Tema 7: Variables aleatorias continuas.

Unidad 7: Modelos probabilísticos continuos
1.
2.
3.
4.
Variables aleatorias continuas.
Distribución de probabilidad continua.
Parámetros de una variable aleatoria continua.
Distribución normal, normal estándard y algunas otras.
1. Variable aleatoria continua:
Una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar todos
los valores posibles dentro de un cierto intervalo de la recta real.
Ejemplos:
La altura de los alumnos de una clase, las horas de duración de una pila.
2. Distribución de probabilidad de una variable aleatoria:
La probabilidad de una v.a. X continua viene dada por:
b
Pa  X  b   f ( x)dx a, b  
a
La función f(x) recibe el nombre de función de densidad y debe cumplir
las siguientes condiciones:

f ( x)  0; x  
y
 f ( x)dx  1

Ejemplo:
Se desea estudiar el nivel de colesterol en cierto tipo de pollos. La
kx si 0  x  2
función de densidad de la v.a. asociada es f ( x)  
si x  0 ó x  2
0
Calcula el valor de k
Solución.Para que f sea una función de densidad se debe verificar que:
Como f(x) ≥ 0 ⇒ k ≥ 0


0
2




0
2
 f ( x)dx  1   f ( x)dx   0dx   kxdx  
2
 x2 
1
0dx  k   2k  1  k 
2
 2 0
1
Se define la función de distribución de una v.a. continua X con función
de densidad f(x), como una función F(x) definida
por F ( x)  PX  x 
x
 f (t )dt

NOTA
Si X es una v.a. continua:


PX  a  0 a  
Pa  X  b  Pa  X  b  Pa  X  b  Pa  X  b  F (b)  F (a)
El área bajo la función de densidad entre dos puntos a y b se interpreta como la
probabilidad de que la variable aleatoria tome valores comprendidos entre a y
b.
Podemos ver, únicamente con ánimo ilustrativo, la expresión analítica y la
gráfica para los ejemplos comentados con anterioridad:
2
 Ejemplo. Se desea estudiar el nivel de colesterol encierto tipo de pollos.
La función de densidad de la v.a. asociada es:
1
 x si 0  x  2
f ( x)   2

si x  0 ó x  2
0
a) Realizar la gráfica de la función de densidad.
b) Obtener la Función de Distribución, F(x) y su gráfica.
c) Obtener: P( X ≤ 1.2) ; P ( X ≥ 0.8) ; P ( 1 < X < 1.5 )
Solución:
a)
x
b) Si x<0
F(x)=  0dt  0

x
Si 0  x  2 F(x)=


x
Si x>2
F(x)=


x
1 t 2 
1
x2
f (t )dt   0dt   tdt  


2
4
2 2 0

0
0
x
2
x
1 t 2 
1
22
f (t )dt   0dt   tdt   0dt  

1

2
2
2
4



0
2
0
0
2
Por tanto:
0 si x  0
 2
x
F ( x)  
si 0  x  2
4
si x  2
1

3
Su gráfica:
c) P( X ≤ 1’2)=F(1’2)=
1'22
4

1'44
 0'36 ;
4
P ( X ≥ 0’8)=1-P(X<0’8)=1-F(0’8)= 1 
P ( 1 < X < 1’5 )=F(1’5)-F(1)=
0'82
4
 1
0'64
 1  0'16  0'84 ;
4
1'52  1  1'25  0'3125
4
4
4
3. Parámetros de una variable aleatoria continua:
Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad f(x)
3.1.
Esperanza matemática de una v.a. continua
  EX  

 xf ( x)dx

Propiedades:
Sean X e Y dos variables aleatorias continuas, a y b números reales
a)
b)
c)
d)
E[aX]=aE[X]
E[X+Y]=E[X]+E[Y]
E[X+a]=E[X]+a
E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y]
4
3.2.
Varianza de una v.a. continua
  S X  
2

 x   
2
2


f ( x)dx   x 2 f ( x)dx   2

Propiedades:
Sea X una v.a. continua y a un número real
a) S2[aX]=a2S2[X]
b) S2[X+a]=S2[X]
3.3. Desviación típica de una v.a. continua
S[X]=    2
Propiedades
a) S[aX]=aS[X]
b) S[X+a]=S[X]
Ejemplo:
La altura de un cierto árbol sigue una v.a. con función de densidad,
f (x) = x / 12, con 1 < x < 5.
Calcular la Esperanza , varianza y desviación típica de X
Solución.
Esperanza
5

