANDO HIPOLITO LAYZA BERMÚDEZ
(PERIODO DE EJECUCIÓN: Del 01 de junio de 2010 al 31 de mayo del 2012
Resolución No. 704-2010-R)
MAYO DEL 2012
CALLAO – PERÚ
ÍNDICE
CAPÍTULO I
DESCRIPCIÓN DEL SOFTWARE MAPLE........................................................ 1
1.1-CONTENIDO DE MAPLE POWER EDITION ..................................................................................... 1
1.2.-REQUISITOS MÍNIMOS ........................................................................................................................ 2
1.3.-EL ENTORNO OPERATIVO DE MAPLE PARA WINDOWS.......................................................... 2
1.4.-EL ENTORNO GRAFICO DE MAPLE PARA WINDOWS ............................................................... 4
CAPITULO II ESPACIOS VECTORIALES .................................................................................. 6
2.1.-COMANDOS MATRICIALES................................................................................................................ 6
2.2.-INDEPENDENCIA LINEAL, BASES Y CAMBIO DE BASES........................................................... 8
2.3.-GEOMETRIA VECTORIAL EN 2 Y 3 DIMENSIONES................................................................... 14
CAPITULO III TRANSFORMACIONES LINEALES ................................................................. 18
3.1.-DEFINICIONES ..................................................................................................................................... 18
3.2.-FORMAS CUADRÁTICAS ................................................................................................................... 22
3.2.1.-DEFINICIONES .............................................................................................................................. 22
CAPITULO IV MATRICES Y DETERMINANTES..................................................................... 25
4.1.-VECTORES Y MATRICES .................................................................................................................. 25
4.2.-OPERACIONES CON MATRICES ..................................................................................................... 26
4.3.-RESOLUCIÓN DE ECUACIONES, SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES ........................... 30
4.4.-EL TEOREMA DE ROUCHÉ –FROBENIUS..................................................................................... 34
4.5.-SISTEMAS HOMOGENEOS ................................................................................................................ 37
CAPITULO V PRODUCTO Y ORTOGONALIDAD.................................................................. 41
5.1.-MATRICES SEMEJANTES, DIAGONALIZACIÓN Y DESCOMPOSICIÓN DE MATRICES.. 41
5.1.1.-DEFINICIONES .............................................................................................................................. 41
5.2.-MATRICES ESPECIALES ................................................................................................................... 48
CAPITULO VI VALORES Y VECTORES PROPIOS ................................................................ 53
6.1.-AUTOVALORES Y AUTOVECTORES.............................................................................................. 53
6.1.1.-DEFINICIÓN ................................................................................................................................... 53
6.1.2.-COMANDOS BÁSICOS.................................................................................................................. 53
CAPITULO VII APLICACIÓN DEL ALGEBRA LINEAL CON MAPLE............................. 58
7.1.- FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL.................................................................... 58
7.1.1.-DEFINICIÓN ................................................................................................................................... 58
7.1.2.-GRAFICA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL ............................................................................ 59
7.1.3.-OPERACIONES CON FUNCIONES VECTORIALES .............................................................. 61
7.1.4.-LÍMITE DE UNA FUNCION VECTORIAL ................................................................................ 64
i
7.1.5.-CONTINUIDAD DE UNA FUNCION VECTORIAL .................................................................. 66
7.1.6.-DERIVADA DE UNA FUNCION VECTORIAL.......................................................................... 71
7.1.7.-INTEGRAL DE UNA FUNCION VECTORIAL.......................................................................... 73
7.1.8.-TEOREMAS FUNDAMENTALES................................................................................................ 74
7.2.-CURVAS EN EL ESPACIO................................................................................................................... 77
7.2.1.-DEFINICIÓN ................................................................................................................................... 77
7.2.2-DEFINICIÓN DE UNA CURVA REGULAR ................................................................................ 77
7.2.3.-PARAMETRIZACIÓN DE UNA CURVA REGULAR, GRAFICA .......................................... 79
7.2.4.-LONGITUD DE ARCO................................................................................................................... 80
7.2.5.-VECTORES UNITARIOS: TANGENTE, NORMAL PRINCIPAL Y BINORMAL ............... 82
7.2.6.-RECTA TANGENTE, NORMAL Y BINORMAL ....................................................................... 89
7.2.7.-PLANO OSCULADOR, NORMAL Y RECTIFICANTE ............................................................ 91
7.2.8.-CURVATURA Y TORSION........................................................................................................... 93
7.3.-CÁLCULO DIFERENCIAL VECTORIAL ......................................................................................... 96
7.3.1.-DEFINICIONES .............................................................................................................................. 96
7.3.2.-REGLA DE LA CADENA .............................................................................................................. 98
7.3.3.-TEOREMA DE LA FUNCIÓN IMPLÍCITA.............................................................................. 101
7.3.4.-TEOREMA DE LA FUNCIÓN INVERSA.................................................................................. 104
7.3.5.-EL TEOREMA DEL CAMBIO DE VARIABLE ....................................................................... 108
7.3.7.-GRAFICOS EN 3D DE CURVAS, CAMPOS VECTORIALES ............................................... 116
7.4.-PROGRAMACIÓN LINEAL, EL METODO DEL SIMPLEX........................................................ 121
7.5.-TEORÍA DE GRAFOS......................................................................................................................... 129
BIBLIOGRAFÍA .............................................................................................................................. 134
APÉNDICE
................................................................................................................................ 135
ii
CAPÍTULO I
DESCRIPCIÓN DEL SOFTWARE MAPLE
1.1-CONTENIDO DE MAPLE POWER EDITION
Maple proporciona una extensa librería con más de 2500 funciones y rutinas, que usaremos
en el desarrollo de esta investigación, las cuales se detallan:
Cálculo numérico y simbólico

Cálculo :
Diferenciación
Integración numérica
Integración Simbólica
Limites y series
Sumatoria y Productorio
Transformaciones integrales: Laplace, Hankel, Fourier, etc.
Transformaciones discretas : Función Z, Transformaciones rápidas de Fourier
Funciones definidas a trozos

Cálculo de ecuaciones
Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales
Ecuaciones diferenciales ordinarias (ODE) y en derivadas parciales(PDE)
Resolución simbólica y numérica de ODE y PDE vía series de Potencial y métodos
aproximados de cálculo numérico (Runge Kuta, Euler, etc.)

Funciones especiales y elementales
Funciones trigonométricas, exponenciales, de error, logarítmica, Bessel, Zeta, Gama,
Hipergeométricas, etc.
1
Algebra Lineal:

Operaciones matriciales, simbólicas y numéricas

Valores y Vectores propios de matrices simbólicas y numéricas

Matrices especiales, matrices dispersas, bloques matriciales, etc

Coordenadas Curvilíneas

Formas matriciales normales, descomposición y diagonalización

Espacios vectoriales, bases, aplicaciones lineales, formas cuadráticas, etc.
Gráficos

Gráficos en 2D

Gráficos en 3D

Animación
1.2.-REQUISITOS MÍNIMOS
En cuanto al hardware, el programa exige como mínimo para su correcto funcionamiento las
siguientes características:

