diseño de un regulador pid para controlar un giroscopio usando la

DISEÑO DE UN REGULADOR PID PARA CONTROLAR UN
GIROSCOPIO USANDO LA TEORÍA DE BIFURCACIONES
Manuel F. Pérez Polo, José Ángel Berná Galiano, Javier Gil Chica
Departamento de Física Ingeniería de Sistemas y Teoría de la Señal. Universidad de Alicante. Escuela
Politécnica Superior. Apartado 99, E-03080. Alicante. E-mail: [email protected]; [email protected] ;
[email protected]
Manuel Pérez Molina
Dpto. Ciencia de Materiales Óptica y Tecnología Electrónica, Universidad Miguel Hernández,
Avda. Ferrocarril sn 03202 Elche E-mail: [email protected]
La teoría de bifurcaciones describe como las
propiedades topológicas de un sistema dinámico
(número de puntos de equilibrio y órbitas
periódicas en el espacio de fases) cambian al
variar uno o más parámetros del mismo. Un
punto de equilibrio se dice que es hiperbólico
cuando los autovalores de la matriz jacobiana,
resultante de linealizar el sistema en ese punto,
tienen partes reales no nulas. En tal caso la
dinámica del sistema no lineal está determinada
por la del sistema linealizado en dicho punto.
Un punto de equilibrio se dice que es no
hiperbólico cuando uno o más autovalores de la
matriz jacobiana, resultante de linealizar el
sistema en ese punto, tienen parte real nula. Es
claro que los puntos no hiperbólicos son de los
que se ocupa la teoría de bifurcaciones.
El propósito de este trabajo es diseñar un
algoritmo que permita ajustar los parámetros de
un regulador PID usando el primer valor de
Lyapunov deducido a partir de una bifurcación
del tipo Andronov-Poincaré-Hopf, la cual
aparece para ciertos valores de saturación de la
acción integral. Se demuestra que el sistema
puede tener varios puntos de equilibrio, cuya
estabilidad o inestabilidad son fundamentales
para el diseño del regulador PID. Los resultados
de
simulación
muestran
un
buen
comportamiento dinámico del sistema en
función de los valores que se deducen del
primer valor de Lyapunov.
Resumen
En este trabajo se estudia el diseño de un
regulador PID para controlar la posición de un
cuerpo conectado al anillo exterio,r a partir de
la medida del ángulo de giro del anillo interio,r
de un giroscopio en suspensión Cardan. El
modelo matemático del giroscopio se obtiene a
través de la teoría de nutación, que junto con
las ecuaciones de un regulador PID, con
saturación en la acción integral, puede dar
lugar a una bifurcación del tipo AndronovPoincaré-Hopf. A partir del análisis de la
estabilidad de dicha bifurcación, se presenta un
algoritmo de cálculo que permite determinar la
constante de acción proporcional, el tiempo de
reset y el tiempo de acción derivado del
regulador PID. Se estudian los puntos de
equilibrio del sistema, la aparición de un foco
débil y el cálculo del primer valor de Lyapunov,
cuyo signo permite determinar la estabilidad de
dicho punto. Se discute brevemente la
aplicación del teorema de la variedad central y
su aplicación al cálculo del primer valor de
Lyapunov, así como algunas dificultades
numéricas que aparecen en la simulación.
Palabras clave: Giroscopio, regulador PID,
bifurcación, Andronov-Poincaré-Hopf, variedad
central, primer valor de Lyapunov.
1 INTRODUCCIÓN
2 MODELO MATEMATICO DEL
GIROSCOPIO
Actualmente es un hecho generalmente
aceptado que la teoría de bifurcaciones puede
ser una herramienta útil para el diseño del
control en sistemas no lineales. Sin embargo, la
concreción de esta idea en casos particulares
puede presentar notables dificultades, aún con
sistemas de control simples como puede ser un
regulador PID [1], [3], [4], [6], [7], [8]. Es por
ello que estas técnicas no están muy extendidas
en el campo de la ingeniería de control, quizás
por la complejidad de la maquinaria algebraica
involucrada. [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12].
