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MATEMÁTICA APLICADA
ADMINISTRACIÓN FINANCIERA
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
ILUSTRACIÓN MODELO MATEMÁTICO RAZÓN
DE CAMBIO
Manizales, 04 de Octubre de 2014
Para las siguientes expresiones algebraicas, obtener la expresión que representa la razón de
cambio, la razón de cambio promedio y la razón de cambio instatánea:
i  y  cx  b
iii  y 
cx 2  dx  a
dx  c
ii  y  cx 2  ax  b
iv  y 
ax  c
d  bx
Realizo la solución de cada expresión de forma procedimental para cada una:
i  y  cx  b
Razón de Cambio:
f  x   cx  b
f  x  x   c  x  x   b  f  x  x   cx  cx  b
y  f  x  x   f  x 
y  cx  cx  b   cx  b 
y  cx  cx  b  cx  b
y  cx
Razón de Cambio Promedio:
y f  x  x   f  x 

x
x
y cx

x x
y
c
x
Razón de Cambio Instantánea:
 f  x  x   f  x  
 y 
Lim 
 Lim 


x  0 x
x

 x  0 

y
 Lim  c 
x x0
y
Lim
c
x 0 x
Lim
x 0
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ADMINISTRACIÓN FINANCIERA
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
ILUSTRACIÓN MODELO MATEMÁTICO RAZÓN
DE CAMBIO
Manizales, 04 de Octubre de 2014
ii  y  cx 2  ax  b
Razón de Cambio:
f  x   cx2  ax  b
f  x  x   c  x  x   a  x  x   b
2
f  x  x   c  x 2  2 xx  x 2   a  x  x   b
f  x  x   cx 2  2cxx  cx 2  ax  ax  b
y  f  x  x   f  x 
y  cx 2  2cxx  cx 2  ax  ax  b   cx 2  ax  b 
y  cx 2  2cxx  cx 2  ax  ax  b  cx 2  ax  b
y  2cxx  cx 2  ax
y  x  2cx  cx  a 
Razón de Cambio Promedio:
y f  x  x   f  x 

x
x
y x  2cx  cx  a 

x
x
y
 2cx  cx  a
x
Razón de Cambio Instantánea:
 f  x  x   f  x  
 y 
Lim 
 Lim 


x  0 x
x

 x  0 

 y 
Lim    Lim  2cx  cx  a 
x 0 x
  x 0
 y 
Lim    2cx  a
x  0 x
 
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ILUSTRACIÓN MODELO MATEMÁTICO RAZÓN
DE CAMBIO
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cx 2  dx  a
dx  c
Razón de Cambio:
iii  y 
f  x 
cx 2  dx  a
dx  c
c  x  x   d  x  x   a
f  x  x  
d  x  x   c
2
f  x  x  
f  x  x  
c  x 2  2 xx  x 2   d  x  x   a
d  x  x   c
cx 2  2cxx  cx 2  dx  d x  a
d  x  x   c
y  f  x  x   f  x 
y 
cx 2  2cxx  cx 2  dx  d x  a cx 2  dx  a

d  x  x   c
dx  c
 cx
y 
2
 2cxx  cx 2  dx  d x  a   dx  c    cx 2  dx  a   d  x  x   c 
 d  x  x   c   dx  c 
Realizo de forma individual las dos multiplicaciones algebraicas expresadas en el numerador
anterior:
 cx
2
 2cxx  cx 2  dx  d x  a   dx  c   cdx3  2cdx 2 x  cdxx 2  d 2 x 2  d 2 xx 
adx  c 2 x 2  2c 2 xx  c 2 x 2  cdx  cd x  ca
 cx
2
 2cxx  cx 2  dx  d x  a   dx  c   cdx 3  2cdx 2 x  cdxx 2  c 2 x 2  d 2 x 2 
2c 2 xx  d 2 xx  cdx  adx  c 2 x 2  cd x  ca
 cx  2cxx  cx  dx  d x  a   dx  c   cdx  2cdx x  cdxx   c  d  x 
  2c  d  xx   cd  ad  x  c x  cd x  ca
 cx  dx  a   dx  d x  c   dx  cx  dx  a   d x  cx  dx  a   c  cx  dx  a 
 cx  dx  a   dx  d x  c   dxcx  dxdx  dxa  d xcx  d xdx  d xa  ccx  cdx  ca
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
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ILUSTRACIÓN MODELO MATEMÁTICO RAZÓN
DE CAMBIO
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 cx
 cx
 cx
2
 dx  a   dx  d x  c   dcx 3  d 2 x 2  adx  cdx 2 x  d 2 xx  ad x  c 2 x 2  cdx  ca
2
 dx  a   dx  d x  c   dcx 3  c 2 x 2  d 2 x 2  cdx  adx  cdx 2 x  d 2 xx  ad x  ca
2
 dx  a   dx  d x  c   dcx3   c 2  d 2  x 2   cd  ad  x  cdx 2 x  d 2 xx  ad x  ca
Reemplazo los resultados de cada una de las multiplicaciones en la expresión original:
y 
 cdx3  2cdx 2 x  cdxx 2   c 2  d 2  x 2 
  cdx3   c 2  d 2  x 2   cd  ad  x  