Un ordenador tipo PC- Compatible con miniprocesador 396 o superior

Es conveniente la presencia de coprocedor matemático

Un mínimo de 8 megabytes de memoria RAM

Disco duro con un espacio libre de entre 18 y 46 megabytes aproximadamente

Es indispensable utilizar un ratón, dadas las características de los entornos Windows
1.3.-EL ENTORNO OPERATIVO DE MAPLE PARA WINDOWS
Maple Bajo Windows goza de todas las ventajas que ofrece este entorno de Microsoft. Se
trata de un entorno amigable y fácil de manejar. Maple utiliza todos los periféricos que
aportan las diferentes versiones de Windows para manejar sus aplicaciones y se puede
2
comunicar directamente con todas las aplicaciones que corren bajo este estándar actual. Por
otra parte, el uso de menú, el acceso a más memoria y el manejo de ratón agilizan bastante
los procesos.
Para entrar a maple se presenta la pantalla de la figura 1. En la línea superior de esta pantalla
vemos el nombre del documento actual (entre corchete). En la línea siguiente se presenta el
menú general de la aplicación (barra de menú principal) con todas sus opciones (File, Edit,
View, Insert, Format, Options, Window, Help). La tercera línea presenta una serie de
iconos que facilitan el manejo rápido con el raton de las opciones más usadas del menú
general ( Barra de herramienta). La cuarta línea o de salida/ texto (barra de contexto)
FIGURA 1
3
1.4.-EL ENTORNO GRAFICO DE MAPLE PARA WINDOWS
Las representaciones gráficas en dos y tres dimensiones se realizan a través del comando
plot2D y plot3D respectivamente. No se trata aquí de analizar el comando plot con todas sus
opciones (tarea que se abordará en capítulos posteriores), sino de ver las posibilidades de
trabajo que nos ofrecen los menús que se presentan en las ventanas graficas. En la figura 2
tenemos la función f ( x)  sen( x),    x   para representarlo gráficamente se usa el
comando polt2D
FIGURA 2
4
En la figura 3 tenemos la función
f ( x)  sen( x  y ),  1  x  1,1  y  1 y para
representarlo gráficamente se usa el comando polt3D
FIGURA 3
5
CAPITULO II
ESPACIOS VECTORIALES
2.1.-COMANDOS MATRICIALES
El algebra matricial tiene un fuerte campo de aplicaciones en la teoría de espacios
vectoriales, así como en todo tipo de transformaciones lineales definidas entre espacios
vectoriales, como son las aplicaciones lineales, las formas lineales, las formas bilineales, la
formas cuadráticas, etc. También es de fuerte aplicación el álgebra lineal en el estudio de los
sistemas de ecuaciones lineales.
Se presentan ejemplos, referentes a los campos antes mencionados, en los que la solución
envuelve comandos matriciales ya estudiados anteriormente, Así tenemos:
Nullspace(A) o kernel(A)
Devuelve una base para el núcleo de A
Nullspace(A,n) o kernel(A,n)
Devuelve una base para el núcleo de A y asigna a
n la dimensión del núcleo.
colspace(A)
Devuelve una base para la columna de A
colspan(A)
Devuelve el conjunto de generadores de vectores
para el espacio columna de la matriz A.
colspan(A,n)
:Devuelve el conjunto de generadores de
vectores para el espacio columna de la matriz A
y asigna a n la dimensión del espacio columna.
rowspace(A)
:Devuelve una base para la fila de A.
rowspace(A,n)
:Devuelve una base para la fila de A y asigna a n
la dimensión del espacio fila.
rowspan(A)
:Devuelve el conjunto de generador de vectores
para el espacio fila de la matriz A.
6
rowspan(A,n)
:Devuelve el conjunto de generador de vectores
para el espacio fila de la matriz A y asigna a n la
dimensión del espacio fila.
Dotprod(A,B)
:Da el producto escalar de los vectores A y B.
Dotprod(A,B,”ortogonal”)
:Da el producto escalar de los vectores A y B en
espacio ortogonal.
crossprod(A,B)
:Da el producto vectorial de los vectores Ay B.
angle(A,B)
:De el ángulo formado por los vectores A y B.
normalize(V)
:Normaliza el vector V(con la norma de V)..
basis({v1,v2,..vn})
:Da una base del espacio vectorial generado por
el conjunto de vectores {v1,v2,..vn}.
sumbasis({Vs1,},{Vs2},..,{Vsn})
:Da una base para la suma para los espacios
vectoriales generados por el conjunto de vectores
{Vs1,},{Vs2},..,{Vsn}
intbasis({Vs1,},{Vs2},..,{Vsn})
:Da una base para la intersección para los
espacios vectoriales generados por el conjunto de
vectores {Vs1,},{Vs2},..,{Vsn}
GramSchmidt({Vs1,},{Vs2},..,{Vsn})
:Devuelve una base ortogonal deducida a partir
del conjunto de vectores {Vs1,},{Vs2},..,{Vsn}
por el procedimiento de ortogonalización de
Gran Schmidt. La base no tiene por qué ser
ortonormal.
7
Norm(V)
:Halla la norma infinita del vector V(máximo de
sus elementos)
2.2.-INDEPENDENCIA LINEAL, BASES Y CAMBIO DE BASES
DEFINICIONES
1.-Un vector v en un espacio vectorial V se denomina combinación lineal de los vectores
u1 , u2, u3,….uk en V si v puede expresarse en la forma
v= c1u1 +c2 u2+c3 u3,+….+ckuk
donde c1 ,c2,c3,…,ck son escalares.
2.-Sea S={v1, v2, ,…vk} un subconjunto del espacio vectorial V. El conjunto S se denomina
conjunto generador de V si todo vector en V puede expresarse como una combinación lineal
de vectores en S. En este caso se dice que S genera a V.
3.-Un conjunto de vectores S={v1, v2, ,…vk} en un espacio vectorial V se denomina
linealmente independiente si la ecuación vectorial
c1 v1+c2 v2+c3 v3,+….+ckvk = 0
tiene solamente solución trivial, c1 =c2=….ck= 0. Si también hay solución no trivial, entonces
S de denomina linealmente dependiente.
4.-Un conjunto de vectores S={v1, v2, ,…vn} en un espacio vectorial V se denomina base de
V si se cumple las siguientes condiciones:
a.-S genera a V
b.-S es linealmente independiente
EJEMPLOS
Estudiar cuales de los siguientes conjuntos de vectores son linealmente independientes:
1.-{{2,3,-1},{0,0,1},{2,1,0}}
2.-{{1,4,-3,4},{3,-1,2,1},{1,-5,1,-1}}
8
3.-{{1,2,2,1},{3,4,4,3},{1,0,0,1}}
4.-{{1,3,1},{0,1,2},{1,0,-5}}
SOLUCIÓN
1.-{{2,3,-1},{0,0,1},{2,1,0}}
Como el determinante de la matriz es diferente de cero entonces los vectores no son
linealmente independientes.
2.-{{1,4,-3,4},{3,-1,2,1},{1,-5,1,-1}}
Como el determinante de la matriz es cero entonces los vectores son linealmente
independientes.
3.-{{1,2,2,1},{3,4,4,3},{1,0,0,1}}
9
Como el rango es 2 entonces los vectores no son linealmente independientes
4.-{{1,3,1},{0,1,2},{1,0,-5}}
Como el determinante de la matriz es cero entonces los vectores son linealmente
independientes.
2.-Dado el conjunto de vectores:
{{2,3,4,-1,1},{3,4,7,-2,-1},{1,3,-1,1,8},{0,5,5,-1,4}}
Obtener la dimensión de la variedad lineal engendrada por ellos y una base de dicha variedad
lineal.
SOLUCIÓN
La dimensión de la variedad lineal engendrada por un conjunto de vectores será el rango de la
matriz formada por los vectores:
El rango de la matriz es 3, luego la dimensión es 3
10
Para hallar una base, se considera cualquier menor de orden 3 distinto de cero de la matriz.
Los vectores que contengan componentes incluidas en ese menor orden formaran una base.
Como el determinantes de la matriz es distinto de cero, entonces los vectores son {2,3,4},
{3,4,7},y {0, 5, 5} son linealmente independientes,
Luego una base de la variedad lineal generada será el conjunto de vectores
{{2,3,4,-1,1},{3,4,7,-2,-1},{0,5,5,-1,4}}
Se puede calcular una base directamente de la siguiente forma:
3.-Dado el conjunto de vectores:
{{1,2,3},{0,1,2},{-2,0,1}}
Estudiar si forman una base de R3, y en caso positivo, obtener las componentes del vector
x=(3,5,1) en dicha base.
SOLUCIÓN
Calculando la matriz A
11
Como tenemos tres vectores de un espacio de dimensión 3, formarán una base si su
determinante es distinto de cero (linealmente independiente). Luego, los vectores dados
forman una base en R 3.
En efecto.
Hallando la matriz inversa de A para calcular las componentes en la base
Evaluando para encontrar las componentes del vector x=(3,5,1) en la base
Luego los componentes del vector x en la base {{1,2,3},{0,1,2},{-2,0,1}}
Es dado por :
4.-Consideremos las bases B , B’ del espacio vectorial real tridimensional:
B:={{1,0,0},{-1,1,0},{0,1,-1}}
B’:={{1,0,-1},{2,1,0},{-1,1,1}}
Hallar la matriz de cambio de base de B a B’ y calcular las componentes del vector {2,1,3}
en la base B y en la base B’.
SOLUCIÓN
Construimos la matriz B y B’
12
Calculando la matriz de cambio de base se tiene:
Ahora hallamos las componentes del vector X
5.-Consideremos las bases B , B’ del espacio vectorial real tridimensional:
B:={{1,0,0},{0,1,0},{0,0,1}}
13
B’:={{1,0,1},{0,-1,2},{2,3,-5}}
Hallar la matriz de transición de B a B’
SOLUCIÓN
La matriz obtenida representa la matriz de transición de B a B’.
2.3.-GEOMETRIA VECTORIAL EN 2 Y 3 DIMENSIONES
Usaremos algunos comandos de maples para obtener realizar operaciones con vectores como
la suma, el producto punto, el producto vectorial, el producto mixto, etc.
EJEMPLOS
1.-Dados los vectores:
14
x1={1, 1 ,-1} ; x2={1, 1,1}
Hallar su expresión normalizada, ver si estos vectores son ortogonales y hallar su producto
vectorial.
SOLUCIÓN
Los vectores serán ortogonales si su producto escalar es cero
Como el producto escalar es 1 distinto de cero los vectores no son ortogonales.
Luego, el producto vectorial es el vector (2, -2 ,0)
2.-Dados los vectores:
{{1, 1 ,2},{0,1,0},{0, 1,1}}
Hallar su producto mixto.
SOLUCIÓN
El producto mixto se ha calculado a partir del producto escalar y del producto vectorial.
15
3.-Dados los vectores:
{{1, 0 ,2},{1,1,1},{0, -1,-1}}
Hallar una base ortogonal a partir de ellos por el procedimiento de Gram-Schmit.
SOLUCIÓN
Usando el comando de Gram-Schmit para hallar dicha base, se tiene:
4.-Hallar el área del triangulo cuyos vértices son los vectores (0,0), (5,1) y (3,7)
SOLUCIÓN
Aplicando la fórmula del área del triangulo en función de las coordenadas de sus vértices se
tiene:
Por tanto, el área del triangulo es de 6 unidades cuadradas.
5.-Hallar el ángulo que forman los vectores
a).- x= (1,2,3) , y= (0,3,1)
b).- x= (1,-2,1) , y= (1,0,1)
c).- x= (-1,-3,2) , y= (3,-1,3)
SOLUCIÓN
a).- x= (1,2,3) , y= (0,3,1)
16
b).- x= (1,-2,1) , y= (1,0,1)
c).- x= (-1,-3,2) , y= (3,-1,3)
17
CAPITULO III TRANSFORMACIONES LINEALES
3.1.-DEFINICIONES
1.-Sea A una matriz de mxn.
a).-El espacio renglón de A es el subespacio de Rn generado por los vectores renglón de A.
b).- El espacio columna de A es el subespacio de Rm generado por los vectores columna de A
2.-Si una matriz A por renglones a una matriz B que está en forma escalonada por
3.-La dimensión del espacio renglón (o columna) de una matriz A se llama rango de A y se
denota por rango(A).
4.-Sea T: V  W una transformación lineal. Entonces, el conjunto de todos los vectores en V
que cumplen T(v)=0 se denomina Kernel de T y se denota por Ker(T).
5.- Sea T: V  W una transformación lineal. Entonces, el conjunto de todos los vectores en
W que son imágenes de vectores de V se llama rango de T y se denota por rang(T).
EJEMPLOS
1.-Dada la aplicación lineal cuya matriz está formada por el conjunto de vectores
{{0, -3,-1,-3,-1}, {-3, 3,-3, -3-1}, {2,2, -1, 1,2}}
Encontrar una base de su núcleo. Hallar también la imagen de los vectores
{4, 2, 0, 0,-6}, {1, 2,-1,-2,3} mediante la aplicación lineal
SOLUCIÓN
18
La imagen del vector {1, 2,-1,-2,3} es dado por
Y la imagen del vector {4, 2, 0, 0,-6}esta dado por
2.-Consideremos la aplicación lineal f entre dos subespacios vectoriales U y V, de tal forma
que : f(e1)=v1-v2,
f(e2)=v2-v3,
f(e3)=v3-v4, siendo: B={e1, e2 ,e3}una base de U
(subespacio de R3) y B’={v1, v2, v3, v4 } una base de V (subespacio de R 4)
Hallar la matriz asociada a la aplicación lineal f. Hallar la imagen en V del vector {1,2,2},de
U mediante la aplicación lineal f.
SOLUCIÓN
La matriz asociada a f es evidente sólo con que observar la definición de f (para los
elementos de ambas bases):
Esta matriz representa la matriz asociada a la aplicación lineal f.
Luego, la imagen del vector {1,1,2} es dado por el vector [1, 0, 1 -2] como sigue
3.-Consideremos la aplicación lineal f entre dos subespacios vectoriales U y V del espacio
real tridimensional de tal forma que f(a,b,c)=(a+b,b+c,a+c), siendo (a,b,c) cualquier punto de
U. Hallar la matriz asociado a las aplicaciones f, (f)5.
19
SOLUCIÓN
Por definición de la forma lineal se tiene
Para hallar la matriz de f, hay que considerar los vectores transformados por f de los de la
base canónica:
Luego, la imagen de cada vector será respectivamente:
La matriz cuyas columnas son los vectores hallados es la matriz de la aplicación lineal f.
Luego, la matriz asociada a f5 será A5 y es dado por :
4.-Consideremos la forma bilineal f:UxVR, siendo U y V dos subespacios vectoriales del
espacio real tridimensional, de tal forma que:
f[{x1,x2,x3},{y1,y2,y3}]=x1.y1 - 2x1.y2 + 4.x2.y3 - x2.y3 - x3.y1 – 3.x3.y3
Hallar la matriz asociada a la forma bilineal f .
SOLUCIÓN
20
Luego, la matriz de f es {{1,-2,0},{0,0,4},{-1,0,-3}}
5.-Considremos la aplicación lineal f: U V donde UCR3 y VCR4 de tal forma que
f(a,b,c)=(a,0,c,0), siendo (a,b,c) cualquier punto de U.
Hallar la matriz asociada a la aplicación f, su núcleo y las dimensiones del núcleo y la
imagen.
SOLUCIÓN
Definimos la transformación lineal T:
Halando la matriz asociada a la transformación lineal:
Calculo del núcleo o kernel:
Con lo que el núcleo será el conjunto de vectores de la forma {0, b, 0} con b variando en U.
Además, evidentemente el núcleo tiene dimensión 1, ya que la base es el vector {0,1,0}.
La dimensión de la imagen de f será 2 pues
21
Luego, una base para la imagen de T esta dado por los vectores {{1,0,0,0},{0,0,1,0}}
Pues
3.2.-FORMAS CUADRÁTICAS
3.2.1.-DEFINICIONES
1.-A la expresión ax2 + bxy + c y2 se denomina forma cuadrática asociada con la ecuación
ax2 + bxy + c y2+ dx + ey + f =0 , y la matriz A se denomina matriz de la forma cuadrática.
2.-Una forma cuadrática es definida positiva si y solo si todos los autovalores son positivos
estrictamente.
3.-Una forma cuadrática es definida negativamente si y solo si todos los autovalores son
negativos estrictamente.
4.-Una forma cuadrática es semidefinida positiva y solo si todos los autovalores son no
negativos.
5.-Una forma cuadrática es semidefinida negativa solo si todos los autovalores son no
positivos.
6.-Una forma cuadrática es indefinida si existen autovalores positivos y negativos.
EJEMPLOS
1.-Consideremos la forma cuadrática f: UR, siendo U subespacio vectorial del espacio real
tridimensional de tal forma que:
F[{x,y,z}]=x2 – 2xy + y2 + 6xz – 3yz + 4z2
1
3 
1


1
 3 / 2  es la matriz asociada al forma cuadrática f.
Demostrar que la matriz A=   1
 3  3/ 2
4 

22
SOLUCIÓN
Por dato tenemos la matriz A
Calculando la forma cuadrática se tiene:
Simplificando para comparar la forma cuadrática dada
Por tanto se demuestra que la matriz es la matriz asociada a la forma cuadrática f.
2.-Consideremos la forma cuadrática f: UR, siendo U subespacio vectorial del espacio real
tridimensional de tal forma que:
f[{x,y,z}]=x2 + 2y2 + 4yz + 2z2
1 0 0


Demostrar que la matriz A=  0 2 2  es la matriz asociada al forma cuadrática f y calcular
 0 2 2


su ecuación reducida, su rengo.
SOLUCIÓN
Por dato tenemos la matriz A
23
Calculemos la forma cuadrática f :
Luego, esta última expresión coincide con la forma cuadrática
Por tanto, queda demostrado que la matriz A es la matriz asociado a la forma cuadrática.
Para hallar la ecuación reducida calculemos la matriz de Jordan de A.
Y luego la ecuación reducida será:
Para calcular el rango usamos
Luego el rango es
24
CAPITULO IV MATRICES Y DETERMINANTES
4.1.-VECTORES Y MATRICES
Maple implementa la Librería linalg que contiene variedad de comandos referentes al álgebra
matricial. Para trabajar con los conceptos de este tema es preciso cargar en memoria
previamente la citada librería, ejecutando el comando with(linalg).
Para este capítulo introduciremos varios comandos que permita el trabajo con vectores y
matrices.
.
 a11

 . a22
La matriz A  (aij )   .
.

.
 .
a
 m1 .
. . a1n 

. . . 
. . . , i  1,...m

. . . 
. . amn 
j  1,...n
Se introduce las siguientes formas:
A : matrixa11,...,a1n, a21,...,a21,...am1,...amn
A : arraya11,...,a1n, a21,...,a21,...am1,...amn
A : matrixm, n, a11,..,a1n, a2n,..,a2n,...am1,..,amn
A su vez, el vector V  (v1, v 2,..., vn) se introduce como caso particular de matriz de una fila
sola fila (matriz de dimensión 1xn) o de las siguientes formas:
V : vectorv1,...,vn
; V : vectorn, v1, v2,...,vn o
Veamos algunos ejemplos.
1.-
25
V : arrayv1,.v2,...vn
2.-
3.-
4.-
5.-
6.-
7.-
4.2.-OPERACIONES CON MATRICES
Maple admite la mayoría de las operaciones del álgebra matricial (suma, diferencia,
producto, producto por un escalar) siempre y cuando se guarden las normas de
dimensionalidad correspondiente. Daremos algunos comandos que permitan las operaciones
básicas con matrices.
evalm(expr(A,B,C,…))
:Evalúa la expresión en las matrices A, B, C, … Dicha
expresión ha de estar formada por los operadores básicos
26
suma(+), diferencia(-), producto( &) y potencia ( ^ ). Dentro de
evalm la matriz cero se denota por 0, la matriz identidad se
denota por &*( ) y la matriz inversa por A^(-1) , además A^0 es
siempre el escalar 1.
Matadd(A,B)
:Suma de matrices o vectores A y B ( A+B)
Matadd(A,B,k,r)
:Calcula k*A+r*B
Escalarmul(A,k)
:Calcula k*A
multiply(A,B,C,…)
:Calcula el producto de las matrices dadas en el orden
especificado.
minor(A,i,j)
:Da el menor complementario del elemento (i,j) de la matriz A
det(A)
:Determinante de la matriz cuadrada A
rank(A)
:Rango de la matriz A
trace(A)
:Suma de los elementos de la diagonal de A
orthog(A)
:Dice si A o no matriz ortogonal (A-1 = A t )
diag(A1,A2,..An)
:Construye la matriz diagonal cuyos elementos diagonales son
las sub-matrices ( o elementos ) A1, A2,..An.
transpose(A)
:Vector o matriz transpuesta de A (A’)
adjoint(A) o adj(A)
:Matriz adjunta de la matriz cuadrada A
Exponential(A,t)
:eAt calculada a través de series de Taylor
EJEMPLOS
1.-Consideremos la matriz siguiente:
1  3 2 


A  1 0
1
 2 3  1


27
Calcular
a)
2*A
b)
La transpuesta de A
c)
La Adjunta de A
d)
La inversa de A
e)
El Determinante de A
f)
El rango de A
g)
La traza de A
SOLUCIÓN
a)
2*A=
b)
La transpuesta de A=
c)
La Adjunta de A=
d)
La inversa de A=
e)
El Determinante de A=
f)
El rango de A=
28
g)
La traza de A =
2.-Consideremos las matrices siguientes:
1  3 2 


A  1 0
1
 2 3  1


1 2 3


y B   2 1 4
2 0 1


Calcular
a)
3A - 2B
b)
A.B
c)
det(A.B)
d)
Inversa de A e inversa de B
e)
La exponencial de A
SOLUCIÓN
a)
3A - 2B
b)
A.B
c)
det(A.B)
29
d)
Inversa de A. B
3.-Consideremos la matriz siguiente
1 1 0