Las ecuaciones del giroscopio son las siguientes
[1], [6], [7], [8], [9]
d α (t )
2
J
dt
2
+ H cos β
d β (t )
dt
d β (t )
2
Hr
1
dt
2
− H cos β
dα
dt
∗
⎫
⎪
⎬ (25)
⎪
⎪⎭
= Mα + M ⎪
=0
Engranaje
N2
CUERPO A
ESTABILIZAR
SOMETIDO A
PERTURBACIONES
Y1 ≡ Y2 ≡ Y
ANILLO
INTERIOR
ANILLO
EXTERIOR
dβ/dt
dα/dt
γ
Mα(t)
dγ/dt
α
X2
O
M*
ROTOR
Z1 ≡ Z
X1 ≡ X
β
+
Z2
SENSOR
Engranaje
N1
M(t)
β
TRANSDUCTOR
INVERSOR
-
R
βr
i(t)
eb = K b
dϕ
u(t)
dt
ϕ
AMPLIFICADOR
Y
REGULADOR
PID
Ka; Kp, τi, τd
V(t)
DC MOTOR: M(t) = Kmi(t)
Figura 1. Giroscopio en suspensión Cardan.. Valores de parámetros: A1 = B1 = 0.045 kg.m2, C1 = 0.05625 kg.m2, A2
= 0.04875 kg.m2, A = 0.01125 kg.m2, C = 0.0225 kg.m2, Hr = 0.05625 kg.m2, Jm = 0.001 kg.m2, j = 10, Km = 5
N.m/A, Kb = 0.04 V.s, R = 0.5 Ω, L = 0.01 H, Ka = 10.
horizontal debido al motor externo DC, y M*
es un par externo de perturbaciones aplicado al
cuerpo conectado al anillo exterior. Las
ecuaciones (1) representan el modelo del
giroscopio sin control. [1], [6], [7], [8], [9]. La
señal de control V(t) se aplica a través del
motor DC. Los parámetros R, Kb and Km son la
resistencia, fuerza contra-electromotriz y
constante del par del motor. El par motor se
transmite al eje del anillo exterior a través de
un tren de engranajes con relación del número
de dientes j = N2/N1. Con las consideraciones
anteriores se pueden escribir las siguientes
ecuaciones:
El parámetro J se define por la ecuación:
J = A2 + A1 + A = A2 + C1
(2)
en la que A2 el momento de inercia del anillo
exterior referido a su eje de rotación, A1, B1, C1
son los momentos de inercia del anillo interior
respecto a los ejes principales de inercia; A y C
son los momentos de inercia polar y ecuatorial
del rotor, y H r = A + B1 . La ecuación (39)
significa que en el diseño mecánico del giro se
supone que A1 + A = C1 , y por tanto el
momento de inercia total del giro es constante.
H es el momento cinético del rotor del giro
que es una constante definida por:
H = C ⋅ nr ⋅ 2π / 60 donde nr es la velocidad
del rotor en rpm, Mα es el par aplicado al eje
d ϕ (t )
2
M (t ) = J m
5
dt
2
−
Mα
j
(3)
; M (t ) = K m i ( t )
d ϕ (t )
d α (t )
=−j
dt
j=
dt
N2
; L
di (t )
N1
dt
d α (t )
2
; Mα = − j Jm
2
dt
+ Ri (t ) = V (t ) − K b
2
− jK m i (t )
d ϕ (t )
dt
(4)
dα
− jK m i (t )
2
x 4 (t ) =
d α (t )
2
dt
2
+ H cos β (t )
d β (t )
dt
d β (t )
d α (t )
2
Hr
dt
2
− H cos β (t )
=0
dt
Ri (t ) = V (t ) + jK b
d α (t )
dt
∗
⎫
⎪
⎪
⎡ Rx (t ) − K K ( x (t ) − x ) ⎤
⎪
3
1r
a p 1
⎢
⎥
⎪
⎥
x1(t ) = α c cos x1(t ) ⎢⎢
⎪
Ka K p
⎥
⎪
τ
K
K
x
(
t
)
x
(
t
)
−
−
⎢ d a p 2
τ i 4 ⎥⎦⎥
⎪
⎣⎢
⎪
⎪
x3 (t ) = −βc x3 (t ) − γ c x2 (t )cos x1(t ) + δ c cos x1(t ) ⋅
⎪⎪
⎬
⎡
⎤⎪
Ka K p
⎢ Rx (t ) − K K ( x (t ) − x ) −τ K K x (t ) −
⎥
x (t ) ⎪
3
1r
a p 1
d a p 2
⎢
τi 4 ⎥ ⎪
⎣
⎦⎪
⎪
Ka K p
Ka K p
jKb *
⎪
⎡ x (t ) − x ⎤ +
+
x (t ) +
M
⎪
1r ⎦
Rτ i ⎣ 1
R 2
JT R
⎪
⎪
⎪
x4 (t ) = x1(t ) − x1r
⎪⎭
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
(10)
siendo:
(6)
siendo J T = J + j J m . Por otro la ecuación del
regulador PID vienen dada por:
⎡
1
V ( t ) = K a K p ⎢ β (t ) − β r +
