Problemario 5 MA2115

Problemario 5 MA2115
Septiembre-Diciembre 2008
1. Un cultivo de bacterias se inicia con 500
y crece con una rapidez proporcional a
su tamaño. Después de 3 horas hay 8000
bacterias.
4. ¿Cuánto tiempo tardará en duplicarse el
valor de una inversión si la tasa de interés es de 6 % compuesta de manera
contínua?
a) Halle una ecuación diferencial para
la cantidad de bacterias en t horas.
Resuelva esta ecuación.
5. Considere una población cuyo tamaño
a tiempo t está dado por P (t). Suponga que las tasas relativas constantes de
nacimiento y mortalidad son, respectivamente, α ≥ 0 y β ≥ 0. Suponga además
que la tasa de emigración es constante e
igual a m ≥ 0. La ecuación diferencial
que modela la razón de cambio de P (t)
al instante t está dada por
b) Encuentre la cantidad de bacterias
después de 4 horas.
c) Encuentre la tasa de crecimiento
despueés de 4 horas.
d ) ¿Cuándo
plares?
habrán
30,000
ejem-
2. Una curva pasa por el punto (0,5) y
posee la propiedad de que la pendiente
de su recta tangente en todo punto P es
el doble de la ordenada de éste. ¿Cuál es
la ecuación de la curva?
3. Se invierten Bs. 3000 a un interés del 5 %.
Encuentre el valor de la inversión al final de 5 anõs si el interés se compone de
forma contínua. Si A(t) es el monto de
la inversión en el tiempo t, escriba una
ecuación diferencial y una condicioón inicial que sea satisfecha por A(t).
dP
= (α − β)P − m
dt
a) Encuentre la solución de esta
ecuación diferencial que satisfaga la
condición inicial P (0) = P0 .
b) ¿Qué condición en m conduce a
una expansión exponencial de la
población?
c) ¿Qué condiciones en m darán una
población constante y otra que decline, respectivamente?
d ) En 1847, la población de Irlanda era
de alrededor de 8 millones de habitantes y la diferencia entre las tasas
relativas de nacimiento y mortalidad era del 1.6 % de la población.
Debido a una carestía de papas en
las décadas de 1840s y 1850s, unos
210,000 habitantes emigraron cada
año. En estos años, ¿la población
estaba aumentando o disminuyendo?
6. Un tanque contiene 100L de agua. Una
solución con una concentración de sal de
0.4 kg/L se agrega a razón de 5L/min. La
solución se mezcla y drena del tanque a
razón de 3L/min. Encuentre la concentración de agua después de 20 minutos.
7. Un tanque con capacidad 400L está lleno
de una mezcla de agua y cloro con una
concentración de cloro de 0,05g por litro.
Para reducir la concentración de cloro, se
bombea agua fresca dentro del tanque a
razón de 4L/seg. la mezcla se revuelve y
se bombea hacia afuera a una razón de
10L/seg. Encuentre la cantidad de cloro
en el tanque como función del tiempo.
8. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales y problemas de valor inicial
0
a) y + x = 5y
0
b) xy + 2y = ex
c) 1 + xy = xy
2
0
0
d ) y = x sen(2x) + y tan(x) − π/2 <
x < π/2
0
e) xy + xy + y = e−x
x>0
0
f ) y + y = x + ex ,
0
y(0) = 0
g) ty + 2y = t3 ,
t > 0,
y(1) = 0
y
0
= x, x > 0, y(1) = 0
h) xy −
x+1
0
i ) xy + y = −xy 2
0
j ) y + y = xy 3
0
k) y +
2y
y3
= 2
x
x