A  0 1 1
0 0 1


Calcular la exponencial de A
SOLUCIÓN
4.3.-RESOLUCIÓN DE ECUACIONES, SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Maple ofrece determinados comandos que permiten resolver ecuaciones y sistemas de
ecuaciones Entre ellos tenemos los siguientes:
Solve(ecuación,variable)
:Resuelve la ecuación dada en la variable dada.
Solve(expresión,variable)
:Resuelve la ecuación expresión=0
en la variable dada.
Solve({expr1,..,exprn},{var1,..varn})
:Resuelve el sitema dado por las ecuaciones dadas para
todas sus posibles variables.
30
Solve(inecuación)
:Resuelve la inecuación para la variable especificada.
linsolve(M,V)
:Halla Vx vector solución del sistema M&*Vx=V donde
M es la matriz del sistema y V es el vector de termionos
independientes (no de elementos de V= no de filas de
M).
linsolve(M1,M2)
:Halla la matriz Mx tal que M1&*Mx=M2. Las
dimensiones de M1, M2 y Mx han de ser las mismas y el
sentido de la multiplicación es que M1 por cada
columnas de Mx es igual a la correspondiente columna
de M2.
Linsolve(M,V,nombre,variable)
:Resuelve el sistema M&*Vx=V y asigna el nombre
especifico al rango de M. Si Maple necesita nombrar
variables para las soluciones usará los nombres
variable[1],variable[2], etc. Si el argumento variable no
se
hubiese
especificado,
maple
utiliza
los
alores_t[1],_t[2], etc como nombres dela variables
adicionales necesarias en las soluciones.
Leastsqrs({equ1,…,equn},{var1,…varn})
:Halla var1,…varn que satisface el sitema de ecuaciones
dado por equ1,..,equn en el sentido de mínimos
cuadrados.
EJEMPLOS
1.-Resolver
x4 - 5x2 + 6x – 2 = 0
31
SOLUCIÓN
Editamos la ecuación en maple como:
Resolviendo la ecuación con el siguiente comando:
Se obtiene las siguientes soluciones:
Escribiendo a solve(eq,x) como una nueva variable
Aplicando el comando evalf para aproximar las soluciones se tiene:
2.-Resolver el sistema de ecuaciones
u  v  w  1

3u  v  3
u  2v  w  0

SOLUCIÓN
Editando el sistema
Resolviendo usando el comando solve, se tiene:
Por tanto, el conjunto solución será
3.-Resolver el sistema sujeto a determinadas condiciones
Si x2.y2 = 0
y x–y=1
32
SOLUCIÓN
Editando la ecuación y la condición y resolviendo, se tiene:
Luego, el conjunto solución será:
Si deseamos que x sea distinto de cero , se tiene
4.-Resolver la inecuación
x2 + x > 5
SOLUCIÓN
5.-Resolver la inecuación
x2-2 x > 0
SOLUCIÓN
33
4.4.-EL TEOREMA DE ROUCHÉ –FROBENIUS
Los sistemas de ecuaciones lineales pueden convertirse a forma matricial y resolverse
utilizando el cálculo con matrices. Un sistema puede escribirse en la forma M*X=B, siendo
X el vector de variables y B el vector de términos independientes y M la matriz de
coeficientes del sistema.
Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas tiene solución si y sólo si, el rango de la matriz
de los coeficientes coincide con el rango de la matriz ampliada con el vector columna de los
términos independientes del sistema. Si los dos rangos son iguales e iguales al número de
incógnitas, el sistema tiene solución única. Si los dos rangos son iguales, pero menores al
número de incógnitas, el sistema tiene infinitas soluciones. Si son distintos, el sistema no
tiene solución.
EJEMPLOS
1.-Estudiar y resolver el sistema de ecuaciones lineales
2 x1  x 2  x3  x 4  1
 x1  2 x 2  x3  x 4  1


 x1  x 2  2 x3  x 4  1
 x1  x 2  x3  2 x 4  1
SOLUCIÓN
Editando la matiz de los coeficientes del sitema
Editando la matriz ampliada del sistema
34
Calculando el rango de A y de B, se tiene
Ambos rangos son iguales y coinciden con número de variables por lo tanto el sistema tiene
solución única
Editando el vector independiente para buscar la solución
Resolviendo
La solución será:
2.-Estudiar y resolver el sistema de ecuaciones lineales
 x1  x 2  3 x3  6
 x1  3 x 2  8 x3  19


2 x1  3 x 2  x3  1
5 x1  6 x 2  4 x3  5
SOLUCIÓN
Editando la matiz de los coeficientes del sistema
35
Editando la matriz ampliada del sistema
Calculando el rango de A y de B, se tiene
Ambos rangos son iguales y coinciden con numero de variables por tanto el sistema tiene
solución única
Editando el vector independiente para buscar la solución
Resolviendo, se tiene
Por tanto la solución será:
2.-Estudiar y resolver el sistema de ecuaciones lineales
 x1  2 x 2  3 x3  10

2 x1  4 x 2  2 x3  5
 x1  x 2  x3  6

36
SOLUCIÓN
Editando la matiz de los coeficientes del sistema
Editando la matriz ampliada del sistema
Calculando el rango de A y de B, se tiene
El rango de A es distinto al rango de B. Por tanto, el sistema no tiene solución.
Luego, el sistema es incompatible.
4.5.-SISTEMAS HOMOGENEOS
El sistema A*X=B se dice homogéneo si el vector de términos independientes B es nulo, con
los que todo sistema homogéneo será de la forma A*X= 0, con solución trivial el vector
X=0
En un sistema homogéneo, el rango de la matriz de los coeficientes y el rango de la matriz
ampliada con las columna de los términos independientes siempre coinciden.. Si aplicamos el
teorema de Rouché-Frobenius, un sistema homogéneo tendrá una única solución cuando el
determinante de la matriz A sea distinto de cero.
37
Un sistema homogéneo tendrá infinitas soluciones cuando el determinante de la matriz sea
cero. En este caso, las infinitas soluciones se calculan igual que el de los sistemas generales o
también usando la función nullspace(A).
EJEMPLO
1.-Estudiar y resolver el sistema:
 x1  2 x 2  x3  0

2 x1  x 2  x3  0
3 x1  x 2  0

SOLUCIÓN
Editando la matriz de los coeficientes
Calculando el rango de A
Como el determinante de la matriz es nulo, el sistema tendrá infinitas soluciones.
Y estas soluciones serán
Si aplicamos el comando nullspace, obtenemos una base del núcleo de la matriz del sistema
En efecto:
38
2.-Estudiar y resolver el sistema:
3 x1  x 2  x3  x 4  0
2 x1  x 2  x3  x 4  0


 x1  2 x 2  x3  2 x 4  0
2 x1  x 2  2 x3  x 4  0
SOLUCIÓN
Editando la matriz de los coeficientes
Calculando el determinante de A
Como el determinante de A es distinto de cero, entonces el sistema tiene única solución
Resolviendo se tiene
La solución será:
3.-Estudiar y resolver según los valores de m, el sistema:
mx 2  m

(1  m) x1  x3  m
 x 2  x3  m

SOLUCIÓN
Editando la matriz de los coeficientes
39
Resolviendo el determinante de la matriz A en termino de m e igualando a cero
Si m es distinto a 46/3, el sistema tiene única solución, la trivial
Si m = 46/3, entonces el sistema tiene infinitas soluciones
Y están dadas por
40
CAPITULO V
PRODUCTO Y ORTOGONALIDAD
5.1.-MATRICES SEMEJANTES, DIAGONALIZACIÓN Y DESCOMPOSICIÓN DE
MATRICES
5.1.1.-DEFINICIONES
1.-Se dice que dos matrices A y B de dimensión mxn son equivalentes si existen dos
matrices regulares U y V tal que A =UBV. El comando de Maple svd(A;U,V) calcula una
matriz diagonal D que es equivalente a A .
2.-Se dice que dos matrices cuadradas de orden n, A y B son congruentes si existe una matriz
regular P tal que A=PBPt o A=PtBP. La congruencia implica la equivalencia, y dos matrices
congruentes han de tener el mismo rango.
3.-Se dice que dos matrices cuadradas de orden n, A y B son semejantes si existe una matriz
invertible P, llamada matriz de paso, tal que A=PDP-1 . Se tiene que dos matrices semejantes
son equivalentes.
4.-Una matriz A se dice diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal D, esto es , si
existe una matriz de paso P regular tal que A=PDP-1
5.-El proceso de cálculo de la matriz diagonal D y de paso P se denomina diagonalización de
A.
6.-Una matriz cuadrada A es ortogonal si y solo si A-1=QT
7.-Una matriz cuadrada A es ortogonalmente diagonalizable si existe una matriz ortogonal Q
y una matriz diagonal D tal que QTAQ=D
8.-Si A es una matriz simétrica entonces cualquiera dos eigenvectores distintos
correspondientes a eigenvalores distintos de A son ortogonales.
9.-Dada una matriz A cuadrada de orden n de números reales, si todos los valores propios
41
(autovalores A) son reales y distintos, entonces A es diagonalizable . La matriz D tendrá
Como elementos de la diagonal los valores propios de A. La matriz de paso P tiene por
Columnas los vectores propios de A correspondientes a sus valores propios .
Si la matriz A tiene el valor propio r con multiplicidad mayor que 1, será diagonalizable si y
sólo si el núcleo de la matiz A-r*In tiene dimensión igual al grado de multiplicidad del valor
propio.
Maple habilita comandos que permiten la descomposición de matrices en productos de
vectores ortogonales y matrices diagonales. Así tenemos:
Svd(A)
:Da un array con los valores singulares de A
Svd(A,V,left)
:Da un array con los valores singulares de A y el
array de V con los valores singulares de A por la
izquierda
Svd(A,V,right)
:Da un array con los valores singulares de A y el
array de V con los valores singulares de A por la
derecha
Svd(A,U,V)
:Da las matrices cuadradas U y V tales que
evalm(transpose(U)&*V)=D,
siendo
D
una
matriz cuya diagonal son los valores singulares
de A. Si A es cuadrada todas las matrices son
cuadradas y de la misma dimensión. Si A es de
dimensión (n, p), entonces U es (n, n), V es (p, p)
y D es (n, p)
Definite(A,opción)
:Determina si la matriz A es definida positiva,
semideinida positiva, definida negaticva o
42
semidefinida negativa para los respectivos
valores de la opción dados por ‘positive_def ‘,’
positive_semidef‘,‘negative
def
o
‘negative_semidef ‘
Jordan(A,P)
:Devuelve la forma canónica de Jordan J de A
con los valores propios de A en la diagonal, y la
matriz de paso V cuyas columnas son los
autovectores de A, cumpliéndose la igualdad
evam(V1&*A&*V)=J
Orthog(A)
:Dice si A es ó no matriz ortogonal (A(-1)=At)
EJEMPLOS
1.-Dada la matriz:
3 
 1 1


A    1 i  1  2i 
 i
1
i  2 

Calcular los autovalores, polinomio mínimo, polinomio característico, forma canónica de
Jordan y sus valores singulares.
SOLUCIÓN
43
2.-Dada la matriz:
0
0 
1


A   0 cos(a)  sen(a) 
 0 sen(a) cos(a) 


Calcular los autovalores, polinomio característico, forma canónica de Jordan, polinomio
mínimo.
SOLUCIÓN
44
3.-Dada la matriz:
1

0
A
1

1

Calcular
0 0
0 

1 5  10 
0 2
0 

0 0
3 
auto valores,
polinomio característico, forma canónica de Jordan, polinomio
mínimo.
SOLUCIÓN
4.- Dada la matriz la matriz A de orden 5, definida por Αιϕ ι  ϕ
1
/
2
Calcular La matriz A, auto valores, polinomio característico forma diagonal de Jordan.
SOLUCIÓN
45
1 / 3 2 / 5
 1/ 2


5.-Dada la matriz A   1 / 2  1 / 3 2 / 5 
  1/ 2
0
4 / 5 

Verificar si esta matriz es ortogonal
SOLUCIÓN
Usando el comando orthog , para ver si matriz A es ó no ortogonal
En efecto
46
El resultado de aplicar este comando es false lo que significa que la matriz no es ortogonal.
1/ 2 
 1/ 2  1/ 2 1/ 2