τi
⎢⎣
+ K a K pτ d
∫
0
αc =
⎤
( β (τ ) − β r ) dτ ⎥
⎥⎦
2
+ H cos β (t )
dt
d β (t )
= − jK m i (t ) + M
τ d Ka K p H
jK b H r R
j Km Kb
RJ T
=
; γc =
τ d Ka K p
R
jK b H
RJ T
αc
Por otro lado es conocido que en reguladores
con acción integral es necesario limitarla para
evitar problemas debidos a valores excesivos de
la esta. Por tanto, si se limita el valor de la
acción integral, las ecuaciones (10) se pueden
simplificar asumiendo que x4 = Im, siendo Im el
valor máximo que alcanza la acción integral del
regulador PID. Las ecuaciones (10 quedan de la
forma:
d β (t )
⎫
⎪
dt
dt
⎪
2
d β (t )
d α (t )
⎪
Hr
− H cos β (t )
=0
2
⎪⎪
dt
dt
⎬
t
1
dβ ⎤⎪
⎡
V (t ) = K a K p ⎢ β (t ) − β r + ∫ ( β − β r ) dτ + τ d
⎥
τi 0
dt ⎦ ⎪
⎣
⎪
d α (t )
⎪
Ri (t ) = u (t ) + jK b
⎪⎭
dt
2
jK b H r
; βc =
(11)
De las ecuaciones (6) y (7), se obtienen el
modelo matemático del sistema con regulador
PID:
d α (t )
2
H
δc =
(7)
JT
r
x1(t ) = x2 (t )
2
t
∫ (β (τ ) − β )dτ
(9)
se deducen las siguientes ecuaciones:
(5)
= − jK m i (t ) + M
; x3 (t ) = i (t )
o
dt
Sustituyendo la ecuación (5) en la (1) se
deducen las ecuaciones del giroscopio:
JT
dt
t
2
Mα = − j Jm
d β (t )
x1 (t ) = β (t ) ; x2 (t ) =
siendo Jm el momento de inercia del eje del
motor, M(t) es el par motor, ϕ(t) el ángulo de
giro del eje del motor, Mα es el par aplicado al
eje de rotación del anillo exterior, i(t) es la
corriente a través del motor de corriente
continua DC. Obsérvese que se supone que la
inductancia del motor es despreciable.
De las ecuaciones (4) se deduce:
2
En las ecuaciones (8) la variable α(t) solo
aparece bajo el símbolo de derivada, por lo que
se puede considerar que actúa de forma similar
a una variable cíclica, por lo que conviene
eliminarla
entre
las
ecuaciones
(8).
Introduciendo las variables de estado:
∗
(8)
3
x1(t ) = x2 (t )
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
x3 (t ) = −βc x3 (t ) − γ c x2 (t )cos x1(t ) + δ c cos x1(t ) ⋅
⎬
⎪
⎡
Ka K p ⎤ ⎪⎪
⎢ Rx (t ) − K K ( x (t ) − x ) −τ K K x (t ) −
I ⎥
3
1r
a p 1
d a p 2
⎢
τ i m ⎥ ⎪⎪
⎣
⎦
⎪
⎪
Ka K p
Ka K p
jKb *
⎡ x (t ) − x ⎤ +
⎪
x
t
M
(
)
+
+
1r ⎦
⎪
R 2
JT R
Rτ i ⎣ 1
⎭
⎡ Rx (t ) − K K ( x (t ) − x ) ⎤
3
1r ⎥
a p 1
⎢
x1(t ) = α c cos x1(t ) ⎢⎢
K a K p ⎥⎥
Im ⎥
⎢ −τ d K a K p x2 (t ) − τ
i
⎣⎢
⎦⎥
(12)
π /2
Es importante tener en cuenta que cuando la
acción integral es menor que el máximo valor
permitido Im, la dinámica del sistema viene
definida por las ecuaciones (10), (11), pero
cuando se alcanza el valor Im la dinámica del
sistema viene gobernada por las ecuaciones
(11), (12). A partir de las ecuaciones (11) y (12)
Eliminando x3e entre las ecuaciones (15) se
3 PUNTOS DE EQUILIBRIO Y
ANALISIS DE LA BIFURCACION
El mismo razonamiento permite obtener la
acción integral asociada al punto de equilibrio
P3:
deduce:
I
I
⎞⎛ π
⎞
⎟ ⎜ 2 − x1r ⎟
⎠
⎠⎝
3π / 2
=
RJ
RM * ⎛
− ⎜τ i − 2 T
K a K p jK m ⎝
j K m Kb
τi
⎞ ⎛ 3π
⎞
⎟ ⎜ 2 − x1r ⎟
⎠
⎠⎝
Es importante tener en cuenta que a partir de las
ecuaciones (16) y (17) se deduce que si
x1 r < π / 2
entonces
I
3π / 2
<I
π /2
.