   2c 2  d 2  xx   cd  ad  x  c 2 x 2  cd x  ca   cdx 2 x  d 2 xx  ad x  ca


 
cdx3  2cdx 2 x  cdxx 2   c 2  d 2
y 
y 
y 
 d  x  x   c   dx  c 
 x   2c  d  xx   cd  ad  x  c x
2
2
2
2
cd x  ca  cdx3   c 2  d 2  x 2   cd  ad  x  cdx 2 x  d 2 xx  ad x  ca
 d  x  x   c   dx  c 
2cdx 2 x  cdxx 2   2c 2  d 2  xx  c 2 x 2  cd x  cdx 2 x  d 2 xx  ad x
 d  x  x   c   dx  c 
cdx 2 x  cdxx 2  2c 2 xx  c 2 x 2   cd  ad  x
 d  x  x   c   dx  c 
 cdx
y 
2
 cdxx  2c 2 x  c 2 x  cd  ad  x
 d  x  x   c   dx  c 
Razón de Cambio Promedio:
y f  x  x   f  x 

x
x
 cdx
y

x
2
2
 cdxx  2c 2 x  c 2 x  cd  ad  x
 d  x  x   c   dx  c 
x
2
2
2
y  cdx  cdxx  2c x  c x  cd  ad  x

x
 d  x  x   c   dx  c  x
y cdx 2  cdxx  2c 2 x  c 2 x  cd  ad

x
 d  x  x   c   dx  c 

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Razón de Cambio Instantánea:
 f  x  x   f  x  
 y 
Lim 
 Lim 


x  0 x
x

 x  0 

 cdx 2  cdxx  2c 2 x  c 2 x  cd  ad 
 y 
Lim    Lim 


x  0 x
  x 0 
 d  x  x   c   dx  c 

2
2
 y  cdx  2c x  cd  ad
Lim   
2
x 0 x
 
 dx  c 
ax  c
d  bx
Razón de Cambio:
iv  y 
f  x 
ax  c
d  bx
f  x  x  
a  x  x   c
d  b  x  x 
y  f  x  x   f  x 
a  x  x   c
ax  c

d  b  x  x 
d  bx
y 
Aplico el procedimiento de racionalización de la expresión:

y  


y 






a  x  x   c
ax  c  


d  b  x  x 
d  bx  



 a  x  x   c ax  c 



 d  b  x  x  d  bx 
a  x  x   c
ax  c 


d  b  x  x 
d  bx 
a  x  x   c
ax  c 


d  b  x  x 
d  bx 
a  x  x   c
ax  c 


d  b  x  x 
d  bx 
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ILUSTRACIÓN MODELO MATEMÁTICO RAZÓN
DE CAMBIO
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y 




 ax  ax  c ax  c 



 d  b  x  x  d  bx 
a  x  x   c
ax  c 


d  b  x  x 
d  bx 
  ax  ax  c  d  bx    ax  c   d  b  x  x   


 d  b  x  x    d  bx 


y 
 a  x  x   c
ax  c 



 d  b  x  x 

d

bx


  ax  ax  c  d  bx    ax  c  d  bx  bx  


d

b
x


x
d

bx







y  
 a  x  x   c
ax  c 



 d  b  x  x 

d

bx


y 
 ax  ax  c  d  bx    ax  c  d  bx  bx 
a  x  x   c
ax  c 

  d  b  x  x    d  bx 
d  b  x  x 
d  bx 




Realizo de forma individual las dos multiplicaciones algebraicas expresadas en el numerador
anterior:
 ax  ax  c  d  bx   d  ax  ax  c   bx  ax  ax  c 
 ax  ax  c  d  bx   adx  ad x  cd  bxax  bxax  bxc
 ax  ax  c  d  bx   adx  ad x  cd  abx2  abxx  bcx
 ax  c  d  bx  bx   ax  d  bx  bx   c  d  bx  bx 
 ax  c  d  bx  bx   axd  axbx  axbx  cd  cbx  cbx
 ax  c  d  bx  bx   adx  abx2  abxx  cd  cbx  cbx
Reemplazo los resultados de cada una de las multiplicaciones en la expresión original:
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DE CAMBIO
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y 
y 
y 
adx  ad x  cd  abx 2  abxx  bcx   adx  abx 2  abxx  cd  cbx  cbx 
 a  x  x   c
ax  c 


  d  b  x  x    d  bx 
 d  b  x  x 

d

bx


adx  ad x  cd  abx 2  abxx  bcx  adx  abx 2  abxx  cd  cbx  cbx
 a  x  x   c
ax  c 


  d  b  x  x    d  bx 
 d  b  x  x 

d

bx






ad x  cbx
a  x  x   c
ax  c 

  d  b  x  x    d  bx 
d  b  x  x 
d  bx 
y 
 ad  cb  x
 a  x  x   c
ax  c 


  d  b  x  x    d  bx 
 d  b  x  x 
d  bx 

Razón de Cambio Promedio:
y f  x  x   f  x 

x
x
 ad  cb  x
 a  x  x   c
ax  c 


  d  b  x  x    d  bx 
d  bx 
y  d  b  x  x 

x
x
 ad  cb  x
y

x  a  x  x   c
ax  c 


  d  b  x  x    d  bx  x
 d  b  x  x 

d

bx


 ad  cb 
y

x  a  x  x   c
ax  c 


  d  b  x  x    d  bx 
 d  b  x  x 

d

bx


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 f  x  x   f  x  
 y 
Lim 


  Lim
x  0 x
x  0
x










ad  cb 

 y 
Lim    Lim 

x 0 x
  x 0   a  x  x   c

ax  c 
  d  b x  x  d  bx   d  b  x  x    d  bx  





 y 
Lim 

x  0  x


 ad  cb 
2  d  bx 
2
ax  c
d  bx