1/ 2
1/ 2  1/ 2
 1/ 2
6.-Dada la matriz A  
 1/ 2 1/ 2
1/ 2
1/ 2 


 1/ 2
1 / 2  1 / 2 1 / 2 

Demuestre que la matriz A es ortogonal
Encuentre la inversa y la transpuesta de A
SOLUCIÓN
El resultado de aplicar este comando es true lo que significa que la matriz es ortogonal.
Calculando la matriz inversa
47
La transpuesta de A
Luego, la inversa de A es igual su transpuesta
Por tanto, La matriz A es ortogonal
5.2.-MATRICES ESPECIALES
Maple ofrece comandos para definir determinados tipos especiales de matrices. Entre ellos
tenemos:
hilbert (n)
:Matriz de Hilbert de orden n tal que Aij=1/(i+j1)
sylvester(p1,p2,x)
:Matriz cuadrada de Sylvester de los polinomios
en x expandidos dados, con dimensión m+n,
siendo
m=grado
(p1)
y
n=grado(p2).
El
determinante de esta matriz es la resultante de los
dos polinomios.
48
fibonacci (n)
:Matriz
enésima
de
Fibonacci
F(n)
cuya
dimensión es la suma de las dimensiones de F(n1) y F(n-2).
Vandermonde([exp1,..,expn])
:Matriz de Vandermonde cuyo elemento (i,j) es
expi j-1.
wroskian(V,x)
:Matriz
bronskiana
del
vector
V=(f1,..fn)
respecto de la variable x. El elemento (i,j) es
diff(fj,x$(i-1).
Jacobian([expr1,..exprm],[x1,..xn]
:Matriz jacobiana de orden mxn de elementos
(i,j) diff(expri,xj).
Hessian(ex,[x1,..xn])
:Matriz hessiana de orden mxn de elementos (i,j)
diff(ex,xi,xj).
iSmith(A,var)
:Da la matriz diagonal S correspondiente a la
forma normal de Smith de la matriz cuadrada A
de polinomio en la variable var.
ihermite(A,var)
:Da la Matriz
H correspondiente a la forma
reducida escalonada normal de Hermite de la
matriz cuadrada A de polinomios en la variable
var sobre los racionales.
Gaussjord(A)
;Da la matriz triangular superior correspondiente
a la reducida por filas escalonada de Jordan de la
matriz A. Esta reducida se utiliza para facilitar la
49
resolución de sistemas de ecuaciones lineales
cuya matriz de coeficiente es la matriz A.
Backsub(A)
:Da el vector x tal que A*x=V siendo A una
matriz triangular reducida de gauss de A, que
suele ser la obtenida con gaussjord(A) o
gausselim(A) y siendo V el vector última
columna de la matriz A.
Backsub(A,V)
:Da el vector x tal que A*x=V siendo A una
matriz triangular reducida de gauss de A, que
suele ser la obtenida con gaussjord(A) o
gausselim(A).
EJEMPLOS
Consideramos la matriz A cuadrada 3 cuyas filas son los vectores (1, 5,-2), (-7,3,1) y (2,2,-2)
Siendo V el vector de unos, resolver el sistema L*x=V basándose en la descomposición LU.
Resolver el sistema G*x=V utilizando la transformación de A a su forma triangular de Gauss
Resolver el sistema J*x=V utilizando la transformación de A a su forma triangular de Jordan
Representar el sistema matricial en la forma de ecuaciones y realizar las descomposiciones de
Hermite y Smith para la matriz A.
SOLUCIÓN
En primer lugar definimos la matriz A y el vector V.
50
A continuación hallamos la descomposición LU de A, para resolver el sistema A*x=V,
utilizando el comando backsub
Ya hemos resuelto el sistema L*x=V, cuya expresión en forma de ecuaciones se puede
conseguir con el geneqns como sigue:
Ahora resolvemos el sitema G*x=V transformado A a su forma triangular de Gauss
El sistema en forma de ecuaciones se expresaría de la forma:
Ahora resolvemos el sistema J*x=V transformando A a su forma triangular de Jordan y
usando posteriormente el comando forwardsub.
Por último se presentan las formas de Smith y Hermite para la matriz entera A
51
52
CAPITULO VI VALORES Y VECTORES PROPIOS
6.1.-AUTOVALORES Y AUTOVECTORES
6.1.1.-DEFINICIÓN
Sea A una matriz de orden nxn. Un escalar λ es llamado un eigenvalor de A si existe un
vector x distinto del vector cero tal que A x = λ x
Al vector x de esta naturaleza se le conoce un iegenvector de A correspondiente al escalar λ.
De la definición al det(A – λI)= 0 se le conoce con el nombre de polinomio característico de
A y a la Matriz A- λI se le conoce como matriz característica.
6.1.2.-COMANDOS BÁSICOS
Maple implementa comandos que permiten el trabajo fluido con auto valores y auto vectores
de una matriz cuadrada. Tenemos los siguientes:
eigenvals(A)
:Devuelve los autovalores de la matriz A (raíces
del
eigenvals(A,nombre)
polinomio característico ( det(λ *I - A) = 0
:Asocia la variable nombre a los autovalores de
A en modo inerte
eigenvectors(A)
:Devuelve los autovectores de la matriz A
charmat(A, λ )
:Devuelve la matriz característica de A en
función de λ, cuyo valor es M= λ*I-A
charmat(A, expr )
:Devuelve la matriz característica de A en
función de expr, cuyo valor es M= λ*i-A
charpoly(A,expr)
:Devuelve el polinomio característico de A en
función de expr, cuyo valor es det(expr*i-A)
53
minipoly(A,x)
:Devuelve el polinomio mínimo de A en la
variable x. El polinomio mínimo de A es el
polinomio p(x) de menor grado que aniquila a A.
esto es, tal que p(A)=0
EJEMPLOS
Calcular la matriz característica, el polinomio característico y los iegenvalores
eigenvectores de las matrices siguientes:
1 0 

1.- A  
0

1


 7 1  2


2.- A    3 3 6 
 2 2 2 


3 0 0 


3.- A   0 1  2 
1 0 1 


 0 1  1


4.- A   1 1 1 
1 2 0 


 4 1 2


5.- A   3 0 1 
1 2 1


SOLUCIÓN
1 0 

1.- A  
 0  1
54
y
Para el valor de λ1= -1 entonces se obtiene el vector x1=(0,1)
Para el valor de λ2= 1 entonces se obtiene el vector x2=(1,0)
 7 1  2


2.- A    3 3 6 
 2 2 2 


Para el valor de λ1= 0 entonces se obtiene el vector x3=(1,-3,2)
Para el valor de λ2= 6 entonces se obtiene el vector x1=(2,0,1)
3 0 0 


3.- A   0 1  2 
1 0 1 


55
Para el valor de λ1= 3 entonces se obtiene el vector x1=(2,-1,1)
Para el valor de λ2= 1 entonces se obtiene el vector x2=(0,1,0)
 0 1  1


4.- A   1 1 1 
1 2 0 


Para el valor de λ1= 0 entonces se obtiene el vector x2=(-2,1,1)
Para el valor de λ2= -1 entonces se obtiene el vector x3=(3,-2,1)
Para el valor de λ3= 2 entonces se obtiene el vector x1=(0,1,1)
56
 4  1 3


5.- A   0 2 1 
 0 0 3


SOLUCIÓN
Para el valor de λ1= 3 entonces se obtiene el vector x2=(-2,1,1)
Para el valor de λ2= 2 entonces se obtiene el vector x3=(1,2,0)
Para el valor de λ3= 4 entonces se obtiene el vector x1=(1,0,0)
57
CAPITULO VII APLICACIÓN DEL ALGEBRA LINEAL CON MAPLE
CÁLCULO VECTORIAL
7.1.- FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL
7.1.1.-DEFINICIÓN


Llamaremos función vectorial, y lo denotaremos por f a la función f : R  R 3 definida por:




f (t ) : ( f1 (t ), f 2 (t ), f 3 (t ))  f1 (t ) i  f 2 (t ) j  f 3 (t ) k
Editando en Maple se tiene:
=
Donde ex , ey y ez son los vectores canónicos o la base canónica del espacio R3 . Por ejemplo
ex:=(1, 0, 0)
,
ey:=(0, 1, 0)
y
ez:=(0, 0, 1)
Gráficamente una función vectorial es dado por la siguiente grafica
OBSERVACION
A las funciones f1 , f 2 y f 3 son llamados funciones coordenadas o funciones componentes de

la función vectorial f
EJEMPLOS
Editar con maple las siguientes funciones vectoriales
58

1.-
f (t ) : (cos t , sent, t )

2.- f (t ) : (cos t ,1  sent,2  sent)

3.- f (t ) : (2 cos t ,3sent, t )

4.- f (t ) : (2 cos t  sent,3sent, cos t )
SOLUCIÓN

1.-
f (t ) : (cos t , sent, t )
=

2.- f (t ) : (cos t ,1  sent,2  sent)
=

3.- f (t ) : (2 cos t ,3sent, t )
=

4.- f (t ) : (2 cos t  sent,3sent, cos t )
=
7.1.2.-GRAFICA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL

Sea f una función vectorial. Definimos grafica de la función vectorial como:


 

Gra( f ) : (t , f (t ) / t  Dom( f )


EJEMPLOS
I.-Graficar las siguientes funciones vectoriales

1.- f (t ) : (cos t , sent, t )
59

2.- f (t ) : (cos t ,1  sent,2  sent)

3.- f (t ) : (2 cos t ,3sent, t )
SOLUCIÓN
Para graficar una función con vectorial con maple usaremos los siguientes pasos:
Usaremos el menú de herramientas, hacemos un clic para obtener un nuevo menú llamado
tutorial-cálculo vectorial, hacemos un clic y escogemos curvas en el espacio; saliendo una
ventana de gráficos de funciones, editamos la función requerida para hacer un clic en display
resultando la gráfica de la función vectorial editada.

1.- f (t ) : (cos t , sent, t ) 0  t  4
60

2.-
f (t ) : (cos t ,1  sent,2  sent)

3.- f (t ) : (2 cos t ,3sent, t )
7.1.3.-OPERACIONES CON FUNCIONES VECTORIALES




Dadas las funciones vectoriales f y g con Dom( f ) yDom( g ) sus respectivos dominios; y
dado la función real α se tiene:






1- ( f  g )(t ) : f (t ) g (t ), t  Dom( f )  Dom( g )
Suma
Diferencia
61
o
 



2- ( f . g )(t ) : f (t ) . g (t ),

t  Dom ( f )  Dom ( g )
Producto
Interno






3- ( f x g )(t ) : f (t ) x g (t ), t  Dom ( f )  Dom ( g ) 1
Producto
Vectorial



4- ( . f )(t ) :  (t ). f (t ), t  Dom( )  Dom( f )
Producto de
un
escalar
por
un
vector



5- ( f o )(t ) : f (  (t )), t  Dom( f o )




Dom ( f o ) : t  R / t  Dom ( )   (t )  Dom ( f ) 


EJEMPLOS
I.-Dada las funciones vectoriales.


f (t )  (cos t , sent, t ), y g (t )  (e t , e t , t )
Calcular


a) ( f . g )(t )


b) ( f x g )(t )
SOLUCIÓN
Editando las dos funciones vectoriales.
=
1
f y g son funciones vectoriales en el espacio R3
62
Composición
=
Aplicando el comando producto escalar y producto vectorial, se tiene


a) ( f . g )(t )
=


b) ( f x g )(t )
=
II.-Dadas las funciones

f (t )  (e t , e t , t ), y  (t )  t 2  1

( . f )(t )
Calcular
SOLUCIÓN
Editando la función vectorial
=
Aplicando el producto de un función escalar por una función vectorial, se tiene:
=



III.-Dadas las funciones. f (t )  (cos t , sent ,1), g (t )  (cos t , sent , t ), y h (t )  ( sent , cos t ,t )



Calcular f (t ) x g (t ). h (t )
SOLUCIÓN
Editando las funciones vectoriales
=
=
=
63
Calculando el producto vectorial, se tiene
=
Luego, calculando el producto escalar, se tiene
=
Simplificando
=



Por tanto, f (t ) x g (t ). h (t ) =
7.1.4.-LÍMITE DE UNA FUNCION VECTORIAL




Sea f una función vectorial definida en un dominio Dom( f ) y se t o  Dom( f ) y sea L un


vector. Entonces diremos que L es el límite de la función vectorial f cuando t se aproxima a
t si y solo si



  0,   0, talque t 0  Dom ( f )  0  t  t 0    f (t )  L  
OBSERVACION




Sea la función vectorial definida por f (t ) : f1 (t ) i  f 2 (t ) j  f 3 (t ) k




Entonces Lim f (t ) : Lim f1 (t ) i  Lim f 2 (t ) j  Lim f 3 (t ) k
t t 0
t t 0
t t 0
t t 0
Siempre que los limites siguientes existan
Lim f 1 (t ),
t t0
Lim f 2 (t ) y Lim f 3 (t )
t t0
t t0
EJEMPLOS
Calcular los siguientes límites de las siguientes funciones vectoriales en el punto indicado.
t 2  2t  3  t 2  5t  6 
1.- f (t ) : 3 i 
j
k
t 3
t2 9


t 3
64

sen (t  1)  t 2  1  
i
j 1k
t 1
3(t  1)
t 1

t 2  1  t 2  3t  2  
i
j t k
t 2 1
t 1
t 1
2.- g (t ) :
3.- h (t ) :




4.- F (t ) : cos i  sent j  (t  1)k
t 0
SOLUCIÓN
Usaremos el comando limit de maple para resolver estos límites.
t 2  2t  3  t 2  5t  6 
1.- f (t ) : 3 i 
j
k
t 3
t2 9


t 3
Editamos la función
=
Aplicando limite en t=3, se tiene
=

2.- g (t ) :
sen (t  1)  t 2  1  
i
j 1k
t 1
3(t  1)
t 1
=
Aplicando limite en t=1, se tiene
=

3.- h (t ) :
t 2  1  t 2  3t  2  
i
j t k
t 2 1
t 1
t 1
=
Aplicando límite se tiene
=
65




4.- F (t ) : cos i  sent j  (t  1) k
t 0
=
Aplicando límite, se tiene
=
PROPIEDADES


Sean las funciones vectoriales f y g tal que


Lim f (t )  a
t t0


Lim g (t )  b y Lim  (t )  L
t t0
t t0
Entonces se tiene



Lim( f  g )(t )
t t 0
t t 0
 
t t 0

t t0
t t 0


t t 0


t t0
t t 0

 Lim  (t ). Lim f ( t )
t t 0
t t 0

Producto Vectorial



Lim( . f )(t )
Producto Interno
 a xb
t t 0
 L. a
t t 0
Suma o diferencia
 
 a .b
 Lim f (t ) x Lim g (t )
Lim( f x g )(t )

 a b
 Lim f (t ) . Lim g (t )
Lim( f . g )(t )



 Lim f (t ) Lim g (t )
Producto
escalar
de un
por
un
vector
7.1.5.-CONTINUIDAD DE UNA FUNCION VECTORIAL



Sea f una función vectorial y t0 Є Dom( f ), diremos que la función f es continua en t0 sii

a).- f (t 0 ) existe

b)- Lím f (t ) existe
t t 0


c).- Lím f (t )  f (t 0 )
t t0
66
OBSERVACION
Si la función no cumple con algunas de estas condiciones se dice que la función vectorial no
es continua o discontinua en el punto t0
EJEMPLOS
I.-Analizar si la siguientes funciones vectoriales es continua en el punto que se indica.

1.- f (t ) : (cos t , sent, t ),
t 0

2.- f (t ) : (cos t ,1  sent,2  sent),
t 2  2t  3 t 2  5t  6
3.- f (t )  (3,
, 2
)
t 3
t 9


4.- f (t ) : (2 cos t ,3
t 0
t 3
sent
, cos t ),
t
t0

5.- f (t ) : (e t cos t , e t sent, e t ),
t 0
SOLUCIÓN

1.- f (t ) : (cos t , sent, t ),
t 0
Usaremos la definición de continuidad

a).- f (0)  (cos 0, sen0,0)  (1,0,0) es un vector en R3 por tanto existe

b).- Lím f (t )  ( Lím cos t , Lím sent, Lím t )  (1,0,0) existe
t 0
t 0

t 0
t 0

c).- Lím f (t )  f (0)
t 0
Luego la función vectorial cumple con las tres condiciones de continuidad
Por lo tanto la función vectorial dada es continua en t0=0

2.- f (t ) : (cos t ,1  sent,2  sent),
t 0
Similarmente como en el ejemplo anterior, usaremos la definición de continuidad
67

a).- f (0)  (cos 0,1  sen0,2  sen0)  (1,1,2) es un vector en R3 por tanto existe

b).- Lím f (t )  ( Lím cos t , Lím(1  sent ), Lím(2  sent ))  (1,1,2) existe
t 0
t 0

t 0
t 0

c).- Lím f (t )  f (0)
t 0
Luego la función vectorial cumple con las tres condiciones de continuidad
Por lo tanto la función vectorial dada es continua en t0=0

3.- f (t )  (3,
t 2  2t  3 t 2  5t  6
, 2
)
t 3
t 9
t 3
Usando la definición de continuidad.