Los
razonamientos anteriores permiten concluir que
el sistema evolucionará al punto de equilibrio P1
si los autovalores de la matriz jacobiana tienen
parte real negativa y los puntos P2 y P3 son
inalcanzables. Por tanto, es necesario analizar el
comportamiento del giroscopio en los puntos, P2
y P3.
τi
⎪
⎬
Ka K p
jK b ∗
− β c x3 e +
( x1e − x1r ) +
M = 0⎪
⎪⎭
Lτ i
LJ T
(13)
Punto P2 (x1e = π/2, x2e = 0, x3e,) donde
el valor de x3e se calcula a partir de la
segunda ecuación (13) sustituyendo x1e por
π/2:
•
Punto P3 (x1e = 3π/2, x2e = 0, x3e,) en
este caso el valor de x3e se determina de la
segunda ecuación (13) sustituyendo x1e por
: 3π/2
Nótese que para n entero y, x1e = (4n+1)π/2, x1e
= (4n+1)3π/2 también se obtienen los puntos de
equilibrio P2 y P3 respectivamente. Si la acción
integral está restringida a un valor arbitrario Im
en los puntos P2 y P3 se verifica:
•
3.1. Análisis de la bifurcación en el punto P3
El análisis de la bifurcación comienza en el
punto P3, puesto que como se verá más adelante
este punto de equilibrio es el más importante
para entender como se desarrolla el algoritmo
de ajuste de los parámetros del regulador PID.
Para ello, se realiza una translación de
coordenadas para trasladar el punto al origen, o
sea:
x1′ (t ) = x1 (t ) − 3π 2 ; x2′ (t ) = x2 (t ) − x2 e
(18)
x3′ (t ) = x3 (t ) − x3 e
Sustituyendo las ecuaciones (18) en las (12) y
teniendo en cuenta las ecuaciones de equilibrio
(13) se obtiene:
⎛π
⎞ Ka K p I ≠ 0 ⎫
P2 : Rx3 e − K a K p ⎜ − x1r ⎟ −
m
⎪
⎝2
⎠ τi
⎪
⎬
Ka K p
3π
⎛
⎞
3π / 2
− x1r ⎟ −
I m ≠ 0⎪
P3 : Rx3 e − K a K p ⎜
⎝ 2
⎠ τi
⎭⎪
π /2
x1′(t ) = x2′ (t )
(14)
x2′ (t ) = αcsenx1′(t ) ⎡⎢ Rx3′ (t ) − K a K p x1′(t ) −τ d K a K p x2′ (t ) +
⎣
Además, es posible determinar el valor de Im en
los puntos P2 y P3, ya que a partir de las
ecuaciones (14) particularizadas en el punto P2
se deduce:
⎛π
⎞ Ka K p I π / 2 = 0 ⎫
π /2
Rx3 e − K a K p ⎜ − x1r ⎟ −
⎪
⎝2
⎠ τi
⎪
− β c x3 e
RJ
RM * ⎛
− ⎜τ i − 2 T
K a K p jK m ⎝
j K m Kb
τi
(17)
Punto P1 (x1e, x2e = 0, x3e,)
Considerando valores fijos de x1r, M*, Kp y
τi, el valor de x1e y x3e de las ecuaciones
(12) se deduce:
Ka K p
⎫
Rx3 e − K a K p ( x1e − x1r ) −
Im = 0⎪
π /2
=
(16)
A partir de las ecuaciones (11) y (12) se
analizan los puntos de equilibrio del sistema
global:
•
π /2
x3′ (t ) = −βc x3′ (t ) + δ csenx1′(t ) ⋅
⎡ Rx′ (t ) − K K x′(t ) − (τ K K + γ / δ ) x′ (t ) + p ⎤
3
3 ⎦⎥
a p 1
d a p
c
c 2
⎣⎢
+
Ka K p
jK
x′ (t ) + b M *
R 2
JT R
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎤
p3 ⎥ ⎪
⎦⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
(19)
siendo:
⎬
jK b
π
⎛
⎞
+
M * = 0⎪
⎜ − x1r ⎟ +
⎪⎭
Lτ i ⎝ 2
⎠ LJ t
⎛ 3π − x ⎞ − K a K p I
m
1r ⎟
⎝ 2
⎠ τi
Ka K p
p3 = Rx3 e − K a K pπ ⎜
(20)
(15)
4
Si se supone que Im = I3π/2 de las ecuaciones
(17) y (20) se deduce que p3 = 0 y de las
ecuaciones (19) es fácil deducir que el sistema
tiene dos autovalores nulos. Por otro lado, si se
supone Im = Iπ/2 + ε con ε > 0, entonces p3 < 0
y se puede comprobar que la parte lineal de las
ecuaciones (19) tienen autovalores de la forma
λ1,2 = ±i α c p
origen Teniendo en cuenta las ecuaciones de
equilibrio (13), se puede deducir un conjunto de
ecuaciones similar a las (19), en donde p3 debe
ser sustituido por p2 definido por la ecuación.