5
 x3 
1
124 31
E[X]=  xf ( x)dx   x 2 dx    
 =3’4 m
12 1
9
 36 1 36

Varianza
5

2
2
5 3
 x 4  961
x
961 92
 31 
 31 
   x f ( x)dx      dx       
 13 

12
81 81
9
9
 48 1 81

1
= 1’14 m2
2
2
5
Desviación típica

92
 1'07 m
81
4. Algunas variables aleatorias continuas
4.1. Modelo uniforme
Una v.a. continua X sigue una distribución uniforme en el intervalo (a,b) si
su función de densidad es:
 1
si a  x  b

f ( x)   b  a

si x  a, b
0
La gráfica de la función de densidad de una distribución uniforme en el
intervalo (1,3) es:
La función de distribución de una distribución uniforme en el intervalo
(a,b) es:
x
Si x  a
F ( x) 
 0dx  0

1
xa
dx 
ba
ba
a
x
Si a  x  b F ( x)  
6
b
1
dx  1
ba
a
Si x  b F ( x)  
Por tanto:
 0 si x  a

xa
F ( x)  
si a  x  b
ba

1 si x  b
La gráfica de la función de distribución de una v.a. uniforme en el intervalo
(1,3) es:
Media (Esperanza matemática)
b
 x2 
x
b2  a2 b  a
EX   
dx  



ba
2
 2b  a  a 2b  a) 
a
b
Varianza
b  a 2   x 3   b  a 2  b 2  ab  a 2  b  a 2 
x2
 
dx 


ba
4
4
3
4
 3b  a  a
a
b
b
2
2

b  a

12
7
Desviación típica

b  a 2
12

b  a 
3
6
Ejemplo 1:
La cantidad de refresco que se despacha en un vaso es una variable aleatoria
que se distribuye en forma uniforme entre [130, 160] mililitros.
Calcula la probabilidad de que un vaso contenga a lo más 140 mililitros.
Solución:
PX  140  F 140 
140  130 1

160  130 3
Ejemplo 2:
Se sabe que el peso X de ciertos bloques de acero, es una variable aleatoria
continua distribuida uniformemente en el intervalo [50,70] toneladas.
Encontrar:
a)
La función de densidad de la variable.
b) La probabilidad de que si se pesa un bloque seleccionado al azar pese
cuando menos 62 toneladas.
Solución
1

a) f ( x)   20

0
si
si
x  50,70
x  50,70
b) PX  62  1  PX  62  1  F (62)  1 
62  50 8 2

  0'4
20
20 5
Ejemplo 3:
Suponga que la variable aleatoria X está distribuida uniformemente en el
intervalo [-a, a]. Determinar el valor de a de modo que se satisfaga que
P (X> 1) = 1/3
8
Solución
PX  1  1  PX  1  1  F 1  1 
1  ( a)
1 a a 1 1
 1


a  (a)
2a
2a
3
3(a-1)=2a  a=3
Ejemplo 4:
Suponga que X está distribuida uniformemente en el intervalo [2, 8].
a) Calcular P (2 ≤ x ≤ 7)
b) Determinar el valor de la constante k, de modo que: P(X > k) = 0.30
Solución
72 22 5