0 0
0
a).- f (3)  (3, , )  (1, ,0) notamos que la segunda coordenada del vector no tiene
0 18
0
significado, por lo que la imagen de t =3 no existe
Luego la función vectorial dada no es continua en t0=3

4.- f (t ) : (2 cos t ,3
sent
, cos t ),
t
t0
Usando la definición de continuidad

a).- f (0)  (2 cos 0,3
sen0
0
, cos 0)  (2, ,1) de igual manera la segunda coordenada del vector
0
0
no tiene significado, por lo que la imagen de t =0 no existe
Luego la función vectorial dada no es continua en t0=0

5.- f (t ) : (e t cos t , e t sent, e t ),
t 0
Usando la definición de continuidad

a).- f (0)  (e 0 cos 0, e 0 sen0, e 0 )  (1,0,1) es un vector en R3 por tanto existe

b).- Lím f (t )  ( Lím e t cos t , Lím e t sent, Lím e t )  (1,0,1) existe
t 0
t 0
t 0
t 0
68


c).- Lím f (t )  f (0)
t 0
Luego la función vectorial cumple con las tres condiciones de continuidad
Por lo tanto la función vectorial dada es continua en t0=0
OBSERVACIÓN
Hay casos en la cual la imagen de la función vectorial no está definida en un punto, pero el
limte existe alrededor de dicho punto; ó que la imagen de dicho punto esta definida pero no
coincide con el limite de la función. En ambos
casos la función no es continua osea
discontinua; por lo tanto, la función tiene una discontinuidad evitable, es decir podemos
redifinir la función vectorial tal que sea continua en ese punto.
EJEMPLO
Analizar la continuidad de la función vectorial en el punto que se indica.
 e t  1 cos t  1
,
,1  t ),
(
Si f (t )   2t
t2
(1 / 2,0,1),

t0
t0
SOLUCIÓN
La imagen de la función vectorial en t=0 es el vector (1,0,1)
Calculando el límite:
e t  1 cos t  1
et  1
cos t  1
Lím (
,
, t )  ( Lím
, Lím
, Lím (1  t ))  (1 / 2,1 / 2,1)
2
t 0
t

0
t

0
t 0
2t
2t
t
t2
Por tanto la imagen de la función en t=0 es distinta al límite. luego la función vectorial es
discontinua en t=0
Aplicando la obervación se tiene que la nueva función vectoeial será:
 e t  1 cos t  1
,
,1  t ),
(
f (t )   2t
t2
(1 / 2,1 / 2,1),


t0
t0
69
PROPIEDADES DE CONTINUIDAD


Sean f y g dos funciones vectoriales continuas en t0
Entonces.


1.- f  g es continua en t0

2.-  . f es continua en t0 donde   R
 
3.- f . g es continua en t0


4.- f x g 2es continua en t0
OBSERVACIÓN
Para demostrar estas propiedades basta con aplicar la siguiente definición.

La f (t )  ( f1 (t ), f 2 (t ), f 3 (t )) vectorial es continuas en t0 si y solo si cada función coordenada
es continua en t0
Por ejemplo. Demostraremos la primera propiedad


Supongamos que f (t )  ( f1 (t ), f 2 (t ), f 3 (t )) y g (t )  ( g1 (t ), g 2 (t ), g 3 (t ))
Dos funciones vectoriales continuas en t0 entonces las funciones coordenadas f1 , f 2 , f 3 y
g1 , g 2 , g 3 son continuas en t0, sumando f1  g1 , f 2  g 2 , f 3  g 3 son continuas en t0.
Luego la primera propiedad se cumple.
2
El producto vectorial es definida en R3
70
7.1.6.-DERIVADA DE UNA FUNCION VECTORIAL



Sea f una función vectorial y t0 Є Dom( f ), diremos que la función f tiene derivada en t0


f (t )  f (t 0 )
y lo denotamos por f ' si f '(t 0 ) : Lim
siempre que este límite exista y sea
t t 0
t  t0


finito
PROPIEDADES





1.-Si la función vectorial f es definida por f (t ) : f1 (t ) i  f 2 (t ) j  f 3 (t ) k entonces:




f '(t ) : f 1 ' (t ) i  f 2 ' (t ) j  f 3 ' (t ) k
siempre que las funciones derivadas
f1 ' , f 2 ' y f 3 '
existan.


f
2.-Sean las funciones vectoriales
y g diferenciables y sea α una función real


 



diferenciable, en un intervalo entonces f  g y f . g .y f x g y  . f son diferenciables.
Y se cumple:




Derivada de una Suma o Diferencia
a).- ( f  g )' (t ) : f ' (t )  g '(t )
 




Derivada de un producto Escalar
b).- ( f . g )' (t ) : f ' (t ) . g (t )  f (t ) . g '(t )






Derivada de un Producto Vectorial
c)- ( f x g )' (t ) : f ' (t ) x g (t )  f (t ) x g '(t )


Derivada de un producto de un

d).- ( . f )' (t ) :  ' (t ). f (t )   (t ). f '(t )
escalar y un vector
EJEMPLOS
I.-Calcular derivada de las siguientes funciones vectoriales en el punto indicado

1.- f (t )  (cos t , sent, t ),

2.- f (t )  (t 2 , t 3 , t ),
t0
t 1
71

3.- f (t )  (e t , e t , t 5 ),
t0

4.- f (t )  (t cos t , tsent, t ),

5.- f (t )  ( t , t 3 , t 2 ),
t0
t 1
SOLUCIÓN

1.- f (t )  (cos t , sent, t ),
t0
Editando la función vectorial
=
Aplicando el operador diferencial dado por maple.
=

Por tanto, obtenemos la derivada de la función vectorial f

2.- f (t )  (t 2 , t 3 , t ),
t 1
=
Aplicando la derivad obtenemos
=

3.- f (t )  (e t , e t , t 5 ),
t0
=
=

4.- f (t )  (t cos t , tsent, t ),
t0
=
=
72

5.- f (t )  ( t , t 3 , t 2 ),
t 1
=
=
Para este último ejemplo evaluemos la derivada en t= 1, se tiene
=
7.1.7.-INTEGRAL DE UNA FUNCION VECTORIAL
DEFINICIÓN DE INTEGRAL INDEFINIDA





Sea la función vectorial f es definida por f (t ) : f1 (t ) i  f 2 (t ) j  f 3 (t ) k entonces:

La integral indefinida de f es dado por






f (t ) dt   f 1 (t ) dt i   f 2 (t ) dt j   f 3 (t ) dt k  c

Donde c es la constante de integración.
DEFINICION DE UNA INTEGRAL DEFINIDA

Sea la función vectorial



f
es definida en un intervalo abierto I=] a, b [ y por

f (t ) : f1 (t ) i  f 2 (t ) j  f 3 (t ) k entonces:
Para dos puntos distintos a y b Є I se tiene
b 
b 
a
a


b 

b 

f (t )dt   f 1 (t )dt i   f 2 (t )dt j   f 3 (t )dt k
a
a
PROPIEDADES
73
 
1.-Sean f , g : a, b  R3

funciones
vectoriales
integrables,
entonces
la
función

 . f   g  ,   R es integrable en a, b y se tiene
b


b 
b 
a
a
 ( f   g )(t )dt   . f (t )dt   . g (t )dt
a

2.-Si f : a, b  R 3

es una función vectorial integrables y c es un vector constante,
 
 
entonces las funciones c . f
y cx f
b
 b 
 
 ( c . f )(t )dt  c . f (t )dt
a
b

es integrable en a, b y se tiene


b 
 ( c x f )(t )dt  c x f (t )dt
y
a
a
a


3.-Si f : a, b  R 3 es una función vectorial integrables y f es integrable en a, b y se
tiene
b 
b 
 f (t )dt  
a
f (t ) dt
a
7.1.8.-TEOREMAS FUNDAMENTALES
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO PARA FUNCIONES VECTORIALES

Sea la función vectorial f continua en un intervalo abierto I=] a, b [ y sea t0 Є I, entonces:
t 

Dt  f (t )dt  f (t ), t  I
t0
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO PARA FUNCIONES VECTORIALES




Si f (t ) : f1 (t ) i  f 2 (t ) j  f 3 (t ) k tiene derivada continua sobre el intervalo abierto I=] a, b [
b



Entonces  Dt f (t )dt  f (b)  f (a)
a
EJEMPLOS
74
I.-Calcular las integrales de las siguientes funciones

1.- f (t )  (cos t , sent, t )

1
2.- f (t )  (e ( 2t ) , , t 3 )
t

3.- h (t )  (t 3 , sen(4t ), t )
SOLUCIÓN
Editamos la función
=
Aplicando el comando integral int de maple
=

1
2.- f (t )  (e ( 2t ) , , t 3 )
t
=
=

3.- h (t )  (t 3 , sen(4t ), t )
=
=
II.-Calcular las integrales de las siguientes funciones en el intervalo indicado

1.- f (t )  (cos t , sent, t ), 0  t   / 2

1
2.- f (t )  (e ( 2t ) , , t 3 ), 1  t  2
t
75

3.- f (t )  (t 3 ,4  t , t ), - 1  t  1
SOLUCIÓN

1.- f (t )  (cos t , sent, t ), 0  t   / 2
Editando la función
=
Usando el comando int de maple en el intervalo pedido
int
=
=

1
2.- f (t )  (e ( 2t ) , , t 3 ), 1  t  2
t
=
=

3.- f (t )  (t 3 ,4  t , t ), - 1  t  1
=
=
Por tanto la integral será el vector (0,8,0).
76
7.2.-CURVAS EN EL ESPACIO
7.2.1.-DEFINICIÓN
Una función vectorial define curvas en el plano o en el espacio, éstas curvas pueden ser
simples, cerradas y cerradas con punto doble
A continuación definimos éstas curvas.
La Curva C es una curva cerrada en un intervalo cerrado


I =[a, b] si  (a)   (b)
La Curva C es una curva con puntos dobles si


 (t1 )   (t 2 ), t1  t 2
La Curva C es una curva simple si no posee puntos
dobles.
Para nuestro propósito estudiaremos aquellas curvas que no presentan puntas o picos.
Es decir, curva suave en la cual exista la derivada, y estas son las curvas regulares.
7.2.2-DEFINICIÓN DE UNA CURVA REGULAR


Se dice que la Curva C es una curva Regular si es de clase C1 y  '(t )  0 , t  a, b
OBSERVACIÓN
Una curva es de clase C1 si existen sus primeras derivadas y éstas son continuas en un
intervalo abierto.
EJEMPLOS
Las curvas dadas son regulares
77

1.-  (t )  (cost , sent,0)

2.-  (t )  ( R 2  a 2 cos t , R 2  a 2 sent, a)

3.-  (t )  (a cos t , asent, bt ), a  0, b  0
En efecto

1.-  (t )  (cost , sent,0)
=
=
Por tanto, la derivada no es cero para todo t en los reales
Luego, la curva es regular

2.-  (t )  ( R 2  a 2 cos t , R 2  a 2 sent, a)
=
=
Por tanto, la derivada no es cero para todo t en los reales
Luego, la curva es regular

3.-  (t )  (a cos t , asent, bt ), a  0, b  0
=
=
Por tanto, la derivada no es cero para todo t en los reales
Luego, la curva es regular
78
7.2.3.-PARAMETRIZACIÓN DE UNA CURVA REGULAR, GRAFICA
Se dice que la curva C C R3 es una curva parametrizada, si existe una función vectorial


 : a, b  R  R 3 tal que  (a, b)  C
OBSERVACIÓN

A la función vectorial  se le llama parametrización de la curva C.
EJEMPLOS
I.-Encontrar una parametrización y graficar de las curvas siguientes
1.- C : z 2  x 2  y 2
x 2  y 2  36
2.- C : 
z  z
SOLUCION
1.- C : z 2  x 2  y 2
Parametrizando se tiene

 (t )  (t cos t , tsent, t ), t  0
Usaremos el comando plot3d de maple que se encuentra en el menú de herramientas.
 x 2  y 2  36
2.- C : 
z  z
79
Parametrizando la curva se tiene

 (t )  (9 cos t ,4sent, t ), t  0
Usaremos el comando plot3d de maple.
7.2.4.-LONGITUD DE ARCO


Sea  : a, b  R  R 3 una curva regular definida por  (t)  (1 (t ), 2 (t ), 3 (t ))

Si P   (t1 ) y Q   (t 2 ) entonces la LONGITUD DE ARCO de la curva  desde P hasta
Q esta dado por:
t1

L( PQ)    ' (t ) dt
t0
OBSERVACIÓN

La
función
longitud
de
arco
de
una
t 
s(t )  L(t )    ' (t ) dt , t  a, b
t0
EJEMPLOS
I.-Calcular la longitud de arco de las curvas siguientes

1.-  (t )  (2 cos t ,2sent ),
t 0  0  t 1  2
80
curva

esta
dado
por

2.-  (t )  (t , t , t ),
t 0  1  t1  2

3.-  (t )  (t , t 2 , t ),
t 0  0  t1  1

4.-  (t )  (3t cos t ,3tsent,4t ),
t0  0  t1  4
SOLUCIÓN

1.-  (t )  (cos t , sent),
t 0  0  t 1  2
Editando la función y usando el comando ArcLongth de maple, se tiene
=

2.-  (t )  (t , t , t ),
t 0  1  t1  2
Editando la función y usando el comando ArcLongth de maple, se tiene
=

3.-  (t )  (t , t 2 , t ),
t 0  0  t1  1
Editando la función y usando el comando ArcLongth de maple, se tiene
=

1
1
4.-  (t )  (t ,1, t 3  t 1 ),
6
2
t 0  1  t1  3
=
81
7.2.5.-VECTORES UNITARIOS: TANGENTE, NORMAL PRINCIPAL Y
BINORMAL
VECTOR TANGENTE UNITARIO.

Sea  : a, b  R  R 3 una curva regular.
El vector tangente unitario, T(t) en la

dirección de  '

T (t ) :
 ' (t )

 ' (t )
OBSERVACIÓN 1
Se demuestra que T (t )  T ' (t )
VECTOR NORMAL PRINCIPAL.
El vector unitario que tiene la misma


dirección que T ' (t)  0 se denomina
Normal principal a la curva.