⎛π
⎞ Ka K p I
p2 = Rx3 e − K a K p ⎜ − x1r ⎟ −
m
⎝2
⎠ τi
(25)
y por tanto el punto de
Si ahora se toma:
equilibrio P3 es un foco débil [13]. La
estabilidad de un foco viene dada por el signo
del primer valor de Lyapunov L1. Los detalles
del la forma de operar se pueden encontrar en
[[6], [7], [8], [9]. Los resultados se muestran a
continuación:
L1 =
siendo ω =
b11b02
8ω
3
αc R
+
8ω
a3
partir de un modelo similar al (19) to Eq (14)
and taking into account the Eq (20), se
comprueba que:
a) Si Im = Iπ/2 - ε ⇒ El punto P2 es un foco débil.
b) Si Im = Iπ/2 ⇒ En el punto P2 aparecen dos
autovalores nulos.
c) Si Im = Iπ/2 + ε ⇒ El punto P2 es una silla..
(21)
Es claro que el caso a) se puede tratar como
anteriormente, el caso c) es trivial porque P2 es
inalcanzable, y solo el caso b) es problemático
porque aparece una bifurcación del tipo
Bogdanov-Takens. Sin embargo, esta dificultad
α c p3 y los coeficientes b11, b02 y
a3 se expresan en función de los parámetros del
sistema de la forma:
a = δ c p3 +
f =
Ka K p
Rτ i
a β c + bω
βc + ω
2
2
;b =
Ka K p
R
2
;g =
; c = α c p3
ω ( bβ c − a )
βc + ω
2
2
⎫
⎪
⎪
⎬ (22)
⎪
⎪⎭
puede evitarse si más que tomar I m = I
+ε
3.3. Equilibrium point or set point P1
(23)
Como en los casos anteriores, el análisis de este
punto se realiza trasladándolo al origen, y a
partir de las ecuaciones (19), los autovalores de
la matriz jacobiana vienen dados por las raíces
de la ecuación:
βc
ω (4ω + β c )
2
π /2
con ε > 0, por tanto el análisis de esta
bifurcación no es necesario porque el punto P2
siempre será inestable.
b11 = α c ( Rg − τ d K a K pω ) ; b02 = α c ( Rf − K a K p )
a3 =
I m = I π / 2 ± ε con ε << 1, a
2
2ω
⎡
⎤
( gα c − ωδ c )
⎢
⎥ (24)
βc
⎢
⎥
× ⎢⋅ [ ( Rf − K a K p ) − ( Rg − τ d K a K pω ]⎥
⎢
⎥
− γ cω 2
⎢
⎥
⎢⎣
⎥⎦
⎫
⎪
λ + b2 λ + b1λ + b0 = 0
⎪
2
jK m K a K pτ d ⎞ ⎪
H
⎪
⎛
b2 = β c ; b1 =
cos x1e ⎜ cos x1e +
⎟ ⎬
JT H r
HR
⎝
⎠ ⎪
⎪
HK a K p ⎛
1 ⎞
⎪
b0 = β c
x
1
−
cos
1e
⎜ βτ ⎟
jK b H r ⎝
⎭⎪
c i ⎠
3
Si L1 > 0 el punto de equilibrio P3 será inestable,
si L1 < 0 el punto de equilibrio será estable. Si
L1 = 0 es necesario reducir el sistema (52) en la
variedad central considerando términos de hasta
5.orden [13] Esto es debido a que se puede
demostrar que los términos pares del desarrollo
en serie de Taylor no influyen en las
propiedades de estabilidad del foco débil. Se
concluye que las ecuaciones (21), (22), (23) y
(24) nos dan un criterio para conocer las
propiedades de estabilidad del punto P3.