82 82 6
k 2
k 2
b) P (X > k) = 1- P(X ≤ k) = 1  0'30  1 
 0'30  K  6'2
82
82
a) P (2 ≤ X ≤ 7) = F(7) - F(2) =
Ejemplo 5.
Se sabe que los tiempos en que se realiza un experimento se distribuyen en
forma uniforme y están entre cero y tres minutos.
a)
Calcular la probabilidad de que el tiempo en que se realiza un
experimento esté entre 1.5 y 3 minutos.
b)
Si se realizan 5 experimentos ¿Cuál es la probabilidad de que 2 de
ellos se realicen en un tiempo de entre 1.5 y 3 minutos?
Solución
1.5  0
 0'5
3
b) Sea la variable Y= nº de experimentos que se realizan entre 1.5 y 3
minutos.
a) P[1.5≤X≤3]=F(3)-F(1.5)=1-
Y→B (5,0.5)
 5
P[Y=2]=   0.5 2 0,53  0,3125
 2
9
Ejemplo 6.
Sea X una variable aleatoria que se distribuye uniformemente en el intervalo
(2,6). Calcula su media o valor esperado y su varianza.
Solución
El valor esperado es: E[X]=
La varianza  2 
6  22
12

26
4
2
16 4

12 3
Ejemplo 7.
Las ventas diarias de un supermercado se distribuyen en forma uniforme,
con media 40 mil pesos diarios y un mínimo de 30 mil pesos.
a)
Determinar la venta máxima diaria
b)
¿En qué porcentaje de días las ventas excederán los 34 mil pesos?
Solución
a) X= nº de ventas diarias se distribuye uniformemente en el intervalo
(30,b), siendo b la venta máxima
Como μ=
30  b
 40 , b=50
2
Por tanto la venta máxima es de 50 mil pesos
b) P[X≥34]=1- P[X≤34]= 1 
34  30
1
 1   0,8
50  30
5
El 80% de las ventas exceden los 34 mil pesos
Ejemplo 8.
Sea X una variable aleatoria continua con distribución uniforme, con media
1 y variancia 4/3. Calcular P(x 0)
Solución:
Debemos calcular los extremos del intervalo en que se distribuye X
10

ab
1
2
2 
b  a 2
12

4
→b – a = 4
3
Resolviendo el sistema: a = -1 y b = 3.
Por tanto X se distribuye uniformemente en el inérvalo (-1,3)
P[X≤0]=
4.2.
0  (1) 1

4
4
Modelo Normal
Una variable aleatoria continua sigue una distribución normal de media μ y
desviación típica σ su función de densidad:
f ( x) 
1
 2
e
1  x 
 

2  
2
La gráfica de esta función es:
Esta curva recibe el nombre de campana de Gauss
Veamos las características de la gráfica de la distribución normal:






El campo de existencia es cualquier valor real, es decir, (-∞, +∞).
Es simétrica respecto a la media µ.
Tiene un máximo en la media µ.
Crece hasta la media µ y decrece a partir de ella.
En los puntos µ − σ y µ + σ presenta puntos de inflexión.
El eje de abscisas es una asíntota de la curva.
El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la
unidad.
11
Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la
izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha.
La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.
P [μ - σ < X ≤ μ + σ] = 0.6826 = 68.26 %
P [μ - 2σ < X ≤ μ + 2σ] = 0.954 = 95.4 %
P [μ - 3σ < X ≤ μ + 3σ] = 0.997 = 99.7 %
La distribución normal con media 0 y desviación típica 1 se lama distribución normal
estándar
Una variable X que se distribuye normalmente con media μ y desviación típica σ se dice
que sigue una Normal N(μ,σ): X→ N(μ,σ)
Función de distribución de una variable N(μ,σ):
F(x)= PX  x 
x


1
2
 t  
1 / 2

  
e
2
dt
Esta integral no se puede calcular con ningún método de integración, por tanto no
podemos calcular las probabilidades utilizando la fórmula. Para resolver este problema
se ha tabulado la función de distribución de la N(0,1).
Tipificación de la N(μ,σ)
Sea X→ N(μ,σ)  La variable Z 
X 

 N(0,1)
x
X  x

. Para calcular esta probabilidad nos
P[ X  x]  P 

 P Z 

 
 
 

bastará buscar en la tabla de la función de distribución de la N(0,1).
12