N (t ) :
T ' (t )

T ' (t )
EJEMPLOS
I.-Calcular el vector tangente unitario y el vector normal principal de las siguientes curvas.

a).- f (t )  (t 2 , t )
82

b).- f (t )  (t , t 2 , t 3 )

c).- f (t )  (e t cos t , e t .sent, e t )
SOLUCIÓN

a).- f (t )  (t 2 , t )
Editando la función
=
Aplicando el comando TangentVector asociado a normalized de maple, para hallar el vector
unitario de la curva
=
Aplicando el comando PrincipalNormal de maple para hallar el vector normal principal de la
curva
=

b).-  (t )  (t , t 2 , t 3 )
=
=
83
=

c).- f (t )  (e t cos t , e t .sent, e t )
=
=
=
OBSERVACIÓN 2

Se demuestra que



T (t ) x N (t )  1, t

Además B(t ) : T (t ) x N (t ) llamado vector Binormal unitario.
EJEMPLO
Hallar el vector Binormal a la curva dado por

a).- f (t )  (e t cos t , e t .sent, e t )
84
SOLUCIÓN
Aplicando el comando Binormal normalizado de maple se obtiene la Binormal de la curva
=
OBSERVACIÓN 3


Si T (t )  0 , t  a, b entonces el movimiento es lineal
Por tanto al conjunto formado por los vectores principales: Tangente, Normal y Binormal



unitario T (t ), N (t ), B (t )  se lo llama TRIEDRA MOVIL de la curva C.


EJEMPLOS
Calcular la triadra móvil en el punto indicado de las siguientes curvas

a).- f (t )  (cost , sent, t ), t  0

b).- f (t )  (t , t 2 , t 3 ), t  1

c).- f (t )  (t cos t , tsent, t ), t  0

d).- f (t )  (t 2 , cos t , sent), t  0
SOLUCIÓN

a).- f (t )  (cost , sent, t )
=
Aplicando el comando TNBFrame de maple, obtenemos el vector Binormal de la curva en
cualquier t real.
85
=
La triada móvil en el punto t=0 esta dado por
=

b).- f (t )  (t , t 2 , t 3 )
=
Aplicando el comando TNBFrame de maple, obtenemos el vector Binormal de la curva en
cualquier t =1
=
Vector tangente unitario es dado por. 1,0,0 , vector normal principal es dado por 0,1,0
Vector Binormal es el vector 0,0,1
86

c).- f (t )  (t cos t , tsent, t )
=
La triadra móvil en cualquier t real
=
En particular, para t=0, se tiene
87
=

d).- f (t )  (t 2 , cos t , sent)
=
En todo t , la Triada móvil es dado por:
=
88
Evaluando en t = 0, se tiene
=
De este vector columna se puede obtener:
Vector tangente unitario es dado por. [0,0,1],
1
2

Vector normal principal es dado por  5 ,
5 ,0 
5
5

2
1

Vector Binormal es el vector  5 ,
5 ,0 
5
5

7.2.6.-RECTA TANGENTE, NORMAL Y BINORMAL





Sea  : a, b  R  R 3 un curva de clase C2 y  ' (t)  0, y  ' ' (t)  0 , t  a, b


1.-LA RECTA TANGENTE a la curva  en el punto  (t 0 ) es definido por:



LT   (t 0 )   T (t 0 ) /   R 




2.-LA RECTA NORMAL a la curva  en el punto  (t 0 ) es definido por:



Ln   (t 0 )   N (t0 ) /   R 




3.-LA RECTA BINORMAL a la curva  en el punto  (t 0 ) es definido por:
89



L B   (t 0 )   B (t 0 ) /   R 


EJEMPLOS
Calcular la recta tangente a la curva en el punto que se indica

a).- f (t )  (t , t 2 , t 3 ), t  1

b).- f (t )  (cos t , sent,2t ), t  0

c).- f (t )  (e t cos t , e t sent, e t ), t  0
SOLUCIÓN

a).- f (t )  (t , t 2 , t 3 )
Editando la función
=
Aplicando el comando TangentLine de maple obtenemos la recta tangente en t=1
=
Al descomponer éste vector nos da la recta tangente en t=1 que pasa por el punto (1,1,1) y
tiene vector director [1,2,3].
Graficando la curva

b).- f (t )  (cos t , sent,2t ), t  0
Editando la función
=
Aplicando el comando TangentLine de maple obtenemos la recta tangente en t=0
90
=
Al descomponer y evaluar éste vector nos da la recta tangente en t=0 que pasa por el punto
(-1,1,2pi) y tiene vector director [0,-1,2].

c).- f (t )  (e t cos t , e t sent, e t ), t  0
Editando la función
=
Aplicando el comando TangentLine de maple obtenemos la recta tangente en t=0
=
Al descomponer éste vector nos da la recta tangente en t=0 que pasa por el punto
(1,0,1i) y tiene vector director [1,1,1].
7.2.7.-PLANO OSCULADOR, NORMAL Y RECTIFICANTE
1.-El Plano OSCULADOR es el plano generado por el vector tangente y la normal principal


T (t 0 )x N (t 0 ) es decir.
;

PO :
B(t 0 ).( P  P0 )  0
2.-El Plano NORMAL PRINCIPAL es el plano generado por el vector Normal y la


Binormal N (t 0 )x B (t 0 ) es decir.

PN :
T(t 0 ).( P  P0 )  0
91
3.-El Plano RECTIFICANTE es el plano generado por el vector tangente y la Binormal


B (t 0 )x T (t 0 ) es decir.

PR :
N (t 0 ).( P  P0 )  0
EJEMPLOS
I.-Hallar las ecuaciones de los planos: Normal principal, Rectificante y Osculador a la curva
 x 2  y 2  z 2  6
en el punto P0(1, 1, 2).
C : 2
 x  y 2  z 2  4
SOLUCIÓN
Parametrizando la curva:
Proyectando la curva C al plano XZ : C XZ : x 2  z 2  5
 x  5 cos t
Reparametrizando C XZ : 
,
 z  5sent
t  0,2 

Buscando to. Sea t 0  0,2  tal que  (t 0 )  ( 5 cos t 0 ,1, 5sent 0 )  (1,1,2)
Entonces cos t 0 
1
5
y
sent 0 
2
5

 ' (t 0 )  ( 5sent 0 ,0, 5 cos t 0 )  (2,0,1)

Por tanto T (t 0 ) 


1
1
( 2,0,1) , N (t 0 ) 
(1,0,2) y B (t 0 )  (0  1,0)
5
5
Así tenemos:
PN :
2x  z  0
PR :
x  2z  5  0
…. P0
92
:
y 1
7.2.8.-CURVATURA Y TORSION
DEFINICIÓN

Si  (t ) es el vector posición de la curva C.

Entonces el vector curvatura,

determinado por K ( t ) 
K (t ) está
T ' (t )

donde
 '(t )

T (t ) es el vector tangente unitario.
La curvatura de P es mayor que Q
OBSERVACIÓN

La curvatura es dado por k  K (t )
PROPIEDAD

Si  (t ) es el vector posición de la curva C. Entonces la curvatura, k está determinado por.


 ' (t ) x  ' ' (t )
k (t ) 

3
 ' (t )
DEFINICION DE RADIO DE CURVATURA
Llamaremos centro de curvatura de C al punto:




c (t 0 )   (t 0 )   (t 0 ) N (t 0 )  donde N


es el vector normal principal.
93
DEFINICION DE TORSION
La torsión es un número real que indica el levantamiento de la curva C en un punto respecto
de su plano Osculador en dicho punto.
PROPIEDAD

Si  (t ) es una curva parametrizada arbitraria entonces la torsión es dado por.

 (t ) 


 ' (t ) x  ' ' (t ).  ' ' ' (t )

2




siempre que  ' (t ) x  ' ' (t )  0
 ' (t ) x  ' ' (t )
PROPIEDAD

Si  (s) es una curva parametrizada por longitud de arco entonces la torsión es dado por.

 (s) 


 ' ( s ) x  ' ' ( s ).  ' ' ' ( s )


2
 ' (s) x  ' ' (s)
EJEMPLOS
1.-Hallar la curvatura y la torsión de las siguientes curvas

a).- f (t ) : (t , t , t )

b).- f (t ) : (cos t , sent,0)

c).- f (t ) : (cos t , sent, t )

d).- f (t ) : (t , , t 2 , t 3 )
SOLUCIÓN

a).- f (t ) : (t , t , t )
Editando la función vectorial
=
94
Aplicando los comandos de maple: Curvature y torsión
=
=
Por lo tanto, se demuestra que la curvatura y la torsión de la recta es cero.

b).- f (t ) : (cos t , sent,0)
=
=
=

c).- f (t ) : (cos t , sent, t )
=
:
=
=
95

d).- f (t ) : (t , , t 2 , t 3 )
=
=
=
=
7.3.-CÁLCULO DIFERENCIAL VECTORIAL
7.3.1.-DEFINICIONES
1.-Dada la función F:RmRn tal que
F(x1,x2,..,xm)=(F1(x1,..,xm),F2(x1,..,xm),..,Fn(x1,.xm))
Se dice que la función vectorial F es diferenciable en el punto a=(a1,a2,…,am) si lo son sus n
componentes F1, F2,…, Fn
2.-Para la matriz anterior se define la matriz Jacobiana como
96
 F1

 x1
 F2
 x
 ( F1 , F2 ,..., F3 )  1
J
 .
 ( x1 , x 2 ,..., x n ) 
.

 .
 Fn1
 x
 1
F1
x 2
F2
x1
.
F1
x3
F2
x1
.
F1
x n
F2
. .
x1
. .
.
.
.
. .
.
Fn
x1
.
Fn
x1
. .
. .
.
.
Fn
. .
x1













Maple habilita en el paquete linalg el comando jacobian que calcula jacobianos
Jacobian([F1, F2,…, Fn],[x1,x2,..,xn])
:Calcula J 
 ( F1 , F2 ,..., Fn )
 ( x1 , x 2 ,..., x n )
EJEMPLOS
1.-Calcular la matriz jacobiana para la siguiente función
F(x,y,z)=(ex,cosy,senz) y hallar su valor en el punto (0, -pi/2, 0)
SOLUCIÓN
Definimos la función dada F , Luego aplicamos el comando jacobian a la función definida
Luego, el jacobiano es dado por la matriz:
Para evaluar el jacobiano en el punto (0, -pi/2, 0) editamos la matriz jacobiano
Luego, reemplazando el punto
97
Se tiene lo requerido
2.-Calcular la matriz jacobiano para la siguiente función
F(x,y)=(x+y, x/(x+v)) , y hallar su valor en el punto (1, 1)
SOLUCIÓN
En forma análoga al ejemplo anterior se tiene
Para evaluar el jacobiano en el punto (1,1) editamos la matriz jacobiano
Luego, reemplazando el punto
se tiene
7.3.2.-REGLA DE LA CADENA
DEFINICIÓN
Sean las funciones vectoriales definidas como g : UCRnVCRm, y f : RRp donde U y V
son conjuntos abiertos y existe la función compuesta (fog):RnRp . Si la función g es
diferenciable en xo y f es diferenciable en g(xo), entonces fog es diferenciable en xo., y
además se cumple que:
D(fog)(xo):=Df(g(xo)*Dg(xo)
Maple aplica directamente la regla de la cadena sólo con proponerle la diferenciación
98
de la composición.
EJEMPLOS
1.-Sea f(x,y) = x2 + y y sea h(u) (sen(3u),cos(8u)), y sea g(u)=f(h(u))
Calcular dg/du en u= 0.
SOLUCIÓN
Editemos vía maple las funciones: f, h y u, como sigue
Ahora, componemos las funciones editadas
Aplicando el comando diferencial, se tiene
Editando la composición ultima
Sustituyendo en esta nueva función, se tiene
Simplificando se tiene lo esperado
99
Por tanto , el valor de la derivada evaluado en el punto u=0 es 0
2.-Calcular las derivadas parciales de dz/dx, y dz / dy sabiendo que:
z
u2  v2
u2  v2
u  e x y
y
v  e xy
SOLUCIÓN
Editemos las funciones f y g
Ahora definimos la función vectorial
Editemos la composición
Editando y ejecutando la operación derivada
Se tiene
Simplificando
100
Ahora el problema se reducirá a hallar las derivadas parciales de esta expresión respecto a
“x” y de “y”
Por tanto, estas expresiones son las derivas parciales con respecto a “x”
y a “y”
respectivamente.
7.3.3.-TEOREMA DE LA FUNCIÓN IMPLÍCITA
TEOREMA
Sea la función vectorial F: ACRn+mRm,, donde A es abierto de Rn+m tal que
F(x,y)=(F1(x,y),F2(x,y),..,Fm(x,y))
Si Fi (i=1,2,..,m) son derivables con derivadas continuas hasta el orden r y la matriz
jacobiana de valor J 
 ( F1 , F2 ,..., Fm )
 ( y1 , y 2 ,..., y m )
tiene determinante distinto de cero en un punto
(xo,yo) tal que F(xo,yo)=0, entonces existe un intervalo abierto U C Rn que contiene a xo y
un abierto VCRm que contiene a yo y también existe una única función f: UV tal que
F(x,f(x))=0 para todo x en U y f es diferenciable de orden r con derivadas continuas
101
EJEMPLOS
1.-Dado la ecuación:
x 3  3 y 2  8xz 2  3 yz 3  1
Calcular
z  z  2 z  2 z
,
,
y
 x  y  x 2 y 2
SOLUCIÓN
Editando la función f
Diferenciando con respecto a z, se tiene
Diferenciando respecto a x, se tiene
Diferenciando respecto a y, se tiene
Aplicando la formula
Definimos la función g
Diferenciando respecto a x, que equivale a la segunda derivada parcial respecto a x, se tiene
102
Diferenciando respecto a y, que equivale a la segunda derivada parcial respecto a y, se tiene
2.-Mostrar que cerca del punto (x,y,z,w)=(1,1,1,1) se puede resolver el sistema de
ecuaciones:
 xu  yvu 2  2
 3
 xu  y 2 v 4  2
de manera única para u y v como funciones de x e y.
SOLUCIÓN
Basta usar la definición de la función implícita
En efecto
Editando f1 , f2 :
Hallando el jacobiano
Evaluando el punto (1,1,1,1) en el jacobiano
103
Finalmente calculando el determinan del jacobiano
Por lo que es didtinto de cero. Luego el sistema propuesto se puede resolver de manera única.
7.3.4.-TEOREMA DE LA FUNCIÓN INVERSA
TEOREMA
Sea la función vectorial F: UCRnRn,, donde U es abierto de Rn tal que
F(x,y)=(F1(x1,x2,..xn),F2(x1,x2,..xn),..,Fn(x1,x2,..xn)) de modo que F es derivable con
derivada continua.
  ( F1 , F2 ,..., Fn ) 
  0 en xo, entonces existen un abierto A
Si existe un xo tal que det J  det 
  ( x1 , x 2 ,..., x m ) 
que contiene a xo y un abierto B que contine a F(xo) cumpliéndose que F(A)= B y F tiene
una función inversa F(-1):BA derivable con derivada continua. Además, se cumple que
DF-1(y)=[DF(x)](-1) y si J 
 ( F1 , F2 ,..., Fn )
1
entonces (det( J ) ( 1) 
det( J )
 ( x1 , x 2 ,..., x m )
EJEMPLOS
x4  y4
1.-Dada la función vectorial F(x,y)=(u(x,y),v(x,y)) donde u ( x, y ) 
y
x
v( x, y )  sen( x)  cos( y )
Hallar las condiciones para que exista la función vectorial inversa(x(u,v), y(u,v)) y hallar la
deriva y el jacobiano de la transformación inversa.
SOLUCIÓN
Las condiciones a cumplir serán las hipótesis de la función inversa.
Calculando el jacobiano de la función vecotrial F
104
Se tiene
Calculemos su determinante
Por lo tanto, en los puntos donde esta expresión no se anule, se puede resolver para x e y en
términos de u y v. Además también ha de cumplirse que x sea diferente de cero.
Calculamos la derivada de la función inversa. Su valor será la matriz inversa de la matriz
jacobiana inicial y el determinante de su jacobiano será el reciproco del determinante del
jacobiano inicial.
En efecto.
Notamos que el determinante del jacobiano de la función inversa es el reciproco del
determinante del jacobiano de la función.
Comprobando
105
2.-Demostrar que la transformación entre coordenadas cartesianas y polares cumple las
hipótesis del teorema de la función inversa
SOLUCIÓN
Las ecuaciones de transformación de coordenadas rectangulares a polares:
 x  r cos( )