2
(26)
A partir del criterio de estabilidad de RouthHurwitz se deduce que el punto P1 será estable
si los coeficientes b0, b1 y b2 son positivos y se
verifica la desigualdad a b1b2 > b0 . Esto implica
que -π/2 < x1e < π/2, con 1 > 1 β τ . Puesto que
c
i
βc >> 1 de acuerdo con los valores de los
parámetro de la leyenda de la figura 1 y de la
ecuación (11), la estabilidad del punto P1 esta
asegurada.
Con los resultados anteriores se puede diseñar
un algoritmo de cálculo para ajustar los
parámetros del regulador PID.
3.2 Punto de equilibrio P2
En este caso el análisis del punto de equilibrio
se realiza trasladando el punto de equilibrio al
5
bifurcación del tipo Andronov-Poincaré-Hopf..
Tomando Im = Iπ/2 + ε, de las ecuaciones (28) y
(31) se deduce:
Ka K p ⎛
π ⎞
p3 = − K a K pπ −
⎜ ε − ⎟ (32)
4 AJUSTE DE LOS PARAMETROS
DEL REGULADOR PID
El análisis de las bifurcaciones en los puntos P2
y P3 revela que si la acción integral se limita a
Im = Iπ/2 + ε el punto P2 es una silla y el primer
valor de Lyapunov L1 es positivo, y por tanto
los puntos P2 y P3 son inalcanzables. Por otro
lado, a partir de las ecuaciones (26) el valor de
x1e debe de estar en el intervalo -π/2 < x1e < π/2.
Por tanto, a partir de las ecuaciones (13),
particularizadas en el punto P2 quedan de la
forma:
⎛π
⎞ K a K p I π / 2 = 0⎫
π /2
Rx3 e − K a K p ⎜ − x1 r ⎟ −
⎪
⎝2
⎠ τi
⎪
− β c x3 e
π /2
τi
A partir de las ecuaciones (21)-(24) y (27)-(32)
y de la condición -π/2 < x1e < π/2 se deduce el
siguiente algoritmo de cálculo de los parámetros
del regulador PID:
1.
⎬
jK b ∗
π
⎛
⎞
M =0 ⎪
+
⎜ − x1r ⎟ +
Rτ i ⎝ 2
⎠ RJ T
⎭⎪
2.
Ka K p
3.
(27)
Sustituyendo Im = Iπ/2 + ε en la segunda
ecuación (13), es posible eliminar Iπ/2 entre las
ecuaciones (13) y (27) para dar:
4.
5.
K a K p ( x1e − x1r ) = Rx3 e − Rx3 e
π /2
⎛ π − x ⎞ − Ka K p ε
1r ⎟
⎝2
⎠ τi
+ Ka K p ⎜
Rx3 e
(28)
⎬
jK b ∗ ⎤ ⎪
⎡ Ka K p ⎛ π
⎞
M ⎥
=
⎜ − x1r ⎟ +
β c ⎢⎣ Rτ i ⎝ 2
⎠ RJ T
⎦⎭⎪
R
(29)
Restando las ecuaciones (24) se deduce:
Ka K p ⎛
π⎞
⎜ x1e − ⎟
τ i βc ⎝
2⎠
Tomar un valor para el momento cinético
del giroscopio H, par de perturbación M* y
ángulo x1r. Si -π/2 < x1r < π/2 se puede
elegir x1r≡ x1e.
Escoger un punto de consigna x1e tal que π/2 < x1e < π/2.
Teniendo en cuenta (32), tomar ε > π/βc
para tener p3 < 0. El valor de ε no debe ser
ni muy grande no muy pequeño para tener
valores admisibles de τi.
Calcularτi de la ecuación (31) con τi > 0.
Escoger un intervalo de valores de
K p K pmin , K pmax y τ d τ dmin ,τ dmax .
[
]
[
]
Considerando las ecuaciones (21) a (24) y
(31), (27) determinar el primer valor de
Lyapunov de la forma:
for i = 1:NKp
for j = 1:Nτd
L1(i,j) = f[τi, p3, Kp(i), τd(j)];
end
end
6. Representar L1(i,j) frente a τd tomando Kp
como parámetro.
