Hoja de problemas Tema 1

I.T. Telecomunicaciones (Telemática)
Cálculo
Curso 2007/2008
1o Cuatrimestre
Sucesiones
Hoja de problemas Tema 1
√
1. Sea (xn )n una sucesión definida por x1 = 1 y xn+1 = 1 + xn para cada n ≥
1. Demostrar que la sucesión (xn )n es convergente demostrando que es monótona
creciente y acotada superiormente. Hallar lı́mn→∞ xn .
2. Aplicando la definición de límite demostrar que:
a) la sucesión xn =
3n2 +5
n2 +1
2n−1
b) la sucesión yn = 3
es convergente y su límite es 3.
es divergente.
c) la sucesión zn = 2 + (−1)n no tiene límite.
3. Calcula el límite de las siguientes sucesiones recurrentes, comprobando previamente
su existencia.
q
a) x1 = 1, xn+1 = 3xn2+2 ;
b) x1 = 1, xn+1 =
4
;
4−xn
4. Consideremos la sucesión de Fibonacci (xn )n dada por: x1 = 1, x2 = 1, xn =
xn−1 + xn−2 . Calcula su límite.
5. Calcular los siguientes límites en el caso en el que existan:
(−1)n n
;
(1+n)2
√
3/(n+ n)
lı́mn→∞ log(n/(n−1)
;
a) lı́mn→∞
b)
n
c) lı́mn→∞ e(−1) ;
3
n
n2
d ) lı́mn→∞ n(n+1)
− n+2
;
2n+1
e) lı́mn→∞ n+5
;
n
f ) lı́mn→∞
n2 +(−1)n n
;
n2 −(−1)n n
g) lı́mn→∞
1+2+3+···+n
;
log(n)
n!1/n
;
n
lı́mn→∞ n12 (3 +
h) lı́mn→∞
i)
6 + · · · + 3n);
1
j ) lı́mn→∞ − 12 + 14 − 18 + · · · +
k ) lı́mn→∞
(n+2)!+(n+1)!
;
(n+3)!
l ) lı́mn→∞ n −
m) lı́mn→∞
n) lı́mn→∞
ñ) lı́mn→∞
(−1)n+1
;
2n+1
√
3
1 + n3 ;
n+(−1)n
;
n−(−1)n
√
n2 + n + 1 −
√
n2 − n − 1;
2n+1 +3n+1
;
2n +3n
log 3n2 +4n−5
;
log(n)
√
lı́mn→∞
√n √ ;
n+ n+ n
o) lı́mn→∞
p)
q
1
q) lı́mn→∞ (5n3 + 4n − 1) log(n2 +7n−5) ;
1 √
q
√n+1−
n
n+1
r ) lı́mn→∞
;
n
s) lı́mn→∞
t) lı́mn→∞
log(n)
;
n
1
√
+ √1 +···+ √1n
1
2
√
n
;
u) lı́mn→∞ n9 arctan(n9 );
2