 y  rsen ( )
Es evidente que estas funciones son derivables con derivadas parciales continuas.
Faltaría ver si el jacobiano es distinto de cero
En efecto
Editamos y calculando el Jacobiano
Calculando el determinante del Jacobiano
Por lo tanto, cumple con las hipótesis del teorema, ya que el radio r es distinto de cero.
3.-Demostrar que la transformación entre coordenadas cartesianas y cilíndricas cumple las
hipótesis del teorema de la función inversa
 x  r cos( )

 y  rsen ( )
z  z

SOLUCIÓN
Editando y calculando el Jacobiano
106
Calculando el determinante del Jacobiano
Por tanto, las hipótesis del teorema se cumplen.
4.-Demostrar que la transformación entre coordenadas cartesianas y esféricas cumple las
hipótesis del teorema de la función inversa
 x   cos( ).se ( )

 y  sen ( ).sen ( )
 z   cos( )

SOLUCIÓN
Editando y calculando el Jacobiano
Calculando del determinante
Por tanto, las hipótesis del teorema se cumplen. Ya que ρ y Φ distinto de cero.
107
7.3.5.-EL TEOREMA DEL CAMBIO DE VARIABLE
TEOREMA
Supongamos que conocemos una función f(x,y) que depende de las variables originales x e y
que cumplen todas las condiciones de derivabilidad y continuidad necesarias.
Introducimos nuevas variables u y v que se relacionan can las anteriores mediante las
funciones u=u(x,y) y v=v(x,y) de modo que las funciones u y v también cumplen las
condiciones de derivabilidad y continuidad necesarias(teorema de la función inversa) para
poder despejar x e y en función de u y v, x= x(u,v) e y=y(u,v).
Bajo las condiciones anteriores, es posible expresar la función inicial f en función de las
nuevas variables u y v mediante la expresión.
f(u,v)=f(x(u,v),y(u,v)) det(J), siendo J el jacobiano
 ( x(u , v), y (u , v))
 (u , v)
EJEMPLOS
1.- Dada la transformación lineal u ( x, y )  x  y, v( x, y )  x
Calcular f(u,v) sabiendo que f ( x, y)  e x y
SOLUCIÓN
Editando la función
Las condiciones del teorema de la función inversa se cumplen, Luego haciendo el cambio de
variable se tiene:
Usando el jacobiano
108
Aplicando obtenemos
La función pedida.
2.- Dada la transformación u ( x, y )  x. y, v( x, y )  x  x. y
Calcular f(u,v) sabiendo que f ( x, y)  e x y
SOLUCIÓN
Editando la función
Hallamos directamente la transformación inversa y su jacobiano para poder aplicar el cambio
de variable.
109
Esta última función es la pedida.
3.-Dada la transformación u ( x, y )  x 
y
 e y / 2 v ( x, y )  x  y  e y / 2
2
Calcular f(u,v) sabiendo que f ( x, y )  x  2 y
SOLUCIÓN
Editando la función
Resolviendo el cambio de variable en términos de u y v
Calculando el Jacobiano
Calculando la función en términos de u y v
Se tiene:
110
7.3.6.-CAMPOS
VECTORIALES:
ROTACIONAL,
DIVERGENCIA
Y
LAPLACIANO
DEFINICIONES
1.-Si h=f(x,y,z), entonces el gradiente de f, que se denota mediante Δf(x,y,z), es vector:
grad  f ( x, y , z ) 
f ( x, y , z )
f ( x, y , z )
f ( x, y , z )
i
j
k
x
y
z
2.-Un campo vectorial F se llama conservativo si existe una función diferenciable f tal que
F=Δf A la función f se conoce como función potencial escalar de F
3.-El rotacional del campo vectorial F(x,y,z)=Mi+Nj+Pk tiene la siguiente expresión:
xF ( x, y , z )  (
P N
P M
N M

)i  (

)j(

)k
y z
x
z
x
y
4.-El rotacional del campo vectorial F tiene potencial vector a otro campo G si
F=rotacional(G)
5.-La divergencia del campo vectorial F(x,y,z)=Mi+Nj+Pk tiene la siguiente expresión:
divF ( x, y , z )  .F ( x, y , z ) 
M N P


x
y z
6.-El Laplaciano es el operador diferencial definido por
2  . 
2
2
2


x 2 y 2 z 2
Maple proporciona al efecto los siguientes comandos:
Grad(f,[x1,x2,…xn])
:Calcula el gradiente de f(x1,2,..,xn)
Potential([f1,..,fn],[x1,…,xn],p):
Dice
si
el
campo
vectorial
de
componentes [f1,..,fn] tiene potencial
escalar (para ello, el campo vectorial ha
de ser irrotacional o de rotacional nulo).
111
En caso afirmativo, p es el valor del
potencial escalar.
Curl([f1,..fn],[x1,..xn])
:Da el rotacional del campo vectorial de
componentes [f1,..,fn]
Vectpotent([f1,..fn],[x1,..xn],p)
:Dice
si
el
campo
vectorial
de
componentes [f1,..,fn] tiene potencial
vector(para ello, el campo vectorial ha de
ser incompatible o de divergencia nula.
En caso afirmativo, p es el valor del
potencial vector.
Diverge([f1,.,fn],[x1,…xn])
:Da la divergencia del campo vectorial de
componentes [f1,…,fn].
Laplacian(f,[x1,…xn])
:Calcula el Laplaciano de la función f.
EJEMPLOS
1.-Calcular el gradiente y el laplaceano de las funciones siguientes:
a) w( x , y , z , ) 
1
1 x2  y2  z2
b) z ( x, y )  e x seny  e y senx
c) z ( x, y )  sen.xseny
SOLUCIÓN
a) w( x , y , z , ) 
1
1 x  y2  z2
2
Editando la función
112
Calculando el gradiente
=
Calculando el laplaceano
=
Simplificando el laplaceano
=
b) z ( x, y )  e x seny  e y senx
=
c) z ( x, y )  sen.xseny
=
=
113
2.-Calcular el potencial escalar del campo vectorial F(x,y,z)=[1, 2y, 3z2]
SOLUCIÓN
Aplicando el comando potential a la función vectorial
La palabra True quiere decir que existe el potencial escalar del campo vectorial F
=
Luego la función potencial escalar del campo vectorial F está dado por
=
Comprobación por definición se tiene que F=Δf , el campo vectorial es igual al gradiente del
campo escalar
=
lqqd..
3.-Calcular el rotacional y la divergencia del campo vectorial
F ( x, y )  arctg
x
i  ln x 2  y 2 j  k
y
SOLUCIÓN
Usando el comando de la divergencia se tiene:
=
Simplificando
=
Calculando la divergencia
114
=
Simplificando
=
4.-Calcular el potencial vector, si es que existe, de los siguientes campos vectoriales
a)F(x,y,z)=[xz, -yz,y]
b)G(x,y,z)=[xcosy,-xseny, senx]
c)H(x,y,z)=[xcosy,-seny, senx]
SOLUCIÓN
a)F(x,y,z)=[xz, -yz,y]
Usando el comando vectpotent para saber si el campo F tiene potencial vector
.
Lo cual la palabra true significa que existe el potencial vector, con lo que la
divergencia del campo vectorial F será nula.
En efecto
:
Buscando el potencial vector, se tiene
=
Ahora, calculamos el rotacional del resultado anterior, se obtiene del campo vectorial F.
En efecto
=
b)G(x,y,z)=[xcosy,-xseny, senx]
SOLUCIÓN
Usando el comando para ver la existencia del potencial vector
115
, lqqd.
=
Por lo tanto, el vector potencial del campo vectorial no existe.
c)H(x,y,z)=[xcosy,-seny, senx]
,
Por lo tanto, el potencial vector será:
=
=
7.3.7.-GRAFICOS EN 3D DE CURVAS, CAMPOS VECTORIALES
Para graficar curvas en el espacio se debe tener en cuenta el comando Plots de maple
EJEMPLOS
1.-graficar las siguientes curvas en el espacio

a) f (t )  (cos t , sent , cos 2t )

b) f (t )  (cos t , sent , t )

c) f (t )  (3t cos t ,3tsent ,4t )

d) f (t )  (t 3  t 2 , t 3  t ,1)

e) f (t )  (e t , e  t , t )
SOLUCIÓN

a) f (t )  (cos t , sent , cos 2t )
116
La grafica de la curva presenta vectores unitarios: tangente (color azul), Normal Principal
(color verde) y el vector Binormal(color fucsia)