7. Elegir valores de Kp y τd para tener L1 > 0.
Así el punto de equilibrio P3 será inestable.
Es posible elegir distintas combinaciones
de Kp y τd para dar L1 > 0.
8. Seleccionado Kp calcular Iπ/2 a partir de
(16). La máxima acción integral
Por otro lado, de las ecuaciones (16) y (28) se
deduce:
jK
R ⎡ Ka K p
⎤ ⎫
Rx3 e =
( x1e − x1r ) + b M ∗ ⎥ ⎪
⎢
β c ⎣ Rτ i
RJ T
⎦ ⎪
π /2
βc ⎠
⎝
será: I m
= I π / 2 + ε , de forma que el
Sustituyendo la ecuación (30) en la (27) se
obtiene una ecuación que relaciona el tiempo de
reset τi del regulador PID con el ángulo de
equilibrio deseado x1e :
π − 2 x1e + 2 β c ε
(31)
τi =
β c ( π − 2 x1e )
punto P2 será inalcanzable.
Si el valor de Im es muy pequeño o
negativo es necesario repetir los pasos
anteriores hasta alcanzar un valor
razonable.
10. Comprobar que P1 es estable a partir de las
ecuaciones (26). La condición de
estabilidad de P1 es b1b2 > b0, que se
cumple sin problemas en casi todos los
casos prácticos a partir de los datos en la
leyenda de la figura 1.
El valor de p3 < 0 viene dado or la ecuación
(20) y es el responsable de que aparezcan dos
autovalores complejos conjugados puros en el
punto P3, o sea para que aparezca una
Cuando todas las condiciones anteriores se
cumplen, el diseño del regulador PID está
terminado. Una forma sencilla de implementar
los pasos anteriores es la siguiente.
Rx3e − Rx3πe/ 2 =
(30)
9.
6
Figure 2. Valor del primer valor de Lyapunov L1 función del tiempo derivado tomado como parámetro la acción
proporcional Kp. Valor del tiempo de reset τi = 1.2784 s..
Figure 3. Diseño gráfico del regulador PID. Tiempo de reset τi = 1.2784 s. Constante de acción
proporcional Kp frente al tiempo derivado τd tomando como parámetro el primer valor de Lyapunov L1
7
Cuando se cumplen los pasos anteriores, el
diseño del regulador PID se puede dar por
terminado. Una forma sencilla de implementar
los pasos anteriores es escoger pequeños valores
para L1 > 0 y determinar combinaciones de
parámetros de Kp y τd que dan el mismo valor
de L1. En estas condiciones, la función Kp =
f(τd) se puede trazar gráficamente. Las figuras 2
y 3 muestran los resultados obtenidos para
cierta combinación de valores de parámetros.
Estas figuras se utilizan para seleccionar el
regulador PID. De la figura 3 se deduce que
para valores fijos del primer valor de Lyapunov
y del tiempo de reset, si la acción proporcional
disminuye, el correspondiente tiempo derivado
debe aumentar, y por tanto es de esperar que se
obtenga una respuesta más oscilante, tal como
se discute en la siguiente sección.
La figura 7 muestra un caso muy interesante,
que demuestra la complejidad dinámica del
sistema. En este caso se toma un valor de L1 > 0
pero pequeño. Se comprueba que el sistema
alcanza el punto de equilibrio después de que el
giroscopio tenga un comportamiento casi
oscilante alrededor del punto de equilibrio P3.
Sin embargo al ser P3 un foco débil inestable el
giro termina por abandonar dicho punto y salta
al punto de equilibrio. De lo anterior se deduce
que desde un punto de vista cualitativo, la
respuesta transitoria del giro depende del valor
del primer valor de Lyapunov.
6 CONCLUSIONES
En este trabajo se presenta un procedimiento
para ajustar los parámetros de un regulador PID
que controla la posición de un cuerpo unido al
anillo exterior de un giroscopio en suspensión
Cardan y sometido a pares externos de
perturbación. A partir de un modelo
simplificado del giro más el sistema de
realimentación, se demuestra que el sistema
tiene varios puntos de equilibrio, cuya
estabilidad se analiza considerando la saturación
de la acción integral del regulador PID. En el
trabajo se demuestra que dependiendo de la
saturación de a acción integral pueden aparecer
bifurcaciones del tipo Andronov-Poincaré-Hopf
y Bogdanov-Takens. A partir de un valor de
saturación de la acción integral solo la
bifurcación Andronov-Poincaré-Hopf aparece,
la cual esta caracterizada por la presencia de un
par de autovalores complejos conjugados puros.