b) f (t )  (cos t , sent , t ), 0  t  6

c) f (t )  (3t cos t ,3tsent ,4t ), 0  t  4
117

d.- f (t )  (t 3  t 2 , t 3  t ,3 * t ^ 2),  4  t  10

e) f (t )  (e t , e  t , t )
2.-Graficar los campos vectoriales de las siguientes funciones vectoriales en el punto
indicado
a) F ( x, y, z )  ( y, x, z ) P (1,1,1)
b) F ( x, y, z )  ( seny, cos x, senz ) P(1,1,1)
118
c) F ( x, y, z)  ( y 2 , x, z 2 ) P(0,1,1)
SOLUCIÓN
a) F ( x, y, z )  ( y, x, z ) P (1,1,1)
b) F ( x, y, z )  ( seny, cos x, senz ) P (0,0,0)
119
c) F ( x, y, z)  ( y 2 , x 2 , z 2 ) P(0,1,1)
120
7.4.-PROGRAMACIÓN LINEAL, EL METODO DEL SIMPLEX
PROGRAMACIÓN LINEAL CON MAPLE
El problema clásico en programación lineal es la optimización de una función, denominada
función objetivo, que está sujeta a un conjunto de restricciones lineales, que pueden ser
igualdades y desigualdades.
METODO SIMPLEX
A continuación se da un resumen del método simplex para la solución de un problema
estándar de maximización en programación lineal.
1.-Las desigualdades se y transforman en igualdades mediante la introducción de las
variables de holgura.
2.-Inicialmente las variables básicas se toman como las variables de holgura
3.-Toda la información se vierte en un diagrama simplex inicial
4.-Se siguen los pasos 1 y 2 para elegir un pivote en u8n columna con un indicador positivo.
Un indicador positivo es un numero positivo en el renglón inferior
5.-Se se siguen los pasos 3 y 4 para pivotear con respecto al elemento escogido de 4
6.-Se continua con los pasos 4, y 5 hasta que se obtiene un diagrama terminal. Es decir un
diagrama en el que no aparecen indicadores positivos.
7.-La solución se obtiene leyendo el diagrama terminal: si f-M se encuentra en el cuadro
inferior derecho, entonces el valor máximo de f es M. Los valores de las variables básicas
aparecen en la columna de la derecha. Todas las variables no básicas están igualadas a cero.
Para evitar estos pasos Maple ofrece varios comandos que permiten solucionar rápidamente
el problema usando el paquete simplex Entre ellos tenemos los siguientes
With(simplex)
Carga la memoria los comandos de Maple
referentes al trabajo con programación lineal.
121
Convert({ineq1,.., ineqn},std)
Convierte las restricciones lineales definidas por
las inecuaciones(desigualdades no estrictas)en un
conjunto o lista de restricciones equivalentes en
la forma estándar (las constantes son aisladas en
el lado derecho de cada restricción)
feasible({ineq1,.., ineqn})
Determina cuando el sistema lineal representado
por las restricciones lineales no estrictas dadas y
por las desigualdades especificas tienen una
solución factible. Las inecuaciones han de estar
en la forma dada por el comando convert(std)
feasible({ineq1,.., ineqn},NONNEGATIVE
Indica cuándo el sistema tiene solución factible,
suponiendo que todas las variables son no
negativas.
feasible({ineq1,.., ineqn},UNRESTRICTED
Indica que todas las variables en el sistema no
tienen restricciones distintas de las dadas por las
inecuaciones. Es la opción por defecto.
maximize(expr,{ineq1,.., ineqn})
Maximiza el problema de programación lineal
cuya función objetivo viene dada por expr y
cuyas
restricciones
viene
inecuaciones especificadas.
122
dadas
por
las
maximize(expr,{ineq1,.., ineqn}),NO NNEGATIVE
Realiza la Maximización bajo condiciones de
que todas las variables en el problema de
programación lineal son no negativas
minimize(expr,{ineq1,.., ineqn}),UNRESTRICED
Indica que todas las variables en el problema de
programación
lineal
no
están
sujetas
a
restricciones diferentes de las dadas por las
inecuaciones. Es el valor por defecto.
Convert({ineq1,.., ineqn},stdle) o standardize({ineq1,.., ineqn})
Convierte las restricciones lineales dadas por las
inecuaciones
en
un
conjunto
o
lista
de
restricciones no estrictas, equivalente en la forma
estándar. Se utiliza previamente al cálculo del
problema dual.
dual(exp{ineq1,.., ineqn},nombre)
Halla el problema dual del problema de
programación lineal cuya función objetivo viene
dada por la expresión exp y cuyas restricciones
vienen dadas por las restricciones ineq1,..ineqn.
Las variable nombre contiene una base para el
dual. El resultado es una secuencia con la
función objetivo dual y un conjunto de lista de
desigualdades que definen las restricciones del
123
problema dual. Las inecuaciones han de ser
pasadas previamente por el comando convert
setup({ineq1,.., ineqn})
Transforma las ecuaciones especificadas en un
conjunto o lista de ecuaciones equivalentes que
forman la base para el correspondiente sistema
lineal. Las variables simples que aparecen en los
lados izquierdos de las ecuaciones no aparecen
en los lados derechos de ninguna de las
ecuaciones.
setup([ineq1,.., ineqn])
Devuelve una lista de ecuaciones formando la
base.
pivotvar(expresión)
Determina una variable con coeficiente positivos
para la función objetivo dada para la expresión.
pivotvar(expresión,[var1,..,varn])
Devuelve
la
primera
variable
pivot
con
coeficientes positivos de entre los especificados.
pivot({eqn1,..,eqnn})
Utiliza una de las ecuaciones eqnp1,..,eqnpm
como ecuación pivot.
display({ineq1,..,ineqn})
Muestra el conjunto de desigualdades lineales en
forma matricial.
display({ineq1,..,ineqn},
[var1,..,varm])
Muestra el conjunto de desigualdades lineales en
forma matricial respecto de las variables
especificadas.
124
EJEMPLOS
1.-Maximar la función z  x  y , sujeta a las restricciones:
4 x  3 y  5 y 3x  4 y  4
SOLUCIÓN
En primer lugar pasamos a forma estándar un conjunto de restricciones
A continuación pasamos a la forma matricial un conjunto de restricciones
Ahora se presenta el conjunto de variables que forman la base para las restricciones de un
problema de programación lineal.
A continuación se convierte restricciones con desigualdades en igualdades
Ahora se transforma un conjunto de restricciones a forma de base
A continuación se maximiza una función sujeta a restricciones
125
A continuación se definen un conjunto de restricciones y una función objeto, para resolver el
problema según diversas condiciones introducidas en las variables. Primeramente hallamos
las soluciones no negativas del problema y posteriormente hallamos las soluciones obligando
a que las variables del problema sean todas positivas.
Ahora pasamos un con junto de restricciones a la forma usual
2.-Maximar la función z   x  2 y sujeta a ls restricciones 5 x  2 y  3 y x  y  1 y
3x  3 y  2 y x  0 y y  0 , previa comprobación de la existencia de solución factible.
SOLUCIÓN
Aplicando el comando feasible de maple, se tiene
126
La cual la palabra True significa que existe solución factible. Ahora calculamos mediante el
comando minimize
Luego, el punto :
minimiza a la función dada.
3.-Hallar el punto que hace mínimo a la función v=-4x+2y-z-4 3n la región definida por las
inecuaciones siguientes
2 x  2 y  z  2 , 4 x  3 y  2 z  12 y x  0, y  0, z  0
SOLUCIÓN
Editamos la función objetivo y las restricciones
=
=
Aplicando el comando minimize, se tiene
Que el punto que minimiza a la función objetivo es dado por =
4.-Optimizar la función f  x  y  z a sujeta a las restricciones siguientes:
x  2 y  3 z  1 , 2 x  y  z  2 y x  0, y  0, z  0 , previa de la existencia de la solución
factible
SOLUCIÓN
Editando la función objetivo y las restricciones, se tiene
=
127
Aplicando el comando feasible para saber si la solución se encuentra en la región dado por
las restricciones
=
La palabra True quiere decir que la soluciones están dentro de la región, para lo cual usando
el comando minimize y maximize son da la solución
En efecto
Por tanto, el punto (0,0,0) minimiza a la función cuyo valor es dado por 0 y el punto (1,0,0)
maximiza la función cuyo valor s dado por 1
128
7.5.-TEORÍA DE GRAFOS
DEFINICIONES
1.-Se denomina grafo al par G=(V,E) que representa un conjunto de vértices V(llamados a a
veces también nudos o puntos) y un conjunto de ejes E orientados o no (denominados a veces
también arcos, enlaces, líneas o ramas), mediantes laos cuales se conectan dichos vértices.
2.-El concepto de red suele confundirse con el grafo, pero en general se distingue entre red y
grafo, señalando que una red sería un grafo por cuyos ejes puede circular un flujo.
3.-Si en un eje se establece una orientación, entonces dicho eje se denomina eje orientado, y
si todo eje de un grafo es orientado, el grafo se denomina grafo orientado o dígrafo( a veces
también se denomina red)
4.-Se denomina camino entre dos vértices(vértices extremos) de una grafo a un conjunto
ordenado de ejes, de modo que cada vértice intermedio (excepto el primero y el último) es
punto final para dos y sólo dos ejes del conjunto ordenado.
5.-Un camino orientado sería un camino compuesto de ejes orientados y de manera que el
vértice terminal (cola) de cada eje fuera el vértice inicial(cabeza) del eje inmediatamente
consecutivo.
6.-Un circuito (ciclo) es un camino en el que sus vértices extremos coinciden. Un circuito
orientado sería, por tanto, un camino orientado con los vértices extremos coincidentes.
7.-Un ciclo simple es aquel cuyos ejes son distintos.
8.-Un grafo se dice que es conexo si existe un camino en el grafo entre cualesquiera dos
vértices de dicho grafo.
9.-Un árbol es un grafo conexo en el que no existen circuitos.
129
OBSERVACIÓN
El problema de determinar cuál es el máximo flujo que en estado estable puede circular dos
vértices (vértices, extremos) de un grafo, se denomina problema del flujo máximo.
La matriz M(G) de un grafo no es única, pues pende de la orientación dada a los vértices del
grafo.
MAPLE Y LA TEORIA DE GRAFOS
Los comandos correspondiente a la teoría de grafos se encuentra en el package “ Networks”.
Por tanto, será necesario cargarlo previamente, con la orden with, para realizar todos los
ejercicios en este capítulo.
GENERACION DE GRAFOS. VERTICES Y EJES
El comando complete(n) genera el grafo completo con n vértices Kn
El comando draw(G) representa bidimensionalmente el grafo G no orientado.
Por defecto los vértices del grafo se representan ordenados circularmente, pero puede
cambiarse su orden de colocación en el grafo (orientado) a voluntad, especificándolo a través
de las opciones Linear o Concentric, como se verá en varios ejemplos.
El comando graph({vértices},{ejes}), genera un grafo con los vértices y ejes especificados.
El comando graphical(lista de enteros),determina cuando la lista de enteros es un grafo.
Cuando la lista de enteros sea declarada como grafo, en cuyo caso, cada entero será el grado
de un vértice de un grafo simple.
El comando edges (G), devuelve los ejes del grafo G.
El comando vértices (G), devuelve los vértices del grafo G.
El comando components (G), devuelve los componentes de grafo G.
El comando isplanar(G), determina si el grafo G es plano.
130
El comando maxdegree(G), devuelve el máximo número de ejes incidente con cada vértice
del grafo G.
El comando vdegree (G), devuelve el grado del vértice especificado del grafo G.
El comando outdegree(vértice,G), devuelve el numero de ejes que salen directamente del
vértice especificado del grafo G.
El comando vweight (G), encuentra los pesos de los ejes del grafo G.
El comando vweight({vértice},G) encuentra los pesos de los vértices especificados del grafo.
El comando eweight(G) encuentra los pesos de los ejes del grafo.
El comando ends(G) devuelve la lista de vértices que son los finales de los ejes de G. Si el
comando aparece en la forma ends({ejes}, G) devuelve la lista de vértices que son finales del
conjunto de ejes especificados.
EJEMPLOS
1.-Generar el grafo completo de 5 vértices K5 y representarlo.
SOLUCIÓN
Usaremos el comando complete , ends y el comando draw
En efecto
print(); # input placeholder
print(); # input placeholder
131
2.-Listar los ejes del grafo K10 . Listar también el conjunto de vértices que son finales de los
mismos. Representar gráficamente K10.
SOLUCIÓN
132
133
BIBLIOGRAFÍA
1.-Stanley I. Grossman. “Algebra Lineal con aplicaciones”. Editorial Mc Graw-Hill . 4ta.
Edición. México-1992
2.-Stanley I. Grossman. “Aplicaciones de Algebra Lineal”. Editorial Mc Graw-Hill. 4ta.
Edición. México-1992
3.-Colman, Bernard. Álgebra Lineal con aplicaciones, México: Prentice Hall. Sexta Edición
1999.
4.-César Pérez López. “Métodos Matemáticos y Programación con Maple V. Editorial
RAMA. Madrid-1998.
5.-David Poole.
“Algebra Lineal, una introducción moderna”. Editorial Cengage. 2da.
Edición. México – 2006
6.-Rafael Bru. “Algebra Lineal”. Editorial Alfaomega. Mexico.2001
7.- Jerrold E, Marsden. “Cálculo Vectorial”. Editorial Addison-Wesley. Tercera Edición.
España-1991.
8.-Elon Larges Lima.” Geometría Analítica y Algebra Lineal”. Editorial IMCA. Rio de
Janeiro-2004.
9.-HASSER LA SALLE. Análisis Matemático II , Editorial Trillas, México,1974
10.-MAPLESOFT: El SOFTWARE MAPLE 14.1 SOLF A DIVISION WATERLOO
MAPLE INC. CANADA 1988.
134
APÉNDICE
135
LISTADO DE FÓRMULAS
Sea C una curva (en el plano o en el espacio) dada por la función vectorial
Curva

 ( t )  ( x ( t ), y ( t ))
Curva

(t)
velocidad


ds
  ' (t )
dt
v (t ) 
Rapidez
vector aceleración
Vector

''

a (t )   (t )  aT T (t )  aN N (t )
Vector unitario tangente
el
Vector
'
velocidad,
rapidez y
en
Espacio

v (t)  
Vector
el
Plano
 ( t )  ( x ( t ), y ( t ), z ( t ))

en
aceleración

 ' (t )
T (t ) 
y vector unitario normal

N (t ) 

 ' (t )
T ' (t )

T ' (t )
principal



v (t ). a (t )
aT (t )  a (t )T (t ) 


v (t )
Componentes
de
la

aN(t)  a(t)N(t) 

v(t)
K
Fórmula
para
dt 2

v(t)x a(t)

aceleración
d 2s
2

ds
 a(t)  aT2  K( )2
dt
y ''
C
1  ( y ) 
C dada por
K
x ' . y ''  y ' . x ''
( x )
' 2
 ( y ' )2
 x  x (t )

 y  y (t )

3/ 2
s es el parámetro

K  T ' (s)   '' (s)
para
longitud de arco
la

curvatura en el plano o
en el espacio
por
y=f(x)
la
curvatura en el plano
Fórmulas
dada
' 2 3/ 2
K 
T ' (t )


 ' ( t ) x  '' ( t )


 ' (t )
 ' (t )
136
3
t es el parámetro
general
FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS
1.- sen 2 u  cos 2 u  1
8.- senu  senv  2 cos(
uv
uv
).sen (
)
2
2
2.- sen 2u  2 senu . cos u
3.- cos 2u  cos 2 u  sen 2 u
9.- cos u  cos v  2 cos(
uv
uv
). cos(
)
2
2
uv
uv
).sen (
)
2
2
4.- sen 2 u  1  cos 2u
10.- cos u  cos v  2 sen (
5.- cos 2 u  1  cos 2u
11.- senu .senv  (cos( u  v )  cos( u  v ))
2
1
2
2
6.- tag 2 u 
1  cos 2u
1  cos 2u
7.- senu  senv  2 sen (
1
2
12.- cos u. cos v  (cos( u  v )  cos( u  v ))
uv
uv
). cos(
)
2
2
1
2
13.- senu . cos v  ( sen (u  v )  sen (u  v ))
1
14.- cos u.senv  2 ( sen (u  v)  sen (u  v))
FÓRMULAS HIPERBÓLICAS
1.- senhu 
2.- cohu 
e u  e u
2
e e
2
u
u
7.- cosh 2 u  senh 2 u  1
8.- senh (u / 2)  cosh u  1
2
9.- cosh 2 u  senh 2 u  1
3.- taghu 
e e
u
e u  e u
4.- cot aghu 
5.- sec hu 
u
10.- taghu 
senhu
coshu
e u  e u
e u  e u
11.- cot ghu 
cosh u
senhu
12.- cogthu 
1
taghu
2
e  e u
u
6.- cos echu 
2
e  e u
u
13.- senh (u / 2)  cosh u  1
2
137
DERIVADAS DE FUNCIONES
1.-
d
(cu)  cu'
dx
14.-
d
u'
(arccosu) 
dx
1 u 2
2.-
d
(u  v)  u'v'
dx
15-
d
u'
(arctagu) 
dx
1 u 2
3.-
d
(uv)  u'.v  u.v'
dx
16.-
d
u'
(arc cot gu) 
dx
1 u 2
4.-
d u
u' v  uv'
( )
dx v
v2
17.-
d
u'
(arc sec u) 
dx
u u 2 1
5.-
d
( x)  1
dx
18.-
d
u'
(arccossec u) 
dx
u u 2 1
6.-
d u
(e )  e u u'
du
19.-
d
(senhu)  coshu.u'
dx
20.-
d
(coshu)  senhu.u'
dx
21.-
d
(taghu)  sec h 2 u.u'
dx
22.-
d
(cot aghu)   cosh2 u.u'
dx
23.-
d
(sechu)   sec hu.taghu.u'
dx
24.-
d
(coschu)   cosechu. cothu.u'
dx
7.-
8.-
9.-
d
(senu)  (cosu)u'
dx
d
(cosu)  (senu)u'
dx
d
(tagu)  sec2 u.u'
dx
10.-
11.-
d
(cotu)   cosc 2 u.u'
dx
d
(secu)  secu.tagu.u'
dx
12.-
d
(cosecu)   cosecu. cot ag.u'
dx
13.-
d
u'
(arcsenu) 
dx
1 u 2
138