En tal caso, la estabilidad del punto de
equilibrio viene fijada por el signo de un
parámetro, conocido como primer valor de
Lyapunov. El cálculo de este parámetro, aunque
puede ser penoso, es la única herramienta
analítica disponible para predecir resultados
difícilmente
explicables
por
otros
procedimientos. En particular es posible deducir
algoritmos que permitan diseñar leyes de
control adecuadas, y además, permite explicar
ciertos comportamientos oscilatorios y/o
caóticos que pueden presentarse en muchos
sistemas dinámicos.
En el trabajo se muestra claramente como en
función de los parámetros del regulador PID,
puede variar el signo del primer valor de
Lyapunov, lo cual conlleva un cambio en las
propiedades dinámicas del sistema. En
particular, es posible diseñar un algoritmo que
permita la determinación de los parámetros del
regulador PID para que se alcance un ángulo
prefijado del anillo interior del giroscopio o
punto de consigna. [9]. Las ideas expuestas en
este trabajo se pueden extender a muchos
sistemas con diferentes estructuras de control.
5 SIMULACIONES Y DISCUSIÓN
DE LOS RESULTADOS
En todas las simulaciones se utiliza el método
de Runge-Kutta con pasos de integración
comprendidos entre 0.00001 y 0.0001 s, para
evitar problemas numéricos. En primer lugar se
estudia la dinámica del giroscopio cuando el
punto de consigna x1e y la referencia x1r
coinciden. Los resultados de la simulación se
muestran en la figura 4. Los valores de Kp yτd se
toman de la figura 3 para un valor del primer de
Lyapunov de L1 = 0.5 > 0. Es importante que el
valor de Lyapunov no sea demasiado pequeño,
ya que su valor se ha obtenido considerando los
desarrollos en serie de Taylor hasta términos de
tercer orden [6], [7], [8], [9]. Por eso es posible
que el método numérico sea incapaz de
distinguir la inestabilidad del punto P3 si L1 se
toma muy pequeño. Por ejemplo para valores
-0.001 < L1 < 0.001 nada puede asegurarse
respecto a la estabilidad o inestabilidad de P3.
Es claro que este problema se evita fácilmente y
que no afecta a la estructura del algoritmo
propuesto.
Si se toma L1 = -0.5 < 0, la figura 5 muestra que
el giroscopio evoluciona primero hacia el punto
P2, sin embargo como Im = Iπ/2 + ε = 11.1570 +
2 > Iπ/2 = 11.1570, este punto es una silla
inestable. Por consiguiente, transcurrido cierto
tiempo el sistema salta al punto de equilibrio P3,
el cual es un foco débil estable. De lo anterior se
concluye que con condiciones iniciales nulas, o
sea con el giroscopio en reposo no es posible
alcanzar el punto de consigna. Es interesante
resaltar que este comportamiento dinámico no
es intuitivo y puede ser muy difícil de
comprender sin el análisis de la naturaleza de
los puntos de equilibrio y de las posibles
bifurcaciones en dichos puntos.
8
Figura 4. Respuesta del giroscopio a) y b): nr = 2000 r.p.m.; M* = 100 N.m; x1r = x1e = 0 rad; ε = 2; τi =
1.2784 s; L1 = 0.5 > 0; Kp = 0.0997 V; τd = 0.2524 s; Ipi/2 = -0.7178; Im = 1.2822; Condiciones iniciales:
β(0) = 0, dβ(0)/dt = 0, i(0) = 0.01 A, x4(0) = 0. Autovalores punto de consigna: [-95.8 ± 48.5j, -3.52].
Figura 5. Valores de parámetros en leyenda figura 1. L1 = -0.5 < 0.: nr = 2000 r.p.m.; M* = 100 N.m; x1r
= π/8; ε = 10-5; Kp = 0.026 V τi = 1.827 s; τd = 0.4568 s; Ipi/2 = 4.88; Autovalores en P1 [-25 ± 95.56j; 6.73.10-5 ± 172.4j]. P1 ≈ P2 = π/2.
9
Figura 6. Valores de parámetros y condiciones iniciales están indicados en leyenda de la figura 9. Valores de
simulación nr = 1500 rpm; M* = 200 N.m; x1r = π/8 rad; ε = 0.5; Kp = 0.026 V τi = 1.827 s; τd = 0.4568 s; Im =
8.7937. Autovalores en el punto de consigna: [-95.8 ± 48.5j, -3.656±1.357j]. L1 = 0.02569 > 0 en P3.
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10